2.2 การหาปริมาตรทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนพื้นที่โดย วิธีเปลือกบาง (หนา106)

ตัวอยาง บริเวณซึ่งถูกลอมรอบดวยแกน X และพาราโบลา 2y 3x x � ถูกหมุนรอบแกน x 1 �

แผนเปลือกบางถูกสกัดออกมาเปนลักษณะทรงกระบอกกลวง

ปรมิาตรยอย คือปริมาตรของทรงกระบอกกลวง kV' ความยาว x ความสูง x ความหนา

2 S (รัศมีปากทรงกระบอก) x h x x' 2

k k k2 (1 x )(3x x )( x) S � � '

ปริมาตรรวมของทรงตันเกิดจากการรวมกันของปริมาตรยอย

n n

2k k k k

k 1 k 1

V V 2 (x 1)(3x x )( x)

' S � � '¦ ¦

เนื่องจากทรงกระบอกอยูในชวง [0, 3] เมื่อกําหนดใหแผนสี่เหลี่ยมบางมาก ๆ ( x 0)' o ไดปริมาตรทรงตัน คือ

32

0

V 2 (x 1)(3x x )dx S � �³

3

2 3 2

0

2 (3x 3x x x )dx S � � �³

x 3

2 3 4

x 0

3 2 12 x x x

2 3 4

ª º S � �« »

¬ ¼

45

2

S ลูกบาศกหนวย

สูตรการหาปริมาตรทรงตันที่เกิดจาการหมุนพ้ืนที่รอบเสนตรง L ดวยวิธีเปลือกบาง คือ

b

a

V 2 S³ (รัศมีทรงกระบอก) (ความสูงทรงกระบอก) dx

1. ความสูง คือ y f (x) และมีเสนตรง x L เปนแกนกลาง

และ L a x bd d d ไดวา b

a

V 2 (x L)f (x)dx S �³

2. ความสูง คือ x g(y) และมีเสนตรง y L เปนแกนกลาง

และ L c y dd d d ไดวา d

c

V 2 (y L)g(y)dy S �³

Lord of

Gof

t i

ng

ii I asodds l G

ตัวอยาง จงหาปริมาตร (โดยวิธีเปลือกบาง) ของทรงสามมิติของ

การหมุนบริเวณที่ลอมรอบดวยแกน X เสนโคง y x และเสนตรง x 4 ก.) รอบแกน X ข.) รอบแกน Y

วิธีทํา

eO_0 00rovanwX n y anaghmgnodnuoi

aviatorn

i yamdI.E T

y o i r i r s V12T y 4 y2 dy

Nd nu geons4

EE V false ra o dseKEO

การหาปริมาตรของทรงสามมิติของบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง กรณีที่ 1 ถา R เปนทรงสามมิติของการหมุนรอบแกน Y ของบริเวณระหวางเสนโคงตอเนื่อง y f (x) และ y g(x) เมื่อ a x bd d โดยที่ a 0t หรือ b 0d อยางใดอยางหนึ่ง

1.1) ถา f(x) ไมตัดกับ g(x) ในชวง (a, b) แลว ปริมาตร V ของ R คือ

b

a

V 2 x[f (x) g(x)]dx S �³

1.2) ถา f(x) ตัดกับ g(x) บน (a, b) ที่จุด

1 2 n 1x , x , , x (a,b)� � และให 0 na x , b x

แลว 1 2 nV I I I � � �

เมื่อ i

i 1

x

i

x

I 2 x[f (x) g(x)]dx ; i 1, 2, 3, , n

�

S � ³

GI'tLdd a nw

กรณีที่ 2 ถา R เปนทรงสามมิติของการหมุนรอบแกน X ของบริเวณระหวางเสนโคงตอเนื่อง x f (y) และ x g(y) เมื่อ c y dd d โดยที่ c 0t หรือ d 0d อยางใดอยางหนึ่ง 2.1) ถา f(y) ไมตัดกับ g(y) ในชวง (c, d) แลว ปริมาตร V ของ R คือ

d

c

V 2 y [f (y) g(y)]dy S �³

2.2) ถา f(y) ตัดกับ g(y) บน (c, d) ที่จุด

1 2 n 1y , y , , y (c,d)� � และให 0 nc y , d y

แลว 1 2 nV I I I � � �

เมื่อ i

i 1

y

i

y

I 2 y[f (y) g(y)]dy ; i 1, 2, 3, , n

�

S � ³

หมายเหตุ ให R เปนทรงสามมิติของการหมุนบริเวณในระนาบรอบเสนตรงที่ขนานกับแกน Y (เสนตรง x h ) หรือรอบเสนตรงที่ขนานกับแกน X (เสนตรง y k ) การหาปริมาตร V ของ R สามารถทําไดทํานองเดียวกัน แตเปลี่ยนรัศมีของเปลือกทรงกระบอกใหม

จาก x เปน x h� และ จาก y เปน y k� โดยมเีงื่อนไขเพิ่มเติมวา 1. สําหรับกรณีหมุนรอบเสนตรง x h แลวบริเวณที่หมุนจะตองอยูทางขวาหรือทางซายของเสนตรง x h อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น (นั่นคือ h a bd � หรือ a b h� d อยางใดอยางหนึ่ง) และ 2. กรณีหมุนรอบเสนตรง y k แลวบริเวณที่หมุนตองอยู เหนือหรือใตเสนตรง y k อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น (นั่นคือ k c dd � หรือ c d k� d อยางใดอยางหนึ่ง)

สรปุ! วิธีเปลือกกระบอกบาง: ลากเสนขนานแกนหมุน หารัศมีและสงู

rovintrash arounTwyskICbzazh.fem3gcMsVnECgb3 d3e3k.u 3vcyzltycce.dex yn n lifers n ucyO w d

i a

curfew95W Xr r x gy k

sesh a b y d Ga b vsfzufy kkucyivcyfdyvefz CKhlffcugcnddky.cna

aebsh.fm gcmVseeca bI cedEk ucy3vcy7VyECgd3fore in NY

SX

gW off Goysk

gone dry

ii no isa bush cususb

V f2T h a fuelgondola veg Ruyiy d

k a e zuckykucysvcyddyy.sc

ตัวอยาง จงหาปริมาตรของทรงสามมิติของการหมุนบริเวณที่

ลอมรอบดวยแกน X เสนโคง 2y x และเสนตรง �x 2 (ก) รอบเสนตรง �x 3 (ข) รอบเสนตรง �y 1

วิธีทํา

adI

P n o

inan is mt K

iiius 2

Cg y 1

aids

ตัวอยาง จงหาปริมาตรของทรงสามมิติของการหมุนบริเวณที่ลอมรอบ

ดวยเสนโคง �2y x 1 และเสนตรง �y x 1 จาก x 0 ถึง x 2 รอบเสนตรง x 3

วิธีทํา

E

in

J NIK TO

ReIfn our

I

V VntVzEightIifa fn ea dn

W3

NeoN 2

fouls a heh ca D duKEI

2.3 ความยาวเสนโคงบนระนาบ ให AB เปนสวนสวนเสนโคง และ L เปนความยาวของสวนของเสนโคง AB

หาคา L โดยแบง AB ออกเปนเสนโคงยอยเล็ก ๆ n เสนโคง ไดวา

0 1 n 1 nA P ,P , ,P ,P B�

เมื่อ kP แทนจุด k k(x , y ) บนเสนโคง AB (k 0, 1, , n)

k 1 k 1 k 1P (x , y )� � �

k k kP (x , y )

C

k k k 1y y y �' �

k k k 1x x x �' �

0A P

n 1P �

1P 2P

nP B

X

Y

0

if'T

he lpwpw.it FywyuITVTTmtTyT

คาประมาณของ L คือ n

kk 1

L L

|¦ โดยที่

2 2k k 1 k k k 1 k k 1

2 2k k

L P P (x x ) (y y )

( x ) ( y )

� � � � � �

' � '

กรณีที่ 1 เสนโคง C กําหนดโดยสมการ x f (t) และ y g(t) เมื่อ a t bd d

2 2k k k 1 k k 1L [f (t ) f (t )] [g(t ) g(t )]� � � � �

2 2k k[f (t) t ] [g (t) t ]c c| ' � ' เมื่อ kt 0' o

2 2k k k[f (t )] [g (t )] tc c| � '

จะได เมื่อ kt 0' o แลว n n

2 2k k k k

k 1 k 1

L L [f (t )] [g (t )] t

c c| � '¦ ¦

แปลงเปนปริพันธจํากัดเขต ได

b b 2 22 2

k k

a a

dx dtL [f (t )] [g (t )] dt dt

dt dt

§ · § ·c c � �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹³ ³

us toy

w Ks f

ตัวอยาง จงหาความยาวของสวนโคงที่กําหนดโดยสมการ 3x 2t และ 2y 3t จาก t 0 ถึง t 4

วิธีทํา

to beD

aged L fiEFETdt2

t a

former

day adf.at's 61 2

um off DIST's 6tAt

FEET Fikretthe tea 6tFE

fEjdfFdtsf6tFdtto to

a t 4acting

f so2.17 2 ride p

กรณีที่ 2 เสนโคง C กําหนดโดยสมการ y f (x) เมื่อ y f (x) สามารถหาอนุพันธไดบน [a, b]

กําหนดให x t ไดสมการเสนโคง C คือ x t, y f (t), a t b d d

ซึ่ง dx

1dt และ

dyf (t)

dtc

เนื่องจาก dy dy / dt

f (x) f (t)dx dx / dt

c c

ดังนั้น 2 2 2

2 2dx dy dy1 [f (t)] 1 1 [f (x)]

dt dt dx

§ · § · § ·c c� � � �¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹

ดังนั้น ความยาวของเสนโคง y f (x) กําหนดโดย b

2

a

L 1 [f (x)] dxc �³

D

ke

n F

ตัวอยาง จงหาความยาวของเสนโคง

32 22

y (1 x )3

�

จาก x 0 ถึง x 2 วิธีทํา

nsbfond L f TIN du

n a

Damn flame off aeu7die

3 Efren kC2k suffix

riff FEETTEE

wz IFF T 2 nt2uK L

he ftp.dn fatasebdnSeto

Uso

tag a

2 13 0 23 nuke E

กรณีที่ 3 เสนโคง C กําหนดโดยสมการ x g(y) เมื่อ x g(y) สามารถหาอนุพันธไดบน [c, d]

ทํานองเดียวกับกรณีที่ 2 ไดวา

ความยาวของเสนโคง x g(y) กําหนดโดย

d

2

c

L 1 [g (y)] dyc �³

ตัวอยาง จงหาความยาวของเสนโคง

3

2x 3y 1 � จาก y 0 ถึง y 4 วิธีทํา

y d

CahnSrc J