8/4/2019 Limites Superiores en Inferiores

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Sea ahora (xn) una sucesin acotada de nmeros reales. Demostraremos queel conjunto de los valores de adherencia de (xn) no es vaco, que entre los valores

de adherencia existe uno que es el menor de todos ellos y otro que es el mayor,y que una sucesin es convergente, si y slo si posee un slo valor de adherencia.

Pasamos a la discusin formal.

Sea (xn

) una sucesin acotada; digamos xn

para todo n 2 N.Escribamos Xn = fxn; xn+1; : : :g. Se cumple que [; ] X1 X2 Xn

. Luego, si an = inf(Xn) y bn = sup(Xn), entonces

a1 a2 an bn b2 b1 :

Consecuentemente, existen los siguientes lmites

a = lim an = sup an = supn

inf(Xn);

a = lim bn = infbn = infn

sup(Xn):

Escribiremos a = lim infxn y b = lim sup xn, y diermos que a es el lmiteinferior y que b es el lmite superior de la sucesin (xn). Evidentemente secumple:

lim infxn lim sup xn:

EJEMPLO 18. Sean x2n1 = 1=n y x2n = 1+1=n. Se verica fcilmenteque

inf(X2n2) = inf(X2n1) = 1

n; sup(X2n1) = sup(X2n) = 1 +

1

n:

Luego lim infxn = 0 y lim sup xn = 1. Adems, estos son los dos nicos valoresde adherencia de la sucesin (xn).

TEOREMA 10. Sea (xn) una sucesin acotada. Entonces lim infxn esel menor valor de adherencia y lim sup xn es el mayor valor de adherencia de lasucesin (xn).

Demostracin. En primer lugar demostraremos que a = lim infxn es unvalor de adherencia de la sucesin (xn). Para ello utilizaremos el Teorema 9.Dados arbitrariamente " > 0 y n0 2 N, demostraremos que existe n 2 N tal quen > n0 y xn 2 (a "; a + "). Puesto que a = lim an, existe n1 > n0 tal quea" < a

n1< a +". Adems, teniendo en cuenta que an1 = infXn1 , de la ltima

desigualdad se deduce que a + " no es cota inferior de Xn1 . Luego existe n n1

tal que an1 xn < a + ". As obtenemos n > n0 con a " < xn < a + ", comoqueramos. Demostraremos, ahora, que ningn nmero c < a puede ser valor deadherencia de (xn). De a = lim an y c < a se deduce que existe n0 2 N tal quec < an0 a. Como an0 = lim Xn0 , concluimos que n n0 ) c < an0 xn.Si " = an0 c, entonces c + " = an0 y, por tanto, el intervalo (c "; c + ") nocontiene ningn trmino xn con n n0. Esto excluye la posibilidad de que c

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sea un valor de adherencia de la sucesin (xn). La demostracin para el lmitesuperior es totalmente anloga.

COROLARIO 1. Toda sucesin acotada de nmeros reales posee unasubsucesin convergente.

En efecto, puesto que a = lim sup xn

es un valor de adherencia de (xn

),alguna subsucesin de (xn) converge hacia a.

COROLARIO 2. Una sucesin acotada de nmeros reales (xn) es con-vergente si, y slo si, lim infxn = lim sup xn, esto es, si y slo si posee un nicovalor de adherencia.

En efecto, si la sucesin (xn) es convergente entonces lim infxn = lim sup xn =lim xn. Recprocamente, supongamos lim infxn = lim sup xn = lim a. Con lanotacin anterior tenemos a = lim an = lim bn. Por tanto, dado " > 0, existen0 2 N tal que a " < an0 a bn0 < a + ". Adems, n > n0 implicaan0

xn

bn0

. Luego n > n0 ) a " < xn < a + " y, por tanto, lim xn = a.

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