les 4 - het ritdistributiemodel-b · 2011-03-09 · visualisatie h-b matrix: wenslijnen. h01i6a...

Het ritdistributiemodelH01I6A Verkeerskunde basis

Ben Immers

Traffic and InfrastructureDepartment of Civil Engineering

Faculty of EngineeringKatholieke Universiteit Leuven

H01I6A Verkeerskunde basis 2

Het klassieke verkeersprognosemodel

Gebieds-gegevens

Ritproductie/ritattractie

Vervoersstromen

Trip-ends

Verplaatsings-weerstanden

H-B tabellen

Distributie/vervoerwijzekeuze

Toedeling

Transportnetwerken


Vertrekken en aankomsten in de avondspits (auto)

DeparturesAankomsten

Brussels Leuven

Mechelen

Lier

Zaventemairport

Aarschot


Zone j

Zone i

Pij

Pij = de verplaatsing van zone i naar zone jPijv = de verplaatsing van zone i naar zone j met vervoerwijze v


Visualisatie H-B matrix: wenslijnen


Doel van dit deelmodel

� We verdelen de verplaatsingen met vertrekpunt i over de mogelijke bestemmingen

� We verdelen de verplaatsingen met aankomstpunt j over de mogelijke herkomsten

� Resultaat: herkomst-bestemmingsmatrix (H-B matrix)

� Toegepaste methodieken

� Groeifactormodel

� Zwaartekrachtmodel


Doel van de berekeningsstapvervoerwijzekeuze

� Vaststellen welke vervoerwijze m gebruikt wordt voor een verplaatsing van i naar j

� Resultaat� vervoerwijze-specifieke vertrekken en aankomsten

� vervoerwijze-specifieke H-B matrices

� vervoerwijze-specifieke routekeuze

� Methodiek� in verschillende fasen van de berekening

� na ritproductie/attractie

� na distributie

� simultaan met distribution

� simultaan met routekeuze


Sequentieel model 1

Productie/attractie

Vervoerwijzekeuze

Toedeling

Vervoerwijzekeuze heeft geen invloed op distributie

Distributie


Sequentieel model 2

Productie/attractie

Vervoerwijzekeuze

Distributie

Toedeling

Distributie heeft geen invloed op vervoerwijzekeuze


Simultaan model

Productie/attractie

Vervoerwijzekeuze

Distributie

Toedeling

Vervoerwijzekeuze heeft wel invloed op distributie en omgekeerd


Aankomsten

Vertrekken 1 2 j n

1 T11 T12 T1n O1

2 T21 T22 T2n O2

i Tij Oi

m Tm1 Tm2 Tmn Om

D1 D2 Dj Dn

Generieke vorm van een H-B matrix

i

j

ij OT =∑

T Tij

ij

∑ =ij j

j

T D=∑


� Groeifactormodel

� Bestaande H-B matrix is uitgangspunt

� Zwaartekrachtmodel

� Matrix met weerstanden is uitgangspunt

Distributie


Distributie

� Bepaal Tij

Met als randvoorwaarde:

� zowel vertrekken als aankomsten zijn bekend (double constrained)

� vertrekken zijn bekend (single constrained)

� aankomsten zijn bekend (single constrained)

� geen randvoorwaarden (unconstrained)

Vaak aparte tabellen voor motief (wo-we), tijd (spits) en

persoonskenmerk (autobezit, etc.)


Distributieberekening

� Σ Tij = Oi voor i = 1…..mj

� Σ Tij = Dj voor j = 1….ni

� m + n – 1 onafhankelijke vergelijkingen� m ∗ n onbekenden

� stelsel is onbepaald� additionele randvoorwaarden nodig: weerstand tussen zones

Verkeer verdeelt zich over H-B relaties naar rato van een functie van deweerstand tussen de H-B relatie(s) (Hogere weerstand � minder verplaatsingen)

� Informatie over weerstand� historisch: groeifactor methode� synthetisch: zwaartekrachtmodel


Groeifactormodel

� Gegeven: Een oude matrix (a priori matrix)

� Gevraagd: Schat een nieuwe matrix

� Oplossing: Verhoog alle cellen evenredig met groeifactor zodat nieuwe producties en/of attracties overeenkomen met de resultaten uit het ritgeneratiemodel (randvoorwaarden)

Onderscheid naar:

� single constrained groeifactor

� double constrained groeifactor


Groeifactormodel

� uniforme groeifactor

� groeifactormodel met één randvoorwaarde

� groeifactormodel met dubbele randvoorwaarden

Toepassing Furness vereffeningsmethode:

Tij = ai ∗ bj ∗ tij

ai = gi1 ∗ gi2 ∗ …

bj = Gj1 ∗ Gj2 ∗ …

ai en bj = evenwichtsfactoren

tij = a-priori H-B matrix (basismatrix)


1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5 50 100 200 355 400

2 50 5 100 300 455 460

3 50 100 5 100 255 400

4 100 200 250 20 570 702

i

∑ 205 355 455 620 1635 1962

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5.6 56.3 112.7 225.4 400 400

2 50.5 5.1 101.1 303.3 460 460

3 78.4 156.9 7.8 156.9 400 400

4 123.2 246.3 307.9 24.6 702 702

i

∑ 257.7 464.6 529.5 701.2 1962 1962

Voorbeeld groeifactormethode met

producties als randvoorwaarde


1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5 50 100 200 355 400

2 50 5 100 300 455 460

3 50 100 5 100 255 400

4 100 200 250 20 570 702

i

∑ 205 355 455 620 1635

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5.2 43.6 97.2 254.0 400.0 400

2 44.7 3.8 83.7 327.9 460.1 460

3 76.7 128.7 7.2 187.4 400.0 400

4 133.4 223.9 311.9 32.6 701.8 702

i

∑ 260.0 400.0 500.0 801.9 1961.9

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

Voorbeeld groeifactormethode met dubbele randvoorwaarden


“Furness” procedure

Algoritme: herhaal tot convergentie:

� vereffenen producties

� vereffenen attracties

Dit “Furness” proces convergeert naar een stabiele oplossing

� Mathematisch:

Tij = ai ∗ bj ∗ tijai , bj = evenwichtsfactoren (“balancing factors”)

tij = a priori HB tabel


1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5 50 100 200 355 400

2 0 50 0 0 50 460

3 50 100 5 100 255 400

4 100 200 250 20 570 702

i

∑ 155 400 355 320 1230

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 3.4 0.7 61.0 355.3 420.4 400

2 0 388.2 0 0 388.2 460

3 65.5 2.8 5.9 345.7 419.9 400

4 191.1 8.3 433.1 101.0 733.5 702

i

∑ 260.0 400.0 500.0 802.0 1962.0

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

Voorbeeld van een niet convergerend

Furness proces


Nadelen groeifactormodel

� verplaatsingen van en naar nieuwe ruimtelijke ontwikkelingen kunnen niet worden berekend

� betrouwbaarheid a-priori gegevens bepaalt resultaat

� methodiek convergeert niet altijd tot een stabiele oplossing

� methodiek houdt geen rekening met veranderingen in het netwerk


Zwaartekrachtmodel

Vergelijking met Groeifactormodel:

� in plaats van een a priori matrix starten met matrix gevuld met waarden uit distributiefunctie

� Daarna het “Furness” proces toepassen

Mathematisch betekent dit:

Tij = ai * bj * f(cij)

� Zwaartekrachtmodel (Gravity model) vanwege overeenkomst met Newtons graviteitswet


Zwaartekrachtmodel

� Waarde van de distributiefunctie vervult de rol van a-priori matrix


� ai en bj = de evenwichtsfactoren (balancing factors)

� f(cij) = distributiefunctie

� Model met één randvoorwaarde: ai of bj = 1


Distributiefunctie

� De distributiefunctie geeft weer: De bereidheid tot het maken van een verplaatsing als functie van de weerstand

Mathematische vorm:

� exponentiele functie

� machtsfunctie

� combinatie exponent en machtsfunctie

� functiewaarden in tabel

Bijv. f(cij) = cij-α . e-βcij

De parameters α en β (of de functiewaarden in de tabel) worden door

calibratie bepaald


Weerstanden

� Alles wat een reiziger als verplaatsingsweerstand ervaart

Notatie: cij = tripcost

� Eenheden (meestal):� tijd

� kosten

� lineaire combinatie van tijd of kosten

= gegeneraliseerde tijden of gegeneraliseerde kosten

Voorbeeld: gewogen reistijd openbaar vervoer:

1 * echte reistijd + 2 * voor- en natransporttijd + 3 * wachttijd


Gegeneraliseerde weerstandsfunctie

� gegeneraliseerde tijden� gegeneraliseerde kosten

kijv� zijv = tijv + γ ---------

ink

� zijv = de gegeneraliseerde tijden van zone i naar zone j met vervoerwijze v

� tijv = de tijden van zone i naar zone j met vervoerwijze v

� kijv = de kosten voor een verplaatsing van zone i naar zone j met

vervoerwijze v

� ink = inkomen

� γ = een coëfficiënt, die vaak recht evenredig is met het inkomen (γ = ± 3)

� het individuele verplaatsingsgedrag wordt veelal gerealiseerd binnen een

individueel kostenbudget en tijdbudget


Korte en lange afstand

� De meeste verplaatsingen zijn over de korte afstand

� Maar ook verplaatsingen over de lange afstand zijn belangrijk want verkeersdrukte is evenredig met de voertuigkilometers

Reistijd verdeling autoverplaatsingen

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 > 60

minuten

pro

cent


Distributiefunctie

� Aantal verplaatsingen naar een bestemming zal dalen naarmate de weerstand naar die bestemming toeneemt

� Weerstandseffect komt tot uitdrukking via de distributiefunctie f(cij)

� f(cij) = cij-α (negatieve machtsfunctie)

� f(cij) = e-βcij (negatief exponentiele functie)

� f(cij) = cij-α . e-βcij (combinatie van beide)

� (Tabel met discrete waarden)

Reistijd verdeling autoverplaatsingen

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 > 60

minuten

pro

cent


Enige analytische distributiefuncties

F(cij)

cij

cij-0.4

cij0.5

exp(-0.12cij)

exp(-0.05cij)


Eigenschappen distributiefunctie

� aantal verplaatsingen is eindig

� de distributiefunctie is monotoon dalend (minder verplaatsingen als de weerstand toeneemt)

� een zelfde weerstandsverschil heeft bij een grotere weerstand een kleinere invloed


Exponentiele distributiefunctie

ijzc

x ebF∗−

∗=

102010

)20(

)10( ∗∗+∗− == cccee

F

F

10110100

)110(

)100( ∗∗+∗− == cccee

F

F

Weerstandsverschil heeft een gelijke invloed bij grote en kleine weerstanden


� Lognormale functie

� Functie met discrete waarden

Distributiefuncties

)(ln

)(

2dzca

vZ

ijvv

ijvebF

+∗−∗=

vijv kZ FF =)( ZZkZ ijvvijv ∆+≤≤


Zwaartekrachtmodel: voorbeelden van

randvoorwaarden en weerstanden

Weerstand cij (minuten)

1 2 3 4

1 3 11 18 22

2 12 3 13 19

3 15.5 13 5 74 24 18 8 5

Randvoorwaarden

1 2 3 4 Voorspelde

Oi

1 0.74 0.33 0.17 0.11 400

2 0.30 0.74 0.27 0.15 460

3 0.21 0.27 0.61 0.50 400

4 0.09 0.17 0.45 0.61 702

Voorspelde

Dj 260 400 500 802 1962

F c eij

cij( ).

=−0 1


Zwaartekrachtmodel: voorbeeld van

waarden distributiefunctie

Startmatrix = Tabel met weerstandfactor F(c ij )= exp (-0.1 cij)

1 2 3 4j

∑ voorspelde

Oi

1 0.74 0.33 0.17 0.11 1.35 400

2 0.30 0.74 0.27 0.15 1.49 460

3 0.21 0.27 0.61 0.50 1.59 400

4 0.09 0.17 0.45 0.61 1.32 702

i

∑ 1.34 1.51 1.53 1.37 5.75

voorspelde

Dj 260 400 500 802 1962


Trips Tij as calculated by the gravity model

1 2 3 4 j

∑ ai

1 157 98 69 76 400 410.0

2 59 204 101 96 460 379.5

3 25 45 138 192 400 229.0

4 19 53 192 438 702 428.7

i

∑ 260 400 500 802 1962

bj 0.52 0.73 0.99 1.68

Zwaartekrachtmodel: resultaten

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5.2 43.6 97.2 254.0 400.0 400

2 44.7 3.8 83.7 327.9 460.1 460

3 76.7 128.7 7.2 187.4 400.0 400

4 133.4 223.9 311.9 32.6 701.8 702

i

∑ 260.0 400.0 500.0 801.9 1961.9

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

Vergelijking uitkomsten zwaartekrachtmodel en groeifactormodel


Interpretatie van de evenwichtsfactoren

� Tij = Ai * Oi * Bj * Dj * F(cij)

� Ai * Oi = ai ; met Oi = vertrekken uit zone i

� Bj * Dj = bj ; met Dj = aankomsten in zone j

� Tij = li * Qi * mj * Xj * F(cij)

� Qi en Xj = polariteiten van de herkomsten bestemmingszone


Calibratie van de distributiefunctie

Principe:

� Gegeven een H-B tabel met waarnemingen

� Neem aan dat voor deze H-B tabel een zwaartekrachtmodel geldt:


� Parameters zijn ai , bj en de parameters in de distributiefunctie f(cij)

� Calibreren betekent nu: Bepaal parameters zodanig dat een maximale aansluiting met de waargenomen H-B tabel wordt verkregen


Calibratie van de distributiefunctie

� Zoek naar ‘best fit’ van distributiemodel met waarnemingen

Methodes:

� Trial and error

� Maximum likelihood (bijv. Poissonschatter)

Probleem bij schatting:

� men beschikt over intensiteiten en niet over verplaatsingsgegevens (noodzakelijk om H-B tabel te reconstrueren)


Intrazonaal verkeer

� veelal erg omvangrijk (zeker bij grote zones)

Oplossing

� gebruik kleine zones en laat intrazonaal verkeer buiten beschouwing

� bereken (maak een schatting) van de intrazonale weerstand en schat distributiefunctie voor alle verplaatsingen


Externe zones

� Probleem: weerstanden naar externe zones zijn moeilijk nauwkeurig te bepalen

Oplossing:

� bereken externe verplaatsingen op basis van groeifactormodel

� pas tweetrapsberekening toe: eerst globale berekening voor gehele gebied, vervolgens nauwkeurige berekening voor studiegebied waarbij externe verplaatsingen uit eerste berekening als randvoorwaarde worden gehanteerd


Vervoerwijzekeuze

Berekening als onderdeel van de distributieberekening

� simultaan keuzemodel voor distributie en vervoerwijzekeuze

� aparte distributiefuncties per vervoerwijze (auto, o.v. en fiets)

� aparte distributiefuncties per motief van verplaatsing (werken, overig)

� aparte distributiefuncties per persoonskenmerk (autobeschikbaar,niet-autobeschikbaar)


Vervoerwijzekeuze

Invloedsfactoren:

� kenmerken van de reiziger� bezit (beschikbaarheid) vervoermiddel

� rijbewijsbezit

� kenmerken van de vervoerwijze (reistijd, kosten, etc.)

� kenmerken van de verplaatsing (motief, tijdstip, etc.)


Voorbeeld van berekening met multimodale zwaartekrachtmodel

� Randvoorwaarden

Randvoorwaarden (auto, fiets, openbaar vervoer tezamen!)

A B C Voorspelde Oi

A

B

C

100

100

200

Voorspelde

Dj 200 150 50

400



� Distributiefunctiewaarden per vervoerwijze

Waarden van de distributiefunctie

A B C

auto

A fiets

o.v.

20 10 2

10 5 1

4 3 1

auto

B fiets

o.v.

10 20 5

5 10 2

3 4 2

auto

C fiets

o.v.

2 5 20

1 2 10

1 2 4

)(m

ij

m

ij cF



Gesommeerde waarden distributiefunctie

A B C Voorspelde

Oj

A

B

C

34 18 4

18 34 9

4 9 34

56

61

47

100

100

200

56 61 47 164

Voorspelde

Dj 200 150 50 400

� Distributiefunctie gesommeerd over vervoerwijzen

∑m

m

ij

m

ij cF )(

∑i

∑j



� Resultaat: totale verplaatsingen

Verplaatsingen (alle vervoerwijzen) met zwaartekrachtmodel

A B C Σjai

A

B

C

78 22 0

50 48 2

72 80 48

100

100

200

1,01

1,23

7,85

Σi 200 150 50 400

bj 2,27 1,14 0,18



� Resultaat: verplaatsingen per vervoerwijze

Verplaatsingen per vervoerwijze

A B C Totaal

Oim

Totaal

Oiauto

A fietso.v.

46 12 023 6 09 4 0

582913

100

autoB fiets

o.v

28 28 214 14 08 6 0

582814

100

autoC fiets

o.v

36 44 2818 18 1418 18 6

1085042

200

autoTotaal fietsDj

m o.v.

110 84 3055 38 1435 28 6

22410769

Totaal Dj 200 150 50 400


Sequentieel keuzemodel distributie en vervoerwijzekeuze

� berekening vervoerwijzekeuze na distributie

� berekening vervoerwijzekeuze voor distributie

Probleem: welke weerstand hanteren in distributiefunctie

� gemiddelde weerstand?

� minimale weerstand?


Benadering met gebruikmaking logsom

� Tij = ai * bj * exp (Vij)

� Vij = utiliteit gemoeid met verplaatsing tussen i en j gerekend over alle vervoerwijzen

� Vij = θ LSij

Waarbij:

� LSij = ln Σ exp (Vijm’)

m∈ij

� 0 < θ ≤ 1


Het klassieke verkeersprognosemodel

Gebieds-gegevens

Ritproductie/ritattractie

Vervoersstromen

Trip-ends

Verplaatsings-weerstanden

H-B tabellen

Distributie/vervoerwijzekeuze

Toedeling

Transportnetwerken

les 4 - het ritdistributiemodel-b · 2011-03-09 · visualisatie h-b matrix: wenslijnen. h01i6a...

Documents