matematička optimizacija tehničkih...

530577-TEMPUS-1-2012-1-RS-TEMPUS-JPCR IMPROVEMENT OF PRODUCT DEVELOPMENT STUDIES IN SERBIA AND BOSNIA AND HERZEGOVINA

web: http://iprod.masfak.ni.ac.rs

1

Matematička optimizacija tehničkih sistema

Prof. dr Nenad Marjanović,

Fakultet inženjerskih nauka Univerziteta u Kragujevcu Katedra za Mašinske konstrukcije i mehanizaciju



2

MATEMATIČKA OPTIMIZACIJA TEHNIČKIH SISTEMA

Optimizacija se definiše kao nauka koja se bavi određivanjem "najboljeg" rešenja određenog, matematički definisanog, problema. Posedovanje najboljeg rešanja ili rešenja bliskih najboljem vodi uštedama u materijalu i energiji (čiji su resursi ograničeni) ili postizanju finansijske dobiti ili postizanju najveće pouzdanosti ili sigurnosti u radu itd. Optimizacijom se teži minimizaciji negativnih efekata (napora, troškova, itd.) ili maksimizaciji pozitivnih efekata (dobiti).



3

OPŠTI POJMOVI

Postupak optimizacije konkretnog sistema može se formalno podeliti na dva nivoa. Na prvom nivou potrebno je jednoznačno definisati problem i uspostaviti egzaktne odnose uticajnih parametara i rešenja u uslovima pod kojim sistem treba da funkcioniše. Drugi nivo predstavlja izbor neke od poznatih ili razvoj nove metodologije za rešavanje postavljenog problema, pri čemu definisani problem mora da zadovolji formalna i matematička ograničenja izabrane metode, a izabrana metoda mora da omogući pouzdano i tačno određivanje optimalnih rešenja na što jednostavniji i brži način.



4

OPŠTI POJMOVI

Postupak rešavanja optimizacionih zadataka se sastoji iz sledećih pet faza: • formulacija problema, • izrada matematičkog modela koji reprezentuje realni sistem, • izbor i primena metode, izbor algoritma i programa za računar (eventualno modifikacija ili razvoj nove metode, razrada algoritma ili izrada programa za računar), • testiranje modela i dobijenih rešenja i • implementacija.



5

OPŠTI POJMOVI

Postupak rešavanja optimizacionih zadataka se sastoji iz sledećih pet faza: • formulacija problema, • izrada matematičkog modela koji reprezentuje realni sistem, • izbor i primena metode, izbor algoritma i programa za računar (eventualno modifikacija ili razvoj nove metode, razrada algoritma ili izrada programa za računar), • testiranje modela i dobijenih rešenja i • implementacija.



6

OPŠTI POJMOVI

Promenljive optimizacije Kvantitativne veličine za koje treba izabrati vrednosti u procesu optimizacije nazivaju se promenljivim optimizacije.

{ }1 2, , ... nX x x x=

Svaka kombinacija promenljivih optimizacije naziva se rešenjem ili konstrukcijom. Rešenja koja zadovoljavaju ograničenja postavljena zadatkom nazivaju se dopustivim (prihvatljivim), a dopustivo rešenje koje daje najbolju (u slučaju minimizacije najmanju, a u slučaju maksimizacije najveću) vrednost funkcije cilja je optimalno rešenje (konstrukcija).



7

OPŠTI POJMOVI

Funkcija cilja Funkcija cilja je funkcija kojom se matematički definiše kriterijum odnosno cilj optimizacije. U matematičkom smislu funkcija cilja se izražava nekom funkcijom . Zadatak optimizacije je da se odredi njena ekstremna vrednost, odnosno vektor promenljivih optimizacije za koji funkcija cilja dostiže ekstremnu vrednost.

( )f X

optX



8

OPŠTI POJMOVI

Skup ograničenja Svaki sistem funkcioniše i ostvaruje ciljeve pod određenim uslovima definisanim ograničenjima. Skup ograničenja je definisan sistemom od m jednačina i/ili nejednačina u kojima figurišu promenljive optimizacije.

( ) 10; 1, 2,ig X i m= =

( ) 1 10; 1, 2, ...,ig X i m m m≥ = + +



9

OPŠTI POJMOVI

U skupu ograničenja G mogu nastati sledeći slučajevi: •skup G je protivrečan, što znači da ne postoji ni jedno rešenje koje zadovoljava sva ograničenja, •skup ograničenja G nije protivrečan ali je dopustiva oblast D (oblast dopustivih rešenja) određena skupom G neograničena. Optimizacioni zadatak će imati rešenje ako funkcija cilja nije neograničena u dopustivoj oblasti D. •Skup ograničenja G nije protivrečan a oblast dopustivih rešenja je ograničena. U ovom slučaju rešenje se može naći ako funkcija cilja ima konačnu vrednost u ograničenoj oblasti D.



10

OPŠTI POJMOVI

Matematički model Formiranje matematičkog modela obuhvata definisanje funkcije cilja , skupa ograničenja i sistematizovano prikupljanje, verifikovanje i sređivanje potrebnih podataka u cilju kompletiranja jedne ili više varijanti modela. Matematički model je najčešće rezultat originalne sinteze međusobne zavisnosti promenljivih optimizacije.

( )f X ( )G X



11

OPŠTI POJMOVI

Opšta definicija optimizacionog zadatka Potrebno je naći ekstremnu vrednost funkcije cilja:

( )G X

uz zadovoljenje ograničenja ( ) ( )min max f X



12

PODELE METODA MATEMATIČKE OPTIMIZACIJE

Podela prema obliku funkcija problema Ukoliko su sve funkcije problema linearne tada se radi o linearnom programiranju. Za zadatke linearnog programiranja postoji opšti metod rešavanja (Simplex) koji je razvio Dantzing 1947. godine. Nelinearno programiranje predstavlja jedan široki skup metoda za rešavanje zadataka u kojima u funkciji cija ili funkacijama ograničenja postoji bar jedna nelinearnost. Pored linearnog i nelinearnog programiranja postoji i čitav niz metoda primenljivih u nekim specijalnim optimizacionim zadacima.



13


Podela prema obliku funkcija problema Dinamičko programiranje je metoda matematičkog programiranja koja rešava probleme optimizacije vremenski zavisnih ili višeetapnih procesa. Privi rad iz dinamičkog programiranja je objavio Bellman 1957. godine i to je čisto numerička metoda, pa je njena primena praktično nezamisliva bez primene računara. Heurističko programiranje je skup kombinacija različitih heuristika koje se koriste za rešavanje nepotpuno definisanih optimizacionih zadataka. Heuristika se definiše kao postupak koji na bazi elementarnih činjenica obezbeđuje dolaženje do složenih istina.



14


Podela prema obliku funkcija problema Mrežno programiranje predstavlja posebnu oblast operacionih istraživanja koja je razvijena i najviše se primenjuje u oblasti organizacije proizvodnje. Postoji veliki broj metoda mrežnog programiranja, a najpoznatije su CPM (Critical Path Method) i PERT (Program Evalution and Review Technique). Optimalno rezerviranje rešava probleme pouzdanosti složenih tehničkih sistema. Zadatak optimalnog rezeviranja se može postaviti na sledeći način: postići maksimalnu pouzdanost sistema sa ograničenim sredstvima, ili postići određenu pouzdanost ili neki drugi parametar funkcionisanja sistema uz minimalnu potrošnju sredstava (finansijskih ili tehničkih).



15


Podela prema obliku funkcija problema Teorija igara se odnosi na zadatke operacionih istraživanja koji rešavaju situacije u kojima dva ili više subjekata pokušavaju da ostvare svoje, obično potpuno suprotne ciljeve.



16


Klasifikacija metoda Operacionih istraživanja

METODE OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA

Metoda eliminisanja promenljivih Metoda Jacobian-a

Metoda Lagrangžeovih množitelja Metoda kaznenih funkcija

Metoda izravnavajućih promenljivih

Metode direktnog pretraživanja Gradijentne metode

Metode fleksibilne tolerancije

Kvadratno programiranje Separabilno programiranje Celobrojno programiranje

Analitičke metode

Numeričke metode

Specijalni slučajevi nelinearnog

programiranja

NELINEARNO PROGRAMIRANJE

Simpleks metoda LINEARNO PROGRAMIRANJE

DINAMIčKO PROGRAMIRANJE

OPTIMALNO REZERVIRANJE

HEURISTIčKO PROGRAMIRANJE

TEORIJA IGARA

MREŽNO PLANIRANJE

Statističko modeliranje Metoda Monte Carlo

Metoda CPM Metoda PERT

. . .



17


Klasifikacija metoda optimizacije preme obliku funkcija problema

Osobine funkcije cilja Osobine funkcija ograničenja

- funkcija jedne promenljive

- linearna funkcija

- linearna funcija najmanjih kvadrata

- nelinearna funkcija najmanjih kvadrata

- kvadratna funkcija

- nelinearna funkcija najmanjih kvadrata

- neprekidna nelinearna funkcija

- prekidna nelinearna funkcija

- nediferencijabilna nelinearna funkcija

- bez ograničenja

- proste granice

- linearne funkcije

- diferencijabilne nelinearne funkcije

- prekidne nelinearne funkcije

- nediferencijabilne nelinearne funkcije



18


Podela prema postojanju ograničenja Zadaci bez ograničenja. Zadaci sa ograničenjima. Postojanje i oblik ograničenja utiču na izbor i efikasnost metode. Ograničenja mogu biti u obliku jednakosti ili nejednakosti.



19


Ograničenja u obliku nejednakosti definišu se kao hiperpovrši u n dimenzionalnom prostoru. Tačke sa jedne strane površi su dopustive, a sa druge su nedopustive. Ako se neka tačka nalazi na ovoj površi kaže se da je ograničenje aktivno u toj tački.

Aktivna i pasivna ograničenja



20


Ograničenja oblika nejednakosti se mogu transformisati u oblik jednakosti primenom tzv. izravnavajućih funkcija na sledeći način:

( ) ( ) ( ),i n i i i n ih X x g X s x+ += +

gde je izravnavajuća funkcija čiji je najjednostavniji oblik: is

( ) 2i n i n is x x+ +=

Metode za rešavanje zadataka bez ograničenja se mogu koristiti i za rešavanje problema sa ograničenjima tako što se na neki način ograničenja uključe u transformisanu funkciju cilja.



21


Kod metode Lagrange-ovih množitelja transformisana funkcija cilja ima sledeći oblik:

( ) ( ) ( )1

,m

i ii

X f X g X=

φ Λ = + λ∑

gde je m - dimenzionalni vektor Lagrange-ovih množitelja

{ }1 2, , , mΛ = λ λ λ



22


Primena kaznenih funkcija:

gde je m - dimenzionalni vektor kaznenih konstanti koje imaju vrlo velike vrednosti tako da nikakve promene u vrednosti funkcije cilja ne mogu neutralisati narušavanje bilo kog ograničenja.

( ) ( ) ( )2

1,

m

i ii

X P f X p g X=

φ = + ∑

{ }1 2, , , mP p p p=

ip →∞



23


Drugi način rešavanja problema sa ograničenjima je takozvani direktni, kod koga se ne vrši transformacija funkcije cilja već se problem posmatra i rešava kao ograničen u svakom trenutku, što znači da se ni u jednom trenutku ne napušta dopustiva oblast.



24


Podela prema načinu rešavanja Analitičke metode za zasnivaju na matematičkom određivanju stacionarnih tačaka funkcije. Uslov da je neka tačka stacionarna je:

0fX∂

=∂

Numeričke metode



25


Podela prema tipu promenljivih optimizacije Prema ovoj podeli optimizacioni problemi mogu biti sa: - kontinualnim, - diskretnim, - celobrojnim, - 0 -1 i - mešovitim promenljivim.



26


Podela prema broju kriterijuma Ukoliko se kvalitet rešenja konkretne konstrukcije može izraziti samo jednim kriterijumom radi se o jednokriterijumskoj optimizaciji. Kada se u obzir uzima više neusklađenih ciljeva tada se radi o višekriterijumskoj optimizaciji.



27


Podela prema broju promenljivih Metode optimizacije po ovoj klasifikaciji se dele na: • jednodimenzionalne i • višedimenzionalne.



28


Nelinearno programiranje predstavlja širi skup metoda operacionih istraživanja za rešavanje optimizacionih zadataka čiji matematički model sadrži bar jednu, a obično više, nelinearnih veza.

Stacionarne tačke nelinearne funkcije - tačke 2 i 4 su tačke minimuma, - tačke 1, 3 i 5 su tačke maksimuma, a - tačka 6 je prevojna (sedlasta) tačka.



29


Konveksnost funkcija Konveksne funkcije su funkcije za koje između bilo koje dve tačke 1 i 2 funkcija dobija vrednosti manje ili jednake vrednostima na pravolinijskom segmentu koji spaja tečke 1 i 2



30


Uslovi optimalnosti Za konveksne probleme nelinearnog programiranja potrebni i dovoljni uslovi za optimum se najčešće definišu Kuhn - Tucker - ovim uslovima. Tačka je optimalna ako je:

( )

( ) ( )

1

1

1. * dopustiva tačka,2. * 0, 1, 2, ..., , 0,

3. * * 0.

j j j

m

j jj

Xg X j m

f X g X=

λ = = λ ≥ ∇ + λ ∇ =

∑

*X

Za nekonveksne probleme uslovi optimalnosti se definišu na drugi način (Fritz - John - ovi uslovi).



31


Metode nelinearnog programiranja Metode nelinearnog programiranje se obično klasifikuju prema redu korišćenih izvoda na sledeći način: - metode nultih izvoda, - metode prvih izvoda, - metode drugih (viših) izvoda, - metode fleksibilnog poliedra i - specijalni slučajevi nelinearnog programiranja



32


Metode nultih izvoda Kordinate probne tačke u r toj iteraciji se mogu matematički definisati na sledeći način:

1r r r rX X s P−= + ⋅

Karkteristični predstavnici ovih metoda su metode Hookee - Jeeves, Powell, Rosenbrock, itd...



33


Metode prvih izvoda Metode prvih izvoda ili gradijentne metode koriste pravac gradijenta kao pravac promene i poboljšanja dopustivih rešenja.

Karakteristični predstavnik gradijentnih metoda je metod najbržeg uspona i njegove modifikacije i metod promenljive metrike.

( )1r r r rX X s f X−= + ⋅∇



34


Metode drugih izvoda Metode drugih izvoda ili Newton-ove metode koriste u procesu optimizacije vrednosti drugih izvoda funkcije cilja u posmatranoj tački do koje je proces optimizacije stigao.



35


Metode fleksibilnog poliedra Metode fleksibilnog poliedra predstavljaju grupu metoda u kojima sa ne koriste izvodi funkcija problema, ali se one suštinski razlikuju od metoda direktnog pretraživanja. Osnovna ideja ovog pristupa je da se pođe od n - dimenzionalnog poliedra, koji obuhvata tačku optimuma, pa da se u uzastopnim iteracijama vrši sužavanje ove oblasti i približavanje optimalnoj vrednosti. Karakteristični predstavnici metoda fleksibilnog poliedra su metod Nelder-Mead-a i metod Complex Box.



36


Specijalni slučajevi nelinearnog programiranja •Kvadratno programiranje se odnosi na probleme kod kojih je funkcija cilja kvadratnog oblika, a skup ograničenja linearan. •Separabilno programiranje se odnosi na nelinearne probleme kod kojih se funkcija cilja može izraziti kao zbir više funkcija koje zavise samo od po jedne promenljive. •Stohastičko programiranje se odnosi na zadatke nelinearnog programiranja kod kojih su sve ili samo neke promenljive optimizacije opisane kao slučajne veličine.



37


•Celobrojno linearno programiranje reševa zadatke linearnog programiranja kod kojih promenljive optimizacije mogu uzeti samo celobrojne vrednosti. Zadaci celobrojnog linearnog programiranja obuhvaćeni su širom klasom zadataka nelinearnog programiranja sa mešovitim promenljivim (MDNLP - Mixed Discrete Non-Linear Programming). •Geometrijsko programiranje je metodologija rešavanja jedne posebne podklase zadataka kod kojih su funkcije cilja i ograničenja nelinearne funkcije određenog oblika. •Ciljno programiranje ce koristi u problemima kod kojih je optimizacioni zadak postavljen kroz jedan ili više međusobno suprostavljenih ciljeva, koje treba dostići, ili im se što više približiti.



38

METODE FLEKSIBILNOG POLIEDRA

Metode fleksibilnog poliedra spadaju u klasu numeričkih metoda koje rešavaju opšte probleme nelinearnog programiranja. Prednosti metoda fleksiblnog poliedra ogledaju se u sledećem: - ne traže se izvodi funkcija, - garantuje se konvergencija, - u računskom pogledu su efikasne i - sa stanovišta korisnika su relativno jednostavne za primenu.

Dve najšire korišćene metode fleksibilnog poliedra su metode Nelder - Mead za zadatke bez ograničenja i Box - ova metoda kompleksa za zadatke sa ograničenjima



39


Metoda Nelder – Mead Ova metoda je razvijena 1964. godine , a poznat je pod nazivima metod fleksibilnog poliedra ili metod opadajućeg simpleksa. Skup od n + 1 međusobno ekvidinstantnih tačaka u n- dimenzionalnom prostoru naziva se regularnim simpleksom. U slučaju dve dimenzije simpleks je jednakostranični trougao, a u slučaju tri dimenzije to je pravilni tetraedar. Suština metode Nelder - Mead je u korišćenju neregularnog (narušenog) simpleksa, tj. fleksibilnog poliedra, što mu omogućava da se bolje prilagodi obliku funkcije cilja. Metoda Nelder - Mead je vrlo robusna pri rešavanju optimizacionih zadataka bez ograničenja, ne koristi izvode i praktično ne postoje ograničenja u obliku funkcije cilja.



40


Procedura Nelder - Mead se sastoji iz tri osnovne operacije: refleksije, ekspanzije i kontrakcije.



41


BOX - ov metod kompleksa Box - ovom metodom se rešava zadataka minimizacije (maksimizacije) funkcije cilja, pri čemu su promenljive optimizacije podvrgnute eksplicitnim (prirodnim) i implicitnim ograničenjima. Posebnu pažnji treba posvetiti postizanju globalnog, a ne lokalnog optimuma.



42


Ilustracija metoda fleksibilnog poliedra



43

OPTIMIZACIONI ZADACI SA MEŠOVITIM PROMENLJIVIM

Problem mešovitog diskretnog nelinearnog programiranja se može formulisati na sledeći način:

( ) ( )( )( )

{ }

1

1 1

1 2

min/ max uz zadovoljenje:

0, 1, 2, ..., ,

0, 1, 2, ..., ,

, , , ..., , 1, 2, ..., i

, 1, 2, ..., ,i

i

i

i i i i i iq d

i i i

f X

g X i m

g X i m m m

x D D d d d i n

l x u i n

= =

≤ = + +

∈ = =

≤ ≤ =



44


Osobine modela mešovitog diskretnog nelinearnog programiranja koje donekle objašnjavaju složenost rešavanja ovih zadataka su: •Postojanje nerešivih zadataka



45


•Ne postoji jedinstven kriterijum za prekid procesa iterativnog pretraživanja. •Veličina diskretnosti (tj. koliko su razmaknute diskretne tačke) bitno utiče na ponašanje numeričkih algoritama pretraživanja i na tačnost dobijenih rešenja. •Diskretne tačke najbliže kontinualnom optimumu ne moraju biti (i najčešće nisu) optimalne



46


Metode rešavanja optimizacionih zadataka sa mešovitim promenljivim Postoji više metoda za rešavanje zadataka sa mešovitim promenljivim: •Metode grananja. •Aproksimativne metodama. •Ad – hoc metode.



47


Numeričke metode za rešavanje mešovitog diskretnog nelinearnog programiranja se dele u šest grupa i to: •metode grananja i ograđivanja, •metode simulacije kaljenja, •celobrojno programiranje, •metode sekvencijalne linearizacije, •metode zasnovane na kaznenim funkcijama, •Lagrange - ove relaksacione metode i •ostale metode.



48


Metode grananja i ograđivanja Uobičajeni pristup metoda grananja i ograđivanja je da se sistematski pretražuju kontinualna rešenja, dok se diskretne promenljive prisiljavaju da uzmu diskretne vrednosti iz zadatog skupa. Logička struktura za skup rešenja je u obliku stabla za svaku promenljivu. Na početku se optimalna tačka dobija tako što se sve promenljive tretiraju kao kontinualne. Dobijeno rešenje, za slučaj konveksnih problema, je najbolje rešenje, a uvođenje diskretnih promenljivih će pogoršati vrednost funkcije cilja.



49


Ako je dobijeno rešenje diskretno proces se zaustavlja. Ako neka od promenljivih nije diskretna tada njena vrednost leži između dve diskretne vrednosti tj.: . Sada se definišu dva subproblema, jedan sa ograničenjem i drugi sa ograničenjem . Proces grananja se nastavlja sve dok se ne dobije dopustivo diskretno rešenje, pri čemu se u svakom čvoru posmatra samo po jedna grana.

d x dij i ij< < +1x di i≤

x di i≥ +1



50


Funkcija cilja koja odgovara ovom rešenju postaje gornja granica (u slučaju minimizacije) za optimalno rešenje originalnog problema. Sada se svi čvorovi stabla grananja koji imaju vrednost funkcije cilja veću od određene gornje granice mogu eliminisati iz daljeg razmatranja, zato što uvođenje sledećih diskretnih promenljivih može samo pogoršati vrednost funkcije cilja, koja je već lošija od gornje granice. Ovaj proces se naziva ograđivanjem.



51

HEURISTIČKE METODE OPTIMIZACIJE

Radikalna alternativa determinističkom pristupu može biti metoda Monte Carlo. Heurističke metode pretraživanja ili tehnike heurističke optimizacije takođe uključiju stohastičke elemente. Heuristika koja se ovde objašnjava je razvijena da rešava optimizacione probleme ponavljanjem generisanja i testiranja novih rešenja.



52


Heuristički pristup Proizvođač igračaka Hasbro Inc, je napravio popularnu igricu pod nazivom Mastermind. Identična je logika naše “slagalice”. Karakterističan početnički pristup je da se izvrši Monte Carlo pretraživanje pokušavajući sa različitim, potpuno slučajnim pogađanjima (oko 360 kombinacija). Napredniji igrači takođe započinju sa potpuno slučajnim pogađanjem, ali oni smanjuju “stepen slučajnosti” u uzastopnim pogađanjima razmatranjem ishoda prethodnih pogađanja.



53


Osobine metoda heurističke optimizacije Centralna zajednička osobina svih metoda heurističke optimizacije je da započinju sa manje ili više proizvoljnim početnim rešenjem, iterativnim kreiranjem novih rešenja po nekom pravilu generisanja i procenom novih rešenja i eventualnim prikazivanjem najboljeg rešenja koje pronađeno u procesu pretraživanja.



54


Najvažniji aspekti koji omogućavaju poređenja između pojedinih metoda su: Generisanje novog rešenja. Novo rešenje se može generisati modifikovanjem trenutnog rešenja (pretraživanje bliskih rešenja – okoline) ili na kreiranju novog rešenja na osnovu prethodnih iskustava ili rezultata. Tretiranje novog rešenja. U cilju prevazilaženja lokalnih optimuma, metode heurističke optimizacije obično ne razmatraju samo ona nova rešenja koja vode trenutnom poboljšanju, već takođe i neka od od onih koja su namerno inferiorna u odnosu na najbolje do tada pronađeno rešenje.



55


Broj tačaka pretraživanja. Dok u nekim metodama za poboljšanje rešenja koristi po jedna tačka, metode zasnovane na populaciji često koriste kolektivno znanje prikupljeno u prethodnim iteracijama. Ograničavanje prostora pretraživanja. Pošto je prostor pretraživanja obično širok, nova rešenja se mogu pronaći unutar neke okoline trenutnog rešenja, ili one populacije koja je (implicitno) obećavajuća.



56


Prethodno znanje. Kada postoje opšte smernice o tome šta će verovatno dati dobro rešenje, ovo prethodno znanje se može uključiti u izbor početnih rešenja ili u proces pretraživanja (vođeno pretraživanje). Fleksibilnost za različita ograničenja. Dok postoje prave metode opšte namene koji se mogu primeniti na praktično bilo koju vrstu problema optimizacije, neke metode su prilagođene za pojedine vrste ograničenja i stoga ih je teško primeniti na druge klase problema optimizacije.



57


Testiranje i rangiranje različitih algoritama se vrši po kriterijumima: •Jednostavnost implementacije. •Proračunska složenost. •Brzina konvergencije. •Pouzdanost.



58


Simulacija kaljenja i prag prihvatljivosti Kirkpatrick, Gellat i Vecchi su 1983. godine predstavili jednu od najjednostavnijih i najopštijih tehnika heurističke optimizacije za koju se ispostavilo da je, takođe, jedna od nejefikasnijih – metoda simulacije žarenja – Simulated Annealing. Ovaj algoritam imitira proces kristalizacije za vreme hlađenja ili žarenja. Kada je materijal topao, čestice imaju visoku konetičku energiju i kreću se manje – više slučajno u odnosu na svoje ili pozicije drugih čestica. Hlađenjem materijala se dobija da se više čestica usmeri prema pravcima koji minimiziraju energetsi balans.



59


Algoritam simulacije žarenja radi isto kada traži optimalne vrednosti promenljivih optimizacije: On ponovljeno predlaže slučajne modifikacije trenutnog rešenja, ali progresivno zadržava samo ona koja poboljšavaju trenutno rešenja. Dueck i Scheuer (1990.) su predložili determinističko pravilo prihvatljivosti, što algoritam čini još jednostavnijim: Prihvatati svaku slučajnu modifikaciju sve dok rezultujuće pogoršanje ne prevazilazi neki prag; ovaj prag se smanjuje kroz iteracije. Ovaj algoritam je poznat kao prag prihvatljivosti – Trashold Accepting.



60


Uopšteni postupak metode simulacije žarenja



61


Ilustracija metoda simulacije žarenja



62


Metode zasnovane na evoluciji i genetski modeli Jedan od prvih algoritama koji se odnosi na optimizacione probleme su evolucione strategije autora Rechenberga (1965.). Ovde se generiše populacija od P vektora početnih rešenja. U svakom od narednih iteracionih koraka, svaka individua se tretira kao roditelj koji proizvodi jedan izdanak dodavanjem slučajnih modifikacija roditeljskom rešenju. Od sada duplirane populacije, bira se samo P najboljih rešenja koji će konstituitati roditeljsku populaciju u sledećoj generaciji.



63


Metode zasnovane na evoluciji su značajno potvrđene prednostima genetskih algoritama. Holland (1975) je pripisao verovatnoću reprodukcije idividualnim hromozomima , koji pokazuju njihovu relativno dobro stanje u okviru populacije. U smislu principa „preživljavanja najjačih“ visoka sposobnost povećava šanse (višestruke) reprodukcije, a niska sposobnost će u krajnjem slučaju voditi izumiranju.



64


Primeri operacija evolucije sa binarnim zapisu



65


Ilustracija genetskog algoritma



66


Sistem mrava i optimizacija metodom kolonije mrava (Ant Colony) Evolucija je obdarila mrave jednostavnom, ali ekstremno efikasnom metodom za pronalaženje najkraćih puteva. Dok se kreću, mravi ostavljaju feromonske tragove koji pomažu njima i njihovim sledbenicima da se orijentišu. Za ilustraciju ovog principa usvaja se da su mravinjak N i izvor hrane F razdvojeni preprekom O i da postoje dva alternativna pravca za napuštanje mravinjaka N koji vode do izvora hrane F, različitih dužina.



67


Jednostavan primer traganja za hranom sa kolonijom od dva mrava

Dorigo, Maniezzo i Coloroni (1991) su transformisali ovo ponašanje na heurističku optimizaciju koja je nazvana kolonija mrava, tako što populacija veštačkih mrava pretražuje graf, gde čvorovi odgovaraju lokacijama, a lukovi predstavljaju količinu feromona, t. j. atraktivnost izbora putanje koja povezuje ove lokacije.



68


Ilustracija metode kolonije mrava



69


Memetički algoritmi Moscato (1989) je predložio metod koji kombinuje prednosti oba koncepta koristeći populaciju promenljivih koje pojedinačno vrše lokalna pretraživanja slično metodi simulacije žarenja. Pored pretraživanja okoline nezavisno od prethodnih rešenja, ove metode se takmiče i sarađuju: Takmičenja se održavaju na turnirima gde jedno rešenje izaziva druga i ako pobeđuje, nameće rešenje; saradnja se može ostvariti kombinovanjem rešenja sa operacijama ukrštanja kao što je poznato, npr. iz genetskog algoritma.



70

IZBOR METODE OPTIMIZACIJE

Postojanje velikog broja različitih metoda optimizacije postavlja pred konstruktora pitanje izbora najprikladnije za rešavanje konkretnog problema. Može se reći da je u optimizaciji mašinskih sistema mali broj zadataka na koje se direktno mogu primeniti razvijene metode i softver. Sa druge strane razvijati novu metodu za svaki konkretan problem je nemoguće i besmisleno. To znači da se za najveći broj optimizacionih zadataka koriste postojeće metode uz manje ili veće promene i prilagođavanja konkretnom zadatku. Pri izboru metode optimizacije potrebno je poštovati sledeće pravilo: postavljeni zadatak treba da zadovolji matematička i formalna ograničenja korišćene metode, a korišćena metoda treba da obezbedi pouzdano dolaženje do tačnih rešenja za što kraće vreme i uz što manje napora i troškova.



71


Najvažniji faktori koji utiču na efikasnost metode optimizacije su: •da li se mogu rešavati svi optimizacioni zadaci iz skupa za koji je metoda namenjena, •koliko je dobijeno rešenje blisko stvarnom optimumu, •koliko sredstava angažuje metoda za svoju primenu, koliko dugo traje proces optimizacije, koliko memorije računara se koristi, itd.



72


Efikasnost i opštost metoda optimizacije

Pored ovih karakteristika, u fazi izbora metode značajan uticaj ima i robusnost metode.



73


Postoji veliki broj faktora koji utiču na izbor metode optimizacije: •utrošeno radno vreme i drugi troškovi potrebni za razvoj programa, •kalendarsko vreme neophodno za razvoj programa, •troškovi vremena izvršavanja za rešavanje željenog optimizacionog problema, •očekivana pouzdanost programa u nalaženju željenog rešenja, •fleksibilnost programa (da li se može koristiti na različite načine za rešavanje opšteg problema), •uopštenost programa, da li može biti korišćen za rešavanje drugih problema i •lakoća sa kojom se program i njegovi izlazni prikazi mogu koristiti.



74


Klasifikacija metoda optimizacije



75

VIŠEKRITERIJUMSKA OPTIMIZACIJA

U zadacima optimizacije često se javlja situacija da kvalitet rešenja nije moguće izraziti samo jednim kriterijumom. Različiti kriterijumi su obično neusklađeni, tj. poboljšanje jednog kriterijuma izaziva pogoršanje bar jednog od ostalih kriterijuma. Ovakva situacija se formuliše kao višekriterijumska optimizacija koja se još naziva i višeperformansna, višeciljna ili vektorska optimizacija. Zadatak višekriterijumske optimizacije je da se odredi dopustivo rešenje koje je "najbolje" ne samo za jednu, nego za nekoliko funkcija ciljeva. Prvu formulaciju problema višekriterijumske optimizacije dao je Pareto još 1896. godine. Značajnu ulogu u višekriterijumskoj optimizaciji ima "donosilac odluka".



76


Osnovni pojmovi Problem višekriterijumske optimizacije se matematički može definisati na sledeći način: potrebno je naći vektor koji zadovoljava m1 ograničenja u obliku jednakosti:

{ }1 2, , ...,opt opt opt optnX x x x=

( ) 10, 1, 2, ...,jg X j m= =

i m - m1 ograničenja u obliku nejednakosti:

( ) 1 10, 1, 2, ..., ,jg X j m m m≥ = + +



77


za koji vektor funkcija ciljeva:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , ..., ,kF X f X f X f X=

dostiže svoju optimalnu (maksimalnu ili minimalnu) vrednost.



78


tada je vektor Xopt , svakako, traženo optimalno rešenje.

opt dopX X∈

( ) ( ) , 1, 2, ..., ,opti idop

f X f X i kX X

∧ ≤ = ∈

Glavni problem višekriterijumske optimizacije je na koji način konkretno rešenje okarakterisati "dobrim" ili "lošim". Ako postoji takvo da za svako i = 1, 2, ..., k (ukoliko se vrši minimizacija) bude:



79


Idealno rešenje Idealno rešenje predstavlja skup vektora promenljivih za koje sve funkcije ciljeva postižu svoje ekstremne vrednosti. Ako ove ekstremne vrednosti mogu da se odrede onda je:

vektor koji minimizira i - tu funkciju cilja . Drugim rečima vektor je takav da je (za slučaj minimizacije):

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , ...,id i id i id i id inX x x x=

( )if X( )id iX( )( ) ( ){ }min

dop

id iidi i i

X Xf f X f X

∈≡ =



80


Pareto optimum Koncept ovog optimuma formulisao je V. Pareto 1896. godine i on predstavlja pojam od fundamentalne važnosti u višekriterijumskoj optimizaciji. Tačka je Pareto minimalna ako je za svako

P dopX X∈dopX X∈

( ) ( ) , 1, 2, ...,Pi if X f X i k= =

i ako postoji najmanje jedno i takvo da je:

( ) ( )Pi if X f X>



81


Ova definicija zasniva se na intuitivnoj pretpostavci da je dopustiva tačka Pareto optimalna ako vrednost ni jedne funkcije cilja ne može biti poboljšana bez pogoršanja najmanje jednog od ostalih kriterijuma.

Pareto optimalna rešenja



82


MIN - MAX optimum Ideja MIN - MAX optimuma i njegova primena u problemima višekriterijumske optimizacije preuzeta je iz teorije igara, dela operacionih istraživanja čiji je cilj rešavanje konfliktnih situacija. MIN - MAX optimum poredi relativno odstupanje funkcija ciljeva od separatno dostižnih optimalnih vrednosti. Relativno odstupanje i - te funkcije cilja može se odrediti na sledeći način:

( )( )

'id

i ii id

i

f X fz X

f

−=



83


ili iz:

( )( )

( )"

idi i

ii

f X fz X

f X−

=

Sada se može definisati vektor relativnih priraštaja na sledeći način:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , ..., kZ X z X z X z X=



84


pri čemu se komponente vektora određuju iz sledećeg izraza:

MIN - MAX optimum se definiše kao tačka koja za svako zadovoljava sledeći izraz:

( ) ( ) ( ){ }max ' , " , 1, 2, ..., .i i iz X z X z X i k= =

mM dopX X∈dopX X∈

( ) ( ){ }1, 2, ...,

min max .dop

mMii kX X

v X z X=∈

=



85


Ovaj optimum se može opisati na sledeći način: poznavajući ekstremne vrednosti funkcija ciljeva, koje se mogu dobiti rešavanjem optimizacionih problema za svaku funkciju posebno, traženo rešenje je ono koje daje najmanju vrednost promene svih funkcija ciljeva. Tačka može se nazvati najboljim kompromisnim rešenjem koje istovremeno zadovoljava sve kriterijume pođednake važnosti.

mM dopX X∈



86


MIN - MAX optimalno rešenje



87


Metode rešavanje zadataka višekriterijumske optimizacije •Metode za određivanje neinferiornih rešenja: određuje se skup neinferiornih rešenja, a ostavlja se donosiocu odluke da izabere optimalno. •Metode sa unapred izraženom preferencijom: formira se sintezna (rezultantna) funkcija cilja, pa se zadatak dalje rešava kao jednokriterijumski. •Interaktivne metode: donosilac odluka postepeno izražava svoju preferenciju interaktivnim korišćenjem odgovarajuće metode. •Stohastičke metode: u optimizacioni model se uključuju i pokazatelji neizvesnosti. •Metode za "isticanje" podskupa neinferiornih rešenja: sužavanjem skupa nelinearnih rešenja uvođenjem dodatnih elemenata odlučivanja (npr.: referentne tačke ili mere rastojanja).



88


Metod težinskih koeficijenata Vektorska funkcija cilja se prevodi u skalarnu funkciju sabiranjem svih funkcija ciljeva uz korišćenje odgovarajućih težinskih koeficijenata (faktora odmeravanja) za svaku od njih tj.:

( ) ( )1

,k

i ii

f X w f X=

= ∑

Obično se usvaja da je:

[ ]1 1

1 ili 100 %k k

i ii i

w w= =

= =∑ ∑



89


Da bi težinski koeficijenti blisko pokazivali važnost ciljeva, sve veličine treba da budu izražene u jedinicama sa približno istim numeričkim vrednostima.

gde su: ci - konstantni množioci. Najbolji rezultati se dobijaju ako se uzme da je:

( ) ( )1

,k

i i ii

f X c w f X=

= ⋅∑

1i id

i

cf

=



90


tako da se sada dobija vektor normiranih funkcija ciljeva sledećeg oblika:

gde je:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , ..., kF X f X f X f X=

( ) ( )ii id

i

f Xf X

f=



91


Funkcija cilja višekriterijumske optimizacije sada dobija sledeći oblik:

Metod težinskih koeficijenata se može grafički interpretirati. Linija L je prava sa nagibom definisana sledećom jednačinom:

( ) ( )1

k

i ii

f X w f X=

= ∑

1 2w w−

( ) ( )1 1 2 2:L w f X w f X c+ =

Proces minimizacije se interpretira kao pomeranje prave L sa fiksiranim vrednostima w1 i w2 u pozitivnom smeru što dalje od početnog položaja uz zadržavanje preseka skupova L i F. Tačka A, za koju je prava L tangenta na oblast dopustivih rešenja u prostoru ciljeva F, je minimum



92


Grafička interpretcije metode težinskih koeficijenata



93


Mnogo sofisticiranija metoda ove klase umesto faktora odmeravanja wi (konstanti) koristi funkcije kriterijuma , koje definiše korisnik, pa zbirna funkcija cilja ima sledeći oblik:

( )( )i iu f X

( ) ( )1

k

i ii

f X u f X=

= ∑



94


Metod kompromisnih rešenja U metodama višekriterijumske optimizacije pojam kompromisnog rešenja sa široko koristi u različitim kontekstima. Kompromis se definiše kao odstupanje od neke benificije ili prednosti u cilju poboljšanja neke druge, poželjnije osobine. Metod kompromisnih rešenja se jednostavno može opisati na sledeći način: 1. Naći minimalnu vrednost r - te funkcije cilja, tj. naći XO takvo

da je:

( ) ( )min ,dop

Or r

X Xf X f X

∈=



95


uz dodatna ograničenja oblika:

( ) , 1, 2, ..., ,i if X i k i r≤ ε = ≠

gde je: usvojena gornja granica i - te funkcije cilja. 2. Ponavljati korak 1 za različite vrednosti . Pretraživanje se

završava kada donosilac odluke bude zadovoljan dobijenim rešenjem.

U cilju racionalnog izbora vrednosti koristi se pogodniji:

iε

iε

iε

( ) ,idi i if X f f≤ + ∆

gde je usvojena vrednost dopuštenog povećanja i - te funkcije cilja.

if∆



96


Metoda globalnog kriterijuma U ovoj metodi optimalno rešenje je vektor promenljivih optimizacije za koji neki globalni kriterijum dostiže ekstremnu vrednost. Funkcija koja definiše globalni kriterijum predstavlja meru približenja vektoru . Najopštiji oblik ove funkcije je: idF

( ) ( )1

pidki i

idi i

f f Xf X

f=

−=

∑

Za eksponent p se predlažu vrednosti p = 1 ili p = 2, mada se mogu koristiti i druge vrednosti.



97


Druga moguća mera približenja idealnom rešenju je familija veličina Lp definisanih na sledeći način:

Umesto apsolutnih odstupanja preporučljivo je da se u prethodnoj jednačini koriste relativna odstupanja:

( ) ( )( )1

1, 1 .

k ppidp i i

iL X f f X p

=

= − ≤ ≤ ∞ ∑

( ) .id

i iid

i

f f Xf−

Korišećenjem metoda globalnog kriterijuma dobija se jedno neinferiorno rešenje. Preferencija ili važnost pojedinih ciljeva se može izraziti preko faktora odemravanja wi pa se njihovim variranjem kao parametara može naći skup neinferiornih rešenja.



98


Metode ciljnog programiranja Metode ciljnog programiranja su razvijene za rešavanje linearnih problema ali se mogu generalisati i za nelinearne modele. Zasnivaju se na minimizaciji odstupanja od željenog nivoa zadovoljenja kriterijuma. Pretpostavlja se da donosilac odluka dobro poznaje ponašanje modelovanog sistema tako da može zadati vrednosti funkcijama ciljeva koje će predstavljati željene nivoe zadovoljenja kriterijuma.



99


Metode hijerarhijske optimizacije Ove metode razmatraju situaciju u kojoj kriterijumi optimizacije mogu biti poređani po važnosti. Neka brojevi od 1 do k pokazuju ovaj raspored u smislu da je prvi kriterijum najvžniji, k - ti kriterijum najmanje važan. Zadržavajući ovaj raspored minimizira se svaka funkcija odvojeno pri čemu se u svakom koraku dodaju nova ograničenja koja zadržavaju promenu prethodno optimizairane funkcije cilja u propisanim granicama. Metod hijerarhijske optimizacije može se opisati na sledeći način:



100


1. Naći minimum za prvi (najvažniji) kriterijum, to jest naći:

( ) ( ) ( ) ( ){ }( )( ) ( )

1 1 1 11 2

11 1

, , ..., takvo da je:

min .dop

n

X X

X x x x

f X f X∈

=

=

Ponavljati korak 2 za i = 1, 2, ..., k. 2. Naći minimum i - te funkcije cilja, to jest naći:

( ) ( ) ( ) ( ){ }( )( ) ( )

1 2, , ..., takvo da je:

min .dop

i i i in

ii i

X X

X x x x

f X f X∈

=

=



101


uz zadovoljenje ograničenja oblika:

gde je usvojeni koeficijent dopuštenog povećanja ili smanjenja vrednosti funkcije cilja u %. Znak "+" se odnosi na funkcije koja treba minimizirati, a znak "-" na funkcije koje treba maksimizirati. Tačka: je optimum određen ovom metodom.

( ) ( )( )111 11 , 1, 2, ..., ,

100jj

j jf X f X j i−−− −

ε ≤ ± =

1j−ε

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , ...,k k k knX x x x=



102


Metode zasnovane na MIN - MAX pristupu U MIN - MAX metodama funkcija koja se minimizira ima oblik:

( ) ( ){ }1, 2, ...,max ,ii k

v X z X=

=

a zadatak optimizacije je da se pronađe takvo da je: mM dopX X∈

( ) ( ){ }1, 2, ...,

min max .dop

mMii kX X

v X z X=∈

=



103


Metod težinskih koeficijenata može se koristiti i u MIN - MAX pristupu. U tom slučaju težinski koeficijenti su vezani za relativna odstupanja:

Druga mogućnost MIN - MAX pristupa sastoji se u zameni idealnog rešenja.

( ) ( ) ( ){ }max ' , " .i i i i iZ X w z X w z X=



104

STRUKTURNA OPTIMIZACIJA

Formulacija problema strukturne optimizacije Termin strukturna optimizacija obično se koristi za optimizaciju inženjerskih konstrukcija, kao što su zgrade, automobili ili avioni, radi povećanja čvrstoće ili krutosti i redukovanja težine ili cene. Prilikom razvoja metodologije strukturne optimizacije potrebno je uskladiti veliki broj promenljivih (stotine i hiljade), dok samo jedna strukturna analiza (izračunavanje funkcije cilja i ograničenja) zahteva rešavanje do sto hiljada jednačina, izvedenih pomoću metode konačnih elemenata.



105


Postoje dva osnovna tipa konstrukcionih promenljivih: •Konstrukcione promenljive vezane za osobine materijala i •konstrukcione promenljive vezane za geometriju i karakteristike oblika. Osobine materijala mogu biti različiti faktori, gustina materijala ili zatezna čvrstoća, dok promenljive oblika određuju kako će izgledati struktura. Konstrukcione promenljive mogu biti. •kontinualne, •diskontinualne i •diskretne.



106


Podela metoda strukturne optimizacije Problemi strukturne optimizacije mogu se svrstati po načinu na koji konstrukcione promenljive definišu strukturu. Strukturna optimizacija se grubo može podeliti u tri grupe: •optimizacija dimenzija, •optimizacija oblika i •optimizacija topologije.



107


Pored ove podele, u literaturi se još sreću: •optimizacija materijala, •optimizacija topografije, itd. Optimizacija topografije predstavlja trodimenzionalnu optimizaciju oblika. U okviru jednog problema moguće je ili nije moguće kombinovati gore pomenute vrste optimizacije, u zavisnosti od fleksibilnosti korišćene optimizacione metode i složenosti problema.



108


Optimizacija dimenzija Najjednostavniji i najstariji oblik strukturne optimizacije je optimizacija dimenzija. Primer optimizacije dimenzija može biti projektovanje rešetkaste konstrukcije, kod koje je svaki član određene dužine, i svaki deo ima neki poprečni presek. Da bi bilo moguće rešiti ovaj problem optimizacije dimezija, neophodno je da se unapred zna forma rešetkaste konstrukcije. U ovom slučaju, konstrukcione promenljive su one koje predstavljaju dimenzije poprečnih preseka cevi.



109


Optimizacija dimenzija rešetkaste konstrukcije

uD

sD

Cilj ovog problema je pronaći funkciju cilja tako da kombinacija dimenzija, to jest, konstrukcionih promenljivih, daje najlakšu rešetkastu konstrukciju a da pri tome budu zadovoljena ograničenja.



110


Optimizacija oblika Optimizacijom oblika menjaju se definicije spoljašnjih i unutrašnjih konturnih linija strukture. Optimizacija oblika zahteva promenu modela konačnih elemenata tokom postupka optimizacije. Konstrukcione promenljive se koriste u cilju varijacije graničnih linija i poznate su pod nazivom „konstrukcione promenljive oblika“ (Shape Design Variables). U poređenju sa optimizacijom dimenzija sam proračun je složeniji zbog većeg broja promenljivih.



111


Optimizacija oblika se može vršiti na dva načina: •varijacijom parametarskih promenljivih i •varijacijom granica. Kod varijacije parametarskih promenljivih, konstrukcione promenljive parametarski definišu oblik i/ili važne dimenzije. Kod varijacija granica, delovi granice solida se tretiraju kao konstrukcione promenljive. Na primer, koordinate čvorova koji se nalaze na graničnoj površini mogu biti konstrukcione promenljive.



112


Optimizacija oblika pomoću koordinata čvorova



113


Model konačnih elemenata mora neprestano da se ažurira kako se mreža ne bi deformisala. Zadatak je težak, jer ponovno definisanje mreže u toku postupka optimizacije u svakom koraku mora biti automatsko. Primer za optimizaciju oblika može biti optimizacija rešetkaste konstrukcije sa datim brojem čvorova i grednih elemenata.



114


Drugi primer optimizacije oblika bio bi optimizacija poprečnog preseka elemenata konstrukcije korišćenjem B-spline ili Bezierovih krivih za definisanje oblika poprečnog preseka.

Optimizacija oblika poprečnog preseka elementa rešetkaste konstrukcije

U oba slučaja, optimizacije dimenzija i optimizacije oblika, pri formulaciji problema nije dozvoljeno uvođenje ili uklanjanje otvora ili šupljina u strukturi, tako da nije moguća ni promena povezanosti strukture.



115


Optimizacija topologije Od tri pomenuta tipa strukturne optimizacije, najkompleksnija je optimizacija topologije. U ovom slučaju, konstrukcione promenljive kontrolišu topologiju strukture. To je najopštiji metod optimizacije budući da na dimenzije i oblik utiče topologija. Kod ove metode poteškoće koje se javljaju dolaze od uopštenosti. Prikaz topologije obično zahteva veliki broj konstrukcionih promenljivih.



116


Akcenat se stvalja na uklanjanje delova koji su opterećeni ispod neke granice radi smanjenja mase, međutim, moguće je kao ograničenje postaviti dozvoljeno pomeranje. Takođe je moguće da postoje zahtevi u pogledu dozvoljenih vibracija. Optimizacija topologije se koristi u početnoj fazi postupka projektovanja, dok se optimizacije oblika i dimenzija koriste za detaljno projektovanje. Najčešće korišćena tehnika kod optimizacije topologije je tretiranje problema kao skupa velikog broja delova (Building blocks) od kojih je „izgrađen“ mašinski deo. Postupak počinje definisanjem seta mogućih delova i definisanjem maksimalne veličine i oblika strukture, poznatog kao konstrukcioni prostor. Kako postupak optimizacije napreduje, delovima je dozvoljeno da nestaju i da se ponovo pojavljuju, čime ažuriraju topologiju strukture.



117


Primer optimizacije topologije



118


Postoje tri različite metode optimizacije topologije. To su: •metoda homogenizacije (Homogenization Method), •metoda raspodele materijala (Material Distribution Method) i •evolucionarna strukturna optimizacija (Evolutionary Structural Method).



119


Metoda homogenizacije je bazirana na pretpostavci o sastavu mikrostrukture čije se karakteristike homogenizuju. Kod ove metode moguće je napraviti dve faze optimizacije. U prvoj fazi se vrši gruba optimizacija sa konačnim elementima koji imaju veće dimenzije, da bi se dobila inicijalna topologija. Zatim se, u drugoj fazi formira finija mreža, sa konačnim elementima koji imaju manje dimenzije



120


Kod metode raspodele materijala, gustina materijala svakog elementa predstavlja promenljivu veličinu. Tokom procesa optimizacije, elementi koji imaju srednju gustinu najčešće se aproksimiraju tako da poprime vrednost 0 ili 1. Evolucionarna strukturna optimizacija predstavlja pouzdan i prilagodljiv alat za projektovanje. Prvobitna ideja kod metode evolucionarne strukturne optimizacije je uklanjanje manje opterećenih elemenata.



121


Poređenje optimizacije dimentija, oblika i topologije

Optimizacija dimenzija Optimizacija oblika Optimizacija topologije

Dimenzije poprečnog preseka



122


Integrisani pristup strukturnoj optimizaciji podrazumeva kreiranje modela za strukturnu analizu, razvijanje modela za strukturnu analizu, diskretizaciju modela na konačne elemente, sprovođenje strukturne analize, analizu rezultata i optimizaciju strukture.



123


Primeri strukturne optimizacije Primer 1 predstavlja problem konzole uklještene sa leve strane. U okviru ovog primera prvo je određena relevantna zapremina, zatim su razmatrana tri slučaja optimizacije i to: optimizacija dimenzija, optimizacija oblika i optimizacija topologije. Cilj optimizacije je minimizovati zapreminu uz ograničenje u pogledu dozvoljenog Fon Mizesovog napona.



124


Početni oblik i dimenzije – optimizacija dimenzija – konzola

Sa leve strane kozole postavljeno je uklještenje dok je sa desne strane sila . Ovakav raspored oslonca i opterećenja, kao i veličina opterećenja, korišćeni su do kraja ovog primera.

7000F N=



125


Oslonci i opterećenja – optimizacija dimenzija – konzola



126


Promena zapremine u odnosu na početno stanje

Напонско стање Запремина Смањење запремине у односу на почетну

Почетно стање

30 164486.962V mm= /

Оптимизација димензија

31 126726.199V mm= 22.96%

Оптимизација облика

32 115705.022V mm= 29.65%

Оптимизација топологије

33 80645.354V mm= 50.97%



127


Ukupna promena zapremine u toku postupka optimizacije

Ukupna promena zapremine

V [m

m3 ]

Početno

stanje Optimizacija

dimenzija

Optimizacija oblika

Optimizacija

topologije



128


Primer 2 predstavlja problem optimizacije dimenzija, najjednostavniji od tri posmatrana postupka optimizacije. Kod posmatranog primera deluju dva spoljašnja opterećenja opterećenja:

1 29P MPa=

2 50P MPa=i jedno unutrašnje:

3 20P MPa=



129


Naponsko stanje po završenoj optimizaciji

Ovakvim postupkom optimizacije vrši se korigovanje dimenzija. U toku postupka, zapremina se smanjila za 77.59%, dok se maksimalni napon povećao 2.15 puta



130


Primer 3 predstavlja optimizaciju topologije i oblika trodimenzionalnog problema. U okviru ovog primera razmatrana je dvostrana kuka. Zbog složenosti problema, posmatrana je odvojeno optimizacija topologije gornje i donje polovine, kao i optimizacija oblika gornje i donje polovine.



131


Promena zapremine u odnosu na početno stanje

Naponsko stanje Zapremina Smanjenje zapremine u

odnosu na početnu Početno stanje

/

Stanje napona posle optimizacije topologije gornjeg dela modela

56.22%

Stanje napona posle optimizacije topologije donjeg dela modela

73.38%

Stanje napona posle optimizacije oblika gornjeg dela modela

77.74%

Stanje napona posle optimizacije oblika donjeg dela modela

80.92%



132


Ukupna promena zapremine u toku postupka optimizacije

Ukupna promena zapremine

V [m

m3 ]

Početno stanje

Opt. topologije gornje polovine

Opt. topologije donje polovine

Opt. oblika gornje polovine

Opt. oblika donje polovine

matematička optimizacija tehničkih...

Documents