mag. thomas hilpold, universität linz, institut für wirtschaftsinformatik – software engineering...

Mag. Thomas Hilpold, Universität Linz, Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering 1

Algorithmen und Datenstrukturen 1

SS 2002

Mag.Thomas Hilpold

Institut für Wirtschaftsinformatik

Software Engineering

JKU Linz

Termin 9 – Laufzeitkomplexität


•Lösung Übung 7

•Themenbereiche heute

• Laufzeitkomplexität

• Übungsbesprechung Übung 9

Übersicht


Lösung Ü7


Komplexität

Allgemeines• Speicherkomplexität

• Laufzeitkomplexität

• Laufzeit = f(Problemgröße) typ. Größe der Datenmenge

• O-Notation gibt Obergrenze für Laufzeit an.

• Konstanten werden weggelassen


Komplexität

Beispiele für Laufzeitkomplexität

Bezeichnung O Wertung Beispiel

konstante Komp. O(1) optimal, selten

Hashing, Prepend

Logarithmische K. O( log n ) Sehr günstig Binäres Suchen

Lineare Komp. O( n ) Günstig Lineares Suchen

Leicht überlinear O(n log n) Noch gut Gutes Sortierverfahren

Quadratische K. O( n2 ) Ungünstig Schlechtes Sortierverfahren

Kubische K. O( n3 ) Ungünstig Matrizenmultiplikation

Exponentielle K. O( an ) Katastrophal Rundreiseproblem


Komplexität

einige Aussagen

• wenn P(n) ein Polynom m. Grades ist, so gilt P(n) = O(nm)

• an wächst stärker als jedes Polynom -> kein polynomialer Algorithmus

• log n wächst schwächer als n, egal welche Basis


Laufzeitkomplexität

Beispiele

n O(n) O(n2) O(2^n)

1 1 sec 1 sec 1 sec

10 10 sec 100 sec ca. 1 msec

100 100 sec 10 msec 4*106 Jahre

1000 1 msec 1 sec 3,4*10286 Jahre



grafische Darstellung (kleine Problemgrößen)



grafische Darstellung (große Problemgrößen)


Bestimmen der Laufzeitkomplexität

For - Schleife• Annahme: eine Operation A hat einen konstanten Zeitbedarf. Die Laufzeit für A soll also unabhängig von den Werten der Laufvariablen sein.

for (int i = 1..n) {A

}

•Laufzeitkomplexität: O(N), Linear



For – Schleife (2)

for (int i = 1..n) {for (int j = 1..n) {

A}

}

•Laufzeitkomplexität: O(N2), quadratisch




for (int i = 1..n) {for (int j = 1..i) {

A}

}

• geschachtelt, innere Schleife hat variable Obergrenze

???•Laufzeitkomplexität:



binäre suche

while (i <n) {n = n/2i = i + 1;

}

•Obergrenze halbiert sich bei jedem Schleifendurchlauf. log(n) Durchläufe = O(log(n)).



an der Tafel


Übung 9

ad 1) Feinanalyse – Suchverfahren

analog zur Vorlesung

ad 2) asymptotische Laufzeitkomplexität - praktische Betrachtung

gegeben O-Notation, Zeit für n = 10; zu berechnen für mehrere n

ad 3) Grobanalyse

asymptotische Laufzeitkomplexität für einen iterativen und einen rekursiven Algorithmus. gesucht: Anzahl der Schleifendruchläufe, Anzahl der rek. Aufrufe,

z.B. Aufrufbaum überlegen, Anzahl der Knoten.

ad 4) 2 Algorithmen zum Potenzieren

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