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Arithmétique binaire

Copyright © 2004 Epum/Lirmm1

Ecole Polytechnique Universitaire de MontpellierUniversité Montpellier II

Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 05, FRANCE

Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de Microélectronique de MontpellierUMR 5506 Université Montpellier II / CNRS

161 rue Ada, 34392 Montpellier cedex 05, FRANCE

Notion de code

Soit I un ensemble fini ou infini d'éléments et C un ensemble fini de symboles. On appelle codage de I à l'aide des éléments de C une application injective de I dans C* ou C* est l'ensemble des suites ordonnées de 1, 2, ..., m, ... symboles.

I1

βα

C

C*

bn éléments

Ib éléments


Si toutes les informations sont représentées à l'aide d'une suite de n symboles de C (codage en longueur fixe), et si C contient b symboles, on peut représenter bn informations différentes.

I1I2I3I4

x1x2…xn

bn élémentsxi ∈{α,β, …}

Représentation des nombres

Dans les systèmes de numération on attribue en général une significationà la position des symboles. Considérons, par exemple, un nombre quis'exprime dans un système de numération de base b par:

(A)b = a5 a4 a3 a2 a1 a0

Chaque chiffre ai peut prendre une valeur entière comprise entre 0 et (b-1).Cette représentation symbolique représente en fait le nombre positif:


A = a5b5 + a4b4 + a3b3 + a2b2 + a1b1 + a0b0

A = Σ ai.bi

Les nombres exprimés dans la base 2 ou « nombres binaires » ont un intérêttous particulier pour les calculateurs électroniques du fait qu'ils ne font intervenirque deux valeurs (0,1).

i=0

n-1

Représentation des nombres rationnels (Virgule fixe)

(A)b = a3 a2 a1 a0 , a-1 a-2

A = a3b3 + a2b2 + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2


Conversion de bases

Méthode polynomiale :- Exprimer le nombre (N)b1 en polynôme avec dans le polynôme desnombres exprimés dans la base b2,- Evaluer le polynôme en utilisant l'arithmétique de la base b2.

Exemple : Soit un nombre binaire (1011101).


Expression polynomiale:A = 1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

(A)10 = 1*64 + 0*32 + 1*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1= 93

(A)8 = 1*100 + 0*40 + 1*20 + 1*10 + 1*4 + 0*2 + 1*1= 135

(A)3 = 1*2101 + 0*1012 + 1*121 + 1*22 + 1*11 + 0*2 + 1*1= 10110

Conversion de bases

Exemple : Soit un nombre binaire (1011,101).Expression polynomiale:

A = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3

(A)10 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 + 1*1/2 + 0*1/4 + 1*1/8= 11 + 5/8= 11 625


= 11,625(A)8 = 1*10 + 0*4 + 1*2 + 1*1 + 1*1/2 + 0*1/4 + 1*1/10

= 13 + 5/10= 13,5

(A)3 = 1*22 + 0*11 + 1*2 + 1*1 + 1*1/2 + 0*1/11 + 1*1/22= 102 + 12/22 = 102,121212 ...

2

Conversion de bases

Méthode itérative :Soit A la représentation d'un nombre entier positif dans la base 10 Pour

Le passage d'une base quelconque à la base décimale par la méthode algorithmique est simple l'inverse l'étant moins. Une solution pour réaliser ce passage (base 10 à base quelconque) est d'appliquer une méthode itérative.

base b1 => expression décimale (base 10) => base b2


Soit A la représentation d un nombre entier positif dans la base 10. Pourobtenir sa représentation dans la base b quelconque il suffit de diviser Apar b, puis le quotient par b, jusqu'à ce que le quotient devienne nul. Lesrestes successifs lu de bas en haut sont la représentation de A dans labase b.

A = a3b3 + a2b2 + a1b1 + a0= b(a3b2 + a2b1 + a1) + a0 = bQ1 + a0

Q1 = b(a3b1 + a2b0) + a1 = bQ2 + a1Q2 = ba3 + a2 = bQ3 + a2Q3 = a3

Conversion de bases

Exemple :29 en base 2 29 en base 8

29 = (14*2) + 1 29 = (3*8) + 514 = (7*2) + 0 3 = (0*8) + 3


7 = (3*2) + 1 3 = (1*2) + 1 (29)10 = (35)81 = (0*2) + 1

(29)10 = (11101)2

Conversion de bases

Cas particulier de la base 2 :La conversion du système décimal au système binaire peut s'effectueren remarquant que le reste de la division est 0 ou 1 selon que ledividende est pair ou impair.La conversion décimale binaire peut donc être représentée plussimplement en écrivant les quotients de droite à gauche; on écrit “ 1 ”sous chaque quotient impair et “ 0 ” sous chaque quotient pair.


sous chaque quotient impair et 0 sous chaque quotient pair.

Exemple : Conversion de (29)10 en binaire1 3 7 14 291 1 1 0 1 => (29)10 = (11101)2

Conversion de bases

Relations entre la base 2 et la base 8.Les bits sont pris 3 par 3 et exprimés en décimal pour obtenir le

Compte tenu de la facilité de conversion entre les base 2, 8 et 16 (puissances de 2), les bases 8 (octal) et 16 (hexadécimal) sont exploitées pour représenter les nombres binaires sous forme plus synthétique.


Les bits sont pris 3 par 3 et exprimés en décimal pour obtenir lenombre octal.Relations entre la base 2 et la base 16.Les bits sont pris 4 par 4 et exprimés en hexadécimal pour obtenir le nombre hexadécimal.

Exemple : N2 = 11101=> N8 = 35 (011 101)=> N16 = 1D (0001 1101)

Représentation des nombres négatifs

22 21 20 N 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2

Signe + Valeur absolue


0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 -0 1 0 1 -1 1 1 0 -2 1 1 1 -3

Complément à b-1

Définition: Le complément à la base - 1 d'un nombre exprimé dans une base b est le résultat de la soustraction de ce nombre du radical -1:

Si N est un nombre exprimé sur n digits, Cb-1(N) = bn- N - 1



• C9(5230) = 10000-5230-1 = 9999-5230 = 4769 • C1 (1010) = 10000-1010-1 = 1111-1010 = 0101

Le complément à b-1 d'un nombre peut être obtenu encomplémentant à la base -1 chaque digits.

• C9(5230) = 4769 • C1(1010) = 0101

3

Complément à b-1


22 21 20 N 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2


0 1 1 3 1 0 0 -3 1 0 1 -2 1 1 0 -1 1 1 1 -0

Complément à b

Définition: Le complément à la base (b) d'un nombre exprimédans une base b est le résultat de la soustraction de ce nombredu radical:

Si N est un nombre exprimé sur n digits, Cb(N) = bn- N



• C10(5230) = 10000-5230 = 4770 • C2 (1010) = 10000-1010 = 0110

Le complément à b d'un nombre peut être obtenu en passantpar le complément à b-1 : Cb(N) = Cb-1(N) + 1

• C10(5230) = 4769 + 1 = 4770• C2(1010) = 0101 + 1 = 0110

Le complément à b d'un nombre peut être obtenu par unalgorithme de scrutation/complémentation

Complément à b


22 21 20 N 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2


0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 -4 1 0 1 -3 1 1 0 -2 1 1 1 -1

A = - an-1.bn-1 + Σ ai.bii=0

n-2

Complément à b

le complément à b d'un nombre peut être obtenu par unalgorithme de scrutation/complémentation

- Scruter le nombre à partir de la droite

T t l di it t é t à 0 l



- Tant que les digits rencontrés sont à 0, les conserver

- Complémenter à b le premier digit non nul

- Complémenter à b-1 tous les digits suivants

C10(5230) = 4770C2(1010) = 0110

0 1 264 ?

Complexité


264 = 1.8 10191.8 1019

106 * 3600 * 24 * 365= 584 942 années

Synthèse : Algorithme / Structure

E0

En

S0...

Sn

.

.

.


Table de vérité => Impossible

=> Parallélisation

=> Récurrence

=> Algorithme

=> Structure itérative

4

A

X

YS si A=0 alors S=X

si A=1 alors S=Y

B Bn

0

1

Multiplexeurs

0

1

A

S

X

Y


000001010011100101110111

0011

1

10

0

AXY S

B2 B2

2n

8=

0 0 11

0 1 1 0

00 01 11 10

0

1

AXYS

S = AX+AY

S

A

X

Y

A

X

YS

m

m0

1

Y0 X0 Y1 X1 Ym Xm

Multiplexeurs

m


S0

A

Y0 X0

A A

Y1 X1 Ym Xm

S1 Sm

................................

....................................................

.......................................

A

X

YS

S = AX+AY

A

XY S

S = ABX+ABY+ABZ+ABT

ZT

B A0..An

E0

En

S...

S = ΣA0 A1 An E

0

1

00011011

00...0

11...1

Multiplexeurs


S = AX+AY S = ABX+ABY+ABZ+ABT S = ΣA0.A1..An.E(A0..An)2

.......................

E0 En

A0..An. A0..An.

A0A1A2

Récurrence - Décodeur de Gray

a3a2a1a0

000000010010001101000101

b3b2b1b0

000000010011001001100111

cd

ab 00 01 11 10

00

01

11


01010110011110001001101010111100110111101111

01110101010011001101111111101010101110011000

b0 = a0 ⊕ a1b1 = a1 ⊕ a2b2 = a2 ⊕ a3b3 = a3

10

Algorithme - Complément à 2

Le complément à 2 d'un nombre peut être obtenudirectement en suivant la procédure suivante:

- Scruter le nombre à partir de la droite- Tant que les bits rencontrés sont à 0, les conserver- Conserver le premier 1- Inverser tous les bits suivants

N = 1010 C2(N) = 0110

S = C2(A)

A=A3 A2 A1A0

S= S3 S2 S1S0


S0 = A0S1 = A0’.A1 + A0.A1’

A0 ⊕ A1S2 = (A0+A1)’.A2 + (A0+A1).A2’

(A0+A1) ⊕ A2S3 = (A0+A1+A2) ⊕ A3...

N 1010 C2(N) 0110

i=1

n-1Sn = Σ Ai ⊕ An

Fe =1 si A =B et A =B et A =B et A =B

Fe =1 si A=B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

Fe

Algorithme - Comparateur égalité


Fe =1 si A3=B3 et A2=B2 et A1=B1 et A0=B0

00011011

1001

AiBi fifi = AiBi+AiBi

fi = Ai ⊕ BiFe= (A3 ⊕ B3) (A2 ⊕ B2) (A1 ⊕ B1) (A0 ⊕ B0)

5

Fs =1 si (A >B ) ou (A =B et A >B ) ou (A =B et A =B et A >B )

Fs =1 si A>B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

Fs

Algorithme - Comparateur supériorité


Fs =1 si (A3>B3) ou (A3=B3 et A2>B2) ou (A3=B3 et A2=B2 et A1>B1)ou (A3=B3 et A2=B2 et A1=B1 et A0>B0)

00011011

0010

AiBi gigi = AiBi

Fs =(A3B3)+(A3⊕B3 )(A2B2)+(A3⊕B3 )(A2⊕B2 )(A1B1) + (A3⊕B3 )(A2⊕B2 )(A1⊕B1 )(A0B0)

A0A1A2A3

Structure itérative

A=A3 A2 A1A0

S= S3 S2 S1S0


A0A1A2A3

C0C1C2C3C4

S0S1S2S3

A0A1A2A3

C0=0C1C2C3C4

Structure itérative - Complément à 2

S = C2(A)

A=A3 A2 A1A0

S= S3 S2 S1S0


S0S1S2S3

Ci+1 = Ci + Ai

S i = Ai.Ci’ + Ai’. Ci= Ai ⊕ Ci

Ci+1

Ai

Ci

Si

Fe =1 si A=B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

Fe

A0B0A1B1A2B2A3B3

C0C1C2C3C4Fe

Structure itérative - Comparateur égalité


000 0001 1010 0011 0100 0101 0110 0111 1

Ci+1 = 1 si Ai=Bi et Ci=1AiBiCi Ci+1

Ci+1 = AiBiCi+AiBiCi= Ci(Ai ⊕ Bi)

Co=1

0 1 00

0 1 0

00 01 11 10

0

1

AiBiCi

Ci+1

0

Ci+1

Ai Bi

Ci

Structure itérative - Comparateur égalité

Ci+1 = AiBiCi+AiBiCi= Ci(Ai ⊕ Bi)


A0B0A1B1A2B2A3B3

C0=1C1C2C3C4Fe ====

A0B0A1B1A2B2A3B3

C0C1C2C3C4Fs

Fs =1 si A>B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

Fs

Structure itérative - Comparateur supériorité


000 0001 1010 0011 0100 1101 1110 0111 1

Ci+1 = 1 si Ai>Bi ou (Ai=Bi et Ci=1)AiBiCi Ci+1

Ci+1 = AiBi+AiCi+ BiCi

Co=0

0 1 00

1 1 1 0

00 01 11 10

0

1

AiBiCi

Ci+1

6

Ci+1

Ai Bi

Ci

Structure itérative - Comparateur supériorité

Ci+1 = AiBi+AiCi+ BiCi


A0B0A1B1A2B2A3B3

C0=0C1C2C3C4Fs >>>>

A0B0A1B1A2B2A3B3

C0C1C2C3C4

Additionneur

S = A + B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

S=R S3 S2 S1S0


000 0 0001 0 1010 0 1011 1 0100 0 1101 1 0110 1 0111 1 1

Ci+1 = 1 si retenueAiBiCi Ci+1 Si

Ci+1 = AiBi + AiCi + BiCi

Co=0

0 0 01

1 1 1

00 01 11 10

0

1

AiBiCi

Ci+1

0

S0S1S2S3

Ci+1 = AiBi + Ci ( Ai ⊕ Bi)

S i = Ai ⊕ Bi ⊕ Ci

Ci+1

Ai Bi

Ci

Additionneur

Ci+1 = AiBi + AiCi + BiCi




A0B0A1B1A2B2A3B3

C0=0C1C2C3C4

+ + + +S0S1S2S3

Si

A0A1A2A3

C0C1C2C3C4

S0S1S2S3S C

Incrémenteur

S = A + 1

A=A3 A2 A1A0

S=R S3 S2 S1S0


A0 0A1 0A2 0A3 0

C0=1C1C2C3C4 + + + +S0S1S2S3



Ci+1 = Ai 0 + Ci ( Ai ⊕ 0)

S i = Ai ⊕ 0 ⊕ Ci

Ci+1 = Ci.Ai

S i = Ai ⊕ Ci

Ci+1

Ai

Ci

Si

Ci+1 = Ci.Ai S i = Ai ⊕ Ci

Incrémenteur


A0A1A2A3

C0=1C1C2C3C4 +1 +1 +1 +1

S0S1S2S3

Si

A0B0A1B1A2B2A3B3

C0C1C2C3C4+ + + +- - - -

Soustracteur

S = A - B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

S=R S3 S2 S1S0


000 0 0001 1 1010 1 1011 1 0100 0 1101 0 0110 0 0111 1 1

Ci+1 = 1 si retenueAiBiCi Ci+1 Si

Ci+1 = AiBi + AiCi+BiCi

Co=0

0 1 11

0 1 0

00 01 11 10

0

1

AiBiCi

Ci+1

0 Ci+1 = AiBi + Ci ( Ai ⊕ Bi)


S0S1S2S3

7

Ci+1

Ai Bi

Ci

Soustracteur

Ci+1 = AiBi + AiCi+BiCi




A1B1A2B2A3B3

C2C3C4

- - -

A0B0

C0=0C1

-S0S1S2S3

si A>B alors C4=0si A<B alors C4=1

+ + + +- - - -

Si

Ci+1

Ai Bi

Ci

Ai Bi

CiCi+1

Soustracteur


Ci+1 = AiBi + Ci ( Ai ⊕ Bi)S i = Ai ⊕ Bi ⊕ Ci


AiBi

CiCi+1 -Si

AiBi

CiCi+1 +Si

+ -

A1B1A2B2A3B3

C2C3C4

- - -

A0B0

C0=0C1

-S0S1S2S3

+ - + - + - + -

Soustracteur


S0S1S2S3

C2C3C4

+ + +

A1B1A2B2A3B3 A0B0

C0=0C1

+S0S1S2S3

Relations Soustracteur / Complément à 1

C1 (C1(A) + B) = C1 (2n - 1 - A + B)

= 2n - 1 - 2n + 1 + A – B

XC1(X)2n-1

1000+ 0111= 1111

C1(X) = 2n -1-X


= A - B

C2C3C4 + + +

A1B1A2B2A3B3 A0B0

C0=0C1 +

S0S1S2S3

+ - + - + - + -

A0A1A2A3

C0C1C2C3C4

S0S1S2S3

Décrémenteur

S = A - 1

A=A3 A2 A1A0

S=R S3 S2 S1S0


0123

A0 0A1 0A2 0A3 0

C0=1C1C2C3C4 + + + +S0S1S2S3


Ci+1 = Ai 0 + Ci ( Ai ⊕ 0)S i = Ai ⊕ 0 ⊕ Ci

Ci+1 = Ci Ai S i = Ai ⊕ Ci

Ci+1

Ai

Ci

Si

Ci+1

Ai

Ci

SiS i = Ai ⊕ Ci S i = Ai ⊕ Ci

Décrémenteur


A0A1A2A3

C0=1C1C2C3C4 +1 +1 +1 +1

S0S1S2S3

Ci+1 = Ci Ai S i Ai ⊕ Ci S i Ai ⊕ Ci

Ci+1 = Ci Ai

8

Additionneur / soustracteur

r0r1r2r3r4

a0 b0a1 b1a2 b2a3 b3

Op

Op = 0 => A + BOp = 1 => A - B


s1s2s3

++ ++

s0

Additionneur à carry anticipée

L'inconvénient de la structure précédente est le temps nécessaire à la réalisation de l'addition. Ce temps est en effet conditionné par la propagation de la retenue à travers tous les additionneurs élémentaires.

Dans un additionneur à carry anticipée on évalue en même temps la


retenue de chaque étage. Pour cela on détermine pour chaque étage les quantités Pi et Gi suivantes:

Pi= Ai ⊕ Bi (propagation d'une retenue)Gi = AiBi (génération d'une retenue)

Pi= Ai ⊕ Bi (propagation d'une retenue)Gi = AiBi (génération d'une retenue)

La retenue entrante à l'ordre i vaut 1 si :- soit l'étage i-1 a généré la retenue (Gi-1 = 1)- soit l'étage i-1 a propagé la retenue générée à l'étage i-2 (Pi-1=1 et Gi-2=1)- soit les étages i-1 et i-2 ont propagé la retenue générée à l'étage i-3 (Pi-1=Pi-2=1 et Gi-3=1)



..........- soit tous les étages inférieurs ont propagé la retenue entrante dans l'additionneur (Pi-1=Pi-2=...=P0=C0=1).

Ci = Gi-1 + Pi-1.Gi-2 + Pi-1.Pi-2.Gi-3 +................+ Pi-1.Pi-2.Pi-3....P0.C0

C1 = G0 + P0.C0C2 = G1 + P1.G0 + P1.P0.C0C3 = G2 + P2.G1 + P2.P1.G0 + P2.P1.P0.C0C4 = G3 + P3.G2 + P3.P2.G1 + P3.P2.P1.G0 + P3.P2.P1.P0.C0


G0P0G1P1G2P2G3P3

G.P. G.P. G.P. G.P.

a0b0a1b1a2b2a3b3


C0C4

s0s1s2s3

C3 C2 C1

C.L.U.

P3 G3 P2 G2 P1 G1P0 G0

Bloc CLU


C4 C3 C2 C1

C0

Additionneur Algébrique

Un nombre binaire signé de N bits peut se coder sur N+1 bits, le bit depoids fort servant à représenter le signe. (0 correspond à un nombrepositif, 1 à un nombre négatif.

Si la partie significative du nombre est représentée en valeur absolue,l'opération de soustraction est relativement complexe (elle nécessite laconnaissance du plus grand des deux nombres la modification de ce


connaissance du plus grand des deux nombres, la modification de cenombre au cours de la soustraction, etc...)

Un moyen d'éviter ce processus pour effectuer une soustraction est d'utiliser un codage particulier (Complément) pour représenter les nombres négatifs.

9


Sa|A| Sb|B|

AA BB

R = A + B avec A et B positifs ou négatifs


Comparateur

Additionneur / SoustracteurSigne

|R|Sr


7655- 2425

= 0 5230

2425- 7655

= 9 4770


Code de – 5230 ???

C10 (94770) = 05230

Addition en complément à b

En utilisant un codage en complément à b pour les nombres négatifs, l'opération de soustraction se transforme en une simple opération d'addition binaire

A = A + bn (tronqué sur n bits)

A – B = A + bn – B

A B = A + C (B)


Le digit de retenue de l'addition doit être ignoré dans tous lescas. Le résultat de l'addition est la valeur attendue. Ce résultatpeut être positif ou négatif

Si le digit de signe du résultat vaut 0, le nombre obtenu estpositif et codé en décimal sur les digits significatifs. Si le digit designe du résultat vaut b-1, le nombre obtenu est négatif et codéen complément à b.

A – B = A + Cb(B)

Addition en complément à 2

Cas 1 : M>0 et N>0 S = M + NRésultat = M + N

Cas 2 : M>0 et N<0On effectue donc l'addition M + (2n - N).


S = (M - N) + 2n

= M - N (sur n bits)

M-N >0 => Résultat = S M-N<0 => Résultat = - (N - M)

= - (2n - M + N) sur n bits= - (2n - S) = - C2(S)


Cas 3 : M<0 et N<0On effectue donc l'addition (2n - M) + (2n - N).

S = (- M - N) + 2n + 2n

= - M - N (sur n bits)


Résultat = - (N + M) = - (2n + M + N) sur n bits= - (2n - S)= - C2(S)


Codage Codage

Sa|A| Sb|B|

R = A + B avec A et B positifs ou négatifs


Décodage

Additionneur

Sr|R|

10

Base 10 - Addition en complément à10

225 = 0225 = 0225 -110 = - 0110 = +9890

-------10115 Signe=0 =>R= + 115

225 0225 9775


-225 = - 0225 = 9775 +110 = +0110 = +0110

-------09885 Signe=9 =>R= - C10(885) = - 115

Base 2- Addition en complément à 2

14 = 01110 14 = 01110-13 =-01101 +(-13) = 10011

-------100001 Signe=0 =>R=(00001)2=(1)10

13 01101 13 01101


13 = 01101 13 = 01101-14 = -01110 +(-14) = 10010

-------011111 Signe=1 => R= -C2(11111)2

= -(00001)2= -(1)10

Dépassement de capacité

Remarque: Le résultat de l'opération doit être inférieure à 2N, c'est à dire qu'en valeur absolue sa représentation binaire comporte N bits au plus. Les cas qui peuvent poser problèmes sont ceux ou le signe des deux opérandes de l'addition est identique.

15 = 01111 15 = 01111


15 01111 15 01111+ 2 = + 00010 + 2 = 00010

-------10001 Signe=1 => R=-C2(10001)2

=-(01111)2=-(15)10

Overflow = S(A).S(B).S(R) + S(A).S(B).S(R)

Additionneur/Soustracteur Algébrique

A - B = A + C2 (B) = A + C1 (B) + 1

A0B0A1B1A2B2A3B3

Op = 1 <=> - , Op = 0 <=> +


OpC1C2C3C4

+ + + +S0S1S2S3

C0

Complément à b-1

Définition: Le complément à la base - 1 d'un nombre exprimé dans une base b est le résultat de la soustraction de ce nombre du radical -1:

Si N est un nombre exprimé sur n digits, Cb-1(N) = bn- N - 1

• C9(5230) = 10000-5230-1 = 9999-5230 = 4769


• C1 (1010) = 10000-1010-1 = 1111-1010 = 0101

Le complément à b-1 d'un nombre peut être obtenu encomplémentant à la base -1 chaque digits.

• C9(5230) = 4769 • C1(1010) = 0101

Addition en complément à b-1

En utilisant un codage en complément à b-1 pour les nombres négatifs, l'opération de soustraction se transforme en une simple opération d'addition binaire [A-B = A+(-B)] mais le résultat final n'est obtenu qu'après addition de la retenue au résultat partiel.

Le bit de retenue de l'addition doit être ignoré. Si ce bit vaut 0, le


grésultat de l'addition est la valeur attendue. Si ce bit est différentde 0, le résultat attendu est le résultat de l'addition plus de ce bitde retenue. Le résultat final peut être positif ou négatif.

Si le bit de signe du résultat final vaut 0, le nombre obtenu estpositif et codé en binaire naturel sur les bits significatifs. Si le bitde signe du résultat final vaut b-1, le nombre obtenu est négatifet codé en complément à b-1.

11

Base 10 - Addition en complément à 9

225 = 0225 = 0225 -110 = - 0110 = +9889

-------10114+ 1-------0115 Si 0 >R + 115


0115 Signe=0 =>R= + 115

-225 = - 0225 = 9774 +110 = +0110 = +0110

-------09884 + 0-------9884 Signe=9 =>R= - C9(884) = - 115

Base 2 – Addition en complément à 1

14 = 01110 14 = 01110-13 =-01101 +(-13)= 10010

-------100000+ 1-------00001 Signe=0 => R=(00001)2=(1)10


00001 Signe 0 R (00001)2 (1)10

13 = 01101 13 = 01101-14 = -01110 +(-14)= 10001

-------011110+ 0-------11110 Signe=1 => R=-C1(11110)2

=-(00001)2 =-(1)10


Cas 1 : M>0 et N>0 S = M+N=> Résultat = M + N

Cas 2 : M>0 et N<0On effectue donc l'addition M + (2n-1-N).Si le résultat S est inférieur à 2n (bit de retenue à 0) on obtient:

S1 = M + (2n-1 - N)S2 = S1 + 0

C1(S2) 2 1 (M N 2 1)


C1(S2) = 2n-1 - (M - N + 2n-1)= N - M (Cas /M/ < /N/)

=> Résultat: R = -C1(S2) Si le résultat est supérieur à 2n (bit de retenue à 1) et si l'on ignore le bit de retenue(résultat - 2n) on obtient :

S1 = M + (2n-1 - N) - 2n= M - N - 1

S2 = S1 + 1= M - N (Cas /M/ > /N/)

=> Résultat: R = S2


Cas 3 : M<0 et N<0 => signe(M)=signe(N)=1=> retenue = 1

On effectue donc l'addition (2n-1-M) + (2n-1-N).Le résultat est supérieur à 2n (bit de retenue à 1).Si l'on ignore le bit de retenue (résultat - 2n) onobtient :


S1 = (2n-1 - M) + (2n-1 - N) - 2n

= - M - N + 2n - 1 -1S2 = S1 + 1

= - M - N + 2n - 1C1(S2) = 2n-1 - (- M - N + 2n-1)

= M + N=> Résultat: R = -C1(S2)

Dépassement de capacité

Remarque: Le résultat de l'opération doit être inférieure à 2N, c'est à dire qu'en valeur absolue sa représentation binaire comporte N bits au plus. Les cas qui peuvent poser problèmes sont ceux ou le signe des deux opérandes de l'addition est identique.

15 = 01111 15 = 01111


+ 2 = +00010 + 2 = 00010-------10001+ 0-------10001 Signe=1 => R=-C1(10001)2

=-(01111)2=-(15)10

Overflow = S(A).S(B).S(R) + S(A).S(B).S(R)

Multiplication par bn

i=-m

n(N)b = Σ pibi = (pn pn-1 ... p1 p0 , p-1 p-2 ... p-m)b

(p p 1 p1 p0 p 1 p k p k 1 p )b = Σ pibi+kn

Ecriture d ’un nombre n en base b :

Décalage de k positions vers la gauche :


(pn pn-1 ... p1 p0 p-1 ... p-k , p-k-1 ... p-m)b Σ pibi=-m

Σ pibi+k = bk *Σpibi = bk *(N)bi=-mi=-m

nn

Multiplication par une puissance de 2 => décalage

12

Multiplication binaire

1 1 0 0 Multiplicande1 1 0 1 Multiplieur---------

1 1 0 0 Produit partiel0 0 0 0 Produit partiel

1 2* 1 3--------

3 61 2


0 0 0 0 Produit partiel1 1 0 0 Produit partiel

1 1 0 0 Produit partiel -------------------1 0 0 1 1 1 0 0

1 2--------1 5 6

A3 B0 A2B0 A1B0 A0B0


P1P2P3

Multiplieur

S = A * B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

S=S7S6S5S4S3 S2 S1S0B3 B2 B1 B0

A3 A2 A1 A0

*




P3P4

P1 + P2 = R1 => R1 + P3 = R2 => R2 + P4 = S

+

Ri Ai-1Bj

Ri+1

S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0





+ + + +

B0

B1

B2

A0A1A2A3

A0A1A2A3

A0A1A2A3

0

0

Multiplieur


S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0

+ + + +

+ + + +

B2

B3A0A1A2A3

0

0

Multiplieur en Complément à 2

X = - xn-1.2n-1 + Σ xi.2ii=0

n-2

23

2

0

33

22

22

+−=

+−==

∑

∑i

i

ii

aaA

bbB

=> -X = -2n + C1(X) + 1

C2(X) = 2n - X


432

03

33

2

0

2

0

2

0

633

7

2

03

333

2

0

332

0

2

0

633

2

03

33

2

0

32

0

2

0

633

03

22'.2'.222

12)'.(2212'.2222

2)(22)(222.

22

+++++−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++−++=

−+−++=

+=

+

=

+

=

+

= =

==

+

= =

==

+

= =

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

ii

)b(a)b(ababa

ba)b(ababa

babababaBA

aaA


+ + + +

A0B0A1B0A2B0A3B0

A0B1A1B1A2B1A3B1

A0B2A1B2A2B2A3B2

1

0


P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0

+ + + +

+ + + +

A0B2A1B2A2B2A3B2

A0B3A1B3A2B2A3B3

0

0

Signe


23

33

23

33

2 26

33

2

03

32

03

32

0

2

0

633

2

0

33

2

0

33

12)'(2212'2222

2)(22)(222.

22

22

ba)(abbaba

baabbabaBAP

aaA

bbB

ii

ii

jiji

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

i

ii

i

ii

⎟⎞

⎜⎛

++−+⎟⎞

⎜⎛

++−++=

−+−++==

+−=

+−=

+

==

+

= =

=

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑

∑


33

333

2

03

33

2

0

63

63

72

0

2

0

633

33

333

2

03

33

2

0

63

663

62

0

2

0

633

663

63

33

333

2

03

33

2

0

63

63

2

0

2

0

633

03

03

0 033

222'2'2'2'222

222'2'2'22'222

22'2or

222'2'2222

12)(22122222

ab)b(a)b(abababa

ab)b(a)b(abababaP

aa

ab)b(a)b(abababa

ba)(abbaba

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

ii

i

i

ii

ji

ij

ji

iii

ii

jj

i

++++++−+=

+++++−+−+=

−+=−

++++−−+=

⎟⎠

⎜⎝

+++⎟⎠

⎜⎝

++++

+

=

+

=

+

= =

+

=

+

=

+

= =

+

=

+

=

+

= =

=== =

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

13


+ + +

+ + +

A0B0A1B0A2B0

0

A3B0

00A2B1 A0B1A1B1

A0B2A1B2A2B2

A3B1


P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0

+ + +

+ + + + B3

A3

A3B2

+

+

1

B3

A0B3

A3

A1B3A2B2A3B3

ignoré

Signe

1 0 1 1- 1 0 0 1---------------0 0 1 0 0

- 1 0 0 1---------------

1 ,0 0 1

1 0 0 1

1

0

Exemple : 11 / 9

Division Binaire

1 1 9

2 0 1 , 2 2 ...2 0

2


0 1 0 0 0- 1 0 0 1

----------------1 0 0 0 0

- 1 0 0 1-----------------

0 1 1 1

0

0

1

Soustraction 5 bits

QR R R R

1 0 1 1- 0 1 0 0 10

1 0- 0 1 0 0 10

1 0 1- 0 1 0 0 10

1 0 1 10 1 0 0 11

Diviseur

S = A / B

A=A3 A2 A1A0 B=B3 B2 B1 B0

S=S7S6S5S4,S3 S2 S1S0


- 0 1 0 0Q R R R R

- 0 1 0 0 110 0 1 0 0

- 0 1 0 0 100 1 0 0 0

- 0 1 0 0 101 0 0 0 0

- 0 1 0 0 110 1 1 1 0

- 0 1 0 0 11

Si R>B alors Q=1 et R-Bsinon Q=0 et R

R

+

01

+ -

R B

Si alors

Ci+1 Ci

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

A3

A2

A1

A0

0 0 0 0

Q3

Q2

Q1

Diviseur


- Si

B-

R

RSi

CiCi+1+

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

Bo+ - + - + -

B1B2+ -

B30+ -

0

0

0

0

Q0

Q-1

Q-2

Q-3

A0A1A2A3

C0=0C1C2C3C4

S0S1S2S3

Complément à 2 série

Ci+1

Ai

Ci

Si

Ai


Ci+1 Ci

Si

D Q

H

Ai

Ci+1Ci

Si

D Q

H

Additionneur série

A0B0A1B1A2B2A3B3

C0=0C1C2C3C4 + + + +

S0S1S2S3

Ci+1

Ai Bi

Ci

SiAi Bi


D Q

H

Ai

Ci+1Ci

Si

D Q

H

Ci+1

Ci

Si

Bi

14

Multiplieur séquentiel 1

(A) 1110(B) 1011-------------

R2R1 0000 0000 Initialisation de R1 et R2+A*20 1110 b0=1 => on ajoute A*20

-------------R2R1 0000 1110 Décalage de B > B (0101)


R2R1 0000 1110 Décalage de B => B=(0101)+A*21 1 110 b0=1 => on ajoute A*21

-------------R2R1 0010 1010 Décalage de B => B=(0010)+0*22 b0=0 => on ajoute 0*22

-------------R2R1 0010 1010 Décalage de B => B=(0001)+A*23 111 0 b0=1 => on ajoute A*23

-------------R2R1 1001 1010 Fin


(A) 1110(B) 1011

---------------R3R2R1 0 0000 0000 Initialisation de R3 R2 R1+A 1110 b0=1 => (R2 + A -> R3R2)

---------------R3R2R1 0 1110 0000 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 0111 0000 Décalage de B => B=(0101)


+A 1110 b0=1 => (R2 + A -> R3R2)---------------

R3R2R1 1 0101 0000 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 1010 1000 Décalage de B => B=(0010) +0 0000 b0=0 => (R2 + 0 -> R3R2)

---------------R3R2R1 0 1010 1000 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 0101 0100 Décalage de B => B=(0001) +A 1110 b0=1 => (R2 + A -> R3R2)

---------------R3R2R1 1 0011 0100 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 1001 1010 Fin


(A) 1110---------------

R3R2R1 0 0000 1011 Initialisation de R3R2R1 (B->R1)+A 1110 b0(R1)=1 => (R2 + A -> R3R2)

---------------R3R2R1 0 1110 1011 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 0111 0101 b0(R1)=1 => (R2 + A -> R3R2) +A 1110


---------------R3R2R1 1 0101 0101 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 1010 1010 b0(R1)=0 => (R2 + 0 -> R3R2) +0 0000

---------------R3R2R1 0 1010 1010 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 0101 0101 b0(R1)=1 => (R2 + A -> R3R2) +A 1110

---------------R3R2R1 1 0011 0101 Décalage de R3R2R1R3R2R1 0 1001 1010 Fin

log7 arithmetique.ppt [mode de compatibilité] · 161 rue ada, 34392 montpellier cedex 05, france...

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