math12adabics62019 · 2020. 9. 22. · q 0/ rate of change ( - gi first derivative] / 3 - gh...

136

Upload: others

Post on 19-Feb-2021

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ��������

    �����������

    �����������������������������������

    �������������������� !�"�#��������������������$�%&�'�������

    ()*��+��,���-��./0����

    12

    34�5�%�36&�78

  • '�9�)����%&�3��:�);�%���6����?2=1@�3A,.��+�;��'���B.6��CA,.��3��D�$��E��"�,.F

    +�;��G�! �78

    ���-��

  • :HH�.HH�HHF

    �#Z�������3 [\��9'30��C�������D)�/�]�����+�;��P����9���0���>�8/���^�O�����50������� D�����:_`�D��a��b+���R��:305�#���5�;��0���0�;�[\�/��������P �������,��E��'020���������������P �������� D;��*0��Y� �'8������������d������%e���]�� !�f��"D:����������]�� !����g0)����!0�;���+���!�1_`��b�O���96���:0������/.�(0���5�������280��C��/�����d�����*���B��=h��D������)�(0��A8���]�� !�a���D�/�9���:03 [\��f��_`%/�910��i [\��j����%�0�������/

    ���-��+��F3[\�/�>0��%0$��j�����;����:�%/

    �����b�O���^�>(0����+�����9R����F0�/�l+��!��)�R���m0��� !�0��B�,�5�9#���5�;��+B��C������%�������������5�;��'�.3��k��F0����n��:02�0���/�.�+��! �[\�/�98�+��;)��a"��5�����!����>0��%+���=/0��X��������B��P%�0���5�90��B�:��������X5������ D;�������� D;������ �D��60283��n��X0!���� 0";�9(0���;:[\�/����0,3[\��O��!�o�����/������D��O���5�n;��C;����0"����05�p8���;��6/.�9�����D�������!�>0��� �;����B����]�� !�8.0��)�a���X���-R���YD:/�R�� ��:�O��d/����������F0��05����D�%/�9����+!/���:0��P:������q23��R�����r���D��6���"%����0!��������� !0����280��C���]�����10���;:[\�/

    �+��%+D� sN�/�807�;��A05/�90��B�0;:���O���6���"%�63��t��X%�0����m [\���,/�9�����D������ u� ��������:�=/0��X��]�� !�W������j�� ���O��/����%e8�j���/��������P ���k��F0�������%����(0����9'0�� ub�;������u%�"��/�������D��������� /�9+��%�:�#Z����t��0� �0���;%e8����"������;��>0��� �������� ��"��>0��� �;�������� �/�90�������";�/�9����0�q�/�9��� D�/�9����� �v�� ;��������P �����;X�]�����1���,���R����)�80��d�05�����"��9>0���D����/�>0��� ����/�>0��%0$�/���+��F3[\��O���5����@0�;��[\����6���"��R���602�0������F/�9���D)�/������������%e���lZ��F�j�������a��DX5

    -m0��%�"�/�m0��%�5��/�m0�����D�V��� ����j��������������O��!�m������D��w0��;���6���"��xn�� 0"�/�n���i0��+����

    �6=����;�xf���A30;�������1���30���0��F8/.�w0��B����O���'u8�������t��;"������gh��Z��b3��=uh��D%�0���5�9���%��;���Z��B����udy��>0���D������ u�?�0��B;D� d�����/�90��B����.0�;��A[\����������;��>0���D�����>(0����80��d �[\���Z��F�����/�9m0����d//�9m0��%�"�/�9m0�����D�V��� ����O���5��_ù ��b����!�+5���]�� !�0��B��z�f��"D�/�9+��BX��R�� u��;�x1/3[\������d���w0��B���������?/�]���������0^ �[\05�9������P ������A0A3[\��6���:0��/�1_`�;��A[\�������?/

    ->0����E���a���X

    �9j���)+;�/�9���D�����/�c���30;��������O���x0��BD������� 0D�����)��� ��"��C��(0���=���/+��$%�9+��BX��O������ �����lZ��F�=0��X:�����/�O���6����?�/�O���:/�9���%��;��O��!�o��%+������ ���0��:=/0X��+�����9R���%+���O��"�%�0���a��)3��0��� D������X /�9������;�/�9������ �[\�/

    �����-a���D��O������0���lZ��F�a��,���

    �:�);�%���6���

  • �HH�.HH�HH�

    �9�!���C�/����5.3 [\��#���:0q�����:0q��c��� �>0���^0%���V0��;2�(�h��!3 [\��0���;� �/�9>0��� D��/�O���� D���0���g_`h�*+���:�63��0:���P%����k��F0�������%����]���������.0B��>0��A�8+�/����D��������%Z$;��]�� !� m(0���5�0��F�%������������;�/�9>0���^0%��������?�����7%�D��p����E��j��|� }/

    �-����/./������d/�����%0D��v��z������O%+�;��P�9O%���CD�/�#.0�����6������>�80��B��0��B;�2��/�9�������P ��

    �9N�+��5 �[\�/�����"�; ����� � �10��X���0)0���A/� s>0�������/�s����C:3��]�� !�9V0��;"��~���;��a�;�����+������-�>0�����D;�/�>0��%�Y��/�����F0�� ����������a��P P;��'0��!��������+��)/�9'0�����������>0���^0%��������F3��=����5 �[\/

    �����&�F�9>�+�/��D58��] !�V0;"��a�;���+)/���

    ��������/��0�;���[\��+��!��)/������$;����A�;�&�����i [\������F0����n��^�!�o�����a��0";�/�a��^0�;��]��/3 [\��'+���������-R��:��)�D5/�./+����a0";�/�9a^0�;05�a0";��58��?��9./+���'��q2�>0:��;) �_`�~����

    �a���/����5�7������Y��/�>�.+������90��B� !�>0��� �D�/���������������c��%�D�����;��>0�������������:0q��'+�����������0��3���� ->0���������*�+E;��A05�>[\.0��D���O�������Y:3�

    �>[\.0��D�����D5�a����v��Z2/�>[\.0��D���a��������d�'+������n^�D;��A��>_`��P P;��/�>[\.0��D������q0q��'+����������/���-0��B!��X/�>_`��P P;���N����:3��]�� !�����D;�/�9������80@� �/�����A3[\�

    ���%=�;��]������n�������0��P��������D������1/�+��X��*�+E;��A�/�9���%80�D������_`D�����!����;��(0����[\�����D5����'+������0��3����-0��B� !������0���>0�������/�#80���D������D����

    ���5�%�9� s���D)�/� s������P �� sw0��B��w����b�05�9����02������� D;������ �D�����,0�!�t��0��0�������+��)�a���D���Z��B5�6���":�63��]����;:���������%Z$;�����%+���9O��d���8�+��������>����%+��/�O��%�%+��/�>0��� D��/�O���� D���0���g_`=�O���O��� i��9s�����0���s����^0%8����F��Y5�t��0��

    -j�����;��+��D5/�96�+�����������R��������(0���?3�/�98�������V0��;"��j�������a���)�k��F0����h��2������D����

    j���;���/�R �/

    c�30;��j%��

  • ���Q0/�H Rate Of Change� � � � � ����$;��A�; ( G - G�GI First Derivative�� � � � � ��]/3[\����;C����K - G�GH Derivative Rules� ������ � � � ����0�;�[\�+!��)�� - G�KI Extreme Values� � ���������� � �6��;) �_`�~�����������H - G�K Indefinite Integral�������� � � ��./+������@�a0";��� - G�G Definite Integral���������� � � ��./+����a0";��� - G�{ Chapter Exercises��������� � � �����������0�������!�O����%80����������� - G�

    H Matrix � � � � � � ������������ ( G - K�HL Matrix Operations��������� � � �>0�������] !�>0� �D���K - K�{ Matrix Multiplication������ � � ��>0�������V�^�� - K�٦٣ Matrix Inverse���� ���:0q��������O��D5���������� ��5�7����Y����H - K�G Cramer`s Rule���� ���%�2�'+!0)�*�+E;A05�O�;��b�O�;.0D�O�*0Y:�a��� - K� Chapter Exercises � � � ���������0�������!�O����%80����������� - K�

    L Exponent Equations������ ��� � � ���A[\��>[\.0D����G - �{K Logarithmic Equations��� � � ����;%80@� ��>[\.0D����K - �٨٥ Series >_`P P;���� - �{L Arithmetic Series��������� � � ���50P���� P P;����H - �L Geometric Series��������� � � ����A+�B��� P P;���� - �LL Chapter Exercises��������� � � ���������0�������!�O����%80����������� - �

    GI Standard Score�� � � � � ���%80�D����_`D���G - H�

    GI{ Standard Normal Distribution����� � �#80�D����D�����%=�u;���K - H�

    GGH Chapter Exercises��������� � � ���������0�������!�O����%80����������� - H�

    R��$�%�R��-��ST�)�/�%��78&�;/�

    ���Q-*/�B�*U� 78

  • ٣

    G� --��6��;)_`���$;��A�;�.0X%��K� --]������vz�] !�60D���O�;���5�u80�����6��;)[\��]�����d0���a��.0X%��� --��6��;)_`�]/3[\����;C���*�B��] !���D;�H� --��6��;)_`�]/3[\����;C���.0X%�������0�;�[\��+!��)�*�+E;A�� --R0X������6��;)_`�)0�;�/�+%�h;��>[\0X�+%+��� --0B!�:�+%+��/�R0X������6��;)_`��� ����~����������O��D�� --a0";��*�B��] !���D;�{� --./+������@�a0";��.0X%��L� --�� ;E���>_`0";��.0X%�����./+����a0";��g0�b�*�+E;A�

    ���:�"%�63��0B;�C:3���a!0�;�/�'+����lZF��A�8.�O�(0B;: �[\��+D5��� ���O�)�;%&��i[\��1_`b�O��u� �D��'0�������a0";�/�a^0�;��.0��c�����] !�O%8.0)

  • ٤

    ����X��YAQ���1�Z�1�Rate Of Change

    ���;F

    �1��[�5��~�;��P�]�� !�>���%h��N����:��.������O���������P ���n��%h��u+��D%�

    �-�������P ������ g0D ����%.0�;)�����0!.�au"��C%/�9���0D�

    �n��%h�/�96���;%h��O���O����P ���w0��;:���l0��:.��1/+��X��+��,�%��O���>.8/�0���2�9*KIGH/��*KIG����0!������w�E;��P��

    -#h��2����(0���� �[\��=0��B�

    �'9��6����/$����+2=1\%�+2=1]�'���;��3��^���_�`�/��a� VM����/N%��Q� VM����/N������

    ��&6�0��K�]���G�O��>��$�/�9m0:��;)����W�602��z��

    �����h�05�R�h�%/�9G��K������)������$;�

    W��h�05�R�h�%/�G���K��GW��KW��W����)������$;�

    ����+2=1]+2=1\'���;��'�6���X��6�;%uh�����2IIIGIGIIIIII

    Ww�E;P���n%uh�����2G{IIIKIII_________

    -Od�III�#/0P%�*�KIGH�/�*�KIG��0!�O�5�6�;%uh�����2������$;����

    �-                �#/0P%��+2=1\�%��+�2=1]��0!�O�5�w�E;P���n%uh�����2������$;����

  • ٥

    �1��b�HHc�

    ���;F

    �2��[�5�

    ��&6�0��K�]���G�O��>��$�/�9m0:��;)����602��z���

    K��G��9(G���K�

    G��K�� G

    W��KW

    G��K��

    W�� ����6��;)_`���$;��A�;���������

    -H�K�]���G�G�O�����)���$;��0+�!�������$;�� ¡+���

    -                          ��G��K���

    W����)������$;�����)�0���9K����9G��G�n:02/�9KK¢�����W�602��z��

    � VR0�

    �G��K��� GK��K

    � K��� �(G����������G���K���W�

    �z0����K(GK-��K(K-����� � ����������������������������G¢������ � �����������������������

    G¢������� � � � �

    (G�10q��������G�#/0P%�������$;�����)�6�"%�0+�!�W����)������$;��0��W#����

  • ٦

    ���X��YAQ/�� V3A.�C��+QC-/�

    ������]����1����;P����)��z��

    ((K�9K�9G��9G�O�;����

    �#/0P%�1�d0������;P���a��6�0�(G���K�

    G��K��

    W��

    ����$;��A�;

    �2��b�HHc�-� 9 �������$;��0+�!�9�£�K����6��;)[\�������$;��A�;� ¡tP���

    � VR0�

    GH���£ K(���������

    I���£ K(���������(����

    �� ��GW��KW

    G��K��6��;)_`���$;��A�;������

    GH��I

    K �����������������������������

    {�����������������������������

    ((G��9G

    1

    ((K�9K

    GW �KW��W�

    G �K���

    W

  • ٧

    ��&�A���O���G���{���L���

    (G���L�

    G��L��

    (G���K�

    G��K��d0���a��

    {

    ��{G��L

    {

    �#/0P%���6��;)[\��]�����d0���a��6z��

    ��6��;)_`���$;��A�;�0���9I�9KV�9�9�H¢��O�;����������6��;)[\��]����1����;P����)��z��

    � VR0�(G���K�G��K

    ��W�� ����$;��A�;�����

    GW��KW

    G��K�������������������������������

    I��

    K��H¢ �������������������������������

    G¢�¢ �������������������������������

    �\��b�HHc�

    �]��b�HHc�-8/0X���a"C05�aq��� (��6��;)[\� ]���� d0�� a�� ¡+��

    VR0�

    ��

    ٨ ،٩

    ٣ ،١

    W

    ��]

    ���

  • ٨

    �d��b�HHc����$;��A�;� ¡+�3��9GI�#/0P%�¤�9¥�] !���6��;)[\����$��A�;�602/�9H£��K���F�602��z��

    -0B��z�'�;���] !���F�6��;)_`

    � VR0� (����

    �� ���6��;)_`���$;��A�;

    GI�

    (�F���F��

    ���F�6��;)_`���$;��A�;

    �H�£��K��H�£��K��

    (�K���K

    ��

    ( (������

    K ��� � � �

    GI�K KI�

  • ٩

    ��1�Z�1���RI���%�'�,�/F

    G

    K

    H

    -K�]���G�O����$;��0+�!����i [\��>0:��;)[\��O�a2������$;��A�;� ¡+����

    -�K�9�IG�����������������9�K������3�����

    -�K�9�KG�������������������K�£�K���F�V���

    �-�K�9�G¢�G�������� K£ �1������

    �9�#/0��P%�R�� ��602��z�0����9H�9�����9K¢9GO���;������������6����;)[\��]������1����;��P�������%�-�����n��50q�������)� ¡+����

    �6��;)[\����$��A�;� ¡+���9�#/0P%�¤H�9K¥������6��;)[\����$��A�;�602��z��

    -'�;���v �����K�����F

    �3��n50q�����)� ¡+�3��9L¢�#/0P%�¤9�G¥����K3����6��;)[\����$��A�;�602��z��

    �K�]������G�O��������$;��0��+�!���6����;)[\�����������$;����A�;�602/�9{���602��z��-���+�����9K¢�#/0��P%

    �¤K�9¢¥�'�;���] !���]����8/0X���a"C��aq�%

    ((K��9K�/�¢�9¢�O�;���5���%�#Z��d0���a��tP��

  • ١٠

    �O�%�78���5/���2�Z�1� First Derivative

    �1��[�5��.����� [\��]�� !�a��b+������%�^�8����)��������+��)/�-0��B�0��:/����/+������C: [\�����A0A[\��a��%��;��8.0����O���t��g��7��u+��D�������#����P�����B b.�������%�O��%Z��.����� [\��]�� !�¦�a��b+������%�^�6���"��o�����9�����%�^�4g��������������BD%=���1_`��b�O��

    -§��������/��0��%�+B��]�� !�����%�^�O����P �����������������O����������980���%.�c����G-G�O���5

    �z0��m���,�#/0P%�m�80�%.�GKI�l8+)�§����] !���%�7��8�+�

    -m�80�%.�I��GIII �

    GII��80�%.�GIII�] !�ab+����%�^�8�+�

    -        ��KHII�

    GII��80�%.�KHII�] !�ab+����%�^�8�+�

    -                   �80�%.GKIII�] !�ab+����%�^�8�+�

    &6̈�0��GIII��GIII�o����l8�+��#Z��ab+��] !��^/�������%�7��8�+��Wn:02��z���&=��05/�

    e�f�/�����6�g GII ��/����O� F�h) /���)i��/C��^�j�kU78�l�����

    GII��mn

    *���;F�6�"%���6�0��9'.���

    ( �����F�£��

    �Fهـ �n:02/�9����+�!�m0��D���W�602��z���

    - ���+�!���6��;)_`�]/[\����;C���]�P�/����+�!��0�;�_`�m_`50)

    | ́W�/3��-�ª� n��� �/3���� ́��h�05�0B�h�%/�

    -��,�� n��� � ́��6�0��9������.+!� ��o���9 ����W�n:02��z����1��

  • ١١

    �1��b�HHc�

    �2��b�HHc�

    &���i [\��>0:��;)[\��O�a2���;C� ¡+��

    H¢�WK (�� W (V L{��� (3�

    � VR0�

    &o��9�G¢6 ن��� ́���u6������602��zن0�����9� �]��

  • ١٢

    :{¢ ́��.0X% �_`��� K ����602��z��K ��� �

    ���z0������� K ��� �

    G¢ K K �� ́�����0B�/G

    K ���������� �������

    -                       ���{¢ ́��0B�/

    �2��[�5�

    �-����F�6��;)[\��6�0��9I� ��9m0������m�.+! ��602/�9�0�;�_`�m_`50)�0:��;)����602��z����\��

  • ١٣

    ��2�Z�1���RI���%�'�,�/F

    G

    H

    K

    :0B� a"�� 50��� ���) +�! ���i [\� >0:��;)[\� O a2 ��;C� ¡+��

    GII ��+�! � � ������������� �K¢�����3�����

    GK����+�! � � �����������������������������W�V��

    ¢����+�! � � �������������� ��������

    G� ��+�! � � ��������������� �����.���

    G¢����+�! � � ��������������������� �����F���

    &���i [\��>0:��;)[\��O�a"� ́���+�3����

    ���������,����9���¢�H ����3�����

    I®II����V���

    H���������

    ���+�! n��� ����)� ¡+���9�� ́��602/�9���W�602��z��

    ��n50q�����)�0���9I��Ḱ��602/�9�����602��z��

  • ١٤

    ��p��!78.4Q#��]�Z�1�Derivative Rules

    �1��b�HHc�

    �1��[�5��lZF�a"C�/�-R;��5� ¡R� � ¡%�s�¯5����1=0����4�A3��O!�(0;C��a������80�3[\��l0����X��*+���Z������P ���.0;!�

    -c����a������l0�����:�� "C�] !�t $; �����P ���R5�*��%�#Z���g0���.0����O�m�(h���� �D�

    -1=0����+�3��4�A�8/0X���a"C��aq�%

             �£K�]�����4�A���0P

    &�)_`D05�]�D��*KIG�*0D�����*�D�X;���l0�������2

    =q@����+��+�;��,�9�78�[Q�A�b.;�����2+��O� /��(9A��U����9*I®HIH�#/0P%�*�KIG�*0!�80�[\��p��A�1+D�602��z��

    -                                             ��n����4�A�O!��D�X;���l0�������2�6�0�

    �)_`D��lZF��0�;���O"�%�c�2

    �&6�0���F�������602/�9�0�;�_`�O� 50)�O�:��;)���F�/���602��z�� �1��

  • ١٥

    �2��[�5�

    �]��[�5�

    � ́�F� � ́��� ́�F�£��&'+!0���tP�5�3��z0���KGK�£�GI�� ́�F�£���&0B�/���

    GI�GGI��G ́� V GK��K(GGK��G ́�F

    ( ́�F ( ́��� ́(�F ��63��0�5/(GK� (GI��G ́�F (G� ́���G ́(�F ���&6�0�

    K¢����������������������

    �&6�0��9��£�K����602��z��

    �z0�����£�K�°��� ́���

    ������������������-_______________ �́��

    &6�0��9K�£���*�9K�£������&o����£�*K�¢�����602��z��KL�� ́ �

    ��́* �

    ́*K�� ́�� ́� �-                      � � �-                     ��K¢ ́���&0B�/���

    (�(G£K��� o���9 ́��¡+�� �$�r� �

  • ١٦

    K¢�/�F���.0X% �[\�8/0X���1/+X�����>0��D���+�;!�(K¢ ́�F (K¢��F (K¢ ́� (K¢�� G- H-

    � VR0�1/[\��6��;)[\����;C����:0q��6��;)[\��£��:0q��6��;)[\����;C����1/[\��6��;)[\��O�:��;)��V�^�a,0����;C

    (K¢́��� (K¢�F�£��K¢ ́�F�� (K¢���K¢ ́�F���� �

    H-��� G¢����£�������� ����� � � �

    L�� � ��� �

    &6�0� ����+�!��0�;�_`�O� 50)�O�:��;)���F�9���602��z�� �2��0� "05/

    1/[\��6��;)[\����;C����:0q��6��;)[\��£��:0q��6��;)[\����;C���1/[\��6��;)[\���O�:��;)��V�^�a,0����;C

    �2��b�HHc�

    �\��[�5��/0P��́���6�0��H-�- K����602��z��

    1/[\��6��;)[\����;C����:0q��6��;)[\��£��:0q��6��;)[\����;C����1/[\��6��;)[\����́�

    (���H���£�H¢�� K�� ́�

    ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Ḱ��0B�/

    ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

  • ١٧

    �]��b�HHc�

    �&602/ ، ��F ���602��z��

    -GI/�+�3��9G��GI ́�F�9K¢��GI��F�9¢��GI ́���9K��GI�

    VR0�

    &6�0������+�!�I�����F�602/�9�0�;�_`�O� 50)�O�:��;)���F�9��602��z�� �]��0� "05/�9

    K�F ́�F������ ́�����F

    � ́���F �� ́

    K((GI�FGI ́�F���GI���GI ́��� (GI�F

    � (GI ́

    HG���K��¢�� K¢

    HK{¢

    ¢�� �

  • ١٨

    �\��b�HHc� {

    L��Ǵ��63��j���3��9 �� ،

    H����K����602��z�

    VR0�*0������;C���P����P�����;C���*0���

    *0����5� � ́�

    K(��K(KH����H¢���K

    ��́�

    K(H¢KG¢��H¢�H¢

    � (G ́�

    {L

    GG{

  • ١٩

    ��]�Z�1���RI���%�'�,�/F

    G

    K

    H

    �1/+X�����>0:0����] !�.0�;![\05

    &��30%�0� ¡tP���8/0X��������

    ( ́�FH���V��� � ́�FK£����3�

    (� ́�F°���.������������������������������ ́( ��F ���������

    &+�3��9��K����F�9�£�K����602��z���

    � ́�

    ́�F���������� � ��́( ��F �V���������������������G ́�F£����3�

    K¢ ́��°K�/����������������(K��F × (K� ́���F����������������������K ́�F°���.������

    (��F�+�3���� ́�F�9�� ́��9����9GK�� ́�F�����602��z��

    ¢��L�F�9GK¢��L ́��9��L��9��L ́�F�����602��z��

    ��, � (�F� 6305�m0� !�9L� ́�F�+�3�

    ���n50q�����)�0���9I�́��602/�9¢£K�����602��z��

    -3��n50q�����)�+�3��9{���(G ́�F�����602/�9K�¢�K���F�9�£�3�K�¢�K����602��z��

    ���n50q�����)�0���9 KG

    �¢�G ́��602/�9����H�� ����602��z��

    (�( ́�(�F( ́�F

    LKG-

  • ٢٠

    ��\�Z�1�

    ������-O��d�����'0������m0�A0A3��m0� ��(05�B"��u+D��+,8��;%/��->0�0D���O���q"��a�D;��0B:/+�-�!0P��8�+�] !�O��P �����(05�B"��_`B;A�

    �������10��[\��%=���4 ²̂ �%�8/0X���a"C��*�������0B����^/�+�����������(05�B"��O

    -*KIG{�*0!�O�1/ 3 [\�

    Extreme Values

    ��# �ST��sQ*���:����1��[�5�

    ���;F&6̈�0��9G �K�a"�&602��z��9¤V�9��¥�'�;���] !�m�+%�h;���6��;)[\��6�"%

    -¤V�9��]� K�9G�O%.+!�#[\�G���(K�� (G��(K��6̈�0��9G��K�a"�&602��z���9¤V�9��¥�'�;���] !�m0�)0�;���6�"%/

    -¤V�9��]� K�9G�O%.+!�#[\

    �0����a���%/�=�W�9�����:�#3��+�!�>0��P��8����t�����l0X�[\���0����0BD��%��;���%/�h��]�P��-m0�0A�a����6�"%��������F��%/�h��n:02��z��/��-m0����a����6�"%�'.0���F��%/�h��n:02��z�0��-�F

    �VNEFj

    �0�0�,�'��0D���!0P��O�vZ2�9m(0P��DA0;���!0P��];�/� m(0P��P0E���!0P��O�+%�h;��10��[\��6��´�[\3��¢-m�(0P��q0q��];�

    -                              �'�;���1_`b�(05�B"��10����)0�;��¢

    -�q2[\��] !��q0q����8+��O�./+���'��q2�>0:��;)[\��] !��0�P���ZF�����A�8+����;�;A��tUST�

    >0!0P

    _`B;A[\�

    ٥ مساء ٧ مساء ٩ مساء ١١ مساء ١ صباحا ٣ صباحا ٥ صباحا ٧ صباحا ٩ صباحا ١١ صباحا ١ مساء ٣ مساء

  • ٢١

    �2��[�5� �£�K� K���6��;)[\��]����8/0X���a"C��4 ²̂ �%

    -0��P��

    �������������������-¥G�9�¢¤�'�;������)0����;��63�� ¡́ �[\��¢

    �         �R ��'80����6̈ �0���Z�9>0��P��8����t�����l0X�[\���K�F�       ��%/�=���%�K�0����¢-¥��9G¥�'�;�����

    �z0��-¥��9G¥�'�;������+%�h;��63�� ¡́ �[\��

    �&6�"%���6�0��9¤V�9��¥�'�;���] !m0��D���602��z� :*

  • ٢٢

    �2��b�HHc�-0B!�:�.+�3�/�9>+�/�6���9

  • ٢٣

    -���1���+%�h;��]���)0�;��O�R2� A��u�@��F�6��0�2��

    -H¢����F�0B;��)/���+�!��� ��~�$,����)���F�6��;)_`�6z�����

    �]��[�5�

    -

    �-

  • ٢٤

    ��\�Z�1���RI���%�'�,�/F

    G

    K

    H

    ��F٦ �F�6��;)_`��� ����~�$��/�]�YD������� ¡+��

    -8/0X���a"C�����*�A���

    �&+�3��9��;��0

    ������0/�9��;�� ¡.+�3�

    0B��a2�N�:�0/��6��;)_`�~�$��/�]�YD��~����

    �-R0X����~��)���)�K�£�K��N�6��;)_`�+��%�[\�R:��O�5�

  • ٢٥

    ���&%.0/����w�R��$����d�Z�1����������������

    �1��[�5�

    �2��[�5�

    �]��[�5�

    �]���1_`�;A �[\���0��O�1��;;��90B��8u+��5����80b�>0!0��������� ;E� sV0�A3[\/�90B;D���5� m'u���V�DC��+�¡��~�)3������P ���tDC��V�7%/�-+%+��O�a�;P;�V80��/�*/0���V�DC0��9*/+��[\��0��0B�"�-1_`;�[\���0�

    -vz�] !�� q3 [\�1_`�;A[\��f"!�1_`;�[\�

    -         �f"!�*+B��0�2-       �f"!�0��:��;)[\����� g0!������D�O��"�%�R��:������D%��Z��F/�9a��^0�; �����P"!����� �!�90��F8�,�~+�����������9a��0";������ �!�����;D�/-� ́��n��}� � ¡!��z����9�

    �Q$F��j�'$/����'+!0)�6�0��9K/��R;�;C�6��o���9m0:��;)����602��z���-K��G�

    -�����������£ K��K�

    G

    £ K���

    �����-                                                �����F�6��;)_`��0D��'8����6z��

    &6�"��+)�9a^0�;�����v���b�1_`b�O�9��6��;)[\��'+!0)�6�0��9��́��602��z��

    K������

    -a^0�; ���P"!��� �D2�a0";���� �!�c%�D�����F��>(0��0�F�O�-       ����/3�

  • ٢٦

    �\��[�5�

    ���;F�#/0P%������P�05�́��6��;)_`�./+������@�a0";��6�0��9́��]/[\��R;�;C�m0:��;)����602��z���

    �&6̈ �0���0!�'8��5/�9�h�05�a0";���� �D�h�%/�9��£��

    -������.+!����o���9���£������ ́�

    -��/��602��z��

    �� ́� ���6�"%-������.+!����o���9���£        ����6��;)[\��'+!0���0D��'8����6z��

    &%.0/����w�R��$��.4Q#-60������6�.+!���9��o���9��£����� �� �1��

  • ٢٧

    G¢�� ���96!+.��960������6ن�o���9���£�G£ن�G�£ن� ����

    4�#.>���2 ن

    �2��b�HHc��&O���i [\��O� 0";��O�m_`2�+���

    �� �V ��� ��3�����

    � VR0�

    ���£ H GH ������£�

    G£�G�£� ��m���

    �3��� �

    ���£�G

    ١

    ١ G m��� -

    G

    �m��� �V���������

    �����£ H

    m H

    �d��[�5�G��G��6305�m0� !�9 H�� ́��R;�;C�#Z����6��;) �[\��'+!0)�+�3�

    ���� ́������ �

    �� H�������������������

    -           �������0B�/�G���G��O"

    -                   �����6��;)[\��'+!0)�6z�

  • ٢٨

    &6�0��a0"; �O� 50)�O�:��;)����F�9���602��z�� �]��

  • ٢٩

    �z��[�5�����£

    � ��£

    � ��£

    � �m��� (

    K�£�K�£ K��١

    �z0�������£ ��m

    ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������m� �� K�(K

    -������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&63��´�[\3�

    �����9I��9������.+!��o���9��-��N�602/�9a0"; �m_`50)�m0:��;)����602��z�� �\��

  • ٣٠

    ��d�Z�1���RI���%�'�,�/F

    G

    K

    H

    &���i [\��>_`0";��O�m_`2� ¡tP��

    �� �������������� � ���� K

    ��V���� ��� (¢H£K 3�

    ����HIIK��/�������� ( £�K £ ���F�������� ( KK� £ H¢ ��.

    -G ́��+�3��9� ({£H- �����602��z��

    - ́��¡+���9��£K�£�K��� ́��602��z��

    -� n��� � ¡+����9� (£K��W�602��z���

  • ٣١

    ���&%.0/��R��$����y�Z�1�Finite Integral

    �1��[�5�

    �2��[�5�

    ��������%0!���h2����C:�] !������P ��������'8�=/�n � }!�-��:0"P��>0D�X;�/�9~����c ;E������/3 [\�

    -10�d3[\����:��D50;�h2�����lZF���+F3��O-a����1�d������$;���D50;�1_`b�O�vz/

    �O��A�O���10���d3[\������:��!���A�]������4��^�%�8/0��X���a"��C���������]��������;��C�]���������Z��F�a��q�%/-m00!�G{�]���������,

    &63��+��X:����A�05��:0D;��A[\05�-10���d3_`-��AJ�A        �#/0P%�O�;�A���!����a�d���:��!�A

    -��AJ�A       �#/0P%�>���AL���!����a�d���:��!�A

    �]���KG�O����$;��0+�!�9¢K� ́��'+!0�05�R;�;C�]�D��#Z����6��;)[\�������$;��V0P��.��¡%�-��6��;)[\��'+!0��w0;�:�96��;)[\�������$;��.0X% �[\�-K

    �� ́����

    �-��£-K�� (¢K����

    (G���K� ��������$;�

    &%.0/��R��$���78%�

    W#���>���A�L - K�OA�O�5�a�d���:������$;��8�+�����D�O"�%�c�2

    >���P05���D�

    2d2\2]22212=1>1@1z1y1d1\1]12111=>@zyd\]21

    = �] �y �> �12 �1d �1@ �

    ��AJ�A

    ������

    �!�A

  • ٣٢

    ������-���£�� K(������������

    -             ��K������

    (K��������$;��8�+��&6z��

                     ��K������6z��

    ���;F9����V��

    V| ��m����́��

    V

    &6�0��9�0�;�_`�m_`50)�m0:��;)����602��z���&%.0/��R��$�

    �-60������6�.+!�V�9 ��9�] !3[\��+���&V�9�]:.3[\��+������o����

    �1��b�HHc��&O���i [\��O� 0";��O�a2����)� ¡tP��

    �� (�£�K٠

    K

    (G

    �� (��K١-

    G

    (K

    � VR0�

    ٠

    K| £K������ (�£�K٠

    K

    (G

    GH�I��GI£H�������������������������������������

    ١-

    G| -K��m���-��K١-

    G

    (K

  • ٣٣

    ((G¢-(G¢K��((G��(GK����������������������������������������������¢������������������������������������

    GI¢���������������������������������

    �2��b�HHc�

    �]��b�HHc�

    -��� ́�K١-

    K

    � ¡+�3��9��K��9��G¢��602/�9��6��;)[\����;C� ́��n:02��z��

    � VR0��

    ���z0����������� ́�G-

    K

    K��m���� ́�K١-

    K

    ١-

    K| ��K�� � � � ((G¢���K�K� �������������������

    H����K� � ������������������

    -� n��� �+�3��9��� K

    K

    W 602 �z�� �$�r�

    :HHHH)H;F�-m0�g�.�m���,�#/0P��./+����a0";����;C

    V�n50q�����)�0����LI���� (�£�HV

    602��z���

    � VR0�

    �z0������V

    | ��£ KK�����-�£�HV

  • ٣٤

    �\��b�HHc�

    :HHHH)H;F�������.+!�V�&o���9��,������

    V

    V

    �� H(H ��

    ����)�0�

    -]:.[\��+���#/0P%�] ![\��+���6[\�9��,���� H(H��

    � VR0���������

    V��Q���������� � �����

    LI��V£KVK�Q�((�£�K���������������������������LI��V�£�KVK��LI��������������������������

    �z0���-K ���V����/3����I��V��&6z��� � � �

    �&%.0/��R��$��O)4�&%.0/����w�R��$��.4Q#�{�/|�� 9�F��tUST�

    �]��[�5�

    | {�£�K����� ({�£�K

    -��������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&�63��k;�;A3��

    &%.0/��R��$V��}I�*i������g

  • ٣٥

    �\��[�5�&��i[\��1/+X��a�23��9��£�K�������602��z��

    b%j78�R��$V�b%j78�R��$V���/�#3��Vc��R��$V�3��Vc��R��$V���/�#

    O�%�78����0������G

    H-�����

    G

    ����c�����0�����K-

    I

    �����I

    K-

    G

    ��-�0��a2����O� 0"u;�����)�O�5�680)�

    -                                                                     �&63��k;�;A�

    :HHHH)H;F�����

    V

    �������

    V

    �d��b�HHc���� (�£��K

    H

    G

    ����)�0����L������G

    H

    602��z���

    �� H

    G

    �x���

    �H

    G

    K���� (�£��KH

    G

    � VR0���

    H

    G| ��x����

    �G

    H

    K¢��������������������������������������

    �z0����������K{- �£�LK¢������������������������������������������ L¢��KG���G{¢������������������������������������������

  • ٣٦

    �d��[�5�

    :HHHH)H;F�&6̈�0��9V����� ��o��5�������.+!����602/�9¤V�93�¥�'�;���] !�m0��D���602��z���

    -��0^ �[\����,0b���,0E��lZF�]�P�/�-��������

    V

    ��£������

    ��

    ���������

    V

    �y��b�HHc�����

    -

    ����)�0���9H�m�����K

    �602/�9�K������-

    K

    602��z���

    �����K

    �x������-

    K

    ������-

    � VR0�����

    ������������H��������£�������K���������������������������������� �

    I������m�����-

    ������-

    �&6z�

    GI��I��Q�K��I

    K| £KK��� (G£HI

    K

    3��

    �-       ��K��Q���K

    | £KK��� (G£HK

    V

    �-        ��I��Q���I

    | £KK��� (G£HI

    ���

    -���N��������;50���/�V�/�3��O�!��������;50����O�5�680)3�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&�63��k;�;A3�

    &6�0���� (G£H ����602��z��

  • ٣٧

    ��y�Z�1���RI���%�'�,�/F

    G

    K

    H

    &��0;��>_`0";��O�a2� ¡tP�3��G

    � (�£ G

    H

    ������������K���K

    V����������� (G�£�K-

    G

    �3�

    ��NKK-

    K

    ���)�0���9��£K-K����N 602��z��������

    � (G¢K£�F

    G

    ���)�0�9GK����FG

    �602��z��������

    V�n50q�����)�0���9GK��V£K

    �602��z��������

    ���n50q����)J���)�0���9��,����G-

    ��

    �602��z���

    ���F���K�G-

    &���)�0���9�����F

    G-

    9G����G-

    602��z��������

    ����HK

    ����)�0���9L¢����

    602/�9����K

    602��z��������

  • ٣٨

    �HHHHHHH��HHHHHHH4�'HHHH�,�HHHHHHH/F&��������50� �[\��h8��;b��&1/[\��1�yP�

    (G ́� ���) 0���9I��9K� � 602 �z�� �-G

    K¢�. � � �K��� � �{�V � � �{¢�3�

    KK�9G¢�G�+�!�K-K��6��;)[\��]�����d0���a��0�-K

    L�. � � �GK��� � �¢�V � � ��3�

    �W�����)�0���9��602/�9�K �#/0P%���6��;)[\�������$;��A�;�602��z���-

    �. � � �G{��� � ��V � � �L�3�

    �G ́�����)�0���x�K (G����602��z���-H

    {�3�GI �V�G{���¢�.

    ́�����)�0���9K��9G�£�K��K ����602��z���-

    �3�¢ �V�GI���G�.

  • ٣٩

    ́�F��K����)�0���G¢� ́�F�9� ́��9K��F�9¢����602��z���-

    �3�����¢ �V����G{¢�.

    GI¢ ́������)�0���9�9GI¢������+�!��� ��]�Y!����)���6��;)_`�602��z���-

    �3�����GI¢ �V���,����.

    Ḱ�����)�0���9��£H��K��� ́�602��z���-{

    GK�3�����H �V�K¢���{�.

    {́�����)�0���9� (K���£ G

    L

    ��602��z���-L

    KH�3�����HH �V���,���K�.

    � (K£��G

    ���)�0���9H����

    G

    �9���K

    602��z���GI

    K�3�����L �V�����.

  • ٤٠

    ���n50q�����)�+�3��9���,��K ́��n:02/�9�� ����� �����602��z���&�:0q��1�yP�

    G{ K�]���GG�G�O����$;��0+�!�9 K�� ����6��;)[\�������$;��A�;�0�&o0q��1�yP�

    ��,��́��o��5����)�J����)�+�3��x��GK - ��� 602��z���&5����1�yP�

    :G�£�{ KH���F 602 �z�� &.0P��1�yP�

    (�F 6��;)_` )0�;�/ +%�h;� >��;� 0���3� � �

    0B!�:�0/�9�F�6��;)_`��� ����~����������0�V � �

    �V�n50q����)�J����)�+�3��9KH��� (G�£ KV

    ��602��z�� ��&f0E��1�yP�

    &��i [\��1/+X��a�23��&���z��u�)3��� ��&50P��1�yP�

    =0X:[\��~�;P B&78��!~���E� A�; ����

    ���$;��A�;�] !�ag0P�a��+!�����0����>0:��;)[\����;C�+��

    >0:��;)_`��� ����~����������.+��./+������@�a0";��] !�ag0P�a��

    ����;��ag0P�a�����./+����a0";��W��b�c�/�

  • ��/���uq��O���a���E�������;D%�-���!�8h05��������Z��F������F3��r��)0:��----'+���!�/� s�����,������R��;!�8=�]�� !�6���!8�h��٤١

  • ���:�"%�63��0B;�C:3���a!0�;�/�'+����lZF��A�8.�O�(0B;: �[\��+D5��� ���O�)�;%&��i[\��1_`b�O��u� �D��'0�������0B� !�>0� �D�/�>0�������c�����] !�O%8.0)

    G� --0F�,0�!/���������]�����Du;�K� --0�B��d/�O|�;��������k�0:�.0X%��� --O|�;�����V�^�k�0:�.0X%��H� --��:0q��������O��D5���������� � u�5�7����Y���.0X%��� -- u�5�7����Y���*�+E;A05��u������>[\.0D� ua�� --��%�2�'+!0)�*�+E;A05��u��E��>[\.0D���O�*0Y:� ua�� -�����5�7������Y�������%�d�*�+E;��A05������E��>[\.0��D���O���*0��Y:�a���

    �-��������

    ٤٢

  • ٤٣

    �HH�QHH-*/���1�Z�2�

    �1��[�5�

    ���;F

    ����������+��B5�x>�����A�GI�a2�'+����/�'����*0��D�� u�:0"��P��.�+��D;��(������05� u������P ��� u#h��2����(0���� �[\��=0��B��*����%�1_`��b�O���>0��:0�� �#����A�o��%+�;5�=0��BX��*����%/�9 u������P ���.������'0���������0��];����1���������������>0��:0���

    �->0��Y�0����a2�O���>0����!����A�8.�*0��D�����%0B:�]��;���������P ���>0��Y�0������D5������60"��P��.+��!�1����� u#h��2����(0���� �[\��=0��B��>0��:0�5�n��:02��̈��;��*KIGH�*0��!������0����9c����I�'h��@�9c����H{�0���%8��9c����L�+�����&����i [\02�c����V���) [\�*KIGK

    -m0������'h��@/�m0�����G0���%8��9m0�����HGK�+�����&����i [\02�>0��:0����lZ��F�o��%+��-�      �#/0P%�*KIGK�*0!�+���60"A�.+!

    -      �#/0P%�*KIGH�*0!�0�%8��60"A�.+!-      �#/0P%�*KIGK�*0!�'h@�60"A�.+!

    &��i[\02�'+�!�/����,����>0:0����lZF��²Y:� *KIGH�*0!�60"P��.+! *KIGK�*0!�60"P��.+!

    _____ _____ �+��_____ _____ 0�%83�_____ _____ 'uh�����������@

    ~�b����Y�����>0:0����lZF�t�����O"�%�c�2

    �'8����960F.+!�'+�!�/�*�0F.+!����,��¯�F�] !��������.�+![\�a"C��a��;P���Y����F�&��������-6���*�� F���O���������6�"�/�9��g0XB���/����+�05�0B�h�%/�9 �N����O�O�A�)�O�5

    Matrix

  • ٤٤

    �2��[�5�

    �1��b�HHc�

    :HHHH)H;F�

    KI

    ����������������9�

    GI

    IK

    GH-I

    ��V ���9�

    G

    K-H{-

    �����n:02��z��

    �z0��-K×�#/0P���������������8�3��-        #/0P��V������������8�V-        #/0P����������������8���

    K� �)i./� ]�P%�vZ/�9��������������:0q��.��D�/�o0q��c���d0������.+D���%�.�

    -�������������{¢�0B;��)��;��� b+��� ²�A���$�r� �

    &o���9�F�#��h�05�R�h�%/�9� b+��������������.+!�a2�]u�P%�-� b+���R������#Z��.��D��&�F�9� b+���R������#Z��c���&#

    &���i [\��� ¯A3[\��] !� ¡t��30��9

    {-

    K-L

    ������������n:02��z���

    ��������������8�0�3�K����9GK���9KG��&���i [\��>_`b+���O�a2����)�0�V

    �-��������������0B;��)��;��� b+��� ²�A����

  • ٤٥

    � VR0�-K�� ���������������8�3��

    {¢�K��� b+�� � ��������9L�GK��� b+����� ������9��KG��� b+���V�z0����-�KK��� b+�����

    �]��[�5�

    �\��[�5�

    �&6�0��9�{L

    -

    G ����n:02��z��

    -          �#/0P���������������8��KG�

    -         �GK�-      GK� - KG�

    -��,�0B��a2����)/�9�D583��0B�_`b+�.+!�6�"%�o��5�9��"����>0����������� ¡t;2��

    I I I I ���

    -            �V�

    -            �����

  • ٤٦

    :HHHH)H;F��&>0�������N��:��O

    :�*����Q-*�-6� G�0B;��8�6�"�/�9'+�!3[\��O�6/�9���+��/�c,�O�6�̈";���;�����������F

    :&Q/;����Q-*�-G� *�0B;��8�6�"�/�9������O�*�/�9���+��/�.��!�O�6�̈";���;�����������F

    :�;6�/����Q-*/������������]���P�/�96�#/0��P%/�'+���![\��.+��!������������.+��!�0��B���~/0��P;%����;���������������F

    �-����:������������O������D5���%�h�05�0B�h�%/�9m���,�#/0P��0B���� b+�a2�6�"���;�����������F����-*����Q-*/�

    �2��b�HHc�-0B!�:0/����i [\��>0�������O�a2����8�0

    -��II

    II

    II �/��9��

    HL

    LG-

    G

    �N��9�

    IL

    �W�9 I® L- K ��

    � VR0�-.��!�������W�9G���W����8�K � � ������-c,��������F/�9�G������8�G

    -�%��,��������F/�9�K�/����8�H��������� � ������-�q0q��������O��D5��������N�

    ���;F-�%/0P;�'��0�;���0�B�_`b+�����n:02/�90BP�:�������0�B�602��z���V�9��60;�������~/0P;�

  • ٤٧

    &���i [\��>[\0���O�a2����60;%/0P;�60;�������n:02��z���0����O�5�

    IG

    G

    {

    ��V� � ��9��

    IG

    G

    {

    ����

    � L G �W� � � � ���9�

    GL

    � VR0�G (-�%/0P;�'��0�;���0�B�_`b+/�90BP�:�������0�B�6[\�x60;%/0P;�V�9��60;������K (×G��W����8�03��G×�����8�63[\�9O�;%/0P;���@�W�9�60;������

    V����aDX���;������)�0���9 L- H ��V�9

    K£�� H ����n:02��z��� VR0� L- H ��

    K£�� H ��6��0�5 �

    L¢��K£�6z�� �

    -GG¢��6��k;�%��.0D��� ua�5/ �

    �]��b�HHc�

    �\��b�HHc�

    W#���-KW��9K��u6��Ou�5��9�

    H

    HK£ ���

    G£WH

    KH ��&602��z������

  • ٤٨

    ��1�Z�2���RI���%�'�,�/F���������Z��B�602��z�0����- u#���g�+�/�9a��;��P���9��5����&6�������O���10"��������?_`?������0�h�����:�/_`������k��;�%

    &����30%�0���2�m0����%�N�����a2�0��BX;�%����;��6�������.+��!�602/�9R�� ��*�8���������bi[\�/�9a��� E�������0���F+�3��O���!���-a"C��#�g�.�m0��,�KI�9a"C��a��;P� sO�,�HI9a"C��5�� sO�,�II:R�)`�

    � ¡t��;2��-a"��C��#���g�.�m0����,�G{I�9a"��C��a��;��P� sO���,�KI�9a"��C����5�� sO���,�HII :^HH)��+,-�K���������O�����������a"����]�� !���50��P��>0��:0���

    : { G ��������9�

    {-IG

    IGK

    IH

    ���V����9

    III

    III

    ������n:02��z�����

    ��50P��>0�������O�a2�����8�0���3����0B��a2�N�:�0�V�

    �GV�9�GK��9K G���&���i [\��>_`b+���O�a2����)�0����

    &��30%�0�������9V�O�;50q����)� ¡+�����

    G�£��� ����

    V

    V¢H ��3���

    {

    ���

    V -KV�£���

    ��V

    K��V

    G{ ����

    LKV

    G{ ����

    &o���W�9����)� ¡+�����

    WK�¢� HH ����

    G

    W£H

    G

    K

    H

  • ٤٩

    ���Q-*/��O)4����)/;���2�Z�2�

    �1��[�5�������P ���>0Y�0����D5�=0;��

    �O� 0D��.+!���;D%/�9 u��0�P��p0C�05�0F��@�O!�-N0�����ZB��%.0�;)[\��'����>���y�+�3���.0������

    .�+!3��6_`q���GIKI ��V�9

    GLIGIK ����60;������

    -#h2����(0�� �[\��=0B��>0:0�5�tP�5�9*KIGK�*0!�1_`b��.0�������O� 0D���.0�����������O��� 0D��.+��!�V�����������a��q���0������-O����P ��10������.0�����������O��� 0D��.+��!�������������a��q��

    -O����P ��V�������-�.0�������O� 0D��O�§0: �[\��.+!��:0q��c���aq�%�0����98�2Z��.+!�aq�%�O�;�������_`2����1/3[\��c��

    -a0!�II��GI£GLI�*KIGK�*0!�O��P ���.0����������8�2Z��O� 0D��.+!-          �*KIGK�*0!�O��P ���.0����������>_`0D��.+!

    -�O��P ���.0�����������m0?0:��/�m�8�2z�O� 0D��.�+!3�������������aq��II___ �����

    ���Q-*/��{/|���78%j

    ���;F�o�����9������V�£ ��O���;�������N����X�6�0����6��*�0B��P�:���������O���0���B��a2�O���;�����V�9��n��:02��z����O������0����O���; b+���N����X���%/0��P������������������������� b+�a2�6���"�/�96��*���������O���������������

    HHH��D�x�HHH����m�HHH��HHH|��&63��#3�9�V�9��O���;������������0��B

    Matrix Operations

  • ٥٠

    W#���-                                     �� ²P����V£���� �D��(������O"�%�aF

    �2��[�5�&u6�0��

    H-L-

    ��V���

    KH

    {

    L ����n:02��z��

    �� K�������8-    ��V����8

    �1��b�HHc�

    -O"3��6���V�£�3��+�3��9���

    LH

    G-

    G-GI

    ��V��9�

    K-

    GH

    {H{-

    ����n:02��z���

    � VR0��-��i[\02��X���� �!�(������O"�%�R:�0��9V������������8���������������8�6��0�5

    L£�K-�£�H�£�

    G�£��£�G¢�£�H

    G¢�£�{�£�H

    GI�£�{- ���

    LH

    G-

    G-GI

    ��£�

    K-

    GH

    {H{-

    ��V�£��

    L

    HG

    K

    ����������

  • ٥١

    �]��[�5�

    �\��[�5�

    LG-

    H ��V���9

    KG

    H

    ����n:02��z��

    -                                   ��V�£��

    -                                    ����£�V

    ������´�_`���z0

    GG

    -G- ����� � ���9

    KI

    H- ���F� � ���9

    {

    - ��N�n:02��z��

    G{

    GG K

    GG- ���GG

    -G- �£�

    KI

    H- �£�

    {

    - �����£��F�£�N��3���

                                         �����£��F�£�N�V�

    ��-O�;X�;���O�5�680)3�������

    :HHHH)H;F�

    :HHHH)H;F�

    -�� %+����� �!��F�>0������������ �!�

    -��D��X���� �!��F�>0������������ �!

  • ٥٢

    �d��[�5��&6�0��

    II

    II

    II ���/���9

    H

    H

    �����n:02��z��

    H

    H

    ���

    II

    II

    II �£�

    H

    H

    ��/�£��

    ´�_`¡���z0 -              ����£/���

    :HHHH)H;F�->0������������ �D�'+%0�������������F�/��%������������

    �y��[�5�

    a6�g�&.;6����Q-*/��D��������g

    &6�0��9

    H

    G �����n:02��z��

               ���

    H

    G �£�

    H

    G �£�

    H

    G �����£���£���3�

                         ����

    �H�

    ��G ���������V

    -O�;50� �[\��O�5� ¡680)��

    ���;F�a2�6�"��o���96°*��������O��������-����6�0��m0������m�.+!����602/�96°*�������O���������n:02��z��

    �H����H|��m��H�����H|��&6��#����-���n50q05��5/�7��������������0B�'��0����� b+� ��%/0P�0B���� b+

  • ٥٣

    W#�����W¢�£��&����i [\���� �D��(������O"�%�aF

    �2��b�HHc�

    &��30%�0��a2� ¡+����H

    G{

    I ��W��9

    G

    H

    H

    G ���n:02��z���

    W� ��V � � � ���3������

    � VR0���-�

    KG

    K{HL

    K{

    HK ����3��

    G{ GK

    KH

    I

    L

    ���W� �V�

    ���Q-*/������c��g

    ���;F�&O�;�������

  • ٥٤

    �]��b�HHc�

    �\��b�HHc�

    &�O"��6�����30%�0�k�0:�+��

    HK-L

    ����

    H{

    (G

    �-{

    {

    H- ��

    GL (K

    � VR0�

    I{G-

    ����

    HK-L

    H{

    ����

    HK-L

    ����

    H{

    (G

    -O�;%/0P;���@�O�;��������;��8�6[\�

  • ٥٥

    :HHHH)H;F��9�������� � u�D�X����Y����F�V�6�0��9/����£�V��V�£���&o���O�;�����V�9��n:02��z��

    �-��V�6�"�/

    �z��[�5�����0E��/����53 [\��O������/�#+�� ���O�������O���O���05�0��B�0D���+��,8�������P ���4������O���0���2�����>.0��;!�

    -0��B�O���D50;��w0��;: �[\������b������98�B����H�a2�'���

    �O���*KIG{�*0��D��O���p0����/����:0?�6���:02�#�B����1_`��b��2���C��>0��D���9

    IKIGI

    IKIGI

    ����������������a��q��

    �-m0��D�w0��;:[\������b

    ��*KIG{�*0��D��O���]��/3 [\�����D583 [\���B���3[\��������2���C��>0��D���a���X�9

    GIII

    GGIII

    �������������������a��q��/

    -m0��D�w0��;:[\������b�O��

    -        ����9��O�;��������[\+5�m0D��60P�:/�8�zi��#�B��>0D����aq����;�����������O!��u�!��¢

    -         �60P�:/�8�zi��#�B��1_`b��2�C��>0D���aq����;�����������+�3��¢

  • ٥٦

    �d��b�HHc�

    �y��b�HHc�

    K

    G- ��

    -G-

    K- �£��&���i [\���u���������.0D��� ua��

    � VR0�&6�0�� u������.+D5�>0�������V�^���,0b�*�+E;A05

    K

    G- ��

    G--

    L- ��£�

    {K

    -G �£���

    GKI

    LGG �¢��&���i [\���u���������.0D��� ua��

    � VR0��z0���

    GKI

    LGG �£�

    {K

    -G ��¢�

    �9�KIK

    KGK �K

    GIG

    G ��0B�/��

    �&k;�%��.0D������d�]����G--

    L- �������� � u�D�X����Y�����0^�05/

    G

    -L ��£��

    K

    G- ����

    G

    -L ��£��

    G--

    L- �£

    �z0� � ��G{

    -H �����������������

    II

    II �£�����������

    G{

    -H ���������� � � ���&6z������

  • ٥٧

    G

    K

    H

    KK�9K�9K�>0�� �(��Fh����d0���A8+���� u�!�8h�/� u#.0%��/� u�5.[\��&N/����>0�0d�.+!�602��z������ ¡t��3��-t���;��] !�G�9KI�9I�N/����f�:����8�2Z ��u�����0B���A8+���V_`d�.+!�9t���;��] !

    &���i [\��� ¯A3[\��O!�����-.��!�����������A8+�a2�>0:0�5��uY:��3����

    O�;A8+���_`2���� u�!�8h��N������ d�N��X�0�V�O�;A8+���_`2����V_`���.+!�O!�N/�����������>0�0���.+!����'.0%h��aq����;���������� ¡t;2������

    K���� b+������)�0���9{¢� KV�� b+��/�9L�K��� b+���n:02/�9V�£��K������������n:02��z����KG

    HH

    G �N��9

    G{

    H

    K �W�9

    KG

    { ���n:02��z����

    &O"��6�����30%�0� ¡+����

    H �K/�¢�WK �H���������NK�¢����&�������¢�W �H|� ����WH�¢� �D�������W�£�������

    I

    K

    G- H���

    K

    G ����30%�0�k�0:� ¡+�����

    V - ��K�&o������������ ¡+���9

    IG

    H{K-

    ��V�9

    -GG-

    KHK-

    ����n:02��z�����

    �&���i [\���u��������>[\.0D���O�m_`2� ua������K-

    GI K�����

    -K

    KG ��£� K�V������

    {G

    H- ���

    G

    G-H �£����3������

    -IH

    I

    ��K¢ HK

    KG

    ������������������

    ��2�Z�2���RI���%�'�,�/F

  • ٥٨

    ���Q-*/��D����]�Z�2�

    �1��[�5��O����P ����������Xg����%80��C���O���>�80���P��'80��X������;D����O���N����:�����?_`?�80��D���+��������D%�-'����b3[\��>�����P������

    �.�+��!3��

    H ��V������������a��q���->�80���P�

    �-*KIG�/�*KIG�O�0D��������D���0��B!05���������;��>�80���P�

    �-N�:�a2�O��D���vz����80�%.�c��V�)[\�>�80�P��v ��80DA��auq�;��

    {

    ��������������03�

    �z0��980�%.�c3��GG��{×�£�×�£�×��*KIG�*0!�>0D���a�X

    -                                ��*KIG�*0D��>0D���a�X______ �������9*KIG/�9*KIG�O�0D�����>0D�����a�X�aq�������������

    ���;F�&6������6 � ه0��9��O�������V�96 � *�������O���������n:02��z���

    ��F�6D�-6�#��£-----�£�FKD-K#��£�FGD-G#���F�#H|��&o���9ه� *H|6 �ه��D� �6� *�

    Matrix Multiplication

  • ٥٩

    �1��b�HHc�:���i [\��>[\0���O�a2����V�،���O�;�������V�^�k�0:� ¡+��

    K-I

    G

    �V���������������

    I

    GH-K

    IG

    �������G

    GK

    H

    ��V��� � ��

    GK

    H

    �������K

    ��V������������,�.+!���������������'+�!3��.+!�63��´�[\3�� VR0�(I × I�£�- × G�£�K × ������ × I�£�G × G�£� ×

    (I × �£�- × H¢�£�K × I����� × �£�G × H¢�£� × I(I × �£�- × K�£�K × G������ × �£�G × K�£� × G

    GKH-

    GGH

    ������������

    -V������������,�.+!���������������'+�!3��.+!�63[\��V�7���� �!�(������O"�%�[\�K

    �2��[�5�

    �]��[�5�-������������������������������������#/0P��H|������������8�6�0�����9H|��� HD�-�H� ��&o���60;�����V�9��63��n� !��z��

    �&6�0���GI

    K ���V�9

    G

    HK �� ��n:02��z��

    HK

    KL ����

    (I × �£�G × H����� × �£�K × H (I × G�£�G × K����� × G�£�K × K ���V����

    ´�_`���z0��-����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-�V

    ���V�-��

  • ٦٠

    �2��b�HHc�

    �]��b�HHc�

    :HHHH)H;F�-�u� %+���nP��>0�������V�^��� �!

    V�-����+�3�� K-GI

    G- ���V�9

    KG

    GI �����n:02��z��

    ��-��V�K���V�-��� (G��O�a2�k�0:�+�3�� IG

    GI ���V�9

    G-K-

    { �����n:02��z��

    � VR0�

    � VR0�

    II

    II ��

    (GI × K�£�K- × GI�������- × K�£ (G × GI(GI × G�£�K- × �������- × G�£�G × � ��V��������

    G-K-

    { ���

    IG

    GI �

    G-K-

    { �V����

    ´�_`���z0 G-K-

    { ���

    G-K-

    { �

    IG

    GI ��-�V

  • ٦١

    :HHHH)H;F��9����:0q����������O���>0���������V��� �̂���� �D�'+��%0�����������������F�

    IG

    GI �����������

    -

  • ٦٢

    &O"��6�����30%�0����>0�������V�^�k�0:�+���

    G-

    HK

    GK

    H-

    �V����

    IK-G

    H

    G-G

    H �3���

    ���O���O%�B����1/�������.�9�����9V�9��V���A0���'h��B���O���N����:�����D58��O��� u#80��X��a����>0��D���n��:02����

    �980���%.�II�980���%.�HI�'h��B�3[\��O���?�602/�9GKG

    GKI

    GGI

    GIKI ��������������������� q��*KIG{�*0��!

    �O���a������>0��D���a��q������;������������.0��X% �[\�>0���������*+E;��A��-t�����;��]�� !�980���%.�HII�9�80���%.�II

    -O%�B��C�������'h��B�[\�

    &� %�0�+�3��9�K ��V�9�

    KG-

    -H

    ����n:02��z�����

    V�-����������������������V�-����V���������������������V���� �3�����

    V�93��O��;50q��O�a2����)�0��HV ��

    G

    G

    3�K �n:02��z���

    G

    K

    H

    ��]�Z�2���RI���%�'�,�/F

  • ٦٣

    ����c��� F���'���;6�/����Q-*/)��36�����t����\�Z�2�

    �1��[�5��>�(����� �[\��]��������P�g8�a"��C5�v��z�.���D%/�-'���d0E�����^/������R��:305�9������P ��� }.0���;)[\��¡(�����E�� ¡c��u��%�10�����3�8�>�z�'����$���%80��C���6�0�����Z���-.0���;)[\���Z��F�����:�