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Montpellier

L'analyse des données multivariées à l'aide du logiciel

L'analyse en composantes principales (A.C.P.)

INRA - Formation PermanenteJuillet 2005

André Bouchier

INRA Montpellier - Analyses en composantes principales - Juillet 2005 p.1/23

Copyright 2005 André Bouchier

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1.Avant propos :

l Pré-recquis

Ce support de cours concerne la mise en oeuvre d'une analyse en composantesprincipales à l'aide du logiciel de statistiques R. Ce n'est ni un cours destatistique ni une initiation à R. On suppose donc connues les bases de celogiciel ainsi que quelques notions de statistiques concernant l'analyse encomposantes principales.

l Les fonctions utilisées :

Les fonctions utilisées pour cette analyse sont disponibles dans lesbibliothèques standard de R et dans la bibliothèque ade4. Pour aider à lacompréhension, l'écriture des «programmes» sera détaillée. Par la suite, vouspourrez condenser cette écriture. Mais n'oubliez pas de les commenterabondamment.


2.Rappels :

l L’ACP est une méthode descriptive.

l Son objectif est de représenter sous forme graphique l’essentiel del’information contenue dans un tableau de données quantitatif.

l Dans un tableau de données à j variables, les individus se trouvent dans unespace à j dimensions.

l Lorsqu’on projette ces données sur un plan, on obtient un graphique déformé dela réalité.

l Le rôle de l’ACP est de trouver des espaces de dimensions plus petitesminimisant ces déformations.

l On utilise un espace à 2 dimensions (un plan). Ce plan est appelé le plan principal.


3.Les données d'exemple :

l Le tableau des données d'exemple :

Ce tableau de données, contient les données techniques sur 62 véhicules - annéemodèle 1994. Les variables sont :

row.names : nom du modèlePuissance : en chevaux fiscauxCylindree : en cm3

Longueur : longueur de la voitureLargeur : largeur de la voitureSurface : surface de la voiturePoids : poids total en KgVitesse : vitesse maximum en km/hDepArret : Temps, en secondes, pour parcourir 1000 m, départ arrêté.Conso : Consommation moyenne aux 100 Km, en litres (essence ou gazole)


4.Préparation du tableau des données :

l Les données seront dans le tableau « don »: Puissance Cylindree Longueur Largeur Surface Poids Vitesse DepArret ConsoAlfa-Romeo 33 1.5 ie 7 1490 4.07 1.61 6.58 970 180 31.4 7.7Alfa-Romeo 155 2.0 10 1995 4.44 1.70 7.55 1215 205 31.3 8.0Alfa-Romeo 155 TD 6 1929 4.44 1.70 7.55 1250 180 35.0 6.4Alfa-Romeo 164 2.5 T 7 2500 4.55 1.76 8.02 1490 202 32.2 6.8BMW 316i 7 1596 4.43 1.70 7.53 1190 191 34.1 7.9BMW 325 TD 7 2498 4.43 1.70 7.53 1335 198 33.3 6.9BMW 518i 10 1796 4.72 1.75 8.26 1360 194 33.6 8.6BMW 525 TD 7 2498 4.72 1.75 8.26 1465 188 NA 7.6

.../...

l On élimine les 10 individus ayant des valeurs manquantes

don<-na.omit(don)

l L'identifiant des individus est row.names(don)

Il contient le nom des véhicules


5.Description des variables, les histogrammes :

l Les histogrammes de toutes les variables

layout(matrix(c(1:9),3,3))for(i in 1:9) {hist(don[,i],main=names(don)[i],xlab="")}layout(1)


Puissance

Fre

quen

cy4 6 8 10 14

05

1525

Cylindree

Fre

quen

cy

500 1500 2500

05

1525

Longueur

Fre

quen

cy

3.5 4.0 4.5 5.0

05

1015

Largeur

Fre

quen

cy

1.5 1.7 1.9 2.1

05

15

Surface

Fre

quen

cy

5 6 7 8 9

04

812

Poids

Fre

quen

cy

800 1200 1600

02

46

8

Vitesse

Fre

quen

cy

140 180 220

05

1015

DepArret

Fre

quen

cy

28 32 36 40

05

1525

Conso

Fre

quen

cy

4 6 8 10 12

05

1015

6.Description des variables, contrôle de la linéarité des relations :

l Les relations entre les variables quantitatives :

pairs(don,main="Données voitures 1994")


7.L'A.C.P. - fonction dudi.pca () de la bibliothèque ade4 :

l On lance l’analyse en composantes principale

Les résultats de l'analyse sont stockés dans la variable z

library(ade4)z<- dudi.pca(don, center = T, scale = T, scannf = F)

l Choix du type d'analyse

Les options center et scale de la fonction dudi.pca sont utilisées pour centreret réduire les variables.


8.Les valeurs propres :

l Impression des valeurs propres (variances de chaque composante) :

z$eig6.453 1.137 0.656 0.331 0.236 0.100 0.0434 0.0390 0.000

l Les variances cumulées (Σ des variances = 9, les données sont centrées réduites) :

cumsum(z$eig)6.453 7.591 8.247 8.579 8.816 8.917 8.960 8.999 9.000

l Les variances en pourcentages et pourcentages cumulés :

z$eig/sum(z$eig)*100

71.704 12.640 7.298 3.688 2.632 1.114 0.482 0.434 0.004

cumsum(z$eig/sum(z$eig)*100)

71.70 84.34 91.64 95.33 97.96 99.07 99.56 99.99 100.00


9.L'histogramme des valeurs propres

l Une représentation en % de variance expliquée :

inertie<-z$eig/sum(z$eig)*100barplot(inertie,ylab="% d'inertie",names.arg=round(inertie,2))title("Eboulis des valeurs propres en %")


71.7 12.64 7.3 3.69 2.63 1.11 0.48 0.43 0

% d

'iner

tie

010

2030

4050

6070

Eboulis des valeurs propres en %

10.Interprétation des composantes : les contributions "relatives"

l Contributions des variables à la construction des axes :

inertia.dudi(z,col.inertia = T)$col.abs

Comp1 Comp2Puissance 824 1867Cylindree 1201 2Longueur 1291 528Largeur 937 2211Surface 1307 1196Poids 1345 485Vitesse 1263 868DepArret 798 2354Conso 1034 490Somme 10000 10000


11.Présentation des résultats - le plan principal :

l Le résultat de l'A.C.P a été stocké dans la variable z. Les coordonnées deslignes et des colonnes se trouvent respectivement dans z$li et z$co

l La première composante sera :

cl1<-z$li[,1] pour les individus

cc1<-z$co[,1] pour les variables

l La deuxième sera :

cl2<-z$li[,2] pour les individus

cc2<-z$co[,2] pour les variables


12.Présentation des résultats - le plan des individus :

l Représentation du graphique du plan des individus :

plot(cl1,cl2,type="n",main="Les individus",xlim=c(-7,7))abline(h=0,v=0)text(cl1,cl2,row.names(z$li))


-6 -4 -2 0 2 4 6

-3-2

-10

12

Les individus

cp1

cp2

Alfa-Romeo 33 1.5 ieAlfa-Romeo 155 2.0

Alfa-Romeo 155 TD

Alfa-Romeo 164 2.5 T

BMW 316iBMW 325 TDBMW 518i

BMW 730iCitroen AX1.0

Citroen AX1.4i

Citroen AX14TD

Citroen ZX1.1

Citroen ZX1.6Citroen ZX1.9TD

Citroen XANTIA 1.6I

Citroen XANTIA 1.8I

Citroen XANTIA 2.0i

Citroen XANTIA TD

Citroen XM 2.0i

Citroen XM V6

Citroen XM TD12

Fiat UNO 1.4i.e

Fiat UNO TDFiat TIPO 1.8ie

Fiat TIPO TD

Fiat TEMPRA 1.8ie

Fiat TEMPRA TD

Fiat CROMA 2.0

Fiat CROMA 2.5 TDPeugeot 106 XN

Peugeot 106 XTD

Peugeot 306 XN

Peugeot 306 XTDT

Peugeot 405 GL

Peugeot 405 SR

Peugeot 405 STDPeugeot 605 SLi

Peugeot 605 Sv24

Peugeot 605 SLD

Renault Twingo

Renault Clio 1.2 RN

Renault Clio 1.4 RN

Renault Clio 1.9DRenault 19 1.4RNRenault 19 1.8RN

Renault 19 1.9 dTRenault 21 Prima TS

Renault 21 Prima TDRenault Safrane2.0i

Renault Safrane2.5 dRenault Espace 2.2i

Renault Espace 2.1dT

13.Présentation des résultats - le plan des variables :

l La représentation graphique du plan des variables :

plot(cc1,cc2,type="n",main="Les variables",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1), asp=1, #rapport entre "Echelle X" et "Echelle Y"ylab= "Comp2 71.7%",xlab= "Comp1 12.6%")

abline(h=0,v=0)text(cc1,cc2,row.names(z$co))

l Le cercle des corrélations :

symbols(0,0,circles=1,inches=FALSE,add=TRUE)


14.Graphique du plan des variables :


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Les variables

Comp1 12.6%

Com

p2 7

1.7%

Puissance

Cylindree

Longueur

LargeurSurface

Poids

Vitesse

DepArret

Conso

15.Les données supplémentaires :

l La bibliothèque ade4 propose les fonctions supcol() et suprow() pour calculer lescoordonnées des variables et individus supplémentaires. Ces fonctions s'utilisentaprès le calcul de l'A.C.P.

l Le tableau de données donsup contient 10 individus dont les donnéesmanquantes ont été remplacées par des valeurs grossièrement estimées. Cesdonnées sont peu fiables et ont été introduites en supplémentaire dans l'analyse.

Puissance Cylindree Longueur Largeur Surface Poids Vitesse DepArret ConsoBMW 525 TD 7 2498 4.72 1.75 8.26 1465 188 31 7.6Fiat Panda 1000i.e 4 999 3.41 1.49 5.09 715 140 41 6.2Ford Fiesta 1400 6 1392 3.74 1.61 6.01 840 163 38 7.2Ford Fiesta TD 5 1753 3.74 1.61 6.01 900 170 37 6.1Ford Escort 1400 6 1391 4.10 1.70 6.96 1000 163 39 7.8Ford Escort 1800 TD 6 1753 4.10 1.70 6.96 1100 172 35 6.3Ford MONDEO 1800i 7 1796 4.48 1.75 7.83 1277 197 32 7.2Ford MONDEO TD 5 1753 4.48 1.75 7.83 1277 183 35 6.2Ford Scorpio 2000i 10 1998 4.74 1.69 8.03 1245 195 33 7.7Ford Scorpio 2900i 15 1998 4.74 1.69 8.03 1345 201 32 10.8


16.Les individus supplémentaires :

l Les coordonnées des individus supplémentaires sont calculés en tenant comptedes options utilisées dans l'ACP sur les individus actifs. Ici, ils seront centré-réduits.

z<- dudi.pca(don, center = T, scale = T, scannf = F)ligsup<-suprow(z,donsup)

l Les coordonnées des individus supplémentaires se trouve dans ligsup$lisup

Axis1 Axis2BMW 525 TD 2.5032655 -0.2648280Fiat Panda 1000i.e -5.7235880 -0.1497245Ford Fiesta 1400 -2.9921568 0.1666408Ford Fiesta TD -2.7224814 0.1001151Ford Escort 1400 -1.7987546 -1.0503674Ford Escort 1800 TD -1.0292275 -0.3706771Ford MONDEO 1800i 1.2600677 0.0763634Ford MONDEO TD 0.1373121 -1.2755206Ford Scorpio 2000i 1.7339527 0.4465114Ford Scorpio 2900i 3.3727519 1.9269659


17.Représentation simultanée des individus actifs et supplémentaires:

l Représentation simultanée des individus actifs et supplémentaires

cl1<-z$li[,1]cl2<-z$li[,2]csup1<-ligsup$lisup[,1]csup2<-ligsup$lisup[,2]plot(cl1,cl2,type="n",main="Les individus",xlim=c(-8,8))abline(h=0,v=0)text(cl1,cl2,row.names(z$li),)text(csup1,csup2,row.names(ligsup$lisup),col="red",cex=1.2)


-5 0 5

-3-2

-10

12

Les individus

cl1

cl2

Alfa-Romeo 33 1.5 ieAlfa-Romeo 155 2.0

Alfa-Romeo 155 TD

Alfa-Romeo 164 2.5 T

BMW 316iBMW 325 TDBMW 518i

BMW 730iCitroen AX1.0

Citroen AX1.4i

Citroen AX14TD

Citroen ZX1.1

Citroen ZX1.6Citroen ZX1.9TD

Citroen XANTIA 1.6I

Citroen XANTIA 1.8I

Citroen XANTIA 2.0i

Citroen XANTIA TD

Citroen XM 2.0i

Citroen XM V6

Citroen XM TD12

Fiat UNO 1.4i.e

Fiat UNO TDFiat TIPO 1.8ie

Fiat TIPO TD

Fiat TEMPRA 1.8ie

Fiat TEMPRA TD

Fiat CROMA 2.0

Fiat CROMA 2.5 TDPeugeot 106 XN

Peugeot 106 XTD

Peugeot 306 XN

Peugeot 306 XTDT

Peugeot 405 GL

Peugeot 405 SR

Peugeot 405 STDPeugeot 605 SLi

Peugeot 605 Sv24

Peugeot 605 SLD

Renault Twingo

Renault Clio 1.2 RN

Renault Clio 1.4 RN

Renault Clio 1.9DRenault 19 1.4RNRenault 19 1.8RN

Renault 19 1.9 dTRenault 21 Prima TS

Renault 21 Prima TDRenault Safrane2.0i

Renault Safrane2.5 dRenault Espace 2.2i

Renault Espace 2.1dT

BMW 525 TDFiat Panda 1000i.eFord Fiesta 1400Ford Fiesta TD

Ford Escort 1400

Ford Escort 1800 TDFord MONDEO 1800i

Ford MONDEO TD

Ford Scorpio 2000i

Ford Scorpio 2900i

18.Représentation séparée des individus principaux et supplémentaires:

l Pour plus de lisibilité, dans le cas présent, il est sans doute préférable dereprésenter séparément les individus supplémentaires

plot(cl1,cl2,type="n",main="Individus supplém",xlim=c(-8,8))abline(h=0,v=0)text(csup1,csup2,row.names(ligsup$lisup),col="red",cex=1.1)


-5 0 5

-3-2

-10

12

Individus supplém

cl1

cl2 BMW 525 TDFiat Panda 1000i.e

Ford Fiesta 1400Ford Fiesta TD

Ford Escort 1400

Ford Escort 1800 TD

Ford MONDEO 1800i

Ford MONDEO TD

Ford Scorpio 2000i

Ford Scorpio 2900i

19.L'A.C.P., le programme complet :

#lecture et préparation des donnéesdon<-na.omit(don)#exploration graphique des donnéeslayout(matrix(c(1:9),3,3))for(i in 1:9) {hist(don[,i],main=names(don)[i],xlab="")}layout(1)pairs(don,main="Données voitures 1994")#le calcul de l'ACP. Les résultats sont stockés dans la variable zlibrary(ade4)z<- dudi.pca(don, center = T, scale = T, scannf = F)#l'éboulis des valeurs propres en %inertie<-z$eig/sum(z$eig)*100barplot(inertie,ylab="% d'inertie",names.arg=round(inertie,2))title("Eboulis des valeurs propres en %")#les coordonnées lignes et colonnescl1<-z$li[,1]; cc1<-z$co[,1]; cl2<-z$li[,2]; cc2<-z$co[,2]#graphique du plan des individus actifsplot(cl1,cl2,type="n",main="Les individus",xlim=c(-8,8))abline(h=0,v=0)text(cl1,cl2,row.names(z$li),)#graphique du plan des variables activesplot(cc1,cc2,type="n",main="Les variables",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),

asp=1,ylab= "Comp2 71.7%",xlab= "Comp1 12.6%")abline(h=0,v=0)text(cc1,cc2,row.names(z$co))symbols(0,0,circles=1,inches=FALSE,add=TRUE)


20.Quelques références :

l Logiciel R :

R Development Core Team (2004). R: A language and environment for statisticalcomputing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL

http://www.R-project.org.

l Bibliothèque ade4 :

Jean Thioulouse, Anne-Beatrice Dufour and Daniel Chessel (2004). ade4: Analysis ofEnvironmental Data : Exploratory and Euclidean methods in Environmental sciences. Rpackage version 1.3-3.

http://pbil.univ-lyon1.fr/ADE-4Mailing list: http://pbil.univ-lyon1.fr/ADE-4/adelist.html


21.Table des matières1.Avant propos :....................................................................................................................................................................32.Rappels :..............................................................................................................................................................................43.Les données d'exemple :.................................................................................................................................................54.Préparation du tableau des données :.........................................................................................................................65.Description des variables, les histogrammes :..........................................................................................................76.Description des variables, contrôle de la linéarité des relations :......................................................................87.L'A.C.P. - fonction dudi.pca () de la bibliothèque ade4 :........................................................................................98.Les valeurs propres :.....................................................................................................................................................109.L'histogramme des valeurs propres...........................................................................................................................1110.Interprétation des composantes : les contributions "relatives"......................................................................1211.Présentation des résultats - le plan principal :......................................................................................................1312.Présentation des résultats - le plan des individus :.............................................................................................1413.Présentation des résultats - le plan des variables :.............................................................................................1514.Graphique du plan des variables :.............................................................................................................................1615.Les données supplémentaires :..................................................................................................................................1716.Les individus supplémentaires :.................................................................................................................................1817.Représentation simultanée des individus actifs et supplémentaires:.............................................................1918.Représentation séparée des individus principaux et supplémentaires:..........................................................2019.L'A.C.P., le programme complet :..............................................................................................................................2120.Quelques références :................................................................................................................................................22


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