lineas de transmision (juan bautista rios)

8/10/2019 Lineas de Transmision (Juan Bautista Rios)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRNICA

TITULACION PROFESIONAL POR ACTUALIZACION DE

CONOCIMIENTOS

CURSO N4

DISEO DE SISTEMAS DE TRANSMISIN EN MEDIA Y A LTA

TENSIN

L I N E A S D E T R A N S M I S I N E N M E D I A Y A LL I N E A S D E T R A N S M I S I N E N M E D I A Y A L T A T E N S I N T A T E N S IN

2001


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PROLOGO

El presente libro titulado LINEAS DE TRANSMISIN DE POTENCIAVOLUMEN I :ASPECTOS MECANICOS Y CONDUCTORES PRE EDICIN 2001, ha sido elaborado con lafinalidad de complementar las clases tericas de curso de Lneas de Transmisin dictado por elsuscrito en la Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica de la Universidad Nacional deIngeniera. El texto recoge la experiencia del autor obtenida en campo en la Ejecucin, Inspeccin,

Supervisin y Administracin deContratos de Ejecucin deLneas de Transmisinrealizadas en el Per.

Pretendo seguircreando inquietud y deseo desuperacin en el conocimientodetallado de la apasionanteespecialidad de la Ingeniera deLneas de Transmisin, por elloestoy todava escribiendo losvolmenes referidos a otrosaspectos tales como Diseo del

Aislamiento, Clculo deEstructuras, etc.que este aopublicaremos.

Por supuesto, mucho estimar si mis colegas o alumnos tienen alguna sugerencia deadicin y/o modificacin me lo hagan saber en la Facultad o de lo contrario en la direccin

electrnica: [email protected] , o a travs de la Pgina Web del Curso ubicada en:http://fiee.uni.edu.pe en donde publico el Contenido del Curso y artculos importantes referidos alDiseo, Construccin, Supervisin y Administracin de Proyectos de Lneas de Transmisin.

No deseo perder la oportunidad de agradecer a mi amigo Ing Carlos Medina R. actualDecano de la Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica de la Universidad Nacional deIngeniera de Lima - Per, por su asesoramiento.

JUAN BAUTISTA R.

Lima Enero 2001


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FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

TITULACION PROFESIONAL POR ACTUALIZACION DE CONOCIMIENTOS

CURSO N4:

DISEO DE SISTEMAS DE TRANSMISIN EN MEDIA Y ALTA TENSIN

LINEAS DE TRANSMISIN EN MEDIA Y ALTA TENSION

OBJETIVO

Actualizacin de los conocimientos en Ingeniera de Transmisin, de tal manera que elBachiller universitario obtenga el nivel de preparacin conducente a obtener el Ttuloprofesional de Ingeniero Electricista.

Para ello se exponen y analizan los temas fundamentales de tal manera que elBachiller Electricista participe exitosamente en diseo, preparacin de documentostcnicos e intervenga en trabajos de Supervisin, Construccin o Mantenimiento deLneas de Transmisin areas de Potencia en Media y Alta Tensin.

SYLLABUS

El desarrollo de la Transmisin de Potencia en el Mundo. Proyeccin de una Obra.Aspectos elctricos en lneas de transmisin. Aspectos mecnicos: el conductor delneas de transmisin, soportes en lneas de transmisin y cimentaciones. Diseo delaislamiento y el Efecto Corona. Construccin de Lneas de Transmisin. AspectosEconmicos y Evaluacin Econmica y Financiera de proyectos de lneas detransmisin.

PROGRAMA

1.- DESARROLLO DE LA TRANSMISIN DE POTENCIA EN EL MUNDO

Desarrollo y caractersticas de las lneas areas: Lneas de Media (MT), Alta (AT),Extra (EAT) y Ultra Alta Tensin (UAT). Transmisin en Corriente Continua:Diferencias y ventajas sobre la transmisin en Corriente Alterna.

2.- REVISIN DE LA ECUACIONES MATEMTICAS DEL CLCULO MECANICODE LNEAS DE TRANSMISIN.

Determinacin de la ecuacin del conductor extendido a nivel y desnivel. Vano real,Longitud, flecha, saeta, mximo tiro, etc. Ejemplos.

3.- PROYECTOS DE TRANSMISIN ELECTRICA Y PROYECCIN DE UNA OBRA.Etapas del Diseo de una Lnea de Transmisin.Estudios Geolgicos, de Mercado, Impacto Ambiental y Servidumbre de Lneas deTransmisin. Ley de Concesiones Elctricas y su Reglamento.Proyeccin Fsica de una Lnea de Transmisin: Investigacin Bsica y levantamientotopogrfico.Discusin de un proyecto realizado en el Per.


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4.- ASPECTOS ELCTRICOS EN LINEAS DE TRANSMISIN

El clculo Elctrico de Lneas: Constantes fsicas y elctricas. Comportamientoelctrico: prdidas por efecto Joule, cada de tensin, eficiencia y regulacin y su

anlisis.

5.- ASPECTOS ELCTRICOS: AISLAMIENTO Y PRDIDAS TRANSVERSALES

Determinacin del Aislamiento y nmero de aisladores de la cadena. Fugas encadenas de aisladores y Efecto Corona.

6.- ASPECTOS MECNICOS: EL CONDUCTOR DE LINEAS DE TRANSMISION

Tipos de conductores: caractersticas elctricas y mecnicas.La Ecuacin de Cambio de Estado (ECE).Seleccin del esfuerzo de templado: sobrecargas, vibraciones, hiptesis de clculomecnico, tramo de lnea, vano de regulacin, Tensin de cada da (TCD o EDS),flecha mxima, coeficiente de seguridad, plantilla de distribucin de estructuras.Fluencia del conductor (efecto Creep).

7.- ASPECTOS MECNICOS: SOPORTES Y CIMENTACIONES EN LINEAS DETRANSMISIN.

Definiciones: Vano Viento y Vano Peso. Determinacin del ngulo de Oscilacin de laCadena de aisladores.Tipos de Soportes o Estructuras: Materiales, configuracin, criterios de seleccin.Dimensionamiento: determinacin de las fuerzas externas, rbol de cargas, distanciasmnimas, hiptesis de calculo de soportes. Cimentaciones: Anlisis geotcnico.Procedimiento de clculo de cimentaciones fraccionadas, bloque slido y parrillametlica. Cimentaciones de postes de madera. Ejemplo.

8.- ASPECTOS MECNICOS: CIMENTACIONES EN LINEAS DE TRANSMISIN.

Cimentaciones: Anlisis geotcnico. Procedimiento de clculo de cimentacionesfraccionadas, bloque slido y parrilla metlica. Cimentaciones de postes de madera.Ejemplo.

9.- CONSTRUCCIN Y MANTENIMIENTO DE LNEAS DE TRANSMISIN

Secuencia y organizacin de la Obra para ejecucin. Procedimientos de extendimientode conductores y cable de guarda. Puesta en flecha. Instalacin de cimentaciones:parrillas metlicas, bloques de concreto, postes de madera y nivelacin de patas detorres.

Mantenimiento: Organizacin anual y requerimiento. Costos.

10.- COSTOS, EVALUACIN ECONOMICA Y FINANCIERA DE PROYECTOS DETRANSMISIN.

Costos del Proyecto: Diseo, Materiales y equipos, construccin y costo total. ValorNuevo de Reemplazo (VNR). Alternativa Tcnica ms econmica. seleccin del

conductor, soportes y aislamiento. Evaluacin Econmica y Financiera de un Proyectode Transmisin.


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BIBLIOGRAFIA:

-ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE, Transmission Line Reference Book 345 kV and

Above. Copyright 1975.

-VIQUEIRA LANDA JACINTO, Redes Elctricas Representaciones y Servicios de Ingeniera

SA. MEXICO. Copyright 1985.

-RUBENS DARIO FUCHIS y MARCIO TADEU DE ALMEIDA. Projetos mecanicos das linhas

areas de transmissao. Editora Edgard Blucher LTDA. Copyright 1982. Brasil.

-B.M. WEEDY, Sistemas Elctricos de Gran Potencia, Editorial Revert SA, 2aEdicin 1978.

-REA BULLETIN 62-1, Design Manual for High Voltaje Transmission Lines, Reprinted

December 1981.

-ENRIQUEZ HARPER Gilberto, LINEAS DE TRANSMISIN Y REDES DE DISTRIBUCIN DE

POTENCIA ELECTRICAEditorial Limusa. Copyright 1986. Mxico.

-ENRIQUEZ HARPER Gilberto, TCNICAS COMPUTACIONALES EN INGENIERIA DE ALTA

TENSIN. Editorial Limusa. Pre Edicin Copyright 1987. Mxico.

-ENDESA. Redes de Energa Elctrica. Segunda Parte: Lneas de Transmisin. Publicacin del

Departamento Elctrico y de Telecomunicaciones.1985

-ENRIQUEZ HARPER Gilberto, Tcnica de las Altas Tensiones, Vol.II, Edit Limusa 2a Pre-

Edicin, Mxico 1978.

-MARIA CHECA Luis, Lneas de Transporte de Energa, Marcombo Boixareu Editores, 2a

Edicin 1986.-DONALD G. FINK, H. Wayne Beaty, John M. Carroll, Manual Prctico de Electricidad para

Ingenieros, Tomo II, Editorial Revert SA, Edicin en Espaol 1981.

-TIMOSHENKO Y YOUNG, Teoria de las Estructuras, Urmo SA de Ediciones, 3a Edicin en

Espaol, Mxico 1985.

-JACK C. Mc CORMAC, Anlisis Estructural, Harla SA de C.V., 3aEdicin, Mxico 1983.

-WESTINGHOUSE, Electrical Transmission and Distribution Reference Book.

-ZOPPETTI, Redes Elctricas.

-GRAFICAS Y TABLAS PARA EL CALCULO DE LINEAS DE TRANSMISIN Y

SUBESTACIONES. Representaciones y Servicios de Ingeniera SA. Copyright 1985. Mxico.


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CAPITULO 1

DISCUSION MATEMATICA DEL CONDUCTOR A NIVEL

1.1 CATENARIA DEL CONDUCTOR

El conductor para Lneas de Transmisin de potencia, es un tipo particular de miembro estructural yque los ingenieros de estructuras estudian con fines de aplicacin en puentes, conductors pasantes, etc.

Sin embargo, para laIngeniera Elctrica interesa mas elcomportamiento libre del conductorsometido a lo sumo por efectos desobrecargas de viento y/o hielo;siendo la flecha, saeta y tiros, etc., lasincgnitas ms usuales.

Un conductor librementesuspendido entre dos soportesdescribe una curva que es fcilmentededucible y denominada catenaria.

La figura adjunta representaun conductor suspendido de lospuntos A y B. Si asumimos que elconductor es perfectamente flexible,

homogneo e inextensible bajo laaccin de las fuerzas de gravedad con carga continua distribuida a lo largo de l. Podemos tomar undiferencial del conductor y efectuar al anlisis correspondiente.

Sea el pequeo conductor de longitud dl,de peso unitario wc (kg/m), conproyecciones en los ejes dx y dy.

Supongamos que en el punto deabscisa x se tiene un tiro de T kG;entonces al desplazarnos un dx en laabscisa el tiro en (x+dx) deber ser de(T+dT) kG. De la misma forma si el

ngulo con la horizontal es de u gradossexagesimales, el ngulo de la fuerza(T+dT) con la horizontal, ser de (u+du)grados.

Por otra parte, siendo wcel pesounitario del conductor (en Kg/m) yasumiendo que muy aproximadamente elconductor es de longitud dx metros;entonces el peso del trozo de conductorser de wcdx kG.


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Por tanto, estando el conductor en equilibrio, la suma de las fuerzas resultantes en los ejes X e Yrespectivamente sern nulas; es decir:

SFx=0 y SFy=0

que son representadas por las ecuaciones:

(T+dT)cos(u+du)= T.cosu

(T+dT)sen(u+du)= T.senu+ wcdx

al desarrollar el coseno y seno trigonomtricos de la suma (u+du), obtenemos:

(T+dT)(cosu.cosdu- senu.sendu)= T.cosu

(T+dT)(senu.cosdu+ cosu.sendu)= T.senu+ wcdx

siendo la variacin del ngulo u (u0) muy pequeo, entonces podemos aproximar y escribir:

cosdu = 1

sendu = du

por lo que las igualdades se transforman en:

(T+dT)(cos u- senudu) = T.cos u

(T+dT)(senu+ cosudu) = T.senu+ wcdx

efectuando el producto indicado en las ecuaciones, obtenemos:

T.cosu- T.senudu+ du.cosu- dT.senudu = T.cosu

T.senu+ T.cosudu+ dT.senu+ dT.cosudu = T.senu+ wcdx

en donde eliminando trminos iguales y tomando en cuenta que:

-T.senudu+ dT.cosu = d(T.cosu)

T.cosudu+ dT.senu = d(T.senu)

entonces:

d(Tcosu) - dT.senudu = 0

d(Tsenu) + dT.cos udu = wcdx

en el lmite, para una muy pequea variacin de T; entonces dT0, por tanto:

d(T.cosu) = 0 ....................(1)

d(T.senu) = wcdx ..............(2)


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Siendo T el tiro (KG) en el punto del conductor de abscisa x, formando un ngulo de ugrados conla horizontal; la ecuacin (1) nos indica que el valor Tcosu es una constante, por cuanto su diferencial esnulo; y entonces podemos afirmar que:

" El tiro horizontal (en KG) en cualquier punto del conductor es constante a lo largo de l".

Sea, entonces To ese valor constante, es decir:

T.cosu = To ...............(3)

de donde:cos

oTT=

Si esta ecuacin, la reemplazamos en la ecuacin (2) obtenemos:

dxwT

d co =

cos

sen

o tambin:

( ) dxwTd co =tg .............(4)

pero como:

tg=dx

dy...................................(5)

entonces:

dxwdx

dyTd co =

..................(6)

Siendo To constante y pasando dx al primer miembro de la ecuacin (6) obtenemos:

o

c

T

w

dx

dy

dx

d=

que es lo mismo que:

o

c

T

w

dx

yd=

2

2

...............................(7)

Siendo wc y To constantes, entonces supongamos que:

c

o

w

TC= .....................................(8)


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por lo que la ecuacin (7) se transforma en:

Cdxyd 1

2

2

= ......................(9)

y al resolver esta ecuacin diferencial de segundo orden, fcilmente obtenemos:

C

y

C

x=

cosh ............(10)

por tanto:

=

C

xCy cosh .........(11)

que es la ecuacin de la catenaria que describe alconductor suspendido.

Siendo C el parmetro de la catenaria cuyas dimensionesson en metros.

Por otra parte, si x=0, entonces y=C, lo que significa que elpunto ms bajo vrtice de la catenaria se encuentra a Cunidades lineales (metros) del origen de ejes coordenadascartesianas.

La figura adjunta muestra la Catenaria, cuyo vrtice se

encuentra a C metros por encima del Orgen deCoordenadas.

Tambin si recordamos que desarrollando por Serie de Taylor:

...........!6!4!2

1cosh642

++++=ppp

p

por lo que la catenaria o ecuacin (11), se puede escribir:

+

+

+= ......!4!2

1

42

C

x

C

x

Cy

si slo tomamos dos trminos:

+=!2

1

2

C

x

Cy


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o tambin:

C

x

Cy 2

2

+=..............(12)

Esta ecuacincorresponde a la parbola,generalmente utilizada enestudios de DistribucinUrbana o Lneas deElectrificacin Rural, atensiones medias (porejemplo en 22,9 Kv).Si consideramos el valordel parmetro obtenemos.

o

c

c

o

T

wx

w

Ty

2

2

+=


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LINEAS DE TRANSMISION: ASPECTOS MECANICOS Y CONDUCTORES

Ing Juan Bautista R.

1.2 ECUACION DE LONGITUD

En Lneas de Transmisin dePotencia, es necesario conocer lalongitud del conductor suspendido entredos puntos, por cuanto la longitud totalse emplear para estimar el costo inicialdel proyecto.

Anteriormente hemos deducido que, parala pequea longitud de conductor (dl):

22 )()( dydxdl += ......................(13)

pero tambin de la ecuacin de lacatenaria (11), deducimos el dy:

dxC

xdy )senh(= ..............................(14)

que reemplazando en la ecuacin (13):

2

2 )senh()(

+= dx

C

xdxdl

o tambin:

dxC

xdl

+=

2

)senh(1 ............(15)

pero como:

1)(senh)(cosh

22

= C

x

C

x.............(16)

entonces la ecuacin (15) se transforma en:

dxC

xdl )cosh(= ......(17)


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En la figura inferior, se muestran las abscisas de los extremos del conductor que son -a/2 y +a/2, siendo "a"el vano o distancia horizontal entre los dos puntos desuspensin.Por lo que ser necesario integrar en el intervalo [-a/2 , +a/2], que representan el centro de las basesde las estructuras de los extremos:

+

=

2/

2/)cosh(

a

adx

C

xdl ..........(18)

que es igual a:

+

= 2/

0)cosh(2

adx

C

xdl

por tanto:

)2

senh(2

C

aCL= ................(19)

que representa la longitud total del conductorinstalado con sus extremos al mismo nivel.

Podemos encontrar una ecuacin de longitud aproximada, obtenido en base a la expansin deTaylor:

...........!7!5!3

senh753

++++=ppp

pp

por lo tanto la ecuacin (19) se transforma en:

2

3

24

C

aaL += ..........(20)

si consideramos la ecuacin (8), entonces:

2

23

24

o

c

T

waaL += .........(21)

Las ecuaciones (20) y (21) son sloaproximadas y muy utilizadas en Lneas deDistribucin Urbana o Electrificacin Rural. Porotra parte observe que la Longitud L del conductor es de la forma L= a + Da, por lo que necesariamentelas ecuaciones muestran que L> a


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1.3 ECUACION DE FLECHA

Denominamos flecha a la mximadistancia vertical entre el segmento que une losextremos del conductor y ste.

En el caso de conductores a nivel, laflecha se ubica a medio vano y sobre el eje deordenadas.

Este concepto es muy importante, yaque los conductores son instalados en elcampo teniendo disponible la Tabla deFlechas para el tendido.

La flecha es la diferencia de Ordenadas entrelos puntos de suspensin y la ordenada del

Vrtice del conductor.Por tanto:

f= yB C

tambin:

CC

xCf a = )cosh( ................(22)

pero: xa = +a/2........................ (23)

que al reemplazar en la ecuacin (22), obtenemos:

CC

aCf = )

2cosh(

entonces:

)1)2

(cosh( =C

aCf .............(24)

que representa la ecuacin o frmula quedetermina la flecha de un conductorsuspendido con vano "a" metros yparmetro de catenaria igual a "C" metros.

Podemos encontrar una frmulaaproximada que calcule la flecha, sitenemos en cuenta la expansin de Taylor

para el coseno hiperblico, antes utilizada y que luego de simplificar obtenemos:


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C

af

8

2

= ..............(25)

y con la ecuacin (8), tambin:

o

c

T

waf

8

2

= ........(26)

Si consideramos que el peso unitario wcesconstante, entonces deducimos que si eltiro To (en KG) aumenta, entonces la flechadisminuye; esto tambin se dice que amayor tensin entonces menor flecha, dela misma forma que a mayor parmetro.


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LINEAS DE TRANSMISION: ASPECTOS MECANICOS Y CONDUCTORES.


1.4 TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

Cualquier punto del conductor est sometido a un tiro (en KG), cuyovalor se puede determinar.

De la ecuacin (11), la catenaria del conductor:

=

C

xCy cosh

pero como la ecuacin (8) es:c

o

w

TC=

entonces tambin:

=

C

x

w

Ty

c

ocosh ........(27)

que es lo mismo que:

=

C

xTyw oc cosh .....(28)

La expresin y.wc es el producto de la ordenada del punto de abscisa x del conductor por el pesounitario cuyo valor resulta en kG y representa el tiro en el punto de abscisa x; es decir:

Tx= ywc................(29)

entonces finalmente:

=

C

xTT ox cosh ........(30)

Cuando x = 0; entonces Tx = To, perocomo Toes la componente horizontal del tiro encualquier punto del conductor, entonces el tiroen el vrtice es To kG.

En la figura adjunta se muestra que en

Tiro en kg en el Vrtice es To y el Tiro Txencualquier punto del conductor de abcisa x tienecomo componente horizontal constante igual aTo.

En consecuencia el Tiro Vertical Tv deber ser igual a:

22

oxv TTT =


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Otro concepto que es necesario definir es elesfuerzo, el cual frecuentemente es utilizado enreemplazo del Tiro, en razn que sus valores son mspequeos. El esfuerzo del conductor, lo definimos como elcociente de dividir el tiro por la seccin.

A

T= .....(31)

Siendo A la seccin transversal del conductor enmm2y T el tiro en kG en cualquier punto del conductor.

Interpretando la ecuacin (29): cx ywT = Se puede afirmar que: El tiro en un punto cualquiera delconductor extendido, es igual al peso del conductor delongitud igual a su ordenada.

Por otra parte; determinemos el tiro verticalvxT

en un punto cualquiera del conductor:

Sabemos que 22oxv TTT =

Y como el Tiro en un punto x es:

=

C

xTT ox cosh , entonces reemplazemos esta ecuacin en el Tv

Por lo que obtendremos:

)senh(1)cosh()cosh(

2

2

2

CxTT

CxT

CxTT oooov =

=

=

Como el desnivel es nulo: para x = +a/2, entonces Tv = Tb

Por lo que: 2

)2

senh(22

)2

senh()2

senh( Lw

C

aC

w

C

aCw

C

aTTv ccco =

===

Es decir:

===

2

2

2

Lw

LwL

wTv c

cc

En el vano AB, el Tiro Vertical en la estructura B es el Peso del conductor suspendido de ese

punto B y de una longitud igual a la mitad del conductor suspendido en el vano AB


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1.5 TIRO Y ESFUERZO EN EL EXTREMO

Conocer el valor del tiro en el extremodel conductor, es necesario por quepermite conocer el mximo valor deKilogramos a que se ver sometido elsoporte y como se sabe, lacomponente horizontal de este Tiro esTo, valores indispensables pararealizar el diseo de estructuras.

Para conductores a nivel, eltiro en los extremos del conductor soniguales, por que se encuentranubicados en la misma ordenada. Por

lo que es deseable que lasestructuras estn instaladas a lamisma cota para aprovechar esteefecto. El tiro en un punto cualquieraest dado por la ecuacin (30), ypara:

x = xb= +a/2

entonces:

=

C

aTT ob

2cosh ............(32)

que es el tiro en el extremo derecho del conductor con unidades en kG, y evidentemente:Ta= Tb.....................................(33)

Por otra parte, si la ecuacin (32), la dividimos por la seccin A en mm2 del conductor:

=

C

a

A

T

A

T ob2

cosh ...........(34)

que podemos escribir como:

=

C

aab

2cosh ..........(35)

Siendo entonces, sb (kg/mm2) el esfuerzo en el conductor en el extremo y so (kg/mm2) el esfuerzoen el vrtice.

Por otra parte tambin es evidentemente para el conductor a nivel:

sb =sb.............................. (36)


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1.6 PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

Fsicamente, el mximo tiro que es probable aplicar alconductor ( y que a su vez es transmitido a la estructura), deberser menor que el Tiro de Rotura obtenido por pruebas y dado porel fabricante.

Dicho valor mximo se obtiene dividiendo el Tiro de Roturapor un coeficiente de seguridad generalmente asignado por eldiseador o dispuesto por Normas, es decir:

cs

TRTmax = ...................(37)

donde, TR es el tiro de rotura de conductor en kg y cs es el

coeficiente de seguridad y Tmax es el tiro mximo aplicado alconductor.

El tiro mximo a aplicar al conductor deber ubicarse en elpunto mas desfavorable, es decir en el extremo del conductor.

Deduciremos una ecuacin que permita calcular elparmetro de la catenaria (y con l el tiro To en el vrtice) teniendo

como dato el tiro en el extremo:

Tb= Tmax........................................ (38)

Sabemos de la ecuacin (32) que el tiro TB est dado por:

=

C

aTT ob

2cosh

Si dividimos por wc, entonces:

=

C

a

w

T

w

T

c

o

c

b

2cosh ..........................(39)

y con la ecuacin (8), se transforma en:

= CaCwTcb

2cosh ............................(40)

En la ecuacin (40), la incgnita ser el parmetro C, teniendo conocidos los valores de Tb= Tmax,wc, y el vano a.

Por tanto es posible calcular el valor de C por tanteos o utilizando algn mtodo iterativo desolucin (por ejemplo el de Newton-Raphson), sin embargo aplicaremos el mtodo siguiente:

Si utilizamos la expansin de Taylor, la ecuacin (40) se transforma en:


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C

aC

w

T

c

b

8

2

+=

que es una ecuacin de segundo grado en C, y a alresolver y tomar la raiz cuadrada positiva, se obtienefinalmente:

)2

)((2

1 22 a

w

T

w

TC

c

b

c

b += ............(42)

Frmula que determina el parmetro de la catenaria.

Con el valor de C, podemos obtener de laecuacin (8), el valor del tiro en el vrtice:

co CwT = ................................................(43)

La ecuacin (42) slo tendr sentido si:

2

a

w

T

c

b

Es decir que:

2

awT cb ..........................................(44)

02

)(2

2 a

w

T

c

b


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1.7 APL ICACIONES PRACTICAS

Los siguientes problemas ayudan a dar mayor profundidad al sistema de clculo que se efectanormalmente en conductores para Lneas de Transmisin, pero es necesario puntualizar que estosproblemas an no consideran el efecto de sobrecargas en el conductor tales como el viento y hielo.

Problema N1. -

El parmetro de la catenaria de un conductor es 2000 m, tendido en un vano 600m. Determinar lalongitud y flecha del mismo.

Solucin:

De la ecuacin (19):

)

2

senh(2

C

aCL=

siendo: a= 600m , C= 2000mentonces:L= 602.2525m

Utilizando la ecuacin (24):

)1)2

(cosh( =C

aCf

siendo: a = 600m , C = 2000m

Se obtiene entonces: f= 22.542m

Si utilizamos la frmula (25) aproximada:

C

af

8

2

=

f= 22.5Obsrvese que la flecha aproximada es muy cercana al valor calculado con la frmula hiperblica (24).

Problema N2. -

En el grfico adjunto, el pesounitario del conductor suspendido es

2.2Kg/m, siendo el tiro en el vrtice1800Kg. Determinar la flecha delconductor.

Solucin:

De la ecuacin (8), obtenemos elparmetro:

c

o

w

TC=


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y con los valores datos:To = 1800Kgwc = 2.2Kg/m

entonces:C= 818.18182m

de la ecuacin (24),

)1)2

(cosh( =C

aCf

obtenemos la flecha, y como a = 750 m

f = 87.452m

Si calculamos con la frmula (25) aproximada:

Caf8

2

=

f= 85.9375mObservar la diferencia de exactitud en el clculo.

Prob lema N3 .-

La flecha de un conductor tendido en un vano de 1200m, es 50.2 m, si el peso unitario del mismoes 2.82 kg/m. Determinar el tiro mximo del conductor.

Solucin:

De la ecuacin (24) tenemos que:

)1)2

(cosh( =C

aCf

reemplazando datos:

)1)2

1200(cosh(2,50 =

CC

de donde podemos, por tanteos, obtener el valor del parmetro.

Si utilizamos, con fines prcticos, la ecuacin aproximada (25), obtenemos:

C

af

8

2

= C8

12002,50

2

=

por tanto:

C = 3585.6574m


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y en consecuencia el tiro en el vrtice ser:

co CwT =

To= 3585.6574 x 2.82

To= 10111.554Kg

entonces el tiro mximo en el conductor a esta condicin ser:

=

C

aTT ob

2cosh

=

6574,37852

1200cosh554,10111

xTb

Tb= 10253.449 Kg

Prob lema N4 .-

En el grfico adjunto, determinar la ecuacin del conductor siendo su peso unitario 2.8kg/m y el tiroen el extremo B de 3200kg.

Solucin:

La ecuacin (42) nos permite calcular el parmetro:

)2

)((2

1 22 a

w

T

w

TC

c

b

c

b +=

)2

820)

8,2

3200(

8,2

3200(

2

1 2

2 +=C

C= 1063.85m

por tanto la ecuacin del conductor ser:

=

C

xCy cosh

=85,1063

cosh85,1063x

y


23/308



Si utilizamos la ecuacin parablica aproximada, entonces:

C

x

Cy 2

2

+=

85,1063285,1063

2

x

xy +=

7,212785,1063

2xy +=

Pro bl ema N.5 .-

El tiro en el extremo superior de un conductor suspendido, es de 3100 Kg , siendo el peso unitario2.82 Kg/m, determinar la longitud del conductor, para un vano de 1200m.

Solucin:

El parmetro de la catenaria ser:

)2

)((2

1 2

2 a

w

T

w

TC

c

b

c

b +=

)2

1200)

82,2

3100(

82,2

3100(

2

1 22 +=C

C = 899.088m

la longitud ser:

)2

senh(2C

aCL=

)088,8992

1200senh(088,8992

xxL =

L = 1291.074m


24/308



Prob lema No.6 .-

La ecuacin de un conductor suspendido es: = 1100cosh1100 xy

si su flecha es de 15.6 m. Calcular la longitud del conductor.

Solucin:

Si utilizamos la ecuacin (25) aproximada:C

af

8

2

=

despejamos el valor del vano:

Cfa 8= 11006,158 xxa= a = 370,513 m

y la longitud del conductor ser: )2

senh(2CaCL= )

11002513,370senh(11002

xxL=

L = 372.267 m


25/308



CAPITULO 2

DISCUSION MATEMATICA DEL

CABLE DESNIVELADO

2.1 ECUACION DE LA CATENARIA

En el perfil topogrfico de unalnea de transmisin de potencia, losvanos no necesariamente son a nivel,incluso por las caractersticasgeogrficas (por ejemplo en zonasrurales del Per), pueden disearselneas que obligan a calcular porseparado vanos contiguos con

marcados desniveles.

El presente captuloanalizaremos el comportamiento de uncable en condiciones de desnivel ydeducir los parmetros adicionales quedebern tomarse en cuenta para unanlisis exacto.

La ecuacin de la catenariaevidentemente es la misma, pero eneste caso los puntos de suspensin

(extremos del cable A y B) se encuentran desplazados verticalmente dentro de la misma curva.

Por tanto la ecuacin del cable ser siempre:

=

C

xCy cosh

Siendo el parmetro:c

o

w

TC=

A fin de estableceruniformidad en cuanto a lasimbologa a utilizar, la figuraadjunta nos indica los parmetrosnecesarios y sus ubicaciones, loscuales emplearemos.

En la figura, xarepresenta laabscisa en donde se encuentra elpunto de suspensin izquierdo delcable; en forma anloga xbrepresenta la abscisa del extremoderecho, respecto al sistema de ejescoordenados cartesianos.

As mismo, h es el desnivel(en metros) y b el vano real

inclinado, que es igual a la distancia del segmento AB.


26/308



Llamaremos vano virtual al segmento A'B que es el vano si el soporte en A estara en la posicin A'a nivel con el soporte en B.

Como siempre la ubicacin del vrtice es C unidades (metros) sobre el eje de las ordenadas ydesde el origen.


27/308


Ing Juan Baut ista R.

2.2 ECUACION DE LONGITUDDeterminar la longitud del cable

desnivelado es una de las tareas m simportantes durante el proceso dediseo.

Para calcular su valorutilizaremos la notacin grfica de lafigura adjunta, que muestra unPequeo trozo de cable (dl)desnivelado con proyecciones dx y dysobre los ejes coordenados.

Tomando un diferencial delongitud (dl) del cable, la longitud del

mismo ser : 22 )()( dydxdl +=

pero como:

=

Cx

Cy cosh

entonces: dxC

xdy )senh(=

por tanto obtenemos la ecuacin (17) del Captulo 1:

dxC

xdl )cosh(

=

La cual ser necesario integrar entre las abscisas delcable a desnivel xa y xb, es decir:

= ba

x

xdx

C

xdl )cosh(

de donde finalmente:

= )senh()senh(

C

x

C

xCL ab .....................(1)

Al observar la ecuacin (1), se verifica que paraencontrar la longitud del cable es necesario conocer las

abscisas de los extremos y el par metro C (o tiro en elvrtice).


28/308



2.3 ECUAC ION DE DESNIVEL

En la figura adjunta, se muestra el desnivel h en un cable suspendido de los extremos A y B y en lascondiciones dadas de instalacin, dicho desnivel h resulta ser la diferencia de ordenadas:

ab yyh = .....................................................(2)

que en funcin de las abscisas:

)cosh()cosh(C

xC

C

xCh ab = ......................(3)

por tanto finalmente:

= )cosh()cosh(

C

x

C

xCh ab ..........(4)

En esta frmula de clculo de longitud, la diferencia:

)cosh()cosh(C

xC

x ab

puede ser positiva o negativa, esdecir si sabemos que:

cosh(x)= cosh(-x) = cosh|x|..... (5)

por tanto tenemos que deducirque:

Si |xb| > |xa| entonces h > 0..........(6)

Si |xb| < |xa| entonces h < 0..........(7)

Si |xb| = |xa| entonces h = 0..........(8)

Grficamente podemosinterpretar por ejemplo que en laFig 2.4 el extremo B se

encuentra en elevacin respecto al extremo A, y en este caso xb > xa y por tanto consideramos que eldesnivel es positivo.

En la figura de la derecha, Cuando |xb| > |xa|,

entonces el desnivel h es positivo.En la ltima figura, el extremo se encuentraen depresin respecto al extremo en A, y en estecaso |xb| < |xa| y por tanto al efectuar el clculo deldesnivel h, ste ser negativo.

Naturalmente si |xb| = |xa|, se trata del casode cable a nivel y por tanto el desnivel es nulo.


29/308



Figura que muestra quecuando |xb| < |xa|, entoncesel desnivel es negativo.


30/308



2.4 LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL

Si se conocen fsicamente el vano y el desnivel (adems del tiro-vrtice To el par metro de lacatenaria C), es posible determinar la longitud del cable.

Para ello emplearemos las transformaciones siguientes:

Sumemos las ecuaciones (1) y (4) de longitud y desnivel obteniendo:

))cosh()senh()cosh()(senh(C

x

C

x

C

x

C

xChL aabb +=+

Restemos las ecuaciones (1) y (4) de longitud y desnivel obteniendo:

))cosh()senh()cosh()(senh(C

x

C

x

C

x

C

xChL aabb +=

estas dos ltimas relaciones pueden ser transformadas si tenemos en cuenta las relaciones hiperblicas:pepp =+ senhcosh

pepp = senhcosh por tanto obtenemos:

)( Cxa

C

xb

eeChL =+ .........................................(9)

)( Cxa

C

xb

eeChL

+= .....................................(10)

multiplicando las ecuaciones(9) y (10) tendremos: )( 0)(

0222 eeeeChL Cxaxb

C

xaxb

++=

que al simplificar:

)2(

)(

222 +=

C

xaxb

C

xaxb

eeChL ....................(11)


31/308



pero como xb-xa= a (vano), entonces la ecuacin (11) se convierte en:

)2(222 += Ca

C

a

eeChL y la expresin entre corchetes es un trinomio cuadrado:

222222 )( Ca

C

a

eeChL

= ................................(12)

obteniendo la raiz cuadrada positiva de esta ltima ecuacin (12), tenemos:

)( 2222 Ca

C

a

eeChL

= ..............................................(13)que multiplicando y dividiendo por 2 la ecuacin (13) ser igual a:

2

)(2

2222

C

a

C

a

eeChL

= ...........................................(14)

entonces esta se transforma en:

)2

senh(222

C

aChL =

donde si despejamos la longitud L obtendremos:

22))2

senh(2( hC

aCL += ..........................................(15)

que es la frmula que representa la longitud del cable desnivelado con desnivel h.

Si h=0, entonces la ecuacin (15) se transforma en:

)

2

senh(2

C

aCLL ==

que es la ecuacin (19) del Captulo 1 para cables a nivel; por tanto podemos escribir:

22 hLL += ...................................................................(16)

que es una relacin pitagrica, representada por eltringulo de la figura mostrada.

Los catetos son respectivamente, la longituddel cable si estuviera a nivel (con el mismo vano) y eldesnivel.

Del tringulo, podemos deducir que:

secLL= ...................................(17)siendo:

)

(L

hatang= ................................(18)

Como se observa, la frmula (17) se interpreta como:"La longitud del cable desnivelado es igual a la longitud del cable nivelado multiplicado por un factor decorreccin igual a secd"

El ngulo des el ngulo trigonomtrico de desnivel cuyo valor es dado por la frmula (18).


32/308



No pocos proyectistas hacen la aproximacin siguiente:

aC

aCL == )

2senh(2 .......................(19)

que significa decir que la longitud del cable a nivel es igual a su vano, entonces la ecuacin (18), setransforma en:

)(a

hatang= ..................................(20)

y por tanto la ecuacin (17) ser :

)(sec(seca

harctangLLL == .....(21)

en donde el factor de correccin )(sec(a

harctang

es constante durante todo el proceso de estudio.


33/308


Ing Juan Bautista R:

2.5 FLECHA Y SAETA

FLECHA .- La definicin dada en el apartado 1.3, es tambin vlida para el cable a desnivel.

Consideremos la ubicacin del cable, dada en la figura adjunta, en la que se muestra que La flecha seubica en la la abscisa xmdel medio vano

La magnitud del segmento NM representa la flecha del cable, la cual se ubica en una abscisa xmamedio vano, es decir:

)(2

1bam xxx += ..................(22)

De la misma forma el punto N se ubica en el punto medio del segmento AB (vano real).

El valor de la flecha, es entonces la diferencia de ordenadas de los puntos N y M; es decir:

MN yyf = .......................(23)pero como N es punto medio de AB:

Mba yyyf = )(2

1.......(24)

que en funcin de las abscisas se transforman en:

)cosh())cosh()cosh((2

1

C

xC

C

xC

C

xCf mba +=


34/308



o tambin:

)cosh())cosh()(cosh(2 C

xC

C

x

C

xCf mba +=

que al reemplazar el equivalente de la suma de los cosenos hiperblicos tenemos:

)cosh())2

cosh()2

cosh(2(2 C

xC

C

xx

C

xxCf mabab

+=

y si tenemos en cuenta simultneamente la ecuacin (22) y que xb - xa = a, entonces la flecha ser:

)cosh())2

cosh()cosh(2(2 C

xC

C

a

C

xCf mm = ........(25)

donde fcilmente se obtiene:

)1)2

)(cosh(cosh(

= C

a

C

xCf m .................................(26)

y que es lo mismo que:

)cosh()1)2

(cosh(C

x

C

aCf m= ......................................(27)

Si reemplazamos en la ecuacin (27), ecuacin (24) del captulo 1, se obtiene:

)cosh(C

xff m= ...............................................................(28)

Esta frmula nos dice que "la flecha del cable a desnivel es igual a la flecha del cable a nivel

multiplicada por un factor de correccin igual a )cosh(C

xm ".


35/308



Mas adelante, con la ecuacin (60) demostraremos que para conductores instalados con desnivel, la flechaaproximada es:

Cabf 8=; siendo b el vano real, es decir 22 hab += ;

entonces la flecha con desnivel ser:

a

ha

C

a

a

a

C

haa

C

haaf

2222222

888

+=

+=

+=

cos

1

8

1

8

2

22

2

C

a

ha

aC

af =

+

=

Como la flecha aproximada para conductores a nivel esC

af

8

2

=

En consecuencia, la flecha del conductor a desnivel es:

secff=

Ecuacin que confirma que la Flecha (aproximada) del conductor instalado a desnivel, es igual a la flechadel conductor si estuviera a nivel multiplicado por un factor de correccin igual a sec, siendo el ngulo

de desnivel tal que :a

htan

=


36/308



SAETA.- La saeta se define como la distancia vertical entre el punto de suspensin ms bajo del cable y

su vrtice. Su ubicacin fsica es mostrada en la figura adjunta.

En concordancia con la definicin, el valor de la saeta es la diferencia de ordenadas del punto A desuspensin y el vrtice. Por tanto:

s = ya - yV

pero como la ordenada del vrtice es el parmetro C, entonces:s = ya- C

que en funcin de la abscisa xa:

CC

x

Csa

= )cosh( ............(29)de donde finalmente:

)1)(cosh( =C

xCs a ..........(30)

De la ecuacin (30), puede deducirse una frmula aproximada, tomando en cuenta la expansin deTaylor para el coseno hiperblico y tomando solo dos trminos de esa expansin, obtendremos:

C

xs a

2

2

= ................................(31)

y con la ecuacin (8) del Captulo 1, tambin podemos obtener:


37/308



o

ca

T

wxs

2

2

= ...........(32)

Si las abscisa de los extremos (xa y xb) tienen el mismo signo, entonces el vrtice de la catenariacae fuera del vano y en este caso se dice que el vrtice es virtual, as como la saeta, esta situacin semuestra en el ejemplo de la figura inferior.


38/308



2.6 PARAMETRO EN FUNCION DE LA LONGITUD

Si disponemos de los datos fsicos de vanos y desnivel, as como el dato adicional de longitud del

cable; es posible calcular el par metro de la catenaria y con l el vrtice del cable.De la ecuacin (16), de longitud, podemos escribir:

22 hLL =

y de la ecuacin (19):

22)

2senh(2 hL

C

aCL ==

Si dividimos por "a" ambos miembros:

a

hL

C

a

a

C 22

)2senh(2

= .........(33)el segundo miembro de la ecuacin (33) es conocido, de modo que si hacemos:

a

hLq

22 = .............................(34)

entonces la ecuacin (33) se convierte en:

qC

a

a

C=)

2senh(

2......................(35)

Si hacemos el cambio de variable:

Caz

2= .......................................(36)

entonces la relacin (35) se transforma en:

qz

z=

senh...................................(37)

ecuacin hiperblica fraccionaria que ser necesario resolver.

Para hacerlo, utilizemos la expansin de Taylor para el senhz:

qz

zzzz

=

++++ .....!7!5!3

753

......(38)

utilizando solo hasta el trmino z5y luego de simplificar obtenemos:

qzz

=++1206

142

.........................(39)

que resulta ser una ecuacin bicuadrada, que al resolver y tomar la raiz real positiva obtenemos finalmente:

12,02,1162278,3 = qz ..............(40)y por tanto tenemos ya el par metro:


39/308



Z

aC

2= .............................(41)

as como el tiro en el vrtice:

To = Cwc

La ecuacin (40) tiene sentido si:

012,02,1 >q y por tanto:

12,02,1 >q de donde fcilmente deducimos:

q > 1

y de la ecuacin (34):

122

>

a

hL

por tanto: 222 haL +> lo cual es cierto.


40/308



2.7 UBICACION CARTESIANA DE LOS EXTREMOS

Conocidos el parmetro de la catenaria, as como el vano y desnivel, es posible calcular lasubicaciones cartesianas de los extremos y con ellos evaluar los tiros respectivos.

Tomemos como referencia, para la deduccin, la figura adjunta superior, que muestra la ubicacin de losextremos del vano, as como la abcisa del medio vano.

De la ecuacin (4), el desnivel es:

))cosh()(cosh(C

x

C

xCh ab =

adems siendo xmla abscisa del medio vano, entonces:

2axx ma =

2

axx mb +=

por tanto, la ecuacin de desnivel se transforma en:

)2cosh2(coshC

ax

C

ax

Chmm

+

= ..............(42)


41/308



que al emplear las identidades hiperblicas obtenemos:

)2

senhsenh2

coshcosh2

senhsenh2

cosh(coshC

a

C

x

C

a

C

x

C

a

C

x

C

a

C

xCh mmmm

++=

simplificaremos las expresiones iguales y obtenemos:

C

a

C

xCh m

2senhsenh2=

y tomando en cuenta la ecuacin (19) del Captulo 1, tendremos:

C

xLh msenh= ..................................(43)

Esta ecuacin permite conocer que el desnivel es el producto de la longitud del conductor a Nivel por un

factor de correccin igual aC

xmsenh

despejando el valor de xm:

senh.

L

haCxm= .............................(44)

La ecuacin (44) ha sido deducida a partir de la ecuacin de desnivel; es decir la ubicacin de laabscisa del medio vano se determina teniendo como dato el desnivel.

A continuacin, deduciremos una frmula que determine la misma abscisa (xm), teniendo como datola longitud del conductor.De la ecuacin (1):

))senh()(senh(C

xC

xCL ab =

que anlogamente a la deduccin anterior, obtenemos:

)2

senh2

(senhC

ax

C

ax

CLmm

+

=

que utilizando las identidades hiperblicas:

)2senhcosh2coshsenh2senhcosh2cosh(senh C

a

C

x

C

a

C

x

C

a

C

x

C

a

C

x

CLmmmm

++= y simplificando resulta:

C

a

C

xCL m

2senhcosh2= .........................(45)

y entonces:

C

x

C

aCL mcosh

2senh2= ....... ....(46)

y con la ecuacin (19) del captulo 1, tendremos:


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C

xLL mcosh= ...............(47)

que despejando la abscisa xm:

cosh.

L

LaCxm = .........(48)

y desde luego:

2

axx ma = .................(49)

2

axx mb += ..................(50)

Si tomamos en cuenta la aproximacin:

aC

aCL = )

2senh(2

entonces muy aproximadamente, las ecuaciones (44) y (48), se convierten en:

)(arcsena

hhCxm= .........(51)

)(arccosa

LhCxm= .........(52)


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2.8 PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

Consideramos que el tiro mximo del cable una vez instalado se encuentra en el extremo superior.

A fin de asegurar un tiro mximo adecuado para el cable a desnivel, los proyectistas prefierenasignarlo y a partir de l encontrar el parmetro y tiro en el vrtice de la catenaria. La figura, muestra laubicacin de los 3 tiros: mximo, de medio vano y en el vrtice en un cable a desnivel de vano a.

Podemos plantear que el tiro mximo en B ser :

)2

( hfwTT cmb ++= .............(53)

en donde Tmes el tiro (kg) a medio vano.

Por otra parte, de la ecuacin (28); la flecha es:

C

xff mcosh=

y tomando la ecuacin (25) del Captulo 1, tenemos que la flecha se transforma en:


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C

x

C

af mcosh

8

2

= .......................(54)

as mismo de la ecuacin (51) obtenemos la expresin:

)(arcsena

hh

C

xm = ...................(55)

reemplazando esa ltima en la ecuacin (54) tenemos:

))(ncosh(arcse8

2

a

hh

C

af= .......(56)

pero tambin:

2)(1))(ncosh(arcsea

h

a

hh += ....................(57)

2

22

))(ncosh(arcsea

haahh +=

y por tanto la ecuacin (56) se convierte en:

a

ha

C

af

222

8

+= ..................(58)

pero el vano real "b" es igual a la expresin:22 hab += ...........................(59)


a

b

C

af

8

2

=

C

abf

8= .........................................(60)

reemplazemos la ecuacin (60) en la ecuacin (53):

)28

(h

C

abwTT cmb ++= ..............(61)

Calculemos ahora el tiro a medio vano, igual a:

)cosh(C

xTT mom = ......................(62)

y tomando dos trminos de la expansin de Taylor para el coseno hiperblico, la ecuacin (62) setransforma en:

)2

)(

1(

2

C

x

TT

m

om += ...................(63)

pero como de la ecuacin (51):


45/308



)(arcsena

hhCxm=

y si lo reemplazamos en (63):

)2

))((arcsen

1(

2

a

hh

TT om +=

y entonces:

))((arcsen2

11(

2

a

hhTT om += ........(64)

tomando en cuenta que el desnivel (h) y el vano (a) son conocidos, entonces la expresin:

2))((arcsen211

ahhK += ...............(65)

es tambien conocida.

Por lo que la ecuacin (64) es tambin igual a:

KTT om = ........................................(66)

Si reemplazamos (66) en la (61) tenemos:

)28

(h

C

abwKTT cob ++= ...............(67)

dividiendo por wc:

)28

(h

C

ab

w

wK

w

T

w

T

c

c

c

o

c

b ++= ..........(68)

reemplazando el parmetro C:

28

h

C

abCK

w

T

c

b ++= ......................(69)

La ecuacin (69) es de segundo grado con incgnita C, que al despejar y tomar la raiz cuadradapositiva en las raices, se tiene:

)2

))2

(1

()2

(1

(2

1 2

Kabh

wT

Kh

wT

KC

c

b

c

b += ..........(70)


46/308



2.9 APL ICACIONES PRACTICAS

Los problemas ejemplo que se exponen tienen similitud con aquellos que normalmente se utilizanen desarrollo de proyectos o clculos de verificacin en trabajos de mantenimiento correctivo.

Sin embargo es necesario precisar que no se toman en cuenta an los efectos de sobrecargas (porejemplo de viento y hielo).

Problema N1. -

Un cable de 1225m. Se encuentra tendido en un vano de 1060 m con desnivel 580m. Determinar lasaeta del cable.

Solucin. - Determinaremos primero el par metro de la catenaria utilizando la frmula (40)

a

hLq

22 = Siendo L = 1225m; a = 1060; h = 580; se obtiene: q = 1.018

Por otra parte: 12,02,1162278,3 = qz

12,0018,12,1162278,3 = xz z = 0.327

Por tanto:Z

aC

2= 795,1620

327,02

1060 ==x

C m


47/308



Longitud del cable si estuviera a nivel:

)2

senh(2C

aCL= m

xxL 992,1078)

795,16202

1060senh(795,16202 ==

Abscisa del medio vano:

)

(arccosL

LhCxm= mhxm 9540,833)

992,1078

1225(arccos795,1620 +==

y las abscisas de los extremos sern

2

axx ma = mxa 9540,303

2

10609540,833 +=+=

2

axx mb += mxb 9540,1363

2

10609540,833 +++=

El valor de la saeta ser entonces:

)1)(cosh( = CxCsa ms 584,28)1)795,16209540,303(cosh(795,1620 ==

Observe que la saeta y el vrtice de la catenaria son virtuales.

Problema N 2.-

El parmetro de la catenaria de un cable es 2000m; si se encuentra tendido en un vano de 900mcon desnivel 180m. Si el peso unitario es 1.8Kg/m, determinar:a) La longitud del cable.b) Ubicacin cartesiana de los extremos.c) La flecha y saeta del cable.d) Tiro mximo en el cable.

Solucin:

a) Longitud del cable si estuviera a nivel:

)2

senh(2C

aCL= m

xxL 61299,907)

20002

900senh(20002 ==

La longitu del conductor es:22 hLL += mL 2899,92518061299,907 22 =+=

b) Ubicacin cartesiana del medio vano:

)

(arccos

L

LhCxm= mhxm 08967,394)

61299,907

2899,925(arccos2000 +==

Ubicacin cartesiana de los extremos:

2

axx ma = mxa 9103,55

2

90008967,394 =+=

2

axx mb += mxb 08967,844

2

90008967,394 +=++=

c) Flecha del cable si estuviera a nivel:


48/308



)1)2

(cosh( =C

aCf m

xf 839,50)1)

20002

900(cosh(2000 ==

Flecha real del cable:

)cosh(C

xff m= mf 8291,51)

2000

08967,394cosh(839,50 ==

Saeta del cable:

)1)(cosh( =C

xCs a ms 78154,0)1)

2000

91033,55(cosh(2000 =

=

d) Tiro mximo en el cable el cual se ubica en el extremo superior:


49/308



)cosh(C

xTT bob= KgxTb 4068,3925)

2000

08967,844cosh(8,12000 ==

Problema N3. -

Determinar el valor de la flecha de un cable tendido en un vano de 900m con desnivel 180m, si lalongitud del mismo es 930m con peso unitario de 0,329Kg/m.

Solucin :

Con la expresin:

a

hLq

22 = 01379,1

900

180930 22

=

=q

determinamos el valor de z:

12,02,1162278,3 = qz 28709,012,001379,12,1162278,3 == xz

Por lo tanto el parmetro de la catenaria ser:Z

aC

2= m

xC 4317,1567

28709,02

900 ==

el vano real b ser:22 hab += mb 8235,917180900 22 =+=

finalmente, la flecha (aproximada para instalaciones a desnivel) es:

C

abf

8= m

x

xf 87537,65

4317,15678

8235,917900 ==

En adicin a lo calculado, determinemos la flecha del cable si el desnivel fuera nulo:

)1)2

(cosh( =C

aCf m

xf 041017,65)1)

4317,15672

900(cosh(4317,1567 ==

Longitud del cable con desnivel nulo:

)2

senh(2C

aCL= m

xxL 41438,912)

4317,15672

900senh(4317,15672 ==

La abscisa del medio vano ser :

)

(arcsenL

hhCxm= mhxm 24961,307)

41438,912

180(arcsen4317,1567 ==

y entonces, la flecha exacta:

)cosh(C

xff m= mf 2945998,66)

4317,1567

24961,307cosh(041017,65 ==


50/308



Problema N 4.-

En el grfico adjunto, el tiro enel extremo superior del cable es3500Kg; si el peso unitario delmismo es 2.4Kg/m y su seccin155.4mm2; determinar:

a.- La longitud del cable.b.- La flecha y saeta.c.- El tiro en el extremo inferior.

Solucin.-

El vano real es:22

hab +=

mb 954,921200900 22 =+=de la ecuacin (65), tenemos:

2))((arcsen

2

11

a

hhK += 0243,1))

900

200((arcsen

2

11

2 =+= hK

y del problema dado:

Tb= 3500Kg

wc= 2.4Kg/m

En la ecuacin (70), tenemos:

)2

))2

(1

()2

(1

(2

1 2

K

abh

w

T

K

h

w

T

KC

c

b

c

b +=

mx

xC 7605,1244)

0243,12

954,921900))

2

200

4,2

3500(

0243,1

1()

2

200

4,2

3500(

0243,1

1(

2

1 2 =+=

Longitud si estuviera a Nivel:

)2

senh(2CaCL= m

xxL 7325,919)

7605,12442

900senh(7605,12442 ==

a) entonces la longitud real del cable (ecuacin 16) ser :

22 hLL += mL 2270,9412007325,919 22 =+=

Por otra parte la abscisa del medio vano; (ecuacin 44):

)

(arcsenL


7325,919

200(arcsen7605,1244 ==


51/308



por tanto las abscisas de los extremos:

2

axx ma = mxa 4103,181

2

9005897,268 ==

2

axx mb += mxb 5897,7182

9005897,268 +=+=

b) De la ecuacin (24) del Captulo 1:

)1)2

(cosh( =C

aCf m

xf 2307,82)1)

7605,12442

900(cosh(7605,1244 ==

por lo que la flecha del cable (ecuacin 28) ser :

)cosh(C

xff m= mf 325,83)

7605,1244

5897,268cosh(2307,82 ==

As mismo, de la ecuacin (30):

)1)(cosh( =C

xCs a ms 24,13)1)

7605,1244

4103,181(cosh(7605,1244 =

=

c) El tiro en el vrtice es:

co CwT = kgxTo 4253,29874,27605,1244 == por tanto el tiro en el extremo inferior ser:

)cosh(C

xTT aoa = kgTa 21,3019)

7605,1244

4103,181cosh(4253,2987 =

=

Problema N5. -

En el grfico adjunto, el tiro en el soporte B es1079.15Kg, si el peso unitario del cable es de 0.435Kg,calcular el tiro en el extremo inferior.

Solucin.-

El vano real ser: 22 hab +=

mb 012,60792600 22 =+= por otra parte, la constante K (ecuacin 65) para este

problema es:

2))((arcsen2

11

a

hhK +=

0116,1))600

92((arcsen

2

11

2 =+= hK


52/308



Por lo que el par metro del cable se obtiene de la ecuacin (70):

)2

))2

(1()2

(1(21 2

Kabh

wT

Kh

wT

KC

c

b

c

b +=

kgx

xC 8931,2387)

0116,12

012,607600))

2

92

435,0

15,1079(

0116,1

1()

2

92

435,0

15,1079(

0116,1

1(

2

1 2 =+=

co CwT = kgxTo 7335,1038435,08931,2387 ==


)2

senh(2C

aCL= m

xxL 5796,601)

8931,23872

600senh(8931,23872 ==

y por tanto, de la ecuacin (44):

)

(arcsenL


5796,601

92(arcsen8931,287 ==

y entonces el extremo inferior ser:

2

axx ma = mx a 7735,63

2

6007735,363 ==

y el tiro inferior:

)cosh(C

xTT aoa = kgTa 104,1039)

8931,2387

7735,63cosh(7335,1038 ==

Problema N6. -

En el grfico siguiente:


53/308



Estando el cable tendido en el vano AB, se decide trasladar la torre B a la posicin B' (240m en sentidolongitudinal a lnea). Si en el vano AB, el coeficiente de seguridad de trabajo del cable es 2.9. Calcular elnuevo en el vano AB'.Datos del cable:Peso unitario: 1.517Kg/mTiro de rotura: 12925KgSolucin.-

El tiro en el extremo B ser:

cs

TRTb= kgTb 897,4456

9,2

12925==

como se trata de cables a nivel, determinamos el par metro de la catenaria utilizando la ecuacin (42) delprimer captulo:

)2

)((2

1 22 a

w

T

w

TC

c

b

c

b += mC 798,2930)2

410)

517,1

897,4456(

517,1

897,4456(

2

1 22 =+=

por tanto el tiro-vrtice ser:

co CwT = kgxTo 020,4446517,1798,2930 ==

Con este tiro ser tendido tambin el vano AB' (410+240= 650m).

entonces el tiro en B' ser:

=C

aTT oB

2cosh

kg

xTB 384,4473

798,29302

650cosh020,4446 =

=

finalmente el nuevo coeficiente de seguridad, en la posicin B:

BT

TRcs= 88,2

384,4473

12925 ==cs

Problema N7. -En el grfico siguiente:


54/308



La torre B es trasladada a la posicin B', templndose el cable con el mismo tiro; si el coeficiente deseguridad (cs) en B es 2.8, calcular el cs en B' siendo el cable de caractersticas:Peso unitario: 0.435Kg/mTiro de rotura: 3778.000Kg.

Solucin.-

Tiro en B:

cs

TRTb= kgTb 285,1349

8,2

3778==

estando el cable a nivel en el vano AB:

)2

)((2

1 22 a

w

T

w

TC

c

b

c

b += mC 697,3091)2

500)

435,0

285,1349(

435,0

285,1349(

2

1 22 =+=

y el tiro en el vrtice: co CwT = kgxTo 88,1344435,0697,3091 ==

con el que ser tendido en vano AB.Adems para el cable desnivelado:


)2

senh(2C

aCL= m

xxL 039,621)

697,30912

120500senh(697,30912 =

+=

por tanto la abscisa del medio vano ser:

)

(arcsenLhhCxm=

mhxm 663,739)039,621

150(arcsen697,3091 ==

y la ubicacin del extremo B' ser:

2

axx mb += mxb 663,1049

2

120500663,739 =

++=

por tanto el tiro TB en este extremo ser:

)cosh(C

xTT bob= kgTb 1462,1423)

697,3091

663,1049cosh(888,1344 ==

finalmente el coeficiente de seguridad ser:

BT

TR

cs=

65,21462,1423

3778

==cs


55/308



Problema N8. -

En la figura adjunta:

El coeficiente de seguridad en B es 2.8, determinar el nuevo, si la torre B es trasladada a laposicin B'. El cable es de peso unitario 1.517Kg/m, con tiro de rotura de 12925Kg.

Solucin.-

En la posicin AB:

Vano real: 22 hab += mb 058,308180250 22 =+=

de la ecuacin (65):

2))((arcsen211

ahhK += 223,1))

250180((arcsen

211 2 =+= hK

adems el tiro en el extremo B es :

cs

TRTb= kgTb 071,4616

8,2

12925==

por tanto, en la ecuacin (70):

)2

))2

(1

()2

(1

(2

1 2

K

abh

w

T

K

h

w

T

KC

c

b

c

b +=


56/308



mx

xh

w

T

KC

c

b203,2411)

223,12

058,308250))

2

180

517,1

071,4616(

223,1

1()

2(

1(

2

1 2 =+=

con el tiro-vrtice de: co CwT = kgxTo 795,3657517,1203,2411 ==

Por otra parte, en la posicin B' vano real:

22 hab += mb 150,652)200180()280250( 22 =+++=

Longitud del cable, si fuera a nivel:

)2

senh(2C

aCL= m

xxL 067,531)

203,24112

280250senh(203,24112 =

+=

Por tanto la ubicacin del medio vano es:

)

(arcsenLhhCxm= mhxm 295,1604)

067,531380(arcsen203,2411 ==

por lo que la ubicacin cartesiana de B' es:

2

axx mb += mxb 295,1869

2

530295,1604 =+=

lo que significar que el tiro TB ser:

)cosh(C


203,2411

295,1869cosh(795,3657 ==

y el coeficiente de seguridad:

BT

TRcs= 68,2

166,4813

12925==cs

Problema N9. -

Un cable tendido y desnivelado (vano de 1200m y desnivel de 200m), tiene una longitud de 1246m.Calcular el tiro en el extremo superior si su peso unitario es de 1.826Kg/m.Solucin.-

Determinaremos primero la catenaria del cable:

a

hLq

22 = 02487,1

1200

2001246 22

=

=q

por tanto:

12,02,1162278,3 = qz 38486,012,002487,12,1162278,3 == xz

Y el parmetro de la catenaria:Z

aC

2= m

xC 98,1558

38486,02

1200==

Con el tiro en el vrtice de:co CwT = kgxTo 697,2846826,198,1558 ==


57/308



si el cable estuviera a nivel:

)2

senh(2C

aCL= m

xxL 845,1229)

98,15582

1200senh(98,15582 ==

por tanto la abscisa del medio vano ser:

)

(arcsenL


845,1229

200(arcsen98,1558 +==

y la ubicacin del extremo derecho:

2

axx mb += mxb 420,852

2

1200420,252 =+=

Finalmente el tiro en este extremo ser:

)cosh(C


98,1558

420,852cosh(697,2846 ==


58/308


CAPITULO 3

CARACTERSTICAS ADICIONALES DEL CONDUCTOR TENDIDO. NUEVOS CONCEPTOS

3.1 INTRODUCCION

Los Conceptos que a continuacin se exponen son propuestos por el autor a fin deposibilitar un manejo ms gil de las ecuaciones del cable.

Asimismo, se deducen nuevas relaciones que permitirn entender con ms profundidad lainterdependencia que existe entre todas las caractersticas (flecha, saeta, etc.) tpicas de uncable tendido entre dos puntos.

3.2 ANGULO HIPERBOLICO DE NIVEL (bb )

Definiremos este ngulo por la relacin:

= aC2

Donde, como sabemos, aes el vano y Ces el parmetro de la catenaria y bben radianeshiperblicos.

Por tanto, las ecuaciones de longitud y flecha del 1er. Captulo, para el cable nivelado, setransforma en:

=L C2 senh

= f C.(cosh ) 1

Asimismo, el tiro en el extremo del cable a nivel:

T TB= 0 cosh

3.3 ANGULO HIPERBOLICO DE DESNIVEL (aa )

Definiremos este ngulo por la relacin:

( ) = arcsenh hL

En donde, para un cable en desnivel, Les la longitud del cable si estuviera instalado anivel, hes el desnivel y aa el ngulo hiperblico de desnivel en radianes hiperblicos.

Por tanto, la ecuacin (44) del Captulo 2, se transforma en:

x Cm=

que es la abscisa del medio vano, siendo C el parmetro de la catenaria.

Como consecuencia de la ecuacin (6), las ubicaciones de los extremos, respecto a losejes coordenados cartesianos sern:

x xA ma= 2

x CA

a= 2


59/308


x xB ma= +2

x CBa= +2

3.4 ANGULO HIPERBOLICO DE SOBRETIRO

Si T0 es el tiro (en Kg) en el vrtice del cable y TBes el tiro en el extremo superior delmismo, entonces, la relacin TB/T0podemos determinarlo: Factor de Sobretiro.

Luego podemos asumir que:

( ) = arcCosh TTB0 es el ngulo hiperblico de sobretiro

3.5 RELACION ENTRE LOS ANGULOS DE DESNIVEL, HIPERBOLICO YTRIGONOMETRICO.

La ecuacin (18) del Captulo 2 es:

( ) = arctg hL

de donde, se deduce que:

hL= tg

esta igualdad la sustituimos en la ecuacin (5) y as obtenemos:

( ) = arcsen tgh finalmente

senh tg = donde aes el ngulo hiperblico de desnivel y d es el ngulo trigonomtrico de desnivel

para un mismo conductor instalado con un vano a y desnivel h.

3.6 SAETA EN FUNCION DEL DESNIVEL Y LONGITUD.

La ecuacin (30) del Captulo 2 es:

( )[ ]S C xCA= cosh 1 adems, de la ecuacin (7) obtenemos:

x

CaC

A = 2

entonces, deducimos que:

( )[ ]S C aC= cosh 2 1

adems, teniendo en cuenta la ecuacin (1) obtenemos:


60/308


( )[ ]S C= cosh 1

desarrollando el coseno hiperblico tenemos:

[ ]S C= cosh cosh senh senh 1

siendo: ( ) = arcsenh hL

entonces:

( )cosh

senh

= + =

=

1 2hL

LL

hL

Sustituyendo las ecuaciones (17) y (18) en la (16), tendremos:

[ ]S C L

L

h

L= cosh senh 1

pero la ecuacin (2) es:

=L C2 .senh

que al sustituir en la (19)

[ ]S C LC.senh hC.senh= 2 2 1 cosh senh o tambin

[ ]S C cL

C

h

C= 2 2 1tgh de donde, finalmente:

S c CL h= 2 2

tgh

Esta ecuacin (20) puede interpretarse grficamente:


61/308


Figu ra 1.- Interpr etacin grfica de la ecuacin (20).

El punto N, es el punto medio del vano real AB, y su ordenada tiene el valor:

y cNL=2

tgh

Por otra parte, si el desnivel es nulo, entonces:

h

L L C

== =0

2. .senh

por tanto la ecuacin (10) se transforma en:

[ ]

S c C

S c C

S C

L

C

=

=

=

2

2

2

1

tgh

tgh

. cosh

senh

que si comparamos con la ecuacin (3), resulta que:

S f= lo cual es cierto para el cable desnivelado.

3.7 UBICACION DEL MEDIO VANO

La abscisa del medio vano est dada por la ecuacin (6):

x Cm

= .

por tanto, la ordenada correspondiente ser:

( )y Cm xCm= .cosh

o tambin: y Cm= .cosh


62/308


Sustituyendo la ecuacin (5) en (21), obtenemos:

Figura 2.- Coord enadas del medio vano, en un cable tendido.

( )y C hm hL= .cosh arcsen

de donde se deduce fcilmente:

( )y Cm hL= + . 1 2

entonces:

( )y Cm LL= .

Valor que es representado en la Fig. 2.

Figura 2.- Coordenadas del medio vano, en un cable tendido .


63/308


3.8 FLECHA EN FUNCION DE LA LONGITUD

Siendo a flecha la diferencia vertical entre el punto medio (N) del vano real representado

por el segmento AB y el cable (punto M), y con ayuda de la Figura 3, tenemos que:

f y yN m=

Figura 3.- Ubicacin de la flecha.

Sustituyendo las ecuaciones (21) y (24) en la ecuacin (25), obtenemos:

( )f c CL LL= 2 . tgh .

reemplazando en sta la ecuacin (2), obtenemos:

( )f c CL C= 2 12tgh . .senh por tanto:

f c hL L= 2 2. tgh .csc


64/308


de donde:

( )f c hL= 2

tgh csc

3.9 PROPORCIONALIDAD ENTRE EL CABLE DESNIVELADO Y A NIVEL.

Si partimos de la ecuacin (29):

( )f c hL= 2

tgh csc

que al utilizar las identidades hiperblicas:

( )f L= 2 1cosh

senh senh

multipliquemos la ecuacin (30) por el parmetro C:

( )f L= 21cosh

senh

reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (31):

( )f L fL=

de donde, finalmente:

Lf

Lf

=

por tanto, en el cable desnivelado la longitud es a su flecha, como la longitud es a su

flecha en un cable nivelado.

3.10 RELACION ENTRE LA FLECHA, SAETA Y SU LONGITUD.

Si partimos de la ecuacin (20):

S c CL h= 2 2

tgh

que es igual a:

S CL h= 2 2

cosh

senh

aplicando artificios podemos escribir la ecuacin (34) en la forma:

( )( )S C

LC C C C h=

+. cosh.senh

2 2

o tambin:

( ) ( )[ ]S C

LC C C h=

+. cosh.senh

1

2 2

reemplazando la ecuacin (2) y (3) en (35):

( )S C

L f C

L h= +

.

2


65/308


y s i tomamos en cuenta la relacin de proporcionalidad (33), obtendremos finalmente:

( )S C f Ch LL+ + = + 2

Todos los trminos de la ecuacin (37) tienen las dimensiones de longitud y podemosrepresentarlas en la Fig. 4.

Figu ra 4.- Repres entac in grfica de la ecuac in (37).


66/308



C

x

C

af mcosh

8

2

= .......................(54)

as mismo de la ecuacin (51) obtenemos la expresin:

)(arcsena

hh

C

xm = ...................(55)

reemplazando esa ltima en la ecuacin (54) tenemos:

))(ncosh(arcse8

2

a

hh

C

af= .......(56)

pero tambin:

2)(1))(ncosh(arcsea

h

a

hh += ....................(57)

2

22

))(ncosh(arcsea

haahh +=

y por tanto la ecuacin (56) se convierte en:

a

ha

C

af

222

8

+= ..................(58)

pero el vano real "b" es igual a la expresin:22 hab += ...........................(59)


a

b

C

af

8

2

=

C

abf

8= .........................................(60)

reemplazemos la ecuacin (60) en la ecuacin (53):

)28

(h

C

abwTT cmb ++= ..............(61)

Calculemos ahora el tiro a medio vano, igual a:

)cosh(C

xTT mom = ......................(62)

y tomando dos trminos de la expansin de Taylor para el coseno hiperblico, la ecuacin (62) setransforma en:

)2

)(

1(

2

C

x

TT

m

om += ...................(63)

pero como de la ecuacin (51):


67/308



)(arcsena

hhCxm=

y si lo reemplazamos en (63):

)2

))((arcsen

1(

2

a

hh

TT om +=

y entonces:

))((arcsen2

11(

2

a

hhTT om += ........(64)

tomando en cuenta que el desnivel (h) y el vano (a) son conocidos, entonces la expresin:

2))((arcsen211

ahhK += ...............(65)

es tambien conocida.

Por lo que la ecuacin (64) es tambin igual a:

KTT om = ........................................(66)

Si reemplazamos (66) en la (61) tenemos:

)28

(h

C

abwKTT cob ++= ...............(67)

dividiendo por wc:

)28

(h

C

ab

w

wK

w

T

w

T

c

c

c

o

c

b ++= ..........(68)

reemplazando el parmetro C:

28

h

C

abCK

w

T

c

b ++= ......................(69)

La ecuacin (69) es de segundo grado con incgnita C, que al despejar y tomar la raiz cuadradapositiva en las raices, se tiene:

)2

))2

(1

()2

(1

(2

1 2

Kabh

wT

Kh

wT

KC

c

b

c

b += ..........(70)


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3.11 TIRO MAXIMO EN FUNCION DEL DESNIVEL Y LONGITUD.

Consideramos tiro mximo en un cable tendido, al ubicado en el extremo superior y cuyovalor es:

( )T TBxCB= 0 .cosh

si sustituimos la ecuacin (8) en 39:

( )T TB C aC= +

02.cosh /

( )T TB aC= +0 2.cosh

y si tenemos en cuenta la ecuacin (1):

( )T TB= +0.cosh

desarrollemos el coseno hiperblico y obtendremos:

( )T TB= +0. cosh .cosh senh .senh

pero, de la ecuacin (5):

( ) = arcsenh hL

entonces:

( )cosh

senh

= + =

=

1 2h

L

L

LhL

si (44) y (45) sustituimos en 43:

( )T TB LLhL= +0 . cosh senh

pero como:

T C w y L C0 2= =. .senh

entonces:

( )T C wB LCh

C= +. . .cosh

.senh

.senh

.senh

2 2

simplificando

( )T C w cB LChC= +. . . tgh2 2

finalmente:

( )T L c hBw

= +2 . . tgh


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3.12 TIRO MAXIMO EN FUNCION DEL DESNIVEL Y SAETA.

De la ecuacin (49) podemos escribir:

( )T w cB L h= +. . tgh2 2

adems, de la ecuacin (37) podemos deducir fcilmente que:

C S h cL h+ + = +2 2. tgh

que al comparar con la ecuacin (50), obtenemos entonces:

( )T w C S hB= + +.

Figura 5.- El tiro mximo (TB) es igual a la sum a de la saeta desn ivel y parmetro ,mul t ip l icado por el peso uni tar io del cable.


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3.13 RELACION ENTRE LOS ANGULO HIPERBOLICOS DE SOBRETIRO, NIVEL YDESNIVEL.

La ecuacin (42) es:

( )T TB= +0.cosh

de donde:

( )cosh + = TT

B

0

pero de la ecuacin (9) deducimos:

T

TB

0=cosh

que al sustituir en la ecuacin (53) obtendremos:

cosh( ) cosh + =

entonces:

= +

lo que significa que la suma de los ngulo hiperblicos de nivel y desnivel es igual alngulo de sobretiro.

3.14 DESNIVEL EN FUNCION DEL ANGULO DE SOBRETIRO.

De la ecuacin (5), obtenemos:

h

L=senh

pero como:

= +

entonces, la ecuacin (56) se transforma en:

h

L= senh( )

de donde:

h L= .senh( )

Esta ecuacin, permite calcular el desnivel mximo permisible de instalacin, teniendocomo dato el tiro mximo (en el extremo superior TB).

Tambin, si el desnivel es nulo (h=0), entonces:

( )

=

= +arccosh T

T

B

0


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de donde:

T TB= 0 .cosh

lo cual es conforme.

Si el desnivel es positivo (es decir, el extremo B en elevacin respecto al extremo A),

entonces:

h L= >.senh( ) 0

lo que obliga a deducir que:

>

entonces:

( )arccosh TTB0 >

de donde se deduce que:

T TB> 0 .cosh

lo cual es cierto, porque el segundo miembro de la desigualdad es el tiro en el extremodel cable a nivel.

En el caso que el desnivel es negativo (extremo B en depresin respecto al extremo A),entonces:

T TB< 0 .cosh

3.15 SAETA EN FUNCION DEL ANGULO DE SOBRETIRO.

De la ecuacin (52):

( )T w C S hB= + +

de donde podemos deducir que:

( )T w C w S hB= + +. .

de donde, a su vez:

( )T T w S hB= + +0 .

de donde, si despejamos el valor de la saeta:

S T T

whB=

0

dividiendo la fraccin por T0

( )( )

S h

T

T

wT

B

=

0

0

1


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entonces:

( )S C hTTB= . 0 1 finalmente:

( )S C h= . cosh 1

Esta ltima ecuacin (60), podemos desdoblar en sus trminos:

S C C h= .cosh y que podemos representarla en la Figura 6:

Figura 6.- Representacin de la ecuacin (68).

3.16 FLECHA EN FUNCION DE LOS ANGULOS HIPERBOLICOS DE SOBRETIRO YDESNIVEL.

De la ecuacin (37), podemos escribir:

( )f S C Ch LL= + + 2 .

Si sustituimos la ecuacin (68), obtendremos entonces:

( ) ( )f C h C Ch L

L= + + . cosh . 1 2

Simplificando:


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( )f C Ch LL= .cosh . 2

pero la ecuacin (44) es:

( )LL = cosh

que al sustituir en la (71):

f C Ch= .cosh .cosh 2

entonces finalmente:

( )f C h= . cosh cosh 2

La ecuacin (73) se puede desagregar en sus trminos:

f C C h= .cosh .cosh 2

que podemos representarla en la Figura 7.

Figura 7.- Flecha en fun cin de los ngu los de sob retiro y desn ivel.


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3.17 TIROS EN LOS EXTREMOS EN FUNCIN DE LOS NGULOS HIPERBLICOS.

El tiro en el extremo izquierdo (A) es:

T T x

CA

A=

0

.cosh

si sustituimos la ecuacin (7):

T T C

CA

a

=

02.cosh

.

de donde:

( )T T CA a

= 0 2.cosh

entonces:

( )T TA= 0 .cosh

anlogamente, deducimos para el extremo derecho B:

( )T TA= +0 .cosh


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3.18 APLICACIONES PRCTICAS

Un conductor ACSR de caractersticas:

Seccin: 455.1 mm2Peso unitario: 1.522 kg/mTiro de rotura: 12,950.00 kg

ser tendido en un vano de 1000 m, con un esfuerzo de tendido de 5 kg/mm2.

Determinar:

a) El desnivel mximo del cable a fin de que el factor de seguridad mnimo sea de 2.5.b) Si el esfuerzo de tendido se duplica, entonces para el mismo factor de seguridad Cul es el nuevo

desnivel mximo?

Solucin:

[Solucionando con Mathematica]

PROBLEMA No.1

DATOS:

Seccin (mm2):A=455.1;

Peso unitario (kg/m):w=1.522;

Tiro de rotura (kg):

TR= 12950;Vano (m):a=1000;

Esfuerzo de tendido o(kg/mm2):s0 = 5;

Coeficiente de seguridad:CS=2.5;

Tiro en el vrticeT0 = s0 A2275.5

Parmetro de la catenaria:

Co =T0

w 1495.07

ngulo hiperblico de nivel:

b =a

2Co 0.334432

Tiro mximo:

TB =TR

CS 5180.

ngulo hiperblico de sobretiro:


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e =ArcCoshATB

T0

E

1.46359

Longitud del cable si estuviera a nivel:L'=2Co Sinh[b]

1018.75

Entonces el desnivel mximo, dado por la ecuacin (58) es:h=L'Sinh[e-b]

1410.83

Parte (b)

Al duplicar el esfuerzo de templado:s0 = 2s0 10

El tiro de templado ser:T0 = s0 A4551.

El parmetro de la catenaria:

Co =T0

w

lineas de transmision (juan bautista rios)

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