matem atica financiera ii · cap tulo 1 inter es e in aci on la mayor a de las personas est an...
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Matematica Financiera IICompilacion
Vıctor Espinoza
2019
ii Vıctor Espinoza
Indice general
Introduccion IX
1. Interes e inflacion 11.1. Tasa de interes inflada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Amortizacion mediante cuota constante . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Correccion monetaria en la fecha de pago . . . . . . . . 41.2.2. Correccion monetaria proyectada . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Gradiente aritmetico 152.1. Ley de formacion en un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . 152.2. Valor de la cuota en un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . 162.3. Valor presente de un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . . 222.4. Valor futuro de un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . . . 252.5. Amortizacion con gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . . . 272.6. Gradiente aritmetico infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7. Gradiente aritmetico en hojas de calculo . . . . . . . . . . . . 312.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Gradiente geometrico 373.1. Ley de formacion en un gradiente geometrico . . . . . . . . . . 373.2. Valor de la cuota en un gradiente geometrico . . . . . . . . . . 383.3. Valor presente de un gradiente geometrico . . . . . . . . . . . 433.4. Valor futuro de un gradiente geometrico . . . . . . . . . . . . 463.5. Amortizacion con gradiente geometrico . . . . . . . . . . . . . 483.6. Gradiente geometrico infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7. Gradiente geometrico en hojas de calculo . . . . . . . . . . . . 533.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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4. Depreciacion 574.1. Depreciacion en linea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1. Metodo clasico de depreciacion en linea recta . . . . . . 584.1.2. Metodo de unidades de produccion o de servicio . . . . 60
4.2. Depreciacion de saldo decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.1. Tasa de depreciacion de saldo decreciente . . . . . . . . 614.2.2. Tasa de depreciacion de saldo doble decreciente . . . . 61
4.3. Depreciacion con metodo de la suma de dıgitos anuales . . . . 644.4. Depreciacion en hojas de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5. Bonos 735.1. Bono con cupon cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Bono con cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3. Bono con cupon y con emision a la par . . . . . . . . . . . . . 775.4. Bono con cupon y redencion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5. Operacion de bonos por fecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.6. Bono sucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.7. Limpieza de un bono sucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Anexo 91
Indice de cuadros
1.1. Calculo del tipo de cambio oficial (TCO) para cada periodo . 61.2. Amortizacion con correccion monetaria . . . . . . . . . . . . . 81.3. Amortizacion con interes inflado . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Amortizacion con gradiente aritmetico creciente . . . . . . . . 282.2. Amortizacion con gradiente aritmetico decreciente . . . . . . . 30
3.1. Amortizacion con gradiente geometrico creciente . . . . . . . . 493.2. Amortizacion con gradiente geometrico decreciente . . . . . . 51
4.1. Calendario de depreciacion con metodo LR . . . . . . . . . . . 604.2. Calendario de depreciacion con metodo SD . . . . . . . . . . . 634.3. Calendario de depreciacion con metodo SDD . . . . . . . . . . 644.4. Calendario de depreciacion con metodo SDA . . . . . . . . . . 66
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Indice de figuras
2.1. Formacion de pagos con gradiente aritmetico en base a la pri-mera cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Formacion de pagos con gradiente aritmetico en base a la ulti-ma cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Formacion de los pagos con gradiente aritmetico creciente . . . 182.4. Formacion de los pagos con gradiente aritmetico decreciente . 192.5. Constante de los pagos con gradiente aritmetico decreciente . . 212.6. Presente de un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . . . . . 222.7. Operacion financiera con Gradientes y anualidades . . . . . . . 242.8. Operacion financiera con Gradientes y anualidades en partes . 242.9. Futuro de un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10. Amortizacion con gradiente aritmetico decreciente . . . . . . . 282.11. Amortizacion con gradiente aritmetico decreciente . . . . . . . 302.12. Valor futuro de un gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.13. Encuentre X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.14. Encontrar gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.15. Valor presente de un gradiente agregando o quitando flujos . . 342.16. Gradientes positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Formacion de pagos con gradiente geometrico en base a laprimera cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Formacion de pagos con gradiente geometrico en base a lacuota anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Formacion de pagos con gradiente geometrico creciente . . . . 403.4. Formacion de pagos con gradiente geometrico decreciente . . . 413.5. Gradiente de un gradiente geometrico . . . . . . . . . . . . . . 433.6. Presente de un gradiente geometrico con i 6= g . . . . . . . . . 453.7. Valor presente de un gradiente geometrico con i = g . . . . . . 463.8. Valor futuro de un gradiente geometrico . . . . . . . . . . . . 48
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3.9. Amortizacion con gradiente geometrico creciente . . . . . . . . 503.10. Amortizacion con gradiente geometrico creciente . . . . . . . . 523.11. Encontrar X con multiple flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.12. Valor neto de gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1. Pago de un bono con cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2. Bono con cupon y emision a la par . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Bono con redencion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4. Bono sucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Introduccion
Este documento nace de la necesidad de implementar una metodologıadirecta y sencilla de las ecuaciones y analisis utilizado en la matematica fi-nanciera.
En el siguiente documento se detallan los procedimientos necesarios pa-ra calcular el valor del dinero a lo largo del tiempo teniendo en cuenta losefectos que tienen los factores tiempo y tasa de interes. Se retoma el trabajodesarrollado por diversos autores en el area de matematica financiera e inge-nierıa economica. En algunos casos tambien se integran elementos de analisiseconomico para reforzar el uso de estas ecuaciones dentro del ambito de laeconomıa.
A lo largo del documento se muestran ejemplos basados en los libros ela-borados por Reyes (1999), Leland y Tarquin (2006), Dıaz y Aguilera (2013)y Baca (2005), cada uno de estos ejemplos se muestran con la respectivarespuesta para que el lector pueda comprobar los calculos desarrollados encada uno de estos.
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Capıtulo 1
Interes e inflacion
La mayorıa de las personas estan conscientes que $10 el dıa de hoy nocompran la misma cantidad de bienes y servicios que $10 dentro de 5 anos.El precio de los artıculos varıan a los largo del tiempo, la mayor parte deltiempo el precio de los artıculos aumenta, este fenomeno es conocido comoinflacion. Tambien es posible que el precio de los artıculos disminuya, a estefenomeno se le conoce como deflacion. Los economistas definen la inflacioncomo el aumento en los niveles generales de precios de los bienes y servicios(Reyes, 1999). Aunque la variacion del nivel de precios puede ser al alza (in-flacion) o a la baja (deflacion), esta ultima pocas veces sucede, por lo que nose toma en cuenta en el analisis planteado en este documento.
Con el objetivo de comparar las cantidades de dinero que existen en dis-tintos momentos en el tiempo podemos utilizar la ecuacion (1.1), donde Mt1
es la cantidad de dinero en valor constante o en valor de hoy, Mt2 es el can-tidad de dinero en el futuro o valor corriente de entonces, f es la tasa deinflacion en el periodo t1 − t2
Mt1 =Mt2
(1 + f)n(1.1)
Ejemplo 1.1 El precio de la hamburguesa McDonald’s en agosto del 2004fue de $2.23, si la tasa de inflacion durante el ano fue de 4 %. ¿Cual fue elvalor de la hamburguesa en agosto de 2003?.
Datos:Mt1 = ?
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Mt2 = 2.23f = 4 % = 0.04n = 1
Tomando la ecuacion (1.1) y los datos del ejercicio:
Mt1 =Mt2
(1 + f)n
Mt1 =2.23
(1 + 0.04)1
Mt1 = 2.14
Podemos concluir que el valor de la hamburguesa en agosto del 2003 fuede $2.14.
Ademas de calcular el valor en periodos anteriores, tambien podemosestimar (pronosticar) el valor de los bienes y servicios en periodos posteriores.Tomando como base la ecuacion (1.1) y despajando Mt2 en funcion de Mt1,obtenemos la ecuacion (1.2):
Mt2 = Mt1(1 + f)n (1.2)
Ejemplo 1.2 Si la inflacion promedia anualmente 4 % y se espera que semantenga de esta manera, ¿Cual sera el valor de una hamburguesa dentrode 10 anos si su precio el dıa de hoy es de $2.23?
Datos:Mt1 = ?Mt1 = 2.23f = 0.04n = 10
Sustituyendo en la ecuacion (1.2).
Mt2 = Mt1(1 + f)n
Mt2 = 2.23(1 + 0.04)10
Mt2 = 3.30
El valor de la hamburguesa dentro de 10 anos sera de $3.30.
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1.1. Tasa de interes inflada
Es posible llevar a cabo el calculo del valor del dinero en el tiempo con-siderando al mismo tiempo los efectos que tienen las tasas de interes (i) y lainflacion (f), con este objetivo se calcula la llamada tasa de interes inflada(d). A partir de la ecuacion (1.3) es posible calcular esta tipo de tasa y apartir de esta llevar a cabo el calculo del valor futuro o presente.
d = i + f + if (1.3)
Ejemplo 1.3 Calcule el valor presente en terminos corrientes de una deudaque dentro de 3 anos tendra un valor de $150,000. Tomando en cuenta que latasas de interes efectiva es del 28 % y la tasa de inflacion es del 12 % por ano.
Datos:F = 150,000i = 28 % eaf = 12 % ean = 3 anos
Aplicando la ecuacion (1.3) se calcula la tasa de interes inflada:
d = i + f + if
d = 0.28 + 0.12 + (0.28)(0.12)
d = 0.4336
Se utiliza este valor en la formula de valor presente con interes compuesto.
P =F
(1 + i)N
Se sustituye la variable i por la variable d:
P =F
(1 + d)N
P =150, 000
(1 + 0.4336)3
P = 50, 910.49
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1.2. Amortizacion mediante cuota constante
Al llevar a cabo el calculo de una cuota o pago de un prestamo, es posibleincorporar el cambio en el tipo de cambio en el calculo de las cuotas, estopuede llevarse a cabo de dos maneras:
Correccion monetaria en fecha de pago: Se determina el efecto de ladevaluacion de la moneda en la fecha de cada cuota o pago.
Correccion monetaria proyectada: Se determina el efecto de la devalua-cion de la moneda aplicando una tasa de interes inflada o combinada.
1.2.1. Correccion monetaria en la fecha de pago
Para llevar a cabo el calculo de la cuota con mantenimiento de valores necesario tomar en cuenta dos ecuaciones. En primer lugar el factor deconversion monetario (FCM) y en segundo lugar el tipo de cambio oficial(TCO).
El FCM se determina a traves de la ecuacion 1.4.
fcm = (1 + iv)n (1.4)
Donde:fcm = Factor de correccion monetarioiv = Tasa de variacion monetaria periodica o tasa de devaluacionperiodican = Numero de periodos
Mientras que el TCO se determina a traves de la ecuacion (1.5)
tcot = (tcot−1)(fcm) (1.5)
Donde:tco = Tipo de cambio oficialfcm = factor de correccion monetariot = periodo
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Con el calculo del tcot es posible convertir cualquier valor en el periodot − 1 a su equivalente. Es decir manteniendo el valor con respecto a unamoneda extranjera.
Ejemplo 1.4 Tomando en cuenta una tasa de devaluacion anual del 12 %del dolar con respecto al cordoba para el mes de junio de 1998, cuando el tcoera de C$10.57. Calcule el valor del TCO para los siguientes 6 meses.
Datos:tcojun−98 = C$10.57iv = 12 % ea
Tomando en cuenta que el calculo se solicita para los siguientes mesesdebemos convertir la tasa de devaluacion (iv) en una tasa mensual, distribu-yendo el valor de la tasa.
iem = (1 + iea)1/m
iem = (1 + 0.12)1/12
iem = 0.00948879293em
A partir de este valor es posible calcular el FCM:
fcm = (1 + iv)n
Donde n = 1, por que se desea conocer para la variacion en 1 mes
fcm = (1 + iv)1
fcm = (1 + iv)
Sustituyendo el valor de la tasa mensual:
fcm = (1 + 0.00948879293)
fcm = 1.00948879293
El valor del TCOt se calcula como lo muestra el cuadro 1.1.
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Cuadro 1.1: Calculo del tipo de cambio oficial (TCO) para cada periodoTCOt = (TCOt−1)(fcm)tcojul−98 = (tcojun−98)(fcm) = (10.57)(1.00948879293) = 10.67tcoago−98 = (tcojul−98)(fcm) = (10.67)(1.00948879293) = 10.77tcosep−98 = (tcoago−98)(fcm) = (10.77)(1.00948879293) = 10.87tcooct−98 = (tcosep−98)(fcm) = (10.87)(1.00948879293) = 10.98tconov−98 = (tcooct−98)(fcm) = (10.98)(1.00948879293) = 11.08tcodic−98 = (tconov−98)(fcm) = (11.08)(1.00948879293) = 11.19
Es posible calcular el valor del tcodic−98 a partir del valor tcodic−98 de for-ma directa a partir del fcm semestral, con n = 6:
fcm = (1 + iv)n
fcm = (1 + 0.00948879293)6
fcm = (1 + 0.00948879293)6
fcm = 1.058300524es
Sustituyendo:TCOt = (TCOt−1)(fcm)
TCOdic−98 = (TCOjun−98)(fcm)
TCOdic−98 = (10.57)(1.058300524)
TCOdic−98 = 11.19
Esta ultima operacion es equivalente a aplicar valor futuro con interescompuesto.
Al aplicar el TCO en las amortizaciones debemos tomar en cuenta todosestos elementos, ademas de las reglas de amortizacion en cuotas constantes.
Ejemplo 1.5 Una empresa obtuvo un prestamo el dıa 30 de enero de 1997,por la cantidad de C$450,500, el TCO en esa fecha era C$9.01. El prestamose ofrece a un plazo de 2 anos y pagado mediante cuotas iguales trimestralesen dolares (cordoba con mantenimiento de valor). Si la tasa de interes es del20 % nact, el interes moratoria es 8 % y la tasa de devaluacion de la moneda
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es del 12 %. Elabore el calendario de pago.
Datos:PC$ = C$450,500 j = 20 % nactTCOene−97 = 9.01 m = 4P$ = (PC$)/(TCOene−97) i = j/mP$ = (C$450, 500)/(9.01) i = 0.20/4P$ = $50,000 i = 0.05N = 2 anos = 8 pagos trimestrales
Debido a que la tasa de devaluacion se presenta en anos y los pagos sontrimestrales, se debe convertir la tasa en el mismo periodo en que se encuen-tra el pago, es decir debemos distribuir la tasa.
iv = 12 % eaiv−et = (1 + iv−ea)
1/m − 1m = 4iv−et = (1 + 0.12)1/4 − 1iv−et = 0.02873734472
Desarrollo:
Se utiliza el calculo del valor de la cuota con cuota nivelada, tomando encuenta el valor de la deuda en dolares ($).
C = P
[i
1− (1 + i)−N
]
C = 50, 000
[0.05
1− (1 + 0.05)−8
]C = 7, 736.09
El calendario de amortizacion se desarrolla como aparece en el cuadro 1.2,en el cual la columna tco se calcula tomando en cuenta los pasos desarrolladoen el cuadro 1.1.
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Cuadro 1.2: Amortizacion con correccion monetaria
Periodo Amortizacion Interes Cuota Saldo tco cuota.C$. Saldo.C$.
0 0.00 0.00 0.00 50, 000.00 9.01 0.00 450, 5001 5, 236.09 2, 500 7, 736.09 44, 763.91 9.27 71, 705.23 414, 913.202 5, 497.90 2, 238.20 7, 736.09 39, 266.01 9.54 73, 765.85 374, 412.703 5, 772.79 1, 963.30 7, 736.09 33, 493.22 9.81 75, 885.69 328, 545.304 6, 061.43 1, 674.66 7, 736.09 27, 431.79 10.09 78, 066.44 276, 819.705 6, 364.50 1, 371.59 7, 736.09 21, 067.29 10.38 80, 309.86 218, 703.706 6, 682.73 1, 053.36 7, 736.09 14, 384.57 10.68 82, 617.75 153, 620.307 7, 016.86 719.23 7, 736.09 7, 367.71 10.99 84, 991.97 80, 944.738 7, 367.71 368.39 7, 736.09 0.00 11.30 87, 434.41 0.00
1.2.2. Correccion monetaria proyectada
Tomando en cuenta el calculo de la tasa de interes inflada abordado en laseccion 1.1, es posible calcular una tasa de interes inflada tomando en cuentael tipo de interes y la tasa de devaluacion tal como se muestra en la ecuacion(1.6), la cual se utiliza para la proyeccion de cuotas en moneda corriente.
d = i + iv + (i)(iv) (1.6)
Donde:d = Tasa de interes inflada periodicaiv = Tasa de devaluacioni = Tasa de interes efectiva
Tomando en cuenta la ecuacion (1.6), es posible calcular el calendario deamortizacion de un prestamo. Tal y como se muestra en el ejemplo 1.6
Ejemplo 1.6 Un proyecto necesita $1,500,000 para utilizarlo en inversionesen equipos y mobiliarios. La devaluacion de la moneda para los proximos 6anos se estima en 12 % anual. El horizonte de tiempo es de 6 anos, con pagosanuales y la tasa de interes del prestamo es del 18 %. Elabore el calendariode pago, utilizando el sistema de cuotas niveladas en cordoba corriente, quecontenga el ajuste por deslizamiento monetario.
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Datos:P = 1,500,000i = 18 %iv = 12 %N = 6 cuotas anuales
En primer lugar se obtiene el valor de la tasa inflada (d):
d = i + iv + (i)(iv)
d = 0.18 + 0.12 + (0.18)(0.12)
d = 0.3216
Encontramos el valor de la cuota, tomando en cuenta que la cuota esnivelada, obtenemos:
C = P
[i
1− (1 + i)−N
]
C = 1, 500, 000
[0.3216
1− (1 + 0.3216)−6
]C = 593, 848.90
El calendario de pagos se desarrolla como se muestra en el cuadro 1.3
Cuadro 1.3: Amortizacion con interes inflado
Periodo Amortizacion Interes Cuota Saldo
0 0.00 0.00 0.00 1,500,000.001 111,448.90 482,400.00 593,848.90 1,388,551.102 147,290.86 446,558.03 593,848.90 1,241,260.243 194,659.60 399,189.29 593,848.90 1,046,600.644 257,262.13 336,586.77 593,848.90 789,338.515 339,997.63 253,851.26 593,848.90 449,340.876 449,340.87 144,508.02 593,848.90 0.00
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1.3. Ejercicios propuestos
I. Valor del dinero en el tiempo
1. Determine el valor actual de una deuda de C$ 23,000 que vence dentrode 6 anos, si la tasa de interes es del 15 % anual ya la tasa de inflaciondel 10 % por ano.
Respuesta: C$ 5,612.87 (NRA.06.01)
2. Halle la suma de dinero actual que serıa equivalente a sumas futurasde C$ 5,000 en el ano 6 y C$7,000 en el ano 8, si la tasa de interes esdel 15 % efectivo anual y la tasa de inflacion es:a) 10 %b) 16 %
Respuestas: a) C$ 2,287.71 b) C$ 1,585.221 (NRA.06.02)
3. El gerente de la tienda de alimentos “Super Radio” esta tratando dedeterminar cuanto debera gastar ahora para evitar el gasto de C$10,000dentro de 2 anos en un equipo de refrigeracion. Si la tasa de interes esdel 1.5 % mensual y la tasa de inflacion es del 1 % mensual, ¿Cual es lacantidad maxima de dinero que puede disponer el gerente para gastar?
Respuesta: C$ 5,509.37 (NRA.06.03)
4. El Sr. Perez que es un ahorrante debe decidir entre dos alternativaspara depositar C$ 200,000. La primera alternativa, la corporacion fi-nanciera HRP, ofrece reajuste monetario del 12 % y una tasa de interesdel 8.5 % sobre saldos corregidos. La segunda alternativa; la Corpo-racion SOL DORADO, le ofrece 20.5 % de interes efectivo anual pordeposito a termino de 90 dias pero no ofrece un reajuste monetario.¿Que alternativa debe seleccionar el Sr. Perez si escoge el periodo de90 dıas para establecer la comparacion? (Ganancia por los primeros 90dias, en cada alternativa).
Respuesta: Ganancia HRP: C$ 9,986.77 Ganancia SOL:C$ 9,544.74(NRA.06.14)
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II. Amortizacion
5. Para financiar un proyecto se obtine un prestamo por C$ 2,500,000 conmantenimiento de valor. Al momento de obtener el prestamo el cambioestaba a C$10.50 por US$1, se prevee un incremento del 12 % efectivoanual respecto al cordoba, los interes se cobran en 20 % capitalizabletrimestralmente sobre el saldo insoluto. Calcule:a) El valor en cordobas corriente equivalentes sea una cuota vencidaigual anual en valor constante (dolar) que amortiza la deuda en unplazo de 10 anos (Calcule las primeras 3 cuotas).b) Elabore el calendario de pago hasta la cuota 5 inclusive:
Respuesta3: C1 = C$ 703,321 C2=787,719 C3 = 882,246 (NRA.06.04)
III. Anualidades
6. Una companıa abre un fondo de inversion con el objetivo de disponer deC$ 2,000,000 dentro de 6 anos, para ello se propone realizar depositosiguales semestrales comenzado hoy. La tasa de interes pasiva es del 9 %efectiva y el ındice de devaluacion monetario es del 12 % (inflacion dela moneda). Calcule el tamano del deposito en cordobas.
Respuesta C$ 82,187.96 (NRA.06.10)
7. Un prestamo por C$ 10,000 a plazo de 24 meses se cancela mediantecuotas niveladas mensuales. Asumiendo que la devaluacion del cordobaes del 6 % anual, determinar el valor de la cuota mensual que incluyael mantenimiento de valor del 18 % CM.
Respuesta: $ 528.35 (NRA.06.11)
8. El financiamiento de un proyecto es por la cantidad de C$ 1,600,000que debera pagarse en un plazo total de 8 anos incluyendo 2 anos degracia, mediante el sistema de cuotas niveladas trimestrales. La tasa deinteres activa es del 18 % efectivo y la devaluacion anual es del 12 %.Calcule el valor de la cuota en cordobas de ese entonces.
Respuesta: C$ 248,378.40 (NRA.06.12)
12 Vıctor Espinoza
IV. Metodos de evaluacion financiera
9. Un proyecto tiene una inversion inicial en el ano cero de C$5,000 y cos-tos anuales en moneda corriente de C$ 2,000 durante 5 anos. Determineel valor de los costos en el ano cero, conociendo que la inflacion es del8 % anual y la tasa de interes real es del 10 % anual:a) Utilizando la tasa de interes nominal (tasa inflada) b) Calculando loscostos reales en el ano correspondiente tomando como base los costosreales del ano cero (deflactar) y luego actualice con la tasa de interesreal.
Respuesta a) C$ 11,142.68 (ambas) (NRA.06.05)
10. La companıa METALES S.A. quiere comprar una maquina y tiene dosofertas cuyos datos se dan a continuacion:
Concepto Maquina A Maquina BCosto inicial US $ 10,000 US $20,000Costo de operacion anual US $8,000 US $3,000Valor de rescate US $3,000 US $6,000Vida util anos 10 10
¿Cual maquina debera seleccionar usando el metodo del CAE?, Si latasa de interes es del 15 % anual y la tasa de inflacion es del 12 % anual.
Respuesta: Maquina B, dado que el CAEB = US $9,109, menor alCAEA = US $ 11,054 (NRA.06.06)
11. Un proyecto tiene un flujo de caja neto en cordobas corrientes de lasiguiente manera:
Ano 1 2 3 4 5Flujo $ 15,200 $ 15,600 $ 14,400 $ 20,000 $ 18,800
Determine el VAN, asumiendo que la tasa de descuento TREMA es del22 % anual y la tasa de inflacion promedio es del 12 % anual.
Respuesta: C$ 34,808.56 (NRA.06.13)
Vıctor Espinoza 13
V. Combinacion de factores
12. Un inversionista sabe que en el ano cero la Unidad de Consumo (UC)es de C$200 y la inflacion anual es del 12 %. Invierte C$ 100,000 a unatasa de interes real del 20 % anual:a) ¿Cuantas UC podra comprar si invierte a un plazo de un ano (con-sidera la tasa inflada para la inversion y solamente la tasa de inflacionpara la UC)?b) ¿Que tasa de rentabilidad obtendra en un plazo de 2 anos de inver-sion (considere la tasa de interes real solamente, no tome en cuenta latasa de inflacion)?
Respuestas: a) 600 UC b) 44 % (NRA.06.09)
14 Vıctor Espinoza
Capıtulo 2
Gradiente aritmetico
2.1. Ley de formacion en un gradiente aritmeti-
co
Al llevar a cabo la construccion de un flujo este puede responder a unaley de formacion (Baca, 2007). La ley de formacion de un gradiente aritmeti-co expresa una variacion lineal de la cuota, la cuota varıa en una cantidadconstante (G).
La ley de formacion de un gradiente aritmetico establece que: cada pagoes igual al anterior mas una constante G, si es positiva el gradiente se con-sidera creciente, si es negativa el gradiente se considera decreciente y si esigual a 0 se convierte en una anualidad (Baca, 2007).
Al llevar a cabo el calculo de un gradiente tomaremos como base el pri-mer pago o Cuota (A), y a partir de este, la variacion dentro del gradiente.Es decir que valor del numero de flujos o pagos en total (N) correspondeentonces a N-1 variaciones a partir del primer pago.
Es importante senalar que en el gradiente aritmetico es posible encontrarflujos que inician con signo positivo (negativo) y terminan con signo negativo(positivo), esto se debe a que la variacion de la cuota se lleva a cabo enterminos absolutos.
15
16 Vıctor Espinoza
2.2. Valor de la cuota en un gradiente aritmeti-
co
Al utilizar la ley de formacion de una gradiente aritmetico, el valor de lacuota n puede expresarse en funcion de la primera cuota:
Cn = A + (n− 1)G (2.1)
La cual puede expresarse tambien como:
Cn = C1 + (n− 1)G (2.2)
La figura 2.1 muestra el comportamiento de cuotas que se forman a travesde un gradiente aritmetico en base a la primera cuota.
AA+G
A+2G
A+(n−1)G
0 1 2 3 ... n
0
50
100
150
200
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.1: Formacion de pagos con gradiente aritmetico en base a la primeracuota
Tambien es posible expresar la formacion del gradiente aritmetico en basea la ultima cuota:
Cn = Cn−1 + G (2.3)
La figura 2.2 muestra el comportamiento de cuotas que se forman a travesde un gradiente aritmetico en base a la primera cuota.
Vıctor Espinoza 17
C1C1 + G
C2 + G
Cn−1 + G
0 1 2 3 ... n
0
50
100
150
200
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.2: Formacion de pagos con gradiente aritmetico en base a la ultimacuota
La ley de formacion de un gradiente aritmetico establece que para elcalculo de una cuota n, del total de cuotas (N), tomando en cuenta el valordel gradiente (G), es posible calcular el valor de cualquier cuota a travesde la ecuacion (2.2), la cual es equivalente a la ecuacion (2.1). El ejemplo2.1 muestra como se forman cada uno de los pagos dentro de un gradientearitmetico.
Ejemplo 2.1 Determine el comportamiento de los pagos de un gradientearitmetico de 6 pagos, cuya primera cuota es de $100 si posee:a) Crecimiento de $25.b) Decrecimiento de $25.
Datos:A = 100N = 6
Los datos anteriores no cambian a lo largo de todo el ejercicio, solamentese considera el cambio en el valor y signo del gradiente.
18 Vıctor Espinoza
Inciso a:
Utilizando la ecuacion (2.1) o la ecuacion (2.3) es posible calcular el valorde cada una de las cuotas:
Cn = A + (n− 1)G Cn = Cn−1 + GC1 = 100 + (1− 1)25 = 100 C1 = 100C2 = 100 + (2− 1)25 = 125 C2 = 100 + 25 = 125C3 = 100 + (3− 1)25 = 150 C3 = 125 + 25 = 150C4 = 100 + (4− 1)25 = 175 C4 = 150 + 25 = 175C5 = 100 + (5− 1)25 = 200 C5 = 175 + 25 = 200C6 = 100 + (6− 1)25 = 225 C6 = 200 + 25 = 225
Ver figura 2.3 para el inciso a.
0 1 2 3 4 5 6
100
125
150
175
200
225
0
50
100
150
200
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.3: Formacion de los pagos con gradiente aritmetico creciente
Vıctor Espinoza 19
Inciso b:
Utilizando la ecuacion (2.1) o la ecuacion (2.3) es posible calcular el valorde cada una de las cuotas:
Cn = A + (n− 1)G Cn = Cn−1 + GC1 = 100 + (1− 1)(−25) = 100 C1 = 100C2 = 100 + (2− 1)(−25) = 75 C2 = 100− 25 = 75C3 = 100 + (3− 1)(−25) = 50 C3 = 75− 25 = 50C4 = 100 + (4− 1)(−25) = 25 C4 = 50− 25 = 25C5 = 100 + (5− 1)(−25) = 0 C5 = 25− 25 = 0C6 = 100 + (6− 1)(−25) = −25 C6 = 0− 25 = −25
Ver figura 2.4 para el inciso b.
0 1 2 3 4 5 6
100
75
50
25
0
−25
0
40
80
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.4: Formacion de los pagos con gradiente aritmetico decreciente
Ademas de encontrar la cuota siguiente en un gradiente, tambien es po-sible encontrar el valor de una cuota n de manera individual, sin necesidadde encontrar la cuota n-1, el ejemplo 2.2 muestra la forma de llevar a caboeste calculo.
20 Vıctor Espinoza
Ejemplo 2.2 Encuentre el valor del pago numero 50 (C50),de una serie cre-ciente de $800, si el primer pago vale $2,500.
Datos:A = $2,500G = 800n = 50
Sea:Cn = A + (n− 1)G
C50 = 2, 500 + (50− 1)800
C50 = 41, 700
El valor de la cuota numero 50 es de $41,700.
El comportamiento de las cuotas dentro de un gradiente aritmetico lopodemos reescribir tomando en cuenta el valor de la cuota anterior como:
C1 = A
C2 = C1 + G
C3 = C2 + G
Cn = Cn−1 + G (2.4)
A partir de la ecuacion (2.4) es posible concluir que:
G = Cn − Cn−1 (2.5)
Tomando en cuenta la ecuacion (2.5) podemos determinar si existe ungradiente aritmetico en un flujo de caja, esto es util cuando en lugar de ob-tener informacion del flujo nos encontramos ante una representacion graficao tabular del flujos completo.
Ejemplo 2.3 Determine si el flujo completo de la figura 2.5, es un gradientearitmetico.
Tomando en cuenta la ecuacion (2.5)
G = Cn − Cn−1
Vıctor Espinoza 21
0 1 2 3 4
100110
120
160
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.5: Constante de los pagos con gradiente aritmetico decreciente
G = 110− 100 = 10
G = 120− 110 = 10
G = 160− 120 = 40
Dado que el valor G no es constante a lo largo de todo el flujo, podemosconcluir que solo las primeras 3 cuotas forman parte de un gradiente, la cuo-ta 4 se trabaja como un monto independiente.
Es decir, si el objetivo del ejercicio es encontrar el valor presente de todoel flujo, no podemos tomar la cuota 4 como parte del gradiente aritmetico,es necesario encontrar el valor presente de las cuotas 1 a 3 con gradientearitmetico, mientras que la cuota 4 se trabaja con valor presente de interescompuesto.
22 Vıctor Espinoza
2.3. Valor presente de un gradiente aritmeti-
co
Para trasladar cada uno de los pagos dentro de un gradiente al valorequivalente en presente se utiliza la ecuacion (2.6), la cual permite totalizarel valor de cada uno de los flujos o cuotas al inicio del gradiente 1.
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]+ G
[(1 + i)N − iN − 1
i2(1 + i)N
](2.6)
Ejemplo 2.4 Encuentre el valor presente, con interes del 5 % de la siguienteserie, ver figura 2.6:
0 1 2 3 4 5 6
800
1,000
1,200
1,400
1,600
1,800
0
500
1000
1500
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.6: Presente de un gradiente aritmetico
Datos:P = ?A = 800
1Es importante tener en cuenta que el valor del primer flujo o cuota del gradiente seubica en 1 por que se esta tomando en cuenta como un flujo vencido, por lo que el valorpresente de un flujo vencido se ubicara al inicio del primer perıodo es decir en 0
Vıctor Espinoza 23
G = 200N = 6i = 5 % = 0.05
Sustituyendo en la ecuacion (2.6) los datos del ejercicio:
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]+ G
[(1 + i)N − iN − 1
i2(1 + i)N
]
P = 800
[1− (1 + 0.05)−6
0.05
]+ 200
[(1 + 0.05)6 − (0.05)(6)− 1
0.052(1 + 0.05)6
]P = 6, 454.15
Ademas de encontrar el valor presente de un gradiente, es posible en-contrar situaciones con presencia de anualidades y gradientes. Ver ejemplo2.5
Ejemplo 2.5 Encuentre el valor presente con una tasa del 5 % de la seriede la figura 2.7.
Es posible identificar la presencia de una anualidad y un gradiente en laoperacion financiera. Se divide la operacion financiera en dos partes, la pri-mera solo toma en cuenta los 3 primeros flujos de $800 y que conforman unaanualidad. La segunda parte empieza en el periodo 4 con un flujo de $1,000y termina en el perıodo 8. Este planteamiento2 se muestra en la figura 2.8.
Parte 1: Valor presente de la anualidadA = 800N = 3i = 5 % = 0.05
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]P = 800
[1− (1 + 0.05)−3
0.05
]P = 2, 178.60
2Este planteamiento puede modificarse y trabajar el ejemplo con una primera parteque abarque los 2 primeros flujos unicamente
24 Vıctor Espinoza
0 1 2 3 4 5 6 7 8
800 800 800
1,000
1,200
1,400
1,600
1,800
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.7: Operacion financiera con Gradientes y anualidades
0 1 2 3 4 5 6 7 8
800 800 8001,000
1,2001,400
1,6001,800
Período
Fluj
o de
din
ero Parte 1
Parte 2
Figura 2.8: Operacion financiera con Gradientes y anualidades en partes
Vıctor Espinoza 25
Parte 2: Valor presente del gradiente aritmeticoA = 1000G = 200N = 5i = 5 % = 0.05
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]+ G
[(1 + i)N − iN − 1
i2(1 + i)N
]P = 1, 000
[1− (1 + 0.05)−5
0.05
]+ 200
[(1 + 0.05)5 − (0.05)(5)− 1
0.052(1 + 0.05)5
]P = 4, 329.48 + 1, 647.38
P = 5, 976.86
Dado que el gradiente empieza en el 4 periodo, el presente de este gra-diente se ubica en el periodo 3, por tanto se debe desplazar 3 perıodos atrasen el tiempo.
P =F
(1 + i)N
P =5, 976.86
(1 + 0.05)3
P = 5, 163.03
Valor presente total
Totalizamos los valores actualizados de la anualidad y el gradiente.
Ptotal = 2, 178.60 + 5, 163.03
Ptotal = 7, 341.63
2.4. Valor futuro de un gradiente aritmetico
Para trasladar cada uno de los pagos dentro de un gradiente aritmetico alvalor equivalente a futuro se utiliza la ecuacion (2.7), la cual permite totalizarcada uno de los flujos o cuotas al final del ultimo periodo del gradiente. Elejemplo 2.6 muestra como aplicar esta ecuacion de forma correcta.
26 Vıctor Espinoza
F = A
[(1 + i)N − 1
i
]+ G
[(1 + i)N − 1
i2− N
i
](2.7)
Ejemplo 2.6 Encuentre el valor futuro de 36 cuotas crecientes en $150, conuna primera cuota de $400 y con una tasa del 4 % efectiva para el perıodo.
0 1 2 ... 35 36
400 550
5,500 5,650
0
2000
4000
6000
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.9: Futuro de un gradiente aritmetico
Datos:A = 400G = 150i = 4 % = 0.04N = 36
Tomando en cuenta la ecuacion (2.7) y los datos del ejercicio, el gradientese comporta como lo muestra la figura 2.9
F = A
[(1 + i)N − 1
i
]+ G
[(1 + i)N − 1
i2− N
i
]F = 400
[(1 + 0.04)36 − 1
0.04
]+ 150
[(1 + 0.04)36 − 1
0.042− 36
0.04
]
Vıctor Espinoza 27
F = 31, 039.33 + 155, 993.68
F = 187, 033.01
2.5. Amortizacion con gradiente aritmetico
Aunque las cuotas niveladas son el tipo de cuota mas utilizado en el siste-ma financiero, tambien es posible establecer un sistema de cuotas que crecede forma lineal.
Ejemplo 2.7 Amortizar un prestamo de $100,000 en 4 pagos mensuales conuna tasa del 8 % mensual, si la deuda se paga con: a) Cuotas que crecen en$12,000 b) Cuotas que decrecen en $12,000.
Inciso aA = ? mensuali = 8 % em = 0.08 em.N = 4 mesesP = 100,000G = 12,000
Tomamos la ecuacion (2.6) y sustituimos:
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]+ G
[(1 + i)N − iN − 1
i2(1 + i)N
]
100, 000 = A
[1− (1 + 0.08)−4
0.08
]+ 12, 000
[(1 + 0.08)4 − (0.08)(4)− 1
0.082(1 + 0.08)4
]100, 000 = A[3.31212684] + 55, 801.11
A =100, 000− 55, 801.11
3.31212684
A = 13, 344.56
Se calcula cada uno de los pagos en el calendario de amortizacion3:
C1 = A = 13, 344.56
3Este procedimiento se resumen en sumar 12,000 a la cuota anterior.
28 Vıctor Espinoza
Cn = A + (n− 1)G
C2 = 13, 344.56 + (2− 1)12, 000 = 25, 344.56
C3 = 13, 344.56 + (3− 1)12, 000 = 37, 344.56
C4 = 13, 344.56 + (4− 1)12, 000 = 49, 344.56
El cuadro 2.1, muestra el calculo del interes, la amortizacion y saldo de cadaperıodo a amortizar. El comportamiento de los pagos se lleva a cabo como lomuestra la figura 2.10
Cuadro 2.1: Amortizacion con gradiente aritmetico creciente
Perıodo Amortizacion Interes Cuota Saldo0 0.00 0.00 0.00 100,000.001 5,344.56 8,000.00 13,344.56 94,655.442 17,772.13 7,572.43 25,344.56 76,883.313 31,193.90 6,150.66 37,344.56 45,689.414 45,689.41 3,655.15 49,344.56 0
0 1 2 3 4
−100,000
13,344.5625,344.56
37,344.5649,344.56
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.10: Amortizacion con gradiente aritmetico decreciente
Vıctor Espinoza 29
Inciso b:A = ? mensuali = 8 % em = 0.08 em.N = 4 mesesP = 100,000G = -12,000
Tomamos la ecuacion (2.6) y sustituimos:
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]+ G
[(1 + i)N − iN − 1
i2(1 + i)N
]
100, 000 = A
[1− (1 + 0.08)−4
0.08
]− 12, 000
[(1 + 0.08)4 − (0.08)(4)− 1
0.082(1 + 0.08)4
]100, 000 = A[3.31212684]− 55, 801.11
A =100, 000 + 55, 801.11
3.31212684
A = 47, 039.60
Se calcula cada uno de los pagos en el calendario de amortizacion4:
C1 = A = 47, 039.60
Cn = A + (n− 1)G
C2 = 47, 039.60 + (2− 1)(−12, 000) = 35, 039.60
C3 = 47, 039.60 + (3− 1)(−12, 000) = 23, 039.60
C4 = 47, 039.60 + (4− 1)(−12, 000) = 11, 039.60
El cuadro 2.2, muestra el calculo del interes, la amortizacion y saldo de cadaperıodo a amortizar. El comportamiento de los pagos se lleva a cabo como lomuestra la figura 2.11.
4Este procedimiento se resumen en sumar 12,000 a la cuota anterior.
30 Vıctor Espinoza
Cuadro 2.2: Amortizacion con gradiente aritmetico decreciente
Perıodo Amortizacion Interes Cuota Saldo0 0.00 0.00 0.00 100,000.001 39,039.60 8,000.00 47,039.60 60,960.402 30,162.76 4,876.83 35,039.60 30,797.643 20,575.79 2,463.81 23,039.60 10,221.854 10,221.85 817.75 11,039.60 0.00
0 1 2 3 4
−100,000
47,039.635,039.6
23,039.611,039.6
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.11: Amortizacion con gradiente aritmetico decreciente
2.6. Gradiente aritmetico infinito
Dentro del analisis de la evaluacion financiera se encuentra con la ne-cesidad de trabajar con operaciones financieras que no tienen una cantidaddeterminada de pagos o cuotas, en este tipo de casos se determina que setrata de cuotas o flujos infinitos.
Para llevar a cabo el calculo del valor presente de un gradiente aritmeticoinfinito se utiliza la ecuacion (2.8).
Vıctor Espinoza 31
P =
(A
i
)+
(G
i2
)(2.8)
Ejemplo 2.8 Calcular el valor presente de una serie infinita de pagos quecrecen en $20, si el primer pago es de $500 y la tasa de interes es de 3 %.
Datos:P = ?A = 500G = 20i = 3 % = 0.03
Tomando en cuenta la ecuacion (2.8) y los datos del ejemplo:
P =
(A
i
)+
(G
i2
)
P =
(500
0.03
)+
(20
0.032
)P = 38, 888.89
2.7. Gradiente aritmetico en hojas de calculo
Al llevar a cabo el calculo del valor presente de un gradiente en una hojade calculo existe la necesidad de escribir cada uno de los valores de las cuotas,para calcular cada una de estas es posible utilizar una celda que se utilicecomo referencia para el valor del gradiente. El calculo del valor presente esposible con la funcion ((VNA)), cuyo primer parametro es la tasa de interesy posteriormente las cantidades a calcular en presente. Es necesario tenercuidado con esta funcion al momento de gradientes que incluyan el valor 0,debe escribirse el valor 0 y nunca dejar el espacio en blanco, ya que la funcion((VNA)) no considera el espacio en blanco como 0 y salta a la siguiente celda.Para calcular el valor futuro primero calculamos el valor presente y luegoaplicamos la funcion ((VF)). Para el calculo de la cuota es posible utilizar laBusqueda del valor de destino o solver en software como Libreoffice R©.
32 Vıctor Espinoza
2.8. Ejercicios propuestos
1. Un documento exige hacer 12 pagos mensuales vencidos. Si el primerpago es de $6,000 y c/u disminuye en $800: a) ¿Cual sera el valor delultimo pago? b) ¿Cual sera el valor final de todos ellos, suponiendo unatasa de 36 % cm? Respuestas: a) -$2,800 b) 26,698.06 (IE.Baca.06.01)
2. Hallar el valor presente de 15 pagos que decrecen linealmente en $400,si el primer pago es de $5,000 y la tasa efectiva es del 4 %. Respuesta$27,697.74 (IE.Baca.06.02)
3. Con interes efectivo del 10 %, hallar el valor final del flujo de caja dela figura 2.12. Respuesta: $17,077 (IE.Baca.06.03).
0 1 2 3 4 5 6 7 8
6,000
4,500
3,000
1,500
0
−1,500
−3,000
−4,500
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.12: Valor futuro de un gradiente
4. Una persona hace 20 pagos mensuales vencidos. El primer pago es de$8,000 y c/u disminuye en $600; suponga una tasa del 30 % nominalcapitalizable mensual. a) ¿Cual sera el valor del ultimo pago? b) ¿Cualsera el valor final de todos ellos? Respuestas: a) -$3,400 b) $71,285.48(MF.Baca.07.01)
Vıctor Espinoza 33
5. Hallar el valor presente de 24 pagos que decrecen linealmente en $500,si el primer pago es de $10,000 y la tasa es del 4.5 % efectiva para elperiodo. Respuesta: $76,614.84 (MF.Baca.07.02)
6. Hallar el valor de $X equivalente al flujo de la figura 2.13, con interesal 30 %. Respuesta: $1,203.02 (MF.Baca.07.03)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
80 80 80100
120140
160180
200220
xxxxxxxxxxx
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.13: Encuentre X
7. Con interes efectivo del 14 % hallar el valor final de la serie en la grafica2.14. Respuesta: $16,673.40 (MF.Baca.07.06).
8. Una maquinaria produce una utilidad de $3 millones durante el primerano, sin embargo, la eficiencia de la maquina disminuye con el uso ylas utilidades disminuyen cada ano en $150,000. Calcular en pesos dehoy el total de ganancias suponiendo que la maquina va a trabajardurante 10 anos. Utilice una tasa de 32 % efectivo anual. Respuesta:7,709,489.84 (MF.Baca.07.09)
9. Con interes efectivo del 12 % hallar el valor presente de la figura 2.15.Agregue o retire cantidades de dinero donde sea necesario para que lospagos formen un solo gradiente. Respuesta: $689.56
34 Vıctor Espinoza
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
300
500
700
900
1,100
1,300
1,000
700
400
100
−200
−500
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.14: Encontrar gradientes
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5065
8095
110100
140155
170
195 200215
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.15: Valor presente de un gradiente agregando o quitando flujos
Vıctor Espinoza 35
10. Los costos de mantenimiento para un oxidante termico regenerativo sehan incrementado de manera uniforme durante cinco anos. Si el costoen el ano 1 fue de $8,000 y aumento anualmente $900 hasta el quintoano, el valor presente de los costos con una tasa de interes de 10 %anual. Respuesta: 36,501.91(IE.T.2.80)
11. Encuentre el valor presente del flujo de dinero de la figura 2.16, conuna tasa del 10 %. Respuesta: $-319.38
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10080
6040
200
−20−40
−250
−200
−150
−100
−50
0
50
100
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 2.16: Gradientes positivos y negativos
12. Encontrar la primera cuota de amortizacion necesaria para cancelar unadeuda de $100,000 con tasa del 10 % con las siguientes caracterısticas:
4 cuotas ordinarias con crecimiento lineal de $6,000 que tienen 2perıodos de gracia
1 cuota extraordinaria de $20,000 en el perıodo 4
Respuesta: $24,670.57 [MF.Baca.07.14]
13. Elaborar una tabla de amortizacion para cancelar una deuda de $1,000,000en 4 pagos trimestrales, decrecientes en $80,000. Utilice una tasa del13 % trimestral. Respuesta: C1 = 444,023.87 [MF.Baca.07.11]
36 Vıctor Espinoza
14. Una deuda de $5,000,000 con interes del 3 % mensual, se cancela con pa-gos mensuales crecientes en $4,000 durante 12 anos. Encuentre el valordel pago 90 y su distribucion entre intereses y amortizacion. Respuesta:C90=$383,103.66 I90=$371,530.37 A90=$11,573.29. [MF.Baca.07.17]
15. Caso: Una fabrica tiene costos fijos de $600,000 mensuales y costosvariables de $150 por unidad. Durante los primeros 6 meses no hayproduccion porque este tiempo se dedicara a pruebas y ajustes. Enel mes 7 se iniciara la produccion con 300 unidades y cada mes laproduccion aumentara en 200 unidades hasta llegar al tope de 2,500 almes. Si se espera vender la fabrica al final de 3 anos, calcular el costototal de la produccion en estos 3 anos en pesos de hoy. Suponga unatasa del 3 % efectivo mensual. Respuesta: 17,791,600 (MF.Baca.07.10)
Capıtulo 3
Gradiente geometrico
3.1. Ley de formacion en un gradiente geometri-
co
Al llevar a cabo la construccion de un flujo este puede responder a una leyde formacion (Baca, 2007). La ley de formacion de un gradiente geometricoexpresa una variacion exponencial de la cuota, la cuota varıa en una tasaconstante (g).
La ley de formacion del gradiente geometrico establece que cada pago esigual al anterior multiplicado por una constante igual a 1 + g, si el valor de ges positiva el gradiente es creciente, si es negativa el gradiente es decrecientey si es igual a 0 se convierte en una anualidad (Baca, 2005).
Al llevar a cabo el calculo de un gradiente tomaremos como base el primerpago (A), y a partir de este, la variacion dentro del gradiente. Es decir quevalor del numero de flujos o pagos en total (N) corresponde entonces a N-1variaciones a partir del primer pago.
Es importante senalar que en el gradiente geometrico decreciente, lascuotas no pueden cambiar de sentido o signo, es decir una cuota positivaque decrece de forma geometrica no puede convertirse en negativa, ya que ladisminucion es siempre una tasa.
37
38 Vıctor Espinoza
3.2. Valor de la cuota en un gradiente geometri-
co
Tomando en cuenta la ley de formacion de un gradiente geometrico, po-demos expresar el valor de la cuota n en funcion de la primera cuota:
Cn = A(1 + g)n−1 (3.1)
Equivalente a:Cn = C1(1 + g)n−1 (3.2)
La figura 3.1 muestra como se forman las cuotas a lo largo de un gradientegeometrico.
AA(1 + g)1
A(1 + g)2
A(1 + g)(n−1)
0 1 2 3 ... n
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.1: Formacion de pagos con gradiente geometrico en base a la primeracuota
Tambien es posible expresar la formacion de un gradiente geometrico apartir de la cuota anterior:
Cn = (Cn−1)(1 + g) (3.3)
La figura 3.2 muestra como se forman las cuotas a lo largo de un gradientegeometrico.
Vıctor Espinoza 39
C1C1(1 + g)
C2(1 + g)
Cn−1(1 + g)
0 1 2 3 ... n
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.2: Formacion de pagos con gradiente geometrico en base a la cuotaanterior
Ejemplo 3.1 Determine el valor del las 4 cuotas de un flujo de efectivo queinicia en $2,000 tomando en cuenta que: a) Las cuotas crecen en 20 % b) Lascuotas decrecen en 20 %.
Datos:A = 2,000g = 20 % = 0.2
Inciso a:
Podemos calcular el valor de cada cuota a partir de la ecuacion (3.1) ola ecuacion (3.3):
40 Vıctor Espinoza
Cn = A(1 + g)n−1 Cn = (Cn−1)(1 + g)C1 = 2, 000(1 + 0.2)1−1 = 2, 000 C1 = A = 2, 000C2 = 2, 000(1 + 0.2)2−1 = 2, 400 C2 = (C1)(1 + g) = 2, 000(1 + 0.2) = 2, 400C3 = 2, 000(1 + 0.2)3−1 = 2, 880 C3 = (C2)(1 + g) = 2, 400(1 + 0.2) = 2, 880C4 = 2, 000(1 + 0.2)4−1 = 3, 456 C4 = (C3)(1 + g) = 2, 880(1 + 0.2) = 3, 456
Ver figura 3.3 para el inciso a.
0 1 2 3 4
2,000
2,400
2,880
3,456
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.3: Formacion de pagos con gradiente geometrico creciente
Inciso b:
Podemos calcular el valor de cada cuota a partir de la ecuacion (3.1) ola ecuacion (3.3):
Cn = A(1 + g)n−1 Cn = (Cn−1)(1 + g)C1 = 2, 000(1− 0.2)1−1 = 2, 000 C1 = A = 2000C2 = 2, 000(1− 0.2)2−1 = 1, 600 C2 = (C1)(1 + g) = 2, 000(1− 0.2) = 1, 600C3 = 2, 000(1− 0.2)3−1 = 1, 280 C3 = (C2)(1 + g) = 1, 600(1− 0.2) = 1, 280C4 = 2, 000(1− 0.2)4−1 = 1, 024 C4 = (C3)(1 + g) = 1, 280(1− 0.2) = 1, 024
Vıctor Espinoza 41
Ver figura 3.4 para el inciso b.
0 1 2 3 4
2,000
1,600
1,280
1,024
Períodos
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.4: Formacion de pagos con gradiente geometrico decreciente
La ley de formacion de un gradiente geometrico establece que para elcalculo de una cuota n, del total de cuotas (N),tomando en cuenta el valordel gradiente (g), es posible calcular el valor de cualquier cuota a traves dela ecuacion (3.1), la cual es equivalente a la ecuacion (3.2)
Ejemplo 3.2 Encuentre el valor de la cuota 30 de un gradiente que creceen 15 % e inicia con $7,000.
Datos:A = 7,000n = 30g = 15 % =0.15
Sustituyendo la ecuacion (3.1) los datos del ejemplo:
Cn = A(1 + g)n−1
42 Vıctor Espinoza
C30 = 7000(1 + 0.15)30−1
C30 = 403, 028.18
Por lo que la cuota numero 30 es igual a $403,028.18.
A partir de la ecuacion (3.3) podemos determinar que:
g =Cn
Cn−1
− 1 (3.4)
La ecuacion (3.4) nos permite conocer si las cuotas forman parte de ungradiente geometrico. Esto es util cuando se muestra el comportamiento delflujo a partir de una grafica o de forma tabular.
Al calcular el valor del gradiente a partir de la ecuacion (3.4) se obtendrael valor del gradiente geometrico por unidad, si se desea en porcentaje sedebe multiplicar por 100.
Es importante tomar en cuenta que: para ser parte de un gradiente cadauna de las cuotas o flujos deben mantener un valor constante de g para serconsiderados como parte del mismo gradiente. De no ser ası se debe considerarla presencia de mas de un gradiente o la presencia de flujos unicos.
Ejemplo 3.3 Determine si el flujo completo de la figura 3.5 es un gradientegeometrico
Sustituyendo en la ecuacion ecuacion (3.4)
g =Cn
Cn−1
− 1
g =110
100− 1 = 0.1
g =121.1
110− 1 = 0.1
g =133.1
121− 1 = 0.1
Esto demuestra que todos los flujos de la figura 3.5 forman parte de ununico gradiente geometrico, el cual crece en 10 %. Por lo tanto, si necesitamoscalcular el valor presente del flujo, solo es necesario utilizar unico gradientegeometrico que inicia con $100 y aumenta en 10 %.
Vıctor Espinoza 43
0 1 2 3 4
100.0110.0
121.0133.1
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.5: Gradiente de un gradiente geometrico
3.3. Valor presente de un gradiente geometri-
co
Para trasladar cada uno de los pagos dentro de un gradiente geometricoal valor equivalente en presente se debe tomar en cuenta la relacion entrela tasa de interes (i) y la tasa del gradiente (g). Si la tasa de interes (i) esdistinta a la tasa del gradiente (g), se utiliza la ecuacion (3.5), la cual permitetotalizar el valor de cada uno de los flujos o cuotas al inicio del gradiente 1.
P = A
[(1+g1+i
)N − 1
g − i
]← i 6= g (3.5)
En el caso que la tasa de interes (i) es igual a la tasa del gradiente (g), se
1Es importante tener en cuenta que el valor del primer flujo o cuota del gradiente seubica en 1 por que se esta tomando en cuenta como un flujo vencido, por lo que el valorpresente de un flujo vencido se ubicara al inicio del primer perıodo es decir en 0
44 Vıctor Espinoza
utiliza la ecuacion (3.6)
P = A
(N
1 + i
)← i = g (3.6)
Ejemplo 3.4 Encuentre el valor presente de 15 pagos que crecen un 25 % siel primer pago es de $800 y la tasa de interes es de 20 %.
Datos:P = ?A = 800N = 15g = 25 % = 0.25i = 20 % = 0.20i 6= g
Al desarrollar calculos que involucran gradientes geometricos se debe con-siderar la relacion existente entre la tasa de interes y la tasa del gradiente.Tomando en cuenta que i 6= g, debemos utilizar la ecuacion (3.5), la cualnos permite encontrar el valor presente de todos los flujos en la fecha focal(perıodo 0).
Se sustituyen los datos en la ecuacion (3.5).
P = A
[(1+g1+i
)N − 1
g − i
]
P = 800
[(1+0.251+0.20
)15 − 1
0.25− 0.20
]P = 13, 515.59
Graficamente el comportamiento de este gradiente se observa en la figura3.6
Ejemplo 3.5 Encuentre el valor presente de una serie de 10 pagos anuales,si el primer pago es de $5,000 y cada pago crece en 20 %. Suponga una tasadel 20 %.
Vıctor Espinoza 45
0 1 2 ... 14 15
800.00 1,000.00
14,551.92
18,189.89
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.6: Presente de un gradiente geometrico con i 6= g
Datos:P = ?A = 5,000N = 10 anosg = 20 % = 0.2i = 20 % ea = 0.2 eai = g
Tomando en cuenta la ecuacion (3.6)
P = A
(N
1 + i
)← i = g
P = 5000
(10
1 + 0.2
)P = 41, 666.67
El comportamiento de este gradiente se muestra en la figura 3.7.
46 Vıctor Espinoza
0 1 2 ... 9 10
5,000.006,000.00
21,499.08
25,798.90
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.7: Valor presente de un gradiente geometrico con i = g
3.4. Valor futuro de un gradiente geometrico
Para trasladar cada uno de los pagos dentro de un gradiente geometricoal valor equivalente a futuro, se debe tomar en cuenta la relacion existenteentre la tasas de interes (i) y la tasa del gradiente (g), si la tasa de interes(i) es distinta a la tasa del gradiente (g) se utiliza la ecuacion (3.7), la cualpermite totalizar cada uno de los flujos o cuotas al final del ultimo periododel gradiente.
F = A
[(1 + g)N − (1 + i)N
g − i
]← i 6= g (3.7)
Para calcular el valor futuro de un gradiente geometrico cuando la tasade interes (i) es igual a la tasa del gradiente(g), se utiliza la ecuacion (3.8).
F = A[N(1 + i)N−1]← i = g (3.8)
En Ambos casos el valor futuro equivalente al gradiente se ubica al finaldel ultimo periodo, en el momento que se lleva a cabo la ultima cuota o flujo.
Vıctor Espinoza 47
Ejemplo 3.6 Encuentre el valor final de 30 cuotas mensuales si la primeracuota tiene un valor de $7,000 y crecen en 15 %, suponga: a) Una tasa deinteres del 10 % mensual. b) Una tasa de interes de 15 % mensual.
Datos:F = ?A = 7,000N = 30 meses
Inciso a:i = 10 % mensual = 0.10 emg = 15 % mensual = 0.15 mensuali 6= g
Sustituimos en la ecuacion (3.7) los datos:
F = A
[(1 + g)N − (1 + i)N
g − i
]
F = 7, 000
[(1 + 0.15)30 − (1 + 0.10)30
0.15− 0.10
]F = 6, 826, 731.76
Inciso b:i = 15 % mensual = 0.15 emg = 15 % mensual = 0.15 mensuali = g
Sustituyendo en la ecuacion (3.8) los datos:
F = A[N(1 + i)N−1]
F = 7, 000[30(1 + 0.15)30−1]
F = 12, 090, 845.31
La figura 3.8 muestra el comportamiento del gradiente en este ejemplo.
48 Vıctor Espinoza
0 1 2 ... 29 30
7,000.0 8,050.0
350,459.3
403,028.2
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.8: Valor futuro de un gradiente geometrico
3.5. Amortizacion con gradiente geometrico
El valor de una cuota en una amortizacion es constante en la mayorıade los casos, pero es posible crear un sistema de amortizacion en la cual lacantidad pagada en concepto de cuota aumente o disminuya siguiendo la leyde formacion de un gradiente geometrico.
Ejemplo 3.7 Elaborar una tabla para amortizar la suma de $100,000 en 4pagos suponiendo una tasa de interes del 8 % y: a) Crecimiento geometricode la cuota en 10 %. b) Decrecimiento geometrico de la cuota en 10 %.
Inciso a:P = 100,000i = 8 % = 0.08N = 4g = 10 % = 0.10i 6= g
Vıctor Espinoza 49
Se sustituyen los datos en la ecuacion (3.5):
P = A
[(1+g1+i
)N − 1
g − i
]
100, 000 = A
[(1+0.101+0.08
)4 − 1
0.10− 0.08
]100, 000 = A[3.807860374]
A =100, 000
3.807860374
A = 26, 261.47
Se calcula el valor de las cuotas:
C1 = A
C1 = 26, 261.47
Cn = C1(1 + g)n−1
C2 = 26, 261.47(1 + 0.10)2−1 = 28, 887.61
C3 = 26, 261.47(1 + 0.10)3−1 = 31, 776.37
C4 = 26, 261.47(1 + 0.10)4−1 = 34, 954.01
El cuadro 3.1 muestra la amortizacion de la suma de $100,000 con un cre-cimiento de la cuota en 10 %. El comportamiento de estas cuota se observaen la figura 3.9.
Cuadro 3.1: Amortizacion con gradiente geometrico creciente
Perıodo Amortizacion Interes Cuota Saldo0 0.00 0.00 0.00 100,000.001 18,261.47 8,000.00 26,261.47 81,738.532 22,348.53 6,539.08 28,887.61 59,390.003 27,025.18 4,751.20 31,776.38 32,364.834 32,364.83 2,589.19 34,954.01 0.00
50 Vıctor Espinoza
0 1 2 3 4
26,261.4728,887.61
31,776.3834,954.01
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.9: Amortizacion con gradiente geometrico creciente
Inciso b:P = 100,000i = 8 % = 0.08N = 4g = -10 % = -0.10i 6= gSe sustituyen los datos en la ecuacion (3.5)
P = A
[(1+g1+i
)N − 1
g − i
]
100, 000 = A
[(1−0.101+0.08
)4 − 1
−0.10− 0.08
]100, 000 = A[2.876371742]
A =100, 000
2.876371742
A = 34, 766.02
Vıctor Espinoza 51
Se calcula el valor de las cuotas:
C1 = A
C1 = 34, 766.02
Cn = C1(1 + g)n−1
C2 = 34, 766.02(1− 0.10)2−1 = 31, 289.42
C3 = 34, 766.02(1− 0.10)3−1 = 28, 160.48
C4 = 34, 766.02(1− 0.10)4−1 = 25, 344.43
Se desarrolla la cuadro 3.2 de amortizacion de la suma de $100,000 congradiente decreciente 10 %. El comportamiento de estas cuota se observa enla figura 3.10
Cuadro 3.2: Amortizacion con gradiente geometrico decreciente
Perıodo Amortizacion Interes Cuota Saldo0 0.00 0.00 0.00 100,000.001 26,766.02 8,000.00 34,766.02 73,233.982 25,430.70 5,858.72 31,289.42 47,803.283 24,336.21 3,824.26 28,160.48 23,467.064 23,467.06 1,877.37 25,344.43 0.00
3.6. Gradiente geometrico infinito
Para llevar a cabo el calculo del valor presente de un gradiente geometricoinfinito se utiliza la ecuacion (5.8) o la ecuacion (5.8), tomando en cuanta larelacion entre la tasa de interes (i) y la tasa del gradiente (g).
Cuando la tasa de interes es mayor que la tasa del gradiente se utiliza laecuacion (5.8).
P =A
i− g← i > g (3.9)
Cuando la tasa de interes es menor que la tasa del gradiente se utiliza laecuacion (5.8).
P =∞← i < g (3.10)
52 Vıctor Espinoza
0 1 2 3 4
34,766.02
31,289.4228,160.48
25,344.43
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.10: Amortizacion con gradiente geometrico creciente
Ejemplo 3.8 Encuentre el valor presente de una serie infinita de pagos quecrecen en 10 %, si la tasa de interes del 20 %, si el primer pago es de $300.
Datos:P = ?A = 300g = 10 % = 0.10i = 20 % = 0.20i > g
Tomando la ecuacion (5.8) y sustituyendo:
P =A
i− g
P =300
0.2− 0.1
P = 3, 000
Vıctor Espinoza 53
3.7. Gradiente geometrico en hojas de calcu-
lo
Al llevar a cabo el calculo del valor presente de un gradiente en una hojade calculo existe la necesidad de escribir cada uno de los valores de las cuotas,para calcular cada una de estas es posible utilizar una celda que se utilicecomo referencia para el valor del gradiente. El calculo del valor presente esposible con la funcion ((VNA)), cuyo primer parametro es la tasa de interesy posteriormente las cantidades a calcular en presente. Para calcular el valorfuturo primero calculamos el valor presente y luego aplicamos la funcion((VF)). Para el calculo de la cuota es posible utilizar la Busqueda del valorde destino o solver en software como Libreoffice R©.
54 Vıctor Espinoza
3.8. Ejercicios propuestos
1. Hallar el valor presente y el valor final de una serie de 20 pagos cre-cientes, en un 12 %, si el primer pago es de $500 y se utiliza una tasadel 20 % efectivo para el periodo. Respuestas: presente = $4,677.41 ;futuro = $179,320.67. [MF.BC.08.01]
2. Encuentre el valor presente de una serie infinita de pagos mensualescrecientes en un 5 % con una tasa de interes del 3 % mensual. Respuesta:∞ [BC.MF.08.03]
3. Se desea crear un fondo el dıa de hoy para llevar a cabo las reparacionesde una carretera, estas se estiman en $3,000,000 para el primer ano yse espera que el costo subira en un 20 % cada ano. Determine el valordel fondo con una tasa de interes del 27 %. Respuesta: $42,857,142.86[BC.MF.08.04]
4. Encuentre el valor de X de la figura 3.11, utilizando una tasa del 20 %.Respuesta: $713.33 [BC.MF.08.06]
100140
180220
−100−150
−225
−337.5
−506.25
500xxxxxxxxxxxxxxx
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.11: Encontrar X con multiple flujos
Vıctor Espinoza 55
5. Hallar el primer pago de un gradiente lineal creciente en $300, quetenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20 %,con un primer pago de $1,000 . Suponga una tasa del 20 %. Respuesta:$6,835.90 (MF.BC.08.07)
6. Elaborar una tabla de amortizacion para un prestamo de $6,000,000en 5 pagos mensuales crecientes en 3 % con una tasa de interes del 3 %mensual. Referencia: C1=$1,236,000 [MZ.BC.0815]
7. ¿Cuanto debe dar a la Universidad un egresado para que otro estu-diante de economıa restringida disponga del dinero para el pago dela matricula cuatrimestral que crece un 3.5 % cada cuatrimestre? Su-ponga que la tasa es del 9.3 % de interes capitalizable por semestres,que la primera renta, 2 anos despues del donativo, es por $25,000 yla carrera profesional dura 9 cuatrimestres. Repuesta: $190,709.9597[MF.V.6.5.E11]
8. ¿Cual es el precio de un terreno que se amortiza con un enganche del30 % y 36 rentas mensuales que crecen 2.5 %, la primera es por $4,150y se cargan intereses del 17.4 % anual capitalizable por bimestres? Res-puesta: $253,868.66 [MF.V.6.5.E5]
9. Hughes Cable Systems planea ofrecer a sus empleados un paquete demejoras salariales cuya componente principal es la participacion en lasutilidades. Especıficamente, la companıa reservarıa 1 % de las ventastotales para los bonos de fin de ano de todos sus trabajadores. Se esperaque las ventas sean de $5,000,000 el primer ano y de $6,000,000 elsegundo, con incrementos de 20 % durante los anos siguientes. Con unatasa de interes de 10 % por ano, ¿cual es el Costo anual equivalente(CAE) en los anos 1 a 5 del paquete de mejoras salariales? Respuesta:71,891.53 (IE.T.2.42)
10. Se encontro que el valor futuro en el ano 10 de una serie de gradientegeometrica de flujos de efectivo era de $80,000. Si la tasa de interes fuede 15 % por ano y la tasa anual de incremento es de 9 %. ¿Cual es elvalor de la primera cuota del flujo de efectivo? Respuesta: $2,860.21(IE.T.2.44)
11. Thomasville Furniture Industries reporta que el valor presente de costosde sus compras en material durante un periodo de 5 anos es de $900,000.
56 Vıctor Espinoza
Si se sabe que los costos anuales se incrementan en forma geometrica5 % por ano durante ese periodo, y que la empresa usa una tasa deinteres de 15 % anual para sus inversiones, ¿cual es el costo anual delano 2 (C2)? Respuesta: C2=$258,576 (IE.T.2.45)
12. Encuentre el valor presente del flujo de la figura 3.12, utilizando unatasa del 10 %. Respuesta:$ -247.43
0 1 2 3 4 5 6 7 8
500.00
250.00
125.0062.50 31.25
−500
−400
−300
−200
−100
0
100
200
Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 3.12: Valor neto de gradientes
13. Caso: Se ofrece la administracion de un restaurante, durante un anoy se garantizan 6,000 almuerzos mensuales durante el ano, los cualesseran pagaderos al contado a $500 cada uno, pero su valor total serapagado al contado al final del ano sin intereses. Los costos por almuerzoes de $200 cada uno, los cuales se adquieren y pagan al inicio de cadames (pagos anticipados) y su valor aumenta en 5 % cada mes. El costomensual de la mano de obra es $250,000 a lo largo del ano y se requiereuna inversion inicial de $1,000,000. Suponiendo una tasa de interesdel 3 % mensual, calcular el valor de las ganancias en pesos de hoy.Respuesta: $5,719,285.51 [DM.MF.09.11]
Capıtulo 4
Depreciacion
Leland y Tarquin (2006) definen depreciacion como la reduccion en elvalor de un activo, tomando en cuenta que el valor de la depreciacion anual(Dt) no representa un flujo de efectivo real, ni tampoco el patron de uso delactivo en terminos reales durante su posesion aunque segun Villalobos (2007)es causada por el uso, la insuficiencia o la obsolescencia del bien.
La depreciacion tiene dos propositos (Leland y Tarquin, 2006), el primeroes para la contabilidad financiera interna de una empresa y en segundolugar para la reduccion de impuestos. Desde el punto de vista impositi-vo los cargos por depreciacion son determinados por el gobierno (Villalobos,2007).
Segun Leland y Tarquin (2006) los metodos clasicos de depreciacionson:
Linea recta (LR)
Saldo decreciente (SD)
Suma de dıgitos anuales (SDA)
Para llevar a cabo los calculos de la depreciacion es importante familiari-zarse con los terminos basicos de la misma. Los terminos a tener en cuentasegun Leland y Tarquin (2006) para el desarrollo de los calculo de la depre-ciacion en cualquiera de sus metodos son:
57
58 Vıctor Espinoza
Costo inicial o Base no ajustada (B): es el costo del activo que in-cluye el precio de compra, comisiones de entrega e instalacion y costosdirectos depreciables en los que se incurre con la finalidad de prepararel activo para su uso.
Depreciacion periodica (Dt): cantidad que se deprecia el activo ca-da ano o periodo t, en dependencia del metodo puede o no ser constante.
Valor en libros (V Lt): representa la inversion restante y no depre-ciada en los libros al final del ano o periodo t. Se calcula a partir de laecuacion (4.1)
V Lt = V Lt−1 −Dt (4.1)
Periodo de recuperacion (n): es la cantidad de anos que se depreciael activo.
Valor de rescate o Valor de salvamento (S): Es el valor que tendraal final de su vida util (Villalobos, 2007).
Tasa de depreciacion (dt): es la fraccion del costo inicial que se elimi-na cada ano o periodo t por depreciacion. Al igual que la depreciacionperiodica puede o no ser constante.
4.1. Depreciacion en linea recta
4.1.1. Metodo clasico de depreciacion en linea recta
Segun Leland y Tarquin (2006) la depreciacion en linea recta toma sunombre del hecho que la cantidad en la que se deprecia cada ano es la mismapor lo que el valor en libro disminuye de forma lineal, la tasa de depreciaciones la misma para cada ano, ver ecuacion (4.2). Este metodo es un estandarpara comparar cualquier metodo de depreciacion.
Vıctor Espinoza 59
dt = d =1
n(4.2)
La depreciacion periodica es constante a lo largo de la vida del activo yse calcula a traves de la ecuacion (4.3).
Dt =B − S
n(4.3)
El valor en libro en el metodo de linea recta se reduce en una cantidadconstante igual a Dt, y se calcula a traves de la ecuacion (4.4).
V Lt = B − t(Dt) (4.4)
Para mostrar con mayor detalle como se desarrolla la depreciacion, es ne-cesario mostrar los calculos como un calendario de depreciacion (ver cuadro4.1). Podemos observar que la columna de depreciacion periodica es cons-tante para todo perıodo de 1 a n y que para el valor en libro (Vt), podemosutilizar V Lt = V Lt−1 −Dt.
Ejemplo 4.1 Si un activo tiene un costo inicial de $50,000 con un valorde salvamento estimado de $10,000 despues de 5 anos. a) Calcule la depre-ciacion anual a traves del metodo de linea recta b) Muestre el calendario dedepreciacion.
Datos:B = 50,000S = 10,000n = 5
a) Para el calculo del valor de la depreciacion anual se utiliza la ecuacion(4.3) con los datos de este ejercicio.
Dt =B − S
n
Dt =50, 000− 10, 000
5= 8, 000
b) Al haber calculado la depreciacion para cada t periodos, se desarrollael calendario (ver cuadro 4.1).
60 Vıctor Espinoza
Cuadro 4.1: Calendario de depreciacion con metodo LR
Fin del Depreciacion Depreciacion Valor enperıodo periodica acumulada Libro0 0 0 50,0001 8,000 8,000 42,0002 8,000 16,000 34,0003 8,000 24,000 26,0004 8,000 32,000 18,0005 8,000 40,000 10,000
4.1.2. Metodo de unidades de produccion o de servicio
El metodo de unidades de produccion o de servicios, es una variante delmetodo de linea recta (Villalobos, 2007), en donde n representa el numerode unidades que se producen o las unidades que da servicio el activo que sedeprecia.
4.2. Depreciacion de saldo decreciente
Leland y Tarquin (2006) plantea que a traves de este metodo se acele-ra la reduccion del valor del activo debido a que la depreciacion anual sedetermina multiplicando el valor en libros al principio de cada ano por unporcentaje fijo (uniforme) d, expresado en forma decimal. Dıaz y Aguilera(2013) y Villalobos (2007) desarrollan este metodo con el nombre de metodode tasa fija, la cual puede llegar a depreciarse hasta el doble de la tasa dedepreciacion del metodo de linea recta , 2(1/n), a este caso se le conoce comometodo de saldo doble decreciente1 SDD.
Para llevar a cabo el calculo de la cantidad depreciada periodicamente(Dt), se utiliza la ecuacion (4.5) o la ecuacion (4.6), en la cual es posibleobservar que a diferencia del metodo de linea recta la cantidad depreciadapara cada periodo es variable. La ecuacion (4.5) se utiliza en la construcciondel calendario de depreciacion, mientras que la ecuacion (4.6) se utiliza parael calculo directo del valor en un perıodo determinado.
1Tambien se utiliza el termino saldo decreciente doble
Vıctor Espinoza 61
Dt = (d)(V Lt−1) (4.5)
Dt = (d)(B)(1− d)t−1 (4.6)
Para el calculo del valor en libros (V Lt), se utiliza la ecuacion (4.7), conla cual es posible calcular el valor en libros para el perıodo t, tomando encuenta que cuando t = n se calcula el valor de salvamento.
V Lt = B(1− d)t (4.7)
4.2.1. Tasa de depreciacion de saldo decreciente
Al desarrollar el metodo de saldo decreciente es posible que no se esta-blezca el valor de la tasa a aplicar, en estos casos se debe calcular una tasaimplıcita y desarrollar el calculo de la depreciacion con esta. Para calcularla tasa implıcita utilizamos la ecuacion (4.2).
dimplicita = 1−(S
B
)1/n
(4.8)
4.2.2. Tasa de depreciacion de saldo doble decreciente
Al trabajar con la tasa de depreciacion bajo el metodo de saldo decrecientees posible que se exija utilizar el doble del valor de la tasa que utilizamos enla linea recta, 2(1/n), por lo que se utiliza la tasa de depreciacion maxima,que puede calcularse a partir de la formula (4.9).
dmax =2
n(4.9)
Dado que el calculo de la tasa de depreciacion maxima en la ecuacion (4.9)no contempla el valor de salvamento estimado, es posible concluir que el valorde salvamento que se genera con el metodo de saldo doble decreciente puededistinto al valor de salvamento estimado. El valor de salvamento calculadocon la tasa maxima de depreciacion se conoce como valor de salvamentoimplıcito y se calcula a traves de la ecuacion (4.10), que es una transfor-macion de la ecuacion (4.7), tomando en cuenta que t = n, para calcular elvalor en el ultimo perıodo.
62 Vıctor Espinoza
Simplıcito = V Ln = B(1− d)n (4.10)
Al llevar a cabo el metodo SDD es importante senalar que:
Si el valor de salvamento implıcito es menor que el valor de salvamentoestimado, es necesario llevar a cabo un ajuste, ya que el valor de salva-mento en el calendario de depreciacion no puede ser menor al valor desalvamento estimado.
Si el valor de salvamento implıcito es mayor que el valor de salvamen-to estimado, el metodo de SDD no permite que el activo se depreciecompletamente (Leland y Tarquin, 2006).
Ejemplo 4.2 Un activo tiene un costo inicial de $80,000 y valor de salva-mento de $10,000 despues de 10 anos. Utilizando los metodos SD y SDDdesarrolle el calendario de depreciacion para este activo.
DatosB = 80,000S = 10,000n = 10
Metodo SD: Para desarrollar este metodo, en primer lugar se calcula elvalor de la tasa de depreciacion implıcita a traves de la ecuacion :
dimplıcita = 1−(S
B
)1/n
dimplıcita = 1−(
10, 000
80, 000
)1/10
dimplıcita = 0.1877476036
Tomando en cuenta este valor, se calcular el calendario del depreciacion,como se muestra en el cuadro 4.2.
Metodo SDD: En primer lugar, se calcula la tasa de depreciacion maxi-ma a traves de la ecuacion (4.9).
dmax =2
n
Vıctor Espinoza 63
Cuadro 4.2: Calendario de depreciacion con metodo SD
Fin del Depreciacion Depreciacion Valor enperıodo periodica acumulada Libro0 0.00 0.00 80,000.001 15,019.81 15,019.81 64,980.192 12,199.88 27,219.68 52,780.323 9,909.38 37,129.06 42,870.944 8,048.92 45,177.98 34,822.025 6,537.75 51,715.73 28,284.276 5,310.30 57,026.03 22,973.977 4,313.31 61,339.34 18,660.668 3,503.49 64,842.83 15,157.179 2,845.72 67,688.56 12,311.4410 2,311.44 70,000.00 10,000.00
dmax =2
10dmax = 0.2
A partir de la tasa de depreciacion maxima se desarrolla el calendario dedepreciacion2, ver cuadro 4.3.
El cuadro 4.3 muestra el calculo del calendario de depreciacion a travesdel metodo SDD con ajuste. Es posible saber si se necesita ajuste al compa-rar el valor de salvamento estimado (S) y el valor de salvamento implıcito(Simplıcito). Al calcular el valor de salvamento implıcito a traves de la ecuacion(4.10) tenemos que:
Simplıcito = V Ln = B(1− d)n
Simplıcito = V L10 = 80, 000(1− 0.2)10
Simplıcito = 8, 589.93
Simplıcito < S
Dado que el valor de salvamento implıcito ( Simplıcito = $8, 589.93) es me-nor que el valor de salvamento estimado (S = $10, 000) podemos demostrarque el ajuste es necesario.
2Esta cuadro se encuentra ajustado
64 Vıctor Espinoza
Cuadro 4.3: Calendario de depreciacion con metodo SDD
Fin del Depreciacion Depreciacion Valor enperıodo periodica acumulada Libro0 0.00 0.00 80,000.001 16,000.00 16,000.00 64,000.002 12,800.00 28,800.00 51,200.003 10,240.00 39,040.00 40,960.004 8,192.00 47,232.00 32,768.005 6,553.60 53,785.60 26,214.406 5,242.88 59,028.48 20,971.527 4,194.30 63,222.78 16,777.228 3,355.44 66,578.23 13,421.779 2,684.35 69,262.58 10,737.4210 737.42 70,000.00 10,000.00
4.3. Depreciacion con metodo de la suma de
dıgitos anuales
El metodo de depreciacion con suma de dıgitos del ano (SDA), al igualque los metodos de porcentaje fijo (SD y SDD), son conocidos como metodosacelerados de depreciacion que asigna un cargo mayor en los primeros anosy disminuye con el transcurso del tiempo (Dıaz y Aguilera, 2013).
Para el calculo de la tasa de depreciacion es necesario calcular la suma delos anos de depreciacion a traves de la ecuacion (4.11) y sustituir este valoren la ecuacion (4.12).
SUM =n(n + 1)
2(4.11)
dt =n− t + 1
SUM(4.12)
La depreciacion periodica (Dt), la podemos calcular a traves de la ecua-cion (4.14), como podemos observar en lugar de aplicar la tasa de depreciaciondt al valor base (B), debemos aplicar esta tasa a la diferencia entre la base yel valor de salvamento, (B − S).
Vıctor Espinoza 65
Dt =
(n− t + 1
SUM
)(B − S) (4.13)
Dt = dt(B − S) (4.14)
Para el calculo del valor en libros (V Lt) podemos utilizar la ecuacion(4.15), la cual nos permite calcular el valor en libros en el perıodo t.
V Lt = B −[n− (t/2) + 0.5
SUM
](B − S)(t) (4.15)
Ejemplo 4.3 Calcule los cargos por depreciacion a traves del metodo SDApara un activo con un costo inicial de $25,000, valor de salvamento de $4,000y un perıodo de recuperacion de 8 anos.
DatosB = 25,000S = 4,000n = 8 anos
Para calcular la suma de los periodos se utiliza la ecuacion (4.11).
SUM =n(n + 1)
2
SUM =8(8 + 1)
2
SUM = 36
Al crear el calendario de depreciacion del cuadro 4.4, agregamos una co-lumna adicional en comparacion a los metodos anteriores, la columna ”tasade depreciacion periodica”, para el calculo de la tasa utilizamos la ecuacion(4.12):
dt =n− t + 1
SUM
Para el perıodo 1:
d1 =8− 1 + 1
36
66 Vıctor Espinoza
d1 = 8/36
Para el perıodo 2:
d2 =8− 2 + 1
36d2 = 7/36
Este procedimiento es mucho mas sencillo en el calendario de depreciacion(ver cuadro 4.4), si tomamos en cuenta que el denominador del resultado essiempre la suma (SUM), que en este caso es 36, mientras que el numeradorsimplemente es equivalente de invertir la columna ”fin del perıodo”, para estecaso: escribimos los numeros del 8 al 1 como numerador de la fraccion.
Cuadro 4.4: Calendario de depreciacion con metodo SDA
Fin del tasa de Depreciacion Depreciacion Valor enperıodo depreciacion Periodica acumulada libro
periodica0 0 0.00 0.00 25,000.001 8/36 4,666.67 4,666.67 20,333.332 7/36 4,083.33 8,750.00 16,250.003 6/36 3,500.00 12,250.00 12,750.004 5/36 2,916.67 15,166.67 9,833.335 4/36 2,333.33 17,500.00 7,500.006 3/36 1,750.00 19,250.00 5,750.007 2/36 1,166.67 20,416.67 4,583.338 1/36 583.33 21,000.00 4,000.00
Es importante tomar en cuenta que a diferencia de los metodos anterio-res, el calculo de la depreciacion periodica proviene del producto de la tasadepreciacion periodica (dt) y la diferencia entre el valor base y el valor desalvamento (B − S), esto se encuentra expresado en la ecuacion (4.14)
Dt = dt(B − S)
Para el caso de la depreciacion del perıodo 1:
D1 = d1(B − S)
D1 = (8/36)(25, 000− 4, 000)
D1 = 4, 666.67
Vıctor Espinoza 67
4.4. Depreciacion en hojas de calculo
Cada uno de los metodos de depreciacion expuestos pueden desarrollarsecon mayor facilidad en hojas de calculo. Para el caso del metodo LR pode-mos utilizar la funcion ((SLN)), la cual nos permite calcular el valor de ladepreciacion periodica (Dt).
Para el calculo de la depreciacion periodica (Dt) en el metodo SD atraves de hojas de calculo, es importante senalar que: aunque la mayorıade los software de hojas de calculo mas utilizados como Microsoft Office R© yLibreoffice R© contienen la funcion ((DB)), es necesario aclarar que esta funcionno lleva a cabo los calculos de manera exacta ya que solo toma en cuentatres dıgitos significativos para la tasa de depreciacion implıcita (Leland yTarquin, 2006). Por lo que en lugar de utilizar esta funcion se recomiendautilizar ((DDB)), que es especıfica para el metodo SDD pero puede ajustarsepara utilizarse con el metodo SD.
Para el caso del metodo de SD es necesario llevar a cabo el calculo de latasa de depreciacion implıcita a traves de la funcion ((TASA)) en la cual valorpresente corresponde a la base no ajustada (B) y el valor futuro correspondeal valor de salvamento (S), este valor se obtiene con signo negativo, por lo quedebe antecederse con el signo ((-)) o en valor absoluto ((ABS)). Posteriormentese utiliza la funcion ((DDB)) tomando en cuenta que el valor del parametrollamado ((factor)) es simplemente el numerador de la ecuacion (4.9), es decirque en el caso del saldo doble decreciente el valor del ((factor)) es 2, mientrasque para el caso del metodo SD el valor del numerador se debe despejar de laecuacion (4.9), de lo cual resulta: factor = (dimplitica)(n). La funcion ((DDB))
lleva a cabo el ajuste de la depreciacion periodica (Dt) en los casos donde elvalor de salvamento implıcito es menor que el valor de salvamento estimado(Simplicito < S).
En el metodo SDA las hojas de calculo nos permiten calcular el valor dela depreciacion periodica (Dt) a traves de la funcion ((SYD)).
68 Vıctor Espinoza
4.5. Ejercicios propuestos
Depreciacion en linea recta (LR)
1. Home Health Care, Inc. (HHCI) adquirio una unidad nueva de image-nes por sonar en $300,000 y la monto sobre un camion por $100,000adicionales, que incluyen el chasis del vehıculo. El sistema formado porla unidad y el camion van a depreciarse como un solo activo. La vidafuncional es de 8 anos y el valor de rescate(salvamento) se estima en10 % del precio de compra de la unidad de imagenes.
a) Utilice las formulas para los calculos de la depreciacion clasicaen lınea recta para determinar el valor de rescate, la depreciacionanual y el valor en libros despues de 4 anos.
b) ¿Como cambiarıan los calculos realizados en el inciso anterior, siel costo de la unidad de imagenes aumentara a $350,000 y su vidaesperada disminuyera a 5 anos?
c) Muestre las tablas de depreciacion para los incisos anteriores (2tablas)
Respuestas: a) S=$30,000 : Dt=$46,250 : V L4=$215,000 b) S=$35,000: Dt=$83,000 : V L4=$118,000 (IE.T.16.10)
2. Cierto equipo para manejar aire cuesta $12,000 y tiene una vida de 8anos con valor de rescate de $2,000.
a) Calcule el monto de la depreciacion en lınea recta para cada ano.
b) Determine a traves de la formula directa el valor en libros despuesde 3 anos.
c) ¿Cual es la tasa de depreciacion?
d) Muestre la tabla de depreciacion
Respuesta: a) Dt=$1,250 , b) V L3=$8,250 , c) d=12.5 % (IE.T.16.11)
3. Un activo tiene base no ajustada de $200,000, un valor de rescate de$10,000 y un periodo de recuperacion de 7 anos.
a) Desplegar el valor en libros despues de 5 anos de depreciacion enlınea recta a traves de la formula directa.
Vıctor Espinoza 69
b) Muestre la tabla de depreciacion
Respuestas: Dt=$27,142.85 : V L5=$64,285.71 (IE.T.16.12)
4. En 2004, Simpson and Jones Pharmaceuticals compro en $750,000 unamaquina para formar tabletas medicinales que requieren receta. La em-presa planeaba usar la maquina durante 10 anos, con S=0, pero debidoa la aceleracion de su obsolescencia debe retirarla despues de 4. Desa-rrolle una tabla de depreciacion a 10 anos, para obtener los montos de ladepreciacion y el valor en libros, necesarios para responder lo siguiente:
a) ¿Cual es el monto de la inversion de capital remanente cuando elactivo se retira por obsoleto?
b) Si el activo se vendiera en $75,000 al final de 4 anos, ¿cual serıael monto de la inversion de capital perdido, con base en la depre-ciacion en lınea recta?
c) Si la maquina de tecnologıa nueva tuviera un costo estimado de$300,000, ¿cuantos anos mas debe la empresa conservar y depre-ciar la maquina que actualmente posee para que fueran iguales suvalor en libros y el costo inicial de la maquina nueva?
Respuesta : a) VL4= $450,000 , b) -$375,000 ,c) 2 anos mas (hasta elano 6) (IE.T.16.13)
5. Una estacion de trabajo de computo especializado tiene un valor deB=$50 000, con un periodo de recuperacion de 4 anos. Haga una tablapara la depreciacion en LR, depreciacion acumulada y valor en librospara cada ano, si:
a) no hay valor de rescate
b) S = $16,000.
Respuestas: Dt caso a = $12,500 : Dt caso b = $8,500 (IE.T.16.14)
6. Una companıa posee el mismo activo tanto en una planta ubicada enEstados Unidos como en otra en la Union Europea. Tiene un valorde B = $2,000,000 con valor de rescate de 20 % de B. Para fines dedepreciacion fiscal, Estados Unidos permiten una baja por lınea rectaen 5 anos, mientras que la Union Europea permite la baja en 8 anos.Los gerentes generales de las dos plantas desean conocer:
70 Vıctor Espinoza
a) La diferencia entre el monto de la depreciacion para el ano 5
b) La diferencia entre el valor en libros despues de 5 anos.
c) La tabla de depreciacion para ambos paıses.
Nota: Utilice las formulas directas para los incisos a y b.Respuestas: a) Dt ue – Dt usa = -$120,000.b) V L5 ue – V L5 usa = $600,000 (IE.T.16.15)
Depreciacion de Saldo decreciente(SD) y de saldo doble de-creciente (SDD)
7. General Food Stores comprara equipo nuevo para leer codigos de 96 bitsque reemplazaran los antiguos codigos de barras. Va a usarse el metodoSDD para depreciar la cantidad total de $50,000 durante un periodode recuperacion de 3 anos. Calcule la tabla de depreciacion mostrandola depreciacion periodica, depreciacion acumulada y valor en libros.Respuestas: dmax=0.6666 ; D3 = $3,704 ; V L3 = $1,851 (IE.T.16.17).
8. Un activo tiene costo inicial de $12,000, un periodo de recuperacion de8 anos y un valor de rescate estimado de $2,000.
a) Desarrollar el programa de depreciacion por los metodos tanto deLR como de SDD.
b) Calcule la tasa de depreciacion real, relativa al costo inicial, SDDpara cada ano 1 a 8 (Cuanto represente la cantidad depreciadaperiodicamente con respecto al valor B).
Referencias: Metodo LR : Dt = $1,250 Metodo SDD : D7 = $135.74(IE.T.16.18)
9. La construccion de un almacen para la empresa Ace Hardware cuesta$800,000, el inmueble va a depreciarse a cero durante un periodo derecuperacion de 30 anos. Calcule a traves de las formulas directas elcargo por depreciacion anual para los anos 5, 10 y 25, con depreciacion:a) en lınea recta, y b) por SDD. c) ¿Cual es el valor de rescate implıcitopara la SDD? Respuestas: Metodo LR : Dt = $26,666.67 (para todot) Metodo SDD: D5 = $40,471.17 D10 = $28,663.53 D25 = $10,183.13V L30= $100,970.21 (IE.T.16.19)
Vıctor Espinoza 71
10. Allison y Carl son ingenieros civiles que poseen un negocio de estudiosde suelos y agua, para el cual han comprado un equipo de computo por$25,000. Ellos no esperan que las computadoras tengan un salvamentopositivo o valor de comercializacion despues de la vida anticipada de5 anos. Con propositos de depreciacion en libros, quieren que el valoren libros se programe usando los siguientes metodos: LR, SD y SDD.Quieren usar una tasa de depreciacion fija de 25 % anual para el modeloSD. Muestre las tablas de depreciacion para cada metodo. Referencias:Metodo LR: Dt = $5,000, Metodo SD: D5 = $1,977.53. Metodo SDD:D5 = $1,296 (IE.T.16.20)
11. Equipo para enfriamiento por inmersion de componentes electronicostiene un valor instalado de $182,000 con un valor de comercializacionde $50,000 despues de 18 anos.
a) Para los anos 2 y 18, determine el cargo anual por depreciacioncon SD, y SDD a mano, utilizando la formula directa.
b) Determine el valor en libro con el metodo SDD para el ano 17 ydetermine si debe aplicarse la depreciacion en el ano 18, analicesu respuesta.
Respuestas:a)Metodo SD: D2 = $11,732, D18 = $3,720Metodo SDD: D2 = $17,975, D18 = $2,730.b) No deberıa: V L17 < Sestimado. (IE.T.16.21)
Depreciacion por suma de dıgitos anuales (SDA)
12. Una companıa manufacturera europea tiene nuevo equipo con un costoinicial de 12,000 euros, un valor de salvamento estimado de 2,000 eurosy un periodo de recuperacion de 8 anos. Use el metodo SDA paratabular la depreciacion anual y el valor en libros. Ayuda: D1=$2,222.22; D8=$277.77 (IE.T.16A.1)
13. Se espera que un equipo de remocion de tierra con un costo inicial de$150,000 tenga una vida de 10 anos. Se estima que el valor de salva-mento sea de 10 % del costo inicial.
72 Vıctor Espinoza
a) Calcule el cargo de depreciacion y el valor en libros para los anos2 y 7 utilizando las formulas directas del metodo SDA.
b) Muestre la tabla de depreciacion con el metodo SDA.
Respuesta:a)D2=C$ 22,090.91 y V L2=C$ 103,363.64D7=C$ 9,818.18 y V L7=C$ 29,727.27 (IE.T.16A.2)
14. Si B = $12,000, n = 6 anos y S se estima en 15 % de B, con el metodoSDA determine:
a) el valor en libros despues de 3 anos a traves de la formula directa
b) la tasa de depreciacion y la cantidad de depreciacion en el ano 4utilizando la formula directa.
c) Muestre la tabla de depreciacion
Respuesta: V L3=4,714.28 ; d4=3/21 y D4=1,457.14 (IE.T.16A.3)
Capıtulo 5
Bonos
Segun Mora (2009) el bono es un documento financiero que se utiliza pa-ra obtener liquidez, con la obligacion de pagar el valor nominal en la fechade vencimiento. Alvarez (2005) define a los bonos como activos financierosen su mayorıa de rentabilidad fija emitidos a largo plazo con el objetivo definanciamiento. Los bonos se colocan en el mercado a traves de un fideicomi-sario (intermediario), que se encarga de administrar la emision y maneja larelacion entre la empresa y el tenedor del bono. El tenedor el bono es un in-versionista, mientras el que posee una accion es un accionista. Los conceptosnecesarios para desarrollar el calculo de los bonos son:
Valor nominal (Vn): Es el valor que esta escrito o impreso en unbono, tambien se denomina como valor facial (Baca, 2005).
Tasa de redencion (r): Es la tasa aplicada al valor nominal quedetermina la cantidad a recibir al final de la vida del bono (Valor deredencion).
Valor de redencion (Vr): Segun Mora (2009) el valor de redenciones el valor del bono a la fecha de vencimiento, se le aplica una tasa deredencion (r) al valor nominal, tal como lo muestra la ecuacion (5.1) ypuede ser:
• Si Vr = Vn: Redimible a la par
• Si Vr > Vn: Redimible con premio
• Si Vr < Vn: Redimible con descuento
73
74 Vıctor Espinoza
Vr = (Vn)(r) (5.1)
Si se omite el tipo de redencion se debe entender como redimible a lapar, este es el tipo de redencion mas utilizado en los bonos.
Precio del bono (Ve): Segun Alvarez (2005) es el valor efectivo, va-lor de emision o el valor presente, es el estimado para colocarlo en elmercado y al expresarlo con relacion al valor nominal (Ve), es posibleclasificar como 1:
• Si Ve = Vn: Emision a la par
• Si Ve > Vn: Emision sobre la par (bono con prima):
• Si Ve < Vn: Emision bajo la par (bono con descuento):
Plazo (n): Es el tiempo que transcurre desde la fecha de emision y lafecha de vencimiento (maduracion).
Tasa de retorno o rentabilidad (i): Mide la utilidad2 que todoinversionista espera obtener de manera razonable en sus negocios.
Tasa de interes periodica (c): Es la relacion existente entre el interesacumulado por unidad de tiempo. El perıodo expresado por la tasa deinteres periodica se considera como la periodicidad de los pagos, por lotanto no debe transformarse en perıodo distinto. Por ejemplo si la tasade interes es del x % mensual, se considera que los cupones se pagancada mes; si la tasa es del x % semestral, los cupones se pagan cadasemestre.
Cupon (C): Es el valor del interes que se paga periodicamente de for-ma vencida. Se calcula aplicando la tasa de interes del bono al valornominal, ver ecuacion (5.2). Cuando el bono no genera cupones se cono-ce como bonos cupon cero, son bonos que no pagan intereses periodicos(Baca, 2005).
C = (Vn)(c) (5.2)
1Villalobos (2007) establece una clasificacion en base a la relacion entre el valor efectivo(Ve) y el valor de redencion (Vr)
2El termino tasa de retorno es utilizada en inversiones, mientras que la tasa de intereses la utilizada en un prestamo
Vıctor Espinoza 75
5.1. Bono con cupon cero
Mora (2009) define al bono cupon cero como aquel bono que no tiene cu-pones, por lo que el valor actual o precio (Ve) se calcula tomando en cuentasolamente su valor nominal (Vn). El ejemplo 5.1 muestra la situacion masbasica de un bono, aquel que es emitida bajo un cupon cero y redimible a lapar, en el cual se desea conocer el precio del bono (valor presente).
Ejemplo 5.1 Un bono con valor nominal de $1,000,000 va a ser redimidoen un ano y es emitido con cupon cero. Si se desea que el bono genere unarentabilidad del 8 % determine su precio de compra.
Datos:Ve = ?Vn = F = 1,000,000i = 8 % e.a. = 0.08 e.a.n = 1 ano
Sea Ve = P :
P =F
(1 + i)N
P =1, 000, 000
(1 + 0.08)1
P = 925, 925.92
El precio efectivo del bono es de $925,925.92. Dado que Ve < Vn, podemosclasificar a este bono como: emitido bajo la par.
5.2. Bono con cupon
El ejemplo 5.2 nos muestra el calculo necesario para identificar el valorefectivo (presente) de un bono con cupon y redimible a la par.
Ejemplo 5.2 Un bono con valor nominal de $10,000 redimible a 3 anos, ypaga un interes del 6 % semestral vencido y su rentabilidad es de 24 % nomi-nal anual capitalizable semestralmente. ¿Cual es el precio efectivo del bono?
76 Vıctor Espinoza
Datos:Ve = ?Vn = F = $10,000c = 6 % es = 0.06 esj = 24 % nacs = 0.24 nacsm = 2i = j/mi = 0.24/2 esi = 0.12 esn = 3 anos = 6 semestres
Valor presente del cupon
El valor del cupon es del 6 % semestral, es decir que cada semestre sepaga:
C = (Vn)(c)
C = (10, 000)(0.06)
C = 600
Este cupon se paga semestralmente durante 3 anos, por lo que se calcula elvalor presente de 6 semestres.
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]
P = 600
[1− (1 + 0.12)−6
0.12
]P = 2, 466.84
Valor presente del valor nominal
P =F
(1 + i)N
P =10, 000
(1 + 0.12)6
P = 5, 066.31
Vıctor Espinoza 77
Precio o valor efectivo del cupon
Ve = 2, 466.84 + 5, 066.31
Ve = 7, 533.15
Dado que Ve < Vn, podemos clasificar a este bono como: emitido bajo lapar. Ver figura 5.1
10,00010,00010,00010,00010,00010,00010,000
600 600 600 600 600 600
0 1 2 3 4 5 6Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 5.1: Pago de un bono con cupon
5.3. Bono con cupon y con emision a la par
Un caso especial de los bonos que considera el tipo de emision es aquelen el cual el precio del bono es igual al valor nominal: Ve = Vn. El ejemplo5.3 muestra esta situacion.
Ejemplo 5.3 Un bono de $1,000 se emitio a 4 anos y paga el 26 % de in-teres anual y 26 % de tasa de rentabilidad. ¿Cual es el valor efectivo del bono?
78 Vıctor Espinoza
Datos:Ve = ?Vn = F = 1,000i = 26 % ea = 0.26 eac = 26 % ea = 0.26 ean = 4 anos.
Valor presente del cupon
Se determina el valor del cupon:
C = (Vn)(c)
C = (1, 000)(0.26)
C = 260
Se determina el valor presente del cupon:
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]
P = 260
[1− (1 + 0.26)−4
0.26
]P = 603.25
Valor presente del valor nominal
P =F
(1 + i)N
P =1, 000
(1 + 0.26)4
P = 396.75
Precio del bonoVe = 603.25 + 396.75
Ve = 1, 000
Dado que Ve = Vn, podemos clasificar a este bono como: emitido a la par.Ver figura 5.2
Vıctor Espinoza 79
1,0001,0001,0001,0001,000
260 260 260 260
0 1 2 3 4Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 5.2: Bono con cupon y emision a la par
5.4. Bono con cupon y redencion
El ejemplo 5.4 muestra una situacion en la que ademas de existir el pagodel cupon, la redencion no es a la par, es decir se debe calcular el valor deredencion Vr.
Ejemplo 5.4 ¿Cual es el precio de compra de un bono cuyo valor nominales de $1,000, redimible al 101 %, con una tasa de interes del 5.5 % semestralen un perıodo de 11 anos?. Se espera una tasa de rendimiento del 11.5 %nominal anual capitalizable semestralmente.
Datos:Ve = ? Vn = 1,000c = 5.5 % es = 0.055 es j = 11.5 % nacs = 0.115 nacsm = 2 i = j/m = 0.115/2 = 0.0575 es.n = 11 anos = 22 semestres r = 101 %
Valor presente del cuponCon estos datos es posible calcular el valor del cupon:
C = (Vn)(c)
80 Vıctor Espinoza
C = (1, 000)(0.055)
C = 55
Dado a que esta operacion toma 11 anos, se llevan a cabo 22 pagos semes-trales.
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]P = 55
[1− (1 + 0.0575)−22
0.0575
]P = 676.93
Valor presente del valor de redencion
Dado que la redencion no es a la par, es necesario calcular el valor deredencion en primer lugar. Para el calculo del valor de redencion se toma encuenta que el valor de la tasa de redencion es del 101 %:
Vr = (Vn)(r)
Vr = (Vn)(101 %)
Vr = (Vn)(1.01)
Vr = (1, 000)(1.01)
Vr = 1, 010
Se calcula el valor presente del valor de redencion Vr:
P =F
(1 + i)N
P =1, 010
(1 + 0.0575)22
P = 295.22
Calculo del valor efectivo
Ve = 676.93 + 295.22
Ve = 972.15
Dado que Vr > Vn, podemos decir que es un bono redimible con premio ydebido que Ve < Vn, podemos clasificar a este bono como emitido bajo la par.Ver figura 5.3.
Vıctor Espinoza 81
1,0101,0101,0101,0101,0101,010
55 55 55 55
0 1 2 ... 21 22Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 5.3: Bono con redencion
5.5. Operacion de bonos por fecha
Mora (2009) establece una presentacion de pagos de cada cupon semes-tral3 pero estableciendo las fechas de los pagos en lugar de perıodos de tiempo.En estos casos la presentacion de la tasa de interes es nominal semestral eincorpora la primera letra de los meses de pagos en mayuscula, es decir latasa x %M1M2, donce M1 y M2 son el primer y segundo mes que el bonopaga cupon respectivamente, escribiendo en orden cronologico.
Para denotar las fechas de las operaciones se utilizara:Fe: como la fecha de emisionFr: como la fecha de redencion.
Estos pagos siempre son vencidos ası que debe transcurrir un semestrepara que se desarrolle el primer pago, nunca se llevan a cabo pagos anticipa-dos, es decir nunca existe un cupon al momento de la compra del bono. Paraobtener la tasa de interes periodica se divide entre la frecuencia, para estos
3El pago de cupones se lleva a cabo principalmente de forma semestral (Mora, 2009)
82 Vıctor Espinoza
casos sera 2 (por los semestres en el ano), ver ejemplo 5.5.
Ejemplo 5.5 Un bono tiene valor de $10,000 al 12 % FA emitido el 1 defebrero de 1990 y redimible el 1 de febrero de 2020. Calcule:
1. El valor del cupon
2. El numero de cupones
Datos:Vn = 10,000c = 12 % nacs = 0.12/2 es = 0.06 esFe = 1 de Febrero 1990Fr = 1 de Febrero 2020
Valor del cupon
C = (Vn)(c)
C = (10, 000)(0.06)
C = 600
Dado que la tasa tiene la terminacion FA, el primer pago se lleva a caboen febrero y el segundo pago en agosto de cada ano.
Calculo del numero de cupones:
En este caso es importante toma en cuenta que los cupones son siemprevencidos, ası que: Si la compra o emision del bono se llevo a cabo el 1 defebrero de 1990, este bono no generara un cupon hasta el mes de agosto,mes en que se lleva a cabo el vencimiento del primer semestre.
Numero de pago Fechasemestral1 1 de agosto 19902 1 de febrero 1991... ...59 1 de agosto de 201960 1 de febrero 2020
Vıctor Espinoza 83
El ano 1990 solo tiene un pago, el 1 de agosto, mientras que 2020 tambiensolo tiene un pago, en el perıodo 1991 - 2019 cada uno de estos anos tiene 2pagos:
Ano (perıodo) Numero de pagos semestrales1990 11991 - 2019 = 29 anos 582020 1total 60 semestres
5.6. Bono sucio
Al llevar a cabo una negociacion de un bono es posible comprarlo en fechadiferente al pago de los cupones o intereses, este tipo de operaciones generanlo que se conoce como bono sucio, ya que aun no se reducen los intereses(Mora, 2009).
Para llevar a cabo el calculo del valor del bono sucio se llevan a cabo lossiguientes pasos:
1. Se calcula el valor efectivo del bono (Ve), utilizando una fecha supuestade compra (Fs), la cual se ubica en la ultima fecha de pago de intereses,justo antes de la fecha efectiva o real de la compra (Fe). Se toma comoreferencia el dıa que se lleva a cabo la redencion(Fr) para establecer eldıa de la fecha supuesta de compra (Fs).
2. Se calcula el valor futuro del bono a traves del interes simple utilizandoel numero de dıas exacto entre dos fechas (Ver Anexo). El objetivo deeste paso es desplazar el valor efectivo del bono (Ve) desde la fechasupuesta (Fs) a la fecha efectiva de compra(Fe).
Los pasos anteriores permiten calcular el denominado ”Bono sucio”, verejemplo 5.6.
Ejemplo 5.6 Un bono con valor de $3,000 con interes del 7 % AO, redi-mible a la par, el 1 de abril de 2009, es comprado el 1 de julio de 2003. Seespera un rendimiento de 6.75 % nacs. ¿Calcular el valor sucio del bono?
84 Vıctor Espinoza
Datos:Vn = 3,000 j = 6.75 % nacsm = 2 i = j/m = 0.0675/2 es = 0.03375 esc = 7 % AO = 0.07 nacsc = 0.07/2 es = 0.035 es
Tomando en cuenta que la tasa de interes tiene la terminacion AO, lospagos de cupones se llevan a cabo en Abril y Octubre. El dıa 1 de cada unode estos meses, esto proviene de la fecha de redencion (1 de abril de 2009).Desarrollamos el ejercicio considerando que la compra del bono se desarrollael 1 abril del 2003, la cual es la fecha inmediata anterior a la fecha de compra,Fe = 1 de julio de 2003, en la que se llevarıa a cabo el pago de cupones. Si lacompra se efectuase el 1 de abril de 2003 y el bono vence el 1 de abril de 2009,se desarrollan 12 pagos de cupones. En resumen tenemos los siguientes datos:
Fe = 1 de julio 2003Fs = 1 de abril 2003Fr = 1 de abril 2009N = 12 Semestres
Calculo del valor presente de los cupones
C = (Vn)(c)
C = (3, 000)(0.035)
C = 105
Presente del valor de los cupones:
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]
P = 105
[1− (1 + 0.03375)−12
0.03375
]P = 1, 022.16
Calculo del valor presente del valor nominal
P =F
(1 + i)N
Vıctor Espinoza 85
P =3, 000
(1 + 0.03375)12
P = 2, 014.35
Valor efectivo en fecha supuesta
Ve = 1, 022.16 + 2, 014.35
Ve = 3, 036.51
La figura 5.4 muestra la forma que se consideran la ejecucion del bono,tomando en cuenta la fecha supuesta.
3,0003,0003,0003,0003,0003,000
105 105 105 105
0 1 2 ... 11 12Período
Flu
jo d
e di
nero
Figura 5.4: Bono sucio
86 Vıctor Espinoza
Calculo del bono sucio
Los calculos desarrollados hasta este punto han supuesto que el bono secompra el 1 de abril del 2003, pero la compra efectivamente se lleva a caboel 1 de julio de 2003. La distancia exacta entre estas fechas es posible calcu-larla con la tabla para el calculo de dıas exacto entre dos fechas (Ver anexo).Con el cual es posible concluir que existen 91 dıas. Tomando en cuenta estodesarrollamos el calculo del valor futuro con interes simple:
P = 3,036.51i = 0.03375 esn = 91 dıas = 91/180 semestres.
F = P (1 + in)
F = 3, 036.51[1 + (0.03375)(91/180)]
F = 3, 088.32
El bono sucio tiene un valor de $3,088.32.
5.7. Limpieza de un bono sucio
Cuando la negociacion de un bono genera un bono sucio, es posible lim-piar el valor de este bono descontando la cantidad de intereses que se generanen el perıodo de tiempo correspondiente a la distancia entre la fecha supuestade compra del bono y la fecha real de la compra:
Bono limpio = Bono sucio - Interes devengado
Tomando en cuenta los datos del ejercicio 5.6 podemos calcular el valordel bono limpio, como se muestra en el ejemplo 5.7
Ejemplo 5.7 El valor del bono sucio es $3,088.32, la compra se lleva a caboel 1 de julio de 2003 y la tasa de interes es de 7 % AO. Tomando en cuentael valor nominal de $3,000 y redimible a la par, el 1 de abril de 2009 ¿Cuales el valor del bono limpio?
Vıctor Espinoza 87
Datos:Bono sucio = 3,088.32 Vn = 3,000c = 7 % AO Fe = 1 de julio 2003c = 0.07 nacs = 0.07/2 es Fs = 1 de abril 2003c = 0.035 es Fr = 1 de abril 2009
Distancia entre la fecha de compra supuesta y la fecha real
Debido a que la tasa de interes es con terminacion AO y la fecha efecti-va de compra es el 1 de julio de 2003, la fecha supuesta es el 1 de abril: ladistancia entre estas fechas es de 91 dıas (ver cuadro en Anexos).
Calculo del interes generado
En primer lugar calculamos el valor del cupon:
C = (V n)(c)
C = (3, 000)(0.035)
C = 105
Aunque este es el valor del cupon para cada semestre (es decir para cada180 dıas), el primer semestre pagado no es completo de forma efectiva, yaque el bono se compra 91 dıas despues de la fecha supuesta, por lo que secalcula la cantidad de intereses correspondientes. Esto es posible a traves deregla de tres simple:
$105 → 180 dıasI → 91 dıas
I =(105)(91)
(180)
I = 53.08
Calculo del valor limpio del bono
Como ultimo paso, se reducen la cantidad de intereses calculado al valordel bono sucio
Bono limpio = Bono sucio - Interes devengadoBono limpio = 3,088.32 - 53.08
Bono limpio = 3,035.24
88 Vıctor Espinoza
5.8. Ejercicios propuestos
1. ¿Por cuanto debe venderse un bono de $1.000 emitido a 5 anos al 28 %anual, para que el comprador obtenga una tasa del 32 % efectiva anual?Respuesta: $906.18 [AA.ej.10.2]
2. ¿Por cuanto puede comprarse un bono cuyo valor es de $500,000 yreconoce el 28 % anual? El bono vence dentro de tres anos y el inversio-nista desea obtener una tasa de rendimiento del 36 % anual. Respuesta:$433,060.25 [AA.10.02]
3. ¿Cual sera el valor nominal de un bono que reconoce $240.000 anua-les, se redime dentro de cuatro anos, se coloca en el mercado por$870,025.56 y ofrece al inversionista una tasa de rentabilidad del 30 %efectivo anual? Respuesta: 1,000,000 [AA.01.03]
4. El 1 de enero del 2000 un inversionista compro un bono de $ 100.000al 20 % EJ, redimible a la par el 1 de julio de 2009. Calcule: a) cuantorecibira el 1 de julio de 2009; b) cuantos cupones cobrara y cual sera elvalor de cada uno. Respuesta: a) $100,000, b) 19 semestral por $10,000cada uno. [MZ.8.AE.01]
5. El 1 de junio de 2003 se compra un bono de $ 100.000 al 12 % JD,redimible a 103 % el 1 de diciembre del ano 2017. Calcule: a) cuantorecibira el comprador en la fecha de redencion; b) cuantos cuponescobrara y cual sera el valor de cada uno. Respuesta: a) $103,000 b) 29cupones con valor de $6,000 cada uno. [MZ.8.AE.02]
6. Calcule el precio que se puede pagar por un bono de $ 10.000 al 13 %FA, redimible a 102 despues de 10 anos, si se desea un rendimiento del12 % capitalizable semestralmente. Respuesta: $10,635.85 [MZ.8.AE.03]
7. Con el proposito de ganar el 17 % anual capitalizable semestralmente, el15 de marzo de 2002 se vende un bono de $ 3.000 al 18 % MS, redimiblea la par el 15 de marzo del ano 2017. Halle el precio de venta. Respuesta:$3,161.20 [MZ.8.AE.04]
8. Halle el precio de un bono de $ 5.000, al 16 % MS, redimible a la par el21 de marzo del ano 2010, si se negocia el 21 de septiembre de 1998 auna tasa de rendimiento del 15 % anual capitalizable semestralmente.Respuesta: $5,270.17 [MZ.8.AE.05]
Vıctor Espinoza 89
9. Un bono de $ 5.000 al 9 % MN, redimible a la par el 15 de noviembre delano 2015, se vende el 15 de mayo de 2006 con una tasa de rendimientode 8 % anual, capitalizable por semestre. ¿Cual es el precio del bono?.Respuesta: C$ 5,328.35 [MZ.ej]
10. Calcule el precio de un bono de $ 1,000,000 al 21 % MS, redimible a lapar el 18 de septiembre de 2009, si se negocia el 18 de marzo de 2004a una tasa del 20 % anual, capitalizable semestralmente. Respuesta:C$1,032,475.31 [MZ.8.AA.04]
11. Halle el precio de compra (sucio) y limpio de un bono de $1,000, al 14 %EJ redimible a la par el 1 de julio de 2009, si se compra el 18 de abrilde 1994, a fin de que reditue 13 % anual capitalizable semestralmente.Respuesta: $1,107.19 y $1,065.58 [MZ.8.AE.07]
12. Un bono de $800,000 al 15 % AO, redimible a la par el 24 de octubrede 2009, se negocia el 6 de junio de 2005 a una tasa de rendimientodel 14 % anual, capitalizable semestralmente. Calcule el precio del bonosucio y el precio del bono limpio. Respuestas: $839,874.5 y $825,541.17[MZ.8.AA.08]
90 Vıctor Espinoza
Anexo
91
92 Vıctor Espinoza
Interes simple
I = Pin
F = P (1 + in)
P =F
1 + in
iv =V Ract − V Rant
V Rant
r =G
INV
Descuento
F = P + D
Descuento simple racional
Dr = Pin
Dr = F
[1− 1
1 + dn
]Descuento Comercial
Dc = Fdn
Dc = P
[dn
1− dn
]Descuento inmediato
D = Fi
P = F (1− i)
Interes compuesto
F = P (1 + i)N
P =F
(1 + i)N
i =
(F
P
)1/N
− 1
N =Ln(F/P )
Ln(1 + i)
Conversion de tasas
i = j/m
j = im
iea = (1 + iem)m − 1
iem = (1 + iea)1/m − 1
Capitalizacion continua
F = Pejn
j = Ln(1 + iea)
iea = ej − 1
Vıctor Espinoza 93
Anualidad vencida
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]
A = P
[i
1− (1 + i)−N
]F = A
[(1 + i)N − 1
i
]A = F
[i
(1 + i)N − 1
]
n =log[(
FiA
)+ 1]
log(1 + i)
n = −log[1−
(PiA
)]log(1 + i)
Anualidad anticipada
P = A + A
[1− (1 + i)−N+1
i
]
A = P
[i
(1 + i)− (1 + i)−N+1
]F = A
[(1 + i)N+1 − 1
i
]− A
A = F
[i
(1 + i)N+1 − (1 + i)
]
Anualidad diferida
P = A
[1− (1 + i)−N+r
i
](1 + i)−r
A = P
[(i)(1 + i)r
1− (1 + i)−N+r
]
F = A
[(1 + i)N−r − 1
i
]
A = F
[i
(1 + i)N−r − 1
]
Anualidad perpetua Vencida
A = Pi
P = A/i
Anualidad perpetua anticipa-da
P = A + (A/i)
Anualidad perpetua diferida
P = (A/i)(1 + i)−r
A = Pi(1 + i)r
94 Vıctor Espinoza
Amortizacion
Ck = Ak + Ik
Amortizacion cuota nivelada
C = P
[i
1− (1 + i)−N
]Sk = C
[1− (1 + i)−N+k
i
]Ik = C[1− (1 + i)−N+k−1]
Amortizacion cuota proporcio-nal
Ak = P/N
d = Ai
Ik = (Sk−1)(i)
Amortizacion cuota interes flat
Ak = P/N
Ik = I/N
Ik =Pin
NFondo de amortizacion
Fk = F − Sk
D = F
[i
(1 + i)N − 1
]Sk = D
[(1 + i)k − 1
i
]
Interes e inflacion
d = i + f + if
d = i + iv + (i)(iv)
Gradiente aritmetico
P = A
[1− (1 + i)−N
i
]+G
[(1 + i)N − iN − 1
i2(1 + i)N
]
F = A
[(1 + i)N − 1
i
]+G
[(1 + i)N − 1
i2− N
i
]Cn = C1 + (n− 1)G
Cn = A + (n− 1)G
Gradiente aritmetico infinito
P =
(A
i
)+
(G
i2
)
Gradiente geometrico
P = A
[(1+g1+i
)N − 1
g − i
]← i 6= g
P = A
(N
1 + i
)← i = g
F = A
[(1 + g)N − (1 + i)N
g − i
]← i 6= g
F = A[N(1 + i)N−1]← i = g
Cn = C1(1 + g)n−1
Cn = A(1 + g)n−1
Gradiente geometrico infinito
P =A
i− g← g < i
P =∞← g > i
Vıctor Espinoza 95
Depreciacion
V Lt = V Lt−1 −Dt
Depreciacion en linea recta
d = dt =1
n
Dt =B − S
nV Lt = B − t(Dt)
Depreciacion SD / SDD
dimplicita = 1−(S
B
)1/n
dmax =2
nDt = (d)(V Lt−1)
Dt = (d)(B)(1− d)t−1
V Lt = B(1− d)t
Simplicito = V Ln = B(1− d)n
Depreciacion SDA
SUM =n(n + 1)
2
dt =n− t + 1
SUM
Dt =
(n− t + 1
SUM
)(B − S)
Dt = dt(B − S)
V Lt = B−[n− (t/2) + 0.5
SUM
](B−S)(t)
Bonos
Vr = (Vn)(r)
C = (Vn)(c)
Bono limpio = Bono sucio - Interesdevengado
96 Vıctor Espinoza
Numero de dıas exactos entre fechas
Meses Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
Ene 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334Feb 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303Mar 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275Abr 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244May 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214Jun 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183Jul 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153Ago 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122Sep 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91Oct 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61Nov 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30Dic 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
Referencias
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ricano.Baca, G. (2007). Matematica financiera (Tercera ed.). Fondo Educativo
Panamericano.Dıaz, A., y Aguilera, V. M. (2013). Matematicas financieras. Mexico: Mc-
Graw Hill Education.Leland, T. B., y Tarquin, A. J. (2006). Ingenieria economica. Mexico:
McGraw-Hill.Mora, A. (2009). Matematicas financieras. Mexico: Alfaomega.Reyes, N. (1999). Matematica financiera. Managua: UNAN - Managua.Villalobos, J. L. (2007). Matematicas financieras. Mexico: Pearson Educa-
cion.
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