matriks group
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Matriks GROUP
1/31
KONSULTASI KETIGA STRUKTUR ALJABAR 1
GRUPOID, SEMI GRUP, MONOID, DAN GRUP
Suatu himpunan tidak kosong disertai sebuah operasi biner yang memenuhi beberapa syarat
berikut. Syarat (I) operasi itu tertutup, syarat (II) asosiatif, (III) punya unsur kesatuan, (IV)punya invers untuk setiap unsurnya. Jika memenuhi syarat (I) maka disebut grupoid,memenuhi (I) dan (II) dikatakan semigrup, ditambah syarat (I) + (II) + (III) maka monoid,dan jika syarat (I) + (II) + (III) + (IV) maka Grup.
SIFAT-SIFAT GRUP
Sifat grup dinyatakan daam teorema!teorema berikut "
Teorema 1 : jia !"a#" $r"%oi& G memi'ii "(!"r e!a#"a( iri e &a( !"a#" "(!"r
e!a#"a( a(a( ) maa e=f *
Teorema +" Da'am $r"% er'a" ""m %e(.ore#a( iri ma"%"( a(a(.
B"#i" #isa G grup,cba ,,
G, yang memenuhiacab=
Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a!i#a a'ia( &e($a(
$a G &i%ero'e
%ukum pen&oretan kiri %ukum pen&oretan kanan( ) ( )acaaba $$ =
( ) ( )caabaa $$ =
eceb=
cb=
'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.
( ) ( ) $$ = aacaab
$$ =acaaba
( ( $$ = aacaab
cebe=
cb=
'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan
Kare(a#eorema + &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,
maa #eorema + #er"#i
Teorema / :Da'am $r"% !e#ia% %er!amaa( iri ma"%"( a(a( &a%a# &i%e.aa( &a(
ja0a(a #"($$a'* Teorema i(i erar#i jia
ba, G maa
yx, G
!e&emiia( i($$abax=
&a(
bya=*
1
-
7/26/2019 Matriks GROUP
2/31
B"#i:
$aadaah invers dari a, maka pembuktian teorema ini akan diberakukan hukum
pen&oretan kiri maupun kanan.
Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a! i#a a'ia( &e($a(
$a
&i%ero'e
2a($ Per#ama U(#" Per!amaa(bax=
( ( baaxa $$ =
( ) ( )baxaa $$ =
( )( )aa
bax
$
$
=
a
bx=
'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.
( ( $$ = abaax
( ) ( )$$ = abaax
( )( )aaab
x$
$
=
a
bx=
'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan.
2a($ Ke&"a U(#" Per!amaa(
bya=
( ) ( )baaya $$ =
( ( bayaa $$ =
( )( )aa
bay
$
$
=
a
by=
'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.
( ) ( )$$ = abaay
( ( $$ = abaay
( )( )aa
aby
$
$
=
a
by=
'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan.
Kare(a#eorema / &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,
maa #eorema / #er"#i
Teorema 3: G $r"%,( ) ,$$ aa = Ga
B"#i "
$aadaah invers dari a dan beraku
eaa =$
maka pembuktian teorema ini akan
diberakukan hukum pen&oretan kiri maupun kanan.
Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a!i#a a'ia( &e($a(
( ) $$ a&i%ero'e
2
-
7/26/2019 Matriks GROUP
3/31
-
7/26/2019 Matriks GROUP
4/31
-
7/26/2019 Matriks GROUP
5/31
( ) ( ) $$+$$+$$
$
$
+
$
$
$
$
$+$ ............
= nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
...
$dengandikaikanruaskedua
$+$ nn aaaaa
maka kita dapati
( ) $$+$$
$
$
+
$
$
$
$ ......
= nnnn aaaaaaaaaa
( ) $$+$$$
$
$
$
+
$
$ ......
= aaaaaaaaaa nnnn
dengan menggunakan sifat asosiatif pada ruas kiri dan distributif pada ruas kanan kita
peroeh"
( ) $$$
+
$
$
$
$$
$+$ ......
= aaaaaaaaaa nnnn
Ja&i, #eorema 5 #er"#i &e($a( me($$"(aa( ""m %e(.ore#a( iri
#enggabungkan dan maka akan didapati"
( ) ( )nnnnnnnn aaaaaaaaaaeaaaaaaaaaa $+$$
$+$+$$
$
$
$$
$
$
+
$
............
==
( ) ( )nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa $+$$
$+$+$$
$
$
$$
$
$
+
$
............
=
...
$dengandikaikanruaskedua
$+$ nn aaaaa
maka kita dapati
( ) $$+$$
$
$
+
$
$
$
$ ......
= nnnn aaaaaaaaaa
dengan menggunakan sifat asosiatif pada ruas kiri dan distributif pada ruas kanan kita
peroeh"
( ) $$$$
$
+
$
$
$
$+$ ......
= nnnn aaaaaaaaaa
( ) $$$
+
$
$
$
$$
$+$ ......
= aaaaaaaaaa nnnn
Ja&i, #eorema 5 #er"#i &e($a( me($$"(aa( ""m %e(.ore#a( iri
Kare(a #eorema 5 &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,
maa #eorema 5 #er"#i*
5
-
7/26/2019 Matriks GROUP
6/31
6o(#o-.o(#o:
$. aam / ( himpunan biangan asi ) bia didefinisikan
0perasi xy=x+y+xy
1unjukan bah2a 3 /, 4 adaah sebuah grup
i. 5kan dibuktikan 3 /, > merupakan grupoid6
5mbi 7,y /
xy=x+y+xy
8arena 7,y /, maka 7,y,7y juga / sehingga operasi perkaian ini
bersifat tertutup 3 /, 4 grupoid
ii. 5kan dibuktikan 3 /,
4 merupakan semigrup65mbi 7,y,9 /
#aka x(yz )=(xy )z
x(y+z+yz )=(x+y+xy )z
(x+y+z+yz )+(xy+xz+xyz )=(x+y+xy+z ) (xz+yz+xyz )
x+y+z+xy+xz+yz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
8arena hasi penjabaran ruas kiri : ruas kanan, maka 3 /, 4 merupakansemigrup.
iii. 5pakah 3 /, 4 punya unsur kesatuan6
5mbi 7,y /
#isanya y adaah unkes kiri dari 7 maka"
yx=x
y+x+yx=x
y+yx=xx
y(x+1 )=0
y= 0
x+1=0
#isakan y adaah unkes kanan dari 7, maka "
xy=x
x+y+xy=x
y+yx=xx
y(x+1 )=0
6
-
7/26/2019 Matriks GROUP
7/31
y= 0
x+1=0
8arena 7 memiiki unkes kiri : unkes kanan : ;, maka 3 /, 4 monoid.
iv. 5pakah 3 /, 4 merupakan grup6
5mbi 7,y /
#isanya y adaah invers kiri dari 7 maka"
yx=0
y+x+yx=0
y+yx=x
y(x+1 )=x
y=xx+1
#isakan y adaah invers kanan dari 7, maka "
xy=0
x+y+xy=0
y+yx=x
y(x+1 )=x
y=
xx+1
8arena invers kiri dari 7 : invers kanannya, maka 7 memiiki invers yaitux
x+1 .
Sehingga 3 /, 4 merupakan grup.
. Z3{0 }={1,2} dengan operasi perkaian moduo.
1unjukan 5pakah
Z3{0 }, x>
merupakan sebuah grup6
penyeesaian
7 $ $ $ $
a. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> tertutup
7
-
7/26/2019 Matriks GROUP
8/31
ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a perkaian setiap dua unsur daam tabe
tersebut menghasikan eemen di daam Z3{0 } , maka Z3{0 }, x> bersifat
tertutup.
b. 5kan ditunjukan Z3{0
}, x> asosiatif
ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a unsur!unsurnya simetris pada diagona
utama sehingga Z3{0 }, x> asosiatif.
&. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> memiiki unkes
ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a unkesnya adaah $, karena setiap eemen
daam Z3{0 }, x> jika dikaikan dengan $ baik dari kiri maupun kanan akan
menghasikan dirinya sendiri. Sehingga Z3{0 }, x> memiiki unkes yaitu $.
d. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> memiiki invers
ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a $ inversnya $, dan inversnya . engan
demikian maka Z3{0}, x> memiiki invers.
Kare(aZ
3{0 }, x>
memi'ii !i)a# #er#"#"%7$r"%oi&,
a!o!ia#i)7!emi$r"%,memi'ii "(e! &a( i(8er! maaZ
3{0 }, x>
mer"%aa( !e"a $r"%*
. Z5={0,1,2,3,4} dengan operasi penjumahan moduo. 1unjukan 5pakah Z5 ,+
merupakan sebuah grup6
penyeesaian
-
7/26/2019 Matriks GROUP
9/31
ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a penjumahan setiap dua unsur daam tabe
tersebut menghasikan eemen di daam tabe itu sendiri, maka Z5 ,+ bersifat
tertutup.
b. 5kan ditunjukan Z5 ,+ asosiatif
ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a unsur!unsurnya simetris pada diagona utama
sehingga Z5 ,+ asosiatif.
&. 5kan ditunjukan Z5 ,+ memiiki unkes
ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a unkesnya adaah ;, karena setiap eemen daam
Z5,+ jika dijumahkan dengan ; baik dari kiri maupun kanan akan
menghasikan dirinya sendiri. Sehingga Z5 ,+ memiiki unkes yaitu ;
d. 5kan ditunjukan Z5 ,+ memiiki invers
ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a ; inversnya ;, $ inversnya =, inversnya ,
inversnya , dan = inversnya $. engan demikian makaZ
5,+ memiiki invers.
Kare(aZ
5,+
memi'ii !i)a# #er#"#"%7$r"%oi&, a!o!ia#i)7!emi$r"%,memi'ii
"(e! &a( i(8er! maa Z5 ,+ mer"%aa( !e"a $r"%*
=.
= Ra
aA
;;
;
i. 5pakah 35,>m4 grupoid6
-
7/26/2019 Matriks GROUP
10/31
-
7/26/2019 Matriks GROUP
11/31
;;
;$
;;
;a
:
;;
;a
8arena
;;
;$
unkes di kanan dan unkes di kiri maka
;;
;$
unkes di 5.
Ini berarti 35,>m4 monoid.
iv. 5pakah 35,>m4 grup6
-
7/26/2019 Matriks GROUP
12/31
*.
= ;,
;;
;aRa
aB
i. 5pakah 3m4 grupoid6
-
7/26/2019 Matriks GROUP
13/31
5mbi
;;
;a
? < dan misakan
;;
;b
unkes di mo(oi&
21
-
7/26/2019 Matriks GROUP
22/31
Ami'
dc
ba
dan misa
sr
qp
"(e! &i F
Maka
dcba
srqp
srqp
dcba
dcba
dc
ba
sr
qp
dc
ba
++++
dscqdrcp
bsaqbrap
dc
ba
a% ? r a
% a
bra
Misalkan br = 0Maka ' = 1
!' + dr = !
r d
cpc
arena ' = 1, aka r = 0
! + ds = d
! d
cqd
Mi!a'a( .@ 9
maa ! 1
a + bs = b
@ a
bsb
arena s=1, aka = 0
$nkes kanan :
22
-
7/26/2019 Matriks GROUP
23/31
-
7/26/2019 Matriks GROUP
24/31
+
$
+
$+
=
+$
:
$;
;$
+++
+
$
+
==+
=
+$
:
$;
;$
$;
;$
:
$;
;$
nvers dari
+
$
+
$+
merupakan invers dari
=
+$
+
$
+
$+
tetapi
karena ada anggota yang bukan merupakan biangan buat.Jadi < F, =m> BUKAN GRUP*
$;.G
= Rdcbadcba
,,,
i. &'aka( ) , .r$'id
Ami'
dc
ba
,
hg
fe
G
Maka
dc
ba
hg
fe
++
++
dhcfdgce
bhafbgae
Kare(a a,,.,& @ maka ae + bg, af + bh, &e + dg, dan &f + dh @
Sei($$a
++++
dhcfdgce
bhafbgae
GJadi 3 G, >m 4 grupoid
ii. 5pakah 3G, >m4 semigrup
24
-
7/26/2019 Matriks GROUP
25/31
5mbi
dc
ba
nm
lk
sr
qp
G
#aka
sr
qp
nm
lk
dc
ba
++
++
dncldmck
bnalbmak
sr
qp
=
++++++++++++
dnsclsdmqckqdnrclrdmpckp
bnsalsbmqakqbnralrbmpakp
=
dc
ba
++++
nsmqnrmp
lskqlrkp
=
dc
ba
sr
qp
nm
lk
Kare(a er'a" !i)a# a!o!ia#i) maa < G,=m > !emi$r"%
iii. A%aa < G, =m> mo(oi&
Ami'
dc
ba
G dan misa
sr
qp
"(e! &i G
Maka
dc
ba
sr
qp
sr
qp
dc
ba
dc
ba
dc
ba
sr
qp
dc
ba
++++dscqdrcp
bsaqbrap
dc
ba
a% ? r a
% a
bra
Misalkan br = 0, aka ' = 1
!' + dr = !
25
-
7/26/2019 Matriks GROUP
26/31
r d
cpc
arena ' = 1, aka r = 0
! + ds = d
! d
cqd
Mi!a'a( .@ 9
maa ! 1
a + bs = b
@ a
bsb
arena s=1, aka = 0
$nkes kanan :
dc
ba
$;
;$
dc
ba
Ja&i
$;
;$
"(e! a(a(
$nkes kiri :
$;
;$
dc
ba
dc
ba
Ja&i
$;
;$
"(e! iri
Kare(a
$;
;$
"(e! a(a( &a( "(e! iri maa
$;
;$
"(e! &i G
I(i erar#i < G, =m > mo(oi&
iv. A%aa < G, =m> $r"%
$;
;$nkes
26
-
7/26/2019 Matriks GROUP
27/31
Mi!a'
dc
ba
G
=
ac
bd
bcaddc
ba $$
,+=
C
Ambil
G
=
C=
+
$+$+
$
+=
C $
=
C=
+
;
$
#i&a #er&e)i(i!i
Jadi < G, =m> BUKAN GRUP
$$.
= ;,,,, bcadRdcba
dc
ba!
i. A
Xm!,
$r"%oi&
dc
baAmbil
,
hg
fe
%
dc
baMaka
hg
fe
++
++
dhcfdgce
bhafbgae
Kare(a ad # bc
; dan eh # fg
;, maka (ae $ bg%&cf $ dh% # &af $ bh%&ce $ dg%
;
Sei($$a
++++
dhcfdgce
bhafbgae
%
Jadi 3 %, >m 4 grupoid
27
-
7/26/2019 Matriks GROUP
28/31
ii. 5pakah 3%, >m4 semigrup
5mbi
dc
ba
nm
lk
sr
qp
%
#aka
sr
qp
nm
lk
dc
ba
++++dncldmck
bnalbmak
sr
qp
=
++++++++++++
dnsclsdmqckqdnrclrdmpckp
bnsalsbmqakqbnralrbmpakp
=
dc
ba
++++
nsmqnrmp
lskqlrkp
=
dc
ba
sr
qp
nm
lk
Kare(a er'a" !i)a# a!o!ia#i) maa < , =m > !emi$r"%
iii. A%aa < , =m> mo(oi&
Ami'
dc
ba
% dan misa
sr
qp
"(e! &i
Maka
dc
ba
sr
qp
sr
qp
dc
ba
dc
ba
dc
ba
sr
qp
dc
ba
++++
dscqdrcp
bsaqbrap
dc
ba
a% ? r a
28
-
7/26/2019 Matriks GROUP
29/31
% a
bra
Misalkan br = 0, aka ' = 1
!' + dr = !
r d
cpc
arena ' = 1, aka r = 0
! + ds = d
! d
cqd
Mi!a'a( .@ 9, maa ! 1
a + bs = b
@ a
bsb
arena s=1, aka = 0
$nkes kanan :
dc
ba
$;
;$
dc
ba
Ja&i
$;
;$
"(e! a(a(
$nkes kiri :
$;
;$
dc
ba
dc
ba
Ja&i
$;
;$
"(e! iri
Kare(a
$;
;$
"(e! a(a( &a( "(e! iri maa
$;
;$
"(e! &i
29
-
7/26/2019 Matriks GROUP
30/31
I(i erar#i < , =m > mo(oi&
iv. A%aa < , =m> $r"%
$;
;$nkes
Mi!a'
dc
ba
%
=
ac
bd
bcaddc
ba $$
Kare(a a& .
9, maa
dc
ba
% seau mempunyai Invers.Jadi < , =m> adaahGRUP
Ke!im%"'a(
No Soa' Gr"%oi& Semi$r"
%
Mo(oi& Gr"%
1 'erasi xy=x+y+xy
) ,
+ Z3{0 }={1,2 } dengan operasi perkaian
moduo. Z3{0 }, x>
/ Z5={0,1,2,3,4} dengan operasi
penjumahan moduo. Z5 ,+
3 A={[a 0
0 0 ]aR } K K K !4
B={[a 00 0]aR , a 0}K K K K
5C={[1 x0 1]xR}
K K K K
D={[0 0
b 0
]bR , b 0
}! ! ! !
30
-
7/26/2019 Matriks GROUP
31/31
CE={[a 00 b ]a ,bR ,ab 0}
K K K K
F=
{[a b
c d
]a , b , c , dZ
}
K K K !
19G={[a bc d ]a , b , c , dR}
K K K !
11H={[a bc d ]a , b , c , dR , adbc 0}
K K K K
Nomor 5 a&a'a !"!e# &ari (omor 11*
Kare(a
CH
, maa 6 !"$r"% &ari