mathématiques i - avu (12:12)/notionsbase...université virtuelle africaine i. mathématiques 1 :...

Notions de base en mathématiques supérieures

Par Prof. Jairus. Khalagai

African Virtual universityUniversité Virtuelle AfricaineUniversidade Virtual Africana

Mathématiques I

Université Virtuelle Africaine �

Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.


I. Mathématiques 1 : Notions de base en mathématiques supérieures ___ 3

II. Prérequis/connaissances préalables nécessaires __________________ 3

III. Volume horaire/temps ______________________________________ 3

IV. Matériel didactique _________________________________________ 4

V. Justification/importance du module ____________________________ 4

VI. Contenu _________________________________________________ 4

6.1 Aperçu________________________________________________ 4

6.2 Grandes lignes _________________________________________ 5

6.3 Représentation graphique _________________________________7

VII. Objectifs général __________________________________________ 8

VIII. Objectifs spécifiques d’apprentissage __________________________ 8

IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage _____________________ 9

X. Concepts-clés (glossaire) ___________________________________ 16

XI. Lectures obligatoires ______________________________________ 18

XII. Ressources obligatoires ____________________________________ 19

XIII. Activités d’enseignement et d’apprentissage ____________________ 22

XIV. Synthèse du module _______________________________________ 47

XV. Évaluation sommative ______________________________________ 48

XVI. Références bibliographiques ________________________________ 66

XVII. Auteur principal du Module _________________________________ 67

Table des maTières


i. mathématiques 1 : Notions de base en mathématiques supérieures

Présenté par le professeur Jairus. Khalagai, Université de Nairobi.

ii. Prérequis/connaissances préalables nécessaires

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Composée de fonctions.

La maitrise du programme de mathématiques du niveau secondaire est une condition nécessaire à la réussite de ce cours.

Ce cours est de niveau 1.

Section 2 : Relation et loi de composition interne

Pre-requis : La section1 « Les mathématiques élémentaires 1 » est un pré-requis à cette section .


Section 3 : Les groupes, sous-groupes et l’homomorphisme

Pre-requis : La section2 « Les mathématiques élémentaires 2 » est un pré-requis à cette section 3


iii. durée du cours

La durée du cours est de 120 heures.


iV. matériel didactique

Les supports pédagogiques de ce module sont :

• Matériel d’études (Imprimés, CD, Documents en ligne) (les documents d’évaluation anticipée sont inclus dans le matériel d’études) • Deux activités formatives d’évaluation par section (disponibles en tout temps,

mais avec date de remise déterminée). (CD, Documents en ligne)• Références et Lectures disponibles sur sources ouvertes (CD, Documents en

ligne)• Fichiers des activités TIC : Supportés par des logiciels sous licence Supportés par des logiciels gratuits Sans support Fichiers vidéo Fichiers audio (avec bande magnétique) Fichiers d’installation de logiciels gratuits• Caculateurs graphiques et logiciels sous licence lorsque disponibles.

V. Justification/importance du moduleL’enseignement des Mathématiques élémentaires sert essentiellement à mettre à niveau les connaissances acquises par les cours de mathématiques du niveau secon-daire : par exemple, compréhension du système des nombres réels, des fonctions élémentaires, etc. Ce module sert aussi de base aux mathématiques universitaires en introduisant l’étudiant à la science du raisonnement, la Logique, ainsi qu’à d’autres disciplines liées.

Vi. Contenu

6.1 Aperçu

Ce module est divisé en trois sections:

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Fonctions composées

Cette section commence par la théorie des ensembles et se poursuit avec l’intro-duction à la logique qui explique les techniques qui permettent de distinguer les vrais arguments des faux arguments en utilisant des propositions et des opérateurs logiques (connecteurs). Une compréhension adéquate de la théorie des ensembles et


des nombres réels est essentielle. Le besoin de pouvoir se représenter une fonction particulière amène la nécessité d’étudier sa représentation graphique. Notez que le concept de fonction peut aussi être vu comme une instruction donnée à un ensemble d’objets et concerne aussi l’étude des arrangements d’objets dans un ordre déterminé, appelés les permutations et l’analyse combinatoire.

Section 2 : Loi de composition interne

Dans cette section, nous nous penchons sur le concept de loi de composition interne et amène aussi l’étude des propriétés élémentaires des entiers comme, par exemple, la congruence. Une introduction aux structures algébriques permet de préparer le terrain pour la Section 3 du module.

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme

Cette section est consacrée à l’étude des groupes et des anneaux. Ce sont des ensem-bles de nombres ou d’objets qui répondent à certains axiomes prédéfinis. Le concept des sous-groupes et de sous-anneaux est aussi important à étudier dans cette section. Dans le but d’étudier quelques cas où les axiomes sous-jacents sont moins nombreux, nous étudierons aussi les concepts associés à l’homomorphisme et à l’isomorphisme. De plus, nous nous attarderons au concept de mappage d’une fonction représentant les relations entre différents groupes ou différents anneaux afin de trouver quelles sont les propriétés de la fonction qui interagissent avec ces entités.

6.2 Grandes lignes

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Fonctions composées (50 heures)

Niveaul 1. Priorité A. Aucun préalable.

Théorie des ensembles (4)Logique élémentaire (8)Systèmes numériques (6)Nombres complexes (4)Relations et fonctions (8)Fonctions élémentaires et leurs représentations graphiques (8)Permutations (7)Combinaisons (5)


Section 2: Relation et loi de composition interne (35 heures)

Niveau 1. Priorité A. Mathématiques élémentaires, section 1 est un préalable.

Loi de composition interne (7)Propriétés élémentaires des entiers (7)Congruence (7)Introduction aux structures algébriques (7)Applications (7)

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme (35 heures)

Niveau 2. Priorité B. Mathématiques élémentaires, section 2 est un préalable.

Groupes et Sous-groupes (7)Groupes cycliques (2)Groupes de permutation (5) Groupes homomorphismes. (4) Groupes de facteurs (3)Automorphismes (3)Anneaux, Sous-anneaux, idéaux et anneaux de quotients (7)Théorèmes des isomorphismes pour les groupes et les anneaux (4)


Ce diagramme représente la façon dont les différentes sections du module sont in-terreliées entre elles.

L’axe central du module est situé au centre du diagramme (en rouge). Les concepts subordonnés sont joints par une ligne.

Par exemple, la théorie des ensembles est le principe moteur du diagramme. Le concept des nombres réels est subordonné au concept des ensembles. Le concept des nombres complexes est subordonné au système des nombres réels.

Homomorphismes et Isomorphismes Groupes et

anneaux

Structure algébrique

Permutations etcombinaisons

Loi de composition

LES

ENSEMBLES

Logique despropositions

Les nombresréels

Les fonctions et leurs

représentations graphiques

Trigonométrie

Les nombrescomplexes


Vii. Objectif généralVous serez en mesure d’enseigner dans les écoles secondaires la logique des ma-thématiques élémentaires, la théorie des ensembles, les systèmes de nombres et des structures.

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage (Objectifs éducationnels)

À la fin du module, l’étudiant devrait être en mesure de :

• Construire des arguments mathématiques;• Faire des liens et communiquer des idées d’ordre mathématique de manière

efficace et économique.• Évaluer les formes invariantes des éléments d’un ensemble, en faire un résumé

analytique et généraliser.• Comprendre les diverses structures mathématiques ainsi que leurs similarités

et leurs différences.


iX. activités d’enseignement et d’apprentissageModule 1 : Les mathématiques élémentaires, évaluation anticipée

Section 1 : Les ensembles et les fonctions

Évaluation et Solutions

Questions d’évaluation anticipée

1. En considérant l’équation de second degré suivante : 2x2 − x − 6 = 0

Les racines sont :

a. −4,3{ }

b.

4,−3{ }

c.

2,−32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

d. −2,

32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2. La valeur de la fonction ( ) 22 3 1f x x x= + + où 3x = est :

a. 19b. 28c. 46d. 16

Université Virtuelle Africaine �0

3. Lequel des diagrammes suivants est la représentation graphique de y=3x (2-x)

.

b.

c.

d.

4. La solution de l’équation

sin x = −

12

si 0 ≤ xo ≤ 360 est :

a. { }150 ,210o o

b. { }30 ,150o o

c. { }210 ,330o o

d. { }30 ,330o o

a.

Université Virtuelle Africaine ��

5. Selon le triangle ABC suivant :

√5

A B

C

Lequel des énoncés suivants est vrai?

a) Cos α = 2

15

b) Sin α = 5

2

c) Tan α = 2

d) Sec α = 1

5

Section 1 : Solutions

Voici les réponses aux questions à choix multiples :

Q 1 c Q 2 b Q 3 b Q 4 c Q 5 c


Section 2 : Ralation binaire et loi de composition

1. La fonction réciproque de

f x( ) = 1

x −1 est

(a) f −1 x( ) = x −1

(b) f −1 x( ) = 1− x

x

(c) f −1 x( ) = x +1

x

(d) f −1 x( ) = 1

x− 1

2. Si sin2 2

x a= alors sin x est :

(a)

a

4 − a2

(b) a 4 − a2

(c) a

(d) a

4 − a2

2

3. Une jeune fille possède trois jupes, 5 blouses et 4 foulards. Quel est le nombre de tenues vestimentaires différentes peut-elle créer ayant chacune une blouse, une jupe et un foulard?

a. 220b. 60c. 12d. 150


4. Soit le nombre complexe

z = 1− i nous avons Arg z est :

(a) 450

(b) 1350

(c) 2250

(d) 3150

5. Si a*b = a2 + ab−1, alors

5*3 est

(a) 39(b) 41(c) 23(d) 25


Q1. c Q2. d Q3. b Q4. b Q5. a


Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme

1. Parmi les loi ci-dessous, quelles sont celles qui sont des lois de composition internes dans l’ensemble IR des nombres relles : ?

(a) Mettre au carré la somme de deux nombres reels;(b) Faire le quotient de deux nombres reels(c) Faire le quotient des carres de deux reels.(d) Faire le produit deux nombres reels.

2. En tenant compte de la définition d’un homomorphisme, donnez un homomor-phisme d’un groupe G de nombres réels par une multiplication ou une divi-sion.

(a) f x( ) = 2x

(b) f x( ) = 6x

(c) f x( ) = x2

(d) f x( ) = x + 5

3. Pour un groupe G si a x a b= dans G, alors x est :

(a) b

(b) ba−1

(c) a−1b

(d) a−1ba−1

4. Si un élément a est un anneau ℜ est tel que 2a a= alors a est :

(a) nilpotent(b) caractéristique(c) idempotent(d) identité


5. Si ℜ est un anneau et x ∈R s’il n’y a qu’un seul élément a ∈R tel que ,x a x= alors a x est :

(a) e(b) a(c) −x(d) x


1. a et d 2. b 3. d 4. c 5. d

Titre de l’évaluation anticipée : Commentaire pédagogique pour l’étudiant

Les questions de cette évaluation anticipée ont été conçues pour évaluer si votre niveau de connaissance est suffisant pour entreprendre l’étude du module.

Les questions de la Section 1 demandent la maîtrise des mathématiques du niveau secondaire. Si vous avez commis des erreurs, ceci devrait vous amener à réviser la matière en question.

Les questions des Sections 2 et 3 ont été conçues pour vérifier l’acquisition des connaissances relatives à ces mêmes sections.

Si vous avez commis des erreurs dans l’évaluation anticipée de la Section 2, vous devriez vérifier le travail effectué à la Section 1 du module. De même, si vous avez commis des erreurs dans la Section 3, vérifiez le travail effectué à la Section 2 du module.


X. Concepts clés (glossaire)

1. Groupe abélien : dans un groupe (G, *), pour tout a,b,∈G . a * b= b* a

2. Structure algébrique : structure formée d’un ensemble donné G combiné à une opération booléenne qui rencontre un ensemble d’axiomes prédéterminés.

3. Loi de composition interne: il s’agit d’un application qui associe à chaque couple de d’un ensemble GxG, un élément et un seul de G; a *b∈G pour tous

les a,b∈G .

4. Fonction composée : une fonction obtenue lorsque l’on combine deux fonctions dans un ordre déterminé.

5. Fonction : il s’agit d’une relation où chaque élément a au plus une image.

6. Groupe : il s’agit d’un ensemble non vide, G, avec une loi, telle que

(i) a *b∈G pour tous les a,b∈G .

(ii) a * b* c( ) = a *b( ) * c pour tous les a,b,c ∈G .

(iii) Il existe un élément e dans G tel que e * a = a = a * e pour tous les a ∈G et où e est nommé élément neutre.

(iv) Pour tous les a ∈G il existe

a−1 ∈G tel que a * a−1 = e = a−1 * a

Et où a−1 est nommé l’inverse de a

7. Homomorphisme : Il s’agit d’une application f d’un groupe G dans un

autre groupe H tel que pour n’importe quelle paire a ,b∈G . Nous avons

f ab( ) = f a( ) f b( ) .

8. Isomorphisme : c’est un homomorphisme qui est aussi une bijection.

9. Application : il s’agit simplement d’une relation entre deux ensembles où chaque élément a une image et une seule.

10. Proposition : il s’agit d’un énoncé ayant une vraie valeur. On peut donc déduire s’il un énoncé est vrai ou faux.


11. Anneaux : il s’agit d’un ensemble non vide, disons R , ayant deux loi de com-position interne + et *, soit l’addition et la multiplication tel que :

(a) ,R + est un groupe abélien

(b)

R , * estvérifie :

(i) a * b∈S pour tous les a ,b∈S.

(ii) a * b* c( ) = a*b( ) * c pour tous les a ,b,c ∈S.

(iii) Pour tous les a ,b,c ∈S.

a * b+ c( ) = a *b+ a * c et

a + b( ) * c = a * c + b* c

12. Corps : il s’agit d’un anneau (R, +, *) qui est tel que tout élément de R différent de son élément neutre par la loi + soit inversible par la loi *. L’ensemble IR des nombres réel est un corps.

13. Ensemble : il s’agit d’une collection d’objets ou d’éléments qui ont les mêmes propriétés.

14. Sous-groupe : il s’agit d’un sous-ensemble H d’un groupe G, tel que H muni de la même loi que celle de G soit aussi un groupe.


Xi. lectures obligatoires

Lecture 1

Un manuel à l’intention des étudiants du secondaire qui étudient les mathématiques par les auteurs des textes « Free High School Science », 2005, p. 38-47 (nom du fichier sur le CD : Secondary_School_Maths)

Lecture 2

Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, UniverSité de Miami, p. 1-13 (nom du fichier sur D : Abstract_and_linear_algebra_Connell)

Lecture 3

Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers (GB), 2000. (nom du fichier sur CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)

Lecture 4

Abstract Algebra: The BaSic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du fichier sur le CD: Abstract_Algebra_Ash)

Résumé et Motivatio

Toutes les lectures obligatoires sont des manuels de source ouverte. Dans leur en-semble, ils procurent des informations plus que suffisantes dans le cadre de ce cours. Cependant, les textes contiennent des références à des activités, des lectures et des exercices qui sont aussi référencés à la section des activités d’apprentissage.


Xii. ressources électroniques obligatoires

Wolfram MathWorld (Site visité le 29/08/06)

http://mathworld.wolfram.com/

• Un guide complet et détaillé couvrant tous les sujets des mathématiques. On s’attend à ce que tous les étudiants se familiarisent avec ce site et suivent le cheminement du cours (les mots-clés et les thèmes abordés dans ce mo-dule).

Wikipédia (Site visité le 29/08/06)

http://www.wikipedia.org/

• Wikipédia offre une couverture encyclopédique de tous les sujets abordés en mathématiques.

Les étudiants doivent rechercher les mots-clés sur ce site.

Xiii. ressources électroniques utiles

Set Theory (Site visité le 29/08/06)

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/indexproject.html

• Vous pouvez accéder à n’importe quelle section en cliquant sur celle-ci. • Apportez une attention particulière à la section « functions ». • Cliquez sur le lien “NEXT” au bas de la page pour continuer. • Cliquez sur la double flèche de 8 boutons pour voir l’animation!


http://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html

• Lisez la section « Set Theory ».• Suivez au besoin les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.

Wikipedia (Site visité le 29/08/06)


• Tapez “Set Theory” dans la boîte de recherche et appuyez sur “ENTER”. • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.


MacTutor History of Mathematics

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.

• Vous pouvez y lire l’histoire de la théorie des ensembles.

Composite Functions (Site visité le 06/11/06)

http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/02functions/06composite/

index.shtml

• Lisez la première page en entier.• Utilisez les flèches au bas de la page pour faire apparaître la prochaine

page. • La page 2 offre une activité interactive. Faites cette activité attentivement.• Lisez la page 3 sur la notation.• Testez votre compréhension en page 4.


http://mathworld.wolfram.com/Composition.html

• Lisez la section sur les fonctions composées (Composite Functions).• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.



• Tapez “Composite Functions” dans la boîte de recherche et appuyez sur ENTER.

• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.

Binary Color Device (Site visité le 06/11/06)

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml

• Ceci est un casse-tête sur les lois de composition interne et les tables de grou-pes. Faites ce casse-tête pour développer votre compréhension.


http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html

• Lisez la section sur les relations et lois de composition interne (Binary Ope-rations).




http://mathworld.wolfram.com/Group.html

• Lisez la section sur la théorie des groupes.• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.



• Tapez “Binary Operations” dans la boîte de recherche et appuyez sur EN-TER.

• Lisez la section sur les lois de composition interne.• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.

Wikipedia (Site visité le 06/11//06)

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_Theory

• Lisez la section sur la théorie des groupes.• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_

theory.html

• Lisez cette entrée pour vous familiariser à l’histoire de la théorie des grou-pes.


Xiii. activités d’apprentissage

Module 1 : Les mathématiques élémentaires

Section 1, Activité 1 : Ensembles et fonctions

Objectifs spécifiques d’apprentissage

À la fin de cette activité, l’étudiant devrait être en mesure de :

• Faire la différence entre une fonction et une application. • Établir le lien entre les ensembles et les fonctions. • Donner des exemples d’ensembles de nombres réels et des fonctions définies

sur ces ensembles.

Aperçu

Les notions d’un ensemble et d’une fonction sont les concepts fondamentaux qui en-semble, forment les fondations des Mathématiques. En effet, les différentes branches des Mathématiques partent de ces deux notions fondamentales.

Avec cette activité, nous démontrons de façon simple comment les ensembles d’éléments sont facilement extraits de notre univers. En particulier, nous voulons encourager l’étudiant à être en mesure de trouver des exemples d’application et de fonctions appliquées aux ensembles de nombres réels.

Il est de première importance que l’étudiant puisse faire la différence entre une appli-cation et une fonction, avec l’aide d’une représentation graphique. Ce cheminement aidera l’étudiant à comprendre les diverses propriétés des fonctions dans les cours plus avancés de mathématiques.

Concepts-clés

Une coorespondance : il s’agit simplement d’une relation entre des éléments de deux ensembles.

Fonction : il s’agit d’une correspondance entre deux ensembles qui est telle que chaque élément de l’un des ensembles a au plus une image dans l’autre ensemble.

Application : il s’agit d’une correspondance entre deux ensembles qui est telle que chaque élément de l’un des ensembles a une image et une seule dans l’autre ensem-ble. Ainsi toutes les appications sont des fonctions mais la réciproque est n’est pas vraie.


Proposition ou assertion: il s’agit d’un énoncé ayant une vraie valeur. On peut donc déduire s’il un énoncé est vrai ou faux.

Ensemble : il s’agit d’une collection d’objets ou d’éléments qui ont les mêmes propriétés.

Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support C D qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.

1. Manuel à l’intention des étudiants du secondaire qui étudient les mathémati-ques par les auteurs des textes « Free High School Science », 2005, p. 38-47 (nom du fichier sur le CD : Secondary_School_Maths)

2. Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, Université de Miami, p. 1-13 (nom du fichier sur CD : Abstract_and_linear_algebra_Connell)

Ressources électroniques sur Internet

Set Theory (Site visité le 29/08/06)

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/indexproject.html

• Vous pouvez accéder à n’importe quelle section en cliquant sur celle-ci. • Apportez une attention particulière à la section « functions ». • Cliquez sur le lien “NEXT” au bas de la page pour continuer. • Cliquez sur la double flèche de 8 boutons pour voir l’animation!


http://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html

• Lisez la section « Set Theory ».• Suivez au besoin les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.



• Tapez “Set Theory” dans la boîte de recherche et appuyez sur “ENTER”. • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.

• Vous pouvez y lire l’histoire de la théorie des ensembles.


Introduction

a) L’histoire de la machine à moudre le maïs

Jeanne se rend au marché transportant un panier de maïs à être moulu en farine. Elle met le maïs dans un contenant prévu à cet effet et tourne la poignée. Le maïs est alors moulu en farine qu’elle peut alors rapporter à la maison.

Question

Quelle relation pouvez-vous faire entre le maïs, la machine à moudre et la farine?

b) L’histoire des enfants nés le jour de Noël en 2005

Le 25 décembre 2005, à l’hôpital de maternité de Pumwani, située dans la capitale du Kenya, à Nairobi, les mères ayant donné naissance à un seul bébé étaient au nombre de 52. Il s’agissait du plus grand nombre de naissances recensées pour un 25 décembre depuis plusieurs années. Comme à l’habitude, chaque bébé portait une étiquette qui permettait d’identifier la mère.

Questions

1. Dans cette situation, comment peut-on identifier le bébé d’une mère? 2. Comment peut-on retrouver la mère d’un bébé?

Activité

Nous pouvons maintenant représenter l’histoire de la machine à moudre le maïs à l’aide d’un diagramme.

Le maïs

A

La farine

B

f


A = Ensemble d’un contenu donné (dans notre exemple, le maïs qui doit être moulu)

f = La fonction représentant le procédé de mouture.

B = Ensemble du contenu du produit (dans notre exemple, la farine)

Exemple 1

Dans cet exemple, nous définissons des deux ensembles et la correspondance entre ces deux ensembles comme étant :

Si A = {2, 3, 4} et que B = {2, 4, 6, 8}

f est la correspondance qui exprime “est un diviseur de”

par exemple 3 est un diviseur de 6

Dans ce cas, nous avons la correspondance suivante :

2 3 4

A

2 4 6 8

B f


Exemple 2

Trouvez des exemples de situations similaires et représentez-les à l’aide d’un dia-gramme tel que montré dans l’exemple 1.

Dans notre histoire sur les mères qui donnent naissance à un seul bébé, nous pouvons représenter le concept par le diagramme suivant :

M1 M2 M3 M4

A

B1 B2 B3 B4

B f

A = ensemble des bébés

B = ensemble des mères

f = la correspondance qui exprime « bébé de »

Remarque

i. Notez que dans cette correspondance chaque élément a une image et une seule. Dans ce cas, nous pouvons dire qu’il s’agit d’une application. Nous écrivons donc f: A→ B

ii. Notez aussi que dans cette correspondance, même si on inverse les rôles de A et B, ils n’auront toujours qu’une seule et unique image. Donc, nous avons une application bijective


B1 B2 B3 B4

B

M1 M2 M3 M4

A g

Dans cet exemple, nous avons :

B = Ensemble des mères

A = Ensemble des bébés

g = La correspondance qui exprime “est la mère de ”

Dans cet exemple, nous pouvons dire que la fonction f a une fonction réciproque g. Nous notons cette fonction réciproque g-1 et f= g-1

Donc pour f: A → B, nous avons f-1: B → A

Exemple 4

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} et que

B = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}

f : x → 2x + 1

Nous avons donc l’application suivante suivant : f:(x) → 2x+ 1


1 2 3 4 5

A

2 3 4 5 7 9 11 12

B f

Pour la notation de cette application, nous pouvons aussi écrire :

f(1) = 3, f(2) = 5, etc.

En général, f(x) = 2x + 1

L’ensemble A est appelé ensemble de départ de f et l’ensemble B est nommé ensemble d’arrivée de f.

Le sous-ensemble {3, 5, 7, 9, 11} de B duquel tous les éléments de A ont des ima-ges est appelé image de f. Notez qu’ici la fonction réciproque de f est donné par

f −1(x) =

x −1

2 et qu’il s’agit aussi d’une fonction.

Exercice 5

Prenons un ensemble

A = {2, 4, 7, 9, 11, 12} comme ensemble de départ, trouvez les ensembles image de chacune des fonctions suivantes :

a) g(x) = 2x2 + 1

b) h(x) =

x1− x


Exercice 6

Donnez la fonction réciproque des fonctions suivantes : h(x) =

x1− x

, g(x) = 2x2

+ 1

Exercice 7

En utilisant l’ensemble de nombres réels, comme domaines, donnez des exemples des énoncés suivants :

a) une correspondance dans IR qui n’est pas une fonctionb) une correspondance dans IR qui est une fonctionc) une application dont l’inverse n’est pas une fonctiond) une application dont l’inverse est aussi une fonction

Illustrer chacun des exemples par une démonstration graphique. Si vous travaillez en groupe, chaque membre doit proposer un exemple pour chacun des énoncés.


Module 1: Mathématiques élémentaires

Section 1, Activité 2: Les fonctions composées



• Faire la démonstration que deux instructions consécutives données dans un ordre différent peuvent mener à des résultats différents.

• Vérifier que deux fonctions élémentaires composées, de deux façons diffé-rentes, peuvent produire des fonctions composées différentes.

• Dessiner ou étudier des représentations graphiques de différentes classes de fonctions comme par exemple, linéaires, quadratiques, etc.

Aperçu

La composée de la fonction f suivie de la fonction g est une fonction notée g°f, elle

est définie par g°f (x) = g(f(x)). Le fait de composer deux énoncés simples dans

le but de former un autre énoncé a des répercussions importantes même dans la vie quotidienne. En effet, l’ordre dans lequel deux instructions sont données doit être considéré avec sérieux, afin de ne pas obtenir des résultats désastreux. Au cours de cette activité, nous démontrerons que deux fonctions élémentaires, dont les formules sont connues et combinées dans un ordre prédéterminé, pourront avoir des fonctions composées différente.

Il est aussi important d’être en mesure de représenter une fonction combinée (son graphe et sa forme). En effet, l’étudiant sera en mesure de dessiner ces représenta-tions graphiques incluant les fonctions linéaires, quadratiques et même trigonomé-triques.

Concepts-clés

Fonction composée : une fonction obtenue lorsque l’on combine deux fonctions dans un ordre déterminé.

Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.

1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos pub-lishers (UK) 2000. (File name on CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)


Ressources électroniques

Composite Functions (Site visité le 06/11/06)

http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/02functions/06compoSite/

index.shtml

• Lisez la première page en entier.• Utilisez les flèches au bas de la page pour faire apparaître la prochaine

page. • La page 2 offre une activité interactive. Faites cette activité attentivement.• Lisez la page 3 sur la notation.• Testez votre compréhension en page 4.


http://mathworld.wolfram.com/Composition.html

• Lisez la section sur les fonctions composées (Composite Functions).• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.



• Tapez “Composite Functions” dans la boîte de recherché et appuyez sur ENTER.



Introduction

a) L’histoire des enfants qui vont à la garderie éducative

Un frère et une sœur, nommés Jean et Jeanne, sont tous deux inscrits à la garderie des « Petits Amis ».

Un matin, ils se réveillent en retard et doivent se dépêcher à s’habiller et partir pour la garderie. Jeanne revêt ses chaussettes, puis ses chaussures. Mais, son frère Jean enfile ses chaussures et ensuite ses chaussettes. Jeanne le regarde et éclate de rire, tout en partant à la course vers la garderie, suivie de près par son frère.

Question

Pourquoi Jeanne a-t’elle rit?

b) Histoire de la visite d’une brasserie

À l’école, Nabumali High School en Ouganda, un club de sciences a organisé à une visite à Jinja, pour observer les différents stades du brassage d’une boisson locale. Il était intéressant de voir de quelle façon certains équipements pouvaient transfor-mer une matière à l’intérieur de chambres spécialisées. Par exemple, une bouteille vide entrait dans une salle et en ressortait pleine, mais non capsulée. La bouteille poursuivait la chaîne et entrait dans une autre chambre pour en ressortir cette fois avec une capsule.

Salle 1

Salle 2

Boute ille vide

f

Bou teille pleine Bou teille capsu lée

g


Question

Pouvez-vous expliquer ce qui s’est passé dans chacune des deux chambres?

Imaginer si la bouteille commençait par passer par la salle2 avant de faire la salle1.

Activité

Dans notre histoire des enfants de la garderie éducative, ce qui est clairement montré est l’importance que nous devrions attacher à l’ordre des instructions. Jeanne a ri de son frère lorsqu’elle a vu ses chaussettes par-dessus ses chaussures. En d’autres mots, son frère a combiné des instructions (une fonction), mais il a obtenu un résultat plus que malheureux.

Nous pouvons poursuivre avec ces quelques exemples supplémentaires :

Exemple 1

Pensez à un nombre, mettez-le au carré et ajouter 3. Pensez à un nombre, additionnez 3, puis mettez-le au carré. Disons que le nombre est x, nous obtiendrons alors deux

résultats différents, soit 2 3x + and ( )23x + .

Exemple 2

Trouvez par vous-mêmes des exemples similaires à l’exemple 1.

Reprenons l’histoire de la brasserie en Ouganda. Nous avons noté que chaque chambre opérait une instruction spécifique de la tâche à accomplir. C’est pourquoi chaque objet qui entre dans la chambre en ressort transformé d’une certaine manière.

Nous pouvons aussi nous pencher sur un exemple où les instructions sont données à l’aide de formulation mathématique, avec des formules explicites :

Exemple 3

Considérons la composition des fonctions suivantes :

f : x → 2x et g : x → x + 5

Si nous exécutons la fonction f suivie de g , nous devons doubler x avant d’ajouter 5. Mais si nous exécutons la fonction g suivie de f, nous devons ajouter 5 à x, avant de doubler le résultat.


Aux fins de notation :

( ) ( ) ( )( )f g x f g x=o

Signifie g suivi de f. Alors que ( ) ( ) ( )( )g f x g f x=o signifie f suivi de g.

Nous avons donc :

x

f

2x 2x+5

g

Qui représente la fonction composée g (f (x)) = 2x + 5

Alors que :

x

g

x+5 2(x+5 )

f

Qui représente la fonction composée f (g (x)) = 2 (x + 5)

Exercice 4

Soit f : x→3x +1 et g : x→ x − 2

Trouver les fonctions suivantes :

(a) f go

(b) g fo

(c)

f og( )−1

(d)

g o f( )−1

Si x = 3, dessiner un diagramme pour chacune des fonctions composées ci-dessus (comme démontré à l’exemple 3).


Exercice 5

Tracer le graphe de chacune des fonctions suivantes, considérant que le domaine de chacune est l’ensemble complet IR des nombres réels.

a) f x( ) = 2x − 3

b) g x( ) = 4x2 −12x

c) h x( ) = x3 − 3x +1

d) ( ) 2 sink x x=


Module 1 : Mathématiques élémentaires

Section 2 : Les Loi de compositions internes


À la fin de cette activité, l’étudiant sera en mesure de :

• Donner des exemples de lois de composition interne sur différentes opéra-tions.

• Déterminer les propriétés de commutativité et d’associativité de quelques lois de composition interne.

• Déterminer certaines relations d’équivalence sur certaines structures algébri-ques.

Aperçu

Le concept touchant les lois de composition interne est essentiel puisqu’il mène directement à la création de structures algébriques.

Les lois de composition interne fort connues que sont l’addition (+) et la multiplication (x) constituent avec l’ensemble des nombres réels IR une des structures algébriques familières.

Les propriétés de commutativité et d’associativité peuvent être facilement prouvées en ce qui concerne ces opérations sur IR.

Cependant, au cours de cette activité nous définissons et nous abordons des lois de composition interne plus générales qui seront notées par *.

Par exemple, pour une paire de points x et y, dans un ensemble G, x * y indique un choix d’ordre des deux points. Il est donc clair, que x * y n’est pas nécessairement

égal à y * x. Nous nous intéresserons à des exemples de structures algébriques plus générales qui découlent de ces lois de composition interne.

Concepts-clés

1) Structure algébrique : structure formée d’un ensemble donné G combiné à une loi de composition qui rencontre un ensemble d’axiomes prédéterminés.

2) Une loi de composition interne : il s’agit d’une relation qui associe à chaque couple d’éléments d’un ensemble G, un et seulement un élément de G.


Lectures


1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos pub-lishers (UK) 2000. (File name on CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)


Binary Color Device (Site visité le 06/11/06)

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml

• Ceci est un casse-tête sur les lois de composition et les tables de groupes. Faites ce casse-tête pour développer votre compréhension.


http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html

• Lisez la section sur les opérations booléennes (Binary Operations).• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.





.


Introduction : L’histoire du système de reproduction

Dans la vie de tous les jours, les relations entre les êtres humains sont souvent sim-ples : une personne entreprend une relation avec une personne de sexe opposé. Ils reproduisent d’autres individus qui, ensemble, forment une famille. Il s’ensuit que des familles, ayant une relation en commun, forment un clan et différents clans peuvent former une tribu, etc.…

On peut noter que dans le domaine de l’écologie, il en est de même. Prenons, par exemple, un organisme vivant qui est capable de se reproduire (produire d’autres organismes de la même espèce que lui), les organismes créés forment par la suite une population. Si différentes populations demeurent ensemble, chaque organisme est membre d’une communauté, etc.

Question

Quel est le mécanisme qui fait en sorte de rapprocher deux individus (des êtres humains ou d’autres organismes vivants) pour enclencher le processus de reproduction?

Activité

Dans le cas des êtres humains, nous pouvons dire que c’est le mariage qui amène un homme et une femme à se joindre pour former une famille après qu’il y ait eu procréation. Pour les mathématiques, le concept de mariage peut être vu comme une relation entre deux individus. Si nous transposons cette relation, nous avons :

XF1 XH1 XH8 XF5 xF2 XH2 XF8 xF 4 XF6 XH11 XH5 XF7

A

H = ensemble des hommes d’une société A et

F = ensemble des femmes de A

R la relation qui signifie x épouse y

Il est donc clair que si x R y alors yR x alors on peut dire que la relation est symé-trique.


Question

Définissez quelques relations sur des ensembles de votre choix et vérifiez si elles sont symétriques.

En règle générale, nous pouvons affirmer que si une relation R relie des éléments d’un même ensemble E on dit que c’est une relation binaire sur E. De plus :

a) R est réflexive dans E si xRx pour tout x de E;b) R est symétrique dans E si pour tout couple (x, y) de E2 si xRy alors yRx

c) R est transitive dans E si pour tout triplet (x, y, z) de E3 si xRy et yRz alors xRz

De même, nous affirmons que si la relation R définie dans un ensemble E satisfait toutes les 3 propositions (la relation est réflexive, symétrique et transitive) alors elle est une relation d’équivalence.

Exemple 1

Si U est l’ensemble de tous les individus d’une communauté, lequel des énoncés suivants est une relation d’équivalence entre eux

i. est un oncle deii. est un frère de

Dans l’énoncé (i), si la relation « est un oncle de » n’est pas symétrique. En effet x est un oncle de y n’implique pas que y est un oncle de x. Nous pouvons affirmer que la relation « est un oncle de » n’est pas une relation d’équivalence.

Cependant, l’énoncé (ii), si R est la relation « est un frère de» est une relation d’équi-valence. En effet :

• R est réflexive : tout individu de U est son propre frère; • R est symétrique : Si pour deux individus x et y quelconques de U, si x est

frère de y alors y est frère de x; • R est transitive : Si pour trois individus x, y et z quelconques de U, si x est

frère de y et y est frère de z alors x est frère de z. Nous pouvons donc affirmer que R est une relation d’équivalence.


Exercice 2

Lequel de ces énoncés ci-dessous est une relation d’équivalence sur l’ensemble des êtres humains?

i. est un ami deii. est un membre de la famille de

Exercice 3

a) Déterminer si la loi de composition * sur l’ensemble IR des nombres réels est une relation commutative ou associative pour chacun des énoncés suivants :

i. x * y = y2x

ii. x * y = xy + x

b) Définissez la relation ~ sur l’ensemble des nombres entiers suivants : a ~ b si et seulement si a + b est pair. Déterminez si ~ est une relation équivalence sur IR.

c) Donnez un exemple d’une relation d’équivalence sur l’ensemble IR des nombres réels.

Si vous travaillez en groupe, chaque membre devrait proposer un exemple.

d) Compléter les exercices 2.4.1 de la page 34 que vous trouverez dans Sets, Re-lations and Functions by Duntsch and Gediga (solutions aux pp. 48 – 49).


Module 1 : Notions et outils de bases en mathématiques supérieures

Section 3 : Les groupes, les sous-groupes et les homomorphismes

Objectifs spécifiques


• Nommer les axiomes pour un groupe et pour un anneau.• Donner des exemples de groupes et de sous-groupes.• Donner des exemples d’anneaux et de sous-anneaux.• Donner des exemples d’homomorphismes entre des groupes et des isomor-

phismes entre des anneaux.• Faire la preuve de certains résultats sur les propriétés des groupes et des an-

neaux.

Aperçu

Vous vous rappelez sans doute qu’à la section 2, activité 2, nous avons considéré la situation d’un organisme pouvant se reproduire et ainsi, engendrer une population. Notez que le terme population, dans notre contexte, réfère à un groupe d’individus de la même espèce. Maintenant, nous allons démontrer qu’une structure algébrique générale peut, elle aussi, engendrer une population spécifique, ayant des axiomes bien définis.

Nous allons aussi nous pencher sur la notion des relations entre les ensembles en utilisant des applications et où nous définirons une application entre deux groupes donnés. C’est à ce stade que le concept d’homomorphisme sera défini et expliqué. L’étude des propriétés d’une application entre deux ensembles qui représentent des structures algébriques comme étant des groupes est des plus intéressantes et elle indique le chemin menant à l’apprentissage de l’algèbre abstraite proprement dite.

Concepts-clés

Groupe : il s’agit d’un ensemble non vide, G, avec une loi de composition, telle que

(i) a *b∈G pour tous les a,b∈G .

(ii) a * b* c( ) = a *b( ) * c pour tous les a,b,c ∈G .

(iii) Il existe un élément e dans G tel que e * a = a = a * e pour tous les a ∈G et où e est nommé élément neutre.


(iv) Pour tous les a ∈G il existe

a−1 ∈G tel que a * a−1 = e = a−1 * a

Et où a−1est nommé l’inverse de a

Groupe abélien est un groupe (G, *) dans lequel a * b= b* a pour tout

a,b,∈G .

Homomorphisme : Il s’agit d’une application f d’un groupe (G, T) dans un autre

groupe (H, ^) tel que pour n’importe quelle paire a ,b∈G . Nous avons. f (a T b)

= f (a) ^f (b)

Isomorphisme : c’est un homomorphisme bijectif.

Anneaux : il s’agit d’un ensemble non vide, disons R , ayant deux loi de composition interne + et *, soit l’addition et la multiplication tel que :

(a) ,R + est un groupe abélien

(b)

R , * estvérifie :

(i) a * b∈S pour tous les a ,b∈S.

(ii) a * b* c( ) = a*b( ) * c pour tous les a ,b,c ∈S.

(iii) Pour tous les a ,b,c ∈S. a * b+ c( ) = a *b+ a * c et

a + b( ) * c = a * c + b* c

Sous-groupe : il s’agit d’un sous-ensemble H d’un groupe (G, *), tel que (H, *) est aussi un groupe.

Lectures


Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du fichier sur le CD: Abstract_Algebra_Ash)




http://mathworld.wolfram.com/Group.html

• Lisez la section sur la théorie des groupes (Group Theory).• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.





Wikipedia (Site visité le 06/11//06)

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_Theory

• Lisez la section sur la théorie des groupes « Group Theory ».• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_

theory

• Lisez cette entrée pour vous familiariser sur l’histoire de la théorie des grou-pes.


Introduction : Histoire d’une société coopérative

En 1990, dans une société au Kenya, 100 travailleurs ont décidé de former une société coopérative appelée CHUNA. Chaque travailleur contribuait sous forme de participa-tion à tous les mois. Ils établirent les règles administratives pour gérer la coopérative, incluant les termes pour accorder des prêts. Après quelques temps, il fut décidé que les agents responsables devaient rendre visite à d’autres sociétés coopératives bien établies au pays afin de pouvoir comparer leur gestion à la leur.

Après ces visites, ils notèrent qu’il serait opportun d’assouplir certaines de leurs règles de gestion pour qu’elles soient plus cohérentes avec celles des autres sociétés coopératives.

Questions

1. Pourquoi ont-ils établi des règles après avoir formé la société coopérative?

2. Quelle est l’importance ou la signification que l’on devrait attacher aux visites faites aux autres coopératives?

Activité

Dans notre histoire, nous constatons qu’une société coopérative nécessite l’établis-sement de règles afin de créer une structure opérationnelle. Les axiomes qui sont satisfaits par les éléments d’un ensemble non vide, comme c’est le cas avec le groupe G.

Question

Trouvez d’autres Situations où un groupe de personnes ou d’objets régit par un en-semble de règles qui s’apparenterait aux axiomes d’un groupe?

Exemple 1

Prenons un ensemble Z de nombres entiers relatifs et l’opération d’addition (+). Nous avons que :

(i) a + b ∈Z pour tous les a, b, ∈Z(ii) a + (b + c) = (a + b) + c pour tous les a, b, c ∈ Z(iii) Il y a 0∈ tel que a + o = a = o + a pour tous les a ∈ Z(iv) Pour tous les a∈Z, il y a -a ∈Z tel que a + -a = o = -a + a

Par conséquent, {Z ,+ } est un groupe.


Exercice 2

Vérifiez si l’ensemble IR muni de l’addition est aussi un groupe.

Notez que si pour n’importe quel groupe {G, *} nous avons que pour n’importe quel éléments x, y ∈ G,

x * y = y * x alors, G est un groupe abélien.

Ici, le groupe {R, +} est abélien.

La deuxième question tirée de notre histoire d’une société coopérative est reliée principalement au concept de comparaison. Il s’agit de savoir si la structure mise en place par le CHUNA se compare avantageusement ou non à celle des autres sociétés coopératives. De la même manière, les structures des groupes peuvent être facilement comparées grâce aux applications. Donc, pour n’importe quelle paire de groupes, disons G et H, une application peut être définie entre eux afin de comparer leurs structures. En particulier, un homomorphisme f: G→H est une application qui conserve la structure. En d’autres termes, G et son image par f noté f(G) dans H sont le même groupe structurellement.

Notons que si un homomorphisme est une bijection, il est alors appelé un isomor-phisme.

Exemple 3

Si G et H sont deux groupes et e’ est l’élément neutre de de H. Alors l’application

f:G→H donné par

f(x) = e’ est un homomorphisme.

En effet, pour toutes les paires x, y ∈ G,

f(xy) = e’ = e’ e’ = f(x)f(y)

Exercice 4

Si G est le groupe {R+ , .} des nombres réels positifs mini de la multiplication et si

H est le groupe d’addition {R, +} des nombres réels. Montrer que l’application

f:G→H donné par

f(x) = log10

(x) est un homomorphisme.


Remarques (5)

1. Un sous-groupe H de G est une partie de G notée H ⊂ G qui est aussi un groupe muni de la même loi que G.

2. L’élément neutre d’un sous-groupe H d’un groupe G est le même que l’identité du groupe G.

3. En conséquence, toutes les considérations peuvent aussi être extraites des sous-groupes afin de trouver les résultats sous-jacents.

4. Le théorème donné ci-dessous est utile pour déterminer les sous-groupes.

Théorème (6)

G est un groupe. Un sous-ensemble non vide H de G est un sous-groupe de G si et seulement si pour a, b ∈ H, ab-1 ∈ H

Exercice 7

a. Soient H et K sont des sous-groupes d’un groupe G, démontrez que H ∩K est aussi un sous-groupe de G.

b. Soient H est un sous-groupe d’un groupe G, démontrez que Ha = H si et seulement si a ∈H.

c. Si G et H sont des groupes et que Φ:G →H est un homomorphisme, démontrez que Ker(Φ) est un sous-groupe de H.

Où Ker(Φ) = {x dans G: Φ (e) = e’}et e et e’ sont les neutres respectifs de G et H

Im Φ = {Φ(x)/ x G}

Exercice 8

Lisez le chapitre 1 de Basic Algebra par Ash ( pp 1-18) et complétez l’exercice de la p.19. Corrigez votre travail avec les réponses données au chapitre « Answers ».


XiV. synthèse de module

À la fin de ce module, vous devriez être parfaitement outillé pour comprendre les concepts évoqués dans cette synthèse.

À la section 1, nous avons abordé les concepts les plus élémentaires d’un ensemble et d’une fonction, suivis par la logique, soit la science du raisonnement. Une bonne compréhension du système des nombres réels est aussi essentielle pour définir les fonctions élémentaires. Les permutations et les combinaisons ainsi que les fonctions trigonométriques complètent les sujets abordés dans cette section. Ces concepts sont les éléments-clés de cette section du module.

À la section 2, nous avons introduit les structures algébriques dans lesquelles le concept de loi de composition sert de notion pivot. Le concept d’une relation d’équi-valence est essentiel à la compréhension de cette section et mène au partitionnement des ensembles en classes équivalentes qui facilitent une étude plus profonde des ensembles ou des collections d’espaces.

Enfin , la section 2 nous avons étudié plus particulièrement deux exemples de struc-tures algébriques, notamment les groupes et les anneaux. Il est important de souligner ici leurs similarités et leurs différences principales. En effet, une de ces similarités que l’étudiant pourrait remarquer est, comme la notion de sous-groupe pour les groupes , il y a aussi la notion de sous-anneau pour les anneaux . Cependant, la différence principale entre ces deux structures algébriques est que le groupe se développe seulement sur une loi de composition interne alors qu’un anneau se développe sur deux lois. Ces facteurs sont bien dégagés dans les activités d’apprentissage de cette section. En conclusion, vous devriez aussi vous attarder sur la définition des appli-cationd’un groupe à un autre groupe et d’un anneau à un autre anneau. En particulier, un homomorphisme qui préserve la structure d’un groupe donné est primordial à la compréhension de cette section.


XV. Évaluation sommative

Module 1: Mathématiques élémentaires

Section 1: Évaluation des acquis

Question 1

a. Écrivez la négation de l’énoncé suivant :

Si je reçois une augmentation salariale, j’achèterai un terrain.

b. Utilisez des tables de vérité pour démontrer que :

A∨ (B ∧ C ) ≡ ( A∨ B) ∧ ( A∨ C )

c. Déterminer les tables de vérité pour les propositions suivantes :

i. ( A ⇒ B) ⇒ ( A∨ B)

ii. ( AB) (AVB)

Question 2

a. Donnez la définition d’une fonction. À l’aide du diagramme, donnez les raisons pour lesquelles cette relationci-dessous représente ou non une application.


•

•

•

•

A B

b. Si A =

x :−2 ≤ x ≤ 2{ } . Si f : A→ R et g : A→ R est défini par

f x( ) = 3x + 4

g x( ) = x −1( )2

Déterminez l’image de chaque fonction f et g.

c. Écrivez la fonction réciproque de chacune de ces fonctions :

i. ( ) 11f x

x= +

( ) 23g x x= +

Question 3

a. Si deux fonctions f et g sont définies dans l’ensemble des nombres réels par

f x( ) = x −1

( ) 22g x x=

Trouvez les fonctions composées (i) f go et (ii) g fo

•

•

•

•


b. Si ( ) 1h x x= + et ( ) 2 4g x x= + et que chacune de ces fonctions est définie dans R, trouvez

I.

hog( )−1

II. Les étendues de h go et de g ho

c. Dans la sous-question (b), trouvez la valeur de a, tel que

( )( ) ( )( )h g a g h a=o o

Question 4

a. De combien de façons différentes 6 garçons peuvent-ils être choisis parmi les 30 garçons d’une classe, si le capitaine de classe doit être inclus?

b. Six personnes d’un comité doivent être choisies parmi un groupe de huit femmes et cinq hommes.

i. Combien y a-t-il de façons différentes d’y arriver?ii. Si on doit exclure un homme du comité, combien de ces équipes seront-elles

formées et qui comptent plus de femmes que d’hommes? c. Une boîte contient 15 balles, parmi lesquelles 5 sont rouges, 4 sont vertes et 6

sont bleues. Combien de façons différentes peut-on choisir trois balles si

i. Il n’y a aucune restriction?ii. Toutes les balles doivent être de la même couleur?iii. Seulement deux balles doivent être de la même couleur?

Question 5

1) Simplifiez sin4θ − sin3θ + sin2θ

2) Résolvez pour x, 0 ≤ xo ≤ 360o

i. sec2 x − 5(tan x −1) = 0

ii.

3) Exprimez 3 cosθ − sinθ sous la forme de r cos θ +α( )

Ensuite, résolvez pour θ dans l’étendue 0 ≤θ ≤ 180 de l’équation

3cosθ − sinθ = 0


Section 1: Solutions

Q1. (a) Je reçois une augmentation de salaire et je n’achète pas de terrain.

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C B C∧ A B∨ A C∨ ( ) ( )A B A C∨ ∧ ∨

( )A B C∨ ∧

T T T T T T T T

T T F F T T T T

T F T F T T T T

T F F F T T T T

F T T T T T T T

F T F F T F F F

F F T F F T F F

F F F F F F F F

(c). (i)

A B A B∨ A B→ ( ) ( )A B A B→ → ∨

T T T T T

T F T F F

F T T T T

F F F T F

(ii)

A ∼A B ∼B A→B ∼(A→B) ∼ A∧∼ B ∼ (A→ B)∨(∼ A∧∼ B)

T F T F F T F F

T F F T T F F T

F T T F F T F F

F T F T T F T T


Question 2

(a) Une fonction est une relation où chaque objet a une image unique au plus. Le diagramme ne représente pas une fonction, puisqu’il y a un objet qui a deux images différentes.

(b) Soit A = x :−2 ≤ x ≤ 2{ }

( ) 3 4f x x= +

g x( ) = x −1( )2

Image de f = y :−2 ≤ y ≤ 10{ }

Image de g = y : 0 ≤ y ≤ 9{ }

(c)

i. Si ( ) 11f x

x= + alors

f −1 x( ) = 1

x −1

ii. Si ( ) 23g x x= + alors g−1 x( ) = x2 − 3

Question 3

(a) Soit f x( ) = x −1

( ) 22g x x=

i.

ii.

g o f( ) x( ) = g f x( )( ) = g x −1( ) = 2 x −1( )2

(a) Soit ( ) 1h x x= +

( ) 2 4g x x= +

i. ( )( ) ( )( ) ( )2 4h g x h g x h x= = +o

2 4 1x= + +

2 5x= +


hog( )−1x( ) = x − 5

ii. Image de hog = y : y ≥ 5{ }

Et ( )( ) ( )( )g h x g h x=o

( )1g x= +

( )21 4x= + +

Image de g oh = y : y ≥ 4{ }

(a) ( )( ) 2 5h g a a= +o

( )( ) ( )21 4g h a a= + +o

Par conséquent, ( )2 21 4 5a a+ + = +

2 5 5a + =

2 0a =

0a =

Question 4

(b) Si le capitaine doit être inclus, alors nous sélectionnons 5 garçons d’une classe

de 29. Nous avons donc

(c) (i) Ceci peut être effectué


(ii) En excluant un homme qui ne peut faire partie du comité, il nous reste que 4 hommes et 8 femmes. Comme il doit y avoir plus de femmes que d’hommes, nous avons les trois options suivantes :

Choisir 2 hommes et 4 femmes soit façons

Ou choisir un homme et 5 femmes soit

Ou choisir 6 femmes et pas d’homme, soit façons

Au total, nous avons

(c)

i. façons

ii. iii. Nous avons soit 2rouges et 1non rouge ou 2vertes et 1 non verte; 2 bleues

et 1 non bleue

Question 5

1)

Premièrement,

Par conséquent,

2)

(i) sec2 x − 5 tan x −1( ) = 0

1+ tan2 x − 5 tan x −1( ) = 0

tan2 x − 5tan x + 6 = 0

Si tany x=

y2 − 5y + 6 = 0


y − 3( ) y − 2( ) = 0

Alors 3y =

2y =

tan 3x = ou tan 2x =

x = tan−1 3 ou x = tan−1 2

ii) donc l équation admet deux solutions 90° et 270°

iii

Or

avec � dans 0 ≤θ ≤ 180

Cos (θ +30) = cos 90°θ = 60° ouθ = 240°


Section 2 : Évaluation des acquis

1. Déterminez si la loi de composition interne * sur un ensemble ℝ de nombres réels est commutative ou associative dans chacun des énoncés suivants :

(a) x* y = x2 y

(b) x y x y y* = +

2. (a) Si S est un ensemble non vide qui a une loi de composition interne asso-

ciative * , pour x, y z ∈S et supposons que x commute avec y et z., démontrez

que x commute aussi avec y * z .

(b) Prouvez que si a, b IN tel que b/a et c/a alors mb+nc/a pour m, n IN. O a b signifie b divise a.

3. Donnez la définition d’une relation d’équivalence. Définissez une relation ~ sur l’ensemble IN des entiers suivants :

~a b si est seulement si a b+ est pair. Démontrez que ~ est une relation d’équi-valence sur IN.

4. (a) La relation de congruence modulo n sur l’ensemble Zdes entiers est définie comme :

Pour chaque paire x, y Z x est congruent à y modulo noté xy ≡ mod n( )

Si n divise x – y.

Démontrez qu’il s’agit d’une relation équivalente.

(b) Démontrez que la relation ~ définie sur IN par ( ) ( ), ~ ,a b c d si a + d = b + c est une relation équivalente. Où INest l’ensemble des nombres naturels.


1. (a) Si x,y,z ∈ alors x * y * z( )= x2 y * z( )= x2( )2 y2z = x4 y2z.

Et x * y( ) *z= x2 y * z = x2 y( )2 z = x4 y2z

alors x * y *z( )= x * y( )*z

Donc, * est associative.


Nous avons aussi

x * y= x2 y et y* x= y2x

alors x * y ≠ y * x

Donc * est non commutative.

(b) Si x,y,z ∈ alors

( ) ( ) ( )x y z x yz z x yz z yz z

xyz zx yz z

* * = * + = + + +

= + + +

Et

( ) ( )( )

x y z xy y z

xy y z z

xyz yz z

* * = + *

= + +

= + +

( ) ( )x y z x y z* * ≠ * *∴

Donc *est non associative.

Nous avons aussi :

x y xy y* = + et y x yx x* = +

x y y x* ≠ *∴Donc * est non commutative.

2. (a) Soit:

x y y x* = * et x z z x* = *

nous avons par associativité de * que


( ) ( )( )

( )( )

( )

x y z x y z

y x z

y x z

y z x

y z x

* * = * *

= * *

= * *

= * *

= * *

Donc x commute avec y * z

(b) Maintenant b/a b = ka et c/a c = ha pour k, h dans IN

( )mb nc mka nha a mk nh

a mb nc

+ = + = +

⇒ +

mb+nc = mka + nha = a(mk+nk)

3. Une relation est une relation d’équivalence si elle est est symétrique réflexive et transitive.

Soit la relation :

~a b si a b+ est pair.

nous avons :

(i) 2 ~a a a a a+ = ⇒ réflexive

ii) ;

donc la relation est symétrique

(i) e t


Transitive

Donc ~ est une relation d’équivalence.

4. (a) Pour une paire x, yZ nous avons :

(i) n divise ( )0 modnx x x x− = ⇒ ≡ réflexive

(ii) Si n divise x – y. Alors, aussi n divise y – x qui est donc la relation est symétri-que.

(iii) Si n divise x – y et aussi y – z. Alors, n divise aussi ( ) ( ) .x y y z x z− + − = −

ce qui est une relation transitive. Donc congruence modulo est une relation d’équivalence.

(b) Nous notons que :

(i) puisque a b b a+ = + donc la loi est réflexives.

(ii) ( ) ( )

( ) ( )

, ~ ,

, ~ ,

a b c d a d b c

d a c b

c d a b

⇒ + = +

⇒ + = +

⇒

Qui est une relation symétrique.

(iii) Maintenant, supposons que (


nous avons donc :

a d b c+ = + et c f d e+ = +

a d c f b c d e⇒ + + + = + + +

( ) ( ), ~ ,a f b e a b e f⇒ + = + ⇒

Par conséquent, ~ est une relation d’équivalence.



1. (a) Si G est un groupe tel que 2a e= pour tous les a ∈ G montrez que G est un groupe abélien.

(b) Si G est un groupe tel que ( )2 2 2ab a b= pour tous les a,b,∈ G montrez que G est un groupe abélien.

2. Soit les matrices suivantes :

Vérifiez qu’elles forment un groupe multiplicatif.

2. (a) Montrez que si G est un groupe d’ordre pair, il y a alors exactement un nombre impair d’éléments d’ordre 2.

(b) Si a et b sont deux éléments d’un groupe G, montrez que l’ordre ab est égal à l’ordre ba.

3. (a) Si ϕ est un isomorphisme d’un groupe G dans un groupe H, prouvez que

( )( )na ef = iff na e= .

(b) Prouvez qu’un group multiplicatif de la nième racine d’unité est un groupe cyclique d’ordre n.

4. (a) Si C est ensemble de nombres complexes,

définissez A = {a+bi; a,b Q}

où 1 .i = −

Montrez que A est un sous-anneau de C

(b) Si a et b sont des éléments nilpotents d’un anneau commutatif, montrez que a + b est aussi nilpotent.

Donnez un exemple pour montrer que ce n’est pas le cas si l’anneau est non com-mutatif.



1 (a) Nous notons que pour tous les ,a b G� , nous avons :

2b e= et 2a e=

( )2 .ab e=∴

Alors,

( )( )

2

2 2

ab a eb

a ab b

a ab ab b

a b ab

eb a e

ba

=

=

=

=

=

=

Par conséquent, G est abélien.

(b) Soit

( ) ,2 2 2

.

ab a b

ab ab aa bb

=

=

Appliquant la règle d’annulation pour obtenir .ba ab=

Par conséquent, G est abélien.

2. Si 1 0

0 1e

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

a

b

c

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Nous avons :

2 2 2a b c e

ab c ba

bc a cb

ca b ac

= = =

= =

= =

= =

Alors { }, , ,G e a b c= est fermé pour la multiplication. Donc e est l’identité sur G et chaque élément de G est un inverse de lui-même.

Nous notons aussi que la matrice de multiplication est associative et par conséquent G est un groupe multiplicatif.

3. (a) Supposons que x ∈ G n’est pas un élément d’ordre 2. Alors,

2 1x e x x−≠ ⇒ ≠ .

Il appert qu’il y a un nombre pair d’éléments x tel que 2 .x e≠ Alors, il y a un nombre pair d’éléments x dans G tel que :

2x e=

Puisque e satisfait aussi 2e e= nous avons donc un nombre impair d’éléments x dans G qui sont de l’ordre 2.

(b) Supposons que pour l’élément ab dans G ordre .ab m= c’est-à-dire que

( )O .ab m= Alors nous avons :

(ba)m = a-1a (ba)m


( ) ( )1

1 ............

mba a a ba m

a a ba ba ba

−

−

=

=

m times

( )1 ..............a ab ab ab a−=

m times

( )1 ma a b e−= =

Ce qui implique que ( )O ba divise ( )m = O .ab

De façon similaire, ( )O ab divise ( ) ( ) ( )O O Oba ab ba⇒ =

4. (a) Supposons que ( ) .n

a eψ = Alors

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )................ .na a a a a eψ ψ ψ ψ ψ ψ= =

Alors na e= puisque Ψ est un isomorphisme. Réciproquement, supposons que

.na e=

Alors nous avons :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

2 ................

n

n

nn

e e a

a a

a a a a

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

−

−

= =

=

=

D’où la preuve.

(b) Premièrement, nous tenons compte des racines de l’équation

1nz = où z est une variable complexe se trouvent en utilisant le théorème de De-Moivre qui est :


2 2cos sin

k ki

n nπ π

+

pour 0,1, 2, ..............., 1k n= −

ces racines forment un groupe cyclique, d’ordre de groupe n généré par

2 2

cos sin .w in nπ π

= +

5. (a) a bi A+ ∈ et .c d i A+ ∈

Alors( ) ( ) ( ) ( ) .a bi c di a c b d i A+ − + = − + − ∈ Et

( )( ) ( ) ( ) .a bi c di ac bd cb bc i A+ + = − + + ∈

par conséquent, A est un sous-anneau de l’anneau £ des nombres complexes.

(b) Si 0ma = et 0.nb = posons { }max , .k m n= Alors

( )22 2

1

20.

kk k r r

r

ka b a b

r−

=

⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Par conséquent, a b+ est aussi nilpotent.

Exemple

Prenons une matrice d’anneau 2 x 2 sur un champ F . Si

0 1 0 0.

0 0 1 0a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Il est clair que cet anneau n’est pas commutatif.

Nous avons aussi 2 2 0 0

0 0a b

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ mais a b+ n’est pas nilpotent.


XVi. références

Un manuel à l’intention des étudiants du secondaire qui étudient les mathématiques par les auteurs des textes « Free High School Science », 2005, p. 38-47 (nom du fichier sur le CD: Secondary_School_Maths)

Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, Université de Mia-mi, p. 1-13 (nom du fichier sur CD : Abstract_and_linear_algebra_Connell)

Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers (GB), 2000. (nom du fichier sur CD :

Sets_Relations_Functions_Duntsch) Abstract Algebra: The BaSic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du fi-chier sur le CD: Abstract_Algebra_Ash)


XVii. auteur du module L’auteur de ce module sur les outils et notions de base en mathématiques supé-rieures est né en 1953 et il a fait toutes ses études au Kenya. Il devient étudiant à l’université de Nairobi en 1974 et il obtient son baccalauréat (maîtrise) en Sciences (B.Sc.) en 1977. Il a complété sa maîtrise en Sciences dans le domaine des Mathé-matiques pures en 1979 et a obtenu son doctorat en Philosophie (Ph. D.) en 1983. Il s’est par la suite spécialisé dans le domaine de l’analyse et enseigne, depuis 1980, à l’université de Nairobi, où il a gravi les échelons pour devenir professeur agrégé en Mathématiques pures.

Au cours de ces années, il a aussi participé à des groupes de travail sur le déve-loppement de programmes d’apprentissage à distance et en libre service pour des programmes de Sciences et d’Arts. Il est aussi l’auteur de plusieurs livres portant sur l’analyse réelle, la topologie et la théorie des mesures.

Adresse

Prof. Jairus M. KhalagaiSchool of mathematicsUniversity of NairobiP. O. Box 30197 – 00100Nairobi – KENYAEmail: [email protected]

1

MATHÉMATIQUES DE BASE

Lectures Obligatoires

Source: Wikipedia.org

2

Table des matières Nombre complexe ........................................................................................................................................ 5

Description .............................................................................................................................................. 6

Notations des nombres complexes .................................................................................................... 6

Interprétation géométrique des opérations ..................................................................................... 9

Construction ........................................................................................................................................... 9

Vecteur du plan euclidien ................................................................................................................ 10

Matrice de similitude ....................................................................................................................... 10

Classe d'équivalence de polynômes ................................................................................................ 11

Structure du corps des complexes ...................................................................................................... 11

Développements en mathématiques ................................................................................................... 12

Analyse complexe ............................................................................................................................. 12

Représentations graphiques ............................................................................................................ 12

Dynamique holomorphe .................................................................................................................. 13

Équations différentielles dans le champ complexe ........................................................................ 13

Analyse de Fourier ........................................................................................................................... 13

Nombres hypercomplexes ................................................................................................................ 13

En topologie ...................................................................................................................................... 13

Emplois en physique et ingénierie ...................................................................................................... 14

Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier ........................................... 14

Mécanique des fluides dans le plan ................................................................................................ 14

Mécanique quantique ...................................................................................................................... 15

Historique ............................................................................................................................................. 15

Permutation ............................................................................................................................................... 18

Définition et exemples .......................................................................................................................... 18

Exemples ........................................................................................................................................... 18

Dénombrement des permutations ................................................................................................... 19

Notation des permutations .............................................................................................................. 19

Permutations particulières .............................................................................................................. 20

Propriétés algébriques ......................................................................................................................... 21

Composition de permutations ......................................................................................................... 21

Structure de groupe ......................................................................................................................... 21

3

Décompositions des permutations ...................................................................................................... 22

Décomposition en produit de transpositions ................................................................................. 22

Décomposition en produit de cycles à supports disjoints ............................................................. 23

Entier naturel ............................................................................................................................................ 24

Conception ............................................................................................................................................ 25

De l'énumération à l'abstraction .................................................................................................... 26

Définition par les cardinaux ............................................................................................................ 26

Construction par les ordinaux ........................................................................................................ 26

Désignation ........................................................................................................................................... 27

Énonciation ....................................................................................................................................... 27

Écriture chiffrée ............................................................................................................................... 27

Codage ............................................................................................................................................... 27

Arithmétique ........................................................................................................................................ 28

Représentation des opérations ........................................................................................................ 28

Multiple et diviseur .......................................................................................................................... 28

Nombre premier ............................................................................................................................... 29

Ensemble des entiers naturels ............................................................................................................. 29

Notations ........................................................................................................................................... 29

Propriétés .......................................................................................................................................... 29

Axiomatique de Peano ..................................................................................................................... 30

Entier relatif .............................................................................................................................................. 30

Motivation ............................................................................................................................................. 31

Fragments d'histoire ............................................................................................................................ 31

Règles opératoires ................................................................................................................................ 32

Addition ............................................................................................................................................ 32

Multiplication ................................................................................................................................... 32

Ensemble des entiers ............................................................................................................................ 33

Construction ..................................................................................................................................... 33

Structure ........................................................................................................................................... 33

Extensions ......................................................................................................................................... 34

Congruence sur les entiers ....................................................................................................................... 34

Idée intuitive : « arithmétique de l'horloge » .................................................................................... 34

4

Congruence modulo n .......................................................................................................................... 35

Définition .......................................................................................................................................... 35

Notation ............................................................................................................................................. 35

Propriétés .......................................................................................................................................... 35

Anneau résiduel Z/nZ .......................................................................................................................... 36

Construction ..................................................................................................................................... 36

Simplification et équations .............................................................................................................. 38

Puissances et petit théorème de Fermat ......................................................................................... 39

Théorie des ensembles .............................................................................................................................. 40

Les origines de la théorie des ensembles ............................................................................................ 40

Génèse ............................................................................................................................................... 41

Et développement ............................................................................................................................. 41

Le problème de l'axiome du choix ...................................................................................................... 43

Les axiomes de la théorie ZF ............................................................................................................... 44

Les résultats d'indépendance en théorie des ensembles ................................................................... 46

Modèles intérieurs ............................................................................................................................ 46

Forcing .............................................................................................................................................. 46

Second théorème d'incomplétude ................................................................................................... 46

5

Nombre complexe

Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent

notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les

nombres complexes furent introduits au XVIe siècle par les mathématiciens italiens Jérôme

Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d'exprimer les

solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en

utilisant notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du

quatrième degré (méthode de Ferrari).

L'ensemble des sommes et produits de nombres réels et du nombre imaginaire i (les nombres de

la forme a + i.b) satisfait les propriétés d'une structure de corps commutatif qui contient le corps

des réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note . Il est muni de l'application

module qui généralise la valeur absolue des nombres réels mais ne peut pas être ordonné

totalement de façon compatible avec sa structure de corps.

Ce n'est qu'à partir du XIXe siècle que se développe l'aspect géométrique des nombres

complexes, vus comme des éléments ou des transformations du plan, sous l'impulsion de l'abbé

Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.

En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss identifie le degré d'un polynôme complexe non nul

au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Le corps des nombres

complexes est donc algébriquement clos.

En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier puis de

définir la transformée de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des

fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.

En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs

électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(eiωt

) représentant une

onde).

L'ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un système dynamique sur le plan complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9els

http://fr.wikipedia.org/wiki/XVIe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano


http://fr.wikipedia.org/wiki/Rapha%C3%ABl_Bombelli

http://fr.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Fontana_Tartaglia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ludovico_Ferrari

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_cubique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_de_Cardan

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_%28alg%C3%A8bre%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_n%C3%A9gatif

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ferrari

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_imaginaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_d%27un_nombre_complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_ordonn%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argand

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d%27Alembert-Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_formel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_polyn%C3%B4me#Ordre_de_multiplicit.C3.A9_d.27une_racine

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle#Fonction_exponentielle_dans_le_plan_complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Fourier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Circuit_RLC

http://fr.wikipedia.org/wiki/Circuit_RLC

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lectromagn%C3%A9tisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrot

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg

6

Description []

Représentation d'un nombre complexe dans l'espace à deux dimensions [en rouge], sous forme

cartésienne [en bleu] (avec deux nombres réels) et sous forme polaire [en vert] (avec une

longueur et un angle).

Notations des nombres complexes []

Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent ainsi être présentés de plusieurs

manières :

forme cartésienne,

o algébrique :

o ou vectorielle :

forme en coordonnées polaires :

o géométrique

o ou vectorielle :

o ou trigonométrique :

Forme cartésienne []

Forme cartésienne d'un nombre complexe

Un nombre complexe se présente en général en coordonnées cartésiennes, comme une somme

, où a et b sont des nombres réels quelconques et (l’unité imaginaire) est un nombre

particulier tel que .


http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9siennes


http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Un_nombre_complexe.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Un_nombre_complexe.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number_illustration.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number_illustration.svg

7

Le réel a est appelé partie réelle de z et se note ou , le réel b est sa partie

imaginaire et se note ou .

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même

partie imaginaire.

Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est

nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z = bi. Un nombre complexe dont la partie imaginaire

vaut 0 est assimilé à un nombre réel.

Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur, mais la plupart des nombres

complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs.

L'addition et la multiplication sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés

d'associativité, de commutativité et de distributivité que sur les nombres réels. Les règles de

calcul s'écrivent donc :

;

.

En particulier, cette formule permet d'obtenir l'égalité suivante :

.

Puisque la somme a2+b

2 de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif

(sauf si a = b = 0), il existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité :

Cette fraction fait apparaître deux expressions importantes pour le nombre complexe :

son conjugué est aussi un nombre complexe ;

son module est un nombre réel positif.

L'application de conjugaison est un automorphisme involutif : ,

et .

L'application module est une valeur absolue car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-

additive et multiplicative .

Les réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leur conjugué. Les réels positifs

sont les seuls complexes égaux à leur module.

Le nombre 0 est le seul nombre complexe dont le module vaut 0.

Forme polaire []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_r%C3%A9elle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_imaginaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_imaginaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Imaginaire_pur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Associativit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Commutativit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distributivit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjugu%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Involution

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue#Valeur_absolue_dans_un_corps

8

Plan complexe []

Représentation géométrique d'un nombre complexe

Dans un plan affine muni d'un repère orthonormé , l'image d'un nombre complexe

est le point M de coordonnées (a,b), son image vectorielle est le vecteur . Le

nombre z est appelé affixe du point M ou du vecteur (affixe est féminin : une affixe).

Le module est alors la longueur du segment .

Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. On appelle alors

argument de z et on note n'importe quelle mesure de l'angle , bien définie à

un multiple de 2π près.

Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de 2π, les réels strictement

négatifs ont pour argument un multiple impair de π.

Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à ou modulo 2π, selon le signe de

leur partie imaginaire.

Le plan , muni de son repère orthonormé et des actions des nombres complexes par addition et

multiplication, est appelé plan complexe. Puisque tous les plans complexes sont canoniquement

isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.

Coordonnées polaires []

Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent aux coordonnées polaires (r,θ) de

son image dans le plan complexe. En écrivant les coordonnées cartésiennes à partir des

coordonnées polaires, tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme

trigonométrique avec .

La formule d'Euler permet de compacter cette écriture sous une

forme exponentielle .

Le conjugué s'écrit alors simplement .

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_affine

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rep%C3%A8re_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Angle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Canonique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number.svg

9

Cette écriture est en outre adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des

propriétés multiplicatives de la fonction exponentielle :

,

.

Interprétation géométrique des opérations []

Soit z et z' deux nombres complexes d'images respectives M et M'.

L'image de la somme est définie par la relation .

L'action d'un nombre complexe par addition s'interprète géométriquement comme une

translation selon le vecteur image.

Soit λ un nombre réel, l'image M1 du produit est défini par la relation

.

L'action du nombre réel λ par multiplication scalaire s'interprète géométriquement

comme une homothétie de centre O et de rapport λ sur le plan complexe.

Si z est de module 1 et d'argument θ, l'image du produit est définie par les

relations de longueurs et d'angles .

L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète

géométriquement comme une rotation de centre l'origine et d'angle l'argument.

Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe z non

nul par multiplication s'interprète géométriquement comme une similitude directe de

centre l'origine, de rapport et d'angle .

L'image du conjugué de est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.

L'image de l'inverse de est l'image de M par l'inversion par rapport au cercle unité,

composée avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Construction []

Article détaillé : Construction des nombres complexes.

Il existe plusieurs manières courantes de construire le corps des nombres complexes à partir de

l'ensemble des nombres réels et de ses opérations arithmétiques élémentaires. Outre que les

objets ainsi définis sont tous isomorphes, les constructions présentées ci-après mettent en lumière

trois caractéristiques importantes :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Translation_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Homoth%C3%A9tie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_plane

http://fr.wikipedia.org/wiki/Similitude_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_%28transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Inversion_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_complexes


10

1. Le corps des réels est clairement identifié comme un sous-ensemble du corps des

complexes et les opérations d'addition et de multiplication sont préservées dans la

nouvelle structure. Le nombre réel 1 reste neutre pour la multiplication.

2. Il existe un nombre complexe canoniquement choisi dont le carré vaut − 1, bien que son

opposé vérifie aussi cette propriété.

3. Deux paramètres réels sont nécessaires et suffisants pour décrire tous les nombres

complexes, ce qui souligne la structure d'espace vectoriel réel de dimension 2 avec une

base canonique.

Vecteur du plan euclidien []

On peut définir un nombre complexe comme un vecteur du plan muni de sa base canonique.

Chaque nombre complexe est donc représenté par un couple (a,b) de nombre réels.

L'addition correspond à celle des vecteurs, c'est-à-dire l'addition des coordonnées terme à terme :

.

La multiplication est définie « arbitrairement » par :

.

L'ensemble des réels s'identifie avec la droite et l'élément est le deuxième vecteur de

base (0,1). Le module d'un nombre complexe correspond enfin à la norme euclidienne du vecteur

associé et l'argument est une mesure de l'angle formé par le vecteur associé avec le premier

vecteur de base.

Cette définition présente l'avantage de la simplicité, puisqu'elle exige peu de prérequis

mathématiques. Elle est en outre adaptée à la représentation géométrique des nombres

complexes.

Matrice de similitude []

Il est intéressant de définir un nombre complexe comme une matrice de similitude directe

à coefficients réels, car les opérations matricielles induisent précisément la structure

algébrique voulue. En outre, le module et l'argument deviennent respectivement le rapport et une

mesure de l'angle de la similitude.

Il faut cependant vérifier que l'ensemble de ces matrices est stable par produit :

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Canonique_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_%28alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_%28math%C3%A9matiques%29#Calcul


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe#Plan_complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_%28math%C3%A9matiques%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_%28math%C3%A9matiques%29#Espaces_de_matrices



http://fr.wikipedia.org/wiki/Stable

11

ce qui justifie au passage la commutativité du produit et assure l'isomorphisme entre cette

structure et celle définie précédemment.

L'ensemble des réels s'identifie alors à l'ensemble des matrices diagonales de la forme ,

l'unité étant représentée par la matrice identité. L'élément désigne classiquement la matrice

.

Le déterminant correspond au carré du module, ce qui entraîne que toutes les éléments non nuls

sont inversibles et la méthode des cofacteurs démontre la stabilité par inverse.

Ce point de vue fournit une construction naturelle qui peut être adaptée pour obtenir l'algèbre

réelle des quaternions. Il donne en outre une interprétation géométrique de la multiplication des

nombres complexes comme composition de similitudes du plan. La conjugaison est enfin

représentée par la transposition de matrices.

Classe d'équivalence de polynômes []

Un nombre complexe peut enfin être vu comme un polynôme réel d'indéterminée i, où le carré i2

est identifié avec le polynôme constant de valeur − 1, donc avec les identifications i3 = − i ; i

4 =

1…

Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'espace quotient

, dans lequel deux polynômes appartiennent à la même classe d'équivalence

si et seulement s'ils ont le même reste de division euclidienne par X2 + 1.

Le caractère irréductible du polynôme X2 + 1 assure directement la structure de corps. Les réels

sont représentés par les polynômes constants et le degré 2 du polynôme diviseur est la dimension

de l'ensemble comme espace vectoriel réel.

Cette conception très sophistiquée en apparence est peut-être celle qui décrit le mieux l'invention

des nombres complexes, loin de la géométrie, à partir d'un seul générateur algébrique et d'une

seule relation. Le formalisme (plus récent) du quotient d'un anneau euclidien (ici l'anneau des

polynômes réels à une indéterminée) par un de ses idéaux irréductibles est à la base de la

construction des extensions algébriques de corps.

Structure du corps des complexes []

Les racines carrées d'un nombre complexe s'écrivent facilement lorsque celui-ci est sous forme

trigonométrique : celles de z = reiθ

sont et et sont opposées

l'une de l'autre.

L'existence de deux racines carrées, dans le corps des nombres complexes, pour tout nombre

complexe non nul (y compris pour tout réel strictement négatif) est une propriété qui n'est pas

vérifiée par restriction au corps des réels, puisqu'aucun réel strictement négatif ne peut s'obtenir

comme le carré d'un nombre réel.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe#Vecteur_du_plan_euclidien

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29#D.C3.A9terminant_d.27une_matrice


http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_inversible#M.C3.A9thode_des_cofacteurs

http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion


http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_quotient

http://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_d%27%C3%A9quivalence

http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_euclidienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me#Divisibilit.C3.A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_euclidien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al

http://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_alg%C3%A9brique

12

Article détaillé : Racine de nombre complexe.

Plus généralement, tout polynôme à coefficients complexes (donc, en particulier, tout polynôme

à coefficients entiers ou rationnels), non constant, admet au moins une racine (ce qui implique

qu’il en admet autant que son degré, en les comptant avec leurs multiplicités). On dit que le

corps des complexes est algébriquement clos. Ce résultat est connu en France sous le nom de

Théorème de d'Alembert-Gauss, dans d'autres pays sous le nom de théorème fondamental de

l'algèbre.

Article détaillé : Théorème de d'Alembert-Gauss.

En fait, le corps des complexes est la clôture algébrique du corps des réels, c'est-à-dire le plus

petit corps qui contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos. Du point de vue de la

théorie de Galois, on peut considérer les automorphismes du corps des complexes : l'identité et la

conjugaison sont ses seuls automorphismes continus (on peut remplacer l'hypothèse « continu »

par, au choix, « mesurable » ou « tel que l'image de tout réel est un réel »). En supposant

l'axiome du choix on peut construire des automorphismes « exotiques » de ce corps: voir

automorphismes de corps non continus de C.

Développements en mathématiques []

Analyse complexe []

Article détaillé : Analyse complexe.

Les nombres complexes ont initialement été conçus pour répondre à un problème algébrique.

Cependant, étendre les définitions de l'analyse au champ des nombres complexes s'avère tout

aussi fécond. Par exemple la définition usuelle de la dérivée : (avec

usage de la multiplication et de la soustraction complexes) permet d'obtenir une nouvelle notion

de fonction dérivable, de variable complexe à valeurs complexes appelée fonction holomorphe.

Cette notion s'avère plus restrictive que son pendant réel, notamment, toute fonction holomorphe

voit sa dérivée être holomorphe, et même, toute fonction holomorphe est analytique, c'est-à-dire

admet un développement en série entière en chacun des points de son domaine d'holomorphie.

En théorie de l'intégration, en utilisant la notion d'intégrale le long d'un chemin, on obtient le

théorème intégral de Cauchy, qui assure que l'intégrale d'une fonction holomorphe, sur un

domaine vérifiant certaines propriétés topologiques, le long d'un chemin fermé, est nulle. Cette

propriété cruciale permet d'obtenir la notion de primitive d'une fonction holomorphe, toujours sur

un domaine adapté. Certaines de ces conditions topologiques peuvent être abandonnées, grâce à

la notion de point singulier, aboutissant au théorème des résidus.

Représentations graphiques []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_nombre_complexe


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_entier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_rationnel



http://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois

http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphismes_de_corps_non_continus_de_C

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_analytique

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_int%C3%A9gral_de_Cauchy

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_singulier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_r%C3%A9sidus

13

Longtemps réputées non représentables graphiquement, les fonctions holomorphes ou de

manière plus générale les fonctions complexes peuvent maintenant être représentées grâce aux

découvertes récentes en informatique[1]

.

Dynamique holomorphe []

Article détaillé : Dynamique holomorphe.

La dynamique holomorphe à une variable consiste en l'étude du comportement des itérés d'une

fonction holomorphe f définie sur une surface de Riemann. On distingue deux types de points sur

ces surfaces : ceux où la famille des itérés est normale, en ces points la dynamique est assez

simple (bassins d'attractions de cycles de points périodiques), dont l'ensemble est appelé

ensemble de Fatou de f, puis ceux où le comportement est chaotique et dont l'ensemble est appelé

ensemble de Julia de f.

Les propriétés de ces itérés sont particulièrement bien connues dans le cadre de la sphère de

Riemann : classification complète des composantes connexes de l'ensemble de Fatou selon les

propriétés de f, propriétés de l'ensemble de Julia, étude des espaces à paramètres de polynômes...

On étudie aussi la dynamique holomorphe à plusieurs variables, par exemple dans les espaces

projectifs complexes où apparaissent de nouvelles difficultés par rapport à une variable telles que

la présence d'ensembles de points où f n'est pas définie.

Équations différentielles dans le champ complexe []

L'étude des équations différentielles holomorphes a les mêmes résultats de base que celle des

équations sur des fonctions de variable réelle, et notamment le théorème de Cauchy-Lipschitz,

qui donne l'existence et l'unicité d'une solution à un problème de Cauchy ; ou les résultats

d'algèbre linéaire sur les espaces de solutions des équations différentielles linéaires.

Cependant, l'étude des équations aux points singuliers est nettement plus féconde que les simples

études de raccord du cas réel : la topologie du plan complexe au voisinage d'un point singulier

fait qu'il y a une infinité de manière de l'approcher, et l'étude des raccords des solutions obtenues

avec toutes les méthodes d'approche amène à la notion de monodromie. Cette notion est ensuite

utilisée dans un cadre plus général : la théorie de Galois différentielle.

Analyse de Fourier []

Article détaillé : Analyse harmonique.

Nombres hypercomplexes []

Article détaillé : Nombre hypercomplexe.

En topologie []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe#cite_note-0

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dynamique_holomorphe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Surface_de_Riemann

http://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_normale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Fatou

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Julia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re_de_Riemann


http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Espaces_%C3%A0_param%C3%A8tres&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle#.C3.89quation_diff.C3.A9rentielle_holomorphe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cauchy-Lipschitz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Monodromie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_diff%C3%A9rentielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_harmonique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexe

14

En identifiant l'espace vectoriel avec l'espace vectoriel , la multiplication par

définit une application sans point fixe sur les sphères de dimension impaire.

L'adjonction d'un point « à l'infini » au plan complexe définit la sphère de Riemann

homéomorphe à la sphère usuelle S2, qui peut être vue comme le premier espace projectif

complexe.

La projection de la sphère S3, vue comme sphère unité de l'espace , sur la sphère de

Riemann par quotient de l'action du cercle unité S1 constitue alors la fibration de Hopf.

Les espaces projectifs complexes de dimension paire engendrent rationnellement l'anneau

de cobordisme orienté[2]

.

Emplois en physique et ingénierie []

Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier []

La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux

phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes

électromagnétiques, ou en électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse

électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines) notées L, des

capacités notées C et des résistances notées R (exemples, R+jLw ou R-j/Cw). Dans le domaine

de l'électronique, le i représentant l'imaginaire en mathématiques, se note j. On peut tracer alors

le diagramme de Fresnel et ce, quelle que soit l'expression.

En fait, on se sert du fait que contient pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit

écrire qu’un paramètre vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit

d’UN nombre, ce qui est bien plus simple.

En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ

électromagnétique comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ

magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie

« imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations.

On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux

domaines, comme le traitement du signal.

Mécanique des fluides dans le plan []

En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses

complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du

fluide en vx et vy. Or, on montre que :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_fixe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_%C3%A0_l%27infini


http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_projectif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_unit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fibration_de_Hopf

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cobordisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe#cite_note-1



http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lectronique


http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides

15

Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une

fonction analytique telle que

où

Ceci permet encore d’écrire :

On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à

cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme

trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle,

d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet

obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples d’analyse

complexe.

Mécanique quantique []

Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes.

Les fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir Postulats de la mécanique

quantique). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des théories non quantiques) que cela

corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions (espace-temps), mais de 5

et plus - dans certaines théories jusqu’à 11 - aux échelles quantiques (petites). Malgré notre

perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension imaginaire pourrait donc fort bien

correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité

d’écriture.

Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations

efficaces pour engendrer des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite

(voir Fractale, Complexité de Kolmogorov, Compression, Entropie de Shannon et même

Notation neumatique en musique).

Historique []

Les nombres complexes apparaissent plus clairement au XVIe siècle, quand est établie une

formule de calcul pour les racines polynomiales des équations cubiques et quartiques

polynomiales par les mathématiciens italiens Niccolo Fontana Tartaglia et Gerolamo Cardano.

On réalise très tôt que ces formules, même si l'on ne s'intéresse qu'aux solutions réelles,

nécessitent parfois de manipuler la racine carrée de nombres négatifs. Par exemple, la formule

cubique de Tartaglia donne la solution suivante à l'équation x³ − x = 0:


http://fr.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Complexit%C3%A9_de_Kolmogorov

http://fr.wikipedia.org/wiki/Compression

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entropie_de_Shannon

http://fr.wikipedia.org/wiki/Neume

http://fr.wikipedia.org/wiki/XVIe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_cubique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_quartique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Fontana_Tartaglia


16

Le calcul formel avec les nombres complexes montre que l'équation z³ = i a pour solution −i,

et . En substituant ces résultats dans et en simplifiant, on obtient 0, 1

et −1 comme solutions de x³ − x = 0.

Ces méthodes de calcul sont obtenues alors que la notion de nombre négatif n'est pas encore

validée à l'époque. L'appellation nombre imaginaire pour ces quantités est introduit, tant leur

réalité est contestable, par René Descartes en 1637. Une source de confusion supplémentaire

réside dans le fait que l’équation combinée avec l'identité

algébrique (valide avec des réels positifs a et b) aboutit au résultat absurde

. L’utilisation incorrecte de cette identité (et de

l’identité liée ) dans le cas où à la fois a et b sont négatifs tient notamment

Leonhard Euler en échec. C’est cette difficulté qui mène les mathématiciens de l’époque à

convenir d’utiliser le symbole spécial i à la place de pour se préserver de cette erreur.

Au XVIIIe siècle, en 1730, Abraham de Moivre énonce la formule bien connue qui porte son

nom (formule de De Moivre) :

Peu de temps après, en 1748, Euler donne, quant à lui, la formule suivante (formule d'Euler) :

Ce n'est qu'en 1799 que l'existence des nombres complexes est complètement admise avec

l’interprétation géométrique décrite par Caspar Wessel. Plusieurs années après, Carl Friedrich

Gauss la redécouvre et la popularise et c'est alors que cette théorie prend un essor considérable. Il

a noté cependant que l’idée d’une représentation graphique des nombres complexes est déjà

mentionnée, en 1685, dans l’ouvrage de John Wallis De Algebra tractatus.

Un mémoire de Wessel, clair et complet, apparaît dans les minutes de l’Académie de

Copenhague en 1799. Il y reconsidère la sphère et fournit une théorie des quaternions à partir de

laquelle il développe une théorie complète sur la trigonométrie sphérique. Dans une publication

de 1806, l’Abbé Buée reprend l’idée, suggérée par Wallis, que pourrait représenter 1 et -

1 sur une ligne perpendiculaire à l’axe réel ; Jean-Robert Argand publie sur le même sujet au

même moment. En 1831, Gauss établit une théorie relativement peu connue, et en 1832 publie

son mémoire principal sur le sujet. On peut aussi mentionner le petit traité de Mourey (1828),

dans lequel les fondements de la théorie des nombres directionnels sont posés. L’acceptation

générale de la théorie doit aussi beaucoup aux travaux de Augustin Louis Cauchy et Niels Henrik

Abel, ce dernier étant spécialement connu comme le premier à avoir fait, avec succès, un usage

massif des nombres complexes.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_imaginaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

http://fr.wikipedia.org/wiki/1637

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://fr.wikipedia.org/wiki/XVIIIe_si%C3%A8cle


http://fr.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_De_Moivre


http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler


http://fr.wikipedia.org/wiki/Caspar_Wessel




http://fr.wikipedia.org/wiki/John_Wallis

http://fr.wikipedia.org/wiki/Copenhague

http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argand



http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mourey&action=edit&redlink=1



http://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

17

Les plupart des termes communément utilisés dans la théorie sont dus aux fondateurs :

Argand appele cosυ + isinυ le facteur direction, et le module ;

Cauchy (1828) appelle cosυ + isinυ l'expression réduite ;

Gauss utilise i pour , introduit le terme nombre complexe pour a + bi et appelle a2

+ b2 la norme ;

Hankel (1867) appelle cosυ + isinυ coefficient directionnel ;

Weierstrass, quant à lui, emploie valeur absolue pour module.

Après Cauchy et Gauss suivront nombre de contributeurs. Parmi ceux-ci :

Kummer (1844) ;

Kronecker (1845),

Scheffler (1845, 1851, 1880) ;

Bellavitis (1835, 1852) ;

Peacock (1845) ;

De Morgan (1849) ;

Möbius à qui l'on doit de nombreuses publications sur les applications géométriques des

nombres complexes ;

Dirichlet pour avoir étendu la théorie des nombres complexes et y incluant les nombres

premiers, la notion de congruence, de réciprocité, etc., comme dans le cas des nombres

réels.

Un anneau ou un corps est un ensemble de nombres stable par addition, soustraction et

multiplication (et division dans le cas d'un corps. Gauss étudie les nombres complexes de la

forme a + bi, où a et b sont entiers, ou rationnels. Son élève, Ferdinand Eisenstein, étudie les

nombres de la forme a + bω, où ω est une racine complexe de x3 − 1 = 0. D’autres corps, dits

cyclotomique, sont obtenus à partir des racines de l’unité xk − 1 = 0 pour k entier positif

quelconque. Cette généralisation est largement due à Kummer, qui invente aussi les nombres

idéaux.

Enfin, parmi les derniers contributeurs (après 1884) de la théorie générale :

Weierstrass ;

Schwarz ;

Dedekind ;

Hölder ;

l'abbé Berloty ;

Poincaré ;

Eduard Study ;

MacFarlane.

Une définition formelle correcte, utilisant des paires de nombres réels, a été donnée au

XIXe siècle.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cauchy


http://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_Hankel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ernst_Kummer

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Scheffler&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Giusto_Bellavitis

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=George_Peacock&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan

http://fr.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius

http://fr.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier


http://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=R%C3%A9ciprocit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el



http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Addition

http://fr.wikipedia.org/wiki/Soustraction

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Eisenstein

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_cyclotomique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Nombre_id%C3%A9al&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Nombre_id%C3%A9al&action=edit&redlink=1


http://fr.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_Schwarz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind

http://fr.wikipedia.org/wiki/Otto_H%C3%B6lder

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Berloty&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Eduard_Study

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Alexander_MacFarlane&action=edit&redlink=1


18

Permutation

En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets

discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un

changement de l'ordre de succession de ces n objets.

La permutation est une des notions fondamentales en combinatoire, c'est-à-dire pour des

problèmes de dénombrement et de probabilités discrètes. Elle sert ainsi à définir et à étudier le

carré magique, le carré latin, le sudoku, ou le Rubik's cube. Les permutations servent également

à fonder la théorie des groupes, celle des déterminants, à définir la notion générale de symétrie,

etc.

Définition et exemples []

Définition

Une permutation d'un ensemble X est une bijection de X sur lui-même.

Notamment, une permutation de n éléments ( ) est une bijection d'un ensemble fini de

cardinal n sur lui-même.

Exemples []

Une permutation de l'alphabet de 26 lettres est un mot de 26 lettres contenant chaque lettre une

fois et une seule ; et il est clair que cette définition reste valable pour n'importe quel alphabet de

n lettres, avec des mots de longueur n.

Il y a beaucoup d'ordres différents (sept cent vingt) dans lesquels six cloches, de différentes

notes, peuvent être sonnées les unes après les autres. Si les cloches sont numérotées de 1 à 6,

alors chaque ordre possible peut être représenté par une liste de 6 nombres, sans répétition,

comme par exemple (3,2,6,5,1,4).

De la même façon, six livres posés sur un rayonnage et numérotés de 1 à 6, peuvent être

permutés de différentes manières : rangement par ordre alphabétique, ordre alphabétique inverse,

ordre de préférence, ou ordre choisi « au hasard ». Chacun de ces réarrangements peut être vu

comme une bijection de l'ensemble des six livres, ou de façon identique, une bijection de

l'ensemble sur lui-même. En effet, si l'ordre final des livres est 3,2,6,5,1,4, on

peut définir l'application f : « est remplacé par » ainsi

1 est remplacé par 3 soit f(1)=3





http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_latin

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sudoku

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_math%C3%A9matique_sur_le_Rubik%27s_Cube

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection

http://fr.wikipedia.org/wiki/Alphabet

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mot

19


Finalement, les objets effectivement permutés comptent peu : la permutation peut être ramenée à

une permutation de nombres : les numéros des livres, ou les numéros de cloches.

Supposons que n personnes s'assoient sur n chaises différentes numérotées de 1 à n disposées sur

une même rangée. Nous pouvons considérer un placement de ces n personnes sur les chaises,

comme une bijection de l'ensemble des n personnes sur lui-même, indiquant la façon dont les

personnes sont placées les unes par rapport aux autres sur les chaises.

Une permutation de n éléments est aussi appelée permutation sans répétition de ces éléments.

Signalons qu'autrefois une permutation était appelée substitution.

Dénombrement des permutations []

Soit E un ensemble à n éléments. Le problème est de compter les permutations de E, c'est-à-dire

les bijections de E dans lui-même. Comme pour les exemples précédents, on peut toujours

numéroter les éléments de E de 1 à n. Dénombrer les permutations de E revient à dénombrer tous

les réarrangements possibles de la liste, c'est-à-dire tous les n-uplets formés des chiffres de 1 à n

dans un certain ordre.

Il est possible de donner une liste de tous ces réarrangements, sous forme d'une représentation

arborescente : il y a n choix pour le premier terme de la liste. Puis pour chacun de ces premiers

choix, il y a n-1 possibilités pour le deuxième choix, n-2 pour le troisième, ainsi de suite.

Finalement il y a n! (factorielle de n) choix possibles pour constituer une liste. Cette méthode

permet d'énumérer une et une seule fois chaque permutation.

Théorème

Si X est un ensemble fini de cardinal n ( ), alors l'ensemble des permutations de X

est fini et card =n!.

Lorsque n = 0, le résultat reste encore valable puisqu'il existe une seule application de dans

qui de plus est bijective.

Il est possible de dénombrer plus généralement les p-arrangements de n éléments, ou encore les

applications injectives d'un ensemble de cardinal fini p dans un ensemble de cardinal fini n. Ce

nombre d'arrangements se note et le cas des permutations apparaît comme le cas particulier

n=p.

Notation des permutations []

Soit E un ensemble fini, de n éléments. Quitte à effectuer une numérotation, permuter les

éléments de E revient à permuter les entiers de 1 à n. La notation traditionnelle des permutations

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arrangement

20

place les éléments qui vont être permutés dans l'ordre naturel sur une première ligne, et les

images en correspondance, sur une deuxième ligne. Par exemple

est l'application σ définie par

σ(1) = 2,σ(2) = 5,σ(3) = 4,σ(4) = 3,σ(5) = 1,

ou schématiquement

.

Toutefois, la notation la plus pratique est la forme canonique. Sous cette forme, la permutation

précédente s'écrit :

(1 2 5)(3 4)

ce qui signifie 1 donne 2 (c.-à-d., 2 est l'image de 1) qui donne 5 qui donne 1 ; 3 donne 4 qui

donne 3. Cette écriture correspond à une décompositon sous la forme d'une composition de

permutations circulaires (voir ci-dessous).

Le support d'une permutation σ est l'ensemble des éléments x tel que σ(x) est différent de x.

Permutations particulières []

L'identité

Si une permutation laisse le premier élément à la première place, le deuxième élément à

la deuxième place, et ainsi de suite, alors elle ne change pas du tout la position des

éléments. En tant qu'application, cette permutation est l'application identique, et elle est

appelée permutation identique. Elle est le plus souvent notée e.

Transposition

Une permutation qui se contente d'échanger deux éléments i et j en laissant tous les autres

inchangés est appelée transposition. On utilise fréquemment une notation allégée pour

désigner cette permutation : (i,j). Il convient de noter qu'avec ce choix de notations

(i,j)=(j,i).

Permutation circulaire

Plus généralement, il est possible de définir les permutations circulaires ou cycles. Le

p-cycle associé aux éléments a1, ..., ap envoie l'élément a1 sur a2, puis a2 sur a3 etc, et

http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation#D.C3.A9composition_en_produit_de_cycles_.C3.A0_supports_disjoints

http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation#Composition_de_permutations

http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_circulaire


21

enfin ap sur a1. Tous les autres éléments restent inchangés. Un tel cycle se note

habituellement sous la forme (a1, ..., ap). Là encore (a1, ..., ap)=(a2, ..., ap, a1).

Propriétés algébriques []

Composition de permutations []

Les permutations de E sont définies comme des applications de E dans E, il est donc possible de

définir leur produit de composition, qui se note (mais ce signe est le plus souvent omis).

Précisément, pour deux permutations σ et σ', appliquer σ' puis σ revient à appliquer une

permutation appelée le produit de σ et σ'.

La notation des permutations est bien adaptée au calcul du produit de composition. Ainsi en

prenant par exemple

Le calcul du produit peut être présenté sur trois lignes. La première et la deuxième ligne

présentent l'effet de la première permutation σ', puis on fait correspondre aux éléments de la

deuxième ligne leur image par σ.

Soit, finalement, en rayant la ligne de calcul intermédiaire

Il est à rappeler que la loi de composition n'est pas commutative.

Structure de groupe []

Article détaillé : groupe symétrique.

Soient n éléments distincts dans un certain ordre. Appliquer une permutation σ revient à en

l'ordre. Revenir à l'ordre initial se fait aussi par une permutation ; celle-ci est notée σ-1

. Plus

généralement, cette application σ-1

, est l'application réciproque de la bijection σ, puisqu'appliquer

σ puis σ-1

revient à appliquer la permutation identique. La permutation σ-1

s'appelle la

permutation réciproque ou permutation inverse de σ.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_sym%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_r%C3%A9ciproque

22

Soit E un ensemble quelconque. L'ensemble des permutations de E est un groupe pour la

loi de composition , appelé groupe symétrique de E. Dans le cas particulier où

avec , cet ensemble se note .

Si nous considérons un ensemble fini E (formé d'éléments qui ne sont pas nécessairement des

entiers) de cardinal , nous pouvons numéroter les éléments de E et identifier les

permutations des éléments de E avec les permutations des n premiers entiers.

Démonstration formelle

Numéroter revient à introduire une application bijective . Il

est alors possible d'associer à une permutation σ de , la permutation de E

définie par . Nous obtenons ainsi une correspondance biunivoque

(bijection) entre l'ensemble des permutations de et celui des permutations

de E. Nous pouvons alors interpréter la permutation de précédente

comme l'application (bijective) qui envoie l'élément f − 1

(1) sur l'élément f − 1

(2), l'élément

f − 1

(2) sur l'élément f − 1

(3), et ainsi de suite.

Plus précisément l'application qui à σ associe est un isomorphisme de

groupes.

Décompositions des permutations []

Décomposition en produit de transpositions []

Toute permutation peut être décomposée en un produit de transpositions. Par exemple, cela

signifie qu'on peut, par des échanges deux à deux, à volonté l'ordre des cartes d'un paquet.

Une telle décomposition n'est pas unique : on peut par exemple ajouter un échange de deux

cartes, puis l'échange des deux mêmes cartes. En revanche on démontre que la parité du nombre

de transpositions nécessaire reste la même. Ceci permet de définir la parité et la signature d'une

permutation (voir groupe symétrique).

Une permutation paire est une permutation qui peut être exprimée comme le produit d'un nombre

pair de transpositions. Une définition équivalente est que sa décomposition en cycles disjoints

donne un nombre pair (éventuellement nul) de cycles pairs. Une permutation impaire est une

permutation qui peut être exprimée comme produit d'un nombre impair de transpositions.

La permutation identique est une permutation paire car elle peut être considérée comme le

produit de 0 transposition, selon la convention sur le produit vide.

Algorithme de décomposition []

Voici l'étape générale de l'algorithme de décomposition d'une permutation σ




http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_paire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_impaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithmique

23

si la permutation est l'identité elle est produit de 0 transposition.

sinon il est possible de considérer le premier point non fixe par σ

Alors en appelant τ la transposition qui échange k et σ(k), on forme et on reprend

l'algorithme avec σ1.

On forme ainsi des permutations σ1, σ2 etc. obtenues en multipliant σ par une succession de

transpositions τ1, τ2 etc., jusqu'à atteindre la permutation identique. Alors il vient

La validité de l'algorithme se justifie en remarquant que la position du premier point non fixe

augmente strictement à chaque étape, jusqu'à ce que tous les points soient fixes. L'algorithme se

conclut après au plus n-1 opérations, puisque si les n-1 premiers points sont fixes, ils le sont tous.

Ainsi il est possible d'affirmer plus précisément que toute permutation peut s'écrire comme

produit d'au plus n-1 transpositions.

Décomposition en produit de cycles à supports disjoints []

Orbite d'un élément []

les deux cycles de la permutation σ

L'orbite d'un élément selon une permutation σ est l'ensemble de ses images successives obtenues

par applications répétées de σ. Ainsi en introduisant la permutation σ

L'élément 1 a pour images successivement 3,5,6 puis de nouveau 1,3,5 etc. L'orbite de 1 est donc

l'ensemble {1,3,5,6}. L'orbite de 3 est également l'ensemble {1,3,5,6}, mais l'orbite de 2 est

{2,4,7,8}.

Plus généralement, pour une permutation quelconque, les orbites sont disjointes et forment une

partition de l'ensemble {1,2,...,n}. En restriction à une orbite donnée de taille p, la permutation se

comporte comme une permutation circulaire des p éléments.

Décomposition []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_%28math%C3%A9matiques%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:050712_perm_1.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:050712_perm_1.png

24

Pour décrire la permutation, il suffit de prendre un élément dans chaque orbite et de donner

l'ordre de succession de ses images par itération de σ. Ainsi toujours avec le même exemple, la

permutation σ peut s'écrire sous la forme d'une succession des deux cycles (1,3,5,6) et (2,4,7,8).

L'ordre des cycles n'importe pas mais l'ordre des éléments à l'intérieur d'un cycle doit être

respecté jusqu'à l'obtention d'un cycle complet. Ainsi, la même permutation peut être écrite par

exemple

Dans cette notation on omet souvent le symbole de composition pour alléger l'écriture.

La décomposition « canonique » d'une permutation en « produit » de cycles s'obtient en plaçant

d'abord le plus petit nombre en première position dans chaque cycle et en ordonnant les cycles

selon leur premier élément. Cette notation omet souvent les points fixes, c'est-à-dire les éléments

qui sont leur propre image par la permutation; ainsi la permutation (1 3)(2)(4 5) s'écrit

simplement (1 3)(4 5), puisqu'un cycle d'un seul élément n'a aucun effet.

Si, au contraire, on place le plus petit nombre en dernière position dans chaque cycle, sans

omettre les points fixes, on obtient une suite de nombres, liée aux nombres de Stirling, qui

permet l'analyse combinatoire du nombre de cycles et de la taille des cycles d'une permutation :

c'est la correspondance fondamentale de Foata.

Applications []

De nombreuses propriétés de la permutation σ peuvent se lire facilement sur la décomposition en

cycles disjoints : s'il y a p cycles de longueurs s1, ..., sp (en comptant les points fixes comme

cycles de longueur 1)

la signature de σ est le produit des signatures : elle vaut (-1)n-p

=(-1)p', où p' est le nombre

de cycles de longueur paire.

l'ordre de σ (en tant que membre du groupe symétrique) est le plus petit entier k>0 tel que

σk est l'identité. Il est égal au PPCM des longueurs des cycles.

le théorème des restes chinois est clairement illustré par les puissances de σ. Il est plus

facile à énoncer quand les longueurs des cycles sont premières entre elles: l'ordre de σ est

le produit des longueurs des cycles et le groupe engendré par les puissances

de σ est isomorphe à qui lui même est décomposable en produit des ,

chaque cycle avançant à son rythme pour ne retomber en phase qu'au produit.

la conjuguée d'une permutation π par une permutation σ est la permutation

. On peut aisément calculer cette permutation, en remplaçant chaque élément i dans la

décomposition en cycles disjoints de π par σi.

Entier naturel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Stirling#Interpr.C3.A9tation_.C3.A9num.C3.A9rative

http://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_fondamentale_de_Foata


http://fr.wikipedia.org/wiki/PPCM

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_par_conjugaison

25

Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes...).

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul[1]

) permettant

fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut

s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans

partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine

numérique : un, deux, trois, quatre… Mais la liste des entiers naturels est infinie, car chacun

d'entre eux a un successeur, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur.

L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de

multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques

appelée « arithmétique ».

L'ensemble des entiers naturels[2]

a été axiomatisé pour la première fois par Peano et Dedekind

au XIXe siècle. Il peut être construit de diverses manières, la plus classique étant la méthode de

Von Neumann.

Articles détaillés : Axiomes de Peano et Construction des entiers naturels.

Cet ensemble est noté « N », lettre capitale grasse dans les textes dactylographiés, le premier trait

vertical étant doublé en écriture manuscrite (notamment au tableau). Le choix pour la police

d'écriture blackboard gras a été de doubler plutôt le trait diagonal : ℕ. La notation « N* » désigne

l'ensemble des entiers naturels non nuls.

Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs, aux nombres rationnels positifs

pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1 et plus généralement aux réels

positifs de partie fractionnaire nulle.

Conception []


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_positif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel#cite_note-0

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9nombrement

http://fr.wikipedia.org/wiki/1_%28nombre%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chiffre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_d%C3%A9cimale_positionnelle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Signes_plus_et_moins

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_fractionnaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9ro

http://fr.wikipedia.org/wiki/Infini


http://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplication

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_de_la_Gr%C3%A8ce_antique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble


http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomatisation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Peano

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dedekind

http://fr.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_entiers_naturels

http://fr.wikipedia.org/wiki/Graisse_%28typographie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Police_d%27%C3%A9criture

http://fr.wikipedia.org/wiki/Police_d%27%C3%A9criture

http://fr.wikipedia.org/wiki/Blackboard_gras

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_relatif


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_%28math%C3%A9matiques%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Three_apples.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Three_apples.svg

26

De l'énumération à l'abstraction []

La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVIIe siècle

[3]) toute l'idée

[4] de nombre,

est probablement issue de la notion de collection. Certains objets ou animaux, tout en étant

distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur

ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une

collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.

Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler

tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux

énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple)

se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin

représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.

Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant,

c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache. Ce processus mental est

connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser

uniquement à la quantité.

Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à

quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier

naturel) comme collection d'unités[5]

».

Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Article connexe : Nombre figuré.

Définition par les cardinaux []

Les entiers naturels peuvent aussi être définis par abstraction sans passer par la notion d'unité,

comme l'a fait Frege (Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou concept selon

sa terminologie) et une collection B sont dites équinumériques si on peut définir une

correspondance biunivoque entre les objets de A et les objets de B, c'est-à-dire une

correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique

objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles,

indépendamment de la nature de ces collections.

Construction par les ordinaux []

La méthode de Von Neumann propose de définir les entiers naturels comme des ordinaux, c'est-

à-dire comme des ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion.



http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abstraction

http://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide













http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_figur%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bon_ordre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Inclusion

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:GrayDotX.svg




























http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:GrayDot8_Cube.gif




















27

Désignation []

Énonciation []

La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle

se fonde en général sur quelques méthodes simples.

Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit

des entiers de un à dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de

noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de deux.

L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dans « dix-sept ») ou

de la multiplication (comme dans « quatre-vingts ») des entiers correspondants. D'autres

procédés existent utilisant la soustraction, la division ou la protraction.

Article connexe : Système de numération.

Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certains

puissances d'une base particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la

désignation des entiers en français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de la base

vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées

pour les cent premières puissances de mille ou du million.

Article connexe : Échelles longue et courte.

Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations

par accolement : « mille milliards de milliards… »

Écriture chiffrée []

Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations, elle est aujourd'hui

presque partout fondée sur un même système de notation décimale positionnelle, même si la

graphie des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes d'un pays à l'autre.

Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances

de dix, de façon à ce que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc

représenté par l'un des dix chiffres arabes de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se fait alors en

accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de dix correspondantes.

L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des algorithmes de calcul pour les

quatre opérations arithmétiques élémentaires.

Codage []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration

http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_%28alg%C3%A8bre%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_%28arithm%C3%A9tique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89chelles_longue_et_courte

http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_d%C3%A9cimale_positionnelle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chiffre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chiffres_arabes

28

La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux[6]

ou d'autres symboles

concrets, d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des

symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).

La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur

position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du

boulier. Ce principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et ordinateurs.

Arithmétique []

Article détaillé : Arithmétique.

Représentation des opérations []

En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par

exemple), l'opération d'addition est représentée par la réunion de deux collections, tandis que la

soustraction revient à retirer une collection d'une autre. Cette représentation montre bien

l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels[7]

) un nombre à un autre strictement plus

petit.

La multiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage d'un rectangle dont deux

côtés adjacents représentent chacun l'un des facteurs.

La division euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre (appelé diviseur et

nécessairement non nul) est illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende

en un rectangle dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes représente

alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète représente le reste, nécessairement

inférieur strictement au diviseur.

Multiple et diviseur []

Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement

réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les

nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est toujours fini et sa répartition n’a

pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le

nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général

difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un

nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale,

plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et

10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet

de répondre à cette question.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_positionnelle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abaque

http://fr.wikipedia.org/wiki/Boulier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Calculatrice

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordinateur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Soustraction



http://fr.wikipedia.org/wiki/Rectangle



http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_infini

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Parit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diviseur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_fini

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_%28arithm%C3%A9tique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89criture_d%C3%A9cimale_positionnelle

29

Article détaillé : Divisibilité.

Nombre premier []

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs

distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les

seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en

produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se

décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet

entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Articles détaillés : Nombre premier et Théorème fondamental de l'arithmétique.

Ensemble des entiers naturels []

Notations []

La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en imprimerie est « N », lettre capitale

grasse. En écriture manuscrite (et particulièrement au tableau noir), ce caractère a été distingué

du symbole de variable « N » par le doublement de la première barre verticale. Cette notation est

rentrée dans l'usage dactylographique malgré les oppositions de mathématiciens de renom. La

police blackboard gras propose un doublement de la barre oblique.

N

Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.

Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est

parfois noté « N0 ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage

consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.

Dans le cadre de la théorie des ordinaux, l'ensemble des entiers naturels est un ordinal limite noté

par la lettre minuscule grecque ω (oméga), voire ω0 avec l'indice 0 comme pour le premier

nombre cardinal infini ℵ0.

Propriétés []

Les opérations d'addition et de multiplication étant associatives, commutatives, munies de

neutres et satisfaisant une propriété de distributivité, l'ensemble des entiers naturels est un semi-

anneau.

Il est ordonné pour la relation d'ordre usuelle induite par l'addition, qui lui donne une structure de

bon ordre, c'est-à-dire que toute partie non vide admet un plus petit élément. Cette propriété est à

la base du raisonnement par récurrence.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Divisibilit%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_facteurs_premiers


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tableau_noir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dactylographie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Blackboard_gras

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ast%C3%A9risque

http://fr.wikipedia.org/wiki/Exposant_%28typographie%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9ga

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indice_%28typographie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cardinal



http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distributivit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Semi-anneau

http://fr.wikipedia.org/wiki/Semi-anneau

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_ordonn%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bon_ordre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence

30

L'ensemble est également muni de la relation de divisibilité qui est un ordre partiel.

Son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini, noté ℵ0 (aleph zéro), définissant ainsi la

notion de dénombrabilité.

Axiomatique de Peano []

Article détaillé : Axiomes de Peano.

Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés

fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique. Les axiomes de Peano sont un

ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique. Ils

sont au nombre de cinq :

1. l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.

2. Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.

3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.

4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.

5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses

éléments, alors cet ensemble est égal à N.

Le premier axiome permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide, le

troisième qu'il possède un premier élément et le cinquième qu'il vérifie le principe de récurrence.

Entier relatif

En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe positif

ou négatif qui indique sa position[1]

par rapport à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs

(supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs

sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro lui-même est donc le seul nombre à la fois

positif et négatif[2]

.

Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne

comprend pas de chiffre (autre que zéro) « après la virgule ».

Les entiers relatifs permettent d'exprimer un bilan de variation d'unités (positif pour un gain,

négatif pour une perte) ou une position sur un axe orienté discret, par rapport à un point origine.

Ils donnent un sens à la différence de deux entiers naturels quelconques.

L'ensemble des entiers relatifs est noté[3]

« Z », lettre capitale grasse dans les textes

dactylographiés, peu à peu supplantée par la graphie manuscrite avec une double barre oblique :

« ℤ ». La présence d'un astérisque en exposant (« Z* ») désigne en général l'ensemble des entiers

relatifs non nuls, même si cette notation est utilisée parfois[4]

pour l'ensemble des éléments

inversibles, c'est-à-dire la paire d'entiers {−1; 1}. La notation « Z− » désigne l'ensemble des

http://fr.wikipedia.org/wiki/Divisibilit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_partiel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/Aleph_z%C3%A9ro

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9nombrabilit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome

http://fr.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence


http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Signe_%28arithm%C3%A9tique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_relatif#cite_note-0


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_positif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entiers_naturels

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_n%C3%A9gatif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Oppos%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29



http://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_fractionnaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal


http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rence

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble


http://fr.wikipedia.org/wiki/Graisse_%28typographie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dactylographie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ast%C3%A9risque

http://fr.wikipedia.org/wiki/Exposant_%28typographie%29


31

entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « Z+ », remplacée par la notation « N » des

entiers naturels par identification.

Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers

naturels. Il est aussi muni des opérations d'addition et de multiplication qui fondent la notion

d'anneau en algèbre.

Les entiers relatifs sont parfois[5]

appelés entiers rationnels, suivant la dénomination rational

integer en anglais, et comme cas particuliers d'entiers algébriques sur le corps de nombres des

rationnels. On trouve cette appellation chez Nicolas Bourbaki[6]

et certains mathématiciens

s'inscrivant dans le mouvement des mathématiques modernes, parmi lesquels Georges Papy.

La droite des nombres permet de représenter les entiers relatifs

Motivation []

La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes

les équations de la forme :

a + x = b, où x est l'inconnue et a et b sont des paramètres.

Dans l'ensemble des entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution.

5 + x = 8 si et seulement si x = 3

9 + x = 4 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers naturels. Elle possède une

solution dans l'ensemble des entiers relatifs qui est -5.

Fragments d'histoire []

La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens comme l'Arybhatiya

du mathématicien indien Âryabhata (476 - 550) où sont définies les règles d'additions et de

soustractions. Les nombres négatifs apparaissent alors comme représentant des dettes et les

nombres positifs comme des recettes. Quelques siècles plus tard, dans les écrits du

mathématicien perse Abu l-Wafa (940 - 998), on voit apparaïtre des produits de nombres négatifs

par des nombres positifs. Cependant le nombre reste encore attaché à des quantités physiques et

le nombre négatif n'a guère de statut légal. al Khuwarizmi (783 - 850) par exemple, dans son

ouvrage la Transposition et la réduction préfère traiter 6 types d'équations du second degré au

lieu d'envisager des soustractions.

En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue en général à Simon Stevin

(1548 - 1620) la fameuse règle des signes pour le produit de deux entiers relatifs. D'Alembert

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_total

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_ordonn%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre


http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_de_nombres


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki


http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_modernes

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%82ryabhata

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abu_l-Wafa

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abou_Jafar_Muhammad_Ibn_M%C5%ABsa_al-Khuw%C4%81rizm%C4%AB

http://fr.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_relatif#Multiplication

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Number-line.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Number-line.gif

32

(1717 - 1783) lui-même dans l'encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée

dangereuse.

« Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques

habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont

données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se

peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à - 1[7]

, & que le rapport

entre 1 & -1 est différent du rapport entre - -1 & 1, sont dans une double erreur: 1(...) Il n'y a

donc point réellement & absolument de quantité négative isolée: - 3 pris abstraitement ne

présente à l'esprit aucune idée. » (D'Alembert, dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des

métiers)

Il faut attendre encore deux siècles et l'avènement du formalisme pour voir apparaître une

construction formelle de l'ensemble des entiers relatifs à partir de classes d'équivalence de

couples d'entiers naturels

Article détaillé : construction des entiers relatifs

C'est à Richard Dedekind (1831 - 1916) que l'on doit cette construction. Lui-même utilisait la

lettre K pour désigner l'ensemble des entiers relatifs. Plusieurs autres conventions ont eu cours,

jusqu'à ce que Nicolas Bourbaki popularise l'usage de la lettre , initiale de l'allemand Zahlen

(nombre)[8]

Règles opératoires []

Dans un nombre relatif, on distingue son signe (+ ou - ) et sa valeur absolue : - 3 a pour valeur

absolue 3.

Addition []

La somme de deux entiers de même signe s'obtient en additionnant les deux valeurs absolues et

en conservant le signe commun

(-3) + (-5) = -8 écriture que l'on abrège en -3 - 5 = - 8 supprimant le signe opératoire +

La somme de deux entiers relatifs de signe contraire s'obtient en calculant la différence entre les

deux valeurs absolue et en lui affectant le signe de l'entier ayant la plus grande valeur absolue

(+3) + (-5) = - 2 écriture que l'on abrège en 3 - 5 = - 2

Multiplication []

Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Le produit de deux nombres relatifs de

même signe est toujours positif (+) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues:

(+3) × (+4) = +12 que l'on abrège en 3 × 4 = 12

http://fr.wikipedia.org/wiki/Encyclop%C3%A9die_ou_Dictionnaire_raisonn%C3%A9_des_sciences,_des_arts_et_des_m%C3%A9tiers


http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_entiers_relatifs




http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue



33

(-3) × (-7)= + 21 = 21

(le + n'étant pas obligatoire si le produit n'est pas négatif)

Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est toujours négatif (-) et s'obtient en

effectuant le produit des valeurs absolues

(+7) × (- 4) = - 28

Règle des signes

plus multiplié par plus, donne produit plus.

moins multiplié par moins, donne produit plus

moins multiplié par plus ou plus multiplié par moins donne produit moins

Ensemble des entiers []

Construction []

L'ensemble Z des entiers relatifs peut être vu comme le symétrisé du semi-anneau N des entiers

naturels.

Article détaillé : Construction des entiers relatifs.

Une représentation d'une construction des entiers relatifs

Structure []

L'ensemble des entiers relatifs, muni de ses lois d'addition et de multiplication, est le prototype

de la notion d'anneau. Il s'agit même d'un anneau euclidien, en référence à la division

euclidienne. Il est donc également principal et factoriel.

Il peut être muni de la topologie discrète associée à la distance usuelle induite par la valeur

absolue de la différence, qui en fait un espace métrique complet. Les seules autres distances

compatibles avec la structure d'anneau sont les distances p-adiques, où p est un nombre premier.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trisation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_entiers_relatifs

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_composition


http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_euclidien



http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_principal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_discr%C3%A8te

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_m%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_complet

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Construction_blackboard_integers.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Construction_blackboard_integers.jpg

34

La structure de groupe additif (Z, +) est un groupe monogène sans torsion, c'est-à-dire un groupe

abélien libre de rang 1.

L'ensemble Z est totalement ordonné pour la relation d'ordre usuelle.

Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini.

Extensions []

L'ensemble Z des entiers relatifs se plonge dans l'ensemble des nombres décimaux, noté D, qui

lui même est une partie de l'ensemble des nombres rationnels noté Q.

La notion d'entier est étendue par la définition des entiers algébriques, qui sont aux divers corps

de nombres ce que les entiers relatifs sont au corps des rationnels. Les entiers rationnels, c'est-à-

dire les entiers algébriques du corps des rationnels, sont donc exactement les entiers relatifs.

Pour chacune des distances p-adiques, le complété de Z est un anneau des entiers p-adiques noté

Zp, dont le corps de fraction est le corps des nombres p-adiques, noté Qp et qui contient Q.

Congruence sur les entiers

La congruence sur les entiers est une relation pouvant unir deux entiers. Elle fut pour la

première fois étudiée en tant que structure par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss à

la fin du XVIIIe siècle et présentée au public dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Elle

est aujourd'hui couramment utilisée en théorie des nombres, en algèbre générale et en

cryptographie. Elle représente le fondement d'une branche mathématique appelée arithmétique

modulaire.

C'est une arithmétique où l'on ne raisonne pas directement sur les nombres mais sur leurs restes

respectifs par la division euclidienne par un certain entier : le modulo (qui sera noté n tout au

long de l'article). On parle alors de congruence.

L'histoire, les outils développés pour l'arithmétique modulaire ainsi que les applications sont

traités dans l'article Arithmétique modulaire. Une analyse plus exhaustive et moins didactique est

proposée dans l'article Anneau Z/nZ.

Idée intuitive : « arithmétique de l'horloge » []

L'arithmétique modulaire est un système arithmétique d'entiers modifiés, où les nombres sont

« abaissés » lorsqu'ils atteignent une certaine valeur.

Donnons comme exemple, l'« arithmétique de l'horloge » qui se réfère à l'« addition » des heures

indiquées par la petite aiguille d'une horloge : concrètement, si nous commençons à 7 heures et

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torsion_%28alg%C3%A8bre%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_libre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_total

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_d%C3%A9cimaux


http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_alg%C3%A9brique




http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9maticien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Allemagne


http://fr.wikipedia.org/wiki/XVIIIe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_arithmeticae


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_modulaire




http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_Z/nZ


35

ajoutons 8 heures, alors plutôt que de terminer à 15 heures (comme dans l'addition normale),

nous sommes à 3 heures. De la même manière, si nous commençons à minuit et nous attendons 7

heures trois fois de suite, nous nous retrouvons à 9 heures (au lieu de 21).

Fondamentalement, quand nous atteignons 12, nous recommençons à zéro ; nous travaillons

modulo 12. Pour reprendre l'exemple précédent, on dit que 9 et 21 sont congrus modulo 12. Les

nombres 9 ; 21 ; 33 ; 45 ; etc. sont considérés comme égaux lorsqu'on travaille modulo 12.

Pour généraliser, nous pouvons facilement imaginer une horloge qui contient un nombre

arbitraire d'heures, et faire des calculs avec un nouveau modulo.

Congruence modulo n []

Définition []

Deux entiers a et b sont dits congruents modulo n, où n est un entier supérieur ou égal à 2, si

l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

1. leur différence est divisible par n ; (il existe un entier k tel que a − b = kn )

2. le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n ;

3. , l'idéal de tous les entiers divisibles par n.

Notation []

Si a et b sont congruents modulo n, on écrira :

a ≡ b (n) ou a ≡ b [n] ou encore a ≡ b (mod n)

ce qui se lit dans tous les cas « a est congru à b modulo n ».

Par exemple :

26 ≡ 12 (14)

Le caractère utilisé est ≡. Cependant, par commodité, il est parfois remplacé par = même si cela

reste faux dans l'absolu .

Propriétés []

Relation d'équivalence []

La congruence modulo n a les propriétés suivantes :

Réflexivité :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Divisible



http://fr.wikipedia.org/wiki/%E2%89%A1

http://fr.wikipedia.org/wiki/%3D

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9flexivit%C3%A9

36

Pour tout entier a, a ≡ a (n)

Symétrie :

Pour tous entiers a et b, a ≡ b (n) ⇔ b ≡ a (n)

Transitivité :

Pour tous entiers a, b et c, si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n)

C'est donc une relation d'équivalence.

Propriétés algébriques []

Elle a de plus des propriétés algébriques remarquables :

Si

a1 ≡ b1 (n) et a2 ≡ b2 (n)

alors

a1 + a2 ≡ b1 + b2 (n)

et

a1a2 ≡ b1b2 (n).

Enfin, avec un entier naturel q supérieur ou égal à 1, on obtient:

a1q ≡ b1

q (n).

[Dérouler]

Démonstration

On peut parler d'une certaine « compatibilité » avec les opérations d'addition et de multiplication

des entiers, c'est-à-dire de « compatibilité » avec la structure d'anneau de (Z,+,*)). Ces quelques

propriétés vont nous permettre de définir le domaine de l'arithmétique modulaire : les ensembles

quotients Z/nZ.

Anneau résiduel Z/nZ []

Article détaillé : Anneau Z/nZ.

Construction []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transitivit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence

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37

Les propriétés précédentes montrent que deux nombres congrus entre eux modulo n sont

interchangeables dans une addition ou une multiplication, lors d'une congruence modulo n.

L'idée vient alors de regrouper tous les nombres congrus entre eux modulo n dans une même

classe que l'on appelle une classe d'équivalence et de ne travailler qu'avec un représentant

particulier de cette classe. Comme tous les nombres de la même classe ont même reste dans la

division par n, on privilégie les restes dans la division par n et on travaille sur un ensemble noté

ou composé des n éléments ou plus simplement {0, 1, 2, ... , n - 1}

ensemble des restes modulo n, que l'on appelle anneau résiduel [1]

modulo n ou encore anneau

quotient [2]

Sur cet ensemble peuvent être définies une addition et une multiplication analogues à celles

définies sur les entiers relatifs :

Addition : à deux restes a et b, on associe le reste de a + b modulo n. On devrait

théoriquement trouver une autre notation pour la somme, par exemple , mais, pour des

raison de simplicité, on conserve souvent la même notation qui prend alors un sens

différent.

ainsi dans l'anneau des congruences modulo 6, on écrira 3 + 2 = 5 mais 4 + 2 = 0 car la

somme de 4 et 2 a pour reste 0 modulo 6

Multiplication : à deux restes a et b, on associe le reste de a × b modulo n. Pour les

mêmes raisons que précédemment, on utilise pour symbole du produit le même symbole

que dans l'ensemble des entiers relatifs

ainsi dans l'anneau des congruences modulo 6, on écrira 2 × 2 = 4, mais 2 × 5 = 4 (car le

produit de 2 par 5 a pour reste 4 dans la division par 6) et même 2 × 3 = 0

On peut alors construire les tables d'opérations suivantes :

Table d'addition dans

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Table de multiplication dans

× 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Ces opérations ont presque les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication dans .

http://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence_sur_les_entiers#cite_note-0

http://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence_sur_les_entiers#cite_note-1

38

l'addition est commutative (les termes peuvent permuter), associative (lors de l'addition

de 3 termes on peut faire indifféremment la somme des deux premiers et ajouter le

dernier ou la somme des deux dernierset l'ajouter au premier), possède un élément neutre

(ajouter 0 ne change rien) et chaque élément possède un opposé.

Une nuance de taille en comparaison avec l'addition dans , c'est que, dans , l'opposé

de a est - a car a + (- a) = 0. Or, dans l'anneau des congruences modulo n, l'opposé de a

est n - a car a + (n - a) = 0 (la somme de a et de n - a a pour reste 0 dans la division par

n). Cependant, - a et n - a sont interchangeables modulo n, le choix de n - a plutôt que - a

tient au fait que l'on choisit comme représentant LE nombre compris entre 0 et n - 1.

la multiplication est aussi commutative, associative, possède un élément neutre

(multiplier par 1 ne change rien) et reste distributive pour l'addition.

Un ensemble muni de deux opérations ayant ces propriétés s'appelle un anneau.

Simplification et équations []

La seule opération que l'on a l'habitude de faire dans et qui n'est pas toujours juste dans

l'anneau est la simplification.

En effet si 2a = 4 dans , on sait que a = 2. Mais, dans , si 2a = 4, on sait

seulement que 2a a pour reste 4 dans la division par 6 donc que a a pour reste 2 dans la

division par 3. a peut donc avoir pour reste dans la division par 6 soit 2 soit 5. Plus

simplement : on a 2 × 2 = 2 × 5 sans pour autant avoir 2 = 5.

De même, la propriété constamment utilisée dans les ensembles de nombres classiques« pour

qu'un produit de deux termes soit nul, il faut et il suffit que l'un des termes le soit » n'est pas

toujours réalisée dans

dans , on a 2 × 3 = 0, sans que 2 ni 3 ne soient nuls

On dit que l'anneau n'est pas intègre.

La résolution d'équations peut donc devenir un peu problématique quand des multiplications sont

en jeu :

l'équation x + 2 = 1 dans se résout en ajoutant la même quantité (4) dans chaque

membre x = 5 (car 2 + 4 = 0)

l'équation 3x = 2 dans se résout en remarquant que 3 × 7 = 1 et que les équations

3x = 2 et x = 7 × 2 sont équivalentes (on passe de l'une à l'autre en multipliant chaque

membre par 7 ou 3). La solution est alors égale à 4 (car 2 × 7 a pour reste 4 modulo 10)

l'équation 2x = 3 dans ne possède aucune solution et l'équation 2x = 6 en

possède deux (3 et 8)




http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_int%C3%A8gre

39

On montre que la résolution de l'équation ax = b d'inconnue x dans possède une unique

solution si et seulement si a et n sont premiers entre-eux

La recherche de solutions à l'équation qui peut avoir, selon les valeurs de

n et de a, aucune, une, deux solutions, ou même davantage, donne lieu à l'étude des résidus

quadratiques et à l'énoncé de la loi de réciprocité quadratique.

La construction de comme anneau quotienté par un idéal et les propriétés algébriques de

l'anneau Z/nZ sont traités dans l'article Anneau Z/nZ

Puissances et petit théorème de Fermat []

De la multiplication dans , il est naturel de s'intéresser aux puissances successives. Il n'y a

que n - 1 restes possibles, donc n - 1 valeurs possibles pour ak, on obtient donc nécessairement

plusieurs fois la même valeur. Donc, il existe k et m tels que ak et a

m ont le même reste modulo n.

Comme la construction de ak est fondée sur une récurrence, dès que l'on tombe sur un reste déjà

rencontré, on sait que la suite des puissances devient cyclique à partir de cette puissance et on

peut arrêter l'exploration.

Puissances successives

dans

1 2 3 4 5 6

k

=

0

1 1 1 1 1 1

k

=

1

1 2 3 4 5 6

k

=

2

... 4 2 2 4 1

k

=

3

... 1 6 1 6 ...

k

=

4

... ... 4 ... 2 ...

k

=

5

... ... 5 ... 3 ...

k

= 1 1 1 1 1 1

Puissances successives dans

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

k =

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

k =

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

k =

2 ... 4 9 1 10 6 4 4 6 10 1 9 4 1

k =

3 ... 8 12 ... 5 ... 13 2 9 ... ... 3 7 ...

k =

4 ... 1 6 ... ... ... 1 1 ... ... ... 6 1 ...

k =

5 ... ... 3 ... ... ... ... ... ... ... ... 12 ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

k =

8 1 1 ... 1 ... ... 1 1 ... ... 1 ... 1 1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Inconnue_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sidu_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sidu_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_r%C3%A9ciprocit%C3%A9_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence



40

6

Une observation sur les puissances dans et montre que, dans le premier cas, pour

tout a premier avec 7 (c'est-à-dire non congru à 0 modulo 7), on a a6 congru à 1 modulo 7 et dans

le second cas, les seules suites passant par 1 correspondent à des entiers premiers avec 15, il y a

8 entiers premiers avec 15 et on remarque que pour a premier avec 15, a8 est congru à 1 modulo

15.

Ces deux observations correspondent à deux théorèmes :

le petit théorème de Fermat qui stipule que, pour tout entier n premier et tout entier a

premier avec n,

le théorème d'Euler, généralisation du théorème précédent, qui précise que, pour tout

entier n supérieur ou égal à 2, et tout entier a premier avec n, ,

où , indicatrice d'Euler, est le nombre d'entiers compris entre 1 et n - 1 et premiers

avec n.

Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien

allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.

La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à

partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations,

entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des

ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un

« paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.

En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor introduisait avec la théorie des

ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types

d'infini que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et

cardinaux).

À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée. Cantor ne l'avait

pas vraiment formalisée, et au début du XXème siècle, la découverte de paradoxes tels que le

paradoxe de Russell semblait en remettre en cause les principes. Pour résoudre ces problèmes, on

adopta une approche formelle qui conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu

étant les axiomes de ZF, mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des

types de Russell.

Les origines de la théorie des ensembles []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euler_%28nombres%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler


http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9maticien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fondements_des_math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert




http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles#Les_axiomes_de_la_th.C3.A9orie_ZF

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_classes

http://fr.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_types


http://fr.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

41

Génèse []

Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles qu'il a introduite au début des années

1880. C'est en travaillant sur des problèmes de convergence des séries trigonométriques, dans les

années 1870, qu'il a été amené à définir une notion de dérivation des ensembles de nombres

réels : étant donné un ensemble X de réels, son dérivé X' est X duquel on a supprimé tous les

points isolés. Par exemple si on prend l'ensemble alors chaque

nombre 1 / n est isolé dans X si bien que X' est simplement {0}. Ce dernier ensemble peut à son

tour se dériver et son dérivé est l'ensemble vide.

Si maintenant on prend

alors chaque 1 / n + 1 / p est isolé dans Y si bien que le dérivé Y' est X. On voit donc que cet

ensemble Y peut se dériver trois fois.

En itérant ce procédé on peut ainsi construire un ensemble X de réels qui se dérive une infinité de

fois au sens suivant : si on note X(n)

le n-ième dérivé de X alors les X(n)

forment une suite

décroissante (pour l'inclusion) d'ensembles ; le dérivé infini de X est l'intersection de tous les X(n)

que l'on note . Mais cela ne s'arrête pas là : Cantor a découvert l'existence d'ensembles de

réels tels que contient des points isolés, donc est encore dérivable. Il y a ainsi des

ensembles que l'on peut dériver une infinité + 1 fois, une infinité + 2 fois, ..., 2 infinités de fois,

etc. Il semblait donc exister une arithmétique de l'infini est c'est en explicitant celle-ci que Cantor

a développé la théorie des ensembles.

L'idée fondamentale a été de définir l'équipotence : deux ensembles A et B sont équipotents, ou

ont même cardinalité (même nombre d'éléments quand ils sont finis), s'il existe un moyen

d'associer à chaque élément de A un et un seul élément de B et inversement. On peut ainsi

démontrer que l'ensemble des entiers naturels a la même cardinalité que l'ensemble des

nombres rationnels, bien que soit un sous-ensemble propre de . Ces deux ensembles sont dits

infinis dénombrables. D'un autre côté, l'ensemble des nombres réels n'a pas la même

cardinalité que ou , mais une cardinalité supérieure que l'on appelle la puissance du continu.

Cantor a donné deux preuves que n'est pas dénombrable, et la deuxième, qui utilise un

argument connu sous le nom d'argument de la diagonale de Cantor, a été extraordinairement

influente et a eu de nombreuses et diverses applications en logique et en mathématiques.

Cantor a approfondi la théorie et a construit des hiérarchies infinies d'ensembles infinis, les

nombres ordinaux et les nombres cardinaux. Ces constructions étaient controversées à son

époque, l'opposition étant conduite par le finitiste Léopold Kronecker ; mais aujourd'hui elles

sont acceptées par la majorité des mathématiciens.

Et développement []

La notion de cardinal d'un ensemble a conduit Cantor a poser une question qui devait devenir

fondatrice : existe-il des ensembles de réels qui sont non dénombrables (ils ont strictement plus

d'éléments que ) mais n'ont pas non plus la puissance du continu (ils ont strictement moins

d'éléments que ) ? Cette question connue sous le nom de l'hypothèse du continu n'a pas obtenu


http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_trigonom%C3%A9trique



http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_isol%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quipotence



http://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-ensemble_propre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable

http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor



http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Finitisme&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9opold_Kronecker

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_du_continu

42

de réponse du vivant de Cantor (il a fallu attendre Gödel en 1938 pour avoir une première demi-

réponse) mais a suscité de nombreux travaux et notamment le développement de la théorie

axiomatique des ensembles.

La théorie de Cantor est considérée comme « naïve » parcequ'elle n'emploie pas encore une

axiomatique précise, et parce que pour lui il n'y avait qu'une seule théorie des ensembles, un seul

univers ensembliste attendu, alors que les théoriciens des ensembles d'aujourd'hui jonglent avec

des univers différents.

Après coup, on a pu simplifier, assez injustement pour Cantor, en résumant sa théorie à un usage

tacite de l'axiome d'extensionnalité, et d'une version trop forte du schéma d'axiomes de

compréhension, qui en substance permettrait d'associer à toute propriété l'ensemble des objets

vérifiant cette propriété. Une telle théorie, que l'on n'attribuera pas à Cantor, est contradictoire.

Elle mène à deux familles de paradoxes. Les uns, comme le paradoxe de Berry ou le paradoxe de

Richard, se rattachent au fait que le langage n'est pas bien défini, les autres, comme le paradoxe

de Russell à un usage trop large de la compréhension : quand on essaie de construire l'ensemble

S = {A | A n'appartient pas à A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes on

tombe sur une contradiction. L'actuel schéma d'axiomes de compréhension, proposé par

Zermelo, est restreint afin d'éviter ce paradoxe.

Cantor connaissait, avant la découverte du paradoxe de Russell, des paradoxes plus complexes,

mais de même nature, comme le paradoxe de Burali-Forti ou le paradoxe du plus grand

cardinal[1]

. Beaucoup de théoriciens des ensembles s'entendent pour dire que l'axiomatisation la

plus adéquate à la théorie développée par Cantor est la théorie ZFC avec axiome de fondation

(voir ci-dessous), ou la théorie des classes de von Neumann, Gödel et Bernays, qui lui est, en un

certain sens (qui peut être rendu précis), équivalente.

Au tournant du siècle, Cantor est de plus en plus handicapé par sa maladie nerveuse, mais ses

solutions aux paradoxes circulent par sa correspondance et sont connues, à la fin du XIXe siècle,

de Richard Dedekind et, à Göttingen, de David Hilbert et de Ernst Zermelo. Cependant, pour

beaucoup de mathématiciens de l'époque, les paradoxes jettent un doute sur la validité de la

théorie des ensembles, les solutions proposées par Cantor sont trop informelles pour convaincre

ceux qui les connaissent. Certains s'orientent vers la méthode axiomatique, illustrée à la même

époque par Hilbert pour les fondements de la géométrie (1899).

Ainsi, en 1908, Ernst Zermelo construit un système d'axiomes pour la théorie des ensembles. En

dehors de l'axiome d'extensionnalité, on peut voir ces axiomes comme une restriction de la

version contradictoire du schéma d'axiomes de compréhension aux cas particuliers utiles, qui ne

permettent pas de dériver les paradoxes. Dans ce système, il inclut également l'axiome du choix

(qui n'a rien à voir avec la compréhension), un axiome à l'époque très controversé, avec lequel il

a montré (en 1904) le théorème du bon ordre, et qui a également été utilisé implicitement par

Cantor. Le système de Zermelo a été complété dans les années 1920 par Abraham Adolf

Fraenkel et Thoralf Skolem, qui ajouteront le schéma d'axiomes de remplacement (autre cas

particulier de la compréhension non restreinte), donnant la théorie connue aujourd'hui sous le

nom de ZF (sans axiome du choix) ou ZFC (avec axiome du choix). D'autres auteurs ont depuis

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_na%C3%AFve_des_ensembles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomatique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d%27extensionnalit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Berry

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Richard

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Richard



http://fr.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_compr%C3%A9hension#Sch.C3.A9ma_de_compr.C3.A9hension_non_restreint

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_compr%C3%A9hension

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Burali-Forti

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Cantor

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Cantor

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles#cite_note-0



http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bernays


http://fr.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ernst_Zermelo



http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Zermelo

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abraham_Adolf_Fraenkel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abraham_Adolf_Fraenkel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Thoralf_Skolem

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_remplacement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_ZF

http://fr.wikipedia.org/wiki/ZFC

43

travaillé sur le problème de l'axiomatisation de la théorie des ensembles, notamment John Von

Neumann qui a défini une alternative très intéressante à ZF : la théorie des classes.

Le problème de l'axiome du choix []

L'axiome du choix est apparu explicitement dans une publication de Ernst Zermelo de 1904,

c'est-à-dire avant la parution de son axiomatisation de la théorie des ensembles. L'axiome du

choix est en effet d'une nature différente des autres axiomes de la théories des ensembles énoncés

ultérieurement, et qui résultent pour la plupart d'une analyse soignée de la compréhension non

restreinte. En effet l'axiome du choix ne donne pas de définition explicite de l'ensemble construit

(ensemble de choix ou fonction de choix suivant les versions). D'autre part, dans son article de

1904, Zermelo démontre avec l'axiome du choix son fameux théorème qui énonce que tout

ensemble peut être bien ordonné, proposition qui n'a rien d'intuitivement évident, ne serait-ce que

pour l'ensemble des réels. L'axiome du choix était utilisé tacitement au moins par Georg Cantor,

mais la publication de Zermelo déclenche des débats passionnés chez les mathématiciens de

l'époque[2]

.

L'axiome du choix est par ailleurs très lié à l'infini mathématique, en effet l'axiome du choix est

intuitivement vrai pour un nombre fini de choix, et d'ailleurs tout à fait démontrable dans ce cas à

partir des autres axiomes de la théorie des ensembles. Or nous sommes autour de 1904 en plein

dans la controverse déclenchée par la découverte des paradoxes[3]

. Diverses conceptions de

l'infini mathématique s'affrontent alors. Cela ira jusqu'à la remise en cause radicale des

fondements des mathématiques par Luitzen Egbertus Jan Brouwer, fondateur de l'intuitionnisme,

qui écarte le principe du tiers exclu, qui se situe bien en amont de l'axiome du choix. Cependant

à l'époque, certains mathématiciens qui ne vont pas aussi loin et acceptent certaines formes de

raisonnement non constructif, se méfient de l'axiome du choix. Emile Borel écrit encore en

1950[4]

: C'est déjà un résultat important obtenu par les adversaires de l'axiome de Zermelo que

tous ceux qui admettent cet axiome prennent le soin, lorsqu'ils obtiennent un théorème nouveau,

de spécifier si la démonstration de ce théorème exige ou non l'utilisation de l'axiome de Zermelo.

Cet axiome a ainsi créé une branche séparée des mathématiques ; l'importance et l'intérêt de

cette branche décideront de son sort.. On peut quand même dire qu'aujourd'hui, vu justement son

utilisation dans des branches importantes des mathématiques, l'axiome du choix est largement

accepté.

Ceci d'autant plus que l'on sait d'après les travaux de Gödel[5]

que d'admettre l'axiome du choix

n'est pas plus « risqué », au sens où il montre que si la théorie ZFC était incohérente la théorie

ZF le serait aussi (voir ci-dessous la section sur les résultats d'indépendance en théorie des

ensembles).

On a identifié par ailleurs des restrictions de l'axiome du choix, comme l'axiome du choix

dénombrable (qui permet par exemple de montrer qu'une réunion dénombrable d'ensembles

dénombrables est dénombrable), lui-même conséquence de l'axiome du choix dépendant (qui

permet par exemple de montrer l'existence d'une suite infinie décroissante pour une relation non

bien fondée). Ainsi Robert Solovay a publié en 1970 la cohérence de la théorie ZF + axiome du

choix dépendant + tout sous-ensemble des réels est Lebesgue-mesurable, théorie contredisant

donc l'axiome du choix dans toute sa généralité, relativement à la la théorie ZF + il existe un

http://fr.wikipedia.org/wiki/John_Von_Neumann

http://fr.wikipedia.org/wiki/John_Von_Neumann



http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix




http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Zermelo




http://fr.wikipedia.org/wiki/Fondements_des_math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/Luitzen_Egbertus_Jan_Brouwer

http://fr.wikipedia.org/wiki/Intuitionnisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_du_tiers_exclu

http://fr.wikipedia.org/wiki/Emile_Borel


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles#cite_note-constructibles-4

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9nombrable

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_bien_fond%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_bien_fond%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Robert_M._Solovay

44

cardinal inaccessible (un renforcement de la théorie ZF qui permet de montrer la cohérence de

ZF)[6]

. Cependant, l'axiome du choix dénombrable est insuffisant en géométrie algébrique, car le

traitement des corps algébriquement clos requiert le lemme de Zorn équivalent à l'axiome du

choix ; donc le théorème selon lequel tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement

clos est fondé sur l'axiome du choix général.[7]

Un des meilleurs exemples des étrangetés auquel conduit l'axiome du choix est certainement le

paradoxe de Banach-Tarski, publié en 1924[8]

qui, en utilisant l'axiome du choix, affirme qu'on

peut découper une sphère en un nombre fini de morceaux, les déplacer par une suite de

mouvement rigides (translation et rotation), en permettant à certaines pièces d'en traverser

d'autres et de les rassembler en formant deux copies de la sphère d'origine. Ceci semble

contredire l'intuition physique que nous avons de la notion de volume, mais le paradoxe de

Banach-Tarski fait intervenir des parties non mesurables.

Les axiomes de la théorie ZF []

Les systèmes axiomatiques pour la théorie des ensembles, ZF, Théorie des classes, Théorie des

types sont équivalents au moins au sens où ils permettent tous de représenter l'essentiel des

mathématiques. Parmi eux ZF est le plus courant et c'est pourquoi on en fait une description

informelle ici.

La théorie qui se base sur les axiomes originaux de Zermelo est appelée théorie de Zermelo ou

théorie Z. Si on la complète par l'axiome de remplacement de Fraenkel, on obtient la théorie de

Zermelo-Fraenkel, ou plus simplement la théorie ZF, bien que la forme finale des axiomes soit

due à Skolem. Lorsqu'on lui adjoint l'axiome du choix on obtient alors la théorie ZFC (« C »

pour « choix »).

Un aspect important de la théorie ZF est que tous les objets dont elle traite sont des ensembles et

ne peuvent être que des ensembles. En particulier, chaque élément d'un ensemble est lui-même

un ensemble. D'autres objets mathématiques familiers, tels que les nombres, doivent donc par

conséquent être définis en termes d'ensembles.

Strictement parlant, les axiomes de ZF sont simplement des énoncés du calcul des prédicats du

premier ordre égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance

(relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en

français la signification attendue de ces axiomes. De plus, l'axiome de séparation (ou

compréhension) et l'axiome de remplacement sont en fait des schémas infinis d'axiomes.

1. Axiome d'extensionnalité : Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont

égaux.

2. Axiome de l'ensemble vide : Il existe un ensemble sans élément. On le note (ou plus

rarement {}). Cet axiome ne fait pas à proprement parler partie de l'axiomatisation de ZF,

du moins dans sa version actuelle, formalisée en calcul des prédicats du premier ordre.

On peut le déduire d'une propriété générique du calcul des prédicats, qui est qu'un modèle

d'une théorie est non vide. Dans le cas de la théorie des ensembles, cela revient à dire

qu'il existe au moins un ensemble, et cette propriété ne nécessite pas d'axiome


http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Zorn


http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski


http://fr.wikipedia.org/wiki/Translation_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation






http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_remplacement

http://fr.wikipedia.org/wiki/ZFC

http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_binaire


http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27ensemble_vide

45

spécifique : elle se démontre en logique pure. On en déduit par le schéma d'axiomes de

compréhension l'existence de l'ensemble vide. On trouve cependant cet axiome dans des

variantes de la théorie des ensembles, ou dans des présentations plus anciennes ou semi-

formelles de la théorie ZF comme celle de Paul Halmos[9]

.

3. Axiome de la paire : Si x et y sont deux ensembles, alors il existe un ensemble contenant

x et y et eux seuls comme éléments. Cet ensemble se note {x,y}. À noter que x et y ne

sont pas nécessairement distincts. Cet axiome est conséquence du schéma de

remplacement mais pas du schéma de compréhension, aussi on peut l'omettre dans la

théorie ZF mais il est indispensable dans la théorie Z.

4. Axiome de la réunion : Pour tout ensemble X, il existe un ensemble R dont les éléments

sont précisément ceux des éléments de X et eux seuls.

5. Axiome de l'ensemble des parties : Pour tout ensemble E, il existe un ensemble dont les

éléments sont précisément les sous-ensembles de E. Cet ensemble se note habituellement

P(E).

6. Axiome de l'infini : Il existe un ensemble W dont est élément et tel que pour tout x

appartenant à W, appartient aussi à W. On peut ensuite définir par

compréhension l'intersection de tous les ensembles contenant et clos par cette

opération : il s'agit de l'ensemble des nombres entiers tels que définis par von Neumann.

7. Schéma d'axiomes de compréhension ou de séparation : pour tout ensemble A et toute

propriété P exprimée dans le langage, il existe un ensemble dont les éléments sont les

éléments de A vérifiant P. Le schéma de compréhension est conséquence du schéma de

remplacement qui suit.

8. Schéma d'axiomes de remplacement : Pour tout ensemble A et toute relation fonctionnelle

P, formellement définie comme une proposition P(x,y) et telle que P(x,y) et P(x,z)

impliquent que y = z, il existe un ensemble contenant précisément les images par P des

éléments de l'ensemble d'origine A.

9. Axiome de fondation : Tout ensemble X non vide contient un élément y tel que X et y sont

des ensembles disjoints (qui n'ont aucun élément en commun), ce qui se note

. Cet axiome n'est pas toujours ajouté à Z ou ZF. On peut construire assez

facilement comme sous-classe d'un modèle quelconque de ZF, un modèle de ZF vérifiant

l'axiome de fondation. Les ensembles utiles au développement des mathématiques

usuelles appartiennent à cette sous-classe, et donc cela a peu d'importance d'ajouter celui-

ci ou non à la théorie pour ces développements. L'axiome de fondation n'est par exemple

pas mentionné dans le livre de Halmos[9]

, dont le but est de présenter les aspects de la

théorie des ensembles utiles pour le mathématicien non spécialiste de ce domaine.

L'axiome de fondation est par contre très utile dans le domaine spécialisé de la théorie

des ensembles, il permet de hiérarchiser l'univers ensembliste, de définir un rang ordinal

(voir l'article axiome de fondation) ... Des théories des ensembles, extensions de ZF sans

fondation, ont par ailleurs été développées, qui introduisent un axiome d'anti-fondation (il

en existe plusieurs variantes) qui contredit directement l'axiome de fondation. L'anti-

fondation est une idée assez ancienne (Dimitri Mirimanoff 1917, Paul Finsler 1926), mais

ces théories ont connu un regain d'intérêt pour leur lien avec l'informatique théorique[10]

.

10. Axiome du choix : (version de Zermelo) Étant donné un ensemble X d'ensembles non

vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble y (l'ensemble de choix pour X)

contenant exactement un élément pour chaque membre de X.

L'axiome du choix reste controversé pour une minorité de mathématiciens. Des formes



http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles#cite_note-halmos-8

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_paire




http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27ensemble_des_parties

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini



http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_fondation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles#cite_note-halmos-8

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_fondation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d%27anti-fondation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Finsler


http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

46

faibles existent, comme l'axiome du choix dépendant, très utile pour le développement de

l'analyse réelle.

Les résultats d'indépendance en théorie des ensembles []

Modèles intérieurs []

Les premiers résultats d'indépendance notables en théorie des ensembles sont ceux de Kurt

Gödel qui démontre que l'axiome du choix est compatible avec la théorie ZF, autrement dit si la

théorie ZFC est contradictoire, alors la théorie ZF est contradictoire. Il montre également le

même résultat pour l'hypothèse du continu vis à vis de ZF ou ZFC. Gödel utilise la méthode

appelée depuis la méthode des modèles intérieurs, elle revient à construire, par exemple dans un

modèle de ZF ne satisfaisant pas nécessairement l'axiome du choix, une sous-classe de celui-ci

qui possède une nouvelle relation d'appartenance satisfaisant l'axiome du choix. Une

contradiction de la théorie ZFC entraîne donc une contradiction de la théorie ZF.

Forcing []

Paul Cohen, en 1963, démontre que la négation de l'hypothèse du continu (HC) est compatible

avec la théorie ZFC : si la théorie ZFC + (non HC) est contradictoire, alors la théorie ZFC est

contradictoire. La méthode qu'il introduit, le forcing, devait avoir un énorme succès en théorie

des ensembles. Reformulée, étendue, itérée ... elle a permis de montrer de nombreux résultats

d'indépendance.

Second théorème d'incomplétude []

Les résultats d'indépendance précédents reposent sur des résultats d’équicohérence (ou

équiconsistance, par exemple la cohérence de la théorie ZF entraîne la cohérence de ZF+AC (la

réciproque est évidente). Mais pour d'autres axiomes, comme les axiomes de grands cardinaux,

ce n'est pas le cas : dans la théorie ZFC + « il existe un cardinal inaccessible » on peut montrer

l'existence d'un modèle de ZFC, c'est-à-dire la cohérence de cette théorie. Le second théorème

d'incomplétude de Gödel permet d'en déduire que l'existence d'un cardinal inaccessible n'est pas

démontrable dans ZFC (en supposant bien-sûr que cette dernière théorie est cohérente). Le

second théorème d'incomplétude permet donc également de démontrer des résultats

d'indépendance. Il est utilisé plus largement pour comparer des théories, une théorie étant « plus

forte » qu'une autre si elle permet de démontrer sa cohérence.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

http://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Cohen

http://fr.wikipedia.org/wiki/Forcing

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del