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8/19/2019 Mate Matic As djslak djlksajdklsajkldjsalkjdksa kld sjlak jdk lsajdkl jsa

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Matemáticas II(Geometría y Trigonometría)

Manual de Bachillerato

Erika Alejandra López EstradaCompiladora


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Matemáticas II (Geometría y Trigonometría )Manual de bachillerato

Primera Edición, 2009

Dirección de educación a distanciaEduardo Franco Padilla

Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán

Revisión Héctor Alejandro Vázquez Zúñiga

Asesoría PedagógicaErika Alejandra López Estrada

Diseño Grá co de forros para la presente ediciónJosé María Ruiz Huerta

FormaciónKarina Ibeth Rodríguez Medina

Universidad La ConcordiaDirección de Educación a Distancia,

Av. Tecnológico 109 Col. Ejido de Ojocaliente,CP 20198, Aguascalientes, Ags.

ISBN pendiente

Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra – incluido el diseño– por cualquier medio, electrónico o mecánico,sin el consentimiento por escrito del editor.


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ÍNDICE

Presentación

Apoyos didácticos

Objetivo general

1. Introducción.2. Características de los cuerpos físicos y geométricos3. Postulados básicos de la recta.4. Polígonos regulares e irregulares.5. Circunferencia.6. Ángulos. 6.1 De nición y características. 6.2 Sistemas de Medición 6.3. Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.7. Longitud de arco.Resumen

Autoevaluación

Unidad I. Geometría Euclidiana

Unidad II. Triángulos

1. Introducción2. De nición.3. Clasi cación4. Teoremas generales.5. Rectas notables.Resumen

Autoevaluación

Unidad III. Triángulos Rectángulos

1. Introducción2. De nición y características generales3. Teorema de Pitágoras.4. Razones trigonométricas. 4.1. Recíprocas y Complementarias. 4.2. Directas e inversas5. Manejo de calculadora.6. Valores de las funciones para ángulos de 30°, 45° y 60°.

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4343444854

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7. Resolución de triángulos rectángulos.8. Ángulos de Elevación y de Depresión.9. Aplicaciones generales.

Resumen Autoevaluación

Unidad IV. Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud.

1. Introducción2. Conceptos básicos de un ángulo 2.1. Ángulo en posición estándar. 2.2. Ángulos positivos y negativos 2.3. Ángulos coterminales.

3. Variación de las funciones de 0° a 360°.4. Valores de las funciones de los ángulos cuadrangulares.5. Círculo Trigonométrico.6. Reducción de un ángulo al primer cuadrante.7. Grá cas de las funciones Seno, Coseno y Tangente.Resumen

Autoevaluación

Unidad V. Triángulos oblicuángulos

1. Introducción.2. Solución por descomposición.3. Teorema de Senos.4. Teorema de Cosenos.5. Aplicaciones prácticas.Resumen

Autoevaluación

Unidad VI. Identidades Trigonométricas

1. Introducción

2. De nición.3. Identidades fundamentales. 3.1 Recíprocas. 3.2 Pitagóricas 3.3 Forma de cociente. 3.4 Ejercicios de comprobación4. Fórmulas de la suma de dos ángulos. 4.1 Deducción de fórmulas. 4.2 Ejercicios de comprobación.

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9191919292

9394959697

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4.3 Ejercicios de aplicación.5. Fórmulas del ángulo doble. 5.1 Deducción de fórmulas.

5.2 Ejercicios de comprobación.Resumen Autoevaluación

Unidad VII. Ecuaciones Trigonométricas

1. De nición.2. Solución mediante operaciones algebraicas.3. Solución mediante reducciones trigonométricas.Resumen

Autoevaluación

Respuestas a las autoevaluaciones

Bibliografía

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129

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PRESENTACIÓN

El propósito fundamental de este libro es que el alumno analice conceptos trigonométricosy geométricos empleando los conocimientos necesarios para la interpretación y solución deproblemas que involucren triángulos, con base en sus conocimientos de geometría euclidiana,así como de razones y proporciones aritméticas, incluyendo comprobaciones de identidadestrigonométricas, con el n de resolver con habilidad y destreza ecuaciones trigonométricas.

A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida a contribuir conla realización de cálculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactospara así descubrir el porqué de los fenómenos y hechos en la historia humana.

Esta asignatura tiene importancia social y cientí ca ya que le da al alumno herramientasbásicas que le permitan relacionar y solucionar problemas cotidianos utilizando la geometría y la

trigonometría. De igual manera le ayuda a visualizar su entorno y realizar representaciones pormedio de guras geométricas.

Los principales temas que se tratan son: conocimiento de los conceptos básicos degeometría plana, de nición, clasi cación y sistemas de medición de ángulos, clasi cación detriángulos, sus características y propiedades, conocimiento de las razones trigonométricas paraángulos agudos, teorema de Pitágoras, solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos,de nición y demostración de las identidades trigonométricas así como solución de ecuacionestrigonométricas.

El propósito fundamental es que el alumno, a través de este manual, desarrolle habilidadesrelacionadas con la representación gra ca de situaciones que involucren triángulos, así mismoconozca y aprenda a manipular las principales funciones con que cuentan las calculadorascientí cas disponibles en el mercado.

En la unidad I reconocerá los conceptos básicos de la geometría euclidiana, por medio dela identi cación de sus representaciones grá cas, con la nalidad de expresar en los diferentessistemas de medición el valor de un ángulo.

En la unidad II ubicará los triángulos según su de nición y clasi cación, a través delconocimiento de sus teoremas generales, para identi car y de nir rectas, además de puntosnotables de los mismos.

En la unidad III identi cará las características de los triángulos rectángulos y resolverácon uidez problemas que los involucren apoyándose en los teoremas: suma de ángulos internosy de Pitágoras. También conocerá los valores de las funciones de ángulos especiales, con el nde resolver problemas cotidianos que involucren triángulos rectángulos.

En la unidad IV, a través del eje cartesiano, comprobará el concepto de ángulo positivoy negativo, con el n de calcular los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.Posteriormente trazará el círculo trigonométrico, a través de ejercicios que favorezcan lacomprensión de la naturaleza de los valores de las razones trigonométricas. Empleará la medida


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de ángulos de cualquier magnitud, por medio de actividades, para expresar un ángulo agudo.Finalmente esbozará las grá cas de las funciones Seno, Coseno y Tangente, para solucionarproblemas trigonométricos.

En la unidad V practicará los teoremas de senos y cosenos, por medio de la resolución deproblemas que involucren triángulos oblicuángulos, utilizando el método de descomposición entriángulos rectángulos, para resolver problemas propuestos.

En la unidad VI comprobará identidades trigonométricas utilizando las fórmulas fundamentalesde la suma de dos ángulos y del ángulo doble, para de esta manera dar solución a problemastrigonométricos.

En la unidad VII resolverá ecuaciones que involucren razones trigonométricas, por medio delanálisis de soluciones de las mismas para ángulos entre 0° y 360°.


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Son aquellas estrategias de instrucción que apoyan cada aspecto del contenido del programa ysu principal objetivo es que el alumno se interese en la construcción de su propio conocimiento através de actividades que le permitan la adquisición del aprendizaje signi cativo.

Dichos apoyos facilitan la comprensión del contenido por medio de un soporte aldesempeño escolar como profesional. Se busca tanto la adquisición de contenidos para el logrode objetivos como adquirir herramientas de apoyo para el aprendizaje.

APOYOS DIDÁCTICOS

Contiene la información y desarrollo de cadauno de los temas que integran el programa dela asignatura.

Plantea una serie de ejercicios que elestudiante debe resolver. Además de quepermiten la integración, aplicación y repasode los contenidos, su resolución sirve comoveri cador de la asimilación de los contenidos.

Presentan una muestra en general de unmodelo representativo de una variedad dealguna temática o contenido en general.

Sesión teórica

Ejercicios

Ejemplos

Icono Apoyos didácticos De nición

Buscan poner en práctica las habilidades del

alumno para solución de problemas propuestos.Problemas propuestos


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Exponen la manera de resolver problemaspropuestos, funcionando como una guía

práctica para comparar y optimizar los métodosdel alumno para solucionar otros problemas.

Es un material de consulta que se utiliza paracualquier temática y a su vez sirve de apoyopara exponer cualquier tipo de contenido.

Problemas resueltos

Contenido interactivo

Está enfocada a una serie de actividades en

donde se pondrá a prueba lo que el alumno hacomprendido. Es una forma de regular el avanceunidad a unidad, la correcta resolución esindicativo del manejo adecuado de informaciónrequerido para la unidad siguiente.

Son un recurso para la comparación de res-puestas obtenidas, a manera que el alumnoobtenga una retroalimentación de aprendizaje.

Autoevaluación

Resolucion de ejercicios


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OBJETIVO GENERAL

Al término del curso el alumno analizará conceptos trigonométricos y geométricos empleandolos conocimientos necesarios para la interpretación y solución de problemas que involucrentriángulos, con base en sus conocimientos de geometría euclidiana, así como de razones yproporciones aritméticas, incluyendo comprobaciones de identidades trigonométricas, con el nde resolver con habilidad y destreza ecuaciones trigonométricas.


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UNIDAD I

Al término de la unidad el alumno:

•Reconocerá los conceptos básicos de la geometría euclidiana, por medio de laidenti cación de sus representaciones grá cas, con la nalidad de expresar en los diferentessistemas de medición el valor de un ángulo.

I.GEOMETRÍA EUCLIDIANA

1.Introducción.

El término “geometría” proviene de las palabras griegas geo (tierra) y metron (medida); su origense remonta al nacimiento de la civilización, cuando surgió la necesidad de medir ciertas tierras.En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, comocalcular las áreas y perímetros de guras planas, así como super cies y volúmenes de cuerpossólidos. Desde entonces ha sido considerada una de las ramas de la matemática más importante.

“La geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las formasgeométricas y la medida de su extensión. Se comprende la geometría plana y la geometría delespacio”. (Landaverde, 1997)

La geometría plana o planimetría trata de las formas o guras planas, es decir, de aquellascuyos elementos están todos en un mismo plano.

La geometría del espacio también llamada estereometría trata de las formas o gurascuyos elementos no están en un mismo plano.

Ejemplos de guras geométricas:

Rectángulo Cuadrado Rombo Círculo

Pentágono Triángulo Hexágono

1


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Si se subdivide una gura geométrica o si se unen varias se obtiene a su vez nuevas gurasgeométricas.

La geometría se ha caracterizado por el rigor en sus demostraciones para la deducción ycomprensión de conocimientos.

Reseña Histórica

Desde la antigüedad y hasta nes de la Edad Media, la palabra matemática era de nida comola ciencia de los números, de las guras geométricas y de las magnitudes. Sin embargo, losorígenes de las matemáticas se remontan hasta los inicios de la propia inteligencia humana.Los estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que los seres humanos realizaron cálculosy medidas desde periodos tempranos y llegaron a concebir guras geométricas, incluso para locual inventaron la escritura, propia a cada una de ellas.

Babilonia. En Babilonia se nota un importante desarrollo del álgebra debido a la importancia quedaban a la solución numérica de sus problemas. En cuanto a la Geometría, las tablillas de arcillarevelan que estaba íntimamente ligada con mediciones prácticas, sobre todo de guras planas.

Egipto: En relación con los egipcios, se cuenta con varias fuentes de documentos escritos. Losprincipales de ellos son: el Papiro de Rhind, el papiro de Moscú y el rollo de Cuero. El papiro deRhind se titula “Directrices para obtener un conocimiento de todas las cosas, inherentes a todolo que exista…”.

Se dice que el historiador griego Herodoto (484-420 a. C.), en sus Historias, atribuye elsurgimiento de la geometría a la necesidad real de medir las tierras de cultivo después de cada

crecida del río Nilo, ya que éste borraba o alteraba los límites del pago de los impuestos.Grecia: Las matemáticas adquieren un nuevo sentido: el espíritu de la razón, de la libertaddel pensamiento, de las explicaciones exhaustivas, de la sustentación teórica. Se pasó de lasmatemáticas aplicadas a las matemáticas abstractas. Lo anterior llegó a tal punto que los griegollevaron las matemáticas al pedestal de la ciencia con sus propios objetos de estudio y crearonla demostración con el método deductivo, como el método de estudio de las matemáticas. Sepueden mencionan diversos personajes que apoyaron el pensamiento racional como: Tales deMileto (640 – 545 a. C.), Pitágoras (572 – 500 a. C.), Anaxágoras (500- 428 a. C.), Demócrito (460

– 370 a. C.), por mencionar algunos.

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Ejercicio 2. Escribe la expresión algebraica para cada expresiónverbal.

1.¿Qué signi ca el término geometría? _____________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

2. Menciona el objetivo principal de los griegos al estudiar matemáticas . _________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

2. Características de los cuerpos físicos y geométricos

CUERPO FÍSICO:Es todo lo que ocupa algún lugar en el espacio, como una caja, una moneda, un libro.

CUERPO GEOMÉTRICO:“Toda porción limitada del espacio, esté o no ocupada por materia, son cuerpos geométricos y enellos sólo se atiende a su forma y se hace abstracción de la materia. Así por ejemplo un ori cio esun cuerpo geométrico, aunque esté vacio, ya que hay materia que lo rodea.” (Landaverde, 1997).

Ciertos cuerpo como la esfera, no tienen sus dimensiones muy aparentes; sin embargo, poranalogía se les puede siempre atribuir longitud, anchura y altura. Las super cies tienen tan sólodos dimensiones: largo y ancho.

Super cie: Es el límite de los cuerpos; este límite se determinapor su forma y los separa del espacio inmediato.

Línea: Es el límite de las super cies y señala su contorno operímetro.

Punto: Es el límite de la líneas y marca sus extremos o el crucede varias de ellas. Así, en la gura 1, el cubo es un cuerpogeométrico, sus caras son super cies, sus aristas son líneas ysus vértices son puntos.

Las características de los cuerpos geométricos son tres, y seconocen como dimensiones:

1) largo o longitud.2) ancho o altura3) alto o altura, también llamada grosor, espesor o profundidad.Véase la gura 1.

Figura 1.Características

de cuerpos

geométricos

p r o f u n

d i d a d

a l t u r a

l o ng i t u d

1


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3.Postulados básicos de la recta.

Los elementos fundamentales de la geometría son el punto y la recta. Anteriormente se habíade nido el concepto de punto. Ahora seguiremos con la recta.

Línea recta: Es aquella que tiene todos sus puntos en una misma dirección.

Postulados de la recta

I. La recta es la trayectoria más corta entre dos puntos.II. Por dos puntos sólo puede pasar una recta; es decir, que dos puntos determinan una recta.III. Por un punto pueden pasar una in nidad de rectas y en una recta hay una in nidad de puntos.IV. Dos rectas que tienen dos puntos comunes coinciden en toda su extensión.V. Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común, también pueden no tenerningún punto.

Semirecta: Es aquella recta inde nida en la que se ja un punto y éste divide la recta en dospartes opuestas. A menudo la semirecta suele llamarse recta. Vea la gura 2.

Segmento: Se le denomina la parte comprendida entre los dos puntos que se jan en una recta.Los puntos CD que limitan al segmento son sus extremos.

Figura 2. Semirecta

Si sobre una recta AB localizamos dos puntos C y D, todos los puntoscomprendidos entre C y D formarán parte del segmento CD; el segmentosiempre tiene dos puntos extremos ( gura 3).

Semirecta: Porción de recta tomada a partirdel punto A, el cual pertenece a ella.Segmento: Porción de recta comprendidaentre dos puntos que pertenecen a ella.Punto medio: Punto que se encuentra

justamente a la mitad de un segmento.

Un segmento de recta se dibuja de la siguientemanera:

Figura 4. Segmento

Figura 3. Segmento

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A B

Semirecta AB

A B

B A C D

Segmento CD= CD


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La línea recta es una sucesión de puntos que siguen la misma dirección. Si los puntos de unalínea no siguen la misma dirección se denomina línea curva. Una línea recta se representa conuna raya o una echa sobre dos letras mayúsculas que simbolizan dos de sus puntos, o también

una letra minúscula. ( gura. 5)

Considerando la recta siguiente, se encuentran marcados cuatro de suspuntos, denota a la recta algunas semirrectas, los segmentos formadospor estos puntos y el punto medio de ellos.

Así mismo, pueden formarse varias semirrectas:

AB, BC, CD, BA, CP, DB

Los segmentos que se forman son: __ __ __ __ __ __ AB, BC, CD, AC, AD, BD

__ El punto medio es B del segmento AC

Ejercicio 2. Observa las líneas que unen los puntos A y B.

1

B A

Recta AB = AB

A B

Recta AB = AB

B A C D

A Bf

e

dc


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1.¿Cuál de las cuatro líneas representa la distancia menor entre A y B? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 2.¿Cómo enunciarías la propiedad de la línea recta que se re ere al caso anterior? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

Ejercicio 3. Realiza lo siguiente.

a)Tenemos un punto P ¿Cuántas rectas puedes trazar a través de él?, es decir, ¿Cuántas rectaspasan por el punto B?

b)Si consideramos los dos puntos B y C ¿Cuántas rectas pasan simultáneamente por estos dospuntos?

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c)Considerando de nuevo el punto B ¿Cuántos planos pueden pasar por ese punto? ____________________________________________________________________________ d) Agregando otro punto C ¿Cuántos planos pueden pasar por esos dos puntos? ____________________________________________________________________________ e) Agregando un punto más que no sea colineal con los dos primeros, es decir, de tal manera quelos tres puntos no pertenezcan a una misma recta ¿Cuántos planos puedes trazar en este caso?

Posición relativa de dos rectas

Según la posición de una con respecto a otra, dos rectas en un plano pueden ser: 1) perpendiculares,2) paralelas u 3) oblicuas.

Rectas perpendicularesSe dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cruzarse forman cuatro ángulos rectos.Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera: AB CD. (Figura 6).

Figura 6. Rectas perpendiculares

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La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio (Figura7)

La mediatriz de un segmento AB tiene la propiedad de que la distancia desde cualquierade su punto A es igual a su distancia al punto B.

Figura 7. Mediatriz

Trazo de rectas perpendiculares con regla y compás, sin escuadra.

a)Que pase por el punto medio (mediatriz) de AB.

Para trazar una mediatriz se abre el compás con una abertura mayor ala mitad del segmento AB, se apoya el compás en uno de los extremosy se traza un arco. Sin cambiar la abertura, se sostiene el compás en elotro extremo del segmento y se traza un arco que corte al anterior. La mediatriz es la recta que pasa por los puntos donde decortaron los arcos .Figura 8. Trazo de mediatriz

b)Que pase por el punto D

Desde D se traza un arco que corte el segmento en los puntos A y B. Seapoya el compás en A y en B para trazar dos arcos que se cortan en M.La recta que une D con M es la perpendicular del segmento.

Figura 9. Mediatriz en punto D

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Ejercicio 4. Traza las posibles perpendiculares a AB quepasen por el punto C.

Rectas ParalelasDos o más líneas rectas son paralelas si se prolongan inde nidamente y nunca se cruzan. Por loanterior, podemos a rmar que todas las perpendiculares a la misma recta con paralelas entre sí.Las líneas paralelas se representan con un par de rayas verticales.

Figura 10. Rectas paralelas

Ejercicio 5. Observa las siguientes guras, letras y números, posteriormentemarca del mismo color las líneas paralelas que encuentres. Al nalizar con-testa correctamente cada una de las preguntas.

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a)Menciona las condiciones que se deben cumplir para que dos líneas rectas sean paralelas. ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ b)¿Cómo se escribe AB es paralela de CD? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ c)De ne paralelismo. ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

Trazar rectas paralelas.1.Se traza la recta d.2.Se localiza el punto P por donde pasará la recta paralela a d.3.Se marcan arbitrariamente dos puntos A y B sobre la recta d.4.Con el compás apoyado en B y con una abertura igual a ladistancia AP se traza un arco de circunferencia.5.Con centro en P y una abertura del compás igual a la distancia

AB se traza un arco que corte al anterior.6.Se traza la recta que pase por P y el punto donde se cortan losarcos.

Figura 11. Trazo derectas paralelas

3)Rectas oblicuasSe llaman rectas oblicuas a dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos.

Si dos rectas al cruzarse no forman ángulos

rectos se llaman oblicuas

Figura 12. Rectasoblicuas

4. Polígonos regulares e irregulares.Un polígono es la gura geométrica formada por segmentos de rectas unidos entre sí, de maneraque encierren una región del plano. Sus elementos fundamentales son los lados, los vértices, losángulos interiores y los ángulos exteriores (Espinoza, 2004).

•Ángulos:Son los formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.•Ángulos exteriores:Son los formados por un lado cualquiera y la prolongación del ladoadyacente.•Vértices: Son los ángulos del polígono.•Diagonales: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.

22

Más de 90º

Menos de 90º


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Figura 13. Elementos fundamentales de los polígonos

Un polígono regular es toda porción de un plano limitada por más de tres líneas rectas quese intersecan o cortan dos a dos. El polígono, por tanto, siempre es una gura cerrada, es decirson equiláteros y equiángulos. De lo contrario es irregular.

Polígono regular: Son aquellos polígonos que todos sus lados y ángulos congruentes tienen lamisma medida.Polígono irregular: Es aquel que tiene, a lo menos, un lado con distinta medida o sus ángulosson diferentes.Clases de polígonos : Atendiendo al número de lados o ángulos, los polígonos se clasi can entriángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, según el número de lados.

Figura No. De lados Nombre

Tres

Cuatro

Cinco

Seis

Siete

Ocho

Nueve

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

2


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Diez

Once

Doce

Quince

Decágono

Endecágono

Dodecágono

Pentadecágono

Tabla 1. Polígonos regulares e irregulares

En general los polígonos se les pueden denominar polígonos de “n” lados. Por ejemplo, aloctágono se le puede llamar polígono de ocho lados, etc.

Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que ocupan losprimeros con respecto a la circunferencia.

5. Circunferencia.

“Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que equidistan de unpunto jo del mismo plano. El punto jo se llama centro de la circunferencia y la distancia decualquier punto P de ella al centro se le denomina radio”. (Macías, 1994).

Por lo tanto, los datos necesarios para representar una circunferencia son su plano, sucentro y su radio. Si una circunferencia tiene en el espacio una posición cualquiera y se proyectasobre un plano, la proyección es, en general, una elipse.

La circunferencia se puede considerar como un polígono de lados in nitos; es una guralimitada por una línea curva cerrada. El círculo es la porción de plano dentro de la circunferencia,equivale a la super cie. La medida de la super cie se conoce como área.

A la medida de la circunferencia se le denomina perímetro. Identi que los elementosnotables de la circunferencia y los relacionados.

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Cálculo de áreas y perímetros.

Cuerda: Es un segmento de la recta cuyos extremos están en la circunferencia. Diámetro: Toda cuerda que pasa por el centro.

Radio: Recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

Flecha o sagita: Perpendicular que une el punto medio de una cuerda con un punto de lacircunferencia.

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Tangente: Recta que tiene un solo punto común con la circunferencia

PerímetroP= 2¶r

Área A= ¶r2

2

1. Centro2. Radio

3. Cuerda4. Diámetro5. Arco6. Secante7. Tangente8. Flecha9. Segmento Circular 10. Sector Circular

5 83

7

21

6

109

4


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Ejercicio 6. Calcular el área y el perímetro de los siguientesproblemas considera el valor de π= 3.1416 y las fórmulas P=2π YA=πr 2

1.Calcular el perímetro y el área de la circunferencia cuyo radio mide 15cm. ____________________________________________________________________________ 2.El perímetro de una circunferencia es de 314.16cm. Calcular el radio y el área. ____________________________________________________________________________ 3. El área de un circulo es 1963.5 cm2. Calcular la medida del radio y el perímetro. ____________________________________________________________________________ 4. El radio de la llanta de una bicicleta es de 60cm. ¿Qué distancia avanzara la bicicleta si la llanta

efectúa 10 vueltas? ____________________________________________________________________________ 5. ¿Cuánto mide el diámetro de un monociclo si al dar una vuelta completa recorre una distancia471cm? ____________________________________________________________________________

6.Ángulos.

De manera inconsciente, un ángulo puede verse en las aberturas que se producen: al abrir unapuerta esta denota ángulos, un portafolio, hasta podríamos citar el ejemplo de nuestro cuerpo,cuando doblamos un brazo a ciertos ángulos para desarrollar actividades de la vida cotidiana. En

n, sin duda éste será uno de los temas que más familiares podríamos ver.

6.1 De nición y características.

Ángulo: Es la abertura comprendida entre dos rectas trazadas desde un mismo punto. Estasrectas se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice (Landaverde, 1997).

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Generalmente se designa un ángulo con tres letras mayúsculas,la del vértice colocada en medio. Si el ángulo es único, basta la letradel vértice. También se puede utilizar una cifra o una letra minúscula

colocada en el interior del ángulo.

Figura 15. Conceptoeuclidiano

La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de suslados, sino de la abertura o separación que hay entre ellos. Así, losángulos formados por las agujas de relojes de diferentes tamaños soniguales si los relojes señalan la misma hora.Figura 16. Concepto

geométrico

Las dos líneas se llaman los lados del ángulo yel extremo común se llama el vértice. Así comomedimos segmentos con una regla, medimosángulos con un transportador.

Se observa que en las tres de nicionesexiste un punto donde dos rectas se juntan, setocan o se cruzan denominado vértice. Por lotanto podemos concluir que siempre que se

junten dos rectas, existe un vértice y se formaun ángulo.

Los ángulos se designan con tres le-tras mayúsculas; la letra que corresponde alvértice se coloca entre las otras dos. Tambiénse utiliza una letra minúscula escrita en el inte-rior del ángulo (por lo común es una letra delalfabeto griego: β, Ф, α, entre otras). La letra mayúscula que corresponde al vértice se escribe enel exterior del ángulo, junto al vértice.Para designar un ángulo se utiliza el símbolo seguido de cualquiera de las formas que se uti-licen para su representación.Para evitar confusiones, cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, se recomienda usarla representación de la letra griega al interior o las tres letras mayúsculas.

)>

Ángulos de la circunferencia

Ángulo central : Sus lados son radios, su medida está dada por la de suarco correspondiente y su vértice es el centro de la circunferencia.

Figura 18. Vértices

Figura 19. Ángulocentral

2

lado

ángulovértice

lado

vértice

lado terminal

lado inicial

o

B

A

Ángulo N= N ) >

Ángulo BAD= BAD Ángulo DAC= DAC

) > ) >

Ángulo ABC= ABC ) >

Ánguloβ= β ) >


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Ángulo inscrito: Sus lados son secantes, mide la mitad del arcocomprendido entre sus lados, y su vértice es un punto de la circunferencia.

Figura 20. Ánguloinscrito

Ángulo semi-inscrito: Sus lados son tangente y una secante, su medidaes igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados y su vértice esun punto de la circunferencia.

Figura 21. Ángulosemi-inscrito

Clasi cación de ángulos:

Recto: Es aquel que tiene sus lados perpendiculares. Mide 90º.

Agudo: Es menor que un ángulo recto, o menor que un cuarto de vuelta.Mide menos de 90º.

Llano: Es el que equivale a la suma de 2 ángulos rectos; también se lellama ángulo lineal, el lado terminal es prolongación del lado inicial. Mide180º.

Obtuso: Aquél cuya abertura es mayor que la de un ángulo recto ymayor que un cuarto de vuelta. Mide entre 90º y 180º.

Perigono: También llamado de un giro, es el que el lado terminal coincidecon la posición del lado inicial, luego de haber completado una vuelta.Es equivalente a la suma de 4 rectos o de 2 llanos. Mide 360º.

Entrante: Es el que tiene una magnitud mayor que la del llano peromenor que la del perigono. Mide entre 180º y 360º.

Consecutivos o contiguos: Son dos ángulos que tienen el mismo

vértice y un lado común.

Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice, un ladocomún y los otros dos, situados a una y otra parte del lado común.

28

o

B

A

C

o

B AC


29/145

Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a unángulo recto G + H = un recto.

Suplementarios: Son dos ángulos que sumados dan lugar a un ángulollano A + B = un llano.

6.2 Sistemas de Medición

Sistema sexagesimal.

Para medir los ángulos se toma como unidadel grado, que es igual a del ángulo de unavuelta, es decir, del ángulo recto.(Figura 22).

1360

190

Figura 22. Sistema sexagesimal El grado se divide en 60 minutos y el minuto, en 60 segundos. Los grados se indicancon un pequeño cero, los minutos, con un acento y los segundos, con dos, como en el siguienteejemplo: 36º 34’ 23’’.Ésta forma recibe el nombre de forma completa.Existe también la forma decimal para expresar un ángulo, que se re ere a escribir el ángulo en

grados y décimas de grado. Por ejemplo 25.6429°.

Para ir de la forma entera a decimal y viceversa sedebe considerar lo siguiente:

Si cada minuto tiene 60 segundos, cualquier otracantidad menor corresponde a una fracción de minuto,ejemplo: 30’’ es ½’, o en decimal 0.5’. De igual forma, si con60 minutos se obtiene un grado, otra cantidad menor equivalea una fracción de grado: ejemplo 15’ es ¼°, en decimal es0.25°.

Para medir un ángulo contransportador, se trazaun ángulo y se coloca eltrasportador con el cero en elvértice y haciendo coincidir laorilla recta del trasportador conuno de los lados del ángulo.

29°36’15’’ a forma decimal. =0.25’ 29° 36’ + 0.25’ = 29° 36.25’

= 0.6441° 29° + 0.6441° = 29.6441°

67.5435° a forma entera.(0.5435)(60’) = 67° 32.61’(0.61)(60’’) = 67° 32’ 36.6’’ = 67° 32’ 36’’

1560

36.2560

2

90º

180º

270º

0º o 360º


30/145

2)Sistema circular.

En este sistema la unidad es el radián o radiante, también llamada unidad cíclica. Es un ángulocuyos lados forman un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

3)Sistema circular.

En este sistema la unidad es el radián o radiante, también llamada unidad cíclica. Es un ángulocuyos lados forman un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

Esta unidad carece de múltiplos o submúltiplos, se expresa en enteros y/o decimales.

Figura 23. Sistema cíclico

2 rad, 1.273 rad. 0.4678 rad.

4)Sistema centesimal. Al dividir una circunferencia en 400 ángulos centrales iguales, a cada uno de ellos se le deno-mina gradián o grado centesimal , que es la unidad de este sistema.

30

r

r

r

radián

0

300

200

100


31/145

Para diferenciar un gradián de un grado, se convino escribir una G a manera de superín-dice en el número: 1G.

Debido a lo anterior, cualquier ángulo se puede expresar en forma entera o decimal conlos mismos números.

1G=100’,1’=100’’.

56G34’28’’ = 56.3428G

Operaciones con ángulos1)Para sumar dos ángulos se los coloca de manera que sean contiguos, es decir, quetengan el mismo vértice y un lado común; el ángulo formado por los lados exteriores es lasuma pedida.2)Para restar dos ángulos se coloca el menor sobre el mayor de manera que coincidan susvértices y uno de sus lados; el ángulo sobrante es la diferencia pedida.3)Para multiplicar un ángulo por un número se suman tantos ángulos iguales al ángulodado como unidades tiene el número.4)Para dividir un ángulo entre un número se lo divide en tantas partes iguales como unidadestiene el número (por ejemplo, por medio del transportador).

Dichas operaciones pueden realizarse por medio del cálculo, operando con los númerosque representan la medida de los ángulos.

Recordarás que cuando mides la distancia que hay entre dos puntos, dirás que ésta esde 5m o 2m. Recordarás que esto depende del patrón de medida que se utilice. Los mismo pasasi haces una medición de la temperatura ambiental que podrás expresar en grados Centígradoso grados Fahrenheit. De manera similar, la abertura de un ángulo, la magnitud de un ángulo,puede medirse en Grados o en Radianes. Así como puedes recordar que hay una relación entrelos grados Centígrados y Fahrenheit, que nos permite establecer equivalencias entre las medidasexpresadas por éstas, así de manera semejante se establece una relación entre los Grados yRadianes para expresar la medida de un ángulo.

El GradoSe de ne como grado aquella parte que resulte de dividir a la circunferenciaen 360 partes iguales; es decir, cada una de estas partes es dividida en60 partes iguales, a cada una de éstas se le dirá “un minuto”.

Por si fuera poco, si cada una de éstas, un minuto, fuerandivididas en 60 partes iguales, a estas pequeñas partes se les llama“segundos”.

Figura 25. Grado

3


32/145

El RadiánPensemos que el arco AB, tiene una misma longitud que el radio r dela circunferencia. Pues bien de nimos como un radián al ángulo centralque se forma como un arco de longitud igual al radio de circunferencia(θ= a un radián ).

Recuerda que la circunferencia cubre 360º y tenemos quela cantidad de arcos de un radian que se pueden formar en unacircunferencia es igual a 2π .

π es un número irracional y sus primeros cuatros decimales que tomaremos son 3.1416,que es la cifra con la que lo reconoceremos.

Equivalencia entre Grado y radián: bien, en las dos ocasiones, para de nir a ambos,nos referimos a una circunferencia y concluimos que el ángulo que cubre un radio al girar a sualrededor es de 360º también de 2 π radianes. Proponemos la siguiente relación de equivalencia:

360º = 2π_radianes

Utilizando la relación de equivalencia anterior y aplicando la regla detres, determina la equivalencia de: 90º a π/2 radianes.

360º 2π radianes90º X

En donde la incognita es igual a: x = = =

Es decir que: x= radianes es decir 90º= radianes

Equivalencias y Conversiones.En ocasiones, para medir los ángulos, será necesario utilizar el sistema sexagesimal (grados) yotras, el sistema circular (radianes); por lo que es conveniente conocer la forma para realizar lasconversiones de un sistema a otro.

En las expresiones se considerará la siguiente simbología;

=

Simpli cando: = (1) π rad=180°

D = Medida del ángulo en grados.R = Medida del ángulo en radianes sexagesimales.G = Medida del ángulo en grados centesimales (gradianes).

(90º)(2π_radianes )360

(2π_radianes )4

(π_radianes )2

π2

π2

D360

R 2πrad

D180

R πrad

32


33/145

De igual forma se puede establecer las equivalencias entre los demás sistemas.

Convertir 77°34’25’’ en radianes.

Se expresa el ángulo en forma decimal:25/60=0.4166’ 34’+0.4166’=34.4166’34.4166/60=0.5736° 77°+0.5736°=77.5736°

Empleando la equivalencia correspondiente: = R= sustituyendo:R= =1.3539 rad

Convertir 1.3539 rad a grados, minutos y segundos

Ahora con la equivalencia: =

D= sustituyendo:D= =77.57°

Convertir 1.2345 rad a gradianes.

Despejando G directamente de la fórmula correspondiente:

G= y sustituyendo:G= =78.5907G

D180

Rπ rad

(D)(π)180

(77.5736°)(π)180º

D180

Rπ rad

(R) (180)π

(1.3539) (180)π

(R)(200G)π rad

(1.2345rad)(200G)π rad

3


34/145

22°34’25’’

0.1569

89°25’67’’

124.67° rad

2.6809

59.56°

173°45’

112.24°

Sistema

a decimal.

a grados en forma entera.

a radianes.




a decimal.

a radianes

Ejercicio 7. Expresar la medida de los siguientes ángulos en elsistema indicado.

Resultado

______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

Si π rad=180°, expresar en términos de π los ángulos siguientes: 90°, 60°, 45°, 30° y 15° ____________________________________________________________________________ Si π rad=180°, expresar los siguientes ángulos en grados: , , , ____________________________________________________________________________

6.3 Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.Existe otra clasi cación de ángulos que se re ere a aquellos ángulos formados por un sistemade rectas.

Perpendiculares . Se re ere a las rectas que al cortarse forman ángulos rectos.

3π

2 rad

5π

6 rad

4π

3 rad

π

18rad

(AB ┴ CD)

Figura 25. Grado34


35/145

Paralelas. Son las rectas que están en el mismo plano y no se cortan en ningún punto.

Secante o transversal. Es la recta que corta a dos o más rectas paralelas.

Dos o más paralelas cortadas por una secante o transversal forman un sistema de rectas.Se considera un sistema formado por dos rectas paralelas AB y CD cortadas por una transversalEF.

(AB ║ CD)Figura 28. Ángulos: Rectas paralelas

Figura 29. Ángulo secante

Figura 30. Ángulos entre rectasparalelas cortadas por una secante.

Ángulo De niciòn

( 3, 4, 5, 6)

( 1, 2, 7, 8)

( 3 y 5),( 4 y 6)

Internos

Externos

Alternos internos

Se forman en medio de dosrectas.

Se forman en la parte externade las dos rectas paralelas.

Son internos formadosen diferentes lados de latransversal.


36/145

( 2 y 8),( 1 y 7)

( 3 y 5),( 4 y 5)

( 2 y 7),( 1 y 8)

( 1 y 5),( 2 y 6)

( 3 y 7),( 4 y 8)

Alternos externos

Colaterales internos

Colaterales externos

Correspondientes

Son externos formadosen diferentes lados de latransversal.

Son internos y están del mismolado de la transversal.

Son externos y están del mismolado de la transversal.

Uno es interno y el otro externoy ambos están colocados delmismo lado de la transversal yde las paralelas.


37/145

b) Suplementarios __________________________________________________________ c) Conclusiones ___________________________________________________________

Propiedades de los ángulos 1.Los ángulos alternos internos son iguales.

2.Los ángulos alternos externos son iguales.3.Los ángulos colaterales internos son suplementarios.4.Los ángulos colaterales externos son suplementarios.5.Los ángulos correspondientes son iguales.

7. Longitud de arco

La longitud de un arco en una circunferencia se re ere al segmento de la misma comprendidoentre dos extremos de una cuerda.

En el cálculo se utiliza casi siempre la medición en radianes porque es una medidaintrínseca. La división de un círculo en 360 partes es bastante arbitrario; su división en partes delongitud de radio (2π partes) es más natural. Debido a esto, las fórmulas que usan medidas enradianes tienden a ser simples.

Se calcula conociendo el valor del radio y el ángulo central entre dos radios, expresadoéste en radianes.

Figura 31. Longitud de arcoEmpleando para ello la siguiente fórmula.

Donde

S = Longitud del arco (unidades de longitud).θ = Ángulo central, en radianes

r = Medida del radio (unidades de longitud)

La longitud del radio yel arco deben de estarexpresados en lasmismas unidades delongitud.

S=(θ)(r)

Un radio de 46 cm. intercepta un arco de 66.22 cm. Calcular el valor del ángulocentra en el sistema sexagesimal, en grados, minutos y segundos.

Despejando θ de la fórmula:θ= S

r 3

Cuerda

Arco


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Sustituyendo valores:

θ= = 1.4395 rad. Pero como el ángulo debe expresarse en unidades del sistema

sexagesimal, aplicando el concepto del apartado anterior.D= ((R)(180º))/(π rad)

Sustituyendo: D= = 82.4770º

Además:

(0.4770) (60) = 28.62’(0.62) (60) = 37.2’’

El resultado nal es, por lo tanto:82º 28’ 37’’

Una segunda fórmula útil es la del área de un sector recortado de un círculo mediante un ángulocentral de r radianes.

A= 1 r 2 t 2

66.22cm46 cm

(1.4395)(180º)π rad

Ejercicio 9. Resuelve los siguientes problemas

1.Calcular la longitud del arco interceptado por un radio de 25 m al abrir un ángulo de 86º 23’.

2.Determinar la longitud del radio que deberá tener una circunferencia para que al abrir un ángulocentral de 52.58º intercepte un arco de 45.5 cm.

3.Calcular el ángulo central, en grados, minutos y segundos, que deberá abrir un radio de 125m.para interceptar un arco de 76m.

38


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Resumen

“La geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las formas

geométricas y la medida de su extensión. Se comprende la geometría plana y la geometría delespacio”. (Landaverde, 1997)

CUERPO FÍSICO: Es todo lo que ocupa algún lugar en el espacio, como una caja, una moneda,un libro.

CUERPO GEOMÉTRICO: “Toda porción limitada del espacio, esté o no ocupada por materia, soncuerpos geométricos y en ellos sólo se atiende a su forma y se hace abstracción de la materia. Así por ejemplo un ori cio es un cuerpo geométrico, aunque esté vacio, ya que hay materia quelo rodea.” (Landaverde, 1997).

Super cie: Es el límite de los cuerpos; éste límite se determina por su forma y los separa delespacio inmediato.Línea: Es el límite de las super cies y señala su contorno o perímetro.Punto: Es el límite de la líneas y marca sus extremos o el cruce de varias de ellas.Las características de los cuerpos geométricos son tres, y se conocen como dimensiones:

1) largo o longitud2) ancho o altura3) alto o altura, también llamada grosor, espesor o profundidad.

Postulados de la recta

VI. La recta es la trayectoria más corta entre dos puntos.

VII. Por dos puntos sólo puede pasar una recta; es decir, que dos puntos determinan una recta.VIII. Por un punto pueden pasar una in nidad de rectas y en una recta hay una in nidad de puntos.IX. Dos rectas que tienen dos puntos comunes coinciden en toda su extensión.X. Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común, también pueden no tenerningún punto.

Semirrecta: Es aquella recta inde nida en la que se ja un punto y éste divide la recta en dospartes opuestas.Segmento: Se le denomina la parte comprendida entre los dos puntos que se jan en una recta,los puntos CD que limitan al segmento son sus extremos.Rectas perpendiculares: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cruzarse for-man cuatro ángulos rectos.Rectas Paralelas : Dos o más líneas rectas son paralelas si se prolongan inde nidamente ynunca se cruzan.Polígono: es la gura geométrica formada por segmentos de rectas unidos entre sí, de maneraque encierren una región del plano. Sus elementos fundamentales son los lados, los vértices, losángulos interiores y los ángulos exteriores. (Espinoza, 2004).Circunferencia: “Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P de un plano queequidistan de un punto jo del mismo plano. El punto jo se llama centro de la circunferencia y ladistancia de cualquier punto P de ella al centro se le denomina radio”. (Macías, 1994).

3


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Ángulo: Es la abertura comprendida entre dos rectas trazadas desde un mismo punto. Estasrectas se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. (Landaverde, 1997).

Sistemas de medición: 5)Sistema sexagesimal.6)Sistema cíclico.

7)Sistema centesimal.

Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante: Existe otra clasi cación de ángulosque se re ere a aquellos ángulos formados por un sistema de rectas.

•Perpendiculares. Se re ere a las rectas que al cortarse forman ángulos rectos.•Paralelas. Son las rectas que están en el mismo plano y no se cortan en ningún punto.•Secante o transversal. Es la recta que corta a dos o más rectas paralelas.

La longitud de un arco en una circunferencia se re ere al segmento de la misma comprendidoentre dos extremos de una cuerda

Autoevaluación:

1.Contesta las siguientes preguntas.

a)¿Qué es un segmento de recta? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ b)Menciona por lo menos tres de las propiedades de la recta. ____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ c)¿Qué nombre reciben las rectas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales? ____________________________________________________________________________ d)¿Cómo se representa que las rectas AB y Cd son paralelas? ____________________________________________________________________________ e)¿Cómo se representa que las rectas MN y PQ son perpendiculares? ____________________________________________________________________________

f)Si las rectas MN y PQ forman un ángulo recto ¿Cuál de las siguientes a rmaciones crees quesea la correcta? ____________________________________________________________________________

2.Observa la siguiente gura y coloca una × a F (Si es falsa la a rmación) y una × a V (Si esverdadera la a rmación)

40


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a)R es un punto de la recta UV

b)S es un punto del segmento TV.

c)T es un punto del segmento RU

F V

F V

F V

M B N

a)El segmento MN mide 70 cm. Y el BN 36 ¿Cuánto mide el segmento MB?

____________________________________________________________________________

b)N es el punto medio del segmento MO y P es el punto medio de OQ. Si MN mide 64 cm. y PQ

22, ¿Cuál es la longitud del segmento MQ?

____________________________________________________________________________

c)Escribe el nombre de la relaciones entre los ángulos que generan las paralelas cortadas poruna transversal.

b y da y eb y ha y g

4.Identi ca las siguientes parejas de ángulos (recuerda que pueden pertenecer a cualquierclasi cación), escribiendo los nombres en el espacio correspondiente.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

M N O P Q


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5.Observa las siguientes imágenes y coloca en el espacio en blanco el nombre del ángulo que lecorresponda según corresponda a cada ángulo.

42


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UNIDAD II


•Ubicará los triángulos según su de nición y clasi cación, a través del conocimiento de susteoremas generales, para identi car y de nir rectas, además de puntos notables de los mismos.

II.Triángulos

1. Introducción.

El triángulo tiene una gran aplicación, tanto en la arquitectura como en la ingeniería, por surigidez; es decir, la principal propiedad del triángulo es, precisamente, la de ser indeformable.

Un triángulo generalmente se denota como Δ, es decir, un triángulo pequeño yposteriormente las letras que representan sus vértices. En este caso, el orden no es importante,pudiendo mencionarse de manera indistinta.

2.De nición.

La Trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre lados yángulos de los triángulos. Suponiendo que se tenga su ciente información, la trigonometría sepuede utilizar para hallar las medidas de los lados, áreas y ángulos desconocidos de un triángulo.Se puede utilizar la trigonometría para hallar el valor del ángulo C en el triángulo representado.

Figura 32. Trigonometría

TriánguloDe nición: Un triangulo es un polígono de tres lados. Los elementos de un triangulo son: los treslados , los tres vértices , y los tres ángulos que suman 180°.

Figura 33. Triángulo y sus vértices4


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En relación a sus lados

Equilátero: Es aquel que tiene sustres lados iguales.

Isósceles: Es aquel que tiene doslados iguales y uno desigual.

Escaleno: Se re ere al triángulocuyos tres lados son diferentes.

a = c = b

o = p ≠ r

c ≠ d ≠ e

Con relación a la magnitud de sus ángulos

Acutángulo: Si sus tres ángulos sonagudos (menores de 90º).

Obtusángulo: Aquel que tiene unángulo obtuso (mayor de 90º)

Rectángulo: Cuando tiene un ángulorecto (de 90º). En este triángulo loslados reciben nombres especiales.

R < 90º, S < 90º, T < 90º

A > 90º

A = 90º

Tabla 3. Clasi cación de Triángulos

Características :Los elementos que constituyen a un triángulo son:

a)Vértices: Son los puntos de intersección de las rectas.b)Lados: Son los segmentos de recta determinados por los vértices.c)Ángulos interiores: Son formados por los lados.

Un lado de un triángulo es adyacente a un ángulo cuando forma parte del mismo y de lo contrarioses opuesto.

La identi cación de estos elementos se realiza con letras de los distintos alfabetos. Losvértices y ángulos con mayúsculas y los lados con minúsculas correspondiente al vértice opuesto,como se muestra en los siguientes triángulos.

3.Clasi cación.

Los triángulos se clasi can atendiendo a la medida de sus lados y a la magnitud de sus ángulos.

44


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Los lados de un triángulo rectángulo son la hipotenusa y los catetos. Estos últimos se llamancateto opuesto y cateto adyacente, dependiendo del ángulo que se tome como referencia. Porotra parte dentro y fuera del ángulo se forman ángulos que es la amplitud de rotación de unasemirecta que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, dependiendo el lado donde sesitúen recibe el nombre de ángulo interno o externo ( gura 34).

Figura 34. Catetos

Congruencia de los triángulos.

El concepto de congruencia es una de los más útiles en geometría. Las guras congruentesson aquellas que tienen el mismo tamaño y la misma forma. Una manera de comprobar estacongruencia es sobreponerlas, para ver si coinciden en todos sus puntos; es decir, si todos suslados y sus ángulos son respectivamente iguales.

Sin embargo no siempre se pueden sobreponer dos guras o medir todos sus lados ysus ángulos para veri car su congruencia, se puede realizar otro procedimiento como medir sulongitud

Figura 35. Incongruencia Figura 36. Congruencia

4

Ángulo Interno Ángulo Externo


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1. Construye una gura congruente con el siguiente pentágono.

2. Comprueba que los siguientes romboides son congruentes

Casos de igualdad de triángulosLos siguientes casos son opciones para construir o comprobar que dos triángulos que no podem-os sobreponer son congruentes. Lo puedes corroborar trazando un triángulo congruente con eltriángulo inicial, por el procedimiento que se indica.

Caso I. Dos triángulos son iguales si los tres lados de uno son iguales a los tres lados del otro.

Caso II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre

ellos.

Figura 37. Caso I.

Figura 38. Caso II

46

A

A

B

B

C

C

A’

A’

C’

C’

B’

B’

AB = A’B’ AC= A’C’BC= B’C’

AB = A’B’BC= B’C’

ABC= A’B’C’


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Caso III. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos adyacentes a él.

Figura 39. Caso III

Semejanza o SimilaridadCon mucha frecuencia utilizamos la palabra semejante de una manera muy general para decir quedos guras, cosas, objetos o personas son parecidos en algunos aspectos. Pero en geometría,plantear que dos guras son “semejantes” indica que tienen la misma forma, aunque su tamañosea diferente

Figura 40. Semejanza o similaridad Al ver las guras anteriores decimos que las casas son semejantes o similares porque tienen lamisma forma, que sólo varian en tamaño.

Ejercicio 2. Con los criterios señalados construye triángulos se-mejantes a los triángulos dados.

4

A

B C

A’

C’B’

BC= B’C’

ABC= A’B’C’ ACB= A’C’B’


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4.Teoremas generales.

Existen teoremas relacionados con los elementos de los triángulos, algunos de ellos se analizana continuación.

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º.

Demostración

x= Py= Rx+ Q+ y=180ºx= P; y= R

Por tantoP+ Q+ R=180º Figura 41. Teoremas

Ejercicio 3. Aplica el teorema anterior para encontrar el valor delos ángulos del siguiente triángulo.

La suma de los ángulos externos de cualquier triángulo es igual a 360º

A+ Q=180ºC+ R=180ºP+ B=180º

Pero A+ B+ C=180ºP+ R+ Q=360º

Figura 42. Ángulos externos

48

x yQ

RP

R

Q A

P

C B

B

C A X+3º 3x + 7º

4x + 6º A=__________________

B=__________________

C=__________________


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Ejercicio 4. Aplica el teorema anterior para encontrar el valor delos ángulos del siguiente triángulo.

D

B

AC

50º 4x + 12º

2x - 10º

En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él.

A+ P=180º A+ B+ C=180º

Así P= B+ C

En todo triángulo, a mayor magnitud de un ángulo, mayor será el valor del lado opuesto.En todo triángulo un lado cualquiera es menor a la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Figura 43. Ángulos Exteriores e interiores

4

Q

P

AR

CB

ABC=__________________

ACB=__________________

BCD=__________________


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1.En un triángulo rectángulo que además es isósceles ¿Cuánto medirá cada ángulo agudo? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 2.De las siguiente medidas ¿Con cuáles se podrá trazar un triángulo isósceles?

a)5cm, 5cm y 6cm. b) 8cm, 6.5cm y 13.5cm. c) 5cm, 4.5cm y 9cm

3.En cuál de los triángulos las cuatro líneas y puntos notables coinciden ¿Por qué? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 4.Si un triángulo isósceles su perímetro mide 23m, y uno de sus lados es de 7.4m, ¿Cuánto mideel lado desigual? ____________________________________________________________________________ 5. Con los datos que se dan para calcular y justi car el valor del ángulo que se pide:

B=_________________________

P=_________________________________

(R+S)=____________________________

Pitágoras logró demostrar un importante resultado, que hoy se conoce como el teorema dePitágoras, que relaciona los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo con el cuadradode su hipotenusa, lo cual nos lleva a determinar uno de los lados del triángulo rectángulo, cuandoconocemos los otros dos. A continuación se menciona dicho teorema.

50


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Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, se cumple que elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos.

Asimismo, se dice que existen muchas demostraciones de esteteorema.

Sea el triángulo rectángulo ACB, con las longitudes de ladosiguientes c= 5cm, a = 3cm y b = 4cm, grá camente se representaríacomo:

Figura 44. Teorema dePitágoras

Corolarios

1)Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos interiores no adyacentes.2)Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.3)Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, los terceros ángulos son tambiéniguales.4)Un triángulo cualquiera no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un ángulo obtuso.5)Cada ángulo de un triángulo equilátero vale 60º, es decir, la tercera parte de 180º

Para este triángulo en particular se puede escribir el Teorema de Pitágoras en lenguaje algebraicocomo:

c2 = b2 + a2

Encontrar la medida de la hipotenusa, si b= 14 y a= 38

c2 = b2 + a2Sustituyendo tenemosc2 = b2 + a2c2 = √(142+382 ) = 38

Encontrar la medida del cateto b, si a = 21 y c= 46

b2 = c2 - a2Sustituyendo tenemosb2 = c2 - a2b2 = √(462- 212 ) = 40.92

5

a

b c

a c

b


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Encontrar la medida del cateto a, si b = 38 y c= 74

a2 = c2 - b2Sustituyendo tenemosa2 = c2 - b2b2 = √(742- 382 ) = 63.49

Desde los primeros contactos que se tienen con la geometría nos muestran y demuestranque para el cálculo del perímetro y el área del triángulo se utilizan los elementos llamados lados(l), base (b) y altura (h) que se relacionan en la forma siguiente:

P = 3 l

A= bh 2

Los elementos más fáciles de medir son los lados (a, b y c) y existe una forma derelacionarlos con el semi-perímetro (s), para calcular el área del triángulo. A ello se le conocecomo “fórmula de Heron”. Misma que se verá su desarrollo en la unidad V, por lo pronto seaceptará sin demostración.

s= (a+b+c)2

A= √(s (s-a)(s-b)(s- c) )

Calcular el área del triángulo cuyos lados miden:

a = 16cm. b = 36cm. c= 34 cm.

s= (16+36+34) = 43 cm. 2

A= √(43 (43-16)(43-36)(43- 34) ) = 270.45 cm2

50

ac

b


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Teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo, se cumple que elcuadrado de su hipotenusa es igual a la sumadel cuadrado de sus catetos.

Consideramos como base del triángulo el lado menor, es decir, b = 10m y tracemos laaltura del triángulo, la cual lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. Uno de los catetos deestos triángulos es la altura buscada, el otro mide 5m (que es la mitad del lado completo) y lahipotenusa mide 13m. Así que, podemos usar el teorema de Pitágoras para conocer su altura. Demanera que, tomemos uno de los dos triángulos rectángulos y apliquemos este teorema.

13)2 = (h)2 + (5)2 169 = h2 + 25

De donde:

h2 =169 - 25h2 =144

h = 12 m

Como el área del un triángulo es: A= bh

2 Así obtenemos:

A= 60 m2

Para calcular el área, podemos usar la fórmula de Herón.

También podemos utilizar la fórmula de Herón

s= (a+b+c) 2

A= √(s (s-a)(s-b)(s- c) )

a = 13cm. b = 10cm. c = 13 cm.

s= (13+10+13) = 18 m. 2A= √(18 (18-13)(18-10)(18- 13) ) = 60 m2

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Ejercicio 6. En cada uno de los siguientes casos calcular el valordel área de los triángulos.

1. a = 38 cm. b = 46 cm. c = 54cm.

2. a = 68.36 cm. b = 124.4cm. c = 166.43cm.

3. a = 8.6 dm. b = 95.2 dm. c = 7.44 dm.

4. a = 48 mm. b = 86 mm. c = 57 mm.

5. a = 0.346 m. b = 64cm. c = 57 mm.

5.Rectas notables.Existen ciertas características importantes en los triángulos que se describen a continuación:

a)Mediana: Se re ere a la línea trazada desde un vértice al punto medio del lado opuesto.El punto donde se cruzan las tres medianas se conoce con el nombre de baricentro o gravicentro.

Figura 48. Mediana

b)Mediatriz: Se re ere a la línea perpendicular trazada que pasapor el punto medio. El punto de intersección de las tres mediatrices sellama circuncentro, es decir, el centro de una circunferencia al triángulo.

Figura 49. Mediatriz

El punto donde se cru -zan las mediatrices esel circuncentro.La bisectriz divide elángulo en dos ángu -los iguales.El incentro está a lamisma distancia de

los tres lados.La altura es una línea

perpendicular que vade un vértice al ladoopuesto.

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c)Bisectriz: Se re ere a la línea que divide, de un vértice, al ángulo en dos ángulosiguales. El punto de intersección de las bisectrices se le denomina incentro, que está localizadoa la misma distancia de los lados.

d)Altura: Es la línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. El puntodonde se interceptan las tres alturas se denomina ortocentro.

Figura 50. Bisectriz

Figura 51. Altura

Resumen

La Trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre ladosy ángulos de los triángulos. Se puede utilizar la trigonometría para hallar el valor del án-gulo C en el triángulo representado.

Triángulo: Un triángulo es un polígono de tres lados. Los elementos de un triángulo son:los tres lados, los tres vértices, y los tres ángulos que suman 180°.

Los elementos que constituyen a un triángulo son:d)Vértices

e)Lados f) Ángulos interiores Un lado de un triángulo es adyacente a un ángulo cuando forma parte del mismoy de lo contrarios es opuesto.

Los triángulos se clasi can atendiendo a la medida de sus lados y a la magnitudde sus ángulos.

Por sus lados

•Equilátero: El que tiene sus tres lados iguales.•Isósceles: El que tiene dos lados iguales y uno desigual.•Escaleno: Cuando sus tres lados son diferentes.

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Por sus ángulos

•Acutángulo: Si sus tres ángulos son agudos (menores de 90º).•Obtusángulo: Aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º) •Rectángulo:Cuando tiene un ángulo recto (de 90º). En este triángulo los ladosreciben nombres especiales.

Congruencia de los triángulos. Las guras congruentes son aquellas que tienen el mismotamaño y la misma forma.

Casos de igualdad de triángulosCaso I. Dos triángulos son iguales si los tres lados de uno son iguales a los tres lados delotro.Caso II . Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendidoentre ellos.Caso III . Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos adyacentes aél

Semejanza o Similaridad: En geometría, plantear que dos guras son “semejantes”indica que tienen la misma forma, aunque su tamaño sea diferente.

Teoremas generalesExisten teoremas relacionados con los elementos de los triángulos, algunos de ellos seanalizan a continuación.

a)La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º.b)En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores noadyacentes a él.c)En todo triángulo, a mayor magnitud de un ángulo, mayor será el valor del lado opuesto.d)En todo triángulo un lado cualquiera es menor a la suma de los otros dos y mayor quesu diferencia.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para este triángulo en particular sepuede escribir el Teorema de Pitágoras en lenguaje algebraico como:

c2 = b2 + a2Rectas notables

a)Mediana.b)Mediatriz.

c)Bisectriz. d)Altura.

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Autoevaluación:

1.Contesta las siguientes preguntas

a.Menciona la de nición de trigonometría ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ b.Cuando dos triángulos tienen la misma forma y tamaño, se dice que son: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ c.La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ d.Cuando un par de triángulos tienen sus tres lados proporcionales, podemos a rmar que son: ____________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

2.Clasi ca los siguientes triángulos, de acuerdo a su forma y a sus ángulos.

Figura Clasi cación por el No. De lados Clasi cación por ángulos

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3.Calcula el lado desconocido de los siguientes triángulos rectángulos

c6 cm

8 cm

c

2 cm

7 cm

a

5 cm

c=___________________________________

c=___________________________________

a=___________________________________

4.Observa la siguiente gura. Identi ca parejas de triángulos congruentes.

5.Relaciona las parejas de triángulos semejantes

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6.Relaciona el teorema con la gura a la que corresponde.

a)En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dosinteriores no adyacentes a él.

b)En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dosinteriores no adyacentes a él.

c)La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a180º

7.La longitud de la diagonal del siguiente rectángulo.

x 25 cm

34 cm

8.La altura del siguiente triángulo equilatero

x

42 cm

5


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60


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UNIDAD III


•Identi cará las características de los triángulos rectángulos y resolverá con uidezproblemas que los involucren apoyándose en los teoremas: suma de ángulos internos y dePitágoras.

•Conocerá los valores de las funciones de ángulos especiales, con el n de resolverproblemas cotidianos que involucren triángulos rectángulos.

III.TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS1. Introducción

La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que signi ca “triángulo” (trestriángulos) y metria, “proceso de medir” o “medida”. Esta rama de la geometría tuvo su origenen la necesidad de medir distancias a puntosdifíciles de acceso.

La trigonometría es la rama de lasmatemáticas que estudia las relaciones queexisten entre los distintos elementos de las

guras geométricas, haciendo énfasis enlos ángulos y los lados de los triángulos. Losproblemas sobre los ángulos y distancias en un

plano corresponden a la trigonometría plana,mientras que los mismos problemas en espacios de dos dimensiones son estudiados por lageometría esférica.

En un sentido básico, se puede a rmar que la Trigonometría es el estudio de las relacionesnuméricas entre los ángulos y lados del triángulo. Pero su desarrollo la ha llevado a tener unobjetivo más amplio, como se verá más adelante.

2. De nición y características generales

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene las siguientes características:

a)Uno de sus ángulos internos es un ángulo recto, es decir, un ángulo cuyo valor es de 90º.b)Los catetos son los lados que forman el ángulo recto.c)La hipotenusa es el lado que se opone al ángulo recto.d)Los ángulos complementarios son dos ángulos internos que nos son rectos (la suma de ellosda 90º).

Al tratar con un triángulo rectángulo implícitamente conocemos un ángulo que es el de90º, por lo tanto, para calcular los restantes, deberemos de conocer otros dos, de los cuales porlo menos uno de ellos deberá ser un lado. 6


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Calcular el valor de la hipotenusa en el triángulo XYZ cuando se conoce:x = 28 cm y z = 62 cm.

Pitágorasy2 = z2 + x2y = √(z2 + x2 )y = √(622 + 282 )y =√4628y = 68.02 cm.

Figura 56. Ejemplo dePitágoras

Ejercicio 1. Calcular el valor del elemento faltante. Trazar eltriángulo.

a.En el triángulo DEF se tiene que d = 25 cm. y f = 83 cm. Calcular el valor de e.

b.En el triángulo HKL, el lado h = 9mm, l = 16mm. Calcular el valor de k.

c.Si la hipotenusa del triángulo ACB, mide 53.8m y el cateto b = 38.4m. Calcular el valor de a.

Teorema de semejanza: En un triángulo, la altura sobre la hipotenusa de ne dos triángulosrectángulos semejantes entre sí, y semejantes al triángulo rectángulo original.

Considerando la gura adjunta tenemos que: ABC y BDC son ángulos rectos. Sean los segmentos BD = 25.7, AB = 32 Y DC = 34.5.

6

X

Y Z


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Hallar las longitudes respectivas de los segmentos de recta AD y BC.

Por el teorema de Semejanza sabemos que:

Δ ADB ~Δ BDC

AD = BDBD CD

AD = 25.7 = 25.7 * 25.7 =19.1 25.7 34.5 34.5

AD = 19.1

Por el teorema de Semejanza sabemos que:Δ ADB ~Δ BDC

BC = AB DC BD

BC = 32 = 34.5 * 32 = 4334.5 25.7 25.7

BC = 43

Teorema de altura: En todo triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es mediaproporcional entre los segmentos en que se divide la hipotenusa.

Considerando el triángulo rectángulo, adjunto, sean los segmentos x = 29, y = 47.2 Hallar lalongitud de h.

Calculemos h utilizando el teorema de la altura.

x = hh y 29 = hh 47.2h2 = 47.2 • 29 = √1369h = 37

Figura 57. Teorema desemejanza

Δ ABC ~ Δ BDC Δ ABC ~ Δ BDB Δ ADB ~ Δ BDC

Figura 58. Teorema de altura

64

A

B

b

C

A

B

C

h ba

x D y


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Considerando el triángulo rectángulo adjunto, sean los segmentos y =17.4, h = 13.5. Hallar la longitud de x.

x = h h yx = 13.5

13.5 17.4 x = (13.5 · 13.5 ) 17.4 x = 10.4

Teorema catetos:En un triángulo rectángulo la medida de un cateto es media proporcional entre la medida de lahipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Considerando el triángulo rectángulo adjunto. Sean los segmentos y= 44.9 cm. x = 30 cm. Determinar las longitudes de los tres lados deltriángulo.

a2 = c * x

a2 = 74.9 * 30

a = √2247.9

a = 47.4 cm.

b2 = c * y

a2 = 74.9 * 44.9

a = √3366.7

b = 58 cm.

4. Razones trigonométricas.Razón: Es una comparación que se hace entre dos valores. Esta comparación se puede realizarpor diferencia o por división . Esta última es la que se utilizará en el desarrollo de este tema.

Si en un triángulo rectángulo se toma como referencia uno de los ángulos agudos esposible de nir los términos siguientes:

Seno del ángulo: Es la razón que se establece entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusadel triángulo. Se abrevia Sen ( ).Coseno del ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa del triángulo.Se abrevia Cos ( ).Tangente del ángulo: Es la razón establecida entre el cateto opuesto y el cateto adyacente alángulo. Se abrevia Tan ( ) o Tg ( ).Cotangente del ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto al ángulo. Seabrevia Cot ( ) o Ctg ( ). Secante del ángulo: Es la razón que se obtiene al dividir la hipotenusa del triángulo entre el catetoadyacente al ángulo de referencia. Se abrevia Sec ( ). Cosecante del ángulo: Es la razón entre la hipotenusa del triángulo y el cateto opuesto del ángulo.Se abrevia Csc ( ).

6

A

V

B

h ab

y D xc

h=Altura


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Ejercicio 2. Considere el triángulo rectángulo ABC, recto en A.

a. Escriba las seis razones trigonométricas para dos ángulos agudos

a.___________________________________ b.___________________________________ c.____________________________________ d.___________________________________ e.___________________________________ f.____________________________________

Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B, la hipotenusa mide 15 cm. y el cateto p es de 13cm. Calcular:

Calcular el valor del otro catetoDeterminar el valor (en fracción simpli cada) de cada una de las seis razones

trigonométricas del ángulo P.

4.1 Recíprocas y Complementarias.

En el curso de algebra se dijo que dos cantidades son reciprocas cuando al multiplicarse seobtiene la unidad, por ejemplo 4 y 5

5 4

Ejercicio 3. Escribe el recíproco de las siguientes cantidades

7 = _____________ 3 m = _____________ n 11 = _____________ t = ______________

66

A

C

B


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Por lo tanto, se pueden escribir las fórmulas siguientes:

Sen B * Csc B = 1 Cos B * Sec B = 1 Tan B * Cot B = 1

Ahora bien, como ya se mencionó en la unidad I dos ángulos son complementarios cuandosumados dan un ángulo recto (90º en el sistema sexagesimal).

Ejercicio 4. Considera el triángulo rectángulo MAP, recto en A, ycompleta la siguiente tabla.

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

Funciones Razones de M Razones de P

Considerando que M + P son complementarios, expresa las razones del ángulo P entérminos del ángulo M, como en el ejemplo siguiente.

Sen C = Cos BObserve las palabras por parejas:

Seno y CosenoTangente y CotangenteSecante y Cosecante

¿Qué diferencias podemos encontrar?6


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Podemos concluir entonces que las funciones de ángulos complementarios que son iguales entresi se les denomina Co – funciones, esto se comprobará en la siguiente unidad.

4.2. Directas e inversasSe dice que una razón trigonométrica es directa cuando se conoce el valor del ángulo y se quieredeterminar el valor de la razón.

Una razón es inversa si se conoce su valor y se desea calcular el valor del ángulo.

Tomando como referencia el ángulo θ, tenemos los cocientes.

cat.opuesto = sen (θ)hipotenusa

cat.adyacente = cos (θ)hipotenusa

cat.opuesto = tan (θ)cat.adyacente

cat.adyacente = cot (θ)cat.opuesto

hipotenusa = sec (θ)cat.adyacente

hipotenusa = csc (θ)cat.opuesto

Las tres últimas funciones de la tabla anterior, la cotangente, secante y cosecante, sonllamadas funciones inversas. La razón es que estas funciones son inversas a las tres primeras yde manera consecutiva es decir:

csc (θ)= 1 puesto que sen (θ) = cat.opuesto y csc (θ)= sen (θ) hipotenusa

Y aplicando la ley de la herradura tenemos que: csc (θ)= como fue de nida

De manera similar tenemos que:sec (θ)= 1 y también cot(θ)= 1

cos (θ) tan (θ)

1c.o.

hip

hipcat.opu

68

hipotenusa C a t e t o O p u e s t o

Cateto Adyacente

θ


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Determina el valor de las funciones trigonométricas, aplicadas al ánguloθ, para el triángulo de la gura.

sen (θ) = = 0.6

cos (θ) = = 0.8

tan (θ) = = 0.75

cot (θ) = = 1.33

sec (θ) = = 1.25

csc (θ) = = 1.66

34

35

45

43

5

4 53 Figura 61. Ejercicio de razonesinversas

Encontrar sen 28º. Primero nos aseguraremos de que lacalculadora esté en modo de grados y a continuación oprimimos lassiguientes teclas:

5.Manejo de calculadora.

Hasta el momento, nos hemos limitado a analizar el caso en que θ (o su ángulo de referencia θ’)es un multiplo de 30º, 45º o 60º, o bien, que θ es un ángulo de cuadrante. En el caso de que θ oθ’ no sea un ángulo especial, necesitamos una calculadora o una tabla de valores de funcionestrigonometricas.

Para utilizar una calculadora, por lo general, decidimos el modo en el que introduciremosel ángulo, es decir, grados o radianes. A continuación veremos un ejemplo para el manejo defunciones en la calculadora.

En la pantalla aparecerá 0.46947156,lo cual redondeado a cuatro decimales es de0.4695 (que es el valor que se obtiene en latabla).

6

θ

53

4


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Realiza los siguientes trazos

-Una circunferencia cuyo radio mida un decímetro.

-Ángulos múltiplos de 10º, entre 0º y 360º.-Radio en esos ángulos.-Perpendiculares desde cada punto de la circunferencia al diámetro horizontal.-Medir los catetos de cada triángulo y completar la tabla siguiente, con dos decimales.

0º

10º

20º

Ángulo Radio Altura Base

1 0 1

Nota: Cuando se realiza una circunferencia con

mate matic as djslak djlksajdklsajkldjsalkjdksa kld sjlak jdk lsajdkl jsa

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