Université IBN ZOHR

Faculté des sciences juridiques économiques et sociales Agadir

Agadir

Master Recherche économie appliquée

Matière : finance international

Préparé par : Encadré par:

KHALID BOUIFOULEN Mr. Rachidi KHADIJA AHOUZI MBARK OUHAHOU

Année universitaire:

2010/2011

L’évaluation des

options sur devise

1

Plan :

Introduction

I- Le modèle de Garman et Kohlhagen

1- Les hypothèses du modèle de Garman et Kohlhagen

2- L’évaluation d’une option d’achat européenne sur devise

3- Comment utiliser le modèle de Garman et Kohlhagen pour évaluer un call

(par exemple européen) sur devise ?

4- L’évaluation d’un put européen sur devise

II- Les indicateurs de gestion d’une position d’options sur devise

1- Le delta

2- Le gamma

3- Le thêta

4- Le Véga

5- Le rhô

III- L’estimation de la volatilité des taux de change

1- La volatilité historique

2- La volatilité implicite

3- La volatilité Garch

Conclusion

Bibliographie

2

Introduction :

Qu’elles soient négociées sur le marché interbancaire ou sur les marchés dotés d’une

chambre de compensation, les options sur devises sont valorisées de la même façon.

L’évaluation d’une option d’achat ou de vente sur devises a connu un développement

continu depuis la publication en 1983 des travaux qui traitent directement du sujet, ceux de

GARMAN ET KOHLHAGEN, d’une part, de GRABBE, d’autre part. Ces deux modèles se

sont inspirés des travaux de BLACK, SCHOLES et MERTON qui fussent les premiers

modèles d’évaluation des options sur actions.

Les modèles de G.K. ont ouvert la voie à d’autres plus sophistiqués, qui ont apportés

des améliorations que se soit au niveau des hypothèses relatives aux variables utilisées comme

inputs pour calculer une la valeur d’une option sur devise ( taux d’intérêt domestique, taux

d’intérêt étranger et le taux de change), soit au niveau des méthodes d’estimation des

variables inobservables ( la volatilité), soit au niveau des méthodes de calcul de la formule

d’évaluation.

Vu la complexité technique des récentes méthodes qui dépasse le cadre de notre

travail, nous nous contentons à présenter le modèle de GARMAN ET KOHLHAGEN les

hypothèses et l’évaluation, puis les indicateurs de gestion d’une position d’option sur devise,

après, l’estimation de la volatilité des taux de change.

I- Le modèle de Garman et Kohlhagen :

Le travail de Garman et Kohlhagen est la première application directe du modèle de

Black, scholes et Merton à l’évaluation d’options de change européennes.

Ils supposent que les hypothèses sous-jacentes au modèle de Black, Scholes et Merton

s’appliquent aux options européennes ayant comme sous-jacent un taux de change.

L’idée qui a permis d’appliquer directement le modèle de Black, Sc holes et Merton est

d’assimiler la devise à un actif rapportant un dividende continu égal au taux d’intérêt étranger.

À partir de ce point de départ, et en appliquant le traditionnel argument d’arbitrage et

la technique élaborée par Black, Scholes et Merton consistant à former un portefeuille sans

risque par la combinaison de l’option et de l’actif sous -jacent, il est difficile d’obtenir une

solution analytique donnant la valeur d’un call européen sur devise.

3

1- Les hypothèses du modèle de Garman et Kohlhagen

Garman et Kohlhagen font 5 hypothèses pour demeurer dans le cadre du modèle de Black,

Scholes et Merton:

1. Les variations du taux de change évoluent de manière continue sans connaître de sauts

brutaux.

2. L’échange sur le marché est lui aussi continu et les transactions ont lieu sans interruption.

3. Le taux de rendement instantané du taux de change est régi par l’équation suivante:

Avec:

– S: le taux de change défini comme étant la valeur d’une unité de devise étrangère en

monnaie locale.

– ds: le taux de rendement instantané du taux de change.

– µ: l’espérance, supposée constante, de taux de rendement instantané du taux de change.

– σ: l’écart -type, supposé constant, de la variation non anticipée du taux de change par

unité du temps.

– dz: un processus de wiener standard, suivant une loi normale, d’éspérance et variance.

4. Les taux d’intérêt sans risque instantanés, domestique et étranger, notés respectivement rd

et rf sont supposés constants dans le temps. Autrement dit, la structure à terme des taux

d’intérêt est supposée plate dans les deux pays, ce qui signifie que les taux d’intérêt sont

identiques quelle que soit l’échéance.

5. Le marché des changes est parfait: il n’y a pas de coûts de transaction souvent inclus, par

exemple, dans les prix offert et demandé, ni aucune sorte d’impôts ou taxe. Il n’y a pas non

plus de restrictions sur les ventes à découvert. On peut considérer que la formule donnée par

le modèle est une valeur théorique médiane, comprise entre le prix offert et le prix demandé,

alors que le prix de marché inclut, lui, des couts de transaction et peut changer en fonction

d’autres paramètre qui ne sont pas pris en compte par le modèle, comme le volume des

transactions.

4

2- L’évaluation d’une option d’achat européenne sur devise :

Sous les hypothèses précédentes et en utilisant la technique de couverture delta neutre,

Garman et Kohlhagen montrent qu’il est possible de couvrir parfaitement la vente d’une

option d’achat sur la devise étrangère par l’achat d’une certaine quantité d’obligations d’Etats

étrangères ayant comme taux d’intérêt.

Les lecteurs familiers avec le modèle de Black, Scholeset Merton reconnaîtront que

cette quantité est égale au ratio de couverture de l’option d’achat, appelé le delta de l’option.

La composition du portefeuille ainsi formé doit être modifiée en continu jusqu’à

l’échéance afin qu’il reste parfaitement couvert, c’est -à-dire sans risque. À tout instant, son

rendement instantané est alors égal au taux d’intérêt sans risque domestique . L’obligation

pour le portefeuille d’être parfaitement couvert est appelée la condition d’absence

d’opportunité d’arbitrage.

Garman et Kohlhagen déduisent de cette condition l’équation aux dérivées partielles qui

donne la valeur d’un call européen sur devise étrangère:

– C, la valeur de l’option d’achat,

– , la dérivée seconde de C par rapport à S (le taux de change),

– , la dérivée première de C par rapport à S par rapport à t (le temps),

– , la dérivée première de C par rapport à S,

– σ , la volatilité du taux de change.

Avec la condition aux bornes que doit vérifier le call européen à l’échéance (noté T),

condition en vertu de la quelle la valeur de l’option d’achat à l’échéance est égale à:

5

CT=max [ST- X ; 0]

Où:

– ST, la valeur du taux de change à l’échéance,

– X, le prix d’exercice.

La solution de l’équation aux dérivées partielles est une solution analytique qui ressemble à

celle du modèle de Black, Scholes et Merton et qui s’écrit:

Avec:

– Ct, la valeur, à l’instant t, d’un call européen sur devise étrangère payant un taux

d’intérêt rf ,

– S t, la valeur de la devise au moment, t, de la cotation de l’option d’achat,

– X, le prix d’exercice de l’option d’achat,

– τ, la période de temps calculée en années (ou fraction d’année) séparant l’instant de la

cotation t et l’échéance T de l’option d’achat (τ est donc égal à T-t),

– rd, le taux d’intérêt domestique,

– N(.), la fonction de répartition de la loi normale standard N (0,1), c’est -à-dire la

surface sous la courbe de la loi normale et à gauche du point considéré.

La formule de l’équation donnant la valeur de l’option d’achat sur devise révèle que

par rapport au modèle initial de Black, Scholes et Merton, où l’actif sous -jacent (l’action)

distribue un dividende continu un taux , le sous-jacent (la devise) distribue ici un

dividende continu (un intérêt) au taux . Il suffit donc de remplacer dans le modèle de

Garman-Kohlhagen le modèle du Black, scholes et Merton par .

6

3- Comment utiliser le modèle de Garman et Kohlhagen pour évaluer un call

européen sur devise?

Pour évaluer correctement un call européen sur devise, il est indispensable de bien

identifier ce qui est étranger de ce qui est domestique au niveau des devises et des taux

d’intérêt. Il ne faut jamais perdre de vue la devise sous-jacente à l’option dont on veut calculer

la valeur. Est- ce un call sur l’euro ou un call sur le dollar? Pour éviter de erreurs courantes

dans ce genre d’exercice, il faut revenir à la définition du taux de change.(la valeur d’une

unité de devise étrangère exprimée en monnaie locale).

Exemple : L’évaluation à New York d’un call sur l’euro par rapport au dollar

Nous situant à New York dans le cadre d’une cotation à l’incertain, l’euro est considéré

comme la devise étrangère et le dollar comme la monnaie locale.

Supposons qu’au moment de calcule de la valeur de l’option d’achat, nous ayons les valeurs

suivantes:

– Le taux de change de l’euro par rapport au dollar, noté , est: 1EUR = USD

0.9513, ou 1EUR=95.13 cents. Si le taux de change est exprimé en dollar (respectivement en

cent), la valeur de l’option d’achat est elle aussi exprimée en dollar (respectivement en cent);

– , le taux d’intérêt (étranger) à 3 mois sur l’euro, est égal à 4%,

– , le taux d’intérêt (domestique) à 3 mois sur le dollar, est égal à 6%;

– τ, l’échéance de l’option, est e 3 mois (on suppose que t=0, et donc que τ =T). En

nombre d’années, τ=90/365=0.246;

– X, le prix d’exercice, est égal à USD 0.98 ou 98 cents par euro;

– σ, la volatilité annualisée (par an) de l’euro par rapport au dollar est égale à 10%.

En appliquant la formule:

7

Avec

La valeur d’une option d’achat donnant le droit, et non l’obligation, d’acheter un euro à

98cents (le prix d’exercice) dans 3 mois (l’échéance) est égale à 0.9354 cent.

4- L’évaluation d’un put européen sur devise :

Deux méthodes permettent d’évaluer une option de vente sur devise par le modèle de

Garman-Kohlhagen. La première, et la plus immédiate, découle de la relation spécifique aux

options sur devises qui s’établit entre le call et le put; à savoir qu’une option de vente sur euro

par rapport au dollar est également une option d’achat sur le dollar par rapport à l’euro. La

deuxième méthode découle d’une relation générale entre l’option d’achat et l’option de vente

européennes qui est toujours vérifiée quel que soit l’actif sous -jacent. Cette relation est

connue sous le nom de parité call-put.

4-1- Première méthode: put (euro, dollar) =call (dollar, euro)

L’utilisation de cette méthode a un double avantage. Le premier est de pouvoir

appliquer directement le modèle de Garman et kohlhagen qui a été utilisé pour évaluer un call

sur devise. En effet, un put sur l’euro par rapport au dollar est le droit, et non l’obligation, de

vendre l’euro et d’acheter le dollar. C’est exactement le droit, et non l’obligation, d’acheter le

dollar et de vendre l’euro; c’est -à-dire un call sur le dollar par rapport à l’euro. Le deuxième

avantage réside dans les vertus pédagogiques de cette méthode. En effet, le passage du call au

put et l’application du modèle de Garman et Kohlhagen sur le call nécessitent beaucoup de

précautions qui permettent au lecteur de bien comprendre les options sur devise. Pour illustrer

ces propos, nous allons prendre l’exemple suivant.

Supposons que l’on veuille évaluer à New York une option de vente (euro/dollar) qui a les

caractéristiques de l’exemple précédent, c’est-à-dire:

– , le taux de change est égal à: 1EUR=USD 0.9513;

– , le taux d’intérêt (étranger) à 3 mois sur l’euro, est égal à 4%,

8

– , le taux d’intérêt (domestique) à 3 mois sur le dollar, est égal à 6%;

– τ, l’échéance de l’option, est e 3 mois (on suppose que t=0, et donc que τ =T). En

nombre d’années, τ=90/365=0.246;

– X, le prix d’exercice, est égal à USD 0.98 ou 98 cents par euro;

– σ, la volatilité annualisée (par an) de l’euro par rapport au dollar est égale à 10%.

Pour appliquer la formule de Garman-Kohlhagen, il faut prendre des précautions dans la

spécification et l’identification de:

• L’actif sous -jacent (la devise) sur lequel on évalue l’option;

• L’unité de mesure (dollar ou euro) du taux de change, du prix d’exercice et de

l’option;

• La valeur du prix d’exercice;

• Des taux d’intérêt domestique et étranger.

Ici, le put (euro, X dollar) donne le droit, et non l’obligation, de vendre 1 euro pour X dollar

(USD 0.98). C’est exactement le droit, et non l’obligation, d’acheter X dollar et de vendre 1

euro, ou encore un droit d’ acheter 1 dollar pour 1/X euro. C ’est-à-dire X call (dollar, euro)

pour un prix d’exercice 1/X. on en déduit alors l’identité suivante:

1 put (euro, X dollar) = 1 call (X dollar, euro) = X call (dollar, 1/X euro)

L’exercice revient alors à calculer la valeur du call (dollar, 1/X euro), c’ est-à-dire le droit

d’acheter 1 dollar à 1/X euro.

Pour ce faire, rappelons que, pour le calcul du call précédent, la notation call (euro, dollar)

signifie que la devise sous- jacente est l’euro, c’est -à-dire la devise étrangère. Donc le taux de

change S (l a valeur de 1 euro), le prix d’exercice et la valeur du call sont en monnaie

domestique, qui est alors le dollar. Ici, par contre, la notation call (dollar, 1/X euro) signifie

que la devise étrangère est le dollar.

9

Par conséquent:

– Le taux de change devient S’EUR/USD=1/S=1/0.9513, c’est -à-dire USD 1 = 1.0512

EUR;

– ’, le taux d’intérêt (étranger) à 3 mois sur le dollar est égal à 6%;

– ’, le taux d’intérêt (domestique) à 3 mois sur l’euro est égal à 4%;

– τ, l’échéance de l’option, est de 3 mois (on suppose que t=0, et donc que τ=T). En

nombre d’années, τ=90/365=0.246;

– X’, le prix d’exercice, est égal à 1/X = 1/0.98 euro = 1.0204 euro par dollar;

– σ', la volatilité annualisée (par an) du dollar par rapport à l’euro, est la même que la

volatilité de l’euro par rapport au dollar. Donc σ’=σ=10%;

– La valeur du call (dollar, 1/X) sera donnée en euro; pour la convertir en dollar qui est

l’unité de mesure du put (euro, X dollar), il suffit de la multiplier par S.

Après ces précisions, nous pouvons appliquer la formule déjà vue en haut comme suit:

Cette dernière équation nous donne la valeur en euro d’un call (dollar, 1/X euro), notée ,

Avec:

Un simple calcul nous révèle que:

d’1= -d2 d’2= -d1

Par ailleurs, la conversion en dollar de la valeur du call donnée par l’équ ation [9] nous donne

l’équation suivante:

10

Enfin, la valeur en dollar du put (euro, X dollar), notée Pt, est égale à:

C’est la formule donnant la valeur d’un put (euro, dollar) européen, c’est -à-dire le

droit de vendre un euro pour un prix d’exercice égal à X dollar (0.98 dollar), à une échéance

expirant dans 3 mois, ou τ années (= 0.246). S étant le taux de change, la valeur d’un euro en

dollar (1 EUR = USD 0.9513), au moment de la cotation du put. Les taux d’intérêt

domestique (sur le dollar) et étranger (sur l’euro) sont respectivement r d’ (4%) et r f’ (6%).

Pour les valeurs indiquées entre parenthèses, et pour une même volatilité σ (10%), la valeur

du put Pt telle que calculée à l’aide de l’équation en haut est égale à 3.3010 cents américains.

Le lecteur peut vérifier l’exactitude de cette valeur en la calculant à l’aide de la formule déjà

vue où P t=XSC’t=0.98.0.951.0.0354 = 0.033 dollar =3.30 cents. La valeur 0.0354 étant celle

calculée précédemment pour évaluer un call sur le dollar.

4-2- Deuxième méthode : la parité call-put

La parité call-put est une relation dérivée de l’approche développée par Black, Scholes

et Merton qui lie une option d’achat et une option de vente sur la même devise sur la même

devise sous- jacente, ayant le même prix d’exercice et la même échéance, selon l’équation

suivante:

Si l’on remplace Ct par sa valeur telle qu’exprimée par l’équation du modèle de Garman et

kohlhagen, on obtient:

Ceci n’est autre que la formule donnée par la première approche

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II- Les indicateurs de gestion d’une position d’options sur devise :

Le modèle de Garman et Kohlhagen permet de calculer, à partir des formules :

(1) Ct =St

N(d1)-X

N(d2) (2) Pt= XSC’t=X

N(-d2) - S

N(-d1).

Les valeurs de plusieurs paramètres qui sont des indicateurs de risque d’une position d’options sur devises.ces paramètres, appelés les « lettres grecques », sont suivis en permanence, comme un tableau de bord, par les négociateurs d’options et les teneurs de marché, pour la gestion dynamique de leurs postions.il s’agit esse ntiellement du Delta, Gamma, Thêta, Véga, et Rhô.

1- Le delta :

Le delta d’une option indique la variation de la valeur de cette option induite par de

faibles fluctuations du cours de la devise sous-jacente.

Pour une option d’achat, d’après la formule (1) :

= =

N(d1) =

dx

Le delta d’une option d’achat est positif. Cela veut dire qu’une hausse du cours de la devise sous jacente implique une hausse de la valeur de l’option. Ce résultat est intuitif, vu qu’une option donne le droit, en payant la prime, d’acheter la devise sous -jacente à un prix fixé qui est le prix d’exercice. Donc si le cours de la devise augmente, il est naturel de payer plus cher le droit de l’acheter au même prix fixé.

Pour une option de vente, d’après la formule (2),

p=

= -

N(-d1)= -

dx.

Le delta d’une option de vente est négatif. Cela veut dire qu’une hausse du cours de la

devise sous-jacente implique une baisse de la valeur de l’option. Là également, ce résultat est intuitif, vu qu’une option de vente donne le droit, en payant la prime, de vendre la devise sous-jacente à un prix fixé, qui est le prix d’exercice. Donc si le cours de la devise augmente, la prime, c’est-à-dire le prix du droit de la vendre au même prix fixé, doit baisser.

Pour un portefeuille d’options, le delta global est égale à :

=

=

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Avec :

ni, la qualité d’options achetées (ni positif) et vendues (ni négative) dans le portefeuille,

Vi, la valeur de l’option i, call ou put,

, le delta de l’option i,

V, la valeur totale du portefeuille, égale à .

Selon les anticipations du gestionnaire, les quantités n i achetées ou vendues sont ajustées pour obtenir un delta neutre, un delta positif ou un delta négatif.

Le delta est neutre ( ) lorsque le gestionnaire cherche à protéger la valeur de sa

position contre les variations du cours de la devise sous-jacente. Très souvent, les teneurs de marché (market makers) essayent d’avoir un delta global neutre à la clôture de la journée de bourse.

Le delta est positif ( lorsque le gestionnaire anticipe une hausse de la devise sous-jacente.

Le delta est négatif ( lorsque le gestionnaire anticipe une baisse de la devise sous-jacente.

Ce sont les market makers « directionnels » qui orientent, en fonction de leurs anticipations, le delta de manière à ce qu’il prenne une valeur positive ou négative. Les opérateurs qui

souhaitent avoir un delta neutre. Cependant, le delta variant lui-même en fonction du cours de la devise sous-jacente, les gestionnaires de portefeuilles d’options utilisent un autre paramètre

appelé le Gamma.

2- Le Gamma :

Le Gamma mesure la convexité de la courbe représentative de la valeur de la position V (qu’il s’agisse d’une option individuelle ou d’un portefeuille d’options) par rapport au prix

de la devise sous-jacente.il renseigne le gestionnaire de la position sur l’évolution du delta en

fonction de la variation du cours de la devise sous-jacente. Par défin ition, le gamma d’une

option Vi est :

=

=

En appliquant cette définition aux équations (1) et (2), nous constatons que les gamma de l’option d’achat et de vente sont égaux et positifs :

=

=

=

*

13

=

=

=

*

Le gamma de la position globale V est égale à la somme des gammas individuels multipliés par les quantités d’options ni :

= =

=

=

Si un teneur de marché (ou n’importe quel autre opérateur détenant des options) vise à avoir un delta neutre sur sa position, il doit ajuster à tout instant la quantité n i d’options achetées et

vendues. Il doit, ce faisant, et simultanément, choisir une position en gamma qui est neutre, positive ou négative :

- Lorsque le gamma est neutre ( , le delta est insensible aux variations du cours de la devise sous-jacente. En conséquence, la courbe représentant la variation de la valeur V de la position globale est plate : le portefeuille est ainsi immunisé contre les fluctuations du cours de la devise sous-jacente. - Lorsque le gamma est positif ( , les fluctuations du cours de la devise sous-jacente valorisent le delta et donc le portefeuille. La courbe représentant la variation de la valeur du portefeuille est alors convexe. - Lorsque le gamma est négative ( , le teneur de marché perd de l’argent à

chaque variation du cours de la devise sous-jacente. La courbe représentant la variation de la position globale est alors concave.

Toutes choses égales par ailleurs, la valeur d’un portefeuille d’options évolue en fonction du temps. L’indicateur utilisé pour mesurer cette sensibilité est le thêta.

3- Le thêta :

Le thêta mesure la variation de la valeur d’une option par rapport à la durée de vie de cette option. Par définition, le thêta d’une option Vi est égal à :

=

Pour une option d’achat, le thêta est égal à :

=

= - rf S N(d1)+ rd X

N(d2)+

S

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Pour une option de vente, le thêta est égal à :

=

= rf S N(- d1) - rd X

N(- d2)+

S

Le thêta d’une option d’achat (option de vente) est la somme de trois composantes. La

première est négative (positive).la deuxième est positive (négative). Elle reflète qu’avec l’augmentation de la durée de vie de l’option, le décaissement (l’encaissement) du prix d’exercice est reporté, augmentant (réduisant) ainsi la valeur de l’option d’achat ( option de vente). La troisième composante est la plus importante. Sa valeur est positive et identique pour l’option d’achat et l’option de vente. Elle correspond à la valeur temps de l’option . Elle augmente avec l’échéance et signifie qu’un teneur de marché acheteur (vendeur) d’options à

courte échéance, qui sont de loin les plus liquides sur le marché, perd ( gagne) de l’argent au

fur et à mesure que cette échéance approche, toutes choses étant au fur et à mesure que cette échéance approche, toutes choses étant égales par ailleurs.

Le thêta de la position globale V s’écrit :

=

4- Le Véga :

Le Véga mesure la sensibilité du prix de l’option à la variation de la volatilité , de la

devise sous-jacente. Le Véga mesure le gain ou la perte de la position induit(e) par une hausse de 1% de la volatilité.par définition, le Véga d’une option V i s’écrit :

Véga i =

A partir des formules (1) et (2), le calcul montre que les Véga de l’option d’achat et de l’option de vente sont égaux et positifs :

Véga c = = S

Véga p =

= S

Ces équations établissent que la valeur de l’option varie avec la volatilité. Cela confirme l’intuition qu’une augmentation de la volatilité d’une devise accroît la probabilité que le call et le put finissent dans la monnaie et que se produise une hausse importante des cours dans le cas d’une option d’achat ou une baisse importante dans le cas d’une option de vente.

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Pour une position globale d’options, le Véga s’écrit :

Véga G= =

Un teneur de marché acheteur d’options ayant une position longue et un Véga positif (la valeur d’une option augmente avec la volatilité) gagne (perd) de l’argent lorsque la volatilité

augmente (diminue), toutes choses étant égales par ailleurs.

Le dernier indicateur est particulièrement important pour les options sur devises. Il mesure, en effet, le risque lié aux variations des taux d’intérêt domestique et étranger. Il s’agit du rhô.

5- Le rhô :

Cet indicateur renseigne le gestionnaire d’un portefeuille d’options sur le montant gagné ou perdu par la position qu’il détient pour une hausse ou une baisse de 1% des taux

d’intérêt domestique rd et étranger rf. Par définition, le rhô est la dérivée de la valeur de l’option par rapport au taux d’intérêt :

=

Le cas des options sur devises requiert le calcul pour chaque option, d’achat ou de vente, de

deux rhô : le premier, noté d, mesure le risque par rapport au taux d’intérêt domestique ; le second, noté f, mesure le risque par rapport au taux d’intérêt étranger. Les calculs des

dérivées des fonctions call et put par rapport à rd et rf donnent les valeurs suivantes :

=

= X

N (d2)

=

= - X N (-d2)

=

= - S

N (d1)

=

= S

N (-d1)

Ces équations montrent que la valeur d’une option d’achat (option de vente) augmente (baisse) avec le taux d’intérêt domestique du fait de la baisse de la valeur actuelle du prix d’exercice à décaisser (à encaisser). A l’inverse, la valeur de l’option d’achat (option de vente) décroît (croît) avec le taux d’intérêt étranger. En effet, en vertu de la parité des taux d’intérêt, la probabilité d’une dépréciati on du cours de la devise sous-jacente augmente lorsque le taux d’intérêt, étranger s’accroît. En conséquence, pour un prix d’exercice fixé, la valeur du droit d’acheter (de vendre) une devise qui va se déprécier doit baisser (augmenter).

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Il est également p ossible de calculer un rhô global mesurant le risque d’ un portefeuille d’options par rapport au taux d’intérêt domestique ou par rapport au taux d’intérêt étranger :

=

= =

Pour conclure, nous allons reprendre l’exemple chiffré précédemment développé et calculer la valeur des différents indicateurs de risque pour les deux types d’option .

Les valeurs des différentes variables permettant de calculer les primes d’une option de vente

sont les suivantes :

SEUR/USD, le taux de change : 1 EUR= 0,9513USD ;

X, le prix d’exercice : 0,98USD,

rd, le taux d’intérêt domestique : 6%,

rf, le taux intérêt étranger : 4%,

, la volatilité l’euro : 10%,

, l’échéance : 0,246 année (3 mois).

A partir de ces données, le modèle de Garman et Kohlhagen établit que les primes de l’option d’achat et de l’option de vente ressortent respectivement à 0,9354 cent et 3,3010

cents.

Les valeurs des cinq paramètres de risque relatifs aux options d’achat et aux options de vente

sont reproduites au tableau suivant :

Tableau : Valeurs des indicateurs de risque par type d’option*

Call : C=0,9354 cent Put : P= 3,3010

Delta = 0,3124

Thêta : = -3,9254

Gamma : =0,0748

Véga = 0,1665

Rhô d:

= 0,0712

Rhô f: = -0,0735

Delta = -0,6760

Thêta : = -1,8995

Gamma : =0,0748

Véga = 0,1665

Rhô d:

= -0,1663

Rhô f: = 0,1581

(*) Pour le calcul de ces valeurs, nous avons pris comme unité le cent (0,01 dollar). Si l’on choisit le dollar, toutes ces valeurs sont multipliées par 0,01 à l’exception du Gamma qui est

multiplié par 100.

17

III- L’estimation de la volatilité des taux de changes :

La volatilité est la variable déterminante pour évaluer des options. En pratique, les

teneurs de marché cotent leur prix en termes de volatilité. En effet, pour évaluer une option

avec le modèle de GARMAN et KOHLHAGEN, toutes les variables au moment de la

cotation sont observables (S t , X, r d, rf et ) sauf la volatilité qu’il faut estimer. Pour ce faire

plusieurs méthodes sont utilisées. Nous allons présenter les trois les plus connues chez les

praticiens. Il s’agit de la volatilité historique, de la volatilité implicite et de la volatilité Garch.

1- La volatilité historique :

La volatilité historique est l’écart -type des rendements quotidiens passés de l’actif

sous-jacent de l’option. La démarche retenue pour estimer la volatilité historique d’une devise

(l’euro par rapport au dollar comme exemple) sous-jacente à une option d’achat comprend six

étapes :

— Déterminer le point de départ du processus en fixant la date, notée t 0 , de l’évaluation

de l’option d’achat sur l’euro ;

— Retenir les cours de clôture quotidiens passés de l’euro par rapport au dollar , notés S t,

et ce pour la plus longue période possible, un an en général ce qui correspond à 250

jours ouvrables pendant lesquelles les marchés de changes sont actifs.

— Former les rendements continus quotidiens Rt = log (St/St-1) ;

— Calculer la variance des rendements grâce à la formule suivante :

Var h =

t - )2 avec

T, nombre des rendements R t ,

µ, la moyenne des rendements sur la période retenue,

=

t

— Déterminer l’écart -type, noté h des rendements quotidiens en calculant la racine

carrée de la variance :

h = h

— Evaluer enfin la volatilité historique, notée h, comme étant l’écart -type h annualisé,

c’est-à-dire : h = h

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h est un écart-type des rendements quotidiens ; pour l’annualiser, il faut le multiplier par la

racine carrée du nombre de rendement quotidiens observés dans l’années.

h fournit la volatilité utilisée dans le modèle de G.K pour évaluer les options des devises ou

dans le modèle de Black, Sholes et Merton pour la valeur des actions.

La principale faiblesse de cet estimateur demeure l’hypothèse, rejetée empiriquement, de sa

constance dans le temps. Pour évaluer une option, il faut estimer la volatilité future, et non

passée, de l’actif sous -jacent. La cohérence de cette méthode est fondée sur l’hypothèse de la

constance de la volatilité dans le temps.si tel est le cas, on peut supposer que la volatilité

passée est un bon estimateur sans biais de la volatilité future. Mais, en réalité et sur les

marchés de change, la volatilité est une variable stochastique. Afin de remédier à l’irréalisme

de l’hypothèse de la constance de la volatilité, les chercheurs ont proposé deux autres

méthodes à savoir celle de la volatilité implicite et celle de la volatilité Grach.

2- La volatilité implicite

La méthode ISD (Implied Standard Deviation) consiste à extraire la valeur de la

volatilité à partir du prix coté et observé de l’option. Cette méthode revient à résoudre en ,

l’inconnue, l’équation suivante :

Valeur i = Prix ( )i

Avec : Valeur i , la valeur théorique de l’option i (call ou put) qui va être calculée par le

modèle,

Prix ( )i , le prix coté et observé sur le marché de l’option i.

Afin de résoudre cette équation on procède par des approximations successives ou

tâtonnement, comme dans le cas de détermination du taux interne de rendement pour un projet

d’investissement.

La méthode consiste à introduire dans le modèle de GARMAN et KOHLHAGEN

différentes valeurs de la volatilité afin d’approcher au plus prés le prix observé de l’option.

Pour saisir cette méthode de rapprochement on procède par un exemple :

Soient les données suivantes :

SEUR/USD , le taux de change : 1 EUR = USD 0.9513

X, le prix d’exercice : USD 0.98

rd , le taux d’intérêt domestique : 6 %

rf , le taux d’intérêt étranger : 4 %

, la volatilité de l’euro : 10 %

l’échéance : 0.246 année = 90/365 ( 3 mois).

19

Supposons que les prix cotés des options de vente et d’achat sont respectivement C = USD

0.01 et P = USD 0.03.

la volatilité implicite est calculée au tableau suivant :

Prix observé du call C = USD 0.01 Prix observé du put P = USD 0.03

Valeur de injectée

dans le modèle

Valeur du call

donnée par le

modèle

Valeur de injectée

dans le modèle

Valeur du put

donnée par le

modèle

80%

1%

6.7%

10.3%

10.39%

0.1385

-0.000

0.0042

0.0099

0.01

80%

1%

4.61%

7.99%

8.13%

0.1621

0.0237

0.0252

0.0298

0.03

ISD c = 10.39% ISD p = 8.14%

On remarque que pour les même caractéristiques (S t , X, r d, rf et , la volatilité implicite de

l’option d’achat est de ISD c = 10.39% et que celle de l’option de vente est de ISD p = 8.14%.

Dans la pratique, étant donné que chaque option a sa propre volatilité implicite, les teneurs

des marchés utilisent une volatilité moyenne déterminée comme suit :

ISD m =

Avec : ISD i , la volatilité implicite de l’option i ;

ωi , le poids de l’option i, évalué par exemple par le nombre de contrats négociés.

Généralement, les teneurs du marché retiennent les options les plus liquides, se sont en

général, les options à court terme.

Après avoir calculé la volatilité implicite moyenne suivant la formule ci-dessus et à partir des

transactions de la veille ou de la première heure d’ouverture, les teneurs du marché utilise

cette volatilité implicite comme input dans le modèle de GARMAN et KOHLHAGEN pour

évaluer ses options.

Empiriquement, les chercheurs ont constaté une sur-réaction aux nouvelles des options de

vente par rapport aux options d’achat et par conséquent, un biais au niveau de la volatilité

implicite à considérée. Cela traduit la réaction asymétrique (non linéaire) à la baisse ou à la

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hausse du marché. Cette non-linéarité des marchés a suscité un impressionnant

développement de techniques non linéaires pour expliquer et prévoir l’évolution du marché.

Parmi ces techniques, les méthodes Garch ont connu un succès.

3- la volatilité Garch

Les résultats empiriques concernant la distribution des rendements des taux de change

montrent une certaine persistance dans l’ampleur des variations, à la hausse ou à la baisse. Ce

phénomène se traduit statistiquement par des rendements dits corrélés et leptokurtiques

(contrairement à ce qui caractérise la loi normale, la distribution des rendements à des queues

épaisses).

Parmi les méthodes utilisées pour analyser ce phénomène les méthodes Garch ( General

Autoregressive Conditional Heteroskedasticity).

Le modèle Garch est souvent présenté sous la forme suivante :

Rt = µt + εt

Vt = a0 + a1ε2

t-1 + a2Vt-1

Avec, R t = log(St/St-1), le rendement du taux de change;

µt , la moyenne des rendements ;

εt , une surprise (choc) par rapport à la moyenne ;

Vt , la variance conditionnelle à l’ensemble de l’information disponible à l’instant t-1.

L’équation ci -dessus est une modélisation de la composante prévisible de la volatilité. Elle est

fonction de l’innovation (choc) passée , avec une ampleur mesurée par le paramètre a 1 et

de la volatilité passée Vt-1 avec une persistance mesurée par a2.

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Conclusion :

L’évaluation des options sur devises permet de déterminer le prix ou la prime à payer afin

d’avoir un droit, et non l’obligation d’acheter ou de vendre une devise à un taux de change (prix de

l’exercice) et à une échéance prédéterminés.

L’utilisation de modèle de G.K pour l’évaluation des options sur devises, qui n’est rien d’autre

qu’une inspiration de modèle de S.B.M utilisé pour l’évaluation des actions, reste un outil

indispensable utilisé par les teneurs des marchés financiers afin de déterminer leurs positions. Mais la

pertinence et la fiabilité du modèle est attributaire au respect des hypothèses de base.

Le modèle de G.K permet, aux praticiens par le biais d’un certains nombres de paramètres, de

suivre en permanence leurs positions prises sur devises en leur assurant une gestion dynamique de

risque encouru.

Vu les caractéristiques des marchés financiers en général et ceux des devises en particulier. Le

respect des hypothèses du modèle G.K, relatives à la continuité des variations des taux de changes, à

la constance des taux d’intérêts domestique et étranger, à la volatilité et à l’absence des coûts de

transactions, ressort de l’idéalisme. Afin de pallier aux problèmes liés au respect des hypothèses

d’autres modèles plus sophistiqués se sont apparus.

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Bibliographie :

S. MANNAI, Y.SIMON et, (2003), Techniques financières

internationales, édition ECONOMICA