lógica y cálculo proposicional iii
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LÓGICA Y CALCULO
PROPOSICIONAL
Lógica y calculo proposicional
Realice la siguiente proposición en tabla de
valores
Lógica y calculo proposicional
Realice la siguiente proposición en tabla de
valores
p q p → q ¬q ¬p ¬q →¬p ↔
V V V F F V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Lógica y calculo proposicional
Una proposición que es verdadera para todos
los valores posibles de sus variables se
denomina tautología, a una proposición que
siempre es falsa se le llama contradicción o
falacia y a una que puede ser verdadera o
falsa dependiendo de los valores de sus
variables se denomina contingencia o
indeterminación
Lógica y calculo proposicional
Contradicción
Lógica y calculo proposicional
Indeterminación
p q r p →q ¬(p →q) ¬(p →q)
∧
r
V V V V F F
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F
F V V V F F
F V F V F F
F F V V F F
F F F V F F
Lógica y calculo proposicional
Ejercicios
Lógica y calculo proposicional
Cuantificadores
Algunas veces, para especificar el dominio de
discurso D, se escribe la afirmación
cuantificada universalmente como
para toda x en D, P(x).
Lógica y calculo proposicional
Ejemplo
La afirmación cuantificada universalmente
para todo número real x, si x > 1, entonces x + 1
>1
es verdadera.
Y se escribe como ∀x P(x)
Lógica y calculo proposicional
Ejemplo
La afirmación cuantificada universalmente
para todo número real x, si x > 1, entonces x + 1
>1
es verdadera.
Y se escribe como ∀x P(x)
Todo Guatemalteco es centroamericano
∀x P(x)
Lógica y calculo proposicional
Ahora consideremos cuando no estamos
nombrando a todos sino solamente a
algunos o a uno, utilizamos el
cuantificador Existe
existe x, P(x) se escribe
∃x P(x)
Lógica y calculo proposicional
Ejemplo
X+3 =10 vemos que para esta
proposición existe solamente un resultado
que es 7, por lo tanto escribimos ∃x P(x)
De igual forma podemos escribir
Algunas aves vuelan ∃x P(x)
y se lee existe alguna o al menos una.
Lógica y calculo proposicional
Ejemplo
Todo amante del Rock escucha a U2
escribiríamos ∀x P(x)
Ahora bien si negamos la proposición
(porque no los amantes del rock escuchan
a U2)
Escribiríamos ∃x P(x)
Propiedades de la operaciones
entre proposiciones
La operación implicación también tiene varias
Propiedades importantes
Demostraciones
Cada una de las siguientes proposiciones es
una tautología
Demostraciones
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A estos argumentos se les llama reglas de inferencia. Los distintos pasos de la demostración matemática de un teorema deben desprenderse del uso de diversas reglas de inferencia, y la demostración matemática de un teorema debe comenzar con la hipótesis, proseguir con los distintos pasos, justificando cada uno por alguna regla de inferencia y llegar a la conclusión
Kolman, Estructuras de matemáticas discretas
Demostraciones
Ejemplo 1:
De acuerdo a la tautología
El argumento
Es universalmente valido y por lo tanto es una
regla de inferencia
Demostraciones
Ejemplo 1:
El argumento es de la forma dada en el ejemplo;
por lo tanto es válido aunque la conclusión
pueda ser falsa
Demostraciones
Ejemplo 2: Veamos la siguiente tautología
Lo podemos escribir como
o también que es lógicamente equivalente
Demostraciones
Ejemplo 2:
p: Correr por las mañanas
q: El ejercicio es bueno para la salud
Demostraciones
Una regla de inferencia muy importante es la
tautología
la cual se puede escribir como
Llamada clásicamente como Modus Ponens
(en latín método que afirmando afirma)
Demostraciones
Ejemplo 3 Modus Ponens
p: Fumar es saludable
q: Los cigarrillos son recetados por los
médicos
Demostraciones
Ejercicio pruebe si el siguiente argumento es
verdadero
Demostraciones
Otra forma de demostrar es la demostración
por contradicción. Este método se basa en la
tautología
En consecuencia la regla de inferencia es
Llamada Modus Tollens (Modo que negando
niega)
Demostraciones
Ejemplo 4
Dadas la siguientes proposiciones
p: Hoy es viernes
q: Hoy Lloverá
Aplique la regla de inferencia Modus Tollens
Demostraciones
Ejemplo 4
Demostraciones
Reglas de inferencia importantes
Demostraciones
Realice los siguientes ejercicios
Demostraciones
Escriba el argumento en palabras y determine
si el argumento es válido