Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y laTeoría de Matrices Aleatorias

Nathan Ryan

Department of MathematicsBucknell University

Comisión de Fulbright Uruguay

18 Noviembre, 2009

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¿Por qué nos reunimos hoy?

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¿Para qué se usa?

La applicación más importante es a la cultura popular:hay libros populares de Rockmore, Derbyshire, etc que setratan de RH.es más probable que Wayne Rooney demostraría RHantes de ponerse un sarong (comparar con DavidBeckham).en el programa de televisión NUMB3RS alguien secuestróla hija de un matemático que estaba por demostrar RH (letomó 15 años, según el programa – tanto tiempo!).hay por lo menos un chiste en Futurama sobre RH.

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Una carta a Encke

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Contando Primos

Definimos una función:

π(x) := #{p ≤ x : p primo}

Conjetura (Gauss,a los 15 años)

La densidad de los primos cerca de x es 1/ log x; en otraspalabras,

π(x) ∼ Li(x) :=

∫ x

2

dtlog t

.

Asimptóticamente: Li(x) = xlog x + x

(log x)2 + · · ·

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Comparasión entre π(x) y Li(x)

x π(x) π(x)− Li(x)

10 4 1.1108 5761455 753.31010 455052511 3101.41012 37607912018 38187.5

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El Teorema de Números Primos

Teorema (Hadamard, de la Vallee Poisson)

π(x) = Li(x) + O

(x

exp(√

log x)

)

Conjetura (Versión 1 de RH)

π(x)− Li(x)� x “1/2”

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Función Zeta antes de Riemann

Para s ∈ Z>1,

ζ(s) =∑n≥1

1ns .

Proposición (Euler)

ζ(s) =∏

p primo

(1− 1

ps

)−1

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El Producto de Euler

LemaEl teorema fundamental de aritmética.

Ahora,1

1− 1ps

= 1 +1ps +

1p2s + · · · .

Tenemos ∏p

11− p−s =

∏(1 +

1ps + · · ·

)

=∑

pi

∞∑k1,...,kr =0

1

(pk11 · · · p

krr )s

= ζ(s)

por el lema.

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Función Zeta después de Riemann

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Continuación Analítica

El “insight” de Riemann era pensar del s como un númerocomplejo en vez de un entero más grande que uno.

ζ(s) tiene una continuación analítica (que tambiéndenotamos con ζ(s)) a todo el plano complejo menoss = 1 donde la serie diverge.ζ(s) tiene una ecuación funcional; para

ζ∗(s) := π−s/2Γ(s

2

)ζ(s)

tenemos ζ∗(s) = ζ∗(1− s) salvo los polos en s = 0,1.

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Dibujos, I

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Dibujos, II

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Dibujos, III

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Dibujos,IV

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Dibujos,V

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¿Dónde Están los Ceros de Zeta?

cuando Res > 1,tenemos ζ(s) 6= 0 por el producto deEuler.cuando Res < 0, tenemos ζ∗(s) = ζ∗(1− s) dondeRe(1− s) > 0, entonces ζ∗(s) 6= 0. Pero, los s ∈ 2Z sonpolos de Γ(s/2) y entonces ζ(s) tiene que tener ceros paratales s.la franja 0 ≤ Re(s) ≤ 1 es la franja crítica.hay muchos ceros en la línea crítica Res = 1/2.

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Un Millón de Dolares

Conjetura (Versión 2 de RH)

Todos los ceros de ζ(s) en la franja crítica, están en la líneacritica.

Maneras más probables de ganar un millón de dolares:ganar la loteríarobar oro del banco en Fort Knox en los Estados Unidosencontrar petroleo en tu casa

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Hilbert se equivocó

En anunciar sus problemas dijo lo siguienteRH se resolucionaría en unos añosalgunos viendo su presentación verían la resolución delúltimo tereoma de Fermatno verían la resolución si 2

√2 para miles de años

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La fórmula explícita de Riemann

Si

Λ(n) :=

{log p si x = pk

0 si no,

tenemos

ψ(x) :=∑n≤x

Λ(n) = x −∑ρ

xρ

ρ− log 2π − 1

2log(1− x−2)

ψ(x) ∼ x ⇔ π(x) ∼ Li(x)

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¿ Por qué son equivalentes las dos versiones?

Una dirección (Versión 2→ versión 1):π(x)− Li(x)� x“1/2′′

por lo de antes, ψ(x)− x ∼ π(x)− Li(x)

por la fórmula explícita, si Reρ = 1/2,

|ψ(x)− x | =

∣∣∣∣∑ xρ

ρ

∣∣∣∣ ≤∑ xReρ

|ρ|≤ x1/2

∑ 1|ρ|.

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Razones para creer en RH

muchas computaciones.Conrey: más de 40% de los ceros están en la línea crítica.Weil: RH en el caso de cuerpos de funciones ha sidodemostrado.

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Los primeros ceros

14.1347251421.0220396325.0108575830.4248761232.9350615837.5861781540.9187190143.3270732848.0051508849.7738324752.97032147

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De los Ceros a los Primos

∑cos(γn log x)

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Contando los Ceros

N(T ) = #{ρ = β + iγ : 0 < γ ≤ T}

=T2π

logT

2πe+

78

+ S(T ) + O(1/T )

donde

S(T ) =1π

argζ(1/2 + iT )

= O(Log(T ))

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¿ De dónde vienen los ceros?

Conjetura (Hilbert-Polya)Las partes imaginarias de los ceros en la línea crítica son losautovalores de alguna operadora no acotizada.

Evidencia:no había evidencia cuando fue propuestaLa fórmula de traza de SelbergLa Conjetura de 2-Correlación de Montgomery

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Conjetura de Montgomery

Conjetura (Montgomery Pair Correlation Conjecture)∑2παlog T <γ−γ′< 2πβ

log T

1 ∼ N(T )

∫ β

α

(1−

(sinπuπu

))2

du

La suma es sobre pares γ, γ′ de partes imaginarias de cerosentre dos números α, β ∈ R.

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Té en Princeton

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La Teoría de Matrices Aleatorias

Un ensemble de matrices es un conjunto de matrices con unadistribución de probabilidad.Por ejemplo, el GUE (el ensemble gausiano-unitario) que es elconjunto de matrices Hermitianas (N × N tal que t A = A) concada entrada eligida indpendientemente según algún gausiano.

Gran IdeaLos autovalores de matrices aleatorias tienen las mismasestadísticas que los ceros de ζ(s).

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Teoría de Números y TMA

Conjetura (Conjetura GUE)En el límite (los ceros con partes imaginarias más y más altas,las matrices más y más grandes) los espacios entre los cerosde ζ(s) son los mismos que los espacios entre los autovaloresde matrices Hermitianas.

Conjetura (Keating-Snaith)

Fórmulas para los momentos de ζ(s)

Ik (T ) =1T

∫ T

0|ζ(1/2 + it)|2k dt

son predecidas por TMA.

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Autovalores y Ceros

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Odlyzko – Espacios entre ceros

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Odlyzko – 2-Correlación

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Un resumen

TMA probablemente no nos va dar un demostración de RHTMA es útil para describir la distribución de datosaritméticosTMA se puede usar para generar conjeturas sobre objetosartiméticas (e.g., momentos, Sato-Tate, etc.)ζ(s) es la última función elemental que no entendemosζ(s) nos dice algo de la interacción entre sumar ymultiplicar, un algo que no entedemosprobablemente RH no se va resolucionar usando análisis,solamenteojalá que no tomará los miles de años que sugiere Hilbert

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