maximize or minimize z = f (x,y) subject to: g (x,y) =...

Maximize or MinimizeZ = f (x,y)

Subject to:g (x,y) = c

BV CV M K S1 S2 Rasio

S1 60 4 2 1 0

S2 48 2 4 0 1

Zj 0 -8 -6 0 0

Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH, M.Sc.

PROGRAM STUDI AGRIBISNISFAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS JAMBI

PENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING SECARA MATEMATIK (METODE SIMPLEKS)

2

Metode Simpleks adlh suatu metode yg secara matematis dimulaidari suatu pemecahan dasar yg feasibel (basic feasible solution) kepemecahan dasar feasibel lainnya dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasaryang optimum.

Setiap fungsi kendala mempunyai slack variabel. ⇒ jumlah slack variable = jumlah fungsi kendala

Nilai sebelah kanan (right-hand side) semua kendala tidak bolehnegatif.

Langkah 1:Ubah model LP kedalam bentuk kanoniknya, semua fungsi kendalaberupa persamaan, dg cara menambahkan slack variabel

Magister Agribisnis UNJA Zulkifli Alamsyah

3Magister Agribisnis UNJA Zulkifli Alamsyah

ProsesWaktu yang dibutuhkan per unit Total jam

tersediaMeja KursiPerakitan 4 2 60Pemolesan 2 4 48Laba/unit 80.000 60.000

Model Linear Programming:Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000)Dengan kendala:

4M + 2K ≤ 60 2M + 4K ≤ 48

M ≥ 0K ≥ 0

Perhatikan kembali persoalan sebagai berikut (Kuliah ke-2):

4

4M + 2K + S1 = 60 atau S1 = 60 – 4M – 2K 2M + 4K + S2 = 48 atau S2 = 48 – 2M – 4K S1 adalah variabel slack (waktu tak terpakai) dalam perakitanS2 adalah variabel slack (waktu tak terpakai) dalam pemolesan

Semua variabel yang tdk mempengaruhi kesamaan ditulis dg koefisien nol.

Maks Laba = 8M + 6K + 0S1 + 0S2Dg kendala:

4M + 2K + S1 + 0S2 = 60 2M + 4K + 0S1 + S2 = 48M ≥ 0; K ≥ 0

Variabel dibagi menjadi non-basic variables dan basic variables. Non-basic variables ⇒ variabel yg tdk keluar sbg sulusi pd setiap

iterasi, nilainya sama dg nol. basic variables ⇒ variabel yg keluar sbg sulusi pd setiap iterasi


Fungsi Kendala diubah menjadi bentuk persamaan:

Model Iconic :

5

Langkah 2: Membuat tabel simpleks awal

Kolom kunci ditentukan oleh nilai baris Z negatif terbesar, yaitu padakolom M

Hitung rasio antara CV dan nilai pada Kolom kunci Baris kunci ditentukan dari rasio CV/ nilai Kolom kunci terkecil, yaitu

baris S1.

Langkah 3: Penentuan baris dan kolom kunci sebagai dasar iterasi.

Elemen pivot



S1 60 4 2 1 0

S2 48 2 4 0 1

Zj 0 -8 -6 0 0

60/4

48/2

Langkah 4: IterasiVariabel yang masuk sbg basic variable (BV) adlh M dan variabel

yang keluar dari BV adalah S1. M masuk pada kolom BV menggantikan S1 (baris-1).

Persamaanpivot

Baris-1

Baris-2

Baris-3

6

Untuk melakukan iterasi, digunakan metode perhitungan Gauss-Jordan sbb:

Persamaan Pivot (baris-1):Persamaan pivot baru = Persamaan pivot lama : elemen pivot


BV CV M K S1 S2 RasioS1 60 4 2 1 0S2 48 2 4 0 1Zj 0 -8 -6 0 0

60/4

48/2

Elemen pivot

Baris-1 Baris-2

Baris-3

Persamaanpivot


S1 60 4 2 1 0Lama

Baru

Persamaan lainnya, termasuk Z:Persamaan baru = (Persamaan lama) – (persamaan pivot baru) x

(Koef kolom masuk)

Iterasi :

60/4 4/4 2/4 1/4 0M

7Magister Agribisnis UNJA Zulkifli Alamsyah


S2 48 2 4 0 1Lama

Baru

Untuk Baris-2

Pers pivot Baru x 2-


Zj 0 -8 -6 0 0Lama

Baru

Untuk Baris-3 : FT

x -8-


M 15 1 1/2 1/4 0S2 18 0 3 -1/2 1Zj 120 0 -2 2 0

Hasil Iterasi:

Iterasi (lanjutan)…….:

M 15 1 1/2 1/4 0S2 48-15.2

= 182-1.2 = 0

4-(1/2).2= 3

0-(1/4).2= -1/2

1-0.2= 1

Pers pivot Baru M 15 1 1/2 1/4 00-15.(-8)

= 120-8-1.(-8)

= 0-6-(1/2). (-8) = -2

0-(1/4). (-8) = 2

1-0.-8= 0Zj

8

Kriteria Solusi Optimal:Semua nilai pada baris Zj tidak ada yang negatif.



M 15 1 1/2 1/4 0S2 18 0 3 –1/2 1Zj 120 0 –2 2 0

Hasil Iterasi 1:

Iterasi (lanjutan)…….:

Pada hasil iterasi 1, masih ada nilai pada baris Zj yang bernilainegatif, yaitu variabel K dengan nilai –2.

Oleh karen itu, solusi belum optimal dan perlu dilakukan iterasikembali.

Ikuti langkah-langkah iterasi sebelumnya: Tentukan kolom dan baris kunci Hitung rasio CV/Nilai pada kolom kunci Tentukan persamaan pivot. Lakukan iterasi

9


M 12 1 0 1/3 -1/6

K 6 0 1 -1/6 1/3

Z 132 0 0 5/3 2/3

Hasil iterasi 2: Solusi Optimal

Karena nilai-nilai pada baris Zj sudah non-negatif, berarti iterasiselesai, dan solusi yang diperoleh adalah:

M = 12, K = 6 dan Z (laba) = 132.

Dari tabel akhir iterasi diatas juga diperoleh informasi mengenai nilaiReduced Costs dan Dual (shadow) prices. Selain itu, dgn sedikitperhitungan juga dapat dilakukan analisis sensitivitas.

Reduced costs Dual Prices


10

Reduced Cost Berkaitan dengan variabel keputusan, yaitu nilai pada kolom

variabel keputusan pada baris Z dalam tabel simpleks akhir.

Bila suatu variable keluar sebagai solusi optimal maka nilaiReduced Cost adalah nol (RC = 0); sebaliknya, bila tidakkeluar sebagai solusi maka nilai Reduced Cost lebih besardari nol (RC > 0) untuk persoalan maksimisasi dan RC < 0untuk persoalan minimisasi.

Jika RC suatu variabel adalah x, berarti pemaksaan variabeltersebut masuk sebagai solusi akan menurunkan (padapersoalan maksimisasi) atau meningkatkan (pada persoalanminimisasi) nilai fungsi tujuan sebesar x.

Penjelasan Reduced Cost dan Dual Price


11

Berkaitan dengan kendala, yaitu nilai pada kolum slack variabelpada baris Z dalam tabel simpleks akhir.

Bila sumberdaya pada suatu kendala tidak habis terpakaiberdasarkan solusi optimal, berarti sumberdaya tersebut bukanpembatas dalam aktivitas ekonomi. Oleh karena itu, nilai dual(shadow) untuk sumberdaya tersebut adalah nol (SP = 0).

Bila sumberdaya pada suatu kendala habis terpakai berdasarkansolusi optimal, berarti sumberdaya tersebut merupakan pembatasdalam aktivitas ekonomi. Oleh karena itu, nilai dual (shadow)untuk sumberdaya tersebut lebih besar dari nol (SP > 0). Artinyanilai sumberdaya pada aktivitas tersebut sama dengan nilaishadow price.

Jika ketersediaan sumberdaya pada kendala yangbersangkutan ditambah 1 (satu) unit, maka nilai fungsitujuan akan meningkat sebesar nilai shadow pricesumberdaya.

Dual (Shadow) Price:


Magister Agribisnis UNJA Zulkifli Alamsyah12

max Z = 6 X1 + 5 X2st

X1 + X2 ≤ 102 X1 + 3 X2 ≤ 243 X1 + 5 X2 ≤ 42

X1, X2 ≥ 0

(1)

(2) max Z = 3 X1 + 4 X2st

X1 + 2 X2 ≤ 183 X1 + 2 X2 ≤ 242 X1 + 5 X2 ≤ 40

X1, X2 ≥ 0

Latihan 7:

Carilah solusi persoalan berikut menggunakan metodesimpleks.

maximize or minimize z = f (x,y) subject to: g (x,y) =...

Documents