ma3231 analisis real - · pdf fileinggris yang terkenal dengan teorema taylor (untuk fungsi...

MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 1 / 25

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

1 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

2 10.2 Titik Stasioner

3 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor


10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) danc ∈ (a, b).

Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila

f(x) ≤ f(c)

untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c.

Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal.Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.



Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c



Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabilagrafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ di x = c.

Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabilagrafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di x = c.

Jika f(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b),maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c.

Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belumtentu merupakan nilai maksimum f .



Contoh 1. Misalkan f : R→ R adalah fungsi yang didefinisikansebagai

f(x) =

{x+ 2, x < −1,|x|, x ≥ −1.

Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f(−1) = 1bukan merupakan nilai maksimum f pada R.

Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f(0) = 0bukan merupakan nilai minimum f pada R.



Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) danc ∈ (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c,maka f ′(c) = 0.

Bukti. Menurut definisi turunan,

f(x)− f(c)x− c

→ f ′(c)

untuk x→ c. Misalkan f ′(c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4,terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga

f(x)− f(c)x− c

> 0 (1)

untuk x ∈ (c− δ, c+ δ), x 6= c. Akibatnya, jika x ∈ (c, c+ δ), makaf(x)− f(c) > 0 atau f(x) > f(c), dan jika x ∈ (c− δ, c), makaf(x)− f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f tidak mungkin mencapainilai minimum lokal di c.Hal serupa terjadi ketika f ′(c) < 0. Jadi, jika f ′(c) 6= 0, maka ftidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.



Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f ′(c) = 0,belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

SOAL

1 Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2, 2)dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f(1) bukanmerupakan nilai maksimum f pada (−2, 2).

2 Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol disuatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atauminimum lokal di titik tersebut.


10.2 Titik Stasioner

Titik c dengan f ′(c) = 0 disebut titik stasioner f .

Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasionermerupakan titik maksimum atau minimum lokal.

Sebagai contoh, jika f(x) = x3, maka f ′(x) = 3x2, sehingga 0merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titikmaksimum maupun minimum f .

(Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f , yaitu titik terjadinyaperubahan kecekungan grafik fungsi f .)



Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x3



Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi

f(x) =

{x2 sin 1

x, x 6= 0,

0, x = 0

mempunyai turunan di 0, yaitu f ′(0) = 0, tetapi 0 bukan merupakantitik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

Fungsi yang lebih ekstrim dapat ditemukan di literatur, anda mungkintertarik mencarinya.



Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] danmempunyai turunan pada (a, b). Jika f(a) = f(b), maka f ′(c) = 0untuk suatu c ∈ (a, b).

Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurutsifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu c1 ∈ [a, b]dan mencapai nilai minimum m di suatu c2 ∈ [a, b].

Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f(a) = f(b),maka m =M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnyaf ′(c) = 0 untuk setiap c ∈ (a, b).

Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 ∈ (a, b) dan f mencapai nilaimaksimum lokal di c1. Menurut Teorema 2, f ′(c1) = 0. Hal serupaterjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b].



Gambar 10.3 Teorema Rolle menjamin adanya garis singgungdengan gradien 0.



Gambar 10.4 Michel Rolle (1652-1719) adalah adalahmatematikawan Perancis yang terkenal dengan Teorema Rolle, yangdiperlukan dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata dan uraian

deret Taylor.



SOAL

1 Diketahui f(x) = x|x|, x ∈ R. Tunjukkan bahwa 0 merupakantitik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atauminimum lokal di 0.

2 Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b],mempunyai turunan pada (a, b), dan f(a) = f(b), namun tidakada c ∈ (a, b) dengan f ′(c) = 0.


10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

Gambar 10.5 Brook Taylor (1685-1731) adalah matematikawanInggris yang terkenal dengan Teorema Taylor (untuk fungsi yang

mempunyai turunan ke-k) dan deret Taylor untuk fungsi yang dapatditurunkan tak terhingga kali.



Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teoremaberikut.

Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada[a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

untuk suatu c ∈ (a, b).



Catatan. Nilai f(b)−f(a)b−a disebut nilai rata-rata f pada [a, b].

Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yangmenghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)).

Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x)terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung samadengan nilai rata-rata f pada [a, b].

Secara fisis, jika y = f(t) menyatakan posisi suatu partikel yangbergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t, maka f ′(t) menyatakan

kecepatan sesaat pada saat t dan f(b)−f(a)b−a menyatakan kecepatan

rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema NilaiRata-rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapaikecepatan rata-ratanya pada suatu saat c ∈ (a, b).



Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai

F (x) = f(x)− hx

dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyaiturunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehinggaF (a) = F (b), yakni

h =f(b)− f(a)

b− a.

Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F ′(c) = 0 untuksuatu c ∈ (a, b). Namun

F ′(c) = f ′(c)− h = 0,

sehingga teorema pun terbukti.



Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung padakurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah

y = f(c) + (x− c)f ′(c).

Untuk x dekat c, nilai f(c) + (x− c)f ′(c) merupakan hampiran yang’baik’ untuk f(x).

Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?



Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n− 1) di c. Makapolinom

P (x) = f(c)+(x−c)f ′(c)+ (x− c)2

2!f ′′(c)+· · ·+(x− c)n−1

(n− 1)!f (n−1)(c)

mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1, . . . , n− 1, yang sama denganturunan ke-k dari f .

Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P (x) untukx di sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalampenghampiran ini.

Teorema Taylor (pada halaman berikut) menjawab pertanyaantersebut.



Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunanke-n pada interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuksetiap x ∈ I, berlaku

f(x) = f(c) + (x− c)f ′(c) + (x− c)2

2!f ′′(c) + · · ·

+(x− c)n−1

(n− 1)!f (n−1)(c) + En

dengan En = 1n!(x− c)nf (n)(ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c.



Bukti. Untuk t di antara x dan c, definisikan

F (t) = f(x)− f(t)− (x− t)f ′(t)− · · · − (x− t)n−1

(n− 1)!f (n−1)(t).

Perhatikan bahwa

F ′(t) = −(x− t)n−1

(n− 1)!f (n)(t).

Sekarang definisikan

G(t) = F (t)−(x− tx− c

)n

F (c).

Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapatξ di antara x dan c sedemikian sehingga G′(ξ) = 0.



Tetapi

G′(ξ) = F ′(ξ) +n(x− ξ)n−1

(x− c)nF (c)

= −(x− ξ)n−1

(n− 1)!f (n)(ξ) +

n(x− ξ)n−1

(x− c)nF (c).

Dari sini kita peroleh

F (c) =(x− c)n

n!f (n)(ξ)

dan teorema pun terbukti.



SOAL1 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada

(a, b). Buktikan jika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka fkonstan pada [a, b].

2 Misalkan f : R→ R mempunyai turunan di setiap titik danf ′(x) = x2 untuk setiap x ∈ R. Buktikan bahwaf(x) = 1

3x3 + C, dengan C suatu konstanta.

3 Diketahui f : R→ R memenuhi ketaksamaan

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|p, x, y ∈ R,

untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan.4 Misalkan c ∈ R dan n ∈ N. Buktikan dengan menggunakan

Teorema Taylor bahwa

(1 + c)n = 1 + nc+n(n− 1)

2!c2 + · · ·+ cn.

(Petunjuk. Tinjau f(x) = xn.)


ma3231 analisis real - · pdf fileinggris yang terkenal dengan teorema taylor (untuk fungsi...

Documents