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Automne/Autumn 2009 | Volume 15 – No 2 | Le Centre de recherches mathématiques

The Fall 2010 CRM Thematic Semester

Geometric, Combinatorial and ComputationalGroup Theory

by Olga Kharlampovich and Nicholas Touikan (McGill University)

In the Fall of 2010 a CRM Thematic Semester will be devoted togeometric, combinatorial and computational group theory. Theorganizers of this semester are Olga Kharlampovich (McGill),Alexei Miasnikov (McGill), Benson Farb (Chicago), Luis Ribes(Carleton), Mark Sapir (Vanderbilt), and Efim Zelmanov (UCSan Diego).

The study of infinite discrete groups from an intrinsic view-point has been a very fruitful pursuit. A discrete group can bepresented in terms of generators and relations, and thus iden-tified to a collection of words with a concatenation operationand rewriting rules. Techniques such as free constructions andsmall cancellation theory use geometry to describe and con-trol the ways in which cancellation can occur and have enabledus to construct instances of groups with surprising properties(underlining the richness of the theory) such as Tarski mon-sters, or a finitely presented group in which every recursivelypresentable group embeds. These techniques are still evolv-ing and have, for example, recently yielded deep results aboutfiniteness and separability properties for groups.

Also, by using the word metric, we can turn a finitely generatedgroup into a metric space. Although this may seem somewhattrivial, since the 1980’s this approach has proved itself time andtime again to be very powerful and serves as the starting pointfor the exciting field of geometric group theory, where largescale metric conditions such as Gromov hyperbolicity give usextremely useful and definitive algebraic, dynamical, and algo-rithmic properties, and where asymptotic constructions enableus to pass from discrete spaces to continua whose large-scaletopological properties reveal deep algebraic and structural in-formation about the original groups.

Algorithmic problems also arise naturally over groups: givinga group a recursive presentation automatically turns it into analgorithmic object. On one hand, group theory is rich enoughto encode any algorithmic problem. On the other hand, consid-ering algorithmic problems over groups means looking at theinfinite set of inputs as a highly structured and homogeneousobject equipped with a rich geometry. This viewpoint has

allowed us to prove algorithmic complexity results rigorouslyand to get upper and lower bounds on running times that holduniformly on large (i.e. generic) sets of inputs.

The Thematic Semester will be devoted to developments ingroup theory and will focus on geometric, algorithmic, andasymptotic questions and practical applications, especiallycryptography. The semester will bring together people fromvarious branches of group theory and computer science, towork on some of the many open questions in the field (now

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being studied from fresh and promising perspectives) andto strengthen the connections between this field and otherbranches of mathematics. The Thematic Semester will in-clude five workshops covering related themes, as well as mini-courses, lectures by the Aisenstadt Chairs Yuri Gurevich (Mi-crosoft Research), Angus MacIntyre (Queen Mary College,University of London), and Alexander Razborov (Chicago),and Lectures at the Leading Edge by Alex Lubotzky (Hebrew Uni-versity) and Efim Zelmanov.

The first workshop will take place on August 15–19, 2010,and is entitled Geometric, Asymptotic, Combinatorial GroupTheory with Applications (GAGTA). It will be organizedby Olga Kharlampovich, Mark Sapir (Vanderbilt), NicholasTouikan, and Enric Ventura (Universitat Politècnica deCatalunya) and devoted to the study of a variety of topics in ge-ometric and asymptotic group theory, with special emphasis onstatistical methods and their applications (in theoretical cryp-tography). The organizers plan to gather leading specialistsin various aspects of geometric, asymptotic, and algorithmicgroup theory. More specifically, these aspects include quasi-isometries, isoperimetric functions, growth, asymptotic invari-ants, random walks, algorithmic problems, etc. This conferencewill be the fourth in a series of GAGTA conferences. The pre-vious ones were held in Manresa (Spain) in 2006, Dortmund(Germany) in 2007, and New York (USA) in 2008.

The GAGTA workshop will also concentrate on some new as-pects of solvable groups. For a long time, algorithmic re-sults on solvable groups were the real pearls of combinato-rial group theory, revealing remarkable relations between thisfield and computational commutative algebra and number the-ory. It seems fitting to look again at the general classes ofsolvable groups, but this time from asymptotic, geometric,and computational perspectives. The Lectures at the LeadingEdge (by Alex Lubotzky and Efim Zelmanov, respectively) andtwo mini-courses will be associated to the GAGTA workshop.The first course, on asymptotic cones, will be given by DenisOsin (CUNY) and Mark Sapir, and the second one, on quasi-isometric rigidity, by Alex Eskin (Chicago).

The second workshop will take place on August 23–27, 2010,and is entitled Topics in Algorithmic and Geometric Groupand Semigroup Theory. It will be organized by Olga Khar-lampovich, Robert Gilman (Stevens Institute of Technology),Alexei Miasnikov, Benjamin Steinberg (Carleton) and NicholasTouikan. As it has grown over the past 20 years, geomet-ric group theory has developed many different facets, includ-ing perspectives from geometry, topology, analysis, and logic.The new, more geometric, perspectives have enabled rapidprogress on many of these fronts. A tremendous solidificationof previously disparate results has also occurred.

In algorithmic group theory, in recent years, more and more in-terconnections between computer science and classical groupand semigroup theory have been discovered. Automata the-ory has motivated the definition of new classes of groups, for

instance, automaton groups and automatic groups. Techniquesfrom rewriting theory, data compression, and automata the-ory are used to solve more efficiently word problems and othercomputational problems in (semi)group theory. The programof this workshop will capitalize on the recent surge of activityin both areas. Sergei Matveev (Cheljabinsk State University)will give a mini-course on algorithmic topology, and BenjaminSteinberg and Denis Serbin (Geneva) a mini-course on mem-bership problems in groups.

The third workshop will take place between August 30 andSeptember 3, 2010, and is entitled Complexity and Group-based Cryptography. It will be organized by Robert Gilman,Alexei Miasnikov, Vladimir Shpilrain (CUNY), and AlexanderUshakov (Stevens Institute of Technology). Building a solidmathematical foundation for the use of infinite groups in cryp-tography inevitably entails operating with various asymptoticand statistical aspects of infinite groups, and this is where mod-ern group theory finds its important applications. One of thegoals of this workshop is to foster exchanges between mathe-maticians working on the theoretical end of cryptography andthe leading practitioners in government, finance and industry,so that each community can be more aware of the other’s basicassumptions and priorities.

The organizers plan to invite specialists in group and num-ber theory, computer science, and cryptography. In particu-lar, they will invite several computer scientists and cryptogra-phers whose research is focused on complexity of algorithmsand/or on cryptography based on (non-abelian) groups; theirgoal in doing so is to stimulate the exchange of ideas and meth-ods between these areas and geometric and asymptotic grouptheory. Robert Gilman and Alexei Miasnikov will give a mini-course on algorithmic group theory and Vladimir Shpilrainand Alexander Ushakov a mini-course on probability distribu-tions on infinite groups. The Aisenstadt Chairs Yuri Gurevichand Angus MacIntyre will give their Aisenstadt Chair lecturesduring this workshop.

The fourth workshop, organized by Olga Kharlampovich,Alexei Miasnikov, and Denis Serbin, will take place on Octo-ber 4–9, 2010; it is entitled Group Actions and Dynamics. Inhis seminal book, “Trees”, Serre laid down the fundamentals ofthe theory of groups acting freely on simplicial trees. In the fol-lowing decade Serre’s novel approach unified several geomet-ric, algebraic, and combinatorial methods of group theory intoa unique and powerful tool, known today as Bass–Serre theory.Topologists became interested in R-trees with the work of Mor-gan and Shalen (1985), which generalized parts of Thurston’sGeometrization Theorem. A joint effort of several researchersculminated in a description of finitely generated groups actingfreely on R-trees, which is now known as Rips’ theorem. Thekey ingredient of the theory is the so-called “Rips machine”.The idea of the Rips machine comes from Makanin’s algorithm(or elimination process) for solving equations in free groups.

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BULLETIN CRM–2

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Le prix CRM-SSC 2009

Hugh Chipman (Université Acadia)Le prix CRM-SSC est commandité conjointement par le CRM et laSociété statistique du Canada. En 2009, ce prix a été décerné à HughChipman pour des contributions exceptionnelles à l’inférence statis-tique bayésienne non paramétrique et à la régression non paramé-trique par ondelettes, pour ses extensions de techniques statistiquesbasées sur les arbres de classification et de régression et ses innova-tions en analyse discriminante et de regroupement, pour sa rechercheinterdisciplinaire en bioinformatique et en apprentissage automatiqueainsi que pour la formation d’étudiants aux cycles supérieurs.

Hugh Chipman obtint son baccalauréat en mathématiques de l’Uni-versité Acadia en 1990 et sa maîtrise et son doctorat en statistique del’Université de Waterloo (en 1991 et 1994, respectivement). Sa thèsede doctorat fut rédigée sous la direction de C. F. J. Wu et M. S. Ha-mada. Il fut ensuite nommé professeur adjoint à la Graduate Schoolof Business de l’Université de Chicago, et après un séjour de troisans à Chicago, il retourna à l’Université de Waterloo, où il passa septans comme professeur adjoint et professeur agrégé. En 2004, HughChipman obtint une Chaire de recherche du Canada de niveau 2 enmodélisation mathématique à l’Université Acadia, où il devint pro-fesseur titulaire en 2006. En 2002, il fut professeur agrégé visiteur àl’Université Stanford.

Depuis l’obtention de son doctorat il y a 15 ans, le professeur Chip-man a apporté des contributions exceptionnelles à l’application del’inférence statistique bayésienne en analyse des données. Ses travauxsur la sélection bayésienne de variables en planification d’expériences,sur le paradigme bayésien pour la régression non paramétrique parondelettes et sur une approche bayésienne pour la modélisation CART(arbres de classification et de régression) sont fondamentaux. Ses ar-ticles sont largement cités et ont un impact profond sur le développe-ment de l’analyse non paramétrique de données à l’aide de techniquesqui utilisent l’ordinateur de façon intensive. En 2006, ses travauxont été choisis pour une présentation orale complète au congrès an-nuel NIPS (Neural Information and Processing Systems).

Le développement de l’approche bayésienne selon le modèle CART estune des réalisations majeures du professeur Chipman ; il a influencé ledomaine en pleine expansion des méthodes non paramétriques bayé-siennes. En particulier, alors que le partitionnement récursif originalde l’approche CART était au départ un outil d’analyse exploratoire dedonnées, il l’a prolongé pour en faire un modèle, a développé des loisde probabilité a priori pour l’espace de tous les modèles CART et a en-suite mis en œuvre l’approche MCMC (méthode Monte-Carlo baséesur des chaînes de Markov) pour calculer la loi a posteriori. D’impor-tantes contributions suivirent, telles que la modélisation bayésiennepar arbres et les arbres de régression bayésienne adaptative, un mo-dèle bayésien d’apprentissage d’ensemble qui s’est révélé remarqua-blement puissant pour la recherche de structures de petite dimensiondans des données de grande dimension.

Louis-Paul Rivest (Université Laval)Président du comité du prix CRM-SSC

Résumé de la conférence du professeur Hugh Chipmande Mylène Bédard (Université de Montréal)

Vendredi le 16 octobre 2009eut lieu la présentation an-nuelle du lauréat du presti-gieux prix attribué conjointe-ment par le CRM et la SSC.Cette année, le professeurHugh Chipman de l’Univer-sité Acadia était l’heureux ré-cipiendaire de ce prix et pourma part, je faisais partie de

l’auditoire qui allait avoir la chance d’assister à cette présen-tation. La foule s’y est présentée nombreuse, avec une bonnesoixantaine d’auditeurs provenant de différents domaines despécialisation. Le directeur du CRM, Peter Russell, a accueillila foule en soulignant les contributions du professeur Chipmanau domaine de la statistique, ainsi qu’aux domaines connexestels la biostatistique et l’apprentissage automatique. Ceci a ou-vert la voie à une présentation sympathique, honnête, et sur-tout très intéressante du professeur Chipman. L’auditoire étaitintéressé et les interventions ont été nombreuses, garantissantune présentation des plus interactives.

Le séminaire portait sur l’apprentissage statistique avec arbres,un domaine qui a bénéficié énormément des contributions duprofesseur Chipman. Plutôt que d’expliquer les détails de cetteapproche, le professeur Chipman a donné l’idée générale sous-jacente à cette méthode et a partagé son intuition avec nous.Grosso modo, ce séminaire traitait des recherches qu’il a effec-tuées au cours des quinze dernières années.

Les arbres peuvent être utilisés en modélisation statistique,c’est-à-dire pour reproduire la distribution de laquelle pro-vient un jeu de données. Lorsqu’un seul arbre est insuffi-sant pour modéliser un jeu de données de manière efficace,il est possible d’avoir recours à plusieurs arbres ou à une fo-rêt d’arbres. La modélisation statistique par arbres peut êtrecomparée à une modélisation de régression, mais constitueune méthode plus flexible que cette dernière. Supposons quenous ayons un vecteur de n réponses y et que pour chaque va-riable réponse, nous possédions p variables explicatives déno-tées x = (x1, . . . , xp). Nous supposons également que chaquevariable réponse peut être obtenue à partir du modèle sui-vant : y = f (x) + ε, où la fonction explicative f et la distri-bution du terme d’erreur (dénoté ε) sont inconnues. Plutôt qued’utiliser la régression afin de modéliser les variables réponsesen terme des variables explicatives, il est possible de se ser-vir d’un arbre, qui est un modèle de partitionnement récursif.

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BULLETIN CRM–3

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Fall 2010(continued from page 2)

Actions on R-trees effectively cover all Archimedean actions,since every group acting freely on a Λ-tree for an Archimedeanordered abelian group Λ acts freely also on an R-tree. Thecase of non-Archimedean free actions is wide open. Bass stud-ied finitely generated groups acting freely on a (Λ ⊕ Z)-treewith respect to the lexicographic order on Λ ⊕ Z. Recently,Guirardel studied finitely generated groups acting freely on anRn-tree (with the lexicographic order). The main problem ofthe Alperin–Bass–Rips program, however, which asks for a de-scription of finitely generated groups acting freely on Λ-trees,remains largely unsolved. One of the main goals of this work-shop is to focus on the various approaches to this problem. Inparticular, the participants are going to study relations betweenthe Makanin–Razborov elimination process and symbolic dy-namics, especially the methods of interval exchange theory.

Another goal of the workshop will be to develop newly dis-covered connections between dynamical systems and the the-ory of groups acting on rooted trees. On the one hand, con-formal dynamical systems yield a rich source of such groups,which have interesting algebraic, geometric, and spectral prop-erties. On the other hand, such groups can be shown to yieldconformal dynamical systems with remarkable geometric andmeasure-theoretic regularity. This connection is established bymeans of the theory of Gromov hyperbolic spaces. During thisworkshop, Mladen Bestvina (Utah) will give a mini-course ongroups acting on R-trees, and Volodymyr Nekrashevich (TexasA&M) a mini-course on branch groups.

The last workshop, organized by Olga Kharlampovich, AlexeiMiasnikov, Ilya Kazachkov (Omsk), and Vladimir Remeslen-nikov (Omsk), is entitled Equations and First-order Propertiesin Groups and will take place on October 11–15, 2010. Solvingequations is one of the main topics in mathematics. A moregeneral and more difficult problem is to describe which formu-las of first-order logic hold in a given group. Recent works onthe Tarski’s problems (Kharlampovich, Miasnikov, Sela) haveopened a new direction of research called algebraic geometryover groups. The participants will discuss some methods andtechniques used for the solution of these problems and devel-opments in the algebraic geometry over groups, Lie Algebras,and other algebraic systems.

Another research avenue is the theory of fully residually freeand residually free groups. Finitely generated fully residuallyfree groups (limit groups) play a crucial role in the theory ofequations and first-order formulas over a free group. It is re-markable that these groups, which have been widely studiedbefore, turn out to be the basic objects in newly developingareas of algebraic geometry and model theory of free groups.

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Hugh Chipman(suite de la page 3)

La construction d’un arbre consiste à déterminer plusieursconditions portant sur les différentes variables explicatives età associer à chaque ensemble de conditions une valeur spéci-fique de la variable réponse y. Le nombre de conditions, l’ordredes conditions et les conditions elles-mêmes sont des élémentscruciaux pour la performance de la méthode. Comme pour larégression, la parcimonie est très importante dans la construc-tion d’arbres : il faut trouver un compromis entre le nombre debranchements (les interactions entre les variables explicatives)et la précision du modèle. Pour ce faire, de très grands arbressont habituellement construits et sont par la suite élagués parvalidation croisée. Lorsqu’on applique cette méthode, l’inclu-sion de toutes les variables et interactions significatives est as-surée. Dans un premier temps, une partie des données est uti-lisée pour construire les différentes branches de l’arbre ; dansun deuxième temps, le reste des données est prédit à l’aide dumodèle construit.

Les arbres peuvent constituer une option non paramétrique in-téressante dans un contexte d’inférence statistique. Le profes-seur Chipman utilise une approche bayésienne objective afinde sélectionner le modèle le plus adéquat pour un jeu de don-nées. Un arbre étant défini par sa structure (branchements,conditions, ordre des conditions) ainsi que par la valeur de cha-cun de ses noeuds terminaux (c’est-à-dire la valeur attribuée ày pour un ensemble de conditions données), une probabilité apriori est associée à chaque arbre. La probabilité a posteriori dechaque arbre, c’est-à-dire la probabilité de chaque arbre étantdonné les réponses y, est ensuite calculée. Le défi est d’iden-tifier les arbres ayant une probabilité élevée a posteriori, cequi peut être réalisé à l’aide de méthodes de Monte Carlo parchaînes de Markov.

Lorsqu’un seul arbre ne donne pas un modèle adéquat, il estpossible d’avoir recours à une forêt d’arbres, c’est-à-dire unecombinaison linéaire d’arbres, afin de modéliser un jeu de don-nées. Dans le cas où le vecteur y est donné par la formuley = f (x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + ε (par exemple), la mo-délisation par un seul arbre nécessite un grand arbre avec plu-sieurs branches. Ceci illustre donc le fait qu’un arbre peut fa-cilement modéliser les interactions, mais plus difficilement lesmodèles de type additif. La solution à ce problème est de recou-rir à plusieurs petits arbres ; par conséquent, une forêt d’arbrespeut être utilisée aussi bien pour les modèles avec interactionsque pour les modèles additifs.

La modélisation statistique par arbres permet non seulementde suggérer un modèle pour les données considérées, maisaussi de répondre à plusieurs questions spécifiques et de re-laxer les hypothèses utilisées habituellement en régression. Parexemple, les arbres sont des instruments très utiles pour la

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BULLETIN CRM–4

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CRM 2008–2009 Thematic Program on

Probabilistic Methods in Mathematical Physicsby John Harnad (CRM and Concordia University)

1. Introduction and overview

This was one of the most ambitious CRM thematic programsever held, covering a full year of activities, the first workshopbeginning on June 2, 2008 and the last one ending on June 13,2009. Preparatory courses for this thematic year were alreadyin progress as of January 2008. It was also carefully correlatedwith the joint CRM–PIMS joint program “Challenges and Per-spectives in Probability”, which took place in the period May–September 2009.

The idea of a thematic program in Mathematical Physics wasoriginally proposed in September 2005 by myself, as CRMMathematical Physics Laboratory Director. This evolved, af-ter careful outside consultation by then CRM Director FrançoisLalonde, solicitation of proposals, input from a variety ofsources, and joint discussions, into the Thematic Program onProbabilistic Methods in Mathematical Physics. Actual plan-ning of the program began in early May 2006, with the selectionof the Program Coordinators: Pavel Bleher (IUPUI), John Har-nad (Concordia and CRM) and Steve Zelditch (Johns Hopkins).The full scientific committee of eleven members was assembledby the end of June 2006, at which time John Harnad assumedthe role of Chairman of the Scientific Committee. Discussionsalso began in June regarding the detailed content of the the-matic year, the topics of workshops and the potential organiz-ers; coordination discussions with the organizers of the jointCRM–PIMS 2009 program (Gordon Slade and David Brydges)also took place in the same period.

The proposed workshop organizers were invited to submit de-tailed proposals in August 2006. In September 2006 the Aisen-stadt Chairs were selected and discussions took place regard-ing the possible theme of the Séminaire de mathématiquessupérieures (SMS). The submitted program for the ThematicYear was approved by the CRM International Scientific Advi-sory Committee in October 2006. During the subsequent yearthe actual planning for all 2008 workshops was carried out andthe invitation lists prepared. In September 2007 two grant ap-plications to the NSF were prepared and submitted, one (inmathematics) by Pavel Bleher and another (in physics) by SteveZelditch. In October a further grant application, to help sup-port distinguished long-term visitors, was prepared and sub-mitted to the Clay Institute. Further funding to help supportlong-term visitors was approved in October 2007 by the CRMMathematical Physics Laboratory.

The program coordinators were assisted in the overall plan-ning by the other members of the International Scientific Com-mittee. This consisted of four Canadians (John Harnad, PavelWinternitz and Yvan Saint-Aubin, both from CRM and the

Université de Montréal, and David Brydges, from PIMS andthe University of British Columbia), four researchers from theUnited States (Craig Tracy, from the University of California,Davis, Pavel Bleher, Charles Newman, from the Courant Insti-tute, and Steve Zelditch), and three researchers from Europe(Jean-Bernard Zuber, from the Université Pierre et Marie Curiein Paris, Alice Guionnet, from the ENS in Lyon, and HerbertSpohn, from the Technische Universität München). Coordina-tion with the CRM–PIMS 2008–2009 Joint Thematic Program“Challenges and Perspectives in Probability” was the respon-sibility of Yvan Saint-Aubin and David Brydges, who were onthe scientific committees of both programs.

The purpose of the Program on Probabilistic Methods in Math-ematical Physics was to represent the state of the art in sev-eral currently very active areas of research within this broaddomain, emphasizing the interactions between them. Besidesproviding a vehicle for communicating the most significantnew research results in these areas, the principal objectives in-cluded: 1) giving an opportunity for cross-fertilization betweenthe different specialties represented; 2) stimulating new ideasthrough such cross-fertilization; and 3) providing an environ-ment in which young researchers might learn about and beencouraged to contribute to the exciting new developments inthese domains. The program consisted of: ten research work-shops between June 2008 and June 2009, each lasting one week,grouped so as to maximize constructive interactions betweenthem; three Aisenstadt Chair lecture series coordinated withthe workshops; twenty-three visits by long-term visitors stay-ing at the CRM for durations of between two and ten weeks;several preparatory lecture courses for advanced graduate stu-dents and young researchers on topics related to the work-shops; and five postdoctoral research fellowships for youngmathematicians based at the CRM, working within the Math-ematical Physics group during the program year (June 2008–June 2009).

A further meeting on Random Matrices took place at the BanffInternational Research Station (October 5–10, 2008). Note thatmany participants in the Thematic Year were also involvedin two further CRM based events that took place in June2008: the 2008 Summer School (Séminaire de mathématiquessupérieures) entitled “Symmetries and Integrability of Differ-ence Equations” (June 9–21, 2008) and the SIDE 8 InternationalConference with the same title, which took place in Sainte-Adèle (June 22–28, 2008). The following describes in some de-tail the varied components of the Thematic Year. Much of thedetailed descriptions below is based on summaries providedby the various events organizers, who are gratefully acknowl-

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edged both for their input and the excellent work they did toensure that the events were of a very high scientific calibre.

2. Preparatory courses

Three Special Preparatory Courses were offered at the CRM in2008 as part of the CRM 2008–2009 Thematic Program. Thefirst, entitled Introduction to Tau functions and their appli-cations, was given by John Harnad and lasted throughout thesemester (from January to May 2008), with two further lecturesgiven by Marco Bertola (Concordia and CRM). The second, en-titled Modèles statistiques en deux dimensions, théorie deschamps conformes, et équation de Schramm-Loewner, wasgiven by Yvan Saint-Aubin twice weekly from January to April2008. The third course, entitled Random Matrices and ExactlySolvable Models of Statistical Mechanics, was given by PavelBleher, one of the Coordinators of the Thematic Year (August12–14 and September 8–25, 2008).

3. Thematic Program workshops

The following summarizes the content of the ten Thematic Pro-gram workshops that took place between June 2008 and June2009.

3.1. Mathematical Aspects of Quantum Chaos (June 2–7,2008)

Picture by André Voros

The scientific organizerswere: N. Anantharaman(Centre de MathématiquesLaurent Schwart — ÉcolePolytechnique), S. Nonnen-macher (CEA-Saclay), Z.Rudnick (Tel Aviv) and S.Zelditch (Johns Hopkins).There were a total of 48 reg-istered participants. Thetwenty-six speakers repre-sented the broad orientationsthat are current in the do-main of Quantum Chaos: theproblem of unique quantum

ergodicity; quantum graphs; spectral statistics and connec-tions with random matrices; resonances and diffusion; zerosof eigenfunctions; weakly chaotic systems; arithmetic aspects;and numerical aspects. The speakers approached the subjectfrom various points of view; some were more mathematicaland others more physical. These differing points of view oftengave rise to animated discussions at the end of the sessions.New questions were formulated by the “physicists” to be con-sidered by the “mathematicians”, and vice versa. The partic-ipants made good use of the pauses between the sessions toengage in discussions. The numerous young participants es-pecially benefited from these discussions and debates. Therewere also six poster presentations in the coffee room duringthe course of the workshop. The interested reader can find a

more detailed account of this workshop in the Fall 2008 issueof Le Bulletin du CRM.

3.2. Integrable Quantum Systems and Solvable StatisticalMechanical Models (June 30–July 5, 2008)

Phase diagram for a random fieldIsing model

The scientific organizerswere: A. Its (IUPUI), M.Jimbo (Tokyo), J.-M. Maillet(ENS, Lyon) and B. Nachter-gaele (UC Davis). The num-ber of registered participantswas 68. During the last fewyears, various new develop-ments have taken place in thefield of quantum integrablesystems. One of the major is-sues that stands out is the ex-act description of correlation

functions. Important progress has been made in the long dis-tance asymptotics for correlation functions in integrable spinchains. Understanding the short distance structure has ad-vanced, and exact formulas have been derived for dynamicaland finite temperature cases. Progress on correlation functionsand form factors has resulted in direct applications to con-densed matter systems. In integrable quantum field theory,important work has been carried out for the vacuum expec-tation values of local fields, and in the theory of Q-operatorsand its relation to ODE and classical integrable systems. Asidefrom these “traditional” topics, the emerging role of integrablesystems in various other fields has been revealed, often in aquite unexpected manner. The relevant topics range over suchdiverse areas as quantum entanglement, combinatorics, inte-grable stochastic processes and growth models.

Altogether, twenty-three one-hour invited lectures were given.There were also four contributed talks (each lasting 30 minutes)and a poster session. The topics of the lectures ranged overvarious aspects of integrable spin chains and field theory mod-els, such as correlation functions, time dynamics, entanglemententropy, ordering of energy levels, loop models and combina-torics, quantum geometry and sinh-Gordon field theory. Thehighlight of the workshop was a report on the long-awaitedderivation of the long distance asymptotics of the spin-spincorrelation functions of the XXZ model. This is a major break-through in this field of mathematics and attracted a great dealof attention from the audience. The atmosphere of the work-shop was very friendly and interactive and the high-qualitytalks stimulated lively discussions among the participants.

3.3. Stochastic Loewner Evolution and Scaling Limits (Au-gust 4–9, 2008)

The scientific organizers were: J. Cardy (Oxford), C. Newman(Courant Institute, NYU) and W. Werner (Paris-Sud). The num-ber of registered participants was 57. In recent years, the mostinteresting developments in the theory of two-dimensionalcritical phenomena have emerged from a new field that might

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be called Conformal Probability Theory, which complementsthe extensive work on Conformal Field Theory that started inthe physics community in the 1970s. Substantial progress hasbeen made in understanding the random fractal geometry ofsuch two-dimensional systems as critical percolation and criti-cal Ising models, and their relation with such classic probabilis-tic objects as the frontier of two-dimensional Brownian motion.Among the topics covered in this workshop were: SLE and itsExtensions, Critical and Near-Critical Scaling Limits, GaussianFree Field, Coulomb Gas Methods, Relation to Conformal FieldTheory and Quantum Gravity.

Everyone present felt that this was one of the best workshopsever to have taken place on the exciting topic of SLE and scal-ing limits, with an excellent mixture of mathematicians, math-ematical physicists and theoretical physicists. One of the mostvaluable participants in the meeting, Oded Schramm (the in-ventor of the Schramm Loewner evolution), gave two excel-lent talks and was very pleased with the workshop. Tragi-cally, he died in an accident about three weeks later, whilehiking on a mountain ridge, not far from his home in Wash-ington State. This was a great loss for mathematics and it iswith great regret that we note that our SLE workshop mayhave been the last international meeting he attended. Hereis the list of participants who actually gave talks, in order ofpresentation (there were also some attendees who participatedstrongly without giving talks, and some attendees gave mul-tiple talks): John Cardy, Greg Lawler, Tom Kennedy, ScottSheffield, Oded Schramm, Yvan Saint-Aubin, Dapeng Zhan,Denis Bernard, Nikolai Makarov, Nam-Gyu Kang, Julien Dube-dat, Stanislas Smirnov, Bertrand Duplantier, Benjamin Doyon,Vincent Beffara, Ilia Binder, Frederico Camia, Clément Hon-gler, Pierre Mathieu, Jacob Simmons, Pierre Nolin, Yves LeJan, Kalle Kytölä, David Wilson, Thomas Alberts, Robert Bauer,Robert Masson and Alexi Morin-Duchesne.

3.4. Laplacian Growth and Related Topics (August 18–23,2008)

The scientific organizers of this workshop were N. Makarov(Caltech) and P. Wiegmann (Chicago). The number of reg-istered participants was 57. The workshop was devoted tomathematical aspects of Laplacian growth. A broad class ofnon-equilibrium growth processes have a common law: the

normal velocity of the growing boundary of a region is pro-portional to the gradient of a harmonic field on the exterior.This type of growth (called Laplacian growth) is unstable fornearly all initial configurations. Instabilities develop into frac-tal singular patterns. Similar instabilities occur in the hy-drodynamics of immiscible fluids. The workshop attractedspecialists from many areas of theoretical and applied math-ematics and physics: complex analysis and approximationtheory, random matrices, probability theory and SLEs, con-formal field theory, integrable systems, fluid dynamics and

Saffman–Taylor fingering in a Hele–Shaw cell

condensed matter. The lec-tures covered a spectacularvariety of topics, techniquesand approaches. There weremany discussions and inter-disciplinary interactions dur-ing the workshop. Therewas also a strong degree ofoverlap, both in terms of in-terests and participants, be-tween this workshop andsubsequent workshops (onRandom Matrices and Random Growth Processes, see Sections3.5 and 3.6 below).

The scientific level of the talks was uniformly outstanding.Here are some major developments. Perez and Levine re-ported on their work concerning internal DLA and someother related probabilistic and dynamical models. They es-tablished rigorous connections with the problems of Lapla-cian growth, and immediately after the talk, Gustafsson andother experts in Laplacian growth recognized familiar struc-tures and suggested important complementary results. Ameurand Hedenmalm, and Balogh and Harnad, have made sub-stantial progress in the study of eigenvalues of random normalmatrices. They provided mathematical proofs for several fun-damental facts first discovered at the physical level by Wieg-man and Zabrodin. Belyaev, Rohde and Zinsmeister talkedabout various growth models such as random snowflakes anda version of the Hastings–Levitov model. They collectively pre-sented new mathematical techniques that might turn out to beeffective in the analysis of DLA-type growth.

New aspects and several unexpected applications of Lapla-cian growth were discussed in the talks of Khavinson, Lawler,Putinar and Sodin. Zabrodin, Takebe and Tasaki presentedtheir new results related to the connection between Laplaciangrowth and integrable dispersionless hierarchies. Teodorescu,Agam and Mineev discussed new applications of Laplaciangrowth in hydrodynamics. Especially noticeable are weak so-lutions and shocks in viscous Hele–Shaw flow and Rayleigh–Taylor instabilities on the boundary of evaporating thin filmson a wet surface. Several important open questions and spe-cific conjectures were formulated during the workshop, in par-ticular, concerning general one-component plasma ensemblesand zeros of orthogonal polynomials. This workshop was one

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of the most representative and interesting events in Laplaciangrowth in recent years. There are already several plans to or-ganize follow-up meetings.

3.5. Random Matrices, Related Topics and Applications (Au-gust 25–30, 2008)

The scientific organizers were: E. Basor (American Instituteof Mathematics), M. Bertola (Concordia), B. Eynard (CEA-Saclay), A. Its (IUPUI) and K. McLaughlin (Arizona). Thenumber of registered participants was 89. This workshop fo-cused on recent advances in the asymptotic spectral theory ofrandom matrices, connections with (multi-)orthogonal poly-nomials, Riemann–Hilbert and d-bar methods, relations torandom surface growth, beta ensembles, coupled chains ofrandom matrices, computational methods, combinatorics andmoduli space theory of Riemann surfaces, algebraic geometry,theory of isomonodromic deformations, number theory, Brow-nian motion, Airy and Pearcey processes, critical behaviourin non-intersecting path ensembles, gap probabilities, linearstatistics, higher-order analogs of Tracy–Widom distributions,simple exclusion processes, outpost colonization, entangle-ment, graphical enumeration, Fisher–Hartwig asymptotics,fermionic representation of partition functions and correla-tors, and applications to diverse fields (zeros and moments ofL-functions, growth processes, black holes, and QCD).

The topics covered included: asymptotic spectral theoryof random matrices (Akemann, Ehrhardt, Teodorescu, Lee,Duits) ; non invariant matrix models (Johannson, Bender);(multi)critical universality classes (Claeys, Lee); random ma-trix theory and high-energy physics (Akemann, Splittorf);asymptotics of determinants (Deift, Krasovsky); total inte-grals and statistical lattice applications (DiFranco, Bucking-ham, Mo); connection with (multi-)orthogonal polynomials(Wong, Duits, Chen) ; combinatorics (Ercolani); number the-ory (Snaith) ; numerical analysis (Dumitriu); Dyson processes(Adler, van Moerbeke, Kuijlaars); random surfaces (Borodin);discrete and continuous random processes (Widom, Adler,van Moerbeke, Kuijlaars); topological expansions (Chekhov,Prats-Ferrer). Thirty-seven talks were scheduled; accommo-dating all the speakers while maintaining a reasonable sched-ule was quite a challenge, leaving one afternoon only for spon-taneous interaction. Reactions of the participants, speakers andnon speakers, were extremely positive; several participants re-marked on the uniformly high level of the lectures. To con-tribute to the cross-fertilization of ideas and foster exchanges

among participants, the workshop was preceded by the work-shop on “Laplacian Growth and Related Topics” and followedby the workshop on “Random Tilings, Random Partitions andStochastic Growth Processes”, as well as the series of lecturesby Fields medalist A. Okounkov. Several participants choseto extend their stay to include all three of these events, or atleast two.

3.6. Random Tilings, Random Partitions and StochasticGrowth Processes (September 1–6, 2008)

The scientific organizers were: J. Baik (Michigan), A. Borodin(Caltech), B. Nienhuis (Amsterdam), N. Reshetikhin (Berkeley)and H. Spohn (Technische Universität München). The numberof registered participants was 50. Tiling problems have a longtradition in combinatorics and in statistical mechanics. One ofthe central problems is to understand the statistical structure ofthe patterns obtained when tiling a large domain randomly. Asnoticed by N. Elkies and J. Propp a decade ago, random tilingsof a large planar domain may exhibit phase segregation; thedensity of tiles has a smooth (non-constant) variation in someregions of the domain while in a so-called frozen region thedensity of tiles is constant. In the corresponding surface pic-ture, the frozen region corresponds to a facet of constant slope,while its complement corresponds to a rounded surface.

In a very influential paper of 1986, M. Kardar, G. Parisi and Y.C. Zhang introduced growth processes of random depositiontype without surface diffusion. A particular and much studiedone-dimensional model is the corner growth model with dis-crete time updating, which is isomorphic to the interface in thedimer tiling of the Aztec diamond. The stochastic growth ofthe line separating the frozen from the non-frozen region is in-duced by the random shuffling algorithm, which from a tilingof a domain of linear size N generates a corresponding tiling ofa domain of linear size N + 1 with the correct statistical weight.

Okounkov cardioid (frozen boundaryof the dimer model on a honeycomblattice)

During the last decade therehas been enormous progressin elucidating the picture andthis workshop gave an op-portunity to present both anoverview and a detailed ac-count of many of these devel-opments. One of these de-velopments is the fact thatfor the random tiling of adomain in the triangular lat-tice by rhombi (dimer mod-els on the hexagonal lattice),the limit shapes are algebraiccurves (R. Kenyon, A. Ok-ounkov). In the non-frozenregion the fluctuations insuch models have the statis-

tics of a massless Gaussian free field (R. Kenyon). With the ex-ception of singular points the borderline separating the frozenand non-frozen regions is governed by the Airy process (M.

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Prähofer, H. Spohn, A. Okounkov, N. Reshetikhin). At sin-gular points the fluctuations are described by the Pearcy pro-cess and similar determinantal processes (A. Okounkov, N.Reshetikhin).

As noted by K. Johansson these stochastic processes are closelyrelated to the asymptotics of discrete orthogonal polynomials.There has been an increased understanding of the deep connec-tion (noted first by Johansson) between tilings of particular do-mains and one-dimensional KPZ growth. This discovery trig-gered an explosion of related results, in particular the centralrole of extended determinantal processes, of Dyson’s Brown-ian motion and of low rank perturbations of random matri-ces. New results confirmed the expectation that the structureof fluctuations holds for a much wider class of models. Tilingproblems are also closely related to the theory of random parti-tions and representation theory. This is particularly evident fortilings of domains on a triangular lattice by rhombi, developedand presented in the contributions of A. Borodin, A. Okounkovand G. Olshanski. The contents of this workshop were closelyrelated to those of the two preceding ones (see Sections 3.4 and3.5 above) and to the fascinating series of lectures by AisenstadtChair Andrei Okounkov (September 1–16, 2008).

3.7. Quantum Many-Body Systems, Bose–Einstein Conden-sation (September 29–October 4, 2008)

Solitons in a Bose–Einstein condensate

The scientific organizerswere: I. Michael Sigal(Toronto), Jan Philip Solovej(Copenhagen), Jakob Yngva-son (Universität Wien) andValentin Zagrebnov (Mar-seille). There were 55 reg-istered participants. Thephysics of ultracold quan-tum gases and Bose–Einsteincondensation is currently avery active field of both experimental and theoretical researchworldwide. Unveiling the fascinating properties of such quan-tum many-body systems by rigorous mathematical analysis isan important and difficult challenge for mathematical physics.Considerable progress has been made in recent years, involv-ing a variety of mathematical techniques such as spectral the-ory of partial differential operators with a large number of vari-ables, nonlinear partial differential equations, random walkson lattices and functional integration. Several of the most basicquestions are still unanswered, however, and there is muchto be learned. The workshop brought together experts withdifferent backgrounds to review the current status of mathe-matical results in the field and to discuss new developments(where a mathematical approach is fruitful).

The topics covered included ultracold atoms and Bose gasesin low dimensions, variational methods, determinants bounds,

applications to fermionic many-body systems, lattice models,spin chains, soft matter at high densities, probabilistic ap-proaches to many-body systems, relations to random pointfields, relations to random permutations, vortices in Bose–Einstein condensates, the derivation of the Gross–Pitaevskiiequation, correlations in Bose–Einstein condensates and appli-cations to superconductors.

3.8. Random Functions, Random Surfaces and Interfaces(January 4–9, 2009) This workshop took place at the HôtelMont-Gabriel in Sainte-Adèle, Québec. The scientific organiz-ers were: D. Bond (CITA, Toronto), M. Douglas (Stony Brook),S. Sheffield (Courant Institute, NYU), S. Shlosman (CNRS, Lu-miny) and S. Zelditch (Johns Hopkins). There were 28 regis-tered participants. The workshop was interdisciplinary, withparticipants ranging from researchers in astrophysics to stringtheory to statistical mechanics to probability and geometry.

It was mainly devoted to random fields such as Gaussian ran-dom fields. Motivated by such physical models as (i) the largescale matter distribution in the universe or (ii) landscape statis-tics in string theory or (iii) the random wave model in quantumchaos or (iv) limit shapes of phase interfaces in statistical me-chanics, the workshop largely focussed on the zeros or criticalpoints of random fields.

Examples of random functions or random surfaces arising innature include: the surface of the sea in heavy weather, thecosmic microwave radiation background, the electric field in-tensity of a laser speckle pattern and random noise in signals.The initial matter distribution of the universe was modelled asa Gaussian random function by Ya. B. Zeldovich in the 1970s.Random surfaces also play a central role in string theory andM-theory. They are also used to model the early universe incurrent string theory and quantum gravity. In another direc-tion they arise as interfaces in statistical mechanics. For math-ematicians, a focal point was the recent work of Duplantier–Sheffield giving a rigorous definition of Polyakov’s Liouvillefield theory and a proof of the so-called KPZ formula. (Liou-ville theory is a theory of random metrics on a Riemann sur-face.)

The astrophysicists spoke largely about the distribution of“matter” in the universe. The evolution in time of the mat-ter distribution is often modelled as the evolution of Gaussianrandom initial data under the Euler–Poisson equation. The dis-tribution seems to remain roughly Gaussian for a few hundredthousand years, but eventually gravitational attraction causesmatter to clump in non-Gaussian filamentary structures. Astro-physicists D. Bond, D. Pogosyan, R. van de Weygaert and S. F.Shandarin presented theoretical results, numerical simulationsand data on the distribution of matter. Pogosyan presented amathematically convincing picture whereby the ridges or fila-ments were concentrated along the directions where the gradi-ent of the random field is an eigenvector of its Hessian. M. R.Douglas gave a survey of questions and results pertaining tothe landscape problem in string theory and in chaotic inflation,

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which raises a number of problems he has studied with his col-laborators S. Ashok, F. Denef, B. Shiffman and S. Zelditch.

The talks by Richard Kenyon, Pavel Bleher and Senya Shlos-man dealt with random surfaces arising in certain exactlysolvable models. K. Khanin discussed problems relatedto directed polymers in quasi-stationary random potentials.Such potentials correspond to disordered systems interactingwith a chaotic external field. Sergei Nechaev computed theasymptotic distribution of scaled height in various (1 + 1)-dimensional anisotropic ballistic deposition models. Finallythere were several talks on the more “geometric” aspects ofsmooth random surfaces, such as those defined by randomholomorphic polynomials or power series in several variablesor by real Gaussian random fields on Riemannian manifolds.The interested reader can find a detailed account of this work-shop in the Spring 2009 issue of Le Bulletin du CRM.

3.9. Interacting Stochastic Particle Systems (May 18–23,2009) The scientific organizers were: Kostya Khanin (Toronto),Joel Lebowitz (Rutgers), Jeremy Quastel (Toronto) and TimoSeppäläinen (Wisconsin-Madison). There were 46 registeredparticipants. Statistical mechanics provides the formalismof Gibbsian ensembles for computing properties of equilib-rium systems from a knowledge of the microscopic interac-tions between the constituent particles. Our understanding ofnonequilibrium situations is less satisfactory. In the field of in-teracting stochastic particle systems nonequilibrium questionsare studied in simplified models that are amenable to mathe-matically rigorous analysis. This workshop brought togetherresearchers from the field of interacting stochastic systems andrelated areas to survey recent successes and to map out promis-ing directions.

Among these are the universality classes of fluctuations in one-dimensional driven interacting systems. In addition to exactlimit distributions found in special models, the correct orderof fluctuations has been identified for a general class of asym-metric exclusion processes. Another area of recent progressis the large deviation behavior of nonequilibrium stationarystates in systems in contact with a reservoir. Interesting newconstructions have been presented, such as multilayer systemsthat represent the stationary distributions of systems with sev-eral species of particles; direct connections between queueingmodels, random walks and combinatorial methods have beendeveloped.

The talks presented at the workshop covered many of the mostactive and important current research directions, such as: poly-mer models; fluctuations, second class particles, and large de-viations for exclusion processes, and related last-passage mod-els; condensation in zero range processes; queuing networks;nonequilibrium thermodynamics; and connections with inte-grable systems. The balance between scheduled talks and timefor free discussions allowed for a good deal of interaction be-tween the participants, many of whom made new acquain-

tances and had fruitful exchanges that are likely to lead to fu-ture collaborations.

3.10 Disordered Systems: Spin Glasses (June 8–13, 2009)

The scientific organizerswere: Gérard Ben Arous(Courant Institute, NYU),Erwin Bolthausen (Zürich),M. Mézard (UniversitéParis-Sud) and Daniel Stein(Courant Institute, NYU).There were 42 registered par-ticipants. The workshopbrought together a few dozenof the leading internationalresearchers in the theory of

spin glasses and related systems. It was unusual in that it in-cluded scientists approaching the problem from three differentperspectives: theoretical physics (in particular, the use of fieldtheoretical techniques), numerical simulation and analysis, andrigorous mathematics. At their best the three approaches com-plement and reinforce one another, and each can provide in-sights for new directions in the other ones. This feedback wasvery much a part of the workshop, and a significant componentof its success.

Each day included talks on a variety of subjects, not only onspin glasses themselves but also topics related to spin glasses:structural glasses, jamming, random matrices, graph theory,branching random walks, and other topics. There were alsolong breaks between the talks, however, to allow for discus-sion and interaction. During these periods in particular somenew collaborations began and new directions were discussed.A gratifying and positive feature of the workshop was that itserved not only to bring information on the latest results to alarge and representative sample of the spin glass/disorderedsystems community, but it also led to animated discussionsand interactions among people whose approaches are funda-mentally different. Such discussions and collaborations couldprovide new seeds for substantial progress in the field over thenext few years. In particular, although the mathematical proofof the ultrametricity of Gibbs measures of some disordered sys-tems is still missing, the workshop has shown that the frame-work for understanding the mathematical structure of Parisi’sreplica symmetry breaking might no longer be out of reach,and that substantial progress might be achieved in the not toodistant future.

4. Other conferences, summer schools and workshops asso-ciated with the CRM 2008–2009 Thematic Program

4.1. Séminaire de mathématiques supérieures (SMS): Sum-mer School on Symmetries and Integrability of DifferenceEquations (June 9–20, 2008)

This was the annual session of the international summer school“Séminaire de mathématiques supérieures (SMS)”, which was

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correlated (in 2008) with the international conference SIDE 8(see below). The Scientific Directors of the SMS were PavelWinternitz, from CRM and the Université de Montréal, andVladimir Dorodnitsyn, from the Russian Academy of Sciencesin Moscow. The organizing committee consisted of: VladimirDorodnitsyn (Moscow), Véronique Hussin (CRM and Univer-sité de Montréal), François Lalonde (Université de Montréal),Decio Levi (Roma 3), Peter J. Olver (Minnesota), Pavel Win-ternitz (CRM and Université de Montréal), chairman of thecommittee. The SMS was attended by 48 registered partici-pants. The speakers were: Alexei Borodin (Caltech), VladimirDorodnitsyn, Basile Grammaticos (Paris Diderot), Jarmo Hi-etarinta (Turku), Mourad Ismail (Central Florida), AlexanderIts (IUPUI), Decio Levi (Roma 3), Sergey P. Novikov (Moscowand Maryland), Peter J. Olver (Minnesota), Jirí Patera (CRMand Université de Montréal), Yuri B. Suris (Technische Univer-sität München) and Pavel Winternitz.

The field of symmetries and integrability of difference equa-tions is very dynamic and great progress has been made init over the last 15 years. The key methods that have beendeveloped in this area are based either on the inverse spec-tral approach or on the application of geometric and grouptheoretical techniques. The topics covered were the follow-ing: isomonodromy transformations of linear difference equa-tions and the Painlevé hierarchy (Alexei Borodin); symmetrypreserving discretization of ordinary and partial differentialequations (Vladimir Dorodnitsyn); discrete Painlevé equations(Basile Grammaticos); definitions and predictions of integra-bility for difference equations (Jarmo Hietarinta); orthogonalpolynomials and integrable systems (Mourad Ismail); discretePainlevé equations and random matrices (Alexander Its); gen-eralized Lie symmetries of difference equations (Decio Levi);complete integrability of discrete nonlinear systems (Sergey P.Novikov); moving frames in applications (Peter Olver); Liegroup transforms in the interpolation of digital data (Jirí Pat-era); discrete differential geometry (Yuri Suris); and Lie pointsymmetries of difference equations (Pavel Winternitz).

4.2. SIDE 8 International Conference: Symmetries and Inte-grability of Difference Equations (June 22–28, 2008)

This conference took place at the Hôtel Mont-Gabriel, in Sainte-Adèle, Québec. The scientific organizers were: P. Winternitz(Chairman, CRM and Université de Montréal), J. Harnad (CRMand Concordia), V. Hussin (CRM and Université de Montréal),D. Levi (Roma 3), P. Olver (Minnesota) and L. Vinet (CRM andUniversité de Montréal). There were a total of 72 registeredparticipants, of whom 56 were speakers. SIDE 8 was the eighthin a series of biennial conferences devoted to Symmetries andIntegrability of Difference Equations and related topics: ordi-nary and partial difference equations, analytic difference equa-tions, orthogonal polynomials and special functions, symme-tries and reductions, difference geometry, integrable discretesystems on graphs, integrable dynamical mappings, discretePainlevé equations, singularity confinement, algebraic entropy,complexity and growth of multivalued mappings, representa-

tions of affine Weyl groups, quantum mappings and quantumfield theory on the space-time lattice.

The 56 talks were divided into 8 sessions, corresponding tothe following topics (with session organizers indicated withinparentheses): geometry of discrete and continuous Painlevéequations (Masatoshi Noumi, Yasuhiro Ohta); discrete inte-grable systems and isomonodromy transformations (AlexeiBorodin); Yang–Baxter map (Alexander P. Veselov); algebraicaspects of discrete equations (Alexander Mikhailov, Frank Nij-hoff); singularity confinement, algebraic entropy and Nevan-linna theory (Basile Grammaticos, Alfred Ramani); discrete dif-ferential geometry (Alexander Bobenko, Yuri Suris); specialfunctions as solutions of difference and Q-difference equations(Mourad Ismail, Walter Van Assche); continuous symmetriesof discrete equations, theory and computational application(Decio Levi, Pavel Winternitz).

4.3. BIRS Workshop on Random Matrices, Inverse SpectralMethods and Asymptotics (October 5–10, 2008)

This workshop took place at the Banff International ResearchStation (Banff, Alberta). The scientific organizers were: Es-telle Basor (American Institute of Mathematics), Marco Bertola(CRM and Concordia), Betrand Eynard (CEA-Saclay), JohnHarnad (CRM and Concordia), Alexander Its (IUPUI) and KenMcLaughlin (Arizona). There were 25 registered participants.The objectives of the workshop were to: 1) give an opportu-nity to communicate the latest developments in the directionsrelating most closely to inverse spectral methods and largeN asymptotics, and 2) bring together the top experts in thefield, as well as promising young researchers to help stimu-late new ideas and work. In particular, the following topicsfigured prominently in the workshop: 1) extensions of asymp-totic and inverse spectral methods to the case of biorthogonaland multi-orthogonal polynomials, with applications to multi-matrix models; 2) new results on universality properties withinnon-standard classes of matrix ensembles, and in multi-matrixsystems; 3) new results relating to random processes, includ-ing processes involving the eigenvalues of random matrices(Dyson processes) on the real line or circle, as well as deter-ministic growth processes involving the support domains ofcomplex eigenvalues of Normal Matrices; 4) other relations be-tween random matrix techniques and random processes suchas asymmetric exclusion processes, polynuclear growth, andasymptotics of random partitions; 5) new results relating thepartition functions, gap probabilities and correlators to the taufunction of integrable systems theory, and to the theory ofisomonodromic deformations in the resonant and irregular sin-gularities cases.

The theme of the BIRS workshop was correlated with the morebroadly based CRM workshop on random matrices (see Sec-tion 3.5 above) and many of the participants attended bothevents.

5. Aisenstadt Chair Lecture series

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The Aisenstadt Chair lecturers in the period June–September2008 were Wendelin Werner (Paris-Sud) and AndreiOkounkov (Princeton), both of whom are Fields Medalists.Okounkov’s series of lectures (September 1–16, 2008) was en-titled “The Algebra and Geometry of Random Surfaces”. Itstrongly overlapped, in its focus, with the workshop on Ran-dom Tilings, Random Partitions and Stochastic Growth Pro-cesses (see Section 3.6). Wendelin Werner’s series of lectures,entitled “Transitions de phases et invariance conforme en mé-canique statistique bidimensionnelle” (August 1–12, 2008) wasclosely related to the topics of the workshop on StochasticLoewner Evolution and Scaling Limits (see Section 3.3). Thereader may find detailed reports on their respective lectureseries in the Fall 2008 issue of Le Bulletin du CRM.

The third Aisenstadt Chair lecture series relating to the The-matic Program on Probabilistic Methods in MathematicalPhysics was given in March 2009 by Craig Tracy (UC Davis),winner of the SIAM Pólya Prize and the AMS–SIAM NorbertWiener Prize. Professor Tracy was also present at the work-shop on Random Matrices (see Section 3.5), an area in which hehas been a pioneering contributor. His Aisenstadt Chair Lec-tures were on the general theme The Asymmetric Simple Ex-clusion Process and Integrable Models in Statistical Physics.The titles and dates of his three lectures are: “The AsymmetricSimple Exclusion Process: Integrable Structure and Limit The-orems. I” (March 3, 2009); “The Asymmetric Simple ExclusionProcess: Integrable Structure and Limit Theorems. II” (March5, 2009); “Integrable Models in Statistical Physics and Associ-ated Universality Theorems and Conjectures.” (March 6, 2009).

Craig Tracy was Professor at Dartmouth College before join-ing the University of California at Davis in 1984. He is cur-rently Distinguished Professor of Mathematics. In his jointwork with Wu, McCoy and Barouch, he discovered an im-portant connection between exactly solvable statistical models,like the Ising model, and classical integrable systems, in par-ticular the Painlevé transcendants. In more recent years, incollaboration with Harold Widom, he obtained many crucialresults on the theory of Fredholm and Toeplitz determinants,and random matrix theory. They introduced a new class of dis-tributions, now called the Tracy–Widom distributions, govern-ing the eigenvalues at the edge of the spectrum in the largeN limit. These turned out to be “universal” in the sense thatthey also underlie the statistics of the longest increasing subse-quence problem, several tiling problems, and various growthmodels.

In 2002 he shared the George Pólya Prize with his long-timecollaborator Harold Widom, and in 2007 he shared the AMS–SIAM Norbert Wiener Prize with the same collaborator. He isa member of the American Academy of Arts and Sciences.

6. Long-term visitors at the CRM associated to the ThematicProgram

A striking feature of the Thematic Program was the numberof visitors who spent extended periods of time at the CRM in

order to benefit from the activities of the Program. Their vis-its provided a wonderful opportunity for the CRM members,in particular the members of the Mathematical Physics Lab-oratory and their students and postdoctoral fellows. Here isa list of the visitors in 2008: Pavel Bleher (IUPUI): August 2–October 4, 2008; Alexei Borodin (Caltech, Clay Institute Emis-sary): June 9–28 and August 25–September 6, 2008; RobertCoquereaux (CPT, Marseille): November 29–December 13,2008; Benjamin Doyon (Durham): August 3–22, 2008, Au-gust 26–September 11, 2009; Ilya Gruzberg (Chicago): Au-gust 3–September 7, 2008; Greg Lawler (Chicago, Clay Insti-tute Emissary): August 1–31, 2008; Decio Levi (Roma 3): June9–28, 2008; Karl Liechty (IUPUI, Student Long-term Visitor):August 2–September 25, 2008; Igor Loutsenko (SISSA, Tri-este): August 19–29, 2008; Jean-Michel Maillet (Lyon): June23–July 5, 2008; Nicholas Makarov (Caltech) : August 3–30,2008; Barry McCoy (SUNY, Stony Brook): June 29–July 12,2008; Kenneth McLaughlin (Arizona): August 17–September6, and September 13–28, 2008; Jason Newport (North Carolina,Student Long-term Visitor): August 25–September 28, 2008;Stéphane Nonnenmacher (CEA-Saclay): April 1–June 10, 2008;Andrei Okounkov (Princeton, Aisenstadt Chair): September1–16, 2008; Alexandre Orlov (Oceanology Institute, Moscow):August 22–September 20, 2008; Herbert Spohn (TechnischeUniversität München): August 19–September 9, 2008; Raz-van Teodorescu (Los Alamos): August 18–September 6, 2008;Craig Tracy (UC Davis, Aisenstadt Chair): August 26–31, 2008,and March 3–6, 2009; Wendelin Werner (Paris-Sud, Aisen-stadt Chair) : July 31–August 12, 2008; Anton Zabrodin (ITEP,Moscow): August 17–30, 2008; Valentin Zagrebnov (Marseille):September 21–October 10, 2008. In 2009 there were three morevisitors: Louis-Pierre Arguin (Courant Institute, NYU): June7–14, 2009; Alexandre Orlov (Oceanology Institute, Moscow):May 17–June 15, 2009; Alexander Tovbis (Central Florida): May21–28, 2009.

Hugh Chipman(suite de la page 4)

sélection de variables. En effet, la méthode de constructiond’un arbre nous permet de cibler les variables explicatives lesplus influentes ; il suffit simplement de traiter cette informationde façon appropriée. Les arbres peuvent également être utilisésdans la détermination de plans séquentiels. L’idée sous-jacenteà cette approche est de reconstruire le modèle alors que les don-nées sont recueillies, et de l’utiliser pour décider où concentrerl’échantillonnage de données supplémentaires. Les arbres per-mettent aussi de traiter des distributions d’erreurs non para-métriques, ce qui est pratique lorsque l’hypothèse habituellede variables suivant une même distribution normale n’est pasvérifiée.

L’apprentissage statistique par arbres est une méthode quicomporte des avantages et des inconvénients, comme touteméthode statistique. Parmi ses points forts, notons sa flexibilité,sa bonne performance en termes de prévision et sa robustessepar rapport aux distributions a priori.

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Grande Conférence du CRM

Les codes secrets à travers les âgesGilles Brassard (Université de Montréal)

d’Yvan Saint-Aubin (Université de Montréal)

Le professeur Gilles Brassard est bien connu de la communauté, tantpour ses travaux que pour ses talents de communicateur. Au moinsdeux de ses créations seront connues de tout scientifique : la crypto-graphie quantique (inventée avec C.H. Bennett en 1983) et la télépor-tation quantique (inventée avec C.H. Bennett, C. Crépeau, R. Jozsa,A. Peres et W.K. Wootters en 1992). Ses distinctions sont nom-breuses. Parmi les plus récentes mentionnons les suivantes : il est ou aété le « Distinguished Lecturer » de l’IACR (2008), trois fois finalistede la Médaille d’or Herzberg du CRSNG (2006, 2007 et 2008), Fel-low de l’International Association for Cryptologic Research (2006)et de l’Institut canadien de recherche avancée (2002), et membre del’Académie des sciences de la Société royale du Canada (depuis 1996).

Gilles Brassard a obtenu le Prix d’excellence du CRSNG (2006),le Prix Marie-Victorin du Gouvernement du Québec (2000), uneBourse de recherche Killam (1997), le Prix Steacie (1994) et le PrixUrgel-Archambault de l’ACFAS (Association francophone pour le sa-voir, 1992). Il détient depuis 2001 la Chaire de recherche du Canadaen informatique quantique. Son Prix de l’enseignement de l’Univer-sité de Montréal (1993) ainsi que les quelque soixante étudiants à lamaîtrise, au doctorat ou au postdoctorat qu’il a supervisés sont autantde témoins de ses talents de pédagogue, d’autant plus que presque unevingtaine d’entre eux sont devenus professeurs universitaires.

C’est à une vaste fresque historique que nous conviait GillesBrassard lors de cette Grande Conférence du CRM consacréeaux codes secrets à travers les âges. On pourrait croire que lagéométrie et la théorie des nombres sont les seules sciences àpouvoir revendiquer l’honneur d’avoir occupé plusieurs civi-lisations depuis plus de deux mille ans. Cette Grande Confé-rence permet de se demander si la cryptographie n’en seraitpas une autre. Il nous sera impossible de relater toutes lesétapes historiques que notre conférencier a décrites. Permettez-moi d’en choisir quelques-unes.

Rendre à César. . .

Une personne, Madame A, désire transmettre un messageconfidentiel (dit aussi le texte clair) à une seconde personne,Monsieur B. Pour s’assurer que le message ne puisse être com-pris s’il tombe entre les mains d’une troisième personne, Ma-dame A transforme le message selon des règles convenues àl’avance entre elle et Monsieur B. À la réception du messagechiffré, Monsieur B pourra utiliser certaines règles pour récu-pérer le message original. Les chiffres, c’est-à-dire les règles quipermettent de transformer de façon sécuritaire un message, etles techniques pour les percer sont l’objet d’étude de la crypto-logie.

L’histoire relate plusieurs exemples de transmission d’un mes-sage chiffré. Selon Suétone, auteur de la Vie des douze Césars,Jules César aurait utilisé le chiffre suivant. Il s’agit d’un chiffre-ment par décalage où chacune des lettres du message originalest remplacée par une autre obtenue selon le diagramme ci-dessous. Pour obtenir ce diagramme, un entier n est d’abordchoisi (ici le nombre 3) ; puis l’alphabet complet est écrit deuxfois sur des lignes horizontales, la seconde étant obtenue en dé-calant la première n fois vers la gauche. Pour chiffrer, on rem-place chacune des lettres du message original en l’identifiantdans la ligne du haut et en la remplaçant par la lettre qui estsous elle. Pour que Madame A et Monsieur B puissent commu-niquer, il suffit qu’ils se soient entendus pour utiliser ce chiffreet choisir l’entier n.

. . . W X Y Z A B C D E . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

. . . Z A B C D E F G H . . .

Ce système n’offre évidemment aucune protection sérieusecontre quiconque souhaite vraiment comprendre le contenu dumessage, mais une simple modification rend la tâche de l’es-pion nettement plus ardue. Si Madame A choisit une permuta-tion aléatoire des 26 lettres de l’alphabet, telle JAROC. . . DGSNL,et qu’elle partage secrètement cette « clef » avec Monsieur B,elle peut chiffrer un message clair en remplaçant systématique-ment A par J, B par A, . . . , Z par L. Il est alors facile pour Mon-sieur B de renverser le processus puisqu’il connaît la clef. Maisalors qu’il suffisait à l’espion d’essayer 26 clefs possibles (dontune triviale) pour briser le chiffre de César, la sécurité appa-rente de cette substitution monoalphabétique repose sur le grandnombre (26! > 4× 1026) de clefs possibles.

La substitution monoalphabétique serait-elle donc invulné-rable même contre un super-ordinateur ? En fait, non, surtoutsi nous disposons d’un message chiffré assez long et connais-sons la langue du message original. Il aura fallu plusieurssiècles avant que le génie universel Abu Yusuf Ya’qub ibn Ishaqibn as-Sabbah ibn Oòmran ibn Ismaïl AL-KINDI, auteur de290 manuscrits, découvre au IXe siècle l’art de mettre à pro-fit notre connaissance de la fréquence de chacune des lettres dela langue employée. En français, la lettre e est celle dont la fré-quence est la plus élevée, suivie des lettres a et s. Un premier es-sai de déchiffrement consiste donc à remplacer la lettre qui ap-paraît le plus grand nombre de fois dans le message interceptépar un e, la seconde plus fréquente par un a, et ainsi de suite. Il

BULLETIN CRM–13

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est bien possible que les fréquences des lettres du message ori-ginal ne soient pas exactement celles des lettres dans Les TroisMousquetaires, par exemple, mais il sera sans doute possible dedéchiffrer quand même le message si on utilise d’autres infor-mations, par exemple le fait qu’en français les mots de deuxlettres ne sont pas très nombreux : le, la, de, en, un, . . .

Un saut à la Renaissance. . .

La grande faiblesse de la substitution monoalphabétique est lefait qu’une lettre donnée de l’alphabet est toujours remplacéepar la même lettre. Comme nous venons de le voir, l’utilisationdes fréquences des lettres permet alors de percer le chiffre. Lechiffre de Vigenère corrige cette faiblesse ! Blaise de Vigenèreétait un diplomate français (1523-1596), et à ses heures crypto-logue. Même si le chiffre que nous allons décrire porte son nom,il aurait été inventé en 1553 par Giovan Battista Bellaso, né en1505 (la date de son décès n’est pas connue). Plutôt qu’un en-tier déterminant le décalage, le chiffre de Vigenère nécessite unmot-clé que A et B choisiront et garderont secret. Madame A etMonsieur B auront également besoin du « carré de Vigenère »,que voici.

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y za a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zb b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z ac c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a bd d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b ce e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c df f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d eg g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e fh h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f gi i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g hj j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h ik k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i jl l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k

m m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k ln n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l mo o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m np p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n oq q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o pr r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p qs s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q rt t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r su u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s tv v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t uw w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u vx x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v wy y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w xz z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y

Comme dans le chiffre de César, Madame A cherchera pourune lettre donnée du message original sa position dans la lignesupérieure de cette table et elle la remplacera par la lettre dela même colonne dans une ligne qui sera déterminée par lemot-clé. Supposons que le mot-clé convenu soit maths. AlorsMadame A utilisera la ligne vis-à-vis la lettre m pour chiffrerla première lettre du message original, puis la ligne vis-à-visla lettre a pour la seconde lettre, puis la ligne t pour la troi-sième, et ainsi de suite. Après avoir utilisé les cinq lignes m,

a, t, h, s, la sixième lettre du message original sera chiffrée enutilisant à nouveau la ligne m, puis la septième en utilisant laligne a, etc. Dans ce type de chiffre dit polyalphabétique, leslettres e du message original ne seront pas toutes remplacéespar la même lettre dans le message chiffré. Ce chiffre ne peutdonc pas être brisé aussi simplement à l’aide des fréquencesdes lettres. En fait, il résista longtemps à l’assaut des perceursde chiffres. C’est Charles Babbage qui, en 1854, proposa le pre-mier une méthode efficace pour le percer. . . 301 ans après soninvention par Bellaso !

Enigma, Bletchley Park et le Colossus. . .

Plusieurs autres idées nous seront décrites pendant cette confé-rence, mais permettez-moi de faire maintenant un saut énormenous amenant à la seconde guerre mondiale. Le chiffre sous-jacent à la machine Enigma, utilisée par l’armée nazie, est tropcompliqué pour être décrit en profondeur durant une confé-rence tout public. Pourtant, le succès des cryptanalystes britan-niques de Bletchley Park qui, reprenant les travaux commen-cés par leurs collègues polonais, purent percer la majorité desmessages allemands, demeure un haut fait de cette guerre et,de plus, un des grands succès mathématiques du XXe siècle.Le Professeur Brassard a donc su parler de l’effort humaindes cryptanalystes et, également, du développement du pre-mier ordinateur électronique programmable, le Colossus. Lesecret autour de cet ordinateur a été si bien gardé que l’ENIAC,construit aux États-Unis à la fin de la guerre, a longtemps étéconsidéré comme le premier ordinateur électronique program-mable. . . alors qu’il n’était que le onzième (il y a eu dix Colos-sus de construits !). Mais les rapports techniques de l’époque,dont le Public Record Office britannique a levé le secret en oc-tobre 2000, permettent de redonner au Colossus la place qui luirevient.

Inventeurs de codes, briseurs de codes. . .

Des idées modernes de cryptologie seront introduites durantcette courte heure, telles les notions de clé asymétrique etde clé publique. Et l’impact de cette science sur la vie quoti-dienne sera aussi décrit. Mais il faut conclure. Edgar Allan Poe

(suite à la page 18)

BULLETIN CRM–14

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Grande Conférence du CRMQuestions arithmétiques soulevées par des lapins,

des vaches et le Code Da VinciMichel Waldschmidt (Université Pierre et Marie Curie)

de Claude Levesque (Université Laval)

Vendredi soir, le 25 septembre 2009, une Grande Conférence duCRM se donnait à la magnifique salle Hydro-Québec de l’Uni-versité Laval, et le conférencier invité était le professeur MichelWaldschmidt de l’Université Pierre et Marie Curie. L’exposéportait sur des questions arithmétiques soulevées par des la-pins, des vaches et le Code Da Vinci. Vous l’avez deviné, onparlait en particulier de la suite {Fn}n∈N des nombres de Fibo-nacci, pour laquelle Fn+2 = Fn+1 + Fn avec F0 = 0 et F1 = 1.D’entrée de jeu, je vous confirme que l’exposé du professeurWaldschmidt fut une excellente conférence tout public.

La publicité parue dans Le Soleil et dans Le Journal de Québec,de même que les jolies affiches du CRM mettant en vedette leprofesseur Waldschmidt sous une flopée de lapins blancs, onteu de l’effet. Comme pour la grande conférence du professeurYvan Saint-Aubin l’année dernière, la salle était remplie : aumoins 250 personnes étaient présentes. Sur l’affiche, on men-tionnait ce qui suit :

Fibonacci a étudié la croissance d’une population de lapins quise reproduisent selon la loi suivante. Chaque couple atteignantl’âge de 2 ans donne naissance chaque année à un nouveaucouple. La suite de Fibonacci (à partir de l’indice 1) est donc :1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,2584, . . . Dans le Code Da Vinci, les huit premiers nombres decette suite, à savoir 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21, sont uti-lisés comme mot de passe. Les suites d’entiers, que ce soientcelles qui comptent les lapins de Fibonacci, les spirales d’untournesol ou les vaches de Narayana, ou d’autres suites défi-nies de façon analogue, soulèvent un certain nombre de ques-tions d’arithmétique, dont quelques-unes ont été résolues ré-cemment alors que d’autres posent des défis aux mathémati-ciens contemporains. Ceux-ci y travaillent pour « l’honneur del’esprit humain » !

Michel Waldschmidt introduisit tout d’abord le problème desvaches de Narayana. Narayana est un mathématicien indiendu quatorzième siècle qui posa le problème suivant : Chaqueannée, une vache met au monde un veau. À partir de la qua-trième année, chaque veau donne, à son tour et au début dechaque année, naissance à un veau. Quel est le nombre devaches et de veaux au bout d’une période de 17 ans ? Leconférencier décrivit ce qui se produit chaque année pouren conclure qu’à un moment donné, le nombre de vaches etde veaux est égal à celui de la dernière année plus celui de

RENSEIGNEMENTSClaude Levesque

CL@Mat.ULaval.CACRM@CRM.UMontreal.CA

En 1202 Fibonacci a étudié la croissance d’une population de lapins qui se reproduisent suivant la loi suivante.Chaque couple atteignant l’âge de 2 ans donne naissance chaque année à un nouveau couple.La suite de Fibonacci est donc 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 , ...Dans le Code Da Vinci, les huit premiers nombres de cette suite, à savoir 1123581321, sont utilisés comme mot de passe. Les suites d’entiers, que ce soient celles qui comptent les lapins de Fibonacci, le nombre de spirales d’un tournesol, les vaches de Narayana, ou d’autres suites définies de façon analogue, soulèvent un certain nombre de questions d’arithmétique, dont certaines ont été résolues récemment, tandis que d’autres restent des défis pour les mathématiciens contemporains et «l’honneur de l’esprit humain».

Les Grandes ConférenCes du CrM

Conférencier: Michel Waldschmidt (U. Paris VI)

Le vendredi 25 septembre 2009 (20h00 à 21h30) Salle Hydro-Québec, Pavillon Desjardins, Université Laval

(Stationnement gratuit au pavillon Desjardins à partir de 19 h 30)Entrée gratuite • Amuse-gueules après l’exposé

Questions arithmétiQues soulevées par des lapins, des vaches et le code da vinci

l’avant-avant-dernière année. Il prit bien soin de ne pas écrireexplicitement que nous sommes en présence d’une récurrencelinéaire {vn}n∈N d’ordre 3 avec v1 = v2 = v3 = 1. Il mentionnal’œuvre pour piano composée par Tom Johnson à partir de cettesuite de Narayana. L’œuvre de Johnson est composée commesuit : à une vache correspond un son long et à un veau corres-pond un son court ; à chaque étape, la pièce est formée de lapartition de la dernière étape suivie de la partition de l’avant-avant-dernière étape. Le conférencier fit entendre ce que celadonnait comme musique, et on peut présumer que le résul-tat musical ne recueillit pas les suffrages de tous les membresde l’auditoire, mais au moins avons-nous eu la satisfaction desavoir comment Tom Johnson compose sa musique !

Waldschmidt passa ensuite au problème des taureaux d’Archi-mède, une devinette en forme d’épigramme qui invite à calcu-ler le nombre de têtes dans le troupeau du dieu Soleil. L’audi-

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toire prit plaisir à entendre qu’une sphère du diamètre de laVoie Lactée, que la lumière prend dix mille ans à traverser, necontiendrait qu’une partie infime de ce troupeau, à supposermême que la taille de chaque animal ne dépassât point celle dela plus minuscule bactérie.

Après avoir expliqué ce qu’est la suite exponentielle 2n en cal-culant le nombre des ancêtres d’une personne donnée, il passaau problème des abeilles dont les naissances sont assujettiesà la règle suivante : Les mâles ont seulement une mère, lesfemelles ont une mère et un père. Il s’avère que le nombred’abeilles, à une étape donnée, est égal à celui de l’étape pré-cédente plus celui de l’avant-dernière étape. Le tout était agré-menté de diapositives permettant de visualiser l’évolution del’essaim d’abeilles d’une génération à l’autre, et ce pour le plusgrand plaisir de l’auditoire. C’est le cas de le dire, on aurait puentendre voler une abeille !

Vinrent ensuite les lapins de Fibonacci, avec toujours desimages à l’appui pour suivre l’évolution de la population,chaque image valant à elle seule mille mots. Le professeurWaldschmidt n’a pas eu besoin d’une formule de récurrencepour introduire les nombres de Fibonacci ! Il en profita pourmentionner que d’après la théorie des populations stablesd’Alfred Lotka, si chaque couple engendre un couple les deuxpremières saisons seulement, alors le nombre de couples quinaissent chaque année suit encore la loi de Fibonacci. Il passaensuite à la phyllotaxie, c’est-à-dire l’ordre dans lequel sontimplantés les feuilles ou les rameaux sur la tige d’une plante,ou, par extension, la disposition des éléments d’un fruit, d’unefleur, d’un bourgeon ou d’un capitule (d’après Wikipédia).

Un des points forts de la conférence fut En effeuillant la mar-guerite. Il s’agit d’enlever un pétale à la fois d’une margueritetout en disant (de manière cyclique !)

(1) Je t’aime, (2) Un peu, (3) Beaucoup, (4) Passionnément,(5) À la folie, (6) Pas du tout,

et de savoir à quelle case on aboutit lorsqu’on enlève le dernierpétale. Comme le nombre de pétales est souvent un nombrede Fibonacci, ceci revient à considérer la suite des restes de ladivision par 6 des nombres de la suite de Fibonacci. Commecette suite commence par 1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, . . . et quele premier multiple de 6 (dans la suite de Fibonacci) est lenombre 144, il est peu probable que le dernier pétale aboutissesur la case 6. Il n’y a qu’un pas à franchir pour conclure queles marguerites nous enseignent que nous sommes amoureuxde presque tout le monde. . ., ou du moins que nous devrionsl’être.

Arriva dans le décor le code secret de coffre à huit nombresdu Code Da Vinci : 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5, à savoir leshuit premiers nombres de la suite de Fibonacci qu’il s’agissaitde remettre dans l’ordre. Le conférencier enchaîna ensuite avecle rectangle d’or et le nombre d’or. Puis vinrent les pavages dePenrose, le tout accompagné d’images plus belles les unes queles autres. . . Dans les dernières minutes de son exposé, le pro-

fesseur Waldschmidt mentionna le problème non résolu sui-vant : Y a-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui soientpremiers ?

Le professeur Michel Waldschmidt conclut en mentionnantque dans une lettre du 2 juillet 1830 adressée à Legendre, Ja-cobi écrivit : « M. Fourier avait l’opinion que le but principaldes mathématiques était l’utilité publique et l’explication desphénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui auraitdû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur del’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombresvaut autant qu’une question du système du monde. »

Les membres de l’auditoire auraient certainement aimé poserdes questions, mais l’organisateur jugea que tous méritaientbien un répit après un contact aussi coloré avec la faune et laflore. C’est alors que le lait des vaches et le miel des abeillesse transformèrent miraculeusement en un vin offert par leCRM. On suggéra aux membres de l’auditoire de poser leursquestions autour d’une table sur laquelle se trouvaient amuse-gueules et verres de vin ou de jus : Carpe diem. In vino veritas !

Fall 2010(continued from page 4)

These groups are exactly the coordinate groups of irreduciblealgebraic varieties over a free group, and they have the sameexistential theory as a non-abelian free group. They are rel-atively hyperbolic and have many properties similar to thoseof free groups. Many algorithmic problems are solved in thisclass.

Residually free groups are subgroups of direct products offinitely many fully residually free groups; this characteriza-tion enables us to study their properties. The activity in thisfield has been growing incredibly fast, and huge advances havebeen made, but a lot of work remains to be done. Duringthe last workshop, the Aisenstadt Chair Alexander Razborovwill give his Aisenstadt Chair lectures, and there will be threemini-courses. Yuri Matiyasevich (St. Petersburg) will give amini-course on equations in monoids, Nikolai Romanovskii(Novosibirsk) a mini-course on equations in solvable groups,and Igor Lysenok (Steklov Institute, Moscow) a mini-course onthe complexity of the Diophantine problem in a free group.

In addition to mini-courses during each workshop, there willbe two semester-long courses in support of the ThematicSemester. The first will be a course on group actions, andthe second a course on equations in groups. Both courses willbe aimed at beginning graduate students and will assume littleprior background. Interested graduate students may apply forfinancial support.

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Grande Conférence du CRM

Le théorème du point fixe de Brouwer :un caméléon mathématique

Jean Mawhin(Université catholique de Louvain)

de Christiane Rousseau (Université de Montréal)

Le 8 octobre 2009 lesGrandes Conférences duCRM accueillaient JeanMawhin, professeur émé-rite de l’Université catho-lique de Louvain, qui adonné une conférence autitre accrocheur : « Le théo-rème du point fixe de Brou-wer : un caméléon mathé-matique ». La conférencecommença sous forme deradio-journal avec les nou-velles brèves en économie,en sciences, en culture et

loisirs, ainsi que la météo pour les vacances, le tout agrémentéde notes de la rédaction ! Voici par exemple une nouvelle brèveen économie : « Dans un jeu non coopératif à un nombre quel-conque de joueurs, il y a toujours un équilibre social », et unesur la météo : « À chaque instant, il existe sur Terre au moinsdeux points antipodaux ayant même pression atmosphériqueet même température. » Le thème commun de toutes ces nou-velles était, on l’aura deviné, le théorème du point fixe de Brou-wer.

Le conférencier définit ensuite la notion de point fixe d’unetransformation et l’illustra abondamment à l’aide d’exemplesde transformations géométriques usuelles : symétries, rota-tions, etc. Il montra l’importance de l’hypothèse que la trans-formation est continue. Il fit aussi ressortir l’importance de la« topologie » de l’ensemble, puisqu’une rotation du cercle danslui-même n’a pas de point fixe. Le théorème du point fixe deBrouwer affirme que toute transformation continue de la bouleunité, Bn, dans elle-même admet un point fixe. Jean Mawhindonna l’idée sous-jacente à la preuve dans les cas n = 1 etn = 2 avant de passer à l’histoire de la découverte du théo-rème. Il définit ensuite les notions de rétraction et de rétracted’un ensemble, qu’il illustra abondamment avant d’expliquerque le théorème du point fixe de Brouwer est équivalent authéorème de Borsuk (« Sn n’est pas un rétracte de Bn+1 »).

Le professeur Mawhin expliqua aussi comment les rotationsd’un espace dans lui-même peuvent détecter la parité de cetespace, grâce à un autre grand théorème de Brouwer, d’après

lequel si n est pair, toute transformation de la sphère Sn danselle-même admet, soit un point fixe, soit un point dont l’imageest son antipode. Le public eut ensuite droit à toutes les formu-lations équivalentes possibles, dont celle-ci : on peut coiffer unesphère en brosse, mais si on essaie de peigner sagement les che-veux, il y aura toujours un cheveu rebelle ! La nouvelle brèvesur la météo des vacances fut démontrée à l’aide du théorèmede Borsuk-Ulam : « pour toute transformation de Sn dans Rn, ilexiste une paire de points antipodaux sur lesquels la transfor-mation prend la même valeur ». Comme autre application, leconférencier a ensuite parlé en détail du partage équitable, enun seul coup de couteau, d’un sandwich ou de deux crêpes.

Le public joua ensuite au jeu de Sperner avec le conférencier etvérifia avec lui que ce jeu est inéquitable pour celui qui com-mence. La généralisation en dimension n fut présentée, ainsique le fait que ce jeu est équivalent au théorème du point fixede Brouwer. Le public eut alors droit aux applications de cethéorème en économie mathématique, via les jeux non coopé-ratifs, les équilibres de Nash et le célèbre théorème de Nashassurant que tout jeu non coopératif à n joueurs admet un équi-libre ; ce dernier résultat est une des contributions qui valurentle prix Nobel d’économie à John Nash en 1994. Le public putlaisser courir son imagination en entendant parler des généra-lisations en dimension infinie, de ce qui n’est plus vrai et de cequi l’est toujours en dimension infinie, et du caractère étrangedes tambours de dimension infinie.

Jean Mawhin poursuivit en faisant l’historique des généralisa-tions du théorème du point fixe de Brouwer en dimension infi-nie (dont les théorèmes de Schauder et de Tikhonov), et expli-qua que le théorème du point fixe de Brouwer est au confluentde plusieurs disciplines mathématiques et a de multiples ap-plications en mécanique, physique, chimie, biologie, économieet démographie. Il confia aussi au public le soin de trouverles prochaines applications ! Le professeur Mawhin conclut saconférence colorée en rappelant que la théorie des points fixesest un mélange de questions d’apparence futile et d’apparencesérieuse et que « leur étude a indifféremment contribué à l’hon-neur de l’esprit humain et à la connaissance de la nature ». Lasoirée se termina par un vin d’honneur très animé.

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Nouvelles brèves

André Bandrauk, Michel Delfour et Michael C. Mackeynommés Fellows de la SIAM

André Bandrauk

La grande société américaine demathématiques appliquées (Societyfor Industrial and Applied Mathe-matics, dont l’acronyme est SIAM)a récemment créé un programmede Fellows pour rendre hommageaux membres de la SIAM ayantfait des contributions exception-nelles au domaine de cette société.Le Centre de recherches mathéma-tiques est fier d’annoncer que trois

de ses membres, le professeur André Bandrauk de l’Universitéde Sherbrooke, le professeur Michel Delfour de l’Université de

Michel Delfour

Montréal et le professeur MichaelC. Mackey de l’Université McGill,ont été nommés Fellows de la SIAMlors de la première sélection deceux-ci. André Bandrauk détientune Chaire de recherche du Canadaen chimie computationnelle et pho-tonique moléculaire et vient d’or-ganiser (en collaboration avec M.Y. Ivanov, C. Le Bris et B. Schnei-der) un atelier sur l’imagerie dyna-mique quantique, dans le cadre dusemestre thématique sur les pro-blèmes mathématiques en imagerie(automne 2009). Michel Delfour est un des premiers chercheursà s’être joints au CRM et est professeur titulaire au Dépar-tement de mathématiques et de statistique. Il a organisé denombreuses activités au CRM, en particulier les 6es journées

Michael C. Mackey

montréalaises de calcul scienti-fique, du 4 au 6 mai 2009 (en col-laboration avec A. Fortin et T. Wih-ler). Michael C. Mackey est le pro-fesseur « Joseph Morley Drake » dephysiologie à l’Université McGill etle directeur du Centre for Nonli-near Dynamics in Physiology andMedicine. Au CRM, il a en particu-lier organisé l’Atelier sur la décom-position des réseaux biochimiques(du 24 au 28 septembre 2007), en

collaboration avec Peter Swain et Brian Ingalls et dans lecadre du Semestre thématique sur les systèmes dynamiquesappliqués.

Prix spécial décerné à Accromαth

Un prix spécial de la ministre de l’Éducation, du Loisir et duSport a été décerné à la revue Accromαth, une revue de vul-

garisation scientifique de haut niveau dont le rédacteur enchef est André Lauzon, professeur retraité du Cégep de Lévis-Lauzon. Accromαth est publiée par l’Institut des sciences ma-thématiques et le Centre de recherches mathématiques. La re-vue avait été soumise à la ministre dans la catégorie « ouvragedidactique », où elle ne s’insérait pas tout à fait, et même si lecomité de sélection ne pouvait décerner un prix dans cette ca-tégorie, les membres du comité ont demandé que soit créé unPrix spécial de la ministre de l’Éducation, du Loisir et du Sport,lequel a été remis au rédacteur en chef d’Accromαth.

Autresarticles

Garder ses distances

!Rubrique des

La plus belle propriété du

nombre

Le comité a été frappé par laqualité de l’édition de la re-vue et son graphisme exem-plaire, et encore plus frappépar le concept même de la re-vue, qui vise à susciter l’in-térêt des jeunes pour les car-rières scientifiques et à leurfaire découvrir les mathéma-tiques. Accromαth est une re-vue innovatrice et polyva-lente, qui peut être utiliséeaux niveaux collégial et uni-versitaire et à laquelle colla-borent plusieurs scientifiquesdes collèges et universités.Elle est publiée à 4 500 exemplaires, distribuée gratuitementaux abonnés et aux établissements d’enseignement et en plusdiffusée électroniquement grâce à son site Web (http://accromath.ca).

Gilles Brassard(suite de la page 14)

était passionné de cryptanalyse. Il y voyait un jeu entre deuxéquipes adverses, celle des scientifiques qui inventent de nou-veaux chiffres, et celle des « espions » qui les percent. PourPoe comme pour plusieurs scientifiques, il ne fait aucun douteque tout chiffre peut être percé par l’esprit humain si suffisam-ment de temps lui est donné. Mais le Professeur Brassard nousinvite à réfléchir à cet énoncé. Est-ce si évident ? Les ordina-teurs ne pourraient-ils pas être utilisés pour mettre en œuvredes chiffres qu’aucun esprit ou qu’aucune machine ne pourraitpercer en un temps raisonnable ? Si c’était le cas, l’équipe desperceurs de chiffres, en inventant le Colossus pour gagner unemanche, aurait perdu la partie !

Le grand public était au rendez-vous. Il était captivé. Ceuxd’entre nous qui savent que Gilles est un des pères de la cryp-tographie quantique ont été étonnés de voir ce sujet important(presque) passé sous silence. Modestie ? « Non, il aurait fallutrop de temps pour bien expliquer ce sujet », nous a réponduGilles. Il faudra inviter à nouveau ce brillant conférencier !

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Mot du directeur(suite de la page 20)

d’analyse mathématique) de faire des propositions dans les domaines de l’analyse,la géométrie et la topologie. Les laboratoires se mirent au travail avec enthousiasmeet proposèrent un semestre thématique en analyse géométrique (pour le printemps2012) et une année thématique sur les espaces de modules, l’extrémalité et les inva-riants globaux (pour l’automne 2012 et le printemps 2013). Ces propositions d’activi-tés thématiques sont prêtes et ont été présentées au Comité scientifique internationallors de sa réunion en novembre.

Dans le cadre du Séminaire de mathématiques supérieures (SMS), le CRM et le dé-partement de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal organi-sèrent une école d’été sur les formes automorphes et fonctions L et leurs aspects al-gorithmiques (du 22 juin au 3 juillet 2009). Toujours dans le cadre du SMS, une écoleen informatique quantique est prévue pour l’été 2010 et une proposition d’école enanalyse géométrique sur les espaces métriques-mesurés a été faite pour l’été 2012. Sicette école a lieu, ce sera la 50e école d’été dans le cadre du SMS.

Lorsque le Canada proposa d’être l’hôte du CIM (Congrès International des Mathé-maticiens), Christiane Rousseau suggéra un programme relié à ce congrès et intitulé« Mathématiques de la planète terre ». Malgré ses grandes qualités, la propositioncanadienne pour le CIM ne fut pas retenue, mais la suggestion d’organiser des ac-tivités sur le thème des mathématiques de la planète terre fut adoptée par le CRMet d’autres instituts d’Amérique du Nord. Par exemple, le semestre thématique destatistique, en 2011, inclura des activités sur ce thème, et d’autres activités serontorganisées par le CRM.

Je conclus en mentionnant que la demande d’équipement faite au CRSNG l’annéedernière a été partiellement agréée, et qu’une nouvelle demande vient d’être pré-sentée au CRSNG pour satisfaire les besoins restants.

Peter Russell

Word of the Director(continued from page 20)

A summer school on Automorphic Forms and L-functions, Computational Aspects, washeld this summer in the Séminaire de mathématiques supérieures (SMS) series. For 2010another SMS school is planned in Quantum Information, and there is a proposal for one onGeometric Analysis on Metric-Measure Spaces as part of the Analysis Thematic Semester.It would be the 50th in the SMS series. As part of the strong (but in the end not successful)Canadian bid for an ICM meeting Christiane Rousseau had launched a one-year initiativeon Mathematics of Planet Earth (MPE), to be organized jointly by the North AmericanMathematics institutes. This initiative has been retained in various forms by the CRM andother institutes. Part of the Statistics Thematic Semester in 2011, for instance, fits in theMPE framework, and other activities for 2011 and later are in the planning stage.

To conclude let me mention that an equipment grant application made to NSERC last yearhas been partially successful, and that a new request for what has not yet been granted hasbeen submitted this fall.

Peter Russell

Le Bulletin du CRM

Volume 15, No 2Automne 2009

Le Bulletin du CRM est une lettre d’in-formation à contenu scientifique, faisantle point sur les actualités du Centre derecherches mathématiques.

ISSN 1492-7659Le Centre de recherches mathématiques(CRM) a vu le jour en 1969. Présentementdirigé par M. Peter Russell, il a pour ob-jectif de servir de centre national pourla recherche fondamentale en mathéma-tiques et leurs applications. Le person-nel scientifique du CRM regroupe plusd’une centaine de membres réguliers etde boursiers postdoctoraux. De plus, leCRM accueille chaque année entre milleet mille cinq cents checheurs du mondeentier.Le CRM coordonne des cours de cyclessupérieurs et joue un rôle prépondé-rant (en collaboration avec l’ISM) dans laformation de jeunes chercheurs. On re-trouve partout dans le monde de nom-breux chercheurs ayant eu l’occasionde perfectionner leur formation en re-cherche au CRM. Le Centre est unlieu privilégié de rencontres où tousles membres bénéficient de nombreuxéchanges et collaborations scientifiques.

Le CRM tient à remercier ses diverspartenaires pour leur appui financier àsa mission : le Conseil de recherchesen sciences naturelles et en génie duCanada, le Fonds québécois de la re-cherche sur la nature et les technolo-gies, la National Science Foundation, leClay Mathematics Institute, l’Universitéde Montréal, l’Université du Québec àMontréal, l’Université McGill, l’Univer-sité Concordia, l’Université Laval, l’Uni-versité d’Ottawa, l’Université de Sher-brooke, ainsi que les fonds de dotationAndré-Aisenstadt et Serge-Bissonnette.

Directeur : Peter Russell

Directeur d’édition : Odile MarcotteConception et infographie :

Félix Labrecque-Synott et André Montpetit

Centre de recherches mathématiquesPavillon André-AisenstadtUniversité de MontréalC.P. 6128, succ. Centre-villeMontréal, QC H3C 3J7Téléphone : 514.343.7501Télécopieur : 514.343.2254Courriel : CRM@CRM.UMontreal.CA

Le Bulletin est disponible aucrm.math.ca/docs/docBul_fr.shtml.

BULLETIN CRM–19

• crm.math.ca •

Mot du directeur Word of the Director

Mon mandat comme directeur du CRM a commencé il y apresque six mois. J’aimerais remercier les membres et les em-ployés du CRM de leur accueil chaleureux et de leur aide pré-cieuse au cours de cette première période. Ce mot me donnel’occasion de vous présenter rapidement les activités du CRMpendant l’été et l’automne 2009, et les activités prévues pourles années qui vont suivre.

Le programme conjoint CRM-PIMS « Défis et perspectives enprobabilités » (2008-2009) eut lieu au CRM et en plusieurs lo-calités de l’Ouest pendant le printemps et l’été et connut untrès grand succès. En plus des ateliers, il comporta un sympo-sium en l’honneur de David Brydges et Joel Feldman (en juillet2009) et des conférences Aisenstadt données par Svante Jansonen octobre 2008.

L’étendue des activités scientifiques du CRM aété démontrée une fois de plus par les quatreateliers interdisciplinaires du Semestre thé-matique sur les problèmes mathématiques enimagerie (pendant l’automne 2009). Pendantce semestre, les titulaires de la Chaire Aisens-tadt étaient Stéphane Mallat et Claude Le Bris.

Quatre Grandes Conférences du CRM se sonttenues récemment, dont une à l’UniversitéLaval. Elles furent données respectivementpar Gilles Brassard, Michel Waldschmidt, JeanMawhin et Jeffrey Rosenthal. De nombreuxcongrès et ateliers furent organisés ou soute-nus par le CRM ; parmi eux mentionnons CanaDAM 2009 (uncongrès sur les mathématiques discrètes et algorithmiques),deux ateliers en l’honneur de membres du CRM (M. Makkaiet P. Russell), ICML 2009 (un congrès sur l’apprentissage au-tomatique), le 1er Atelier de Montréal sur les mathématiquesidempotentes et les mathématiques tropicales, le 15e CongrèsIAPR sur la géométrie discrète et l’imagerie et le Troisième ate-lier de résolution de problèmes industriels de Montréal (uneactivité CRM-MITACS).

La programmation thématique jusqu’en 2011 avait déjà été ap-prouvée par le Comité scientifique international du CRM en2008. Les prochains semestres thématiques porteront sur lesthèmes suivants : théorie des nombres, science expérimentaleet appliquée (hiver et printemps 2010), aspects géométriques,combinatoires et algorithmiques de la théorie des groupes (étéet automne 2010), statistique (hiver et printemps 2011) et infor-matique quantique (été et automne 2011).

Notre Comité scientifique local, récemment constitué, se réunitpour la première fois au début du mois d’octobre et de-manda à deux laboratoires (le CIRGET et le Laboratoire

(suite à la page 19)

It is almost half a year already since the beginning of my term as di-rector of the CRM. I would like to thank the members and the staffof the CRM for the warm welcome they have given me, and for theirtremendous help during the inevitable learning period. I take thisopportunity to give you a brief run-down on what happened at theCRM this summer and fall, and what is planned for the future.

The very successful Joint CRM–PIMS Thematic Program 2008–2009 on Challenges and Perspectives in Probability took place duringspring and summer at the CRM and various western locations. It in-cluded a symposium in honour of David Brydges and Joel Feldman.The associated Aisenstadt Chair lectures had already been given bySvante Janson in 2008.

In a good demonstration of the wide scope of our activities we hadfour very interdisciplinary workshops during the Fall 2009 Thematic

Semester on Mathematical Problems in ImagingScience, from the Neuronal to the Quantum world.Stéphane Mallat and Claude Le Bris were Aisen-stadt lecturers for this Thematic Semester.

Four Grandes Conférences du CRM were pre-sented to the general public, one of them at Uni-versité Laval. The speakers were Gilles Brassard,Michel Waldschmidt, Jean Mawhin and JeffreyRosenthal. A considerable number of conferencesand workshops were organized or supported by theCRM, among them CanaDAM 2009 (on discreteand algorithmic mathematics), two conferences inhonour of CRM members (M. Makkai and P. Rus-

sell), ICML 2009 (on machine learning), the 1st Montreal Workshopon Idempotent and Tropical Mathematics, the 15th IAPR Interna-tional Conference on Discrete Geometry for Computer Imagery andthe 3rd CRM–MITACS Montreal Industrial Problem Solving Work-shop.

Future thematic programming had, at least tentatively, been ap-proved in 2008 already by our International Scientific Advisory Com-mittee (ISAC) through the fall of 2011. The upcoming thematicsemesters are: Number Theory as Experimental and Applied Sci-ence (Winter–Spring 2010), Geometric, Combinatorial and Com-putational Group Theory (Summer–Fall 2010), Statistics (Winter–Spring 2011) and Quantum Information (Summer–Fall 2011).

Our newly constituted Local Scientific Committee met for the firsttime early in October and decided to ask the relevant laboratories forproposals in the areas of Analysis and Geometry–Topology. The re-sponse was enthusiastic and rich proposals for a thematic semesterin Geometric Analysis and Spectral Theory (Spring 2012) and a the-matic year in Moduli Spaces, Extremality and Global Invariants (Fall2012 and Spring 2013) have been readied for presentation to the ISACat its meeting this month.

(continued on page 19)

BULLETIN CRM–20