Matemáticas hasta en la sopa

el por qué y para qué de las matemáticas aplicadasHoracio González Duharthgd20@bath.ac.uk

¿Qué son las matemáticas?

maqhma = conocimiento. Matemáticas: relativo al conocimiento.

Del DRAE: Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.

“Gleichungen sind wichtiger für mich, weil die Politik für die Gegenwart ist, aber eine Gleichung etwas für die Ewigkeit.”

– Albert Einstein

“La théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul” – Pierre Simon de Laplace

“It is the glory of geometry that from so few principles, fetched from without, it is able to accomplish so much.” – Sir Isaac Newton

De la Wikipedia: los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad mediante deducciones rigurosas.

En el mundo académico hay una extraña división entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas…

Pero en el “mundo real”… las barreras no existen.

¿En general qué hacemos los matemáticos aplicados?

Observar un fenómeno del “mundo real”

Proponer un modelo

matemático que lo explique.

Calibrar el modeloValidar el

modelo:Comparar contra la realidad

¿Hay más modelos?

Seleccionar el mejor.

Interpretar el modelo en el “mundo real”

Con más datos, ¿podemos mejorar el

modelo?

El objetivo del día de hoy es ver dónde podemos buscar patrones para hacer modelos matemáticos y ver algunos ejemplos… ¡hasta en la sopa!

Para esto hablaremos rápidamente de 4 ramas matemáticas que usamos mucho los matemáticos aplicados.

Estadística

Considérense los siguientes problemas:¿Cuánto tiempo tengo que dejar calentando la sopa para que no esté fría?

¿Cuánto tiempo para tomarme la sopa antes de que se enfríe?¿Cuánto tiempo para tomarme la sopa antes de que se eche a perder y se llene de bichos?

Quizá un par de idas y experimentos en la cocina sean suficientes para resolver estas dudas, pero aún así en el paquete de la sopa vienen instrucciones para preparar la sopa que dicen cuánto tiempo hay que dejar cocinando, a qué temperatura y hay una fecha de caducidad.¿Qué tal estos otros?

¿Cuánto tiempo ha ocurrido desde que se creó el Sol para que hoy tenga esta temperatura?¿Cuánto tiempo tiene un hospital para elevar la temperatura de un paciente antes de que muera

de hipotermia?En el 2009, ¿en cuánto tiempo el DF se hubiera contagiado de la gripe porcina AH1N1?

¡Oops! Los experimentos en la cocina son descartados automáticamente para resolver estos problemas y las respuestas empiezan a tener consecuencias importantes. Lo sorprendente es que, a los ojos del matemático aplicado, los 6 problemas son el mismo… hay que resolver un sistema dinámico.

¿Qué es un sistema dinámico?

¡Una variable que depende del tiempo!

La variable puede ser la temperatura, del Sol o de la sopa o del Capitán América… o el porcentaje de población contagiada de gripe porcina, etc…

¿Cómo depende nuestra variable del tiempo?

Es más fácil medir los cambios…

Afortunadamente en 1642, se inventaron unas técnicas para describir las variables a partir de sus cambios… a estas técnicas las llamamos cálculo diferencial e integral.

Así pues, los sistemas dinámicos son usualmente descritos por ecuaciones diferenciales…El más famoso de ellos…

Es mejor conocido como la segunda ley de Newton y relaciona la variable de fuerza en un cuerpo como función del tiempo… y la masa y la velocidad.

Esto nos hace pensar que la variable en la que estamos interesados puede depender de más cosas además del tiempo… ¡Sí! Esto es lo que conocemos como ecuaciones diferenciales parciales.

Los matemáticos aplicados trabajan con:1. Ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales)2. Cálculo diferencial e integral (real y vectorial)3. Álgebra linealTodo el tiempo para poder resolver sistemas dinámicos… y así poder escribir la receta de la sopa… o saber que faltan 4 000 000 000 años para que nuestra Vía Láctea colisione con Andrómeda.

No sólo los matemáticos aplicados lidian con estos problemas, también lo hacen los ingenieros, los físicos, los químicos, los economistas y los financieros.

Tiempo de más problemas:

¿Cuánta sal le echamos a la sopa?¿A qué temperatura pongo la estufa para preparar la sopa?

¿En qué plato sirvo la sopa?

Hay que tomar en cuenta que no queremos que se queme, ni que se sale, pero queremos que sepa bien y que no esté fría y no se tarde mucho. También queremos servirnos suficiente sopa porque tenemos mucha hambre, pero no hay que exagerar para no desperdiciar.

Estos problemas tienen en común el hecho de que queremos saber qué es lo mejor que podemos hacer al momento de tomar una decisión. Típicos problemas que los matemáticos aplicados tenemos que resolver son:¿A qué temperatura debe permanecer un reactor nuclear para que no haya accidentes?¿Cuánto dinero se debe de invertir en las acciones de una compañía para obtener el mejor retorno?¿Qué ruta deben tomar los camiones de una empresa para repartir el pan a todas sus tiendas, con el cariño de siempre?

¿Qué es y cómo resolvemos un problema de optimización?

Matemáticamente, lo que queremos es obtener el “mejor” valor de una variable que es función de variables que podemos controlar.

Esta función objetivo puede ser la probabilidad de tener un accidente en una planta nuclear y mi variable control, la temperatura del reactor. En este caso, lo “mejor” es encontrar la temperatura que minimice esta probabilidad.

temperatura

prob

abili

dad

La mejor temperatura

Noten que hay dos problemas distintos: encontrar la temperatura y encontrar la mejor probabilidad.

La mejor probabilidad

Un problema de optimización famoso entre los matemáticos es conocido como la “desigualdad isoperimétrica.”El problema es el siguiente: tomen un listón de 10 cm de longitud.

Al juntar las puntas del listón, ¿qué figura tengo que formar con el listón para que tenga la mayor área posible? ¿Cuál es esa área?

¿Un rectángulo? ¿Cuadrado? ¿Triángulo? ¿Otra cosa?

Los griegos, en la antigüedad, adivinaron la solución al problema de Dido (primera reina de Cártago y mejor conocida por el poema de Virgilio: la Eneida). Pero la solución formal fue encontrada hasta 1838 por Jakob Steiner.

¡Un círculo!

¿Qué herramientas se necesitan para resolver problemas de optimización?

Cálculo diferencial y vectorial

Hay otros problemas de optimización muy importantes llamados de programación lineal e investigación de operaciones, donde lo más importante es lo que llamamos

Álgebra lineal

Si he de mencionar dos cosas que se necesitan forzosamente para ser matemático aplicado son el cálculo y el álgebra lineal.

Estadística

Si del plato a la boca, se cae la sopa… ¿Qué pasa en el camino de la casa a la escuela?

¿Qué tan caro salen los accidentes? ¿Vale la pena asegurarse? ¿Cuánto tiene que cobrar una aseguradora? Son preguntas de administración de riesgos.

¡Mesero! ¡Mesero! ¡Hay una mosca en mi sopa!... ¿Cuántas veces tiene que pasar esta tragedia para que estemos seguros de que la higiene en la cocina del restaurante no es lo que desearíamos?

El control de calidad es importante en muchos procesos, inclusive en compañías que producen sopa.

Digan una marca de sopa:

Algunos dicen unas marcas, otros dicen otras. ¿Qué tiene que hacer cada marca para posicionarse como la mejor marca en la mente del consumidor? ¿Cómo está afectando la publicidad en mis consumidores? Estas son preguntas de investigación de mercados.

Todos problemas donde los matemáticos aplicados tenemos mucho que decir.

¿Qué es la estadística? ¡No confundir con qué es probabilidad!

Aún cuando muchos no consideran a la estadística como rama de las matemáticas.La estadística es una herramienta muy importante tanto para las ciencias exactas y los estudios sociales.Razón suficiente para que los matemáticos aplicados sean expertos en esta disciplina.

Entre las técnicas estadísticas más utilizadas, sin lugar a dudas está el análisis de regresión.Consiste en lo siguiente: digamos que se tienen 100 personas y a cada una se le hacen dos mediciones, digamos su peso y su estatura. ¿Hay alguna relación entre estas dos variables?¿Cuál es esta relación?

estatura

peso

Peso = f(estatura)La forma funcional más simple y con la que se empieza a trabajar es la recta, mejor ubicada por su pendiente y ordenada al origen:

Un ejemplo más complicado pero más práctico: una prestigiosa universidad ha tenido alumnos de matemáticas aplicadas desde 1974. Con esta información sabe el promedio final y la calificación de su examen de admisión de cada uno de esos alumnos. Este año habrá 100 nuevos estudiando aplicando y se les hace el examen de admisión a todos. ¿A cuántos y a cuáles alumnos debe aceptar?

¿Qué se necesita saber para estudiar estadística?

No, no hay ninguna sorpresa aquí… ¡Cálculo y álgebra lineal! Aunque también probabilidad.

Las típicas gráficas que ven los estadísticos son como

Llamada la “campana” Gaussiana

Como ya mencionamos, la estadística es importante no sólo para los matemáticos aplicados, sino para los actuarios, economistas, ingenieros, mercadólogos, psicólogos, biólogos, químicos, etc, etc, etc…

Es hasta este momento que no diré de la sopa…

… pero no es que no tenga nada que ver.

Es que el análisis numérico es precisamente la rama de las matemáticas que tiene como objetivo usar una computadora para resolver todos los problemas anteriormente mencionados.

Alan Turing es considerado el padre de las ciencias de la computación y mucho de lo que ahora es la inteligencia artificial está basado en lo que fue su trabajo.

¿Qué se necesita saber para estudiar análisis numérico?

¡Ahora sí! Para sorpresa de todos el cálculo no es lo más importante.

El cálculo trabaja con conceptos que incluyen procesos y números infinitamente pequeños o grandes… y las computadoras no entienden estos conceptos.

Se necesita de lógica, programación y la que no puede faltar: álgebra lineal. La idea es generar algoritmos finitos que permitan hacer aproximaciones de nuestros problemas de cálculo.

Un algoritmo famoso reciente… es el algoritmo de búsqueda de Google, y aunque no es muy complicado, sí requiere de algunos conceptos de álgebra lineal.

Uno más sencillo, pero igual famoso es el “bubble sort” u ordenamiento de burbuja, que sirve para ordenar una lista de números dados en desorden.

¿Qué aprendimos de todo esto?

¡Hay gente allá afuera, en la “vida real” que hace matemáticas para resolver problemas! ¡Incluso algunos están relacionados con compañías que hacen sopa

¡Al revés también! Hay problemas que no requieren matemáticos aplicados, pero que siempre se pueden ver desde una perspectiva matemática.

¡El mundo de las matemáticas aplicadas es muy apasionante! Se requieren personas apasionadas por su trabajo y que les gusten las matemáticas.

¡Busquen Vihart en YouTube!

¡Cálculo y álgebra lineal!

¿Dónde se puede estudiar matemáticas aplicadas?

Los problemas no se encuentran en el “mundo real” como nos los ponen en el examen, hay que ir a poner las matemáticas en los problemas.