matematica do zero ao infinito

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1

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Comunicação e Maurício Scervianinas de França produção digital Nathalia Setrini Luiz

Suporte editorial Juliana Bojczuk

Produção gráfica Liliane Cristina Gomes

Preparação Augusto lriarte

Revisão Tulio Kawata Maria Fernanda Alvares

Revisão técnica Paulo Estêvão Silva

Diagramação Caio Cardoso

Ilustrações Andrew Pinder

Capa Caio Cardoso

Impressão e acabamento Gráfica Paym

ISBN 978-85-5717-060-5

DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP) ANGÉLICA ILACQUA CRB-8/7057

Goldsmith, Mike Do zero ao infinito (e além) : tudo o que você sempre

quis saber sobre matemática e tinha vergonha de perguntar / Mike Goldsmith ; tradução de Fabio Storino. - São Paulo : Benvirá, 2016.

152 p. : il.

ISBN 978-85-5717-060-5 Título original: From zero to infinity (and beyond) - Coai

maths stuff you need to know.

1. Matemática - Curiosidades e miscelânea 2. Matemática recreativa 1. Título li. Storino, Fabio

16-0882 coo 510

CDU 51

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Obras populares : Curiosidades

Copyright © Buster Books, 2012

Título original: From zero to infinity (and beyond) - Coai maths stuff you need to know.

Publicado primeiramente na Grã-Bretanha em 2012 por Buster Books, um selo da Michael O'Mara Books Limited, 9 Lia[) Yard, Tremadoc Road, London SW4 7NQ.

Todos os direitos reservados à Benvirá, um selo da Saraiva Educação. www.benvira.com.br

1 • edição, 2016

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Saraiva Educação. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na lei n• 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Código Penal.

548.979.001 .001 1

SUMÁRIO

Aprenda a gostar de números

~ NÚMEROS u.3) ELEGANTES

Números da Antiguidade

Tudo sobre nada

Como conversar com computadores

Operações comp licadas

O nome dos números

Números indivisíveis

Os números na natureza

Um número mortal

Po,·ções justas

Grana, grana, grana

Um depois do outro

Simplesmente enorme

Para além do infinito

7

9

12

13

15

17

19

20

22

27

30

33

36

38

'.t..~ FORMAS LI SURPREENDENTES

De todas as formas 41

Triângu los extraordinários 43

Tudo sobre áreas 47

Em terceira dimensão 50

Espaço interior 56

Simet,·ia perfeita 60

Estruturas matemáticas 61

A arte da matemática 62

Música em números 63

Uma questão de graus 66

A escala das med idas 67

DOZER AO l~Fl~IT

ESCRITO POR

Dr. Mike Goldsmith

TRADUÇÃO

Fabio Storino

Benvirá

Medidas reais 71

Unidades curiosas 72

Precisamente acurado 75

"Chute informado" 76

Autoengano 79

Entendendo os movimentos 80

Não pode piscar 84

Cronometrado 85

Quando faltam dias 89

Indo de A até B 92

X indica o local 96

j\,l \/~i .- DADOS 1 i Y \

1 ri' 1 COMOVENTES

Gráficos fantásticos 101

Fazendo uma média com os números 106

Organizando os números 109

A armadilha de números de Venn li o

Uma deliciosa fatia de pizza 11 2

O que acontece depois? 11 4

ft MATEMÁTICA ,t) DEMESTRE

Ultrassecr·eto!

Resolvendo o enigma

O fator x

Boa, Sherlock

Uma máquina de matemática

Prove

Argumento circular

Mestres dos números

GJ GÊNIO DA !{ MATEMÁTICA

Vários truques com números

Dicas e atalhos

Técnicas de memorização matemática

11 9

121

123

126

128

132

134

135

143

146

150

APRENDA A GOSTAR DE NÚMEROS

Você tem dificuldade com frações? Números o enlouquecem?

Não se preocupe: este livro o levará a uma jornada pelo fascinante

mundo da matemática, ao final da qual você estará habituado

com porcentagens e achat-á os decimais divinos!

Não se trata apenas da mecânica por trás das operações

matemáticas. Há seções neste livro sobre como a matemática

afeta tudo, do comportamento dos animais à maneira como

escutamos música. Muitos dos grandes pensadores da história

gostavam de matemática e a usavam para inventar coisas inte

ressantes e fazer descobertas.

Seja ajudando na sua lição de casa ou ensinando novas coisas

para que você surpreenda seus amigos, este livro fará com que

você aprenda a gostar de matemática - eu garanto.

NÚMEROS DA ANTIGUID,,DE

Muito antes de as calculadoras e os computadores terem sido

inventados, quando as pessoas queriam manter um registro

das coisas que contavam, elas faziam pequenos cortes em

um graveto ou pedaço de osso. Uma das primeiras formas

conhecidas desse tipo de contagem foi descoberta em uma

caverna na África do Sul. Era o osso de um babuíno com 29

linhas talhadas nele. Testes indicaram que essas marcas foram

feitas há cerca de 35 mil anos.

VAMOS CONTAR!

Essas linhas, ou entalhes, podem ter sido usadas para contar

qualquer coisa, de animais a pessoas ou a passagem dos dias.

No começo, o único símbolo

numérico usado era o 1. Mas,

na verdade, essas eram apenas

marcas feitas em ossos. Então, se

as pessoas quisessem contar até

mil, precisavam juntar um monte

de ossos de babuíno e fazer mil

vezes a marca 1.

Atualmente, há dez diferentes

dígitos, ou numerais: O, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 e 9. Esses dígitos formam

o chamado sistema decimal - do

latim decimus, que significa "dez".

9

O sistema decimal é uma maneira bastante lógica de contar:

a maioria das pessoas aprende a contar usando os dez dedos

das mãos. De,fato, a palavra "dígito" também significa "dedo".

Foi provavelmente assim que você aprendeu a contar, e é pro

vável que os primeiros humanos também tenham aprendido

dessa forma.

CONTE COMO UM EGÍPCIO

O mais antigo sistema de contagem baseado no número dez

de que se tem notícia era usado há 5 mil anos, no Egito. Os

egípcios usavam conjuntos de linhas para números até nove.

Mais ou menos assim:

Seu símbolo para I O era Oi}, e números grandes usavam uma

combinação de íls e Oí}s. Portanto, 22 era escrito assim: (íl(íl)~~. Para 1 00, eles usavam ~, para 1 .000, .l., até 1 .000.000: 1r'.

Como um milhão parecia um número imenso aos egípcios

antigos, o símbolo também era usado para se referir a qualquer

número enorme.

1 0 DO ZERO AO 1"4FINITO

NUMERAIS ETERNOS

Os romanos também contavam em grupos de dez, usando

letras para números: 1 ( 1 ),V (5), X ( 1 O) , L (50) e C ( 100). Mais

t arde, D (500) e M ( 1 .000) foram acrescentados.

Para escrever um número, letras eram agrupadas e depois

somadas ou subtraídas, de acordo com a ordem. Por exemplo: se

1 é colocado antes de uma letra que representa um número com

valor maior; significa "um a menos". IX é 9, um a menos que dez.

Os símbolos CL eram usados para escrever 150 - ou 100 mais

50. Juntas, portanto, as letras CCLVII significam 257.

Podemos encontrar algarismos romanos em alguns relógios,

ou ao final de alguns programas de tevê, uma reforência ao ano

em que estes foram produzidos.

MÚMEROS ELEGANTES 11

TUDO SOBRE NADA

As pessoas vinham usando sistemas de contagem havia séculos

até se darem conta de que faltava algo - o zero! Embora um

grego antigo chamado Ptolomeu tenha feito experiências com

ele, o zero só passou a ser comumente usado a partir do final

do século IX.

, CONTE COMIGO

Sem o zero, não há como diferenciar; digamos, 166 de 1.066 e

166.000. Ele também é um conveniente ponto de partida para,

por exemplo, cronômetros, réguas e termômetros.

Para essa diferenciação, foi desenvolvido um novo sistema de

contagem de notação posicional, usando a posição relativa de cada

algarismo na composição do número. Esse sistema divide os

números em colunas, começando com as unidades à direita,

depois as dezenas, depois as centenas, depois os milhares, e daí

em diante. Veja o número 3.975, por exemplo: você pode

12

observar facilmente que há três milhares, nove centenas, sete

dezenas e cinco unidades.

Nesse sistema, depois que você chega ao 9, coloca I na casa

das dezenas e volta ao O na coluna das unidades. Depois do

19, o I na casa das dezenas muda para 2, e a casa das unidades

volta novamente para o O, e por aí vai até chegar ao 99. Então,

é colocado um I nas centenas e tanto as dezenas quanto as

unidades voltam a ser O.

COMO CO~VERSAR COM COMPUTADORES

O sistema decimal pode ser chamado de base I O. Mas também

há outras bases. A mais simples é a base 2, ou sistema binário,

que usa apenas dois dígitos: 1 e O.

Em binário, em vez de escrever "O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7" e daí em

diante, você escreveria "O, 1, 1 O, 1 1, 100, 1 O 1, 1 1 O, 1 1 I" para

representar os mesmos números. Isso acontece porque, assim

como na base I O, os números binários também têm suas colunas.

Em vez de unidades, dezenas, centenas e milhares, contados

da direita para a esquerda, o valor das colunas dobra toda vez. Da

direita para a esquerda, a primeira coluna é a do 1, a coluna à

esquerda é a do 2, depois a do 4, depois a do 8, depois a do 1 6,

e por aí vai. Por exemplo, o número 17 é escrito como 10001,

que significa: um 1 6, nenhum 8, nenhum 4, nenhum 2 e um 1 :

16 1

8 o

4 o

2 o

NÚMEROS ELEGANTES 13

Essa pode não parecer uma

maneira útil de contar, mas é

perfeita para a computação.

Todo computador é composto

por milhões de componentes

eletrônicos chamados transis

tores, que podem estar ligados

ou desligados.

Para o computador; um tran

sistor ligado representa 1, e um

transistor desligado representa O.

Um conjunto de transistores pode armazenar um número

binário. O número 5, por exemplo, seria armazenado como na

ilustração abaixo - bem, seria se existissem duendes dentro do

computador:

Computadores usam o sistema

binário para armazenar e trabalhar

com todo tipo de dados, não apenas

números.Tudo, de palavras a sons e

imagens, bem como números, pode

ser convertido para

código binário.

14 DO ZERO AO INFINITO

?~ • Há muitas outras bases além da base I O e da base 2.

A base 8, ou octal, e a base 64 também são usadas na

computação, bem como a base 16, ou hexadecimal, que

é usada para se referir às áreas da memória do computador. Ela usa os dígitos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e as

letras A, B, C, D, E e F.

OPERAÇÕES COMPLICADAS

Quando está contando, adicionando ou subtraindo, você está

fazendo uma operação. Não do tipo que os médicos fazem

- e sim do tipo que os matemáticos fazem quando praticam

aritmética. A palavra''aritmética''vem do grego

antigo e significa "a arte dos números".

É usada na adição, subtração, multipli

cação e divisão, também conhecidas

como as quatro operações.

HÚMEROS ELEGANTES 15

FORMEM UMA FILA!

Retas numéricas são uma boa maneira de visualizar números

e operações. A reta numérica a seguir mostra a adição 2 + 2.

A resposta, conhecida por soma em adição, é, claro, 4:

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A subtração também é bastante simples. Para cal

cular I O- 4, conte de trás para a frente ao longo da

reta numérica, a part ir do primeiro número, 1 O, usando

· o segundo número, 4.

o

A resposta é a diferença entre os dois números.

Neste caso, 6:

2 3 4 5 6 7 8 9 10

A multiplicação é uma adição repetida. Por exemplo,

para calcular 3 x 4 usando a reta numérica, simplesmente

conte, começando do O, o primeiro fator, ou número,

a quantidade de vezes indicada pelo segundo fator: Em

multiplicação, o resultado é conhecido como produto. N este caso, o produto é 1 2.

2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 11 12


A divisão é uma subtração repetida. O exemplo a

seguir mostra 6--:- 3.A reta numérica é delimitada entre O

e o dividendo - o primeiro número-, depois dividida em

partes iguais equivalentes ao segundo número - o divisor.

O comprimento de cada segmento é o quociente, que é

como a resposta é conhecida na divisão. Neste caso, é 2:

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para a adição e a multiplicação, não importa como a fórmula

é escrita: 2 + 3 é igual a 3 + 2. No entanto, é importante lembrar

que o mesmo não vale para a divisão e a subtração: 7-2 não

é igual a 2-7, e 1 2--:- 3 não é igual a 3--:- 1 2.

O NOME DOS NÚMEROS

Você já deve ter percebido que os números recebem muitos

nomes impressionantes. Surpreenda seus professores de mate

mática mostrando que sabe a diferença entre números inteiros e irracionais. Continue lendo para saber mais.

COMO ASSIM, INTEIRO?

Até aqui, este livro usou retas numéricas que começavam pelo O

seguido de 1, 2, 3 etc. Esses números, incluindo os números negativos - aqueles à esquerda do zero na reta numérica-, são conhecidos

como inteiros. Os números à direita do zero na reta numérica

são conhecidos como inteiros positivos. Assim como os números

à esquerda do zero são conhecidos como inteiros negativos.


AS FORMAS DOS NÚMEROS

Você provavelmente já ouviu

falar de números quadrados. São

números que podem ser obtidos

a partir da multiplicação de um

número inteiro por ele mesmo,

como o 4, que é 2 x 2, ou o 9,

que é 3 x 3. Mas você sabia que

também existem números triangulares? São números na série

1, 3, 6, 1 O e daí por diante (ver

página 22) .

NÚMEROS IRRACIONAIS

Os números racionais são aque-

1 es que podem ser obtidos

dividindo-se um número inteiro por outro inteiro que não

seja zero. Dessa forma, 0,5, 8 e 4,25 podem ser escritos como

1 -=- 2, 64 -=- 8 e 17 -=- 4, respectivamente. São todos, portanto,

números racionais. Já os números irracionais, como a raiz qua

drada de 2 1 (ver página 24), cuja notação é .../2, ou como -ffl,

não podem ser escritos assim.

1 . A raiz quadrada é um número que, mult iplicado por ele mesmo, resulta em determinado número. Por exemplo, 4 é a raiz quadrada de 1 6 porque 4 x 4 = 1 6.


NÚMEROS INDIVISÍVEIS

A maior parte dos números pode ser decomposta em núme

ros inteiros menores, ou fatores (ver página 16). Por exemplo,

4 pode ser dividido em dois lotes de 2.

Entretanto, alguns números não podem ser decompostos

dessa maneira e possuem apenas quatro divisores: -1 , 1, -p e p,

sendo p o próprio número a ser dividido. Por exemplo, o número

13 não pode ser dividido por nenhum número exceto I e 13.

Esses números indivisíveis são chamados de números primos. Os menores primos são 2, 3, 5, 7, 1 1 e 1 3, mas há números

primos muito maiores do que esses e que, surpreendentemente,

só podem ser divididos por si mesmos ou por 1.


OS NÚMEROS NA NATUREZA

Uma maneira de descrever os números é dizer que são ímpares

( 1, 3, 5, em diante) ou pares (2, 4, 6, em diante). Dois números

pares ou dois números ímpares possuem o que se chama de

mesma paridade; se você tem um número ímpar e um par, eles

possuem paridade diferente. Uma das curiosidades sobre pari

dade é que não é uma invenção humana; ela também aparece

na natureza.

ESTRANHAMENTE PARES

A maioria dos animais possui um número par de membros do

corpo. Humanos são bípedes, o que significa que possuem duas

pernas. Cavalos e cachorros são quadrúpedes, o que significa

que possuem quatro patas, enquanto insetos possuem seis

patas, e aranhas, oito.

Um milípede (ou diplópode), cujo nome, em grego, quer

dizer"que possui mil pés", possui na verdade apenas trezentos

pés, mas, ainda assim, um número par.


GOSTEI. VOU LEVAR 150 PARES.

A natureza é tão organizada que mesmo o DNA - o mapa

de como um animal se desenvolve - é normalmente ordenado

em pares de cromossomos. A maioria dos humanos possui 46

cromossomos, dispostos em 23 pares.

.()-

No mundo das frutas e legumes, as regras são diferen

tes, e muitos dos números relativos às plantas são

ímpares. Por exemplo, muitas flores possuem

cinco pétalas, e algumas frutas têm como base

uma forma de cinco pontas, como você pode

observar ao cortar uma maçã ao meio na

horizontal.

No entanto, embora nem todos os números

relativos às plantas possuam a mesma paridade,

eles têm algo em comum. O abacaxi e a pinha possuem espinhos

dispostos em dois conjuntos de espirais, um ordenado no sen

tido horário e o outro no anti-horário.

Dependendo do tamanho do abacaxi, haverá ou 5 e 8 espirais,

ou 8 e 13 espirais, ou 13 e 21 espirais. Esses números são conhe

cidos como números de Fibonacci

(para saber mais, ver página 34).

Os números também são im

portantes no mundo dos cristais.

Muitas coisas - de sal a flocos de

neve - são compostas de cristais

de formas regulares, com um nú

mero fixo de lados.

UM ~ÚMERO MORTAL

Pitágoras foi um matemático grego nascido por volta de 580 a.C.

Odiava lent ilhas e amava triângulos e é considerado por muit os

um dos matemáticos mais importantes que já existiu. Pouco se

sabe sobre ele, exceto que um t eorema leva seu nome, muito

embora Pitágoras não o tenha .inventado de fato.2

- -

TRIÂNGULOS ADORÁVEIS

Grande parte da obra de Pit ágoras gira em torno dos triângulos.

Ele tinha fascinação por números triangulares, como 3, 6 e I O, que podem ser dispostos em forma triangular; assim:

O TEOREMA DE PITÁGORAS

o (J '\)

'º ~ G o Q ~ (t) tíif)

Pitágoras é conhecido por conta de um teorema relativo a triân

gulos. É um teorema que só se aplica aos triângulos retângulos,

que possuem uma linha horizontal e uma vertical. O teorema

afirma que se você elevar ao quadrado os comprimentos dos dois

lados mais curtos, os catetos, e somá-los, o resultado será igual ao

quadrado do comprimento do lado mais longo - a hipotenusa.

2. As relações entre os lados de um triângulo retângulo já eram conhecidas pelos egípcios e babi lônios (3000 a.C.-260 d.C.). Nas tábuas matemáticas (conhecidas como YBC7289) ou nos papiros de Rhind já se encontravam relações do triângu lo retângulo. Porém, coube a Pitágoras a sua demonstração. A tradição é unânime em atribuir a e le a descoberta do teorema. [N. do RT.J


w n 3

4cm

Neste exemplo, os lados do triângulo têm 3, 4 e 5 centímetros

de comprimento. Os quadrados dos catetos são 9, que é 3 x 3,

e 16, que é 4 x 4. Se você somar 9 com 1 6, obterá 25, que é

5 x 5. Portanto, a hipotenusa tem 5 centímetros de comprimento.

Isso é bastante conveniente, pois permite que você descub,~a

o comprimento de um dos lados de um triângulo retângulo caso

saiba o dos outros dois. Há até mesmo uma prática fórmula

para demonstrar esse raciocínio: a2 + b2 = c2.

LENTILHAS? NÃO, OBRIGADO

Embora o teorema leve seu nome, acredita

-se que Pitágoras tenha ouvido falar sobre e le

no Egito. Os egípcios e os babilônios vinham

usando o princípio havia séculos. Seja como

for, Pitágoras formulou outras teorias incríveis.

Entre elas, a ciência básica do som, a ideia de

que a Terra gira e de que "tudo é número".

Pitágoras e seus seguidores

eram tão reservados que muitas

de suas práticas e ideias não são

conhecidas. Mas os historiadores

~ÚMEROS ELEGANTES 23

sabem que, além de não gostarem de lentilha, os

pitagóricos não se sentavam em potes de determi

nados tamanhos e não permitiam que andorinhas

fizessem ninho debaixo de seus telhados.

A CRISE DOS DOIS

Pitágoras e seus seguidores eram famosos por gostar de coisas

simples, que se encaixavam em regras. Também estavam conven

cidos de que todos os números podiam ser expressos como

razão - por exemplo, um quarto é a razão de I para 4, que pode

ser escrit a como ~. Porém, depois descobriu-se algo que co

locou isso em questão.

Veja este triângulo:

Parece uma simples e inocente forma geométrica, não?

No entanto, se você usar a fórmula do teorema para des

cobrir o comprimento da hipotenusa, as coisas se complicam

um pouco.

Isso porque I x I é apenas 1 . Se somar os quadrados dos

dois lados para chegar ao quadrado da hipotenusa, você obterá

2. Não há uma maneira simples de mostrar o número que,

multiplicado por si mesmo, resulta em 2. Esse número, conhe

cido como a raiz quadrada de dois, ou vl, não pode ser descrito

como uma razão - é um número que começa com 1,4142 ...

e não chega ao fim .


Isso irritou bastante os pita

góricos, que tentaram manter

esses números sem fim, irra

cionais, em segredo. Quando

um de seus seguidores, Hipaso,

começou a falar sobre eles sem

parar; foi lançado para a morte.

SUPERSTIÇÕES

Os pitagóricos não são os

únicos que não gostam de al

guns números em particular.

Ao longo dos séculos e em diversas partes do planeta, foram

atribuídos diferentes significados a determinados números.

Na China, por exemplo, o oito é considerado um número da

sorte. Em outros países,

é o sete.Algumas pes

soas acreditam que o

treze dá azar - há até

mesmo um nome para

o medo do número

treze: triscaidecafobia.

NÃO LIGO PARA RATOS,E XCETO

QUANDO HÁ TREZE DELES.


DE QUEBRAR A CABEÇA

Acredita-se que os quebra-cabeças numéricos conhecidos como

quadrados mágicos tenham se originado na China. Ao longo

dos séculos, algumas pessoas acreditavam que pudessem ser

usados para fazer previsões, o que não é muito provável. Mas

eles são bons quebra-cabeças, isso é inegável!

Em um quadrado mágico, a soma dos números em cada

linha, coluna ou diagonal é sempre igual, ou seja, resulta em

uma constante. No exemplo a seguir; a soma de toda linha, colun·a e diagonal

é igual a 15:

-1( 15

4 9 2 15

3 5 7 15

8 1 6 15

15 15 15 ~ 15


PORÇÕES JUSTAS

Imagine que é seu aniversário e você chamou sete amigos para

ir à sua casa. Como você cortaria o bolo em oito porções iguais,

garantindo que todo mundo recebesse uma fatia justa? É mais

fácil do que parece, se souber como ...

BELAS FATIAS

Na matemática, porções são chamadas de frações; então, para

dividir seu bolo de aniversário entre oito pessoas, ele precisa ser

cortado em o ito fat ias iguais. Ou seja, também se pode dizei- que

cada fatia será equ ivalente a um oitavo do bolo. Como fração,

isso seria escrito assim: Ys. O número de cima é o numffado1~

e o de baixo é o denominador.

CORTANDO O BOLO

Veja como as frações podem ajudar

na divisão do seu bolo de aniversário:

1. Primeiro, corte o bolo na metade

(Y2 ), para ficar com duas partes iguais.

2. Corte cada metade novamente ao

meio, de maneira que você fique

NÚMEROS ELEGANTES 2,7

com quatro pedaços iguais, cada um agora representando

~ do bolo.

3. Por fim, corte cada quarto do bolo na metade, de maneira

que você fique com oito fatias. Cada fatia agora representa

Ys do bolo - o bastante para satisfazer você e seus sete

amigos, sem gerar briga.

Você deve ter percebido mais uma coisa. Viu como as frações

interagem entre si? Se você divide uma metade em dois, fica

com um quarto: Vi x Vi = ~; já se divide um quarto em dois,

fica com um oitavo: Vi x ~ = Ys.

FRAÇÕES PESADAS

Na maioria das frações, o numerador é menor do que o deno

minador. Elas são conhecidas como frações próprios. No entanto, de vez em quando, você pode se deparar com

uma fração incomum, como esta: 1Vi. Essa é uma fração im

própria, porque o numerador é maior do que o denominador.

A fração 1Vi é outra maneira de dizer que há "onze metades".


Imagine que essas sejam metades de bolo; se elas fossem

combinadas para formar bolos inteiros, você teria cinco bolos

e meio, ou 5Yi. Isso é conhecido como um número misto, que é

um número inteiro seguido de uma fração.

PORCENTAGENS PERFEITAS

E se você pudesse dividir seu bolo em cem fatias em vez de

apenas oito? Se quisesse X do bolo, teria que pegar 25 fatias,

ou 2Yíoo. Isso também pode ser escrito como 25 por cento ou

25%, que significa "25 de 100" - de fato, 25% é só outro jeito

de dizer X.

DESMISTIFICANDO OS DECIMAIS

Outra maneira de pensar sobre frações é como um cálculo de

divisão. Se você usar o exemplo do bolo, X quer dizer "dividir

um bolo em quatro fatias". Se você digitasse 1--:- 4 em uma

calculadora, a resposta seria 0,25. Isso é conhecido como um

número decimal - às vezes, chamado apenas de decimal.

Se você colocar 1--:- 3 em uma calculadora, a resposta será

0,3333333 ... , um número que não acaba. Isso é chamado de

dízima periódica. Para economizar espaço, esses números são

escritos com um traço sobre o período (a parte que se repete);

então, n também pode ser escrito como 0,3.


E O ARREDONDAMENTO?

Às vezes, um número tem muitos dígitos depois da vírgula. Por

exemplo, o número 0,4567 possui quatro dígitos - ou seja, neste

caso, estamos trabalhando com quatro casas decimais. Esses

dígitos podem ser encurtados "arredondando-se" o número

para baixo ou para cima. Se, em vez de quatro, você quisesse

trabalhar com duas casas decimais, teria que olhar para o dígito

na terceira casa deci mal - se fosse maior do que 5, como no

caso do número 0,4567, você arredondaria para cima (0,46);

se fosse menor do que 5, como no caso do número 0,654 3,

você arredondaria para baixo (0,65).

GRA~A, GRA~A, GRA~A

Na Antiguidade, as pessoas não usavam dinheiro; elas faziam

escambo, trocavam coisas entre si, como gado. Mas, convenhamos,

como gado não é uma coisa fácil de transportar, era preciso

encontrar uma alternativa.


Nos primórdios do dinheiro, as pessoas usavam como moeda

objetos naturais razoavelmente raros e pequenos o bastante

para serem carregados com facilidade-desde conchas até penas.

As moedas de metal começaram a ser usadas mais ou menos

em 700 a.C., na Lídia, que hoje é parte da Turquia, e na China.

Então, quando essas pessoas tinham que viajar longas distâncias,

ou comprar e vender em grande quantidade, eram obrigadas a

carregar consigo grandes e pesados sacos de moeda. Na China

do século XII, esse problema foi resolvido com a invenção do

papel-moeda.

PLÁSTICO FANTÁSTICO

Esse não é o final da história. Atualmente, a maior parte do

dinheiro do planeta está armazenada em computadores e é

transferida eletronicamente entre bancos, lojas e pessoas por

meio de cartões de crédito e de débito.

QUE INTERESSANTE!

Você já deve possuir sua própria conta bancária, e talvez sua

poupança esteja rendendo juros. E como esses juros se relacio

nam com a inflação? O que são esses dois termos?

A ideia de juros é bem simples. Você coloca uma quantia

em uma caderneta de poupança e o banco a utiliza para

ganhar dinheiro para ele . Em troca, você recebe um dinheiro

extra, os juros. Se pega dinheiro emprestado de um banco,

você paga juros sobre o empréstimo, o que significa que terá

que pagar mais do que tomou emprestado.


O montante de juros que você recebe ou paga depende

de três coisas: a quantidade de dinheiro que você depositou

ou pegou emprestado do banco, a taxa de juros oferecida

pelo banco e o tempo pelo qual o dinheiro fica na conta ou é

emprestado. Digamos que o banco ofereça uma taxa de juros

de 1 0% ao ano sobre a poupança e que você tenha depositado

R$ 200 e deixado o dinheiro lá por um ano. Ao final de um

ano, o dinheiro terá rendido 10% de R$ 200, ou seja, R$ 20.

Isso significa que, após um ano, haverá na sua conta R$ 220.

PARA O ALTO, SEMPRE

Quase tudo fica mais caro

com o passar do tempo. Da

mesma forma que a taxa de

juros, a inflação também é

descrita por meio de uma

porcentagem - digamos, 5%

ao ano. Então, se uma barra

de chocolate custa R$ 1

hoje, pode custar R$ 1,05

daqui a um ano.

Felizmente, o salário de

muitas pessoas também au

menta a uma taxa parecida,

diminuindo o impacto dos

aumentos de preço.

32 DO ZERO AO ll-4Fll-41TO

UM DEPOIS DO OUTRO

Na matemática, uma linha ordenada de números é chamada

de sequência. Sequências normalmente possuem um padrão,

ou uma regra, que permite deduzir o próx imo número. Uma

contagem coloca os números na sequência mais simples que

existe. Na sequência a seguir, é adicionado I ao número anterior:

l, 2, 3,4 ...

Quando os números numa sequência são somados de forma

infinita, o resultado é chamado de série:

n + j'4 + Ys + Yi 6 ...

Essa série se encaminha para o número I .A soma dos dois pri

meiros termos é K Adicionando o seguinte, Ys, a :X, obtém-se

Ys . Depois, Ya + YÍ 6 = 11Í6, e daí em diante.

A VIDA DE UM RATO

Séries e sequências também existem no mundo

real. Por exemplo, o número de ratos após

certo número de gerações é representado por

uma série. Ratos normalmente têm · dez filhos

por ninhada. Os números em cada geração são

obtidos multiplicando-se o número de ratos da

geração anterior por dez:

1, 10,100, 1.000 ...

HÚMEROS ELEGANTES 33

O número total de ratos após o nascimento dos tataranetos é:

1 + 1 O + 1 00 + 1 .000 = 1 . 1 1 1

O número de roedores em cada geração pode ser ob

tido adicionando-se um zero à direita do número anterior.

Portanto, na décima geração, haveria 1.000.000.000 de ra

tos. Assustador, né? Esse tipo de conta leva rapidamente a

números enormes. No entanto, você precisa tomar cuidado

ao aplicar a matemática no mundo real - nesse caso, você

está assumindo que cada rato bebê viverá o bastante para

produzir sua própria ninhada, mas, no mundo real, nem todos

eles chegarão a se reproduzir. Felizmente.

, A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Outra sequência que pode ser aplicada na natureza é conhe

cida como sequência de Fibonacci, que é a seguinte:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

Há uma regra simples para formar essa sequência. Você

consegue descobrir? (A resposta está no final deste tópico.)

Essa sequência aparece em alguns lugares curiosos. Os

abacaxis da página 21 possuem dois números de Fibonacci

consecutivos em suas espirais. Ela também aparece na maneira

como os galhos de uma árvore crescem, na disposição das

sementes do girassol e no número de abelhas nas sucessivas

gerações de uma colmeia.


·a:iu,n8as o .Aa:iqo e.Aed epu~nbas ep so.AaWl)U sowp11) S!OP so awos :p::>euoq!:1 ap so.1aWl)N

PADRÕES NOS CENTAVOS

É possível que existam números de Fibonacci até mesmo em

seu bolso.

Se tiver algumas moedas de 5 e de I O centavos, de quantas

maneiras diferentes você consegue formar 15 centavos? Você

poderia ter:

5 centavos e 10 centavos

1 O centavos e 5 centavos

5 centavos, 5 centavos e 5 centavos


Há três manei ras de fo rmar 15 centavos. E 20 centavos?

Você poderia ter:

5 centavos, 5 centavos, 5 centavos

e 5 centavos

1 O centavos, 5 centavos e 5 centavos

5 centavos, 5 centavos e 1 O centavos

5 centavos, 1 O centavos e

5 centavos

1 O centavos e 10 centavos

Há cinco manei ras de formar 20 centavos com moedas de

5 e de I O centavos. E, como você já imaginou, há oito maneiras

de formar 25 centavos, treze de fo rmar 30 centavos e 2 1 de

fo rmar 35 centavos. Não é legal?3

SIMPLESME~TE E~ORME

O Universo é absolutamente enorme. Uma simples gota

d 'água contém cerca de I O sext ilhões de átomos, ou

10.000.000.000.000.000.000.000. Se você acha que isso é

3. De acordo com o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), formular 15 centavos utilizando-se moedas de 5 e I O centavos resulta em dois modos apenas, já que não importa a ordem dos elementos. O mesmo ocorre com 20 centavos: apenas três modos. [N. do RT.]


muito, saiba que o número de átomos no oceano é cerca de

um septilhão (um trilhão de trilhões) de vezes maior. Não

surpreende, portanto, que os matemáticos tenham criado uma

maneira bem mais fácil de representar esses números gigantes.

Por exemplo, 1 septilhão é escrito como 1024, que significa" 1 O

à potência 24", ou I O multiplicado por si mesmo 24 vezes, ou

1 seguido de 24 zeros. Isso é chamado de notação científica.

O COMPLEXO GOOGOLPLEX

Alguns números muito grandes possuem nomes especiais. Por

exemplo, 10 100 é um googo/ - o nome sugerido por um garoto

de 9 anos chamado Milton Sirotta, em 1938. Mas isso não é tudo:

também há o googolplex, que é I O elevado a googol, ou 10 101ºº:

MUITA AREIA

A primeira pessoa a estudar

números enormes foi o grego

antigo Arquimedes. Em sua

obra Arenarius [O contador de

areia], ele estimou o tamanho

do Universo e a quantidade de

grãos de areia que seria neces-

sária para preenchê-lo. Partindo de

uma miríade, o maior número em uso

à época - 10.000 - , e multiplicando-o

por si mesmo repetidas vezes, Arquimedes calculou que no

Universo inteiro caberiam 8 x 1063 grãos de areia. Como o


Universo provavelmente é infinito, ele errou feio, mas, ainda

assim, foi uma obra impressionante para a época.

PARA ALÉM DO l~Fl~ITO

Imagine uma reta numérica ( como aquelas nas páginas 16 e 17),

depois imagine-a estendendo-se em ambas as direções. Isso

é o infinito. Não há um número máximo, porque você pode

sempre somar um para criar um número ainda maior:

Em muitos aspectos, o infinito é como o zero, que não

pode ser dividido. Por exemplo, a metade de infinito é infinito,

e mesmo um trilionésimo de infinito ainda é infinito, sempre.

INFINITAMENTE COMPLICADO

O infinito significa alguma coisa? Bem, pode ser que sim, porque

talvez o Universo em que você vive seja infinito. Se isso for

38 DO ZERO AO IMFIMITO

EU DISSE QUE ESTÁVAMOS INDO NA DIREÇÃO ERRADA. A NOSSA TERRA JÁ

FICOU DUAS GALÁXIAS PARA TRÁS.

verdade, o número de estrelas pode ser infinito. Se houvesse,

digamos, apenas uma estrela em um trilhão com um planeta similar

à Terra orbitando ao redor dela, isso significaria que haveria um

número infinito de planetas como a Terra, porque um trilioné

simo de infinito é infinito. Se houvesse um número infinito de

planetas como a Terra, haveria um número infinito de planetas

habitados por humanos, e um número infinito desses humanos

poderia ter seu nome, sua idade, seus pais - haveria um número

infinito de pessoas exatamente como você. É o bastante para

fazer você pirar!


FORMAS SURPREE~DE~TES

DE TODAS AS FORMAS

Muito da matemática trata de simplificar as coisas, do compor

tamento humano ao movimento dos planetas. A geometria - a

matemática das formas - não é exceção.

MARAVILHAS NATURAIS

Muitas coisas na natureza, como as árvores e os humanos, pos

suem formas complicadas e irregulares, difíceis de serem descritas.

Formas regulares não aparecem com muita frequência na

natureza, mas elas existem, como o disco do Sol, ou a forma

hexagonal dos favos de mel de uma colmeia. No caso dos favos

de mel, isso maximiza a área de cada alvéolo, ao mesmo tempo

que minimiza os espaços entre eles.

Caso a forma fosse circular, seria necessário usar mais cera

para preencher os intervalos entre os alvéolos. Esperta a natu- ? reza, nao.

41

ONDE ESTÁ POLLY?

Formas simples e regulares podem ser divididas em formas

com linhas retas, como os quadrados, e formas com linhas

curvas, como os círculos. Formas com linha reta são cha

madas de polígonos. Aqueles que têm lados e ângulos com medidas congruentes

(lados e ângulos iguais) são chamados de polígonos regulares.

Entre eles, estão:

O quadrado


Depois do quadrado, o nome dos polígonos segue um

padrão regular: Cada forma contém a palavra grega para o nú

mero correspondente de lados, seguida de "-gono" - a palavra

grega para "ângulo".

TRIÂ~GULOS EXTRAORDINÁRIOS

Depois dos círculos, os triângulos são provavelmente as formas

que os matemáticos mais adoram. Tanto que o estudo dos

triângulos tem um nome próprio: t rigonometria.

A FORMA MAIS FORTE

O triângulo é uma das formas mais simples porque possui o

menor número de linhas retas - e a matemática adora sim

plicidade. É também uma das formas mais úteis para construir

estruturas. Em locais de clima úmido, muitos telhados são inclina

dos, ou triangulares, para que a chuva possa escon~er facilmente.

Guindastes, pontes e muitas outras estruturas também têm

um formato triangular: A razão é simples: é a forma mais forte.

TIPOS DE TRIÂNGULO

Os triângulos podem ser agrupados em três tipos:

Triângulo equilátero: t odos os t rês lados e os t rês

ângul os são congrue ntes.

Triângulo isósceles: possui do is lados e

do is ângu los congrnentes.

Triângulo escaleno: não possui lados ou

ângu los congru e ntes .

FORMAS SURPREENDENTES 43

A soma dos ângulos formados pelos três vértices é sempre

180º, não importa o tipo de triângulo.

? • ~

Ângulos de menos de 90º são agudos. Ângulos entre 90º e 180º são conhecidos como obtusos. E aqueles entre 180º e 360º são côncavos.

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

Se você quisesse descobrir a altura de algo muito grande, preci

saria de uma longa escada e uma trena bastante comprida, certo?

Errado. Você só precisaria encontrar uma vara de madeira

suficientemente grande e reta e algo para medir- uma imensa

e linda árvor-e , por exemplo. Coloque a vara de pé no chão

a certa distância da árvore. Depois, encontre uma posição no

chão onde o topo da árvore se alinhe com o topo da vara do

seu ponto de vista. Isso formará do is triângulos: um, dos seus

olhos até a vara, e outro, dos seus olhos até a árvore. Ambos

possuem os mesmos ângulos, muito embora sejam de tamanhos

diferentes. São o que chamamos de triângulos semelhantes.

Os comprimentos dos lados de triângulos semelhantes

também são proporcionais entre si. Por isso, com algumas

poucas medições, você poderá descobrir a altura da árvore

comparada à da vara.

Para fazê-lo, você precisará med ir a distância de A a D e a

distância de A a B. Depois, divida o comprimento da reta AB


pelo comprimento da reta AO para descobrir a razão, que seria

4 no exemplo abaixo. Multiplicando a altura da vara pela razão,

você chega à altura da árvore.

Nesse caso, 4 x 1,5 = 6, então a árvore deve ter 6 metros de

altura.Tudo isso sem precisar subir uma escada bamba!

e

DE OUTRO MUNDO

Algumas distâncias são mais difíceis de medir

diretamente - a distância até a Lua, por exem

plo-, mas, ainda assim, os triângulos podem

ser usados para calculá-las. Você só precisa

medir o comprimento de um lado de um

triângulo imaginário, entre os pontos A e

B, para obter uma linha de base. Depois,

meça os ângulos formados pelas linhas

imaginárias até a Lua em A e B. Como

a Terra e a Lua estão em movimento,

isso precisa ser feito quando a Lua

FORMAS SURPREEt-4DEt-4TES 45

. estiver exatamente entre esses dois pontos. Depois que você

souber esses ângulos, o comprimento das retas AC e BC pode

ser calculado, o que também fornecerá a distância da Terra até

a Lua. Esse processo é conhecido por triangulação.

ATÉ AS ESTRELAS

Se você tentasse triangular uma estrela usando a mesma linha

de base do exemplo anter·ior, ela seria estreita demais devido à

grande distância. Mas há uma solução engenhosa para aumentar

o tamanho do triângulo.

Ao med ir o ângulo A primeiro e o ângulo B seis meses

depois - quando a Terra está do lado oposto de sua ó rb)ta

ao redor do Sol -, a distância entre os pontos A e B será o

dobro da distância entre a.Terra e o Sol. Usando esse triângulo

interestelar, você consegue descobrir a distância da estrela.

Simples!

A Janeiro

\. ,j /

~M;. -~, 1

B Julho


TUDO SOBRE ÁREAS

Calcular a área de polígonos regulares simples, como quadrados,

e não regulares, como retângulos, é fácil. Basta multiplicar a

largura pelo comprimento. Para um quadrado com 4 centímetros

de lado, basta multiplicar 4 x 4. A resposta é 1 6, ou seja, o qua

drado possui uma área de 16 centímetros quadrados (cm2).

Um retângulo de 4 centímetros por 2 centímetros de lado

possui uma área de 8 centímetros quadrados.

De maneira similar, se você quiser saber a medida do contorno

de seu quadrado ou retângulo - o perímetro-, basta somar os

comprimentos dos quatro lados. Mas como você mediria um

círculo? Não há lados para multiplicar, e há situações em que

é bastante útil saber sua área ou circunferência, nome especial

que se dá para o perímetro de um círculo.

FÁCIL COMO PI

A resposta é mais simples do que você imagina. Por muitos séculos,

as pessoas consideraram que, para qualquer círculo, a circunfe

rência é pouco mais do que três vezes a medida do diâmetro - a

distância entre dois pontos do círculo passando pelo centro dele.

Essa razão é sempre a mesma, não importa o tamanho do círculo:

D D D

o o p;; 3 ~ -, o

FORMAS SURPREENDENTES 4 7

Com o passar do tempo, o cálculo foi aperfeiçoado, e

concluiu-se que, na verdade, a circunferência de um círculo

mede aproximadamente 3, 141592654 vezes seu diâmetro.

Esse número é chamado de pi, que também pode ser escrito

usando o símbolo TI e costuma ser arredondado para 3, 1416.

Ele também é um número irracional (ver páginas 18 e 24-25)

e não tem fim.

A ÁREA DE UM CÍRCULO

Descobrir a área de um círculo também envolve o número pi, mas, dessa vez, usando o raio, que é a metade do diâmetro.

Você só precisa de uma fórmula especial: Tir2, ou "pi vezes o qua

drado do raio'', ou seja, a área de um círculo é igual a pi x (raio x raio).

Por exemplo, se um círculo tem um raio de 4 centímetros, o

quadrado do raio é 16. Se multiplicar isso por TI, você obtém a

área do círculo: TI x 16 = 50,272 centímetros quadrados.

Para visualizar melhor a área de um círculo, tente cortar um

círculo de papel, assim:

1. Dobre o círculo na metade e depois na metade novamente,

dividindo-o em quatro partes iguais, como mostra a figura

abaixo.


2. Agora, abra o círculo e dobre-o de maneira que os quatro

vincos se encostem. Repita o processo num ângulo reto.

Seu círculo ficará dividido em oito segmentos iguais.

3. Corte as fatias e disponha-as em duas fileiras de quatro.

4. Gire uma das fileiras horizontalmente e encaixe na outra, de

maneira a formar um retângulo levemente irregular chamado

paralelogramo, com a mesma área do círculo.

O lado mais comprido desse paralelogramo mede TI x r, e a

altura é r. Em outras palavras, TI x r x r, ou nr2. Em quanto mais

fatias iguais você cortar o círculo, mais ele se parecerá com

um retângulo.

FORMAS SURPREENDEHTES 49

EM TERCEIRA DIME~SÃO

Formas planas, como triângulos, quadrados e· retângulos, po

dem ser combinadas de diversas maneiras, de modo a compor

figuras tridimensionais, ou poliedros. Por exemplo, um cubo é

composto por seis quad,~ados; um paralelogramo reto-retângulo

pode ser formado por três pares de retângulos.

O QUE TEM LÁ DENTRO?

O espaço interno dessas formas tridimensionais é chamado

de volume.Você pode calcular o volume de um cubo ou para

lelogramo reto-retângulo multiplicando sua altura pela largura

e comprimento.

Por exemplo, para descobrir o volume de um cubo cujas

arestas medem 3 centímetros cada, você multiplica o número

3 três vezes: 3 x 3 x 3. A primeira parte, 3 x 3, dá 9, e 9 x 3 dá

27, o que significa que o cubo possui um volume de 27 centí

metros cúbicos ( cm 3).


Um paralelogramo reto-retângulo com lados de 2, 3 e 5 centí

metros terá um volume de 2 x 3 x 5, ou 30 centímetros cúbicos.

SIMPLES CILINDROS

Para a maioria das pessoas, a forma de um cilindro é parecida

com a de uma lata de refrigerante. No entanto, as bases podem

assumir vários raios, desde que ela mantenha a mesma secção

transversal ao longo da altura da figura.

Se as bases das extremidades do cilindro são paralelas, o

volume sempre será a área de uma base multiplicada pela altura.

Para descobrir o volume de um cilindro circular; você precisa

da fórmula TI r 2 h - que é a fórmula da área de um círculo (ver

páginas 48 e 49) multiplicada pela altura h. Portanto, um cilindro

circular com 5 centímetros de altura e com bases cujo raio é

de 3 centímetros teria um volume de TI x 3 x 3 x 5, ou 141,372

centímetros cúbicos.


ESFERICAMENTE FALANDO

Humanos podem até gostar de formas como os paralelogramos

reto-retângulos, mas a natureza prefere a esfera - o sólido mais

regular possível -, desde estrelas, planetas e muitas luas até

bolhas, globos oculares e átomos. Isso acontece porque uma

esfera é capaz de conter o volume máximo usando a menor

área de superfície possível.

Para descobrir o volume de uma esfera, você precisa saber

o raio - a medida do centro exato da esfera até sua superfície.

Depois, eleve o raio ao cubo, multiplique-o por 4n e então divida

por 3. Essa fórmula é normalmente

escrita como n nr 3 . Uma esfera

com um raio de 3 centímetros,

por exemplo, terá um volume

de 27 x Y3 x n, ou 36n, que

é 1 13,097 centímetros

cúbicos.


FORMAS NO ESPAÇO

Há apenas cinco formas tridimensionais com todas as arestas,

ângulos e faces iguais. Elas são conhecidas como poliedros regu

lares ou sólidos platônicos. Os gregos antigos interessavam-se

bastante por formas geométricas - na verdade, gostavam tanto

dos sólidos platônicos que acreditavam que estes podiam ser

usados para explicar como o Universo foi construído.

Os gregos antigos acreditavam que tudo na Terra e ra

composto a partir de quatro elementos: terra, fogo, água e

ar. Também acreditavam que cada um desses elementos era

formado de átomos cuja forma era um dos sólidos platônicos,

da seguinte maneira:

Tetraedros (compostos de quat ro triângu los equi láteros): fogo

Octaedros (compostos de oito t riângul os equi láteros) : ar

Dodecaedros (com postos de doze pentágonos): estrelas e outros planetas

Cubos (com postos de se is quadrados): terra

lcosaedros 1 (compostos de

vinte triângul os equi láteros): água


TOPOLOGIA IMPRESSIONANTE

Para estudar formas mais complexas do que os poliedros re

gulares, usa-se a topologia. A topologia estuda o que acontece com as formas quando

você as comprime, estica ou torce. Quando as formas podem

ser esticadas ou torcidas para dar origem a novas formas, são

descritas como topologicamente equivalentes. Por exemplo,

uma rosquinha e uma agulha podem ser descritas como topo

logicamente equivalentes porque ambas possuem um buraco

passando por elas. No entanto, nenhuma delas pode ser descrita

como topologicamente equivalente a um copo porque um copo

não possui um buraco atravessando-o.

MÔBIUS DESNORTEADOR

A topologia já resultou em algumas estranhas descobertas sobre

as formas. Por exemplo, achava-se que objetos tridimensionais

possuíam um lado de dentro e um lado de fora, mas, em 1858,

o matemático alemão August Mobius criou algo que tinha

apenas uma superfície contínua, que ficou conhecido como a

ftta de Mobíus.


Você pode fazer sua própria fita de Mõbius facilmente. Pegue

uma tira de papel, gire uma das extremidades e fixe-a à outra,

de forma que fique assim:

Pegue uma caneta e desenhe uma linha ao longo do meio da

fita sem tirar a ponta do papel. Sua linha irá passar por toda a

superfície da fita, até se encontrar com o ponto inicial, provando

que a fita de Mõbius possui uma única superfície.

GARRAFAS DESCONCERTANTES

Um homem chamado Felix Klein teve uma ideia ainda mais

incrível. A garrafa que leva seu nome é uma forma com ape

nas um lado - um cilindro

contínuo com uma única su

perfície, de certa maneira. Na

verdade, uma garrafa de Klein

legítima seria tetradimensio

nal ( com quatro dimensões),

já que precisaria atravessar a

si mesma sem fazer buraco,

o que é impossível em três

dimensões.


ESPAÇO INTERIOR

A garrafa de Klein da página anterior é um exemplo de modelo

tetradimensional - bem, de um modelo tridimensional de uma

forma tetradimensional. Mas o que isso realmente significa?

Uma forma sem dimensões se parece com. . . . .. bem,

com nada. Figuras adimensionais não ocupam espaço, então

não há nada para ver:

AS PRIMEIRAS TRÊS DIMENSÕES

Figuras unidimensionais também não podem ser vistas, pois

são apenas linhas sem espessura. No entanto, na matemática, é

normal imaginar que linhas são grossas o bastante para serem

desenhadas. Esta é uma forma unidimensional:

/ Ao estendê-la lateralmente, você pode formar uma figura

bidimensional. Este é um losango ou paralelogramo:

o Se você adicionar algumas linhas verticais e outro parale

logramo, a figura se torna uma representação de uma forma

tridimensional - um rombo ide ( ou paralelepípedo).


E a quarta dimensão, com o que ela se pareceria?

A QUARTA DIMENSÃO

Para entender a quarta dimensão e daí para a frente, imagine

um quadrado. Um quadrado bidimensional é composto por

quatro arestas - um cubo tridimensional é composto de doze

arestas. A próxima forma quadrada - na quarta d imensão -

possui 32 arestas e é conhecida como tesseract ou hipercubo.

A melhor maneira de imaginar um tesseroct é imaginar

dois cubos tridimensionais, um dentro do outro, de maneira

que cada face do cubo se t1-ansforma em uma figura tridi

mensional, assim:


ESPAÇO-TEMPO

Tempo e espaço estão sempre interligados - são conhecidos

como espaço-tempo. O cientista mais conhecido por traba

lhar com o conceito de espaço-tempo foi Albert Einstein. Ele

descobriu que, quando as coisas viajam numa velocidade muito

rápida, elas mudam de forma.

Imagine que houvesse uma grande bomba viajando pelo

espaço. Einstein provou que, se ela viajasse rápido o bastante,

mudaria de forma:

QUE ESPECIAL!

Outra parte das teorias de espaço-tempo de Einstein diz que

o tempo transcorre em ritmos diferentes dependendo de como

a pessoa que o está medindo se movimenta. Se você tiver o azar

de estar naquela bomba, pode perceber o tempo que o deto- ·

nadar leva para explodi-la como um minuto. Se alguém no solo

observar você ( e a bomba) passando rápido pelo céu e resolver

cronometrar; pode perceber o tempo como dois minutos. Outro

exemplo: imagine uma nave espacial viajando numa velocidade

próx ima à da luz; se os astronautas a bordo viajassem por um

ano segundo sua própria medição, perceberiam, quando retor

nassem, que um período muito mais longo teria se passado na

Terra - talvez milhares de anos.


NÃÃÃÃÃÃÃO! DEMOLIRAM AQUELA

PIZZARIA! .

UMA DIMENSÃO EXTRA, OU TRÊS?

O mundo tem mesmo apenas quatro dimensões? Claro que não,

isso seria tolice. Na verdade, cientistas acreditam que haja onze!

A Teorío-M - a ideia de onze dimensões - sugere que existam

dez dimensões de espaço e uma de tempo.

Mas como é que ninguém nunca percebeu todas essas di

mensões "extras"? A resposta é que elas são pequenas demais,

ou compactadas, para serem vistas.Talvez seja melhor assim: o

equivalente ao cubo de dez dimensões, chamado de dekeract, é composto de 5.120 arestas. Imagine só!

FORMAS SURPREEMDEMTES 59

SIMETRIA PERFEITA

Muitas formas e também outros objetos possuem simetria, o

que significa que, se você cortá-los ao meio de cima para baixo,

as duas metades serão muito similares, quando não idênticas.

Até mesmo as pessoas possuem simetria. Se você desenhar

uma linha passando pela metade do seu corpo, da cabeça aos

pés, as duas metades serão bastante parecidas. Essa linha é

chamada de eixo de simetria.

QUANTOS EIXOS?

Muitas formas regulares possuem vários

eixos de simet,~ia. Esse quadrado, por

exemplo, possui quatro eixos de sime

tria.Você consegue descobrir quantos

eixos de simetria tem um círculo? A

resposta está na lateral desta página.

ESPELHO, ESPELHO MEU

e Pegue uma foto do seu rosto e apoie um espelho 5· 3 §1 !:2, em um ângulo de 90º bem na metade , dividindo

~ ~ seu rosto em dois, de maneira que a metade

~."8 esquerda do seu rosto esteja refletida )( UI

~ ~- no espelho. Vire o espelho e faça o mesmo e. e: : 3 com a metade direita. As imagens são -·:::,

~ 3' iguais ou diferentes? Quanto mais si-.., CD

~- ó mi lares, mais simétrico é o seu rosto.


ESTRUTURAS MATEMÁTICAS

Estruturas feitas pelo homem têm as mais diferentes formas

e tamanhos. Algumas são agradáveis aos olhos, outras com

pletamente horrendas. Parte da razão pela qual algumas delas

parecem mais bonitas pode ser demonstrada matematicamente.

A PROPORÇÃO ÁUREA

Tanto o edifício das Nações Unidas, em Nova York, quanto o

Parthenon, em Atenas, possuem a mesma razão entre compri

mento e altura: 1 : 1,61 8. Ela é conhecida como proporção áurea e

pode ser representada pela letra grega phi, ou CD (não confundir

com pi!).Além de na arquitetura, ela também aparece nas artes.

É frequentemente usada em fotos, livros e cartões-postais.

A proporção áurea possui algumas propriedades ma

temáticas interessantes. Se você pegar um retângulo com

a proporção áurea, como este a seguir, e dividi-lo em um

quadrado e outro retângulo, o retângulo menor também terá

a proporção áurea. Isso pode ser repetido indefinidamente.

b

a+b = ~ =Cb= 1611803 a b '

a

FORMAS SURPREE~DE~TES 61

E mais: se desenhar uma curva entre as quinas opostas de

cada quadrado, você terá uma espiral.

A ARTE DA MATEMÁTICA

Quanto mais distantes as coisas estão de você, menores elas pa

recem. A regra básica é que, se algo está ao dobro da distância,

parece ter a metade da largura e altura. Para artistas, aprender

a desenhar ou pintar as coisas em perspectiva - para que elas

pareçam ter o tamanho certo - é uma habilidade importante.

O PONTO DOS PONTOS DE FUGA

Imagine que você esteja no meio de uma rua reta e plana.

Olhando para um dos sentidos, os lados da pista parecerão

se aproximar até se encontrar em

um ponto. Nas artes, isso é chamado

de ponto de fuga .

COLOCANDO EM PERSPECTIVA

Se você olhar para qualquer pintura

de antes do século '>01, provavelmente

a achará um tanto estranha - os artis

tas daquele período ainda não haviam

dominado a técnica da perspectiva.

Se estiver desenhando uma figura

que possui muitas retas paralelas -

uma estrada reta e plana cheia de


Linha do hor izonte

~

casas, por exemplo -, todos os objetos irão desaparecer no

mesmo ponto de fuga. Isso significa que você pode esboçar linhas

-guias para ajudá-lo a verificar se sua perspectiva está correta.

MÚSICA EM ~ÚMEROS

A matemática também é bastante útil na música. Na verdade,

são os números que fazem a diferença entre música e ruído.

Eis o que acontece quando você dedilha a corda de um

instrumento como o violão:

Quando você dedilha as cordas de um violão, por exemplo, a vibração

delas forma um tipo de figura.

Se pressionar seu dedo na metade dessa oscilação, a figura passa a ficar assim.

Ao fazer isso, o som que a corda produz fica mais alto na es

cala, mais agudo, mas continua soando parecido. Na música, esses

dois sons estão ligados a uma mesma nota - dó, por exemplo.

Essas duas notas dó são descritas como estando a uma oitava de distância - o intervalo de oito notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá, si e

dó. Um intervalo é a distância entre duas notas.


Os sons que a corda pro

duz são na verdade ondas,

um pouco como as ondas que

se formam quando atiramos

uma pedra num lago, com a

diferença de que as ondas de

som se propagam em todas

as direções pelo ar.

PERFEITA HARMONIA

Notas em harmon ia soam de maneira agradável aos nossos

ouvidos quando tocadas juntas porque formam razões simples.

Em notas a uma oitava de distância, a razão é de dois para

um. As notas mais altas possuem um comprimento de onda

que é exatamente a metade daquelas uma oitava abaixo,

o que faz sentido se lembrarmos que elas são produzidas

pressionando-se a corda na metade do comprimento.

Quando duas notas a uma oitava de distância são tocadas

juntas, elas nos soam agradáveis. Outras combinações também

são agradáveis aos nossos ouvidos. Por exemplo, o intervalo de

uma quinta é um par de notas no qual uma possui um compri

mento de onda uma vez e meia maior do que a outra. Notas

que soam de maneira desagradável juntas possuem diferentes

comprimentos de onda, que se chocam porque não possuem

razões simples - assim como o som que produzem.


PITÁGORAS E OS PLANETAS

Seu velho amigo Pitágoras (ver páginas 22 e 23) foi o primeiro

a observar que os sons harmônicos ou desarmônicos que as

diferentes combinações de notas produzem envolvem razões.

Pitágoras estava tão obcecado por suas ideias sobre razão que

achava que o Universo inteiro poderia ser explicado com núme

ros. Ele e seus seguidores acreditavam que as distâncias entre

os planetas seguiam proporções simples e que produziam

sons harmoniosos quando se moviam. Essa ideia, chamada de

harmonia das esferas, foi popular por muitos séculos.

ABAIXE ESSE VOLUME!


UMA QUESTÃO DE GRAUS

De acordo com muitas pessoas - especialmente as que pre

cisam subi-la-, a Baldwin Street, em Dunedin, Nova Zelândia,

é a rua mais íngreme do mundo. Isso tem sido objeto de muita

discussão, sobretudo porque há muitas maneiras de medir seu

gradiente - ou declividade.

COMO MEDIR?

A declividade pode ser medida usando uma razão. A razão da

Baldwin Street é de 1 :2,86. Isso significa que, para cada 2,86

metros deslocados horizontalmente, a rua sobe I metro.

Às vezes são usadas porcentagens pai-a medir um gradiente.

O gradiente da Baldwin Street é 35%, o que significa que, para

66

cada metro deslocado, a rua sobe 35 centímetros.

O gradiente também pode ser expresso

como um ângulo em graus, conhecido

como "ângulo de elevação" -

o quanto ela sobe em

D

relação a um horizonte imaginário no começo da rua. O ângulo

de elevação da Baldwin Street é de 19,3º.

A ESCALA DAS MEDIDAS

Filmes antigos de ficção científica eram repletos de insetos gi

gantes assassinos e outros monstros. Mas por que eles são tão

pequenos na vida real? A resposta é, obviamente, matemática.

UM EXPERIMENTO COM FORMIGAS

Diferentemente de você, insetos, como as formigas, não possuem

um esqueleto. Possuem uma carapaça rígida, ou exoesqueleto,

que protege seu corpo. Um inseto também é capaz de respirar

pelo exoesqueleto, mas há um limite para a quantidade de ar

que pode absorver. Essa quantidade depende de sua área de

superfície. Já a quantidade de ar de que um inseto precisa de

pende de seu volume. O problema é que o volume e a área

não aumentam na mesma proporção.Veja a tabela a seguir para

ver o que aconteceria se uma formiga tivesse I O centímetros

de comprimento, ou até mesmo 100 centímetros:

Tamanho da Comprimento Área de Volume formiga (cm) superfície (cm2

) (cm 3)

Pequeno 1 1 1

Grande 10 100 1.000

Gigante 100 10.000 1.000.000

Monstruoso 1.000 1.000.000 1.000.000.000


O volume e a área da formiga pequena são ótimos: ela

consegue absorver a quantidade de ar de que precisa através

de seu exoesqueleto. No entanto, à medida que o tamanho da

formiga aumenta, o volume aumenta muito mais do que a área

da sua superfície. No caso da formiga tamanho monstruoso, seu

volume é mil vezes maior do que a área de sua superfície. Isso

significa que a formiga não teria uma área de superfície grande

o bastante para garantir o oxigênio de que seu corpo precisaria.

(Mais sobre volume nas páginas 50 e 5 1 .)

AUMENTANDO AS COISAS

Olhe para a figura a seguir de um musaranho-elefante e um

elefante. Embora pareçam do mesmo tamanho aqui, você sabe

automaticamente que o musaranho-elefante é muito menor do

que o elefante. E se um matemático de outro planeta olhasse

para a mesma figura?

68 DO ZERO AO IHFIHITO

Surpreendentemente, é provável que o alienígena também

saberia disso, por causa das pequenas patas do musaranho. Elas

são muito finas em proporção a seu corpo se comparadas com

as patas do elefante.

Quando algo cai - digamos, um elefante - , o ar exerce uma

pressão na direção contrária. Essa força, chamada de resistên

cia, depende da área do objeto em queda, mas a força para

baixo depende de seu peso. O peso do objeto depende de

seu volume e também de quão denso I ele é. Quanto menor

o objeto, maior a resistência do ar por quilograma, o que

significa que ele sofre uma desaceleração maior do que um

objeto maior.

Isso significa que, se você tiver o azar de cair de uma altura

de 4 metros, terá que ir para o hospital. Uma aranha mal sentiria,

enquanto um elefante ... bem, não se preocupe com formigas

gigantes, mas cuidado com elefantes cadentes!

1. A densidade está relacionada com a massa - um objet o do t amanho de uma bola

de pingue-pongue, mas fe ito de ferro, t eria uma densidade maior do que um objeto de

mesmo t amanho fe ito de queijo.

FORMAS SURPREEI-IDEI-ITES 69

MEDIDAS l~CRÍVEIS

ERA PARA A GENTE MEDIR EM FARAÓ VELHO

OU EM FARAÓ NOVO?

MEDIDAS REAIS

Não faz muito tempo, as pessoas não mediam as coisas em

metros e centímetros. Na verdade, a abordagem era bastante

dife rente. Algumas med idas eram baseadas nas partes do

corpo, motivo pelo qual a altura dos cavalos ainda é medida

em mãos em alguns países anglo-saxónicos e a altura das

pessoas é dada em pés e polegadas em alguns poucos países,

sobretudo nos Estados Unidos.

MEDIDAS PALPÁVEIS

No Egito Antigo, as coisas ffam medidas usando o cúbito, que

era o comprimento do antebraço do faraó em exercício so

mado à largura da mão. A medida era esculpida em um bloco

de granito, e cópias em madeira ou pedra eram distribuídas

para os construtores. Isso funcionava bem durante o tempo de

vida do faraó, porém as medidas mudavam com as sucessões

de faraós, o que provavelmente era bastante irritante quando

se estava no meio de uma construção.

Ainda havia uma dúzia de outras unidades de comprimento

usadas no mundo antigo que também eram chamadas de cúbito,

o que deve ter gerado muita confusão.

AVANÇOS MILIMÉTRICOS

Ao longo dos séculos seguintes, muitos sistemas de medida

foram usados ao redor do mundo, os quais, às vezes, podiam

variar dentro de um mesmo país. Na Inglaterra, por exemplo,

71

foi apenas no século XIII que as pessoas tentaram padronizar

as unidades de medida utilizadas no país, quando se decre

tou que uma polegada (2,54 cm) era o comprimento de

três grãos de cevada. Com o passar do tempo, a Inglaterra

adotou o sistema imperial de polegadas, pés ( 12 polegadas),

jardas (3 pés) e milhas ( 1.760 jardas). O sistema vigorou

até ser gradualmente substituído pelo sistema métrico de

centímetros, metros e quilômetros. Mas quem decidiu que

deveríamos todos usar esse sistema?

U~IDADES CURIOSAS

Em 1960, chegou-se a um acordo quanto a um sistema interna

cional de unidades de medida. Elas são chamadas de unidades

SI, sigla do francês Systeme lnternationa/.

OS SETE INCRÍVEIS

Há sete unidades básicas do SI. Há

o metro para distância, o quilo

grama para massa e o segundo

para tempo.Também há o am

pere para corrente elétrica, o

kelvin para temperatura, o mol para

quantidade de matéria e a candeia para

intensidade luminosa. Essas unidades são

usadas como ponto de partida para todos

os outros tipos de unidades métricas.


Além disso, para todas as coisas que gostaríamos de medir

como ruído, nebulosidade, maciez e nitidez-, as sete unidades

SI básicas dão conta delas, graças à matemática.

MUITO GRANDE OU MUITO PEQUENO?

O que fazer quando se quer medir algo muito grande ou muito

pequeno usando as unidades SI? Afinal, o metro é particularmente

útil para medir a altura de uma árvore, mas não é tão bom para

medir o tamanho de suas folhas. Já se quiser medir o tamanho

de uma floresta inteira, você precisará de algo muit o maior.

QUAL É A MELHOR UNIDADE?

Usando as sete principais unidades SI como ponto de partida,

você pode mudar a escala de cada tipo de unidade para cima

ou para baixo para medir todo tipo de coisa.1 Tudo o que você

precisa fazer é adicionar um "prefixo" diferente ao começo do

nome da unidade, para indicar que uma medida maior ou me

nor será usada. Por exemplo, o "quilo-" de quilômetro significa

"mil"; o "centi-" de centímetro significa "a centésima parte"; e

o "mili-" de milímetro significa "a milésima parte".

1 . Para fac il it ar o cálculo, você pode recorrer à escadinha ao lado. Para cima você te m as unidades de transformação maio r e para baixo as un idades de transformação menor.

[N. do RTJ

km

MEDIDAS 11-!CRÍVEIS 73

... SIGA EM FRENTE POR 100.000 CENTÍMETROS ATÉ

CHEGAR AO DESTINO.

Se você quisesse , poderia medir distância viajada em centí

metros, mas seria difícil para um motorista saber que saída pegar

numa estrada. O melhor a fazer é tentar escolher a medida mais

apropriada para o que se está medindo.

ENVERGONHADO NO PLANETA VERMELHO

As unidades SI foram adotadas pela maioria dos países. Isso signi

fica que, quando as pessoas de um país trabalham em conjunto

com as de outro, todas estão usando as mesmas unidades de

medida. Pode não parecer tão importante, mas, quando ninguém

tem certeza sobre qual unidade de medida está sendo usada,

os resultados podem ser caóticos, e as consequências podem

sair caras!

Em 1999, por exemplo, a sonda espacial Mars Climate

Orbiter, da NASA, que custou 125 milhões de dólares para ser

construída, havia completado com sucesso quase toda a sua

jornada. Chegava o momento da aproximação final à atmosfera

marciana ... e foi aí que as coisas deram errado. Uma equipe

estava trabalhando com a antiga unidade imperial, e a outra com

o sistema métrico. O resultado foi que a órbita foi calculada

errado, e a sonda, destruída. Uma vergonha!

7 4 DO ZERO AO IHFIHITO

PRECISAMENTE ACURADO

As palavras "acurado" e "preciso" podem parecer intercambiáveis.

Mas, na verdade, possuem significados ligeiramente distintos.

BEM NO ALVO!

Um arqueiro atirou cinco fl echas em cada um dos alvos abaixo:

Preciso, mas não acurado.

Acurado, mas não preciso.

No primeiro alvo, as flechas estão próximas

entre si, então o arqueiro foi altamente preciso.

No entanto, elas não estão próximas do cen-

tro do alvo, então a acurácia dele foi baixa.

No segundo alvo, o arqueiro atingiu um

alto nível de acurácia, já que todas as flechas

estão próximas do centro do alvo. Mas, nesse

caso, seu nível de precisão foi baixo, já que

as flechas não estão tão próximas entre si.

Como você pode ver, no último alvo, o

arqueiro atirou as flechas tanto com acurácia

quanto com precisão.

Preciso e acurado.

MEDIDAS INCRÍVEIS 7 5

"CHUTE l~FORMADO"

Ser capaz de fazer estimativas é uma habilidade importante, e

a maioria dos humanos é até que boa nisso. Por exemplo: você

sabia que, ao tentar julgar se algo está ou não num ângulo reto, a

maioria dos humanos consegue identificar erros de menos de 1 º? A capacidade de estimar também ajuda nas tarefas cotidianas,

como atravessar a rua. Ao estimar a velocidade e distância dos

veículos, você pode julgar se tem ou não tempo suficiente para

atravessar a rua com segurança.

No entanto, as pessoas não pensam naturalmente em termos

de unidades. Em vez de pensar"Aquele carro está se movendo

a cerca de 20 quilômetros por hora", é mais provável que você

pense "Está rápido demais" ou "Dá tempo de atravessar".

7 6 DO ZERO AO IMFIMITO

SIMPLES AMOSTRAS

Estimar também pode economizar tempo. Caso você precise,

por exemplo, descobrir o tipo e a quantidade de diferentes

criaturas que vivem no gramado de um campo de futebol.

Contá-las levaria um tempo enorme. Em vez disso, você poderia

estimar a resposta usando um processo chamado amostragem.

Para colher a amostra de uma área, a primeira coisa necessária

é uma quadrícula - um quadrado feito de quatro hastes unidas,

cada uma com cerca de I metro. Ela é colocada no gramado,

e todas as criaturas encontradas naquela área são coletadas e

catalogadas. Você pode encontrar; por exemplo, 4 minhocas,

16 formigas, 3 besouros e I lesma.

Agora, digamos que o campo de futebol meça 100 metros

por 70 metros. Se multiplicar esses números, você terá a área

total: 100 x 70 = 7.000 metros quadrados.

Para estimar quantas criaturas existem, simplesmente multipli

que os números encontrados da quadrícula por 7.000, obtendo:

28.000 minhocas,

1 12.000 formigas,

21.000 besouros,

7.000 lesmas.

Obviamente, esse tipo de

abordagem deve ser usado

com cuidado. Caso você tam

bém tivesse encontrado uma

moeda no quadrado, seria muito

improvável que houvesse uma for

tuna espalhada pelo resto do campo.

MEDIDAS IHCRÍVEIS 77

PALPITES SURPREENDENTES

Fazer estimativas pode levar a alguns fatos incríveis e,

até mesmo, pertu rbadores. Por exemplo, o último suspiro

de Shakespeare em 1 61 6 provavelmente conteve cerca de

1 .000.000.000.000.000.000.000 de moléculas de ar. Nos

quatro séculos seguintes, essas moléculas se espalharam

pelo mundo e pela atmosfera, que contém cerca de

1 .000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

de moléculas de ar (um tredecilhão, ou um milhão de bilhões de

bilhões de bilhões de bilhões).

Se dividir o número maior pelo menor, você obterá

1 .000.000.000.000.000.000.000. Isso significa que você pode

estimar que uma em cada 1 .000.000.000.000.000.000.000 molé

culas no ar vem do último suspiro de Shakespeare. No entanto,

esse também é o número de moléculas que você absorve a

cada inspiração, então há uma boa chance de que sua próxima

respiração inclua uma molécula da última de Shakespeare!


Esses números imensos são grandes demais para uma calcu

ladora, mas há uma maneira rápida de fazer cálculos com eles.

Como visto na página 36, números grandes como 1.000 podem

ser expressos como potências de dez, de modo que 1 .000 pode

ser expresso como 103 - porque equivale a I O x I O x I O. O

número de moléculas no último suspiro de Shakespeare pode ser

reduzido para 102 1. O número de moléculas na atmosfera é 1042.

Felizmente, dividir esses números é a mesma coisa que sub

trair suas potências de dez. Assim, a questão da página anterior

também pode ser calculada como 1042 --:-102 1, que é 1021 .

UM CHUTE INFORMADO

Estimativas também são úteis quando usamos calculadoras e

planilhas de cálculo. Se você tem uma vaga ideia de quanto será

o total, é bem mais fácil identificar um erro e verificar se pres

sionou algum botão por engano ou digitou uma fórmula errada.

AUTOE~GA~O

O fato de que o cérebro humano pode estimar todo tipo de

coisa significa que ele precisa fazer suposições. Por exemplo,

você pode perceber um ponto no horizonte que vai ficando

maior até se transformar em uma _pessoa pequenininha. Se

a pessoa vai ficando maior~ você presume que ela esteja se

aproximando e que seja aproximadamente do seu tamanho.

Uma vez que você faz tais suposições, seu cérebro pode usar

as leis da perspectiva (ver página 62) para estimar a distância

da pessoa e sua velocidade de aproximação.

MEDIDAS !~CRÍVEIS 79

O problema das suposições é que às vezes elas

estão erradas, o que pode resultar em uma ilusão de

óptica como esta:

Seu cérebro irá fazer o possível para entender

o que você está olhando.

Em princípio, pode parecer que você está olhando

para a imagem de uma caixa vista de cima. No entanto,

depois de um tempo, uma nova perspectiva surge, e

parece que você está olhando uma caixa vista de baixo.

Qual está correta?

Ambas estão corretas.A imagem da caixa é uma ilusão

de óptica conhecida como Cubo de Necker. O cérebro

humano tenta entendê-lo quando, na verdade, não há

informação suficiente, motivo pelo qual você percebe

duas perspectivas.

ENTENDENDO OS MOVIMENTOS

Na matemática e na física, há dois tipos de medidas, chamadas

de escalar e vetorial. Uma grandeza escalar é simplesmente

um número que pode aumentar ou diminuir. Um vetor é um


número que pode aumentar ou diminuir, mas que também

possui uma direção.

A velocidade de um carro - 20 quilômetros por hora (km/h),

por exemplo - é uma grandeza escalar, o que significa que

pode apenas aumentar ou diminuir. No entanto, para a física,

a "velocidade" do carro é um vetor, pois significa a rapidez do

carro em uma direção específica - digamos, 20 quilômetros

por hora ao sul.

A TRAJETÓRIA DE UM AVIÃO

Se um avião precisasse ir de Londres a Los Angeles - uma

distância de cerca de 8.800 quilômetros - em I O horas, a que

velocidade ele teria de voar? Logicamente, você imaginou que ele

precisaria voar a 880 quilômetros por hora a oeste, mas e se

o vento estivesse soprando na direção contrária a 100 quilô

metros por hora?

...Oeste

. _..cl.- Viajando a 880 km/h 1 _____ ~-------__ _,Pe o ar

Voar contra o vento torna a viagem mais lenta. Então, para

fazer o cálculo, você precisa subtrair a velocidade do vento da

velocidade do avião:

880 - 1 00 = 780 km/h a oeste

MEDIDAS 11'4CRÍVEIS 81

É também por isso que um avião às vezes chega antes do

esperado - se o vento está a seu favor, a velocidade aumenta.

O PRIMEIRO CIENTISTA DE VERDADE

Muitos dos primeiros trabalhos relacionados ao movimento foram

conduzidos há quatrocentos anos pelo cientista italiano Galileu

Galilei. Sob vários aspectos, Galileu foi o primeiro cientista de

verdade, no sentido de que ele tentava explicar, com a ajuda dos

números, o Universo e as leis que descrevem seus fenômenos.

A LEI DA QUEDA DOS CORPOS

Galileu percebeu que a gravidade da Terra puxa tudo para baixo,

motivo pelo qual as coisas caem se estiverem soltas. Ao caírem,

a Terra as continua puxando, fazendo com que elas caiam cada

vez mais rápido.

Uma das sacadas geniais de Galileu foi perceber que a pre

sença do ar na Terra afeta a maneira como as coisas se movem.

Na verdade, objetos em queda livre atingem uma velocidade

constante após um tempo, chamada velocidade terminal . Isso

ocorre porque a resistência que o ar exerce sobre eles impede

o aumento da velocidade, motivo pelo qual as penas caem mais

lentamente do que as bolas de canhão. Se você soltasse uma

pena e uma bola de canhão na Lua, onde praticamente não há

atmosfera, elas cairiam na mesma velocidade.

Ao imaginar como as coisas cairiam se não houvesse ar,

Galileu reconheceu que as leis dos objetos em queda livre eram


bastante simples. Ele percebeu que elas podiam ser descritas

matematicamente de maneira bastante direta: )

~ )1

Os objetos caem com uma aceleração "constante". ~ Portanto, se um objeto cai a uma determinada velocidade,

após I segundo, cairá duas vezes mais rápido; após 2 segundos,

três vezes mais -rápido; após 3 segundos, quatro vezes mais

rápido, e assim por diante.

r .

'

\; ....... . '''----'l" ~·-'<-:; ... /_ ,, .. ~ .... 7lt v>,/

E mais:

Se um objeto cai por uma determinada distância em I segundo,

terá percorrido quatro vezes aquela distância após 2 segundos,

nove vezes a distância após 3 segundos, e-dezesseis vezes a

distância após 4 segundos.

Percebeu como os dois conjuntos de números estão rela

cionados? As distâncias - 1, 4, 9 e 16 - são os quadrados dos

tempos - 1, 2, 3 e 4. Quanto maior a duração da queda, mais rápido o objeto cai.

MEDIDAS INCRívEIS 83

?~ • Você pode estar pensando: "De que adiantam essas noções

e descobertas se a resistência do ar significa que elas não se aplicam?". Bem, na Terra, ajustes podem ser feitos às equações matemáticas para levar isso em consideração. E, se você viajasse para o espaço, logo perceberia sua utilidade - as naves espaciais obedecem a essas regras porque não há ar para desacelerá-las.

~ÃO PODE PISCAR

Os intervalos mais breves de tempo são medidos em menos

de um trilionésimo de trilionésimo de trilionésimo de "nanos

segundo" (bilionésimo de segundo). Um nanossegundo é tão

rápido que um piscar de olhos

leva 100 milhões de nanos-

segundos, então não é uma

medida particularmente útil

no dia a dia.


DESCULPE, PERDI AQUELES ÚLTIMOS 100 MILHÕES. EU PISQUEI.

UMA QUESTÃO DE TEMPO

Você provavelmente não perceberia facilmente um nanossegundo,

mas o tempo é algo sobre o qual você está bastante consciente.

Sejam os minutos que não passam durante uma aula muito chata

ou as horas que voam durante uma festa de aniversário muito

legal. O que exatamente é o tempo? Como ele é medido?

Os primeiros humanos mediam a passagem do tempo de

diversas maneiras - incluindo a mudança das estações ou as fases

da Lua ao longo do mês. No fim das contas, no entanto, as pessoas

queriam uma maneira mais precisa de medir o tempo. Para isso,

inventaram-se algumas unidades de medida muito úteis.

MINUTO A MINUTO 1

Você já sabe que há sessenta segundos em um minuto, e ses

senta minutos em uma hora, e que há 24 horas em um dia,

sete dias em uma semana e 365 dias em um ano. Mas por que

os meses não seguem um padrão? Alguns possuem trinta dias,

outros 31, ou mesmo 28 ou 29. Para descobrir o porquê, você

precisa voltar no tempo e entender como eles eram medidos.

CRO~OMETRADO

Uma das primeiras maneiras de medir a passagem do dia

foi desenvolvida no Egito Antigo, há cerca de 3.500 anos. O

relógio de sombra, como era chamado, baseava-se na sombra

projetada pelo Sol quando se movia pelo céu. Funcionava

porque o comprimento e a direção da sombra mudavam

conforme a posição do Sol.

MEDIDAS INCRÍVEIS 85

BRINCANDO COM AS SOMBRAS

O relógio de sombra era bastante simples e dividia as horas

do dia em dez, mais uma hora de crepúsculo no início da ma

nhã e uma no fim da tarde. Consistia em uma barra elevada

que lançava uma sombra sobre outra barra, na qual as ''horas''

eram marcadas. Durante as manhãs, a barra elevada apontava

para o leste, de maneira que a sombra era projetada na barra

das horas a oeste. Ao meio-dia, o relógio era

girado na direção oposta e seguia o Sol à me

dida que ele se deslocava de leste a

oeste. Relógios de sombra eram

portáteis, embora tives-

sem que ser alinhados

corretamente toda vez

que eram deslocados.

No entanto, um relógio de sombra não podia ser usado para

indica,~ as horas à noite e, caso o céu estivesse encoberto du

rante o dia, você não conseguiria saber se estava no horário ou

muito atrasado. Outro problema era que, quanto mais longe da

Linha do Equador você estivesse, mais a duração dos dias variava

ao longo do ano. Isso significava que, no inverno, o relógio de

O MOSTRADOR DIVIDE O DIA EM 12 HORAS.

sombra dividia o dia no mesmo número de horas,

mas elas passavam mais rápido.

Embora ninguém tenha certeza sobre

onde ou quando foram usados os primei

ros relógios de sol, eles se parecem muito

com os relógios circulares de parede e

de pulso que temos hoje. Os relógios

de sol representaram um grande avanço


em relação aos relógios de sombra, já que as horas medidas

tinham a mesma duração ao longo do ano. No entanto, ainda

havia o problema de terem que ser adequadamente ajustados

e dependerem da luz solar para indicar as horas.

RELÓGIOS PARA OS DIAS NUBLADOS

Era necessário um relógio que pudesse medir o tempo dentro

e fora de casa, não importando a previsão do tempo ou se

era dia ou noite.

Os egípcios antigos testaram relógios de água ( clepsidras).

O exemplar mais antigo conhecido data de aproximadamente

1500 a.C. Esses relógios funcionavam por gravidade: a água num

recipiente mais alto pingava a uma taxa constante

em um recipiente mais baixo, que continha

a marcação das horas. No entanto, eles

também não eram muito precisos.

A medição do tempo finalmente

melhorou com a invenção do reló

gio mecânico, por volta do século

XIV Ele funcionava graças a um V

peso que caía gradualmente,

acionando um sistema de en

grenagens. Mas mesmo esses

relógios ainda não eram muito

precisos.

Era necessário algo que

garantisse que a velocidade do

peso que caía fosse constante,


para que as engrenagens girassem também a uma velocidade

constante. Sabe-se que Galileu (ver página 1 37) havia rascunhado

alguns protótipos de relógio usando um pêndulo em 1582,

mas o primeiro foi feito por um homem chamado Christiaan

Huygens, em _ 1657. O relógio de pêndulo oscilante de Huygens

tornou-se o instrumento mais preciso de medição do tempo

até o século XX.

CHEGANDO LÁ!

No século XVII, as pessoas sabiam que a Terra girava 360º em um

dia, e 15º em uma hora. Se você velejasse para o leste por uma

hora, sabia que sua localização estaria 15º mais ao leste em relação

ao ponto de partida. Se errasse por alguns minutos, no entanto,

sua localização também estaria errada. Relógios de pêndulo,

embora precisos na terra, não funcionariam no mar. Em 17 60,

John Harrison resolveu esse problema com seu modelo H4, um

relógio de bolso grande, porém preciso.

Enquanto isso, em terra firme, muitos relógios eram ajustados

para o horário local. Quando o Sol estava sobre a cabeça, era

meio-dia, mas isso muda de lugar para lugar, então o tempo

era· diferente em cada cidade. No século XIX, chegaram as

redes ferroviárias e, com elas, uma padronização do tempo.

FUSO, NÃO CONFUSO

Em 1 884, o Observatório Real de Greenwich, nos arredores

de Londres, foi escolhido como o local do meridiano principal.

Isso significava que as linhasverticais de longitude em um mapa


sempre começariam com o Oº em Greenwich. Também era

uma localização conveniente porque, quando é meio-dia em

Greenwich, é meia-noite do lado oposto do planeta, no meio

do oceano Pacífico. Isso significava que um número mínimo de

pessoas seria afetado pela mudança na data- na linha conhecida

como a Linha Internacional de Data.

Os instrumentos mais precisos de medição do tempo atual

mente baseiam-se nas oscilações regulares dos átomos. São

tão precisos que um deles, localizado no Laboratório Nacional

de Física do Reino Unido, ficará defasado em menos de um

segundo em 1 38 milhões de anos!

QUANDO FALTAM DIAS

Séculos atrás, medir a passagem de um

ano era um desafio ainda maior do que

medir as horas do dia. Muitas pessoas

baseavam-se no Sol ou na Lua para man

ter um controle dos dias. No Egito Antigo,

os agricultores baseavam seus calendários

no nível do rio Nilo. Na Roma Antiga,

o calendário do exército usava o mês

lunar - o tempo que levava para a Lua

passar por todas as suas fases. O ano era

então dividido em treze partes.


Nenhum desses sistemas funcionava muito bem. Por exemplo,

a Lua leva cerca de 29,5 dias para passar pelas quatro fases,

então o calendário do exército romano de treze ciclos durava

383,5 dias, já que 13 x 29,5 = 383,5. Era mais longo, portanto,

do que um ano verdadeiro, que é o tempo que leva para a

Terra girar em torno do Sol - um ano solar.

VOLTA AO SOL EM POUCO MAIS DE 365 DIAS

Por que era tão difícil dividir um ano? A resposta é que a

Terra leva 365,25 dias para girar em torno do Sol, menos

onze minutos, então não é possível dividir um ano em partes

iguais. Com o passar dos anos, esse X de dia extra começa

a se acumular. Um dia, nosso ano ficaria tão dessincronizado

que celebraríamos o ano-novo no inverno.

CALENDÁRIO CAÓTICO

Os romanos antigos tinham percebido o problema havia muitos

anos, e, em 45 a.C., o ditador Júlio César promoveu mudanças no

calendário. O problema foi que isso bagunçou çompletamente

o ano - os dias estavam tão errados que Júlio César adicionou

noventa dias extras ao ano 46 a.C. para corrigir o problema.

Não é à toa que aquele foi considerado o "ano da confusão"!

QUERIDOS ANOS BISSEXTOS

Para evitar que o problema se repetisse, os romanos decidiram

acumular o X de dia extra por três anos, adicionando um dia


inteiro no quarto ano, de maneira que ele tivesse 366 dias. Esses

são anos bissextos. No entanto, o calendário ainda não estava

certo - o ano ainda estava onze minutos mais longo! Com os

anos, esses onze minutos se acumularam novamente E; , em mea

dos do século XVI, o calendário estava defasado em dez dias.

Então, em 1582, o papa Gregório anunciou que esses dez

dias seriam omitidos para corrigir novamente o calendário.

Também foi decidido que os anos múltiplos de cem, como 1600,

1700 e 1 800, não deveriam ser anos

bissextos, a não ser que também

fossem múltiplos de quatrocen

tos. Em alguns países, a corre-

ção só foi feita muito mais

tarde. Na Inglaterra, por

exemplo, a correção foi

feita em 1752, quando

foram omitidos onze

dias. Dizem que isso

gerou distúrbios no

país, com algumas

pessoas alegando

que o governo havia

roubado onze dias

de suas vidas!

NÃO INTERESSA QUE O CALENDÁRIO MUDOU. VOCÊ SE

ESQUECEU DO MEU ANIVERSÁRIO!


INDO DE A ATÉ B

~ Castelo da Casa da~ ~ainha Malvada

9 Vovó~

9 çi {")9 lJ Floresta do '1r 9 '1í_ Lobo Mau

Vale das Sombras

9 9QQ 9~9

Cálculos e fórmulas são ótimos quando temos muita informação

matemática, mas, às vezes, uma figura é muito mais útil. Pegue o

caso de um trajeto, por exemplo. É bem simples dizer: "Passe

a Colina do Poço dos Desejos e atravesse a Floresta do Lobo

Mau para chegar à Casa da Vovó", mas e se você tivesse que

ajudar alguém a viajar por uma distância maior? É mais fácil fazer

isso desenhando um mapa.

ACERTANDO O TAMANHO

Desenhar um mapa é melhor do que nada, mas não diz muita

coisa em relação à distância entre os lugares, ou ao tamanho

das coisas em relação a outras. O melhor seria um mapa de

senhado em escala.


lflTlllhA Castelo da . .... C d <IJIIIIJ/// Rainha Malvadl . ·····.... asa ~ ~

.· ···. Vovo ~ .· ·.

Floresta do ·· ... Lobo Mau

Este mapa está em escala, ex ibida como uma razão, de

1: 10.000. Isso significa que I centímetro no mapa equivale a

10.000 centímetros - ou 100 metros - no mundo real. Você

pode usar a escala em um mapa para ajudá-lo a calcular distâncias.

Para calcular uma distância em linha reta, você só precisa de

um pedaço de papel. Faça marcas no comprimento da escala

- no caso, marcas de I centímetro - em seu pedaço de papel,

depois coloque-o sobre o mapa para calcular as distâncias

entre os lugares. Por exemplo, a distância entre o Castelo da

Rainha Malvada e a Casa da Vovó é de 4 centímetros. Na escala

1 : 10.000, isso equivale a 40.000 centímetros, ou 400 metros.

Se você quiser medir uma distância que não seja uma linha

reta, pode usar um pedaço de barbante para seguir a curva

de sua rota - contornando a Colina do Poço dos Desejos, por

exemplo. Depois, pode comparar a quantidade de barbante

com a sua escala.

MEDIDAS IHCRÍVEIS 93

A ESCALA DAS ALTURAS

•

Castelo da Rainha Malvada ····.. ... Casa d~ ~

: · · .. . Yovo~ ... ···· ··· ...

Os mapas podem mostrar até mesmo as elevações e os decli

ves do solo usando as chamadas curvas de nível. Cartógrafos

marcam pontos em uma colina ou vale que possuem a mesma

altura e os unem em uma série de anéis. Os anéis mostram a

forma e as alturas relativas de colinas e montanhas e a profun

didade de vales. Ladeiras íngremes são exibidas em um mapa

com linhas paralelas próximas; ladeiras mais suaves possuem

linhas mais espaçadas. Neste mapa, os anéis da Colina do Poço

dos Desejos estão bastante próxi mos, indicando que ele é

muito íngreme - talvez seja melhor contorná-lo!


ONDE FICA O NORTE?

Para poder ler um mapa, você também precisa ter conhecimento

sobre direção. Ela é mostrada por meio de uma flecha apontada

para o topo do mapa, indicando o norte. Ao consultar o mapa com

o auxílio de uma bússola, você pode se certificar de que está indo

na direção correta. É útil porque funciona sob qualquer condição.

GRADES MARAVILHOSAS

A maioria dos mapas possui linhas de grade horizontais e

verticais que seguem a escala. Neste mapa, cada quadrado na

grade possui I centímetro de largura. Como você sabe que a

escala é de 1: 10.000, então também sabe que cada quadrado

representa 1 00 metros no solo.

MEDIDAS IMCRÍVEIS 9 5

As linhas de grade nos ajudam a localizar um ponto exato

no mapa usando as referências da grade. Por exemplo, você

pode pedir a seus amigos que o encontrem em 23 17. Para

encontrar o local exato do ponto de encontro, eles precisarão

saber o que esses números significam. No caso, os primeiros

dois dígitos dizem onde olhar na horizontal (linhas verticais), e

os dois últimos onde olhar na vertical (linhas horizontais).

Todos os seus amigos então o encontrarão na margem do

rio ao norte da Ilha do Pirata- no cruzamento da linha vertical

23 com a linha horizontal 17.

X l~DICA O LOCAL

Talvez você tenha que indicar um local mais exato que fique

entre as linhas de grade - o Castelo da Rainha Malvada, por

exemplo. Nesse caso, você vai precisar fornecer como referência

um número de seis dígitos para ajudar seus amigos a localizá-lo.

O número 216205 mostra a localização exata do castelo. Os

dois primeiros dígitos mostram a linha vertical 21, e o quarto

e quinto dígitos, a linha horizontal 20.

2/6205

Você então precisa imaginar que cada quadrado está divi

dido em cem quadrados menores, cada um com I O metros de

largura - dez na horizontal e dez na vertical. O terceiro dígito

mostra a posição horizontal exata: 6. O sexto dígito mostra a

posição vertical exata: 5.


Isso indica que o castelo está a 60 metros ao leste e 50

metros ao norte do canto do quadrado 2120.

Castelo da

21 Rainha Malvada

22

COORDENADAS ESPERTAS

Se souber as coordenadas, ou referências da grade, de duas

localidades, você pode calcular a distância entre elas. No

mapa a seguir, um explorador aparece na referência 212173

- e ele quer chegar à Casa da Vovó, que está em 252204.

MEDIDAS !~CRÍVEIS 97

Para calcular a distância entre os dois pontos, você pode

desenhar um triângulo retângulo sobre o mapa e usar o teorema

de Pitágoras, segundo o qual a soma dos quadrados dos catetos

(os lados mais curtos) é igual ao quadrado da hipotenusa (o

lado mais longo). (Para saber mais sobre Pitágoras, ver páginas .

22 e 23.) Então, para encontrar a distância até a Casa da Vovó

- o lado longo do triângulo - , você primeiro precisa calcular

os comprimentos dos dois lados mais curtos.

Aqui, a linha horizontal mostra quão a leste

está a Casa da Vovó em relação à posi


ção atual do explorador. Ele está a

20 metros a leste da linha vertical

2 1 , e a casa está a 20 metros a

leste da linha vertical 25. Cada

quadrado é igual a 1 00 metros,

então a reta horizontal A tem

400 metros de comprimento.

A linha vertical mostra

quão ao norte está a Casa

da Vovó em relação ao explo

rador. Ele está a 30 metros ao

norte da linha horizontal 17,

e a casa está a 40 metros ao

norte da linha horizontal 20,

portanto a reta vertical B tem

3 1 O metros de comprimento.

Agora você pode aplicar

o teorema de Pitágoras:

400 x 400 = 160.000 metros e

3 1 O x 3 1 O = 96. 1 00 metros

Se a 2 + b2 é igual ao quadrado da distância até a Casa da

Vovó, e essa soma é igual a 256.100, então a casa está a apro

ximadamente 500 metros do explorador (há um botão de raiz

quadrada em algumas calculadoras, com o símbolo "v", para

ajudá-lo no cálculo!).


DADOS COMOVENTES

ACHO QUE COMEÇOU A FAZER ISSO QUANDO ESBARREI NELE COM

MEU ESFREGÃO ...

GRÁFICOS FANTÁSTICOS

A maneira mais fácil de organizar muitas informações, ou dados,

pode ser usando um diagrama. Diagramas podem apresentar

dados de maneira clara e inteligível e torná-los mais fáceis de

ser entendidos - podem ser utilizados até mesmo para prever

valores futuros.

Matemáticos usam muitos tipos de diagrama - gráficos de

barra, de pizza e diagramas de Venn são apenas alguns deles. É importante escolher o tipo certo de diagrama para a informação,

ou ela poderá não fazer sentido.

COLOQUE NUM GRÁFICO

Um gráfico de linha pode ser usado para representar grafi

camente informações que variam ao longo do tempo. Por

exemplo, o gráfico a seguir mostra a altura de um menino de

seu nascimento até os 1 8 anos, ano a ano:

180 cm 170 cm 160 cm ISO cm 140 cm 130 cm 120 cm 110 cm 100 cm 90 cm 80 cm 70 cm 60 cm 50 cm

z ~ i'.lJ

:::J Q_ o 3 (1) :::J r+ o

101

O canto inferior esquerdo mostra o início da escala horizon

tal - também conhecida como eixo x - e o da escala vertical

- também conhecida como eixo y. Ao unir os pontos referentes a cada ano, pode-se observar

o padrão de crescimento do nascimento até quando o garoto

atinge a idade adulta. Fica claro que o garoto cresceu rapidamente

em seu primeiro ano e que a taxa de crescimento desacelerou

à medida que ele se aproximava dos 18 anos.

PROJETANDO O FUTURO

No gráfico de linha da página anterior, todas as informações

necessárias estavam incluídas. E se você quisesse usar um gráfico

para tentar descobrir. o que poderia acontecer depois?

Por exemplo, imagine que um carro viaja por uma estrada e

que um passageiro está marcando o tempo a cada 200 metros.

Os dados estão apresentados na seguinte tabela:

Distância (metros) Tempo (segundos)

o o 200 22

400 35

600 57

800 84

1.000 96

1.200 123

Essa informação pode ser representada em um gráfico com

o tempo no eixo x e a distância no eixo y, assim:

1 02, DO ZERO AO INFINITO

1.400 • 1.200 V, 1.000 o 1... 800 • +-' (1)

E 600 400 200

o o N ...):,.. O'- (X) -

o o o o o N ...):,.. o o o

segundos

A velocidade do carro está mudando o tempo todo, então,

em vez de ligar todos os pontos, uma linha de tendência foi

desenhada, passando pelo maior número de pontos possível.

Ela fornece a velocidade média do carro (ver páginas 81 a 83).

Você pode usar essa linha de tendência para calcular quanto

tempo o carro levaria para viajar 1 .400 metros. No gráfico, você

verá que a linha mostra que, se o carro continuasse viajando

na mesma velocidade média, levaria 1 32 segundos para viajar

1.400 metros.

81 80 79 78 77

~ 76 ~ 75

74 73 72 71 70

'° O'-o

N N

'° '° '° o o ~ ~ i g o

ano

ACOMPANHANDO TENDÊNCIAS

Os gráficos também podem olhar para

o que chamamos de tendências. Uma

tendência é a direção geral na qual algo

está se movendo. O gráfico ao lado

apresenta a expectativa de vida média

dos habitantes da Inglaterra de 1960

até 201 O e mostra que a expectativa

de vida no país está aumentando.

DADOS COMOVENTES 1 03

81 I Se você desenhar uma linha 80 de tendência sobre as obser-79 78 vações do gráfico, ele mostrará 77 uma tendência de aumento na

~ 76 ~ 75 expectativa de vida. Em 1960, a

74 média era de 71 anos e, em 20 1 O, 73

era de pouco mais de 80 anos. 72 71 Portanto, em cinquenta anos, a 70 expectativa de vida aumentou

'° ~ IV IV IV

'° '° o o o O' '-.1 CX) '° o IV o o o o o o o nove anos.

ano Você pode "extrapolar" 1

( ou prever) como a informação se comportaria no futuro

estendendo a linha de tendência pelos dez anos seguintes.

Você pode ver que, em 2020, a média da expectativa de

vida, mostrada aqui com uma linha tracejada, deve girar em

torno de 8 1 anos.

ERROS E MAL-ENTENDIDOS

Às vezes, os dados em um gráfico

podem parecer um pouco estranhos.

Veja o caso de um gráfico sobre o

Cure-O, um med icamento que se

propõe a curar soluços.

O primeiro gráfico mostra a linha

de tendência para os dados. Parece

20 18 16 14

V) 12 Q) .

0 10 -o 8

6 4 2 o

o o soluços

1. É importante tomar cuidado com extrapolação: se você fizesse a mesma coisa para trás, por exemplo, com a expectativa de vida diminuindo em nove anos a cada cinquenta anos, em dado momento, a expectativa média de vida seria zero!

1 04 DO ZERO AO INFINITO

sugerir que, se você tomasse vinte

doses de Cure-O, não teria mais

soluços.

No entanto, quando se olha para

as observações individuais das dosa

gens, elas aparecem tão dispersas

no gráfico que não há de fato uma

tendência clara.

Na verdade, se você omitir al

gumas das observações, a linha de

tendência muda, fazendo parecer que,

quanto mais Cure-O você tomar,

mais soluços terá!

Isso mostra a importância de

se analisar os dados com bastante

cuidado.

É fácil tirar conclusões precipitadas

quando você começa a extrapo

lar, e isso pode produzir resultados

estranhos!

Quando você apresentar os da

dos em um gráfico, especialmente

se estiver usando um programa de

computador para adicionar a linha

de tendência, certifique-se de que

seus resultados façam sentido!

20 18 • 16 14

VI 12 • • Q)

~ 0 10

"O 8 6 4 • 2 • • • o

o tv ~ O' O) o

soluços

20 18 16 14

VI 12 • • ~ 10 • • o

"O 8 • 6 -------4 • 2 • o • •

o tv ~ O' O) o

soluços


FAZE~DO UMA MÉDIA COM OS ~ÚMEROS

Os gráficos são apenas uma das maneiras de explorar dados.

Assim como os métodos a seguir, eles fazem parte de uma área

da matemática chamada estatística.

TIRANDO A MÉDIA

Se você toma o mesmo ônibus todos os dias, pode querer

descobrir quanto tempo em média dura o trajeto. A primeira

coisa que você precisa fazer é anotar quantos minutos leva

cada viagem. Seus dados vão se parecer com algo deste tipo:

12, 1 1, 12, 12, 9, 9, 13, 15, 13, 13, 13, 13, 1 O, 1 O, 1 O

Mas como esses dados podem ajudá-lo? Para descobrir a

duração média do trajeto, você só precisa somar os números

e depois dividir o total pelo número de viagens que fez. Há

quinze números no total, cuja soma é igual a 175, portanto:

175 7 15 = 1 1,7

Isso nos diz que seu trajeto de ônibus leva em média 1 1,7

minutos.

1 06 DO ZERO AO INFINITO

O QUE TEM NO MEIO?

Em vez de calcular a média, você pode querer calcular a mediana.

Esse é o dado que aparece no centro do grupo de observações.

A primeira coisa que você precisa fazer é colocar os dados em

ordem crescente. Há quinze observações, portanto a mediana

é o oitavo número - 1 2 -, mostrado abaixo em negrito:

9, 9, 1 O, 1 O, 1 O, 1 1, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 15

Se houver um número par de observações, a mediana será

formada pelos dois números do meio somados e divididos por 2:

9, 1 O, 1 1, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 15

Nesse caso, 12 e 13 são os números do meio, que somam

25, portanto a mediana é 25 -:- 2 = 12,5.

Uma terceira coisa que pode ser calculada é o dado que aparece com maior frequência, ou moda.

9, 9, 1 O, 1 O, 1 O, 1 1, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 15

Nessa lista, a moda é 1 3, porque ele aparece cinco vezes.


DADOS DISTORCIDOS

O que aconteceria se, um dia, houvesse muito trânsito e sua

viagem de ôn ibus levasse 80 minutos em vez de 12? A soma

das durações das quinze viagens seria 24 3 em vez de 175, de

forma que a média aumentaria para 16,2 minutos. Isso enviesa

sua duração média da viagem. É aqui que a mediana e a moda

podem ser úteis, já que ambos os valores permanecem os

mesmos e podem ser usados como guias. Isso mostra quão

importante é analisar bem seus dados antes de tirar qualquer

conclusão.

ESSAS MALDITAS OBRAS VIÁRIAS ESTÃO

PREJ"UDICANDO MEUS DADOS.


ORGANIZANDO OS NÚMEROS

Imagine que foi medida a altura de mil homens.

Mil números é bastante número para trabalhar. No entanto,

você pode classificá-los em ordem crescente, depois agrupá-los

em intervalos - 140 a 144,9 centímetros, 145 a 149,9 centí

metros, e assim por diante.Você pode então contar o número

de pessoas em cada intervalo e projetar o resultado em um

histograma, ou gráfico de barras, assim:

180

160

VI 140 (d

~ 120 Q.J

~ 100 "'C

e 80 Q.J

,§ 60 e:

40

20

o ...i,,.. o

1

...i,,..

...i,,..

'°

...i,,.. u, u, °' u, ? u, ? 1 1

...i,,.. u, u, °' '-Ü ...i,,.. '-Ü ...i,,..

'° '° '° '°

t---) t---)

°' ---...J ---...J 00 00 '-Ü '-Ü o o u, ? u, ? u, ? u, o u, 1 1 1 1

~ ~ °' :i ---...J 00 00 '-Ü '-Ü o o '-Ü '-Ü ...i,,.. '-Ü ...i,,.. '-Ü ...i,,.. '-Ü

'° '° '° '° '° '° '° '° '° altura em centímetros

Essa forma curva é conhecida como distribuição normal. Em uma distribuição normal de dados como essa, a média, a

mediana e a moda estão todas no mesmo lugar, bem no meio.

DADOS COMOVEHTES 1 09

Ao agrupar os dados dessa maneira, você pode ver que, dos

mil homens, há poucos nos intervalos de altura mais baixa e

mais alta e mais agrupados em torno da média.

A ARMADILHA DE NÚMEROS DE VENN

Gráficos de linha e de barra nem sempre são a maneira mais

efetiva de exibir dados. Se você precisa mostrar a relação entre

diferentes conjuntos de dados, um diagrama de Venn pode ser

útil. O diagrama recebe o nome de John Venn, que teve a ideia

em 1881, e consiste em círculos que se sobrepõem. A área

comum aos círculos sobrepostos representa o que os dois

conjuntos de dados têm em comum.

SORVETE COM ERVILHA

Se você perguntasse a vinte ami

gos se eles gostam de sorvete e de

ervilha, poderia apresentar o re

sultado em um diagrama de Venn

de acordo com as respostas deles.

Nesse exemplo, 18 amigos disseram

gostar de sorvete, dos quais 8 dis

seram também gostar de ervilha, e

os últimos 2 gostam de ervilha, mas

não de sorvete:

11 Q DO ZERO AO IMFIMITO

O círculo A mostra os amigos que gostam de sorvete. O

círculo B mostra os amigos que gostam de ervilha.

A área C, onde os dois círculos se sobrepõem, representa

as pessoas que gostam tanto de sorvete quanto de ervilha -

essas pessoas são comuns a ambos os conjuntos.

MUITAS PREFERÊNCIAS

Um inventor chamado Professor X criou um robô e espera

que ele se torne bastante popular. Gizmoide sabe jogar futebol

e tênis e pode cuidar de seu cachorro de estimação enquanto

você está na escola. Parece uma ideia brilhante: futebol e tênis

são esportes bem populares, e muitas pessoas possuem cães

de estimação.

Para se certificar, o Professor X conduz uma pesquisa de

opinião, perguntando a cem pessoas se elas jogam futebol ou

tênis e se possuem um cachorro de estimação. Seus dados

mostram que 54 pessoas gostam de jogar futebol, 32 jogam

tênis e 46 possuem um cachorro. Apenas 3 pessoas não gostam

de futebol ou tênis nem possuem cachorro.

O resultado parece promissor, mas a coisa realmente útil

dos diagramas de Venn é que eles podem mostrar a relação

DADOS COMOVENTES 111

entre dois ou mais conjuntos de dados. Se alguém não gosta

de nenhuma dessas três coisas, elas aparecem fora dos círcu

los. Então o Professor X usa esse diagrama para mostrar quão

popular o Gizmoide seria.

Nada 3

Rapidamente, o Professor X consegue visualizar o número

de pessoas em cada preferência.

Portanto, das cem pessoas pesquisadas pelo Professor X,

apenas uma faria uso de todas as funcionalidades do Gizmoide!

UMA DELICIOSA FATIA DE PIZZA

Lembra-se da pesquisa arrepiante da página 77? Ela encontrou

4 minhocas, 16 formigas, 3 besouros e I lesma. Em vez de sim

plesmente escrever esses dados na forma de lista, você poderia

mostrá-lo visualmente usando um gráfico de pizza, com fatias

de diferentes tamanhos representando a informação.


FAZENDO A PIZZA

Se você tiver um computador; ele deve ser capaz de gerar um

gráfico de pizza. Basta digitar os dados, apertar alguns botões, sen

tar e relaxar. No entanto, se você estiver desenhando um gráfico

de pizza à mão, sua primeira tarefa é calcular quantos graus cada

inseto e ser rastejante representa na pizza.

Primeiro, você precisa somar todos esses animais para obter

o total - 24. Depois, precisa calcular a fração do total que cada

animal representa.

Formigas

As 16 formigas podem ser escritas como 1%4, que é a mesma

coisa que 2A , ou 0,66 em decimal. (Ver páginas 27 a 29 para

refrescar a memória sobre o assunto.) Multiplique 0,66 pelos

360º de um círculo, e você saberá quantos graus deverá ter a

fatia dada às formigas - 240º.As minhocas precisam de 60º, os

besouros, de 45º, e as lesmas, de 15º.Agora você pode dividir

seu círculo em fatias para cada um deles. Observe que, se você

somar todos esses ângulos, o total será 360º.


O QUE ACO~TECE DEPOIS?

Às vezes, seria bastante útil saber o que poderia acontecer no

futuro. Por exemplo, você pode querer descobrir se vai chover

no fim de semana ou se fará sol no feriado. Embora seja difícil

ter certeza, é possível calcular a probabilidade de que algo

aconteça e expressar isso em números.

IMPROVÁVEL

Um grupo de matemáticos, os estatísticos - pessoas que es

tudam estatística -, passa a vida toda calculando a chance de

algo acontecer.

Por exemplo, as chances de ganhar na loteria são de cerca de

uma em 14 milhões - ou seja, você teria muita sorte se ganhasse.

As chances de você ser atingido por. um raio é de uma em 3

milhões - um grande azar, mas ainda assim muito improvável!

SERÁ POSSÍVEL?

Há um truque para prever as chances de algo acontecer: Tal

vez você queira saber qual é a chance de jogar um dado e

conseguir o número seis, por exemplo. Para calcular isso, você

precisa contar o número de resultados possíveis - quantos

números diferentes podem aparecer no dado - e que fração

disso o seis seria.

Quando se joga um dado, há seis possíveis resultados,

porque ele possui seis faces . No entanto, apenas uma delas

é a que você quer: Isso significa que as chances de t irar um

determinado número são de uma em seis.

Se você quisesse descobrir as chances de tirar um nú

mero par em vez de um específico, precisaria saber quantos

lados há com número par em relação ao total de faces do

dado. Há t rês números pares, ou seja, as chances de tirar um

número par são de três em seis - o equivalente a uma em

duas. Obviamente, as chances de tirar um número ímpar são

as mesmas.

QUE PREVISÍVEL!

Os estatísticos estão mesmo interessados é em probabilidade.

A escala abaixo, que vai de O a 1, mostra qual é a probabili

dade de algo acontecer:

o Impossível: com certeza, não irá acontecer.

0,5

Chances iguais: é t ão provável que aco nteça

quanto que não aconteça.

Certo: com certeza, irá acontece r.

Por exemplo, a probabilidade de um peixinho de aquário

vir a morrer é de 1, já que todo peixinho um dia morre . Você


também pode expressar essa probabilidade como porcenta

gem: a probabilidade de um peixinho de aquário morrer um

dia é de 100%.

PARA SER PRECISO

Quando se fala de probabilidade, é importante lembrar que a

maneira como você a expressa pode mudar o sentido; por isso,

você deve ser preciso na descrição do que está sendo medido.

Por exemplo, a probabilidade de um peixinho morrer em um

momento específico, ou em um dia específico, é bem diferente

da probabilidade de um peix inho morrer algum dia.

UMA HIPÓTESE RAZOÁVEL

Você se lembra do Cure-O, o medicamento para soluço da

página 104? Se fosse um remédio de verdade, os cientistas


BEM, PODE HAVER ALGUNS EFEITOS

COLATERAIS.

teriam que ter certeza absoluta da sua eficácia antes que ele

pudesse ser usado para tratar as pessoas.

Os cientistas que testam um novo medicamento formulam

o que é chamado de hipótese: uma teoria que precisa ser com

provada ou refutada. Para fazê-lo, eles coletam e analisam dados

de experimentos para calcular se os resultados são genu ínos ou

fruto do acaso. A partir daí, podem decidir se o dado é esta

tisticamente significativo ou não. Se a probabilidade de que o

medicamento seja efetivo é de 0,99, ou 99%, então podem dizer

com confiança que ele é efetivo - diferentemente do fictício

Cure-O, que não funcionava. Mesmo se o medicamento curar;

ainda é preciso conduzir testes para se certificar de que ele é

seguro em humanos!


MATEMÁTICA DE MESTRE

ULTRASSECRETO!

As pessoas vêm usando mensagens cifradas há mais de 4 mil

anos. Algumas técnicas envolviam trocar letras do alfabeto ou

usar símbolos, mas muitas se baseavam na matemática. Essa

ciência dos códigos secretos ( e da tentativa de decifrá-los) é

conhecida como criptografia.

O CÓDIGO DE CÉSAR

Mais de 2 mil anos atrás, Júlio César desenvolveu uma simples

técnica de criptografia chamada de cifra de substituição. Nela,

você substitui cada letra em sua mensagem por outra letra do

alfabeto algumas casas depois. Em geral, César deslocava três

casas para a direita - então A se tornava D, B virava E, e daí

em diante.

FALHAS FREQUENTES

O problema com as cifras de substituição é que são fáceis de

serem quebradas. Isso acontece porque algumas letras apare

cem com uma frequência maior do que outras e produzem

padrões, que também apareceriam na sua mensagem cifrada.

Por exemplo, em inglês, a letra mais comum é E. Ao analisar

uma mensagem cifrada, é bastante fácil perceber qual é a letra

que mais aparece, essa letra, provavelmente, foi trocada pelo

E. Se a letra H for a mais frequente, você pode afirmar que

é bastante provável que cada letra da mensagem tenha sido

substituída por outra que fica três casas adiante no alfabeto.

119

Em 1465, um italiano chamado Leon Alberti publicou a pri

meira tabelo de frequência de que se tem notícia, que mostrava

com que frequência as letras apareciam e ajudava as pessoas a

decifrar códigos simples.

É O POLÍBIO?

Um método um pouco mais efetivo do que a cifra de substi

tuição foi criado por um grego chamado Políbio. Sua técnica

envolvia dispor as letras do alfabeto em uma matriz:

1 2 3 4 5

1 a b e d e

2 f g h i/j k

3 1 m n o p

4 q r s t u

5 V w X y z

Para criptografar uma mensagem com o quadrado de Políbio,

você substitui cada letra por dois números - o número da linha

seguido do número da coluna. A letra H, por exemplo, torna-se

23.Tente usar o quadrado para decodificar a seguinte mensagem

(a solução é mostrada abaixo):

5 1, 34, 13, 15 13, 34, 33, 4 3, 15, 22, 45, 24, 45,

43,45,35, 15,42, 14, 15,44, 15,44, 24,51, 15!

, 120 DO ZERO AO IMFIMITO

DESVENDANDO O QUADRADO

Ainda assim, é fácil quebrar o código, uma vez percebido que

a letra mais frequente, E, é representada pelo número 15. No

entanto, você poderia adicionar uma'' chave'' - uma palavra que

muda a disposição do alfabeto em seu quadrado de Políbio

- para tornar o código mais difícil. Assim, quando alguém lhe

enviasse uma mensagem, e tanto você quanto a pessoa pos

suíssem a mesma chave - "zebra", por exemplo - , essas letras

seriam colocadas no alfabeto primeiro, seguidas pelo resto do

alfabeto. Uma pessoa que tentasse quebrar o código teria que

saber a chave para conseguir colocar as letras no lugar certo

do quadrado e então decifrar a mensagem.

1 2 3 4 5

1 z e b r a

2 e d f g h

3 i/j k 1 m n

4 o p q s t

5 u V w X y

RESOLVE~DO O E~IGMA

Uma máquina de criptografia parecida com uma máquina de

escrever; conhecida como Enigma, foi inventada nos anos 1920

e usada pela Alemanha durante a Segunda Guerra Mundial.

Quando a mensagem era digitada, uma série de rotores a

transformava em um texto cifrado para manter a comunica

ção em segredo.

MATEMÁTICA DE MESTRE 121

A máquina Enigma era extre

mamente complexa, com tantas

combinações possíveis que muitas

pessoas acreditavam que fosse

indesvendável. E mais: a chave mu

dava diariamente à meia-noite. No

entanto, um grupo de pessoas

trabalhou de maneira incansável

para tentar desvendar o código.

Alan Turing (ver página 141) e

seus colegas de Bletchley Park, na

Inglaterra, possuíam uma máquina

Enigma e uma máquina eletromecânica chamada de Bomba.

Ao colocar pequenos trechos de uma mensagem que já

havia sido decifrada, que eles chamavam de cola, o grupo foi

capaz de usar a Bomba para desconsiderar configurações

incorretas e encontrar as corretas para _decifrar a mensagem

inteira. Acredita-se que esse projeto ultrassecreto que desven

dou a Enigma tenha ajudado a encurtar a duração da Segunda

Guerra Mundial.

----------------

CRIPTOGRAFIA DE COMPUTADOR

Atualmente, as informações podem ser criptografadas e des

criptografadas num piscar de olhos com o uso de computa

dores. A internet, informações bancárias, tudo é criptografado

de maneira cada vez mais complexa. Às vezes, esses códigos

são quebrados por hackers, que· usam meios sempre muito

engenhosos para obter as informações.


O FATOR X

Uma área da matemática chamada de álgebra pode ser usada

para calcular quantidades quando você já possui parte das

informações de que precisa. Tudo o que você tem de fazer é

equilibrar a equação - um cálculo que equilibra os dois lados

de uma balança.Veja como:

EQUAÇÃO FÁCIL

Uma equação, como x = 2 + 1, pode parecer estranha num

primeiro momento, mas há uma maneira fácil de enxergar as

equações que o ajudará a resolvê-las. Imagine uma balança

antiga, daquelas com um prato pendente em cada extremidade,

e que em cada um deles esteja um dos lados da equação.

Tudo o que está à esquerda do sinal de igual precisa estar

em equilíbrio com o que está à direita. A solução - o valor

de x - terá que ter o mesmo valor de tudo o que está do

outro lado.Você sabe que 2 + 1 é igual a 3, então, para que as

escalas estejam equilibradas, x também precisa ser 3.

3=2+1


SUBTRAÇÃO SIMPLES

Você também pode se deparar com equações como x + 1 = 2.

Parece um pouco mais difícil do que a equação anterior, mas a

regra de que ambos os lados devem estar em equilíbrio ainda

se aplica. Para descobrir o valor de x dessa vez, você precisa

reordenar a equação para que x fique isolado em um dos lados

do sinal de igual:

"x + 1 = 2" é o mesmo que "x = 2 - 1 "

Em outras palavras, x = 1, de maneira que a equação é sim

plesmente 1 + 1 = 2.

MÚLTIPLAS CONFUSÕES

Às vezes, você pode se deparar com uma equação em que tem

que multiplicar para achar a resposta:

xx3=JOx2+1

A maneira como o lado direito da equação foi escrito está

confusa. Seria I O x 2 = 20 + 1 = 21 , ou I O x 3 = 30? Os mate

máticos evitam essa confusão usando parênteses e calculando

primeiro o que aparece entre eles. Então, em

X X 3 = J O X (2 + J )

é fácil ver que x x 3 = 1 O x (3), que é igual a 30.


Como x x 3 = 30, para descobrir x, você precisa dividir a

resposta do lado direito pelo 3 da esquerda. Então:

X X 3 = 30

é a mesma coisa que dizer que x = 30 + 3. Portanto, x precisa

ser I O.

PARA QUE SERVE A ÁLGEBRA?

Você deve estar olhando para essas equações e se perguntando

para que serve a álgebra. Parece muito trabalho para descobrir

simplesmente que x = 1 ou x = 1 O, mas a álgebra pode ser útil

para vários outros assuntos além da matemática.

Na física, por exemplo, muitas leis importantes,

como a lei da queda dos corpos de Galileu

(ver páginas 82 e 83), são simplificadas em

uma equação. As equações também são

usadas na química, na economia e até

na geografia.


BOA, SHERLOCK

A lógica é uma área da matemática que, como muitas outras,

teve origem na Grécia Antiga. Ela é usada para provar teorias

e ideias usando métodos e sistemas estritamente formais.

LOGICAMENTE FALANDO

Tradicionalmente, a lógica era vista como um ramo da filosofia

- o estudo do pensamento e das ideias. Um dos exemplos mais

conhecidos de lógica é um silogismo - raciocínio

composto por duas proposições e uma conclu

são - envolvendo o pensador grego Sócrates:

Todas as pessoas são mortais.

Sócrates é uma pessoa.

Portanto, Sócrates é mortal.

A lógica não garante que as afirmações sejam

verdadeiras, mas pode ser usada para analisar

a ideia por trás das afirmações e a conclusão

que se segue caso fossem. Por exemplo, caso


se descobrisse que Sócrates não era

uma pessoa, mas uma estátua, então a

conclusão seria falsa. Seria mais correto

escrever as afirmações assim:

Se é verdade que

todas as pessoas são mortais.

E se é verdade também que

Sócrates é uma pessoa.

Então, só pode ser vffdade que

Sócrates seja mortal.

Agora, a conclusão está correta, seja Sócrates uma pessoa

ou uma estátua.

APLICANDO A LÓGICA

Uma abordagem lógica como essa pode ser útil na matemática.

Faz você olhar para a estrutura do que está sendo dito e ajuda

a identificar problemas por meio de afirmações. Você também

pode usá-la para garantir que todo o seu raciocínio esteja sendo

expresso corretamente .

. !t '

r A LÓGICA REINVENTADA

No século XIX, um matemático chamado George Boole perce

beu que a maneira como a lógica vinha sendo usada na filosofia

também poderia ser adotada pela álgebra. Isso ficou conhecido

como álgebra booliana.

MATEMÁTICA DE MESTRE 1 fJ.7

O trabalho de Boole foi retomado no século XX por três

matemáticos notáveis - Gottlob Frege, Bertrand Russell e Alfred

Whitehead. Eles queriam demonstrar que, empregando um

determinado conjunto de regras, qualquer teoria matemática

poderia ser provada utilizando a lógica.

UMA MÁQUINA DE MATEMÁTICA

O primeiro instrumento de cálculo foi o ábaco, usado há mais

de 4 mil anos. Nos séculos seguintes, muitas outras máqui

nas de cálculo foram desenvolvidas - incluindo a máquina

diferencial de Charles Babbage, de 1822, a qual, usando uma

série de rodas dentadas, podia fazer cálculos e armazenar dados.

LIGADO, DESLIGADO

O desenvolvimento do tipo de computador usado atualmente

foi possível graças à lógica e começou com o acionamento de

uma chave.

O flip-flop é um tipo de componente eletrônico que pode

ser usado para armazenar informação, e foi inventado no início

do século XX.

Se um impulso elétrico fosse enviado por um circuito com

o flip-flop, ele fazia com que uma lâmpada se acendesse.

Um segundo impulso, e a lâmpada se apagava. Não impres

siona muito, né? No entanto, isso permitia ao circuito armazenar

informação - o fato de que o impulso havia sido recebido - da

maneira mais simples possível.


Pode não parecer uma grande

descoberta hoje - e à época

também não foi motivo de muita

empolgação. Mas, ao se agrupa

rem vários dispositivos como

esse, era possível armazenar

uma sequência de impulsos ·

em uma fileira de lâmpadas, al

gumas acesas e outras apagadas.

DE VOLTA AO BINÁRIO

É aqui que os flip-flops ficam interessantes. Se você atribuir às

lâmpadas acesas e apagadas os números" I" e "O", respectiva

mente, a coisa começa a se parecer cada vez mais com código

binário (ver páginas 13 e 14).Aqui, a sequência de lâmpadas é:

LIGADO DESLIGADO DESLIGADO · LIGADO

ou 1001, em binário. Se você se lembra das colunas do 1, do

2, do 4 e do 8, isso significa um 8 e um 1, ou 9:

8s 1

4s o

2s o

Is 1

MATEMÁTICA DE MESmE 129

Ao interligar circuitos eletrô

nicos, as sequências de luzes em

duas fileiras de lâmpadas pode

riam ser somadas - em outras

palavras, elas poderiam ser usadas

para efetuar cálculos. Diferentes

componentes também podem ser

incluídos para realizar outras fun

ções. Por exemplo, eles poderiam

se conectar de tal forma que, se

um deles ou ambos estivessem

acesos, uma terceira lâmpada se

acendesse.

PERCEBE O QUE ISSO SIGNIFICA? INVENTAMOS A ILUMINAÇÃO DE

DISCOTECA!

Se nenhuma lâmpada estive acesa, então a terceira também

estaria desligada, assim:

Lâmpada 1 Lâmpada 2 Lâmpada 3

Esse tipo de circuito é conhecido como circuito lógico. Ele

representa a ideia de que, se uma ou outra coisa é verdadeira,

então uma terceira coisa também é verdadeira (ver páginas

126 e 127).


OS PRIMÓRDIOS

Há um grande debate sobre qual foi o primeiro computador

a ser construído. Só se sabe que os primeiros modelos ocupavam

salas inteiras de tão enormes, eram muito caros e precisavam de

diversas pessoas para operá-los.

UM COMPUTADOR EM SEU BOLSO

No fi nal dos anos 1960, o desenvolvimento de um circuito inte

grado, conhecido como microchip, permitiu que fossem constru

ídos computadores muito menores. Surgia assim o computador

pessoal. Os primeiros eram bastante limitados em termos de

memória - meros 1 6 KB - , e os programas eram gravados e

lidos em fitas cassete. Apenas quatro décadas depois, as pes

soas podem usar telefones celulares com muitos gigabytes de

memória para navegar pela internet.


PROVE

Todo novo teorema precisa ser provado para que possa ser

aceito - e há muitas maneiras de prová-los.

PENSANDO DE CABEÇA PARA BAIXO

Para descobrir se uma afirmação é verdadeira, faça uma afirmação

oposta. Se esta pode ser refutada, a primeira afirmação precisa

ser verdadeira. Isso é chamado de prova por contradição.


Um dos melhores exemplos de prova por contradição foi

um desafio resolvido pelo matemático suíço Leonhard Euler. O

desafio perguntava se era possível passar por todos os quatro

distritos de Konigsberg, na Rússia, cruzando cada uma de suas

sete pontes apenas uma vez. Tenta,~ cada rota possível levaria

muito tempo, mas Euler conseguiu chegar à resposta usando a

prova por contradição - sem sair do conforto de sua poltrona.

O primeiro passo foi formular a hipótese de que havia com

certeza uma rota na qual cada ponte pudesse ser atravessada

somente uma vez. Ele logo raciocinou que, para que cada

ponte fosse atravessada apenas uma vez, precisaria haver um

número par de pontes. Se houvesse apenas uma ponte, você

não poderia entrar e sair de um distrito sem atravessá-la duas

vezes - se houvesse três, você poderia entrar por uma e sair

por outra, mas a terceira não seria atravessada. Como eram

sete pontes, Euler tinha provado por contradição que não havia

uma rota possível na qual as pontes pudessem ser atravessadas

apenas uma vez.


ARGUME~TO CIRCULAR

Este aviso incomum é um exemplo de paradoxo - algo absurdo,

que se contradiz. É impossível obedecer a ele. Existem muitos

paradoxos por aí.Alguns deles foram criados por pura diversão,

outros para testar os limites da matemática.

O PARADOXO DO BARBEIRO

"O barbeiro faz a barba de todos os homens

que não barbeiam a si mesmos.''

Essa afirmação é um paradoxo atribuído a Bertrand Russell. É absurdo porque leva a uma contradição: se o barbeiro fizesse

a própria barba, isso faria dele um homem que se barbeia e,

portanto, ele não poderia ser um barbeiro.

O TEOREMA INCOMPLETO

Em 193 1, um matemático austríaco chamado Kurt Gõdel publicou

seu teorema da incompletude. Ele provava que em qualquer sis

tema lógico complexo deve haver algumas afirmações impossíveis

de serem provadas ou refutadas e que o sistema terá lacunas

que não podem ser preenchidas. Também demonstrou que a


matemática é um desses sistemas. Isso significa que deve haver

partes da matemática que não podem ser provadas e out ras

que nunca serão descobertas. Se não podem ser descobertas,

ninguém nem sabe quais são - que confuso!

MESTRES DOS ~ÚMEROS

Você já ouviu falar sobre o trabalho de alguns dos mais brilhan

tes matemáticos na história. Agora, conheça um pouco mais

da história de algumas das pessoas que fizeram descobertas

incríveis ao longo dos séculos.

~ (e. 580 a.C.-c. 500 a.C.)

Matemático grego a quem se atribui o teorema que leva

seu nome. Pitágoras e seus seguidores acreditavam que

tudo poderia ser descrito com números. Ele também

descobriu os números irracionais. Pouco se sabe sobre ele

e seus seguidores, fora o fato de que não podiam comer

lentilhas nem carne! (Para saber mais sobre Pitágoras, ver

páginas 22 a 24.)


~ (e. 287 a.C.-c. 212 a.C.)

O matemático grego Arquimedes calculou pi com uma precisão fantástica para a época. Também mediu a área de figuras geométricas e era um inventor.


JOHANNES KEPLER ( 1571-1630)

Kepler descreveu as leis que regem a maneira como os planetas giram ao redor do Sol. Percebeu que os planetas se movem em órbitas elípticas e que sua velocidade não é constante.

MATEMÁTICA DE MESTRE 13 7

1 ' .


SIR ISAAC NEWTON (1642-1717)

Junto com Albert Einstein, Sir Isaac Newton é considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos. Descreveu as leis matemáticas que explicam como os objetos se movem e como são afetados pela gravidade. Como resultado, pôde calcular os movimentos da Lua, dos planetas e de cometas. Muitas de suas teorias foram publicadas em sua obra mais importante: Princípios matemáticos da filosofia natural

(Philosophi~ Natura/is Principia Mathematica).

~(1646-1716)

Leibniz ajudou a desenvolver várias novas áreas da matemática, incluindo lógica e "cálculo" - um ramo da matemática relacionado à álgebra e à geometria. Passou vários anos discutindo com Sir Isaac Newton sobre quem

havia inventado o cálculo e também inventou uma das primeiras máquinas mecânicas de calcular.


ALBERT EINSTEIN ( 1879-1955)

O físico alemão, posteriormente naturalizado americano, Albert Einstein, sempre reclamava que não era bom em matemática. Apesar disso, desenvolveu a teoria matemática da gravidade, aperfeiçoando o trabalho de Sir Isaac Newton. Também demonstrou como o tempo pode se desacelerar ou acelerar e foi o autor da mais famosa equação do mundo, E = mc2

• Nada mal para quem achava que não era bom em matemática!


ALANTURIHG (1912-1954)

Durante a Segunda Guerra Mundial, a máquina Enigma foi usada pela Alemanha para criptografar mensagens (ver páginas 121 e 122). Valendo-se do trabalho de matemáticos poloneses, como Marian Rejewski, Turing e seus colegas conseguiram quebrar o código, até então considerado indecifrável por muitos. Esse trabalho ajudou à pôr fim à guerra.

SIR AHDREW WILES ( 1953 até o presente)

Professor de matemática em Princeton, nos Estados Unidos, Wiles conseguiu provar o último teorema de Fermat, em 1995. A solução levou dez anos e uma publicação de mais de cem páginas.


.\

GÊ 10 DA MATEMÁTICA

VÁRIOS TRUQUES COM~ÚMEROS

Se quer impressionar seus amigos com suas habilidades mágicas

e seus professores com suas espantosas habilidades matemá

ticas, as páginas seguintes foram feitas para você!

Há uma seleção de truques incríveis envolvendo números,

atalhos e dicas de matemática e uma coleção de técnicas mnemô

nicas para ajudá-lo a memorizar informações matemáticas úteis.

TRUQUE 1: COMO LER MENTES

Para esse truque, você só precisa de um amigo e uma calculadora.

1. Peça para seu amigo pensar em um número de três algaris

mos cuja diferença entre o primeiro e o último dígito seja

de pelo menos 2. Por exemplo: 923 seria um bom número,

porque 9 menos 3 dá 6; mas 253 não, porque 2 e 3 estão

muito próximos.

2. Agora, peça para seu amigo inverter os dígitos. O número

923, por exemplo, viraria 329.

3. Agora, peça que subtraia o número menor do maior,

usando a calculadora se necessário. 923 - 329 = 594.

4. Depois, peça para ele inverter os dígitos novamente. O nú

mero 594 vira 495. Observe que, agora, o par de números

deve sempre ser múltiplo de 3.

5. Por fim, peça para somar ambas as respostas: 594 + 495.

Erga as mãos e diga: "Não me conte, eu sei a resposta!".

143

6. Faça uma pausa para aumentar o efeito dramático. Depois,

diga: "Sua resposta por acaso é 1.089?", e espere a reação

de espanto de seu amigo.

TRUQUE 2: ASSISTENTE SECRETO

Esse truque requer um assistente secreto na plateia, alguém que

consiga fazer cálculos de cabeça e consiga parecer surpreso.

Você também precisará de pelo menos três outras pessoas para

impressionar. Será preciso fazer alguns preparativos para que o

truque funcione bem. Eis o que você precisa fazer:

Os preparativos

Antes de os membros da plateia chegarem, escolha junto com

seu assistente um número que seja maior do que 6.000 para

ser colocado no envelope do passo 1 .

Seu assistente precisará ser capaz de subtrair do nú-

mero no envelope os números escolhidos nos passos

3, 4 e 5 - é aí que será necessário fazer cálculos de

cabeça.

No passo 6, eles terão essa resposta

à mão para usar como o ano "esco

lhido" e poderão escrever junto ao

número que vocês dois combinaram

e escreveram por baixo.

A execução 1. Comece o truque dizendo, com uma ex

pressão dramática: "Estou pensando em


um número". Dramatizando, escreva o número combinado

com seu assistente - 7.684, por exemplo - e coloque num

envelope, lacrando-o no final.

2. Deixe o envelope à vista da plateia pelo resto da duração

do truque. Certifique-se de que todos possam vê-lo a todo

momento.

3. Pergunte para um membro da plateia o ano em que ele

nasceu e escreva a resposta em um pedaço grande de

papel - 1973, por exemplo.

4. Agora, peça para outro membro da plateia dizer um ano

memorável em sua vida - 2009, por exemplo - e escreva

esse número no mesmo papel.

5. Peça para uma terceira pessoa dizer a você um ano im

portante na história - 1500, por exemplo - e escreva esse

número também.

6. Anuncie que você irá aumentar a dificuldade pedindo que

alguém da plateia escolha outro ano, do passado ou do

futuro, e que o anote no final da lista, mas sem que você

possa vê-lo. Você deve escolher seu assistente secreto para

essa tarefa! Ele precisará calcular o número usando aquele

escolhido por vocês previamente e os números dos passos

3, 4 e 5. O ano precisará ser 2202, porque 1973 + 2009 + 1500 + 2202 dá 7 684.

7. Agora peça para seu assistente "somar" os quatro números

de sua lista para poder anunciar o total. Enquanto ele estiver

somando, entregue o envelope lacrado para outro membro

da plateia.

8. Depois que seu assistente anunciar que o número é 7.684,

sua plateia ficará espantada quando o envelope for aberto

e descobrir que os números são iguais!

GÊl-410 DA MATEMÁTICA 145

DICAS E ATALHOS

Quando você mexe com números, há sempre atalhos úteis

para ajudá-lo a encontrar rapidamente uma solução. Estes são

apenas alguns deles.

DIVIDINDO POR CINCO

Pode parecer complicado dividir por cinco, a menos que você

decore todas as respostas, mas dividir por dez é bem mais fácil.

Qualquer número que você precise dividir por cinco pode ser

dividido por dez e depois dobrado para encontrar a resposta,

pois 5 = 1 O -=- 2.

Por exemplo, 90 -=- 5 pode parecer difícil à primeira vista,

mas 90 -=- 1 O é muito mais fácil: a resposta é 9.

Depois, você pode simplesmente dobrar a resposta, obtendo

1 8. Portanto:

90 -=- 5 = 18

Tente fazer o mesmo para números maiores: 280 -=- 5, por

exemplo. Também dá certo: 280 -=- 1 O = 28, e 28 x 2 = 56,

portanto 280 -=- 5 = 56.

É DIVISÍVEL?

Quer chutar por quais outros números um número pode ser

dividido? Há alguns truques simples para ajudá-lo a calcular.


Se um número é divisível por .. .

. . . 3, a soma de seus dígitos também será um múltiplo de

3. Por exemplo: você sabe que 8.904 é divisível por 3 po,~que

8 + 9 + 4 é igual a 2 1 .

. . . 4, os últimos dois dígitos serão ou dois zeros, ou serão

divisíveis por quatro.

. . . 1 O, sempre terminará em zero.

C•)#tai Para multiplicar um número por onze, prime iro multipl ique por

dez. Por exemplo, 4 25 x I O = 4.250. Depois adicione o primeiro

número à sua resposta. Portanto, 4 .250 + 425 = 4.675.

MAIS NOVE, POR FAVOR

Quando você multiplica por nove, há um truque para obter a

resposta rapidamente.

1. Erga as mãos com as palmas abertas voltadas para você.

2. Dobre os dedos correspondentes ao número que você

quer multiplicar por nove. Para 9 x4, abaixe o quarto dedo

da sua mão esquerda.

3. Conte os dedos à esquerda daquele abaixado. Nesse caso,

três. Esse é o número da dezena da resposta.

4. Agora, conte os dedos à direita. Nesse caso, seis. Esse é o

número da unidade. A resposta, portanto, é 36.

GÊNIO DA MATEMÁTICA 14 7

í"~4~) 10 "'" ~

,,._ 6

CÁLCULOS RÁPIDOS

Somar uma lista de números pode ser uma tarefa difícil, espe

cialmente quando os números não são inteiros. Considere a

seguinte lista, por exemplo:

73,4 + 98,0 + 61,9 + 83, 1 + 3,6 + 56,6 + 64, 1 + 50,0 = 490,7

Se você quiser apenas uma resposta aproximada, tente

arredondá-los para o número mais próximo antes de somá-los.

A diferença será menor do que você pensa:

73 + 9 8 + 62 + 8 3 + 4 + 5 7 + 64 + 50 = 49 1

Se você quiser realmente economizar tempo, pode arredondá

-los para o múltiplo de · , O mais próximo, obtendo um total

aproximado. A diferença da resposta abaixo é de menos de 3%:

70 + 1 00 + 60 + 80 + O + 60 + 60 + 50 = 480


QUAL É A MINHA IDADE?

O truque a seguir permitirá a você estimar a idade de alguém

usando apenas os poderes de uma calrnladora. O truque

funciona com qualquer pessoa com mais de I O anos, então é

perfeito para impressionar seus professores ou pais. Eis o que

você precisa fazer:

1. Peça para a pessoa multiplicar o primeiro número da idade

dela por cinco, mas não contar a você. Por exemplo, se a

pessoa tiver 23 anos, ela multiplicará 2 x 5, obtendo I O.

2. Peça para ela adicionar três ao número que acabou de calcular.

Essa pessoa de 23 anos somaria I O + 3, obtendo 1 3. Todos

esses cálculos devem ser mantidos em segredo por ela; você

não pode ver os cálculos que ela está fazendo.

3. Peça para_ela dobrar o número

obtido. Essa pessoa de 23

anos, então, multiplicaria

1 3 x 2, obtendo 26.

4. Em seguida, peça para

ela somar o segundo

dígito da idade dela

ao número obtido

no passo 3. A pessoa

do nosso exemplo

somaria 26 + 3, ob

tendo 29. Peça para

ela lhe dizer esse

número.

GÊNIO DA MATEMÁTICA 149

5. Agora, tudo o que você precisa fazer é subtrair seis do

número que ela revelou e, voilà, essa será a idade da pessoa!

Esse truque deve func ionar com todas as pessoas com

mais de I O anos - como mágica!

TÉCNIC~S DE MEMORIZAÇÃO MATEMATICA

A mnemônica é uma técnica para ajudar a se lembrar das coisas.

Às vezes, é uma ri ma, ou um "acrônimo" - uma palavra criada

abreviando a primeira letra de cada palavra em uma lista. LER,

por exemplo, é um acrônimo de Lesão por Esforço Repetitivo.

COMO EU GOSTARIA DE LEMBRAR DO PI!

Lembrar de mais de algumas poucas casas decimais do número

pi pode ser menos difícil do que parece à primeira vista. Você

só precisa de uma rima ou sentença onde cada palavra tem

o número correspondente de letras dos números em pi. Por

exemplo, "Sim, é útil e fácil memorizar um número muito mas

muito colossal usando-se técnica mnemônica" revela catorze

casas decimais de pi:

3, 14159265358979


PARA LEMBRAR FRAÇÕES

Em uma fração (ver páginas 27 a 29), qual número é o nume

rador e qual é o denominador? Use isso para se lembrar:

O numerador nas nuvens,

e o denominador debaixo.

MÉDIA, MODA OU MEDIANA?

Quando você está lidando com dados e médias (ver páginas

106 e 107), como se lembrar do que é média, moda e mediana?

Os termos podem confundir um pouco.

"Era uma vez uma média,

que tinha uma mediana no meio,

e com frequência queria estar na moda."

DIREÇÕES DA BÚSSOLA

Para fazer bom uso dos mapas das páginas 92 a 99, você pre

cisará saber onde é o norte, sul, leste e oeste. Use essa técnica

mnemônica para se lembrar dos pontos cardeais em sentido

horário, começando por cima, onde fica o norte:

''Não Leio Sem Óculos' '

GÊl'-410 DA MATEMÁTICA 151

matematica do zero ao infinito

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