mecanica classica
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apostila de mecanica classica do salvianoTRANSCRIPT
NOTAS DE AULAS
Mecanica Classica
Prof.: Salviano A. Leao
Goiania – Goias
Sumario
1 Introducao 1
1.1 PADROES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Referencias Bibliograficas 19
2 Mecanica Newtoniana 20
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Dinamica: massa e forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Princıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Transformacoes galileanas: referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Aplicacoes das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Integracao das equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Analise do movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.2 Forca aplicada constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.3 Forca aplicada dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.4 Forcas dependentes da velocidade: Forcas de retardamento . . . . . . . . 46
2.8 Teoremas de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Conservacao do momentum linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2 Conservacao do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.3 Conservacao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8.4 Potencia (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8.5 Dependencia Temporal da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.8.6 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
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2.8.7 Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.9 Movimento de foguetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9.1 Movimento do foguete: forca externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9.2 Movimento do foguete: sem forca externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9.3 Foguete em ascensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.10 Limitacoes da mecanica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.12 Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12.1 Expansoes em series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12.2 Funcoes Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12.3 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3 Oscilacoes 89
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Pequenas Oscilacoes: Lineares e Nao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Oscilacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Oscilacoes Nao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.3 Moleculas Diatomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Oscilador Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Estudo do Movimento Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 Analise do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.2 Condicoes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Oscilador Harmonico Simples: Solucao por Conservacao de Energia . . . . . . . 100
3.6 Oscilador Harmonico Simples e a Conservacao de Energia . . . . . . . . . . . . . 101
3.7 Energias Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.8 Oscilador Harmonico e o Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 103
3.9 Pendulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10 Oscilador Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.11 Osciladores Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.12 Determinacao da frequencia Natural ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.12.1 Metodo da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.12.2 Metodo de Rayleigh: Massa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.13 Oscilacoes Harmonicas em duas Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.14 Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.15 Oscilacoes Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.15.1 Amortecimento Subcrıtico (β < ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.15.2 Balanco de Energia: Fator de Qualidade Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.15.3 Amortecimento Crıtico (β = ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.15.4 Amortecimento Supercrıtico (β > ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
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3.16 Oscilacoes Forcadas Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.17 Ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.18 Impedancia de Um Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.19 Princıpio da superposicao: series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.20 Elementos de um Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20.1 Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20.2 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20.3 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.20.4 Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.21 Oscilacoes Eletricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.22 Analogia entre as Oscilacoes Mecanicas e Eletricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.23 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.23.1 Circuitos LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.23.2 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4 Gravitacao 150
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2 Princıpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Distribuicoes Contınuas de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4 Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Campo Gravitacional g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6 Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.7 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.7.1 Angulo Solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.7.2 Fluxo de Um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.7.3 Lei de Gauss Para o Campo Gravitacional g . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.7.4 Aplicacoes da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.8 Forma Diferencial da Lei de Gauss: Equacao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 170
4.9 Linhas de Forca e Superfıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5 Calculo Variacional 176
5.1 A Natureza Geral dos Problemas de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3 A equacao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.4 A segunda forma da equacao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5 Funcoes com varias variaveis dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.6 Equacoes de Euler com condicoes de vınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.7 A notacao δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Prof. Salviano A. Leao iv
5.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6 Formulacao Lagrangeana da Mecanica 187
6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.2 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5 Espaco de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.6 Espaco de Configuracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.7 Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.8.1 Vınculos e as coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.9 Princıpios dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.9.1 Deslocamento Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.9.2 Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.9.3 Trabalho Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.10 Princıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.11 Equacoes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.11.1 Vınculos nas equacoes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.11.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.12 Aplicacoes da Formulacao Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.13 Energia Cinetica em Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.14 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.16 Forcas Aplicadas e de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.17 Funcao de Dissipacao de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.18.1 Deducoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.18.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7 Princıpio de Hamilton: Dinamicas Lagrangeana e Hamiltoniana 249
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2 Princıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.3 Princıpio de Hamilton a Partir do Princıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 254
7.4 Equacoes de Lagrange a Partir do Princıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 257
7.5 Princıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.6 A Lagrangeana de Uma Partıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.7 Lagrangeana de um Sistema de Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.8 Princıpio de Hamilton: Vınculos Nao-Holonomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Prof. Salviano A. Leao v
7.8.1 Metodo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.8.2 Forcas de Vınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.9 Vantagens de Uma Formulacao Por Um Princıpio Variacional . . . . . . . . . . . 276
8 Leis de Conservacao e Propriedades de Simetria 280
8.1 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.2 Coordenadas Cıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.3 Translacoes e Rotacoes Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.3.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.3.2 Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.4 Teoremas de Conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.4.1 Homogeneidade Espacial e Conservacao do Momentum . . . . . . . . . . 287
8.5 Isotropia Espacial e Conservacao do Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . 288
8.6 Uniformidade Temporal e Conservacao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.7 Invariancia de Escala na Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.8 Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.9 Equacoes de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9 Dinamica Hamiltoniana 300
9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.2 Equacoes Canonicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.3 Equacoes de Hamilton a Partir do Princıpio Variacional . . . . . . . . . . . . . . 303
9.4 Integrais de Movimento das Equacoes de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas Cıclicas . . . . . . . . . 305
9.6 Transformacoes Canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
9.7 Parenteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.8 Propriedades Fundamentais dos Parenteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.9 Parenteses de Poisson Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.11 Parenteses de Poisson e as Integrais de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.12 Equacao de Movimento na Forma dos Parenteses de Poisson . . . . . . . . . . . 317
Capıtulo 1
Introducao
Definir o conceito de ciencia nao e uma
tarefa simples, entretanto, considerar-se que
a ciencia pode ser definida como um con-
junto de conhecimentos sistematicamente or-
ganizado sobre um determinado objeto, adqui-
ridos por meio de observacoes e experimentos
reprodutıveis, criticamente testados, sistemati-
zados e classificados segundo princıpios gerais.
Os criterios usados para definir uma area do
conhecimento como uma ciencia, estabelecem
um metodo cientıfico. Neste contexto, a fısica
pode ser definida como a ciencia que inves-
tiga os fenomenos naturais, pois ela tem como
ponto de partida um conjunto de hipoteses que
surgem da observacao dos fenomenos naturais,
e essas hipoteses, que representam uma idea-
lizacao destes fenomenos, sao as bases com que
as teorias fısicas sao construıdas. Nessas teo-
rias, as leis envolvendo grandezas fısicas sao
expressas em termos de equacoes matematicas
que descrevem e preveem seus comportamen-
tos sob determinadas condicoes. As teorias da
fısica nao sao completas e nem imutaveis, de
fato, elas podem vir a ser modificadas. Com
o desenvolvimento tecnologico medidas expe-
rimentais de determinadas grandezas podem
ser efetuadas com uma maior precisao e novos
experimentos podem ser realizados. A com-
paracao numerica entre os resultados previstos
pela teoria e a medida experimental serve como
um parametro para julgar se a teoria e correta
ou nao e, se for o caso, em que ponto e ne-
cessario introduzir correcoes ou modificacoes.
Se a concordancia numerica for boa, a proba-
bilidade da teoria estar correta e grande. Por
outro lado, se a concordancia for apenas quali-
tativa, fica difıcil julgar a teoria. Alem disso, se
existir mais de uma, a dificuldade de escolher
entre as diferentes possibilidades seria grande,
entretanto, os fısicos, nestes casos tendem a es-
colher a teoria mais simples. Fenomenos novos
tambem podem ser observados e quando estes
nao podem ser explicados pelas teorias vigen-
tes, e necessario uma nova teoria que englobe
todos os experimentos realizados.
As grandezas fısicas que aparecem nas
equacoes matematicas devem expressar quan-
tidades, as quais devem possuir significados
numericos precisos. Se uma dada grandeza
for definida, especificacoes de como determina-
la quantitativamente devem estar contidas na
sua definicao. Uma definicao apenas qualita-
tiva nao e suficiente para ser usada como ali-
cerce da construcao de uma teoria cientıfica.
Na pratica, apesar de ser muito difıcil cons-
truir uma definicao idealmente precisa, supoe-
se implicitamente que as grandezas envolvidas
estao precisamente definidas quando se escreve
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uma equacao matematica. Nesta situacao, e
importante estar ciente em que ponto e em
que grau a construcao de uma teoria e afe-
tada pela falta de precisao nessas definicoes.
Existem conceitos que sao definidos em termos
daqueles que ja foram anteriormente definidos
e sao chamados conceitos derivados. Assim,
toda vez que um novo conceito derivado for
definido, sera suposto que os conceitos ante-
riores, usados na nova definicao, estao preci-
samente definidos. Rastreando-se os concei-
tos anteriores, utilizados para definir os con-
ceitos derivados, fatalmente voltar-se-a ate os
conceitos basicos ou primitivos, os quais exis-
tem com uma certa falta de precisao. Geral-
mente esses conceitos primitivos sao supostos
como conhecidos ”a priori”, seja pela vivencia,
seja pela intuicao. Muitos desses conceitos
(por exemplo, espaco, tempo, massa e carga no
caso da fısica) tornaram-se parte integrante da
nossa vida diaria, o que aumenta o risco de se-
rem considerados mais obvios do que realmente
o sao. De qualquer forma, a construcao de
uma teoria deve ser iniciada em algum ponto
mesmo que a precisao desejavel nao seja al-
cancada. Sempre que atingir um estagio mais
avancado, deve-se retornar as definicoes des-
ses conceitos e aperfeicoa-las. Assim, cada vez
que houver uma compreensao melhor, aper-
feicoa-se as definicoes dos conceitos primitivos.
Mesmo nesses conceitos primitivos, ha necessi-
dade de incluir ao menos uma definicao opera-
cional para que a sua determinacao quantita-
tiva seja possıvel.
Uma das teorias cientıficas mais antigas e
mais conhecidas, nos moldes das chamadas
”ciencias exatas”, e a Mecanica Classica. As
leis da alavanca e dos fluidos em equilıbrio
estatico ja eram conhecidos por Arquimedes
de Siracusa (287?-212 a.C.) da antiga Grecia.
Depois da descoberta das leis da mecanica
por Galileu Galilei (1564-1642) e por Sir Isaac
Newton (1642-1727), a Fısica teve um desen-
volvimento enorme nos ultimos tres seculos.
Apos o surgimento da chamada Fısica Mo-
derna no inıcio do seculo XX, muitas das leis da
mecanica sofreram modificacoes. Entretanto, a
Mecanica Classica continua sendo uma otima
teoria na maioria das aplicacoes que surgem no
cotidiano terrestre. Ela leva a previsoes corre-
tas das grandezas que descrevem os fenomenos
fısicos, desde que nao envolvam velocidades
proximas a da luz, massas enormes, distancias
cosmologicas e dimensoes atomicas.
A Mecanica Classica, tem como objeto de es-
tudo corpos em movimento ou em repouso e a
condicoes de movimento e repouso, dos mes-
mos quando estes estao sob a influencia de
forcas internas e externas. Ela nao explica
porque os corpos se movem; ela simplesmente
mostra como o corpo ira se mover em uma
dada situacao e como descrever o seu movi-
mento. Ela nao se preocupa em explicar a ori-
gem das forcas, e sim, como os corpos irao se
movimentar sob a acao de tais forcas. O es-
tudo da mecanica pode ser dividido em tres
partes: Cinematica, Dinamica e Estatica. A
cinematica fornecem uma descricao puramente
geometrica do movimento (ou trajetoria) dos
objetos, desconsiderando as forcas que o pro-
duziram. Ela trata com os conceitos que se in-
terrelacionam: posicao, velocidade, aceleracao
e tempo. A dinamica se preocupa com as
forcas que produzem as mudancas no movi-
mento ou mudanca em outras propriedades
fısicas, tais como a forma e o tamanho do ob-
jeto. Isto nos conduz aos conceitos de massa e
forca e as leis que governam o movimento dos
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objetos. A estatica, por sua vez, e um caso
particular da dinamica, a qual trata os corpos
na condicao de repouso, ou seja, na ausencia
de forcas externas.
Embora a mecanica tenha seu inıcio na an-
tiguidade, ela teve um grande avanco com
Aristoteles (384-322 a.C.) e depois ficou parali-
sada por quase 20 seculos. Entretanto, a verda-
deira ciencia da Mecanica foi fundada por Ga-
lileu, Christiaan Huygens (1629-1695) e New-
ton. Eles mostraram que os objetos se movem
de acordo com certas regras, e estas regras fo-
ram estabelecidas na forma de leis do movi-
mento. A Mecanica Classica ou Newtoniana e
essencialmente o estudo das consequencias das
leis do movimento formuladas por Newton no
seu ”Philosophiae Naturalis Principia Mathe-
matica”, publicado em 1686.
Apesar das Leis de Newton em sua for-
mulacao original, fornecerem uma aborda-
gem simples e direta para os problemas da
Mecanica Classica, existem algumas outras for-
mulacoes dos princıpios da Mecanica Classica.
Entre eles, os dois mais usados sao a for-
mulacao Lagrangeana e a Hamiltoniana. Estas
duas formulacoes tem a energia e nao a forca
com o conceito fundamental, desta forma, as
equacoes que se seguem, destas formulacoes,
sao escalares e nao vetoriais.
A Mecanica e o ramo da Fısica que estuda os
movimentos dos corpos e suas causas. E, entao,
necessario uma boa compreensao dos conceitos
primitivos e de como as teorias sao construıdas
com base neles. A hipotese mais fundamen-
tal na Mecanica Classica e a de considerar o
espaco e o tempo contınuos, o que significa que
existem padroes universais de comprimento e
de tempo. Assim, observadores em diferentes
lugares e em diferentes instantes podem com-
parar suas medidas de um dado evento ocor-
rido em um determinado ponto do espaco e
em um instante especıfico. Ate hoje, nenhuma
evidencia convincente de que se alcancou o li-
mite de validade desta hipotese surgiu. Ou-
tras duas hipoteses, tambem muito importan-
tes, estabelecem que o comportamento dos ins-
trumentos de medida nao e afetado pelos seus
estados de movimento (desde que nao estejam
sendo rapidamente acelerados) e que, pelo me-
nos em princıpio, os valores numericos obtidos
para as grandezas fısicas poderao ser torna-
dos tao precisos quanto se queira. Estas duas
hipoteses falham no limite que envolvem altas
velocidades e medidas de grandezas de magni-
tudes muito pequenas.
A mecanica e a ciencia que estuda as for-
mas mais simples de movimento da materia,
os deslocamentos dos objetos no espaco com o
decorrer do tempo. Como qualquer outra teo-
ria fısica ela tem o seu domınio de aplicacao,
fora do qual ela deve ser substituıda por ou-
tra teoria mais geral que a contenta como caso
especial. No caso de movimentos com veloci-
dade comparaveis com a da luz c, a teoria mais
geral sera a mecanica relativıstica; a mecanica
quantica e a teoria mais geral na descricao de
objetos em uma escala microscopica, tal como
atomos e moleculas. Para objetos cosmicos,
de proporcoes metagalacticas, para as estrelas
de neutrons hiperdensas, os buracos negros, a
mecanica newtoniana deve ser substituıda pela
relatividade geral de Einstein. Na figura 1.1
mostramos um esquema deste domınio. no eixo
das abscissas colocamos a velocidade v do ob-
jeto, o no eixo das ordenadas a distancia (di-
mensao caracterıstica do objeto) L, caracteri-
zando o sistema material em movimento. O
domınio de aplicacao da mecanica classica para
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Figura 1.1: Limites da mecanica de acordo com
a massa e a velocidade do objeto.
um objeto de massa m e dada pela regiao 2 da
figura 1.1, a direita da hiperbole v · L = h/m
e a esquerda da reta v = αc, onde α ¿ 1 e h
e a constante de Planck. A regiao 1, que fica
a esquerda da hiperbole v · L = h/m e a es-
querda da reta v = αc, representa o domınio
de aplicacao da mecanica quantica. A regiao
4, que fica a direita da reta v = αc e abaixo da
hiperbole v ·L = h/m, representa o domınio de
aplicacao da mecanica quantica relativıstica.
Ja a regiao 3, , que fica a direita da reta v = αc
e acima da hiperbole v ·L = h/m, representa o
domınio de aplicacao da mecanica relativıstica,
ou Teoria Geral da Relatividade de Einstein.
Assim, a mecanica teorica (analıtica) sera a
mecanica classica, aplicavel tanto para objetos
macroscopicos com v ¿ c, quanto para uma
molecula, atomo ou partıcula elementar desde
que mvL¿ h. Costuma-se representar de ma-
neira abstrata, os corpos de materiais estuda-
dos pela mecanica classica sob a forma de pon-
tos materiais se as dimensoes forem pequenas
comparadas com as dimensoes caracterısticas
dos sistemas em relacao aos quais se registra o
movimento.Os corpos solidos sao aqueles que
as distancias relativas entre diferentes pontos
do corpo durante o seu movimento permane-
cerem inalteradas, isto e, o corpo nao e de-
formavel. Corpos elasticos, lıquidos ou gaso-
sos, sao aqueles que o corpo e deformavel e
ocupa uma regiao do espaco maior do que as
dimensoes caracterısticas dos materiais que re-
gistram o movimento.
1.1 PADROES
A fısica e baseada em medidas e aprende-
remos fısica apreendendo a medir as quanti-
dades que sao envolvidas nas leis da fısica.
Entre estas quantidades estao o comprimento,
tempo, massa, temperatura, corrente eletrica,
etc. Para descrevermos uma quantidade fısica
primeiramente definimos uma unidade, isto e, a
medida da quantidade que e definida como exa-
tamente 1. Entao definimos um padrao, isto
e, uma referencia para a qual todos os outros
exemplos sao comparados. Por exemplo, a uni-
dade de comprimento e o metro, como veremos
mais adiante, ele e definido como a distancia
que a luz percorre no vacuo durante uma certa
fracao de segundo. Em princıpio somos livres
para escolhermos a unidade e o padrao, no en-
tanto e importante que os cientistas no mundo
concordem que a nossa definicao e acessıvel e
pratica.
Em mecanica inicialmente precisaremos de
algumas grandezas tais como: comprimento,
tempo e massa. Como estes padroes nao sao
definidos em termos de quaisquer outros, eles
devem ser escolhidos de modo a permitir sua
reproducao para comparacao com grandezas a
serem medidas. Os padroes devem ter as se-
guintes caracterısticas:
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1. deve ser imutavel, as medidas feitas hoje
devem ser as mesmas daqui a um seculo.
2. deve ser acessıvel, de modo a poder ser re-
produzida em qualquer outro laboratorio.
3. deve ser preciso atender a qualquer grau
de precisao tecnologica.
4. deve ser universalmente aceito, de modo
que os resultados obtidos em diferentes
paıses sejam comparaveis.
Na escolha de um padrao, por exemplo com-
primento, precisamos ter procedimentos para
que qualquer medida de comprimento possa
ser expresso em termos deste padrao, desde o
raio do atomo de hidrogenio ate a distancia da
Terra a uma estrela. Fica claro que muitas de
nossas comparacoes serao indiretas. Nao sera
possıvel utilizarmos uma regua para medir o
raio do atomo de hidrogenio ou a distancia ate
a Lua. Existem muitas grandezas fısicas e e
um problema organiza-las, felizmente elas nao
sao todas independentes. Por exemplo, a velo-
cidade e a razao entre comprimento e tempo.
Muitas vezes uma escolha acessıvel nao e
pratica, nao sendo portanto uma boa escolha.
Por exemplo, podemos escolher o nosso pole-
gar como um padrao de comprimento. Ele e
acessıvel no entanto nao e pratico porque cada
pessoa tem um polegar diferente de forma que
qualquer comparacao gere resultados diferen-
tes.
Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos
e Medidas considerou sete quantidades basicas
para formar a base do Sistema Internacional
de Unidades, abreviado por SI e popularmente
conhecido como sistema metrico. Como ja dis-
semos, na mecanica as quantidades basicas sao:
tempo, massa e comprimento, cujas unidades
sao: segundo, quilograma e metro, respectiva-
mente. As definicoes para estas unidades sao
as seguintes:
Tempo um segundo e 9.162.631.770 perıodos
de uma certa vibracao do atomo de Cs133.
Comprimento um metro e o comprimento do
caminho percorrido pela luz no vacuo du-
rante 1299.792.458
de segundo.
Massa um quilograma e a massa de um cilin-
dro particular (3, 9 cm de diametro × 3, 9
cm de altura) de platina-irıdio guardado
proximo de Paris.
Outras As demais unidades que aparecem
na mecanica sao derivadas destas tres,
por exemplo o watt, que e a unidade de
potencia,
1 watt = 1 W = 1 kg ·m2/s3
1.2 Tempo
O tempo e um dos conceitos primitivos ado-
tados para construir a teoria da Ciencia Fısica
(Mecanica Classica, em particular). Como tal,
nao e possıvel definir precisamente o que e
o tempo, mas supoe-se que todos ja ”o co-
nhecem muito bem”. Como pode-se notar,
existe uma total falta de precisao para definir
o tempo. Esta situacao persiste mesmo que
se adote as definicoes qualitativas dadas nos
dicionarios. Entretanto, o que realmente im-
porta aqui nao e definir o que e o tempo com
precisao, mas como medı-lo, isto e, definı-lo
operacionalmente.
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Uma maneira de medir o tempo e utilizar
algum fenomeno que se repete com certa regu-
laridade dito periodico. A palavra ”relogio”
pode ser adotada no sentido amplo, signifi-
cando tanto os fenomenos periodicos utiliza-
dos para a medida do tempo, como os instru-
mentos construıdos para a mesma finalidade.
O princıpio de funcionamento de um ”relogio”
como instrumento e baseado nos fenomenos
periodicos. Um dos primeiros ”relogios” que
se conhece na historia da Humanidade e o nas-
cer do Sol. Este fenomeno repete-se indefinida-
mente e a duracao entre dois eventos consecu-
tivos do nascer do Sol e denominado dia. Surge
uma questao importante neste ponto. Sera que
a duracao dos dias e sempre a mesma? Na re-
alidade, esta e uma questao importante para
qualquer ”relogio”, nao se restringindo apenas
ao dia. Tudo que se pode fazer e comparar com
outros ”relogios” para tentar responder a esta
pergunta. Tais comparacoes e as analises das
leis que governam os fenomenos repetitivos dao
subsıdios para se decidir, nao so esta questao,
como o grau de confiabilidade dos ”relogios”.
Observe, no entanto, que nao ha maneira de
provar que a duracao dos perıodos de qualquer
dos fenomenos repetitivos, onde se baseiam es-
ses ”relogios”, e realmente constante. Dessa
forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de
regularidade concorda com a de outro, ou nao,
mediante comparacoes. Assim, do ponto de
vista operacional, a definicao do tempo esta
baseada na repeticao de algum tipo de evento
que, aparentemente, e periodico.
O dia, acima citado, e devido a rotacao
da Terra. Entao, o perıodo de rotacao da
Terra pode ser comparado com, por exemplo, o
perıodo de revolucao da Terra ao redor do Sol,
o da Lua em torno da Terra, o do Mercurio em
torno do Sol etc. Observacoes muito precisas
mostraram concordancia entre si desses outros
fenomenos dentro de uma pequena margem de
discrepancias. A partir destas comparacoes,
detectou-se que o perıodo da rotacao da Terra
tem pequenas irregularidades da ordem de uma
parte em 108. Entao, o perıodo de rotacao da
Terra, o dia, e um bom ”relogio” para muitos
propositos.
Com o passar do tempo, a necessidade de se
medir intervalos de tempo de duracao menor
que a de um dia surgiu. Um dos mais anti-
gos relogios, como instrumentos de medida de
tempo, sao os relogios de sol. Basicamente, a
projecao da sombra de uma estaca sobre uma
escala graduada e o mecanismo de medida do
tempo nesses relogios. Com os relogios sola-
res, tornou-se possıvel medir uma fracao do
dia com uma certa precisao. Entretanto, eles
apresentavam o inconveniente de so funciona-
rem durante o dia e, dependendo da epoca
do ano, de marcarem horas que diferem um
pouco. Os clepsidras (relogios de agua) base-
ados no escoamento de agua, atraves de um
orifıcio muito pequeno no fundo de um reci-
piente para um outro com uma escala gra-
duada, ja eram usados pelos antigos egıpcios
e babilonios. Eles permitiam medir o tempo
correspondente a fracao do dia com uma pre-
cisao razoavel. Havia a vantagem de funcionar
mesmo a noite. Com a descoberta do vidro, as
ampulhetas (relogios de areia) que se baseiam
num princıpio analogo foram desenvolvidas.
Em 1581, Galileu descobriu o isocronismo
das oscilacoes de um pendulo, quando compa-
rou as oscilacoes de um candelabro da Cate-
dral de Pisa com o ritmo do seu pulso. Ele
observou que o perıodo das oscilacoes perma-
necia o mesmo independentemente da sua am-
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plitude. Logo ele aplicou essa descoberta e
construiu um relogio de pendulo que permi-
tia medir pequenos intervalos de tempo. Ate
entao, nenhum metodo preciso para tal me-
dida era conhecido. Depois da descoberta
de Galileu, relogios de pendulos comecaram a
ser construıdos. Estimulados pela necessidade,
relogios cada vez mais precisos foram desenvol-
vidos. Ao mesmo tempo, medidas de interva-
los de tempo cada vez mais curtos tornaram-se
possıveis. O cronometro marıtimo desenvol-
vido por Harrison em 1765 tinha uma precisao
da ordem de uma parte em 105. Esta pre-
cisao e comparavel ao de um relogio eletrico
moderno. Uma parte em 108 e a precisao de
um relogio baseado em osciladores de quartzo.
O 133Cs (cesio 133) emite uma radiacao ca-
racterıstica, cuja frequencia pode ser utilizada
para controlar oscilacoes eletromagneticas na
regiao de micro-ondas. Um relogio baseado
nesta frequencia como padrao, denominado
relogio atomico, atinge uma precisao de uma
parte em 1012. Para se ter uma ideia, essa
precisao significa um desvio de 1 s em apro-
ximadamente 30.000 anos. Apesar da precisao
do relogio atomico ser fantasticamente boa, o
movimento termico dos atomos constituintes
introduz uma incerteza razoavel na medida de
frequencia da sua radiacao. Com o advento
das tecnicas de confinamento e resfriamento de
atomos, esse movimento termico pode ser re-
duzido drasticamente e espera-se uma melhora
de pelo menos um fator 1000. Isto quer dizer
que, pelo menos em princıpio, atingiria uma
precisao maior que uma parte em 1015 (um erro
nao maior que 1 s em cerca de 30 milhoes de
anos).
Unidade Padrao do Tempo — E conveni-
ente que se defina uma unidade para a medida
do tempo e referir-se a ela pelos seus multiplos
ou submultiplos. Mas, se nao se adotar um
padrao, provavelmente terıamos uma unidade
diferente em cada regiao do globo terrestre. Fe-
lizmente, o perıodo de rotacao da Terra e co-
mum para toda a humanidade. Na falta de
um padrao melhor, ate 1956 adotava-se a uni-
dade padrao do tempo como sendo o segundo
(s), definido como 1 s = 1/86.400 do dia so-
lar medio. O dia solar medio e a media sobre
um ano da duracao do dia. Tendo em vista as
irregularidades da rotacao da Terra, em 1956,
mudou-se a definicao do segundo como sendo
1 s = 1/31.556.925, 9747 da duracao do ano
tropical de 1900 (1 ano tropical e o intervalo
de tempo entre duas passagens consecutivas do
Sol pelo equinocio de primavera). Finalmente,
em 1967, foi definido o atual segundo como
sendo 1 s = 9.192.631.770 perıodos da radiacao
correspondente a transicao caracterıstica do133Cs.
1.3 Espaco
O espaco e, tambem, um dos conceitos pri-
mitivos no qual apoia-se a Mecanica Classica.
O conceito do espaco esta intimamente relaci-
onado ao da medida de distancia. E do conhe-
cimento de todos que uma maneira de medir
uma distancia e adotar uma unidade e medi-
ante comparacao direta contar quantas unida-
des correspondem essa distancia. Essa unidade
pode ser um bastao, polegar, palma da mao, pe
etc. De qualquer maneira, e necessario adotar
uma unidade padrao e referir-se as distancias
por meio dos multiplos e submultiplos dessa
unidade, como foi feito com o tempo. Apos a
Revolucao Francesa, adotou-se um padrao de-
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nominado metro e este foi definido como sendo
a fracao 1/40.000.000 da distancia do Equa-
dor ao Polo Norte, ao longo do meridiano de
Paris. Foi introduzido para atender as neces-
sidades da navegacao e da cartografia daquela
epoca. Um seculo depois, em 1889, foi intro-
duzido o metro padrao a fim de aumentar a
precisao na medida da distancia. Este ultimo
foi definido como a distancia entre dois tracos
numa barra de platina iridiada depositada sob
condicoes especificadas no Bureau Internacio-
nal de Poids e Mesures de Sevres, Franca. Em
1960, o metro foi redefinido como 1.650.763, 73
comprimentos de onda no vacuo da radiacao
caracterıstica do 86Kr (criptonio 86). Esta de-
finicao e muito mais precisa e satisfatoria, e
esta associada a um fenomeno fısico de ”facil”
reproducao. Finalmente, em 1983, o padrao
de comprimento foi substituıdo por um padrao
de velocidade (foi escolhido uma constante uni-
versal que e a velocidade da luz no vacuo, cujo
valor exato e, por definicao, c = 299.792.458
m/s), mantendo a unidade de tempo baseado
no relogio atomico acima. Isto fixa a definicao
do metro em termos da definicao do segundo
como sendo a distancia percorrida pela luz em
1/c segundos. Note que nesta definicao, o me-
tro e reajustado automaticamente cada vez que
a definicao do segundo e melhorada. Entre-
tanto, na pratica, as reproducoes do metro
com alta precisao continuam sendo baseadas
em comprimento de onda da radiacao do 86Kr
acima referido.
Agora que se tem a unidade padrao, o me-
tro, a medida de distancia pode ser efetu-
ada por comparacao com um bastao de 1 me-
tro, como foi referido no inıcio desta secao.
Se for uma distancia menor do que 1 me-
tro, pode-se construir um bastao menor, de
fracao do metro, para ser utilizado na com-
paracao. Entretanto, nem sempre e possıvel
aplicar este procedimento. Por exemplo, se-
ria muito difıcil, se nao for impossıvel, medir a
distancia horizontal entre dois cumes de mon-
tanhas procedendo-se desta maneira. Como
um outro exemplo, poderia citar a medida de
distancia da Terra a Lua. Felizmente, sabe-
se pela experiencia que a distancia pode ser
medida pela triangulacao. Neste caso, esta
sendo usada uma outra definicao de distancia.
Porem, onde e possıvel utilizar ambas as de-
finicoes de distancia, as medidas obtidas con-
cordam com uma boa precisao. Uma vez que
um numero muito grande de casos da aplicacao
pratica mostra que atraves da triangulacao
obtem-se distancias corretas, leva-se a acredi-
tar que este procedimento funcionara tambem
para distancias ainda maiores. Uma medida
cuidadosa, realizada atraves de dois telescopios
localizados em lugares diferentes na face da
Terra, encontrou a distancia da Terra a Lua
como sendo 4× 108 metros.
O metodo da triangulacao esta baseada na
geometria de Euclides. Assim, pode-se intro-
duzir o conceito do espaco como sendo o de Eu-
clides, mediante a concordancia entre as duas
definicoes de distancia. Conforme as escalas
envolvidas, definicoes de distancias diferentes
das duas anteriores foram utilizadas. Ape-
sar disso, todas as evidencias mostram que
o espaco de Euclides descreve extraordinari-
amente bem os fenomeno no domınio das di-
mensoes que vao desde 10−15 ate 1026 metros.
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1.4 Cinematica
O primeiro passo para estudar o movimento
de um corpo e descreve-lo. A descricao do
movimento de um objeto real pode ser ex-
cessivamente complexa. Entao, e imperativo
que se introduza uma idealizacao para que
possa representar uma situacao real mediante
simplificacao de muitos aspectos, tornando as
equacoes matematicas mais simples e soluveis.
Depois de obter uma descricao de um sistema
idealizado, correcoes podem ser introduzidas
para que o resultado se aproxime melhor da si-
tuacao real. Para descrevermos o movimento
de um corpo de forma simples introduziremos
alguns conceitos basicos.
Um dos conceitos fundamentais da mecanica
e o conceito de ponto material ou partıcula.
Um ponto material ou partıcula e um objeto
cujas dimensoes e estruturas internas sao des-
prezıveis perto de outras dimensoes envolvidas
no problema. Por exemplo, a Terra pode ser
considerada partıcula na maioria dos proble-
mas de movimento planetario, mas certamente
nao e possıvel nos problemas terrestres. Da-
qui para frente ponto material e partıcula serao
utilizados como sinonimos, salvo mencao em
contrario. O espaco e euclidiano, tridimen-
sional, isotropico e homogeneo, e e represen-
tado por tres coordenadas cartesianas, x, y e
z em relacao a um determinado sistema de re-
ferencia. O sistema de referencia esta ligado
a um objeto real, por exemplo uma estrela
imovel ou um solido, considerado como um
corpo referencial. A posicao de uma partıcula
P pode ser descrita localizando-se um ponto
no espaco tridimensional, que por hipotese e
euclidiano. Isto pode ser feito fixando-se tres
eixos mutuamente ortogonais a partir de uma
origem O no espaco e especificando-se suas co-
ordenadas retangulares x, y e z com relacao a
estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um
sistema como estes tres eixos e denominado
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
Dadas as coordenadas em relacao a um sistema
que localiza a posicao de uma partıcula, o que
se deseja em seguida e descrever a trajetoria
percorrida por esta partıcula em movimento.
Uma representacao parametrica, onde o tempo
e o parametro, e uma das maneiras de especi-
ficar esta trajetoria. Assim, para descrever a
trajetoria do movimento de uma partıcula, as
coordenadas cartesianas em funcao do tempo,
x(t), y(t) e z(t) (1.1)
devem ser especificadas. As funcoes x(t), y(t) e
z(t) representam as coordenadas da posicao da
partıcula nos eixos cartesianos x, y e z em cada
instante t do tempo. Escolhe-se um instante t0
para o inıcio da medida do tempo, geralmente
adotado como zero. A posicao de um ponto
material no espaco x, y e z (sistema de coor-
denadas cartesiano) em um dado instante de
tempo t e descrita pelas coordenadas x(t), y(t)
e z(t) do ponto material, ou pelo raio vetor
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (1.2)
A linha espacial descrita pelas coordenadas do
ponto material, ou seja, dada na forma pa-
rametrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetoria
do ponto. O elemento de comprimento da tra-
jetoria e:
ds =√dx2 + dy2 + dz2. (1.3)
De agora em diante usaremos a seguinte
notacao para derivadas temporais: a derivada
em relacao ao tempo sera representada por um
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Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogo-
nais, especificando a posicao de uma partıcula
P em relacao a origem O do sistema.
ponto sobre a letra, assim a derivada de x em
relacao ao tempo pode ser escrita como
x =dx
dt; x =
dx
dt=d2x
dt2.
Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e
z(t) estao claros, pode-se entao definir as com-
ponentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade
num instante t sao
vx = x =dx
dt,
vy = y =dy
dt,
vx = z =dz
dt,
(1.4)
que representam as taxas de variacao de cada
uma das coordenadas de posicao em funcao do
tempo. O modulo da velocidade, e dado por
v =ds
dt=
√(dx
dt)2 + (
dy
dt)2 + (
dz
dt)2 (1.5)
Da mesma maneira, pode-se definir as com-
ponentes cartesianas da aceleracao ax, ay e az
num instante t sao
ax = vx =dvx
dt= x =
d2x
dt2,
ay = vy =dvy
dt= y =
d2y
dt2,
ax = vx =dvz
dt= z =
d2z
dt2,
(1.6)
que representam1 as taxas de variacao de
cada uma das componentes da velocidade em
funcao do tempo. Dependendo do problema
em questao, outros tipos de sistemas de co-
ordenadas tais como as coordenadas polares,
cilındricas e as esfericas sao mais convenien-
tes do que as cartesianas. Para movimentos
em duas e tres dimensoes torna-se conveni-
ente trabalhar com os vetores para represen-
tar posicoes, velocidades e aceleracoes. Neste
caso, o movimento e descrito por um vetor de
posicao r, onde a cauda (extremidade) e fixa
na origem do sistema de referencia adotado e
a ponta (a outra extremidade) deste vetor lo-
caliza a posicao da partıcula (Fig. 1.2). Se
o sistema de coordenadas cartesianas for ado-
tado, suas componentes sao x, y e z. Assim, as
funcoes (1.1) sao resumidas numa unica funcao
vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade ve-
torial e definida, entao como
v = r =dr
dt= x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.7)
e a aceleracao vetorial como
a = r = v =d2r
dt2= x(t)i+ y(t)j+ z(t)k. (1.8)
1A derivada com relacao a t sera denotada, tambempor um ponto em cima de uma variavel dependente(notacao de Newton), como e mostrada nas equacoes(1.4).
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Figura 1.3: Velocidade vetorial
Utilizando-se a definicao da derivada de uma
funcao vetorial dada por
v =dr
dt= lim
∆t→0
r(t+ ∆t)− r(t)
∆t,
pode-se ver que v(t) e tangente a trajetoria da
partıcula, como ilustrado na figura 1.3. Uma
vez que os vetores sao independentes do tipo
de sistema de coordenadas adotado para des-
creve-lo, e importante ressaltar tambem que a
velocidade e a aceleracao expressas como ve-
tores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente,
sao independentes do tipo de sistema de co-
ordenadas e a descricao do movimento pode
ser expressa de uma maneira compacta. No
momento de descrever as componentes em al-
gum tipo especıfico de sistemas de coordena-
das, deve-se lembrar que as componentes terao
expressoes apropriadas para cada tipo de sis-
tema de coordenadas. Num sistema cartesiano
as componentes de (1.7) e de (1.8) serao dadas
pelas expressoes (1.4) e (1.6), respectivamente.
Exemplo 1 Considere uma partıcula
movendo-se em um plano. Usando as co-
ordenadas polares escreva os vetores posicao,
velocidade e aceleracao da partıcula neste
sistema de coordenadas.
Solucao:
Em coordenadas polares para, localizarmos
uma partıcula em um plano, devemos fornecer
o modulo r do vetor que vai da origem ate a
partıcula, e o angulo θ que este vetor forma
com o eixo x, conforme a mostramos na figura
1.4 abaixo.
Figura 1.4: Vetor posicao de uma partıcula no
plano. Aqui mostramos as coordenadas pola-
res.
O vetor posicao em coordenadas cartesianas
e
r = r cos θi + r sen θj (1.9)
Os vetores unitarios em coordenadas polares
r e θ (ou er e eθ) estao relacionados com os
vetores unitarios i e j em coordenadas cartesi-
anas porr = cos θi + sen θj
θ = − sen θi + cos θj(1.10)
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as quais satisfazem as seguintes relacoes
dr
dθ= θ e
dθ
dθ= −r (1.11)
O vetor posicao em coordenadas polares e
r = r(t)r(θ). (1.12)
Observe que os vetores unitarios r e θ va-
riam com o tempo, e portanto a velocidade da
partıcula e
v = r =dr
dt= rr + r
dr
dt
= rr + rdr
dθ
dθ
dt
logo,
v = rr + rθθ (1.13)
Uma outra forma de obtermos a velocidade
e usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o
qual e composto pelos deslocamentos infinitesi-
mais dr ao longo da direcao r e rdθ ao longo
da direcao θ, ou seja,
ds = drr + rdθθ (1.14)
logo, a velocidade e dada por
v =ds
dt= rr + rθθ (1.15)
A aceleracao em coordenadas polares e dada
por
a =dv
dt=
d
dt(rr) +
d
dt
(rθθ
)
ou seja,
a =(r − rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ (1.16)
Observe que o termo rθ2 e denominado ace-
leracao centrıpeta.
Exemplo 2 Considere uma partıcula em um
movimento circular uniforme (ver figura 1.5),
com um velocidade angular ω constante, cuja
o vetor posicao dado por
r(t) = A cos(ωt)i + A sen(ωt)j.
Determine os vetores velocidade e aceleracao,
assim como suas componentes cartesianas.
Figura 1.5: Velocidade e aceleracao vetoriais
num movimento circular.
Solucao:
As componentes cartesianas do vetor posicao
sao dadas por,
x(t) = A cos(ωt),
y(t) = A sen(ωt),
z(t) = 0.
Derivando-se o vetor posicao, obtem-se a ve-
locidade vetorial dada por
v(t) =dr(t)
dt= ωA
[− sen(ωt)i + cos(ωt)j
],
cujas as componente cartesianas sao
vx(t) = x = −ωA sen(ωt),
vy(t) = y = ωA cos(ωt),
vz(t) = z = 0.
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Por sua vez, a aceleracao vetorial e obtida
derivando-se a velocidade vetorial e resulta em
a(t) =dv(t)
dt= −ω2A
[cos(ωt)i + sen(ωt)j
]
= −ω2r(t).
Desta forma, as suas componentes cartesianas
sao:
ax(t) = x(t) = −ω2A cos(ωt) = −ω2x(t),
ay(t) = y(t) = −ω2A sen(ωt) = −ω2y(t),
az(t) = z(t) = 0.
A trajetoria deste movimento e uma circun-
ferencia de raio A no plano xy, pois,
r2 = r · r = x2 + y2 + z2
= [A cos(ωt)]2 + [A sen(ωt)]2
= A2.
O vetor velocidade e tangente a trajetoria, por-
tanto,
v · r = vxx+ vyy + vzz
= −ωA sen(ωt)A cos(ωt)+
ωA cos(ωt)A sen(ωt)
= 0.
A velocidade tem um modulo constante uma
vez que
v2 = v · v = v2x + v2
y + v2z
= [−ωA sen(ωt)]2 + [ωA cos(ωt)]2
= ω2A2.
Finalmente, a aceleracao e voltada para ori-
gem (aceleracao centrıpeta), portanto, ela deve
ser perpendicular a velocidade, assim,
v · a = vxax + vyay + vzaz
= −ωA sen(ωt)[−ω2A cos(ωt)
]+
ωA cos(ωt)[−ω2A sen(ωt)
]
= 0.
e tambem tem modulo constante dado por a =
ω2A, como podemos de
a2 = a · a = a2x + a2
y + a2z
=[−ω2A cos(ωt)
]2+
[−ω2A sen(ωt)]2
= ω4A2.
Exemplo 3 Mostre que se T e um vetor
unitario tangente a curva C e ds e um desloca-
mento infinitesimal ao longo da curva, entao o
vetor dTds
e perpendicular a T.
Solucao:
Para mostramos que o vetor dTds
e perpendi-
cular a T, basta mostrarmos que o seu produto
escalar
T · dTds
= 0,
e nulo.
Como T e um vetor unitario, temos que: T ·T = 1. Entao diferenciado ambos os lados em
relacao a s obtem se que
T · dTds
+dT
ds·T = 2T · dT
ds= 0
ou como querıamos mostrar que
T · dTds
= 0,
isto e, dTds
e perpendicular a T. Se N e um
vetor unitario na direcao de dTds
, entao temos
quedT
ds= κN
em que N e chamado de vetor unitario princi-
pal normal a curva C. O escalar
κ =
∣∣∣∣dT
ds
∣∣∣∣
e chamado de curvatura enquanto R = 1/κ e
chamado de raio da curvatura.
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1.5 Problemas
1. Nao foi explicado, intencionalmente, o
que e definicao operacional no texto.
Tente explicar de maneira mais precisa
possıvel, de forma que nao deixe margem
as multiplas interpretacoes.
2. Imagine as possıveis consequencias se o
espaco ou o tempo, ou ambos, nao forem
contınuos. Discuta.
3. Se o comportamento dos instrumentos
de medida fosse afetado pelos seus esta-
dos de movimento, discuta as possıveis
consequencias nas medidas das grandezas
fısicas.
4. Discuta as dificuldades de obter valo-
res numericos arbitrariamente precisos nas
medidas das grandezas fısicas. Discuta as
possıveis limitacoes para isso.
5. Discuta a afirmacao do texto: ”o que re-
almente importa aqui nao e definir o que
e tempo com precisao, mas como medı-lo,
isto e, definı-lo operacionalmente”.
6. Uma tecnica (definicao) diferente de me-
dir o tempo e observar a distancia entre
dois eventos de um objeto em movimento.
Por exemplo, ao se ligar e desligar o farol
de um automovel em movimento, pode-
se saber a duracao do tempo em que o
farol ficou ligado, sabendo-se a distancia
percorrida durante o evento e a veloci-
dade desse movimento. O tempo e dado
pela distancia percorrida dividida pela ve-
locidade. Com esta tecnica foi determi-
nado o tempo de vida do meson πo como
sendo 1016 s. estendendo-se esta tecnica,
foi possıvel descobrir uma partıcula cujo
tempo de vida e 1024 s, tempo de uma
luz caminhar a distancia da dimensao de
um nucleo de hidrogenio. Discuta as pos-
sibilidades e as dificuldades de trabalhar
com uma duracao de tempo ainda menor.
Sera que faz algum sentido falar em tempo
numa escala tao pequena, se nem sequer
saber se e possıvel medı-lo, ou se consegui-
mos imaginar eventos acontecendo num
tempo tao curto?
7. Pesquise e discuta algumas tecnicas
possıveis para lidar com tempos longos
(algo em torno da idade da Terra e, alem
disso).
8. Se os Homens que habitam diferentes
regioes do globo terrestre tivessem basea-
das as medidas do tempo em fenomeno di-
ferentes, poderiam existir diversos padroes
de medidas do tempo dependendo da
regiao em que foram desenvolvidas. Dis-
cuta as possıveis consequencias de nao se
ter um padrao unico na medida do tempo.
9. A medida de distancia da Terra ao Sol
nao e simples, devido a dificuldade de
focalizar-se num ponto determinado do
Sol com precisao. Discuta uma maneira
de estender o metodo da triangulacao,
ou mesmo uma alternativa de definir a
distancia para poder medı-lo.
10. Discuta as dificuldades do metodo de tri-
angulacao quando a distancia torna-se
muito grande. Discuta as possibilidades
de melhorar a medida de distancia re-
almente grande. Observe que a escala
referida nesta questao envolve desde as
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distancias dos planetas do sistema solar
ate as das galaxias longınquas.
11. Pesquise e discuta as tecnicas utiliza-
das para medir distancias muito pequenas
(desde a escala do comprimento de onda
de luz visıvel ate algo menor que a di-
mensao de um nucleo atomico).
12. Quando um automovel, movendo-se com
uma velocidade constante v0, aproxima-se
de um um cruzamento, o semaforo torna-
se amarelo. o motorista pode parar o
automovel sem avancar pelo cruzamento,
ou tambem pode tentar atravessa-lo antes
que o semaforo mude para o vermelho.
a) Se ∆t e o intervalo de tempo que
o semaforo permanece amarelo antes
de mudar para o vermelho, qual e a
distancia maxima do cruzamento ao
automovel, de maneira que o moto-
rista consiga atravessar o cruzamento
antes do semaforo tornar-se vermelho,
mantendo a velocidade do automovel
constante em v0?
b) O tempo de reacao do motorista para
tomar a decisao e pisar no freio e
τ e a maxima desaceleracao do au-
tomovel devida a frenagem e a. No
momento que o semaforo tornou-se
amarelo, qual e a menor distancia do
cruzamento ao automovel de maneira
que o motorista consiga parar sem
avancar pelo cruzamento?
c) determine a velocidade crıtica vc, em
termos de a, ∆t e τ , de maneira que
as duas distancias obtidas no itens
12a e acima coincidem. Este e o li-
mite onde o motorista consegue pa-
rar o automovel sem avancar pelo cru-
zamento, nem atravessa-lo antes do
semaforo mudar para o vermelho.
d) Mostre que, se v0 for maior que
a velocidade crıtica determinada no
item anterior, existe uma faixa de
distancia do cruzamento ao automovel
no qual o motorista nao conseguira pa-
rar o automovel sem avancar pelo cru-
zamento, nem atravessa-lo antes do
semaforo tornar-se vermelho.
13. Um corpo esta movendo-se sobre um linha
reta. Sua aceleracao e dada por a = −2x,
onde x e medido em metros e a em m/s2.
Ache a relacao entre a velocidade e a
distancia, dado que em x = 0, v = 4 m/s.
14. A aceleracao de um corpo, movendo-se so-
bre uma linha reta e dada por a = −kv2,
onde k e uma constante positiva. E dado
que em t = 0, x(0) = x0 e v(0) = v0.
Ache a velocidade e a posicao em funcao
do tempo. Ache tambem v em funcao de
x.
15. a trajetoria de uma partıcula e dada
por x(t) = Ae−ht cos(kt + δ) e y(t) =
Ae−ht sen(kt+ δ), onde A > 0, h > 0, k >
0 e δ sao constantes no movimento. De-
termine as equacoes da trajetoria em co-
ordenadas polares e encontre a trajetoria
da partıcula.
16. Uma abelha saı da colmeia em uma tra-
jetoria espiral, dada em coordenada pola-
res por r(t) = bekt e θ(t) = ct, onde b, k
e c sao constantes positivas. Mostre que
o angulo entre a velocidade e a aceleracao
permanece constante quando ela se movi-
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menta para frente. Sugestao: Determine
a razao v·ava
.
17. Prove que v ·a = vv e, portanto, que para
uma partıcula movendo-se com uma ve-
locidade v e aceleracao a, elas serao per-
pendiculares entre si se a velocidade v for
constante. Sugestao: Diferencie ambos os
lados da equacao v · v = v2 com relacao a
t. Note que v nao e o mesmo que |a|. Ela
e a magnitude da aceleracao da partıcula
ao longo da sua direcao instantanea de
movimento.
18. Prove que
d
dt[r · (v × a)] = r · (v × a).
19. (a) Prove que em coordenadas cilındricas
(ρ, θ, z) (ver figura 1.6) o vetor posicao
r = ρρ + zk tambem pode ser escrito na
forma mista r = ρ cos φi + ρ senφj + zk.
(b) Encontre a relacao entre os versores
unitarios em coordenadas cilındricas o e
os versores unitarios em coordenadas car-
tesianas. (c) Determine a taxa de variacao
no tempo dos versores unitarios em coor-
denadas cilındricas. (d) Escreva os vetores
deslocamento infinitesimal da posicao ds,
a velocidade v e a aceleracao s de uma
partıcula em coordenadas cilındricas.
20. (a) Prove que em coordenadas esfericas
(r, θ, φ) (ver figura 1.7) o vetor posicao
r = rr tambem pode ser escrito na forma
mista r = r sen θ cos φi + r sen θ senφj +
r cos θk. (b) Encontre a relacao en-
tre os versores unitarios em coordenadas
esfericas o e os versores unitarios em co-
ordenadas cartesianas. (c) Determine a
Figura 1.6: Coordenadas cilındricas
taxa de variacao no tempo dos versores
unitarios em coordenadas esfericas. (d)
Escreva os vetores deslocamento infinite-
simal da posicao ds, a velocidade v e a
aceleracao s de uma partıcula em coorde-
nadas esfericas.
Figura 1.7: Coordenadas esfericas
21. Mostre que a componente tangencial da
Prof. Salviano A. Leao 17
aceleracao de uma partıcula e dada pela
expressao
at =v · av
e que por sua vez a componente normal e
dada por
an =√a2 − a2
t =
√a2 − (v · a)2
v2
22. Considere uma curva C no espaco cujo ve-
tor posicao e dado por
r = 3 cos(2t)i + 3 sen(2t)j + (8t− 4)k
(a) Determine o vetor unitario tangente
a curva T. (b) Se r e o vetor posicao de
uma partıcula movendo-se sobre C no ins-
tante t, verifique neste caso que v = vT.
Determine (c) a curvatura, (d) o raio da
curvatura e (e) o vetor unitario principal
normal N em um ponto qualquer da curva.
23. Mostre que a aceleracao a de uma
partıcula a qual viaja ao longo de uma
curva espacial com uma velocidade v =
vT e dada por
a =dv
dtT +
v2
RN
onde T e o vetor unitario tangente a curva
espacial, N e o vetor unitario principal
normal e R e o raio da curvatura.
24. Prove as seguintes identidades vetoriais:
(a) A·(B×C) = C·(A×B) = B·(C×A)
(b) A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B)
25. Se uma partıcula tem velocidade v e ace-
leracao a ao longo de uma curva espacial,
prove que o raio da curvatura de sua tra-
jetoria e dado numericamente por
R =v3
|v × a|26. Um barco deixa o ponto P (ver figura
1.8) de um lado do rio e anda com uma
velocidade V de modulo constante sem-
pre direcionada ao ponto Q do outro lado
do rio diretamente oposto ao ponto P
cuja distancia entre eles e D. Se r for
a distancia instantanea de Q ao barco, θ
e o angulo entre r e o segmento de reta
PQ e o rio tem uma correnteza com uma
velocidade constante v. (a) Prove que a
trajetoria do barco e dada por
r =D sec θ
(sec θ + tg θ)V/v
Figura 1.8: Movimento de um barco em um
rio.
(b) Analise a distancia r do barco ao seu
destino, para θ = π/2, nos seguintes casos:
i) (V/v) > 1, ii) (V/v) = 1 e iii) (V/v) <
1.
27. Se v = V no problema anterior, prove que
a trajetoria e um arco de parabola.
Prof. Salviano A. Leao 18
Figura 1.9: Escalas com a ordem de grandeza, das medidas de massa, comprimento e tempo.
Referencias Bibliograficas
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Fısica um curso universitario: Mecanica,
volume I. Editora Edgard Blucher, 1972.
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Mecanica, volume 1. Editora Edgard
Blucher, terceira edition, 1996.
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Engenheiros, volume 1. LTC, quarta edi-
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[4] Frederick j. Keller, W. Edward Gettys,
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tline Series. McGraw-Hill Book Company,
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[10] Keith R. Symon. Mecanica. Editora Cam-
pus LTDA, terceira edition, 1982.
[11] Tai L. Chow. Classical Mechanics. John
Willey & Sons, Inc., 1995.
[12] Atam P. Arya. Introduction to Classical
Mechanics. Allyn and Bacon, 1990.
[13] Herbert Goldstein. Classical Mechanics.
Addison-Wesley. Addison-Wesley, third
edition, 2002.
[14] Lev Davıdovitch Landau and E. M.
Lifshitz. Mecanica, volume 1 of Fısica
Teorica. Editora Mir, 1978.
[15] Kazunori Watari. Mecanica Classica. Edi-
tora Livraria da Fısica, 2003.
19
Capıtulo 2
Mecanica Newtoniana
2.1 Introducao
O objetivo da mecanica e fornecer uma des-
cricao consistente dos movimentos dos cor-
pos materiais. Para este proposito sao ne-
cessarios alguns conceitos fundamentais, como
distancia, tempo e massa, alem de um conjunto
de leis fısicas que descrevam matematicamente
estes movimentos.
Em geral as leis fısicas devem ser baseadas
em fatos experimentais. Um conjunto de ex-
perimentos correlacionados da origem a um ou
mais postulados. A partir destes postulados
varias previsoes podem ser formuladas e inves-
tigadas experimentalmente. Se todas as pre-
visoes forem confirmadas experimentalmente,
os postulados assumem o status de lei fısica.
Se alguma previsao discordar do experimento
a teoria deve ser modificada.
Iniciaremos este capıtulo discutindo os con-
ceitos de forca e massa, e em seguida enunciare-
mos as leis fundamentais da mecanica: as Leis
de Newton. Posteriormente, discutiremos seus
significados e obteremos as implicacoes destas
leis em varias situacoes fısicas. Nos concentra-
remos no movimento de uma unica partıcula,
nao abordando neste momento o caso de um
de sistemas de partıculas.
2.2 Dinamica: massa e
forca
A experiencia leva a crenca de que os movi-
mentos de corpos fısicos sao controlados pe-
las interacoes existentes entre eles e suas vi-
zinhancas. Observando-se o comportamento
de projeteis e de objetos que deslizam sobre
uma superfıcie lisa e bem lubrificada, tem-se
a ideia de que as variacoes de velocidade do
corpo sao produzidas por sua interacao com a
vizinhanca. A velocidade de um corpo isolado
de qualquer interacao e constante, logo, na for-
mulacao das leis da Dinamica, deve-se focalizar
a atencao nas aceleracoes.
Imaginem-se dois corpos interagindo entre si
e isolados da vizinhanca. Como analogia gros-
seira desta situacao, imagine duas criancas,
nao necessariamente do mesmo tamanho, brin-
cando de cabo-de-guerra com uma vara rıgida
sobre gelo liso. Embora nenhum dos dois cor-
pos possa ser realmente isolado completamente
das interacoes com os outros corpos, esta e a
situacao mais simples para se pensar a respeito
e elaborar um modelo matematico simples que
descreva a mesma. Experiencias cuidadosas re-
alizadas com corpos reais levam a conclusoes
identicas as que seriam obtidas caso se pudesse
conseguir o isolamento ideal dos dois corpos.
Deve-se observar que dois corpos estao sempre
acelerados em direcoes opostas, e que a razao
20
Prof. Salviano A. Leao 21
de suas aceleracoes e constante para qualquer
par particular de corpos, nao importando a
forca com que eles possam puxar ou empur-
rar um ao outro. Medindo-se as coordenadas
x1 e x2 dos dois corpos, ao longo da linha de
suas aceleracoes, obtem-se o seguinte resultado
x1
x2
= −k12, (2.1)
onde k12 e uma constante positiva carac-
terıstica dos dois corpos em questao. O sinal
negativo expressa o fato de que as aceleracoes
sao em sentidos opostos. Do resultado acima,
temosx2
x1
= −k21, (2.2)
logo podemos concluir das eqs. (2.1) e (2.2)
que
k12 =1
k21
. (2.3)
Em adicao ao que foi dito, em geral, quanto
maior ou mais pesado ou mais massivo for o
corpo, menor sera a sua aceleracao. Na rea-
lidade, a razao k12 e proporcional a razao do
peso do corpo 2 pelo peso do corpo 1. A ace-
leracao de dois corpos que interagem e inver-
samente proporcional a seus pesos. Este re-
sultado, portanto, sugere a possibilidade de
uma definicao da Dinamica, a da massa do
corpo, em termos de suas aceleracoes mutuas.
Escolhendo-se um corpo-padrao como unidade
de massa, a massa de qualquer outro corpo e
definida como a razao entre a aceleracao do es-
colhido como sendo o padrao da unidade de
massa e a aceleracao do outro corpo, quando
os dois estao interagindo:
mi = k1i = − x1
xi
, (2.4)
onde mi, e a massa do corpo i e o corpo 1 e o
padrao de unidade de massa.
Para que a eq. (2.4) se torne uma de-
finicao util, a razao k12 das aceleracoes dos
dois corpos deve satisfazer algumas condicoes.
Considerando-se a massa definida pela eq.
(2.4) como sendo a medida daquilo que se
chama vagamente de quantidade de materia
em um corpo, entao a massa do corpo deve
ser a soma das massas de suas partes, e este
e o caso dentro de um elevado grau de pre-
cisao. Nao e essencial, para terem utilidade em
teorias cientıficas, que os conceitos da Fısica,
para os quais sao apresentadas definicoes pre-
cisas, correspondam aproximadamente a qual-
quer ideia pre-estabelecida. Entretanto, a mai-
oria desses conceitos originou-se mais ou menos
de ideias comuns, e massa e um bom exemplo.
Ao se estudar a Teoria da Relatividade, ver-se
que o conceito de massa e um pouco modifi-
cado, e que nao e exatamente verdade que a
massa de um corpo seja a soma das massas de
suas partes.
Um requisito certamente essencial e que o
conceito de massa seja independente do corpo
particular que foi escolhido como tendo massa
unitaria, o que significa que a razao de duas
massas sera a mesma, nao importando a uni-
dade de massa escolhida. Sera verdade por
causa da seguinte relacao, obtida experimen-
talmente, entre a razao dos modulos de ace-
leracoes mutuas definidas pela eq. (2.1) de tres
corpos quaisquer:
k12k23k31 = 1. (2.5)
Suponha que o corpo 1 seja a massa unitaria.
Entao, se os corpos 2 e 3 interagirem encontrar-
se-a, usando as eqs. (2.1), (2.5) e (2.4):
x2
x3
= −k23
= − 1
k12k31
= −k13
k12
= −m3
m2
. (2.6)
Prof. Salviano A. Leao 22
O resultado final nao contem referencia
explıcita ao corpo 1, que foi considerado ser
a massa unitaria padrao. Logo, a razao das
massas de dois corpos quaisquer e o inverso
negativo da razao de suas aceleracoes mutuas,
independente da unidade de massa escolhida.
Pela eq. (2.4), tem-se, para dois corpos que
interagem,
m2x2 = −m1x1. (2.7)
Este resultado sugere que a grandeza (massa
× aceleracao) sera importante. Esta grandeza
e chamada a forca aplicada sobre um corpo.
A aceleracao de um corpo no espaco tem tres
componentes; as tres componentes da forca
aplicada sobre o corpo sao
Fx = mx, Fy = my, Fz = mz. (2.8)
Estas forcas podem ser de varias especies:
eletrica, magnetica, gravitacional, etc. As
forcas que atuam sobre um determinado corpo
dependem do comportamento de outros cor-
pos. Em geral, forcas devido a varias ori-
gens agem sobre um dado corpo, sendo possıvel
mostrar que a forca total dada pelas eqs. (2.8)
e um vetor soma das que podem estar presen-
tes, caso cada origem seja considerada separa-
damente.
A teoria do Eletromagnetismo preocupa-se
com o problema de determinacao de forcas
eletricas e magneticas exercidas por cargas e
correntes eletricas uma sobre as outras. A te-
oria da gravitacao, com o problema da deter-
minacao de forcas gravitacionais exercidas pe-
las massas uma sobre as outras. O problema
fundamental da Mecanica e determinar o mo-
vimento de qualquer sistema mecanico, caso se
conhecam as forcas que atuam sobre os corpos
que constituem o sistema.
2.3 Leis de Newton
Um dos grandes marcos da historia da ciencia,
senao o maior, ocorreu quando Sir Isaac New-
ton (1642-1727), publicou em 1687 o seu livro
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
com o financiamento e incentivo do astronomo
ingles Edmond Halley (1656-1742). Em seu li-
vro Newton enunciou as tres leis que descrevem
o movimento dos corpos materiais, entretanto,
nao sem antes definir a massa como sendo a
quantidade de materia de um corpo, e o seu
momentum linear como p = mv. Alem disso,
ele teve o cuidado de definir o tempo e espaco,
como:
• O tempo absoluto, verdadeiro, e ma-
tematico, de si proprio, e de sua propria
natureza flui igualmente sem consideracao
por nada externo, e por um outro nome
e chamado de duracao: o tempo relativo,
aparente, e comum, e uma medida con-
creta e externa (seja acurada ou desigual)
da duracao por meio de movimento, que e
comumente usado ao inves do tempo ver-
dadeiro; como por exemplo uma hora, um
mes, um ano.
• O espaco absoluto, por sua propria natu-
reza, sem consideracao por nada externo,
permanece sempre igual e imovel. O
espaco relativo e qualquer dimensao movel
ou medida dos espacos absolutos; que nos-
sos sentidos determinam pela sua posicao
relativa aos corpos; e que e vulgarmente
tomado como o espaco imovel; tal e a di-
mensao de um espaco subterraneo, aereo
ou celestial, determinado pela sua posicao
em relacao a Terra. Os espacos absoluto
e relativo sao os mesmos em numero e
magnitude; mas nao permanecem sempre
iguais numericamente. Pois se a Terra,
Prof. Salviano A. Leao 23
por exemplo, move um espaco do nosso
ar, que em relacao a Terra sempre per-
manece o mesmo, sera em um momento
uma parte do espaco absoluto por onde o
ar corre; em outro momento sera uma ou-
tra parte do mesmo, e assim, em termos
absolutos, sera perpetuamente imutavel.
Na mecanica Newtoniana, usamos intrinse-
camente as seguintes hipoteses:
i) O tempo e absoluto, homogeneo e
isotropico. Newton ao dizer que o tempo
e absoluto, significa que ha uma inde-
pendencia entre o observador e o ob-
jeto observado ou fenomeno observado.
Ja quando Newton diz que o tempo flui
igualmente sem consideracao por nada
externo ele esta afirmando que ele e ho-
mogeneo. A questao da isotropia do
tempo, isto e, a questao da reversibilidade
temporal, so passou a ter significado com
o advento da mecanica quantica. As leis
de movimento da mecanica classica sao
invariantes sob uma inversao temporal.
ii) O espaco e absoluto, homogeneo,
isotropico e euclidiano. Quando Newton
diz que o espaco e absoluto, por sua
propria natureza, sem consideracao por
nada externo, ele esta exprimindo o seu
carater absoluto enquanto ao afirmar que
ele permanece sempre igual e imovel ele
esta dizendo que o espaco e homogeneo.
Apesar de nao ter sido sido colocada
de forma explicita por Newton, a ideia
de que todas as direcoes sao equiva-
lentes no espaco, o espaco e isotropico,
esta implıcita na mecanica classica.
Por ultimo, a metrica que usamos na
mecanica classica e a euclidiana, ou
seja, na mecanica classica, o teorema de
Pitagoras e valido e a menor distancia
entre dois pontos e uma linha reta.
Uma vez, feitas as colocacoes acima Newton
entao enunciou as suas tres Leis que descre-
vem os movimentos dos corpos materiais da
seguinte forma:
I) Um corpo permanece em repouso ou em
movimento retilıneo uniforme a nao ser
que alguma forca atue sobre ele.
II) Um corpo sob a acao de uma forca move-
se de tal forma que a taxa de variacao do
seu momentum linear com o tempo e igual
a forca aplicada.
III) Se dois corpos exercem forcas, um sobre o
outro, estas forcas sao iguais em modulo e
direcao e possuem sentidos opostos.
Existem duas formas diferentes de interpre-
tar o conjunto das tres Leis de Newton. Na pri-
meira forma podemos interpretar a Primeira e
a Segunda Lei de Newton apenas como uma de-
finicao de forca, estando toda a fısica contida
na terceira Lei. Desenvolveremos este ponto
de vista a seguir. Como foi enunciada, a pri-
meira Lei de Newton nao tem nenhum signifi-
cado sem o conceito de forca. Ela diz que se
nao houver forca atuando sobre o corpo, sua
aceleracao e nula. Mas como saber se ha ou
nao forca atuando sobre o corpo? Evidente-
mente, nao poderıamos usar o enunciado da
Primeira Lei para dizer que se o corpo perma-
necer em repouso ou em movimento retilıneo
uniforme entao nao ha forca atuando sobre ele.
Se assim fizessemos, estarıamos andando em
cırculo. Na verdade, a Primeira Lei sozinha
nos da apenas uma nocao qualitativa de forca.
Ja com relacao a Segunda Lei, se definirmos o
momentum linear como
p ≡ mv (2.9)
Prof. Salviano A. Leao 24
e ela pode ser escrita como
F =dp
dt=
d
dt(mv) (2.10)
Esta equacao so tem significado completo com
a definicao de massa. Se aceitarmos que massa,
assim como comprimento e tempo, sao concei-
tos primitivos, a Segunda Lei de Newton pode
ser vista como a definicao operacional de forca.
De acordo com este raciocınio, somente a Ter-
ceira Lei de Newton seria de fato uma lei.
Um outro ponto de vista diferente considera
que as tres Leis de Newton sao realmente leis
no sentido em que seus enunciados implicam
em fenomenos fısicos que podem e devem ser
questionados experimentalmente. Vamos ana-
lisar cada uma delas individualmente.
2.3.1 Primeira Lei de Newton
Qual o significado da primeira lei de Newton?
A essencia do seu conteudo e o princıpio da
inercia de Galileu. Newton, provavelmente,
herdou de Galileu a ideia de que o repouso ou
o movimento retilıneo uniforme e o estado na-
tural de qualquer partıcula.
A Primeira lei, coloca o estado de repouso
e o movimento retilıneo uniforme na mesma
condicao, ja que nenhuma forca externa e ne-
cessaria para manter o movimento retilıneo
uniforme. O estado de movimento ira conti-
nuar inalterado devido a uma propriedade da
materia que e chamada de inercia.
Newton tornou esta lei precisa ao introdu-
zir as definicoes dos conceitos de momentum e
massa. Momentum e o produto da velocidade
de um corpo pela quantidade de materia con-
tida pelo corpo. A quantidade de materia con-
tida por um corpo e chamada de massa inercial
do corpo, e e a medida de sua inercia. Entao a
massa inercial, e a medida daquela propriedade
de um objeto, que faz com que o objeto resista
a uma mudanca do seu estado de movimento.
Na definicao do momentum linear, eq. (2.9),
m e a massa inercial do corpo, v e a sua ve-
locidade e p e o seu momentum linear. Mate-
maticamente a lei da inercia pode ser expressa
como
Sem forca externa ⇒ p = Vetor constante.
Deste modo, a lei da inercia, coincide com a
lei da conservacao do momentum linear para
uma partıcula.
Nao e simples a compreensao do conteudo
fısico da lei da inercia, pois nas nossas ex-
periencias cotidianas nao lidamos com obje-
tos que nao estejam submetidos a alguma in-
fluencia externa. Poderıamos imaginar um lo-
cal onde pudessemos colocar um objeto e ele
nao sentisse nenhuma forca externa, este local
deveria ser o espaco vazio.
Note que esta lei nao e obedecida em qual-
quer tipo de referencial. Por exemplo, uma
partıcula que esta em repouso para um ob-
servador em um referencial, pode estar exe-
cutando um movimento circular para um ob-
servador em um referencial que esta girando
com relacao ao primeiro. Somente em referen-
ciais muito especiais sera observada a situacao
expressa na primeira lei, isto e, o estado de
repouso ou de movimento retilıneo uniforme
para uma partıcula isolada. Os referenciais nos
quais ela e obedecida sao referenciais inerciais.
Entao, a primeira lei esta praticamente defi-
nindo referenciais inerciais, onde as proprieda-
des do espaco e do tempo e as leis da mecanica
sao as mesmas. Observe que a forca e usada
como um conceito primitivo para poder enun-
ciar a primeira lei, ou seja, ela nao tem sig-
nificado algum sem o conceito de forca. Con-
tudo, a primeira lei fornece somente o signifi-
cado preciso para uma forca nula. Em outras
palavras, num referencial inercial, a ausencia
de forca pode ser detectada observando se uma
Prof. Salviano A. Leao 25
partıcula isolada permanece em repouso ou em
movimento retilıneo uniforme. Em relacao a
forca nao nula, a primeira lei fornece apenas
uma nocao qualitativa a seu respeito.
2.3.2 Segunda Lei de Newton
E a segunda lei de Newton que fornece um sig-
nificado mais fısico do que vem a ser a forca.
A descoberta de Newton nao foi de que a forca
e massa vezes aceleracao, pois, isso e mera-
mente definicao operacional de uma forca atu-
ando numa partıcula. Newton sabia da ob-
servacao experimental que forca, massa e ace-
leracao estavam intimamente relacionadas. De
suas observacoes ele constatou que a aceleracao
adquirida por uma partıcula era inversamente
proporcional a sua massa quando se aplica uma
forca de intensidade fixa. Por outro lado, se a
massa fosse mantida fixa, a aceleracao era di-
retamente proporcional a intensidade da forca
aplicada. Assim, era mais simples associar a
forca a variacao da quantidade de movimento.
Se a segunda lei de Newton fosse meramente
uma definicao de forca, ela seria desprovida de
qualquer conteudo fısico.
A segunda lei de Newton pode ser expressa
matematicamente pela eq. (2.10), onde F e
a forca aplicada. Se assumirmos que a massa
inercial do corpo e constante, a segunda lei de
Newton, pode ser expressa por
ma = F, (2.11)
onde a ≡ dv/dt ≡ v e a aceleracao do corpo.
Em um dado sistema de eixos cartesianos
(ortogonais), a segunda lei de Newton pode ser
escrita em termos de suas componentes como
Fx = mx, Fy = my, Fz = mz.
Na forma da eq. (2.11) a segunda lei de New-
ton diz que uma forca aplicada F causa uma
aceleracao a a qual e diretamente proporcional
aquela forca, e a constante de proporcionali-
dade |F|/|a| e a massa inercial m do corpo.
Todo o conceito de forca foi submetido a lon-
gos debates desde que ele foi enunciado por
Newton. Deve-se salientar que: a segunda
lei de Newton na forma das eqs. (2.10) e
(2.11) nao devem ser consideradas como uma
definicao para o conceito de forca. Uma carac-
terıstica essencial da segunda lei de Newton e
que a forca atuando sobre um corpo e fornecida
por uma outra lei de forca aparte de (2.10) ou
(2.11). Como exemplo dessas leis de forca te-
mos, a lei gravitacao universal para partıculas
massivas, a lei de Coulomb para partıculas car-
regadas, a lei de Hooke, etc. A equacao (2.10)
associada a essas leis de forcas, torna a segunda
lei de Newton uma ferramenta poderosa, ca-
paz de descrever e prever o movimento de uma
partıcula isolada sujeita a uma forca resultante
F, em relacao a um referencial inercial.
A equacao diferencial de segunda ordem que
resulta quando alguma lei de forca e forne-
cida para a segunda lei de Newton e chamada
de equacoes de movimento para o corpo ou
partıcula.
Uma outra propriedade importante do con-
ceito de forca atuando sobre um objeto e que a
forca tem sua origem em um outro corpo ma-
terial.
Portanto, Newton introduziu o conceito de
forca mecanica como a causa da aceleracao
de um corpo. Esta descricao causal do movi-
mento de um corpo constitue o que chamamos
de dinamica.
Deve-se ressaltar aqui que, ao contrario do
que muitos autores afirmam, a segunda lei de
Newton nao contem a primeira. A primeira lei
e necessaria para definir um referencial inercial,
onde a segunda lei e valida. Ou seja, a segunda
lei so vale num referencial inercial definido pela
Prof. Salviano A. Leao 26
primeira lei.
2.3.3 Terceira Lei de Newton
Esta lei e quase evidente quando consideramos
as forcas de contato em equilıbrio. O fato da
lei da acao e reacao se manter para a acao
a distancia e demonstrado por exemplo pela
existencia das mares: a Terra mantem a Lua
em orbita com um campo gravitacional, mas a
Lua atua sobre a terra com uma forca a qual
(entre outras coisas) e a causa do fenomeno das
mares alta e baixa nos oceanos. Se a terceira
Figura 2.1: Ilustracao da terceira lei de New-
ton. Sobre um bloco de madeira e fixado um
ıma e um pedaco de ferro, e este conjunto e
colocado sobre uma superfıcie de gelo (sem
atrito).
lei de Newton nao fosse mantida, poderıamos
construir sistemas que iriam perpetuar o au-
mento de sua velocidade atraves da acao das
forcas internas. Newton testou a lei para uma
configuracao especial de objetos. Sobre um
bloco de madeira e fixado um ıma e um pedaco
de ferro, e este conjunto e colocado sobre uma
superfıcie de gelo (sem atrito) conforme mos-
tra a Fig. 2.1 acima. O ıma atua sobre o ferro
com uma forca direcionada para a esquerda,
enquanto o ferro atua sobre o ıma com uma
forca direcionada para a direita. Como as duas
forcas sao iguais em magnitude o sistema per-
manece em repouso.
Observe que a acao e a reacao sao sempre
aplicadas a corpos diferentes. Um outro as-
pecto importante da Terceira Lei de Newton
e que ela nao e uma lei de natureza geral.
Ela e valida sempre que a forca nao depen-
der da velocidade das partıculas, como no caso
das forcas gravitacional e eletrostatica. Estas
forcas atuam ao longo da linha que une os cor-
pos e por isso sao chamadas forcas centrais (na
verdade, quando a velocidade e muito grande
mesmo a forca gravitacional depende da velo-
cidade mas em geral este efeito e pequeno e
difıcil de ser detectado). Um caso em que a
Terceira Lei de Newton nao vale e o das forcas
entre cargas eletricas em movimento (forcas
magneticas).
Muitas vezes as forcas elasticas entre obje-
tos, como a forca que uma mola exerce sobre
um bloco, sao manifestacoes macroscopicas da
forca eletrostatica (sao as forcas eletrostaticas
entre os atomos da mola que dao origem a
forca elastica). Por conseguinte, estas forcas
tambem obedecem a Terceira Lei de Newton.
Como um exemplo de um situacao onde a
terceira lei de Newton nao e valida, considere
duas partıculas de cargas q1 e q2 se movendo
com velocidades v1 e v2 respectivamente. Uma
carga em movimento com uma velocidade v,
gera um campo magnetico B em um ponto r
do espaco, de acordo com a expressao abaixo
B(r) =1
c2v × E(r),
onde E(r) e o campo eletrico que a carga gera
no ponto r. Na figura 2.1 abaixo ilustramos
esta situacao.
A forca magnetica F12 da carga q2 sobre a
carga q1 e dada por,
F12 = q1v1 ×B2(r)
Prof. Salviano A. Leao 27
Figura 2.2: Ilustracao de uma situacao na qual
a terceira lei de Newton nao e valida.
e por sua vez a forca magnetica F21 da carga
q1 sobre a carga q2 e dada por,
F21 = q2v2 ×B1(r).
Na situacao ilustrada na figura 2.1 e evidente
que as forcas F12 e F21 nao tem nem mesmo a
mesma direcao, logo a terceira lei de Newton
nao e obedecida.
A Terceira Lei de Newton pode ser enunci-
ada em uma forma diferente de maneira a in-
corporar uma definicao operacional de massa.
Se dois corpos, que exercem forca um sobre
o outro, constituem um sistema isolado, entao
as aceleracoes desses corpos estao sempre em
sentidos opostos e a razao dos modulos das ace-
leracoes e igual ao inverso da razao das mas-
sas.
Para entender o significado dessa afirmacao
considere o sistema isolado formado pelos dois
corpos da figura 2.3 abaixo.
A Terceira Lei de Newton afirma que:
Fij = −Fji (2.12)
Da Segunda Lei de Newton, temos
dpi
dt= −dpj
dt(2.13)
Figura 2.3: Interacao entre as partıculas de
massa mi e mj.
Supondo a massa inercial constante,
midvi
dt= −mj
dvj
dt(2.14)
ou
miai = −mjaj (2.15)
Tomando o modulo, podemos escrever,
mj
mi
=ai
aj
(2.16)
Suponha que mi seja uma massa inercial
unitaria (um padrao de medida de massa). Co-
locando um segundo corpo qualquer, mj, para
interagir com mi podemos determinar a sua
massa inercial atraves da equacao acima.
Uma das formas mais comuns de se medir
a massa de um corpo e pesando-o. O metodo
baseia-se na suposicao de que a Terra exerce
sobre ele uma forca (peso) proporcional a sua
massa, ou seja, que
P = mg (2.17)
Contudo a validade deste metodo depende
do fato da massa que aparece na equacao da
forca gravitacional acima ser a mesma massa
que aparece na Segunda Lei de Newton. Isto
evidentemente nao e obvio: e um fato que
deve ser comprovado experimentalmente. Na
verdade, existem dois conceitos diferentes de
massa:
Prof. Salviano A. Leao 28
Massa inercial: e aquela que determina a
aceleracao de um corpo quando sujeito a
acao de uma forca (a que aparece na Se-
gunda lei de Newton).
Massa gravitacional: e aquela que deter-
mina a forca gravitacional entre um corpo
e outro corpo vizinho.
Muitas experiencias foram realizadas com o
objetivo de verificar a equivalencia entre estas
duas grandezas (a mais antiga e a famosa ex-
periencia onde Galileu teria deixado cair ob-
jetos diferentes da Torre de Pisa mostrando
que chegavam juntos ao solo). Todas elas tem
mostrado que a massa inercial e igual a massa
gravitacional (as mais precisas com uma pre-
cisao de uma parte em 1012). A suposicao da
equivalencia exata destes dois conceitos e de
fundamental importancia na Teoria Geral da
Relatividade e e conhecida como princıpio da
equivalencia. Uma outra interpretacao da Ter-
ceira Lei de Newton e baseada no conceito de
momentum. Da eq. (2.13) podemos escrever
d
dt(pi + pj) = 0 (2.18)
ou
pi + pj = cte. (2.19)
Podemos dizer entao que o momentum
de um sistema isolado constituıdo de duas
partıculas e conservado. Posteriormente mos-
traremos que esta afirmacao e valida para um
sistema isolado com muitas partıculas.
2.4 Princıpio da Relativi-
dade de Galileu
E essencial que se consiga descrever o mo-
vimento de um corpo para poder estuda -lo.
Para isso e necessario que se escolha um refe-
rencial (ou sistema de referencia), em relacao
ao qual esse movimento sera descrito. As leis
do movimento tem, em geral, formas diferen-
tes para diferentes sistemas de referencias. Po-
derao ter formas extremamente complexas se
a escolha do referencial nao for bem feita,
mesmo que o movimento em si seja muito sim-
ples. Dentre as inumeras possibilidades, sem-
pre que possıvel, opta-se por aquele sistema de
referencia que leva as leis da mecanica as for-
mas mais simples possıveis.
Se considerarmos que o espaco nao e ho-
mogeneo nem isotropico em relacao a um
sistema de referencia qualquer. Diferentes
posicoes ou orientacoes neste espaco nao serao
equivalentes do ponto de vista da mecanica,
mesmo para um corpo que nao interage com
nenhum outro. O tempo tambem nao sera
uniforme, isto e, instantes diferentes nao serao
equivalentes. Com estas propriedades do
espaco e do tempo e evidente que a des-
cricao do movimento de um corpo sera proi-
bitivamente complicada. Entretanto, sempre
e possıvel encontrar um sistema de referencia
onde o espaco e homogeneo e isotropico e o
tempo uniforme. Tal sistema de referencia
e chamado referencial inercial ou galileano.
Se considerarmos um outro referencial ani-
mado de um movimento retilıneo e uniforme
em relacao ao primeiro, as leis do movimento
sao as mesmas no novo sistema. Experiencias
mostram que as leis do movimento sao total-
mente equivalentes nos dois referenciais no sen-
tido que as equacoes matematicas sao invarian-
tes. Assim, existe uma infinidade de referenci-
ais inerciais, animados de movimento retilıneo
uniforme um em relacao ao outro. Em qualquer
referencial inercial, as propriedades do espaco
e do tempo sao as mesmas, assim como todas
as leis da mecanica. Esta afirmacao consti-
tui o que se chama Princıpio da Relatividade
de Galileu que e um dos mais importantes da
Prof. Salviano A. Leao 29
Mecanica Classica.
De acordo com o Princıpio da Relatividade
de Galileu, a posicao de um corpo e a sua velo-
cidade so tem significado relativo a algum re-
ferencial. Assim, dados dois corpos movendo-
se com velocidade relativa constante, e im-
possıvel estabelecer qual dos dois esta em re-
pouso e qual esta em movimento se nao for
especificado um referencial. A aceleracao, no
entanto, retem um significado ”absoluto”, pois
e possıvel detectar experimentalmente a ace-
leracao de um movimento, mesmo que nao seja
possıvel medir a sua velocidade.
Idealmente, pode-se definir que um referen-
cial inercial e aquele em relacao ao qual um
corpo isolado permanece em repouso ou move-
se com velocidade constante. Um corpo isolado
esta muito afastado de qualquer outro corpo,
ou seja, sua interacao com um outro corpo
qualquer e desprezıvel. Os referenciais acelera-
dos em relacao a qualquer sistema inercial nao
sao inerciais. Muitas vezes, depara-se com um
referencial cuja aparencia e o de inercial, mas
uma analise mais cuidadosa revela que nao o
e na realidade. Pode-se citar, como exemplo,
o referencial de um astronauta dentro de um
satelite. Se o astronauta abandonar um ob-
jeto qualquer no ”ar”, ele ficara em ”repouso”
ou em ”movimento retilıneo uniforme”. Apa-
rentemente tem-se um referencial inercial neste
caso. Entretanto, apos um exame minucioso,
conclui-se que a forca de atracao gravitacio-
nal da Terra sobre o referido objeto esta sendo
apenas compensada pela forca centrıfuga de-
vido ao movimento ”circular” do satelite ao
redor da Terra. Se fosse possıvel observar
num espaco de dimensao bem maior que o
do compartimento do satelite, notar-se-ia que
existe um desvio no movimento desse objeto
em relacao a uma reta. Portanto, nao se trata
de um referencial inercial. Numa situacao real,
corpo algum jamais podera estar completa-
mente isolado. Assim, sera muito difıcil en-
contrar um referencial inercial ”verdadeiro”.
Porem, para todos os fins praticos, pode-se
adotar um sistema de tres eixos com origem
no centro de massa do sistema solar e orienta-
dos para as estrelas ”fixas”, por exemplo, como
sendo um referencial inercial. Mesmo um sis-
tema fixo na superfıcie da Terra pode, em mui-
tas circunstancias, ser considerado inercial. A
hipotese da existencia de um referencial iner-
cial e essencial na Mecanica Classica.
Todos os referenciais doravante adotados
serao inerciais, exceto se o contrario for dito.
2.5 Transformacoes galile-
anas: referenciais iner-
ciais
As leis de Newton nao sao validas em todos
os referenciais. Os referenciais em relacao aos
quais elas sao validas sao chamados referenci-
ais inerciais. Experimentos fısicos podem ser
realizados em diferentes referenciais. Estes re-
ferenciais podem estar se movimentando um
em relacao ao outro. A questao aqui e como re-
lacionar as medidas realizadas em um referen-
cial com o outro referencial. A transformacao
de Galileu fornece o meio de realizarmos esta
conversao de medidas de um referencial para o
outro. Considere dois referenciais O e O′ com
O′ movendo-se como uma velocidade V cons-
tante em relacao ao referencial O, o qual assu-
miremos ser um referencial inercial. Na figura
2.4 abaixo ilustramos esta situacao.
Suponha que a posicao de uma partıcula em
relacao a um referencial inercial O seja dada
por r. Como a Segunda Lei de Newton e valida
Prof. Salviano A. Leao 30
Figura 2.4: Referencial O′ se movendo com
uma velocidade V constante em relacao ao re-
ferencial inercial O.
nesse referencial, entao
F = mr. (2.20)
onde cada ponto indica uma derivada em
relacao ao tempo. Se um segundo referencial
O′ se move em relacao ao primeiro com velo-
cidade constante, entao a posicao da partıcula
neste referencial e dada por
r′ = r−Vt; t = t′ (2.21)
onde assumimos que o tempo flui da mesma
forma nos dois referenciais. Esta trans-
formacao e chamada de transformacao de Gali-
leu. A ultima relacao assegura que o tempo nao
e afetado pelo movimento relativo, ela expressa
a universalidade do tempo absoluto, proposto
por Newton. Diferenciando a equacao acima
com relacao ao tempo obtemos
r′ = r−V, (2.22)
Portanto, se a velocidade r de um corpo P no
referencial O for constante, ela tambem o sera
no referencial O′, e o corpo obedecera a lei da
inercia.
Diferenciando a velocidade (2.22) com
relacao ao tempo, obtemos que
r′ = r. (2.23)
a qual diz que a aceleracao do corpo P nao
muda sobre uma transformacao de Galileu, e
podemos dizer que ela e galileanamente invari-
ante.
A massa inercial e invariante sobre uma
transformacao de Galileu (lei da inercia), dessa
forma, podemos escrever
F = mr = mr′, (2.24)
ou seja, a Segunda Lei de Newton tambem e
valida em relacao ao referencial O′, e ela e dita
ser invariante sobre uma transformacao de Ga-
lileu. Se a forca F e independente da veloci-
dade, entao a forca F′ que atua sobre o corpo
P no referencial O′ e a mesma forca F no re-
ferencial O. Finalmente temos
F = mr = mr′ = F′.
Isto e, se a forca for independente da velo-
cidade, a segunda lei de Newton, sera man-
tida no referencial O′. Esta e a chamada in-
variancia galileana, tambem conhecida como
princıpio newtoniano da relatividade. As com-
ponentes individuais podem nao ser invarian-
tes, mas elas se transformam de acordo com
este esquema e dizemos que elas sao covarian-
tes. Por exemplo, dois observadores que estao
em movimento uniforme um em relacao ao ou-
tro observam as mesmas leis da mecanica. Por-
tanto dizemos que existe um numero infinito
de referenciais inerciais, todos conectados por
uma transformacao de Galileu.
Portanto, todos os referenciais que se movem
em relacao a um referencial inercial com velo-
cidade constante tambem sao referenciais iner-
ciais. Uma vez que as distancias entre as es-
trelas sao geralmente muito grandes, as forcas
que umas exercem sobre as outras sao muito
pequenas. A observacao das estrelas mostra
que elas obedecem a Lei da Inercia (Primeira
Lei de Newton). Estas estrelas (chamadas na
Prof. Salviano A. Leao 31
literatura de estrelas fixas) definem referenciais
inerciais convenientes em muitas situacoes de
interesse mas nenhuma delas e um referencial
inercial absoluto; todos os referenciais que se
movem com velocidade constante em relacao a
uma estrela fixa tambem sao referenciais iner-
ciais. A inexistencia de um referencial inercial
absoluto e chamada de invariancia galileana ou
princıpio da relatividade newtoniana.
Em ambos na mecanica e na eletrodinamica
onde as velocidades dos corpos sao com-
paraveis a velocidade da luz, a transformacao
galileana deve ser trocada por uma trans-
formacao de Lorentz. As equacoes de Maxwell,
as quais formam as bases da eletrodinamica,
nao sao invariantes sobre uma transformacao
de Galileu. Para mostrar isto, e suficiente
considerar a consequencia das equacoes de
Maxwell: a constancia da velocidade da luz
em todos os referenciais inerciais. Por outro
lado, uma transformacao galileana prediz que
a velocidade da luz deveria ser diferente em
dois referenciais movendo-se com uma veloci-
dade constante em um em relacao ao outro. Os
experimento realizados por Michelson-Morley
e outros mostraram que a velocidade da luz
e a mesma em todas as direcoes e e indepen-
dente da velocidade relativa entre a fonte emis-
sora de luz e o observador. Este fato esta em
conflito com a transformacao galileana. Um
grande numero de tentativas foram feitas para
resolver o conflito, entretanto, todas falharam.
A solucao final, veio somente com a Teoria
Especial da Relatividade de Einstein (ou sim-
plesmente Teoria da Relatividade) na qual a
transformacao galileana foi trocada pela trans-
formacao de Lorentz.
A seguir mostramos uma ilustracao de uma
situacao onde as Leis de Newton nao sao
validas. Uma bola de massa m esta pendu-
rada no teto de um onibus que se movimenta
para a direita com aceleracao constante a. Um
observador no ponto de onibus (ref. inercial
P) observa o movimento da bola. Ele nao ve
nenhum movimento na vertical, fato que ex-
plica argumentando que a componente vertical
da tensao compensa o peso da bola. Ele ve a
bola acelerada na horizontal e diz que esta ace-
leracao e causada pela componente horizontal
da tensao, em pleno acordo com a Segunda Lei
de Newton. Ao contrario, para um observador
O situado no interior do onibus parece haver
uma contradicao. Ele tambem entende que ha
uma componente da tensao atuando na hori-
zontal mas nao ve a bola acelerada: para ele
a bola esta em repouso. Entao ele conclui que
a Segunda Lei de Newton nao esta sendo obe-
decida. As Leis de Newton nao sao validas
no referencial O porque ele e um referencial
acelerado e elas so sao validas para referenci-
ais inerciais. Em um capıtulo posterior iremos
apresentar um metodo que permite descrever o
movimento visto de referenciais nao inerciais.
Figura 2.5: Referenciais inerciais: validade das
leis de Newton.
2.6 Aplicacoes das leis de
Newton
Ate este momento ha alguns autores que in-
terpretam a segunda lei de Newton de forma
simplista e equivocada, o que gera uma con-
Prof. Salviano A. Leao 32
fusao na interpretacao na interpretacao da
mesma. A dificuldade que gera esta ma inter-
pretacao da segunda lei de Newton, reside no
fato de que nao ha uma maneira independente
de determinarmos a quantidade F. A discussao
do proprio Newton no seu livro publicado em
1867 o Philosophiae Naturalis Principia Mate-
matica, e algo um pouco ambıgua sobre qual
interpretacao conceitual deve ser adotada. Ele
sugere que a segunda lei pode ser tomada como
um definicao de forca assim como um lei de mo-
vimento. Entretanto, as consequencias desta
abordagem e que as leis de movimento tornam-
se meramente uma convencao e nao uma as-
sercao de como a natureza funciona, e todo o
formalismo de Newton da mecanica torna-se
axiomatico no senso em que todos os resulta-
dos seguem desta definicao em vez de leis da
natureza deduzidas experimentalmente.
Aqui enfatizaremos que a segunda lei de mo-
vimento, assim como as outras duas leis de mo-
vimento, sao leis da natureza deduzidas expe-
rimentalmente. Elas foram formuladas a partir
de generalizacoes de dados e observacoes expe-
rimentais. Alguns fısicos ilustres como Arnold
Sommerfeld (orientador de doutoramento de
outro ilustre fısico, Werner Karl Heisenberg),
Richard P. Feynman, entre outros, dizem que
nao devemos usar a segunda lei de movimento
como uma definicao da forca (e portanto fa-
zer da mecanica uma teoria matematica pura).
Nenhuma predicao pode ser feita a partir de
uma definicao! A segunda lei adquiri um sig-
nificado real somente quando a forca e definida
independentemente. Mas descrever comple-
tamente as propriedades independentes e es-
pecıficas da forca nao e uma tarefa trivial. To-
dos nos temos um sentimento intuitivo para o
conceito de uma forca.
Desta forma, ao escrevermos a segunda lei
de Newton
F =d
dt(mv) = m
dv
dt= mr, (2.25)
a forca F deve ser uma funcao conhecida a par-
tir de outras leis experimentais. Se assim o for,
entao esta equacao diferencial podera ser resol-
vida para se obter r como funcao do tempo.
A seguir iremos fazer algumas aplicacoes da
segunda lei de movimento.
Exemplo 4 Considere um bloco de massa m
em repouso sobre um plano inclinado de um
angulo θ com a horizontal. O coeficiente de
atrito estatico entre o bloco e o plano incli-
nado e dado por µe = tgα, com θ > α. Uma
forca F e aplicada horizontalmente ao bloco, e
sua linha de acao passa pelo centro geometrico
do bloco. (a) Determine o valor mınimo de F
para que o bloco esteja na eminencia de des-
lizar plano inclinado abaixo. (b) Determine o
valor maximo de F para que o bloco esteja na
eminencia de deslizar plano inclinado acima.
Solucao: (a) Forca mınima F.
As forcas que estao atuando sobre o bloco
de massa m quando este se encontra na
eminencia de descer sao: a forca aplicada F,
a forca peso P do bloco, a reacao normal N do
plano inclinado e a forca de atrito estatica fat
entre o bloco e o plano inclinado. Estas forcas
estao ilustradas na figura 2.6 abaixo.
Para resolvermos este problema escolhemos
dois eixos cartesianos (ortogonais) conforme
mostra a figura 2.6. Para resolver este pro-
blema, decomporemos as forcas nestes eixos.
Assim ao longo do eixo x a segunda lei de New-
ton pode ser escrita como:
F cos θ + fat − P sen θ = max = 0. (2.26)
onde,
fat = µeN.
Prof. Salviano A. Leao 33
Figura 2.6: Bloco de massa m com uma forca
F aplicada na eminencia de deslizar plano in-
clinado abaixo.
Aqui devemos uma vez mais, salientar que
neste caso conhecemos as forcas que estao atu-
ando sobre o bloco e que a segunda lei nos diz
simplesmente que como o bloco esta em repouso
sobre o plano inclinado entao a forca resul-
tante sobre o mesmo e nula. Da mesma, forma
ao longo do eixo y a segunda lei de Newton
pode ser escrita como:
N − P cos θ − F sen θ = may = 0. (2.27)
Isolando a normal N na eq. (2.27) e substi-
tuindo o resultado na eq. (2.26), obtemos que
F cos θ + µe(P cos θ + F sen θ)− P sen θ = 0
F (cos θ + µe sen θ)− P (sen θ − µe cos θ) = 0,
logo,
F =sen θ − µe cos θ
cos θ + µe sen θP
=cosα sen θ − senα cos θ
cosα cos θ + senα sen θP
=sen (θ − α)
cos (θ − α)P
Portanto, o modulo da forca mınima e
F = P tg (θ − α) . (2.28)
(b) Forca maxima F.
As forcas que estao atuando sobre o bloco
de massa m quando este se encontra na
eminencia de subir sao: a forca aplicada F,
a forca peso P do bloco, a reacao normal N do
plano inclinado e a forca de atrito estatica fat
entre o bloco e o plano inclinado. Estas forcas
estao ilustradas na figura 2.7 abaixo.
Figura 2.7: Bloco de massa m com uma forca
F aplicada na eminencia de deslizar plano in-
clinado acima.
Novamente escolhemos os eixos cartesianos
e decompomos as forcas conforme mostra a fi-
gura 2.7.
Assim ao longo do eixo x a segunda lei de
Newton pode ser escrita como:
F cos θ − fat − P sen θ = max = 0. (2.29)
onde,
fat = µeN.
enquanto que ao longo do eixo y a segunda lei
de Newton pode ser escrita como:
N − P cos θ − F sen θ = may = 0. (2.30)
Isolando a normal N na eq. (2.30) e substi-
tuindo o resultado na eq. (2.29), obtemos que
F cos θ − µe(P cos θ + F sen θ)− P sen θ = 0
F (cos θ − µe sen θ)− P (µe cos θ + sen θ) = 0,
logo,
F =µe cos θ + sen θ
cos θ − µe sen θP
=senα cos θ + cosα sen θ
cosα cos θ − senα sen θP
=sen (θ + α)
cos (θ + α)P
Prof. Salviano A. Leao 34
Portanto, o modulo da forca maxima e
F = P tg (θ + α) .
Exemplo 5 Qual a aceleracao de um bloco
que desliza para baixo em um plano inclinado
sem atrito com um angulo θ = 30 (Fig. 2.8
abaixo)?
Figura 2.8: Bloco de massa m deslizando em
um plano inclinado sem atrito.
Solucao: Existem duas forcas atuando sobre
o bloco: a forca gravitacional, P, e a reacao
normal do plano sobre o bloco, N. A forca
total sobre o bloco e
F = P + N
de forma que a Segunda Lei de Newton pode
ser escrita como
P + N = mr
Como esta e uma equacao vetorial, possui duas
componentes escalares: uma para a direcao x
e outra para a direcao y. Como o bloco e obri-
gado a permanecer sobre o plano nao ha ace-
leracao na direcao y, de forma que
−P cos θ +N = 0
Na direcao x temos
P sen θ = mx
o que nos leva a
x =P sen θ
m=mg sen θ
m= g sen θ
Supondo g = 9, 8 m/s2 e θ = 30, temos
x = g sen 30 = 4, 9 m/s2
Exemplo 6 Se o coeficiente de atrito estatico
entre o bloco e o plano do exemplo anterior for
µs = 0, 4, qual o angulo para o qual o bloco
comeca a deslizar? Suponha que ele esteja ini-
cialmente em repouso.
Figura 2.9: Bloco de massa m deslizando em
um plano inclinado com atrito.
Solucao: Neste caso ha uma terceira forca
atuando sobre o bloco: a forca de atrito
estatica, fs. A forca resultante e, portanto,
F = P + N + fs
As componentes da equacao de movimento sao:
Direcao y: − P cos θ +N = 0
Direcao x: − fs + P sen θ = mx
A forca de atrito estatica fs pode assumir
qualquer valor fs ≤ µsN necessario para man-
ter o bloco em repouso. Contudo, com o au-
mento do angulo θ do plano, havera um angulo
θMax. limite em que o bloco comeca a deslizar, e
nesta situacao a forca de atrito estatico atinge
Prof. Salviano A. Leao 35
o seu valor maximo, assim neste angulo limite
temos
fs(θ = θMax.) = fMax.
= µsN = µsP cos θ
e
mx = 0.
Desta forma, a equacao de movimento na
direcao x torna-se
mg sen θ − µsmg cos θ = 0
ou
sen θ = µs cos θ ⇒ µs = tg θ
ou ainda,
θ = arctg(µs)
Considerando µs = 0, 4 temos
θ = 22
Exemplo 7 Depois que o bloco do exemplo
anterior comeca a deslizar o coeficiente de
atrito cinetico torna-se µk = 0, 3. Obtenha a
aceleracao do bloco para θ = 30.
Solucao: A equacao de movimento na direcao
x e
mx = P sen θ − fk
onde, a forca de atrito cinetico e dada por
fk = µkN = µkP cos θ
Assim,
mx = mg (sen θ − µk cos θ)
x = g (sen θ − µk cos θ)
Substituindo g = 9, 8 m/s2, θ = 30 e µk =
0, 3, obtemos que
x = 2, 4 m/s2
Exemplo 8 A figura 2.10 abaixo mostra uma
maquina de Atwood. Ela consiste de uma polia
lisa com duas massas suspensas, presas nas ex-
tremidades de uma corda leve. Obtenha a ace-
leracao de cada massa e a tensao na corda (a)
quando a polia esta em repouso e (b) quando
a polia esta dentro de um elevador que desce
com aceleracao constante α.
Figura 2.10: Uma maquina de Atwood.
Solucao: (a) Se desprezarmos a massa da
corda e supormos que a polia seja perfeita-
mente lisa podemos dizer que os modulos de
T1 e T2 sao iguais: chamaremos estes modulos
de T .
As equacoes de movimento para os dois cor-
pos sao:
m1x1 = m1g − Tm2x2 = m2g − T
(2.31)
A tensao na corda pode ser eliminada das
equacoes acima. Por exemplo, subtraindo a
primeira eq. de (2.31) da segunda, temos
m1x1 −m2x2 = (m1 −m2) g (2.32)
Se a corda for inextensıvel, entao
x1 = −x2 (2.33)
Prof. Salviano A. Leao 36
Assim podemos escrever
x1 =m1 −m2
m1 +m2
g = −x2 (2.34)
Observe que o corpo que possuir massa maior
tera aceleracao positiva (para baixo) enquanto
o outro corpo tera aceleracao negativa (para
cima)!
A tensao na corda pode ser calculada substi-
tuindo (2.34) em qualquer uma das eqs. (2.31).
A expressao obtida e
T =2m1m2
m1 +m2
g (2.35)
Quanto ao ıtem (b), podemos representar a
situacao na figura 2.11 abaixo,
Figura 2.11: Uma maquina de Atwood, em um
elevador.
Vamos chamar de x′ a distancia entre a polia
e um ponto de referencia fixo. As posicoes das
massas em relacao a este ponto sao:
x′′1 = x1 + x′ x′′2 = x2 + x′ (2.36)
As equacoes de movimento sao:
m1x′′1 = m1 (x1 + α) = m1g − T (2.37)
m2x′′2 = m2 (x2 + α) = m2g − T (2.38)
onde,
x′ = α.
Elas podem ser reescritas como
m1x1 = m1 (g − α)− Tm2x2 = m2 (g − α)− T (2.39)
As equacoes (2.39) sao iguais as equacoes
(2.31), com g substituıdo por (g − α). Assim,
a aceleracao e a tensao na corda sao dadas por
x1 =m1 −m2
m1 +m2
(g − α) = −x2 (2.40)
e
T =2m1m2
m1 +m2
(g − α) (2.41)
E como se a aceleracao da gravidade tivesse
sido reduzida a (g − α)!
Exemplo 9 Considere um trem constituıdo
por quatro vagoes, cada um deles com uma
massa M , conforme mostra a Fig. 2.12 abaixo.
A locomotiva aplica um forca lıquida F sobre
os vagoes. Determine a forca em cada vagao.
Figura 2.12: Vagoes de um trem.
Solucao: Para resolvermos este problema, de-
vemos isolar cada vagao e fazer um diagrama
das forcas que atuam sobre o mesmo. Va-
mos examinar inicialmente o primeiro e o se-
gundo vagao, onde as forcas que atuam so-
bre os mesmos estao mostrada na figura 2.12.
Devido a terceira lei temos que F12 = −F21,
Prof. Salviano A. Leao 37
F23 = −F32, F34 = −F43 e desta forma defini-
remos
f1 = |F12| = |F21|f2 = |F23| = |F32|f3 = |F34| = |F43|f4 = F
Agora estamos prontos para aplicar a se-
gunda lei de Newton a cada vagao isolada-
mente, mas para isto devemos observar que
o conjunto todo tera a mesma aceleracao a.
Desta forma, podemos escrever a segunda lei
para cada vagao como:
Vagao 1 f1 = Ma
Vagao 2 f2 − f1 = Ma
Vagao 3 f3 − f2 = Ma
Vagao 4 f4 − f3 = Ma
Somando este conjunto de equacoes, obte-
mos que:
f4 = F = 4Ma
e portanto, obtemos para as outras forcas em
termos da forca F como
f1 =1
4F ; f2 =
2
4F ; f3 =
3
4F e f4 =
4
4F,
ou ainda em termo de Ma, temos
f1 = Ma; f2 = 2Ma; f3 = 3Ma e f4 = 4Ma.
Exemplo 10 Considere um bloco de massa
m, que e abandonado de uma altura H no topo
de uma cunha de massa M e angulo θ, con-
forme a figura 2.13 abaixo. Determine as ace-
leracoes horizontais e verticais do bloco e da
cunha.
Solucao:
Num referencial inercial, externo a cunha e
ao bloco, as forcas que atuam no bloco e na
Figura 2.13: Um bloco de massa m e colocado
sobre uma cunha de massa M e em seguida
e abandonado. O atrito entre as superfıcies e
desprezıvel.
cunha sao mostradas na figura 2.14. Observe
que e a reacao normal do bloco sobre a cunha, a
forca N′, que sera responsavel pelo movimento
da cunha.
Figura 2.14: Num referencial inercial, pode-se
aplicar a segunda lei de Newton para descrever
o movimento da cunha e do bloco.
No referencial inercial escolhido, ao apli-
car a segunda lei de Newton ao movimento do
bloco, encontra-se que,
Em x: mx = N ′ sen θ (2.42)
Em y: my = mg−N ′ cos θ (2.43)
e quando aplicada ao movimento da cunha
obtem-se que
Em x: MX = −N ′ sen θ (2.44)
Em y: 0 = Mg +N ′ cos θ −N(2.45)
Prof. Salviano A. Leao 38
A segunda lei de Newton fornece quatro
equacoes de movimento acopladas, entretanto
temos cinco as incognitas: x, y, X, N e N′.
Para encontrar a solucao deste sistema sera
necessario mais uma equacao. A equacao que
esta faltando pode ser obtida observando que
o bloco tera o seu movimento restrito a su-
perfıcie da cunha. Todo tipo de restricao ao
movimento do de uma partıcula e chamada de
vınculo. Tanto o bloco quanto a cunha ao inici-
arem seu movimento estarao acelerados e como
o bloco encontra-se sobre a superfıcie da cu-
nha, que tambem esta acelerada. Portanto, a
segunda lei de Newton nao vale num referen-
cial sobre esta superfıcie, ja que o mesmo nao
e inercial.
Num referencial externo a superfıcie da cu-
nha, conforme ilustrado na figura 2.15 abaixo,
e um excelente referencial para descrever o mo-
vimento do sistema.
Figura 2.15: No referencial inercial mostrado
acima temos agora condicoes de descrever o
movimento da cunha e do bloco, e aplicar a
segunda lei de Newton.
Da figura 2.15 acima temos que o vetor
posicao do bloco r, esta relacionado ao vetor
posicao da cunha X e ao vetor posicao do bloco
em relacao ao topo da cunha d por r = X+d,
em termos de suas componentes, este vetores
podem ser escritos como,
X = Xex
d = d cos θex + d sen θey
r = xex + yey.
Como r = X + d, entao podemos escrever
x = X + d cos θ
y = d sen θ.
Derivando a relacao acima duas vezes com
relacao ao tempo, obtemos
x− X = d cos θ
y = d sen θ.
Dividindo as duas equacoes anteriores, uma
pela outra, eliminamos a dependencia na co-
ordenada relativa d, e obtemos a seguinte
relacao:
tg θ =y
x− X . (2.46)
Uma analise rapida da equacao acima, revela
que para o angulo θ = π/2, temos x = X, mas
ao obtermos a eq. (2.46) temos uma indeter-
minacao pois dividimos um numero finito por
zero. Ja para o angulo θ = 0, nao ha forcas
horizontais e neste caso x = X = 0 e tem-
se novamente uma indeterminacao. Deve-se
entao ter um cuidado especial ao usar esta ex-
pressao.
Da equacao (2.43) temos que N ′ cos θ =
mg − my. Dividindo este resultado pela eq.
(2.42) encontra-se que
tg θ =x
g − y . (2.47)
Das equacoes (2.42) e (2.44) obtem-se que,
X = −(m/M)x, portanto a equacao (2.46),
pode ser reescrita como,
tg θ =
(M
M +m
)y
x. (2.48)
Prof. Salviano A. Leao 39
Multiplicando-se as equacoes (2.46) por (2.47),
encontra-se que,
(g − y) tg2 θ =
(M
M +m
)y
(M +m)g tg2 θ =[M + (M +m) tg2 θ
]y
y =(M +m) tg2 θ
M + (M +m) tg2 θg
Desta expressao para y, juntamente com a
equacao (2.48), a aceleracao x pode ser escrita
como
x =M tg θ
M + (M +m) tg2 θg (2.49)
e como a aceleracao X esta relacionada com a
x por X = −(m/M)x, entao temos que
X = − m tg θ
M + (M +m) tg2 θg (2.50)
Ao analisar estas expressoes, verifica-se que
elas estao de acordo com os resultados espe-
rados para θ = 0 e para θ = π/2. Para o
caso em que θ = 0, espera-se que todas as ace-
leracoes sejam nulas, o que e satisfeito ja que
temos a funcao tg θ no numerador e um deno-
minador diferente de zero. Ja para o caso de
θ = π/2, espera-se que y = g, pois o objeto
caira em queda livre, e que X = x = 0. En-
tretanto, como tg (π/2) e infinita, tem-se uma
indeterminacao tanto no numerador quanto no
denominador. Esta indeterminacao pode ser
removida dividindo tanto o numerado quanto
o denominador por tg2 θ no caso de y e por
tg θ no caso de X e x, o que nos fornece o
resultado esperado para este limite.
2.7 Integracao das
equacoes de movi-
mento
Nesta secao, estudaremos o movimento de
uma partıcula de massa m, sob a acao de uma
forca F. O movimento da partıcula e gover-
nado, de acordo com a segunda lei de Newton,
pela equacao
F =d
dt(mv) = m
dv
dt= mr (2.51)
Antes de considerar a solucao da eq. (2.51),
recordaremos as definicoes de alguns concei-
tos bastante uteis que surgem no contexto da
Mecanica, na discussao de alguns problemas.
O momentum linear definido por p = mv, apa-
rece na eq. (2.10), usando o fato de m ser
constante na eq. (2.10), obtem-se o seguinte
resultado:
F =dp
dt= m
dv
dt(2.52)
Esta equacao estabelece que a taxa de variacao
do momentum linear com o tempo e igual a
forca aplicada, o que, evidentemente, e a se-
gunda lei de Newton. Este teorema pode ser
chamado Teorema de Momentum Linear (di-
ferencial). Multiplicando-se a eq. (2.52) por
dt e integrando-se de t1 a t2, obtem-se a forma
integral do Teorema de Momentum Linear :
∆p = p2 − p1 =
∫ t2
t1
Fdt. (2.53)
A eq. (2.53) fornece a variacao do momentum
linear devido a acao da forca F entre os tem-
pos t1 a t2. A integral da direita e chamada
impulso, que e fornecido pela forca F durante
este tempo; F deve ser conhecida como funcao
de t somente para que se possa calcular a inte-
gral. Se F for dada como F (r,v, t), entao o im-
pulso pode ser calculado para qualquer movi-
mento r(t), v(t) particular. Outra grandeza de
consideravel importancia e a energia cinetica,
definida (em Mecanica Classica) pela equacao
T =1
2mv2. (2.54)
Tomando o produto escalar da eq. (2.52) por
v, obtem-se
mv · dvdt
= F · v (2.55)
Prof. Salviano A. Leao 40
ou entao:
d
dt
(1
2mv2
)=dT
dt= F · v. (2.56)
A eq. (2.56) fornece a taxa de variacao da ener-
gia cinetica, podendo ser chamada Teorema
Trabalho Energia (diferencial). Multiplicando-
se por dt e integrando de t1 a t2, obtem- se a
forma integral do Teorema Trabalho Energia.
∆T = T2 − T1 =
∫ t2
t1
F · vdt. (2.57)
A eq. (2.57) fornece a variacao de energia de-
vido a acao da forca F entre os tempos t1 a t2.
A integral a direita denomina-se trabalho, que
e executado pela forca durante este intervalo de
tempo. O integrando F ·v a direita e a taxa de
execucao de trabalho com o tempo, chamada
potencia, e e fornecida pela forca F. Em geral,
quando F e conhecida como F (r,v, t), o traba-
lho pode ser calculado somente para um movi-
mento particular r(t), v(t) especificado. Como
v = dr/dt (observe que dr = vdt), pode-se
reescrever a integral do trabalho de forma con-
veniente, quando F e conhecida em funcao de
r:
∆T = T2 − T1 =
∫ t2
t1
F · dr. (2.58)
2.7.1 Analise do movimento uni-
dimensional
Quando se conhece a forca F, a equacao de
movimento (2.51) torna-se uma equacao dife-
rencial ordinaria, de segunda ordem, para a
funcao desconhecidas r. A forca F pode ser
conhecida como funcao de qualquer uma ou
de todas as variaveis t, r e v. Em relacao a
um dado movimento de um sistema dinamico,
todas as variaveis dinamicas (r, v, F, p, T ,
etc.) associadas ao sistema sao, evidente-
mente, funcoes do tempo t, isto e, cada uma
tem um valor definido para cada instante de
tempo em particular. Em muitos casos, en-
tretanto, uma variavel dinamica, tal como a
forca, pode guardar uma certa relacao funcio-
nal com r, com v, ou com qualquer combinacao
de r, v e t. Como exemplo, a forca gravitaci-
onal que age sobre um corpo em queda livre,
de uma grande altura acima da Terra, e conhe-
cida como funcao da altura acima da Terra. A
forca de atrito de arrastamento que atua so-
bre um corpo depende de sua velocidade e da
densidade do ar, bem como da altura em que
se encontra acima da Terra; se as condicoes
atmosfericas mudarem, ela podera depender
ainda de t. Sendo F conhecida como F (r,v, t),
entao, quando r(t) e v(t) tambem sao conheci-
das, estas funcoes podem ser substituıdas para
que F seja uma funcao apenas de t, embora, em
geral, isto nao possa ser realizado ate que se re-
solva a eq. (2.51). Mesmo assim, a funcao F(t)
pode ser diferente para diferentes movimentos
possıveis da partıcula. Em geral, quando F e
dada como F (r,v, t) (onde F pode depender
de qualquer uma ou de todas essas variaveis),
a eq (2.51) torna-se uma equacao diferencial
definida, que deve ser resolvida:
d2r
dt2=
1
mF (r,v, t) (2.59)
Esta e a forma mais geral de equacao di-
ferencial ordinaria de segunda ordem, e de
agora em diante nos dedicaremos ao estudo
de suas solucoes e aplicacoes em problemas de
Mecanica. Devemos salientar, que por ser uma
equacao diferencial de segunda ordem ela tera
duas constantes de integracao, as quais serao
dadas pelas condicoes iniciais.
A eq. (2.59) e aplicavel a todos os proble-
mas de uma partıcula submetida a acao de
uma forca conhecida. Em geral, existem mui-
tos movimentos possıveis, pois a eq. (2.59)
fornece somente a aceleracao da partıcula, em
cada instante, em termos de sua posicao e de
Prof. Salviano A. Leao 41
sua velocidade naquele instante. Conhecida a
posicao e a velocidade de uma partıcula em
certo instante, pode-se determinar sua posicao
apos (ou anteriormente a) um pequeno inter-
valo de tempo. Conhecida a aceleracao, pode-
se determinar sua velocidade apos um pequeno
intervalo de tempo. A eq. (2.59), entao, for-
nece a aceleracao apos esse pequeno intervalo.
Desta maneira, e possıvel seguir as posicoes e
velocidades anteriores como as subsequentes de
uma partıcula, caso sua posicao r0 e velocidade
v0 sejam conhecidas em um instante qualquer
t0. O instante inicial t0, embora possa ser um
instante qualquer da historia da partıcula; os
valores r0 e v0 em no instante t0 denominam-
se condicoes iniciais. Ao inves de especificar
os valores iniciais de r e v, especifica-se o va-
lor de quaisquer outras duas grandezas a partir
das quais r e v podem ser obtidas; por exem-
plo, e possıvel especificar r0 e o momentum li-
near inicial p0 = mv0. Estas condicoes iniciais,
juntamente com a eq. (2.59), representam um
problema perfeitamente definido, cuja solucao
deve ser uma unica funcao r(t) representando
o movimento de uma partıcula sobre condicoes
especificadas.
A teoria matematica das equacoes diferen-
ciais ordinarias de segunda ordem leva a re-
sultados que estao de acordo com o que se
espera da natureza do problema de Fısica
que deu origem a equacao. A teoria asse-
gura que, ordinariamente, a solucao de uma
equacao da forma (2.59) e contınua e unica,
r(t), que assume os valores r0 e v0 de r(t) e
r(t), em qualquer valor escolhido t0 de t. Or-
dinariamente, aqui, quer dizer ate que ponto
aqueles que comecam a estudar Mecanica de-
vem preocupar-se, em todos os casos de inte-
resse. As propriedades das equacoes diferen-
ciais, como a (2.59), podem ser estudadas na
maioria dos tratados sobre o assunto. Sabe-
se que qualquer problema de Fısica deve ter
sempre uma solucao unica e, portanto, qual-
quer forca F(r, r, t) que apareca devera satis-
fazer necessariamente a condicao imposta para
aqueles valores de r, r e t que tenham interesse
fısico. Logo, em geral nao e preciso saber se a
solucao existe ou nao. No entanto, a maioria
dos problemas de Mecanica envolve algumas
simplificacoes da situacao real, o que leva o
aluno a simplificar demais ou mesmo a distor-
cer o problema fısico de tal maneira que impede
o problema matematico resultante de ter ape-
nas uma solucao. Em geral, os fısicos, ao trata-
rem de Mecanica ou de outros ramos, tendem a
ignorar as questoes de rigor matematico. Na-
queles casos, raros afortunadamente, em que
encontram dificuldades, eles usam a intuicao
ou verificam a falta de rigor, ate descobrirem
a solucao. Tal procedimento e capaz de cau-
sar tremores nos matematicos, mas e a ma-
neira mais conveniente e rapida de aplicar a
Matematica a solucao de problemas de Fısica.
Os fısicos, embora procedendo de maneira nao
rigorosa, devem estar a par do rigor com que
os matematicos aplicam esses metodos.
O teorema que gerou a eq. (2.59) garante
que existe uma solucao matematica unica para
todos os casos que aparecerao na pratica. Em
alguns deles, a solucao exata pode ser obtida
atraves de metodos elementares. A maioria dos
problemas considerados aqui sao desta natu-
reza. Afortunadamente, muitos dos mais im-
portantes problemas de Mecanica podem ser
resolvidos sem dificuldade, por meios fısicos.
Na realidade, uma das razoes por que certos
problemas sao considerados importantes e sua
facil resolucao. Os fısicos estao preocupados
em descobrir e verificar as leis da Fısica. Ao ve-
rifica-las experimentalmente, eles podem, mui-
tas vezes, escolher os casos em que a elaboracao
da analise matematica nao e muito difıcil. Ja
Prof. Salviano A. Leao 42
os engenheiros nao sao tao afortunados, por-
que os problemas com que deparam nao sao
selecionados devido a facilidade, mas porque
tem importancia pratica. Em Engenharia e
tambem frequentemente em Fısica, aparecem
muitos casos em que a solucao da eq. (2.59) e
de obtencao difıcil ou impossıvel. Em tais ca-
sos, existe um numero variado de metodos para
se obter pelo menos a resposta aproximada.
A partir de agora iremos discutir o movi-
mento unidimensional, o que nao implica em
uma perda de generalidade, ja o movimento
tridimensional pode ser decomposto em suas
tres componentes cartesianas, ao longo dos ei-
xos x, y e z, e cada uma delas e equivale a
um movimento unidimensional. Nos caso em
que a forca aplicada ao sistema e tridimensio-
nal, basta considerarmos a sua componente ao
longo de cada direcao e entao resolver o pro-
blema para cada direcao individualmente. As-
sim quando nos referirmos a forca no caso uni-
dimensional, estaremos nos referindo a compo-
nente da forca naquela direcao.
No caso unidimensional de uma partıcula
com massa constante, a equacao que temos de
integrar e
d2x
dt2= x =
1
mF (x, x, t) . (2.60)
Agora iremos dividir as forcas aplicadas em
quatro categorias, e isto deve-se a uma questao
de simplicidade e devido ao fato destes serem
os tipos de forcas mais comuns de nosso coti-
diano. Estas categorias sao:
1. Forca aplicada constante.
2. Forca aplicada dependente do tempo.
3. Forca aplicada dependente da posicao.
4. Forca aplicada dependente da velocidade.
A seguir iremos analisar cada um destes ca-
sos individualmente.
2.7.2 Forca aplicada constante
Este e um caso simples e interessante, pois
uma das forcas mais comuns do nosso cotidiano
e a forca peso, a qual e uma forca constante.
Para este caso, a equacao de movimento uni-
dimensional e dada por:
dv
dt= x =
1
mF. (2.61)
que integrada entre os instantes t = 0 e t, pode
ser escrita como
v(t) = v0 +F
mt. (2.62)
onde v0 e a primeira constante de integracao
que surge, e e determinada pela condicao ini-
cial sobre a velocidade. Da definicao de velo-
cidade temos
v(t) =dx
dtpodemos integra-la entre os instante t = 0 e t,
obtendo que∫ x
x0
dx =
∫ t
0
v(t′)dt′ (2.63)
Para determinarmos x(t) precisamos conhecer
v(t). Substituindo a expressao para v(t) dada
pela eq. (2.62) na eq. (2.63), e realizando a
integracao obtemos que
x(t) = x0 + v0t+1
2
(F
m
)t2, (2.64)
onde x0 e a segunda constante de integracao,
a qual e dada pela condicao inicial sobre a
posicao. Portanto para forcas constantes a in-
tegracao das equacoes de movimento e ime-
diata. Eventualmente em um problema de
mecanica, pode-se desejar a posicao em funcao
da velocidade em vez do tempo como ocorre na
eq. (2.64). Neste caso basta isolarmos o tempo
na eq. (2.62) e substituirmos o resultado na eq.
(2.64), assim obtemos a equacao
v2 = v20 + 2
(F
m
)(x− x0) , (2.65)
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a qual e conhecida com equacao de Torricelli.
Outro modo de obtermos a equacao de Tor-
ricelli, e usando o fato da aceleracao do sistema
ser constante, assim
ma = mvdv
dx−→
∫ v
v0
vdv = a
∫ x
x0
dx.
(2.66)
Integrando a equacao acima obtem-se que
v2 = v20 + 2a (x− x0) , (2.67)
2.7.3 Forca aplicada dependente
do tempo
Se uma forca F for dada como funcao do
tempo, entao e possıvel resolver a equacao
de movimento (2.60) da seguinte maneira:
multiplicando-a por dt e integrando desde um
instante inicial 0 ate um instante t qualquer
posterior (ou anterior), obtendo-se-do-se
v(t) = v0 +1
m
∫ t
0
F (t′)dt′, (2.68)
onde v0 e a primeira constante de integracao
que surge, e e determinada pela condicao ini-
cial sobre a velocidade. Como F (t) e uma
funcao conhecida de t, a integral a direita pode
ser resolvida, pelo menos em princıpio, e o se-
gundo membro sera entao uma funcao de t.
Multiplicando agora a eq. (2.68) por dt′′ e
integrando novamente de 0 a t, obtemos
x(t) = x0+v0t+1
m
∫ t
0
dt′′∫ t′′
0
F (t′)dt′, (2.69)
Esta e a solucao procurada x(t), em ter-
mos de duas integrais, que podem ser cal-
culadas quando se conhece F (t). Uma in-
tegral definida pode ser sempre calculada;
nao sendo possıvel encontrar um resultado
analıtico explıcito, calcula-se a integral por
metodos numericos, obtendo-se resultados tao
precisos quanto se queira. Por esta razao,
na discussao de problema como o anterior,
considera-se comumente que ele esteja resol-
vido quando a solucao foi expressada em ter-
mos de uma ou mais integrais definidas. Em
problemas de cunho pratico, as integrais devem
ser calculadas objetivando-se a solucao final de
forma que possa ser utilizada.
Problemas nos quais F e dada como funcao
de t aparecem usualmente quando se deseja
determinar o comportamento de um sistema
mecanico sob a acao de uma influencia externa.
A seguir discutiremos um exemplo.
Exemplo 11 Consideremos as interacoes das
ondas de radio com os eletrons da ionosfera,
o que resulta na reflexao das ondas de radio
pela ionosfera. A ionosfera e uma regiao que
envolve a superfıcie da terra a uma altura de
200 km acima da mesma. A ionosfera e um
gas neutro constituıdo por ıons positivamente
carregados e eletrons. Quando uma onda de
radio, a qual e uma onda eletromagnetica,
passa atraves da ionosfera, ela interage com as
partıculas carregadas, acelerando-as. Discuta
o movimento das partıculas carregadas ao in-
teragirem com as ondas de radio, e o que ira
ocorrer com as ondas de radio.
Solucao: O modelo que iremos usar para dis-
cutir o que ocorrera com as ondas de radio ao
interagirem com as cargas da mesma sera o
movimento de um eletron de massa m e carga
−e, que inicialmente esta em repouso na ori-
gem do sistema, e que a partir do instante em
que ele passa a interagir com a onda eletro-
magnetica que chega, cujo o campo eletrico e
E(t) = E0 sen (ωt+ δ) (2.70)
ele sentira uma forca aplicada dada por
F (t) = −eE(t) = −eE0 sen (ωt+ δ) . (2.71)
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Portanto, a equacao de movimento do eletron
e
mdv
dt= −eE0 sen (ωt+ δ) (2.72)
a qual a ser integrada fornece
v(t) = −eE0
mωcos (δ)+
eE0
mωcos (ωt+ δ) (2.73)
Multiplicado da equacao acima por dt e inte-
grando do instante t = 0 ao instante t, obtemos
que
x(t) =− eE0
mω2sen (δ)− eE0
mωt cos (δ) (2.74)
+eE0
mω2sen (ωt+ δ)
Os dois primeiros termos indicam que o
eletron esta a deriva, movimentando-se com
uma velocidade uniforme e que esta veloci-
dade e uma funcao que depende somente das
condicoes iniciais. Ja o ultimo termo, indica
que temos um movimento oscilatorio super-
posto ao movimento de deriva do eletron. A
frequencia de oscilacao ω do eletron e inde-
pendente das condicoes iniciais e e a mesma
frequencia de oscilacao do campo eletrico da
onda de radio incidente. A seguir investi-
garemos como tais oscilacoes coerentes dos
eletrons livres podem modificar a propagacao
caracterıstica das ondas eletromagneticas inci-
dentes.
A parte oscilante do deslocamento x do
eletron faz surgir um momento de dipolo
eletrico p dado por
p = − e2
mω2E(t) (2.75)
Cada eletron do gas ira experimentar um
campo eletrico E externamente aplicado e um
campo interno causado pelos momentos de di-
polo induzidos dos outros eletrons. Mas desde
que a densidade N de eletrons na ionosfera e
muito baixa, a segunda contribuicao pode ne-
gligenciada, e a polarizacao macroscopica P e
dada por:
P = Np = −Ne2
mω2E(t) (2.76)
O ındice de refracao n do gas de eletrons
nos dira o que ocorrera com as ondas de radio
viajando atraves da ionosfera. O ındice de re-
fracao n de um meio e
n =c
v(2.77)
onde c e v sao a velocidade da luz no vacuo e
no meio respectivamente, e elas ainda podem
ser expressas como
c =1√ε0µ0
e v =1√εµ
(2.78)
onde ε0 e ε sao as permissividades eletricas do
vacuo e do meio respectivamente enquanto µ0 e
µ sao as permeabilidades magneticas do vacuo
e do meio respectivamente, e µ0/µ ≈ 1. Por-
tanto, podemos escrever
n =c
v=
√εµ
ε0µ0
≈√
ε
ε0=√k, (2.79)
onde a constante k e chamada de permissi-
vidade relativa e esta relacionada ao campo
eletrico E e a polarizacao P, e ao vetor deslo-
camento eletrico D pela relacao
D = ε0E + P = εE = kε0E, (2.80)
a partir da qual temos
k = 1 +1
ε0
(P
E
)(2.81)
a qual usando a eq. (2.76) pode ser reescrita
como
k = 1−(ωp
ω
)2
(2.82)
onde ωp e a frequencia de plasma definida como
ωp =
√Ne2
mε0(2.83)
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Figura 2.16: Refracao e reflexao de ondas de
radio pela ionosfera.
Portanto, o ındice de refracao pode ser escrito
como
n =
√1−
(ωp
ω
)2
(2.84)
Da expressao acima vemos que se ω = ωp,
k e n tornam-se zeros. Quando ω e menor
do que ωp, k e negativa e o ındice de refracao
n torna-se imaginario puro. Agora estamos
prontos para discutir o que ira ocorrer as ondas
de radio viajando pela ionosfera:
1. Para n real e 0 < n < 1, ou equivalen-
temente ω > ωp. De acordo com a lei
de Snell n1 sen θi = n2 sen θr uma onda
de radio devera ter sua trajetoria refra-
tada da normal quando ela atinge a ionos-
fera. O angulo de refracao θr torna-se 90
quando
sen θi = n (2.85)
Para angulos de incidencia θi maiores do
que este a onda e totalmente refletida. De
fato, as bordas da ionosfera nao e abrupta,
mas a reflexao devera ocorrer para todos
os angulos de incidencia dados por
sen θi ≥ nmin. (2.86)
onde nmin. e o ındice de refracao mınimo
da ionosfera, ocorrendo na altura em que
a densidade de eletrons e maxima. Este
efeito e ilustrado pela Fig. 2.16. Da
Fig. 2.16(a) pode-se ver que as ondas
com maiores frequencia, o ındice de re-
fracao n da ionosfera e aproximadamente
da ordem da unidade, e as ondas sao re-
fratadas suavemente a partir da normal.
Pode-se ver ainda da Fig. 2.16(b) que em
baixas frequencias n e menor e as ondas
sao refratadas de volta para a superfıcie
da Terra. Ja a Fig. 2.16(c) mostra que
ainda em baixas frequencias, n e menor
do que sen θi no fundo da ionosfera, e as
ondas sao totalmente refletidas.
2. Se n for imaginario (ω ≤ ωp), nao havera
um fluxo lıquido de energia e nao ha ab-
sorcao de energia pela ionosfera. Devido
a estes fenomenos podemos concluir que a
onda e completamente refletida pela ionos-
fera, para qualquer angulo de incidencia.
Exemplo 12 Um cabo de guerra e mantido
entre dois times, A e B de 10 pessoas cada.
A massa media de cada pessoa e de 70 kg e
cada uma pode inicialmente, puxar com uma
forca F0 = 800 N, entretanto, quando as pes-
soas ficam cansadas, a forca que elas puxam
decresce com o tempo de acordo com a relacao
F (t) = F0e−t/τ , (2.87)
na qual τ e o tempo medio de cansaco. Para
o time A, τA = 20 s enquanto para o time B
τB = 10 s. Descreva o movimento do sistema,
isto e, calcule x(t) e v(t).
Solucao:
A forca aplicada em cada time em funcao do
tempo e dada por:
FA(t) = nAF0e−t/τA
FB(t) = nBF0e−t/τB ,
Prof. Salviano A. Leao 46
com nA = nB = 10. A forca resultante sobre o
centro de massa e dada por:
(nA + nB)mdV
dt= F0(nAe
−t/τA − nBe−t/τB).
(2.88)
Definindo,
α =nA
nA + nB
F0
m=
nB
nA + nB
F0
m=
F0
2m,
(2.89)
temos entao que,
dV
dt= α(e−t/τA − e−t/τB) (2.90)
∫ V
0
dV =
∫ t
0
α(e−t′/τA − e−t′/τB)dt′
V (t) = α[τA
(1− e−t/τA
)− τB(1− e−t/τB
)].
Como,
X(t) = X0 +
∫ t
0
V (t′)dt′
X(t) = X0 + α (τA − τB) t+
ατ 2A
(e−t/τA − 1
)− ατ 2B
(e−t/τB − 1
).
Apesar de ser um bom modelo, entretanto,
devemos ponderar que uma pessoa nao conse-
gue manter uma mesma forca quando em mo-
vimento.
Exemplo 13 Um bloco de massa m esta inici-
almente em repouso sobre uma superfıcie sem
atrito. No instante t = 0, passa atuar sobre
ele a forca
F (t) = F0e−λt,
na qual λ e uma constante tal que: λ > 0 e
λ¿ 1. Calcule x(t) e v(t).
Solucao:
Aplicando a segunda lei de Newton ao bloco,
obtem-se que
mdv
dt= F0e
−λt
assim∫ v
0
dv =
∫ t
0
F0
me−λt′dt′
v(t) = − F0
mλ
(e−λt − 1
).
Como,
x(t) = x0 +
∫ t
0
v(t′)dt′
x(t) = x0 +F0
mλ2
∣∣∣∣t
0
+F0
mλt
x(t) = x0 +F0
mλt+
F0
mλ2
(e−λt − 1
).
No inıcio do movimento, ou seja, para inter-
valos pequenos, t¿ 1, a expansao em serie de
Taylor da exponencial e e−λt = 1−tλ+ 12t2λ2+
O (t3), considerando somente o termo ate pri-
meira ordem para a velocidade, entao a veloci-
dade e a posicao podem ser escritas como:
v(t) ' F0
mt (2.91)
x(t) = x0 +F0
2mt2. (2.92)
2.7.4 Forcas dependentes da ve-
locidade: Forcas de retar-
damento
Em nosso cotidiano, frequentemente encontra-
mos forcas que sao dependentes da velocidade.
Exemplo de tais forcas sao as forcas de re-
sistencia ao movimento que surgem nos flui-
dos, como por exemplo, a forca de resistencia
do ar atuando sobre um objeto em queda e
uma funcao da velocidade do objeto. Estas
forcas geralmente possuem uma dependencia
complicada com a velocidade, pois as mesmas
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dependem da densidade do fluido, da area da
secao do corpo, da sua forma geometrica, etc.
Nos casos mais simples, onde os corpos pos-
suem uma forma regular, e o suficiente expres-
sarmos a forca de resistencia Fr(v) por uma
potencia da velocidade. Geralmente as forcas
de resistencia Fr(v) possuem uma dependencia
com a velocidade mais complicada, entretanto,
a aproximacao destas forcas por uma lei de
potencia e util em muitas situacoes nas quais
as velocidades nao variam muito. Este tipo de
aproximacao e util porque nos casos em que
Fr(v) ∝ vn temos como integrar as equacoes
de movimento, obtendo assim uma estimativa
para nossos resultado. Nos casos mais realis-
tas, certamente deverıamos realizar uma inte-
gracao numerica.
Em geral a forca de resistencia e uma funcao
complicada da velocidade mas para certos in-
tervalos de velocidade ela pode ser escrita, de
forma aproximada, em modulo, atraves de uma
lei de potencia como
Fr = −mk|v|nv
v(2.93)
onde mk e uma constante positiva que de-
pende do formato do objeto e da densidade do
ar, ela expressa a magnitude da forca de re-
sistencia; a massa e escrita explicitamente por
uma questao de conveniencia. Ja o termo vv
e um vetor unitario na direcao da velocidade
v e o sinal negativo indica simplesmente que
esta forca e contraria a velocidade. Verifica-se
experimentalmente que para objetos relativa-
mente pequenos movendo-se no ar, n ≈ 1 para
velocidades menores que algo em torno de 24
m/s. Para velocidades entre este valor e a velo-
cidade do som (330 m/s) a forca de resistencia
e melhor descrita por n = 2. Mas tipicamente
para pequenos objetos a forca de resistencia do
ar e melhor descrita pela expressao:
Fr(v) =
−mkv para 0 ≤ v ≤ 25 m/s
−mkv2v
vpara 25 < v < 32 m/s
No caso de forcas aplicadas que dependem
da velocidade, a equacao de movimento pode
ser escrita como
mdv
dt= F (v) =⇒ mv
dv
dx= F (v) (2.94)
Uma vez conhecida a forma funcional de
Fr(v), pode-se realizar a integracao de qual-
quer uma das duas formas da equacao de mo-
vimento na eq. (2.94).
A integracao da primeira forma fornece,
∫ t
t0
dt =m
∫ v
v0
dv
F (v)
t =t0 +m
∫ v
v0
dv
F (v). (2.95)
Integrando-se a eq. (2.95) acima obtemos a
velocidade v em funcao do tempo t, isto e,
v = v(t) e portanto podemos determinar x(t)
usando que
v(t) =dx
dt=⇒ x(t) = x0 +
∫ t
t0
v(t′)dt′,
(2.96)
portanto, para este caso fica resolvido por com-
pleto.
Agora, ao integramos a segunda forma da
equacao de movimento da eq. (2.94), obtemos
a posicao x como uma funcao da velocidade,
assim:∫ x
x0
dx =m
∫ v
v0
vdv
F (v),
x(v) =x0 +m
∫ v
v0
vdv
F (v). (2.97)
Ao integrarmos esta equacao, a sua forma
funcional e que nos dira se conseguiremos
expressa-la em funcao do tempo.
A seguir iremos analisar alguns exemplo de
movimentos sob a acao de uma forca resistiva.
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Para isto, dividiremos nossa discussao em duas
partes: na primeira nao iremos considerar as
forcas externas aplicadas, mas somente a forca
de resistencia. No segundo caso iremos levar
em conta alem da forca de resistencia as forcas
externas aplicadas.
Exemplo 14 Considere um barco navegando
em nas aguas tranquilas de um lago, com uma
velocidade v0. No instante t0 = 0 desliga-se os
motores do barco, e considerando esta posicao
como o marco zero da posicao, determine as
equacoes de movimento do barco supondo que
a forca de atrito entre o barco e a agua seja
F (v) = −mkv.Solucao: Assumindo que a trajetoria do barco
e retilınea, a equacao de movimento na direcao
x, a partir do instante t0 = 0 e dada por:
mx = mdv
dt= F (v) = −mkv ⇒ 1
v
dv
dt= −k
onde mkv e o modulo da forca de resistencia e
o sinal negativo (−) indica que ela e contraria
a velocidade do barco. Integrando a equacao
acima obtemos que
∫ v
v0
dv
v= −k
∫ t
0
dt′ ⇒ ln
(v
v0
)= −kt,
assim,
v(t) = v0e−kt.
Agora devemos obter a posicao x como uma
funcao do tempo, e para isto usamos o fato de
que
v =dx
dt⇒
∫ x
0
dx =
∫ t
0
v(t′)dt′,
assim
x(t) =v0
k
(1− e−kt
)
Note que x aproxima-se assintoticamente do
valor v0/k quanto t→∞.
Podemos obter a velocidade como funcao da
posicao da partıcula escrevendo
dv
dt=dv
dx
dx
dt= v
dv
dx⇒ dv
dx=
1
v
dv
dt
Assim,
dv
dt=
d
dt
(v0e
−kt)
= −kv
obtemos que a aceleracao do barco e direta-
mente proporcional a velocidade do mesmo.
Podemos escrever ainda que
1
v
dv
dt= −k =⇒ dv
dx= −k
logo, integrando dv/dx, com a condicao de que
v = v0 para x = 0, obtemos que∫ v
v0
dv = −k∫ x
0
dx
Assim
v(x) = v0 − kx,vemos que a velocidade decresce linearmente
com o deslocamento!
Vamos investigar o comportamento do barco,
no inıcio de seu movimento, ou seja, para o
regime de tempos em que kt¿ 1, e neste caso
podemos usar a expansao em serie de Taylor
da exponencial, obtendo que
e−kt = 1− kt+1
2k2t2 +O
(t3
)
onde mantivemos somente os termos de se-
gunda ordem. Desta forma observe que a a
posicao pode ser reescrita como
x(t) = v0t− 1
2v0kt
2, (kt¿ 1)
e consequentemente a velocidade sera
v(t) ' v0 − v0kt, (kt¿ 1) .
Observe que para mantermos a mesma ordem
de aproximacao da posicao, a velocidade deve
ter uma ordem menor, pois a mesma e uma
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derivada da posicao. Observe que no regime
inicial, o sistema se comporta com se a forca
fosse praticamente constante e igual a Fr =
−mkv0, e o barco se moveria com uma ace-
leracao a0 = −kv0.
Exemplo 15 Considere uma partıcula em
queda em um meio onde a forca de resistencia
e proporcional a velocidade. Obtenha a posicao
e a velocidade da partıcula como funcoes do
tempo.
Solucao: Vamos supor que no instante inicial
a partıcula encontre-se a uma altura h acima
do solo e que sua velocidade inicial seja v0. Va-
mos orientar o eixo y na vertical com sentido
positivo para cima, como na figura 2.17 abaixo.
Figura 2.17: Uma partıcula sob a acao da forca
peso e a resistencia do ar.
Existem duas forcas atuando sobre a
partıcula: a forca peso e a resistencia do meio.
A equacao de movimento pode ser escrita como
mdv
dt= −mg − kmv
O sinal negativo (−) no primeiro termo indica
que a forca peso aponta para baixo. Por sua
vez o sinal negativo (−) no segundo termo in-
dica que a forca de resistencia e contraria a
velocidade.
As dependencias em v e em t da equacao
acima podem ser separadas se escrevermos
dv
kv + g= −dt
Integrando, obtemos que
1
kln (kv + g) = −t+ C1
Supondo v(t = 0) = v0 (que pode ser positivo
ou negativo), temos
C1 =1
kln (kv0 + g)
Assim,
ln
(kv + g
kv0 + g
)= −kt
v + g/k
v0 + g/k= e−kt
v(t) = −gk
+(v0 +
g
k
)e−kt =
dy
dt(2.98)
Integrando a expressao acima, obtemos
y = −gkt− 1
k
(v0 +
g
k
)e−kt + C2
Como, y(t = 0) = h, entao,
C2 = h+1
k
(v0 +
g
k
).
Assim,
y(t) = h− g
kt+
1
k
(v0 +
g
k
) (1− e−kt
)(2.99)
A eq. (2.98), observamos que para tempos
muito longos a velocidade tende a um valor li-
mite que chamaremos de vt, e este valor e dado
por
vt = limt→∞
v(t)
= limt→∞
[−gk
+(v0 +
g
k
)e−kt
]
=− g
k.
Este valor limite da velocidade e chamado ve-
locidade terminal dos corpos em queda. A
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Figura 2.18: Grafico de v × t, para varios va-
lores da constante k.
velocidade terminal de um corpo e definida
neste caso como a velocidade do corpo quando
a forca de resistencia e igual ao peso do corpo,
pois deste modo, a forca lıquida que atua sobre
o corpo e nula, isto e,
−mg −mkvt = 0 ⇒ vt = −gk.
De forma geral, a velocidade terminal de um
corpo movendo-se em um meio resistivo, cuja
a forca de resistencia e proporcional a velo-
cidade, pode ser definida como sendo a veloci-
dade atingida pelo corpo na qual a forca lıquida
que atua sobre o corpo e nula. Tendo em vista
esta definicao, deve-se ressaltar, que na des-
cricao do movimento de corpos cujas unicas
forcas sejam a da gravidade e a forca de re-
sistencia do ar, so tera sentido falarmos em ve-
locidade terminal no movimento descendente,
pois somente neste caso, a forca da gravidade
e oposta a forca de resistencia do ar.
Como um exemplo a velocidade terminal das
gotas de chuva variam tipicamente entre 3 ≤vt ≤ 7 m/s. Diferentes corpos, iniciando o
seu movimento com velocidades diferentes irao
aproximar da velocidade terminal em diferen-
tes instantes. Existem tres diferentes possibili-
dades para a velocidade inicial
|v0| =
0
|v0| < |vt||v0| > |vt|
A figura 2.18 acima mostra os graficos do
modulo da velocidade em funcao do tempo para
o caso em que a velocidade inicial e negativa
(para baixo). Se a velocidade inicial e maior
que a velocidade terminal (em modulo), v vai
diminuindo ate atingir o valor limite g/k. Se
a velocidade inicial e menor que a velocidade
terminal (em modulo), v vai aumentando ate
o valor limite g/k.
Ao analisarmos a constante k, veremos que
ela tem dimensao de frequencia, assim pode-
mos definir um tempo τ caracterıstico do sis-
tema como,
τ =1
k.
Desta forma as equacoes de movimento podem
ser reescritas como,
y(t) = h+ vtt+ τ (v0 − vt)(1− e−t/τ
)
v(t) = vt + (v0 − vt) e−t/τ
No caso especial em que v0 = 0, temos que,
v(t) = vt
(1− e−t/τ
)
e neste caso quando t = τ , temos que:
v(τ) = 0.63vt.
Este e o tempo caracterıstico para que a
partıcula atinja 63% de sua velocidade termi-
nal.
Exemplo 16 A figura 2.19 abaixo mostra
uma bala de canhao que e atirada com uma ve-
locidade inicial v0 em uma direcao que forma
um angulo θ acima da horizontal. Calcule a
posicao e a velocidade como funcoes do tempo
e o alcance do projetil. Numa primeira apro-
ximacao despreze a resistencia do ar.
Solucao: A equacao de movimento (vetorial)
e dada por
mr = mg
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Figura 2.19: Um canhao, atirando uma bala
no plano.
Como a forca peso so tem componente na ver-
tical (para baixo), temos:
Direcao x: mx = 0
Direcao y: my = −mg (2.100)
As condicoes iniciais sao:x(t = 0) = 0 x(t = 0) = v0 cos θ
y(t = 0) = 0 y(t = 0) = v0 sen θ
(2.101)
Integrando duas vezes as equacoes (2.100),
usando as condicoes iniciais (2.101), obtemos:
x(t) = v0 cos θ t
x(t) = v0 cos θ
y(t) = v0 sen θ t− 1
2gt2
y(t) = v0 sen θ − gto modulo da velocidade da partıcula e dado por:
v =√x2 + y2
=√v2
0 + g2t2 − 2v0gt sen(θ)
Por sua vez o modulo do deslocamento e
r =√x2 + y2
=
√v2
0t2 +
1
4g2t2 − v0gt3 sen(θ)
O alcance e o valor de x quando a bala cai no
chao, ou seja, o valor de x quando y = 0. Se
T for o tempo de voo do projetil, entao
y(T ) = v0 sen θ T − 1
2gT 2 = 0
T =2v0 sen θ
g
O alcance R e dado por
R = x(T ) = v0 cos θ T
= v0 cos θ · 2v0 sen θ
g
=v2
0
gsen(2θ)
Exemplo 17 Calcule o alcance do projetil do
exemplo anterior sob a suposicao de que uma
forca de resistencia do ar proporcional a velo-
cidade atua sobre ele.
Solucao: As condicoes iniciais sao as mes-
mas do exemplo 16 mas as equacoes de movi-
mento tornam-se
Direcao x: mx = −mkxDirecao y: my = −mky −mg
(2.102)
As eqs. (2.102) sao as mesmas equacoes que
aparecem no exemplo 14 mas a componente ho-
rizontal da velocidade inicial e v0 cos θ e nao
v0. Assim
x =v0 cos θ
k
(1− e−kt
)(2.103)
Por sua vez, a segunda equacao em (2.102) e
a mesma equacao que aparece no exemplo 15.
Fazendo h = 0 e trocando v0 por v0 sen θ em
(2.99) temos
y(t) = −gkt+
1
k
(v0 sen θ +
g
k
) (1− e−kt
)
O tempo de voo pode ser obtido da relacao
y(T ) = 0
−gkT +
1
k
(v0 sen θ +
g
k
) (1− e−kT
)= 0
ou seja,
T =kv0 sen θ + g
kg
(1− e−kT
)(2.104)
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Observe que esta e uma equacao transcen-
dental e por isso nao podemos obter uma ex-
pressao analıtica para T . Uma forma de re-
solve-la e atraves de metodo numerico1. Se os
valores numericos de todas as grandezas (v0, θ,
g e k) sao conhecidos, podemos estipular um
valor inicial para T e substituı-lo na (2.104).
Em um segundo momento tomamos o valor
calculado de T , substituımos novamente em
(2.104) e comparamos o valor calculado com o
valor substituıdo. Este procedimento e repetido
ate que o valor calculado coincida com o valor
substituıdo (dentro de uma precisao numerica
estabelecida). Quando isto acontecer teremos
encontrado a solucao de (2.104). O valor cal-
culado de T pode ser substituıdo em (2.103)
para o calculo do alcance.
Um outro metodo para resolver (2.104), que
e util quando k e pequeno, e o metodo das per-
turbacoes.
Exemplo 18 Considere uma partıcula carre-
gada entrando em uma regiao onde existe
um campo magnetico uniforme, de modulo B,
apontando na direcao y. Determine o movi-
mento subsequente da partıcula.
Solucao: Sobre uma partıcula carregada na
presenca de um campo magnetico, atua a forca
de Lorentz, portanto, a equacao de movimento
da partıcula e dada por
mr = q (v ×B) (2.105)
1Uma forma de resolver esta equacao e usando oSCILAB (pagina www.scilab.org) um software livrepara calculos numericos, graficos, etc. Este softwareesta disponıvel tanto para os ambientes Windows comoLinux. Uma vez instalado o software use o seguinte co-mando para resolver a equacao em questao:
deff(′[y] = f ′, ‘f(t) = kgT−(kv0 sen θ−g)(1−exp(−kt))′);
Certamente antes voce devera ter atribuıdo valorespara as constantes que aparecem no problema.
ou em termos das componentes
m(xi + yj + zk
)= q
(xi + yj + zk
)×Bj
= qB(xk− zi
)(2.106)
Esta equacao vetorial corresponde as seguin-
tes equacoes escalares:
mx = −qBz (2.107)
my = 0 (2.108)
mz = qBx (2.109)
Definindo,
α =qB
m(2.110)
temos,
x = −αz (2.111)
y = 0 (2.112)
z = αx (2.113)
A eq. (2.112) e independente das outras
duas e pode ser facilmente resolvida. Inte-
grando uma vez, temos
y = y0 (2.114)
Integrando novamente, obtemos
y = y0 + y0t (2.115)
E facil ver que a projecao do movimento da
partıcula no eixo y e um movimento uniforme!
Ao contrario da eq. (2.112), as equacoes
(2.111) e (2.113) sao acopladas. Uma forma
de desacopla-las e deriva-las novamente com
relacao ao tempo e substituir uma delas na de-
rivada da outra. Assim obtemos:
...x = −α2x (2.116)...z = −α2z (2.117)
E sabido que, depois de derivadas duas vezes,
as funcoes sen e cos voltam nelas mesmas, a
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menos de uma constante negativa. Isto sugere
que as solucoes das eqs. (2.116) e (2.117) sao
do tipo (verifique):
x = Ax cos(αt) +Bx sen(αt) + x0 (2.118)
z = Az cos(αt) +Bz sen(αt) + z0 (2.119)
onde, Ax, Az, Bx, Bz, x0 e z0 sao constantes
de integracao a serem determinadas (x0 e z0
nao sao necessariamente os valores de x e z
no instante t = 0). As constantes Ax, Az, Bx
e Bz nao sao independentes: elas devem estar
acopladas para satisfazer as equacoes (2.111)
e (2.113). Substituindo as equacoes (2.118) e
(2.119) na equacao (2.111), obtemos
− α2 (Ax cos(αt) +Bx sen(αt)) =
− α2 (−Az sen(αt) +Bz cos(αt)) (2.120)
Para que esta igualdade seja valida para qual-
quer t os coeficientes das funcoes sen e cos de-
vem ser iguais. Assim
Bz = Ax e Az = −Bx (2.121)
Se tivessemos substituıdo as equacoes (2.118) e
(2.119) na eq. (2.113) chegarıamos ao mesmo
resultado. As equacoes (2.118) e (2.119) po-
dem ser reescritas como
x− x0 = Ax cos(αt) +Bx sen(αt) (2.122)
z − z0 = −Bx cos(αt) + Ax sen(αt) (2.123)
Para facilitar a interpretacao desta solucao
e conveniente reescreve-la como
x− x0 = R cos(αt+ δ)
= R cos(αt) cos(δ)−R sen(αt) sen(δ)
(2.124)
z − z0 = R sen(αt+ δ)
= R sen(αt) cos(δ) +R cos(αt) sen(δ)
(2.125)
E facil ver que as formas acima sao equiva-
lentes, desde que
Ax = R cos(δ)
Bx = −R sen(δ)(2.126)
Quando projetamos o movimento da partıcula
no plano xz, vemos que ela descreve um mo-
vimento circular uniforme de raio R centrado
no ponto (x0, z0), conforme mostra a figura
2.20(a) abaixo. Simultaneamente, a partıcula
se move ao longo do eixo y com velocidade
constante, de forma que a sua trajetoria e
uma espiral, conforme mostra a figura 2.20(b)
abaixo. Quais sao as seis constantes de inte-
(a)
(b)
Figura 2.20: (a)Movimento da partıcula no
plano xz. (b) Movimento da partıcula ao longo
da direcao y.
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gracao deste problema? Quais sao os seus sig-
nificados? Qual o significado de α?
2.8 Teoremas de con-
servacao
Nesta secao, apos uma minuciosa analise da
aplicacao dos conceitos da mecanica newtoni-
ana a uma unica partıcula, obtem-se a deducao
de alguns teoremas importantes sobre quanti-
dades fısicas que se conservam. Deve-se res-
saltar que nao sera provada a conservacao das
varias quantidades fısicas.
Estes teoremas de conservacao sao deduzidos
como meras consequencias das leis de Newton
da dinamica, e neste sentido estes nao sao ca-
racterizados como novas leis da mecanica. Por-
tanto, o resultado do confronto destas quanti-
dades fısicas que se conservam com os expe-
rimentos, e a sua verificacao, fornecera uma
validacao das leis de Newton.
2.8.1 Conservacao do momen-
tum linear.
Da Segunda Lei de Newton
F =dp
dt(2.127)
Quando a forca e zero, temos
dp
dt= 0 =⇒ p = cte. (2.128)
Podemos dizer entao que quando a forca to-
tal que atua sobre uma partıcula e zero, o seu
momentum linear e conservado.
Se o vetor F nao for zero, mas se
F · S = 0 (2.129)
onde S e um vetor constante, entao
p · S = 0 (2.130)
Integrando (lembrando que S e constante) te-
mos
p · S = cte. (2.131)
Se a componente da forca ao longo de uma
dada direcao S for nula, entao a componente
do momentum ao longo desta direcao e conser-
vada (S pode ser, por exemplo, i, j ou k).
2.8.2 Conservacao do momen-
tum angular
O momentum angular L de uma partıcula em
relacao a origem de um sistema de coordenadas
e definido como
L ≡ r× p (2.132)
Por sua vez, o torque N ou momento da forca,
sobre a partıcula, em relacao ao mesmo sistema
de referencia, e definido como
N ≡ r× F (2.133)
onde r e o vetor posicao, que vai da origem ao
ponto onde a forca F e aplicada. Desde que
F = mv para a partıcula, entao o torque pode
ser escrito como
N = r×mv = r× p (2.134)
Agora, derivando L em relacao ao tempo, te-
mos
L =d
dt(r× p) = (r× p) + (r× p) (2.135)
Mas
r× p = r×mv = m (r× r) ≡ 0 (2.136)
Entao
L = (r× p) = r× F = N (2.137)
Se nenhum torque atua em uma partıcula, (isto
e, se N = 0), entao L = 0 e L e um vetor
constante no tempo, ou seja,
L = N = 0 =⇒ L = cte. (2.138)
Prof. Salviano A. Leao 55
Se o torque total que atua sobre uma partıcula
for nulo, entao seu momentum angular e con-
servado.
Exemplo 19 Um rato de massa m pula so-
bre a extremidade de um ventilador de teto, de
momento de inercia I e raio R, que gira li-
vremente com velocidade angular ω0. Qual a
velocidade angular final do ventilador?
Figura 2.21: Rato sobre um ventilador girando
com uma velocidade angular ω0.
Solucao: A forca gravitacional que a Terra
exerce sobre o rato provoca um torque sobre o
sistema ventilador + rato (em relacao ao cen-
tro do ventilador) mas este torque nao possui
componente vertical. Desta forma, a compo-
nente vertical do momentum angular do sis-
tema deve ser conservada. Antes do rato pular,
temos
L0 = Iω0 (2.139)
Depois do rato pular
L =(I +mR2
)ω (2.140)
onde mR2 e o momento de inercia do rato,
(considerado pontual) em relacao ao eixo do
ventilador. Pela conservacao do momentum
angular
L = L0 =⇒ (I +mR2
)ω = Iω0 (2.141)
ω =Iω0
I +mR2(2.142)
2.8.3 Conservacao da energia
Trabalho de Uma Forca Constante
O trabalho WA→B realizado pela forca cons-
tante F atuando sobre uma bloco de massa m,
quando o mesmo e deslocado do ponto A ao
ponto B sobre uma trajetoria retilınea, cujo
vetor deslocamento e d e
WA→B = F · d = Fd cos θ. (2.143)
Observe que se nao houver deslocamento nao
havera trabalho realizado.
Figura 2.22: Deslocamento de uma partıcula
de massa m, submetida a acao de uma forca
constante F.
Agora a questao que devemos levantar e e se
a forca nao for constante durante o seu deslo-
camento, como ocorre por exemplo com a forca
exercida sobre um bloco por uma mola.
Trabalho de Uma Forca Variavel
Consideremos uma partıcula que se move de
um ponto P1 a um ponto P2 sobre um arco
de curva C qualquer, orientado no sentido de
P1 para P2, sob a acao de uma forca F que
pode variar em magnitude, direcao e sentido
de ponto a ponto da curva C (ver figura 2.22
abaixo).
Agora iremos decompor a curva C em uma
sucessao de deslocamentos infinitesimais ∆~i,
aproximando o arco de curva C por uma li-
nha poligonal inscrita cujo o numero de lados
aumenta indefinidamente. Se os extremos Pi e
Prof. Salviano A. Leao 56
Figura 2.23: Trajetoria de uma partıcula de
massa m, submetida a acao de uma forca
variavel.
Pi+1 do i-esimo arco parcial em que C fica sub-
dividido forem suficientemente proximos entre-
si, F ≈ Fi (constante) sobre este arco, e po-
demos aproxima-los pela corda−−−−→PiPi+1 = ∆~i,
de modo que podemos definir o trabalho reali-
zado sobre uma partıcula pela forca Fi quando
a partıcula se move de Pi para Pi+1 por
WPi→Pi+1≈ F ·∆~i (2.144)
e o trabalho total de P1 a P2 ao longo de C e
obtido somando sobre todos os segmentos da
poligonal e fazendo ∆~i → 0:
W(C)Pi→Pi+1
= lim|∆~
i|→0
∑iFi ·∆~i
=
∫ P2
P1
(C)
Fi · d~i (2.145)
O limite na eq. (2.145) define a integral de
linha de F · d~ de P1 ate P2 ao longo da curva
C. O deslocamento infinitesimal d~ ao longo de
C tem por componentes os deslocamentos in-
finitesimais correspondentes (projecoes) sobre
os eixos:
dr = d~= dxı+ dy+ dzk, (2.146)
consequentemente,
F · d~= Fxdx+ Fydy + Fzdz, (2.147)
assim a integral curvilınea (2.145) se reduz a
soma de tres integrais ao longo dos eixos:
∫ P2
P1
(C)
F · d~=
∫ P2
P1
(C)
Fxdx+
∫ P2
P1
(C)
Fydy +
∫ P2
P1
(C)
Fzdz
(2.148)
Na primeira dessas integrais, y e z sao funcoes
de x definidas pela condicao de que o ponto
P (x, y, z) pertence a curva C; analogamente,
na segunda, x e z podem ser considerados como
funcoes de y, e na terceira x e y sao funcoes de
z.
Desta forma podemos definir o trabalho re-
alizado por uma forca F sobre uma partıcula
que se desloca da posicao P1 para a posicao P2
ao longo da trajetoria C como:
W(C)1→2 ≡
∫ P2
P1
(C)
F · dr =
∫ P2
P1
(C)
Fxdx+
∫ P2
P1
(C)
Fydy+
∫ P2
P1
(C)
Fzdz (2.149)
Observe que o caminho da integracao nao
e dado pelo deslocamento infinitesimal d~, o
qual e sempre dado por um deslocamento in-
finitesimal positivo no sistema de coordenadas
utilizado. O sentido do deslocamento e dado
pelos limites de integracao. Portanto, de agora
em diante usaremos a notacao dr em vez de d~
para o deslocamento infinitesimal.
Exemplo 20 Considere um bloco de massa
m preso a uma mola de constante elastica k,
cuja forca obedece a lei de Hooke, ou seja,
F = −kxi. Determine o trabalho realizado pela
mola, ao deslocarmos o bloco do ponto xA para
o ponto xB.
Solucao: O trabalho realizado pela forca e
dado por,
WA→B =
∫ B
A
F · dr.
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Figura 2.24: Bloco de massa m preso a uma
mola.
Como a forca e F = −kxi e dr = dxi, entao,
F · dr = −kx dx, portanto o trabalho sera
WA→B = −k∫ xB
xA
x dx =1
2k
(x2
A − x2B
).
Observe, que se fizermos um grafico da forca
em funcao do deslocamento x, este trabalho e
numericamente igual a area em baixo da curva.
Fica para o leitor verificar isto.
Teorema Trabalho Energia
Seja F a resultante das forcas que atuam sobre
uma partıcula de massa m, entao, o trabalho
realizado por esta forca quando a partıcula vai
do ponto P1 ao ponto P2 ao longo da trajetoria
C e
W(C)P1→P2
=
∫ P2
P1
(C)
F · dr, (2.150)
porem, da segunda lei de Newton temos
F · dr = mdv
dt· drdtdt = m
dv
dt· vdt,
=1
2md
dt(v · v) dt
=1
2md
dt
(v2
)dt
=d
dt
(1
2mv2
)dt
=dT
dtdt (2.151)
desta forma podemos escever,
W(C)P1→P2
=
∫ P2
P1
(C)
F · dr
=1
2mv2
2 −1
2mv2
1
= T2 − T1 = ∆T, (2.152)
aqui v1 e v2 sao as velocidades da partıcula nos
pontos P1 e P2, respectivamente e T =1
2mv2 e
a energia cinetica da partıcula. Este resultado
e conhecido como o teorema trabalho energia.
A equacao acima nos diz que: o trabalho re-
alizado pela forca resultante F que atua sobre
uma partıcula e igual a variacao da energia
cinetica da partıcula entre as posicoes inicial
e final.
Exemplo 21 Considere um bloco de massa m
sob a acao de uma forca F constante, o qual
se desloca do ponto do ponto x0 para o ponto
xf ao longo uma trajetoria retilınea, cujo ve-
tor deslocamento entre os pontos x0 e xf e
d = (xf − x0)i. Usando o teorema trabalho
energia encontre uma relacao entre os pontos
x0, xf ,v0, vf e a forca F.
Figura 2.25: Bloco de massa m sob a acao de
uma forca constante F.
Solucao: O trabalho realizado pela forca e
dado por,
Wx0→xf=
∫ xf
x0
F · dr.
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Como a forca e constante e a trajetoria e re-
tilınea, entao
Wx0→xf= F · d = F cos θ (xf − x0) .
Do teorema trabalho energia temos,
Wx0→xf= Tf − T0 =
1
2m
(v2
f − v20
).
Igualando as duas ultimas expressoes, obtemos
1
2
(v2
f − v20
)= F cos θ (xf − x0) ,
a qual pode ser escrita como
v2f = v2
0 + 2
(F cos θ
m
)(xf − x0) ,
na qual a expressao (F cos θ)/m e a aceleracao
ao longo do deslocamento da partıcula, assim
a = (F cos θ)/m. Portanto, obtivemos a co-
nhecida equacao de Torricelli, da cinematica,
a qual e expressa como
v2f = v2
0 + 2a (xf − x0) .
Observe que esta expressao so e valida se F
for a resultante das forcas, e alem disso, se
ela for constante no movimento. Entretanto, o
teorema trabalho energia vale para uma forca
qualquer, exceto para o caso em que a massa
do sistema e variavel.
Forcas conservativas
Inicialmente vamos investigar como o traba-
lho realizado por uma forca depende da tra-
jetoria. Para tal, inicialmente iremos analisar
esta dependencia no caso do campo gravitacio-
nal, considerando o trabalho realizado para le-
var uma partıcula de massam de um ponto P a
um ponto Q ao longo da trajetoria (a), W(a)P→Q
e o trabalho para ir do ponto P ao ponto Q
atraves da soma das trajetorias (b) e (c), mos-
tradas na figura abaixo.
Figura 2.26: Possıveis trajetorias de uma
partıcula, para ir do ponto P ao ponto Q, ou
vice-versa, em um campo gravitacional.
O trabalho realizado pela forca peso para ir
de P ate Q ao longo da trajetoria (a) e
W(a)P→Q =
∫ Q
P(a)
F · dr. (2.153)
Como F = −mgj, e se ea for um vetor unitario
ao longo da direcao do segmento de reta PQ,
entao dr = d`ea, assim
F·dr = −mg cos(π
2−θ) = −mg sen θ, (2.154)
portanto,
W(a)P→Q = −mgD sen θ = −mgh. (2.155)
O trabalho para ir de P ate O ao longo da
trajetoria (b) e nulo pois, a forca F = −mgje perpendicular ao deslocamento dr = dxi, e
desta forma, F · dr = 0, assim
W(b)P→O = 0. (2.156)
Para calcularmos o trabalho realizado pela
forca peso para ir de O ate Q ao longo da tra-
jetoria (c), usamos neste caso que dr = dyj
logo F · dr = −mgdy, entao
W(c)O→Q = −mgh (2.157)
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Os resultados anteriores mostram que
W(a)P→Q = W
(b)P→O +W
(c)O→Q. (2.158)
Portanto, da forma que os resultados foram
obtidos podemos concluir que o trabalho re-
alizado pela forca peso para ir de um ponto a
outro do espaco independe da trajetoria esco-
lhida, mas somente do ponto inicial e do ponto
final.
Entao surge a questao: Sera que existe uma
classe de forcas cujo trabalho realizado pelas
mesmas para ir de um ponto a outro do espaco
ira independer da trajetoria? Se existe entao
que caracterısticas devem ter estas forcas?
De fato, em muitas situacoes fısicas a forca
tem a propriedade de que o trabalho realizado
por ela sobre a partıcula so depende dos pontos
inicial e final, e nao da trajetoria. Chamaremos
de forcas conservativas as forcas cujo trabalho
independem da trajetoria. Agora iremos exa-
minar as propriedades desta classe de forcas.
Por exemplo, na figura 2.27 abaixo se a forca
for conservativa o trabalho realizado por ela ao
deslocarmos a partıcula do ponto P ao ponto
Q sera o mesmo, independente se a trajetoria
percorrida pela partıcula foi a trajetoria (a),
(b) ou (c).
Suponha que a partıcula va de P a Q pelo
caminho (a) e volte pelo caminho (b). Assim
W(fechado)P→Q
Q→P
= W(a)P→Q +W
(b)Q→P
= W(a)P→Q −W (b)
P→Q (2.159)
Se o trabalho realizado pela forca for indepen-
dente do caminho, entao W(a)P→Q = W
(b)P→Q, logo
W(fec)P→Q
Q→P
= 0.
Assim podemos dizer que se o trabalho nao
depende do caminho, ou seja, o trabalho rea-
lizado por uma forca for conservativa em um
percurso fechado e nulo. Este resultado pode
Figura 2.27: Possıveis trajetorias de uma
partıcula, para ir do ponto P ao ponto Q, ou
vice-versa.
ser escrito como∮
F ·dr =
∫ Q
P
F ·dr+
∫ P
Q
F ·dr = 0. (2.160)
Aqui suprimimos a indicacao da trajetoria,
pois o trabalho independe da mesma, so de-
pende do ponto inicial e final.
O teorema de Stokes, leva a integral de li-
nha em uma integral de superfıcie da seguinte
forma:∫
F · dr =
∫ ∫
S
(∇× F) · dS (2.161)
Se a forca F for conservativa entao temos ao
longo de uma trajetoria fechada que∮
F · dr =
∫ ∫
S
(∇× F) · dS = 0. (2.162)
Portanto, o rotacional da forca deve ser nulo,
ou seja,
∇× F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0. (2.163)
Da analise vetorial, sabemos que o rotacional
do gradiente de uma funcao escalar φ(x, y, z)
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qualquer e sempre nulo, ou seja,
∇×∇φ = 0. (2.164)
ja que,
∇φ =∂φ
∂xi +
∂φ
∂yj +
∂φ
∂zk. (2.165)
Portanto, podemos concluir que toda forca
que pude ser expressa pelo gradiente de uma
funcao escalar da posicao tera o seu rotacional
nulo e portanto sera uma forca conservativa.
Nesse caso, e possıvel associar a forca
uma funcao escalar da posicao da partıcula,
chamada funcao energia potencial U(r) =
U(x, y, z), da seguinte forma,
F = −∇U(r) (2.166)
= −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
).(2.167)
O sinal negativo foi escolhido, porque as
forcas que encontramos na natureza estao sem-
pre direcionadas para o ponto de equilıbrio
estavel. Porem do calculo, sabemos que o
ponto de equilıbrio estavel esta associado a um
ponto de mınimo. Portanto, a forca deve apon-
tar para o ponto de mınimo da funcao energia
potencial, entretanto, como o gradiente de uma
funcao escalar esta direcionado para o ponto de
maximo desta funcao entao a forca esta direci-
onada no sentido oposto, assim F = −∇U(r).
Portanto, o sinal negativo quer dizer que a
forca esta direcionada para a regiao de menor
energia potencial.
Como o gradiente e uma derivada direcional
entao de sua definicao temos que:
dU = [∇U(r)] · dr = −F · dr (2.168)
Portanto,, a diferenca na energia potencial da
partıcula calculada nos pontos A e B e definida
atraves da relacao
∆U = U(rB)− U(rA) = −∫ B
A(C)
F · dr
= −∫ B
A(C)
F · dr (2.169)
Definindo, UB = U(rB) e UA = U(rA), pode-
mos escrever
UB − UA = −∫ B
A
F · dr = −WA→B (2.170)
Observe que eliminamos o ındice da trajetoria
ja que o trabalho realizado por esta forca inde-
pende da trajetoria.
Deve-se ressaltar que a expressao (2.170)
acima define apenas a diferenca de energia
potencial entre dois pontos. Sendo assim, a
funcao energia potencial e definida a menos de
uma constante aditiva, que nao tem nenhum
significado fısico. Tambem e importante men-
cionar que se o trabalho realizado pela forca
depender do caminho, a definicao de energia
potencial nao faz sentido. Se nao, qual seria
o caminho usado para calcular a integral da
equacao (2.170)?
Exemplo 22 Determine o a energia potencial
de uma partıcula de massa m em movimento
na vizinhanca da superfıcie terrestre. Ado-
tando um sistema de coordenadas cartesianas
com eixo Oy dirigido verticalmente para cima.
Discuta a escolha adequada para o valor de re-
ferencia da energia potencial gravitacional.
Solucao: As componentes da forca peso sao:
Fx = Fz = 0; Fy = −mg (2.171)
A eq. (2.147) fica entao:∫ B
A
F · dr = −mg∫ yB
yA
dy
= −mg(yB − yA). (2.172)
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Figura 2.28: Trabalho realizado pela forca peso
sobre uma partıcula de massa m, para ir do
ponto A ao ponto B.
Portanto, temos que a diferenca de energia po-
tencial entre os pontos yA e yB e dada por:
∆U = U(yB)− U(yA) = mg (yB − yA) .
(2.173)
Este resultado e mantido independente da
nossa escolha para o zero da energia poten-
cial. Para ilustrar, fato de que e a diferenca
de energia potencial ∆U que tem sentido fısico
e nao o valor especıfico da energia potencial,
faremos duas escolhas distintas para o valor de
referencia da energia potencial.
Primeira Escolha: Aqui vamos fazer a esco-
lha mais usual que e a escolher U(yA) = 0
para yA = 0, obtemos desta forma que a
energia potencial e dada por
U(y) = mgy,
a qual satisfaz a escolha feita anterior-
mente, ou seja, que U(0) = 0. Observe
ainda que a diferenca de energia potencial
entre os pontos yA e yB fornecem o resul-
tado da eq. (2.173).
Segunda Escolha: Neste caso vamos esco-
lher um valor constante qualquer da se-
guinte forma, U(yA) = U0 para yA = 0,
logo a energia potencial e dada por
U(y) = U0 +mgy,
a qual satisfaz a escolha feita anterior-
mente, ou seja, que U(0) = U0. Observe
ainda que a diferenca de energia potencial
entre os pontos yA e yB fornecem o resul-
tado da eq. (2.173).
Vimos do resultado acima que a energia poten-
cial gravitacional, independente da escolha do
referencial so depende da posicao, assim, sem
a perda de generalidade podemos dizer que a
energia potencial para um ponto P de coorde-
nadas (x, y, z), e dada por:
U(P ) = U(x, y, z) = mgy = U(y) (2.174)
Logo, no campo gravitacional uniforme g, o
trabalho num deslocamento entre dois pontos
quaisquer e independente do caminho que liga
esses dois pontos: so depende dos extremos,
e representa a diferenca de energia potencial
entre eles. A energia potencial num ponto P
so depende da altura desse ponto (y), e e dada
por (2.174).
Exemplo 23 Determine o a energia potencial
de uma partıcula de massa m em movimento
na vizinhanca da superfıcie terrestre. Ado-
tando um sistema de coordenadas cartesianas
com eixo Oy dirigido verticalmente para baixo.
Discuta o que muda com esta escolha de eixo.
Solucao: A forca peso neste sistema de re-
ferencia e dada por F = mgj, portanto, F·dr =
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Figura 2.29: Trabalho realizado pela forca peso
sobre uma partıcula de massa m, para ir do
ponto A ao ponto B, em um sistema de re-
ferencia em que o eixo Oy dirigido vertical-
mente para baixo.
mg dy, assim
U(yB)− U(yA) = −∫ B
A
F · dr
= −mg∫ yB
yA
dy
= −mg(yB − yA).
Escolhendo U(yA) = 0 para yA = 0, obtemos
que
U(y) = −mgy. (2.175)
O sinal negativo para a energia potencial, sig-
nifica que a forca esta apontando para a regiao
de menor energia potencial, pois a medida que
y cresce neste sistema de referencia a energia
potencial tem de diminuir.
Exemplo 24 Determine o a energia potencial
de uma partıcula de massa m em presa a uma
mola de constante elastica k. Considere a ori-
gem do sistema de coordenadas na posicao de
equilıbrio da mola.
Figura 2.30: Trabalho realizado pela forca
elastica sobre uma partıcula de massa m, para
ir do ponto A ao ponto B.
Solucao: A forca elastica neste sistema de
referencia e dada por F = −kxi, portanto, F ·dr = −kx dx, assim
U(xB)− U(xA) = −∫ B
A
F · dr
= k
∫ xB
xA
x dx
=1
2k(x2
B − x2A).
Escolhendo U(xA) = 0 para xA = 0, obtemos
que
U(x) =1
2kx2 (2.176)
Observe que a energia potencial e sempre posi-
tiva, diferentemente da energia potencial gra-
vitacional que pode ser positiva ou negativa. O
fato dela ser sempre positiva deve-se ao fato
da forca elastica da ser uma forca restaura-
dora e estar apontando sempre para a posicao
de equilıbrio onde a forca e nula e portanto a
energia potencial tem o seu valor mınimo.
Exemplo 25 Determine o a energia potencial
devido a interacao coulombiana de um sistema
constituıdo por duas partıculas, uma delas de
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carga q1 e a outra de carga q2. Considere que
a carga q1 esta fixa na origem do sistema de
coordenadas.
Figura 2.31: Trabalho realizado pela forca de
Coulomb sobre uma partıcula de massa q2,
para ir do ponto A ao ponto B na presenca
de uma carga q1 na origem do sistema de co-
ordenadas.
Solucao: Com este problema tem uma si-
metria radial, entao o sistema de coordenadas
adequado e o polares. Em coordenadas polares
a forca de Coulomb da carga q1 na carga q2 e
F =q1q2
4πε0r2r (2.177)
A diferenca de energia potencial entre os pon-
tos A e B e dada por:
∆U = U(rB)− U(rA) = −∫ B
A
F · dr
Para calcularmos a integral de linha que vai de
A ate B, iremos calcula-la ao longo das tra-
jetorias (a) e (b), assim
∆U = −∫ C
A
F · dr−∫ B
C
F · dr
Na trajetoria (a), o vetor deslocamento em co-
ordenadas polares e dado por dr = drr + rdθθ,
logo a integral da trajetoria (a) e∫ C
A
F · dr =
∫ C
A
q1q24πε0r2
r · drr
= − q1q24πε0r
∣∣∣∣rB
rA
= − q1q24πε0
(1
rB
− 1
rA
).
Na trajetoria (b), temos que:∫ B
C
F · dr =
∫ B
C
q1q24πε0r2
r · drr
= − q1q24πε0r
∣∣∣∣rB
rB
= 0.
Este ja era um resultado esperado, pois a forca
e sempre perpendicular aos deslocamentos in-
finitesimais.
Portanto, a diferenca de energia potencial e
entao dada por,
U(rB)− U(rA) =q1q24πε0
(1
rB
− 1
rA
)(2.178)
Neste caso, e sempre conveniente usarmos o
seguinte ponto de referencia para a energia po-
tencial,
limra→∞
U(rA) = 0. (2.179)
Portanto, a energia potencial e dada por:
U(r) =q1q2
4πε0r. (2.180)
Observe que se as cargas tiverem o mesmo si-
nal a forca sera repulsiva e a energia sera po-
sitiva, e neste caso temos
limr→0
U(r) = ∞limr→∞
U(r) = 0.
Ja para o caso de cargas de sinais opostos a
forca sera atrativa e a energia potencial sera
negativa, e neste caso temos
limr→0
U(r) = −∞limr→∞
U(r) = 0.
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Note ainda que, em ambos os casos que a
forca sempre esta direcionada para a regiao de
menor energia potencial.
Dizemos que uma forca F e conservativa
quando tem a propriedade (2.160), ou seja,
quando o trabalho por ela realizado entre dois
pontos e independente do caminho. Neste caso,
ele depende so dos extremos e representa a di-
ferenca de energia potencial entre eles.
Conservacao da Energia Mecanica
Considere uma partıcula, sobre a qual a resul-
tante das forcas e F, e alem disso, que todas as
forcas que atuam sobre a partıculas sao forcas
conservativas F(c)i , assim,
F =∑
i
F(c)i , (2.181)
Portanto, do teorema trabalho energia, eq.
(2.152), temos que o trabalho realizado pela
forca resultante F, para deslocar a partıcula
do ponto A ao ponto B e
WA→B =
∫ B
A
F · dr = TB − TA (2.182)
Se F e a resultante das forcas conservativas,
entao podemos associar uma funcao energia
potencial U(r) a esta forca, a qual e dada por,
U(rB)− U(rA) = −WA→B = −∫ B
A
F · dr(2.183)
Combinando o teorema trabalho energia eq.
(2.182) com a definicao de energia potencial
(2.184), obtem-se que
TA + UA = TB + UB (2.184)
a soma da energia cinetica T com a energia
potencial U e uma constante do movimento.
Chamando de energia mecanica E a soma E =
T +U , entao podemos afirmar que.se as forcas
que atuam em um sistema forem conservati-
vas entao a energia mecanica do sistema sera
conservada. Observe entretanto, a energia po-
tencial total e aquela devida a todas as forcas
conservativas que atuam sobre o sistema, seja
ela, gravitacional, da mola, de Coulomb, etc.
A conservacao da energia mecanica,
∆E = ∆T + ∆U = 0, (2.185)
e o que justifica o nome da forca conservativa.
Como vimos, a energia potencial e definida
a menos de uma constante aditiva arbitraria,
correspondente a escolha do nıvel zero de ener-
gia.
Exemplo 26 Considere, o brinquedo ilus-
trado na figura 2.32 abaixo, no qual temos uma
mola de constante elastica k e uma bolinha de
massa m. Este brinquedo esta colocado na ver-
tical. Determine de quanto devemos compri-
mir a mola para que a bolinha consiga reali-
zar a curva sem descolar-se da parede do brin-
quedo. Despreze os efeitos do atrito em todo o
sistema.
Solucao: Como nao ha atrito, entao so temos
forcas conservativas, logo a energia mecanica
do sistema e conservada. Considerando o
ponto mais baixo da trajetoria da partıcula
como o zero de energia potencial gravitacional,
entao no ponto mais baixo temos,
E0 =1
2kx2 −mgx
enquanto no ponto mais alto da trajetoria,
Ef = mg(h+R) +1
2mv2.
A velocidade mınima vmin que a bolinha deve
ter ao passar pelo ponto mais alto sem cair, e
aquela cuja forca normal e nula somente neste
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Figura 2.32: Fliperama vertical.
ponto, portanto, neste ponto a forca resultante
sobre a bolinha e somente a forca peso, assim
ma = mv2
min
R= mg =⇒ 1
2mv2
min =1
2mgR.
Portanto, a energia mecanica total neste ponto
e
Ef = mgh+3
2mgR.
Da conservacao da energia temos que E0 = Ef ,
assim
1
2kx2 −mgx = mgh+
3
2mgR.
Chamando ω20 = k/m, entao a equacao acima
pode ser escrita como
ω20x
2 − 2gx− g(2h+ 3R) = 0.
e tem como solucao
x =2g ±
√4g2 + 4ω2
0g(2h+ 3R)
2ω20
.
ou ainda,
x =g
ω20
1±
√1 +
ω20
g(2h+ 3R)
.
Exemplo 27 De quanto deve ser comprimida
a mola de constante elastica k, do sistema mos-
trado na figura 2.33 abaixo, para que o bloco
de massa m ao ser liberado passe pela rampa e
atinja um ponto a uma distancia D da extre-
midade da rampa de comprimento horizontal d
e altura h. Despreze os efeitos do atrito em
todo o sistema.
Figura 2.33: Lancamento sobre uma rampa.
Solucao: Vamos comecar analisar o movi-
mento do bloco a partir do instante em que ele
abandona a rampa. Neste instante a sua ve-
locidade vr forma com a horizontal o mesmo
angulo θ que a rampa. Decompondo o seu mo-
vimento em vertical (eixo y) e horizontal (eixo
x), podemos escrever
y(t) = h+ vr sen(θ)t− 1
2gt2
x(t) = vr cos(θ)t
Para x(ts) = D, temos que ts = D/vr cos(θ),
mas como y(ts) = 0, entao temos que,
0 = h+D tg θ − gD2(1 + tg2 θ)
2v2r
Portanto, encontramos que
v2r =
gD2(1 + tg2 θ)
2(h+D tg θ).
Da Conservacao da energia temos que,
E0 = Er
1
2kx2 = mgh+
1
2mv2
r
1
2kx2 = mgh+
1
2mg
D2(1 + tg2 θ)
2(h+D tg θ)
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assim,
x2 =2mgh
k
[1 +
D2(1 + tg2 θ)
4h(h+D tg θ)
].
Forcas nao conservativas
Um exemplo de forcas nao - conservativas,
sao as forcas de atrito que tendem a dissipar a
energia mecanica (realizar trabalho negativo).
Aqui a energia mecanica nao e conservada, mas
a energia total do sistema se conserva, porque
as forcas de atrito convertem energia mecanica
em calor, que tambem e uma das varias formas
de energia que temos.
Neste sentido mais amplo de conservacao
de energia total, podemos dizer que nao se
conhece nenhuma forca nao - conservativa,
ou seja, nao foi descoberto ate hoje nenhum
fenomeno em que seja violado o princıpio de
conservacao de energia total de um sistema iso-
lado. Esta e uma das razoes que fazem este
princıpio um dos mais importantes da fısica.
O resultado (2.152) se aplica independen-
temente de se as forcas que atuam sobre as
partıculas sao ou nao conservativas (no sen-
tido estritamente de conservacao de energia
mecanica). Assim se uma partıcula esta su-
jeita a acao de diversas forcas conservativas
F(c)1 , F
(c)2 , . . ., e simultaneamente a forcas nao-
conservativas F(nc)1 , F
(nc)2 , . . ., a eq. (2.152)
pode ser reescrita como∑
i
W(c)i +
∑i
W(nc)i = ∆T, (2.186)
onde W(c)i e o trabalho realizado pela forca
conservativa F(c)i , de forma que conforme a eq.
(2.173)
W(c)i = −∆Ui, (2.187)
onde Ui e a energia potencial associada a F(c)i ,
a energia potencial total associada as forcas
conservativas e entao
U =∑
i
Ui, (2.188)
e a eq. (2.186) da
∑i
W(nc)i = ∆T +
∑i
∆Ui = ∆T + ∆U
= ∆(T + U) = ∆E (2.189)
ou seja,
∆E =∑
i
W(nc)i (2.190)
onde E = T + U e a energia mecanica total.
Logo a variacao da energia mecanica total da
partıcula e igual ao trabalho sobre ela realizado
pelas forcas nao-conservativas.
Note que na natureza as forcas fundamentais
sao conservativas, portanto, a conservacao da
energia e uma lei geral e fundamental da fısica.
Exemplo 28 Uma partıcula desliza sobre um
trilho que possui extremidades elevadas e uma
parte central plana, conforme a figura 2.34. A
parte plana possui um comprimento l = 20 m.
s partes curvas nao tem atrito. O coeficiente
de atrito cinetico da parte plana e µc = 0.3.
Larga-se uma partıcula do ponto A a uma al-
tura h = 10 m. Em que ponto a direita do
ponto B a partıcula ira parar?
Figura 2.34: Deslizamento sobre um trilho cuja
a parte central possui atrito.
Solucao: Antes de resolvermos o problema,
devemos compreender o que esta ocorrendo.
Note que:
i) Entre os pontos A e B a energia e con-
servada pois nao ha atrito neste trecho.
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Entre os pontos B e C ha dissipacao de
energia. Ja entre os pontos C e D ha
conservacao da energia.
ii) A trajetoria curva (sem atrito) entre
os trechos CD e DC, ira simples-
mente inverter o sentido da velocidade da
partıcula quando ela chega ao ponto C. O
mesmo ocorrera quando a partıcula sair
de C e chegar em B.
iii) A partıcula sai do ponto A e chega em
B com uma velocidade vB e segue ate
o ponto C onde chega com uma veloci-
dade vC, com vC < vB, perdendo parte
de sua energia cinetica devido ao atrito.
De C vai ate D e retorna em seguida
ao ponto C com a mesma velocidade em
modulo, porem com o sentido oposto, se-
guindo para o ponto B, e perdendo parte
de sua energia cinetica no trajeto CB.
Este processo continua ate que o bloco
perca toda a sua energia mecanica inicial
EA = E0 = mgh, dissipada pela forca de
atrito.
Da situacao descrita acima, podemos idea-
lizar o sistema acima como se fosse uma tra-
jetoria retilınea, de tal modo que a distancia
horizontal total percorrida pelo bloco sera d =
nl, onde l e o tamanho do trecho BC. Desta
forma
∆E = W(nc)B→P =
∫ nl
0
Fat. · dr.
Assim,
0−mgh = −µcmgnl −→ n =h
µcl= 1.67
Isto significa que o bloco percorreu uma
distancia d = 1.67l ate parar. Como n =
1 + 0.67, isto significa que a partıcula comple-
tou um trecho BC, ou seja, saiu de B e chegou
ate C e que de C ele andou 67% de l e parou.
Logo ele parou a 6.6 m a direita do ponto B.
2.8.4 Potencia (P )
Se durante um intervalo de tempo ∆t e reali-
zado um trabalho ∆W , entao a potencia media
P correspondente e
P =∆W
∆t.
No sistema internacional a unidade de potencia
e o Joule/s = 1 watt.
Considere o trabalho infinitesimal dW rea-
lizado pela forca F ao deslocar a partıcula de
uma distancia infinitesimalmente pequena dr
ao longo de uma trajetoria. Durante este deslo-
camento infinitesimal podemos considerar que
a forca que atua sobre a partıcula ira se man-
ter constante, sendo assim, podemos definir a
potencia instantanea como
P = lim∆t→0
∆W
∆t= lim
∆t→0F · ∆r
∆t
= F · v = mdv
dt· v
=d
dt
(1
2mv2
)=dT
dt.
A potencia instantanea, tambem pode ser
relacionada com a taxa de variacao da energia
potencial da partıcula se o sistema for conser-
vativo. Como
dE
dt=dT
dt+dU
dt= 0,
entaodT
dt= −dU
dt,
logo, a potencia tambem pode ser expressa
como
P = F · v =dT
dt= −dU
dt.
Note que, se o sistema nao for conservativo so-
mente as seguintes expressoes serao validas:
P = F · v =dT
dt. (2.191)
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2.8.5 Dependencia Temporal da
Energia Potencial
E sabido (do calculo vetorial) que uma
condicao necessaria e suficiente para que a in-
tegral de linha de uma funcao vetorial em um
percurso fechado seja nula e que o rotacional
desta funcao seja zero. Sabe-se tambem que
se o rotacional de uma funcao vetorial e zero,
entao esta funcao pode ser escrita como o gra-
diente de uma funcao escalar. Se F nao de-
pende do caminho,
∇× F = 0 (2.192)
e portanto, podemos escrever
F = −∇U (2.193)
Assim,
−∫ P2
P1
(C)
F · dr = −∫ P2
P1
(C)
(−∇U) · dr
= U(P2)− U(P1) (2.194)
Este resultado deixa claro que a funcao U , defi-
nida em (2.193), e a energia potencial, definida
em (2.193). A forca e o negativo do gradiente
da energia potencial.
Define-se a energia mecanica da partıcula
como
E = T + U (2.195)
A derivada total da energia mecanica em
relacao ao tempo e
dE
dt=dT
dt+dU
dt(2.196)
De acordo com (2.150)
F · dr = d
(1
2mv2
)= dT (2.197)
de forma que,
dT
dt=
F · drdt
= F · drdt
= F · r (2.198)
A princıpio, a energia potencial poder ser
funcao da posicao e do tempo (na verdade ela
pode ser funcao tambem da velocidade mas nos
nao vamos considerar estes casos aqui). Sendo
assim, podemos escrever
dU
dt=∂U
∂x
dx
dt+∂U
∂y
dy
dt+∂U
∂z
dz
dt+∂U
∂t
= ∇U · r +∂U
∂t(2.199)
Dessa forma, a derivada da energia mecanica
torna-se
dE
dt= F · r +∇U · r +
∂U
∂t
= (F +∇U) · r +∂U
∂t. (2.200)
Se todas as forcas que atuam sobre a partıcula
puderem ser associadas a uma energia poten-
cial, podemos escrever
F = −∇U. (2.201)
de forma que,
dE
dt=∂U
∂t. (2.202)
Se a forca puder ser associada a uma energia
potencial e se U nao depender explicitamente
do tempo, a forca e dita ser conservativa. Nesse
caso
∂U
∂t= 0 =⇒ dE
dt= 0. (2.203)
A energia mecanica de uma partıcula sob a
acao de forcas conservativas e constante no
tempo.
2.8.6 Energia
O teorema da conservacao da energia
mecanica, apresentado na secao passada, nada
mais e que uma consequencia das Leis de
Newton. Entretanto, existem outras for-
mas de energia, como as energias termica e
Prof. Salviano A. Leao 69
eletrica, que podem ser convertidas em ener-
gia mecanica e vice-versa. A conservacao da
energia total de um sistema isolado e um pos-
tulado basico da fısica conhecido como lei da
conservacao da energia.
Considere um sistema mecanico sujeito a
uma forca conservativa com energia potencial
U ; por simplicidade, vamos supor que o sis-
tema seja unidimensional. A energia mecanica
(constante) e dada por
E = T + U =1
2mv2 + U(x) (2.204)
Esta equacao pode ser reescrita na forma
v =dx
dt= ±
√2
m[E − U(x)], (2.205)
a qual pode ser integrada da seguinte forma
t− t0 = ±∫ x
x0
dx√2m
[E − U(x)](2.206)
onde x = x0 em t = t0. Conhecendo-se U(x)
pode-se, em princıpio, resolver esta equacao
para se obter x(t). Muitas vezes e difıcil ob-
ter uma solucao analıtica para a integral acima
mas uma analise qualitativa da curva de ener-
gia potencial pode fornecer muitas informacoes
sobre o movimento da partıcula. Como exem-
plo, considere uma partıcula sujeita a energia
potencial da figura 2.35 a seguir.
Uma primeira observacao e que a energia
cinetica deve ser sempre positiva, o que sig-
nifica que a partıcula so pode estar nas regioes
onde E º U(x).
Se a energia da partıcula for igual a E1 , ela
tera um movimento periodico entre os pontos
de retorno xa e xb onde E1 º U(x).
Se a partıcula tiver energia E2 , ela podera
ter movimentos periodicos entre os pontos de
retorno xc e xd ou entre os pontos xe e xf mas
nao pode passar de uma regiao para a outra.
Figura 2.35: Um perfil de energia potencial ar-
bitrario.
Uma partıcula com energia E0 deve estar em
repouso em x0 que e a unica posicao onde E0
nao e menor que U.
Uma partıcula com energia E3, vem do infi-
nito, faz o retorno no ponto xg e volta, inver-
tendo o sentido do seu movimento.
Finalmente uma partıcula com energia E4
pode estar em qualquer posicao. Contudo a
sua velocidade nao e constante: ela dependera
da diferenca entre E4 e a energia potencial
U(x), de acordo com (2.206).
Exemplo 29 Variacao da gravidade com
a altura: (a) resolva as equacoes de movi-
mento de Newton levando em conta a variacao
da gravidade com a altura. Considere que a
massa da terra e M e que o raio da mesma e
R. (b) Calcule a altura maxima e a velocidade
de escape.
Solucao: A forca que a terra exerce sobre um
corpo de massa m, cuja distancia do seu centro
de massa ao da terra e r, e dada por:
Fr = −GMm
r2
e se este corpo estiver sobre a superfıcie da
terra, entao
Fr = −GMm
R2= −mg,
Prof. Salviano A. Leao 70
e daı tiramos que a aceleracao da gravidade g
e dada por:
g =GM
R2.
Na figura 2.36 abaixo ilustramos uma situacao
na qual o corpo de massa m se encontra a uma
altura x da superfıcie da terra, logo, a forca que
ira atuar sobre o mesmo e dada por:
Figura 2.36: Um corpo de massa m a uma al-
tura x da superfıcie da terra.
F (x) = − GMm
(R + x)2
= − R2
(R + x)2mg
= mx
mas como
x =dv
dt=dv
dx
dx
dt= v
dv
dxentao podemos escrever,
mvdv
dx= − R2
(R + x)2mg
mvdv = −mg R2
(R + x)2dx
Integrando esta equacao obtemos que
∆T =1
2mv2 − 1
2mv2
0
=−mgR2
∫ x
x0
dx
(R + x)2
=mgR2 1
(R + x)
∣∣∣∣x
x0
=mgR2
(1
(R + x)− 1
(R + x0)
).
Esta equacao expressa a conservacao da ener-
gia mecanica do sistema onde a energia poten-
cial gravitacional e dada por
U(x) = − R2
(R + x)mg.
(b) Agora iremos calcular a altura maxima
atingida pelo corpo e a sua velocidade de es-
cape. Suporemos que o objeto foi lancado da
superfıcie da terra x0 = 0, com uma veloci-
dade inicial v0, assim nossa equacao para a
conservacao da energia toma a forma:
v2 − v20 = 2gR2
(1
(R + x)− 1
(R + x0)
)
v2 = v20 −
2gRx
R + x
v2 = v20 − 2gx
(1 +
x
R
)−1
Para ( xR) ¿ 1, e fazendo uma expansao em
serie de Taylor da expressao acima, encontra-
mos que o termo de ordem zero e o mesmo
fornecido ao considerarmos que o campo gra-
vitacional e constante, ou seja,
v2 = v20 − 2gx.
No ponto de retorno, a altura atingida pelo
corpo e maxima, fazemos v = 0, e encontramos
que:
hmax. = xmax. =v2
0
2g
(1 +
xmax.
R
).
Isolando xmax. na equacao acima obtemos que:
xmax. =v2
0
2g
(1− v2
0
2gR
)−1
.
Se (v20
2gR) ¿ 1, encontramos que o termo de
ordem zero e xmax. =v20
2g, que e o mesmo para
o caso em que g = cte.
Para acharmos a velocidade v0 de escape, de-
vemos encontrar uma distancia na qual a in-
teracao gravitacional deste corpo com a terra
Prof. Salviano A. Leao 71
e nula. Isto so ocorre para distancias muito
grandes, infinitas, e neste caso basta tomarmos
xmax. →∞, na expressao:
v20 = lim
x→∞2gRx
R + x= 2gR
a qual pode ser reescrita como
v0 =√
2gR ≈ 11 km/s ≈ 7 min./s
considerando que,
g = 9.8 m/s2 e R = 6.4× 106m.
Na atmosfera da terra, a velocidade media
das moleculas de ar (O2 e N2) e da ordem de
0.5 km/s, que e consideravelmente menor que a
velocidade de escape da superfıcie da terra, e e
devido a isto que a terra retem sua atmosfera.
A lua por sua vez, nao tem atmosfera, devido
a velocidade de escape da superfıcie da lua ser
consideravelmente menor do que a velocidade
de escape da superfıcie da terra, ja que a massa
da lua e consideravelmente menor do que a da
terra. Portanto, na superfıcie da lua, qual-
quer oxigenio ou nitrogenio, eventualmente de-
saparecem. A atmosfera da terra, entretanto,
nao contem uma quantidade significante de hi-
drogenio, embora o hidrogenio seja o elemento
mais abundante em todo o universo. Uma at-
mosfera de hidrogenio teria escapado da su-
perfıcie da terra a muito tempo atras, devido a
velocidade molecular do hidrogenio ser grande
o suficiente, ja que o mesmo possui uma massa
pequena, o que significa que em um instante
qualquer, um numero significante de moleculas
de hidrogenio teriam uma velocidade que ex-
cedia a velocidade de escape da superfıcie da
terra.
Terra Lua
Raio 6.37× 106 m 1.738× 106 m
Massa 5.98× 1024 kg 7.35× 1022 kg
A razao entre o raio da terra Rt e o raio da
lua Rl eRt
Rl
≈ 3.67
ja a razao entre suas massas e
Mt
Ml
≈ 81.36.
Portanto, a razao entre as aceleracoes devido
a gravidade em suas superfıcie e
gt
gl
=Mt
Ml
(Rt
Rl
)−2
≈ 6.04
e a razao entre suas velocidades de escape e
vt
vl
=
√gt
gl
Rt
Rl
≈ 4.71
2.8.7 Equilıbrio
A energia potencial pode ser expandida em
serie de Taylor em torno de qualquer ponto x0
como
U(x) = U(x0) +
(dU
dx
)∣∣∣∣x0
(x− x0)
1!+
(d2U
dx2
)∣∣∣∣x0
(x− x0)2
2!+
(d3U
dx3
)∣∣∣∣x0
(x− x0)3
3!+ · · · (2.207)
Se a forca resultante que atua sobre um
corpo e nula (e tambem o torque), diz-se que
ele esta em equilıbrio. Se x0 for uma posicao
de equilıbrio, entao
F = −(dU
dx
)∣∣∣∣x=x0
= 0. Ponto de equilıbrio
(2.208)
Para pontos muito proximos da posicao de
equilıbrio, x − x0 e muito pequeno, de forma
que os termos alem de segunda ordem na ex-
pansao podem ser desprezados. Como a ener-
gia potencial e definida a menos de uma cons-
tante, podemos fazer U(x0) = 0 sem perda de
generalidade. Assim,
Prof. Salviano A. Leao 72
U(x) '(d2U
dx2
)∣∣∣∣x=x0
(x− x0)2
2!(2.209)
A forca que atua sobre uma partıcula no
ponto x e dada por
F = −dUdx
= −(d2U
dx2
)∣∣∣∣x=x0
(x− x0) .
(2.210)
Se,
(d2U
dx2
)∣∣∣∣x=x0
> 0 Equilıbrio estavel
(2.211)
entao a forca sera sempre contraria ao desloca-
mento, x − x0; a partıcula e puxada de volta
para a posicao de equilıbrio. Sendo assim, o
equilıbrio da partıcula e estavel. Na figura
2.35 anterior existem dois pontos de equilıbrio
estavel: um e o ponto x0 e o outro esta entre
xe e xf . Se
(d2U
dx2
)∣∣∣∣x=x0
< 0 Equilıbrio instavel
(2.212)
entao a forca estara sempre na direcao do
deslocamento; a partıcula e empurrada para
longe da posicao de equilıbrio. Sendo assim,
o equilıbrio da partıcula e instavel. Na figura
2.35 anterior existem tres pontos de equilıbrio
instavel: um a esquerda de xg, outro entre xd
e xe e outro a direita de xf .
Exemplo 30 Na figura 2.37 abaixo temos
uma corda leve, de comprimento b, com uma
extremidade presa no ponto A. A corda
passa sobre uma roldana no ponto B, a uma
distancia 2d de A, e tem uma massa m1 presa
a outra extremidade. Uma massa m2 esta
presa a outra roldana que passa sobre a corda
puxando-a para baixo entre os pontos A e B.
Calcule a distancia x1 para a qual o sistema
esta em equilıbrio e determine se o equilıbrio
e estavel ou instavel. Despreze as dimensoes e
as massas das roldanas.
Figura 2.37: Sistema constituıdo por duas rol-
danas.
Solucao: Este problema pode ser resolvido
pelo metodo da forca mas torna-se mais sim-
ples se usarmos o conceito de energia poten-
cial. Fazendo U = 0 ao longo da linha AB
podemos escrever
U = −m1gx1 −m2gx2 (2.213)
Se as roldanas forem pequenas podemos escre-
ver
x2 =
√1
4(b− x1)
2 − d2 (2.214)
e portanto,
U = −m1gx1 −m2g
√1
4(b− x1)
2 − d2
(2.215)
dU
dx1
= −m1g +m2g (b− x1)
4√
14(b− x1)
2 − d2
(2.216)
No equilıbrio, devemos ter
dU
dx1
= 0 (2.217)
Prof. Salviano A. Leao 73
Assim,
4m1
√1
4(b− x1)
2 − d2 = m2 (b− x1)
(b− x1)2 (
4m21 −m2
2
)= 16m2
1d2.
Portanto,
x1 = b− 4m1d√4m2
1 −m22
(2.218)
onde x0 = x1,eq.. Note que so existe solucao
real se
4m21 > m2
2 =⇒ 2m1 > m2 (2.219)
A derivada segunda e dada por,
d2U
dx21
= − m2g
4√
14(b− x1)
2 − d2
+
m2g (b− x1)2
16[
14(b− x1)
2 − d2]3/2
(2.220)
Fazendo x1 = x0, temos
(d2U
dx21
)∣∣∣∣x=x0
=g (4m2
1 −m22)
3/2
4m22d
(2.221)
Mas so havera equilıbrio se a condicao (2.219)
for satisfeita. Nesse caso, a derivada segunda
e positiva e o equilıbrio e estavel.
Exemplo 31 Considere o potencial unidi-
mensional
U(x) = −Wd2(x2 + d2)
x4 + 8d4(2.222)
onde W e uma constante positiva. Esboce
o grafico da energia potencial e responda as
seguintes questoes. O movimento e limi-
tado ou ilimitado? Quais sao os pontos de
equilıbrio? Estes pontos sao de equilıbrio
estavel ou instavel? Obtenha os pontos de re-
torno para E = W8.
Solucao: Para simplificar nossa analise, va-
mos fazer x = yd, de forma que o potencial
pode ser escrito como uma funcao de y como
U(y) = −W (y2 + 1)
y4 + 8(2.223)
Para esbocar o grafico e conveniente encontrar
primeiro os pontos de equilıbrio. Assim deve-
mos ter
dU
dy= −W 2y
y4 + 8+W
4y3(y2 + 1)
y4 + 8= 0
(2.224)
Portanto, a equacao acima reduz-se a
y(y4 + 2y2 − 8
)= 0
y(y2 + 4
) (y2 − 2
)= 0 (2.225)
Logo a solucoes da equacao acima sao: y = 0
e y = ±√2. Em termos de x, elas podem ser
escritas como: x = 0 e y = ±√2d.
Os valores da energia nestes pontos sao:
U(x = 0) = −W8
U(x =√
2d) = −W4
U(x = −√
2d) = −W4
Alem disso U(x)→ 0− (por valores negativos)
quando x → ±∞. A figura a seguir mostra o
grafico de U(x)× x.Os pontos x = ±√2d sao pontos de
equilıbrio estavel enquanto o ponto x = 0 e um
ponto de equilıbrio instavel.
O movimento e limitado para partıculas com
uma energia total no intervalo: −W/4 < E <
0 e ilimitado para partıculas com uma energia
total E ≥ 0.
Os pontos de retorno para E = −W/8 podem
ser obtidos fazendo
E = −W8
= U(y) = −W (y2 + 1)
y4 + 8(2.226)
Prof. Salviano A. Leao 74
Figura 2.38: No esboco do potencial acima,
mostramos os pontos de retorno, assim como
os pontos de mınima energia.
y4 + 8 = 8y2 + 8
y4 = 8y2 y = ±2√
2
y = 0,±2√
2
Portanto, os pontos de retorno para E =
−W/8 sao x = 2√
2d e x = −2√
2d, assim
como x = 0, o qual e um ponto de equilıbrio
instavel.
2.9 Movimento de fogue-
tes
O movimento de um foguete representa uma
situacao fısica interessante onde a Segunda Lei
de Newton pode ser aplicada a um sistema de
massa variavel. Examinaremos inicialmente o
caso do foguete sob a influencia de uma forca
externa, e posteriormente estudaremos duas
situacoes particulares distintas: (1) o movi-
mento do foguete na ausencia de forcas exter-
nas e (2) o movimento do foguete sob a acao da
gravidade. O primeiro caso requer a aplicacao
da conservacao do momentum linear. O se-
gundo caso requer uma aplicacao mais traba-
lhosa da segunda Lei de Newton.
2.9.1 Movimento do foguete:
forca externa
Considere um foguete viajando sob in-
fluencia de uma forca externa Fext., e por sim-
plicidade, que o seu movimento seja unidimen-
sional. Suponha tambem que em um dado ins-
tante a massa do foguete seja m e a sua velo-
cidade v, conforme a figura 2.39 abaixo. Em
um intervalo de tempo dt o foguete ejeta uma
massa dm′ (positiva) com velocidade −u (para
tras) em relacao ao foguete; a velocidade da
massa ejetada em relacao a um referencial fixo
(inercial) e v − u. Apos a ejecao de dm′, a
massa do foguete passa a ser m− dm′ e a sua
velocidade v + dv.
Figura 2.39: Movimento unidimensional de um
foguete sob a acao de uma forca externa Fext.
Momentum inicial: p(t) = p0 = mv
Momentum final: p(t+ dt) = pf
onde,
pf = (m− dm′)(v + dv)︸ ︷︷ ︸foguete
+ dm′(v − u)︸ ︷︷ ︸Massa ejetada
.
(2.227)
A variacao do momentum linear do sistema
neste intervalo de tempo e dada por
Prof. Salviano A. Leao 75
dp = pf − p0
= (m− dm′)(v + dv) + dm′(v − u)−mv= mdv − dm′dv − dm′u (2.228)
O produto das diferenciais dm′dv e muito
pequeno e pode ser desprezado. Assim, da Se-
gunda Lei de Newton, podemos escrever
Fext. =dp
dt= m
dv
dt− dm′
dtu (2.229)
Aqui e interessante fazer uma mudanca de
notacao. Da forma que foi definida, dm′ e
uma quantidade positiva. Por outro lado, a
taxa de variacao da massa do foguete e uma
quantidade negativa dada por (o foguete esta
perdendo massa)
dm
dt= −dm
′
dt(2.230)
Assim podemos escrever
Fext. =dp
dt= m
dv
dt+dm
dtu (2.231)
2.9.2 Movimento do foguete:
sem forca externa
Como exemplo, considere o caso em que o
foguete viaja no espaco livre da acao de forcas
externas. Nesse caso
mdv
dt= −udm
dt(2.232)
e portanto
dv = −udmm
(2.233)
Integrando a equacao acima, obtemos
v = −u ln(m) + C (2.234)
Supondo que no instante inicial v = v0 e m =
m0, entao a constante de integracao C e dada
por
C = v0 + u ln(m0), (2.235)
de forma que a velocidade do foguete pode ser
escrita em funcao da massa como
v = v0 + u ln(m0
m
)(2.236)
2.9.3 Foguete em ascensao
Considere agora, um foguete subindo sob a
influencia da forca gravitacional, por simplici-
dade suposta constante conforme a figura 2.40
abaixo. A equacao de movimento pode ser es-
crita como
Figura 2.40: Movimento de um foguete sob a
acao da gravidade.
−mg = mdv
dt+dm
dtu (2.237)
−mgdt = mdv + udm (2.238)
Vamos supor tambem que a taxa de perda
de massa seja constante, ou seja
dm
dt= −α =⇒ dt = −dm
α(2.239)
onde α e uma constante positiva. Assim a
equacao de movimento pode ser escrita em ter-
mos de v e m como
g
αmdm = mdv + udm (2.240)
dv =( gα− u
m
)dm (2.241)
Prof. Salviano A. Leao 76
Integrando, temos
v =g
αm− u ln(m) + C. (2.242)
Supondo que no instante inicial v = v0 e m =
m0, entao a constante de integracao C e dada
por
C = v0 − g
αm0 + u ln(m0) (2.243)
de forma que a velocidade do foguete pode ser
escrita em funcao da massa como
v = v0 +g
α(m−m0) + u ln
(m0
m
). (2.244)
A massa do foguete pode ser expressa como
funcao do tempo atraves da integracao de
(2.239). Assim teremos
m = m0 − αt (2.245)
de forma que a velocidade pode ser expressa
em funcao do tempo como funcao do tempo
como
v(t) = v0 − gt+ u ln
(m0
m0 − αt)
(2.246)
2.10 Limitacoes da
mecanica newtoni-
ana
Antes de encerrarmos este capıtulo gos-
tarıamos de fazer alguns comentarios sobre o
domınio de validade da Mecanica Newtoniana.
Ela descreve corretamente os fenomenos em es-
cala macroscopica onde os corpos se movem
com velocidades pequenas. No entanto, as
leis de Newton deixam de ser validas quando
os problemas envolvem dimensoes atomicas ou
quando as velocidades de interesse sao da or-
dem da velocidade da luz (c = 3, 0 × 108
m/s); nesses casos as teorias adequadas sao a
Mecanica Quantica e a Mecanica Relativıstica.
Alem disso, existe uma outra limitacao de
ordem pratica. Quando o numero de partıculas
e muito grande torna-se impossıvel (na pratica)
obter a posicao de todas elas como funcao do
tempo; nesse caso as propriedades de interesse
sao obtidas como medias e a teoria adequada
e a Mecanica Estatıstica. Nao entraremos em
detalhes nessas teorias porque sao assuntos de
outros cursos.
2.11 Problemas
1. Um menino de massa m puxa (horizontal-
mente) um treno de massa M . O coefi-
ciente de atrito cinetico entre o treno e a
neve e µc.
(a) Desenhe um diagrama mostrando to-
das as forcas que agem sobre o me-
nino e sobre o treno.
(b) Determine as componentes horizon-
tais e verticais de cada uma das
forcas no momento em que o menino
e o treno tem uma aceleracao a.
(c) Se o coeficiente de atrito estatico en-
tre os pes do garoto e o solo for
µe, qual e a aceleracao maxima que
ele pode fornecer a ele proprio e ao
treno, supondo-se que a tracao e o
fator que limita a aceleracao?
2. Um escovao de massa m e empurrado com
uma forca F dirigida ao longo do cabo,
que faz um angulo θ com a vertical. O
coeficiente de atrito cinetico com o solo e
µc e o estatico e µe.
(a) Desenhe um diagrama mostrando to-
das as forcas que agem sobre o es-
covao.
Prof. Salviano A. Leao 77
(b) Para θ e µc dados, determine a forca
F necessaria para que o escovao des-
lize com velocidade uniforme sobre o
solo.
(c) Mostre para 0 < θ < θc ( θc e
o angulo crıtico definido por µe =
tg θc), o movimento do escovao so-
bre o solo nao podera ser iniciado
quando o mesmo for empurrado pelo
cabo. Despreze a massa do cabo do
escovao.
3. Qual e a forca horizontal F que deve ser
aplicada ao conjunto mostrado na figura
abaixo de modo que a massa m1 nao
se mova relativamente a massa M . Os
atritos entre todas as superfıcies sao des-
prezıveis.
4. Um pequeno cubo de massa m e colo-
cado no interior de um funil que gira em
torno de um eixo com velocidade angular
ω. A parede do funil forma um angulo θ
com a horizontal. Seja µe o coeficiente de
atrito estatico entre o cubo e o funil e R a
distancia entre o cubo e o eixo de rotacao.
(a) Faca um diagrama mostrando as forcas
que atuam sobre o cubo. (b) Existem dois
valores de de ω, um maximo e um mınimo,
para o qual o cubo permaneca em repouso
relativamente ao funil. Calcule estes valo-
res.
5. Considere um carrinho de massa m1 = 2m
kg em um trilho preso a um bloco de
massa m2 = m kg conforme figura abaixo.
A este conjunto prende-se por um fio um
bloco de massa M desconhecida atraves
de uma roldana. Ao se abandonar o sis-
tema, mede-se o angulo θ e encontra-se
que tg θ = 13. Considerando os fios e a rol-
dana ideais, determine (a) a aceleracao de
cada um dos corpos e (b) o valor da massa
M em funcao de m.
6. Um bloco C de massa mC e colocado na
extremidade de uma prancha A de massa
mA, a uma distancia L do seu extremo,
conforme a figura abaixo. O coeficiente de
atrito estatico entre a prancha A e o bloco
Prof. Salviano A. Leao 78
C e µe e o cinetico e µc. Entre a prancha e
o solo nao ha atrito. Qual o maior valor da
massa mB do bloco B que posso acoplar
ao sistema para que o bloco C nao se mova
em relacao a prancha A. (b) Se a massa do
bloco B for maior do que o valor maximo
determinado no item anterior, em quanto
tempo o bloco C abandonara a prancha A.
7. Um escovao de massa m e empurrado com
uma forca F dirigida ao longo do cabo,
que faz um angulo θ com a vertical. O
coeficiente de atrito com o solo e µ. a)
Desenhe um diagrama mostrando todas
as forcas que agem sobre o escovao. b)
Para θ e µ dados, determine a forca F ne-
cessaria para que o escovao deslize com
uma velocidade uniforme sobre o assoa-
lho. c) Determine o angulo crıtico θc para
o qual o escovao nao ira se mover indepen-
dentemente do modulo da forca aplicada.
Despreze a massa do cabo do escovao.
8. Considere um plano inclinado cujo o coe-
ficiente de atrito cinetico e µc. Considere
que os dois blocos de de massas m e M ,
com M > m, foram abandonados no ins-
tante t = 0. (a) Usando os metodos de
energia determine a velocidade dos blocos
apos percorrerem uma distancia H. (b)
Determine o tempo que o bloco de massa
M leva para atingir o solo.
Resp. (a) v =
√2gH
[M−m(sen θ+µc cos θ)
M+m
];
(b) tq = M−m(sen θ+µc cos θ)M+m
g
9. Uma haste leve e rıgida, de comprimento
` tem uma massa m ligada a sua extremi-
dade, formando um pendulo simples. Ela
e invertida e em seguida largada. Quais
sao a velocidade v no ponto mais baixo e
(b) a tracao T , na suspensao, naquele ins-
tante? (c) O mesmo pendulo e, a seguir
colocado em posicao horizontal e abando-
nado. A que angulo da vertical a tracao na
suspensao sera igual ao peso em modulo?
Resp: (a) 2√g`, (b) 5mg (c)
71
10. Uma massa puntiforme m parte do re-
pouso e desliza sobre a superfıcie de uma
esfera sem atrito, de raio R. Meca os
angulos a partir da vertical e a energia po-
tencial a partir do topo da esfera. Ache (a)
a variacao da energia potencial da massa
com o angulo; (b) a energia cinetica como
uma funcao do angulo; (c) as aceleracoes
radiais e tangenciais em funcao do angulo;
(d) o angulo que a mass abandona a esfera.
Resp: (a) −mgR(1 − cos θ). (b)
mgR(1−cos θ. (c) ar = 2g(1−cos θ)
e at = g sen θ (d) θ = arc cos(2/3).
Prof. Salviano A. Leao 79
11. Uma partıcula de massa m move-se em
um cırculo vertical de raio R dentro de
um trilho. Nao ha atrito. Quando m esta
em sua posicao mais baixa, sua velocidade
e v0. (a) Qual e o valor mınimo vm de v0
para o qual m percorrera todo o trilho sem
perder contato com ele? (b) Suponha que
v0 = 0.775vm, entao a partıcula subira o
trilho ate um ponot P, no qual ela perdera
o contato com o trilho e perrcorera uma
trajetoria representada aproximadamente
pela linha pontilhada. Ache a posicao an-
gular θ do ponto P.
12. Uma escada rolante liga um andar de uma
loja com outro situado a 7.5 m acima. O
comprimento da escada rolante e de 12 m
e ela se move a 0.60 m/s. (a) Calcule a
potencia mınima do motor para transpor-
tar 100 pessoas por minuto, sendo a massa
media das pessoas de 70 kg. (b) Um ho-
men de 70 kg sobe a escada em 10 s. Qual
o trabalho realizado pelo motor sobre o
homem? (c) Se o homen ao chegar no meio
da escada, resolver voltar e iniciar a descer
ela, mas de modo a permanecer sempre no
mesmo nıvel, o motor realizaria trabalho
sobre ele? Em caso afirmativo com que
potencia? (use g = 9.8 m/s2)
Resp: (a) 8.755 kW; (b) 2.573 kJ;
(c) Sim, com 275 W.
13. Um bloco de massa m e abandonado so-
bre o trilho no ponto A como mostrada a
figura abaixo. Considerando que o coefi-
ciente de atrito cinetico entre o bloco e o
trajeto AB do trilho e µc (suponha que o
angulo de inclinacao da rampa seja tal que
tg θ > µe, onde µe e o coeficiente de atrito
estatico entre o bloco e o plano). (a) Que
velocidade o bloco deve ter no ponto B
para que ele consiga passar pelo ponto D?
(b) Determine o valor da altura mınima
hA que o bloco deve ser abandonado para
que ele consiga passar pelo ponto D?
14. Uma partıcula desliza sobre um trilho que
possui extremidades elevadas e uma parte
central plana. A parte central possui com-
primento ` = 20 m. As partes curvas nao
apresentam atrito. O coeficiente de atrito
cinetico da parte plana vale µc = 0.15.
Larga-se a partıcula no ponto A, cuja al-
tura h = 10 m. Em que ponto a partıcula
ira parar?
Prof. Salviano A. Leao 80
Resp.: Num ponto situado a 6, 67 m da
extremidade esquerda da parte plana.
15. Uma haste, rıgida bem leve, cujo com-
primento e `, tem presa em uma extre-
midade, uma bola de massa m. A outra
extremidade e articulada em torno de um
eixo, sem atrito, de tal modo que a bola
percorre um cırculo vertical. A bola parte
de uma posicao horizontal A, com veloci-
dade inicial v0, para baixo. A bola chega
ao ponto D e em seguida para. (a) En-
contre uma expressao para v0 em funcao
de `, m e g. (b) Qual a tensao na haste
quando a bola esta em B? (c) Um pouco
de areia e colocado sobre o eixo de arti-
culacao, apos o que, a bola chega ate C,
depois de ter partido de A com a mesma
velocidade de antes. Qual o trabalho rea-
lizado pelo atrito durante este moviemnto.
(d) Qual o trabalho realizado pelo atrito
antes da bola parar em B, apos oscilar re-
petidas vezes?
16. Uma massa puntiforme m parte do re-
pouso e desliza sobre a superfıcie de um
hemisferio esferico de raio R. Determine
a altura h que a massa e lancada para fora
do hemisferio, (a) sendo a superfıcie sem
atrito e (b) supondo que exista atrito entre
a massa e a superfıcie, e que a energia dis-
sipada pelo atrito seja igual a um quinto
da variacao da energia cinetica desde o
topo ate o ponto onde ele abandona a su-
perfıcie?
Resp: (a) h = 2R/3. (b) h = 5R/8.
17. Um garotinho esquimo desastrado escor-
rega do alto do seu iglu, um domo he-
misferico de gelo de 3 m de altura. (a)
De que altura acima do solo ele cai? (b) a
que distancia da parede o iglu ele cai?
Resp.: (a) 2 m (b) 0.37 m.
18. O cabo de um elevador de 3.0× 103 kg se
rompe quando ele esta parado no primeiro
andar, de modo que o piso do elevador
se encocntra a uma distancia d = 3, 6 m
acima do nıvel superior da mola, de cons-
tante elastica k = 1.5 × 106 N/m. Um
dispositivo de seguranca aperta os trilhos
que servem de guia ao elevador, de modo
que surge uma forca de atrito constante
de 4, 5× 103 N que se opoe ao movimento
do elevador. (a) Ache a distancia em que
a mola e comprimida. (b) Calcule a velo-
cidade do elevador quando a mola retorna
ao seu ponto de equilıbrio. (c) Calcule a
distancia percorrida pelo elevador quando
ele sobe sob a acao da mola. (d) Usando
o princıpio da conservacao da energia cal-
Prof. Salviano A. Leao 81
cule a distancia aproximada que o eleva-
dor percorrer ate parar?
19. Uma partıcula de massa m desliza sobre
um trilho (conforme a figura abaixo), o
qual entre os trechos AB, possui um coe-
ficiente de atrito cinetico µc. Determine a
velocidade vA mınima que a partıcula deve
ter no ponto A, para que ela consiga che-
gar ao ponto D, em funcao da distancia d,
da altura h, de g e de µc.
20. Considere um bloco de massa m, preso a
uma mola de constante elastica k, que des-
liza sobre uma superfıcie, cujo coeficiente
de atrito e µ (considere que o coeficiente
de atrito cinetico e estatico sao iguais). No
instante t = 0, o bloco foi deslocado para
a posicao x0 = A e foi solto. Determine a
variacao da amplitude ∆A de oscilacao do
bloco devido ao atrito em um ciclo com-
pleto. Sugestao, determine a perda em
meio ciclo e oberve que ela e constante.
Resp: ∆A = 4µmgk
21. Considere uma rampa que forma um
angulo θ com a horizontal e que sobre ela
a uma altura h abandona-se um bloco de
massa m. Considerando que o coeficiente
de atrito cinetico entre a rampa e o bloco
e µc e que tg θ > µe em que µe e o coefi-
ciente de atrito estatico entre o bloco e a
rampa. Entre o bloco e o plano horizon-
tal o atrito e desprezıvel. Considerando
a figura abaixo, determine (a) a maxima
compressao da mola. (b) Determine a al-
tura maxima atingida pelo bloco a retorna
a rampa.
22. Um bloco de massa m e abandonado sobre
o trilho no ponto A, conforme a figura an-
terior. Considerando que o coeficiente de
atrito cinetico entre o bloco e o trajeto AB
do trilho e µc (suponha que o angulo de in-
clinacao da rampa seja tal que tg θ > µe,
onde µe e o coeficiente de atrito estatico
entre o bloco e o plano). Sabe-se que o
modulo da forca resultante sobre o bloco
no ponto C e√
26mg. (a) Qual a forca
que o trilho exerce sobre o bloco no ponto
D, e (b) de que altura hA o bloco foi solto?
Resp: (a) 2mg; (b) hA =7R
2(1−µc cotg θ);
Prof. Salviano A. Leao 82
23. Um projetil e atirado com uma velocidade
inicial v0 e um angulo de elevacao α so-
bre uma colina de inclinacao β (β < α).
(a) Quanto tempo depois do lancamento
o projetil atinge o solo? (b) Qual o al-
cance? (c) Qual o valor de α para o qual
o alcance e maximo? (d) Qual o valor do
alcance maximo?
Figura 2.41: Lanamento de um projetil em
uma colina.
24. Suponha que a forca atuando sobre uma
partıcula ao longo de uma unica dimensao
possa ser fatorada em uma das seguintes
formas: (a) F (x, t) = f(x)g(t) (b)
F (x, t) = f(x)g(t) (c) F (x, x) =
f(x)g(x). Para quais casos as equacoes
de movimento sao integraveis?
25. Considere um projetil atirado vertical-
mente para cima com uma velocidade ini-
cial v0. Compare os tempos necessarios
para o projetil atingir a altura maxima
no caso em que nao ha resistencia do ar
e no caso em que a forca de resistencia e
proporcional a velocidade (Fr = −mkv).Suponha que o efeito da resistencia do ar
seja pequeno.
26. Um projetil e atirado com um angulo de
lancamento α acima da horizontal. Qual o
valor maximo de α para o qual a distancia
do projetil ao ponto de lancamento estaria
sempre aumentando enquanto ele viaja?
Despreze a resistencia do ar.
27. Considere uma partıcula em queda, a
partir do repouso, em um campo gra-
vitacional constante. Suponha que a
forca de resistencia do ar seja proporci-
onal ao quadrado da velocidade, ou seja,
Fr = −mkv2. (a) Obtenha a posicao da
partıcula como funcao da velocidade. (b)
Obtenha uma expressao para a velocidade
terminal da partıcula. (c) Mostre que a
partıcula percorre uma distancia
1
2kln
[g − kv2
1
g − kv22
]
desde o ponto onde sua velocidade e v1 ate
o ponto onde sua velocidade e v2.
28. Mostre explicitamente que a taxa de va-
riacao no tempo do momentum angular
de um projetil atirado da origem e igual
ao torque que atua sobre ele, ou seja, que
N = L. Considere o momentum angular
e o torque em relacao a origem e despreze
a resistencia do ar.
29. Um bloco de massa m desliza sem atrito
sobre o trilho da figura abaixo 2.42, onde
o angulo θ = 45. (a) Qual a forca que
o trilho exerce sobre o bloco no ponto A?
(b) Com que velocidade o bloco deixa o
trilho, no ponto B? (c) Qual a forca que
o trilho exerce sobre o bloco no ponto B?
(d) Quao longe do ponto A o bloco atinge
o solo?
30. A velocidade de uma partıcula de massam
varia com a distancia x atraves da relacao
v(x) = αx−n. Supondo que v(x = 0) = 0 e
x = 0 em t = 0, obtenha: (a) a forca F (x)
responsavel pelo movimento. (b) Deter-
mine x(t) e (c) F (t).
31. Um barco e lancado sobre um lago com
velocidade inicial v0. O barco e freado
Prof. Salviano A. Leao 83
Figura 2.42: Deslizamento em uma montanha
russa.
por uma forca de resistencia da agua dada
por F = −αeβv. (a) Determine uma ex-
pressao para a velocidade v(t). (b) Deter-
mine o tempo e (c) a distancia percorrida
pelo barco antes de parar.
32. Um cubo de lado b esta em equilıbrio no
topo de um cilindro de raio R, conforme
figura 2.43 abaixo. As superfıcies de con-
tato sao rugosas, de tal maneira que nao
ha deslizamento. Sob que condicoes o
equilıbrio e estavel?
Figura 2.43: Equilıbrio de um bloco no topo
de um cilindro de raio R.
33. Um trem move-se ao longo de um trilho
com uma velocidade constante u. Uma
mulher dentro do trem atira uma bola de
massam, para frente, com uma velocidade
v em relacao ao trem. (a) Qual a variacao
da energia cinetica da bola medida pela
mulher? (b) E por uma pessoa parada do
lado de fora do trem? Qual o trabalho
feito (c) pela mulher e (d) pelo trem sobre
a bola?
34. (a) Mostre que toda forca do tipo F =kr2 r e uma forca conservativa. (b) Avalie
o caso mais geral em que F = krαr.
35. Considere uma partıcula movendo-se na
regiao x > 0 sob influencia do potencial
U(x) =U0
x
(1 + αx2
)
onde, U0 > 0. Esboce o grafico do poten-
cial, obtenha os pontos de equilıbrio e diga
se o equilıbrio e estavel ou instavel.
36. Um foguete parte do repouso e viaja no
espaco livre de forcas externas. Para que
fracao da massa inicial do foguete o seu
momentum linear e maximo?
37. Considere um foguete subindo sob in-
fluencia do campo gravitacional da Terra,
suposto constante, com uma razao de
perda de massa dm/dt = −α. Mostre que
a altura atingida pelo foguete pode ser es-
crita como
y = ut−1
2gt2−
(m0 − αt
α
)u ln
[m0
m0 − αt]
38. Um foguete tem uma massa inicial m0 e
uma razao de perda de massa dm/dt =
−α. Qual a velocidade de exaustao
mınima para que o foguete consiga deco-
lar?
39. Um foguete avanca para cima num campo
da forca de gravidade a aceleracao cons-
tane af . Desprezando a resistencia do
Prof. Salviano A. Leao 84
ar e considerando a velocidade efetiva de
ejecao dos gases ve em relacao ao foguete,
constante, determine o intervalo de tempo
necessario para que a massa do foguete re-
duza a 50 % do seu valor inicial.
40. Um corpo cai sobre a Terra desde uma al-
tura h com velocidade inicial nula. Des-
preze a resistencia do ar considere que a
forca da gravidade e inversamente propor-
cional ao quadrado da distancia entre o
corpo e o centro da Terra. Considere que
o raio da Terra e R e que a aceleracao da
forca gravitacional na superfıcie da Terra
e g. (a) Ache o tempo T que o corpo gas-
tara para atingir a superfıcie da Terra em
funcao de R, h e g. (b) Determine veloci-
dade que ele atinge a superfıcie da Terra
em funcao de R, h e g.
41. Considere uma partıcula de massa m que
e repelida a partir do centro do sistema
de coordenadas por uma forca central pro-
porcional a distancia (o coeficiente de pro-
porcionalidade e mk2). A resistencia do
meio ambiente e proporcional a velocidade
da partıcula (o coeficiente de proporcio-
nalidade e 2mk1). No instante inicial, a
partıcula encontrava-se a uma distancia a
do centro e a sua velocidade era igual a
zero. (a) Determine uma expressao para
a distancia em funcao do tempo. (b) De-
termine uma expressao para a velocidade
em funcao do tempo.
42. A forca de resistencia ao avanco de um
corpo em um meio heterogeneo varia de
acordo com a lei FR = − 2kv2
r + r0N, onde
v e a velocidade do corpo em m/s e r e a
distancia percorrida em metros, r0 = 3
m e k e uma constante. Determinar a
distancia percorrida em funcao do tempo
sabendo que a velocidade inicial e v0 = 5
m/s.
43. Uma partıcula de massa m move-se em
uma linha reta sob a acao de uma forca di-
recionada para a origem O e proporcional
a distancia x da origem, de modulo mk2x.
A partıcula passa pela origem O com uma
velocidade u. Se x e a sua posicao no ins-
tante t e v e a sua velocidade, mostre que
u2 = v2 + (kx)2.
Prof. Salviano A. Leao 85
2.12 Apendice
A seguir apresntamos algumas relacoes funda-
mentais.
2.12.1 Expansoes em series de
Taylor
• ex = 1 + x+ 12x2 + 1
6x3 +O (x4)
• ln (1 + x) = x− 12x2 + 1
3x3 +O (x4)
• (1 + x)n = 1 + nx + 12!n (n− 1)x2 +
13!n (n− 1) (n− 2)x3 +O (x4)
• (1 − x)n = 1 − nx + 12!n (n− 1) x2 −
13!n (n− 1) (n− 2)x3 +O (x4)
• senx = x− 16x3 +O (x4)
• cosx = 1− 12x2 +O (x4)
• tan x = x+ 13x3 +O (x4)
2.12.2 Funcoes Hiperbolicas
As funcoes hiperbolicas sao definidas por:
senh(x) =ex − e−x
2,
cosh(x) =ex + e−x
2,
tgh(x) =senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x),
cosech(x) =1
senh(x),
cotgh(x) =cosh(x)
senh(x).
Disto segue-se a seguinte relacao:
cosh2(x)− senh2(x) = 1
sech2(x) + tgh2(x) = 1
cotgh2(x)− cosech2(x) = 1
As derivadas destas funcoes sao:
d
dxsenh(x) = cosh(x)
d
dxcosh(x) = senh(x)
d
dxtgh(x) = sech2(x)
d
dxsech(x) = − sech(x) tgh(x)
d
dxcosech(x) = − cosech(x) cotgh(x)
d
dxcotgh(x) = − cosech2(x)
Observe ainda que
arcsenh(x) = ln |x+√x2 + 1|
= arctgh
(x√x2 + 1
)
= arccosh(√x2 + 1)
> 0, Se x > 0
< 0, Se x < 0
arccosh(x) = ± ln |x+√x2 − 1|, x > 1
= arctgh
(x√
x2 − 1
), x > 1
= ± arcsenh(√x2 − 1).
arctgh(x) =1
2ln
(1 + x
1− x), |x| < 1
arcotgh(x) =1
2ln
(x+ 1
x− 1
), |x| > 1
Das relacoes fundamentais acima, pode-se
ver facilmente que:
cosh(x) + senh(x) =ex
cosh(x)− senh(x) =e−x
Prof. Salviano A. Leao 86
e usando estas relacoes pode-se mostrar que:
senh(x+ y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y)
cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)
2.12.3 Funcoes trigonometricas
Formulas da adicao
sen (A±B) = senA · cosB ± senB · cosA
cos (A±B) = cosA · cosB ∓ senA · senB
tg (A±B) =tgA± tgB
1∓ tgA · tgB
Formulas da multiplicacao
sen 2θ = 2 sen θ · cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ
= 2 · cos2 θ − 1
= 1− 2 · sen2 θ
tg 2θ =2 · tg θ
1− tg2 θ
Formulas da divisao
cos θ = cos2 θ
2− sen2 θ
2
= 2 · cos2 θ
2− 1
= 1− 2 · sen2 θ
2
senθ
2= ±
√1− cos θ
2
cosθ
2= ±
√1 + cos θ
2
tgθ
2=
sen θ2
cos θ2
= ±√
1− cos θ
1 + cos θ
Transformacao em Produto
sen (α+ β) + sen (α− β) = 2 senα · cos β
sen (α + β)− sen (α− β) = 2 sen β · cosα
cos (α+ β) + cos (α− β) = 2 cosα · cos β
cos (α + β)− cos (α− β) = −2 senα · sen β
Seja,
α + β = p
α− β = q
α =p+ q
2
β =p− q
2
Prof. Salviano A. Leao 87
sen p+ sen q = 2 sen
(p+ q
2
)· cos
(p− q
2
)
sen p− sen q = 2 sen
(p− q
2
)· cos
(p+ q
2
)
cos p+ cos q = 2 cos
(p+ q
2
)· cos
(p− q
2
)
cos p− cos q = −2 sen
(p+ q
2
)· sen
(p− q
2
)
Referencias Bibliograficas
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Fısica um curso universitario: Mecanica,
volume I. Editora Edgard Blucher, 1972.
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Teorica. Editora Mir, 1978.
[15] Kazunori Watari. Mecanica Classica. Edi-
tora Livraria da Fısica, 2003.
88
Capıtulo 3
Oscilacoes
3.1 Introducao
Qualquer movimento que se repete em in-
tervalos de tempo iguais constitui um movi-
mento periodico. O movimento periodico de
uma partıcula sempre podera ser expresso em
funcao de senos e de cossenos, motivo pelo
qual ele tambem e denominado movimento
harmonico.
Se uma partıcula em movimento periodico
se mover para frente e para tras na mesma tra-
jetoria, o seu movimento e denominado osci-
latorio ou vibratorio.
Oscilacoes sao encontradas em todas as areas
da fısica. Exemplos de sistemas mecanicos vi-
bratorios incluem pendulos, diapasoes, cordas
de instrumentos musicais, colunas de ar em ins-
trumentos de sopro, etc. A corrente eletrica,
que chega as nossas casas e alternada, ou seja,
e oscilatoria, e as oscilacoes da corrente em
circuitos eletricos tem inumeras aplicacoes im-
portantes.
Um pendulo desviado da posicao de
equilıbrio e depois solto fornece um exemplo
de oscilacoes livres, em que o sistema, apos
termos estabelecido sua configuracao inicial,
nao sera mais submetido a nenhum tipo de
forca externa oscilatoria, e isto fara com que
ele tenha seu proprio perıodo de oscilacao que
e determinado pelos parametros que caracte-
rizam o pendulo. Se submetermos o pendulo
a impulsos externos periodicos, teremos uma
oscilacao forcada, em que e preciso levar em
conta tambem o perıodo das forcas externas
e sua relacao com o perıodo proprio das os-
cilacoes livres do sistema.
As oscilacoes nao sao uma exclusividade dos
sistemas mecanicos. As ondas de radio, as
microondas e a luz visıvel resultam de cam-
pos eletricos e magneticos oscilantes. Este
e o caso de um circuito sintonizado, em um
radio, ou em uma cavidade metalica fechada,
na qual se introduz energia sob a forma de mi-
croondas, que podem oscilar eletromagnetica-
mente. A analogia e grande, fundamentando-
se no fato de que as oscilacoes mecanicas e as
eletromagneticas sao descritas pelas mesmas
equacoes basicas.
3.2 Pequenas Oscilacoes:
Lineares e Nao-
Lineares
Considere uma partıcula de massa m, que
se move sob a acao de um potencial unidimen-
sional conservativo U(x) (mostrado na figura
3.1), com uma energia total E, cuja posicao
esta limitada ao intervalo xa ≤ x ≤ xb. Se
nenhuma outra forca atuar sobre a partıcula,
entao a forca resultante sobre a partıcula e con-
servativa. Portanto, a partıcula oscila sobre
89
Prof. Salviano A. Leao 90
um segmento de reta bem definido, entre os
pontos xa e xb.
Figura 3.1: Energia potencial U(x) devido a
uma forca conservativa F (x) qualquer.
Considere que esta oscilacao entre os pontos
xa e xb e pequena. A figura 3.2, mostra uma
ampliacao da regiao onde ocorre esta pequena
oscilacao.
Como potencial U(x) e conservativo, a ener-
gia total da partıcula e conservada e bem defi-
nida, sendo expressa por
E = U(xa) = U(xb).
Para um ponto qualquer x da trajetoria da
partıcula, tem-se que
E =1
2mv2 + U(x) = cte. = U(xa) = U(xb),
pois a energia total e conservada.
No grafico da figura 3.2 tem-se a forca resul-
tante sobre a partıcula em funcao da posicao,
para pequenas oscilacoes em torno da posicao
de equilıbrio. Do grafico de F (x)× x, pode-se
concluir que a forca e linear (entre os pontos xa
e xb,) no regime de pequenas oscilacoes, assim
pode-se escrever como uma boa aproximacao
que,
F(x) ' −kx x,
na qual k e uma constante (geralmente, conhe-
cida como constante elastica da mola, quando
Figura 3.2: Energia potencial U(x) devido a
uma forca F (x), que entre os pontos xa e xb,
pode ser considerada aproximadamente linear.
tratamos com sistemas do tipo massa mola).
Percebe-se entao que para pequenas oscilacoes
o sistema e equivalente ao sistema massa mola
(a expressao acima para a forca tambem e co-
nhecida como Lei de Hooke).
Considere uma partıcula movendo-se sob a
acao de uma forca, cuja funcao energia poten-
cial e aquela da figura 3.1, e que sua energia to-
tal e pequena o suficiente, de modo que ela os-
cila em torno do ponto de equilıbrio estavel x0.
Expandindo em serie de Taylor a funcao ener-
gia potencial em torno do ponto de equilıbrio
Prof. Salviano A. Leao 91
estalvel x0, obtem-se que
U(x) = U(x0) +
(dU
dx
)∣∣∣∣x0
(x− x0)
1!+
(d2U
dx2
)∣∣∣∣x0
(x− x0)2
2!+
(d3U
dx3
)∣∣∣∣x0
(x− x0)3
3!+
(d4U
dx4
)∣∣∣∣x0
(x− x0)4
4!+ · · ·
Por simplicidade, sera considerado somente
o caso de pequenos deslocamentos em torno da
posicao de equilıbrio de potenciais simetricos.
O termo U(x0) e um termo constante e pode
ser ignorado, o que nao ira afetar o resultado fi-
nal. Desde que x0 e um ponto de mınimo, para
o equilıbrio estavel num potencial simetrico,
todos os termos de ordem ımpar na expansao
acima sao identicamente nulos, portanto,
(dU
dx
)∣∣∣∣x0
=
(dU
dx
)∣∣∣∣x0
= 0,
enquanto, (d2U
dx2
)∣∣∣∣x0
> 0.
Definindo,
z = x− x0
(d2U
dx2
)∣∣∣∣x0
= k
1
3!
(d4U
dx4
)∣∣∣∣x0
= +ε
Entao a funcao energia potencial pode ser
escrita como
U(z) =1
2kz2 +
1
4εz4 + · · · (3.1)
Considerando que a origem das coordenadas
esta localizada no ponto do equilıbrio estavel,
de modo que x0 = 0 e z = x, e desprezando
os termos de ordens superiores a quarta ordem
em x, na eq. (3.1), obtem-se
U(x) =1
2kx2 +
1
4εx4 (3.2)
Alem disso, como a partıcula move-se sob a
acao de forcas conservativas, pode-se escrever
F (x) = −dUdx
o que significa que a forca resultante sobre a
partıcula e dada por,
F (x) = −kx− εx3. (3.3)
3.2.1 Oscilacoes Lineares
Como uma primeira aproximacao sera man-
tido somente os termos de segunda ordem em x
na expansao da energia potencial, desta forma
tem-se que
U(x) =1
2kx2 (3.4)
F (x) = −kx (3.5)
na qual,
k =
(d2U
dx2
)∣∣∣∣x0
= −(dF
dx
)∣∣∣∣x0
> 0 (3.6)
Como, (d2U/dx2)x0> 0 e sempre positivo, a
constante k tambem sera sempre positiva. Por-
tanto, a forca F = −kx e proporcional ao des-
locamento x e esta sempre direcionada para o
ponto de equilıbrio. Uma forca com estas ca-
racterısticas e chamada de forca restauradora
linear. O potencial correspondente a esta forca
e parabolico sendo expresso pela eq. (3.4), cujo
comportamento e mostrado nas linhas ponti-
lhadas das figuras 3.2 e 3.3.
Sistemas fısicos envolvendo molas, pendulos,
e deformacoes elasticas sao descritos pelas
equacoes (3.4) e (3.5) e eles obedecem a lei de
Hooke. Isto e verdade somente para peque-
nos deslocamentos, pois permanece no limite
Prof. Salviano A. Leao 92
Figura 3.3: Energia potencial U(x) devido a
uma forca F (x), que entre os pontos xa e xb,
pode ser considerada aproximadamente linear.
elastico, como mostrado na figura 3.3(a). Alem
disso, os resultados obtidos ainda sao aproxi-
mados. Nestes sistemas a constante k e defi-
nida como forca por unidade de comprimento,
e a sua unidade e newtons por metro (N/M), e
ela e geralmente chamada de constante elastica
da mola. Ja 1/k e chamado de flexibilidade da
mola.
3.2.2 Oscilacoes Nao-Lineares
Se os deslocamentos do sistema em relacao
ao ponto de equilıbrio estavel nao forem pe-
quenos o suficiente (ou se desejarmos incluir
termos de mais altas ordens na expansao da
energia potencial), o sistema tera uma resposta
nao-linear, e desta forma nao podemos manter
somente os termos de segunda ordem em x na
expansao da energia potencial. Assim, teremos
que incluir os termos nao nulos de maior or-
dem seguintes aos de segunda ordem, ou seja,
os de quarta ordem. Portanto, a forca tera um
termo em x3 enquanto a energia potencial tera
um termo em x4. Diferentes formas de forcas
e potenciais sao ilustrados na figura 3.3 para
sistemas nao lineares.
Para um sistema nao-linear, a resposta sera
dada pela forca
F (x) = −kx− εx3.
Aqui devemos lembrar que ε e muito pequeno
quando comparado a k, mas sua magnitude e
sinal afetam o termo linear −kx, e portanto, a
forca resultante F (x). Se ε < 0, a magnitude
da forca F (x) sera menor do que a forca li-
near −kx sozinha e o sistema e dito ser macio.
Por outro lado, se ε > 0, a magnitude da forca
F (x) sera maior do que a forca linear −kx so-
zinha e o sistema e dito ser duro. As forcas e
as energias potenciais sao mostradas na figura
3.3.
Exemplo 32 Considere uma partıcula de
massa m, presa a duas molas identicas, de
constante elastica k e comprimento natural l,
conforme a figura 3.4. Inicialmente as mo-
las nao estao distendidas. Ao deslocarmos a
partıcula ao longo do eixo X, de uma distancia
x, encontre a forca resultante sobre a partıcula.
Figura 3.4: Uma partıcula de massa m preso a
duas molas identicas de constante elastica k.
Prof. Salviano A. Leao 93
Solucao: Devido a simetria, a forca resul-
tante sobre a partıcula estara ao longo do eixo
X, e e dada por
Fr = mx = −2k(S − l) sen θ,
mas como sen θ = x/S, portanto,
Fr = −2k
(x− lx
S
)
= −2kx
(1− l√
x2 + l2
)
= −2kx
(1− 1√
1 + (x/l)2
).
Para pequenos deslocamentos em torno da
posicao de equilıbrio, ou seja, para x/l ¿ 1,
podemos expandir em serie de Taylor o ultimo
termo da expressao anterior 1, e mantendo so-
mente o termo de segunda ordem, obtemos
Fr ∼ −2kx
[1
2
(xl
)2]∼ −kl
(xl
)3
que e uma forca nao linear, portanto, dizemos
que a resposta do sistema e nao linear.
3.2.3 Moleculas Diatomicas
A figura 3.5 abaixo mostra uma curva de
energia potencial tıpica para uma molecula
diatomica; para simplificar imagine que o
atomo da esquerda esteja fixo na origem en-
quanto a posicao do atomo da direita seja
variavel. Quando a distancia inter-atomica
e muito pequena, predomina a forca de re-
pulsao eletrica entre os nucleos carregados po-
sitivamente; assim, U → ∞ quando R → 0.
Por outro lado, quando R → ∞, e como
se tivessemos dois atomos separados por uma
1Sabemos que:
(1 + x)n = 1+n
1!x+
n(n− 1)2!
x2+n(n− 1)(n− 2)
3!x3+. . . .
distancia muito grande, de forma que U → 0.
Entre estes dois limites existe uma posicao
de equilıbrio estavel (separacao inter-nuclear
de equilıbrio). A energia potencial pode ser
Figura 3.5: Um bloco de massa m preso a uma
mola de constante elastica k. Este bloco esta
oscilando em torno da sua posicao de equilıbrio
x = 0.
expandida em serie de Taylor em torno da
posicao de equilıbrio como
U(R) = Ueq. +
(dU
dR
)∣∣∣∣Req.
(R−Req.)
1!+
(d2U
dR2
)∣∣∣∣Req.
(R−Req.)2
2!+
(d3U
dR3
)∣∣∣∣Req.
(R−Req.)3
3!+ · · ·
Note que Req. e um ponto de equilıbrio, de
forma que (dU
dR
)∣∣∣∣Req.
= 0 (3.7)
o que justifica a ausencia do termo linear na
expansao.
Em um movimento molecular tıpico os
atomos se afastam da posicao de equilıbrio
Prof. Salviano A. Leao 94
por distancias que sao muito pequenas quando
comparadas a separacao de equilıbrio, ou seja,
R−Req. ¿ Req. (3.8)
Sendo assim, os termos de terceira ordem
em diante na expansao da energia podem ser
desprezados, de forma que
U(R) ≈ Ueq.+
(d2U
dR2
)∣∣∣∣Req.
(R−Req.)2
2!. (3.9)
A forca sobre o atomo da direita e dada por
F (R) = −dUdR
= −(d2U
dR2
)∣∣∣∣Req.
(R−Req.)
(3.10)
E comum definir a notacao
x ≡ R−Req. k ≡(d2U
dR2
)∣∣∣∣Req.
(3.11)
de forma que podemos escrever
F (x) = −kx, e U =1
2kx2 (3.12)
onde k e uma constante positiva. Sistemas
fısicos onde a forca e dada por esta expressao
sao chamados de oscilador harmonico simples.
Muitos exemplos de oscilador harmonico
simples podem ser encontrados na natureza. O
mais conhecido e o sistema massa-mola onde a
forca e proporcional ao deslocamento para dis-
tensoes pequenas (Lei de Hooke). Um ponto
da corda de um violao executa um movimento
harmonico simples (MHS) quando a corda esta
vibrando.
3.3 Oscilador Harmonico
Simples
Consideremos uma partıcula de massa m,
que oscila em torno de uma posicao de
equilıbrio; a forca que atua na partıcula e dada
por (Lei de Hooke):
F (x) = −kx,
e como dU = −F (x)dx (vetorialmente, temos
F = −kxi e d~ = dxi, logo, F · d~ = −kxdx,quem define a direcao dos deslocamentos d~ sao
os limites de integracao.), entao
U(x)− U(0) = −∫ x
0
F (x)dx
=
∫ x
0
kxdx =1
2kx2.
Considerando U(0) = 0, temos entao, que a
energia potencial de uma partıcula sob a acao
de uma forca do tipo F (x) = −kx, e dada por:
U(x) =1
2kx2.
Uma partıcula oscilante que tenha tais
caracterısticas e denominada oscilador
harmonico simples e seu movimento chama-se
movimento harmonico simples. No movimento
harmonico simples os limites de oscilacao sao
simetricos em relacao a posicao de equilıbrio.
Em relacao a figura 3.2, isto significa dizer
que xb = −xa = a ou xb = a e xa = −a. Esta
propriedade nao e valida para movimentos
mais gerais em que xa 6= xb, os quais embora
ainda sejam movimentos harmonicos, nao
sao mais harmonicos simples. O modulo do
deslocamento maximo, isto e, (considerando
xb = a e xa = −a) a, e sempre considerado
positivo, e chama-se amplitude do movimento
harmonico simples.
Na figura 3.6, mostramos um exemplo de
um oscilador harmonico simples, o qual e cons-
tituıdo por um bloco de massa m preso a uma
mola ideal (mola com uma massa desprezıvel),
cuja a constante elastica ou constante da forca
e k, e que move-se sobre uma superfıcie ho-
rizontal livre de atrito. Note que na posicao
Prof. Salviano A. Leao 95
Figura 3.6: Um bloco de massa m preso a uma
mola de constante elastica k. Este bloco esta
oscilando em torno da sua posicao de equilıbrio
x = 0.
de equilıbrio a mola nao exerce forca sobre o
bloco. Se o bloco e deslocado para a direita
(mola distendida), a forca exercida pela mola
sobre o corpo esta dirigida para a esquerda,
e e dada por F = −kx. Deslocando-se o
bloco para a esquerda (mola comprimida) a
forca ira apontar para a direita, sendo dada por
F = −kx. Devemos observar que o sinal nega-
tivo e que da o sentido correto da forca, pois
F = F x = −kx x. Para x > 0 a forca aponta
para a esquerda logo F = −k|x| x. Para x < 0
a forca aponta para a direita logo F = k|x| x.
Em cada caso a forca sempre esta apontando
para a posicao de equilıbrio do bloco, e quando
isto ocorre, chamamos esta forca de forca res-
tauradora. O movimento deste bloco oscilante
e um movimento harmonico simples.
Se ao deslocarmos uma partıcula da sua
posicao de equilıbrio, e a forca resultante so-
bre a partıcula sempre apontar para a posicao
de equilıbrio, esta forca sera chamada de forca
restauradora.
A equacao F = −kx e uma empırica conhe-
cida como Lei de Hooke. Ela e um caso espe-
cial de uma relacao mais geral, que descreve
a deformacao elastica dos corpos, descoberta
por Robert Hooke (1635-1703). As molas e
os outros corpos elasticos obedecem a tal lei,
desde que sua deformacao nao seja excessiva-
mente grande. Se o solido (ou mola) for defor-
mado alem de certo ponto, denominado limite
elastico, ele nao retornara a sua forma inicial
quando suprimirmos a forca aplicada. Ocorre
que a lei de Hooke e valida quase ate o limite
elastico, para a maioria dos materiais comuns.
O intervalo de valores das forcas aplicadas para
os quais e valida a lei de Hooke denomina-se
regiao proporcional. Alem do limite elastico, a
forca nao pode mais ser especificada por uma
funcao energia potencial (F (x) 6= −dUdx
), pois
a forca depende entao de muitos fatores, in-
clusive da rapidez da deformacao e da historia
previa do solido.
Note que a forca restauradora (F = −kx)e a funcao energia potencial (U(x) = 1
2kx2)
do oscilador harmonico sao as mesmas de um
solido deformado em uma dimensao, desde que
a deformacao esteja na regiao proporcional.
Se libertado, o solido deformado vibrara, tal
como o oscilador harmonico. Portanto en-
quanto a amplitude de vibracao se mantiver
suficientemente pequena, isto e, enquanto a de-
formacao permanecer na regiao proporcional,
as vibracoes mecanicas se comportam exata-
mente como osciladores harmonicos simples.
E facil generalizar essa discussao e mostrar
que qualquer problema que envolva vibracoes
mecanicas de pequenas amplitudes, em tres di-
mensoes, reduz-se a uma combinacao de oscila-
dores harmonicos simples. Na figura 3.7, mos-
tramos um modelo de um solido, no qual todas
as suas interacoes sao trocadas por molas.
Cordas ou membranas vibrantes, vibracoes
sonoras, as oscilacoes de atomos em solidos,
assim como as oscilacoes eletricas ou acusticas
Prof. Salviano A. Leao 96
Figura 3.7: Modelo de um solido
em uma cavidade, podem ser todas descritas
sob uma forma matematicamente identica a de
um sistema de osciladores harmonicos. A ana-
logia permite-nos resolver problemas em uma
area, usando as tecnicas desenvolvidas em ou-
tras areas. E e este fato que torna o oscilador
harmonico um dos mais importantes sistemas
fısicos, pois com ele conseguimos modelar um
grande numero de outros sistemas.
3.4 Estudo do Movimento
Harmonico Simples
Consideremos um oscilador harmonico sim-
ples, o qual e constituıdo por um corpo de
massa m presa a uma mola ideal (ver figura
3.6), cuja a constante elastica da mola e k e
que pode mover-se sobre uma superfıcie hori-
zontal lisa (sem atrito). A equacao de movi-
mento, que da a posicao da massa em funcao
do tempo, isto e x(t), e dada pelo uso da lei
de Hooke (F = −kx) e pela segunda lei de
Newton (F = md2xdt2
):
F = md2x
dt2= −kx
d2x
dt2= − k
mx.
Chamando
ω20 =
k
m=⇒ ω0 =
√k
m,
podemos escrever
d2x
dt2= −ω2
0x =⇒ d2x
dt2+ ω2
0x = 0. (3.13)
Agora iremos introduzir uma notacao muito
usada por fısicos e engenheiros, na qual as de-
rivadas em relacao ao tempo sao representadas
da seguinte forma:
dx
dt= x ⇒ Velocidade
d2x
dt2= x ⇒ Aceleracao
assim, a equacao anterior tambem pode ser es-
crita da seguinte forma:
x+ ω20x = 0. (3.14)
Agora, vamos buscar uma solucao para a
equacao acima. Olhando para a equacao
(3.13), devemos lembrar do calculo que as
unicas funcoes que ao serem derivadas duas ve-
zes, retornam em si mesmas a nao ser por um
fator multiplicativos, sao as funcoes seno, cos-
seno e a funcao exponencial. Como no caso
do oscilador harmonico a posicao x(t), oscila
com o tempo, entao so temos duas possıveis
funcoes que podem satisfazer a equacao acima,
a funcao seno e a funcao cosseno. Pois,
d
dtcos (ω0t) = −ω0 sen (ω0t)
d2
dt2cos (ω0t) = −ω2
0 cos (ω0t)
d
dtsen (ω0t) = −ω0 cos (ω0t)
d2
dt2sen (ω0t) = −ω2
0 sen (ω0t) .
Logo, as funcoes x(t) = a cos (ω0t) e x(t) =
b sen (ω0t), satisfazem a equacao (3.13), e sao
Prof. Salviano A. Leao 97
uma solucao para o problema e os coeficientes
a e b sao constantes a serem determinadas. En-
tretanto a solucao mais geral e dada pela soma
das duas solucoes encontradas. Assim,
x(t) = a cos (ω0t) + b sen (ω0t) (3.15)
Como a equacao que resolvemos a deri-
vada de mais alta ordem era uma derivada se-
gunda, entao a sua solucao geral devera apre-
sentar duas constantes a serem determinadas,
no nosso caso as constantes a e b. Mas a
equacao acima ainda pode ser reescrita em uma
forma mais conveniente se considerarmos que
as constantes a e b sao os lados de um triangulo
retangulo (ver figura 3.8 abaixo) onde,
Figura 3.8: Triangulo retangulo.
cos δ =a√
a2 + b2e sen δ =
b√a2 + b2
com,
δ = arctg
(b
a
)
Portanto, multiplicando e dividindo a eq.
(3.15) por√a2 + b2, temos:
x(t) =√a2 + b2
[a√
a2 + b2cos (ω0t) +
b√a2 + b2
sen (ω0t)
]
=√a2 + b2 [cos δ cos (ω0t) +
sen δ sen (ω0t)]
=√a2 + b2 cos (ω0t− δ) .
Podemos sem perda de generalidade esco-
lher a amplitude de oscilacao do oscilador
harmonico como sendo A =√a2 + b2, por-
tanto nossa solucao geral sera:
x(t) = A cos (ω0t− δ) .Devemos observar que esta solucao ainda
apresenta duas constantes a serem determina-
das, A e δ, pelas condicoes iniciais do pro-
blema. Vamos agora tentar estabelecer qual
e a periodicidade do movimento, ou seja, de
quanto em tempo este movimento se repete,
para isto, iniciaremos nossa analise observando
que:
cos (ω0t− δ) = cos (ω0t− δ − 2π)
= cos
[ω0
(t+
2π
ω0
)− δ
].
Devemos observar na expressao acima que
o termo 2πω
= T tem dimensao de tempo, e
que ao somarmos este tempo a um instante de
tempo t qualquer, o movimento da partıcula
ira se repetir novamente. Portanto a este in-
tervalo de tempo damos o nome de perıodo do
movimento, assim
T =2π
ω0
=⇒ ω0 =2π
T
T = 2π
√m
k.
Agora vamos definir a chamada frequencia
(ν) do movimento, que e dada pela razao en-
tre o numero de oscilacoes realizadas em um
Prof. Salviano A. Leao 98
determinado intervalo de tempo (∆t) por este
intervalo de tempo ∆t, ou seja,
ν =Numero de oscilacoes (ou voltas)
∆t=
1
T.
Como em um perıodo T , damos somente uma
volta, entao o numero de oscilacoes e uma em
um perıodo. Portanto,
1
ν=
2π
ω0
=⇒ ν =ω0
2π
ω0 = 2πν =⇒ ν =1
2π
√k
m. (3.16)
A frequencia nos da o numero de oscilacoes
por unidade de tempo. Por exemplo, considere
uma frequencia de 1.5 Hz, isto significa que a
partıcula da uma volta e meia em um segundo.
As unidades, das novas grandezas definidas
ate agora sao:
Sımbolo Nome Unidade
T Perıodo s
ω0 Frequencia Angular rad/s
ν Frequencia 1 Hertz
A Amplitude m
ω0t+ δ Fase radianos
δ Constante de fase radianos
Devemos ressaltar aqui que a solucao encon-
trada para a equacao do Oscilador Harmonico
Simples sera de grande ajuda em muitas si-
tuacoes fısicas que encontraremos, por exem-
plo: carga e descarga de um capacitor ligado
em serie com um indutor, sistemas de amorte-
cedores, modelo atomico da polarizabilidade,
etc. Em todos estes casos as equacoes que ire-
mos resolver sera a do oscilador harmonico a
qual ja conhecemos a solucao. O que ira mudar
sera o significado fısico das variaveis envolvi-
das. Por exemplo, a equacao de um capacitor
de capacitancia C ligado em serie com um in-
dutor de indutancia L e:
LdI
dt+
1
Cq = 0,
mas como I = dqdt
, logo
Ld2
dt2q +
1
Cq = 0,
d2
dt2q + ω2
0q = 0
onde
ω20 =
1
LC=⇒ ω0 =
√1
LC
Portanto a solucao desta equacao e dada por:
q(t) = Q cos (ω0t− δ) .
E toda a analise que fizemos e iremos fazer
para o caso do oscilador harmonico tambem
sera valida para a equacao acima, o que real-
mente ira importar e a forma da equacao
d2
dt2¤ + ω2
0¤ = 0
e nao a variavel ¤ seja ela qual for. Obvi-
amente os significados fısicos das variaveis ¤as quais estao descrevendo um determinado
fenomeno fısico serao diferentes.
3.4.1 Analise do Movimento
Se a posicao da partıcula e dada por:
x(t) = A cos (ω0t+ δ)
onde x(t) oscila com o tempo, como mostra
a figura 3.9 entao a velocidade da partıcula e
dada por
v(t) = x =d
dtx(t)
= −Aω0 sen (ω0t+ δ)
Prof. Salviano A. Leao 99
Figura 3.9: Posicao da partıcula em funcao do
tempo.
Figura 3.10: Velocidade da partıcula em
funcao do tempo.
tambem ira oscilar com o tempo mas esta defa-
sada de 90 com relacao a posicao da partıcula,
como mostra a figura 3.10.
Por sua vez, a aceleracao da partıcula e dada
por:
a(t) = x =d
dtv(t) =
d2
dt2x(t)
= −Aω20 cos (ω0t+ δ)
a qual tambem ira oscilar com o tempo mas
esta defasada de 180 com relacao a posicao
da partıcula e de 90 com relacao a velocidade,
como mostra a figura 3.11.
3.4.2 Condicoes Iniciais
Agora iremos determinar a amplitude A e a
constante de fase δ em funcao das condicoes
Figura 3.11: Aceleracao da partıcula em
funcao do tempo.
iniciais do sistema. Considerando que no ins-
tante t = 0 a partıcula se encontra na posicao
x0 (x(0) = x0) e com uma velocidade v0
(v(0) = v0), logo temos:
x(0) = x0 = A cos δ (3.17)
v(0) = v0 = −Aω0 sen δ (3.18)
Para encontrarmos a constante de fase δ
basta dividirmos a equacao (3.18) pela eq.
(3.17), assim obtemos
tg δ = − v0
ω0x0
=⇒ δ = arctg
(− v0
ω0x0
).
Para determinarmos a amplitude basta rees-
crevermos as equacoes (3.17) e (3.18) como:
A cos δ =x0 e A sen δ = − v0
ω0
Elevando ao quadrado e somando temos:
A2 cos2 δ+A2 sen2 δ = x20 +
(v0
ω0
)2
A2[cos2 δ+ sen2 δ
]= x2
0 +
(v0
ω0
)2
A2 = x20 +
(v0
ω0
)2
A =
√x2
0 +
(v0
ω0
)2
.
Aqui devemos salientar que a amplitude sera
sempre um numero positivo.
Prof. Salviano A. Leao 100
3.5 Oscilador Harmonico
Simples: Solucao por
Conservacao de Ener-
gia
Considere uma partıcula de massa m osci-
lando sob a acao de uma forca restauradora
F = −kx x, cujo o potencial e U(x) = 12kx2,
logo a energia total desta partıcula (que neste
caso e constante, pois o sistema e conservativo)
e dada por:
E = T + U(x)
=1
2mv2 +
1
2kx2 = cte.
logo escrevendo v em termos de x e da energia
mecanica total, obtemos
1
2mv2 = E − 1
2kx2
isolando a velocidade na equacao acima pode-
mos escrever,
v =dx
dt= ±
√2E
m− k
mx2.
esta equacao pode ser escrita na forma diferen-
cial como
dx√2Em− k
mx2
= ±dt
Integrando a equacao acima entre os instan-
tes t = 0 e t, temos
√m
2E
∫ x(t)
x0
dx√1− k
2Ex2
= ±∫ t
0
dt
t = ±√
m
2E
∫ x(t)
x0
dx√1− k
2Ex2
Por uma questao de simplicidade faremos a
seguinte mudanca de variavel:
cos θ =
√k
2Ex
sen θ dθ = −√
k
2Edx
dx = −√
2E
ksen θ dθ.
Desta forma podemos escrever a integral ante-
rior como,
t = ∓√m
k
∫ θ(t)
θ0
sen θ dθ√1− cos2 θ
t = ∓√m
k
∫ θ(t)
θ0
dθ
Como ω20 = k
m, entao
t = ∓ 1
ω0
(θ(t)− θ0) =⇒ θ(t) = ∓ (ω0t+ θ0) ,
onde θ0 e uma constante de integracao que sera
determinada pelas condicoes inicias. Como
cos θ =
√k
2Ex e θ(t) = ∓ (ω0t+ θ0) ,
logo,
x(t) =
√2E
kcos (ω0t+ θ0) .
Olhando para a expressao da energia total,
e considerando o caso em que a energia poten-
cial da partıcula e maxima U = 12kA2 e a sua
energia cinetica e mınima T = 0, temos que:
E = 0 +1
2kA2 =⇒ A =
√2E
k,
logo, a posicao da partıcula pode ser reescrita
como,
x(t) = A cos (ω0t+ θ0) ,
que e a solucao geral obtida na secao anterior,
ja que θ0 e δ sao duas constantes de fase, que
serao determinadas pelas condicoes iniciais.
Prof. Salviano A. Leao 101
3.6 Oscilador Harmonico
Simples e a Con-
servacao de Energia
Vamos escrever a posicao e a velocidade da
partıcula em funcao do tempo:
x(t) = A cos (ω0t+ δ)
e
v(t) =dx
dt= −ω0A sen (ω0t+ δ)
Portanto a energia mecanica (total) do sis-
tema pode ser escrita como:
E = T + U =1
2mv2 +
1
2kx2
=1
2mω2
0A2sen2 (ω0t+ δ) +
1
2kA2cos2 (ω0t+ δ)
=1
2mk
mA2sen2 (ω0t+ δ) +
1
2kA2cos2 (ω0t+ δ)
=1
2kA2
[sen2 (ω0t+ δ) + cos2 (ω0t+ δ)
]
=1
2kA2.
Como o sistema e conservativo, a energia
mecanica e constante, ou seja, ela nao depende
do tempo. Da expressao anterior vemos que a
energia mecanica E so depende da amplitude
de oscilacao e da constante elastica k da mola.
Vamos agora, achar uma expressao para a
velocidade em funcao da posicao, como:
E =1
2kA2 =
1
2mv2 +
1
2kx2
1
2mv2 =
1
2kA2 − 1
2kx2
v2 =k
m
(A2 − x2
)= ω2
0
(A2 − x2
)
v(x) = ±ω0
√A2 − x2
Da expressao acima, vemos facilmente que a
velocidade sera maxima em x = 0, e neste caso
vmax = +ω0A, e ela e nula em x = ±A. Este
resultado e facilmente entendido, pois x = ±A,
sao os pontos de retorno, e neste pontos, a
partıcula deve parar para poder retornar. Na
figura 3.12, mostramos uma partıcula de massa
m, presa a uma mola de constante elastica k
oscilando sobre uma superfıcie sem atrito, en-
tre os ponto x = A e x = −A.
Figura 3.12: Um bloco de massam preso a uma
mola de constante elastica k. Este bloco esta
oscilando em torno da sua posicao de equilıbrio
x = 0. A figura mostra a posicao, a velocidade
e a aceleracao do bloco.
Nos pontos x = ±A, a energia cinetica da
partıcula e nula e a energia potencial elastica U
e maxima e vale Umax. = 12kA2, e e a energia to-
tal do sistema. Ja no ponto x = 0, a partıcula
so tem energia cinetica, pois neste ponto toda
energia potencial elastica U da mola foi con-
vertida em energia cinetica T , e ela e igual a
Prof. Salviano A. Leao 102
Tmax. = 12mv2
max = 12mω2
0A2 = 1
2kA2.
A energia cinetica em funcao da posicao e
dada por:
T (x) =1
2mv2(x) =
1
2mk
m
(A2 − x2
)
=1
2k
(A2 − x2
)
Logo
U(x) =1
2kx2
e
T (x) =1
2k (A2 − x2)
Na figura 3.13, mostramos como variam as
energias em funcao da posicao.
Figura 3.13: Energia em funcao da posicao.
Agora vamos encontrar uma expressao para
a energia cinetica e para a energia potencial
em funcao do tempo:
T (t) =1
2mv2(t) =
1
2mω2
0A2sen2 (ω0t+ δ)
=1
2mk
mA2sen2 (ω0t+ δ)
T (t) =1
2kA2sen2 (ω0t+ δ)
A energia potencial elastica da mola e dada
por:
U(t) =1
2kx2 =
1
2kA2cos2 (ω0t+ δ)
U(t) =1
2kA2cos2 (ω0t+ δ)
Logo,
U(t) =1
2kA2cos2 (ω0t+ δ)
T (t) =1
2kA2sen2 (ω0t+ δ)
Na figura 3.14, mostramos como variam as
energias em funcao do tempo.
Figura 3.14: Energia em funcao do tempo.
3.7 Energias Medias
Agora vamos calcular a energia cinetica
media e a energia potencial media em um
perıodo de oscilacao. Para isto iremos tomar
o valor medio de uma funcao f(t) no intervalo
0 ≤ t ≤ T , o qual e definido como:
fmedio = f =1
T
∫ T
0
f(t)dt
Logo a energia potencial elastica media (U)
e:
U =1
T
∫ T
0
U(t)dt
=1
T
∫ T
0
1
2kA2cos2 (ω0t+ δ) dt
=kA2
2T
∫ T
0
cos2 (ω0t+ δ) dt
Prof. Salviano A. Leao 103
Como cos(A±B) = cosA cosB ∓ senA senB,
entao:
cos(2A) = cos(A+ A)
= cosA cosA− senA senA
= cos2A− sen2A
= cos2A− (1− cos2A
)
= 2cos2A− 1
assim,
cos2A =cos(2A) + 1
2=
1
2cos(2A) +
1
2.
Usando a expressao acima, podemos escre-
ver a energia potencial elastica media, como:
U =kA2
2T
1
2
∫ T
0
cos [2 (ω0t+ δ)] dt+1
2
∫ T
0
dt
=kA2
4T
1
2ω0
sen [2 (ω0t+ δ)]
∣∣∣∣T
0
+ t|T0
=kA2
4T
1
2ω0
[sen (2ω0T + 2δ)−
sen (2δ)] + (T − 0)
=kA2
4T
1
2ω0
[0] + T
=kA2
4TT =
kA2
4
=1
2E
Observe que sen (2ω0T + 2δ) = sen (2δ), pois
2ω0T = 22πTT = 4π e que sen (4π + 2δ) =
sen (2δ), portanto sen (2ω0T + 2δ)−sen (2δ) =
0.
A energia cinetica media e dada por:
T =1
T
∫ T
0
T (t)dt
=1
T
∫ T
0
1
2kA2sen2 (ω0t+ δ) dt
=kA2
2T
∫ T
0
sen2 (ω0t+ δ) dt
Como sen2 (ω0t+ δ) = 1 − cos2 (ω0t+ δ),
entao:
sen2 (ω0t+ δ) = 1− cos2 (ω0t+ δ)
= 1−
1
2cos [2 (ω0t+ δ)] +
1
2
=1
2− 1
2cos [2(ω0t+ δ)]
assim, de maneira analoga ao calculo da ener-
gia potencial elastica media, obtemos que a
energia cinetica media pode ser escrita como:
T =kA2
4=
1
2E
Portanto,
U = T =kA2
4=
1
2E.
3.8 Oscilador Harmonico e
o Movimento Circular
Uniforme
Agora iremos estudar a relacao entre o mo-
vimento harmonico simples e o movimento cir-
cular uniforme. Inicialmente consideremos um
disco, ao qual fixamos uma pequena haste
metalica, e que gira com uma velocidade an-
gular ω0 constante. Usando uma lanterna faze-
mos projetar a sua sombra sobre uma tela (ver
Fig. 3.15). Ao observarmos a sombra da haste
metalica, vemos que a mesma realiza um movi-
mento harmonico simples, com uma frequencia
angular ω0, igual a velocidade angular com que
o disco gira.
Na Fig. (3.16) abaixo, mostramos uma
partıcula que realiza um movimento circular
uniforme com uma velocidade angular ω0 cons-
tante, sobre um cırculo de raio A. A velocidade
tangencial da partıcula tem um modulo cons-
tante e igual a v = ω0A. Vamos decompor
Prof. Salviano A. Leao 104
Figura 3.15: Sombra do movimento de um
disco.
Figura 3.16: Movimento circular uniforme.
o vetor posicao e o vetor velocidade nas suas
componentes x e y, obtendo assim:
x(t) = A cos θ (t) e y(t) = A sen θ (t)
vx(t) = −v sen θ (t) e vy(t) = v cos θ (t)
mas como o modulo da velocidade e v = ω0A,
e θ (t) = ω0t+ δ logo
x(t) = A cos (ω0t+ δ)
vx(t) = −ω0A sen (ω0t+ δ)
y(t) = A sen (ω0t+ δ)
vy(t) = ω0A cos (ω0t+ δ) ,
o que e equivalente a:
vx(t) =dx
dt= x = −ω0A sen (ω0t+ δ)
vy(t) =dy
dt= y = ω0A cos (ω0t+ δ) ,
O movimento circular uniforme e um mo-
vimento que tem uma aceleracao centrıpeta,
ou seja, a aceleracao deste movimento so ira
mudar a direcao do vetor velocidade, nao al-
terando o seu modulo, logo ela deve ser per-
pendicular ao vetor velocidade. A aceleracao
centrıpeta aponta para o centro e e um vetor
com sentido oposto ao vetor posicao, portanto
ela poderia ser escrita como:
ax(t) = −a cos θ (t)
ay(t) = −a sen θ (t)
Como o modulo da aceleracao centrıpeta e
dado por:
a =v2
r=
(ω0A)2
A= ω2
0A,
e θ (t) = ω0t+ δ entao
ax(t) = −ω20A cos (ω0t+ δ)
ay(t) = −ω20A sen (ω0t+ δ) .
O resultado anterior tambem pode ser obtido
usando o fato de que:
ax(t) =dvx
dt= vx = −ω2
0A cos (ω0t+ δ)
ay(t) =dvy
dt= vy = −ω2
0A sen (ω0t+ δ)
Do que foi visto ate agora, podemos concluir
que o movimento circular e composto por dois
movimentos harmonicos simples um na direcao
x e outro na direcao y, entretanto o movi-
mento na direcao x esta defasado de π2
(90)
em relacao ao movimento na direcao y, pois:
cos(ω0t+ δ − π
2
)= sen (ω0t+ δ) .
Prof. Salviano A. Leao 105
Portanto o movimento circular esta relacio-
nado a estes dois movimentos harmonicos da
seguinte forma:
r2 = x2(t) + y2(t) = A2
r = A =√x2(t) + y2(t)
v2 = v2x(t) + v2
y(t) = ω20A
2
v = ω0A =√v2
x(t) + v2y(t)
a2 = a2x(t) + a2
y(t) = ω40A
2
a = ω20A =
√a2
x(t) + a2y(t).
3.9 Pendulo Simples
Considere um pendulo, constituıdo por um
corpo de massa m, presa a extremidade de um
fio de massa desprezıvel e comprimento L. Se o
deslocarmos de sua posicao de equilıbrio de um
angulo φ muito pequeno e o soltarmos ele ira
oscilar em torno de sua posicao de equilıbrio
(nao estamos considerando o atrito), conforme
a Fig. 3.17 abaixo.
O movimento do pendulo e harmonico sim-
ples somente se o angulo o qual o desloca-
mos de sua posicao de equilıbrio for pequeno,
ou ainda, se sua amplitude de oscilacao for
pequena. Na Fig. 3.17 colocamos as forcas
que atuam sobre o corpo de massa m, que
sao o seu proprio peso mg e a tensao T que
do fio. Quando o fio faz um angulo φ com
a vertical, as componentes da forca peso ao
longo das direcoes tangencial e radial a tra-
jetoria do objeto sao respectivamente mg senφ
e mg cosφ. A componente tangencial da forca
peso mg senφ sempre aponta para a posicao de
equilıbrio, logo podemos dizer que ela e uma
forca restauradora. Seja S o comprimento do
Figura 3.17: Pendulo realizando um movi-
mento harmonico simples.
arco descrito pelo corpo, quando o fio forma
um angulo φ com a vertical, medido a partir do
ponto mais baixo da trajetoria. A relacao en-
tre o comprimento do arco e o angulo φ (angulo
medido em radianos) em e:
S = Lφ.
A forca resultante devido as componentes ra-
diais das forcas que atuam sobre o corpo e:
T −mg cosφ = mLφ2.
A forca resultante devido as componentes
tangenciais das forcas que atuam sobre o corpo
e,
FR = ma = md2S
dt2= −mg senφ
d2(Lφ)
dt2+ g senφ = 0
Ld2φ
dt2+ g senφ = 0
Prof. Salviano A. Leao 106
d2φ
dt2+
( gL
)senφ = 0.
Se S for muito menor do que L, o angulo
φ = SL
e pequeno e podemos aproximar senφ
por φ. Na tabela abaixo mostramos quao boa
e esta aproximacao:
φ (Graus) φ (Radianos) senφ
1 0,017453 0,017452
2 0,034906 0,034899
3 0,052360 0,052336
4 0,069813 0,069756
5 0,087266 0,087156
6 0,104720 0,104528
7 0,122173 0,121869
8 0,139626 0,139173
9 0,157080 0,156434
10 0,174533 0,173648
Tabela 3.1: Comparacao entre o angulo me-
dido em radianos o valor do seno deste mesmo
angulo.
Entao se considerarmos angulos pequenos
podemos fazer a aproximacao senφ ≈ φ, as-
sim:d2φ
dt2+
( gL
)φ = 0.
que e uma equacao de um oscilador harmonico
simples, cuja a solucao e dada por:
φ(t) =φ0 cos (ωt+ δ)
onde ω e a frequencia angular que e dada por:
ω0 =2π
T=
√g
L,
logo o perıodo de oscilacao de um pendulo sim-
ples e
T = 2π
√L
g.
Em alguns experimentos de medida da ace-
leracao da gravidade g, sao feitos usando o
pendulo simples. Para isto, basta medir o com-
primento L do pendulo e o perıodo T de os-
cilacao do mesmo (lembre-se, o pendulo deve
oscilar com uma pequena amplitude), determi-
nando o tempo de uma oscilacao. (Usualmente
mede-se o tempo necessario para n (∼ 10) os-
cilacoes e depois divide-se o resultado por n, a
fim de se reduzir o erro na medicao do tempo.
O numero n de oscilacoes tambem nao pode
ser muito grande senao fatores como o atrito ja
irao ter uma grande influencia nos resultados.)
A aceleracao da gravidade g e entao determi-
nada usando a seguinte expressao:
g =4π2L
T 2.
Quando a amplitude de oscilacao de um
pendulo simples nao for pequena, o seu movi-
mento sera periodico, mas nao sera harmonico
simples.
3.10 Oscilador Vertical
Consideremos um bloco de massa m sus-
penso verticalmente por uma mola de cons-
tante elastica k e comprimento natural `0, con-
forme a figura 3.35 abaixo. Escolhendo o eixo y
orientado verticalmente e tendo o mesmo sen-
tido da forca peso com a origem do eixo sobre
a posicao de equilıbrio da mola livre.
Sobre o bloco atua a forca peso mg e a forca
devido a mola −ky, devido a segunda lei de
Newton temos
md2y
dt2= my = mg − ky.
Quando o bloco se encontra em equilıbrio,
temos que a sua posicao de equilıbrio y0 e dada
por
y0 =mg
k.
Prof. Salviano A. Leao 107
Figura 3.18: Um bloco de massa m sus-
penso verticalmente por uma mola de cons-
tante elastica k.
Esta e a posicao em torno da qual o bloco ira
oscilar, assim podemos escrever a equacao de
movimento da seguinte forma,
y + ω20(y − y0) = 0
na qual usamos ω20 = k/m. Definindo uma
nova variavel Y = y − y0, assim temos que
nova equacao de movimento e dada por,
Y + ω20Y = 0,
cuja solucao e
Y (t) = A cos (ω0t+ δ) ,
logo, temos
y(t) = y0 + A cos (ω0t+ δ) .
Portanto, pode-se concluir que o efeito da
gravidade foi somente deslocar de y = 0 para
y = y0 a posicao em torno da qual o bloco
oscila. Quando o corpo se desloca de Y em
torno da posicao de equilıbrio y0 forca que atua
sobre ele e −kY .
Quanto a energia, quando o bloco esta em
equilıbrio ele tem uma energia potencial gravi-
tacional Ug = −mgy0 e uma energia potencial
elastica que e dada por UE = 12ky2
0, portanto a
energia potencial total do bloco e
UT = −mgy0 +1
2ky2
0,
entretanto, como ky0 = mg, entao temos que
UT = −1
2ky2
0.
Ao deslocarmos o bloco da sua posicao de
equilıbrio y0 para uma nova posicao y0 + y, a
sua nova energia potencial sera
U = −mg(y0 + y) +1
2k(y0 + y)2
= −1
2ky2
0 +1
2ky2
Como a energia potencial e sempre a energia
potencial elastica devido ao deslocamento da
mola em relacao a posicao de equilıbrio mais
a energia potencial da posicao de equilıbrio,
que e constante, entao como a energia poten-
cial independe do referencial no qual ela e me-
dida, pode-se escolher um novo referencial para
medir a energia potencial gravitacional de tal
modo que a energia potencial total do ponto
de equilıbrio seja nula e temos um oscilador
harmonico simples, sem a necessidade de in-
cluir a energia potencial gravitacional, assim
temos que
U =1
2ky2,
em que y e o deslocamento em relacao a posicao
de equilıbrio y0.
3.11 Osciladores Acopla-
dos
Considere um sistema constituıdo por duas
partıculas de massas m1 e m2 ligadas por
Prof. Salviano A. Leao 108
uma mola de massa desprezıvel e de cons-
tante elastica k, conforme a Fig. 3.19 abaixo.
Admita que as partıculas so podem mover-se
numa dimensao e que a unica forca que atua
sobre elas e a forca restauradora da mola.
Figura 3.19: Dois blocos de massas m1 e m2,
presos a uma mola de constante elastica k, so-
bre uma superfıcie horizontal sem atrito.
Se ` e o comprimento de equilıbrio da mola
(mola livre) e x1 e x2 as posicoes das partıculas
em relacao a uma origem O arbitraria (ver Fig.
3.19), a deformacao da mola e dada por:
x = (x2 − x1)− l (3.19)
de modo que as forcas restauradoras sobre as
partıculas sao (aqui iremos considerar que a
mola esta distendida, portanto x > 0)
F1 = −F2 = kx
m1x1 = kx
m2x2 = −kxMultiplicando a equacao da partıcula 1 por
m2 e a equacao da partıcula 2 por m1, obtemos
que:
m2m1x1 = m2kx
m1m2x2 = −m1kx
subtraindo uma da outra,
m1m2 (x2 − x1) = −(m1 +m2)kx
Ao derivarmos a duas vezes a equacao (3.19)
com relacao ao tempo, obtemos que x = x2 −x1, assim
m1m2
m1 +m2
x = −kx
logo,
x+
(m1 +m2
m1m2
)kx = 0.
Definido a massa reduzida (µ) de um sistema
de duas partıculas como:
1
µ=
1
m1
+1
m2
⇒ µ =m1m2
m1 +m2
.
entao, a equacao de movimento pode ser rees-
crita como
x+
(k
µ
)x = 0 ⇒ x+ ω2
0x = 0,
cuja a solucao e dada por,
x(t) = A cos (ω0t+ δ) ,
na qual a frequencia angular e dada por
ω0 =2π
T=
√k
µ⇒ T = 2π
õ
k.
A velocidade e aceleracao de cada partıcula
sao dadas por,
v(t) = x =d
dtx(t) = −Aω0 sen (ω0t+ δ)
a(t) = x =d2
dt2x(t) = −Aω2
0 cos (ω0t+ δ)
mas como x = (x2 − x1)− l, entao
v(t) = x =d
dtx(t) = x2 − x1 = v2(t)− v1(t)
a(t) = x =d2
dt2x(t) = x2 − x1 = a2(t)− a1(t)
As energias potencial e cinetica de um osci-
lador harmonico simples constituıdos de dois
corpos sao expressas como:
U(x) =1
2kx2 e T =
1
2µv2.
Devemos ressaltar aqui que a energia
cinetica T = 12µv2 e a energia cinetica interna
do sistema oscilante. A energia do centro de
massa e a energia total interna se conservam se-
paradamente. A translacao do centro de massa
nao afetara a oscilacao.
Prof. Salviano A. Leao 109
Exercıcio: Usar o fato de que
E =1
2kA2 = U + T
para determinar uma expressao para a ener-
gia cinetica em funcao da posicao e outra em
funcao do tempo.
3.12 Determinacao da
frequencia Natural ω0
Um sistema que oscila livremente, por mais
complexo que ele seja, ira oscilar com um
frequencia natural ω0. Entao para descrever-
mos a evolucao temporal do sistema, basta
determinarmos a frequencia natural ω0 de os-
cilacao do sistema. A seguir, discutiremos al-
gumas maneiras de determinarmos ω0 para di-
versos tipos de sistemas.
Exemplo 33 A figura 3.21 abaixo mostra
uma barra que gira em torno de um ponto a
um distancia c do centro de massa da barra. As
molas sao identicas, tendo a mesma constante
elastica k e comprimento natural. A barra esta
na horizontal e em equilıbrio com as forcas da
mola F1 e F2. Determine a equacao de movi-
mento e a sua frequencia natural ω0.
Figura 3.20: Barra equilibrada por duas molas
identicas.
Solucao: Considere que o sistema oscila har-
monicamente com uma amplitude θ0, a par-
tir da sua posicao de equilıbrio estatica. No
equilıbrio, o torque resultante N e nulo, logo
considerando que o sistema esta girando no
sentido horario temos que
F1a+mgc− F2b = 0.
Ao deslocarmos o sistema de um angulo θ (θ ¿1) da sua posicao de equilıbrio, as novas forcas
nas extremidades da barra sao dadas por,
f1 = F1 − kaθ e f2 = F2 + kbθ.
Portanto o torque resultante sobre o sistema
N = Iθ sera
Iθ = f1a+mgc− f2b
= F1a+mgc− F2b− k(a2 + b2
)θ
Usando a condicao de equilıbrio, encontramos
que a equacao diferencial que descreve o movi-
mento e dada por
θ +k (a2 + b2)
Iθ = 0,
Assim, a frequencia natural de oscilacao do
sistema e dada por
ω0 =
√k (a2 + b2)
I.
Exemplo 34 Considere um cilindro de densi-
dade ρc tal que ρc < ρH2O. Este cilindro tem al-
tura H e raio da base R. Ao ser colocado sobre
a agua ele ira flutuar com uma parte submersa.
(a) Determine o quanto ficara submerso e (b)
a frequencia de oscilacao em torno deste ponto.
Solucao: (a) Considere que o sistema os-
cila harmonicamente com uma amplitude z0
em torno de sua posicao de equilıbrio estatica
ze. No equilıbrio, a forca resultante F = P+E
e nula, logo
E −mg = 0
E = mg
ρH2OπR2(H − ze)g = ρcHπR
2g
Prof. Salviano A. Leao 110
Figura 3.21: Cilindro oscilando na superfıcie
da agua.
Portanto, a posicao de equilıbrio e dada por,
ze =
(1− ρc
ρH2O
)H.
(b) Ao afundarmos um pouco o cilindro e
soltarmos o mesmo, ele passara a oscilar em
torno de ze. Neste caso a forca de empuxo e
um pouco maior que a forca peso, logo a forca
resultante sobre o sistema e
mz = ρH2OπR2(H − ze − z)g − ρcHπR
2g
= ρH2OπR2(H − ze)− ρcHπR
2g −ρH2OπR
2z
ρcHπR2z = −ρH2OπR
2z
a qual pode ser escrita como
z +
(ρH2O
ρc
g
H
)z = 0.
Portanto, a frequencia natural de oscilacao do
sistema e dada por
ω0 =
√ρH2O
ρc
g
H.
3.12.1 Metodo da Energia
Em um sistema conservativo a energia total
e constante, e a equacao diferencial do movi-
mento tambem pode ser obtida pelo princıpio
da conservacao da energia. Os sistemas que
oscilam livres de qualquer tipo de amorteci-
mento, e energia total do sistema e parcial-
mente cinetica e parcialmente potencial. A
energia cinetica T e armazenada pela massa,
devido a sua velocidade, enquanto a potencial
U e armazenada na forma da tensao da de-
formacao elastica ou pelo trabalho realizado
pela forca elastica em um campo de forca, tal
como o gravitacional. Como, a energia total e
constante, entao,
E = T + U = cte. (3.20)
portanto,
dE
dt=
d
dt(T + U) = 0. (3.21)
Se estivermos interessados somente na
frequencia natural do sistema ω0, ela pode ser
determinada, se considerarmos que em dois
pontos A e B quaisquer temos
TA + UA = TB + UB. (3.22)
Se o ponto A for o da posicao de equilıbrio
estatico, entao UA = 0 e E = TA, ou seja, a
energia cinetica e maxima neste ponto. Consi-
dere o ponto B, aquele correspondente ao des-
locamento maximo, ou seja, TB = 0 e E = UB.
Com estas escolhas, temos
TA = UB −→ Tmax. = Umax.. (3.23)
A equacao anterior conduz diretamente a
frequencia natural ω0, como podemos ver no
caso do oscilador harmonico simples em que
Umax. = 12kA2 e Tmax. = 1
2mA2ω2
0, da igualdade
entre estas duas relacoes tiramos que no caso
do oscilador harmonico simples ω0 =√k/m.
A razao entre as duas expressoes produz,
Tmax.
Umax.
= 1 =12mA2ω2
012kA2
=mω2
0
k(3.24)
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Figura 3.22: Sistema de polias com mola.
Exemplo 35 Determine a frequencia natural
do sistema mostrado na figura 3.22 abaixo.
Solucao: Considere que o sistema esta osci-
lando harmonicamente com uma amplitude θ,
a partir da sua posicao de equilıbrio estatica.
A energia cinetica maxima do sistema e dada
por
Tmax. =1
2m(rθmax.)
2 +1
2Iθ2
max., (3.25)
enquanto a energia potencial maxima e
Umax. =1
2k(Rθmax.)
2 (3.26)
onde consideramos o zero de energia poten-
cial gravitacional no ponto mais baixo, ou seja,
quando a amplitude da mola e maxima.
Observe que θmax = ω0θmax e como Tmax. =
Umax., encontramos que a frequencia natural ω0
e dada entao por
ω0 =
√kR2
mr2 + I. (3.27)
Este resultado tambem pode ser obtido,
usando a chamada 2a¯ lei de Newton para a
rotacao, a qual estabelece que
Iθ = −kR2θ + Tr (3.28)
entretanto, ao aplicarmos a 2a¯ lei de Newton
ao bloco de massa m, obtemos que
mg − T = ma = mrθ. (3.29)
Isolando a tensao T na equacao acima obte-
mos que T = mg − mrθ, portanto, o torque
resultante sera dado por
Iθ = −kR2θ +mgr −mr2θ. (3.30)
Desta forma, a equacao diferencial que des-
creve o movimento e
θ +kR2
mr2 + I
(θ − mgr
kR2
)= 0 (3.31)
que e uma equacao de oscilador harmonico
cuja frequencia natural e dada por
ω0 =
√kR2
mr2 + I. (3.32)
Exemplo 36 Um cilindro de massa m e raio
r rola sem deslizar sobre a superfıcie interna de
um cilindro de raio R, conforme a figura 3.23
abaixo. Determine (a) equacao diferencial do
movimento para pequenas oscilacoes em torno
do ponto mais baixo e (b) a frequencia natural
de oscilacao do sistema.
Figura 3.23: Cilindro de raio r rolando sem
deslizar sobre a superfıcie interna de um cilin-
dro de raio R.
Solucao: Considere que o sistema esta osci-
lando harmonicamente com uma amplitude θ0,
Prof. Salviano A. Leao 112
a partir da sua posicao de equilıbrio estatica.
Para que o cilindro role sem deslizar sobre a
superfıcie do outro, devemos impor que a ve-
locidade do centro de massa (CM) do cilindro
menor VCM = rφ deve ser igual a velocidade
de translacao do seu CM em torno do eixo do
cilindro de raio R Vt = (R − r)θ. Assim, este
vınculo impoe que
rφ = (R− r)θ (3.33)
A energia cinetica do sistema e dada por
T =1
2m(R− r)2θ2 +
1
2Iφ2, (3.34)
onde o momento de inercia de um cilindro de
raio r em torno do seu CM e I = 12mr2.
Usando a equacao de vınculo (3.33), a energia
cinetica deste sistema pode ser escrita como
T =3
4m(R− r)2θ2.
Ja a energia potencial do sistema, conside-
rando o zero como sendo o ponto mais baixo
da trajetoria, e
U = mg(R− r)(1− cos θ).
A energia mecanica do sistema E = T + U
e conservada, portanto,
dE
dt= 0
0 =d
dt
[3
4m(R− r)2θ2+
mg(R− r)(1− cos θ)
]
=
[3
2m(R− r)2θ +mg(R− r) sen θ
]θ.
Portanto, a equacao diferencial que descreve o
movimento e
θ +2g
3(R− r) sen θ = 0,
entretanto, para pequenas oscilacoes sen θ ∼ θ,
logo esta equacao pode ser reescrita como
θ +2g
3(R− r)θ = 0,
que e a equacao diferencial de um oscila-
dor harmonico, cuja frequencia natural de os-
cilacao e
ω0 =
√2g
3(R− r) . (3.35)
3.12.2 Metodo de Rayleigh:
Massa Efetiva
O metodo da energia pode ser usado em siste-
mas com massas distribuıdas, quando o movi-
mento de cada ponto do sistema e conhecido.
Em sistemas nos quais as massas estao liga-
das por juncoes rıgidas, como em trampolins,
ou engrenagens, etc, o movimento das varias
massas pode ser expresso em termos do movi-
mento de um ponto x especıfico do sistema, e
neste caso, o sistema tera somente um grau de
liberdade, pois so necessitamos de uma coor-
denada para descreve-lo. A energia cinetica de
um sistema como este pode ser escrita como
T =1
2mef x
2,
onde mef e a massa efetiva ou massa equiva-
lente no ponto especıfico. Se a rigidez elastica
k naquele ponto tambem for conhecida, entao
a frequencia natural de oscilacao do sistema
poder ser calculada por
ω0 =
√k
mef
.
Em sistemas de massas distribuıdas tais
como em molas e barras, o conhecimento da
distribuicao da amplitude da vibracao torna-se
necessario, antes que a energia cinetica possa
Prof. Salviano A. Leao 113
ser calculada. Lord Rayleigh2 mostrou que
com uma hipotese razoavel para a forma da
amplitude da vibracao e possıvel levar em
conta as massas das molas, antes ignoradas
e obter uma estimativa mais realista para a
frequencia natural de oscilacao do sistema.
Exemplo 37 Determine o efeito da massa da
mola sobre sua frequencia natural. Para isto
considere um bloco de massa M , preso a uma
mola de tamanho `, massa m e constante
elastica k.
Figura 3.24: bloco de massa M , preso a uma
mola de tamanho `, massa m e constante
elastica k.
Solucao: Mostraremos que o efeito da inercia
da mola e equivalente a adicionarmos uma
massa mef ao bloco de massa M . Entao, a
energia total do sistema e
T =1
2(mef +M)X2,
onde X e a coordenada do bloco de massa M ,
cuja a origem e medida a partir do equilıbrio
do sistema, a mola nao esta nem comprimida
e nem distendida. De fato, X representa a dis-
tensao ou compressao da mola toda.
Seja x a coordenada ao longo do eixo da
mola de uma pequena regiao da mola, que tem
2John W. Strutt, em seu livro The Theory of Sound,Vol. 1, 2nd. rev. ed., New York, 1937, editora Dover,na pag. 109-110
um comprimento dx e uma massa dm = λdx,
onde λ e a densidade linear de massa da mola
e λ = m/`. Considerando a funcao u(x, t)
como sendo a distensao ou compressao linear
da mola ate o ponto x e que 0 ≤ x ≤ `. Aqui
` esta representando a extremidade da mola.
Esta funcao deve ser tal que u(0, t) = 0 e
u(`, t) = X, e razoavel tambem considerarmos
que a distensao ou compressao de cada pequeno
pedaco da mola seja diretamente proporcional
da distensao total da mola e inversamente pro-
porcional ao comprimento natural da mola, as-
sim
u(x, t) =X
`x
Com isto podemos escrever a energia
cinetica do elemento de massa dm, como sendo
dT =1
2
(∂u
∂t
)2
dm =1
2
(X
`x
)2m
`dx,
a partir da qual a energia cinetica total da mola
Tm e
Tm =
∫ `
0
dT =mX2
2`3
∫ `
0
x2dx =1
2
m
3X2,
Portanto, a massa efetiva devido a mola e
mef = M+m/3, assim a energia cinetica total
do sistema bloco mola e
T =1
2(m
3+M)X2,
e a frequencia natural de oscilacao do sistema
poder obtida
ω0 =
√k
m/3 +M.
3.13 Oscilacoes
Harmonicas em duas
Dimensoes
Analisaremos a seguir, o movimento de
uma partıcula com dois graus de liberdade.
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Consideraremos que sobre a partıcula atua
uma forca restauradora, que e proporcional a
distancia da partıcula a origem do sistema, ou
seja,
F = −krAs equacoes de movimento para as coordena-
das x e y podem ser escritas como,
Fx = mx = −kxFy = my = −ky =⇒
x = −ω2
0x
y = −ω20y
onde,
ω0 =
√k
m,
e as suas solucoes sao
x = A cos(ω0t− α)
y = B cos(ω0t− β). (3.36)
Portanto, a partıcula executa um MHS nas
direcoes x e y com a mesma frequencia mas
com amplitudes e fases diferentes. Podemos
obter a equacao para a trajetoria da partıcula
eliminando o tempo entre as duas equacoes.
Para escreveremos a funcao y(t) como
y(t) = B cos [(ω0t− α) + (α− β)]
= B cos (ω0t− α) cos(α− β)−B sen (ω0t− α) sen(α− β).
Definindo,
δ ≡ α− βθ ≡ ω0t− α
e notando que,
x
A= cos(ω0t− α) = cos θ,
assim,
y(t) =B
Ax cos δ − B
A
√A2 − x2 sen δ
Ay −Bx cos δ = −B√A2 − x2 sen δ
elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos
que
A2y2 − 2ABxy cos δ +B2x2 cos2 δ =
A2B2 sen2 δ −B2x2 sen2 δ
A2y2 +B2x2 − 2ABxy cos δ = A2B2 sen2 δ
(3.37)
A natureza da trajetoria de uma equacao
quadratica geral da forma3
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0, (3.38)
e uma conica ou uma conica degenerada. A
conica e classificada de acordo com o valor do
discriminante ∆, definido como
∆ = B2 − 4AC.
Se
∆ > 0 −→ uma hiperbole
∆ = 0 −→ uma parabola
∆ < 0 −→ uma elipse
(3.39)
O Discriminante da equacao (3.37) e dado
por,
∆ = 4A2B2 cos2 δ − 4A2B2 = −4A2B2 sen2 δ,
o qual e negativo. Portanto a trajetoria e uma
elipse e o movimento e chamado de Movimento
harmonico elıptico. O eixo maior da elipse faz
um angulo α com o eixo x, de tal modo que
tg(2α) =B
A− C .
no caso da equacao quadratica de forma geral,
eq. (3.38). No nosso caso temos que entao que
tg(2α) =−2AB cos δ
B2 − A2=
2AB cos δ
A2 −B2.
3Para maiores detalhes veja o capitulo 12 sobreconicas do livro do Louis Leithold, O Calculo com Ge-ometria Analıtica, Vol. 1, 2a
¯ edicao, Editora Harbra,Sao Paulo 1982. O Resultado final encontra-se na pag.500.
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A seguir faremos uma analise de alguns casos
particulares. Para tal, ao dividirmos todos os
termos da eq. (3.37) por A2B2, obtemos
( yB
)2
+ 2xy
(cos δ
AB
)+
( xA
)2
= sen2 δ.
Conforme veremos a seguir, a trajetoria da
partıcula depende das amplitudes A e B, e da
diferenca de fase δ. Consideremos inicialmente
o caso em que δ = ±π/2, entao a equacao an-
terior se reduz a equacao de uma elipse,
( yB
)2
+( xA
)2
= 1 Elipse p/ δ = ±π2
Na figura abaixo mostramos esta trajetoria.
Figura 3.25: Equacao de uma elipse, para uma
fase δ = ±π/2.
Se as amplitude forem iguais, A = B = R e
δ = ±π/2, temos o caso especial de um movi-
mento circular, ou seja,
y2 + x2 = R2 Circunferencia p/ δ = ±π2.
Na figura 3.26 abaixo mostramos esta tra-
jetoria.
Agora, vamos considerar o caso em que a
fase δ = 0, assim
A2y2 +B2x2 − 2ABxy = 0,
a qual, ao ser fatorada pode ser escrita como,
(Bx− Ay)2 = 0,
Figura 3.26: Equacao de uma circunferencia,
para uma fase δ = ±π/2, e amplitudes iguais,
A = B = R.
que e a equacao de uma reta, ou seja,
y =B
Ax Reta p/ δ = 0.
Similarmente, a fase δ = ±π, produz uma
reta com uma inclinacao oposta, ou seja,
y = −BAx Reta p/ δ = ±π.
Na figura abaixo mostramos esta trajetoria.
Figura 3.27: Equacao de uma reta, para uma
fase δ = 0.
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Voce pode mostrar (faca isto) que se 0 <
δ < π, a partıcula gira no sentido horario. Ao
contrario, se π < δ < 2π, ela gira no sentido
anti-horario (para simplificar, faca α = δ e β =
0 na eq. (3.36).
Voce tambem pode mostrar que as tra-
jetorias para outros valores de δ sao elipses.
A figura 3.30 mostra a trajetoria da partıcula
para δ = π/3.
Na figura 3.28, mostramos as trajetorias
para A = B e diferentes valores da fase δ.
Figura 3.28: Trajetorias para diferentes valores
da fase δ.
Em um caso mais geral de oscilacoes em duas
dimensoes, as frequencias dos movimentos nas
direcoes x e y nao precisam ser iguais, e pode-
mos escrever
x = A cos(ωxt− α)
y = B cos(ωyt− β)
Neste caso, as trajetorias nao sao mais elip-
ses, e recebem a denominacao de curvas de
Lissajous. Se a razao ωx/ωy puder ser escrita
com sendo a razao entre dois numeros intei-
ros a curva sera fechada. Para entender esta
afirmacao considere que ωx/ωy = 2/3. Isto
quer dizer que a partıcula executa 2 oscilacoes
no eixo x enquanto executa 3 oscilacoes no eixo
y. Apos isto, ela estara novamente no mesmo
ponto com a mesma velocidade. Se ωx/ωy nao
for um numero racional a curva sera aberta, ou
seja, a partıcula nunca passa duas vezes pelo
mesmo ponto com a mesma velocidade. De-
pois de um tempo infinito ela tera passado por
todos os pontos do retangulo.
Nas figuras 3.29, 3.30 e 3.31 abaixo mostra-
mos a trajetoria no espaco de fase para al-
guns casos em que ωy = 2ωx e as diferencas
de fase sao de δ = 90, δ = 60 e δ = 0. Note
que a partıcula oscila duas vezes no eixo y en-
quanto oscila uma vez no eixo x, no caso em
que δ = 90.
Figura 3.29: Figura de Lissajous para o caso
em que ωy = 2ωx e a diferenca de fase e δ = 90.
Figura 3.30: Figura de Lissajous para o caso
em que ωy = 2ωx e a diferenca de fase e δ = 60.
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Figura 3.31: Figura de Lissajous para o caso
em que ωy = 2ωx e a diferenca de fase e δ = 0.
3.14 Diagramas de Fase
Se as forcas que atuam sobre uma partıcula
forem conhecidas, o seu movimento pode ser
completamente determinado, desde que se co-
nheca a sua posicao e a sua velocidade em um
instante qualquer (condicoes iniciais). Para o
movimento em uma dimensao, as quantidades
x(t) e x(t) sao as coordenadas de um ponto
P (x, x) em um espaco bidimensional, chamado
espaco de fase. A medida que o tempo passa, o
ponto descrevendo o estado da partıcula move-
se ao longo de uma trajetoria no espaco de fase,
chamada caminho de fase. Para condicoes ini-
ciais diferentes, o movimento e descrito por ca-
minhos de fase diferentes. O espaco de fase de
uma partıcula em um movimento unidimensi-
onal tem dois graus de liberdade, e geralmente,
e chamado de plano de fase. O espaco de fase
de uma partıcula que se move em 3 dimensoes
tem 6 coordenadas. Para um sistema contendo
N partıculas, o espaco de fase possui 6N coor-
denadas.
Para um oscilador harmonico simples,x = A cos(ω0t− α)
x = −ω0A sen(ω0t− α)
Pode-se eliminar o tempo t destas equacoes,
observando que cos(ω0t − α) = x/A e que
sen(ω0t − α) = −x/(ω0A), desta forma a tra-
jetoria da partıcula e dada por:
( xA
)2
+
(x
ω0A
)2
= 1 (3.40)
que e a equacao de uma elipse. Como a energia
mecanica de um oscilador harmonico simples e
dada por
E =1
2kA2 =
1
2mω2
0A2
pode-se usar esta relacao para reescrever a e
equacao da elipse como,
(x√
2E/k
)2
+
(x√
2E/m
)2
= 1
A figura 3.32 abaixo mostra tres caminhos
de fase para um oscilador harmonico simples.
Note que os semi-eixos da elipse sao proporci-
onais a√E; para cada valor de E temos um
caminho de fase diferente. A energia nao muda
ao longo de um caminho de fase porque e uma
constante de movimento.
Figura 3.32: Diagrama de fase, de um sistema
conservativo. Para cada energia E, temos uma
trajetoria fechada no espaco de fase.
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No MHS a aceleracao e sempre contraria ao
deslocamento de forma que a velocidade e de-
crescente para x positivo e crescente para x ne-
gativo. Assim o ponto P percorre os caminhos
de fase sempre no sentido horario, conforme
mostra a figura 3.32.
Dois caminhos de fase diferentes nunca po-
dem se cruzar, pois se isto ocorresse, teria-se
duas solucoes diferentes para a equacao de mo-
vimento com as mesmas condicoes iniciais, o
que seria um absurdo.
Os caminhos de fase podem ser obtidos di-
retamente da equacao de movimento sem que
seja necessario calcular x(t). Para o oscilador
harmonico, tem-se
d2x
dt2=dx
dx
dx
dt= x
dx
dx
de forma que sua equacao de movimento pode
ser escrita como
xdx
dx= −ω2
0x =⇒ xdx = −ω20xdx
Esta e uma equacao diferencial de primeira or-
dem, cuja solucao e facilmente obtida. Desta
forma, integrando ambos os lados obtem-se
x2 + ω20x
2 = C
A constante C e determinada pelas condicoes
iniciais do sistema. Nos pontos de retorno
(pontos extremos do movimento) tem-se que
x = 0 e x = ±A
de forma que,
ω20A
2 = C,
com isto, a equacao da trajetoria no espaco de
fase pode ser escrita na seguinte forma
x2 + ω20x
2 = ω20A
2,
que e identica a da equacao (3.40).
Nao ha dificuldades em obter a solucao ge-
ral da equacao de movimento do oscilador
harmonico, que e uma equacao diferencial de
segunda ordem, proveniente das leis de New-
ton. Entretanto, para situacoes mais compli-
cadas, algumas vezes e consideravelmente mais
facil encontrar diretamente a equacao da tra-
jetoria do espaco de fase x = x(x), sem realizar
o calculo de x(t).
e
3.15 Oscilacoes Amorteci-
das
As oscilacoes harmonicas simples, tem lugar
em sistemas conservativos. Na pratica sempre
existe dissipacao de energia. Ate agora, nos
sistemas estudados as forcas de atrito foram
desprezadas. Se tal hipotese fosse completa-
mente realista, um pendulo, ou um peso preso
em uma mola, oscilariam indefinidamente. Na
realidade a amplitude da oscilacao, devido ao
atrito, decresce gradualmente ate anular-se.
O movimento diz-se amortecido por atrito e
denomina-se Movimento Harmonico Amorte-
cido (MHA). Frequentemente o atrito provem
da resistencia do ar ou de forcas internas. O
modulo da forca de atrito usualmente depende
da velocidade; em muitos casos de interesse ela
e proporcional a velocidade do corpo, contudo,
com sentido oposto.
No caso do pendulo, as oscilacoes sao amor-
tecidas devido a resistencia do ar e tambem
pelo atrito no suporte. As oscilacoes de um
lıquido em um tubo em forma de U se amorte-
cem devido a viscosidade do lıquido. As vi-
bracoes de um diapasao produzem um som
audıvel porque sao comunicados ao ar gerando,
as ondas sonoras. A energia utilizada para isto
provem do oscilador, dando origem ao amorte-
Prof. Salviano A. Leao 119
cimento por emissao de ondas sonoras.
Geralmente a resistencia de um fluido como
o ar ao deslocamento de um corpo, e direta-
mente proporcional a velocidade do corpo, e se
esta for pequena o suficientemente, entao te-
remos pequenas oscilacoes. Portanto, iremos
considerar que a forca de amortecimento (a
forca de atrito) e diretamente proporcional a
velocidade
Fa = −bv = −bx. (3.41)
Como um exemplo, vamos considerar uma
partıcula em um oscilador harmonico unidi-
mensional (como o mostrado na figura 3.33),
submetido a uma forca de atrito diretamente
proporcional a velocidade, como a Fa acima.
Figura 3.33: Oscilador harmonico amortecido.
Neste caso, a equacao de movimento e dada
por
mx = −kx− bx =⇒ mx+ bx+ kx = 0.
Definindo a constante de amortecimento β e a
frequencia de oscilacao do sistema ω0 como
β =b
2me ω0 =
√k
m(3.42)
podemos escrever,
x+ 2βx+ ω20x = 0. (3.43)
Esta e uma equacao diferencial linear de 2a¯
ordem, com coeficientes constantes, de modo
que, podemos admitir uma solucao da forma
x(t) = eλt, o que nos leva a
x = λx e x = λ2x,
substituindo estes valores na equacao de movi-
mento (3.43), obtemos a seguinte equacao
λ2 + 2βλ+ ω20 = 0, (3.44)
chamada de equacao caracterıstica, cujas
solucoes saoλ+ = −β +
√β2 − ω2
0
λ− = −β −√β2 − ω2
0
Definindo uma nova frequencia
ωc =√β2 − ω2
0,
podemos escrever a solucao geral como sendo
x(t) = e−βt(Aeωct +Be−ωct
),
Uma analise cuidadosa desta solucao, nos
leva aos tres casos especiais, em que
ω2c > 0 Amortecimento Supercrıtico
ω2c = 0 Amortecimento Crıtico
ω2c < 0 Amortecimento Subcrıtico
nestes casos temos que as raızes sao,
β > ω0 λ+ e λ− sao reais
β = ω0 λ+ = λ− = −ββ < ω0 λ+ e λ− sao imaginarios
Na figura abaixo 3.34, mostramos uma
grafico com os tres tipos de movimentos rela-
tados acima.
Agora iremos investigar cada uma das
solucoes anteriores.
Prof. Salviano A. Leao 120
Figura 3.34: Possıveis movimentos para um os-
cilador harmonico amortecido.
3.15.1 Amortecimento
Subcrıtico (β < ω0)
No caso de movimento subcrıtico ou suba-
mortecido e conveniente definir a frequencia
ωa =√ω2
0 − β2 =
√k
m− b2
4m2= iωc,
de modo que ωa seja uma quantidade real. As-
sim, a solucao geral toma a forma
x(t) = e−βt(Ae+iωat +Be−iωat
),
Note que as constante A e B podem ser com-
plexas. Como x(t) representa a posicao, que e
uma grandeza fısica real, entao ela deve ser re-
presentada por um numero real, portanto ao
impor que x∗(t) = x(t) garante-se que x(t) e
real, assim
x∗(t) = e−βt(A∗e−iωat +B∗e+iωat
)= x(t).
Da relacao acima pode-se concluir que,A = B∗ = C
B = A∗ = C∗
e com isto a posicao x(t) pode ser reescrita
como
x(t) = e−βt(Ce+iωat + C∗e−iωat
)
Como C e um numero complexo qualquer,
entao no plano complexo ele tambem pode ser
expresso em termos das coordenadas polares,
por serem mais convenientes neste caso. Ao
expressar C em coordenadas polares ele sera
caracterizado por um angulo δ e uma ampli-
tude A/2, que estao relacionadas da seguinte
forma
C =A
2eiδ,
logo,
x(t) =A
2e−βt
(e+i(ωat+δ) + e−i(ωat+δ)
).
Usando a formula de Euler e±iθ = cos θ ±i sen θ, a equacao acima toma a forma
x(t) = Ae−βt cos(ωat+ δ) (3.45)
Portanto, a solucao geral, pode ser expressa
em uma forma mais simples, dependendo so-
mente das constantes de integracao A e δ, as
quais sao obtidas atraves das condicoes iniciais
do problema.
A figura 3.35 abaixo mostra o grafico de
x(t) × t (para δ = 0). A amplitude do movi-
mento decresce no tempo devido ao fator e−βt,
que e representado pela curva pontilhada da
figura 3.35. Este termo e conhecido como o
envelope ou envoltoria da curva, ou seja,
xenv.(t) = z(t) = ±Ae−βt.
Ele representa a amplitude efetiva num dado
instante.
A quantidade ωa e chamada frequencia an-
gular do oscilador amortecido, e ela e sempre
menor do que a frequencia angular do oscila-
dor harmonico livre ω0. A rigor, o movimento
nao e periodico porque, como o movimento e
amortecido, a partıcula nunca passa duas ve-
zes no mesmo ponto com a mesma velocidade.
Mesmo assim, define-se o perıodo do movi-
mento como sendo o intervalo de tempo en-
tre duas passagens sucessivas da partıcula pela
origem, no mesmo sentido (ou o intervalo de
Prof. Salviano A. Leao 121
Figura 3.35: Grafico de x(t) × t (para δ = 0)
para um oscilador amortecido subcriticamente.
As linhas tracejadas sao as envoltorias (ou en-
velope), que tem um decaimento exponencial.
tempo entre dois maximos). Em outras pala-
vras, o perıodo do movimento e o perıodo da
funcao cosseno que aparece em (3.45), dado
por
τa =2π
ωa
Se β for pequeno, podemos escrever ωa
como4
ωa =√ω2
0 − β2 = ω0
[1−
(β
ω0
)2]1/2
= ω0
[1− β2
2ω20
+ · · ·]
' ω0 − β2
2ω0
Se β ¿ ω0, entao podemos escrever
ωa ' ω0
4 Devemos usar a expansao em serie de Taylor:
(1+x)n = 1+nx+n(n− 1)
2!x2+
n(n− 1)(n− 2)3!
x3+·.
Suponha que no instante t = t0 ocorra um
maximo de x(t), entao a amplitude de oscilacao
nesse instante e
xenv.(t0) = Ae−βt0 ,
Um perıodo depois, a amplitude de oscilacao e
xenv.(t0 + τa) = Ae−β(t0+τa) = Ae−βt0e−βτa
= xenv.(t0)e−βτa
Assim, pode-se dizer que a razao entre as am-
plitudes de oscilacao entre dois maximos con-
secutivos e dada por
xenv.(t0)
xenv.(t0 + τa)= eβτa = e2πβ/ωa .
Da expressao acima, ve-se que este decaimento
nao depende do tempo. A quantidade eβτa e
chamada de decremento do movimento; o lo-
garitmo do decremento eβτa , que e
∆ = βτa = 2πβωa
e chamado de decremento logaritmo do movi-
mento.
Exemplo 38 Mostre que o decremento lo-
garıtmico e dado pela expressao:
∆ =1
nln
(xenv(t0)
xenv(t0 + nτa)
)=
1
nln
(x0
xn
).
(3.46)
onde xn representa a amplitude apos n ciclos
terem ocorrido.
Solucao: A razao entre duas amplitudes con-
secutivas e,
x0
x1
=x1
x2
=x2
x3
= · · · = xn−1
xn
= e∆, (3.47)
entretanto, a razao x0/xn, pode ser escrita
como
x0
xn
=
(x0
x1
)(x1
x2
)(x2
x3
)· · ·
(xn−1
xn
)= en∆,
(3.48)
Prof. Salviano A. Leao 122
assim, temos que
∆ =1
nln
(x0
xn
). (3.49)
Exemplo 39 Construa um diagrama de fase
para o oscilador subamortecido.
Solucao: Para encontrar a trajetoria no
espaco de fase precisa-se da posicao x(t) e da
velocidade x(t), que sao dadas respectivamente
por
x(t) = Ae−βt cos(ωat+ δ)
e
x(t) = −Ae−βt [β cos(ωat+ δ) + ωa sen(ωat+ δ)] .
Estas equacoes podem ser manipuladas mais
facilmente introduzindo as seguintes mudancas
de variaveis:
u = ωax(t) = ωaAe−βt cos(ωat+ δ)
w = x(t) + βx(t) = −ωaAe−βt sen(ωat+ δ)
As variaveis u e w podem ser representadas em
coordenadas polares poru = ρ cos(φ+ δ)
w = −ρ sen(φ+ δ)
com
φ = ωat =⇒ t =φ
ωa
ρ =√u2 + w2 = ωaAe
−βt
Assim, tem-se que
ρ = ωaAe−(β/ωa)φ,
que e a equacao de uma espiral logarıtmica
(como mostrado na figura 3.36 abaixo). Uma
vez que a transformacao de x, x para u, w e
linear, o caminho de fase tem basicamente a
mesma forma nos planos u × w e x × x, com
a diferenca que a espiral e ligeiramente defor-
mada no plano x× x (conforme a figura 3.37).
Figura 3.36: Grafico de w × u.
Na figura 3.37, mostra-se o espaco de fase
de um oscilador subcrıtico com os seguintes
parametros: A = 1, ω0 = 2, β = 0.25 e δ = 0.
Este diagrama foi feito usando o software Sci-
lab, com a funcao Espaco Fase.sci.
Figura 3.37: Grafico de x(t)×v(t), com A = 1,
ω0 = 2, β = 0.25 e δ = 0.
3.15.2 Balanco de Energia: Fa-
tor de Qualidade Q
Em um dado instante t, a energia mecanica
de uma partıcula em um movimento harmonico
amortecido subcriticamente, e dada por
E(t) =1
2mx2(t) +
1
2kx2(t).
Prof. Salviano A. Leao 123
Devido a forca resistiva, a energia do sistema
nao e mais conservada, pois a mesma esta
sendo dissipada em outras formas de energia.
A taxa de variacao temporal da energia pode
ser escrita como
d
dtE(t) = mxx+ kxx = (mx+ kx) x,
mas, da 2a¯ lei de newton para este movimento
temos que
mx = −kx− bx =⇒ mx+ kx = −bx,
logo, das duas relacoes anteriores, podemos es-
crever
dE
dt= −bx2 = −2mβx2. (3.50)
Portanto, a taxa instantanea de dissipacao
da energia mecanica do oscilador e igual ao
produto da forca −bx pela velocidade x, sendo
assim proporcional ao quadrado da velocidade
instantanea. Note que dE/dt < 0 sempre,
anulando-se nos instantes em que a velocidade
se anula, e acompanhando a oscilacao de x2
durante cada perıodo.
A energia total da partıcula em um instante
qualquer pode ser expressa usando o fato de
que a posicao e a velocidade sao dadas por
x(t) = Ae−βt cos(ωat+ δ)
x(t) = −Ae−βt [β cos(ωat+ δ)+
ωa sen(ωat+ δ)] (3.51)
entao a energia total em um instante qualquer
e dada por
E(t) =1
2mx2(t) +
1
2kx2(t),
usando o fato de que k = mω20 e substituindo a
posicao e a velocidade na equacao acima para
a energia total, obtem-se que:
E(t) =1
2mA2e−2βt
[(β cos θ + ωa sen θ)2 +
ω20 cos2 θ
]
na qual definiu-seθ = ωat+ δ
ω2a = ω2
0 − β2
Esta equacao ainda pode ser escrita em uma
forma mais compacta como
E(t) =1
2mA2e−2βt
[β2 cos2 θ + ω2
a sen2 θ+
2βωa sen θ cos θ + ω20 cos2 θ
]
=1
2mA2e−2βt
[ω2
0 + β2 cos2 θ − β2 sen2 θ+
2βωa sen θ cos θ]
=1
2mA2e−2βt
[ω2
0 + β2 cos 2θ + βωa sen 2θ].
Definindo-se a energia,
E0 =1
2mω2
0A2,
que e a energia total do sistema armazenada
pela mola no instante t = 0. Com esta de-
finicao pode-se reescrever a energia total arma-
zenada na mola em um dado instante t como
E(t) = E0e−2βt +
1
2mA2e−2βt
√β4 + β2ω2
a ×[β2
√β4 + β2ω2
a
cos 2θ+
βωa√β4 + β2ω2
a
sen 2θ
]
na qual definiu-se que,
senα =β2
√β4 + β2ω2
a
cosα =βωa√
β4 + β2ω2a
α = arctg
(β2
βωa
)= arctg
(β
ωa
)
√β4 + β2ω2
a = βω0.
(3.52)
entao a energia pode ser escrita em termos das
relacoes anteriores (3.52) como
E(t) = E0e−2βt + E0
(β
ω0
)e−2βt ×
sen [2 (ωat+ δ) + α]
Prof. Salviano A. Leao 124
E(t) = E0e−2βt 1+(β
ω0
)sen [2 (ωat+ δ) + α]
= E0e−2βt 1+(β
ω0
)sen [2ωat+ 2δ + α]
Observe que a energia e composta pelo termo
E0 que corresponde a energia inicialmente ar-
mazenada no sistema, pelo termo e−2βt que e
o responsavel pelo amortecimento (perda de
energia do sistema) e pelo termo,
fE(t) =
1 +
(β
ω0
)sen [2ωat+ 2δ + α]
que tambem e devido ao amortecimento. En-
tretanto, este termo faz com que a energia
oscile, com um perıodo que e a metade do
perıodo de oscilacao da posicao. Observe que
se T for o perıodo de oscilacao para a posicao,
dado por
T =2π
ωa
entao a funcao fE(t) acima tem a seguinte pro-
priedade
fE(t+ T/2) = fE(t) (3.53)
pois,
sen [2ωa(t+ T/2) +2δ + α]
= sen (2ωat+ 2ωaT/2 + 2δ + α)
= sen (2ωat+ 2δ + α+ 2π)
= sen [2 (ωat+ δ) + α] ,
com isto, evidentemente que fE(t+T ) = fE(t+
T/2) = fE(t).
Como a energia E(t) que pode ser escrita
como
E(t) = E0e−2βtfE(t) (3.54)
entao, ela tem a seguinte propriedade
E(t+ T ) = E0e−2β(t+T )fE(t+ T )
= E0e−2βte−2βTfE(t)
= E(t)e−2βT (3.55)
Na figura 3.38, mostramos um grafico da
energia em funcao do tempo, para uma si-
tuacao tıpica. A energia decai exponencial-
mente com o tempo.
Figura 3.38: Grafico da energia em funcao do
tempo para um sistema subcriticamente amor-
tecido.
Quanta energia o sistema perde apos uma os-
cilacao completa (em um perıodo T )? A ener-
gia perdida em um ciclo ∆E (∆E < 0) pode
ser escrita como:
∆E = E(t+ T )− E(t)
mas como foi mostrado em (3.55), a energia em
um perıodo T mais tarde tera o valor
E(t+ T ) = E(t)e−2βT ,
logo, a energia perdida em um perıodo T e
∆E =[e−2βT − 1
]E(t)
=[e−4πβ/ωa − 1
]E(t)
Entao, temos que
∆E
E(t)= e−4πβ/ωa − 1. (3.56)
Se considerarmos que o amortecimento e fraco
o suficiente, ou seja, que b¿ 1 ou que β ¿ ωa,
Prof. Salviano A. Leao 125
podemos expandir o termo da exponencial em
serie de Taylor e manter somente o termo de
primeira ordem em β/ωa (ex = 1 + x + 12x2 +
16x3 +O (x4)), desta forma, obtemos que
∆E
E(t)= −2π
2β
ωa
=⇒ E(t)
|∆E| =ωa
4πβ(3.57)
A taxa de perda de energia de um oscilador
fracamente amortecido e melhor caracterizada
por um unico parametro Q, chamado fator de
qualidade do oscilador.
O fator de qualidade Q do oscilador e de-
finido como sendo 2π vezes a energia armaze-
nada no oscilador em um dado instante t divi-
dida pela energia perdida em um unico perıodo
de oscilacao T . O fator de qualidade Q pode
ser expresso como
Q = 2πEnergia armazenada no instante t
|Energia dissipada no perıodo |No caso de um amortecimento fraco, ve-
mos que a taxa de perda de energia e cons-
tante, eq. (3.57), entretanto nos casos em
que isto ocorre esta taxa varia de acordo com
a expressao (3.56), entao para um oscilador
harmonico amortecido subcriticamente o fator
de qualidade Q e dado por:
Q =ωa
2β
Portanto, do resultado acima podemos con-
cluir que a condicao de amortecimento fraco e
equivalente a condicao de um fator de quali-
dade muito grande, ou seja, QÀ 1.
Agora vamos encontrar uma expressao para
a potencia dissipada pela forca de amorteci-
mento. A potencia dissipada PR(t) e dada pela
eq. (3.50), a qual e uma funcao da velocidade
instantanea, que e dada pela eq. (3.51), assim
podemos escrever
PR(t) = −2mβA2e−2βt ×[β cos(ωat+ δ) + ωa sen(ωat+ δ)]2
Usando as relacoes definidas pelas eqs.
(3.58) abaixo,
senα =β√
β2 + ω2a
cosα =ωa√β2 + ω2
a
α = arctg
(β
ωa
)= arctg
(β
ωa
)
√β2 + ω2
a = ω0.
(3.58)
Observe que estas transformacoes sao equiva-
lentes as transformacoes.
Usando as relacoes (3.58), a potencia dissi-
pada pode ser escrita como
PR(t) = −2mβA2e−2βt(√
β2 + ω2a
)2
×[sen(ωat+ δ + α)]2
Portanto, a potencia dissipada instantanea
pode ser escrita na forma mais compacta como,
PR(t) = −2mβω20A
2e−2βt sen2(ωat+ δ + α).
(3.59)
Como acabamos de ver a energia do osci-
lador harmonico amortecido nao e mais cons-
tante como no caso do oscilador harmonico
simples. O oscilador harmonico amortecido
esta perdendo energia continuamente, devido
ao amortecimento do meio, que e dissipada
na forma de calor. A taxa de perda da
energia e proporcional ao quadrado da velo-
cidade, conforme eq. (3.59), de modo que
a perda de energia nao ocorre de maneira
uniforme. A taxa de perda de energia sera
maxima quando a partıcula atinge sua velo-
cidade maxima proximo da (mas nao exata-
mente na) posicao de equilıbrio, e sera instan-
taneamente nula quando a velocidade for nula,
ou seja, quando a amplitude da partıcula for
maxima. Na figura 3.39 mostramos a ener-
gia em funcao do tempo e a velocidade em
funcao do tempo, enquanto na figura 3.40 mos-
tramos a potencia dissipada e a velocidade
Prof. Salviano A. Leao 126
como funcoes do tempo, para um oscilador
harmonico amortecido.
Figura 3.39: Grafico da energia e da velocidade
em funcao do tempo para um sistema subcri-
ticamente amortecido. A setas indicam os ins-
tantes em que a velocidade e nula e a energia
quase nao muda em instantes proximos a este.
Figura 3.40: Grafico da potencia dissipada e
da velocidade em funcao do tempo para um
sistema subcriticamente amortecido. A setas
indicam os instantes em que a velocidade e nula
e a potencia instantanea tambem e nula.
3.15.3 Amortecimento Crıtico
(β = ω0)
No caso em que
β = ω0
as duas solucoes da eq. caracterıstica (3.44)
sao iguais a −β. Assim, so temos uma solucao
particular para (3.43), que e
x(t) = Ae−βt,
Como esta equacao diferencial e de segunda
ordem, devemos ter duas solucoes linearmente
independentes, e portanto, devemos encontrar
uma outra solucao. E facil mostrar que
x(t) = Bte−βt
tambem e solucao, de forma que a solucao geral
e,
x(t) = (A+Bt) e−βt
Neste caso, a velocidade e
x(t) = Be−βt − β (A+Bt) e−βt
= (B − βA− βBt) e−βt
A figura 3.41 mostra um grafico tıpico de
x(t) × t, com x0 = A positivo, para um osci-
lador com amortecimento crıtico para os casos
em que a velocidade inicial e positiva, zero e
negativa.
Figura 3.41: Grafico da posicao em funcao do
tempo, para um oscilador criticamente amorte-
cido, para tres valores diferentes da velocidade
inicial.
Prof. Salviano A. Leao 127
3.15.4 Amortecimento Su-
percrıtico (β > ω0)
Agora iremos estudar o caso em que
β > ω0
Neste caso, a solucao geral pode ser escrita
como
x(t) = e−βt(Ae+ωct +Be−ωct
)
onde,
ωc =√β2 − ω2
0, ωc > 0
Observe que o movimento nao e periodico, e
portanto, ωc nao representa uma frequencia.
Em todos os casos x vai a zero assintoticamente
para o valor da posicao de equilıbrio.
A velocidade e dada por,
x(t) = A (ωc − β) e(ωc−β)t
−B (ωc + β) e−(ωc+β)t
No amortecimento supercrıtico, o movi-
mento resultante nao e oscilatorio e assintoti-
camente sua amplitude vai a zero. Entretanto,
dependendo dos valores iniciais da velocidade,
pode haver uma mudanca no sinal da posicao
x, antes de sua amplitude ir a zero assintotica-
mente.
Para fazermos uma analise do compor-
tamento desta solucao, vamos reescrever a
solucao em termos das condicoes iniciais
x(0) = x0 e x(0) = x0 = v0, assim
x0 = A+B
v0 = A(ωc − β)−B (ωc + β)
Apos uma manipulacao algebrica obtemos
A =v0 + (ωc + β)x0
2ωc
B = −v0 − (ωc − β)x0
2ωc
Se limitarmos nossa analise a um desloca-
mento inicial positivo x(0) = x0 > 0, observa-
remos tres possıveis situacoes de interesse para
a velocidade inicial x(0) = x0:
1. x0 > 0, neste caso x(t) atinge o maximo
em algum instante t > 0 antes de ir a zero.
2. x0 < 0, neste caso x(t) vai a zero monoto-
nicamente
3. Se x0 < 0 e o seu modulo for grande o su-
ficientemente para que x(t) mude o sinal,
atinja um valor mınimo e em seguida va a
zero.
Vamos agora analisar o primeiro caso, para
tal, analisaremos as condicoes para que x(t)
tenha um zero, assim imporemos que
x(t) = e−βt(Ae+ωct +Be−ωct
)= 0
v0 > 0.
e−βt(Ae+ωct +Be−ωct
)= 0
Para que a condicao acima seja satisfeita deve-
mos ter que:
Ae+ωct +Be−ωct = 0A
B= −e−2ωct
t = − 1
2ωc
ln
[−AB
]
= − 1
2ωc
ln
[v0 + (β + ωc)x0
v0 + (β − ωc)x0
]
Para que exista uma solucao para a equacao
acima, o argumento da funcao logaritmo deve
ser positivo. Entretanto, devemos lembrar que
lnx > 0 se x > 1 e que ln x < 0 se 0 < x <
1. Portanto, se o argumento do logaritmo for
maior que um, ou seja,
v0 + (β + ωc)x0
v0 + (β − ωc)x0
> 1
Prof. Salviano A. Leao 128
neste caso o tempo sera negativo, o que signi-
fica que nao teremos um zero para a x(t) sob
estas condicoes.
Se o argumento estiver entre zero e um, ou
seja,
0 <v0 + (β + ωc)x0
v0 + (β − ωc)x0
< 1
entao a funcao logaritmo sera negativa e o
tempo sera positivo e maior do que zero, o que
significa que ha uma solucao para x(t) = 0.
Se o argumento da funcao logaritmo for ne-
gativo nao havera, uma solucao para a equacao
x(t) = 0.
Na figura 3.42 ilustramos este tres casos,
mostrando um grafico tıpicos de x(t) × t para
x0 = A+B positivo, ou seja, x0 = A+B > 0.
Dependendo dos valores de A e B, a velocidade
inicial pode ser positiva ou negativa. Em par-
ticular, se B > 0 e A < 0 a velocidade inicial
e negativa e existe um valor de t, diferente de
zero, para o qual x(t) se anula (o grafico corta
o eixo t).
Figura 3.42: Tres possıveis casos para o amor-
tecimento supercrıtico. Aqui a amplitude ini-
cial e x0 = A+B > 0.
Exemplo 40 Considere um pendulo de com-
primento ` e massa m movendo-se no oleo (fi-
gura 3.43 abaixo). O oleo retarda o movimento
do pendulo com uma forca resistiva proporcio-
nal a velocidade, de modulo dado por
Fres. = 2m
√g
`
(`θ
)
O pendulo e solto da posicao θ = α no ins-
tante t = 0. Supondo que as oscilacoes sejam
pequenas, obtenha o deslocamento angular e a
velocidade angular como funcoes do tempo.
Figura 3.43: O pendulo se movimentando em
um meio resistivo.
Solucao: Observe que a forca de resistencia
e dada por
Fres. = −2m
√g
`
(`θ
)θ
e que o torque que atua sobre a partıcula e dado
por
N = −mg` sen θ + Fres.`
= −mg` sen θ − 2m
√g
`(`θ)
A equacao de movimento e dada por
N = Iθ = m`2θ
Assim,
m`2θ = −mg` sen θ − 2m
√g
`(`θ)
Para pequenas oscilacoes
sen θ ≈ θ
Prof. Salviano A. Leao 129
de modo que
θ + 2
√g
`θ +
g
`θ = 0.
Comparando esta equacao com eq. (3.43) ve-
mos que
β =
√g
`e ω0 =
√g
`
Como β = ω0, temos, portanto, um caso de
amortecimento crıtico, cuja solucao geral e
θ(t) = (A+Bt) e−βt
No instante t = 0, temos que θ(0) = α, por-
tanto A = α, logo
θ(t) = (α+Bt) e−βt
Derivando esta expressao em relacao ao tempo,
obtemos que
θ(t) = (B − βα− βBt) e−βt
Agora, usando o fato de que a velocidade an-
gular no instante t = 0 e nula, ou seja, que
θ(0) = 0, encontramos que B = βα, logo
θ(t) = α (1 + βt) e−βt
θ(t) = −αβ2te−βt
ou ainda, substituindo o valor de β, obtemos
θ(t) = α
(1 +
√g
`t
)e−√
g`t,
θ(t) = −α(g`
)te−√
g`t.
Veja que θ e sempre positivo enquanto a veloci-
dade angular e sempre negativa. O pendulo re-
torna a posicao de equilıbrio sem oscilar. Por
sua vez, a velocidade angular tem um mınimo
para t =√
g`, como mostrado na figura 3.44.
Figura 3.44: O pendulo se movimentando em
um meio resistivo.
3.16 Oscilacoes Forcadas
Amortecidas
Agora iremos estudar o movimento de um
oscilador amortecido que e submetido por uma
agente externo, a uma forca externa periodica.
Suporemos que a forca aplicada sobre o osci-
lador tenha a seguinte forma F0 cos(ωt), por-
tanto a equacao de movimento e dada por
mx+ bx+ kx = F0 cos(ωt).
Definindo, uma amplitude A por
f0 =F0
m
a equacao de movimento pode ser escrita como
x+ 2βx+ ω20x = f0 cos(ωt). (3.60)
A solucao geral desta equacao pode ser escrita
como
x(t) = xh(t) + xp(t),
na qual,
xh(t) = e−βt(Ahe
−ωct +Bhe+ωct
),
Prof. Salviano A. Leao 130
e a solucao da equacao homogenea
xh + 2βxh + ω20xh = 0.
a qual, tambem e conhecida como solucao tran-
siente.
Por sua vez, xp e uma solucao particu-
lar responsavel pelo aparecimento do termo
f0 cos(ωt) no lado direito de (3.60). Para deter-
minarmos a uma solucao particular qualquer
para a eq. (3.60 ) podemos proceder de duas
formas diferentes. No primeiro procedimento,
leva-se em conta fato da forca ser uma funcao
harmonica, portanto, sua solucao tambem de-
vera ser uma funcao harmonica, enquanto que
no segundo procedimento usa-se a simplicidade
da formulacao complexa.
Primeiro Modo:
Como todas as derivadas de uma funcao se-
noidal sao funcoes senoidais, uma boa solucao
tentativa para (3.60) seria
xp(t) = A cos(ωt− δ)Substituindo esta solucao em (3.60), temos
−ω2A cos(ωt− δ)− 2βωA sen(ωt− δ)+ω2
0A cos(ωt− δ) = f0 cos(ωt)
Expandindo sen(ωt − δ) e cos(ωt − δ), temos
quef0 − A
[(ω2
0 − ω2)cos δ + 2ωβ sen δ
]cos (ωt)
−A
[(ω2
0 − ω2)sen δ + 2ωβ cos δ
]×sen (ωt) = 0.
Para que a expressao acima seja identicamente
valida, os coeficientes das funcoes seno e cos-
seno devem ser ambos nulos. Assim, podemos
escrever
f0 − A[(ω2
0 − ω2)cos δ+
2ωβ sen δ] = 0 (3.61)
A[(ω2
0 − ω2)sen δ+
2ωβ cos δ] = 0. (3.62)
Da ultima equacao da expressao acima (3.62),
podemos escrever
tg δ =2ωβ
ω20 − ω2
, (3.63)
Consequentemente (veja o triangulo mostrado
na figura 3.45)
Figura 3.45: Triangulo, que relaciona o angulo
δ com as frequencias ω e ω0 e com a constante
de amortecimento β.
sen δ =2ωβ√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
(3.64)
cos δ =ω2
0 − ω2
√(ω2
0 − ω2)2+ 4ω2β2
(3.65)
Da primeira equacao de (3.61), podemos escre-
ver
A =f0
(ω20 − ω2) cos δ + 2ωβ sen δ
(3.66)
Substituindo as expressoes para sen δ e cos δ,
na equacao acima, obtemos que
A =f0√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
(3.67)
Observe que a amplitude de oscilacao do siste-
mas e agora uma funcao da frequencia da forca
externa, ou seja, A = A(ω).
Finalmente, a solucao particular da equacao
(3.60) pode ser escrita como
xp(t) =f0√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
cos (ωt− δ) ,
(3.68)
Prof. Salviano A. Leao 131
onde, o angulo δ e dado por
arctg δ =
(2ωβ
ω20 − ω2
)(3.69)
A presenca da constante δ na solucao (3.68) in-
dica que ha um atraso da resposta do sistema
em relacao a forca aplicada. A figura 3.46 mos-
tra um grafico de δ em funcao de ω para um
ω0 fixo. Note que:
ω → 0 =⇒ δ → arctg(0+) = 0
ω → ω0 =⇒ δ → arctg(∞) = π2
ω →∞ =⇒ δ → arctg(0−) = π
(3.70)
Figura 3.46: Grafico de δ em funcao de ω para
um ω0 fixo, no caso de um oscilador harmonico
amortecido e forcado.
Segundo Modo:
Para obter uma solucao via formulacao com-
plexas, usa-se a formula de Euler eiθ = cos θ+
i · sen θ para representar o numero complexo
z = x + iy, na forma polar, o qual pode
entao ser escrito como z =√x2 + y2eiα, com
tgα = yx. Ao usar a notacao complexa, em
vez de resolver somente a equacao diferencial
(3.60), resolve-se silmutaneamente as seguintes
equacoes:
xp + 2βxp + ω2
0xp = f0 cos(ωt)
y + 2βy + ω20y = f0 sen(ωt)
Fazendo z = xp + iy, obtem-se a seguinte
equacao
z + 2βz + ω20z = f0e
iωt (3.71)
a ser resolvida. A parte real da equacao acima
e a equacao diferencial original, a eq. (3.60),
assim xp = Re(z), o que significa que xp e a
parte real de z, enquanto y = Im(z) significa
que y e a parte imaginaria de z.
Para resolver a equacao diferencial complexa
(3.71) acima, deve-se buscar por uma solucao
que tenha a mesma forma funcional da expo-
nencial, assim tenta-se a seguinte solucao
z(t) = z0eiωt
da qual tem-se que
z = iωz e z = −ω2z
logo, substituindo estes resultados em (3.71),
obtem-se que
[(ω2
0 − ω2)
+ i (2βω)]z0e
iωt = f0eiωt
assim,
z0 =f0
(ω20 − ω2) + i (2βω)
.
Em vez de lidarmos com o numero complexo
[(ω20 − ω2) + i (2βω)], e sempre mais facil tra-
balharmos com ele em sua forma polar, que e
dada por,
(ω2
0 − ω2)+i (2βω) =
√(ω2
0 − ω2)2+ 4β2ω2eiδ,
na qual,
tg δ =2ωβ
ω20 − ω2
.
Portanto,
z0 =f0e
−iδ
√(ω2
0 − ω2)2+ 4β2ω2
Prof. Salviano A. Leao 132
e desta forma tem-se que
z(t) =f0√
(ω20 − ω2)
2+ 4β2ω2
ei(ωt−δ).
e a solucao da equacao diferencial complexa
(3.71). Entretanto, queremos somente a parte
real desta solucao, que e a solucao da equacao
diferencial original (3.60) desejada. Esta
solucao e entao
xp(t) =f0√
(ω20 − ω2)
2+ 4β2ω2
cos (ωt− δ) .
Figura 3.47: Aqui, mostramos a solucao tran-
siente, particular e geral da equacao diferencial
(3.60).
A solucao da equacao homogenea dada por
(3.16) e chamada solucao transiente. Por causa
do fator exponencial e−βt, ela vai a zero para
um tempo grande comparado com 1/β. Assim
x(tÀ 1/β)→ xp(t). (3.72)
que e chamada solucao estacionaria. O que
ocorre antes da solucao transiente desapare-
cer em uma situacao particular e ilustrado
pelo grafico da figura 3.47. As funcoes xh(t)
(supondo movimento subamortecido), xp(t) e
x(t) sao representadas no caso em que ω <
ωa =√ω2
0 − β2. Observe que, inicialmente,
a funcao x(t) e deformada mas a medida que
xh(t) vai desaparecendo ela vai se confundindo
com xp(t).
3.17 Ressonancia
Vamos agora, considerar a situacao posterior
ao perıodo transiente em que somente a solucao
estacionaria sobrevive.
A frequencia angular, ω, para a qual a am-
plitude de oscilacao A(w) dada por
A(ω) =f0√
(ω20 − ω2)
2+ 4β2ω2
(3.73)
assume o seu valor maximo e chamada
frequencia de ressonancia ωR da amplitude.
Assim, a derivada da amplitude no seu valor
maximo ωR e
(dA
dω
)
ω=ωR
= 0. (3.74)
A derivada de A(ω) e dada por
dA
dω=
2ωf0 (ω20 − ω2 − 2β2)[
(ω20 − ω2)
2+ 4β2ω2
]3/2(3.75)
Igualando a zero, obtemos que
ωR =√ω2
0 − 2β2 (3.76)
Observe que so havera ressonancia se 2β2 < ω20.
Caso contrario A e monotonicamente decres-
cente (dA/dω e sempre negativo). O grau de
amortecimento do sistema pode ser descrito
pelo fator de qualidade Q, definido como
Q =ωR
2β(3.77)
Um fator de qualidade Q grande significa que
o parametro de amortecimento, β e pequeno.
Nesse caso, o segundo termo dentro do radical,
Prof. Salviano A. Leao 133
no denominador de (3.73), e pequeno, e por-
tanto, a curva A×ω, figura 3.48, tem um pico
alto e estreito em ω = ω0. Quando Q vai dimi-
nuindo, β vai aumentando, e portanto, o pico
vai se tornando mais largo e mais baixo. No
caso em que 2β2 > ω20, o pico desaparece.
Para valores grandes de Q, somente os-
cilacoes com frequencias muito proximas a
ω0 podem ser excitadas com amplitude con-
sideravel. Esta e uma condicao desejavel
em muitas situacoes fısicas, como por exem-
plo, um diapasao. Deseja-se que um dia-
pasao vibre com uma frequencia definida para
que ele emita um som puro (com uma unica
frequencia).
Figura 3.48: Grafico da amplitude em funcao
da frequencia, para diferentes valores da cons-
tante de amortecimento. O pico mais agudo e
para o menor valor da constante de amorteci-
mento.
Da mesma forma que define-se a frequencia
de ressonancia da amplitude, pode-se definir
outras frequencias de ressonancia. Por exem-
plo, a frequencia de ressonancia da energia
cinetica e definida como sendo a frequencia
para a qual a energia cinetica assume o seu
valor maximo.
A velocidade pode ser calculada, a partir de
(3.68), como
xp(t) =−ωf0√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
sen (ωt− δ) ,
(3.78)
Sendo assim, a energia cinetica e dada por
T =1
2mx2
p
=mf 2
0
2
ω2
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
sen2 (ωt− δ) ,
Uma vez que T depende do tempo, e interes-
sante trabalhar com o seu valor medio em um
perıodo, assim
〈T 〉 =mf 2
0
2
ω2
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
×⟨sen2 (ωt− δ)⟩
Mas com,
⟨sen2 (ωt− δ)⟩ =
1
2, (3.79)
logo, podemos escrever
〈T 〉 =mf 2
0
4
ω2
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
(3.80)
A derivada de 〈T 〉 em relacao a ω e dada por
d 〈T 〉dω
=mf 2
0
2
ω (ω20 − ω2)
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
(3.81)
Na ressonancia temos,
(d 〈T 〉dω
)
ω=ωT
= 0, (3.82)
de forma que
ωT = ω0. (3.83)
Uma vez que a energia potencial e proporcional
ao quadrado da amplitude, ela e maxima para
a frequencia de ressonancia da amplitude, dada
por
ωU = ωR =√ω2
0 − 2β2. (3.84)
Prof. Salviano A. Leao 134
3.18 Impedancia de Um
Oscilador
Um oscilador harmonico amortecido e carac-
terizado por tres grandezas: sua massa m, a
constante elastica da mola k e a constante de
amortecimento b. Nas expressoes vistas ate
agora, estas grandezas sempre aparecem em
combinacao com a frequencia ω da forca ex-
terna aplicada.
A velocidade maxima de um oscilador
harmonico amortecido forcado em funcao da
frequencia, conforme a equacao equacao (3.78),
e dada por
vmax.(ω) =ωf0√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
=ωF0
m√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
.
Para que frequencia ω de excitacao da forca ex-
terna, a amplitude da velocidade sera maxima?
Em um oscilador harmonico amortecido
forcado, a grandeza que aparece no denomi-
nador da velocidade em funcao do tempo,
equacao (3.78), e chamada impedancia do os-
cilador e e designada por Z, assim F = Zv =
Zx. Portanto
Z =m
ω
√(ω2
0 − ω2)2+ 4ω2β2
=m
ω
√(k
m− ω2
)2
+ ω2b2
m2
=m
ω
√√√√ ω2
m2
[(k
ω−mω
)2
+ b2
]
=
√(k
ω−mω
)2
+ b2
Z =
√(k
ω−mω
)2
+ b2 (3.85)
Analogamente, a reatancia X, e a resistencia
R, sao definidas por
X = mω−kω
e R = b (3.86)
portanto a impedancia pode ser escrita em ter-
mos da reatancia e da resistencia, como
Z =√X2 +R2,
Figura 3.49: Triangulo mostrando a relacao en-
tre o angulo δ e a impedancia Z, a reatancia X
e a resistencia R em um oscilador harmonico
amortecido.
O angulo δ e dado por
arctg(δ) =R
X=
b
mω − k
ω
.
Desta forma podemos escrever as equacoes de
movimento para o oscilador harmonico amor-
tecido forcado como
xp(t) =F0
ωZcos (ωt− δ)
xp(t) = −F0
Zsen (ωt− δ)
f0(ω) =F0
ωZA potencia transferida ao oscilador e,
Pf (t) = xpF (t) = −F20
Zsen (ωt− δ) cos(ωt)
= −F20
Z
[1
2sen (2ωt) cos(δ)−
sen(δ) cos2 (ωt)
]
Prof. Salviano A. Leao 135
Vamos agora calcular a potencia media ab-
sorvida em um perıodo, Pf , pois e ela que nos
fornece uma indicacao do comportamento do
sistema. Portanto,
Pf =F 2
0
2Zsen(δ).
Como v0 = F0/Z, entao
Pf =1
2v0F0 sen(δ)
Agora usando a relacao mostrada na figura
3.49, podemos escrever, sen(δ) = R/Z, e
usando tambem o fato de que F0 = Zv0, obte-
mos
Pf =1
2Rv2
0
Da equacao acima vemos que a maxima
potencia transferida, depende da velocidade
maxima e da constante de amortecimento b =
R.
3.19 Princıpio da super-
posicao: series de
Fourier
Na secao anterior vimos que a solucao per-
manente da equacao (3.60) e dada por (3.68).
Seguindo os mesmos passos, e facil mostrar que
a solucao da equacao
x+ 2βx+ ω20x = f0 sen(ωt) (3.87)
e dada por
xp(t) =f0√
(ω20 − ω2)
2+ 4ω2β2
sen (ωt− δ) ,
(3.88)
onde, o angulo δ e dado por
arctg δ =
(2ωβ
ω20 − ω2
)(3.89)
Nesta secao vamos mostrar como resolver a
equacao de movimento para um oscilador su-
jeito a uma forca periodica geral F (t). Fazendo
f(t) = F (t)/m,
x+ 2βx+ ω20x = f(t). (3.90)
Suponha que x1(t) seja solucao da equacao
(3.90) para uma forca f1(t), ou seja,
x1 + 2βx1 + ω20x1 = f1(t). (3.91)
Suponha que x2(t) seja solucao da equacao
(3.90) para uma forca f2(t), ou seja,
x2 + 2βx2 + ω20x2 = f2(t). (3.92)
Somando a primeira eq. (3.91) multiplicada
por α1 com a segunda (3.92) multiplicada por
α2, podemos escrever
(α1x1 + α2x2) + 2β (α1x1 + α2x2) +
ω20 (α1x1 + α2x2) = (α1f1(t) + α2f2(t))
Isto quer dizer que,
x(t) = α1x1 + α2x2, (3.93)
e uma solucao da eq. (3.90) para um forca
f(t) = α1f1(t) + α2f2(t), (3.94)
A ideia pode ser generalizada. Se a forca ex-
terna puder ser escrita como
f(t) =N∑
n=1
αnfn(t), (3.95)
e se x1(t), x2(t), . . . , xN(t) forem, respectiva-
mente, as solucoes para forcas f1(t), f2(t), . . .
, fN(t), entao
x(t) =N∑
n=1
αnxn(t), (3.96)
e solucao da equacao para a forca f(t). Este re-
sultado e muito util quando f(t) e uma funcao
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periodica porque, nesse caso, ela pode ser es-
crita como uma expansao em senos e cossenos
(serie de Fourier) que sao funcoes para as quais
sabemos resolver a equacao diferencial.
Se a forca for uma funcao periodica do
tempo, com perıodo τ , ou seja, se
f(t+ τ) = f(t) (3.97)
entao podemos escrever f(t) (em serie de Fou-
rier) como
f(t) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nωt) + bn sen(nωt)] ,
(3.98)
onde,
ω =2π
τ(3.99)
e os coeficientes da serie de Fourier sao dados
por
an =2
τ
∫ τ
0
f(t′) cos(nωt′)dt′
bn =2
τ
∫ τ
0
f(t′) sen(nωt′)dt′
n = 0, 1, 2, . . . , N
(3.100)
Como f(t) e periodica, podemos trocar o
perıodo de integracao de 0 a τ para −τ/2 a
+τ/2 ou, em termos de ω, de −π/ω a +π/ω.
Assim, podemos escrever
an =ω
π
∫ +π/ω
−π/ω
f(t′) cos(nωt′)dt′
bn =ω
π
∫ +π/ω
−π/ω
f(t′) sen(nωt′)dt′
n = 0, 1, 2, . . . , N
(3.101)
Se f(t) for escrita em termos de (3.98) entao
a solucao estacionaria da equacao diferencial
x+ 2βx+ ω20x = f(t), (3.102)
pode ser escrita como
x(t) =a0
2ω20
+N∑
n=1
×
an cos(nωt− δn) + bn sen(nωt− δn)√(ω2
0 − n2ω2)2+ 4n2β2ω2
(3.103)
onde
δn = arctg
(2nωβ
ω20 − n2ω2
)(3.104)
Observe que
x =a0
2ω20
(3.105)
e a solucao particular da equacao
x+ 2βx+ ω20x =
a0
2, (3.106)
A solucao geral e a soma da solucao esta-
cionaria com a solucao transiente (3.16).
Exemplo 41 Obtenha os coeficientes de ex-
pansao em serie de Fourier da funcao dente
de serra da figura 3.50 abaixo.
Figura 3.50: Grafico de uma funcao periodica
do tipo dente de serra.
Solucao: No intervalo
− τ
2< t < +
τ
2(3.107)
podemos escrever
f(t) = At
τ=ωA
2πt (3.108)
Prof. Salviano A. Leao 137
Como f(t) e uma funcao ımpar, todos os coe-
ficientes an sao nulos. Por sua vez,
bn =ω2A
2π2
+π/ω∫
−π/ω
t′ sen(nωt′)dt′
=ω2A
2π2
[−t
′ cos(nωt′)nω
+
sen(nωt′)n2ω2
]+π/ω
−π/ω
(3.109)
Como,
sen(±nπ) = 0 e cos(±nπ) = (−1)n,
logo
bn =A
nπ(−1)n+1
Assim,
f(t) =A
π
∞∑n=1
(−1)n+1
nsen(nωt)
=A
π
[sen(ωt)− 1
2sen(2ωt)
+1
3sen(3ωt)− 1
4sen(4ωt) + · · ·
]
A convergencia desta serie nao e muito
rapida.
Devemos notar duas caracterısticas da ex-
pansao. Nos pontos de descontinuidade (t =
±τ/2) a serie produz um valor medio nulo
(zero), e na regiao imediatamente adjacente
aos pontos de descontinuidade, a expansao
passa pela funcao original. Este ultimo efeito,
e conhecido como fenomeno de Gibbs, e ocorre
em todas as ordens da aproximacao. Esta pas-
sagem de Gibbs e da ordem de 9% em cada des-
continuidade, mesmo no limite de uma serie
infinita.
3.20 Elementos de um Cir-
cuito
Para analisarmos um circuito precisamos co-
nhecer os elementos que compoem o mesmo,
e a seguir faremos uma breve revisao de cada
um dos elementos que irao compor um circuito
qualquer.
3.20.1 Resistor
Um resistor (ohmico, ou seja, aquele que obe-
dece a lei de Ohm, V = RI) e um elemento de
circuito, representado pelo sımbolo da figura
3.51 . A lei de Ohm nos diz que: Quando por
um resistor R passar uma corrente I, havera
uma queda de potencial (no sentido da cor-
rente: V = V1 − V2; V1 > V2), atraves dos seus
extremos 1 e 2, dada por:
V = RI
Figura 3.51: Resistor
Num resistor, ha uma conversao de energia
eletrica em energia termica, dada pelo efeito
Joule. A potencia dissipada pelo resistor de-
vido ao efeito Joule e dada por:
P = RI2 = V I
3.20.2 Capacitor
O capacitor e representado pelo sımbolo da fi-
gura 3.52. Um capacitor tem uma placa com
uma carga +Q e a outra placa com uma carga
−Q, e a queda de potencial V ≡ V1 − V2 entre
as placas e dada por:
V =Q
C,
Prof. Salviano A. Leao 138
onde C e a capacitancia do capacitor.
Figura 3.52: Capacitor
Um capacitor armazena energia eletrica, e a
energia total armazenada pelo capacitor e:
U =1
2
Q2
C=
1
2CV 2 =
1
2QV.
3.20.3 Indutor
O indutor e representado pelo sımbolo da fi-
gura 3.53. Ele e um elemento idealizado
no qual supoe-se que o campo magnetico es-
teja completamente confinado no mesmo, como
num solenoide infinito, e que o mesmo possuı
uma resistencia interna desprezıvel, logo a
queda de potencial entre os extremos 1 e 2,
no sentido da corrente e dada por:
V = LdI
dt,
onde L e a indutancia do indutor e no sistema
internacional a sua unidade e o Henry (H).
Figura 3.53: Indutor
Num indutor, ha armazenamento de energia,
sob a forma de energia magnetica. A energia
armazenada pelo indutor e dada por:
U =1
2LI2.
3.20.4 Gerador
Um gerador (ver sımbolo da figura 3.54) e uma
fonte de fem (forca eletromotriz), que pode ser
tratado de forma analoga a uma bateria. O
gerador e atravessado pela corrente no sentido
inverso ao da queda de potencial, assim:
V1 − V2 ≡ V = −E P = EI.
Figura 3.54: Gerador
3.21 Oscilacoes Eletricas
Consideremos um oscilador mecanico como
mostrado na figura 3.55(a), onde a massa m
desliza em uma plataforma sem atrito. Sabe-
mos que a equacao de movimento e
mx+ kx = 0, (3.110)
e a frequencia de oscilacao e dada por
ω0 =
√k
m. (3.111)
Agora iremos considerar o circuito eletrico
mostrado na figura 3.55 (b). Em um dado ins-
tante t, a carga no capacitor C e q(t), e a cor-
rente que flui atraves do indutor L e I(t) = q.
Aplicando a lei de Kirchhoff da queda de vol-
tagem neste circuito, podemos escrever
Prof. Salviano A. Leao 139
Figura 3.55: Um oscilador mecanico e o seu
analogo eletrico, um circuito LC.
LdI
dt+
1
C
∫Idt = 0, (3.112)
ou em termos da carga q,
Lq +1
Cq = 0. (3.113)
Esta equacao e exatamente da mesma forma
da equacao que aparece em (3.110), portanto
sua solucao e
q(t) = q0 cos(ω0t) (3.114)
onde a frequencia e
ω0 =1√LC
(3.115)
onde fizemos a fase igual a zero, assumindo que
q(t = 0) = q0 e I(t = 0) = 0.
Ao compararmos os termos da equacao
(3.110) com os da equacao (3.113), vemos que
o analogo eletrico da massa (ou inercia) e a in-
dutancia L, e a flexibilidade da mola, represen-
tada pelo recıproco da constante da mola k, e
identificada como a capacitancia C. Portanto,
temos que
m→ L x→ q1
k→ C x→ I
(3.116)
Diferenciando a expressao para q(t), encontra-
mos
q(t) = I(t) = −ω0q0 cos(ω0t) (3.117)
Elevando ao quadrado q(t) e I(t), podemos es-
crever
1
2LI2 +
q2
2C=
q20
2C= constante. (3.118)
O termo 12LI2 representa a energia armazenada
no indutor L (e corresponde a energia cinetica
mecanica), enquanto o termo 12(q2/C) repre-
senta a energia armazenada no capacitor C (e
corresponde a energia potencial mecanica). A
soma destas duas energias e constante, indi-
cando que o sistema e conservativo. Veremos
a seguir que um circuito eletrico pode ser con-
servativo somente se ele nao contiver uma re-
sistencia (uma situacao ideal e nao realıstica
do ponto de vista pratico).
A combinacao massa-mola ilustrada na fi-
gura 3.56(a) abaixo, difere daquela mostrada
na figura 3.55(a), pela adicao de uma forca
constante devido ao peso da massa: P = mg.
Sem esta forca gravitacional, a posicao de
equilıbrio seria em x = 0; a forca adicional,
distende a mola por uma quantidade igual a
h = mg/k e desloca a posicao de equilıbrio
para x = h. Portanto a equacao de movimento
e a equacao (3.110) com x deslocado por x−h:
mx+ kx = kh (3.119)
com a solucao
x(t) = h+ A cos(ω0t) (3.120)
onde impomos as seguintes condicoes iniciais:
x(t = 0) = h+ A e x(t = 0) = 0.
Na figura 3.56(b), adicionamos uma bateria
(com fem E) ao circuito da figura 3.55(b). A
lei de Kirchhoff para a queda de voltagem pode
ser escrita como
LdI
dt+
1
C
∫Idt = E =
q1C
(3.121)
onde q1 representa a carga que deve ser for-
necida ao capacitor para que ele produza uma
Prof. Salviano A. Leao 140
Figura 3.56: Um oscilador mecanico, subme-
tido a acao da forca peso e o seu analogo
eletrico, um circuito LC com uma bateria.
voltagem E . Usando I = q, temos
Lq +1
Cq =
q1C
(3.122)
Se q = q0 e I = 0 em t = 0, a solucao e
q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t) (3.123)
a qual e o analogo eletrico exato da equacao
(3.119).
A adicao de um amortecimento ao oscila-
dor mecanico da figura 3.56(a) pode ser re-
presentada por um copo (recipiente) contendo
um fluido viscoso, como o mostrado na figura
3.57(a). A equacao de movimento e
mx+ bx+ kx = 0. (3.124)
A lei de Kirchhoff para a queda de voltagem
para um circuito eletrico analogo, o da figura
3.57(b) e
Lq +Rq +1
Cq = 0 (3.125)
de tal modo que a resistencia R corresponde
a resistencia do amortecimento mecanico b.
A analogia entre as quantidades mecanicas e
eletricas podem ser sumarizadas nas tabelas
3.2 e 3.3. Por exemplo, a massa no sistema
mecanico e analogo a indutancia no sistema
eletrico.
Figura 3.57: Um oscilador mecanico amorte-
cido, e o seu analogo eletrico, um circuito RLC.
Devido a natureza recıproca da corres-
pondencia entre flexibilidade mecanica (1/k)
e a capacitancia eletrica, a adicao de molas
e capacitores ao sistema devem ser feitas de
diferentes maneiras para produzirem o mesmo
efeito. Por exemplo, considere a massa na fi-
gura 3.58(a), onde duas molas sao conectadas
em serie. Se uma forca F for aplicada a massa,
a mola 1 ira se distender de x1 = F/k1, en-
quanto a mola 2 ira se distender de x2 = F/k2.
A Extensao total sera
x = x1 + x2 = F
(1
k1
+1
k2
). (3.126)
O analogo eletrico desta equacao (ver figura
3.58(b)) e
q = E (C1 + C2) . (3.127)
Portanto, molas atuando em serie sao equiva-
lentes a capacitores atuando em paralelo. Simi-
larmente, molas em paralelo operam da mesma
maneira que capacitores em serie (ver figura
3.58(c) e (d)).
Se trocarmos a bateria na figura 3.56(b)
com um gerador AC e adicionarmos uma re-
sistencia ao circuito, teremos uma oscilacao
eletrica forcada, em uma circuito RLC. Mui-
tos dos termos usados para descrever os cir-
cuitos AC (impedancia, reatancia, indutancia,
angulo de fase, potencia dissipada, largura de
linha, etc.) podem ser aplicados a outros siste-
mas de oscilacoes lineares. A importancia da
Prof. Salviano A. Leao 141
Figura 3.58: Um oscilador mecanico com duas
molas e o seu analogo eletrico, um circuito LC
com dois capacitores.
analogia com os circuitos eletricos e devido a
facilidade com que os circuitos eletricos podem
ser usados para testar os analogos mecanicos (e
outros).
Exemplo 42 Considere o circuito mostrado
na Figura 3.59. Antes de t = 0, a chave esta
na posicao A e o capacitor esta descarregado.
Em t = 0, a chave e movida instantaneamente
para a posicao B. (a) Determine a corrente no
circuito LC para tempos posteriores a t = 0,
ou seja, t > 0. (b) Encontre como a carga no
capacitor ira depender do tempo, para tempos
posteriores a t = 0, ou seja, t > 0.
Solucao: Aqui devemos observar, que ao mu-
darmos a chave instantaneamente de posicao,
se nao tivessemos a presenca do indutor no cir-
cuito, a corrente iria a zero instantaneamente.
O que o indutor faz nesse instante e gerar uma
forca contra-eletromotriz que produza a mesma
corrente no novo circuito.
(a) No instante t=0, existe uma corrente esta-
cionaria circulando pelo indutor: I0 = V0/R.
Para t ≥ 0, a lei das malhas de Kirchhoff para
o circuito LC e
Figura 3.59: Circuito RL
LdI
dt+Q(t)
C= 0 (3.128)
Derivando a equacao acima em relacao ao
tempo e usando o fato de que I(t) = dQ/dt,
encontramos
d2I
dt2+ ω2
0I = 0 (3.129)
onde,
ω0 =1√LC
, (3.130)
e a frequencia angular natural de oscilacao do
circuito LC. Portanto a solucao da Eq. 3.129
e
I(t) = Imax . cos(ω0t+ δ). (3.131)
Usando a condicao inicial para a corrente, ou
seja, I(0) = I0, encontramos que Imax. = I0 =
V0/R e δ = 0, assim
I(t) = I0 cos(ω0t) =
(V0
R
)cos(ω0t) (3.132)
(b) Agora vamos encontrar como a carga vai
depender do tempo e para tal basta integrarmos
dQ = I(t)dt, e levar em conta que no instante
t = 0, a carga no capacitor e nula , ou seja,
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Q(0) = 0, assim
∫ t
0
dQ =
∫ t
0
I(t)dt
Q(t)−Q(0) =
(V0
R
) ∫ t
0
cos(ω0t)dt
Q(t) = Q(0) +V0
ω0R[sen(ω0t)]
t0
= 0 +V0
ω0R[sen(ω0t)− 0]
=V0
ω0Rsen(ω0t)
Q(t) =V0
ω0Rsen(ω0t) (3.133)
Exemplo 43 Considere um circuito RLC
submetido a uma fem alternada dada por
E(t) = E0 sen (ωt). Determine a corrente I(t),
a voltagem VL entre os terminais do indutor, e
a frequencia angular ω na qual VL e maximo.
Solucao: Adicionando uma fem a equacao
(3.125) encontramos
Lq +Rq +1
Cq = E0 sen (ωt) , (3.134)
Esta equacao e similar a equacao (3.60), a
qual ja resolvemos. Alem disso, usando as
relacoes das tabelas 3.2 e 3.3, podemos escre-
ver,
β =b
2m→ R
2L
ω0 =
√k
m→ 1√
LC
A =F0
m→ E0
L
Para resolvermos esta equacao, faremos uso
dos numeros complexos, e para isto suporemos
que E(t) = E0eiωt e que Q(t) = Q0e
iωt, logo
a solucao sera q(t) = Im(Q(t)). Desta forma
temos que[−Lω2 + iωR +
1
C
]Q0 = E0
iω
[R + i
(Lω− 1
ωC
)]Q0 = E0
Q0 = − iE0
ω
[R + i
(Lω− 1
ωC
)]
Aqui, e comum definirmos a reatancia capaci-
tiva XC como
XC ≡ VC,Max.
IC,Max.
=1
ωC
e a reatancia indutiva XL como
XL ≡ VL,Max.
IL,Max.
= ωL
e a impedancia Z e dada por
Z ≡ V
I= R + i (XL −XC)
Z = Zeiδ,
Z =
√R2 + (XL −XC)2
=
√R2 +
(ωL− 1
ωC
)2
arctg δ =
(XL −XC
R
)=
ωL− 1
ωCR
Portanto, podemos escrever Q0 como (observe
que e−iπ/2 = −i),
Q0 = − iE0
ωZeiδ=E0e
−iπ/2
ωZeiδ=E0e
−i(δ+π/2)
ωZ
Assim,
Q(t) =E0
ωZei(ωt−δ−π/2)
A solucao para a carga q(t) e dada por
q(t) = Im(Q(t)) =E0
ωZsen
(ωt− δ − π
2
)
= − E0
ωZcos (ωt− δ)
Prof. Salviano A. Leao 143
q(t) = − E0
ω
√R2 +
(ωL− 1
ωC
)2cos (ωt− δ)
Ja a corrente, entao e dada por,
I(t) = q(t) =E0√
R2 +
(ωL− 1
ωC
)2sen (ωt− δ)
=E0
Zsen (ωt− δ)
A voltagem atraves do indutor e determi-
nada pela derivada temporal da corrente, ou
seja,
VL = LdI
dt=ωLE0
Zcos (ωt− δ)
= V (ω) cos (ωt− δ)Para encontrarmos a frequencia que VL e
maximo, ωmax, devemos derivar VL com res-
peito a ω e fazermos o resultado igual a zero.
Precisamos considerar somente a amplitude
V (ω) e nao a parte dependente do tempo.
dV (ω)
dω=
d
dω
ωLE0√R2 +
(ωL− 1
ωC
)2
dV (ω)
dω=
LE0√R2 +
(ωL− 1
ωC
)2−
1
2
LE0ω2
(ωL− 1
ωC
)(L+
1
ω2C
)
[R2 +
(ωL− 1
ωC
)2]3/2
dV (ω)
dω=
LE0√(1
ωC− ωL
)2
+R2
×
1−
(L2ω2 − 1
ω2C2
)
[R2 +
(ωL− 1
ωC
)2]
dV (ω)
dω=
LE0
[R2 +
2
ω2C2− 2L
C
]
[R2 +
(ωL− 1
ωC
)2]3/2
Para encontramos o valor de ωmax. basta fa-
zermos o termo entre colchetes no numerador
igual a zero, assim, encontramos que
2
ω2C2=
2L
C−R2
1
ω2= LC − 1
2C2R2
ωmax. =1√
LC − 12C2R2
Este e o resultado desejado. Devemos ob-
servar a diferenca entre esta frequencia e a
frequencia natural ω0 = 1/√LC, e a frequencia
de ressonancia da carga dada pela equacao
(3.76), ωR =√ω2
0 − 2β2, a qual quando
transcritas as constantes obtemos que ωR =√1/LC −R2/2L2.
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3.22 Analogia entre as Oscilacoes Mecanicas e Eletricas
Nas tabelas abaixo apresentamos as relacoes entre as grandezas eletricas e mecanicas.
Mecanica Eletrica
x Deslocamento q Carga
x Velocidade q = I Corrente
m Massa L Indutancia
b Constante de Amortecimento R Resistencia
1/k Coeficiente de flexibilidade C Capacitancia
F Amplitude da forca aplicada E Amplitude da fem aplicada
Tabela 3.2: Analogia entre as quantidades eletricas e mecanicas.
Oscilador Mecanico Oscilador Eletrico
mx+ kx = 0 Lq +1
Cq = 0
ω0 =√k/m ω0 = 1/
√LC
Energia Cinetica: T =1
2mv2 Energia Magnetica: UM =
1
2LI2
Energia Potencial: U =1
2kx2 Energia Eletrica: UE =
q2
2C
mx+ bx+ kx = 0 Lq +Rq +1
Cq = 0
ω0 =√k/m ω0 = 1/
√LC
β = b/2m β = R/2L
x+ 2βx+ ω20x = 0 q + 2βq + ω2
0q = 0
ωc =√β2 − ω2
0 =
√b2
4m2− k
mωc =
√β2 − ω2
0 =
√R2
4L2− 1
LC
ωa =√ω2
0 − β2 =
√k
m− b2
4m2ωa =
√ω2
0 − β2 =
√1
LC− R2
4L2
ωR =√ω2
0 − 2β2 =
√k
m− b2
2m2ωR =
√ω2
0 − 2β2 =
√1
LC− R2
2L2
Tabela 3.3: Analogia entre as equacoes dos osciladores eletricas e dos osciladores mecanicos.
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3.23 Problemas
1. Classifique as equacoes diferenciais line-
ares abaixo quanto ao tipo de amorteci-
mento (quando for o caso) e escreva o
perıodo de oscilacao e a solucao das mes-
mas (quando houver):
(a) d2θdt2
= θ + 2dθdt
(b) 32
d2Qdt2
+ 94
dQdt
= −152Q
(c) 16, 0ξ = 8dξdt− d2ξ
dt2
(d) d2Ψdt2
+ 2, 6dΨdt
= −2Ψ
(e) d2ξdt2
+ ξ = −2dξdt
(f) d2qdt2
= −2q − 3dqdt
2. A extremidade de uma mola vibra com
um perıodo T , quando uma certa massa
M esta ligada a ela. Quando esta massa e
acrescida de uma massa m, o perıodo de
oscilacao do sistema passa para 32T . De-
termine o valor de m em funcao de M e
do perıodo T .
3. Um oscilador harmonico simples consiste
de um bloco de massa m = 1.0 kg preso a
uma mola de constante elastica k = 36
N/m. Quando t = 2.0 s, a posicao e
a velocidade e a aceleracao do bloco sao
x(2) = −1.773 m e v(2) = 5.550 m/s.
(a) Qual a amplitude das oscilacoes? (b)
Qual e a velocidade maxima e a aceleracao
maxima deste bloco? Quais eram (c) a
posicao e a (d) velocidade do bloco no ins-
tante t = 0.0 s?
4. Um bloco esta numa superfıcie hori-
zontal (uma mesa oscilante), que se
agita horizontalmente em um movimento
harmonico simples com uma frequencia de
2, 0 Hz. O coeficiente de atrito estatico
entre o bloco e a superfıcie e µe = 0, 50.
Qual pode ser a maior amplitude do MHS,
para que o bloco nao deslize sobre a su-
perfıcie?
5. Um bloco esta sobre um pistao que se
move verticalmente em um movimento
harmonico simples (MHS). (a) Se o MHS
tem um perıodo de 1, 0 s, em que am-
plitude do movimento o bloco e o pistao
irao se separar? (b) Se o pistao tem uma
amplitude de 5, 0 cm, qual a frequencia
maxima em que o bloco e o pistao estarao
continuamente em contato?
6. Uma certa mola sem massa esta suspensa
do teto com um pequeno objeto preso
a sua extremidade inferior. O objeto e
mantido inicialmente em repouso, numa
posicao yi tal que a mola nao fique es-
ticada. O objeto e entao liberado e os-
cila para cima e para baixo, sendo sua
posicao mais baixa 10, 0 cm abaixo de yi.
(a) Qual a frequencia da oscilacao? (b)
Qual a velocidade do objeto quando esta
a 8, 0 cm abaixo da posicao inicial yi? (c)
Um objeto com massa 300 g e ligado ao
primeiro objeto; logo apos, o sistema os-
cila com metade da frequencia original.
Qual a massa do primeiro objeto? (d)
Com relacao a yi, onde e o novo ponto de
equilıbrio (repouso) com ambos os objetos
presos a mola?
7. (a) Quando o deslocamento de uma
partıcula em movimento harmonico sim-
ples for igual a metade da amplitude A,
que fracao da energia total e cinetica e que
fracao e potencial? (b) Para que valor do
deslocamento x, metade da energia total
sera cinetica e metade sera potencial?
8. Um bloco de 4, 00 kg esta suspenso por
uma certa mola, estendendo-a 16, 0 cm
Prof. Salviano A. Leao 146
alem de sua posicao de repouso. (a) Qual e
a constante da mola? (b) O bloco e remo-
vido e um corpo com 0, 500 kg e suspenso
pela mesma mola. Se esta for entao pu-
xada e solta, qual o perıodo da oscilacao?
9. Um peso de 20 N e suspenso na parte in-
ferior de certa mola vertical, fazendo com
que esta estenda 20 cm. (a) Qual a cons-
tante da mola? (b) Esta mola e entao co-
locada horizontalmente em uma mesa sem
atrito. Uma extremidade dela e fixada e
a outra e presa a um peso de 5, 0 N. O
peso e entao deslocado (esticando a mola)
e liberado do repouso. Qual e o perıodo
da oscilacao?
10. Uma massa de 50, 0 g e presa a extre-
midade inferior de uma mola vertical e
colocada em vibracao. Se a velocidade
maxima da massa e 15, 0 cm/s e o perıodo
0, 500 s, ache (a) a constante de elastici-
dade da mola, (b) a amplitude do movi-
mento e (c) a frequencia de oscilacao.
11. Um bloco de 2, 00 kg esta suspenso por
uma certa mola. Se adicionarmos um
corpo de 300 g ao bloco, a mola esticara
mais 2, 0 cm. (a) Qual a constante da
mola? (b) Se removermos o corpo de 300
g e o bloco for colocado em oscilacao, ache
o perıodo do movimento.
12. A extremidade de determinada mola vi-
bra com um perıodo de 2, 0 s quando certa
massa m esta ligada a ela. Quando esta
massa e acrescida de 2, 0 kg, o perıodo
passa para 3, 0 s. Ache o valor de m.
13. Um oscilador harmonico simples consiste
em um bloco com uma massa de 2, 00 kg
ligado a uma mola com uma constante
elastica k = 100 N/m. Quando t = 1, 00
s, a posicao e a velocidade do bloco sao
x = 0, 129 m e v = 3, 415 m/s. (a) Qual a
amplitude das oscilacoes? Quais eram (b)
a posicao e (c) a velocidade da massa no
instante t = 0s?
14. Duas partıculas executam um movimento
harmonico simples com as mesmas ampli-
tudes e frequencias ao longo da mesma li-
nha reta. Elas passam uma pela outra,
movendo-se em sentidos opostos, cada vez
que seu deslocamento e metade da ampli-
tude. Qual a diferenca de fase entre elas?
15. Dois blocos (M = 12, 0 kg e m = 1, 5 kg)
que foram colocados sobre uma superfıcie
sem atrito, estao presos a uma mola de
constante elastica k = 240 N/m (ver fi-
gura). O coeficiente de atrito estatico en-
tre os dois blocos e µe = 0, 40. Deter-
mine a maxima amplitude possıvel do mo-
vimento harmonico simples, se nao houver
deslizamento entre os blocos? (b) Se do-
brarmos a massa m, em quanto ira variar
a energia total do sistema?
Figura 3.60: Dois blocos de massas M e m
presos a uma mola.
16. Uma mola uniforme, cujo o comprimento
do repouso e L, tem uma constante k.
A mola e cortada em duas partes com
comprimentos de repouso L1 e L2, com
L1 = nL2. (a) Quais as correspondentes
constantes de forca k1 e k2 e termos de n e
Prof. Salviano A. Leao 147
k? (b) Se um bloco for ligado a mola ori-
ginal, ele oscila com uma frequencia ν. Se
esta ultima for substituıda pelos pedacos
L1 ou L2, a frequencia correspondente e
ν1 ou ν2. Ache ν1 e ν2 em termos de ν.
17. Se a massa m de uma mola nao for des-
prezıvel, porem for pequena comparada a
a massa M do objeto preso a ela, mostre
que o perıodo do movimento e dado por
T = 2π√
(M+m/3)k
. (Sugestao: a condicao
m ¿ M e equivalente a hipotese de que
a mola se distende proporcionalmente ao
longo do seu comprimento.)
18. Um oscilador harmonico amortecido con-
siste de um bloco de massa m = 2.0 kg
preso a uma mola de constante elastica
k = 16 N/m. A forca de amortecimento
FA = −bv. Este oscila inicialmente com
uma amplitude A = 32, 0 cm. Devido
ao amortecimento, a amplitude e redu-
zida para um quarto do seu valor inicial,
quando sao completadas cinco oscilacoes.
(a) Escreva a equacao de movimento para
este sistema e a solucao da mesma. (b)
Qual o valor de b? (c) Em que instante
a energia do oscilador sera igual a ener-
gia perdida pelo mesmo? (d) Que fracao
da energia do oscilador e perdida a cada
oscilacao completa?
19. A amplitude de um oscilador ligeiramente
amortecido diminui 3, 0% durante cada ci-
clo. Que fracao da energia do oscilador e
perdida em cada oscilacao completa?
20. Um oscilador harmonico amortecido con-
siste de um bloco de massa m = 1.5 kg
dependurado na extremidade uma mola
de constante elastica k = 8, 0 N/m. A
forca de amortecimento FA = −bv =
−b(dv/dt), onde b = 230 g/s. Supo-
nha que o bloco seja puxado verticalmente
12, 0 cm para baixo da sua posicao de
equilıbrio e liberado. (a) Calcule o tempo
necessario para que a amplitude seja redu-
zida para um terco do seu valor inicial. (b)
Quantas oscilacoes serao realizadas pelo
bloco durante este tempo?
21. Considere que voce esta examinando as
caracterısticas do sistema de suspensao de
um automovel com 2000, 0 kg. A sus-
pensao ”cede” 10, 0 cm, quando o peso
do automovel inteiro e colocado sobre ela.
Alem disso, a amplitude da oscilacao dimi-
nui 50% durante uma oscilacao completa.
Estime os valores de k e b para o sistema
de mola e amortecedor em uma roda, con-
siderando que cada uma suporta 500 kg.
22. Um oscilador harmonico simples consiste
de uma massa de 100 g presa na extre-
midade de uma mola cuja constante de
forca e 0, 104 N/m. A massa e deslocada
3 cm e depois solta. Calcule a frequencia,
o perıodo, a energia total e a velocidade
maxima.
23. Calcule as medias temporais das ener-
gias cinetica e potencial de um oscilador
harmonico simples sobre um ciclo e mos-
tre que elas sao iguais. Porque este e um
resultado esperado? A seguir, calcule as
medias espaciais dessas grandezas e justi-
fique porque os resultados nao sao iguais.
24. Obtenha uma expressao para a fracao de
um perıodo (∆t/τ) que a partıcula per-
manece dentro de uma regiao de compri-
mento ∆x, na posicao x, em um oscilador
harmonico simples. Esboce esta funcao
versus x e discuta o significado fısico do
resultado obtido.
Prof. Salviano A. Leao 148
25. Duas massas m1 e m2, livres para se movi-
mentarem sobre um trilho horizontal sem
atrito, estao conectadas por uma mola
cuja constante elastica e k. Obtenha a
frequencia de oscilacao para este sistema.
26. Um corpo de area de secao transversal
uniforme e densidade ρ flutua em um
lıquido de densidade ρ0. Na situacao
de equilıbrio, o corpo esta submerso no
lıquido de uma profundidade he. Mostre
que o perıodo de pequenas oscilacoes ver-
ticais em torno da posicao de equilıbrio e
dado por
τ = 2π
√he
g
27. Se a amplitude de um oscilador subamor-
tecido decresce a 1/e do seu valor inicial
apos n perıodos (n À 1), mostre que a
frequencia do oscilador e dada por
ωa ≈ ω0
(1− 1
8π2n2
)
28. (a) Obtenha uma expressao para a ener-
gia mecanica de um oscilador subamorte-
cido como funcao do tempo. (b) Esboce o
grafico de E(t)× t. (c) Obtenha uma ex-
pressao para a taxa de perda de energia,
dE/dt. (d) No caso de um oscilador fra-
camente amortecido (β ¿ ω0), obtenha a
taxa media de perda de energia.
29. Supondo uma solucao do tipo
x(t) = y(t)e−βt
mostre que a solucao da equacao de mo-
vimento para um oscilador com amorteci-
mento crıtico e dada por
x(t) = (A+Bt)e−βt
30. Considere um oscilador forcado amorte-
cido (com forca senoidal). Mostre que a
energia cinetica media assume o mesmo
valor para frequencias que estao ao mesmo
numero de oitavos abaixo e acima da
frequencia de ressonancia. Um oitavo
e o intervalo de frequencia em que a
frequencia mais alta e o dobro da mais
baixa.
31. Considere um oscilador fracamente amor-
tecido (β ¿ ω0). Mostre que, proximo da
ressonancia, Q e dado por
Q ' 2π
(Energia total armazenada
|Energia dissipada no perıodo|)
32. Mostre que para um oscilador fracamente
amortecido
Q ∼= ω0
∆ωonde ∆ω representa o intervalo de
frequencia entre os pontos sobre a curva
de ressonancia que correspondem a 1/√
2
da amplitude maxima.
33. Suponha que em um oscilador superamor-
tecido a posicao e a velocidade iniciais se-
jam dados por x0 e v0, respectivamente.
Mostre que
A1 =β2x0 + v0
β2 − β1
; A2 = −β1x0 + v0
β2 − β1
onde
β1 = β − ωc e β2 = β + ωc
ωc =√β2 − ω2
0, ωc > 0.
Mostre que se A1 = 0,
x(t) = −β2x.
Mostre que se A1 6= 0,
x(t) −→ −β1x
para um tempo muito grande. Esboce
os dois caminhos de fase no mesmo dia-
grama.
Prof. Salviano A. Leao 149
34. Mostre que a serie de Fourier dada por
(3.98) pode ser reescrita como
f(t) =a0
2+
∞∑n=1
cn cos(nωt− φn)
e obtenha cn e φn em termos de an e bn.
35. Obtenha a solucao estacionaria, xp(t),
para um oscilador sujeito a uma forca ex-
terna periodica dada por
F (t) =
−A −πω< t < 0
+A 0 < t <π
ω
3.23.1 Circuitos LC
1. Um indutor de 40 mH deve ser ligado a um
capacitor para fazer um circuito LC com
uma frequencia natural de f = 2 × 106
Hz. Que valor de capacitancia devera ser
usado?
2. Um circuito LC, num receptor de radio
AM, usa um indutor com indutancia de
0, 1 H e um capacitor variavel. Se a
frequencia natural (f) do circuito precisa
ser ajustada entre 0, 5 e 1, 5 MHz, corres-
pondente a faixa de radio AM, que faixa
de capacitancia devera ser coberta pelo ca-
pacitor variavel?
3. Obtenha uma expressao para a corrente
maxima num circuito LC em funcao dos
valores de L, de C e de V0 (a tensao corres-
pondente a carga maxima do capacitor).
3.23.2 Circuitos RLC
1. Que resistencia R deve ser ligada em serie
com uma indutancia L = 220 mH e uma
capacitancia C = 12, 0 pF a fim de que
a carga maxima do capacitor decaia a
99, 0% de seu valor inicial em 50, 0 ciclos?
2. Considere um circuito RLC subcritica-
mente amortecido. (a) Usando a lei das
malhas de Kirchhoff escreva a equacao di-
ferencial para a carga que ira descrever a
evolucao temporal deste sistema e a sua
solucao, definindo ω, ω0, γ, o perıodo T
e a frequencia f . (b) Considerando que
no instante t = 0 que a energia no capa-
citor e maxima, determine a constante de
fase δ? (c) Faca um grafico esquematico
de como a carga varia em funcao do tempo
e identifique os pontos onde a energia no
capacitor e no indutor sao maximas, e pro-
cure justificar sua resposta. (d) Determine
o instante em que a energia maxima pre-
sente no capacitor e um quarto da energia
maxima presente no instante t = 0.
3. Num circuito LC amortecido, determine
o instante em que a energia maxima pre-
sente no capacitor e a metade da energia
maxima presente no instante t = 0. Supo-
nha q = Q para t = 0.
4. Um circuito com uma unica malha con-
siste em um resistor de 7, 20 Ω, um indu-
tor de 12, 0 H e um capacitor de 3, 20 pF.
Inicialmente, a carga do capacitor e 6, 20
pC e a corrente e zero. Calcular a carga
do capacitor depois de N oscilacoes com-
pletas, para N = 5, 10 e 100.
Capıtulo 4
Gravitacao
4.1 Introducao
A Lei da Gravitacao Universal foi formulada
por Newton em 1666 com a idade de 23 anos,
e publicada em seu livro Principia em 1687.
Newton esperou quase 20 anos para publicar
seus resultados, porque ele nao podia justifi-
car o seu metodo de calculo numerico, no qual
ele considerava a Terra e a Lua como mas-
sas puntiformes. A sua lei foi formulada para
partıculas puntiformes.
A Lei da Gravitacao Universal de Newton
diz que duas partıculas puntiformes se atraem
mutuamente com forca proporcional ao pro-
duto das massas e inversamente proporcional
ao quadrado da distancia entre elas. O modulo
da forca de atracao entre as massas das duas
partıculas puntiformes (ver figura Fig. 4.1
abaixo) e dado por
F = Gm1m2
r2ij
(4.1)
onde G e a constante de proporcionalidade,
chamada constante de gravitacao universal e
rij e a distancia entre as duas partıculas pun-
tiformes de massas mi e mj.
Vetorialmente, a forca que a massa punti-
forme mj exerce sobre a massa puntiforme mi,
ou simplesmente forca em mi devido a mj, e
dada por
Fij = −Gmimj
r2ij
rij = −Fji (4.2)
Figura 4.1: Interacao gravitacional entre duas
partıculas puntiformes de massas mi e mj.
onde rij = |rij| e a distancia entre as
partıculas, e rij =rij
rije um vetor unitario ao
longo da reta que passa pelas duas partıculas
e cujo sentido e aquele que vai da partıcula
j para partıcula i. Em outras palavras, a
(4.2) diz que a magnitude da forca gravitaci-
onal e proporcional a massa de cada uma das
partıculas e inversamente proporcional ao qua-
drado da distancia que as separa. A forca esta
dirigida ao longo da reta que passa pelas duas
partıculas e e atrativa, ou seja, a forca Fij exer-
cida por j sobre i esta dirigida para j. O si-
nal da forca e negativo porque o seu sentido e
oposto ao do vetor unitario rij.
A constante de proporcionalidade G que
aparece na (4.2) e uma constante universal (ou
seja, a mesma para qualquer par de partıculas
puntiformes), que se chama a constante gra-
150
Prof. Salviano A. Leao 151
Figura 4.2: Interacao gravitacional entre duas
partıculas de massa mi e mj, separadas por
uma distancia rij.
vitacional. Ela foi medida pela primeira vez
pelo fısico ingles Henry Cavendish, e o seu va-
lor numerico atual no sistema MKS e
G = (6.6726± 0.0008)× 10−11 N · m2
kg2
E interessante observar que, apesar de ser a
constante universal da Fısica conhecida a mais
tempo (outras sao c, e, h, . . . ), a constante G e
aquela medida com menor precisao experimen-
tal.
Este valor numerico para a constante gravi-
tacional significa que a forca de atracao gravi-
tacional entre duas massas puntiformes de 1 kg
a uma distancia de 1 m e de ≈ 6.6726× 10−11
N, ou seja, e ∼ 10−5 vezes menor que o peso de
um fio de cabelo! Isto mostra como e fraca a
interacao gravitacional: e ela e a mais fraca de
todas as interacoes fundamentais conhecidas.
Apesar de ser tao fraca, a interacao gravita-
cional e a mais importante quando aplicada a
astronomia devido as seguintes razoes: (a) con-
tinua atuando entre corpos eletricamente neu-
tros, ou seja, que contem igual quantidade de
carga eletrica positiva e negativa, eliminando
as interacoes de origem eletrica entre eles; (b)
ao contrario das forcas eletricas, a interacao
gravitacional e sempre atrativa; (c) as mas-
sas dos corpos que interagem, na escala as-
tronomica, sao extremamente grandes.
4.2 Princıpio da Super-
posicao
Deve-se observar que na forma em que foi
escrita a equacao (4.2), a lei da gravitacao uni-
versal se aplica somente a um par de partıculas
puntiformes. O que ocorre quando mais de
duas massas puntiformes interagem entre-si?
A experiencia mostra que para um sistema
constituıdo por N partıculas de massa mi, os
efeitos das interacoes gravitacionais entre elas
se superpoem, ou seja, a forca gravitacional
que atua sobre cada uma das partıculas, e a
resultante de suas interacoes com todas as de-
mais partıculas do sistema, obtida aplicando-se
a cada par de massas puntiformes a lei de New-
ton da gravitacao, e isto e uma caracterıstica
de um sistema linear, e com este sentido pode-
se dizer que a interacao gravitacional possui
uma resposta linear. Desta forma para a massa
mi, a forca resultante FR = Fi sobre a massa
mi devido a interacao com todas as outras e
dada por (ver figura 4.3 abaixo)
Figura 4.3: Interacao gravitacional entre uma
partıcula puntiforme de massa mi localizada
no ponto P e uma distribuicao de partıculas
puntiformes de massa mj, separadas por uma
distancia rij, onde rij e a distancia entre a
partıcula de massa mi e a partıcula de massa
mj.
Prof. Salviano A. Leao 152
FR = Fi =∑
j 6=i
Fij = −Gmi
∑
j 6=i
mj
r2ij
· rij
(4.3)
O princıpio da superposicao diz que nos
sistemas cuja interacao e linear, como no
caso gravitacional, a forca resultante em uma
partıcula qualquer de massa mi, devido a to-
das as outras N partıculas de massa mj (aqui
i 6= j) do sistema e dada pela equacao (4.3).
4.3 Distribuicoes
Contınuas de Massa
Como a lei da lei de gravitacao de Newton,
expressa pela eq. (4.2), so e valida para um
par de partıculas pontuais, entao se uma ou
ambas as partıculas forem trocadas por um
corpo extenso que possui uma certa dimensao,
deve-se fazer uma hipotese adicional antes de
calcularmos a forca resultante. Neste caso,
deve-se levar em conta que o campo produ-
zido pela forca gravitacional e uma interacao
(um campo) linear, ou seja, considera-se que
a forca de atracao sofrida por uma partıcula
puntiforme de massa m colocada nas proximi-
dades de um corpo extenso de massa M pode
ser calculada atraves do princıpio da super-
posicao. Para aplicar o princıpio da super-
posicao, considera-se que o corpo extenso possa
ser dividido em pequenos elementos puntifor-
mes infinitesimais de massa dM e volume dV ,
e que a forca de interacao gravitacional en-
tre cada um destes elementos infinitesimais de
massa dM e a partıcula puntiforme de massa
m obedece a lei de Newton da gravitacao. As-
sim, a forca total sobre a partıcula puntiforme
de massa m e dada pela soma (integral) das
forcas devida a cada elemento infinitesimal de
massa dM . Portanto, a forca resultante sobre a
massa m devido a interacao gravitacional com
a massa M , conforme mostrado na figura 4.4
abaixo, e dada por
F = −Gm∫
r− r′
|r− r′|3dM (4.4)
Figura 4.4: Interacao gravitacional entre um
corpo extenso de massa M e uma partıcula
puntiforme de massa m.
Empregando o princıpio de superposicao,
pode-se passar da descricao em termos de
massas puntiformes para uma descricao ma-
croscopica de massas distribuıdas sobre corpos
extensos:
Figura 4.5: Corpos extensos com distribuicoes
de massa volumetrica, superficial e linear.
(a) Distribuicao Volumetrica:
dM = ρdV ⇒ M =
∫dM =
∫ρdV
Prof. Salviano A. Leao 153
(b) Distribuicao Superficial:
dM = σds ⇒ M =
∫dM =
∫σds
(c) Distribuicao Linear:
dM = λ · d` ⇒ M =
∫dM =
∫λd`·
Exemplo 44 Calcule a forca gravitacional
exercida por uma casca esferica de espessura
δe, raio R e massa M distribuıda uniforme-
mente sobre a superfıcie da casca, sobre uma
partıcula puntiforme de massa m, localizada
em um ponto P a (a) uma distancia r > R
do centro da casca esferica e (b) para uma
distancia r < R do centro da casca esferica.
Figura 4.6: Forca gravitacional excercida por
uma casca esferica sobre uma partıcula punti-
forme externa a casca esferica.
Solucao 1 Como a massa M esta distribuıda
uniformemente sobre a casca esferica, entao a
densidade volumetrica de massa ρ e dada por,
ρ =M
V=
M
4πR2δe
O modulo da forca que o anel de largura Rdθ
exerce sobre a massa puntiforme m, esta ao
longo da linha que une o centro da casca
esferica com a partıcula, e e dada por
dF =GmdM
S2cosα
Portanto, a forca exercida por toda a casca
esferica e
F =
∫ r+R
r−R
GmdM
S2cosα
onde
dM = ρδe ·Rdθ · 2πR sen θ
=M
2sen θdθ
Da lei dos cossenos temos que,
S2 = R2 + r2 − 2Rr cos θ
Diferenciando a expressao acima encontramos
SdS = Rr sen θdθ
sen θdθ =SdS
Rr
Aplicadno, novamente a lei dos cossenos ao
mesmo triangulo da figura 4.6, pode-se escre-
ver
R2 = r2 + S2 − 2Sr cosα,
na qual isolando cosα obtem-se que
cosα =r2 −R2 + S2
2rS.
Portanto, a forca pode entao ser escrita como,
F =GmM
2
∫ r+R
r−R
1
S2· SdSRr· r
2 −R2 + S2
2rS
=GmM
4Rr2
∫ r+R
r−R
(1 +
r2 −R2
S2
)dS
=GmM
4Rr2
[S − r2 −R2
S
]∣∣∣∣r+R
r−R
=GmM
4Rr2[2R−
(r2 −R2
) (1
r +R− 1
r −R)]
=GmM
4Rr2
[2R− (
r2 −R2) −2R
r2 −R2
]
=GmM
r2
Prof. Salviano A. Leao 154
Este resultado mostra que forca exercida por
uma casca esferica, com uma massa M dis-
tribuıda uniformemente sobre sua superfıcie,
em uma partıcula puntiforme de massa m lo-
calizada a uma distancia r do seu centro, e
equivalente a forca exercida por uma partıcula
puntiforme de massa M localizada no centro da
casca esferica sobre uma partıcula puntiforme
de massa m localizada a uma distancia r de
M .
O que ocorrera no caso em que a partıcula
puntiforme de massa m estiver localizada no
interior da casca esferica? Na figura 4.7
abaixo, ilustramos esta situacao.
Figura 4.7: Forca gravitacional excercida por
uma casca esferica sobre uma partıcula interna
a casca esferica.
Das consideracoes iniciais do item anterior,
o que ira mudar neste caso sao os limites de
integracao da forca, ou seja,
F =GmM
2
∫ R+r
R−r
1
S2· SdSRr· r
2 −R2 + S2
2rS
=GmM
4Rr2
∫ R+r
R−r
(1 +
r2 −R2
S2
)dS
=GmM
4Rr2
[S − r2 −R2
S
]∣∣∣∣R+r
R−r
=GmM
4Rr2[2r−
(r2 −R2
) (1
R + r− 1
R− r)]
=GmM
4Rr2
[2r − (
r2 −R2) −2r
R2 − r2
]
= 0
Este e um resultado surpreendente, pois ele
nos garante que a forca resultante sobre uma
partıcula puntiforme, no interior de uma casca
esferica massiva e nula, independentemente de
sua posicao.
4.4 Centro de Gravidade
Considere uma massa puntiforme m na pre-
senca de um corpo extenso de massa M e den-
sidade volumetrica ρ(r), conforme mostra a fi-
gura 4.4. De acordo com a equacao (4.4), a
forca que a massa puntiforme m localizada no
ponto P exerce em cada porcao puntiforme do
corpo extenso de massa M , esta direcionada ao
longo de uma linha que vai da partıcula pun-
tiforme de massa m ao elemento de volume de
massa dM . Seja F a forca resultante sobre m
localizada no ponto P , devido interacao gravi-
tacional com o corpo extenso. Entretanto, da
terceira lei de Newton sabemos que a massa m
ira atrair o corpo extenso com uma forca −F.
Portanto, sobre a linha de acao da forca F,
pode-se localizar um ponto CG (nao necessari-
amente sobre o corpo extenso) a uma distancia
Prof. Salviano A. Leao 155
Figura 4.8: Aqui mostramos o calculo o centro
de gravidade (CG) no ponto P.
d da massa m sobre o qual pode-se concentrar
toda a massa do corpo extenso em um unico
ponto, nao alterando a forca resultante sobre
a partıcula puntiforme de massa m. A vanta-
gem de definir-se o centro de gravidade esta no
fato de poder-se tratar, a interacao gravitacio-
nal entre o corpo extenso e a partıcula punti-
forme como uma interacao gravitacional entre
duas partıculas puntiformes. Deste modo, te-
mos que a forca resultante sobre m e
F = GMm
d2(4.5)
Sobre estas condicoes, a forca gravitacional en-
tre o corpo extenso de massa M e a partıcula
de massa m e equivalente a uma unica forca
resultante atuando em M no ponto CG e F
atuando em m no ponto P . Os corpos exten-
sos se comportam como se toda a massa es-
tivesse centrada no ponto CG. O ponto CG
e chamado de Centro de Gravidade do corpo
extenso de massa M em relacao ao corpo de
massa m localizado no ponto P . Se a posicao
da massa m no ponto P mudar, o mesmo ocor-
rera com a posicao do centro de gravidade, o
ponto CG. Em geral o centro de gravidade
nao coincide com o centro de massa do corpo
extenso de massa M , ele nao esta na linha que
une o centro de massa de M ao ponto P onde
esta m. O centro de massa ira coincidir com
o centro de gravidade somente nos seguintes
casos:
1. Se a massa m estiver longe de M , o campo
gravitacional sentido por todas as partes
do corpo extenso de massa M , sera uni-
forme, ou seja, diferentes partes do corpo
extenso sentirao a mesma forca, e neste
caso o centro de gravidade coincidira com
o centro de massa.
2. Para um corpo simetrico, tal como uma
esfera uniforme, o seu centro de gravidade
coincide com o seu centro de massa (CM).
4.5 Campo Gravitacional
g
A forca gravitacional exercida por uma
massa sobre uma outra e um exemplo de
uma forca cuja acao se da a distancia, ou
como e mais conhecida, uma forca de acao a
distancia1. A fim de evitar o problema da acao
a distancia no caso da interacao gravitacional,
introduz-se o conceito do campo gravitacional
g. Uma massa m ao ser colocada no espaco
vazio, ira produzir um campo gravitacional g
em todo o espaco, e sera este campo que ira
exerce uma forca sobre uma segunda partıcula
massiva qualquer ao ser colocada em um ponto
1Uma demonstracao eloquente pode ser sentida du-rante os contatos ente os astronautas na lua e abase terrestre. A transmissao dos sinais era eletro-magnetica, levando a interacoes entre cargas e cor-rentes da antena transmissora e da antena receptora.Quem acompanhou os contatos pela televisao percebiauma demora da ordem de 2 segundos entre perguntasda base e a recepcao das respostas da lua, isto se deveao fato da distancia Terra-Lua ∼= 1 segundo-luz.
Prof. Salviano A. Leao 156
P qualquer do espaco. Portanto, a forca sobre
a segunda massa sera exercida pelo campo na
posicao da mesma, e neste caso nao mais e mais
necessario preocupar-se com a massa que gerou
o campo gravitacional, para obter a forca so-
bre a segunda massa, basta conhecer o campo
gravitacional naquele ponto. Em suma pode-
mos afirmar que, em qualquer regiao do espaco
onde uma massa experimenta uma forca, dize-
mos que ela esta na presenca de um campo
gravitacional g. A forca experimentada pela
massa e devida a presenca de outras massas
naquela regiao, que alteram as propriedades do
espaco naquela regiao. A forca gravitacional e
uma forca de longo alcance, portanto, o campo
gerado por uma partıcula massiva qualquer ira
alterar as propriedades de todo o espaco. Para
ilustrar o conceito de campo considere a fi-
gura 4.9 abaixo onde mostramos a superfıcie
da cama deformada por uma bola de boliche,
esta deformacao do espaco e o que chamamos
de campo. Ja na figura 4.9(b) mostramos so-
mente a superfıcie da cama deformada, ou seja,
so temos a deformacao do espaco. Neste caso
ao colocarmos uma pequena bolinha de gude
ela ira se mover diretamente para o centro
da deformacao. Conhecendo a deformacao do
espaco podemos dizer como sera o movimento
de uma bolinha de gude na presenca desta de-
formacao. A deformacao do espaco e que cha-
mamos de um campo. Devemos ressaltar aqui
que a deformacao do espaco devido um corpo
massivo (campo gravitacional), sera sentida so-
mente por outro corpo massivo2, assim como
2Aqui, devemos ressaltar que apesar de nao termassa o foton ainda assim sente a presenca de umcampo gravitacional intenso. Em 1919 a teoria da rela-tividade geral de Einstein, que previa um espaco-tempocurvo, foi confirmada, quando uma expedicao britanicaa Africa Ocidental observou uma pequena deflexao daluz ao passar perto do sol durante um eclipse. Esteevento foi uma evidencia direta que o espaco e tempo
a deformacao do espaco por corpo carregado
(campo eletrico) sera sentida somente por ou-
tro corpo carregado.
Figura 4.9: (a) Deformacao de uma cama ao
depositarmos uma bola de boliche. (b) So-
mente a deformacao provocada pela bola de
boliche.
Considere uma caixa fechada que contem
uma distribuicao massiva desconhecida (por
exemplo, poderia ser alguns corpos extensos
e algumas partıculas puntiformes), conforme a
figura 4.10. No ponto P trazemos N partıculas
puntiformes com uma massa de provami (onde
i = 1, 2, . . . , N , e estas massas devem ser pe-
quenas o suficiente para nao alterarem a dis-
tribuicao de massa na caixa). No ponto P me-
dimos a forca resultante Fi sobre cada massa
mi, e observamos que a razao g = Fi/mi e uma
sao deformaveis.
Prof. Salviano A. Leao 157
constante.
Figura 4.10: Uma caixa fechada na qual temos
uma distribuicao de massas desconhecida.
A figura 4.10 mostra uma caixa fechada, na
qual temos uma distribuicao de massas des-
conhecida, podendo ser constituıda por cor-
pos extensos assim como por um conjunto de
massas puntiformes m1, m2, m3, . . ., etc, ar-
bitrariamente dispostas no espaco. Se colocar-
mos uma massa m0 num ponto nas vizinhancas
deste sistema de massas, havera sobre m0 uma
forca exercida pelas outras massas. A presenca
da massa m0 perturba, em geral, a distribuicao
original das outras massas. No entanto, pode-
mos imaginar que m0 seja suficientemente pe-
quena para que o seu efeito sobre a distribuicao
original de massas seja desprezıvel. Esta pe-
quena massa e uma massa de prova, pois e
usada para evidenciar o campo das outras mas-
sas sem perturba-las. A forca resultante sobre
m0 e igual a soma vetorial das forcas exercidas,
sobre m0, pelas outras massas do sistema, cada
uma isoladamente. Pela lei de Newton da gra-
vitacao, cada uma destas forcas e proporcional
a m0 entao, a forca resultante tambem sera
proporcional a m0. Pelo princıpio da super-
posicao, a forca sobre uma massa puntiforme
m0, devida a sua interacao gravitacional com
outras massas puntiformes fixas em posicoes
predeterminadas, e proporcional a m0, e pode
ser escrita como:
F0 =∑
j
F0j = −Gm0
∑j
mj
r20j
· r0j
= m0g.
(4.6)
O campo gravitacional g num ponto e defi-
nido como a forca resultante sobre uma massa
de prova puntiforme m0 colocada neste ponto,
dividida por m0:
g = limm0→0
F0
m0
(4.7)
o que equivale a definir o campo gravitacional
g como:
g = −G∑
j
mj
r20j
· r0j, (4.8)
ou na forma integral
g = −G∫
r− r′
|r− r′|3dm (4.9)
O campo gravitacional de uma distribuicao
de massa e definido como a forca por uni-
dade de massa exercida pela distribuicao de
massa sobre um corpo massivo de prova. O
campo gravitacional g de uma distribuicao de
massa descreve a propriedade do espaco nas vi-
zinhancas desta distribuicao de tal modo que
ao se colocar em um ponto qualquer desta
regiao uma partıcula de massa m, a forca que
este campo exerce sobre a partıcula e dada por
mg. Nas proximidades da superfıcie terrestre
o campo gravitacional g e aproximadamente
constante e
g = −GMT
R2T
≈ 9.8 m/s2
4.6 Potencial Gravitacio-
nal
Como foi dito anteriormente a forca gravi-
tacional e uma forca central ; isto e, ela e uma
forca puramente radial, cuja origem e o centro
Prof. Salviano A. Leao 158
da forca. Alem disso, a forca gravitacional e
esfericamente simetrica, isto e, a sua magni-
tude so depende da distancia radial ao centro
da forca e nao de sua direcao. Portanto, pode-
mos escrever uma forca central esfericamente
simetrica como:
Fr = f(r)r
mas uma forca com esta forma funcional tem
um rotacional nulo, ou seja,
∇× Fr = 0
Prova. A forca F em coordenadas esfericas
e
Fr = f(r)rr,
Como o rotacional em coordenadas esfericas
pode ser escrito como
∇× Fr =1
r2 sen θ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
r rθ r sen θφ∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂φ
Fr rFθ r sen θFφ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Como a forca e central Fθ = Fφ = 0, portanto
o rotacional reduz-se a
∇× Fr =θ
r sen θ
∂ [rf(r)]
∂φ− φ
r
∂ [rf(r)]
∂θ= 0.
Desde que rotacional de uma forca central e
nulo (∇×Fr = 0), entao podemos concluir que
todo sistema cuja forca resultante e central,
e um sistema conservativo, pois o teorema de
Stokes garante que
∮F · dr =
∫
S
(∇× F) · dS,
Portanto, ∮F · dr = 0
ou seja, que o trabalho realizado pela forca F
e independe da trajetoria, entao a forca F e
conservativa e pode ser escrita como
F = −∇U,onde U e a energia potencial. Quanto ao sinal
negativo, podemos dar a seguinte interpretacao
para ele: a natureza prefere os sistema de mais
baixa energia, portanto, a forca resultante so-
bre os corpos deve apontar para a regiao de
mais baixa energia.
Como a forca resultante e conservativa pode-
se definir uma funcao energia potencial U(r)
do corpo em tal campo de forca central esfe-
ricamente simetrico. Portanto, ao levarmos o
corpo do ponto A ao ponto B ao longo de uma
trajetoria qualquer (ver figura 4.11) a mudanca
de energia potencial do corpo sera
∆U = UB − UA = −∫ B
A
F · d` = −WA→B
(4.10)
Do Teorema Trabalho Energia temos
∆T = TB − TA =
∫ B
A
F · d` = WA→B (4.11)
Somando as eqs. (4.10) e (4.11), obtemos a
conservacao da energia, ou seja,
∆T + ∆U = TB + UB − (TA + UA)
∆E = EB − EA = 0.
A forca gravitacional entre duas partıculas
de massas m e M respectivamente, separadas
por uma distancia r e dada por
F = −GMm
r2r (4.12)
Portanto, a energia potencial gravitacional e
dada por
U(rB)− U(rA) = −∫ B
A
− GMm
r2r · drr
= −GMm
r
∣∣∣∣rB
rA
= −GMm
rB
+GMm
rA
Prof. Salviano A. Leao 159
Por uma questao de conveniencia, adota-se
o ponto de energia potencial gravitacional zero
como sendo no infinito, e para tal, basta con-
siderar que
limrA→∞
U(rA) = 0, (4.13)
desta forma, pode-se definir uma funcao ener-
gia potencial gravitacional como
U(r) = −GMm
r. (4.14)
Observe que esta funcao devera ser zero no in-
finito, satisfazendo a condicao de contorno que
imposta pela eq. (4.13). E facil ver que ela
satisfaz a condicao imposta pois
limr→∞
U(r) = 0.
Se o corpo de massaM for um corpo extenso,
com uma distribuicao de massa contınua e de
forma arbitraria e limitada, a energia potencial
de uma partıcula de massa m em um ponto a
uma distancia r da origem do sistema de coor-
denadas e
U(r) = −∫
V
Gmρ(r′)|r− r′| dv
′. (4.15)
A intensidade do campo gravitacional, ou
o vetor campo gravitacional, ou simplesmente
o campo gravitacional g e definida como a
forca por unidade de massa exercida sobre uma
partıcula no campo gravitacional produzido
partıcula de massa M . Isto e,
g =F
m= −GM
r2r (4.16)
ou para um corpo extenso com uma distri-
buicao de massa M , o campo gravitacional ge-
rado por esta distribucao e
g = −G∫
V
r− r′
|r− r′|3 ρ(r′)dv′. (4.17)
Se existe um campo vetorial conservativo,
como e o caso do campo gravitacional, pode-se
sempre introduzir uma funcao potencial gravi-
tacional (Φ, a qual e uma quantidade escalar)
para representar este campo, fornecendo algu-
mas condicoes a serem satisfeitas. A condicao
necessaria e que ∇× g = 0, com
g =F
me ∇× F = 0 (4.18)
logo,
∇× g = 0, (4.19)
e neste caso, pode-se definir
g ≡ −∇Φ pois ∇×∇Φ = 0 (4.20)
Aqui Φ e o potencial gravitacional, o qual esta
relacionado com a energia potencial gravitaci-
onal U por
g =F
mF = −∇U
−∇Φ =1
m(−∇U)
∇(
Φ− U
m
)= 0
Assim,
Φ(r) =1
mU(r). (4.21)
Portanto, o potencial gravitacional Φ(r)
pode ser escrito na forma integral como
Φ(r) = −G∫
V
ρ(r′)|r− r′|dv
′. (4.22)
O significado fısico do potencial gravitacional
Φ(r) nada mais e do que o trabalho por uni-
dade de massa, pois
dΦ =dU
m= −dW
m. (4.23)
Existe uma certa energia potencial se um corpo
e colocado no campo gravitacional de uma dis-
tribuicao de massa. Esta energia potencial re-
side no campo, entretanto, e comun nestas cir-
cunstancias usar o termo: energia potencial do
corpo.
Prof. Salviano A. Leao 160
Na verdade, o potencial gravitacional pode-
ria ser definido a menos de uma constante de
integracao aditiva que nao alteraria o seu gra-
diente. Por convencao, esta constante e to-
mada como sendo zero para que Φ→ 0 quando
r →∞. O potencial no ponto r devido a uma
distribuicao volumetrica contınua de materia
de densidade ρ(r) e dado por
Φ(r) = −G∫
ρ(r′)|r− r′|dv
′. (4.24)
Se a massa estiver distribuıda sobre uma su-
perfıcie, com uma densidade superficial de
massa σ(r), entao o potencial e dado por
Φ(r) = −G∫
σ(r′)|r− r′|dS
′. (4.25)
Entretanto, se a massa estiver distribuıda so-
bre uma linha, com uma densidade linear de
massa λ(r), entao o potencial e dado por
Φ(r) = −G∫
λ(r′)|r− r′|d`
′. (4.26)
Uma interpretacao fısica do potencial gravita-
cional pode ser dada em termos do trabalho re-
alizado pela forca gravitacional sobre a massa
de prova. Suponha que uma massa de prova m
seja deslocada do ponto A ao ponto B atraves
de um caminho qualquer em um campo gra-
vitacional, conforme mostra a figura 4.11. O
Figura 4.11: Trajetoria de uma partıcula de
massa m em um campo gavitacional g.
trabalho realizado pela forca gravitacional so-
bre a massa m e dado por
WA→B =
∫ B
A
F · d` =
∫ B
A
mg · dr
= −m∫ B
A
∇Φ · dr
= −m∫ B
A
dΦ = −m (ΦB − ΦA)
ou, pode-se escrever
ΦB − ΦA = −WA→B
m.
Como a diferenca de energia potencial e de-
finida por
U(rB)− U(rA) = −WA→B
entao, ela pode ser reescrita como
ΦB − ΦA = −U(rB)− U(rA)
m
Portanto, pode-se afirmar que o potencial
gravitacional Φ e a energia potencial U por
unidade de massa.
Considerando que o ponto A esteja no infi-
nito onde, por convencao adotou-se que tanto
o potencial Φ quanto a energia potencial U sao
nulos, temos
Φ(r) =U(r)
M.
Exemplo 45 Obtenha expressoes para o po-
tencial gravitacional fora, dentro e no interior
de uma camada esferica de raio interno b e raio
externo a.
Solucao 2 Considerando que a densidade
desta camada esferica seja uniforme, entao
ρ =M
V=
3M
4π(a3 − b3) (4.27)
O potencial gravitacional e
Φ(r) = −G∫
V
ρ(r′)|r− r′|dv
′. (4.28)
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Figura 4.12: Camada esferica de raio interno
b e raio externo a, com o ponto P externo a
camada.
O elemento de volume dv′ em coordenadas
esfericas e dado por
dv′ = r′ sen θ′dr′r′dθ′dφ′
logo, o potencial pode ser escrito como,
Φ(r) = −Gρ∫ 2π
0
dφ′∫ π
0
sen θ′dθ′∫ a
b
r′2dr′
|r− r′|
Φ(r) = −2πGρ
∫ a
b
r′2dr′∫ π
0
sen θ′dθ′
|r− r′|Fazendo,
S = |r− r′|e usando a lei dos cossenos, da qual temos que
S2 = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′
Do ponto de vista operacional e mais conveni-
ente eliminarmos a variavel θ′ e mantermos a
variavel S. Diferenciando a equacao anterior,
obtemos
SdS = rr′ sen θ′dθ′
sen θ′dθ′
S=dS
rr′
Assim, o potencial toma a seguinte forma
Φ(r) = −2πGρ
r
∫ a
b
r′dr′∫ r+r′
r−r′dS (4.29)
Neste ponto devemos observar que os limites da
integral em S, dependem da regiao onde esta
localizado o ponto P . Portanto para o caso em
que o ponto P esta externo a camada (r > a),
temos
Φ(r) = −2πGρ
r
∫ a
b
r′dr′2r′
= −4πGρ
r
r′3
3
∣∣∣∣a
b
= −Gr
4π
3
(a3 − b3) ρ
= −GMr
Φ>(r) = −GMr
Deste resultado, podemos concluir que para
efeito de calculo, o potencial de uma distri-
buicao esfericamente simetrica para pontos ex-
terno a distribuicao, se comporta como se toda
massa estivesse concentrada em seu centro.
Se o ponto P estiver dentro da camada (r <
b), os limites de integracao em S, do potencial
em (4.29) mudam para SMin = r′−r e SMax =
r′ + r, assim a integral pode ser escrita como
Φ(r) = −2πGρ
r
∫ a
b
r′dr′∫ r′+r
r′−r
dS (4.30)
Neste caso, o ponto P esta localizado na regiao
Figura 4.13: Camada esferica de raio interno
b e raio externo a, com o ponto P interno a
camada.
Prof. Salviano A. Leao 162
interna da camada, logo
Φ(r) = −2πGρ
r
∫ a
b
r′dr′2r
= −2πGρ r′2∣∣ab
= −2πGρ(a2 − b2)
Φ<(r) = −2πGρ(a2 − b2)
Este resultado nos mostra que o potencial gra-
vitacional e constante no interior da camada,
nao dependendo da localizacao do ponto P , ou
de sua distancia r ao centro.
A ultima situacao e aquela em que o ponto
P esta no interior da camada (b < r < a).
Neste caso a integral do potencial em (4.29)
deve se desdobrar em duas partes como segue:
a primeira integral e realizado sobre toda a dis-
tribuicao que tem o ponto P , como um ponto
externo, enquanto a segunda integral e para
aquela regiao que tem o ponto P , como um
ponto interno. Assim temos,
Φ(r) = −2πGρ
r
∫ r
b
r′dr′∫ r′+r
r−r′dS
−2πGρ
r
∫ a
r
r′dr′∫ r′+r
r′−r
dS(4.31)
Neste caso, o ponto P esta localizado na regiao
Figura 4.14: Camada esferica de raio interno b
e raio externo a, com o ponto P no interior da
camada.
interna (b < r < a) da camada, logo
Φ(r) = −4πGρ
r
∫ r
b
r′2dr′
4πGρ
∫ a
r
r′dr′
= −4πρG
(a2
2− b3
3r− r2
6
)
ΦInt.(r) = −4πρG
(a2
2− b3
3r− r2
6
)
Observe que a funcao potencial Φ(r) e continua
nas interfaces. Assim temos que
Φ<(b) = ΦInt.(b) = −2πGρ(a2 − b2)
Φ>(a) = ΦInt.(a) = −GMa.
A componente radial do campo gravitacional (a
unica nao nula) pode ser calculada da equacao
g = −dΦdr
Assim,
g(r) =
0 Se r < b
−4πρG
(r − b3
r2
)Se b < r < a
−GMr2
Se r > a
A figura 4.15 abaixo, mostra os graficos do po-
tencial e do campo gravitacional em funcao de
r. Observe tambem que ambos o campo gravi-
tacional g e o potencial gravitacional Φ(r) sao
funcoes contınuas na interface.
4.7 Lei de Gauss
A Lei de Gauss e uma nova formulacao da
Lei de Newton da gravitacao, a qual leva em
conta a simetria do sistema estudado, o que
pode vir a reduzir a complexidade do problema
a ser resolvido. Devemos salientar ainda que a
Prof. Salviano A. Leao 163
Figura 4.15: Camada esferica de raio interno b
e raio externo a. Aqui mostramos o comporta-
mento do potencial gravitacional e do campo
gravitacional em todas as regioes.
Lei de Gauss so sera util na resolucao de pro-
blemas que tenham algumas simetrias presen-
tes, e que nem sempre ela podera nos ajudar a
resolver o problema que estamos abordando.
Antes de iniciarmos o nosso estudo, iremos
introduzir um conceito muito util para o en-
tendimento da Lei de Gauss, que e o conceito
de angulos solidos. Para definirmos o angulo
solido, faremos uma analogia com o angulo em
radianos.
4.7.1 Angulo Solido
Na figura 4.16 abaixo mostramos um arco de
circunferencia de comprimento ∆` com um
angulo θ.
Figura 4.16: Arco de circunferencia com um
angulo θ.
Antes de definirmos o angulo solido, iremos
rever o conceito de um angulo θ medido em
radianos.
Angulo em Radianos: θ = ∆lr
Observe que o angulo e sempre definido em
relacao a uma origem e que sempre pode-se
imaginar um cırculo de raio b maior b > r ou
menor b < r com a mesma origem, que tera
entao o mesmo angulo. Pode-se entao usar um
cırculo qualquer, desde que ele tenha a mesma
origem em relacao a qual se deseja medir o
angulo. Observe ainda que o angulo e uma
grandeza adimensional.
No espaco tridimensional (3D), os objetos
possuem um volume e uma area superficial.
Entao para lidarmos com objetos no espaco
3D, precisaremos nos preocupar com a area su-
perficial do objeto. Para tal, definiremos em
analogia ao angulo em radianos o que chama-
remos de elemento de angulo solido ∆Ω, o qual
para uma esfera de raio r, conforme a figura
4.17 abaixo, e dado por:
dΩ =dS
r2=dS
r2(4.32)
Observe que o elemento de angulo solido dΩ
definido desta forma depende da origem o e in-
Prof. Salviano A. Leao 164
Figura 4.17: Elemento de angulo solido de uma
esfera de raio r.
depende da distancia a origem, ja que a area
da esfera e proporcional a r2, e alem disso e
uma grandeza adimensional. Quando se trata
com um elemento de area defini-se um vetor
dS que e perpendicular a superfıcie e aponta
para fora da mesma e o seu modulo e nume-
ricamente igual a area daquele elemento de
area. Desta forma pode-se definir o elemento
de angulo solido como
dΩ =dS · nr2
=dS cos θ
r2(4.33)
onde n e um vetor unitario definido como
n =r
|r| = r (4.34)
A expressao (4.33) e o que chamamos de ele-
mento de angulo solido e trata-se de uma ex-
tensao do conceito de angulo plano expresso
em radianos. O angulo solido e medido em es-
ferorradianos. Observe que o angulo solido e
definido como um elemento de area dividido
pelo quadrado da distancia do mesmo a ori-
gem.
Na figura 4.18(b) seguir ilustramos o ele-
mento de angulo solido ∆Ω de uma superfıcie
qualquer, mostrando que ele e equivalente ao
elemento de angulo solido de uma esfera de raio
r que tem a mesma origem, figura 4.18(a).
Figura 4.18: Angulo solido.
A questao aqui e sera que uma area como na
figura 4.18(b) dividida por r2 e realmente igual
a da figura 4.18(a). Observe que quando defini-
se um elemento de angulo solido ele e infinitesi-
mal e esta questao perde o sentido, entretanto,
ao tentarmos descrever o angulo solido de uma
superfıcie qualquer em relacao a uma origem,
sempre podemos usar uma esfera de raio r com
a mesma origem, e medir a area da superfıcie
projetada sobre a superfıcie da esfera. Proce-
dendo desta forma temos o angulo solido do ob-
jeto. Na figura 4.19 mostramos esta situacao e
como realmente e a projecao sobre a superfıcie
de uma esfera de raio r.
Ate o momento definimos o elemento de
angulo solido dΩ, dado pela equacao (4.33),
entretanto, qual e o angulo solido que descreve
todo o espaco? Para responder a esta questao
consideremos uma esfera de raio r, conforme
mostrada na figura 4.17, entao para obtermos
o angulo solido sobre todo espaco, basta so-
mar todos os elementos de angulo solido sobre
a superfıcie da esfera, assim
Ω =
∮
S
dΩ =
∮
S
dS
r2=
1
r2·∮
S
dS =1
r24πr2
Ω = 4π.
Entao, o angulo solido que descreve todo o
Prof. Salviano A. Leao 165
Figura 4.19: Area de uma superfıcie qualquer
projetada sobre a superfıcie de uma esfera de
raio r.
espaco e Ω = 4π.
Considere agora uma superfıcie fechada
qualquer S de forma arbitraria com uma ori-
gem O interna a mesma como mostra a figura
4.20, neste caso o angulo solido e dado por
Figura 4.20: Superfıcie fechada qualquer, com
a origem interna a mesma.
Ω =
∮
S
dΩ =
∮
S′dΩ
Observe que ao percorrer toda a superfıcie
fechada S tambem percorre-se toda a su-
perfıcie fechada S ′ de uma esfera de raio r
com centro na mesma origem O. portanto, as
duas integrais devem ser iguais, logo por uma
questao de simplicidade faz-se a integral sobre
a superfıcie S ′, assim
Ω =
∮
S′dΩ =
∮
S′
dS′
(r′)2 =1
r2·∮
S′dS
′
Ω =1
r24πr2 ⇒ Ω = 4π,
Pode-se portanto concluir que, para uma su-
perfıcie fechada arbitraria qualquer S a soma
de todos os elementos de angulo solido sobre
todo o espaco sera igual a 4π, ou seja, que
Ω =
∮
S
dΩ = 4π (S ∀O e interno a superfıcie) .
(4.35)
Considere agora o caso de uma superfıcie fe-
chada arbitraria qualquer S com a origem O
externa a superfıcie, conforme mostra a figura
4.21 abaixo.
Figura 4.21: Superfıcie fechada qualquer, com
a origem externa a mesma.
Neste caso, o elemento de angulo solido dΩ
pode ser positivo ou negativo conforme θ seja
agudo ou obtuso (o sinal muda com a direcao
de n).
n1 = −n2
Prof. Salviano A. Leao 166
dΩ =dS1 · n1
r21
+dS2 · n2
r22
Ω =
∮
S
dΩ =
∮
S1
dS1 · n1
r21
+
∮
S2
dS2 · n2
r22
=
∮
S1
dS1
r21
−∮
S2
dS2
r22
= 0
Se O e um ponto externo a S temos
∮
S
dΩ = 0(S ∀e O externo a superfıcie).
(4.36)
Para finalizar, deve-se analisar o caso em que
a origem O em relacao a qual determina-se o
angulo solido encontra-se sobre a superfıcie fe-
chada, conforme a figura 4.22 abaixo.
Figura 4.22: Calculo do angulo solido, com a
origem sobre a superfıcie.
Observe que se a origem encontra-se sobre
a superfıcie, sempre podemos considerar a su-
perfıcie S ′ de uma semi-esfera de raio r, cuja
base tangencia a superfıcie S somente no ponto
O. Desta forma, temos
Ω =
∮
S′dΩ =
∮
S′
dS′
(r′)2 =1
r2·∮
S′dS
′
Ω =1
r22πr2 ⇒ Ω = 2π,
Portanto, encontramos que o angulo solido que
percorre um superfıcie fechada S, cuja origem
encontra-se sobre a mesma e a metade do va-
lor quando a origem encontra-se no interior da
superfıcie.
Se O e um ponto sobre a superfıcie S temos∮
S
dΩ = 2π(S ∀e O sobre a superfıcie).
(4.37)
Portanto, pode-se sumarizar os resultados
obtidos, expressando-os na forma compacta
∮
S
dΩ =
4π O interno a superfıcie S,
2π O sobre a superfıcie S,
0 O externo a superfıcie S.
De forma geral o elemento de angulo solido, por
ser infinitesimal, sempre pode ser visto como
na figura 4.23 abaixo.
Figura 4.23: Elemento infinitesimal de angulo
solido.
4.7.2 Fluxo de Um Campo Veto-
rial
Suponhamos que entre as margens de um rio,
com uma correnteza de velocidade constante
v, estiquemos uma rede de pesca quadrada de
area A, e seja Φ a vazao volumetrica, isto e,
a taxa com que a agua escoa atraves da rede
(volume por unidade de tempo). Essa taxa
depende do angulo entre v e o plano da rede.
Quando v e perpendicular ao plano, como na
Fig. 4.24 (a), a taxa e igual a Φ = vA.
Quando a rede e paralela a correnteza, ne-
nhuma camada de agua se move atraves dela,
de modo que o fluxo atraves dela e igual a
zero. Para angulos intermediarios, a vazao vo-
lumetrica de agua que passa atraves da rede
Prof. Salviano A. Leao 167
Figura 4.24: Fluxo de um campo vetorial v,
atraves de diversas superfıcies.
depende da componente da velocidade v que
e normal ao plano Fig. 4.24 (b). Uma vez
que esta componente vale vcosθ, a taxa de es-
coamento volumar atraves da malha e Φ =
v · S = Svcosθ. Para uma superfıcie como
a mostrada na Fig. 4.24 (c), o que fazemos e
dividi-la em pequenas superfıcies infinitesimais
de area dS, que tera tambem um fluxo infini-
tesimal dΦ = v · dS = dSv cos θ, logo o fluxo
total atraves de toda a superfıcie S, e a soma
destes fluxos infinitesimais, ou seja,
Φ =∑
i
dΦi =∑
i
vdSi cos θi
=
∫
s
v · dS
Aqui estamos considerando que a velocidade
v nao muda atraves da superfıcie S, mas o re-
sultado obtido e geral. Por exemplo, considere
o fluxo vetor v atraves da superfıcie mostrada
na figura 4.25 abaixo,
Φ = v1dS1 cos θ1 + v2dS2 cos θ2
+v3dS3 cos θ3 + · · ·Φ = v1 · dS1 + v2 · dS2 + · · ·Φ =
∫
s
v · dS
O fluxo atraves da superfıcie fechada, mos-
trada na Fig. 4.24 (d), e nulo porque o fluxo
que entra na superfıcie esquerda e igual ao que
Figura 4.25: Fluxo de um campo vetorial v,
atraves da superfıcie.
sai na superfıcie direita. Pois
Φ < 0 =⇒ Campo vetorial entrando
na superfıcie
Φ > 0 =⇒ Campo vetorial saindo
da superfıcie
Portanto, de forma geral, podemos sintetizar
os resultado obtidos anteriormente como
(a) Φ = v · S (c) Φ =
∫v · dS
(b) Φ = v · S (d) Φ =
∮
s
v · dS = 0
4.7.3 Lei de Gauss Para o
Campo Gravitacional g
Consideremos agora uma massa puntiforme
m e calculemos o fluxo de seu campo gravi-
tacional g atraves de uma superfıcie esferica
concentrica com a massa. Dado que r e o
raio da esfera, o campo gravitacional produ-
zido pela massa em cada ponto da superfıcie
esferica e
g = −Gmr2· r (4.38)
Φg =
∮
S
g · dS =
∮
S
gdS
= g
∮
S
dS = −Gmr2· (4πr2
)
= −4πGm
Prof. Salviano A. Leao 168
Portanto, pode-se escrever que o fluxo do
campo gravitacional, atraves de uma superfıcie
esferica fechada S, que contem um massa m e
dado por
Φg =
∮
S
g · dS =− 4πGm (4.39)
e esta expressao e conhecida como Lei de
Gauss. Consideremos agora uma massa m no
Figura 4.26: Na figura temos uma superfıcie
fechada S qualquer, na qual inserimos uma su-
perfıcie gaussiana esferica S ′.
interior de uma superfıcie fechada arbitraria S.
Para calcularmos o fluxo atraves da superfıcie
S e difıcil, mas sabemos que o fluxo atraves de
S e o mesmo que passa pela superfıcie S ′ (a
superfıcie gaussiana). Portanto, em vez de cal-
cularmos o fluxo atraves da superfıcie S, calcu-
laremos o fluxo atraves da superfıcie gaussiana
S ′, assim
Φg =
∮
S
g · dS =
∮
S′g · dS
= −∮
S′Gm
r2r · dS
= −Gm∮
S′
r · dSr2
= −Gm∮
S′dΩ = −4πGm.
Pode-se concluir que o fluxo do campo gravi-
tacional, atraves de uma superfıcie fechada S
qualquer, que contem um massa m e dado por
Φg =
∮
S
g · dS = −4πGm (4.40)
e esta expressao e a Lei de Gauss.
Note que este resultado nao depende de onde
a massa se encontra, desde que ela esteja no
interior da superfıcie, pois basta fazermos uma
boa escolha da superfıcie gaussiana, para ter-
mos a massa em um ponto simetrico em relacao
a superfıcie gaussiana.
Quando a massa se encontra fora da su-
perfıcie fechada, o fluxo e zero. Observe que
cada elemento de superfıcie que contribui com
um fluxo positivo possui um elemento oposto
que contribui com um fluxo negativo de mesma
magnitude (o angulo solido e o mesmo para os
dois elementos).
Quando varias massas puntiformes se encon-
tram no interior da superfıcie, cada uma delas
contribui com um fluxo −4πGmi (note que so
as massas que estao no interior da superfıcie
contribuem). Assim, o fluxo total e dado por
∮
S
g · dS =
−4πGm m interna a S
−2πGm m sobre a S
0 m externa a S
onde, m e a massa total que se encontra no
interior da superfıcie S.
Aqui faremos algumas consideracoes a res-
peito da lei de Gauss. A lei de Gauss deve-se
aos seguintes fatos:
1. Uma lei de forca que depende do inverso
do quadrado da distancia.
2. Natureza central da forca.
3. Superposicao linear da forca.
Prof. Salviano A. Leao 169
4.7.4 Aplicacoes da Lei de Gauss
Plano Massivo Infinito
Consideremos um plano infinito, com uma
densidade superficial de massa σ uniforme. Va-
mos calcular o campo gravitacional nas proxi-
midades da superfıcie do plano. Para resol-
vermos este problema, usando a Lei de Gauss,
devemos inicialmente encontrar uma superfıcie
que possua uma simetria adequada a este pro-
blema. Como na proximidades da superfıcie,
podemos considerar que o campo gravitacional
devera ter o mesmo valor, entao a superfıcie
mais adequada seria um pequeno cilindro que
atravessa o plano.
g+ = −g− = −g z
Figura 4.27: Plano massivo infinito, com uma
densidade superficial de massa σ uniforme.
Φq =
∮
S
g · dS
=
∫
Topo
g · dS +
∫
Fundo
g · dS
+
∫
lateral
g · dS= −g+S+ − g−S− + g`S`cos(90)
= −g+S+ − g−S−= −2gS
Como m = σS, logo
Φg =
∮
S
g · dS =− 4πGm
−2Sg = −4πGm
g = 4πGσS
2S= 2πσG
Distribuicao Esferica de Massa
Consideremos uma esfera macica, com uma
massa total M , distribuıda uniformemente so-
bre todo o seu volume, conforme mostra a fi-
gura 4.28 abaixo. Usando a lei de Gauss, deter-
minaremos o campo gravitacional em pontos
localizados no interior da esfera e em pontos no
exterior da mesma. Como a distribuicao massa
Figura 4.28: Esfera macica, com um distri-
buicao uniforme de massa.
e uniforme e esfericamente simetrica, entao a
densidade de massa ρ da esfera e dada por:
ρ = M/V , onde M e a massa total da esfera
e V = 43πR3 e o volume de uma esfera de raio
R. Assim,
ρ =3M
4πR3(4.41)
O fluxo do campo gravitacional Φg, e dado por
Φg =
∮
S1
ginterior · dS = −4πGm′ (4.42)
Prof. Salviano A. Leao 170
logo,
ginterior = −Gm′
r2.
Como a densidade e dada por
ρ =M
4πR33
=3M
4πR3, (4.43)
a massa m′ contida no interior da esfera de raio
r com r < R, pode ser escrita como
m′ = ρ · V ′ =3M
4πR3· 4π
3r3
= M( rR
)3
Portanto, o campo gravitacional interno, e
ginterior = −GMr2· r
3
R3= −GMr
R3(4.44)
ginterior = −GMr
R3(4.45)
Nos pontos externos da esfera temos
Φg =
∮
S2
gexterno · dS = −4πGM
gexterno = −GMr2
4.8 Forma Diferencial da
Lei de Gauss: Equacao
de Poisson
Consideremos uma distribuicao discreta de
massa, figura 4.29(a), encerrada por uma su-
perfıcie gaussiana S, em que a massa total e
MT =N∑i
mi (4.46)
Neste caso a lei de Gauss, toma a seguinte
forma
Φg =
∮
S
g · dS = −4πGMT
= −4πGN∑i
mi
Figura 4.29: (a) Uma distribuicao discreta de
massa encerrada por uma superfıcie gaussiana
S. (b) Uma distribuicao volumetrica de massa
de densidade ρ, encerrada por uma superfıcie
gaussiana S.
Ao considerarmos o caso de uma distribuicao
volumetrica de massa, figura 4.29(b), a massa
total encerrada pela superfıcie gaussiana S e
m =
∫
V
ρ(r)dv,
portanto, a lei de Gauss toma a seguinte forma∮
S
g · dS = −4πG
∫
V
ρ(r)dv.
O teorema do divergente nos garante que∮
S
g · dS =
∫
V
∇ · gdv,
assim, usando o teorema do divergente pode-
mos reescrever a lei de Gauss como∫
V
∇ · gdv = −4πG
∫
V
ρ(r)dv
∫
V
[∇ · g + 4πGρ(r)] dv = 0
Para que a integral acima seja sempre nula, o
integrando devera ser nulo, desta forma pode-
mos escrever
∇ · g = −4πGρ(r) (4.47)
Esta equacao e a lei de Gauss na forma dife-
rencial. Como vimos anteriormente o campo
Prof. Salviano A. Leao 171
gravitacional g esta relacionado com o poten-
cial gravitacional por g ≡ −∇Φ, eq. (4.20),
substituindo esta expressao na equacao (4.47),
obtemos
∇2Φ = 4πGρ(r), (4.48)
a qual e conhecida como a equacao de Pois-
son. Em regioes do espaco onde a densidade
de massa e nula, podemos escrever
∇2Φ = 0,
que e a equacao de Laplace para o potencial
gravitacional Φ.
Agora, faremos algumas consideracoes a res-
peito da lei de Gauss e da equacao de Poisson.
Observer que a lei de Gauss e uma ferra-
menta com a qual pode-se obter o campo gra-
vitacional em um determinado ponto do espaco
sobre a superfıcie gaussiana escolhida, devido
a massa interna a superfıcie gaussiana, pois
somente as massas internas a superfıcie con-
tribuem com um fluxo do campo gravitacio-
nal nao nulo, atraves da superfıcie gaussiana.
Deve-se ressaltar ainda, que isto so e possıvel
se o campo gravitacional gerado pela deistri-
buicao de massa tiver algum tipo de simetria.
No caso de uma distribuicao de massa, na pre-
senca de um campo gravitacional externo, a Lei
de Gauss na sua forma integral, so nos permite
inferir algo a respeito do campo gravitacional
gerado pela distribuicao massiva, e nada a res-
peito do campo resultante. Entretanto, resol-
vendo a equacao de Poisson, podemos conse-
guimos obter o campo resultante. Aparente-
mente ha uma certa incoerencia com relacao a
equacao de Poisson, ou mesmo a de Laplace,
pois estas sao consequencias da lei de Gauss,
mas o campo (potencial gravitacional) que as
mesma fornecem nao e somente da distribuicao
de massa ρ(r) (fato mais evidente na equacao
de Laplace), limitada por uma superfıcie gaus-
siana. Ao resolver a equacao de Poisson ou
Laplace, pode-se introduzir outras massas ao
problema, colocando-se de forma adequada as
condicoes de contorno do problema. Deve-
mos salientar novamente, que a distribuicao
de massa ja esta contida no campo, ou seja,
o campo foi gerado por uma distribuicao de
massas.
4.9 Linhas de Forca e Su-
perfıcies Equipotenci-
ais
Consideremos uma massa que gera um
campo gravitacional g. Desenhemos uma linha
que saı da perpendicularmente da superfıcie
da massa, de tal modo que a direcao da li-
nha seja a mesma do campo gravitacional g
naquele ponto. Esta linha se estende desde a
superfıcie da massa ate o infinito. Tais linhas
sao chamadas de linhas de forca ou linhas de
campo.
Ao considerarmos uma massa pontual, as
linhas de forca serao retas que irao se esten-
der de zero ate o infinito. Nas vizinhancas de
cada massa, as linhas do campo estao igual-
mente espacadas e sao radialmente divergen-
tes. A distancias muito grandes de todas as
massas, a estrutura detalhada do sistema nao
tem importancia, e as linhas do campo sao as
do campo de uma unica massa puntiforme, que
tem a massa lıquida do sistema. A fim de ter
uma referencia comoda, resumimos a seguir as
regras para tracar as linhas do campo gravita-
cional:
1. As linhas do campo gravitacional princi-
piam no infinito e terminam nas massas.
2. Ao divergir de uma massa as linhas do
campo sao simetricas em torno da massa.
Prof. Salviano A. Leao 172
3. O numero de linhas do campo que di-
vergem de uma massa e proporcional a
massa.
4. A densidade de linhas (isto e, o numero
de linhas por unidade de area perpendicu-
lar a direcao das linhas) em torno de um
ponto e proporcional ao valor do campo
gravitacional neste ponto.
ρLinhas ∝ numero de linhas
Area∝ g
5. A grandes distancias de um sistema de
massas, as linhas do campo sao uniforme-
mente espacadas e radiais, como se fossem
as do campo de uma unica massa punti-
forme igual a massa lıquida do sistema de
massas.
6. Duas linhas do campo nunca tem um
ponto de cruzamento.
A regra 6 e consequencia de o campo g ter
um unico sentido em qualquer ponto no espaco
(exceto num ponto ocupado por uma massa
puntiforme, ou num ponto onde g = 0). Se
duas linhas do campo se cruzassem, o campo
g teria dois sentidos possıveis no ponto de in-
tersecao. A figura 4.30 mostra as linhas do
campo gravitacional de duas partıculas pun-
tiformes com massas iguais. Nas vizinhancas
das massas, as linhas sao radiais e divergem
das mesmas. O numero de linhas que termi-
nam nas duas massas, sao iguais, pois as duas
tem o mesmo valor. Neste caso, o campo gra-
vitacional e intenso na regiao entre as massas,
o que se percebe pela alta densidade de linhas
do campo gravitacional que aparecem na figura
4.30, nesta regiao.
Define-se uma superfıcie equipotencial como
sendo o conjunto dos pontos onde o potencial
assume o mesmo valor, ou seja, e conjunto dos
pontos tais que Φ(x, y, z) = cte. Cada valor da
Figura 4.30: Linhas de campo, do gampo gra-
vitacional gerado por duas partıculas puntifor-
mes.
constante define uma superfıcie equipotencial
diferente. Na figura abaixo mostramos duas
superfıcies equipotenciais. E facil mostrar que
Figura 4.31: Duas superfıcies equipotenciais.
as superfıcies equipotenciais sao perpendicula-
res as linhas de forca. Para isto considere dois
pontos infinitesimalmente proximos sobre uma
mesma superfıcie (conforme figura 4.31). A di-
ferenca de potencial entre estes pontos e dada
por
dΦ = ∇Φ · d` = −g · d` = −gqd` (4.49)
onde d` e um elemento de deslocamento so-
bre a superfıcie. Como todos os pontos sobre
uma mesma superfıcie tem o mesmo potencial,
Prof. Salviano A. Leao 173
dΦ = 0. Assim, gq = 0, e portanto, g e per-
pendicular a superfıcie equipotencial.
Exemplo 46 Considere um disco fino de
massa M e raio a. Obtenha a forca sobre uma
massa m localizada no eixo do disco a uma
distancia z do seu centro.
Figura 4.32: Disco com uma distribuicao su-
perficial de massa uniforme σ.
Solucao 3 Solucao pelo Metodo do po-
tencial:
A densidade superficial de massa M do disco
e dada por
σ =M
πa2.
O potencial gravitacional e dado por:
Φ(r) = −G∫
S
σdS
|r− r′| ,
onde s e a densidade superficial de massa
do disco, suposta constante. Em coordenadas
cilındricas
dS = r′dr′dφ e |r− r′| =√r′2 + z2
onde r′ = |r′| e z = |r|. Desta forma, temos
Φ(r) = −Gσ∫ 2π
0
dφ
∫ a
0
r′dr′√r′2 + z2
= −2πσG√r′2 + z2
∣∣∣a
0
= −2πσG[√
a+ z2 − z].
Logo a forca e dada por
F = −mg = −m∇Φ.
Por simetria e facil ver que F so tem uma com-
ponente ao longo do eixo z. Assim
Fz = −m∂Φ
∂z
= 2πmσG
[z√
a+ z2− 1
]
ou ainda em termos das duas massas, Fz pode
ser escrita como
Fz = −2mMG
a2
[1− z√
a+ z2
]
Outra Solucao: Calculo direto de F.
A forca sobre a massa m da figura 4.32
acima e dada por
F = mg = −Gm∫
S
r− r′
|r− r′|3σdS
Por simetria, vemos que F so tem componte
ao longo do eixo z. Assim,
Fz = −Gm∫ 2π
0
dφ
∫ a
0
σr′dr′
(r′2 + z2)· z√
r′2 + z2
= −2πmσGz
∫ a
0
r′dr′
(r′2 + z2)3/2
= 2πmσGz√
r′2 + z2
∣∣∣∣a
0
= 2πmσG
[z√
a+ z2− 1
]
= −2mMG
a2
[1− z√
a+ z2
]
Este resultado e o mesmo, obtido ao encontra-
mos primeiro o potencial gravitacional.
4.10 Problemas
1. Se o vetor campo gravitacional no interior
de uma distribuicao esferica de massa for
independente de r, qual a funcao ρ(r) que
descreve a densidade?
Prof. Salviano A. Leao 174
2. Desprezando a resistencia do ar, calcule
a velocidade mınima (obtenha um valor
numerico) que uma partıcula deve ter na
superfıcie da Terra para escapar do seu
campo gravitacional. Esta velocidade e
chamada velocidade de escape.
3. Uma partıcula encontra-se a uma
distancia d de um centro de forca. A
forca e dirigida para o centro e tem
modulo dado por
F =mk2
r3
Mostre que a partıcula demora um tempo
t = d2/k para atingir o centro.
4. Calcule diretamente a forca gravitacional
sobre uma partıcula de massa m situada
no exterior de uma esfera com uma densi-
dade homogenea de massa.
5. Calcule o potencial gravitacional devido a
uma barra fina de comprimento l e massa
M em um ponto situado a uma distancia
R do centro da barra, em uma direcao per-
pendicular a barra.
6. Obtenha uma expressao integral para o
potencial gravitacional devido a um anel
circular fino de raio a e massa M , em um
ponto situado no plano do anel, a uma
distancia R do seu centro, no seu exterior.
Supondo R À a, expanda a expressao do
potencial e calcule os dois primeiros ter-
mos da serie.
7. Uma esfera uniforme de massa m e raio R
e fixada a uma distancia h acima de uma
folha fina e infinita de densidade superfi-
cial de massa σ. Calcule a forca exercida
pela esfera sobre a folha.
8. Considere um corpo massivo, de formato
arbitrario, e um superfıcie esferica (ima-
ginaria) externa ao corpo (que nao contem
o corpo). Mostre que o valor medio do po-
tencial, devido ao corpo, tomado sobre a
superfıcie esferica e igual ao potencial no
centro da esfera.
9. No problema anterior, considere que o
corpo esteja no interior da superfıcie
esferica. Agora, mostre que o valor medio
do potencial sobre a superfıcie esferica e
igual ao potencial que terıamos na su-
perfıcie da esfera se toda a massa do corpo
estivesse concentrada no centro da esfera.
10. Considere um planeta (hipotetico) de raio
R1 e densidade uniforme ρ1 coberto com
uma densa nuvem esferica de poeira de
raio externo R2 e densidade ρ2. Qual a
forca sobre uma partıcula de massa m co-
locada no interior da nuvem de poeira, a
uma distancia r do centro do planeta?
11. Uma partıcula e deixada cair dentro de
um (hipotetico) buraco reto que atravessa
toda a Terra passando pelo seu centro.
Desprezando efeitos rotacionais e supondo
que a Terra possua uma densidade uni-
forme, mostre que a partıcula executa um
movimento harmonico simples. Calcule o
perıodo das oscilacoes.
12. Considere uma masssa distribuıda unifor-
memente sobre todo o espaco (universo).
Qual e o campo gravitacional em um
ponto qualquer deste espaco?
13. Considere um cilindro homogeneo de raio
R e comprimento infinito. (a) Calcule o
vetor campo gravitacional em um ponto
qualquer externo ao cilindro. (b) Calcule
o potencial gravitacional Φ(r) do cilindro
Prof. Salviano A. Leao 175
a uma distancia r (r > R) do seu eixo, es-
colhendo habilmente um referencial para o
potencial. (c) Desenhe esquematicamente
as linhas de forcas.
14. Considere um planeta de Raio R1 e massa
M , distribuıda uniformemente sobre o
mesmo. Este planeta esta envolto por
uma nuvem de gas de raio maximo R2 e
com uma densidade dada por:
ρ(r) =
ρ0e
−αr R1 ≤ r ≤ R2
0 De outro modo.
sendo ρ0 e α duas constantes. (a) Deter-
mine o campo gravitacional g em todas as
regioes do espaco. (b) Determine o poten-
cial gravitacional em todas as regioes do
espaco.
15. Calcule o vetor campo gravitacional de um
cilindro homogeneo de raio R e compri-
mento L em um ponto externo qualquer
sobre o eixo do cilindro.
16. Determine a energia de formacao de um
sistema constituıdo porN partıculas, cada
uma com uma massa mi em um ponto ri
do espaco, com i = 1, 2, . . . , N .
17. Calcule a auto-energia gravitacional (a
energia de formacao so sistema, ou seja,
a energia necessaria para trazer cada
partıcula do sistema do infinito ate o
ponto onde ela esta) de uma esfera uni-
forme e massa M e raio R. (Sugestao:
pense que a esfera e construıda como uma
casca de cebola, camada por camada).
18. Considere uma esfera de raio R e massaM
distribuıda uniformemente sobre todo o
seu volume. Por integracao direta, deter-
mie o campo gravitacional para um ponto
a uma distancia (a) r, tal que r > R e (b)
para uma distancia r, tal que r < R.
Capıtulo 5
Calculo Variacional
5.1 A Natureza Geral dos
Problemas de Extre-
mos
Os problemas de extremos tem instigado o in-
terese e a curiosidade em todas as epocas. Ao
caminharmos em linha reta, e instintivamente
a solucao de um problema de extremo: quere-
mos atingir o ponto final de nosso destino com
o menor desvio possıvel.
Matematicament falamos de um problema
de extremo quando o maior ou o menor va-
lor possıvel de uma quantidade esta envolvido.
Por exemplo, desejamos encontrar o ponto
mais alto de uma montanha ou o ponto mais
baixo de um vale, ou a trajetoria mais curta
entre dois pontos, ou a menor perda possıvel
em um problema de iluminacao ou de aqueci-
mento, e muito outros problemas. Para obter-
mos a solucao de tais problemas, um ramo es-
pecial da matematica, chamado de calculo das
variacoes ou calculo variacional, foi desenvol-
vido.
Do ponto de vista formal, o problema de
minimizar uma integral definida e considerado
como proprio do domınio do calculo variaci-
onal, enquanto o problema de minimizar ou
maximizar uma funcao pertence ao domınio
do calculo ordinario. Historicamente, estes
dois problemas surgiram simultaneamente e
nenhuma distincao clara entre eles foi feita
ate o tempo de Lagrange, que desenvolveu a
tecnica do caculo das variacoes. O famoso pro-
blema de Dido, bem conhecido pelos antigos
geometras, era um problema variacional o qual
envolvia a minimizacao de uma integral. Hero
de Alexandria, deduziu a lei da reflexao a par-
tir do princıpio de que um raio de luz o qual e
emitido no ponto A e vai ate um certo ponto
B, apos ser refletido por um espelho, atingira
o seu destino no intervalo de tempo mais curto
possıvel (Ver figura 5.1). Fermat, extendeu
este princıpio para deduzir a lei da refracao.
Todos estes problemas foram resolvidos empre-
gando essencialmente metodos geometricos. O
problema da braquistocrona, a curva descen-
dente mais rapida – foi proposto por John Ber-
noulli e resolvido independentemente por ele,
Newton e Leibniz. A equacao diferencial basica
dos problemas variacionais foi descoberta por
Euler e Lagrange. Um metodo para a solucao
de problemas variacionais foi introduzido por
Lagrange em seu livro Mecanique Analytique
(1788).
Os princıpios de mınimos na fısica tem um
longo interesse historico. A busca por tais
princıpios e baseada na nocao de que a na-
tureza sempre minimiza certas quantidades
importantes quando um processo fısico ocor-
rer. O primeiro destes princıpios de mınimo
foi desenvolvido no campo da optica. Hero
176
Prof. Salviano A. Leao 177
Figura 5.1: Deducao da Lei de reflexao por
Hero de Alexandria. A trajetoria que se deve
seguir para ir de um ponto a outro no tempo
mais curto e uma linha reta. A menor distancia
entre dois pontos e uma reta, entao ele proje-
tou o ponto B dentro do espelho, resolvedo o
problema.
de Alexandria, dois seculos A.C., encontrou
que a lei que governa a reflexao da luz po-
deria ser obtida assegurando que um raio de
luz, vai de um ponto ao outro apos ser re-
fletido por um espelho, atraves do caminho
mais curto possıvel. Atraves de uma cons-
trucao geometrica simples, pode-se verificar fa-
cilmente que este princıpio de mınimo conduz
a igualdade dos angulos de incidencia e re-
flexao do raio de luz refletido por um espe-
lho plano. O princıpio de Hero da trajetoria
mais curta nao pode, entretanto, uma lei cor-
reta para a refracao. Em 1657 Fermat refor-
mulou o princıpio, postulando que um raio de
luz sempre viaja de um ponto ao outro em um
meio atraves da trajetoria que requer o me-
nor tempo1. O princıpio de Fermat do tempo
mınimo conduz, imediatamente, nao somente
a lei correta da reflexao, mas tambem a lei de
1Pierre de Fermat (1601-1665), um advogadofrances, linguista e matematico amador.
Snell da refracao2.
Os princıpios de mınimos continuaram a se-
rem procurados, e no fim do seculo XVII, o
inicio do calculo das variacoes foi desenvolvido
por Newton, Leibniz e Bernoulli, quando pro-
blemas tais como o da braquistocrona e o da
forma de um cabo suspenso (uma catenaria)
foram resolvidos.
A primeira aplicacao de um princıpio geral
de mınimo na mecanica foi feito em 1747 por
Maupertuis, que declarou que dinamicamente
o movimento ocorre com uma acao mınima3. O
Princıpio de Mınima Acao de Maupertuis
foi baseado em fundamentos teologicos (a acao
e minimizada atraves da ”vontade de Deus”),
e seu conceito de acao era muito vago (Lembre
que a acao e uma quantidade com dimensoes
de Comprimento × Momentum ou Energia
× Tempo.). Somente mais tarde Lagrange
(1760) forneceu os fundamentos matematicos
do princıpio da acao. Embora seja comum
usarmos uma forma a qual faz a transicao
da mecanica classica para a optica e para a
mecanica quantica, o princıpio da acao mınima
e menos geral do que o princıpio de Hamilton
e, de fato, ele pode ser deduzido dele. Nao
faremos uma discussao detalhada aqui4.
Em 1828, Gauss desenvolveu um metodo
de tratar a mecanica por seu princıpio dos
2Em 1661, Fermat deduziu corretamente a lei de re-fracao, a qual tinha sido descoberta experimentalmenteem 1621 por Willebrord Snell (1591-1626), um prodi-gioso matematico alemao.
3Pierre-Louise-Moreau de Maupertuis (1698-1759),Matematico Frances e astronomo. A primeiraaplicacao de Maupertius para o princıpio da mınimaacao foi refazer a deducao de Fermat da lei de refracao(1744).
4Veja, por exemplo, H. Goldstein, Classical Mecha-nics, 2nd Edition, Addison-Wesley Publishing Com-pany, Reading, Massachusetts, 1980, Cap. 2 e pags.365-371. Veja tambem A. Sommerfeld, Mechanics,Academic Press, New York 1950, pags. 204-209.
Prof. Salviano A. Leao 178
vınculos mınimos ; uma modificacao foi feita
posteriormente por Hertz e incorporada em
seu princıpio da curvatura mınima. Este
princıpios5 estao intimamente relacionados ao
princıpio de Hamilton e nao adicionam nada
ao conteudo mais geral da formulacao de Ha-
milton; sua mencao somente enfatiza o envol-
vimento contınuo com os princıpios de mınimo
na fısica.
5.2 Formulacao do Pro-
blema
Discutiremos a seguir alguns aspectos basicos
da tecnica de calculo variacional que serao
utilizados posteriormente para obter as for-
mulacoes lagrangeana e hamiltoniana da
mecanica. O problema fundamental do calculo
variacional e determinar a funcao y(x) tal que
a integral
J =
∫ x2
x1
fy(x), y′(x);x dx (5.1)
seja um extremo (maximo ou mınimo). A
notacao usada y′(x) = dy(x)/dx e a derivada
primeira da funcao y(x) e o ponto e vırgula
dentro da chave separa as variaveis dependen-
tes y(x) e y′(x) da variavel independente x;
f e uma funcao das funcoes y(x), y′(x) e x
e os pontos limites da integral (x1, y(x1)) e
(x2, y(x2)) sao fixos. Devemos encontrar a
funcao y(x) para a qual J assume um valor
extremo.
Devemos observar que o resultado da inte-
gral (5.1) independe da variavel de integracao
x, mas depende das funcoes y(x) e y′(x), entao
dizemos que J e um funcional de y e de y′(x),
5Veja, por exemplo, Lindsay and Margenau, Foun-dations of Physics, Wiley, New York 1936, pags. 112-120 ou A. Sommerfeld, Mechanics, Academic Press,New York 1950, pags. 210-214).
e representamos isto da seguinte forma, J =
J [y, y′].
Por exemplo, observer que o funcional J [y]
definido por
J [y] =
∫ 1
0
y(x)dx
tera para y(x) = 1 o seguinte resultado
J [1] =
∫ 1
0
1 · dx = 1;
Ja para y(x) = ex,
J [ex] =
∫ 1
0
exdx = e− 1;
e para y(x) = cos(πx)
J [cos(πx)] =
∫ 1
0
cos(πx)dx = 0.
Portanto, viu-se que para cada funcao y(x)
o funcional J [y] tem um valor diferente.
A formulacao do problema do problema va-
riacional pode ser feita em termos de uma re-
presentacao parametrica y(x) = y(α, x) para a
funcao y tal que para α = 0
y(0, x) = y(x) (5.2)
e a funcao que da um extremo para J . Pode-
mos escrever
y(α, x) = y(0, x) + αη(x) (5.3)
onde η(x) e uma funcao de x que possui
derivada primeira contınua e que obedece a
condicao
η(x1) = η(x2) = 0 (5.4)
Esta condicao e necessaria para que y(α, x) e
y(x) sejam iguais nos pontos inicial e final (que
sao fixos). A situacao e ilustrada na figura
abaixo. Com a nova notacao, a integral J pode
ser considerada funcao do parametro α:
J(α) =
∫ x2
x1
fy(α, x), y′(α, x); x dx (5.5)
Prof. Salviano A. Leao 179
A condicao de que J assume um valor extremo
para α = 0 pode ser escrita como
dJ(α)
dα
∣∣∣∣α=0
= 0 (5.6)
Note que esta condicao deve ser obedecida
qualquer que seja a funcao η(x).
Figura 5.2: Formulacao do problema variaci-
onal. O caminho otimo entre dois pontos, e
aquele o qual J tera um valor extremo.
Exemplo 47 Considere a funcao f = y′2
onde y(x) = x. Adicione a y(x) a funcao
η(x) = x, e obtenha J(α) entre os limites
x = 0 e x = 2π. Mostre que o valor esta-
cionario (extremo) de J(α) ocorre para α = 0.
Solucao:
Podemos escrever
y(x) = x (5.7)
y(α, x) = x+ α senx (5.8)
Note que y(x) = y(α, x) para α = 0. Ob-
serve tambem que η(0) = η(2π) = 0.
y′ =dy(α, x)
dx= 1 + α cosx
f = y′2 = 1 + 2α cosx+ α2cos2x
Figura 5.3: Trajetoria real e a trajetoria ten-
tativa.
J(α) =
∫ 2π
0
(1+2α cosx+α2cos2x)dx = 2π+α2π
A condicao de que J possui um valor esta-
cionario e obtida para
dJ(α)
dα= 2απ = 0
que obviamente e satisfeita para α = 0.
5.3 A equacao de Euler
Para obter uma condicao de extremo para J
vamos desenvolver a derivada
dJ
dα=
d
dα
∫ x2
x1
fy, y′;x dx
Uma vez que os limites de integracao sao fi-
xos podemos trocar a ordem da derivacao (em
relacao a α) com a integracao (em relacao a x).
Assim
dJ
dα=
∫ x2
x1
(∂f
∂y
∂y
∂α+∂f
∂y′∂y′
∂α
)dx
Da equacao (5.11) temos
∂y
∂α= η(x)
Prof. Salviano A. Leao 180
∂y′
∂α=
∂
∂α
∂y
∂x=
∂
∂x
∂y
∂α=dη(x)
dxde forma que
dJ
dα=
∫ x2
x1
(∂f
∂yη(x) +
∂f
∂y′dη(x)
dx
)dx (5.9)
O segundo termo pode ser integrado por par-
tes, onde ∫udv = uv −
∫vdu
Fazendo
u =∂f
∂y′=⇒ du =
d
dx
(∂f
∂y′
)dx
dv =dη(x)
dxdx =⇒ v = η(x)
temos∫ x2
x1
∂f
∂y′dη(x)
dxdx =
∂f
∂y′η(x)
∣∣∣∣x2
x1
−∫ x2
x1
d
dx
(∂f
∂y′η(x)
)dx
O primeiro termo e nulo porque
η(x1) = η(x2) = 0
Assim (5.12) pode ser escrita como
dJ
dα=
∫ x2
x1
(∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)η(x)dx (5.10)
E importante notar que, embora nao esteja
explıcito, a expressao acima depende de α por-
que y e y′ dependem parametricamente de α.
A condicao de estabilidade
dJ
dα
∣∣∣∣α=0
= 0
deve ser satisfeita para qualquer funcao η(x),
de forma que devemos ter
∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′= 0
onde, agora, y e y′ sao funcoes originais, inde-
pendentes de α (fizemos α = 0). A equacao
(5.12) e conhecida como equacao de Euler e
da a condicao sobre y(x) para que J assuma
um valor extremo.
Exemplo 48 Considere uma partıcula
movendo-se em um campo de forca constante
(a gravidade, por exemplo) partindo do re-
pouso do ponto (x1, y1) para o ponto (x2, y2).
Obtenha o caminho atraves do qual a partıcula
vai de um ponto a outro no menor tempo
possıvel.
Solucao:
Considere um sistema de coordenadas tal
que (x1, y1) esta na origem e o compo de forca
aponte ao longo do eixo x. Vamos chamar de g
a aceleracao (constante) da partıcula de forma
que Fx = mg
Figura 5.4: Caminho seguido por uma
partıcula em um campo de forca constante.
Adotando a convencao U(x) = 0 para x = 0,
podemos escrever
U(x) = −mgx
A energia mecanica e dada por
U(x) = T + U =1
2mv2 −mgx
Como nao ha forca dissipativa, a energia
mecanica e conservada. No ponto incial te-
mos T = U = E = 0, de forma que podemos
escrever
1
2mv2 −mgx = 0 =⇒ v =
√2gx
O tempo que a partıcula gasta para ir do ponto
Prof. Salviano A. Leao 181
inicial ao ponto final e
t =
∫ds
v=
∫ √dx2 + dy2
√2gx
=1√2g
∫ x2
x1
√1 + y′2
xdx
onde os limites das duas primeiras integrais
sao (x1, y1) e (x2, y2). Observe que esta inte-
gral tem o formato 5.1. Podemos identificar f
como
f =
√1 + y′2
x
Como∂f
∂y= 0
a equacao de Euler pode ser escrita como
d
dx
∂f
∂y′= 0
Assim∂f
∂y′= cte = 0
Derivando a funcao f em relacao a y′, temos
y′√x(1 + y′2)
= A
Elevando ao quadrado,
y′2
x(1 + y′2)= A2
Isolando y′, temos
y′ =dy
dx=
x√x
A2 − x2=
x√2ax− x2
onde fizemos 1/A2 ≡ 2a. Integrando, temos
y =
∫xdx√
2ax− x2
Esta integral pode ser calculada atraves da se-
guinte mudanca de variavel:
x = a(1− cos θ)
dx = a sen θdθ
√2ax− x2 = a sen θ
Assim.
y =
∫a(1− cos θ)dθ = a(θ − sen θ) + C
A condicao inicial, x = y = 0, nos leva a
C = 0. Portanto, as equacoes parametricas
da curva sao:
x = a(1− cos θ)
y = a(θ − sen θ)
A curva obtida e chamada cicloide e e mos-
trada na figura 5.8 abaixo. A constante a deve
ser ajustada para que a curva passe pelo ponto
(x2, y2).
Figura 5.5: A cicloide.
Exemplo 49 Considere uma superfıcie ge-
rada pela revolucao em torno do eixo y de uma
curva y(x) que passa pelos pontos fixos (x1, y1)
e (x2, y2). Obtenha a equacao da curva tal que
a area da superfıcie gerada pela revolucao seja
um mınimo.
Solucao:
O elemento de area da figura 5.8 acima e
dado por
dA = 2πxds = 2πx√dx2 + dy2
Prof. Salviano A. Leao 182
Figura 5.6: Superfıcie gerada pela revolucao da
funcao y(x) em torno do eixo y.
Assim
A = 2π
∫x√dx2 + dy2
= 2π
∫ x2
x1
x
√1 + y′2
A funcao f e dada por
f = x
√1 + y′2
Como no exemplo anterior,
∂f
∂y= 0 =⇒ d
dx
∂f
∂y′= 0
∂f
∂y′=
xy′√1 + y′2
= a
Isolando y′,
y′ =dy
dx=
a√x2 − a2
Integrando,
y =
∫adx√x2 − a2
A solucao desta integral e
y = a cosh−1(xa
)+ b
que e conhecida como a equacao de uma ca-
tenaria. Pode-se mostar que esta e a curva
na qual uma corda penderia quando amarrada
com os pontos extremos fixos.
5.4 A segunda forma da
equacao de Euler
A equacao de Euler pode ser escrita em uma
outra forma que e conveniente quando f nao
depende explecitamente de x, ou seja, quando
∂f
∂x= 0
Para tal vamos tomar derivada de f , dada por
df
dx=∂f
∂y
dy
dx+∂f
∂y′dy′
dx+∂f
∂x
= y′∂f
∂y+ y′′
∂f
∂y′+∂f
∂x(5.11)
Por outro lado,
d
dx
(y′∂f
∂y′
)= y′
d
dx
∂f
∂y′+ y′′
∂f
∂y′(5.12)
Subtraindo em (5.11) e (5.12), temos
df
dx− d
dx
(y′∂f
∂y′
)=∂f
∂x+ y′
(∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)
O termo entre parenteses e mulo por causa da
equacao de Euler. Se f nao depender expli-
citamente de x, podemos escrever
d
dx
(f − y′ ∂f
∂y′
)= 0
ou
f − y′ ∂f∂y′
= cte
Exemplo 50 Uma geodesia e uma linha que
representa o caminho mais curto entre dois
pontos quando o caminho e restrito a uma su-
perfıcie particular. Obtenha a geodesia sobre
uma esfera.
Solucao:
O elemento de comprimento sobre uma su-
perfıcie esferica de raio R e
ds = R
√dθ2 + sen2θdφ2
Prof. Salviano A. Leao 183
A distancia entre dois pontos 1 e 2 sobre a su-
perfıcie da esfera pode ser escrita como
s = R
∫ 2
1
√sen2θ +
(dθ
dφ
)2
dφ
Assim, f nao depende de φ, e conveniente usar
a segunda forma da equacao de Euler que nos
leva a√sen2θ + θ′2 − θ′ ∂
∂θ′
√sen2θ + θ′2 = cte = a
ou
√sen2θ + θ′2 − θ′2√
sen2θ + θ′2= a
ou ainda
sen2θ = a√
sen2θ + θ′2
Isolando θ′, temos
θ′2 =sen4θ
a2
(1− a2
sen2θ
)
θ′ =dθ
dφ=
sen2θ
a
√1− a2
sen2θ
Integrando.
φ =
∫adθ
sen2
√1− a2
sen2θ
=
∫acsc2θdθ√1− a2csc2θ
O denominador pode ser escrito como
√1− a2csc2θ =
√1− a2(1 + cot2)
=√
(1− a2)− a2cot2θ
Fazendo a substituicao
u = a cot θ =⇒ du = −a csc2 θdθ
temos
φ = −∫
du√(1− a2)− u2
= −sen−1
(u√
1− a2
)+ α
= −sen−1
(a cot θ√1− a2
)+ α
Definindo
β =
√1− a2
a
podemos escrever
φ = −sen−1
(cot θ
β
)+ α
ou
− cot θ = β sen(φ− α)
ou ainda
− cot θ = β cosα senφ− β senα cosφ
Para facilitar a interpretacao deste resultado e
conveniente expressa-lo em termos de coorde-
nadas cartesianas. Para isto, vamos multipli-
car a equacao acima por R sen θ:
β cosαR sen θ senφ−β senαR sen θ cosφ
= −R cos θ
Como α e β sao constantes, podemos definir
β cosα = −A β senα = B
As coordenadas cartesianas de um ponto sobre
a superfıcie da esfera sao dadas por
x = R sen θ cosφ y = R sen θ senφ z = R cos θ
Dessa forma, podemos escrever
Ay +Bx = z
Esta e a equacao de um plano que passa pelo
centro da esfera. Assim, a geodesica e um seg-
mento da curva obtida da intersecao do plano
com a superfıcie da esfera (um arco de circun-
ferencia). Observe que esta intersecao define
dois caminhos extermos:um e o caminho mais
curto (linha solida) e o outro e o caminho lo-
calmente mais longo (linha pontilhada).
Prof. Salviano A. Leao 184
Figura 5.7: Geodesica, trajetoria sobre uma
superfıcie.
5.5 Funcoes com varias
variaveis dependentes
Nos casos mais comuns encontrados em
mecanica, a funcao f e funcao de varias
variaveis dependentes. Suponha, por exemplo,
que
f = fy(x), y′, z(x), z′(x);xEm analogia com a equacao 5.2, podemos es-
crever
y(α, x) = y(0, x) + αη(x)
z(α, x) = z(0, x) + αξ(x)
Seguindo os passos da secao 5.12 chegamos a
dJ
dα=
∫ x2
x1
∑ (∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)η(x)+
+
(∂f
∂z− d
dx
∂f
∂z′
)ξ(x)
dx
Como η(x) r ξ(x) sao indepnedentes e ar-
britrarias, devemos ter
∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′= 0 e
∂f
∂z− d
dx
∂f
∂z′= 0
Em um caso mais geral onde
f = fyi(x), yi′(x);x i = 1, 2, . . . , n
devemos ter uma equacao de Euller para cada
variavel dependente, ou seja,
∂f
∂yi
− d
dx
∂f
∂yi′ = 0 i = 1, 2, . . . , n
5.6 Equacoes de Euler com
condicoes de vınculo
Supnha, por exemplo, que desejamos determi-
nar o caminho mais curto entre dois pontos
sobre uma superfıcie particular. Alem da sen-
tenca de que o caminho deve ser mınimo, te-
mos a condicao de que o caminho deve estar
restrito a superfıcie especificada. Por exemplo,
a condicao de que o caminho deve estar restrito
a superfıcie de uma esfera pode ser escrita, em
coordenadas cartesianas, como
x2 + y2 + z2 −R2 = 0
ou, em coordenadas esfericas, como
r −R = 0
Condicoes restritivas deste tipo sao conhecidas
como equacoes de vınculo.
Considere novamente o caso em que
f = fy(x), y′, z(x), z′(x); x
Supomha que temos uma equacao de vınculo
do tipo
gy, z;x = 0 (5.13)
Assim
∂d
∂α=∂g
∂y
∂y
∂α+∂g
∂z
∂z
∂α= 0
ou∂g
∂yη(x) = −∂g
∂zξ(x)
Observe que, por causa da equacao de vınculo,
η(x) e ξ(x) nao sao independentes. Expres-
Prof. Salviano A. Leao 185
sando ξ(x) em termos de η(x), podemos escre-
ver
dJ
dα=
∫ x2
x1
(∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)−
−(∂f
∂z− d
dx
∂f
∂z′
)∂g/∂y
∂g/∂z
η(x)dx
Agora, como η(x) e uma funcao arbitraria, po-
demos dizer que o termo no interior da chave
e nulo, ou seja,(∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)(∂g
∂y
)−1
=
=
(∂f
∂z− d
dx
∂f
∂z′
) (∂g
∂z
)−1
Em ultima analise os lados esquerdo e direito
da equacao acima sao funcoes de x. Na ver-
dade, sao iguais a mesma funcao de x, a qual
chamaremos −λ(x). Dessa forma, podemos es-
crever
∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′+ λ(x)
∂g
∂y= 0
∂f
∂z− d
dx
∂f
∂z′+ λ(x)
∂g
∂z= 0 (5.14)
Estas duas equacoes mais a equacao de vınculo
5.11 sao suficienters para determinar as tres
funcoes desconhecidas: y(x), z(x) e λ(x). A
funcao λ(x) e chamada multiplicador inde-
terminado de Lagrange.
Em um caso geral onde tivermos n variaveis
dependentes e m equacoes de vınculo, temos
as seguintes equacoes:
∂f
∂yi
− d
dx
∂f
∂yi′ +
∞∑n=1
λj(x)∂gi
∂yi
= 0
gjyi;xonde
i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . ,m
Portanto, temos n + m equacoes para n
variaveis dependentes, yj(x), e m multiplica-
dores de Lagrange, λ(x).
Exemplo 51 Considere um disco que rola
sem deslizar sobre um plano inclinado (figura).
Determine a equacao de vınculo em termos das
coordenadas y e θ.
Figura 5.8: Cilindro rolando sem deslizar sobre
a superfıcie de um plano inclinado.
Solucao:
A relacao entre as coordenadas e
y = Rθ
Assim
g(y, θ) = y −Rθ = 0
∂g
∂y= 1
∂g
∂θ= −R
5.7 A notacao δ
Nesta secao introduziremos uma notacao sim-
plificada para representar uma variacao, que
sera chamada de notacao δ. A equacao 5.11
pode ser escrita como
dJ
dαdα =
∫ (∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)∂y
∂αdαdx
Na nova notacao, ela pode ser expressa como
δJ =
∫ x2
x1
(∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)δydx
Prof. Salviano A. Leao 186
ondedJ
dαdα ≡ δJ
dy
dαdα ≡ δy
Observe que o sımbolo δ indica uma variacao
em relacao ao parametro α, ou seja, e a mu-
danca na funcao, ou a mudanca na integral por
causa da variacao da funcao. Na notacao δ, a
condicao de extremo para a integral J e dada
por
δJ = δ
∫ x2
x1
fy, y′;xdx = 0
Como a variacao indicada por δ e indepen-
dente da integral em x, podemos escrever
δJ =
∫ x2
x1
δfdx =
∫ x2
x1
(∂f
∂yδy +
∂f
∂y′δy′
)dx
Por outro lado,
δy′ = δ
(dy
dx
)=
d
dx(δy)
de forma que
δJ =
∫ x2
x1
(∂f
∂yδy +
∂f
∂y′d
dxδy
)δy
O segundo termo pode ser integrado por par-
tes, como fizemos na secao 5.11. Fazendo isto,
temos
δJ =
∫ x2
x1
(∂f
∂y− d
dx
∂f
∂y′
)δydx
Como a variacaoδy, na funcao y(x), e ar-
bitraria, o termo entre parenteses na integral
deve se nulo. Daı segue a equacao de Euler.
5.8 Problemas
1. Mostre que o caminho mais curto entre
dois pontos em um plano e uma reta.
2. Mostre que o caminho mais curto enter
dois pontos em um espaco tridimensional
e uma linha reta.
3. Mostre que a geodesica sobre a superfıcie
de um cilindro circular reto e um segmento
de uma helice.
4. Resolva novamente o exemplo 49 usando
a segunda forma da equacao de Euler. Es-
colha y como variavel independente.
5. Considere a luz passando de um meio com
ındice de refracao n1 para outro meio com
ındice n2. Use o princıpio de Fermat
que afrima que a luz viaja pelo caminho
atraves do qual o tempo e mınimo para
deduzir a lei da refracao.
6. Reexamine o exemplo 48 e mostre que o
tempo que a partıcula leva para ir de um
ponto inicial (x1, y1) ao ponto mais baixo
do cicloide e dado por π√
ag
independente
do ponto de partida.
Capıtulo 6
Formulacao Lagrangeana da Mecanica
6.1 Introducao
Ate agora temos explorado a mecanica
atraves dos metodos introduzidos por Sir Isaac
Newton (1642-1727), o qual se baseia na
descricao das forcas que atuam no sistema,
sendo portanto uma abordagem vetorial da
mecanica. Uma formulacao alternativa a de
Newton foi inicialmente desenvolvida por Wi-
lhelm von Leibniz (1646-1716) (com quem
Newton se envolveu em uma disputa ardua
sobre quem deveria ter o credito pelo desen-
volvimento do calculo) a qual baseava-se em
operacoes matematicas com quantidades es-
calares que ele chamava de forca viva, que
a menos de um fator 2 e o que conhecemos
como energia cinetica. Leibniz trocava o mo-
mento de Newton pela energia cinetica e a
forca pelo trabalho da forca. Portanto Leibniz
e o fundador do segundo ramo da mecanica
o qual chamamos de mecanica analıtica. O
desenvolvimento deste ramo da mecanica le-
vou mais de um seculo para ser completado, e
ocupou a mente dos mais talentosos cientistas
da epoca. Seguindo Leibniz, progressos com
a nova mecanica foram feitos principalmente
por Johann Bernoulli (1667-1748). Em 1717,
ele estabeleceu o princıpio dos trabalhos virtu-
ais para descrever o equilıbrio estatico dos sis-
temas. Este princıpio foi extendido por Jean
LeRound D’Alembert (1717-1783) para incluir
o movimento dinamico dos sistemas. Este de-
senvolvimento culminou com o trabalho de Jo-
seph Louis Lagrange (1736-1813), o qual usou
princıpio dos trabalhos virtuais e a sua ex-
tensao devido a D’Alembert como fundamen-
tos para a deducao das equacoes da dinamica
do movimento, que em sua homenagem rece-
beu seu nome, e hoje sao conhecidas como
equacoes de Lagrange.
Neste capıtulo vamos apresentar a for-
mulacao lagrangeana da mecanica a qual foi
deduzida por Joseph Louis Lagrange (1736-
1813) a partir do princıpio de D’Alembert.
Esta formulacao nao representa uma nova te-
oria fısica, uma vez que em sua essencia ela
e equivalente as Leis de Newton, mas ela e
muito conveniente na solucao de problemas
onde as forcas de vınculo se fazem presen-
tes. Inicialmente, apresentaremos algumas de-
finicoes fundamentais para o desenvolvimento
do formalismo lagrangeano, e em seguida dis-
cutiremos os vınculos impostos a dinamica do
sistema. Posteriormente, vamos apresentar o
princıpio dos trabalhos virtuais e o princıpio
de D’Alembert. Em seguida, deduziremos as
equacoes de Lagrange a partir deste princıpio
e mostraremos que estas equacoes sao equiva-
lentes as equacoes de Newton.
As leis de movimento de Newton descrevem
a dinamica de um sistema em um referencial
inercial. Uma grande experiencia foi adqui-
187
Prof. Salviano A. Leao 188
rida ao usarmos as leis de Newton para resolver
uma variedade problemas. Se as coordenadas
cartesianas forem usadas e se o sistema nao
estiver submetido a qualquer tipo de vınculo
externo, as equacoes de movimento geralmente
podem ser escritas facilmente, de forma direta.
Entretanto, se uma das condicoes anteriores
nao for satisfeita, entao tanto as equacoes de
movimento quanto as suas solucoes podem fi-
car extremamente complexas, o que em alguns
casos pode inviabilizar a solucao para as mes-
mas. Considere por exemplo, uma partıcula
que tem o seu movimento restrito a superfıcie
de uma esfera, entao, a equacao de movimento
sera o resultado da projecao das equacoes ve-
toriais de Newton sobre a superfıcie da es-
fera. A representacao do vetor aceleracao em
coordenadas esfericas e bastante trabalhosa.
Como exercıcio o estudante devera encontrar
a expressao para a velocidade e a aceleracao
em coordenadas esfericas. Se o movimento
de uma partıcula estiver restrito a uma dada
superfıcie, certas forcas devem existir (estas
sao as forcas de vınculo) para manter o con-
tato da partıcula com a superfıcie especificada.
Para uma partıcula movendo-se sobre uma su-
perfıcie horizontal, a forca de vınculo e sim-
plesmente Fc = −mg. Mas se a partıcula
for uma conta deslizando sobre um fio cur-
vado, a forca de vınculo pode ser muito compli-
cada. De fato, em situacoes particulares pode
ser muito complicado ou ate mesmo impossıvel
de obtermos uma expressao explicita para as
forcas de vınculo. Mas para resolvermos um
problema usando o procedimento de Newton,
devemos conhecer todas as forcas, porque a
quantidade F que aparece na equacao funda-
mental da mecanica newtoniana e a forca total
(forca resultante) atuando sobre o corpo.
Problemas desta natureza e outros, podem
ser simplificados ao usarmos as coordenadas
generalizadas qi (as quais serao definidas na
secao 6.3), para exprimir as equacoes de mo-
vimento. Em termos destas coordenadas gene-
ralizadas podemos escrever as equacoes de mo-
vimento de forma que as mesma sejam igual-
mente factıveis para todas as coordenadas.
Alem disso a introducao das coordenadas ge-
neralizadas tem a vantagem de podermos levar
em conta os vınculos nos sistemas dinamicos.
Em geral ao lidarmos com corpos materiais,
devemos levar em conta os vınculos impos-
tos a dinamica do movimento do sistema. A
existencia dos vınculos introduz duas dificulda-
des na solucao do problema. Primeiro, as coor-
denadas do sistema dinamico estao conectadas
as equacoes de vınculo, logo nem todas serao
independentes. Segundo, as forcas de vınculo
geralmente sao muito mais complexas ou des-
conhecidas. Por exemplo, as forcas exercidas
pelo arame sobre uma conta que desliza so-
bre o arame (ou as paredes que limitam um
gas constituıdo por partıculas) nao sao conhe-
cidas a priori. Elas sao desconhecidas no pro-
blema devem ser obtidas a partir da solucao do
problema. De fato, impor vınculos ao sistema
e simplesmente um outro modo de dizer que
existem forcas presentes no problema que nao
podem ser especificadas diretamente, mas sao
conhecidas em termos dos seus efeitos sobre o
movimento do sistema.
Exemplo 52 Considere o movimento de uma
partıcula sobre a superfıcie de uma esfera como
mostra a figura 6.1.
A descricao deste movimento e complicada
o suficiente. Observe que a aceleracao em co-
ordenadas esfericas e dada por,
~a =(r − rθ2 − rφ2 sen2 θ
)er+
(rθ + 2rθ − rφ2 sen θ cos θ
)eθ+
(rφ sen θ + 2rφ sen θ + 2rθφ cos θ
)eφ
Prof. Salviano A. Leao 189
Figura 6.1: Uma partıcula cujo movimento
esta restrito a superfıcie de uma esfera.
que e uma expressao complicada o suficiente.
Para evitar-se estas dificuldades, foram de-
senvolvidas formulacoes alternativas a for-
mulacao de Newton. Cada uma delas, baseia-
se na ideia de trabalho e energia, e alem disso,
a formulacao de Newton pode ser obtida a par-
tir das mesmas. Cada uma dessas formulacoes
sao expressas em termos das coordenadas ge-
neralizadas.
6.2 Conceitos Fundamen-
tais
Um dos conceitos fundamentais da mecanica
e o conceito de ponto material. Entende-
mos por ponto material, um corpo cujas as
dimensoes podem ser desprezadas ao descre-
vermos o movimento do mesmo (em lugar
do termo ponto material usaremos frequente-
mente o termo partıcula). Esta claro que esta
possibilidade depende das condicoes concretas
de um ou outro problema. Por exemplo, os
planetas podem ser considerados pontos mate-
riais quando estudamos o movimento dos mes-
mos em redor do Sol, mas, naturalmente, o que
nao acontece quando estudamos a sua rotacao
diaria.
O espaco e euclidiano e tridimensional, por-
tanto, um ponto qualquer do espaco pode ser
representado por tres coordenadas cartesianas,
x, y e z em um determinado sistema de re-
ferencia. O sistema de referencia esta ligado
a um objeto real, por exemplo uma estrela
imovel ou um solido, considerado como um
corpo referencial.
Figura 6.2: Centro de nossa Galaxia como um
referencial inercial.
A posicao de um ponto material no espaco
em um dado instante de tempo t e determi-
nada pelo seu raio vetor r, cujas componentes
coincidem com as suas coordenadas cartesianas
x(t), y(t), e z(t), ou ainda, por
r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez. (6.1)
A linha espacial descrita pelas coordenadas do
ponto material, ou seja, dada na forma pa-
rametrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetoria
do ponto. O elemento de comprimento da tra-
jetoria e dado por:
ds =√dx2 + dy2 + dz2. (6.2)
Um ponto material que se move conforme a
(6.1) tem velocidade, definida como
v = r =dr
dt= x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez. (6.3)
Aqui introduzimos a seguinte notacao: a de-
rivada em relacao ao tempo sera representada
por um ponto sobre a letra,
x =dx
dt; x =
d2x
dt2.
Prof. Salviano A. Leao 190
Denomina-se aceleracao do ponto material a =
r = v:
r = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez (6.4)
Agora iremos definir a quantidade de movi-
mento p = mv, que de agora em diante chama-
remos de momentum. A segunda lei de Newton
e
F = p =dp
dt. (6.5)
Para determinarmos a posicao no espaco de
um sistema de N partıculas, e necessario dar
N raios vetores r1, r2, . . . , rN , isto e, 3N coor-
denadas. Geralmente, o numero de grandezas
independentes, que devemos dar para determi-
nar univocamente a posicao de um sistema,
denomina-se numero de graus de liberdade; e
neste caso, este numero e igual a 3N . Es-
tas grandezas nao deverao ser necessariamente
coordenadas cartesianas da partıcula; depen-
dendo das condicoes do problema, pode-se fa-
zer uma escolha mais conveniente das coorde-
nadas, isto e, quaisquer outras coordenadas.
6.3 Coordenadas Genera-
lizadas
Como vimos na secao anterior, a posicao de
um ponto material no espaco determina-se pelo
seu raio vetor r, cujas componentes coincidem
com as suas coordenadas cartesianas (x, y, z).
Entao, o estado de um sistema de N partıculas
e descrito por 3N coordenadas, ou seja, preci-
samos de N raios vetores ri cada um com as
tres coordenadas cartesianas (xi, yi, zi), onde
i = 1, 2, . . . , N . Portanto, para determinar-
mos univocamente a posicao das N partıculas,
precisamos de 3N coordenadas independentes.
As coordenadas que descrevem um sistema nao
necessariamente tem que ser coordenadas car-
tesianas. Muitas vezes outras coordenadas sao
mais convenientes para descrevermos o movi-
mento do sistema. Um conjunto qualquer de
parametros ou quantidades podem ser usadas
para especificar a configuracao ou estado do
sistema, e a um conjunto qualquer de coorde-
nadas como este chamamos de coordenadas ge-
neralizadas, as quais serao representadas por:
qi, i = 1, 2, . . . , 3N (6.6)
Estas coordenadas generalizadas podem ser
quaisquer quantidades que variem com o
tempo ao observarmos o movimento do sis-
tema, e elas nao necessariamente precisam ter
um significado geometrico. Em determinadas
circunstancias elas ate podem ser uma corrente
eletrica, uma velocidade, etc.
Devemos ressaltar que as coordenadas gene-
ralizadas, nao sao um sistema de coordenadas
generalizado e que o numero de graus de liber-
dade sera independente da escolha das coorde-
nadas generalizadas.
Um sistema com 3N grandezas quaisquer
q1, q2, . . . , q3N , que caracterizam completa-
mente a posicao do sistema (com 3N graus
de liberdade), denominam-se coordenadas ge-
neralizadas qi e as suas derivadas em relacao
ao tempo qi, denominam-se velocidades gene-
ralizadas do mesmo, ou seja, a derivada de qi
em relacao ao tempo t
qi =dqidt
(6.7)
denomina-se velocidade generalizada.
Varios conjuntos de coordenadas podem ser
usados para especificar a configuracao de um
dado sistema. Estes conjuntos nao necessari-
amente terao o mesmo numero de coordena-
das e nem o mesmo numero de vınculos. Po-
demos obter um conjunto de coordenadas a
partir de um outro por meio de uma trans-
formacao. Agora considere um sistema de N
Prof. Salviano A. Leao 191
partıculas que e especificado pelas 3N coorde-
nadas cartesianas x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN de
suas partıculas, ou por qualquer conjunto de
3N coordenadas generalizadas q1, q2, . . . , q3N .
Como, para cada configuracao do sistema, as
coordenadas generalizadas devem ter um con-
junto definido de valores, e as coordenadas
q1, q2, . . . , q3N devem ser uma funcao das coor-
denadas cartesianas, e possivelmente, tambem
do tempo no caso de um sistema de coordena-
das em movimento, entao as equacoes de trans-
formacao entre um sistema de coordenadas e o
outro sao da forma:
qi = qi (x1, y1, . . . , zN ; t)
dqi =3N∑j=1
∂qidxj
dxj +∂qidtdt
i = 1, 2, . . . , 3N.
(6.8)
ou,
rj = rj (q1, q2, . . . , q3N ; t)
xk = xk (q1, q2, . . . , q3N ; t)
dxk =3N∑i=1
∂xk
dqidqi +
∂xk
dtdt
j = 1, 2, . . . , N.
k = 1, 2, . . . , 3N.
(6.9)
Caso as equacoes (6.9) sejam conhecidas, pode-
se obter q1, q2, . . . , q3N para determinarmos as
equacoes (6.8) e vice-versa.
A condicao matematica para que esta
solucao seja (teoricamente) possıvel e que o
determinante do jacobiano das eqs. (6.8) seja
diferente de zero em todos os pontos, ou em
quase todos os pontos:
J =∂(q1, q2, . . . , q3N , t)
∂(x1, y1, . . . , zN , t)6= 0 (6.10)
J =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂q1
∂x1· · · ∂q1
∂zN...
. . ....
∂q3N
∂x1· · · ∂q3N
∂zN
∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0. (6.11)
No caso desta desigualdade nao ser valida,
entao as eqs. (6.8) nao definem um conjunto
de coordenadas generalizadas. Praticamente,
em todos os caso de interesse, ficara evidente, a
partir das definicoes geometricas ou fısicas das
coordenadas generalizadas, se elas sao ou nao
um conjunto legıtimo de coordenadas. Logo,
nao sera preciso aplicar o teste acima para o
sistema de coordenadas escolhido.
6.4 Graus de Liberdade
Para determinar a posicao no espaco de um
sistema deN pontos materiais, e necessario dar
N raios vetores, isto e, 3N coordenadas. Geral-
mente, o numero de grandezas independentes,
que devem ser dados para se determinar univo-
camente a posicao de um sistema, denomina-
se numero de graus de liberdade do sistema; e
neste caso, este numero e igual a 3N . Estas
grandezas nao deverao ser necessariamente co-
ordenadas cartesianas do ponto; dependendo
das condicoes do problema, poderao ser feitas
escolhas mais convenientes, isto e, de quaisquer
outras coordenadas.
Figura 6.3: Sistema constituıdo por N
partıculas, se movimentando livremente no
espaco.
Uma das caracterısticas importantes de um
dado sistema mecanico e o seu numero de graus
Prof. Salviano A. Leao 192
de liberdade, pois ele e igual o numero de co-
ordenadas independentes que devem ser es-
pecificadas para se definir de maneira unica
a configuracao (ou estado) do sistema. Para
um sistema de N partıculas que nao estao
sujeitas a nenhum tipo de vınculo, precisa-
mos de 3N coordenadas independentes qi (i =
1, 2, . . . , 3N) para descrever esta configuracao
completamente. Portanto, o sistema tem 3N
graus de liberdade. Entretanto, se existem m
vınculos impostos sobre o sistema, o numero
de coordenadas independentes do sistema fica
reduzido a s = 3N − m, e neste caso, dize-
mos que o sistema tem s = 3N −m graus de
liberdade.
Um conjunto de n coordenadas generaliza-
das independentes cujo o numero e igual ao
numero de graus de liberdade do sistema, e que
nao esta sendo restringido por vınculos, e cha-
mado de um conjunto proprio de coordenadas
generalizadas.
Exemplo 53 Determine o numero de graus
de liberdade em cada um dos seguintes casos:
(a) uma partıcula movendo-se em uma dada
curva espacial; (b) cinco partıculas movendo-se
livremente em um plano; (c) cinco partıculas
movendo-se livremente no espaco; (d) duas
partıculas ligadas entre si por uma haste rıgida
movendo-se livremente em um plano.
Solucao:
(a) A curva pode ser descrita pelas equacoes
parametricas x = x(s), y = y(s), z = z(s)
onde s e o parametro. Entao, a posicao de
uma partıcula sobre a curva e determinada pela
especificacao de uma coordenada e, assim, ha
um grau de liberdade.
(b) Cada partıcula requer duas coordenadas,
para especificar sua posicao no plano. As-
sim, 5 · 2 = 10 coordenadas sao necessarias
para especificar as posicoes de todas as cinco
Figura 6.4: Partıcula movendo-se sobre uma
curva no espaco.
partıculas, isto e, o sistema tem 10 graus de
liberdade.
Figura 6.5: Cinco partıcula movendo-se em um
plano.
(c) Como cada partıcula requer tres coorde-
nadas para especificar a sua posicao, portanto,
o sistema tem 5 · 3 = 15 graus de liberdade.
Figura 6.6: Cinco partıcula movendo-se livre-
mente no espaco.
(d) Solucao: Metodo 1 As coordenadas
de suas partıculas podem ser expressas por
(x1, y1), (x2, y2), isto e, um total de 4 coordena-
das. Entretanto, como a distancia entre estes
pontos e uma constante a (o comprimento de
uma barra rıgida) tem-se que (x1−x2)2 +(y1−
Prof. Salviano A. Leao 193
Figura 6.7: Duas partıcula ligadas por uma
haste rıgida movendo-se livremente em um
plano.
y2)2 = a2 e, assim, uma das coordenadas pode
ser expressa em funcao das outras. Portanto,
ha 4− 1 = 3 graus de liberdade.
Solucao: Metodo 2
O movimento e completamente descrito se
forem dadas duas coordenadas do centro de
massa e o angulo feito entre a haste e uma
direcao fixa. Assim, ha 2 + 1 = 3 graus de
liberdade.
Exemplo 54 Ache o numero de graus de li-
berdade de um corpo rıgido que: (a) possa
mover-se livremente no espaco tridimensional,
e (b) que tenha um ponto fixo no qual possa
mover-se no espaco em torno deste ponto.
(a) Solucao: Metodo l
Figura 6.8: Corpo rıgido movendo-se livre-
mente no espaco.
Se 3 pontos P1, P2 e P3 nao-colineares de um
corpo rıgido sao fixos no espaco, entao o corpo
rıgido tambem esta fixo no espaco. Considere
que as coordenadas destes pontos tenham as
seguintes coordenadas cartesianas (x1, y1, z1),
(x2, y2, z2), (x3, y3, z3), respectivamente, com
um total de 9 coordenadas. Como o corpo e
rıgido a distancia entre dois pontos quaisquer
mantem-se, portanto as relacoes
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)
2 + (z1 − z2)2 = C12
(x2 − x3)2 + (y2 − y3)
2 + (z2 − z3)2 = C23
(x3 − x1)2 + (y3 − y1)
2 + (z3 − z1)2 = C31
devem sao mantidas. Aqui Cij, e o quadrado
da distancia entre os pontos Pi e Pj, e a mesma
se mantem constante. Assim, tres coordenadas
podem ser expressas em funcao das 6 restantes.
Portanto, sao necessarias 6 coordenadas inde-
pendentes para descrever o movimento, isto e,
ha seis graus de liberdade.
(a) Solucao: Metodo 2
Para fixar um ponto do corpo rıgido, precisa-
se de 3 coordenadas.
Um eixo passando por este ponto estara fixo,
se forem especificadas duas razoes dos cossenos
diretores deste eixo. Uma rotacao em torno
do eixo pode ser descrita por uma coordenada
angular. O numero total de coordenadas ne-
cessarias, isto e, o numero de graus de liber-
dade e 3 + 2 + 1 = 6.
Figura 6.9: Corpo rıgido movendo-se em torno
de um ponto P fixo.
(b) O movimento e completamente especi-
ficado se forem conhecidas as coordenadas de
dois pontos, sejam eles (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2),
onde o ponto fixo e considerado como a origem
Prof. Salviano A. Leao 194
do sistema de coordenadas. Mas, como o corpo
e rıgido, devemos ter que:
x21 + y2
1 + z21 = C1
x22 + y2
2 + z22 = C2
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 + (z2 − z1)2 = C21
onde, C1, C2 e C21 sao constantes. Da ultima
equacao acima tres coordenadas podem ser ex-
pressas em termos das outras 3 coordenadas
restantes. Assim, o sistema tem tres graus de
liberdade.
6.5 Espaco de Fase
Na interpretacao geometrica de um
fenomeno mecanico o conceito de espaco
de fase e muito util. Ele e um espaco de
2n dimensoes, cujos eixos de coordenadas
sao: n-eixos das coordenadas generalizadas
qi (i = 1, . . . , n) e n-eixos dos momenta1
pi (i = 1, . . . , n) do sistema dado. Cada
ponto deste espaco corresponde a um estado
mecanico do sistema definido. Quando o
sistema esta em movimento, o ponto repre-
sentativo do espaco de fase realiza uma curva
chamada de trajetoria de fase.
Exemplo 55 Considere o movimento de um
oscilador harmonico simples. A sua energia
mecanica e constante e pode ser expressa como,
E =p2
2m+
1
2kx2,
a qual ainda pode ser reescrita como,
p2
2mE+
1
2Ekx2 = 1,
que e a equacao de uma elipse com cujos eixos
sao dados por,
√2mE
√2E
k,
1O momenta e o plural de momentum no latim.
Portanto, o seu espaco de fase sera elipses.
Observe que as trajetorias do espaco de fase
nunca se cruzam.
Figura 6.10: Espaco de fase de um oscilador
harmonico simples.
6.6 Espaco de Confi-
guracoes
O estado de um sistema composto de N
partıculas sobre a acao de m vınculos co-
nectando algumas das 3N coordenadas car-
tesianas e completamente determinado por
n = 3N − m coordenadas generalizadas.
Entao a configuracao de um sistema qual-
quer e completamente especificada pelos valo-
res de n coordenadas generalizadas indepen-
dentes q1, q2, . . . , qn. Portanto, e conveniente
pensarmos que este numero n, sao as coorde-
nadas de um unico ponto em um espaco n-
dimensional em que as coordenadas generaliza-
das qi formam n-eixos de coordenadas ortogo-
nais entre-si, conforme ilustrado na figura 6.11.
Este espaco n-dimensional e conhecido como o
espaco de configuracoes.
Neste espaco um vetor q partindo da origem
ate um dado ponto P que representa a con-
figuracao do sistema naquele instante. Este
vetor q tem as n correspondentes coordena-
das generalizadas qi como suas componentes
Prof. Salviano A. Leao 195
Figura 6.11: Representacao do espaco de con-
figuracoes com n dimensoes para um sistema
com n graus de liberdade.
em um espaco n-dimensional de coordenadas
cartesianas. A evolucao do sistema no tempo
e dada por uma curva (a trajetoria do movi-
mento) no seu espaco configuracional. Cada
ponto sobre a curva representa toda a confi-
guracao do sistema em um dado instante de
tempo. Como as coordenadas generalizadas
nao sao necessariamente as coordenadas da
posicao, o espaco configuracional nao esta ne-
cessariamente vinculado ao espaco fısico tri-
dimensional, e a trajetoria do movimento no
espaco das configuracoes nao necessariamente
se assemelha com a trajetoria do espaco da
fısico da partıcula.
Exemplo 56 Represente a trajetoria no
espaco de configuracao de um sistema cons-
tituıdo por tres partıculas, cada uma se
movendo em uma direcao perpendicular uma
da outra, formando assim um sistema de eixos
cartesianos.
Solucao: O ponto no espaco que representa
a posicao de cada uma das partıculas e um es-
tado do sistema ou uma configuracao. Como
temos somente tres partıculas e cada uma so
tem um grau de liberdade, entao nosso espaco
de configuracoes tera tres dimensoes. Na fi-
gura 6.12 mostramos a trajetoria do sistema
neste espaco de configuracoes.
Figura 6.12: Trajetoria do estado do sistema
constituıdo por tres partıculas no espaco de
configuracao.
6.7 Vınculos
Quando o movimento de um sistema
mecanico esta de alguma forma restrito a uma
regiao qualquer do espaco, ou seja, nao esta
livre para acessar qualquer posicao do espaco,
dizemos que o movimento esta restrito, ou que
ele esta sujeito algum tipo de vınculo.
Sao restricoes imposta as possıveis confi-
guracao do sistema, restringindo o acesso do
sistema a determinados estados, a determina-
das posicoes e velocidades. Devemos ressal-
tar que os vınculos sao restricoes de natureza
geometricas ou cinematicas impostas ao sis-
tema. Portanto, tais restricoes antecedem a
dinamica e precisam ser levadas em contas na
formulacao das equacoes de movimento do sis-
tema. Restricoes de natureza dinamica (de-
correntes das equacoes de movimento) nao sao
vınculos. Por exemplo, a segunda lei de New-
ton restrınge o movimento de uma partıcula
sujeita a acao de uma forca central a um plano,
mas isto nao caracteriza um vınculo.
Os vınculos podem ser conhecidos em ter-
mos dos seus efeitos sobre o movimento do sis-
tema, entretanto, suas forcas nao necessaria-
Prof. Salviano A. Leao 196
mente sao conhecidas. A seguir apresentare-
mos alguns exemplos tıpicos de vınculos
1. Corpo Rıgido: A distancia entre dois
pontos quaisquer do corpo deve ser cons-
tante (conforme mostra a figura 6.13
abaixo), o que e expresso por
|ri − rj| = |rij| = Cte.
Figura 6.13: Corpo rıgido. A distancia entre
dois pontos e constante.
2. Um colar de contas: As contas sao obri-
gadas a moverem-se sobre um fio, como
mostra a figura 6.14 abaixo.
Figura 6.14: Um colar de contas, no qual as
contas so podem mover-se somente sobre o fio
do colar.
3. Moleculas de um gas: As moleculas
do gas encontram-se presas no interior
de uma caixa, como mostra a figura 6.15
abaixo.
Figura 6.15: Moleculas de um gas no interior
de uma caixa.
4. Partıcula sobre a superfıcie de
uma esfera: Considere uma partıcula
movimentando-se sobre a superfıcie de
uma esfera, de acordo com a figura 6.16
abaixo.
Figura 6.16: Partıcula sobre a superfıcie de
uma esfera.
Ao lidarmos com a dinamica de um sistema
de partıculas, podemos pensar ingenuamente
que todos os problemas da mecanica se redu-
zem a solucao do seguinte conjunto de equacoes
diferenciais:
miri = F(e)i +
N∑
j 6=i
Fij (6.12)
Prof. Salviano A. Leao 197
Uma mera substituicao das forcas que atuam
sobre as partıculas que compoem o sistema,
torna o problema direto no sentido em que
se tem de resolver um conjunto de equacoes
acopla-das ou nao. Entretanto a dificuldade
em obtermos uma solucao para o sistema,
cresce com o numero de partıculas que o
compoem. Portanto, unicamente do ponto de
vista fısico este e um problema muito simpli-
ficado. Por exemplo, pode ser necessario le-
var em conta os vınculos que limitam o movi-
mento do sistema, o que ira aumentar o grau
de dificuldade do problema. Ja encontramos
alguns tipos de sistemas envolvendo vınculos,
os corpos rıgidos, onde os vınculos sobre o mo-
vimento mantem a distancia entre as partıculas
rij constante. Outros exemplos de sistemas
com vınculos podem ser facilmente encontra-
dos. As contas de um abaco tem o seu movi-
mento restrito ao fio de suporte. As moleculas
de um gas dentro de um recipiente, tem o seu
movimento restrito ao interior do recipiente.
Uma partıcula colocada sobre a superfıcie de
uma esfera tera o seu movimento restrito a su-
perfıcie da esfera ou a qualquer ponto da regiao
externa da esfera.
Para estabelecermos uma abordagem aos
problemas sujeitos a vınculos, iremos classifica-
los na seguinte forma:
Vınculos Holonomos: Se as condicoes im-
postas pelos vınculos ao movimento do
sistema puderem ser expressas em uma
forma funcional que envolve as coorde-
nadas das partıculas e possivelmente o
tempo de forma explicita, tendo a seguinte
forma
f(r1, r2, r3, . . . , rN , t) = 0, (6.13)
entao os vınculos sao ditos serem ho-
lonomicos. Os vınculos holonomos defi-
nem as configuracoes acessıveis, isto e, as
que sao compatıveis com as restricoes im-
postas ao sistema. Vınculos holonomos
restrıngem as configuracoes possıveis, e
qualquer configuracao compatıvel com os
vınculos corresponde a um conjunto de
coordenadas generalizadas conveniente-
mente escolhidas. A seguir apresentamos
alguns exemplos de vınculos holonomos.
1. Corpo rıgido: Este talvez seja o
exemplo mais simples de um vınculo
holonomico. Considere um corpo
rıgido, onde os vınculos sao expres-
sos por equacoes da forma
(ri − rj)2 − C2
ij = 0. (6.14)
2. Partıcula movendo-se ao longo
de uma curva: Se a curva tiver
a forma de uma parabola, entao a
partıcula tera o seu movimento res-
tringido pela equacao de vınculo,
y − ax2 − bx− c = 0.
Figura 6.17: Partıcula movendo-se ao longo de
uma parabola.
3. Movimento sobre a superfıcie de
um cone: Considere uma partıcula
que se move sobre a superfıcie interna
de um cone, neste caso ela tera o seu
Prof. Salviano A. Leao 198
movimento restrito por uma equacao
de vınculo da forma
z − r cotgα = 0. (6.15)
Figura 6.18: Partıcula movendo-se sobre a su-
perfıcie de um cone.
4. Uma curva que se move: Consi-
deremos uma partıcula que se move
sobre uma curva parabolica e que
esta curva esta movendo-se com o
passar do tempo, entao a equacao de
vınculo tera a seguinte forma
y − a(t)x2 − b(t)x− c(t) = 0.
Os vınculos holonomos tambem sao cha-
mados de vınculos integraveis. O termo
integravel e usado devido ao fato de que a
equacao de vınculo
fi(q1, q2, q3, . . . , qn, t) = 0, i = 1, 2, . . . ,m
(6.16)
Figura 6.19: Partıculas movendo-se ao longo
de uma parabola que tambem esta se movendo.
e equivalente a seguinte equacao diferen-
cial (aqui m e o numero de vınculos ao
qual o sistema esta submetido),
n∑
k=1
∂fi
∂qkdqk = 0, (6.17)
a qual e prontamente integravel. Por
exemplo, considere a equacao diferencial
de uma conta deslizando sobre um fio que
foi entortado na forma de uma arco de cir-
cunferencia de raio R, assim a equacao di-
ferencial da equacao de vınculo da conta
x2 + y2 −R2 = 0 e dada por
xdx+ ydy = 0. (6.18)
O resultado acima mostra que as coorde-
nadas x e y podem ser variadas indepen-
dentemente, portanto ao integrarmos esta
expressao obtemos que x2 + y2 − R2 = 0,
como era esperado.
Um sistema dinamico no qual todas as
equacoes de vınculo podem ser escritas na
forma da eq. (6.13) e chamado de sistema
holonomico.
Vınculos Nao-Holonomos: Todo e qual-
quer vınculo que nao possa ser expresso
Prof. Salviano A. Leao 199
na forma da equacao (6.13) e chamado
de vınculo nao-holonomo. Devemos res-
saltar, que os sistemas mecanicos nao-
holonomos sao aqueles sujeitos a pelo me-
nos um vınculo nao-holonomo. Vınculos
deste tipo geralmente podem ser expressos
por meio de uma desigualdade, ou seja,
atraves de uma inequacao. Frequente-
mente encontramos problemas, principal-
mente na dinamica do corpo rıgido, cujos
vınculos sao representados por equacoes
envolvendo velocidades, isto e, equacoes
diferenciais da forma
f(r1, r2, . . . , rN , r1, r2, . . . , rN , t) = 0,
(6.19)
a qual representa um vınculo nao-
holonomo.
Os vınculos nao-holonomos, ou nao-
integraveis, restrıngem os deslocamentos
possıveis do sistema, mas nao impoem
quaisquer limitacoes as configuracoes
possıveis o que nao elimina nenhum
grau de liberdade do sistema, de modo
que a priori todas as configuracoes sao
acessıveis.
Em geral, um sistema mecanico com k
vınculos, os quais podem ser escritos por
meio de expressoes diferenciaveis nao-
integraveis da forma
3N∑j=1
aijdqi + aitdt = 0, i = 1, . . . , k
(6.20)
sao vınculos nao-holonomos. Aqui os co-
eficientes aij e ait, sao em geral, funcoes
das coordenadas q e do tempo t. Tambem
podemos expressar estes vınculos em uma
outra forma equivalente,
3N∑j=1
aij qi + ait = 0, i = 1, . . . , k
(6.21)
na qual fica evidente que os mesmos de-
pendem linearmente das velocidades.
Nao podemos integrar estas equacoes di-
ferenciais para obtermos funcoes da forma
dada na eq. (6.13). Nem e possıvel encon-
tramos um conjunto de coordenadas ge-
neralizadas independentes. Por isso, os
sistemas mecanicos nao-holonomicos sao
sempre descritos por mais coordenadas do
que aquelas fornecidas pelo numero de
graus de liberdade do sistema. A seguir
apresentaremos alguns exemplo mais sim-
ples de vınculos nao-holonomicos.
1. Gas em um recipiente: Considere
as moleculas de um gas que estao no
interior de um recipiente, conforme
a figura 6.20 abaixo. As paredes do
recipiente irao limitar as regioes do
espaco que as moleculas do gas po-
dem ter acesso. Neste caso, o vınculo
nao ira alterar o numero de graus de
liberdade do sistema. As equacoes de
vınculos podem ser expressas como,
Figura 6.20: Moleculas de um gas no interior
de uma caixa.
0 6 x 6 a
0 6 y 6 a
0 6 z 6 a
Aqui o recipiente que contem o gas e
uma caixa quadrada de lado a.
Prof. Salviano A. Leao 200
2. Partıcula sobre a superfıcie de
uma esfera: Consideremos uma
partıcula sobre a superfıcie de uma
esfera solida. Neste caso o vınculo
ira restringir uma regiao do espaco a
qual a partıcula nao pode ter acesso,
e esta condicao pode ser expressa
como
Figura 6.21: Partıcula sobre a superfıcie de
uma esfera.
r2 − a2 ≥ 0. (6.22)
onde a e o raio da esfera. Por-
tanto, em um campo gravitacional
uma partıcula colocada no topo da
esfera ira deslizar para a parte de
baixo da superfıcie da esfera, ate
eventualmente abandona-la.
3. Uma partıcula cujo o movimento esta
restrito ao longo de uma superfıcie
qualquer, cujas as equacoes que de-
finem a curva da superfıcie atuam
como as equacoes de vınculo. Este
tipo de movimento constitui uma
classe de exemplos obvios de vınculos
nao-holonomos.
Os vınculos ainda sao classificados de acordo
com a dependencia de suas equacoes de vınculo
com o tempo, da seguinte forma:
Vınculos Escleronomos: Sao aqueles cujas
as equacoes de vınculo nao possuem uma
dependencia explicita com o tempo.
Considere por exemplo um pendulo cujo
o comprimento da corda que mantem a
bola oscilando e constante, como mostra
a figura 6.22 abaixo,
Figura 6.22: Pendulo de comprimento l osci-
lando.
Neste caso, a equacao de vınculo e dada
por,
x2 + y2 = l2.
Um outro exemplo, e o de uma conta desli-
zando sobre um arame entortado na forma
de uma curva fixa, e o arame nao esta se
movendo.
Vınculos Rheonomos: Sao aqueles cujas
equacoes de vınculo possuem uma de-
pendencia explicita com o tempo.
Considere por exemplo um pendulo cujo o
comprimento da corda que mantem a bola
oscilando e variavel, como mostra a figura
6.23 abaixo,
Neste caso, a equacao de vınculo e dada
por,
x2 + y2 = l2(t).
Um outro exemplo, e o de uma conta
deslizando sobre um arame entortado na
Prof. Salviano A. Leao 201
Figura 6.23: Pendulo de comprimento l
variavel com o tempo oscilando.
forma de uma curva fixa e o arame esta
se movendo, mantendo a forma da curva
(conforme a Fig. 6.19). Note que se
o arame esta se movendo, entao a de-
pendencia do vınculo com o tempo en-
trara somente atraves das coordenadas do
arame curvado e nao nas coordenadas da
conta, em relacao ao sistema de referencia
na conta, no qual o vınculo e escleronomo.
6.8 Dificuldades Introdu-
zidas Pelos Vınculos
Os vınculos introduzem basicamente dois ti-
pos de dificuldades na solucao de um problema
mecanico, que sao as seguintes:
1. As coordenadas ri de uma partıcula nao
sao todas independentes umas das outras,
pois as mesmas estao relacionadas atraves
das equacoes de vınculo. Portanto as
equacoes de movimento de uma partıcula
Fi = pi = F(ext)i +
∑
j 6=i
Fij (6.23)
nao sao todas independentes.
2. As forcas de vınculo, por exemplo, a forca
que o fio exerce sobre a conta ou que as
paredes do recipiente exercem sobre as
moleculas do gas, nao sao todas conheci-
das a priori. Elas sao incognitas do pro-
blema e precisam ser obtidas a partir da
solucao do problema. De fato, ao impor-
mos vınculos ao movimento de um sis-
tema e simplesmente uma outra maneira
de dizermos que existem forcas presentes
no problema as quais nao podem ser es-
pecificadas diretamente, mas que nos as
conhecemos atraves dos seus efeitos sobre
o movimento do sistema.
A seguir iremos fazer uma analise de como
podemos superar ou contornar as dificuldades
impostas pelos vınculos.
6.8.1 Vınculos e as coordenadas
generalizadas
No caso dos vınculos holonomos, a primeira
dificuldade pode ser resolvida pela introducao
das coordenadas generalizadas. Embora, im-
plicitamente ainda estaremos pensando em ter-
mos das coordenadas cartesianas.
Considere um sistema de N partıculas,
movendo-se livremente sem nenhum tipo de
restricao, neste caso o sistema tera 3N coor-
denadas independentes ou 3N graus de liber-
dade. No diagrama 6.24 abaixo sintetizamos
esta afirmacao.
Se existirem vınculos holonomos, expressos
atraves de k equacoes de vınculo na forma
da equacao (6.13), entao podemos usar estas
equacoes para eliminarmos k das 3N coordena-
das que descrevem a configuracao do sistema.
Desta forma, o problema se reduz a um sistema
com 3N − k coordenadas independentes, neste
caso dizemos que o este sistema tem 3N − k
Prof. Salviano A. Leao 202
Figura 6.24: Sistema de N partıculas sem
vınculos e o numero de graus de liberdade.
graus de liberdade. No diagrama 6.25 abaixo
sintetizamos esta afirmacao.
Figura 6.25: Sistema de N partıculas com k
vınculos e o numero de graus de liberdade.
Usar as equacoes de vınculo para eliminar as
coordenadas dependentes das equacoes de mo-
vimento e um procedimento que envolve uma
grande dificuldade algebrica, a qual cresce com
o numero de coordenadas dependentes, por
isso, esta e uma abordagem raramente usada.
Geralmente esta dificuldade e superada pela in-
troducao de um novo conjunto de coordenadas
generalizadas independentes.
Entao para eliminar as coordenadas depen-
dentes das equacoes de movimento, introduz-
se 3N − k novas coordenadas generalizadas
independentes de variaveis q1, q2, . . . , q3N−k as
quais podem ser expressas em termos das
velhas coordenadas r1, r2, . . . , rN , atraves de
equacoes da forma
r1 = r1 (q1, q2, . . . , q3N−k, t)... (6.24)
rN = rN (q1, q2, . . . , q3N−k, t)
as quais contem implicitamente os vınculos.
Estas sao as equacoes de transformacao do con-
junto de coordenadas rj para o conjunto de co-
ordenadas qj, ou alternativamente as equacoes
(6.24) podem ser consideradas como uma re-
presentacao parametrica das coordenadas rj.
Assume-se que sempre podemos fazer uma
transformacao inversa do conjunto de coorde-
nadas qj para o conjunto de coordenadas rj,
isto e, as equacoes (6.24) combinadas com as
k equacoes de vınculo podem ser invertidas
para obtermos qualquer coordenada qi como
uma funcao do conjunto de coordenadas rj e
do tempo t.
Geralmente as coordenadas generalizadas
qi, diferentemente das coordenadas cartesia-
nas nao irao se dividir em grupos de tres que
podem ser associadas para juntas formarem
um vetor. Portanto, no caso de um movi-
mento restrito a superfıcie de uma esfera, os
dois angulos que expressam a posicao na su-
perfıcie da esfera, a latitude e a longitude, sao
obviamente possıveis coordenadas generaliza-
das para a descricao deste movimento. Ja no
caso de um pendulo duplo, movimentando-se
em um plano (duas partıculas ligadas por um
fio inextensıvel e de massa desprezıveis, ligados
por roldanas de massa desprezıveis, conforme
figura 6.26 abaixo), uma escolha satisfatoria
para as coordenadas generalizadas seria os dois
angulos θ1, θ2, (conforme a figura 6.26).
As coordenadas generalizadas, no sentido de
outras coordenadas do que as cartesianas, mui-
tas vezes tambem podem ser muito uteis em
sistemas sem vınculos. Portanto, em proble-
mas de uma partıcula movendo em um campo
de forca central externo V = V (r), nao ha
vınculos envolvidos, mas claramente e mais
conveniente usarmos coordenadas esfericas ou
polares em vez de coordenadas cartesianas.
Entretanto, nao devemos pensar nas coordena-
Prof. Salviano A. Leao 203
Figura 6.26: Pendulo duplo.
das generalizadas como um sistema convencio-
nal de coordenadas ortogonais para a posicao.
Qualquer tipo de quantidade pode ser usada
como uma coordenada generalizada. Portanto,
as amplitudes de uma expansao em serie de
Fourier dos rj podem ser usadas como coor-
denadas generalizadas, ou poderia ser conve-
niente usarmos quantidades com dimensoes de
energia ou ate mesmo momentum angular.
No caso dos vınculos nao-holonomos, as
equacoes de vınculo nao podem ser usadas para
eliminar a dependencia extra das coordena-
das. Neste caso, entendemos que o numero de
graus de liberdade do sistema sera o mesmo
do sistema sem os vınculos nao-holonomos,
pois como foi visto ele nao restrınge o acesso
as configuracoes do sistema. Convem ressal-
tar que esta nao e uma questao bem defi-
nida nos livros textos tradicionais. Embora
as equacoes de vınculo contenham explicita-
mente as coordenadas generalizadas, vınculos
nao-integraveis nao restrıngem de modo algum
as configuracoes do sistema. Em outras pa-
lavras, todas as configuracoes sao acessıveis.
Como nao ha um modo geral de tratarmos
os sistemas nao-holonomos, cada problema de-
vera ser considerado separadamente.
Um exemplo de um vınculo nao-holonomo e
o de um objeto rolando sobre uma superfıcie
rugosa sem deslizamento como ilustrado na fi-
gura 6.28. As coordenadas usadas para des-
crever o sistema, geralmente envolvem 2 co-
ordenadas angulares para especificar a ori-
entacao do corpo e mais um conjunto de 3
coordenadas para descrever a localizacao do
ponto de contato do objeto com a superfıcie,
o que da um total de 5 coordenadas. Como o
corpo esta restrito a se mover sobre uma su-
perfıcie entao a distancia do centro de massa
do corpo a superfıcie e fixa, e este e um vınculo
holonomo. O vınculo imposto pela condicao de
rolamento conecta estes dois conjuntos de co-
ordenadas; eles nao sao independentes. Uma
mudanca na posicao do ponto de contato ine-
vitavelmente significara na mudanca de sua
orientacao. Ainda que nao possamos reduzir
o numero de coordenadas, a condicao para o
rolamento nao e expressa como uma equacao
entre as coordenadas, na forma da equacao
(6.13). Em vez disso, ela e uma condicao im-
posta sobre as velocidades (isto e, o ponto de
contato e estacionario), uma condicao diferen-
cial que pode ser dada em uma forma integrada
somente apos termos resolvido o problema.
Como exemplo de restricoes sobre as velo-
cidades, considere um cilindro de raio a, ro-
lando e deslizando para baixo sobre um plano
inclinado, com o seu eixo sempre na horizon-
tal. Este movimento pode ser caracterizado
por duas coordenadas S e θ, como e mostrado
na figura 6.27 abaixo. A coordenada S mede
a distancia em que o cilindro se moveu sobre
o plano, e a coordenada θ e o angulo que um
raio fixo no cilindro girou em relacao ao ponto
de contato com o plano.
Suponha que o cilindro rola sem deslizar.
Neste caso, as velocidades S e θ devem estar
Prof. Salviano A. Leao 204
Figura 6.27: Cilindro de raio a, rolando sobre
um plano inclinado.
relacionadas pela equacao
S = aθ, (6.25)
que pode ter a forma
dS = adθ, (6.26)
a qual apos ser integrada, fornece:
S − aθ = C, (6.27)
onde C e uma constante. Esta equacao e do
mesmo tipo da equacao (6.13) e mostra que
o vınculo e holonomo, embora tivesse sido ex-
presso inicialmente em termos das velocidades.
Se um vınculo nas velocidades puder ser inte-
grado para fornecer uma relacao entre as co-
ordenadas, como a equacao (6.27), entao sao
holonomos. Entretanto, existem sistemas em
que as equacoes de vınculo nao podem ser in-
tegradas.
A seguir apresentaremos um exemplo, que
ilustra bem esta classe de vınculos. Considere
um disco rolando sobre um plano horizontal
xy e durante o movimento o disco permanece
sempre na vertical, com o seu movimento res-
trito ao plano horizontal, como mostrado na
figura acima 6.28. Para facilitar, suponha que
Figura 6.28: Disco vertical de raio a, rolando
sobre um plano horizontal.
o disco nao pode deslizar. Quatro coordena-
das serao necessarias para especificar a posicao
dele. As coordenadas usadas para descrever o
movimento podem ser as coordenadas x, y do
centro do disco, um angulo de rotacao θ sobre
o eixo do disco, e um angulo φ entre o eixo do
disco e o eixo dos x, conforme a figura 6.28.
Como o disco esta rolando sem deslizar, entao
teremos duas equacoes de vınculo. Como re-
sultado do vınculo a velocidade do centro do
disco, v, tem uma magnitude proporcional a
θ,
v = aθ ⇒ vdt = adθ, (6.28)
onde a e o raio do disco, e sua direcao e per-
pendicular ao eixo do disco:
x = v cosφ
y = −v senφ(6.29)
ou, ainda usando o fato de que dx=xdt e que
dy=ydt temos
dx = (v cosφ)dt
dy = (−v senφ)dt.(6.30)
Prof. Salviano A. Leao 205
Combinando estas condicoes com a equacao
(6.28), obtemos duas equacoes diferenciais de
vınculo:
dx− a cosφdθ = 0
dy + a senφdθ = 0.(6.31)
Nenhuma das eqs. (6.31) podem ser integra-
das sem antes resolvermos o problema; isto
e, nao podemos encontrar um fator integrante
f(x, y, θ, φ) que torne as equacoes diferenciais
(6.31) em equacoes diferenciais perfeitas2. Por-
tanto, nao e possıvel integrar estas equacoes
para obtermos duas relacoes entre as coorde-
nadas x, y, θ e φ. Para verifica-lo, pode-se ob-
servar que se o disco rolar sem deslizar e se ele
girar em torno de um eixo vertical que passa
por seu centro, sera possıvel traze-lo para um
ponto (x, y) qualquer, que forma um angulo
φ qualquer entre o plano do disco e o eixo x,
o qual forma um angulo θ qualquer entre um
ponto fixo sobre a circunferencia do disco e o
ponto de contato do disco com o plano. Se o
disco estiver em um ponto qualquer (x, y) e se o
ponto de contato do disco com o plano nao for
o desejado, pode-se rolar o disco em torno de
um cırculo cuja a circunferencia tenha o com-
primento apropriado, de forma que quando ele
retornar ao ponto (x, y) o ponto desejado do
disco estara em contato com o plano, conforme
ilustrado na figura 6.29. Este resultado mos-
tra que as quatro coordenadas x, y, θ e φ sao
independentes e que nao pode haver nenhuma
relacao entre elas. Portanto, sera impossıvel
integrar as eqs. (6.31) e, consequentemente,
este e um exemplo de vınculo nao-holonomico.
2Em princıpio, um fator integrante sempre pode serencontrado para uma equacao diferencial de primeira-ordem de vınculo envolvendo sistemas que tenham so-mente duas coordenadas e tais vınculos sao portantoholonomos. Um exemplo familiar e o movimento bidi-mensional de um cilindro rolando em um plano incli-nado.
Figura 6.29: Possıveis trajetorias de um disco
vertical de raio a, rolando sobre um plano hori-
zontal, que apos percorrer um angulo θ retorna
ao mesmo ponto (x, y).
Vınculos com diferenciais nao-integraveis na
forma das Eqs. (6.31) nao constituem de
fato uma maneira unica de expressarmos os
vınculos nao-holonomos. As condicoes de
vınculos podem envolver derivadas de mais al-
tas ordens, ou podem aparecer na forma de
desigualdades, e em outras formas.
Parcialmente devido ao fato de que a de-
pendencia com as coordenadas pode ser eli-
minada, em problemas envolvendo vınculos
holonomos, entao, do ponto de vista formal,
sempre poderemos obter um a solucao for-
mal. Mas nao existe um modo geral de abor-
damos problemas envolvendo vınculos nao-
holonomos. De fato, se os vınculos sao
nao-integraveis, as equacoes diferenciais dos
vınculos podem ser introduzidas no conjunto
de equacoes diferenciais do movimento do pro-
blema investigado, e deste conjunto elimina-se
as equacoes dependentes, e o modo de fazermos
isso e atraves do metodo dos multiplicadores
de Lagrange, o qual sera discutido posterior-
mente.
Portanto, os casos mais intrincados de
vınculos nao-holonomos devem ser tratados
individualmente, e consequentemente no de-
senvolvimento dos aspectos mais formais da
Prof. Salviano A. Leao 206
mecanica classica, a menos que seja expli-
citado, sempre estaremos considerando que
se houverem vınculos presentes estes serao
holonomos. Esta restricao nao ira limitar
muito o alcance de aplicabilidade da teoria
a ser desenvolvida, apesar de que, no co-
tidiano muito dos vınculos encontrados se-
rem nao-holonomos. A razao e que todo
o conceito de vınculos impostos em um de-
terminado sistema tem sua origem no meio,
como por exemplo fios, superfıcies, paredes,
etc. e estes vınculos so sao apropriados em
problemas microscopicos ou de grandes esca-
las. Entretanto, os problemas que tem in-
teresses atuais sao aqueles envolvendo esca-
las atomicas e nucleares. Nestas escalas to-
dos os objetos, ambos dentro e fora do sis-
tema, consistem de moleculas, atomos, ou
pequenas partıculas, exercendo forcas defini-
das, e a nocao de vınculos torna-se artifi-
cial e raramente aparecera. Vınculos sao
entao usados somente como idealizacao ma-
tematica para casos da fısica atual ou como
uma aproximacao classica para propriedades
da mecanica quantica, por exemplo, rotacoes
de um corpo rıgido por spin.
A segunda dificuldade introduzida pelos
vınculos, que as forcas de vınculos nao
sao conhecidas a priori, pode ser superada
formulando-se o problema mecanico de modo
que as forcas de vınculo desaparecam. Desta
forma, trata-se o problema somente com forcas
conhecidas, as forcas externas aplicadas. O
procedimento as ser seguido em problemas
desta natureza, e fornecida pelo fato de que em
um sistema de muitas partıculas com vınculos,
isto e, um corpo rıgido, o trabalho realizado
pelas forcas internas (as quais sao forcas de
vınculo) e nulo. Este sera o procedimento
usado no desenvolvimento do princıpio dos tra-
balhos virtuais e posteriormente a ideia contida
nele sera generalizada.
Exemplo 57 Considere duas partıculas mas-
sivas, ligadas por uma barra de comprimento
l. Determine o conjunto de coordenadas gene-
ralizadas adequadas ao sistema.
Solucao:
Este e um problema de duas partıculas, o que
nos leva a seis graus de liberdade para descre-
ver o seu movimento, pois temos tres coorde-
nadas para cada partıcula, assim, assumindo
que as coordenadas cartesianas da partıcula
1 e P1 = (x1, y1, z1), enquanto da partıcula
2 e P2 = (x2, y2, z2). Entretanto, as duas
partıculas estao ligadas por uma barra de com-
primento l, o que nos leva a seguinte equacao
de vınculo
l −√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 = 0,
que e um vınculo holonomo. Portanto o
numero de graus de liberdade do sistema sera
dado por 6 coordenadas menos uma equacao
de vınculo, ou seja, 5 graus de liberdade ou
5 coordenadas independentes para descrever o
movimento do sistema. Agora vamos determi-
nar alguns possıveis conjuntos de coordenadas
generalizadas para este problema.
1. Consideremos tres coordenadas cartesia-
nas, para o centro de massa do sistema,
ou seja, PCM = (XCM , YCM , ZCM) e mais
dois angulos (θ, φ) para localizar a direcao
da barra que conecta as duas partıculas
em relacao ao sistema do centro de massa.
Veja a figura 6.30 abaixo.
2. Uma outra possıvel escolha seria, as tres
coordenadas cartesianas da partıcula 1,
ou seja, P1 = (x1, y1, z1) e mais os dois
angulos (θ, φ) para localizar a direcao da
barra que conecta as duas partıculas em
relacao ao sistema centrado na partıcula
1. Veja a figura 6.31 abaixo.
Prof. Salviano A. Leao 207
Figura 6.30: Duas partıculas ligadas por uma
barra de comprimento l. Aqui temos uma
coordenada para localizar o centro de massa
(CM) em relacao ao sistema de coordenadas
com origem em O e uma outra para localizar
as partıculas em relacao ao centro de massa
(CM), sistema de coordenadas O′ com origem
no centro de massa da barra.
3. Uma outra possıvel escolha seria, as tres
coordenadas cartesianas da partıcula 1, ou
seja, P1 = (x1, y1, z1) e mais as compo-
nentes da velocidade da partıcula 2 (vθ, vφ)
em relacao a partıcula 1, conforme a
figura 6.31 anterior. Em coordenadas
esfericas temos
v2 = ler + lθeθ + l sen θφeφ
v2 = vθeθ + vφeφ
Neste caso, o estado do sistema estara
completamente especificado. Note que se
conhecemos vθ = lθ entao θ sera conhe-
cido, pois
θ =
∫vθdt+ c.
O mesmo vale para o angulo φ, o qual esta
Figura 6.31: Duas partıculas ligadas por uma
barra de comprimento l. Aqui temos uma coor-
denada para localizar a partıcula 1 em relacao
ao sistema de coordenadas com origem em O
e uma outra para localizar a partıcula 2 em
relacao a partıcula 1, no sistema de coordena-
das O′ com cuja origem esta na partıcula 1.
relacionado com a velocidade vφ por
φ =
∫vφ
l · sen (∫vθdt+ c
)dt+ c2.
E importante notar que as 3N − k coor-
denadas necessarias em um determinado pro-
blema nao precisam ser necessariamente 3N −k coordenadas cartesianas, ou mesmo 3N −k coordenadas curvilıneas, esfericas, polares,
cilındricas, etc. Pode-se escolher 3N − k
parametros quaisquer, tendo eles um signifi-
cado fısico, geometrico ou nao, desde que eles
especifiquem completamente o estado do sis-
tema. Estas 3N − k quantidades nao precisam
de ter nem mesmo dimensao de comprimento.
Dependendo do problema pode ser mais con-
veniente escolher alguns parametros com di-
mensao de energia, ou com dimensao de area,
ou adimensionais, etc.
Prof. Salviano A. Leao 208
O nome coordenadas e dado, entao a qual-
quer conjunto que especifique completamente
o estado do sistema.
A escolha de um conjunto de coordenadas
generalizadas para a descricao de um sistema
nao e unica; existem em geral varios conjuntos
(de fato, um numero infinito!). Mas infeliz-
mente, nao existem regras gerais para estabe-
lecer o melhor conjunto de coordenadas gene-
ralizadas para um dado problema; uma certa
sensibilidade deve ser desenvolvida em relacao
a esta escolha.
6.9 Princıpios dos Traba-
lhos Virtuais
Um sistema mecanico tera a sua confi-
guracao completamente definida quando em
dado instante de tempo conhecermos a posicao
e a velocidade de todas as partıculas do sis-
tema. Se o sistema estiver sujeito a algum
tipo de vınculo, num dado instante t havera
um infinidade de configuracoes possıveis, isto
e, consistentes com os vınculos.
6.9.1 Deslocamento Virtual
Os deslocamentos infinitesimais de cada
partıcula que a leva de uma configuracao
possıvel a outra configuracao possıvel infinite-
simalmente proxima no mesmo instante t sao
chamados deslocamentos virtuais. Um deslo-
camento virtual (infinitesimal) de um sistema
refere-se a mudanca da configuracao deste sis-
tema resultante de uma mudanca infinitesi-
malmente arbitraria das coordenadas δri, as
quais mantem-se consistentes com as forcas e
vınculos impostas ao sistema em um dado ins-
tante t. O deslocamento e chamado virtual
para distinguı-lo de um deslocamento real do
sistema que ocorre em um intervalo de tempo
dt durante o qual as forcas e os vınculos po-
dem variar. Os deslocamentos virtuais sao de-
finidos basicamente por tres caracterısticas: (i)
eles sao infinitesimais; (ii) eles ocorrem em um
instante de tempo fixo t; (iii) eles nao violam
os vınculos.
Exemplo 58 Considere uma partıcula que
esta restrita a uma superfıcie movel. Seja
f(r, t) = 0 a equacao que define a superfıcie.
Mostre que um deslocamento virtual e tangente
a superfıcie.
Solucao:
Figura 6.32: Deslocamento virtual e real de
uma partıcula sobre uma superfıcie movel.
Um deslocamento virtual deve ser consis-
tente com o vınculo, isto e, o ponto r e o ponto
deslocado r + δr devem pertencer a superfıcie
no mesmo instante de tempo t, assim
f(r + δr, t) = 0,
expandido em serie de Taylor, mantendo so-
mente os termos de primeira ordem temos
f(r + δr, t) = f(r, t) +∇f · δr.
Portanto, podemos concluir que
∇f · δr = 0
Prof. Salviano A. Leao 209
Como ∇f e perpendicular a superfıcie no ins-
tante t, entao o deslocamento virtual δr e tan-
gente a superfıcie nesse instante.
No exemplo anterior, note que um desloca-
mento real dr ocorre em um intervalo de tempo
dt. Portanto, para que a partıcula permaneca
na superfıcie e preciso que
f(r + dr, t+ dt) = 0
= f(r, t) +∇f · dr +∂f
∂tdt
de onde podemos concluir que,
∇f · dr +∂f
∂tdt = 0. (6.32)
Desta forma, vemos que dr nao e tangente a
superfıcie se ∂f∂t6= 0. Somente o deslocamento
virtual realizado em um instante de tempo t
fixo e tangente a superfıcie, mesmo que ela es-
teja em movimento.
6.9.2 Vınculos
Viu-se que na solucao dos problemas
mecanicos, os vınculos introduzem as se-
guintes dificuldades:
1. Nem todas as coordenadas sao indepen-
dentes.
2. Em geral as forcas de vınculos nao sao co-
nhecidas a priori; elas sao desconhecidas
do problema e devem ser obtidas a partir
da solucao buscada.
Se os vınculos forem holonomos (vınculos os
quais, suas condicoes podem ser expressas por
uma equacao do tipo f (r1, r2, . . . , rN , t) = 0)
a dificuldade (i) e evitada pela introducao
de um conjunto de coordenadas independen-
tes q1, q2, . . . , qn, onde n e o numero de graus
de liberdade envolvidos. Isto significa que se
houver m equacoes de vınculos e 3N coorde-
nadas (r1, r2, . . . , rN) podemos eliminar estas
m equacoes de vınculo pela introducao das
variaveis independentes (q1, q2, . . . , qn). Uma
transformacao da seguinte forma e usada:
ri = ri (q1, . . . , qn, t) (i = 1, . . . , N) (6.33)
na qual,
n = 3N −m.
Para evitar a dificuldade (ii), os problemas
mecanicos devem ser formulados de maneira
tal que as forcas de vınculo nao aparecam na
solucao do problema. Esta e a essencia do
princıpio do trabalho virtual.
6.9.3 Trabalho Virtual
Consideremos um sistema constituıdo de N
partıculas em equilıbrio, isto e, a forca resul-
tante Fi sobre cada partıcula i e nula, Fi =
0. Entao o trabalho virtual δWi da forca Fi
no deslocamento virtual δri, tambem e nulo,
δWi = Fi · δri. Portanto, a soma dos traba-
lhos virtuais de cada partıcula tambem deve
ser nula,
δW =N∑
i=1
Fi · δri = 0. (6.34)
Ate agora nao fizemos nenhuma hipotese com
algum conteudo fısico. A forca resultante sobre
a partıcula i e Fi, a qual pode ser decomposta
em
Fi = F(a)i + fi (6.35)
onde F(a)i e resultante das forcas externas apli-
cada e fi e a resultante das forcas de vınculo,
logo
δW =N∑
i=1
F(a)i · δri +
N∑i=1
fi · δri = 0. (6.36)
Prof. Salviano A. Leao 210
Restringiremo-nos a sistemas, nos quais o tra-
balho virtual total das forcas de vınculo e nulo:
N∑i=1
fi · δri = 0. (6.37)
Vimos que esta condicao e valida para os cor-
pos rıgidos e para um grande numero de ou-
tros vınculos. Entretanto, se uma partıcula
tem o seu movimento restrito a uma superfıcie,
a forca de vınculo devido a superfıcie e per-
pendicular a mesma enquanto o seu desloca-
mento virtual sera tangente a superfıcie, por-
tanto, neste caso o trabalho virtual das forcas
de vınculo e nulo. Isto nao e mais verdade
se as forcas de atrito devido ao deslizamento
estiverem presentes, assim nestes casos deve-
mos excluir os sistemas que possuam estas ca-
racterısticas da formulacao apresentada. Ape-
sar disto, esta restricao nao trara dificuldades
excessivas, pois o atrito e essencialmente um
fenomeno microscopico, e macroscopicamente
temos os corpos rıgidos cujo o trabalho reali-
zado pelas forcas internas (as quais sao forcas
de vınculo) e nulo. Por outro, lado as forcas
de atrito de rolamento, ou seja forcas de atrito
estatico, nao violam esta condicao, ja que as
forcas atuam em um ponto que esta momen-
taneamente em repouso e nao pode realizar
trabalho em um deslocamento virtual infinite-
simal consistente com o vınculo de rolamento.
Note entretanto que se uma partıcula tem o seu
movimento restrito a uma superfıcie a qual esta
movendo-se com o tempo, conforme o exem-
plo 58, a forca de vınculo e instantaneamente
perpendicular a superfıcie e o trabalho reali-
zado durante um deslocamento virtual infinite-
simal ainda e nulo, embora o trabalho realizado
durante um deslocamento real no intervalo de
tempo dt nao seja necessariamente nulo.
Portanto, nestes casos a condicao para que
o sistema esteja em equilıbrio e que o trabalho
virtual das forcas aplicadas seja nulo, isto e:
δW =N∑
i=1
F(a)i · δri = 0. (6.38)
A equacao (6.38) e conhecida como o princıpio
dos trabalhos virtuais. Note que os coeficien-
tes δri devem ser diferentes de zero, isto e, em
geral F(a)i 6= 0, ja que os δri nao sao completa-
mente independentes, mas estao relacionados
pelos vınculos. Para igualarmos os coeficien-
tes a zero devemos transformar o princıpio dos
trabalhos virtuais em uma forma que envolva
somente os deslocamentos virtuais das coorde-
nadas generalizadas qi, pois eles sao todos inde-
pendentes uns dos outros. De agora em diante
sem perda alguma de generalidade suprimire-
mos o ındice (a) da forca, passando a escreve-la
como Fi. Deve-se notar que os coeficientes dos
deslocamentos δri nao podem ser considerados
como sendo nulos, pois os deslocamentos vir-
tuais nao sao todos independentes.
Como ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t), onde n =
3N − k e o numero de graus de liberdade do
sistema e k e o numero de equacoes de vınculo,
entao pode-se expressar os deslocamento virtu-
ais δri em termos dos deslocamentos virtuais
δqi como
δri =n∑
j=1
∂ri
∂qj· δqj. (6.39)
Observe que nenhuma variacao no tempo foi
envolvida, o que deve-se a definicao de um des-
locamento virtual. Substituindo a eq. (6.39)
na eq. (6.38) obtemos que o trabalho virtual
de Fi em termos das coordenadas generaliza-
das e dado por
N∑i=1
Fi · δri =N∑
i=1
3N∑j=1
Fi · ∂ri
∂qjδqj
=3N∑i=1
Qjδqj,
Prof. Salviano A. Leao 211
onde introduzimos a forca generalizada Qj
correspondente a coordenada generalizada qj,
que e dada por
Qj =N∑
i=1
Fi · ∂ri
∂qj. (6.40)
Devemos notar que as coordenadas generali-
zadas, nao precisam ter dimensoes de compri-
mento, e que os Qj nao precisam ter dimensao
de forca, mas o produto Qjδqj deve ter di-
mensao de trabalho.
Como os deslocamentos virtuais δqj sao ar-
bitrarios e independentes, entao em termos
das coordenadas generalizadas a condicao de
equilıbrio agora passa a ser dada por
Qj = 0 j = 1, 2, . . . , n (6.41)
Neste momento, deve-se ressaltar que a im-
portancia do princıpio do trabalho virtual re-
side no fato de que ele constitue-se no unico
princıpio sobre o qual a estatica esta baseada.
Exemplo 59 Determine a expressao para o
angulo θ e para a tensao F na mola que corres-
ponde a posicao de equilıbrio estatico do meca-
nismo mostrado na figura 6.33 abaixo. O com-
primento natural da mola e h, e a sua cons-
tante elastica e k. Despreze o peso do meca-
nismo. Considere que as duas hastes moveis
tem o mesmo tamanho.
Figura 6.33:
Solucao:
Do princıpio dos trabalhos virtuais tem-se
que,
FaδyB − FδyC = 0,
mas as coordenadas yB e yC podem ser escritas
como
yB = l sen θ ⇒ δyB = l cos θδθ
yC = 2l sen θ ⇒ δyC = 2l cos θδθ
O modulo da forca que a mola exerce pode ser
escrita como,
F = ks = k(yc − h) = k(2l sen θ − h)
Portanto substituindo as expressoes dos deslo-
camento virtuais δyB e δyC e a forca da mola
na expressao para o trabalho virtual, obtemos
Fal cos θδθ − k(2l sen θ − h)2l cos θδθ = 0
[Fa − 4kl sen θ + 2kh] l cos θδθ = 0
assim,
sen θ =Fa + 2kh
4kl
substituindo esta expressao para o sen θ na ex-
pressao para a forca exercida pela mola obte-
mos
F = k
(2lFa + 2kh
4kl− h
)
F =Fa
2+ kh− kh
Portanto, a forca exercida pela mola e
F =Fa
2.
Exemplo 60 Uma prancha de massa uni-
forme m e encostada em uma parede, fazendo
um angulo α com o chao. A extremidade da
prancha que esta no chao e ligada a parede por
uma corda de massa desprezıvel e inextensıvel.
Qual e a tensao na corda?
Solucao:
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Considerando o comprimento da prancha
como sendo 2b, temos
x = 2b cosα ⇒ |δx| = 2b senαδα
y = b senα ⇒ |δy| = b cosαδα
O princıpio dos trabalhos virtuais nos permite
escrever
−T |δx|+Mg|δy| = 0,
logo,
T = Mg|δy||δx| =
1
2Mg cotgα
Exemplo 61 Um anel de massa m desliza em
uma haste vertical. O anel esta preso a uma
corda inextensıvel e de massa desprezıvel pas-
sando por uma roldana fixada a uma distancia
a da haste que prende o anel. Na outra extre-
midade da corda esta uma massa M (M > m).
O anel e solto a partir do repouso no mesmo
nıvel da roldana. Se h e a distancia maxima
que o anel ira cair, determine h em termos de
M , a e m.
Solucao:
Se b for o comprimento da corda, entao
x+√a2 + h2 = b
Para um pequeno deslocamento δh temos
δx+hδh√a2 + h2
= 0,
ou,
δx = − h√a2 + h2
δh
O princıpio dos trabalhos virtuais nos permite
escrever
Mgδx+mgδh = 0[− Mgh√
a2 + h2+mg
]δh = 0.
Como os deslocamentos virtuais sao indepen-
dentes, entao para satisfazer a equacao acima
e necessario que
Mgh = mg√a2 + h2
M2h2 = m2a2 +m2h2
logo, obtem-se que
h =ma√
M2 −m2.
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6.10 Princıpio de
D’Alembert
O princıpio dos trabalhos virtuais trata so-
mente com a estatica em sistemas cujo o tra-
balho virtual das forcas de vınculo δW =∑Ni=1 fi · δri = 0 e nulo. Portanto, o proximo
passo sera encontrar um princıpio que envolva
o movimento geral do sistema e que as forcas
de vınculo continue nao aparecendo explicita-
mente. O princıpio dos trabalhos virtuais foi
inicialmente sugerido por Johann Bernoulli e
entao desenvolvido por D’Alembert para os sis-
temas dinamicos. D’Alembert inicialmente es-
creveu a segunda lei de Newton do movimento
de uma partıcula na seguinte forma,
Fi = pi ⇒ Fi − pi = 0. (6.42)
A equacao acima nos diz que as partıculas no
sistema estarao em equilıbrio sob a acao de
uma forca que e igual a forca atuante mais uma
forca inercial ou forca efetiva reversa −pi,
como foi inicialmente chamada por Bernoulli
e D’Alembert. Devemos notar que nesta si-
tuacao a dinamica reduz-se a estatica. Por-
tanto, o trabalho virtual realizado por esta
forca e:
δW =N∑
i=1
(Fi − pi) · δri = 0, (6.43)
agora escrevendo a forca Fi, como
Fi = F(ext)i + fi, (6.44)
onde F(ext)i e a resultante das forcas externas
aplicada a partıcula i enquanto fi e a resul-
tante das forcas de vınculo sobre a partıcula i.
Usando esta prescricao o trabalho total pode
ser escrito como:
N∑i=1
(F
(ext)i − pi
)· δri +
N∑i=1
fi · δri = 0. (6.45)
Novamente nos restringiremos aos sistemas nos
quais o trabalho virtual das forcas de vınculo
e nulo, assim
N∑i=1
fi · δri = 0, (6.46)
obtendo assim que
N∑i=1
(F
(ext)i − pi
)· δri = 0. (6.47)
Esta equacao e muitas vezes chamada de
princıpio de D’Alembert ou forma lagrangeana
do princıpio de D’Alembert. Com objetivo al-
cancado, ou seja, que as forcas de vınculo nao
aparecem no princıpio encontrado, o super-
escrito (ext) agora pode ser ignorado sem ne-
nhuma ambiguidade, assim
N∑i=1
(Fi − pi) · δri = 0. (6.48)
6.11 Equacoes de La-
grange
Lagrange selecionou o princıpio de
D’Alembert como o ponto de partida do
seu livro Mecanique Analytique e obteve as
equacoes de movimento hoje conhecidas como
as equacoes de Lagrange. Deve-se notar que a
expressao (6.48) ainda nao esta escrita em uma
forma adequada para fornecer as equacoes
de movimento do sistema. Uma forma mais
adequada do princıpio de D’Alembert e obtida
reescrevendo-o em termos dos deslocamentos
virtuais das coordenadas generalizadas, (para
os vınculos holonomos), onde os coeficientes
dos deslocamentos virtuais generalizados δqi
sao todos independentes uns dos outros. As
regras para a transformacao das coordenadas
Prof. Salviano A. Leao 214
cartesianas para as coordenadas generalizadas
podem ser escritas como,
ri = ri (q1, q2, ..., qn, t) (6.49)
onde esta-se levando em conta o fato de que
as coordenadas generalizadas sao independen-
tes entre si, e que elas obedecem a regra da
cadeia usual do calculo para a derivada total
de uma funcao de varias variaveis. Portanto, a
velocidade vi pode ser expressa em termos das
velocidades generalizadas qj da seguinte forma,
vi =dri
dt=
n∑
k=1
∂ri
∂qkqk +
∂ri
∂t. (6.50)
Similarmente, o deslocamento virtual ar-
bitrario δri pode ser conectado com o deslo-
camento virtual δqi portanto
δri =∑
j
∂ri
∂qjδqj. (6.51)
Observe que nenhuma variacao do termo δt,
foi envolvida neste ponto, porque um desloca-
mento virtual por definicao considera somente
o deslocamento das coordenadas em um ins-
tante de tempo fixo.
De agora em diante, por uma questao de
simplicidade de notacao o super-escrito (ext)
sera omitido da resultante das forcas externas
aplicadas F(ext)i . A resultante das forcas exter-
nas Fi pode ser separada em duas partes
Fi = F(c)i + F
(nc)i , (6.52)
na qual F(c)i e a resultante das forcas externas
conservativas e F(nc)i e a resultante das forcas
externas nao conservativas. Portanto, em ter-
mos das coordenadas generalizadas, o trabalho
virtual das forcas externas aplicadas Fi torna-
se
δW =N∑
i=1
Fi · δri =N∑
i=1
n∑j=1
Fi · ∂ri
∂qjδqj
=N∑
i=1
Fi · δri =n∑
j=1
Qjδqj. (6.53)
Aqui, os Qj sao as componentes da forca ge-
neralizada, a qual e definida por:
Qj = Q(c)j +Q
(nc)j
=N∑
i=1
(Fci + Fnc
i ) · ∂ri
∂qj,
ou ainda,
Qj =N∑
i=1
Fi · ∂ri
∂qj. (6.54)
Observe que justamente pelo fato das coorde-
nadas generalizadas qj nao precisarem de ter
dimensoes de comprimento, entao as forcas ge-
neralizadas Qj nao necessariamente terao di-
mensao de forca, mas o produto Qjδqj devera
ter sempre a dimensao de trabalho. Por exem-
plo, se Qj for o torque Nj e δqj for um diferen-
cial do angulo δθj, entao o produto Njδqj sera
o diferencial de um trabalho.
Agora escreveremos a forca inercial ou forca
efetiva reversa que aparece em (6.47) como
N∑i=1
pi · δri =N∑
i=1
n∑j=1
miri · ∂ri
∂qjδqj
=N∑
i=1
n∑j=1
mi
[d
dt
(ri · ∂ri
∂qj
)−
ri · ddt
(∂ri
∂qj
)]δqj. (6.55)
As derivadas parciais em (6.50) sao funcoes
das coordenadas generalizadas qi e do tempo.
Como resultado disto, a velocidade de uma
partıcula tem a seguinte forma funcional
vi = ri = ri (q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) . (6.56)
Alem disso, a equacao (6.50) fornece uma
funcao explıcita das variaveis indicadas e mos-
tram que os ri de fato depende linearmente das
velocidades generalizadas qj. Portanto, pode-
mos calcular imediatamente a derivada parcial
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∂ri/∂qj e obter:
∂ri
∂qj=
n∑
k=1
∂2ri
∂qk∂qjqk +
∂2ri
∂t∂qj
=n∑
k=1
∂
∂qk
(∂ri
∂qj
)qk +
∂
∂t
(∂ri
∂qj
)
=d
dt
(∂ri
∂qj
)=∂vi
∂qj
Assim,
∂ri
∂qj=
d
dt
(∂ri
∂qj
)=∂vi
∂qj. (6.57)
Da definicao de vi, eq. (6.50) temos que
∂ri
∂qj=
n∑
k=1
∂ri
∂qk
∂qk∂qj
+∂
∂t
(∂ri
∂qj
)
=n∑
k=1
∂ri
∂qkδkj + 0 =
∂ri
∂qj.
Portanto,
∂vi
∂qj=∂ri
∂qj=∂ri
∂qj(6.58)
Note agora, que as variaveis independentes
que aparecem entre parenteses na eq. (6.55)
sao fisicamente independentes, no senso em
que cada uma pode ser especificada indepen-
dentemente, em um dado instante de tempo.
O movimento subsequente do sistema e entao,
de fato, determinado pelas equacoes de movi-
mento. Agora, iremos substituir a eq. (6.58)
no primeiro termo da eq. (6.55)
N∑i=1
mid
dt
(ri · ∂ri
∂qj
)
=N∑
i=1
mid
dt
(vi · ∂vi
∂qj
)
=d
dt
[∂
∂qj
(1
2
N∑i=1
miv2i
)]
=d
dt
∂T
∂qj(6.59)
onde
T =1
2
N∑i=1
miv2i (6.60)
e a energia cinetica total do sistema.
Podemos reescrever o segundo termo do lado
direito da eq. (6.55) como
N∑i=1
miri · ddt
(∂ri
∂qj
)
=N∑
i=1
mivi ·[
n∑
k=1
∂2ri
∂qk∂qjqk +
∂2ri
∂qj∂t
]
=N∑
i=1
mivi · ∂vi
∂qj
=∂
∂qj
[1
2
N∑i=1
miv2i
].
Portanto,
N∑i=1
mirid
dt
(∂ri
∂qj
)=∂T
∂qj(6.61)
Com as eqs. (6.61) e (6.59), podemos rees-
crever eq. (6.55) como,
N∑i=1
pi · δri =n∑
j=1
[d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj
]δqj
(6.62)
Das eqs. (6.47), (6.53) e (6.62) podemos re-
escrever o princıpio de princıpio de D’Alembert
como:
n∑j=1
[d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj
]−Qj
δqj = 0.
(6.63)
Ate agora nenhuma restricao foi feita quanto
a natureza dos vınculos, a nao ser a de que o
seu trabalho virtual e nulo. As variaveis qj
podem ser qualquer conjunto de coordenadas
usadas para descrever o movimento do sistema.
Entretanto, se os vınculos forem holonomos,
entao sera possıvel encontrar um conjunto de
coordenadas qj independentes que contenham
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as condicoes de vınculo implicitamente nas
equacoes de transformacao. Qualquer desloca-
mento virtual δqj sera entao independente dos
δqk, e portanto, os coeficientes dos δqj na eq.
(6.63) se anulam independentemente, assim
d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.64)
aqui j = 1, 2, . . . , n, onde n e o numero de
graus de liberdade do sistema.
Observe que em um sistema de coordenadas
cartesianas a derivada parcial de T com res-
peito a qj e nula, ou seja, ∂T∂qj
= 0. Assim,
falando na linguagem da geometria diferencial
este termo surge da curvatura das coordenadas
qj. Por exemplo, em coordenadas polares e a
derivada parcial de T com respeito a uma co-
ordenada angular que da origem ao termo da
forca centrıpeta, conforme sera mostrado no
exemplo 67.
Quando todas as forcas externas sao de-
rivaveis de uma funcao potencial escalar V (ha
somente forcas conservativas atuando sobre o
sistema), temos
F(e)i = −∇iV . (6.65)
Entao as forcas conservativas generalizadas
Q(c)j podem ser escritas da seguinte forma
Q(c)j =
N∑i=1
F(e)i ·
∂ri
∂qj= −
N∑i=1
∇iV · ∂ri
∂qj(6.66)
que e a expressao exata para a derivada par-
cial de uma funcao −V (r1, r2, . . . , rN , t) com
respeito a qj:
Q(c)j = −
N∑i=1
∇iV∂ri
∂qj= −∂V
∂qj. (6.67)
Assim, a eq.(6.64) pode ser escrita como:
d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂(T − V )
∂qj= 0. (6.68)
As equacoes de movimento na forma da eq.
(6.68) nao estao necessariamente restritas aos
sistemas conservativos: o sistema sera conser-
vativo somente se V nao depender explicita-
mente do tempo. Contudo, aqui usaremos um
potencial V que nao depende das velocida-
des generalizadas, desta forma, podemos in-
cluir um termo com o potencial V na deri-
vada parcial com respeito a qj, obtendo uma
forma simetrica para a funcao que aparece na
eq. (6.68),
d
dt
[∂(T − V )
∂qj
]− ∂(T − V )
∂qj= 0. (6.69)
Agora introduziremos uma nova funcao L de-
finida por
L (q, q, t) = T (q, q, t)− V (q) . (6.70)
Esta funcao e chamada a lagrangeana do sis-
tema. Em termos desta funcao, as equacoes
precedentes tornam-se
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= 0 j = 1, . . . , n (6.71)
em que n e o numero de graus de Liberdade
do sistema. As equacoes (6.71) de agora em
diante serao chamadas de Equacoes de La-
grange. Observe que as equacoes de Lagrange
sao n equacoes diferenciais de segunda ordem
para um sistema conservativo e com vınculos
holonomos. Se alguma das forcas atuando no
sistema nao for conservativa, as equacoes de
Lagrange podem ser escritas na forma
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.72)
onde L contem o potencial das forcas conser-
vativas como antes, e Qj e a forca generali-
zada devido as forcas que nao podem ser re-
presentadas por uma funcao potencial. Exem-
plos tıpicos de forcas generalizadas Qj nao-
conservativas sao as forcas de atrito e as forcas
que variam com o tempo.
Prof. Salviano A. Leao 217
Deve-se notar que para um conjunto parti-
cular de equacoes de movimento, nao existe
uma escolha unica para a lagrangeana, de tal
forma que as eqs. (6.64) conduzem as equacoes
de movimento corretas para as coordenadas
generalizadas usadas. Como exercıcio (ver
problema 5), o estudante devera mostrar que
se L (q, q, t) e uma lagrangeana apropriada e
F (q, t) e uma funcao diferenciavel qualquer
das coordenadas generalizadas e do tempo t,
entao
L′ (q, q, t) = L (q, q, t) +dF (q, t)
dt
tambem e uma lagrangeana que fornecera as
mesmas equacoes de movimento. Muitas vezes
tambem e possıvel encontrar lagrangeanas al-
ternativas alem daquelas construıdas por sua
prescricao (ver exercıcio). Enquanto as eqs.
(6.63) sao sempre uma maneira habil de cons-
truir uma lagrangeana para um sistema conser-
vativo, ela nao fornece uma unica lagrangeana
possıvel para um dado sistema.
O termo equacoes de Lagrange, as vezes
restrınge-se as equacoes da forma (6.72). Em
aproximadamente todos os casos de interesse
em Fısica (embora nao em Engenharia), as
equacoes do movimento podem ser escritas na
forma da eq. (6.72), exceto no caso em que
existem forcas de atrito, mas em geral estas
forcas nao aparecem em problemas atomicos e
astronomicos.
As equacoes de Lagrange nas formas da
eq. (6.72) ou da eq. (6.71) representam em
sua essencia uma maneira mais simples de es-
crevermos as equacoes de movimento de um
dado sistema, pois envolvem somente o numero
mınimo de coordenadas e nao fazem referencia
alguma as forcas de vınculos presentes do sis-
tema. A energia potencial V e a forca gene-
ralizada Q referem-se somente as forcas apli-
cadas. Nesta formulacao nao temos de usar
uma algebra vetorial, pois as grandezas que
estamos trabalhando, a energia cinetica T e
a energia potencial V , sao grandezas escala-
res o que simplifica em muito a manipulacao
algebrica das equacoes de movimento. Alem
disso, as equacoes de Lagrange possuem a van-
tagem adicional de serem validas para um con-
junto arbitrario qualquer de coordenadas gene-
ralizadas, sendo que a escolha deste conjunto
de coordenadas generalizadas leva em conta a
a simplicidade e conveniencia da descricao do
movimento do sistema.
Como as equacoes de Lagrange foram obti-
das a partir das equacoes do movimento, de
Newton, nao representam propriamente uma
nova teoria da Fısica, mas simplesmente, uma
maneira diferente mas equivalente de expres-
sar essas mesmas leis. Nos casos mais sim-
ples ve-se imediatamente que as de Lagrange
eqs. (6.72) conduzem diretamente as leis do
movimento de Newton. Entretanto, nos ca-
sos complicados em geral e mais facil obter a
energia cinetica e as forcas ou energia poten-
cial em coordenadas generalizadas, e escrever
as equacoes na forma lagrangeana. Devemos
ressaltar que tanto a energia cinetica quanto
a energia potencial devem ser ambas expressas
em relacao a um mesmo referencial inercial,
pois este formalismo tem como ponto de par-
tida as leis de Newton para o movimento, e as
mesmas so sao validas em um referencial iner-
cial.
Particularmente, as equacoes de Lagrange
sao uteis em problemas que envolvem vınculos,
como sera verificado posteriormente, pois nes-
ses a solucao e obtida muito mais facilmente
pelo metodo de Lagrange. O valor principal
destas equacoes se faz sentir no aspecto teorico.
De acordo com a maneira com que as equacoes
de Lagrange foram derivadas, torna-se evi-
dente que as eqs. (6.72) ou (6.64) tambem sao
Prof. Salviano A. Leao 218
validas em qualquer sistema de coordenadas
generalizadas. Verifica-se tambem por calculo
direto que, se as eqs. (6.72) forem validas
em um sistema de coordenadas generalizadas
qualquer q = (q1, q2, . . . , qn)) para uma funcao
L(q; q; t) qualquer, as equacoes da mesma
forma tambem serao validas em outro sistema
de coordenadas Q = (Q1, Q2, . . . , Qn) (ver pro-
blema 6) para uma funcao L = L(Q; Q; t).
A funcao lagrangeana L tem o mesmo valor,
em qualquer conjunto de posicoes e velocida-
des das partıculas de um sistema, nao impor-
tando em que sistema de coordenadas ela seja
expressada, mas a forma da funcao L pode ser
diferente em sistemas de coordenadas diferen-
tes. O fato de as equacoes de Lagrange fornece-
rem as mesmas equacoes de movimento em to-
dos os sistemas de coordenadas e o responsavel
por sua importancia teorica, pois representam
uma maneira uniforme de escrever as equacoes
do movimento de um sistema, independente do
tipo usado. Elas formam o ponto de partida
para formulacoes mais avancadas da Mecanica.
No desenvolvimento da Teoria Geral da Rela-
tividade, em que nem sempre ha coordenadas
cartesianas, as equacoes de Lagrange sao par-
ticularmente importantes.
Exemplo 62 Considere uma partıcula de
massas m, movimentando-se em um plano.
Usando as coordenadas polares (r, θ) como co-
ordenadas generalizadas, calcule (a) os deslo-
camentos virtuais δx e δy e (b) a forca gene-
ralizada para a partıcula sob a acao da forca
F = Fxex + Fyey.
Solucao:
As coordenadas generalizadas sao polares,
assim q = (r, θ) e em termos das coordena-
das cartesianas (x, y), elas podem ser expressas
por:
x = r cos θ e y = r sen θ
(a) Como o vetor deslocamento virtual e
δri =n∑
j=1
∂ri
qjδqj.
Assim,o deslocamento virtual ao longo do eixo
x e
δx =∂x
∂rδr +
∂x
∂θδθ
= cos θδr − r sen θδθ
enquanto para o eixo y e,
δy =∂y
∂rδr +
∂y
∂θδθ
= sen θδr + r cos θδθ
(b) Da definicao de forca generalizada tem-se
que
Qj =n∑
i=1
Fi · ∂ri
∂qj= Fx
∂x
∂qj+ Fy
∂y
∂qj.
Entao, para a coordenada generalizada qj = r,
temos
Qr = Fx∂x
∂r+ Fy
∂y
∂r= Fx cos θ + Fy sen θ = Fr,
enquanto, para a coordenda generalizada qj =
θ, temos
Qθ = Fx∂x
∂θ+ Fy
∂y
∂θ= −Fxr sen θ + Fyr cos θ = rFθ,
Portanto, temos que
Qr = Fr = F · er
Qθ = rFθ = rF · eθ.
Exemplo 63 Considere uma partıcula de
massas m, movendo-se no espaco. Usando
as coordenadas cilındricas (ρ, θ, z) como coor-
denadas generalizadas, calcule (a) os desloca-
mentos virtuais δx, δy e δz e (b) a forca ge-
neralizada para a partıcula sob a acao da forca
F = Fxex + Fyey + Fzez.
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Solucao:
As coordenadas generalizadas sao q =
(ρ, θ, z) e em termos das coordenadas cartesi-
anas (x, y, z), elas podem ser expressas por:
x = ρ cos θ;
y = ρ sen θ;
z = z.
(a) O vetor r que define a posicao no espaco
da partıcula e dado nas coordenadas cilınricas
por,
r = ρeρ + zez.
Como o vetor deslocamento virtual e dado por
δri =n∑
j=1
∂ri
qjδqj.
Assim,o deslocamento virtual ao longo do eixo
x e
δx =∂x
∂ρδρ+
∂x
∂θδθ +
∂x
∂zδz
= cos θδρ− ρ sen θδθ
para o eixo y e,
δy =∂y
∂ρδρ+
∂y
∂θδθ +
∂y
∂zδz
= sen θδρ+ ρ cos θδθ
enquanto que ao longo do eixo z e
δz =∂z
∂ρδρ+
∂z
∂θδθ +
∂z
∂zδz
= 1δz
(b) Da definicao de forca generalizada tem-se
que
Qj =n∑
i=1
Fi · ∂ri
∂qj= Fx
∂x
∂qj+ Fy
∂y
∂qj+ Fz
∂z
∂qj.
Entao, para a coordenada generalizada qj = ρ,
temos
Qρ = Fx∂x
∂ρ+ Fy
∂y
∂ρ+ Fz
∂z
∂ρ= Fx cos θ + Fy sen θ = Fρ,
para a coordenda generalizada qj = θ, temos
Qθ = Fx∂x
∂θ+ Fy
∂y
∂θ+ Fz
∂z
∂θ= −Fxρ sen θ + Fyρ cos θ = ρFθ,
enquanto, para a coordenda generalizada qj =
z, temos
Qθ = Fx∂x
∂z+ Fy
∂y
∂z+ Fz
∂z
∂z= Fz1 = Fz,
Portanto, temos que
Qρ = Fρ = F · eρ
Qθ = ρFθ = ρF · eθ
Qz = Fz = F · ez
Exemplo 64 Considere uma partıcula de
massas m, movendo-se no espaco. Usando as
coordenadas esfericas (r, θ, φ) como coordena-
das generalizadas, calcule (a) os deslocamen-
tos virtuais δx, δy e δz e (b) a forca gene-
ralizada para a partıcula sob a acao da forca
F = Fxex + Fyey + Fzez.
Solucao:
As coordenadas generalizadas sao q =
(r, θ, φ) e em termos das coordenadas cartesi-
anas (x, y, z), elas podem ser expressas por:
x = r sen θ cosφ;
y = r sen θ senφ;
z = r cos θ.
Observer ainda que os versores unitarios em
coordenadas esfericas estao relacionados com
os versores unitarios em coordenadas cartesia-
nas por
er = sen θ cosφex + sen θ senφey + cos θez
eθ = cos θ cosφex + cos θ senφey − sen θez
eφ = − senφex + cosφey.
(a) O vetor r que define a posicao no espaco
da partıcula e dado nas coordenadas esfericas
por,
r = rer.
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Como o vetor deslocamento virtual e dado por
δri =n∑
j=1
∂ri
qjδqj.
Assim,o deslocamento virtual ao longo do eixo
x e
δx =∂x
∂rδr +
∂x
∂θδθ +
∂x
∂φδφ
= sen θ cosφδr + r cos θ cosφδθ − r sen θ senφδφ
para o eixo y e,
δy =∂y
∂rδr +
∂y
∂θδθ +
∂y
∂φδφ
= sen θ senφδr + r cos θ senφδθ + r sen θ cosφδφ
enquanto que ao longo do eixo z e
δz =∂z
∂rδr +
∂z
∂θδθ +
∂z
∂φδφ
= cos θδr − r sen θδθ
(b) Da definicao de forca generalizada tem-se
que
Qj =n∑
i=1
Fi · ∂ri
∂qj= Fx
∂x
∂qj+ Fy
∂y
∂qj+ Fz
∂z
∂qj.
Entao, para a coordenada generalizada qj = r,
temos
Qr = Fx∂x
∂r+ Fy
∂y
∂r+ Fz
∂z
∂r= Fx sen θ cosφ+ Fy sen θ senφ+ Fz cos θ
= Fr = F · er,
para a coordenda generalizada qj = θ, temos
Qθ = Fx∂x
∂θ+ Fy
∂y
∂θ+ Fz
∂z
∂θ= Fxr cos θ cosφ+ Fyr cos θ senφ− Fzr sen θ
= rF · eθ = rFθ,
enquanto, para a coordenda generalizada qj =
φ, temos
Qφ = Fx∂x
∂φ+ Fy
∂y
∂φ+ Fz
∂z
∂φ= −Fxr sen θ senφ+ Fyr sen θ cosφ
= −r (Fx senφ+ Fy cosφ) sen θ
= r sen θF · eφ = r sen θFφ.
Portanto, temos que
Qr = Fr = F · er
Qθ = rFθ = rF · eθ
Qφ = r sen θFφ = r sen θF · eφ
Exemplo 65 Considere uma partıcula de
massas m, movimentando-se livremente pelo
espaco. Encontre a lagrangeana e as equacoes
de movimento do sistema e as componentes
da forca generalizada em coordenadas cartesi-
anas.
Solucao:
Como se trata de uma partıcula livre, entao
a sua funcao energia potencial e no maximo
uma constante desconhecida V0, entretanto, a
lagrangeana L e dada por L = T − V0. Como
a energia cinetica em coordenadas cartesianas
e dada por:
T =1
2m
(x2 + y2 + z2
)(6.73)
Para escrevermos as equacoes de movi-
mento podemos usar as equacoes (6.72) ou as
equacoes (6.64). Observe que neste caso como
a funcao energia potencial e constante entao
ela nao aparece na eq. (6.72) pois ela so en-
volve derivadas de V0, logo as duas formas sao
equivalentes. Portanto as equacoes de movi-
mento sao dadas por:
d
dt
(∂T
∂xi
)− ∂T∂xi
= Qi (i = x, y, z) (6.74)
Usando (6.73) vamos encontrar os termos de
(6.74), desta forma, podemos escrever:
∂T
∂x= mx;
∂T
∂y= my;
∂T
∂z= mz
∂T
∂x= 0;
∂T
∂y= 0;
∂T
∂z= 0.
Ao substituirmos estas duas expressoes em
(6.74), obtemos a seguinte equacao de movi-
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mento
dpx
dt= Qx = Fx
dpy
dt= Qy = Fy
dpz
dt= Qz = Fz
(6.75)
em que px = mx, py = my e pz = mz.
Observe, que da definicao de forca generali-
zada, temos que
Qx = F · ∂r∂x
= Fx
e de forma analoga temos que Qy = Fy e Qz =
Fz.
Devemos observar ainda que Qx = Fx e a re-
sultante das forcas externas sobre a partıcula.
Portanto, obtivemos a segunda lei de Newton.
Neste caso a resultante de forcas externas e
nula, logo a equacoes de movimento reduzem-
se a conservacao do momentum,
p = cte. (6.76)
Exemplo 66 Considere um sistema de N
partıculas de massas m1, . . . ,mN , sob a acao
de uma funcao potencial V = V (x1, . . . , x3N),
onde a forca atuando sobre cada partıcula e
Fi = −∇riV (x1, . . . , x3N). Encontre a lagran-
geana e as equacoes de movimento do sistema
em coordenadas cartesianas.
Solucao:
A energia cinetica em coordenadas cartesia-
nas e dada por:
T =1
2
3N∑i=1
mix2i (6.77)
Portanto, a lagrangeana e
L = L(x1, . . . , x3N ; x1, . . . , x3N)
= T − V (x1, . . . , x3N), (6.78)
As equacoes do movimento sao dadas por:
d
dt
(∂L
∂xi
)− ∂L
∂xi
= 0 (i = 1, 2, . . . , 3N)
(6.79)
Usando (6.78) vamos encontrar os termos de
(6.79), onde, qi = xi, sao coordenadas cartesi-
anas, desta forma, podemos escrever:
∂L
∂xi
= mixi = pi
∂L
∂xi
= −∂V∂xi
.
logo, ao substituirmos estas duas expressoes
em (6.79) , obtemos a seguinte equacao de mo-
vimento para cada coordenada i
dpi
dt+∂V
∂xi
= 0 (6.80)
Como Fi = −∇riV , podemos concluir que:
pi = Fi = −∇riV . (6.81)
Exemplo 67 Considere uma partıcula de
massas m, movimentando-se em um plano, sob
a acao de uma forca F = −∇V . Encontre
a lagrangeana e as equacoes de movimento do
sistema em coordenadas polares.
Figura 6.34: Sistema de coordenadas polares.
Solucao:
A energia cinetica em coordenadas cartesia-
nas e dada pela eq. (6.73), mas devemos ex-
pressar T em termos das coordenadas polares
r e θ, as equacoes de transformacao sao:x = r cos θ
y = r sen θ(6.82)
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Portanto, as velocidades sao dadas por
x = r cos θ − rθ sen θ
y = r sen θ + rθ cos θ(6.83)
Portanto, a energia cinetica (6.73) em coor-
denadas polares pode ser escrita como
T =1
2m
[r2 +
(rθ
)2]
(6.84)
Um modo alternativo de obtermos a veloci-
dade da partıcula, neste caso e usarmos a de-
finicao da velocidade
r = rer v =d
dtr (6.85)
onde er e um vetor unitario na direcao radial
enquanto eθ e um vetor unitario na direcao em
que o angulo cresce. Em termos do sistema
cartesiano estes dois vetores podem ser escritos
como
er = cos θex + sen θey
eθ = − sen θex + cos θey
(6.86)
logo temos que,
d
dθer = − sen θex + cos θey = eθ
d
dθeθ = − cos θex − sen θey = −er
(6.87)
Portanto,
der
dt=
der
dθ· dθdt
= θeθ
deθ
dt=
deθ
dθ· dθdt
= −θer
(6.88)
assim, o vetor velocidade e dado por
v =d
dt(rer) = rer + r
d
dter
= rer + rθeθ
portanto, a energia cinetica e dada por
T =1
2mv · v
=1
2m
(rer + rθeθ
)·(rer + rθeθ
)
=1
2m
[r2 +
(rθ
)2].
Agora podemos escrever a lagrangeana L =
T − V do problema como,
L =1
2m
(r2 + r2θ2
)− V (r, θ). (6.89)
A partir da forca generalizada, obteremos as
equacoes de movimento do sistema. As com-
ponentes de forca generalizada sao dadas por
Qr = F · ∂r∂r
= F · er = Fr
Qθ = F · ∂r∂θ
= F · (reθ) = rFθ
pois,∂r
∂r=∂ (rer)
∂r= er
∂r
∂θ=∂ (rer)
∂θ= r
∂er
∂θ= reθ.
Temos duas coordenadas generalizadas que sao
as coordenadas polares r e θ, portanto, as
equacoes do movimento sao dadas por:
d
dt
(∂T
∂xi
)− ∂T
∂xi
= Qi (i = r, θ) (6.90)
Assim, para a coordenada r temos
∂T
∂r= mr;
∂T
∂r= mrθ2 (6.91)
Portanto, a equacao de movimento para a co-
ordenada r e
mr −mrθ2 = Fr, (6.92)
Observe que o segundo termo do lado direito
da eq. (6.92) e a forca centrıpeta. Para a co-
ordenada θ temos
∂T
∂θ= mr2θ;
∂T
∂θ= 0
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Portanto, a equacao de movimento para a co-
ordenada θ e
d
dt
(mr2θ
)= mr2θ + 2mrrθ = rFθ
Note que o lado esquerdo desta equacao e a
derivada no tempo do momentum angular, e o
lado direito e exatamente o torque, pois, L =
mvr = mrθr = mr2θ enquanto N = rer ×(Frer + Fθeθ) logo N = rFθ.
Ao inves de determinar-se primeiramente a
energia cinetica em coordenadas cartesianas e,
depois, transforma-la em termos de coordena-
das generalizadas, como no exemplo acima, em
geral e mais rapido escrever a energia cinetica
diretamente em termos das coordenadas ge-
neralizadas, a partir do conhecimento de seu
significado geometrico, sendo, entao, possıvel
resolver o problema escolhendo-se apropriada-
mente as coordenadas generalizadas sem es-
crever explicitamente as equacoes de trans-
formacao. Por exemplo, e facil chegar a eq.
(6.84) a partir do significado geometrico das
coordenadas r e θ, observando-se que a veloci-
dade linear associada a variacao de r e r e a
associada a θ e rθ. Como as direcoes das velo-
cidades associadas a r e θ sao perpendiculares,
o quadrado da velocidade total sera
v2 = r2 +(rθ
)2
a partir da qual se pode obter imediatamente
a eq. (6.84). Deve-se tomar cuidado ao aplicar
este metodo, caso as velocidades associadas as
variacoes das coordenadas nao sejam perpendi-
culares. Para ilustrar este caso veja o exemplo
58.
Exemplo 68 Considere um plano inclinado
de massa M com um angulo de inclinacao θ
em repouso sobre uma superfıcie sem atrito.
Em um dado instante abandonamos sobre a su-
perfıcie do plano inclinado um bloco de massa
m, a uma altura H da superfıcie horizontal.
Entre as superfıcies do bloco e do plano nao
tem atrito. Determine a velocidade do plano
inclinado e do bloco quando este tocar a su-
perfıcie horizontal.
Figura 6.35: Bloco apoiado sobre a superfıcie
de um plano inclinado. Nao tem atrito entre
as superfıcies.
Solucao:
Inicialmente e necessario escolher as coorde-
nadas generalizadas adequadas para a solucao
deste problema. Para tal, observa-se que os
corpos do sistema, o plano inclinado e o bloco,
cada um tem dois graus de liberdade, assim
o sitema tera quatro graus de liberdade. En-
tretanto o plano inclinado tem o seu movi-
mento restrito a superfıcie horizontal enquanto
o bloco tem o seu movimento restrito a su-
perfıcie do plano inclinado. Portanto, te-
mos quatro graus de liberdade e dois vınculos
para o sistema, desta forma so sera necessario
duas coordenadas generalizadas para descreve-
lo. Por uma questao de simplicidade, as co-
ordenadas X e S representadas na figura 6.36
abaixo sao as mais adequadas para solucao do
problema. O vetor X representa o desloca-
mento de um ponto do plano inclinado e este
e um vetor unidimensional, por sua vez o ve-
tor S representa o deslocamento do bloco de
massa m em relacao ao plano inclinado. Como
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o plano inclinado adquiri uma aceleracao hori-
zontal, entao qualquer sistema de coordenadas
em relacao ao mesmo nao sera inercial e para
usar o formalismo lagrangeano, deve-se escre-
ver as energias cinetica e potencial em relacao
a um unico referencial inercial.
Figura 6.36: Bloco apoiado sobre a superfıcie
de um plano inclinado. Nao tem atrito entre
as superfıcies.
Escolhendo o nıvel zero de energia potencial
gravitacional no topo do plano inclinado com o
sistema de coordenadas de acordo com a figura
6.36, a energia potencial gravitacional do bloco
e entao dada por:
U(S) = −mgS sen θ.
Observe, que o movimento do plano inclinado
nao ira alterar sua energia potencial gravita-
cional, portanto nao e necessario leva-la em
conta, pois estarıamos adicionando uma cons-
tante a energia potencial gravitacional do sis-
tema, o que nao ira mudar a equacoes de mo-
vimento que serao encontradas.
O sistema de coordenadas xOy representam
um sistema inercial, logo pode-se escrever a
energia cinetica em relacao a este sistema.
Como
V =dX
dt; vs =
dS
dt; v =
dr
dt.
Entao a energia cinetica do sistema no refe-
rencial inercial xOy e dada por
T =1
2MV 2 +
1
2mv2.
Entretanto as coordenadas generalizadas esco-
lhidas foram X e S, logo deve-se expressar a
velocidade v em termos das velocidades gene-
ralizadas V e vs. Da relacao vetorial entre as
velocidades, tem-se que:
v = V + vs
logo
v2 = v · v= (V + vs) · (V + vs)
= V 2 + v2s + 2V vs cosα
= V 2 + v2s − 2V vs cos θ.
Observe que α + θ = π, logo cosα = − cos θ.
Com esta relacao entre v2 e as velocidades ge-
neralizadas a energia cinetica e expressa em
termos das velocidades generalizadas por
T =1
2(M +m)V 2 +
1
2mv2
s −mV vs cos θ
T =1
2(M +m)X2 +
1
2mS2 −mXS cos θ.
A lagrangeana do sistema e dada por
L = T − U,
e a equacoes de movimento por
d
dt
(∂L
∂qi
)− ∂L
∂qi= 0 qi = (X,S) .
Para a coordenada X a equacao de Lagrange
fornece
(M +m)X −mS cos θ = 0,
Prof. Salviano A. Leao 225
assim
X =m cos θ
M +mS. (6.93)
A equacao de Lagrange para a coordenada S
pode ser escrita como
S − X cos θ − g sen θ = 0
S − X cos θ = g sen θ. (6.94)
Substituindo a eq. (6.93) na eq. (6.94), obtem-
se que,
(M +m sen2 θ)
M +mS = g sen θ
ou ainda
S =M +m
(M +m sen2 θ)g sen θ. (6.95)
Desta forma, a aceleracao X e dada por
X =m cos θ sen θ
(M +m sen2 θ)g. (6.96)
Obteve-se as duas aceleracoes generalizadas, e
basta integra-las para obter-se as velocidades
e coordenadas generalizadas como uma funcao
do tempo, ja que as mesmas sao constante.
Portanto, integrando estas obtem-se que:
X(t) = −1
2Xt2
V (t) = −Xt
e
S(t) =1
2St2
vs(t) = +St.
Quando o bloco de massa m chegar ao solo
tem-se que S sen θ = H, logo este instante tc
de chegada ao solo e dado por:
tc =
√2H
S sen θ. (6.97)
Substituindo tc na expressao para a velocidade
V (t), encontra-se que
V (tc) = −√
2HX2
S sen θ
= −√
2gHm2cos2θ
(M +m)(M +m sen2 θ).
e a velocidade do plano no instante que o bloco
chega ao solo.
No exemplo, anterior ficou claro como deve-
mos tratar a questao do referencial inercial no
formalismo lagrangeano.
6.11.1 Vınculos nas equacoes de
Lagrange
Num sistema holonomico de N partıculas
submetidas a k vınculos independentes, pode-
se expressar os vınculos atraves das relacoes
entre eles e as 3N coordenadas cartesianas
(incluindo-se, possivelmente, o tempo, caso os
vınculos variem com ele):
fi(x1, x2, . . . , x3N ; t) = ai
i = 1, 2, . . . , k(6.98)
em que as fi(x1, x2, x3, . . . , x3N , t) sao as k
funcoes especificadas. O numero de graus de
liberdade sera entao n = 3N − k.Como as eqs. (6.98) sao independentes,
pode-se resolve-las para k das 3N coordenadas
cartesianas em termos de outras 3N − k coor-
denadas e das constantes a1, . . . , ak. Assim, so
e necessario especificar 3N−k coordenadas, as
coordenadas restantes poderao ser determina-
das a partir das Eqs. (6.98), caso as constantes
a1, . . . , ak sejam conhecidas. E possıvel con-
siderar como coordenadas generalizadas estas
3N − k coordenadas cartesianas e as k gran-
dezas a1, . . . , ak, definidas pelas eqs. (6.98), e
Prof. Salviano A. Leao 226
sao mantidas constantes pelos vınculos. Pode-
se tambem definir 3N −k coordenadas genera-
lizadas q1, q2, . . . , qn de uma maneira qualquer
conveniente tal que:
qi = qi(x1, . . . , x3N ; t) i = 1, . . . , n (6.99)
As eqs. (6.98) e (6.99) definem um conjunto de
3N coordenadas q1, . . . , qn, que sao analogas
as Eqs. (6.8). A partir destas obtem-se as
relacoes entre elas e as coordenadas cartesia-
nas:
xi = xi(q1, q2, . . . , qn; a1, . . . , ak; t)
i = 1, 2, . . . , 3N(6.100)
Considere Q1, . . . , Qn, Qn+1, . . . , Qn+k como
forcas generalizadas, correspondentes as coor-
denadas q1, . . . , qn; a1, . . . , ak. Logo, ha um
conjunto de equacoes de Lagrange para as co-
ordenadas com vınculos e outro para as outras
coordenadas sem vınculos, assim tem-se:
d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.101)
d
dt
(∂T
∂aj
)− ∂T
∂aj
= Qn+j
j = 1, 2, . . . , k; k = 3N − n.(6.102)
A importancia desta separacao em dois gru-
pos de equacoes esta no fato de as forcas de
vınculo podem ser escolhidas de forma que nao
realizem trabalho, a nao ser que os vınculos
sejam violados, como veremos a seguir. Se
isto for verdade, entao, de acordo com a de-
finicao (6.54) de forca generalizada, as forcas
de vınculo nao contribuem para a forca gene-
ralizada Qk, associada a uma coordenada sem
vınculo qk. Como os valores das coordenadas
de vınculo a1, . . . , ak sao mantidas constantes,
resolve-se as eqs. (6.101) para o movimento do
sistema em termos das coordenadas q1, . . . , qn,
tratando a1, . . . , ak como constantes conheci-
das, sem no entanto, conhecer as forcas de
vınculo. E uma grande vantagem porque as
forcas de vınculo dependem do movimento do
sistema, e nao podem em geral, serem determi-
nadas ate que o movimento do sistema tenha
sido determinado. Em geral, tudo que se sabe
sobre as forcas de vınculo e que os seus valores
sao exatamente aqueles necessarios para man-
ter os vınculos. Apos obter a solucao das eqs.
(6.101), e determinar q1(t), . . . , qn(t), pode-se
entao, caso se deseje, substituir estas funcoes
nas eqs. (6.102) e calcular as forcas de vınculo.
Este aspecto pode ter consideravel interesse
para os engenheiros que querem verificar se os
vınculos sao suficientemente fortes para resis-
tir a essas forcas. As equacoes de Lagrange
reduzem o problema de determinacao do movi-
mento de um sistema holonomo qualquer com
n graus de liberdade em um outro problema
no qual deve-se resolver n equacoes diferenciais
de segunda ordem (6.101). Quando se fala de
coordenadas generalizadas, as coordenadas de
vınculo a1, . . . , ak podem ou nao ser incluıdas,
de acordo com a conveniencia.
Quando uma conta desliza sem atrito por
um arame, este so podera exercer forcas de
vınculos perpendiculares a ele, de forma que
nenhum trabalho seja realizado sobre a conta
enquanto ela permanecer sobre o arame3. Se
houver atrito, separa-se a forca exercida so-
bre a conta em duas componentes: uma com-
ponente perpendicular ao arame que segura
3Se o arame estiver em movimento a forca que eleexerce sobre a conta podera realizar trabalho. Entre-tano, os deslocamentos virtuais em termos dos quaisas forcas generalizadas foram definidas, deveram serconsiderados como se ocorressem em um determinadoinstante de tempo e de tal modo que nao violem osvınculos. Desta forma, nao havera trabalho virtual re-alizado em um destes deslocamentos virtuais. Entao,mesmo no caso de vınculos em movimento, as forcas devınculos nao aparecem nas forcas generalizadas, asso-ciadas as coordenadas sem vınculos.
Prof. Salviano A. Leao 227
a conta no arame e que nao realiza nenhum
trabalho, a normal, e numa componente para-
lela ao arame que e a forca de atrito ao longo
do arame e que realiza trabalho e, portanto,
tera de ser incluıdo na forca generalizada as-
sociada ao movimento que se da ao longo do
arame. Se a forca de atrito depender da forca
normal, da mesma forma que no deslizamento
em superfıcies secas, entao nao se pode resol-
ver as eqs. (6.101) independentemente das eqs.
(6.102), neste caso, perde-se algumas das van-
tagens do metodo de Lagrange. Neste caso,
resolve-se primeiramente, as eqs. (6.102) para
determinar as forcas normais em termos de
q1, . . . , qn, e em seguida, substitui-se as forcas
normais nos termos das forcas de atrito das
eqs. (6.101).
Considere duas partıculas separadas por
uma distancia a qual e mantida fixa atraves de
uma haste rıgida, entao, de acordo com a ter-
ceira lei de Newton, a forca exercida pela haste
sobre uma partıcula sera igual e oposta a forca
exercida sobre a outra partıcula. Para um
corpo rıgido mostra-se que nao havera traba-
lho realizado sobre o sistema se os vınculos nao
forem violados, isto e, se ele nao for esticado
nem comprimido. Encontra-se situacoes seme-
lhantes em todos os outros casos; os vınculos
devem sempre ser mantidos por forcas que nao
realizam trabalho.
Se as forcas Q1, . . . , Qn, forem obtidas a
partir de uma funcao energia potencial, entao
e possıvel definir uma funcao lagrangeana
L(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn) que pode, em alguns
casos, depender de t, e que tambem pode de-
pender das constantes a1, . . . , ak. Entao, as
primeiras n equacoes de Lagrange (6.101) po-
derao ser escritas na seguinte forma:
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.103)
6.11.2 Exemplos de Sistemas
Sujeitos a Vınculos
Um sistema mecanico simples que contem
vınculos e a maquina de Atwood, mostrada
na Fig. 6.37. Os pesos m1 e m2 sao ligados
Figura 6.37: Sistema mecanico simples, a
maquina de Atwood.
por uma corda de comprimento ` que passa
por uma polia. Admita que os pesos so se
movam na vertical, de forma a haver apenas
um grau de liberdade. Tome como coordena-
das a distancia x de m1 ao eixo da polia e
`, o comprimento da corda. A coordenada `
esta vinculada a um valor constante, e pode-
ria ser deixada de lado desde o inıcio, caso se
quisesse determinar apenas o movimento, mas
para determinar-se tambem a tracao na corda,
deve-se incluir ` como uma das coordenadas.
A energia cinetica sera
T =1
2m1x
2 +1
2m2( ˙− x)2. (6.104)
As unicas forcas agindo sobre m1 e m2 sao a
tracao Ft na corda e a forca de gravidade. O
trabalho realizado num deslocamento δx, en-
quanto ` permanece constante, sera
δW = (m1g − FT )δx− (m2g − FT )δx
= (m1 −m2)gδx = Qxδx,
Prof. Salviano A. Leao 228
de tal forma que
Qx = (m1 −m2)g (6.105)
Note que Qx e independente de FT . O trabalho
realizado, quando ` sofre um acrescimo δ` e x
permanece constante, sera
δW = (m2g − FT )δ` = Q`δ` (6.106)
de forma que
Q` = m2g − FT . (6.107)
Note que, para se obter uma equacao envol-
vendo o vınculo FT , deve-se considerar um mo-
vimento que viole o vınculo, o que tambem
sera verdade para medir a forca de acordo com
a Fısica, devendo-se permitir pelo menos um
pequeno deslocamento na direcao a ela. As
equacoes de Lagrange para este movimento sao
(pois ˙ = ¨= 0)
d
dt
(∂T
∂x
)− ∂T
∂x= (m1 +m2)x = (m1 −m2)g
(6.108)
x =m1 −m2
m1 +m2
g.
d
dt
(∂T
∂ ˙
)− ∂T∂`
= −m2x = m2g−FT (6.109)
A primeira equacao deve ser resolvida para
obter-se a equacao de movimento:
x = x0 + v0t+1
2
m1 −m2
m1 +m2
gt2 (6.110)
A segunda equacao pode ser usada na deter-
minacao da tracao FT , necessaria para manter
o vınculo
FT = m2(g + x) =2m1m2
m1 +m2
g. (6.111)
Neste caso, a tracao e independente do tempo
e pode ser obtida imediatamente a partir das
eqs. (6.108) e (6.109), embora, na maioria dos
casos, as forcas de vınculo dependam do movi-
mento e so podem ser determinadas depois que
o movimento tambem o for. As eqs. (6.108) e
(6.109) tem uma interpretacao fısica obvia e
podem ser obtidas imediatamente a partir de
consideracoes elementares, como foi feito ante-
riormente.
6.12 Aplicacoes da For-
mulacao Lagrangeana
Mostrou-se na secao anterior que para siste-
mas onde pode-se definir uma lagrangeana, isto
e, sistemas holonomos com forcas aplicadas de-
rivaveis de um potencial generalizado ordinario
com vınculos que nao realizam trabalho, tem-
se uma maneira muito conveniente de definir
(escrever) as equacoes de movimento. A for-
mulacao lagrangeana foi obtida pelo desejo de
eliminar-se as forcas de vınculo das equacoes
de movimento, e este objetivo foi alcancado
obteve-se outros benefıcios. Ao definir (escre-
ver) a forma original das equacoes de movi-
mento, ∑
j 6=i
Fij + F(e)i = pi,
e necessario trabalhar com muitas forcas veto-
riais e aceleracoes. Com o metodo Lagrange-
ano, trata-se somente com duas funcoes esca-
lares T e V , o que simplifica enormemente o
problema. Uma rotina de procedimentos dire-
tos pode ser estabelecida para todos os proble-
mas da mecanica para os quais a formulacao
lagrangeana e aplicavel. Basta escrever T e V
em coordenadas generalizadas e a partir delas
a lagrangeana L, e em seguida substituir a la-
grangeana L nas equacoes de movime nto de
Lagrange (6.71) para obter as equacoes de mo-
vimento para cada coordenada generalizada.
Prof. Salviano A. Leao 229
Exemplo 69 Considere uma partıcula de
massas m, presa a uma corda de massa des-
prezıvel, que e deslocada de sua posicao de
equilıbrio de um angulo θ em relacao ao
eixo vertical (conforme mostra a figura 6.38
abaixo), e e solta neste ponto. Encontre a la-
grangeana e as equacoes de movimento do sis-
tema.
Figura 6.38: Pendulo Simples.
Solucao:
Este sistema bidimensional tem dois graus
de liberdade, e uma restricao dada pela equacao
de vınculo x2 + y2 − `2 = 0 holonomica. Por-
tanto o sistema tem um grau de liberdade e
sera necessario uma unica coordenada genera-
lizada, para descreve-lo. O angulo θ com o eixo
vertical, conforme a figura 6.38, e uma boa es-
colha para a coordenada generalizada. Neste
caso, a energia cinetica da massa presa ao
pendulo e expressa por
T =1
2mv2 =
1
2m(`θ)2 =
1
2m`2θ2.
na qual ` e o comprimento do pendulo.
A energia potencial do massa presa ao
pendulo e dada por
V = −mg` cos θ,
e neste caso, o referencial para a energia poten-
cial usado foi o ponto onde a corda do pendulo
esta presa.
A lagrangeana L = T−V do sistema e entao
L =1
2m`2θ2 +mg` cos θ.
As equacoes de movimento sao obtidas a partir
da equacao de Lagrange,
d
dt
(∂L
∂θ
)− ∂L
∂θ= 0. (6.112)
Da lagrangeana L encontrada, tem-se que
∂L
∂θ= m`2θ
∂L
∂θ= −mg` sen θ (6.113)
portanto, a equacao de movimento de Lagrange
para a coordenada θ pode ser escrita como
m`2θ +mg` sen θ = 0. (6.114)
Assim, a equacao de movimento do pendulo e
dada por
θ +(g`
)sen θ = 0. (6.115)
Para pequenas oscilacoes, tem-se que
sen θ ≈ θ, logo a equacao de movimento pode
ser reescrita como
θ +(g`
)θ = 0. (6.116)
que e a equacao de um oscilador harmonico
simples, cuja solucao e
θ(t) = θ0 cos (ω0t+ δ) . (6.117)
em que,
ω0 =
√g
`. (6.118)
As constantes de integracao θ0 e δ sao dadas
pelas condicoes iniciais do problema.
Exemplo 70 Considere um projetil em movi-
mento sob influencia da gravidade. Obtenha as
equacoes de movimento em coordenadas carte-
sianas e tambem em coordenadas polares.
Solucao:
Prof. Salviano A. Leao 230
Figura 6.39: Projetil lancado em um campo
gravitacional constante.
Em coordenadas cartesianas, pode-se escre-
ver
T =1
2m
(x2 + y2
)e U = mgy
L = T − U =1
2m
(x2 + y2
)−mgyAs equacoes de movimento para x sao:
d
dt
(∂L
∂x
)− ∂L
∂x= 0,
d
dtmx− 0 = 0 ⇒ x = 0.
Ja para a coordenada y tem-se
d
dt
(∂L
∂y
)− ∂L
∂y= 0,
d
dtmy +mgy = 0 ⇒ y = −g.
Em coordenadas cartesianas, as equacoes de
movimento sao facilmente resolvidas e a sua
solucao e dada por
x(t) = x0 + v0xt
y(y) = y0 + v0yt− 12gt2
Em as coordenadas polares a energia cinetica
e dada por
T =1
2m
[r2 + (rθ)2
]
e a energia potencial por
U = mgr sen θ,
logo, a lagrangeana L = T − U do sistema e
L =1
2m
[r2 + (rθ)2
]−mgr sen θ
As equacoes de movimento para a coordenada
r sao odtidas da equacao de movimento de La-
granged
dt
(∂L
∂r
)− ∂L
∂r= 0,
que fornecem a seguinte equacao para a coor-
denada r
d
dtmr −mrθ2 +mgr sen θ = 0,
a qual pode ser reescrita como
r − rθ2 + g sen θ = 0.
Para a coordenada θ a equacao de movimento
de Lagrange e
d
dt
(∂L
∂θ
)− ∂L
∂θ= 0,
a qual, usando a lagrangeana L do sistema
encontra-se a seguinte equacao de movimento
d
dt
(mr2θ
)+mgr cos θ = 0,
a qual pode ser reescrita na seguinte forma
r2θ + 2rrθ + gr cos θ = 0.
Claramente, as equacoes de movimento sao
muito mais complicadas em coordenadas pola-
res do que em coordenadas cartesianas. Isto
acontece porque em coordenadas cartesianas a
energia potencial so depende de y, ao passo que
em coordenadas polares a energia potencial U
e funcao de ambas as coordendas r e θ.
Exemplo 71 Uma partıcula de massa m
move-se sobre a superfıcie de um cone de meio-
angulo α (figura 6.40 abaixo) sob acao da forca
gravitacional. Escreva a lagrangeana do sis-
tema em termos de um conjunto proprio de co-
ordenadas generalizadas e obtenha as equacoes
de movimento.
Prof. Salviano A. Leao 231
Figura 6.40: Movimento de uma partıcula so-
bre a superfıcie de um cone.
Solucao:
Devido a simetria cilındrica do problema,
e conveniente usar as coordenadas cilındricas
r, θ, z como coordenadas generalizadas. Sendo
assim, o quadrado da velocidade e dada por
v2 = r2 + (rθ)2 + z2
e as energias cinetica e potencial sao dadas
por,
T =1
2m
[r2 + (rθ)2 + z2
]
U = mgz.
logo, a lagrangeana L = T − U do sistema e
L =1
2m
[r2 + (rθ)2 + z2
]−mgz.
Apesar das coordenadas cilındricas r, θ, z cons-
tituırem um conjunto capaz de descrever o pro-
blema, elas nao formam um conjunto proprio
de coordenadas generalizadas porque existe
uma relacao de vınculo entre as coordenadas
r e z dada por
z = r cotgα ⇒ z = r cotgα.
Pode-se eliminar a coordenada z (poderia-se
eliminar tambem r em favor de z, em vez de z
em favor de r) e escrever
L =1
2m
[r2 cossec2 α + (rθ)2
]−mgr cotgα.
A equacao de movimento para θ e muito sim-
ples:
∂L
∂θ= 0 ⇒ d
dt
(∂L
∂θ
)= 0
∂L
∂θ= mr2θ = cte.
Observe que mr2θ = Iω = `z e o momentum
angular da partıcula em torno do eixo z, de
forma que a equacao de movimento para θ nada
mais e que uma expressao da conservacao da
componente z do momentum angular.
Por sua vez, a equacao de Lagrange para r
d
dt
(∂L
∂r
)− ∂L
∂r= 0,
fornece a seguinte equacao de movimento
r − rθ2 sen2 α+ g senα cosα = 0,
que ainda pode ser expressa como,
r −(`z senα
m
)21
r3+ g senα cosα = 0.
Exemplo 72 Considere um pendulo simples
de comprimento b, cujo o ponto de apoio esta
preso a um anel de raio a que gira com uma
velocidade angular ω constante, conforme mos-
tra a figura 6.41 abaixo. Obtenha as expressoes
para as componentes cartesianas da velocidade
e da aceleracao da massa m em termos de θ.
Obtenha, via equacao de Lagrange, uma ex-
pressao para a aceleracao angular θ.
Solucao:
Este e um exemplo interessante, pois como
a massa m move-se em um plano, ela deve
ter dois graus de liberdade, entretanto, ela esta
Prof. Salviano A. Leao 232
Figura 6.41: Pendulo fixo a um anel girando
com velocidade angular constante.
restrita a mover-se presa a uma haste que esta
presa a um anel conforme a figura 6.41. Por-
tanto, devido a esta restricao do seu movi-
mento, ela tera um grau de liberdade. Como
coordenada generalizada a escolha conveniente
e o angulo θ. As componentes cartesianas do
vetor posicao da massa m sao:
x = a cosωt+ b sen θ
y = a senωt− b cos θ
Derivando em relacao ao tempo, encontra-se
as componentes da velocidade:
x = −aω senωt+ bθ cos θ
y = aω cosωt+ bθ sen θ
Derivando mais uma vez, obtem-se a ace-
leracao:
x = −aω2 cosωt+ b(θ cos θ − θ2 sen θ
)
y = −aω2 senωt+ b(θ sen θ + θ2 cos θ
)
A lagrangeana pode ser escrita, em coordena-
das cartesianas, como
L = T − U =1
2m
(x2 + y2
)−mgy
Observe que o ponto de referencia para a ener-
gia potencial e o y = 0. Substituindo as ex-
pressoes acima para as velocidades, obtem-se
a lagrangeana
L =1
2m
[a2ω2 + b2θ2 + 2baθω sen (θ − ωt)
]
−mg (a senωt− b cos θ)
As derivadas da lagrangeana sao dadas por:
∂L
∂θ= mbaθω cos (θ − ωt)−mgb sen θ
∂L
∂θ= mb2θ +mbaω sen (θ − ωt)
d
dt
(∂L
∂θ
)= mb2θ+mbaω
(θ − ω
)cos (θ − ωt) .
Desta forma, a equacao de movimento para o
pendulo e dada por:
θ =ω2a
bcos (θ − ωt)− g
bsen θ.
Note que, se ω = 0, obtem-se a equacao de
movimento conhecida para o pendulo simples.
6.13 Energia Cinetica em
Coordenadas Genera-
lizadas
A transformacao necessaria de T e V do
sistema de coordenadas cartesianas para o de
coordenadas generalizadas e obtida aplicando
as equacoes de transformacao (6.49) e o fato
de que qj = qj (r1, r2, ..., rn, t). A energia
cinetica e considerada como sendo uma funcao
das coordenadas generalizadas e das veloci-
dades e possivelmente do tempo t, ou seja,
T = T (q, q, t). Em coordenadas cartesianas
a energia cinetica T e uma funcao homogenea
e quadratica das velocidades vi = ri;
T =1
2
N∑i=1
mir2i =
1
2
N∑i=1
miv2i (6.119)
como,
ri =n∑
j=1
∂ri
∂qjqj +
∂ri
∂t= vi (6.120)
Prof. Salviano A. Leao 233
Deve-se observar que ri e uma funcao linear
das velocidades qj e que ∂ri
∂qje ∂ri
∂tsao funcoes
somente das coordenadas qj e do tempo t.
O quadrado de r2i e dado por
r2i =
(n∑
j=1
∂ri
∂qjqj +
∂ri
∂t
)·
(n∑
k=1
∂ri
∂qkqk +
∂ri
∂t
)
=n∑
j,k=1
∂ri
∂qj· ∂ri
∂qkqj qk +
2n∑
k=1
∂ri
∂qk· ∂ri
∂tqk +
∂ri
∂t· ∂ri
∂t
assim, a energia cinetica pode ser escrita como
T (q, q, t) = M0 +∑
j
Mj qj +1
2
∑
j,k
Mjkqj qk
(6.121)
em que M0, Mj, Mjk sao funcoes definidas das
coordenadas r e do tempo t e portanto, das
coordenadas generalizadas q e t. De fato, uma
comparacao mostra que
M0 = 12
N∑i=1
mi
(∂ri
∂t
)2
Mj =N∑
i=1
mi∂ri
∂t· ∂ri
∂qj
Mjk =N∑
i=1
mi∂ri
∂qj· ∂ri
∂qk
(6.122)
Observe que se Mjk = mjδjk, ou seja Mjk
sera zero exceto quando j = k, neste caso,
pode-se afirmar que o sistema de coordena-
das usado e ortogonal. Os coeficientes M0 e
Mj serao iguais a zero quando as coordenadas
ri = ri (q1, q2, . . . , qn) nao dependerem expli-
citamente do tempo, isto e, quando o sistema
de coordenadas generalizadas nao variar com o
tempo.
Portanto, a energia cinetica T de um sistema
sempre pode ser escrita como a soma de tres
funcoes homogeneas das velocidades generali-
zadas da seguinte forma,
T = T0 + T1 + T2, (6.123)
na qual, o termo T0 e independente das veloci-
dades generalizadas, o T1 e linearmente depen-
dente e o T2 e quadraticamente dependente das
velocidades. Se as equacoes de transformacoes
nao contem o tempo explicitamente como pode
ocorrer quando os vınculos sao independentes
do tempo (vınculos escleronomos), entao so-
mente o ultimo termo de (6.123) e nao nulo
e T sempre sera uma funcao quadratica e ho-
mogenea das velocidades generalizadas:
T =1
2
∑
j,k
Mjkqj qk. (6.124)
Agora diferenciando T com respeito a q`:
∂T
∂q`=
1
2
n∑
j,k
(Mjk
∂qj∂q`
qk +Mjkqj∂qk∂q`
)
=1
2
n∑
j,k
(Mjkδj`qk +Mjkqjδk`)
Como os ındices sao mudos, entao no ultimo
termo do lado direito da equacao acima pode-
se trocar os ındices j por k, obtendo
∂T
∂q`=
n∑
k=1
M`kqk
Multiplicando esta equacao por q` e somando
sobre ` obtem-se que
n∑
`=1
q`∂T
∂q`=
n∑
k,`=1
M`kqkq` = 2T (6.125)
O resultado acima e um caso especial do te-
orema de Euler, o qual nos diz que se f(yi) e
uma funcao homogenea de yi, a qual e de grau
n, isto e,
f(λyi) = λnf(yi) (6.126)
Prof. Salviano A. Leao 234
entao ∑i
yi∂f
∂yi
= nf(yi) (6.127)
Definicao 1 Funcao homogenea: Se uma
funcao f(x, y) satisfaz
f(λx, λy) = λnf(x, y)
para algum numero real n, entao dizemos que
f e uma funcao homogenea de grau n.
Como uma ilustracao do teorema de Euler,
considere uma partıcula de massa m sobre a
influencia de uma forca derivada de um poten-
cial dependente somente da posicao. Em co-
ordenadas cartesianas, a energia cinetica T e
dada por
T =1
2
3∑i=1
mx2i
a qual e uma funcao homogenea em xi e de
grau n = 2. Entao de acordo com o teorema
de Euler temos:
3∑j=1
xj∂T
∂xj
= 2T
como era esperado. A lagrangeana L = T − Vda partıcula e
L =1
2
3∑i=1
mx2i − V. (6.128)
Exemplo 73 Considere um par de eixos coor-
denados u e w que fazem entre si um angulo α
menor do que 90, como e mostrado na figura
6.42. Considere tambem que u e w sejam os
lados de um paralelogramo formado por estes
eixos e por linhas paralelas aos eixos que pas-
sam pela massa m, como e mostrado na figura
6.42. Considere, ainda, que eu e ew sejam ve-
tores unitarios na direcao de crescimento de u
e w. Determine a energia cinetica e a equacoes
de movimento neste sistema de coordenadas.
Figura 6.42: Sistema de coordenadas nao-
ortogonais.
Solucao:
Usando u e w como coordenadas, a veloci-
dade da massa m sera
v = ueu + wew (6.129)
A energia cinetica sera entao
T =1
2mv · v =
1
2m(u2 + w2 + 2uw cosα)
(6.130)
Este e um exemplo de um conjunto nao-
ortogonal de coordenadas para o qual aparece
na energia cinetica o termo cruzado das velo-
cidades. A razao para se usar o termo ortogo-
nal (que significa perpendicular) torna-se clara
a partir deste exemplo. Quando os sistemas
com mais do que uma partıcula sao descritos
em termos de coordenadas generalizadas, em
geral e mais seguro escrever primeiramente a
energia cinetica em coordenadas cartesianas e
transforma-la em seguida em coordenadas ge-
neralizadas. Entretanto, em alguns casos, e
possıvel escrever a energia cinetica diretamente
em coordenadas generalizadas. Por exemplo,
quando um corpo rıgido gira em torno de um
eixo, sabe-se que a energia cinetica e igual a
Prof. Salviano A. Leao 235
12Iω2, onde ω e a velocidade angular em torno
do eixo e I e o momento de inercia. Se a velo-
cidade linear de cada partıcula do sistema pu-
der ser escrita diretamente em termos das co-
ordenadas e velocidades generalizadas, entao,
escreve-se imediatamente a energia cinetica.
6.14 Momentum Generali-
zado
No caso anterior, ao tomarmos a derivada
parcial de L com respeito a xi obtemos
∂L
∂xj
= mxi = pi (6.131)
que e a componente xi do momentum linear
da partıcula. Este resultado sugere uma ex-
tensao ao conceito de momentum. Portanto,
definiremos o momentum generalizado Pi cor-
respondente a coordenada generalizada qi como
Pi =∂L
∂qi. (6.132)
Ele e em geral, uma funcao dos q, q e t.
Note entretanto que, a lagrangeana na maio-
ria das situacoes e uma funcao quadratica dos
qi e Pi e uma funcao linear dos qi. E evidente
que se qi nao for uma coordenada cartesiana,
Pi nao necessariamente tera dimensao de mo-
mentum linear. Alem disso, se existir um po-
tencial dependente da velocidade entao, como
ocorre com uma coordenada cartesiana, para a
coordenada qi o momentum Pi correspondente,
como definido anteriormente, nao sera identico
ao momentum mecanico usual.
6.15 Potenciais Dependen-
tes da Velocidade
Ate o momento viu-se que as equacoes de
Lagrange so podem ser escritas na forma da
eq. (6.71), se houver uma funcao potencial V ,
no senso comum. Entretanto, se as forcas exer-
cidas sobre um sistema dinamico dependerem
das velocidades, e se conseguirmos encontrar
uma funcao U (q, q, t), tal que as forcas gene-
ralizadas possam ser escritas na forma
Qj = −∂U∂qj
+d
dt
(∂U
∂qj
)(6.133)
Entao, nos casos em que forem possıveis deter-
minar esta funcao U (q, q, t) sera possıvel defi-
nir uma funcao lagrangeana
L = T − U (6.134)
como as (6.71), a qual ainda segue as eqs.
(6.64). A funcao U pode ser chamado de um
”potencial generalizado”, ou potencial depen-
dente da velocidade. Existindo tambem forcas
derivaveis de potenciais comuns V (q), estes po-
tenciais V podem ser incluıdos em U , pois a eq.
(6.133) reduz-se a eq. (6.71) para os termos
que nao contem as velocidades. A funcao po-
tencial generalizado U tambem pode depender
explicitamente do tempo t.
Pode-se mostrar que as forcas generalizadas
Qk devido aos potenciais generalizados U , sa-
tisfazem a seguinte relacao
n∑
k=1
Qkqk =d
dt
(n∑
k=1
qk∂U
∂qk− U
)+∂U
∂t.
(6.135)
pois, de fato,
d
dt
(n∑
k=1
qk∂U
∂qk− U
)=
n∑
k=1
[∂U
∂qkqk+
d
dt
(∂U
∂qk
)qk − ∂U
∂qkqk − ∂U
∂qkqk
]− ∂U
∂t
=n∑
k=1
qk
[d
dt
(∂U
∂qk
)− ∂U
∂qk
]− ∂U
∂t
=n∑
k=1
qkQk − ∂U
∂t(6.136)
Prof. Salviano A. Leao 236
Para um potencial generalizado do tipo es-
pecial
U(q, q) =n∑
k=1
qkAk(q1, . . . , qn) (6.137)
conforme a eq. (6.137), temos que o trabalho
por unidade de tempo sera nulo, ou seja,
n∑
k=1
qkQk = 0. (6.138)
Thomson chamou estas forcas de giroscopicas.
A relacao (6.138) significa, que o trabalho na
unidade de tempo para as forcas giroscopicas
e identicamente nulo.
Um caso particular de forcas giroscopicas e
o da forca de Lorentz. Portanto, a forca de
Lorentz nao realiza trabalho.
Se o potencial generalizado U nao depender
explicitamente do tempo t e se o sistema de
coordenadas for fixo, entao a lagrangeana L
sera independente de t e a grandeza
H(q, p, t) =n∑
i=1
qi∂L
∂qi− L (6.139)
sera uma constante do movimento, ou seja,
dH/dt = 0, (o estudante devera demonstrar
esta afirmacao, ver problema 7). Esta funcao
e conhecida como funcao de Hamilton ou ha-
miltoniana do sitema, e ela se caracteriza por
ser a energia total do sistema. Neste caso,
diz-se que as forcas sao conservativas, mesmo
quando dependem da velocidade. Deste resul-
tado, torna-se claro que nao sera possıvel ex-
pressar as forcas de atrito na forma (6.133),
pois a energia total nao e constante quando
existe atrito, a nao ser que se inclua a ener-
gia termica, mas a energia termica nao pode
ser definida em termos das coordenadas e das
velocidades q1, . . . , qn; q1, . . . , qn, portanto, nao
se pode incluı-la na eq. (6.139). Nao e difıcil
mostrar que, se as partes de U dependentes da
velocidade, sao lineares na velocidade, como na
maioria dos exemplos importantes, a energia
E definida pela eq. (6.139) sera exatamente
T + V , onde V e a energia potencial usual e
contem os termos de U independentes das ve-
locidades.
A possibilidade de usarmos um potencial
generalizado U , cuja a forca generalizada Q
tem a forma da eq. (6.133) nao e meramente
um exercıcio academico, pois, ele se aplica a
um tipo de forca muito importante, as cha-
madas forcas eletromagneticas de cargas em
movimento. Como exemplo, considere uma
partıcula de carga q movimentando-se na pre-
senca de um campo eletromagnetico, o qual no
MKSA e descrito pelas equacoes de Maxwell
Lei de Coulomb
∇ ·D = ρ(6.140)
Lei de Faraday
∇× E +∂B
∂t= 0
(6.141)
Lei de Ampere-Maxwell
∇×H− ∂D
∂t= J
(6.142)
Ausencia de polos magneticos livres
∇ ·B = 0
(6.143)
Como a forca atuando sobre a carga q nao e
dada inteiramente pela forca eletrica
F = qE = −q∇φ,
entao este sistema nao e conservativo no senso
comum. De fato, a forca completa e
F = q(E + v ×B). (6.144)
Como ∇ × E 6= 0, entao E nao e mais dado
pelo gradiente de uma funcao escalar, entre-
tanto, como o ∇ · B = 0, segue que podemos
representar o vetor B por
B = ∇×A, (6.145)
Prof. Salviano A. Leao 237
onde A e conhecido como o vetor potencial
magnetico. Entao a equacao do rotacional de
E, pode ser escrita como
∇× E +∂
∂t(∇×A) = ∇×
(E +
∂A
∂t
)= 0,
(6.146)
Portanto, podemos definir
E +∂A
∂t= −∇φ
ou,
E = −∇φ− ∂A
∂t. (6.147)
Em termos dos potenciais φ e A, a forca de
Lorentz (6.144) pode ser escrita como
F = q
−∇φ− ∂A
∂t+ v × (∇×A)
.
(6.148)
Agora, por uma questao de simplicidade va-
mos escrever a componente x da forca, (6.148),
assim
Fx = q
− (∇φ)x −
∂Ax
∂t+
[v × (∇×A)]x . (6.149)
Agora devemos observar que:
[v × (∇×A)]x = vy
(∂Ay
∂x− ∂Ax
∂y
)−
vz
(∂Ax
∂z− ∂Az
∂x
)
= vy∂Ay
∂x+ vz
∂Az
∂x+
vx∂Ax
∂x− vz
∂Ax
∂y−
vz∂Ax
∂z− vx
∂Ax
∂x.
onde, na expressao acima, adicionamos e sub-
traımos o termo
vx∂Ax
∂x.
Como a derivada total de Ax com relacao ao
tempo e
dAx
dt= vx
∂Ax
∂x+ vy
∂Ax
∂y+ vz
∂Ax
∂z+∂Az
∂t
onde o segundo termo surge da variacao
explıcita de Ax com o tempo, e o primeiro
termo resulta do movimento da partıcula com
o tempo, o qual, muda o ponto espacial no
qual Ax e calculado. A componente x de
v × (∇×A), portanto, pode ser escrita como
[v × (∇×A)]x =∂(v ·A)
∂x− dAx
dt+
∂Ax
∂t. (6.150)
substituindo (6.150) em (6.149) obtemos
Fx = q
− ∂
∂x(φ− v ·A)− dAx
dt
Como Ax = Ax (x, t) e nao depende das velo-
cidades entao
∂
∂vx
(A · v) = Ax,
Portanto,
Fx = q
− ∂
∂x(φ− v ·A)
− d
dt
(∂
∂vx
(A · v)
)(6.151)
como o potencial escalar φ tambem e indepen-
dente da velocidade, esta expressao e equiva-
lente a,
Fx = −∂U∂x
+d
dt
∂U
∂vx
. (6.152)
onde
U = qφ− qA · v. (6.153)
O potencial U e um potencial generalizado
no senso da eq. (6.133), e a lagrangeana para
a partıcula carregada em um campo eletro-
magnetico pode ser escrita como:
L = T − qφ+ qA · v = T − U . (6.154)
Pode-se agora, verificar atraves de calculo
direto que a funcao potencial U = qφ− qA · vquando substituıda nas eqs. (6.133), com
Prof. Salviano A. Leao 238
q1, q2, q3 = x, y, z, produz como resultado as
componentes da forca F dada pela eq. (6.144).
Pode-se mostrar que por meio de uma trans-
formacao pontual a funcao lagrangeana L =
T − U fornecera as equacoes do movimento,
corretas quando expressas em termos de um
novo conjunto de coordenadas generalizadas
qualquer (ver problema 6). Pode-se facilmente
mostrar que a energia E definida pela eq.
(6.139) com L = T − U sera
E = T + qφ (6.155)
Se A e φ forem independentes de t, entao L
sera independente de t em um sistema de co-
ordenadas fixo e a energia E sera constante.
Quando existe um potencial dependente da
velocidade, o momentum generalizado Pi nao
muda e continua sendo definido em termos da
funcao lagrangeana por:
Pi =∂L
∂qi. (6.156)
Se o potencial nao dependesse da velocidade,
entao esta definicao seria equivalente a do mo-
mentum linear pi = mvi. Em ambos os casos,
e a derivada em relacao ao tempo de ∂L/∂qi
que aparece na equacao de Lagrange para qi, e
que sera constante se qi, for uma coordenada
ignoravel4. No caso de uma partıcula subme-
tida a forcas eletromagneticas, as componentes
do momentum px, py e pz de acordo com as eqs.
(6.156) e (6.154), podem ser escritas em uma
forma vetorial como
P = mv + qA (6.157)
4Sao aquelas coordenadas que nao aparecem ex-plicitamente na lagragena. Por exemplo, considere alagrangeana L(q1, . . . , qk−1, qk+1, . . . , qn, q1, . . . , qn; t),na qual a coordenada qk, nao aparece explicitamente,neste caso, ela e chamada de coordenada ignoravel. Es-tas coordenadas serao dicustidas melhor no proximocapıtulo.
O segundo termo do segundo membro da
equacao acima funciona como um potencial do
momentum.
Assim, torna-se aparente que as forcas gra-
vitacionais, forcas eletromagneticas e, na reali-
dade, todas as forcas fundamentais, em Fısica,
podem ser expressadas na forma (6.133), desde
que se escolha apropriadamente a funcao po-
tencial U . (As forcas de atrito nao sao con-
sideradas fundamentais neste sentido, porque
elas em certos limites podem ser reduzidas a
forcas eletromagneticas entre atomos, podendo
portanto, pelo menos em princıpio, serem ex-
pressas na forma (6.133), incluindo-se todas
as coordenadas dos atomos e moleculas que
compoem o sistema.). Portanto, as equacoes
do movimento de um sistema qualquer de
partıculas sempre podem ser expressas na
forma lagrangeana (6.71), mesmo quando exis-
tem forcas dependentes da velocidade. Torna-
se aparente que existe algo fundamental na
forma das eqs. (6.71). Uma propriedade im-
portante destas equacoes, como ja foi obser-
vado, e que elas permanecerao com a mesma
forma, caso se substituam as coordenadas
q1, . . . , qn, por um novo conjunto qualquer de
coordenadas. Isto pode ser verificado atraves
de calculo direto, entretanto longo e tedioso.
Uma visao mais profunda do carater funda-
mental das equacoes de Lagrange sera ob-
tida quando se estudar uma formulacao mais
avancada da Mecanica, utilizando o calculo das
variacoes.
6.16 Forcas Aplicadas e de
Atrito
Nos sistemas mecanicos em que se leva em
conta o atrito, nem todas as forcas atuantes
sobre o sistema sao derivaveis de uma funcao
Prof. Salviano A. Leao 239
potencial o que traz algumas dificuldades de
aplicacao do formalismo lagrangeano. Ao se-
pararmos as forcas que atuam sobre o sistema
em forcas monogenicas e forcas nao conserva-
tivas, as forcas generalizadas que atuam sobre
o sistema toman a seguinte forma,
Qj = −∂U∂qj
+d
dt
(∂U
∂qj
)+Q
(nc)j , (6.158)
na qual o termo Q(nc)j denota a parte das forcas
generalizadas que nao provem de nenhum po-
tencial generalizado. Nestes casos as equacoes
de Lagrange sempre podem ser escritas como:
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= Q
(nc)j , (6.159)
em que L = T (q, q, t)−U(q, q, t) contem o po-
tencial das forcas conservativas como antes, e
Q(nc)j representa as forcas que nao podem ser
escritas como uma funcao potencial, tais como
as forcas de atrito.
Ao tratarmos com este tipo de forca para
resolver o problema sera necessario conhecer
todas as forcas nao conservativas que atuam
sobre o sistema.
Exemplo 74 Considere uma massa m presa
a uma mola de constante elastica k, que e sub-
metida a uma forca externa F (t) = F0 senωt.
Escreva a lagrangena do sistema e encontre as
equacoes de movimento.
Solucao: Este e um sistema com um grau
de liberdade, e a variavel x, que representa a
posicao da massa em relacao ao ponto no qual
a mola esta com o seu tamanho natural `0, sera
usada como a coordenada generalizada do pro-
blema. Entao a lagrangeana do sistema e dada
por
L =1
2mx2 − 1
2kx2.
Deve-se observar que a forca aplicada F (t) =
F0 senωt nao e uma forca conservativa, por-
tanto deve-se usar a a forca generalizada cor-
respondente a esta forca que e dada por
Q(nc)x = F (t)
∂x
∂x= F0 senωt.
Neste caso, as equacoes de movimento do sis-
tema sao obtidas a partir da a equacao de la-
grange
d
dt
(∂L
∂x
)− ∂L
∂x= Q(nc)
x ,
a qual leva a
mx+ kx = F0 senωt,
a qual ainda pode ser escrita como
x+ ω20x =
F0
msenωt,
em que a frequencia natural ω0 do sistema e
definida por
ω20 =
k
m.
Observer que a equacao de movimento so foi
obtida porque a forca aplicada era conhecida.
Exemplo 75 Considere uma massa m que no
instante t = 0 e lancada com uma velocidade
v0 sobre uma superfıcie horizontal com um co-
eficiente de atrito cinetico µc. Escreva a la-
grangena do sistema e encontre as equacoes de
movimento.
Solucao: A lagrangeana deste problema pode
ser escrita como
L =1
2mx2
em que x representa a posicao da partıcula.
Ha uma forca nao conservativa atuando so-
bre o sistema, que neste caso mais simples ela
e constante e e dada por
F (nc)x = −µcmg.
Prof. Salviano A. Leao 240
Neste caso a forca generalizada nao conserva-
tiva e dada por Q(nc)x = −µcmg, loga a equacao
de movimento de lagrange e
d
dt
(∂L
∂x
)− ∂L
∂x= Q(nc)
x ,
a qual conduz a seguinte equacao de movi-
mento,
mx = −µcmg =⇒ x = −µcg.
Observer que a equacao de movimento so foi
obtida porque a forca de atrito era conhecida.
Exemplo 76 Um bloco de massa m e abando-
nado sobre o trilho no ponto A como mostrada
a figura abaixo. O atrito no trecho AB e des-
prezıvel. No restante do percurso, o coeficiente
de atrito cinetico entre o bloco e o trilho e µc.
Discuta o problema.
Solucao: No trecho AB o sistema e con-
servativo e portanto conhecendo a velocidade
do ponto B conseguimos achar a altura que
o bloco foi abandonado. Para, encontrarmos
a velocidade mınima que o bloco deve ter no
ponto B para que ele conseguia realizar todo
o percurso sem abandonar o trilho, precisamos
de encontrar e resolver as equacoes de movi-
mento do bloco neste percurso. Observe en-
tretanto que este e um sistema nao conserva-
tivo e que portanto, para resolve-lo precisamos
de conhecer a forca de atrito. Mas este caso
possui o agravante de a forca de atrito ser
uma forca variavel e que depende da velocidade
instantanea da partıcula. Portanto, este pro-
blema nao conseguimos resolver porque, para
conhecer a forca de atrito precisamos de re-
solve-lo primeiro.
Esta e a dificuldade introduzidas pelas forcas
nao conservativas. Agora vamos escrever as
equacoes de movimento do sistema, conside-
rando o angulo θ com o sendo a coordenada
generalizada. Neste caso, a lagrangeana do sis-
tema e
L =1
2mR2θ2 +mgR cos θ
O problema agora e encontrar a forca de
atrito. Para tal, basta achar a normal, que e
dada por
mRθ2 = N −mg cos θ
logo,
N = mRθ2 +mg cos θ
e portanto, o modulo da forca de atrito e dada
por
fat = µc
(mRθ2 +mg cos θ
)
A relacao entre as coordenadas cartesianas
(x, y) e a coordenada generalizada e dada por
x = R sen θ; e y = R cos θ.
enquanto a forca de atrito e dada por
F(nc) = fat (− cos θex + sen θey) .
Portanto, a forca generalizada nao conser-
vativa Q(nc)θ e dada por
Q(nc)θ = F (nc)
x
∂x
∂θ+ F (nc)
y
∂y
∂θ= −fatR
(cos2θ + sen2θ
)
= −fatR
= −µc
(mR2θ2 +mgR cos θ
)
Prof. Salviano A. Leao 241
A equacao de movimento de lagrange
d
dt
(∂L
∂θ
)− ∂L
∂θ= Q
(nc)θ ,
fornece,
mR2θ+mgR sen θ = −µc
(mR2θ2 +mgR cos θ
)
a qual ainda pode ser reescrita como,
θ + µcθ2 +
( gR
)(sen θ + µc cos θ) = 0.
Observer que esta e uma equacao diferencial
de segunda ordem nao linear, e que portanto
nao tem uma solucao analıtica.
6.17 Funcao de Dissipacao
de Rayleigh
Um caso importante, e aquele em que
Q(nc)j representa as forcas de atrito viscoso,
as quais sao proporcionais as velocidades das
partıculas. Frequentemente encontramos si-
tuacoes em que a forca de atrito e proporcional
a velocidade da partıcula, entao em coordena-
das cartesianas as suas componentes sao
F(nc)ix = −kixvix; F
(nc)iy = −kiyviy;
F(nc)iz = −kizviz . (6.160)
Aqui F(nc)i e a forca dissipativa sobre a i-esima
partıcula e kix, kiy, kiz sao constantes posi-
tivas. Com o intuito de simplificar o trata-
mento de tais problemas, Rayleigh introduziu
uma funcao de dissipacao F , hoje conhecida
como funcao de dissipacao de Rayleigh, a qual
e definida como
F =1
2
N∑i=1
(kixv
2ix + kiyv
2iy + kizv
2iz
), (6.161)
onde a soma e sobre as partıculas do sistema.
A partir desta definicao vemos que:
F(nc)ix = − ∂F
∂vix
,
ou simbolicamente,
F(nc)i = −∇vi
F . (6.162)
Pode-se obter uma interpretacao fısica para
a funcao de dissipacao, calculando o trabalho
realizado pelo sistema contra o atrito,
dWi = −F(nc)i · dri = −F
(nc)i · vidt
=(kixv
2ix + kiyv
2iy + kizv
2iz
)dt.
dWi = 2Fdt (6.163)
Portanto, 2F e a taxa de energia dissipada
devido ao atrito. A componente da forca ge-
neralizada resultante da forca de atrito e dada
por:
Q(nc)j =
N∑i=1
F(nc)i · ∂ri
∂qj= −
N∑i=1
∇viF · ∂ri
∂qj
= −N∑
i=1
∇viF · ∂ri
∂qj
= −∂F∂qj
. (6.164)
Um exemplo e a lei de Stokes, pela qual uma
esfera de raio a movendo-se com uma veloci-
dade v, em um meio de viscosidade η, experi-
menta uma forca de atrito Ff = 6πηav.
A equacao de Lagrange com a dissipacao
torna-se
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj+∂F∂qj
= 0, (6.165)
onde, as duas funcoes escalares L e F , devem
ser especificamente para obtermos as equacoes
de movimento.
Exemplo 77 Use a funcao de dissipacao de
Rayleigh para descrever as oscilacoes de um
Prof. Salviano A. Leao 242
pendulo simples com resistencia do ar propor-
cional a velocidade.
Solucao
Usando as coordenadas polares no plano xy,
como na Figura 6.38, temos r = ` e de acordo
com o exemplo 69, a sua energia cinetica e
T = 12m`2θ2 e a sua energia potencial e V =
−mg` cos θ, assim a sua lagrangeana e dada
por
L = T − V =1
2m`2θ2 +mg` cos θ.
Ja, a funcao de dissipacao de Rayleigh e
dada por
F =1
2kv2 =
1
2k`2θ2.
Aqui estamos consideranto que kx = ky = kz =
k. Portanto as equacoes de movimento sao ob-
tidas a partir da equacao de Lagrange,
d
dt
(∂L
∂θ
)− ∂L
∂θ+∂F∂θ
= 0, (6.166)
as quais tornam-se, apos usarmos a lagrange-
ana encontrada, em
∂L
∂θ= m`2θ
∂L
∂θ= −mg` sen θ (6.167)
∂F∂θ
= k`2θ (6.168)
portanto, podemos escrever
m`2θ +mg` sen θ + k`2θ = 0. (6.169)
Assim, a equacao de movimento do pendulo e
dada por
θ +k
mθ +
(g`
)sen θ = 0. (6.170)
No caso de pequenas oscilacoes esta equacao
reduz-se a de um oscilador harmonico amorte-
cido.
6.18 Problemas
6.18.1 Deducoes
1. As equacoes de vınculo para um disco ro-
lando sobre uma superfıcie, sao casos es-
peciais das equacoes diferenciais lineares
gerais dos vınculos na forma
n∑i=1
gi(x1, . . . , xn)dxi = 0.
Uma condicao de vınculo deste tipo e
holonomica somente se uma funcao inte-
grante f(x1, . . . , xn) pode ser encontrada,
tornando-a em uma diferencial exata.
Claramente a funcao deve ser tal que
∂(fgi)
∂xj
=∂(fgj)
∂xi
,
para todos i 6= j. Mostre que nenhum
fator integrante pode ser encontrado para
as equacoes diferenciais do disco rolando
no plano, ou seja,
dx− a sen θdφ = 0
dy + a cos θdφ = 0.
2. Duas rodas de raio a sao montadas nas
extremidades de um eixo comum de com-
primento b, de tal modo, que elas vao gi-
rar uma independente da outra. A com-
binacao toda ira rolar sem deslizar sobre
um plano. Mostre que ha duas equacoes
de vınculos nao-holonomicos,
cos θdx+ sen θdy = 0
sen θdx− cos θdy =a
2(dφ+ dφ′) ,
(onde θ, φ e φ′ tem um significado simi-
lar aquele do problema de um unico disco
vertical e (x, y) sao as coordenadas de um
ponto no meio do eixo entre as duas rodas)
e uma equacao dos vınculos holonomicos,
θ = C − a
b(φ− φ′),
Prof. Salviano A. Leao 243
onde C e uma constante.
3. Uma partıcula move no plano xy subme-
tida ao vınculo de que seu vetor velocidade
esta sempre direcionado para um ponto
no eixo x cuja abcissa e uma funcao f(t)
do tempo t. Mostre que para uma funcao
f(t) diferenciavel, mas ainda arbitraria o
vınculo e nao-holonomico.
4. Mostre que a equacao de Lagrange escrita
na forma,
d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj= Qj
tambem pode ser escrita como,
∂T
∂qj− 2
∂T
∂qj= Qj.
Esta expressao tambem e conhecida como
a forma de Nielsen das equacoes de La-
grange.
5. Se L e a Lagrangeana para um sistema
de n graus de liberdade satisfazendo as
equacoes de Lagrange mostre por substi-
tuicao direta que
L′ = L+dF (q1, q2, . . . , qn, t)
dt
tambem satisfaz as equacoes de Lagrange,
onde F e uma funcao arbitraria qualquer,
mas uma funcao diferenciavel em seus ar-
gumentos.
6. Seja q1, q2, . . . , qn um conjunto de coor-
denadas generalizadas independentes para
um sistema de n graus de liberdade com
uma lagrangeana L(q, q, t). Supondo uma
transformacao para um outro conjunto de
coordenadas independente Q1, Q2, . . . , Qn
por meio das equacoes de transformacao
qi = qi(Q1, Q2, . . . , Qn, t), i = 1, 2, . . . , n.
(tal transformacao e chamada de uma
transformacao pontual.) Mostre que se
a funcao lagrangeana for expressa como
uma funcao das novas coordenadas L =
L(Q, Q, t) atraves das equacoes de trans-
formacao, entao a lagrangeana L satisfaz
as equacoes de Lagrange com respeito as
coordenadas s:
d
dt
(∂L
∂Qj
)− ∂L
∂Qj
= 0.
Em outras palavras, a forma das equacoes
de Lagrange e invariante sobre uma a uma
transformacao pontual.
7. Mostre que se o potencial generalizado U
nao depender explicitamente do tempo t e
se o sistema de coordenada for fixo, entao
a lagrangeana L sera independente de t
(∂L/∂t = 0) e a grandeza
H(q, p, t) =n∑
i=1
qi∂L
∂qi− L
sera uma constante do movimento, ou
seja, dH/dt = 0.
8. O campo eletromagnetico e invariante so-
bre transformacoes de calibre (gauge) dos
potenciais escalar φ e do potencial vetor
A dadas por
A −→ A +∇ψ(r, t),
φ −→ φ− ∂ψ(r, t)
∂t
onde ψ(r, t) e arbitraria e diferenciavel.
Qual e o efeito que esta transformacao de
calibre tem sobre a lagrangeana de uma
partıcula se movendo no campo eletro-
magnetico? O seu movimento e afetado?
6.18.2 Exercıcios
1. Considere uma partıcula de massas m,
movimento-se livremente pelo espaco. En-
Prof. Salviano A. Leao 244
contre a Lagrangeana e as equacoes de mo-
vimento do sistema e as forcas generaliza-
das em coordenadas cilındricas.
2. Considere uma partıcula de massas m,
movimentando-se livremente pelo espaco.
Encontre a Lagrangeana e as equacoes de
movimento do sistema e as forcas genera-
lizadas em coordenadas esfericas.
3. As coordenadas u e w sao definidas em
termos das coordenadas polares planas r
e θ estao relacionadas pelas equacoes
u = ln(r
a)− θη
w = ln(r
a) + θη,
onde a e η sao constantes.
(a) Esboce as curvas para u constante e
para w constante.
(b) Determine a energia cinetica para
uma partıcula de massa m em ter-
mos de u, w, u, e w.
(c) Determine as expressoes para Qu e
Qw em termos dos componentes po-
lares da forca, Fr e Fθ.
(d) Determine os momentos generaliza-
dos pu e pw .
(e) Determine as forcas generalizadas
Qu e Qw necessarias para fazer a
partıcula mover-se em velocidade
constante s ao longo de uma espiral
de constante u = u0.
4. A massa m de um pendulo acha-se presa
por um fio de comprimento ` a um ponto
de sustentacao. Este ponto move-se para
frente e para tras ao longo de um eixo x
horizontal, de acordo com a equacao
x = a cos(ωt)
Suponha que o pendulo so oscile no plano
vertical que contem o eixo x. Considere
que a posicao do pendulo seja descrita por
um angulo θ que o fio faz com uma linha
vertical.
(a) Escreva a funcao lagrangeana e es-
creva a equacao de Lagrange.
(b) Mostre que, para valores pequenos de
θ, a equacao de movimento reduz-se
a equacao de movimento de um os-
cilador harmonico forcado, e deter-
mine os movimentos para o estado
estacionario correspondente. De que
forma a amplitude de oscilacoes do
estado estacionario depende de m, `,
a, e ω?
5. Obtenha as equacoes de Lagrange do mo-
vimento para um pendulo esferico, isto
e, uma massa pontual suspensa por uma
haste rıgida de massa desprezıvel.
6. Obtenha a Lagrangeana e as equacoes de
movimento para o pendulo duplo, onde
os comprimentos dos pendulos sao `1 e `2
com as correspondentes massas m1 e m2.
7. Sobre uma cunha de massa M , encontra-
se um bloco de massa m1 preso a um
outro bloco de massa m2, por uma
corda inextensıvel e de massa desprezıvel.
Abandona-se o sistema na situacao ilus-
trada na figura abaixo. O atrito entre as
superfıcies e desprezıvel. (a) Escreva a la-
grangeana do sistema e escreva a equacao
de vınculo do problema. (b) Escreva as
equacoes de movimento do sistema. (c)
Encontre a aceleracao da cunha e expresse
as aceleracoes de cada um dos blocos em
termos da aceleracao da cunha.
8. As massas m e 2m acham-se suspensas
Prof. Salviano A. Leao 245
Figura 6.43: Dois blocos presos por uma corda,
deslizando sobre as superfıcies de um plano in-
clinado.
por uma corda de comprimento `1 que
passa por uma polia. As massas 3m e 4m
tambem estao suspensas por uma corda
de comprimento `2 que passa por outra
polia. Estas duas polias estao penduradas
nas extremidades de uma corda de compri-
mento `3, que passa por uma terceira po-
lia fixa. Escreva as equacoes de Lagrange
e determine as aceleracoes e as tracoes nas
cordas.
9. Considere um bloco de massa m, preso
a uma mola de constante elastica k, fi-
xada no topo de um plano inclinado de
inclinacao θ e massa M , o qual esta apoi-
ado sobre uma superfıcie horizontal sem
atrito, conforme figura abaixo. Considere
que nao ha atrito entre o bloco e a su-
perfıcie do plano inclinado. (a) Discuta
os vınculos e o sistema de referencia. (b)
Determine a lagrangeana e as equacoes de
movimento de Lagrange para este sistema.
(c) Resolva as equacoes de movimento en-
contradas.
10. Um cilindro solido de raio r e massa m
rola sem deslizar no interior de um cilin-
dro estacionario de raio R (R > r), con-
forme a figura abaixo. (a) Se o cilindro
de raio r for abandonado em um angulo
Figura 6.44: Blocos preso a uma mola, osci-
lando sobre as superfıcies de um plano incli-
nado, que pode mover-se livremente.
θ0, qual sera a forca que o cilindro esta-
cionario exerce sobre ele sobre no ponto
mais baixo de sua trajetoria? (b) Deter-
mine as equacoes de movimento do cilin-
dro. (c) Determine o perıodo de peque-
nas oscilacoes sobre a posicao de equilıbrio
estavel.
Figura 6.45: Um Cilindro rolando sobre a su-
perfıcie interna de outro cilindro.
11. Duas massas pontuais de massa m1 e m2
estao conectadas por uma mola passando
atraves de um buraco em uma mesa de tal
modo que m1 esta em repouso sobre a su-
perfıcie da mesa e m2 esta suspensa pela
mola. Assumindo quem2 se move somente
na linha vertical, quais sao as coordenadas
Prof. Salviano A. Leao 246
generalizadas para o sistema? Escreva as
equacoes de Lagrange para o sistema e,
se possıvel, discuta o significado fısico que
qualquer uma delas pode vir a ter. Re-
duza o problema a uma unica equacao di-
ferencial de segunda ordem e obtenha a
primeira integral da equacao. Qual e o
seu significado fısico? (Considere o movi-
mento somente ate m1 atingir o buraco.)
12. Um sistema de coordenadas retangulares
com eixos x, y e z gira em velocidade an-
gular uniforme ω, em relacao ao eixo z.
Uma partıcula de massa m desloca-se sob
a acao de uma energia potencial V (x, y, z).
(a) Escreva as equacoes de Lagrange
para o movimento.
(b) Mostre que estas equacoes podem ser
consideradas como as equacoes do
movimento de uma partıcula em um
sistema de coordenadas fixas, subme-
tido a acao da forca −∇V e a uma
forca derivada de um potencial de-
pendente da velocidade U .
(c) Expresse U em funcao das coordena-
das esfericas r, θ, φ, r, θ e φ e deter-
mine as forcas generalizadas Qr, Qθ,
e Qφ.
13. Duas massas pontuais sao unidas por uma
haste de massa desprezıvel e comprimento
l. O movimento do centro da haste realiza
um circulo de raio a. Escolha um conjunto
de coordenadas generalizadas e expresse a
energia cinetica neste conjunto.
14. Considere um disco uniforme fino, que rola
sem deslizar sobre um plano horizontal.
Uma forca horizontal e aplicada ao cen-
tro do disco e em uma direcao paralela ao
plano do disco.
(a) Deduza as equacoes de Lagrange e
encontre a forca generalizada.
(b) Discuta o movimento se a forca nao
for aplicada paralela ao plano do
disco.
15. Uma partıcula pontual move-se no espaco
sobre a influencia de uma forca derivada
de um potencial generalizado da forma
U(r,v) = V (r) + σ · L,
onde r e o raio vetor a partir de um ponto
fixo, L e o momentum angular em torno
daquele ponto, e σ e um vetor fixo no
espaco.
(a) Encontre as componentes da forca
sobre a partıcula em ambas as coor-
denadas, cartesianas e esfericas (po-
lares, movimento no plano), com
base na forca generalizada dada por
Qj = −∂U∂qj
+d
dt
(∂U
∂qj
).
(b) Mostre que a componente nos dois
sistemas de coordenadas estao relaci-
onadas umas com as outras por meio
da seguinte expressao para a forca ge-
neralizada,
Qj =∑
i
Fi · ∂ri
∂qj.
(c) Obtenha as equacoes de movimento
em coordenadas esfericas.
16. Mostre que um campo magnetico uni-
forme B, na direcao z, pode ser repre-
sentado em coordenadas cilındricas pelo
potencial vetor A = 12Bρφ. Escreva a
funcao lagrangeana para uma partıcula
neste campo. Escreva as equacoes do mo-
vimento. Determine tres constantes do
movimento.
Prof. Salviano A. Leao 247
17. Uma partıcula pontual move-se em um
plano sobre a influencia de uma forca que
atua diretamente para o centro da forca,
e cuja a magnitude e
F =1
r2
(1− r2 − 2rr
c2
),
onde r e a distancia da partıcula ao centro
da forca. Encontre o potencial generali-
zado que resultara devido a tal forca, e a
partir dele determine a Lagrangeana para
o movimento no plano. (A expressao para
a forca F representa a forca entre duas
cargas na eletrodinamica de Weber.)
18. Uma lagrangeana para um particular sis-
tema fısico pode ser escrita como
L′ =m
2
(ax2 + 2bxy + cy2
)−K
2
(ax2 + 2bxy − cy2
)
onde a, b, e c sao constantes arbitrarias
mas submetidas as condicoes de que b2 −ac 6= 0. Quais sao as equacoes de movi-
mento? Examine particularmente os dois
casos a = 0 = c e b = 0, c = −a.Qual e o sistema fısico descrito Lagran-
geana acima? Mostre que a Lagrangeana
usual para este sistema como definida pe-
las equacoes de Lagrange
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= 0
esta relacionada a L′ por uma trans-
formacao pontual. Qual e o significado da
condicao sobre o valor de b2 − ac?
19. Uma partıcula de massa m move-se em
uma dimensao de tal modo que sua La-
grangeana e
L =m2x4
12+mx2V (x)− V 2(x).
onde V e uma funcao qualquer dife-
renciavel em x. Determine as equacoes
de movimento para x(t) e descreva a na-
tureza fısica do sistema com base nestas
equacoes.
20. A parte cinetica da funcao lagrange-
ana para uma partıcula de massa m
em Mecanica Relativıstica e Lk =
−mc2√
1− (v/c)2. Determine as ex-
pressoes para as componentes do momen-
tum generalizado, e verifique que elas cor-
respondem ao momentum relativıstico
p =mv√
1− (v/c)2.
Mostre que se a funcao potencial generali-
zado U = qφ−qv ·A para as forcas eletro-
magneticas, for subtraıda desta relacao, e
se A e φ nao dependerem explicitamente
de t, entao T + qφ sera constante, com T
dada por
T = mc2
(1√
1− (v/c)2− 1
).
21. Obtenha as equacoes de movimento para
a partıcula em queda livre verticalmente
sobre a influencia da gravidade quando
as forcas de atrito estao presentes, elas
sao obtidas a partir de uma funcao de
dissipacao 12kv2. Integrando as equacoes
para obter a velocidade como uma funcao
do tempo e mostre que a velocidade
maxima possıvel para uma queda a par-
tir do repouso e v = mgk
.
22. Uma partıcula de massa m desliza sobre
a superfıcie interna de um cone invertido.
A metade do angulo do cone e igual a α.
O apice do cone esta na origem e o seu
eixo estende-se verticalmente para cima.
A unica forca exercida sobre a partıcula,
alem da forca de vınculo, e a da gravidade.
Prof. Salviano A. Leao 248
(a) Escreva as equacoes do movi-
mento, usando como coordenadas a
distancia horizontal ρ da partıcula
ao eixo e o angulo φ medido num
cırculo horizontal ao redor do cone.
Mostre que φ e uma coordenada
ignoravel e discuta o movimento
pelo metodo do potencial efetivo.
(b) Para um dado raio ρ0, determine a
velocidade angular de revolucao φ0
num cırculo horizontal, a frequencia
angular ω de pequenas oscilacoes
em torno deste movimento circular.
Mostre que estas pequenas oscilacoes
sao vibracoes ou um movimento em
forma de espiral para cima e para
baixo, dependendo de o angulo α ser
maior ou menor do que o angulo
αc =1√3.
23. Um estabilizador centrıfugo para um mo-
tor a vapor e mostrado na Fig. 6.46.
Duas bolas, cada uma de massa m, estao
ligadas atraves de quatro bracos articu-
lados, cada um de comprimento `, a
abracadeiras localizadas numa haste ver-
tical. A abracadeira superior esta presa a
haste, a abracadeira inferior tem massa M
e momento de inercia desprezıvel, e des-
liza para cima e para baixo, quando o mo-
vimento das bolas e tal que elas se afas-
tam ou se aproximam da haste. O sis-
tema bola-haste gira em velocidade angu-
lar constante ω.
(a) Escreva a equacao de movimento,
desprezando o peso dos bracos e da
haste. Discuta o movimento pelo
metodo da energia.
(b) Determine o valor da altura z da
abracadeira inferior acima de sua
Figura 6.46: Estabilizador centrıfugo.
posicao mais baixa como funcao de ω
para a rotacao estacionaria das bolas,
e determine a frequencia para peque-
nas oscilacoes de z em torno deste
valor estacionario.
24. Discuta o movimento do estabilizador,
descrito no problema. anterior, para o
caso em que a haste nao esta vinculada
para girar com velocidade angular ω, mas
pode girar livremente, sem a aplicacao de
nenhum torque externo.
(a) Determine a velocidade angular para
uma rotacao estacionaria a uma dada
altura z da abracadeira.
(b) Determine a frequencia para peque-
nas vibracoes em tomo deste movi-
mento estacionario.
(c) Quais as diferencas entre este mo-
vimento e movimento do problema.
anterior.
Capıtulo 7
Princıpio de Hamilton: Dinamicas
Lagrangeana e Hamiltoniana
7.1 Introducao
Neste capıtulo formularemos as dinamicas la-
grangeana e hamiltoniana da mecanica a partir
do princıpio de Hamilton, que e um princıpio
variacional. A formulacao da mecanica por
meio de um princıpio variacional nao repre-
senta uma nova teoria fısica, uma vez que
suas equacoes de movimento sao essencial-
mente equivalentes as Leis de Newton. Ate
agora a experiencia mostra que o movimento
de uma partıcula a baixas velocidades (quando
comparadas com a velocidade c da luz) em um
referencial inercial e corretamente descrito pela
equacao de Newton F = dp/dt. Se o mo-
vimento realizado por uma partıcula for sim-
ples o suficiente, entao ao usarmos as coor-
denadas cartesianas para descrever este mo-
vimento, as equacoes de movimento que ob-
temos geralmente sao simples. Entretanto, se
o movimento realizado pela partıcula for um
pouco mais complicado, por exemplo subme-
tido a algum tipo de vınculo ou descrito por
um sistema de coordenadas que nao leva em
conta as simetrias do movimento, entao as
equacoes de movimento geralmente tornam-
se muito complexas e difıceis de se manipu-
lar. Por exemplo, se uma partıcula tem o
seu movimento restrito sobre a superfıcie de
uma esfera, a equacao de movimento sera o
resultado da projecao das equacoes vetoriais
de Newton sobre a superfıcie da esfera. A re-
presentacao do vetor aceleracao em coordena-
das esfericas por si so e bastante trabalhosa1.
Um outro exemplo, e o movimento de uma
partıcula que esta restrito a uma dada su-
perfıcie, neste caso, certas forcas devem existir
(estas sao as forcas de vınculo) para manter o
contato da partıcula com a superfıcie especi-
ficada. Para uma partıcula movendo-se sobre
uma superfıcie horizontal a forca de vınculo e
a normal, que e uma forca de contato dada por
N = Fc = −mg. No caso em que a partıcula e
uma conta deslizando sobre um fio encurvado,
a descricao da forca de vınculo pode ser muito
complicada. De fato, em situacoes particulares
pode ser muito complicado ou ate mesmo im-
possıvel de obtermos uma expressao explicita
para as forcas de vınculo. Para resolvermos
um problema usando o procedimento de New-
ton, devemos conhecer todas as forcas, porque
a quantidade F que aparece na equacao funda-
mental da mecanica newtoniana e a forca total
(forca resultante) atuando sobre o corpo.
Portanto, para resolvermos problemas com-
plicados, com forcas de vınculos desconheci-
1Como exercıcio o estudante devera encontrar a ex-pressao para a aceleracao em coordenadas esfericas.
249
Prof. Salviano A. Leao 250
das, as formulacoes lagrangeana e hamiltoni-
ana sao muito mais convenientes pelo fato de
estarem lidando com grandezas fısicas esca-
lares em vez de vetoriais, e alem disso, esta
abordagem e similar a usada por muitas te-
orias fısicas, como por exemplo, na mecanica
quantica, na optica, na fısica estatıstica, etc.
Inicialmente formularemos o princıpio de Ha-
milton e a partir deste obteremos as equacoes
de movimento de Lagrange e em seguida dis-
cutiremos as vantagens dos princıpios variaci-
onais. Posteriormente, formularemos as leis de
conservacao da mecanica classica em termos
da homogeneidade e isotropia do espaco e da
uniformidade do tempo. Finalmente discuti-
remos a formulacao hamiltoniana da mecanica
classica.
Basicamente nestas formulacoes as apro-
ximacoes serao essencialmente a posteriori,
porque sabemos que os resultados obtidos
devem ser equivalentes aos obtidos com as
equacoes de movimento de Newton. Portanto,
o efeito de uma simplificacao introduzida por
estes formalismos, nao significa que temos uma
nova formulacao teorica da mecanica, pois a
mecanica newtoniana no limite de baixas ve-
locidades esta correta. Estas formulacoes sao
mecanismos ou metodos alternativos para se
tratar com problemas mais complicados de
uma maneira geral. Tal metodo esta contido
no Princıpio de Hamilton, e as equacoes
de movimento resultantes da aplicacao deste
princıpio sao chamada de equacoes de La-
grange
Se as equacoes de Lagrange constituem uma
descricao propria da dinamica das partıculas,
elas devem ser equivalentes as equacoes de
Newton. Por outro lado, o Princıpio de Ha-
milton pode ser aplicado a uma grande va-
riedade de fenomenos fısicos (particularmente
aqueles envolvendo campos) nao necessaria-
mente associados com as equacoes de Newton.
Para termos uma garantia, cada resultado ob-
tido pelo Princıpio de Hamilton foi primei-
ramente comparado com os resultados obtidos
pelas equacoes de Newton, e posteriormente
foi realizada uma analise correlacionando os
resultados com os fatos experimentais. O
Princıpio de Hamilton nao nos traz ne-
nhuma teoria fısica nova, mas nos permite uma
unificacao satisfatoria de muitas teorias indi-
viduais atraves de um unico postulado basico.
Este princıpio nao e um exercıcio de percepcao
inutil, porque o objetivo de uma teoria fısica
nao e somente o de fornecer uma formulacao
matematica precisa para os fenomenos obser-
vados, mas tambem o de descrever estes efeitos
com um mınimo de postulados fundamentais,
e na maioria dos casos da maneira mais unifi-
cadora possıvel. De fato, o Princıpio de Ha-
milton e um dos princıpios mais elegantes e
de longo alcance da fısica teorica.
Tendo em vista, o grande alcance de aplica-
bilidade (ainda que este seja um fato que foi
revelado apos sua descoberta), nao e razoavel
assegurarmos que o Princıpio de Hamilton
e mais fundamental que as equacoes de New-
ton. Portanto, inicialmente postularemos o
Princıpio de Hamilton, dai entao obteremos
as equacoes de Lagrange e entao mostraremos
que elas sao equivalentes as equacoes de New-
ton.
7.2 Princıpio de Hamilton
Os princıpios de mınimos na fısica tem um
longo interesse historico. A busca por tais
princıpios e baseada na nocao de que a na-
tureza sempre minimiza certas quantidades
importantes quando um processo fısico ocor-
rer. O primeiro destes princıpios de mınimo
foi desenvolvido no campo da optica. Heron
Prof. Salviano A. Leao 251
de Alexandria, dois seculos A.C., encontrou
que a lei que governa a reflexao da luz po-
deria ser obtida assegurando que um raio de
luz, vai de um ponto ao outro apos ser re-
fletido por um espelho, atraves do caminho
mais curto possıvel. Atraves de uma cons-
trucao geometrica simples, pode-se verificar fa-
cilmente que este princıpio de mınimo conduz a
igualdade dos angulos de incidencia e reflexao
do raio de luz refletido por um espelho plano.
O princıpio de Heron da trajetoria mais curta
nao pode, entretanto, conduzir a uma lei cor-
reta para a refracao. Em 1657 Fermat refor-
mulou o princıpio, postulando que um raio de
luz sempre viaja de um ponto ao outro em um
meio atraves da trajetoria que requer o me-
nor tempo2. O princıpio de Fermat do tempo
mınimo conduz, imediatamente, nao somente
a lei correta da reflexao, mas tambem a lei de
Snell da refracao3.
Os princıpios de mınimos continuaram a se-
rem procurados, e no fim do seculo XVII, o
inicio do calculo das variacoes foi desenvolvido
por Newton, Leibniz e Bernoulli, quando pro-
blemas tais como o da braquistocrona e o da
forma de um cabo suspenso (uma catenaria)
foram resolvidos.
A primeira aplicacao de um princıpio geral
de mınimo na mecanica foi feito em 1747 por
Maupertuis, que declarou que dinamicamente
o movimento ocorre com uma acao mınima4. O
2Pierre de Fermat (1601-1665), um advogadofrances, linguista e matematico amador.
3Em 1661, Fermat deduziu corretamente a lei de re-fracao, a qual tinha sido descoberta experimentalmenteem 1621 por Willebrord Snell (1591-1626), um prodi-gioso matematico alemao.
4Pierre-Louise-Moreau de Maupertuis (1698-1759),Matematico Frances e astronomo. A primeiraaplicacao de Maupertuis para o princıpio da mınimaacao foi refazer a deducao de Fermat da lei de refracao(1744).
Princıpio de Mınima Acao de Maupertuis
foi baseado em fundamentos teologicos (a acao
e minimizado atraves da ”vontade de Deus”),
e seu conceito de acao era muito vago (Lembre
que a acao e uma quantidade com dimensoes
de Comprimento × Momentum ou Energia
× Tempo.). Somente mais tarde Lagrange
(1760) forneceu os fundamentos matematicos
do princıpio da acao. Embora seja comum
usarmos uma forma a qual faz a transicao
da mecanica classica para a optica e para a
mecanica quantica, o princıpio da acao mınima
e menos geral do que o princıpio de Hamilton
e, de fato, ele pode ser deduzido dele. Nao
faremos uma discussao detalhada aqui5.
Em 1828, Gauss desenvolveu um metodo
de tratar a mecanica por seu princıpio dos
vınculos mınimos ; uma modificacao foi feita
posteriormente por Hertz e incorporada em
seu princıpio da curvatura mınima. Estes
princıpios6 estao intimamente relacionados ao
princıpio de Hamilton e nao adicionam nada
ao conteudo mais geral da formulacao de Ha-
milton; sua mencao somente enfatiza o envol-
vimento contınuo com os princıpios de mınimo
na fısica.
Em dois trabalhos publicados em 1834 e
1835, Hamilton7 anunciou o princıpio dinamico
no qual e possıvel basear toda a mecanica, e
alem disso, a maior parte da fısica classica.
5Veja, por exemplo, H. Goldstein, Classical Mecha-nics, 2nd Edition, Addison-Wesley Publishing Com-pany, Reading, Massachusetts, 1980, Cap. 2 e pags.365-371. Veja tambem A. Sommerfeld, Mechanics,Academic Press, New York 1950, pags. 204-209.
6Veja, por exemplo, Lindsay and Margenau, Foun-dations of Physics, Wiley, New York 1936, pags. 112-120 ou A. Sommerfeld, Mechanics, Academic Press,New York 1950, pags. 210-214).
7Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), Ma-tematico escoces e astronomo, e posteriormente,Astronomo Real da Irlanda.
Prof. Salviano A. Leao 252
O Princıpio de Hamilton pode ser enunciado
como segue8:
De todas as possıveis trajetorias
no espaco das configuracoes ao longo
das quais um sistema dinamico pode
mover-se de um ponto a outro den-
tro de um intervalo de tempo es-
pecıfico (consistente com um vınculo
qualquer), a trajetoria que ele seguira
e aquela que minimiza a integral no
tempo da diferenca entre a energia
cinetica e a energia potencial.
Neste momento chegamos a um problema ti-
picamente dos princıpios variacionais, aqueles
princıpios que operam com um mınimo, ou de
forma mais geral, aqueles que operam com va-
lores estacionarios de uma integral definida. O
carater poligenico9 das forcas de inercia pode
ser sobrepujado se integrarmos com respeito ao
tempo. Por este procedimento os problemas da
dinamica sao reduzidos a investigacao de uma
integral escalar. A condicao de um valor es-
tacionario para esta integral, fornece todas as
equacoes de movimento.
As deducoes das equacoes de Lagrange
apresentadas anteriormente consideram como
ponto de partida o estado instantaneo do sis-
tema e um deslocamento virtual pequeno so-
bre o estado instantaneo, isto e, parte de um
princıpio diferencial, tal como o princıpio de
8O significado geral da trajetoria de um sistema fi-cara claro mais adiante.
9Aqui seguiremos a convencao de C. Lanczos em seulivro: ”The variational principles of mechanics”, 4 thedition, Dover (1970). pag. 30. Ele distingue as forcasque podem ser dedutıveis de uma funcao escalar sejamelas conservativas ou nao as quais ele chama de forcasmonogenicas, o que significa geradas unicamente, da-quelas que nao sao dedutıveis de uma funcao escalar,como a forca de atrito, as forcas de inercia, etc, as quaisele chama de forcas poligenicas.
D’Alembert. Tambem e possıvel obtermos as
equacoes de Lagrange a partir de um princıpio
que considera todo o movimento do sistema en-
tre os instantes de tempo t1 e t2 e pequenas va-
riacoes virtuais de todo o movimento a partir
do movimento real. Um princıpio desta natu-
reza e conhecido como um princıpio integral.
Antes de apresentarmos o princıpio integral,
devemos esclarecer o significado da frase ”o
movimento do sistema entre os instantes de
tempo t1 e t2”. A configuracao instantanea de
um sistema e descrita pelos valores das n co-
ordenadas generalizadas q1, q2, . . . , qn, e corres-
pondem a um ponto particular do espaco das
configuracoes em um hiperespaco cartesiano
onde cada coordenada generalizada qi forma
um eixo de coordenada neste hiperespaco. Este
espaco n–dimensional e conhecido como espaco
de configuracoes. Como o tempo flui, o estado
do sistema muda e o ponto do sistema se move
no espaco das configuracoes tracando uma
curva, descrita como a trajetoria do movimento
do sistema. O movimento do sistema, como foi
usado anteriormente, refere-se ao movimento
do ponto do sistema ao longo desta trajetoria
no espaco de configuracoes. O tempo pode ser
formalmente considerado como um parametro
da curva; para cada ponto da trajetoria existe
um ou mais valores do tempo associados a ele.
Note que o espaco das configuracoes nao tem
necessariamente uma conexao com o espaco
fısico tridimensional, assim como as coordena-
das generalizadas nao sao necessariamente as
coordenadas da posicao. A trajetoria do movi-
mento de uma partıcula qualquer no espaco das
configuracoes nao tem nenhuma semelhanca
com a trajetoria no espaco fısico real. Cada
ponto na trajetoria representa a configuracao
de todo o sistema em um dado instante de
tempo.
O princıpio integral de Hamilton descreve o
Prof. Salviano A. Leao 253
movimento daqueles sistemas mecanicos para
os quais todas as forcas (exceto as forcas de
vınculo) sao dedutıveis de um potencial esca-
lar generalizado que pode ser uma funcao das
coordenadas, velocidades e do tempo. Tais
sistemas irao ser chamados de monogenicos10.
Onde o potencial e uma funcao explicita so-
mente das coordenadas da posicao, entao o sis-
tema e monogenico e conservativo. Para os
sistemas monogenicos, o princıpio de Hamil-
ton pode ser enunciado como: O movimento
de um sistema entre os instantes de tempo t1
e t2 e tal que a integral de linha
S =
∫ t2
t1
L (q, q, t) dt (7.1)
onde L = T − V , tem um valor estacionario
para a trajetoria real do sistema. Aqui S e a
acao ou integral da acao.
Isto e, entre todas as possıveis trajetorias
que o sistema poderia escolher para ir da sua
posicao no instante t1 para a sua posicao no
instante t2, ele escolhe aquela trajetoria na
qual o valor da integral da acao (7.1) e esta-
cionaria. Pelo termo valor estacionario para
uma integral de linha, entende-se que a integral
ao longo de uma dada trajetoria tera o mesmo
valor, dentro de infinitesimos de primeira or-
dem, que o daquela integral ao longo de uma
trajetoria vizinha (isto e, trajetorias que dife-
rem umas das outras por deslocamentos infi-
nitesimais em primeira ordem nestes desloca-
mentos terao o mesmo valor, conforme a figura
7.1). A nocao de um valor estacionario para
uma integral de linha, portanto corresponde
na teoria das funcoes ordinaria a uma derivada
primeira nula.
10C. Lanczos, ”The variational principles of mecha-nics”, 4 th edition, Dover (1970). pag. 30. O termoindica todas as forcas que sao geradas a partir de umaunica funcao.
Figura 7.1: Trajetoria do ponto que representa
o sistema no espaco das configuracoes. A curva
C1 e a trajetoria otimizada do sistema, en-
quanto as outras curvas seriam pequenas va-
riacoes desta trajetoria.
Podemos sintetizar o princıpio Hamilton di-
zendo simplesmente que o movimento e tal que
a variacao da integral de linha S entre dois ins-
tantes de tempo t1 e t2 fixos e nula:
δS = δ
∫ t2
t1
L (q, q, t) dt = 0. (7.2)
Para os sistemas cujos os vınculos sao
holonomos, o princıpio de Hamilton, Eq. (7.2),
sera uma condicao necessaria e suficiente para
obtermos as equacoes de movimento de La-
grange. Portanto, pode-se mostrar que o
princıpio de Hamilton vem diretamente das
equacoes de Lagrange. De fato, mostraremos
o contrario, que as equacoes de Lagrange sao
obtidas a partir do princıpio de Hamilton, o
qual vem a ser um teorema mais importante.
O princıpio de Hamilton e uma condicao su-
ficiente para deduzirmos as equacoes de mo-
vimento, o que torna possıvel a elaboracao
da mecanica dos sistemas monogenicos, a par-
tir do princıpio de Hamilton como postulado
basico, em vez das leis de Newton do movi-
Prof. Salviano A. Leao 254
mento. Tal formulacao tem vantagens; por
exemplo, desde que a acao S e obviamente in-
variante em relacao aos sistemas de coordena-
das generalizadas usadas para expressar L, as
equacoes do movimento devem ter sempre a
forma das obtidas da lagrangeana L, indepen-
dente de como se transformam as coordena-
das generalizadas. O mais importante, a for-
mulacao em termos de um princıpio variacional
e a base fundamental que geralmente e seguida
quando tentamos descrever aparentemente os
sistemas nao mecanicos em uma roupagem ma-
tematica condizente com a mecanica classica,
como ocorre com a teoria de campos.
7.3 Princıpio de Hamilton
a Partir do Princıpio
de D’Alembert
O princıpio de Hamilton e uma formulacao va-
riacional das leis do movimento no espaco das
configuracoes. Ele tambem pode ser aplicado
a uma larga variedade de fenomenos fısicos,
particularmente aqueles envolvendo campos,
nos quais as equacoes de Newton geralmente
nao possuem uma associacao, ou nao sao as-
sociadas. Aqui, por uma questao simples-
mente didatica, deduziremos inicialmente o
princıpio de Hamilton a partir do princıpio de
D’Alembert, e a partir do princıpio de Hamil-
ton deduziremos as equacoes de Lagrange.
Para tal, considere a acao S definida por
S =
∫ t2
t1
(T − V ) dt =
∫ t2
t1
L (q, q, t) dt, (7.3)
onde a lagrangeana L e fornecida, e os qi(t) tem
valores fixos nos instantes t1 e t2, mas os seus
valores podem ser variados arbitrariamente en-
tre os instantes t1 e t2.
Para cada escolha de um conjunto de funcoes
qi(t), a eq. (7.3) fornece um valor numerico
para a acao S. O princıpio de Hamilton afirma
que para um sistema conservativo, um sistema
dinamico holonomo, o movimento do sistema
no espaco das configuracoes a partir da sua
posicao no instante t1 ate a sua posicao no
instante t2, segue uma trajetoria na qual a
acao S tem um valor estacionario. Isto e,
de todas as possıveis trajetorias ao longo das
quais o sistema dinamico poderia se mover,
de um ponto a outro no espaco das confi-
guracoes entre os instantes t1 e t2, de forma
consistente com os vınculos impostos ao movi-
mento, a trajetoria seguida (escolhida) pelo sis-
tema dinamico (trajetoria dinamica) e aquela
em que a acao S e estacionaria. Isto significa
que se para um conjunto de funcoes qi(t) te-
mos uma trajetoria no espaco da configuracoes
que fornece para a acao S um valor numerico
mınimo (ou maximo), entao para um conjunto
vizinho qualquer de funcoes, ou seja, uma pe-
quena variacao qi(t)+δqi(t) do conjunto inicial
qi(t), nao interessa o quao proximo de qi(t) es-
teja o novo conjunto de coordenadas, condu-
zira a uma nova trajetoria cuja a acao S sera
sempre maior (menor) do que a gerada pela
acao da trajetoria das coordenadas qi(t). Em
termos do calculo das variacoes, isto significa
que
δS = δ
∫ t2
t1
L (q(t), q(t); t) dt = 0.
onde q(t), e portanto q(t), podem variar sub-
metidos a restricao de que δq(t1) = δq(t2) = 0.
O sımbolo δ refere-se a variacao de uma mesma
coordenada entre as duas trajetorias distintas
enquanto a o sımbolo d refere-se a uma va-
riacao sobre a mesma trajetoria.
O princıpio de D’Alembert trabalha com
uma diferencial nao integravel. Uma certa
quantidade infinitesimal δW – o trabalho vir-
Prof. Salviano A. Leao 255
tual realizado pelas forcas externas aplicadas e
pelas forcas inerciais – e igual a zero. As duas
partes do trabalho realizado sao de natureza
muito diferentes. Enquanto o trabalho virtual
das forcas externas aplicadas e uma diferen-
cial monogenica, dedutıvel de um unica funcao
escalar, a funcao trabalho do trabalho virtual
das forcas inerciais nao pode ser deduzida de
uma unica funcao escalar mas tem de ser for-
mada pela contribuicao de cada partıcula indi-
vidualmente. Isto coloca as forcas inerciais em
grande desvantagem em relacao as forcas apli-
cadas. E fundamental neste ponto que pos-
samos contornar esta situacao atraves de al-
gum tipo de transformacao, a qual nos permita
escrever o princıpio de D’Alembert em uma
forma monogenica. Embora tenha sido usado
implicitamente por Euler e Lagrange, foi Ha-
milton quem primeiro fez esta transformacao
do princıpio de D’Alembert, mostrando que
uma integracao com respeito ao tempo faz com
que o trabalho realizado pelas forcas inerciais
possa ser expresso em uma forma monogenica.
Pode-se deduzir o princıpio de Hamilton a
partir do princıpio de D’Alembert, e para isto
considere um sistema de N partıculas de mas-
sas mi, localizadas nos pontos ri, submetidas
a acao de uma forca externa F(ext)i . Como foi
visto, o princıpio de D’Alembert diz que
N∑i=1
(F
(ext)i − pi
)· δri = 0 (7.4)
Observe que o primeiro termo da eq. (7.4), e o
trabalho virtual realizado pelas forcas externas
aplicadas F(ext)i ,
δW =N∑
i=1
F(ext)i · δri (7.5)
Alem disso, o segundo termo11 pode ser ex-
11A forca inercial ou forca efetiva reversa.
presso como
N∑i=1
pi · δri =N∑
i=1
miri · δri
=d
dt
(N∑
i=1
miri · δri
)−
N∑i=1
miri · ddtδri (7.6)
Como o deslocamento virtual e um desloca-
mento no qual nao ha uma mudanca no tempo,
as operacoes de variacao e derivacao em relacao
ao tempo podem ser trocadas umas com as ou-
tras, assimd
dt(δri) = δri
Portanto, podemos escrever
N∑i=1
miri · ddtδri =
(N∑
i=1
miri · δri
)
= δ
(1
2
N∑i=1
miri · ri
)
= δT (7.7)
Este termo e a variacao da energia cinetica T .
Portanto, a eq. (7.6) pode ser escrita como
N∑i=1
pi · δri =d
dt
(N∑
i=1
miri · δri
)− δT. (7.8)
Substituindo as eqs. (7.8) e (7.5) na eq. (7.4)
obtemos que
d
dt
(N∑
i=1
miri · δri
)= δW + δT (7.9)
Integrando esta equacao com respeito ao
tempo entre os instantes t1 e t2 obtemos
∫ t2
t1
(δW + δT ) dt =
[N∑
i=1
miri · δri
]t2
t1(7.10)
Se a configuracao do sistema for especificada
nos instantes t1 e t2 de modo que a tra-
jetoria dinamica e todas as variacoes ima-
ginaveis desta trajetoria coincidam nestes dois
Prof. Salviano A. Leao 256
instantes, entao δri(t1) = δri(t2) = 0 e a eq.
(7.10) torna-se∫ t2
t1
(δW + δT ) dt = 0. (7.11)
Ate este momento a configuracao do sistema
de N partıculas e dada em termos dos vetores
posicao ri de cada partıcula. Para eliminarmos
a dependencia de δW e δT com as coordenadas
e com o tempo para um dado deslocamento vir-
tual, usaremos as coordenadas generalizadas qi
cuja a transformacao e ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t),
sendo n = 3N − k o numero de graus de li-
berdade do sistema e k o numero de equacoes
de vınculo, desta forma os deslocamentos vir-
tuais δri podem ser expressos em termos dos
deslocamentos virtuais δqi como
δri =n∑
j=1
∂ri
∂qj· δqj. (7.12)
A energia cinetica e uma funcao das coordena-
das generalizadas qi(t), das velocidades genera-
lizadas qi(t) e do tempo, ou seja, T = T (q, q; t).
Por outro lado, o trabalho em termos das co-
ordenadas generalizadas e dado pela expressao
δW =N∑
i=1
F(ext)i · δri
=N∑
i=1
n∑j=1
F(ext)i · ∂ri
∂qjδqj
=n∑
j=1
Qjδqj (7.13)
na qual introduzimos a forca generalizada Qj
correspondente a coordenada generalizada qj,
que e dada por
Qj =N∑
i=1
F(ext)i · ∂ri
∂qj. (7.14)
Portanto, a eq. (7.11) pode ser escrita como
∫ t2
t1
(δT +
n∑j=1
Qjδqj
)dt = 0 (7.15)
onde δqj(t1) = δqj(t2) = 0. Para os sistemas
submetidos a algum tipo de vınculo, os δq(t)
devem satisfazer instantaneamente os vınculos
do sistema.
As eqs. (7.11) e (7.15) sao muitas vezes
consideradas como sendo versoes generaliza-
das do princıpio de Hamilton. Tambem podem
ser consideradas como uma versao integral do
princıpio de D’Alembert. As vantagens da eq.
(7.15) sobre o princıpio de D’Alembert, resi-
dem no fato que a eq. (7.15) independe da es-
colha das coordenadas usadas para descrever o
sistema.
Se as forcas externas forem conservativas,
F(ext)i = −∇U , e U = U(r1, . . . , rN) entao
δW =n∑
j=1
Qjδqj =n∑
j=1
N∑i=1
F(ext)i · ∂ri
∂qjδqj
= −n∑
j=1
N∑i=1
∇iU · ∂ri
∂qjδqj
= −n∑
j=1
∂U
∂qjδqj = −δU (7.16)
Substituindo o trabalho virtual expresso
pela eq. (7.16) no princıpio de D’Alembert ex-
presso pela eq. (7.15) obtemos
∫ t2
t1
(δT − δU) dt = 0. (7.17)
onde δqj(t1) = δqj(t2) = 0.
A equacao (7.17) e o princıpio de
D’Alembert na forma integral. Como a
lagrangeana do sistema e definida por
L = T − U , entao o argumento da integral
na eq. (7.17) e a propria variacao da lagran-
geana δL = δT − δU . Para um sistema com
vınculos holonomos as operacoes de variacao e
integracao podem ser invertidas. Entao, a eq.
(7.17) pode ser escrita como
δS = δ
∫ t2
t1
L(q, q; t)dt = 0, (7.18)
Prof. Salviano A. Leao 257
que e o princıpio de Hamilton para sistemas
holonomos conservativos.
7.4 Equacoes de Lagrange
a Partir do Princıpio
de Hamilton
Viu-se que a formulacao mais geral das leis
do movimento dos sistemas mecanicos e dada
pelo princıpio de Hamilton, entretanto, ainda
nao foram obtidas as equacoes de movimento a
partir deste princıpio. Segundo este princıpio,
cada sistema mecanico caracteriza-se por uma
funcao determinada
L = L(q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t) (7.19)
ou de um modo mais breve por L(q, q, t), sendo
que o movimento do sistema satisfaz a seguinte
condicao:
Suponhamos que nos instantes t1
e t2, o sistema ocupe posicoes q(t1)
e q(t2). Entao, entre estas posicoes,
o sistema move-se de tal modo que a
integral
S =
∫ t2
t1
L(q, q, t)dt (7.20)
possuı o menor valor possıvel12. A
funcao L denomina-se funcao de La-
grange do sistema, ou simplesmente
12E conveniente, entretanto, indicar que em tal for-mulacao o princıpio da acao mınima nem sempre evalido para todas as trajetorias de todo o movimento,mas somente, para cada um dos segmentos o sufici-entemente pequenos da mesma; para todas as tra-jetorias pode ocorrer que a integral (7.20) tenha so-mente o valor extremo e este nao sera necessariamenteum mınimo. Esta circunstancia nao e essencial paraa deducao das equacoes do movimento que utiliza so-mente a condicao de extremo.
lagrangeana do sistema, e a integral
(7.20), a acao.
O fato da lagrangeana conter somente q e q,
e nao conter derivadas de ordens superiores q e...q , . . ., vem do fato de que se os valores das co-
ordenadas e velocidades forem conhecidos em
um dado instante, entao eles determinam com-
pletamente o estado mecanico do sistema.
Passemos a deducao das equacoes diferenci-
ais que permitem determinar a trajetoria que
conduz a um valor estacionario para a inte-
gral (7.20). Basicamente o princıpio de Ha-
milton nos diz que dentre todas as trajetorias
possıveis conectando o ponto q(t1) ao ponto
q(t2) no espaco das configuracoes, aquela na
qual a acao S e estacionaria corresponde a tra-
jetoria real do sistema contendo esses dois pon-
tos. Na figura 7.1 mostramos a trajetoria real
do sistema, curva C1 e duas outras trajetorias
possıveis do sistema, as curvas C2 e C3.
Supondo que qi(t) seja a funcao que repre-
senta a trajetoria do sistema no espaco das
configuracoes, para a qual a acao S possui um
valor estacionario (mınimo ou maximo). Uma
pequena variacao desta trajetoria pode ser in-
dexada por um parametro α da seguinte forma:
q′i(t, α) = qi(t, 0) + αηi(t) (7.21)
onde qi(t, 0) e a trajetoria real seguida pelo sis-
tema (a qual ainda nao conhecemos) e ηi(t)
e uma funcao do tempo completamente ar-
bitraria que possui uma derivada primeira
contınua e esta submetida a seguinte restricao
ηi(t1) = ηi(t2) = 0. (7.22)
Em, termos das variacoes δ, o resultado ante-
rior pode ser escrito em uma forma mais com-
pacta como
q′i(t) = qi(t) + δqi(t), (7.23)
Prof. Salviano A. Leao 258
com,
δqi(t) =
(∂qi∂α
)
α=0
dα = ηi(t)dα (7.24)
correspondendo a uma pequena variacao da
trajetoria qi(t), que satisfaz a relacao
δq(t1) = δq(t2) = 0. (7.25)
Como a acao S tem um valor estacionario
para a trajetoria real, entao podemos concluir
que ao variarmos a trajetoria real do sistema a
acao S ira crescer (ou diminuir) ao substituir-
mos a trajetoria real qi(t) por uma trajetoria
vizinha qualquer q′i(t, α) dada pela eq. (7.21)
que e uma funcao do parametro α dada por
S ′(α) =
∫ t2
t1
L (q′i(t, α), q′i(t, α); t) dt. (7.26)
O valor estacionario da acao S ′(α) ocorrera
quando∂S ′
∂α= 0.
Mas devido a escolha de qi(t, 0), sabemos que
isto ocorre quando α = 0, portanto, a condicao
necessaria para que a acao S tenha um valor
estacionario (maximo ou mınimo) e
δS ′ ≡(∂S ′
∂α
)
α=0
dα = 0, (7.27)
para uma funcao arbitraria qualquer do tempo
ηi(t).
Agora expandindo o integrando da eq.
(7.20) em serie de Taylor e mantendo somente
os termos ate primeira ordem em α, obtemos
L′(q′, q′; t) = L (q(t, 0), q(t, 0); t) +n∑
i=1
[∂L
∂qiηi +
∂L
∂qiηi
]α+
O(α2) (7.28)
Substituindo a expansao (7.28) na expressao
para variacao da acao S ′ dada pela eq. (7.27),
obtemos
(∂S ′
∂α
)
α=0
=n∑
i=1
∫ t2
t1
[∂L
∂qiηi +
∂L
∂qiηi +O(α2)
]dt
(7.29)
Na expressao (7.29) acima os termos superiores
a α2 foram desprezados. A integracao por par-
tes do segundo termo da integral da expressao
anterior e∫ t2
t1
∂L
∂qiηidt =
[∂L
∂qiηi
]t2
t1
−∫ t2
t1
ηi(t)d
dt
(∂L
∂qi
)dt (7.30)
O primeiro termo do lado direito da eq. (7.30)
se anula, pois por hipotese, tanto o ponto ini-
cial quanto o final sao mantidos fixos na va-
riacao, ou seja,
η1(t) = η2(t) = 0, (7.31)
Substituindo a eq. (7.30) na eq. (7.29) obtem-
se
(∂S ′
∂α
)
α=0
=n∑
i=1
∫ t2
t1
[∂L
∂qi− d
dt
(∂L
∂qi
)]
α=0
ηidt.
(7.32)
Para obtermos uma condicao estacionaria em
termos da variacao δ, multiplicamos a eq.
(7.32) por dα, resultando em
(∂S ′
∂α
)
α=0
dα =
n∑i=1
∫ t2
t1
[∂L
∂qi− d
dt
(∂L
∂qi
)]
α=0
dαηidt, (7.33)
ou ainda, em
δS ′ =n∑
i=1
∫ t2
t1
[∂L
∂qi− d
dt
(∂L
∂qi
)]δqi(t)dt
(7.34)
onde os δqi(t) correspondem a um desloca-
mento virtual. Como as coordenadas generali-
zadas qi sao independentes, o mesmo se aplica
para aos δqi(t), exceto para os instantes t1 e t2
Prof. Salviano A. Leao 259
nos quais δq(t1) = δq(t2) = 0, assim o unico
modo da integral em (7.34) se anular, sera se
o termo entre colchetes for nulo, ou seja, as
equacoes
d
dt
(∂L
∂qi
)− ∂L
∂qi= 0, i = 1, 2, . . . , n
(7.35)
conhecidas como equacoes de Euler-Lagrange
devem ser satisfeitas.
Estas equacoes diferenciais sao denominadas
na Mecanica como equacoes de Lagrange. Se a
lagrangeana L de um dado sistema mecanico
for conhecida, entao as equacoes (7.35) esta-
belecem a relacao entre as aceleracoes, velo-
cidades e coordenadas, isto e, constituem as
equacoes de movimento do sistema.
Do ponto de vista matematico, as equacoes
(7.35) formam um sistema de n equacoes dife-
renciais de segunda ordem para n funcoes des-
conhecidas qi(t). A solucao geral de tal sis-
tema contem 2n constantes arbitrarias. Para
sua determinacao, e consequentemente a deter-
minacao completa do movimento do sistema
mecanico, e necessario conhecer as condicoes
iniciais que caracterizam o estado mecanico do
sistema em um dado instante, por exemplo, os
valores iniciais de todas as coordenadas qi(0) e
velocidades qi(0).
Agora considere um sistema mecanico com-
posto por duas partes A e B, sendo que isola-
damente cada uma delas tem respectivamente
as seguintes lagrangeanas LA e LB. No limite
em que a separacao entre estas duas partes for
grande o suficiente de tal modo que a interacao
entre as mesmas possa ser desprezada, pode-se
concluir que neste limite a lagrangeana L de
todo o sistema tendera a
limd→∞
L = LA + LB. (7.36)
Esta propriedade de aditividade da lagrange-
ana expressa o fato de que a equacao do movi-
mento de cada uma das partes de um sistema,
partes estas que nao interagem entre si, nao po-
dem conter grandezas que se refiram a outras
partes do sistema.
E evidente, que a multiplicacao da la-
grangeana de um sistema mecanico por uma
constante arbitraria nao influi por si so nas
equacoes do movimento. Neste ponto, pode-
se imaginar que a melhor lagrangeana de um
dado sistema mecanico seria a combinacao li-
near das lagrangeanas das partes isoladas que
compoem o sistema multiplicadas por quais-
quer constantes diferentes. A propriedade de
aditividade elimina esta indeterminacao: ela
admite somente a multiplicacao simultanea das
funcoes de Lagrange de todos os sistemas por
uma constante unica, o que conduz, simples-
mente, a uma arbitrariedade natural na es-
colha da unidade de medida desta grandeza
fısica.
Agora faremos uma observacao de carater
geral. Consideremos duas lagrangeanas
L′(q, q, t) e L(q, q, t), que se diferenciam por
uma derivada total em relacao ao tempo de
uma funcao qualquer das coordenadas e do
tempo f(q, t):
L′(q, q, t) = L(q, q, t) +df(q, t)
dt. (7.37)
As integrais da acao (7.20), calculadas com
ajuda destas duas funcoes, estao relacionadas
da seguinte forma:
S ′ =
∫ t2
t1
L′(q, q, t)dt
=
∫ t2
t1
L(q, q, t)dt+
∫ t2
t1
df
dtdt
= S + f(q(2), t2)− f(q(1), t1)
isto e, diferenciam-se uma da outra por um
termo suplementar que se anula quando varia-
mos a acao, uma vez que a condicao δS ′ = 0
coincide com a condicao δS = 0, entao, a
Prof. Salviano A. Leao 260
forma das equacoes do movimento permanece
invariavel.
Deste modo, a lagrangeana L(q, q, t) e de-
terminada a menos da derivada total de uma
funcao f(q, t) qualquer das coordenadas e do
tempo.
Exemplo 78 Considere uma partıcula de
massa m em queda livre, na presenca do campo
gravitacional. Observe que as tres lagrangenas
abaixo
L1 =1
2m(x2 + y2)−mgy
L2 = mxy −mgxL3 = mgy − 1
2mgxy2 −myx3 − 1
2my2
fornecem as equacoes de movimento corretas,
entretanto, somente a lagrangeana L1 tem sig-
nificado fısico.
Solucao: As equacoes de movimento sao
obtidas a partir da equacao de Lagrange
d
dt
(∂L
∂qi
)− ∂L
∂qi= 0, i = 1, 2, . . . , n,
a qual para todas as tres lagrangeanas acima
conduzem as seguintes equacoes de movimento
mx = 0
my = −mg.
Estas sao as equacoes de movimento corretas
para uma partıcula de massa m em queda livre.
7.5 Princıpio da Relativi-
dade de Galileu
No estudo dos fenomenos mecanicos e ne-
cessario escolher um sistema de referencia qual-
quer para descrever a evolucao temporal do sis-
tema mecanico neste sistema de referencia. Em
diferentes sistemas de referencia as leis do mo-
vimento tem em geral diferentes formas. Ao
se considerar um sistema de referencia qual-
quer, podera ocorrer que as equacoes de movi-
mento que descrevem a evolucao temporal dos
fenomenos fısicos mais simples neste sistema,
tornem-se extremamente complexas. Natural-
mente, surge o problema de encontrar um sis-
tema de referencia, no qual as leis da mecanica
tornem-se o mais simples possıvel.
Se em relacao a um sistema de referencia
qualquer, o espaco for heterogeneo e ani-
sotropico. Isto significa, que se um corpo qual-
quer nao interage com nenhum outro corpo,
entao, as suas diferentes posicoes no espaco e
as suas diferentes orientacoes nao serao equiva-
lentes do ponto de vista mecanico. O mesmo
refere-se ao tempo, o qual sera nao uniforme,
isto e, seus diferentes instantes nao serao equi-
valentes. A complexidade, que sera introdu-
zida na descricao dos fenomenos mecanicos por
essas propriedades do espaco e do tempo, e
evidente. Assim, por exemplo, um corpo li-
vre (isto e, nao submetido a uma influencia
externa), nao poderia ficar em repouso: caso
a velocidade do mesmo em um certo instante
fosse igual a zero, no instante seguinte o corpo
poderia comecar a mover-se em uma certa
direcao.
Entretanto, do ponto de vista da mecanica
classica sempre pode-se encontrar um sistema
de referencia, em relacao ao qual o espaco sera
sempre homogeneo e isotropico e o tempo uni-
forme. Tal sistema denomina-se um referencial
inercial. Em particular, num sistema de re-
ferencia inercial um corpo livre que se encontra
em repouso em um dado instante, permanecera
em repouso durante um tempo ilimitado.
Neste ponto, pode-se tirar algumas con-
clusoes sobre a forma da funcao de Lagrange
para uma partıcula que se move livremente em
um sistema de referencia inercial. A homoge-
neidade do espaco e do tempo significa que esta
Prof. Salviano A. Leao 261
funcao nao podera conter explicitamente nem o
vetor posicao r do ponto, nem o tempo t, isto
e, a lagrangeana L sera uma funcao somente
da velocidade v = r. Em virtude da isotropia
do espaco, a lagrangeana nao podera depender
da direcao do vetor v, portanto ela sera uma
funcao somente do seu valor absoluto, isto e,
do quadrado v2 = v2:
L = L(v2).
Em virtude da independencia da lagrangeana
em relacao ao vetor posicao r temos que ∂L∂xi
=
0 com i = x, y, z e por isso a equacao de La-
grange tem a seguinte forma13
d
dt
∂L
∂vi
= 0, i = x, y, z (7.38)
onde∂L
∂vi
= cte .
Entretanto L = L(v2), logo
∂L
∂vi
=∂L
∂v2
∂v2
∂vi
= 2vi∂L
∂v2= cte . (7.39)
Como L = L(v2), entao ∂L/∂v2 depende so-
mente do modulo da velocidade, portanto ∂L∂vi
sera uma funcao da componente vi da veloci-
dade v e do seu modulo, desta forma tem-se
que
vi = cte . ⇒ v = cte . (7.40)
Deste modo, conclui-se que em um sistema de
referencia inercial, qualquer movimento livre
efetua-se com velocidade constante em gran-
deza e em direcao. Esta afirmacao constitui o
que se denomina a lei de inercia.
Se, alem do sistema inercial estudado, for in-
troduzido um outro sistema, que se move em
13Por derivada de uma grandeza escalar em relacaoa um vetor entendemos um vetor, cujas componentessao iguais as derivadas desta grandeza em relacao ascorrespondentes componentes do vetor.
relacao ao primeiro de modo retilıneo e uni-
forme, entao, as leis do movimento livre em
relacao a este novo sistema serao as mesmas
que em relacao ao sistema inicial: o movimento
livre ocorrera tambem com velocidade cons-
tante.
A experiencia mostra, entretanto, que nes-
tes sistemas nao apenas as leis do movimento
livre serao iguais, mas que tambem os sistemas
serao totalmente equivalentes do ponto de vista
mecanico. Deste modo existe nao somente um,
mas uma infinidade de sistemas inerciais de re-
ferencia, que se movem uns relativamente aos
outros, retilınea e uniformemente. Em todos
estes sistemas as propriedades do espaco e do
tempo sao as mesmas, assim como todas as
leis da Mecanica. Esta afirmacao contem a
essencia do principio da relatividade de Ga-
lileu, um dos mais importantes princıpios da
Mecanica.
Tudo o que foi dito demonstra as proprie-
dades excepcionais dos sistemas de referencia
inerciais, em virtude das quais estes sistemas
em geral sao usados no estudo dos fenomenos
mecanicos. De agora em diante, onde nao for
dito o contrario, estaremos usando somente os
sistemas de referencia inerciais.
A total equivalencia mecanica de toda uma
infinidade de sistemas inerciais demonstra, ao
mesmo tempo, que nao existe nenhum sistema
”absoluto”, o qual poderia ser escolhido no lu-
gar de outros sistemas. As coordenadas r e
r′ de um mesmo ponto em dois sistemas de
referencia diferentes O e O′, onde o segundo
desloca-se relativamente ao primeiro com velo-
cidade V, estao relacionados pela expressao
r = r′ + Vt. (7.41)
Neste caso a contagem do tempo e a mesma
em ambos os sistemas de referencia:
t = t′. (7.42)
Prof. Salviano A. Leao 262
A hipotese de que o tempo e absoluto re-
side nos conceitos fundamentais da Mecanica
classica14.
As equacoes (7.41) e (7.42) denominam-se
transformacoes de Galileu. O princıpio de re-
latividade de Galileu pode ser expresso como a
necessidade da invariancia das equacoes do mo-
vimento da mecanica em relacao a estas trans-
formacoes.
7.6 A Lagrangeana de
Uma Partıcula Livre
Agora iremos inferir a forma funcional da
funcao de Lagrange, para tal, analisaremos
inicialmente um caso simples: o movimento
livre de uma partıcula livre em um sistema
de referencia inercial. Como ja vimos, a la-
grangeana neste caso, pode depender somente
do quadrado do vetor velocidade. Para com-
preendermos a forma desta dependencia, uti-
lizaremos o princıpio da relatividade de Ga-
lileu. Se um sistema de referencia inercial
O move-se relativamente a um sistema de re-
ferencia inercial O′ com uma velocidade infi-
nitamente pequena ∆v, entao, v′ = v + ∆v.
Uma vez que as equacoes do movimento em
todos os sistemas de referencia deverao ter a
mesma forma, a funcao de Lagrange L(v2) de-
vera nesse caso transformar-se na funcao L′, a
qual, caso diferencie-se de L(v2) devera ser so-
mente por uma derivada total de uma funcao
das coordenadas e do tempo15.
Teremos:
L′ = L(v′2) = L(v2 + 2v ·∆v + ∆v2). (7.43)
14A mesma nao e valida na Mecanica relativista.15A Lagrangeana de um sistema que fornece as
equacoes de movimento corretas nao e unica, elas dife-rem uma das outras pela derivada total em relacao aotempo de uma funcao qualquer.
Decompondo esta expressao em serie de
potencias em ∆v e desprezando os termos in-
finitamente pequenos de ordem superior a se-
gunda, obtemos
L(v′2) = L(v2) +∂L
∂v22v ·∆v (7.44)
Como a lagrangeana de um sistema e defi-
nida a menos de uma derivada total em relacao
ao tempo de uma funcao qualquer da posicao
F (r(t)), entao o segundo termo do segundo
membro desta igualdade so sera a derivada to-
tal em relacao ao tempo da funcao F (r(t)),
dF
dt=∂F
∂r
dr
dt=∂F
∂rv (7.45)
se∂F
∂r=∂L
∂v22∆v. (7.46)
Por isso pode-se concluir que ∂L∂v2 nao depende
da velocidade, isto e, a funcao de Lagrange, no
caso examinado, sera diretamente proporcional
ao quadrado da velocidade:
L = av2 (7.47)
De fato, uma lagrangeana que possui tal forma
satisfaz o princıpio da relatividade de Galileu
no caso de uma transformacao infinitamente
pequena da velocidade, disto, resulta imedia-
tamente que a lagrangeana e igualmente inva-
riante para uma velocidade finita V de um sis-
tema de referencia O relativamente a O′. Re-
almente,
L′ = av′2 = a(v + V)2 = av2 + 2av ·V + aV 2
(7.48)
ou,
L′ = L+d
dt
(2ar ·V + aV 2t
)(7.49)
O segundo termo e uma derivada total e pode
ser omitido. A constante a e habitualmente
Prof. Salviano A. Leao 263
simbolizada por m/2, e assim pode-se final-
mente escrever a lagrangeana de uma partıcula
livre em movimento da seguinte forma:
L =1
2mv2 (7.50)
A grandezam denomina-se massa da partıcula.
Em virtude da propriedade aditiva da funcao
de Lagrange, para um sistema de partıculas
que nao interagem entre si, temos que:
L =n∑
i=1
1
2miv
2i . (7.51)
E conveniente frisar que, somente ao conside-
rarmos esta propriedade, a definicao dada de
massa adquire um sentido real. Como ja foi
discutido na secao 7.5, sempre podemos mul-
tiplicar a funcao de Lagrange por uma cons-
tante qualquer; isto nao se reflete nas equacoes
do movimento. Para a funcao (7.51) tal mul-
tiplicacao reduz-se a mudanca da unidade de
medida da massa; as relacoes das massas de
diversas partıculas, as quais sao as unicas que
tem um sentido fısico real, permanecem nessas
transformacoes, invariaveis.
Ve-se facilmente que a massa nao pode ser
negativa. Realmente, segundo o principio de
Hamilton para um ponto material que faz um
deslocamento real do ponto P1 ao ponto P2 do
espaco, a integral da acao S,
S =
∫ P2
P1
1
2mv2dt (7.52)
possui um mınimo. Se a massa fosse negativa,
entao, para as trajetorias, segundo as quais
a partıcula comeca a distanciar-se de maneira
rapida do ponto P1, e depois aproximar-se rapi-
damente do ponto P2, a integral de acao adqui-
riria os valores negativos arbitrariamente gran-
des em relacao ao valor absoluto, isto e, nao
teria mınimo.
E util salientar que
v2 =
(d`
dt
)2
=d`2
dt2. (7.53)
Por isso, para compormos a lagrangeana, e
suficiente determinar o quadrado do compri-
mento do elemento do arco d` no sistema de
coordenadas correspondente. Em coordenadas
cartesianas, por exemplo, d`2 = dx2+dy2+dz2,
por isso,
L =1
2mv2 =
1
2m
(x2 + y2 + z2
)(7.54)
Em coordenadas cilındricas d`2 = dr2+r2dφ2+
dz2, portanto,
L =1
2mv2 =
1
2m
(r2 + r2φ2 + z2
)(7.55)
Em coordenadas esfericas d`2 = dr2 + r2dθ2 +
r2 sen2 θdφ2 e
L =1
2mv2 =
1
2m
(r2 + r2θ2 + r2 sen2 θφ2
)
(7.56)
7.7 Lagrangeana de um
Sistema de Partıculas
Considere um sistema de partıculas, que in-
teragem somente entre si, nao interagindo
com quaisquer outros corpos nao perten-
centes ao sistema; tal sistema denomina-
se fechado ou isolado. Para estes siste-
mas, devemos adicionar a funcao energia po-
tencial −U(r1, r2, . . . , rN) da interacao entre
as partıculas a lagrangeana de um sistema
de partıculas nao interagentes dada pela eq.
(7.51), assim a lagrangeana deste sistema as-
sume a seguinte forma:
L =1
2
N∑i=1
miv2i − U(r1, r2, . . . , rN) (7.57)
Prof. Salviano A. Leao 264
onde ri e o vetor posicao da i-esima partıcula.
Esta e a forma geral da lagrangeana de um
sistema fechado.
A soma
T =1
2
N∑i=1
miv2i (7.58)
denomina-se energia cinetica e a funcao U ,
energia potencial do sistema.
O simples fato de que a energia potencial
depende somente da posicao de todos os pon-
tos materiais em um determinado instante de
tempo significa, que a variacao da posicao
de um deles reflete-se instantaneamente, em
todos os demais; pode-se dizer, que as in-
teracoes ”propagam-se” instantaneamente. A
inevitabilidade de tal carater das interacoes
na mecanica classica esta estreitamente ligada
com as premissas fundamentais da ultima – o
tempo absoluto e o princıpio da relatividade de
Galileu. Se a interacao nao se propagasse ins-
tantaneamente, isto e, com velocidade finita,
entao, esta velocidade seria diferente nos varios
sistemas de referencia (que se movem um re-
lativamente ao outro), uma vez que o tempo
absoluto significa automaticamente a aplicacao
da regra comum da soma das velocidades a to-
dos os fenomenos. Mas, entao, as leis do mo-
vimento dos corpos que interagem, difeririam
em diversos sistemas de referencia (inerciais),
o que contradiria o princıpio da relatividade de
Galileu.
Na secao 7.5 discutimos sobre a uniformi-
dade do tempo. A forma da funcao de La-
grange (7.57) mostra, que o tempo nao e so-
mente uniforme, mas tambem isotropico, isto
e, suas propriedades sao as mesmas em am-
bas as direcoes. Realmente, a substituicao
de t por −t mantem a lagrangeana, e, con-
sequentemente, as equacoes do movimento, in-
variaveis. Em outras palavras, se no sistema e
possıvel um movimento qualquer entao, sem-
pre sera possıvel o movimento inverso, isto e,
tal movimento no qual o sistema passe nova-
mente pelos mesmos estados em ordem inversa.
Neste sentido, todos os movimentos, que ocor-
rem segundo as leis da mecanica classica, sao
reversıveis.
Conhecendo a lagrangeana, poderemos es-
crever as equacoes do movimento,
d
dt
∂L
∂ri
− ∂L
∂ri
= 0. (7.59)
Substituindo na mesma (7.57), obteremos:
midri
dt= −∂U
∂ri
= −∇iU (7.60)
As equacoes do movimento nesta forma
denominam-se equacoes de Newton e consti-
tuem a base da mecanica de um sistema de
partıculas que interagem. O vetor
Fi = −∂U∂ri
= −∇iU (7.61)
localizado no segundo membro da equacao
(7.61), denomina-se forca que age na i-esima
partıcula. Juntamente com U ela depende ape-
nas das coordenadas de todas as partıculas,
mas nao das velocidades das mesmas. As
equacoes (7.61) mostram por isso, que os ve-
tores da aceleracao das partıculas sao funcoes
somente das coordenadas.
A energia potencial e uma grandeza determi-
nada a menos de uma constante arbitraria que
lhe pode ser adicionada; tal adicao nao muda
as equacoes do movimento (a lagrangeana que
fornece as equacoes de movimento e definida a
menos da derivada total em relacao ao tempo
de uma funcao qualquer das coordenadas gene-
ralizadas e do tempo). A escolha mais natural
e mais comum desta constante, deve ser feita
de tal modo que a energia potencial do sistema
tenda a zero, ao aumentar-se a distancia entre
as partıculas.
Prof. Salviano A. Leao 265
Se para descrevermos o movimento, utili-
zarmos em lugar das coordenadas cartesianas
das partıculas, as coordenadas generalizadas
arbitrarias qk, entao, para obtermos a lagran-
geana, e necessario fazer as transformacoes cor-
respondentes:
xi = xi(q1, q2, . . . , qn) i = 1, . . . , 3N
xi =n∑
k=1
∂xi
∂qkqk
Colocando estas expressoes na funcao
L =1
2
N∑i=1
mi(x2i + y2
i + z2i )− U(r1, r2, . . . , rN)
obteremos a lagrangeana procurada, a qual
tera a seguinte forma:
L =1
2
∑
i,k
Mik(q)qiqk − U(q) (7.62)
onde Mik sao funcoes somente das coorde-
nadas. Em um sistema de coordenadas ge-
neralizadas a energia cinetica e uma funcao
quadratica das velocidades, mas pode depen-
der tambem das coordenadas.
Ate o momento consideramos somente siste-
mas fechados. Analisemos, agora, um sistema
aberto A, que interage com outro sistema B,
que realiza um movimento conhecido. Nesse
caso se diz, que o sistema A move-se em um
campo externo conhecido (criado pelo sistema
B). Uma vez que as equacoes do movimento
sao obtidas a partir do princıpio de Hamilton,
por meio da variacao independente de cada
uma das coordenadas (isto e, considerando as
demais como conhecidas), podemos, para de-
terminar a lagrangeana LA do sistema A, utili-
zar a lagrangeana L do sistema inteiro A+B,
substituindo na mesma as coordenadas qB pe-
las funcoes dadas do tempo.
Considere que o sistema A + B e fechado,
tem-se neste caso que sua lagrangeana e,
L = TA(qA, qA) + TB(qB, qB)− U(qA, qB),
na qual os dois primeiros termos represen-
tam as energias cineticas dos sistemas A e
B e o terceiro termo, a energia potencial co-
mum aos dois sistemas. Substituindo qB pe-
las funcoes dadas do tempo e omitindo o
termo TB(qB(t), qB(t)), que depende somente
do tempo (e, por isso, e derivada total de uma
outra funcao qualquer do tempo), obtem-se
que
LA = TA(qA, qA)− U(qA, qB(t)).
Deste modo, o movimento de um sistema em
um campo externo e descrito por uma lagran-
geana do tipo comum, com uma so diferenca,
que a energia potencial agora pode depender
explicitamente do tempo. Assim, para o movi-
mento de uma partıcula num campo externo,
a forma geral da lagrangeana sera:
L =1
2mv2 − U(r, t), (7.63)
e a equacao do movimento tem a forma:
mv = −∂U∂r
= −∇U
Um campo denomina-se uniforme, quando em
todos os pontos do mesmo, age sobre uma
partıcula qualquer a mesma forca F. A energia
potencial em tal campo e igual, evidentemente,
a:
U = −F · r.Na descricao dos sistemas mecanicos encon-
trados frequentemente na pratica, sempre sur-
gem algum tipo vınculo restringindo o movi-
mento do sistema mecanico investigado, alem
das forcas de atrito. Estes vınculos geral-
mente aparecem na forma de ligacoes entre
dois corpos, como por exemplo por meio de
barras, fios, dobradicas, superfıcies, etc. Estes
vınculos introduzem no movimento um novo
fator: o movimento dos corpos e acompanhado
Prof. Salviano A. Leao 266
de atrito nos pontos de contato; como resul-
tado disto, o problema sai dos limites do for-
malismo exposto ate o momento. Entretanto,
em muitos casos o atrito no sistema e tao
fraco, que sua influencia sobre o movimento
pode ser completamente desprezada. Se puder-
mos, tambem, desprezar as massas dos ”ele-
mentos de ligacao” do sistema, entao, o pa-
pel dos ultimos se reduz, simplesmente, a uma
diminuicao do numero dos graus de liberdade
S do sistema (em comparacao com o numero
3N). Para determinar o seu movimento, po-
demos, entao, novamente, utilizar a funcao de
Lagrange do tipo (7.57), com um numero de
coordenadas generalizadas independentes, que
correspondam ao numero real de graus de li-
berdade.
7.8 Princıpio de Hamil-
ton: Vınculos Nao-
Holonomicos
O metodo de Lagrange concentra-se somente
nas forcas ativas, ignorando completamente os
efeitos das forcas internas devido as juncoes,
conexoes, e contatos com os vınculos. Se esti-
vermos interessados em conhecer as forcas de
vınculo, entao devemos utilizar o metodo dos
multiplicadores indeterminados de Lagrange.
Os metodos estudados ate o momento
podem ser usados na analise de sistemas
com vınculos holonomos, no qual usamos as
equacoes de vınculo para eliminar as variaveis
em excesso, obtendo entao um conjunto de
coordenadas generalizadas independentes. O
metodo dos multiplicadores de Lagrange pode
ser aplicado a sistemas com certos tipos
vınculos nao-holonomos. Inicialmente intro-
duziremos o metodo dos multiplicadores de
Lagrange para os sistemas nao-holonomos, e
entao mostraremos que ele tambem pode ser
aplicado aos sistemas holonomos.
Formalmente podemos estender o princıpio
de Hamilton para que ele possa ser apli-
cado a sistemas que possuam certos tipos de
vınculos nao-holonomos. Tanto na deducao
das equacoes de Lagrange quanto na deducao
do princıpio de D’Alembert, a necessidade de
que os vınculos sejam holonomicos aparecem
quando impomos que as variacoes das coor-
denadas generalizadas qi sejam todas indepen-
dentes umas das outras. Ao considerarmos os
sistemas nao-holonomicos as coordenadas ge-
neralizadas qk nao sao mais todas umas inde-
pendentes das outras, e portanto, nao podemos
mais reduzir o numero de graus de liberdade do
sistema por meio de equacoes de vınculos da
forma f(q1, q2, . . . , qn, t) = 0. Portanto, para
os vınculos nao-holonomicos nem todas as co-
ordenadas qk sao independentes umas das ou-
tras.
Uma outra diferenca deve ser considerada no
tratamento via o princıpio variacional, que a
maneira na qual a variacao das trajetorias e
construıda. Na discussao do princıpio variacio-
nal ressalta-se que as variacoes δq representam
um deslocamento virtual de um ponto na tra-
jetoria real para um ponto em uma trajetoria
vizinha, a trajetoria variada ou trajetoria ten-
tativa. Se as coordenadas generalizadas sao
todas umas independentes das outras e a tra-
jetoria tentativa final que e importante, e nao
como ela e construıda. Ja quando as coordena-
das generalizadas nao sao mais umas indepen-
dentes das outras, mas estao relacionadas por
equacoes de vınculos, e importante construir-
mos trajetorias tentativas cujos os deslocamen-
tos virtuais sejam consistentes com os vınculos
que restrıngem o movimento do sistema. Os
deslocamentos virtuais podem ou nao satisfa-
Prof. Salviano A. Leao 267
zer os vınculos.
Um tratamento direto dos sistemas com
vınculos nao-holonomicos por meio do
princıpio variacional e possıvel somente
quando as equacoes de vınculo podem ser
escritas na forma
fi(q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn, t) = 0, (7.64)
e neste caso os vınculos sao chamados de semi-
holonomicos. O ındice i indica que pode haver
mais de uma destas equacoes. Considerando
que existem m equacoes de vınculos, isto e,
i = 1, 2, . . . ,m. A equacao (7.64) geralmente
aparece na forma restritiva
n∑
k=1
(∂fi
∂qkdqk +
∂fi
∂qkdqk
)+∂fi
∂tdt = 0,
n∑
k=1
(aikdqk + bikdqk) + aitdt = 0.(7.65)
Pode-se esperar que as trajetorias tentativas,
ou equivalentemente, os deslocamentos que
constroem as trajetorias tentativas, devem sa-
tisfazer as equacoes de vınculos na forma da
eq. (7.64) ou na forma da eq. (7.65). Entre-
tanto, pode-se provar que nenhuma de tais tra-
jetorias podem ser construıdas a menos que as
equacoes (7.65) sejam integraveis, caso este em
que os vınculos sao holonomos. Um princıpio
variacional o qual nos leva as equacoes de movi-
mento corretas, pode neste sentido, ser obtido
quando construımos as trajetorias tentativas
a partir da trajetoria real do movimento por
meio de deslocamentos virtuais. As equacoes
de vınculos validas para os deslocamentos vir-
tuais sao
n∑
k=1
aikδqk =n∑
k=1
∂fi
∂qkδqk = 0, (7.66)
e as trajetorias tentativas em geral nao irao
satisfazer (7.65).
7.8.1 Metodo dos Multiplicado-
res de Lagrange
Pode-se usar (7.66) para reduzir o numero de
deslocamentos virtuais independentes. O pro-
cedimento usado para eliminarmos estes des-
locamentos virtuais extras e conhecido como
metodo dos multiplicadores indeterminados de
Lagrange. Se as equacoes (7.64) sao validas
entao as equacoes
m∑i=1
λifi = 0, (7.67)
tambem sao validas. Aqui os λi, com i =
1, 2, . . . ,m sao quantidades desconhecidas que
em geral sao funcoes das coordenadas qk e do
tempo t. Alem disso, sera considerado que o
princıpio de Hamilton
δS = δ
∫ t2
t1
Ldt = 0, (7.68)
para este sistema semi-holonomico tambem e
valido. Seguindo o mesmo raciocınio desenvol-
vido na secao 7.4, o princıpio de Hamilton nos
permite escrever
δS =n∑
k=1
∫ t2
t1
[∂L
∂qk− d
dt
(∂L
∂qk
)]δqk (t) dt
(7.69)
Aqui a variacao nao pode ser tomada como
antes, ja que as variacoes dos qk nao sao to-
das independentes umas das outras. Entre-
tanto, combinando as equacoes (7.68) com as
equacoes (7.69), podemos escrever
δ
∫ t2
t1
(L+
m∑i=1
λifi
)dt = 0. (7.70)
Fazendo a variacao do termo devido aos
vınculos, ou seja,
δ
∫ t2
t1
(m∑
i=1
λifi
)dt = 0, (7.71)
Prof. Salviano A. Leao 268
obtemos, apos repetirmos o mesmo procedi-
mento usado no calculo variacional para ob-
termos as equacoes de Lagrange, que
m∑i=1
n∑
k=1
∫ t2
t1
λi
[∂fi
∂qk− d
dt
(∂fi
∂qk
)]
−dλi
dt
∂fi
∂qk
δqk (t) dt = 0 (7.72)
Aqui por uma questao de simplicidade con-
sidera-se que λi = λi(t). Desta forma a eq.
(7.70) pode ser escrita como uma combinacao
das eqs. (7.69) e (7.72), resultando em
n∑
k=1
∫ t2
t1
[∂L
∂qk− d
dt
(∂L
∂qk
)]δqk (t) dt+
m∑i=1
∫ t2
t1
λi
[∂fi
∂qk− d
dt
(∂fi
∂qk
)]
−dλi
dt
∂fi
∂qk
δqk (t) dt
= 0 (7.73)
Agora a variacao pode ser feita com nδqk e
mλi para m + n variaveis independentes. Por
uma questao de simplicidade separa-se as coor-
denadas dependentes das independentes, con-
siderando que as m primeiras coordenadas sao
nao independentes e que as n−m coordenadas
restantes sao independentes.
A equacao (7.73) pode ser escrita em uma
forma mais compacta, para isto defini-se a
forca generalizada Qk como
Qk =m∑
i=1
λi
[∂fi
∂qk− d
dt
(∂fi
∂qk
)]− dλi
dt
∂fi
∂qk
(7.74)
Assim, a equacao anterior pode ser escrita
como
n∑
k=1
∫ t2
t1
[d
dt
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk
]−Qk
δqk (t) dt
(7.75)
Neste momento, tem-se um problema ja que
nem todas as variacoes δqk (t) sao independen-
tes. Elas estao relacionadas pelas m relacoes
dadas pela eq. (7.67). Isto e, enquanto n−mdestas coordenadas generalizadas podem ser
escolhidas independentemente, as outras m de-
las estao fixadas pelas relacoes da eq. (7.67).
Entretanto, os valores dos λi ainda nao foram
definidos, ou seja, continuam indefinidos, desta
forma, pode-se escolher os λi de modo que para
resolver o problema deve-se proceder da se-
guinte maneira:
Primeiro passo: Escolhe-se os λi de modo
que os m coeficientes dos δqk depententes da
eq. (7.75) sejam identicamente nulos, assim
obtemos a seguinte equacao
d
dt
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk= Qk k = 1, . . . ,m. (7.76)
onde
Qk =m∑
i=1
λi
[∂fi
∂qk− d
dt
(∂fi
∂qk
)]− dλi
dt
∂fi
∂qk
,
(7.77)
As m eqs. (7.76) e (7.77) para as m coordena-
das generalizadas qk e os m multiplicadores de
Lagrange λi juntamente com as m eqs. (7.67)
em princıpio podem ser resolvidas, e com isto,
encontra-se as m coordenadas generalizadas qk
e os m multiplicadores de Lagrange λi.
Segundo passo: Uma vez encontrado os λi,
devemos retornar as equacoes n−m de movi-
mento restantes da eq. (7.75), para as n −mcoordenadas generalizadas independentes
n−m∑
k=1
∫ t2
t1
[d
dt
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk
]−Qk
δqk (t) dt
k = m+ 1, . . . , n (7.78)
Aqui os unicos δqk envolvidos sao aqueles in-
dependentes uns dos outros. Portanto segue,
que
d
dt
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk= Qk, (7.79)
k = m+ 1,m+ 2, . . . , n.
Prof. Salviano A. Leao 269
Combinando as equacoes (7.76) com (7.79),
obtemos finalmente o conjunto completo das
equacoes de Lagrange para os sistemas nao-
holonomicos:
d
dt
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk= Qk, k = 1, . . . , n
(7.80)
com a forca generalizada Qk sendo dada por
(7.77).
Mas isto nao e tudo, ate agora temos n+m
equacoes desconhecidas, as n coordenadas qk e
os m multiplicadores de Lagrange λi, enquanto
a equacao (7.80) fornece somente n equacoes.
As equacoes adicionais necessarias sao de fato,
as equacoes de vınculo (7.67).
O sistema pode ser interpretado como sendo
um sistema holonomico com n+m coordenadas
generalizadas, cujas as forcas generalizadas sao
dadas por Qk. Este sistema possui m equacoes
de vınculos holonomos, o que reduz o numero
de graus de liberdade do sistema a n, e por-
tanto teremos n equacoes de Lagrange a serem
resolvidas.
A generalizacao deste procedimento para
λi = λi(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) e direta. Ob-
serve que para o caso em que fi = fi(q1, . . . , qn)
e λi = cte. a forca generalizada reduz-se a:
Qk =m∑
i=1
λi∂fi
∂qk, (7.81)
a qual e a forma mais comum para a forca ge-
neralizada nos sistemas holonomos.
Exemplo 79 Considere uma partıcula cuja a
lagrangeana e
L =1
2m
(x2 + y2 + z2
)− U(x, y, z) (7.82)
e esta submetida ao seguinte vınculo,
f(x, y, y) = xy + ky = 0 (7.83)
onde k e uma constante.
Solucao: Antes de escrevermos as equacoes
de movimento, vamos escrever as forcas gene-
ralizadas, as quais sao dadas por
Qx = −λy − λyQy = λk − λx− λxQz = 0.
Portanto, as equacoes de movimento resultan-
tes sao
mx+ λy + λy +∂U
∂x= 0,
my + λx+ kλ+∂U
∂y= 0,
mz +∂U
∂z= 0,
e a equacao de vınculo pode ser escrita como
xy + ky = 0.
Neste processo, obtivemos mais informacoes
do que foi pedido inicialmente. Obtivemos nao
somente um aparato que nos permite determi-
nar o conjunto de coordenadas qk, mas obti-
vemos tambem os mλi. Qual e o significado
fısico dos λi?
7.8.2 Forcas de Vınculo
Agora, deve-se investigar o significado fısico
dos multiplicadores indeterminados de La-
grange, os quais como foi visto, tambem sao
obtidos no processo de resolucao das equacoes
de movimento. Suponha que removemos os
vınculos que atuam sobre o sistema, mas que
em compensacao aplicamos uma forca externa
Q′k a qual mantem o movimento do sistema
inalterado, ele se move como se moveria caso
os vınculos estivessem atuando sobre ele. Da
mesma, maneira as equacoes de movimento de-
vem permanecer as mesmas. Claramente es-
tas forcas extras aplicadas devem ser iguais as
Prof. Salviano A. Leao 270
forcas de vınculo, para que estas forcas aplica-
das ao sistema satisfacam as condicoes impos-
tas pelos vınculos. Entretanto, a lagrangeana
L do sistema so inclui as forcas aplicadas, logo
estas forcas adicionais Q′k sao introduzidas nas
equacoes de movimento da seguinte forma,
d
dt
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk= Q′k (7.84)
Mas esta equacao e identica a eq. (7.80). Por-
tanto, podemos associar Q′k com a forca gene-
ralizada dos vınculos dada por (7.77). Neste
tipo de problema nao eliminou-se realmente as
forcas de vınculo da formulacao do problema.
Elas sao fornecidas como parte da solucao.
Embora nao seja obvio, a versao do princıpio
de Hamilton apresentada aqui para os siste-
mas com vınculos semi-holonomicos tambem
requer que as forcas de vınculo nao realizem
trabalho ao longo de um deslocamento virtual.
Pois como vimos que a inclusao de vınculos
semi-holonomicos introduz uma dificuldade ex-
tra que se deve ao fato das coordenadas gene-
ralizadas nao serem mais todas independentes
umas das outras e por isso nao podemos obter
as equacoes de Lagrange dizendo que individu-
almente os integrandos da eq. (7.75) sao nulos.
Entretanto, o princıpio de Hamilton pode ser
estendido a estes sistemas, e para tal, basta
impor que o trabalho realizado pelas forcas de
vınculo ao longo de um deslocamento virtual
seja nulo. Isto pode ser visto ao escrevermos o
princıpio de Hamilton na seguinte forma
δ
∫ t2
t1
Ldt = δ
∫ t2
t1
Tdt− δ∫ t2
t1
Udt = 0.
(7.85)
Se a variacao da integral sobre o potencial ge-
neralizado U(q, q) for realizada pelo metodo de
Euler-Lagrange, podemos escrever
δ
∫ t2
t1
Tdt =
=n∑
i=1
∫ t2
t1
[∂U
∂qi− d
dt
∂U
∂qi
]δqi(t)dt
= −∫ t2
t1
n∑i=1
Qiδqi(t)dt, (7.86)
onde usamos a relacao
Qi = −∂U∂qi
+d
dt
∂U
∂qi
entre o potencial generalizado U e a forca ge-
neralizada Qi.
Nesta forma, o princıpio de Hamilton diz
que a diferenca na integral temporal da ener-
gia cinetica entre duas trajetorias vizinhas e
igual ao negativo da integral temporal do tra-
balho realizado no deslocamento virtual entre
as duas trajetorias. O trabalho que aparece e
aquele realizado somente pelas forcas que po-
dem ser representadas por uma funcao poten-
cial. Da mesma forma o princıpio de Hamilton
deve ser mantido para ambos os sistemas ho-
lonomicos e os semi-holonomicos, impondo-se
que o trabalho realizado pelas forcas adicio-
nais dos vınculos semi-holonomicos ao longo
de um deslocamento virtual δqi e nulo, entao a
eq. (7.86) e verdadeira, assim como o princıpio
de Hamilton. Note que esta restricao e simi-
lar aquela condicao imposta anteriormente de
que o o trabalho realizado pelas forcas adi-
cionais dos vınculos holonomicos ao longo de
um deslocamento virtual δqi tambem e nulo.
Na pratica, a restricao apresenta uma pequena
condicao a aplicacao do formalismo, entretanto
como muitos dos problemas nos quais o for-
malismo para os sistemas semi-holonomicos e
usado estao relacionados aos problemas de ro-
lamento sem deslizamento, nestes casos obvia-
mente as forcas de vınculo nao realizam traba-
lho.
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Note que as eqs. (7.64) e (7.65) nao re-
presentam a forma mais geral de um vınculo
nao-holonomico, por exemplo elas nao incluem
equacoes de vınculo na forma de desigualdades.
Por outro lado, elas incluem os vınculos ho-
lonomicos, cuja a equacao e da seguinte forma
fi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0 (7.87)
que e equivalente as eqs. (7.64) e (7.65) sem a
dependencia em qk, ou seja, a equacao diferen-
cialn∑
k=1
∂fi
∂qkdqk +
∂fi
∂tdt = 0,
a qual e identica a eq. (7.65), com os coefici-
entes
aik =∂fi
∂qkait =
∂fi
∂t.
Portanto, o metodo dos multiplicadores de La-
grange tambem pode ser usado para os siste-
mas com vınculos holonomicos quando (i) ele
estiver reduzido de forma inconveniente todas
as coordenadas q independentes ou (ii) quando
precisarmos de obter as forcas de vınculo.
Consideremos explicitamente o caso dos sis-
temas com vınculos holonomicos, que possui m
de condicoes de vınculo da forma
fi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0; i = 1, . . . ,m, (7.88)
ou entao ser da forma
n∑
k=1
aikdqk + aitdt = 0; i = 1, . . . ,m. (7.89)
Notemos que vınculos holonomicos da forma
(7.88) podem ser reescritos na forma (7.89),
o contrario nao sendo necessariamente verda-
deiro, pois o lado esquerdo de (7.89) pode nao
ser uma diferencial exata. Se (7.89) vale, entao
temos tambem que para uma variacao virtual
(apenas as coordenadas variam)
∫ t2
t1
m∑i=1
n∑
k=1
λiaikδqkdt = 0, (7.90)
onde os λi sao funcoes das coordenadas e do
tempo a serem determinadas e sao denomina-
dos de multiplicadores indeterminados de La-
grange. Somando (7.90) a (7.69) obtemos
∫ t2
t1
n∑
k=1
[∂L
∂qk− d
dt
∂L
∂qk+
m∑i=1
λiaik
]δqkdt = 0.
(7.91)
Agora notemos que temos n − m coordena-
das independentes e m multiplicadores de La-
grange arbitrarios. Assim escolhemos os mul-
tiplicadores de maneira a anular m termos da
soma em (7.91). Os demais n−m termos sao
nulos pois temos n−m δqk independentes. Isso
nos da as seguintes equacoes de movimento:
d
dt
∂L
∂qk− ∂L
∂qk=
m∑i=1
λiaik; k = 1, . . . , n.
(7.92)
Temos entao n + m incognitas: as n coor-
denadas qk como funcoes do tempo e os m
multiplicadores λi. As m equacoes adicionais
necessarias para determinar univocamente es-
sas incognitas sao justamente as m condicoes
de vınculo (7.89), que fornecem as seguintes
equacoes adicionais:
n∑
k=1
aikqk + bi = 0; i = 1, . . . ,m. (7.93)
Da eq. (7.92) vemos que as forcas de vınculo
sao dadas por
Q′i =m∑
k=1
λkaki, (7.94)
o que nos da a interpretacao fısica dos multi-
plicadores de Lagrange.
Exemplo 80 Considere uma partıcula livre
no plano xy, submetida ao seguinte vıculo
x− ωy = 0,
onde ω e uma constante. Encontre as equacoes
de movimento e as forcas de vınculo.
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Solucao: Neste caso a lagrangeana do sis-
tema e dada por
L =1
2m(x2 + y2).
Como temos uma unica equacao de vınculo,
entao so teremos um multiplicador de lagrange
λ. Para resolvermos este problema, podemos
considerar duas situacoes distintas:
i) Apesar da equacao de vınculo depender
do tempo, iremos considerar que o mul-
tiplicador de lagrange λ nao ira depen-
der do tempo, assim, a forca generalizada
sera dada pela eq. (7.94).
ii) Como o vınculo depende do tempo, entao
consideraremos que o multiplicador de la-
grange λ tambem ira depender do tempo,
assim, a forca generalizada sera dada
pela eq. (7.77).
No primeiro caso, em que iremos conside-
rar o multiplicador de lagrange constante, a
equacao de vınculo pode ser reescrita como
axdx+ atdt = 0,
onde ax = 1 e at = −ωy. Considerando que a
forca de vınculo λ e independente do tempo, as
equacoes de movimento que temos de resolver
sao dadas por:
d
dt
∂L
∂qk− ∂L
∂qk=
m∑i=1
λiaik,
entretanto, como temos uma unica equacao de
vınculo, entao os seus coeficientes sao dados
por
a1x = 1, a1y = 0 e a1t = −ωy.
Portanto, as equacoes de movimento sao
mx = a1xλ = λ
my = a1yλ = 0.
Integrando a equacao acima para a coordenda
y, obtemos que
y(t) = y0 + v0yt.
Mas, diferenciando a equacao de vınculo com
relacao ao tempo, obtemos
x = ωy(t),
a qual ao ser integrada, fornece
x(t) = x0 + y0ωt+1
2v0yωt
2
Ao diferenciarmos a equacao de vınculo com
relacao ao tempo duas vezes obtemos que
x = ωy −→ mx = mωy = λ,
logo, a forca de vınculo e dada por
λ = mωv0y
Isto, fornece as seguintes forcas generalizadas
Qx = λa1x = mωv0y
Qy = λa1y = 0.
O segundo caso, em que o multiplicador de
lagrange depende do tempo fica como exercıcio.
Exemplo 81 Considere um aro circular de
raio r e massa m rolando sem deslizar, para
baixo em um plano inclinado que forma um
angulo β com a horizontal, conforme mostra
a figura 7.2 abaixo. Determine a aceleracao
do aro e a velocidade com que ele chega a su-
perfıcie horizontal, sabendo que o plano incli-
nado tem um comprimento l.
Solucao: Neste exemplo os vınculo devido
ao rolamento sao holonomicos, mas de fato eles
sao irrelevantes para nossa discussao. Por ou-
tro lado, o vınculo holonomico que mantem o
aro sobre o plano inclinado estara contido im-
plicitamente na nossa escolha das coordenadas
generalizadas.
Prof. Salviano A. Leao 273
Figura 7.2: Aro circular rolando plano incli-
nado abaixo.
As duas coordenadas generalizadas sao x e
θ, como mostra a figura 7.2, e a equacao de
vınculo para o rolamento e
rdθ = dx rdθ − dx = 0.
A energia cinetica pode ser escrita como a
energia de translacao do centro de massa mais
a energia cinetica de rotacao do aro em torno
do seu centro de massa, assim (o momento de
inercia I do aro e I = 12mr2):
T =1
2mx2 +
1
4mr2θ2.
e a energia potencial, medida a partir do topo
do plano inclinado e
V = −mgx sen β
desta forma a lagrangeana e
L = T − V=
1
2m
(x2 +
1
2r2θ2
)+mgx sen β
Como so temos uma equacao de vınculo, entao
sera necessario somente um multiplicador de
Lagrange λ. Os coeficientes que aparecem na
equacao de vınculo sao
aθ = r e ax = −1.
Portanto, as duas equacoes de movimento de
Lagrange sao
mx−mg sen β + λ = 01
2mr2θ − λr = 0,
as quais juntamente com a equacao de vınculo,
rθ = x,
constituem um conjunto de tres equacoes para
tres incognitas θ, x e λ. Diferenciando a
equacao de vınculo com relacao ao tempo ob-
temos
rθ = x.
Substituindo este resultado na segunda equacao
de movimento, encontramos
λ =1
2mx
Agora, substituindo este resultado na primeira
equacao de movimento temos
x =2
3g sen β,
e portanto,
λ =1
3mg sen β
e
θ =2g sen β
3r.
Dai conclui-se que o aro rola plano inclinado
abaixo com metade da aceleracao que ele te-
ria caso desliza-se plano inclinado abaixo sem
atrito, e que a forca de atrito de vınculo e
λ = 12mg sen β.
Agora para obtermos a velocidade com que o
aro chega a superfıcie, basta observarmos que
x =dx
dt=dx
dl
dl
dt= v
dv
dl,
usando o valor encontrado para x, temos a se-
guinte equacao
vdv
dl=
2
3g sen β
Prof. Salviano A. Leao 274
a qual poder ser integrada imediatamente for-
necendo
v = 2
√gl sen β
3= 2
√gh
3
onde h e a altura em que iniciou-se o rola-
mento. Observe que esta velocidade e diferente
da velocidade que teria se estivesse deslizando
plano inclinado abaixo sem atrito.
Exemplo 82 Considere uma partıcula de
massa m e colocada no topo de um hemisferio
esferico de raio R conforme a figura 7.4. De-
termine a reacao normal N do hemisferio sobre
a partıcula, e se a partıcula e perturbada, e em
qual altura ela abandona o hemisferio.
Figura 7.3: Uma partıcula no topo de um he-
misferio esferico.
Solucao: Este e um problema interessante
pois, ate o instante no qual a partıcula aban-
dona o hemisferio, o vınculo do sistema e ho-
lonomico, e apos este instante nao e mais.
As duas coordenadas generalizadas sao r e
θ. Em termos de r e θ, as energias cineticas e
potencial da partıcula sao dadas por
T =1
2m
(r2 + r2θ2
)
V = mgr cos θ,
onde usamos como referencia para a energia
potencial o fundo do hemisferio, ou seja, y =
0. A lagrangeana do sistema e
L = T − V=
1
2m
(r2 + r2θ2
)−mgr cos θ
A equacao de vınculo e r = R, ou dr = 0.
Desta forma ar = 1 e aθ = 0. Como so temos
uma equacao de vınculo, entao sera necessario
somente um multiplicador de Lagrange λ.
Portanto, as duas equacoes de movimento de
Lagrange sao
mRθ2 −mg cos θ + λ = 0
mR2θ −mgR sen θ = 0,
Para resolvermos estas equacoes de movimento
fazemos s = θ, assim
θ =dθ
dt=ds
dt=ds
dθ
dθ
dt= s
ds
dθ
Portanto, em termos de s as equacoes de mo-
vimento podem ser escritas como
mRs2 −mg cos θ + λ = 0
sds
dθ−
( gR
)sen θ = 0.
Integrando a ultima equacao acima
sds =( gR
)sen θdθ
1
2s2 = −
( gR
)cos θ + C
onde C e uma constante de Integracao. Temos
entao que,
θ2 = −2( gR
)cos θ + 2C
Agora imporemos uma condicao inicial para
encontrarmos C. No instante t = 0, no ponto
mais alto do hemisferio sabemos que: θ(t =
0) = 0 e que θ(t = 0) = 0, portanto
C =( gR
)
e desta forma, temos que
θ =
√2g
R(1− cos θ)
Substituindo este resultado na segunda equacao
de movimento encontramos que
λ = mg cos θ −mRθ2
= 3mg cos θ − 2mg
= (3 cos θ − 2)mg
Prof. Salviano A. Leao 275
A forca de vınculo λ e a forca normal N procu-
rada. A partıcula ira abandonar o hemisferio
quando a normal for nula, ou seja, quando
cos θ =2
3Exemplo 83 Usando o metodo dos multipli-
cadores de Lagrange, descreva o movimento de
um patinete em um plano horizontal.
Figura 7.4: Um painete que se move em um
plano horizontal.
Solucao: Como um modelo super simplifi-
cado de um patinete, iremos considerar uma
haste rıgida, delgada, homogenea de compri-
mento ` restrita a mover-se de tal modo que
a velocidade do centro de massa seja sempre
paralela a haste. Como coordenadas generali-
zadas utilizamos o vetor posicao do centro de
massa r = xi + yj e o angulo θ que a haste
faz com o eixo x. Sendo n = cos θi + sen θj
um vetor unitario ao longo da haste, o vınculo
pode ser expresso pela equacao
r× n = 0,
ou ainda, em termos de suas componentes pela
equacao:
x sen θ − y cos θ = 0. (7.95)
Multiplicado a equacao (7.95) por dt, ela pode
ser reescrita como
sen θdx− cos θdy = 0, (7.96)
da qual obtemos os seguintes coeficientes
a1x = sen θ, a1y = cos θ, e a1t = 0.
Como o patinete se move em um plano hori-
zontal, entao podemos escolher U = 0, na su-
perfıcie do plano. Desta forma a lagrangeana
do sistema e a propria energia cinetica, que e
dada por
L = T =1
2m(x2 + y2) +
1
2Iθ2,
a qual e constituıda pela energia cinetica de
translacao do centro de massa, mais a energia
cinetica de rotacao sobre o mesmo. Aqui I e o
momento de inercia da haste relativamente a
um eixo perpendicular a ela que passa pelo seu
centro de massa. As equacoes de movimento
sao
mx = λ sen θ (7.97)
my = −λ cos θ (7.98)
Iθ = 0. (7.99)
A ultima equacao acima, tem a seguinte
solucao
θ(t) = θ0 + ωt,
onde θ0 e ω sao constante arbitrarias. Divi-
dindo a eq. (7.97) pela eq. (7.98), obtemos
cos θx+ y sen θ = 0. (7.100)
Mas, da equacao de vınculo (7.95), temos que
y = x tg θ =⇒ y = x tg θ + ωx sec2 θ.
(7.101)
Substituindo a eq. (7.101) na eq. (7.100), ob-
temos
x cos θ +(x tg θ + ωx sec2 θ
)sen θ = 0,
Prof. Salviano A. Leao 276
dividindo a equacao acima por cos θ, obtemos
x+ x tg2 θ + ωx tg θ sec2 θ = 0
x(1 + tg2 θ) + ωx tg θ sec2 θ = 0
(x+ ωx tg θ) sec2 θ = 0
x+ ωx tg θ = 0
d
dt(x sec θ) = 0
Portanto,
x sec θ = A = cte.
x = A cos(θ0 + ωt)
x(t) = x0 +B sen(θ0 + ωt)
na qual, a constante B = Aω, e A e B sao cons-
tantes arbitrarias de integracao. Da eq. (7.95)
temos
y = x tg θ
y = A cos(θ0 + ωt)sen(θ0 + ωt)
cos(θ0 + ωt)
y = A sen(θ0 + ωt)
y(t) = y0 −B cos(θ0 + ωt).
O patinete gira em torno do seu prorio eixo
do centro de mass com uma velocidade angular
ω constante, ao mesmo tempo que o centro de
masssa descreve uma circunferencia no plano
do movimento com a mesma velocidade angu-
lar ω. Se ω = 0, o centro de massa do patinete
executa um movimento retilıneo uniforme.
7.9 Vantagens de Uma
Formulacao Por Um
Princıpio Variacional
Embora possamos estender a formulacao ori-
ginal do princıpio de Hamilton eq. (7.1)
para incluir alguns vınculos nao-holonomos, na
pratica esta formulacao da mecanica e mais
util quando pode-se escrever uma lagrangeana
para o sistema cujas as coordenadas genera-
lizadas sao independentes. A formulacao por
um princıpio variacional e descrita como sendo
uma forma elegante para apresentarmos com-
pactamente o princıpio de Hamilton, no qual
esta contido todos os mecanismos dos sistemas
holonomicos com as forcas derivaveis de uma
funcao potencial. Alem disso, o princıpio tem o
merito de que ele so envolve quantidades fısicas
que podem ser definidas sem a necessidade es-
pecıfica de referencia a um particular conjunto
de coordenadas generalizadas, estas quantida-
des sao a energia cinetica e a energia potencial.
Portanto, a formulacao e invariante com res-
peito a escolha das coordenadas generalizadas
para o sistema.
A partir do princıpio variacional de Hamil-
ton, fica evidente porque a lagrangeana e defi-
nida a menos da derivada total em relacao ao
tempo de uma funcao f(q1, . . . , qn, t) qualquer
das coordenadas e do tempo. Como foi mos-
trado, a integral temporal da derivada total da
funcao f(q1, . . . , qn, t) em relacao ao tempo en-
tre os instantes t1 e t2 depende somente do va-
lor desta funcao arbitraria naqueles instantes.
Como a variacao nos extremos (nos instantes
t1 e t2) e nula, a adicao da derivada total em
relacao ao tempo de uma funcao arbitraria a
lagrangeana nao afeta o comportamento vari-
acional da integral.
Outra vantagem e que a formulacao lagran-
geana pode ser estendida facilmente para des-
crever sistemas os quais geralmente nao sao le-
vados em conta na dinamica, tais como: meios
elasticos, o campo eletromagnetico, e as pro-
priedades do campo de uma partıcula elemen-
tar. Agora ilustraremos o que foi dito anteri-
ormente com algumas aplicacoes simples.
Prof. Salviano A. Leao 277
Exemplo 84 Considere uma bateria de
tensao V ligada em serie com um resistor R e
indutor L. Escreva as equacoes de movimento
para o sistema.
Figura 7.5: Um circuito RL ligado a uma ba-
teria V .
Solucao: Vamos escolher a carga eletrica q
como sendo a variavel dinamica (a coordenada
generalizada). O indutor atua como o termo
da energia cinetica ja que o efeito indutivo so
depende da taxa de variacao da mudanca da
carga no tempo, ou seja, UL = 12Lq2. O re-
sistor fornece um termo dissipativo e a energia
potencial e −qV 16. Os termos dinamicos na
equacao de Lagrange com dissipacao sao
T =1
2Lq2, F =
1
2Rq2
e a energia potencial e qV . Portanto a lagran-
geana do sistema e
L =1
2Lq2 + qV
e a equacao de Lagrange com dissipacao e
d
dt
(∂L
∂q
)− ∂L
∂q+∂F∂q
= 0
16Esta e a energia potencial que a fonte fornece auma carga positiva. O campo eletrico entre os doispolos da fonte realiza um trabalho negativo ao levar-mos uma carga positiva do polo negativo ao positivo,portanto a variacao da energia potencial foi positiva,pois dW = −dU , entretanto a fonte realiza um traba-lho que e contrario ao do campo, logo a variacao daenergia potencial deve ser negativa.
Assim a equacao de movimento e dada por
V = Lq +Rq = LI +RI
onde I = q e a corrente eletrica. Uma solucao
para a bateria conectada ao circuito no ins-
tante t = 0 e
I(t) = I0(1− e−Rt/L
),
onde I0 = V/R e a corrente estacionaria final.
Exemplo 85 O analogo mecanico do exemplo
anterior e uma esfera de raio a e massa efetiva
mef caindo em um fluido viscoso de densidade
constante e viscosidade η sobre a acao da forca
da gravidade. A massa efetiva e a diferenca
entre a massa real e a massa do fluido deslo-
cado. A direcao do movimento e ao longo do
eixo y.
Solucao: Para este sistema temos que
T =1
2mef y
2, F = 3πηay2,
e a energia potencial e V = mefgy. A forca de
resistencia Ff = −6πηay e chamada de lei de
Stokes. A lagrangeana e
L = T − V =1
2mef y
2 −mefgy.
A equacao de movimento e dada por
mefg = mef y + 6πηay.
Usando o fato de que v = y, a solucao (se o
movimento teve inıcio em t = 0), e
v = v0
(1− e−t/τ
)
onde τ = mef/(6πηa) e uma medida do tempo
que a esfera leva para atingir 1/e de sua velo-
cidade terminal v0 = mefg/6πηa.
Exemplo 86 Considere um capacitor C li-
gado em serie com um indutor L. Escreva as
equacoes de movimento para o sistema.
Prof. Salviano A. Leao 278
Figura 7.6: Um circuito LC.
Solucao: Vamos escolher a carga eletrica q
como sendo a variavel dinamica (a coordenada
generalizada). O indutor atua como o termo
da energia cinetica ja que o efeito indutivo so
depende da taxa de variacao da mudanca da
carga no tempo, ou seja, UL = 12Lq2. O capa-
citor atua como uma fonte de energia potencial
dada por UC = q2/2C onde q e a carga eletrica
armazenada no capacitor. A lagrangeana do
sistema e
L =1
2Lq2 − 1
2
q2
CAssim a equacao de movimento e dada por
Lq +1
Cq = 0
cuja a solucao e
q(t) = q0 cos(ω0t+ δ)
onde q0 e a carga armazenada no capacitor em
t = 0, e supondo que nenhuma carga flui em
t = 0, encontramos que δ = 0. A quantidade
ω0 =1√LC
e a frequencia de oscilacao natural do sistema.
Exemplo 87 O analogo mecanico do exem-
plo anterior e um oscilador harmonico simples
descrito pela lagrangeana
L =1
2mx2 − 1
2kx2.
Solucao: Esta lagrangeana fornece as se-
guintes equacoes de movimento
mx+ kx = 0,
cuja a solucao e
x = x0 cos(ω0t+ δ) com ω0 =
√k
m.
Impondo que em t = 0 o sistema estava em
repouso encontramos que δ = 0.
Estes dois exemplos mostram que uma in-
dutancia e o analogo eletrico da massa. A re-
sistencia e o analogo eletrico de uma resistencia
do tipo da lei de Stokes, e o termo 1/C da ca-
pacitancia representa a constante da mola da
lei de Hooke.
Vimos que a lagrangeana e o princıpio de
Hamilton juntos formam um modo compacto e
invariante de obtermos as equacoes mecanicas
de movimento. Esta possibilidade nao e reser-
vada somente para os sistemas mecanicos; em
quase todos os campos da fısica princıpios va-
riacionais podem ser usados para expressar as
equacoes de movimento, sejam elas as equacoes
de Newton, as equacoes de Maxwell, ou a
equacao de Schrodinger. Consequentemente,
quando um princıpio variacional e usado como
base da formulacao, todos estes campos irao
exibir, no mınimo em algum grau, uma analo-
gia estrutural. Quando os resultados dos expe-
rimentos mostram a necessidade de se alterar
o conteudo fısico na teoria de um desses cam-
pos, este grau de analogia tem servido como
indicador de quao similar aos outros campos
deverao ser feitas estas alteracoes. Portanto,
os experimento realizados no inıcio do seculo
XX mostram a necessidade de quantizar am-
bos o campo eletromagnetico de radiacao e as
partıculas elementares. Os metodos da quan-
tizacao, entretanto, foram primeiro desenvolvi-
dos para as partıculas mecanicas, tendo essen-
cialmente como ponto de partida a formulacao
Prof. Salviano A. Leao 279
lagrangeana da mecanica classica. Atraves da
descricao do campo eletromagnetico por uma
lagrangeana e do correspondente princıpio va-
riacional de Hamilton, e possıvel seguir os
metodos da quantizacao de partıculas para
construirmos uma eletrodinamica quantica.
Capıtulo 8
Leis de Conservacao e Propriedades de
Simetria
Ate o momento temos nos preocupado em
obter as equacoes de movimento, mas pouco
foi dito sobre como resolve-las para um pro-
blema particular uma vez que tenham sido ob-
tidas. Em geral, esta e uma questao da ma-
tematica. As equacoes de movimento para um
sistema de n graus de liberdade e um con-
junto de n equacoes diferenciais de segunda
ordem no tempo. A solucao de cada equacao
ira requerer de duas integracoes, resultando
em 2n constantes de integracao. Em um pro-
blema especıfico estas constantes serao deter-
minadas pelas condicoes iniciais, isto e, pe-
los valores iniciais dos nqj e dos nqj. Algu-
mas vezes as equacoes de movimento podem
ser integradas em termos de funcoes conhe-
cidas, mas nem sempre. Geralmente a maio-
ria dos problemas nao sao completamente in-
tegraveis, ou as contas sao muito longas e tedi-
osas. Entretanto, mesmo quando uma solucao
nao pode ser obtida, em muitos casos pode-se
extrair uma grande quantidade de informacoes
sobre a natureza fısica do movimento do sis-
tema das chamadas integrais primeiras do mo-
vimento. De fato, tais informacoes podem ser
mais interessantes ou mais importantes para os
fısicos do que a solucao completa do problema,
ou seja, obtermos as coordenadas generaliza-
das em funcao do tempo. E importante, ver
o quanto pode ser dito sobre o movimento de
um dado sistema sem requerer uma integracao
completa do problema.
Em muitos problemas pode-se obter ime-
diatamente algumas integrais primeiras das
equacoes de movimento, isto por meio de
relacoes do tipo
df
dt= 0 ou f(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) = cte.
(8.1)
que sao equacoes diferenciais de primeira or-
dem. As integrais primeiras sao funcoes das
coordenadas generalizadas qi, das velocidades
generalizadas qi e os seus valores permanecem
constante durante o movimento do sistema, e
elas dependem somente das condicoes iniciais
do sistema. Estas integrais primeiras sao de
interesse porque elas nos fornecem algumas in-
formacoes a respeito do sistema fısico.
Exemplo 88 Um oscilador harmonico sim-
ples, cuja a equacao de movimento e x+ω2x =
0 tem como solucao x(t) = A sen(ωt+f), onde
A e a amplitude do movimento e f e a cons-
tante de fase. A constante de fase do oscilador
pode ser escrita da seguinte forma,
f(x, x, t) = arc. tgωx
x− ωt.
verifique que ela e uma constante de movi-
mento.
280
Prof. Salviano A. Leao 281
Solucao: Para simplificarmos um pouco,
vamos reescrever a expressao acima como,
tg θ =ωx
x, com θ = ωt+ f. (8.2)
assim,
d tg θ
dθ· dθdt
= ω − ωxx
x2(8.3)
mas como x = −ω2x, entao a equacao acima
pode ser reescrita como,
sec2 θ
[ω +
df
dt
]= ω ·
[1 +
(ωxx
)2]
sec2 θ
[ω +
df
dt
]= ω · (1 + tg2 θ
)
ω +df
dt= ω
df
dt= 0.
Como querıamos mostrar.
As leis da conservacao da energia, do mo-
mentum e do momentum angular que foram
deduzidas no formalismo da mecanica newtoni-
ana, sao integrais primeiras do movimento, de-
pendentes somente das coordenadas e das velo-
cidades e sendo determinadas pelas condicoes
iniciais do sistema. Estas leis de conservacao
podem ser deduzidas do formalismo lagrange-
ano em uma forma mais geral e mais elegante.
Neste desenvolvimento, ficara clara a relacao
entre as leis de conservacao e as propriedades
de simetria do sistema. Esta associacao com as
simetrias do sistema vai alem das leis de con-
servacao, e vai alem dos sistemas classicos, e
encontram uma grande aplicacao na fısica mo-
derna – especialmente nas teorias de campo e
fısica de partıculas. Portanto, o estudo das si-
metrias e o seu uso na compreensao das leis da
natureza e muito importante.
8.1 Momentum Generali-
zado
Antes de avancarmos, vamos fazer uma analise
do conceito de momentum, e como ele esta in-
cluso no formalismo lagrangeano. Para tal,
consideremos por exemplo um sistema cons-
tituıdo por N partıculas de massas pontuais
sobre a influencia de forcas derivadas de um
potencial que depende somente da posicao.
Entao a sua lagrangeana e dada por
L =∑
i
1
2mi(x
2i + y2
i + z2i )− U(r1, . . . , rn).
(8.4)
entao, neste caso temos que,
∂L
∂xi
=∂T
∂xi
− ∂U
∂xi
=∂
∂xi
∑i
1
2mi(x
2i + y2
i + z2i )
= mixi = pix,
que e a componente x do momentum linear
associado com a i-esima partıcula. Este resul-
tado sugere uma extensao obvia do conceito do
momentum. Portanto, define-se o momentum
generalizado pi associado com a coordenada qi
e como
pi =∂L
∂qi. (8.5)
Os termos momentum canonico ou momentum
conjugado sao muitas vezes usados para o mo-
mentum generalizado pi definido pela eq. (8.5).
Note que se qi nao for uma coordenada cartesi-
ana, o momentum generalizado pi definido pela
eq. (8.5) nao necessariamente tera dimensao
de momentum linear. Alem disso, se existir
um potencial dependente da velocidade, entao,
mesmo que a coordenada generalizada qi asso-
ciada ao momentum generalizado pi seja uma
coordenada cartesiana, o momentum generali-
zado pi nao sera mais identico ao momentum
linear mecanico comum.
Prof. Salviano A. Leao 282
Exemplo 89 Considere um sistema cons-
tituıdo por N partıculas pontuais de carga Qi,
na presenca de um campo eletromagnetico,
cuja a lagrangeana e
L =N∑i
1
2mir
2i −
N∑i
Qiφ(ri)+N∑i
QiA(ri) · ri.
(8.6)
Determine o momentum generalizado associ-
ado a coordenadas coordenada cartesiana xi.
Solucao: Da definicao de momentum gene-
ralizado, temos
pix =∂L
∂xi
= mixi +QiAx, (8.7)
que e o momentum linear mecanico comum
mais um termo adicional.
Se pi e o momentum generalizado associ-
ado a coordenada qi da lagrangeana L(q, q, t),
entao qual sera a relacao entre o momentum
pi e o momentum p′i associado a lagrangeana
L′(q, q, t), a qual esta relacionada a L(q, q, t)
por:
L′(q, q, t) = L(q, q, t) +d
dtF (q, t),
em que
d
dtF (q, t) =
∑i
∂F
∂qiqi +
∂F
∂t.
Da definicao de momentum generalizado te-
mos que:
p′i =∂L′
∂qi
=∂L
∂qi+
∂
∂qi
(dF
dt
)
= pi +∂F
∂qi.
Aqui, o momentum p′i esta relacionado com o
pi por uma derivada de F em relacao a coorde-
nada generalizada qi, e neste caso, esta relacao
e conhecida como uma transformacao de cali-
bre ou transformacao de gauge.
8.2 Coordenadas Cıclicas
Agora examinaremos as integrais primeiras de
movimento associadas com as chamadas co-
ordenadas cıclicas. Aquelas coordenadas que
nao aparecem explicitamente na lagrangeana
de um sistema sao chamadas de coordenadas
cıclicas ou coordenadas ignoraveis. Cuidado
com esta definicao pois ela nao e universal-
mente usada. Se qi e uma coordenada cıclica,
entao a lagrangeana L do sistema tera a se-
guinte forma
L = L(q1, . . . , qi−1, qi+1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t)
(8.8)
portanto, temos que
∂L
∂qi= 0. (8.9)
Desta forma a equacao de movimento de La-
grange ,d
dt
∂L
∂qj− ∂L
∂qj= 0 (8.10)
reduz-se para a coordenada cıclica qi a
d
dt
∂L
∂qi= 0, (8.11)
ou,dpi
dt= 0, (8.12)
o que significa que o
pi = αi = cte. (8.13)
O momentum generalizado pi conjugado a co-
ordenada cıclica qi e uma constante de mo-
vimento, ou seja, e uma integral primeira do
movimento que e determinada pelas condicoes
iniciais do sistema. Portanto, encontramos um
teorema geral de conservacao para o momen-
tum generalizado pi conjugado a coordenada
cıclica qi e uma constante de movimento.
Note que a deducao da eq. (8.13) assume
que qi e uma coordenada generalizada, isto e,
Prof. Salviano A. Leao 283
ela e linearmente independente de todas as ou-
tras coordenadas. Quando existem equacoes
de vınculo, nem todas as coordenadas serao
linearmente independentes umas das outras.
Por exemplo, a coordenada angular θ nao esta
presente na lagrangeana de um aro rolando sem
deslizar em um plano inclinado, discutido ante-
riormente, mas o angulo aparece nas equacoes
de vınculo rdθ = dx. Como consequencia, o
momentum angular pθ = mr2θ, nao e mais
uma constante de movimento.
A eq. (8.13) constitue uma integral pri-
meira da forma da eq. (8.1) para as equacoes
de movimento. Formalmente, ela pode ser
usada para eliminar a coordenada cıclica do
problema, o qual podera ser resolvido comple-
tamente em termos das coordenadas generali-
zadas restantes. Rapidamente, o procedimento
idealizado por Routh, consiste em modificar a
lagrangeana para que ela nao seja mais uma
funcao da velocidade generalizada associada
coordenada cıclica, mas em vez disso, que ela
seja uma funcao do seu momentum generali-
zado.
Note que as condicoes para a conservacao
dos momenta generalizados e mais geral do que
os teoremas de conservacao do momentum li-
near e do momentum angular. De fato, os dois
ultimos teoremas estao contidos no teorema ge-
ral da conservacao dos momenta generalizados.
Por exemplo, elas fornecem um teorema de
conservacao para um caso no qual a lei de acao
e reacao e violada, isto e, quando forcas eletro-
magneticas estao presentes. Contudo, ainda e
verdade que os teoremas de conservacao do mo-
mentum linear e angular estao contidos dentro
do teorema geral para conservacao do momen-
tum generalizado em termos das coordenadas
cıclicas, que com as restricoes proprias reduz-se
aos outros dois teoremas de conservacao.
Exemplo 90 Considere um sistema cons-
tituıdo por uma partıcula pontual de carga
Q, na presenca de um campo eletromagnetico,
cuja a lagrangeana e
L =1
2mr2 −Qφ(y, z) +QA(y, z) · ri. (8.14)
Determine o momentum generalizado associ-
ado a coordenadas coordenada cartesiana x.
Observe que a coordenada x e cıclica, pois nao
aparece explicitamente na lagrangeana.
Solucao: Da definicao de momentum gene-
ralizado, temos
pix =∂L
∂x= mx+QAx = cte., (8.15)
Neste caso nao e mais o momentum linear
mecanico comum mx que e conservado, mais
vez disso e ele mais o termo adicional QAx que
e conservado.
Exemplo 91 Considere uma partıcula de
massa m movimentando-se no espaco sobre a
acao de uma forca central, cujo potencial asso-
ciado e U(r). Encontre as integrais primeiras
do movimento.
Solucao: Em coordenadas esfericas a la-
grangeana do sistema e dada por:
L =1
2m(r2 + r2θ2 + r2 sen2 θφ2)− U(r).
As coordenadas esfericas (as nossas coordena-
das generalizadas) sao (r, θ, φ), entretanto a
coordenada φ nao aparece explicitamente na la-
grangeana acima, logo ela e uma coordenada
cıclica, e portanto, o momentum generalizado
conjugado a ela pφ e uma integral primeira do
movimento, ou seja, ele e uma constante de
movimento. Assim,
pφ =∂L
∂φ= mr2 sen2 θφ = cte.
E facil verificar que pφ e a componente Lz do
momentum angular da partıcula. Esta veri-
ficacao e deixada como um exercıcio para o es-
tudante.
Prof. Salviano A. Leao 284
Exemplo 92 Considere um pendulo de massa
m que oscila suspenso por um ponto o qual des-
liza sem atrito com uma velocidade constante
V. Encontre as integrais primeiras do movi-
mento.
Figura 8.1: Pendulo preso a um suporte que
desliza sem atrito com uma velocidade cons-
tante.
Solucao: As coordenadas cartesianas da
massa m em relacao ao sistema de referencia
inercial sao:
x = X + ` sen θ
y = ` cos θ
Portanto, como coordenadas generalizadas va-
mos usar (X, θ). As velocidades em coordena-
das cartesianas sao,
x = V + `θ cos θ
y = −`θ sen θ
Portanto, a lagrangeana do sistema e dada por:
L =m
2
[(V + `θ cos θ)2 + `2θ2 sen2 θ
]+mg` cos θ
=1
2m
(V 2 + `2θ2 + 2V `θ cos θ
)+mg` cos θ
Como a coordenada X nao aparece explicita-
mente na lagrangeana acima, logo ela e uma
coordenada cıclica, e portanto, o momentum
generalizado conjugado a ela pX e uma inte-
gral primeira do movimento, ou seja, ele e uma
constante de movimento. Assim,
pX =∂L
∂V= mV +m`θ cos θ = cte.
e a componente x do momentum linear da
partıcula oscilante de massa m.
Exemplo 93 Seja qj uma coordenada que nao
aparece explicitamente na lagrangeana L do
sistema e se uma mudanca δqj em qj corres-
ponde simplesmente a uma translacao do sis-
tema ao longo de uma direcao qualquer n,
com n sendo um vetor unitario ao longo desta
direcao. Portanto, um deslocamento infinitesi-
mal ao longo desta direcao e dado por, dqjn =
ri(qj + dqj)− ri(qj), ou seja,
∂ri
∂qj= lim
dqj→0
ri(qj + dqj)− ri(qj)
dqj=dqjdqj
n = n,
Como,
∂L
∂qj= 0 =⇒ ∂L
∂qj= cte.
entao
∂L
∂qj=
∑i
mi
(ri∂ri
∂qj
)=
∑i
mi
(ri∂ri
∂qj
)
=∑
i
mi (ri · n)
= P · n.
Observe que a regra do corta ponto foi usada,
ou seja, que∂ri
∂qi=∂ri
∂qi.
A equacao anterior, implica que o momentum
linear total do sistema ao longo da direcao n e
uma constante de movimento.
A ausencia de uma certa coordenada pode
ser interpretada como uma propriedade de si-
metria da lagrangeana. De fato, se qi for uma
Prof. Salviano A. Leao 285
coordenada cıclica, entao qualquer alteracao
do seu valor nao ira modificar a lagrangeana,
ou seja, a lagrangeana e invariante sobre o
deslocamento (translacao) de uma coordenada
cıclica. Entretanto o deslocamento de posicao
de uma coordenada cıclica corresponde a uma
translacao, enquanto o deslocamento angular
corresponde a uma rotacao. No exemplo ante-
rior, a conservacao do momentum linear e con-
sequencia da invariancia da lagrangeana frente
a translacoes ao longo da direcao n. Estas ob-
servacoes sugerem a existencia de uma conexao
geral entre as simetrias da lagrangeana sob
translacoes e rotacoes e as leis de conservacao
do momentum linear e do momentum angular.
Muitas das regularidades observadas na
fısica podem ser expressas como leis de con-
servacao, cada uma destas regularidades de-
clara que a magnitude de alguma quantidade
fısica e uma constante de movimento. Destas
leis, as mais familiares sao a da conservacao
da energia e da conservacao do momentum,
as quais sao validas universalmente em toda
a fısica, tanto na mecanica classica quanto na
mecanica quantica. As leis de conservacao
do momentum angular e a da conservacao da
carga eletrica tambem sao igualmente univer-
sais. Devido ao carater universal destas leis,
somos induzidos a pensar que estes princıpios
gerais de conservacao, que estao entre as leis
fısicas mais fundamentais, estao relacionados
com propriedades muito mais gerais dos siste-
mas fısicos. Agora a questao que fica e: que
propriedades gerais dos sistemas fısicos nos le-
vam as leis de conservacao?
Sempre que vamos resolver um problema,
buscamos inicialmente as simetrias do pro-
blema, para escolhermos o melhor conjunto
de coordenadas generalizadas para o mesmo.
Apos uma analise mais profunda, percebemos
que as simetrias desempenham um papel fun-
damental na fısica, e o conhecimento de de-
terminadas simetrias em um problema, muitas
vezes pode simplificar em muito a solucao do
mesmo. Ao usarmos a lei de Gauss para resol-
vermos problemas de eletromagnetismo ou de
gravitacao, estamos explorando as simetrias do
problema. Dessa forma, as propriedades gerais
dos sistemas fısicos que estamos buscando de-
vem ser as simetrias dos mesmos.
E isto e o que realmente ocorre: todas
estas leis de conservacao estao relacionadas
com alguma propriedade de simetria do sis-
tema fısico. Diz-se que um sistema fısico
tem uma determinada propriedade de sime-
tria quando ele nao se altera ao efetuarmos
nele uma operacao correspondente a essa si-
metria. Assim, por exemplo, uma esfera tem
simetria de rotacao em torno de um de seus
diametros, porque nao se altera se efetuarmos
uma rotacao de um angulo arbitrario em torno
de um diametro.
8.3 Translacoes e Rotacoes
Infinitesimais
Considere a seguinte transformacao infinitesi-
mal,
ri −→ r′i = ri + δri,
vi −→ v′i = vi + δvi,(8.16)
com δri e δvi sendo os deslocamentos infinitesi-
mais das posicoes e velocidades de um sistema
de N partıculas. Seja
L = L(r1, . . . , rN ; r1, . . . , rN ; t) ≡ L(r,v, t)
(8.17)
a lagrangeana do sistema. A variacao de
L(r,v, t) sob a transformacao (8.16) e definida
Prof. Salviano A. Leao 286
por
δL = L(r′,v′, t)− L(r,v, t)
=∑
i
(∂L
∂ri
· δri +∂L
∂vi
· δvi
)(8.18)
na qual usou-se a seguinte notacao
∂L
∂ri
=∂L
∂xi
i +∂L
∂yi
j +∂L
∂zi
k, (8.19)
com definicao analoga para ∂L/∂vi.
8.3.1 Translacao
Uma translacao rıgida do sistema de partıculas
consiste num mesmo deslocamento δr de to-
das as partıculas do sistema de tal modo que
as posicoes relativas das mesmas permanecam
inalteradas, bem como suas velocidades. Neste
caso, as eqs. (8.16) sao validas, e neste caso
δri 6= 0 e δvi = 0 (8.20)
Na figura abaixo ilustramos uma translacao
rıgida do sistema. Observe que todas as
partıculas sofrem o mesmo deslocamento, ou
seja, que δri = δr 6= 0.
Figura 8.2: Translacao espacial rıgida de um
sistema de N de partıculas de diferentes mas-
sas mi e velocidades vi.
8.3.2 Rotacao
Uma rotacao rıgida infinitesimal do sistema de
partıculas consiste numa rotacao de todos os
vetores do sistema de um mesmo angulo δθ em
torno do eixo definido pelo vetor unitario n.
Observe da figura que
|δri| = ri senφ δθ
entao ele pode ser escrito como
δri = δθ × ri
δvi = δθ × vi
(8.21)
Figura 8.3: Rotacao infinitesimal em torno de
eixo dado pelo vetor unitario n. Esta e uma
rotacao espacial rıgida de um sistema de N de
partıculas de diferentes massas mi e velocida-
des vi.
Portanto, uma grandeza vetorial qualquer A
sobre uma rotacao espacial rıgida infinitesimal
δθ ira se transformar de acordo com
δA = δθ ×A. (8.22)
Prof. Salviano A. Leao 287
8.4 Teoremas de Con-
servacao
A fim de formular os resultados numa forma
suficientemente geral, suponha que o sistema
descrito pela lagrangeana (8.18) esteja sujeito
a m vınculos holonomos,
fi(r1, . . . , rN , t) = 0 i = 1, 2, . . . ,m. (8.23)
8.4.1 Homogeneidade Espacial e
Conservacao do Momen-
tum
Teorema 2 Para um sistema mecanico des-
crito pela lagrangeana L = T − U , onde U e
um potencial independente das velocidades, Se
a lagrangeana e os vınculos (8.23) sao invari-
antes sob uma translacao espacial rıgida e ar-
bitraria, entao o momentum generalizado total
do sistema e conservado.
Demonstracao: A simetria associada a
uma translacao espacial e a homogeneidade es-
pacial.
Figura 8.4: Translacao de um ponto P de
δri, na qual as propriedades das vizinhas deste
ponto nao se alteram.
Quando as propriedades das vizinhas de um
dado ponto P do espaco nao se alteram apos
uma translacao, diz-se que o espaco e ho-
mogeneo.
Portanto, a homogeneidade do espaco sugere
imediatamente que as propriedades mecanicas
de um sistema fechado permanecem inaltera-
das em uma translacao rıgida qualquer de todo
o sistema no espaco. Em outras palavras, a la-
grangeana de um sistema fechado e invariante
translacionalmente.
Devido ao princıpio de Hamilton para siste-
mas com vınculos, considere a lagrangeana
L = L(r,v, t) +m∑
i=1
λifi(r, t), (8.24)
a qual fornece de uma so vez as equacoes de
movimento e as equacoes de vınculo. Uma vez
que L e as equacoes de vınculo sao invarian-
tes sob translacoes arbitrarias, L tambem o
e. Em particular, L e invariante sob qualquer
translacao infinitesimal, de onde
δL =N∑
i=1
∂L∂ri
· δri (8.25)
como δri e um deslocamento arbitrario, temos
entao que
δri ·N∑
i=1
∂L∂ri
= 0. (8.26)
Mas como,∂L∂vi
= pi (8.27)
em que pi e o momentum generalizado, que
neste caso e igual ao momentum linear da i-
esima partıcula. As equacoes de Lagrange po-
dem ser escritas como
∂L∂ri
=d
dt
(∂L∂ri
)=dpi
dt. (8.28)
Portanto, das eqs. (8.26) e (8.28), podemos
concluir que
d
dt
[δri ·
N∑i=1
pi
]≡ d
dt(δri ·P) = 0 (8.29)
Prof. Salviano A. Leao 288
o que mostra que a componente do momen-
tum generalizado total P =∑N
i=1 pi ao longo
da direcao do deslocamento arbitrario δri e
conservada, ou seja, e uma constante de mo-
vimento. Escolhendo sucessivamente δri =
i, j, k, conclui-se que Px, Py e Pz sao constan-
tes de movimento, isto e, o vetor momentum
generalizado total do sistema e conservado.
Esta e uma lei de conservacao do momentum
generalizado, obtida como consequencia da si-
metria por translacao espacial do sistema (ho-
mogeneidade espacial =⇒ conservacao do mo-
mentum generalizado).
8.5 Isotropia Espacial e
Conservacao do Mo-
mentum Angular
Teorema 3 Para um sistema mecanico des-
crito pela lagrangeana L = T − U , onde U e
um potencial independente das velocidades, Se
a lagrangeana e os vınculos (8.23) sao inva-
riantes sob uma rotacao espacial rıgida e ar-
bitraria, entao o momentum angular total do
sistema e conservado.
O espaco ser isotropico significa que as pro-
priedades mecanicas de um sistema fechado
nao variam em uma rotacao qualquer do sis-
tema como um todo. Em outras palavras sig-
nifica que nao ha direcoes preferenciais no
espaco.
Considere um sistema fechado que e subme-
tido a uma rotacao rıgida em torno de um eixo
qualquer, dado pelo vetor unitario n, conforme
mostra a figura 8.3. Se o espaco for isotropico
as propriedades mecanicas do sistema nao irao
se alterar e portanto, a sua lagrangeana deve
ser invariante, assim a variacao da lagrangeana
e
δL =∑
i
(∂L∂ri
· δri +∂L∂vi
· δvi
)
na qual δri e o deslocamento de uma partıcula
na posicao ri devido a uma rotacao infinitesi-
mal δθn. Na rotacao os vetores δri e δvi sao
dados pela eq. (8.21), assim a variacao da la-
grangeana pode ser escrita como
δL =∑
i
[∂L∂ri
· (δθ × ri) +∂L∂vi
· (δθ × vi)
]
entretanto, como
pi =∂L∂ri
e pi =∂L∂vi
(8.30)
entao, teremos que
δL =∑
i
[pi · (δθ × ri) + pi · (δθ × vi)]
(8.31)
Da expressao acima, temos um produto
misto, que satisfaz a seguinte propriedades:
A · (B×C) = C · (A×B) = B · (C×A) .
(8.32)
Usando esta propriedade vetorial, a eq. (8.31)
pode ser reescrita como
δL =∑
i
[δθ · (ri × pi) + δθ · (ri × pi)]
= δθ · ddt
[∑i
(ri × pi)
]
Como no caso das coordenadas cartesianas em
que nao temos um potencial dependente das
velocidades o momentum generalizado pi e
igual ao momentum linear e portanto o termo
ri × pi e o momentum angular `i da i-esima
partıcula. Assim,
δL =d
dt[δθ · L] = 0. (8.33)
Aqui, L e o momentum angular total do sis-
tema. Portanto, do resultado anterior, pode-se
concluir que o momentum angular total L ao
Prof. Salviano A. Leao 289
longo da direcao δθ e uma constante de movi-
mento. Devido a arbitrariedade de δθ, temos
entao a conservacao do momentum angular to-
tal.
Em sıntese esta lei de conservacao do mo-
mentum angular, foi obtida como consequencia
da simetria por rotacao espacial do sistema
(isotropia espacial =⇒ conservacao do momen-
tum angular).
Os dois ultimos resultados aplicam-se a sis-
temas de partıculas isoladas e tambem a sis-
temas de corpos rıgidos isolados porque, nes-
tes casos, os vınculos de rigidez – distancia
fixa entre todos os pares de partıculas (corpos)
do sistema –sao obviamente preservadas por
translacoes e rotacoes. E importante ressaltar
ainda que um dado sistema pode ser dotado de
simetria parcial sob rotacoes ou translacoes, o
que acarreta na conservacao de algumas com-
ponentes de P e de L, mas nao de todas. A
energia cinetica e invariante sob translacoes e
rotacoes arbitrarias, de modo que a invariancia
da lagrangeana e determinada pelas simetrias
do potencial. Considere por exemplo, uma
partıcula movendo-se no potencial gravitacio-
nal de um plano homogeneo infinito. O po-
tencial e claramente invariante sob translacoes
paralelas ao plano e sob rotacoes em torno de
um eixo perpendicular ao plano (que chamare-
mos de eixo z). Consequentemente a lagrange-
ana e invariante sob translacoes ao longo das
direcoes x e y, e sob rotacoes em torno do eixo
z. Assim, px, py e Lz sao quantidades conser-
vadas.
As eqs. (8.29) e (8.33) mostram que para
um sistema isolado, portanto, invariante sob
translacoes e rotacoes, a soma das forcas inter-
nas e dos torques internos e zero. E notavel que
a simetria sob translacoes e rotacoes garanta a
conservacao do momentum generalizado total
e do momentum angular total, sem a necessi-
dade de invocar a terceira lei de Newton, nem
mesmo em sua forma fraca.
Exemplo 94 Considere uma partıcula de
massa m movendo-se com uma velocidade v
em campo uniforme ao longo do eixo z. De-
termine as quantidades conservadas
Solucao: Devido a simetria do problema,
como coordenadas generalizadas vamos usar as
coordenadas cilındricas. Assim a posicao da
partıcula e dada por
r = ρρ+ zk. (8.34)
O vetores unitarios em coordenadas cilındricas
e cartesianas estao relacionados por
ρ = cos θi + sen θj
θ = − sen θi + cos θj
Portanto,
dρ
dt= θθ e
dθ
dt= −θρ (8.35)
Logo a velocidade em coordenadas cilındricas e
v =dr
dt=d(ρρ)
dt+ zk
= ρρ+ ρθθ + zk
A lagrangeana e portanto dada por,
L =1
2m
(ρ2 + ρ2θ2 + z2
)− U(z). (8.36)
Como F = Fzk = −∇U(z), entao o torque e
dado por N = r×F = Nxi+Ny j, com Nz = 0.
Nesse caso como Nz = 0, entao Lz = cte. As
componentes px e py do momentum sao cons-
tantes do movimento. Observe ainda que a
componente Lz do momentum angular e dada
por Lz = m(xy − yx) e as coordenadas carte-
sianas podem ser escritas em termos das coor-
denadas cilındricas como
x = ρ cos θ e y = ρ sen θ (8.37)
Prof. Salviano A. Leao 290
e as velocidades sao dadas por,
x = ρ cos θ − ρθ sen θ
y = ρ sen θ + ρθ cos θ.
Portanto, em coordenadas cilındricas a com-
ponente Lz do momentum angular e dada por
Lz = mρ2θ.
Com a lagrangeana em coordenadas
cilındricas obtem-se as componentes do
momentum generalizado em cada uma das
direcoes das coordenadas. Para a coordenada
z tem-se que,
pz =∂L
∂z= mz;
∂L
∂z= −dU
dz= Fz (8.38)
enquanto que para a coordenada θ temos
∂L
∂θ= 0; pθ =
∂L
∂θ= mρ2θ = cte. (8.39)
e para a coordenada ρ
∂L
∂ρ= mρθ2; pρ =
∂L
∂ρ= mρ (8.40)
Observe, que a quantidade conservada e o
momentum generalizado pθ = mρ2θ = cte.,
que e a componente z do momentum angular.
Exemplo 95 Considere uma partıcula de
massa m movendo-se com uma velocidade v
na superfıcie de um paraboloide de revolucao,
na presenca de um campo uniforme ao longo
do eixo z. Determine as quantidades conser-
vadas.
Solucao: A partıcula move-se sobre a su-
perfıcie cuja a equacao e dada por x2 + y2 =
az2. Devido a simetria do problema, como co-
ordenadas generalizadas vamos usar as coorde-
nadas cilındricas e portanto a lagrangeana do
problema e dada por,
L =1
2m
(ρ2 + ρ2θ2 + z2
)− U(z). (8.41)
Nas coordenadas cilındricas, usamos a la-
grangeana para obtermos as componentes do
Figura 8.5: Paraboloide de revolucao: x2 +
y2 = az2
momentum generalizado em cada uma das
direcoes. Para a coordenada z que,
pz =∂L
∂z= mz;
∂L
∂z= −dU
dz= Fz (8.42)
enquanto que para a coordenada θ temos
∂L
∂θ= 0; pθ =
∂L
∂θ= mρ2θ = cte. (8.43)
e para a coordenada ρ
∂L
∂ρ= mρθ2; pρ =
∂L
∂ρ= mρ (8.44)
Como o torque e dado por,
N = r× F =dL
dt(8.45)
F = Fzk = −∇U(z), entao o torque e dado por
N = r × F = Nxi + Ny j, com Nz = 0. Nesse
caso como Nz = 0, entao Lz = cte. Observe
ainda que a componente Lz do momentum an-
gular e dada por Lz = m(xy − yx) que em
coordenadas cilındricas e dada por Lz = mρ2θ.
Prof. Salviano A. Leao 291
A forca generalizada e dada por, Qj =
−∂U/∂qj, logo temos que
Qρ = −∂U∂ρ
= 0;
Qθ = −∂U∂θ
= 0;
Qz = −∂U∂z
= Fz
Em coordenadas cilındricas temos que r =
ρρ + zk e F = −mgk, portanto, o torque e
dado por N = mgρθ. Ja o momentum angular
pode ser escrito como,
L = Lρρ+ Lθθ + Lzk. (8.46)
Entretanto, temos que
N =dL
dt=⇒ dL
dt= mgρθ, (8.47)
de onde pode-se concluir que,
d
dt
(Lρρ+ Lθθ
)= mgρθ e
dLz
dt= 0.
(8.48)
Portanto, a componente Lz do momentum an-
gular e conservada, ou seja, Lz = cte.. Como
dρ/dt = θθ e dθ/dt = −θρ, logo temos as se-
guintes relacoes entre as componentes do mo-
mentum angular
Lρ
dt− Lθθ = 0,
Lρθ +Lθ
dt= mgρ,
Lz = m(xy − yx) = mρ2θ = cte.
Observe, que a quantidade conservada e o
momentum generalizado pθ = mρ2θ = cte.,
que e a componente z do momentum angular.
8.6 Uniformidade Tempo-
ral e Conservacao da
Energia
Viu-se ate agora, que a formulacao lagrange-
ana da mecanica contem a conservacao do mo-
mentum linear e do momentum angular asso-
ciadas as simetrias de translacao e rotacao es-
pacial, portanto, pode-se esperar que ela con-
tenha tambem a conservacao da energia para
sistemas cujas forcas sejam derivadas de po-
tenciais dependentes apenas das posicoes das
partıculas. A questao agora e que a simetria
envolvida na conservacao da energia e a homo-
geneidade do tempo.
Homogeneidade do Tempo: As leis da
natureza devem ser invariantes sob uma
translacao temporal para sistemas fechados
(isolados), isto e, no instante t elas tem a
mesma forma do instante t + ∆t. Isto e ex-
presso matematicamente pelo fato de que a la-
grangeana nao deve depender explicitamente
do tempo.
Figura 8.6: Translacao temporal de um sis-
tema com um numero N de partıculas de dife-
rentes massas mi e velocidades vi.
No caso do sistema ilustrado pela Fig. 8.6,
ele e simetrico diante de uma translacao tem-
poral. Transladar o sistema, como um todo,
no tempo, equivale a repetir a experiencia em
um outro instante t+ ∆t, tomando as mesmas
condicoes iniciais em instantes diferentes.
No caso das translacoes e das rotacoes, o uso
das coordenadas cartesianas se mostrou mais
util, devido as definicoes de momentum linear
e momentum angular, entretanto, aqui fare-
mos uso das coordenadas generalizadas q e das
Prof. Salviano A. Leao 292
velocidades generalizadas q e de uma funcao
lagrangeana geral L(q, q, t). A dependencia
temporal explicita da lagrangeana pode vir
de potenciais que dependam do tempo ou de
vınculos dependentes do tempo. Supondo que
o sistema seja holonomo, entao as coordenadas
generalizadas sao todas independentes entre-si,
portanto, a derivada total de L com o tempo e
dL
dt=
∑i
(∂L
∂qiqi +
∂L
∂qiqi
)+∂L
∂t(8.49)
Das equacoes de Lagrange,
∂L
∂qi=
d
dt
(∂L
∂qi
), (8.50)
entao a eq. (8.49) pode ser reescrita como,
dL
dt=
∑i
[d
dt
(∂L
∂qi
)qi +
∂L
∂qi
dqidt
]+∂L
∂t
(8.51)
ou ainda,
dL
dt=
∑i
d
dt
(∂L
∂qiqi
)+∂L
∂t(8.52)
e portanto, tem-se que
d
dt
(∑i
∂L
∂qiqi − L
)+∂L
∂t= 0. (8.53)
A quantidade entre parenteses e chamada de
funcao energia e ira ser denotada por:
h(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) ≡∑
i
∂L
∂qiqi − L
(8.54)
e a eq. (8.53) pode ser reescrita em termos de
h comodh
dt= −∂L
∂t. (8.55)
Se a lagrangeana nao depender explicitamente
do tempo, isto e, se t nao aparece em L expli-
citamente mas somente implicitamente atraves
da variacao com o tempo de q e q, entao a eq.
(8.55) diz que h e conservada. Esta e uma in-
tegral primeira do movimento, e algumas vezes
referida como integral de Jacobi.
Note que a funcao energia h(q, q, t) tem o
seu valor identico ao da hamiltoniana H, en-
tretanto, da-se um nome diferente a ela, para
enfatizar o fato de que h e considerada uma
funcao de n varaveis independentes qj e de suas
derivadas no tempo qj e do proprio tempo, en-
quanto que a hamiltoniana sera tratada como
uma funcao de 2n variaveis independentes qj e
pj e possivelmente do tempo.
Sobre certas circunstancias, a funcao h e a
energia total do sistema. Para determinarmos
que circunstancias sao essas, devemos lembrar
que a energia cinetica total de uma dado sis-
tema pode ser escrita como
T = T0 + T1 + T2 (8.56)
na qual, T0 = T0(q) e uma funcao das coorde-
nadas generalizadas somente, T1 = T1(q, q) e
uma funcao linear das velocidades generaliza-
das e T2 = T2(q, q) e uma funcao quadratica
das velocidades generalizadas q. Para uma
grande variedade de sistemas mecanicos e de
coordenadas generalizadas, a lagrangeana L
pode ser decomposta similarmente a energia
cinetica em termos da forma funcional com as
velocidades generalizadas, como:
L(q, q, t) = L0(q, t) + L1(q, q, t) + L2(q, q, t).
(8.57)
Aqui L2(q, q, t) e uma funcao homogenea de se-
gundo grau (nao meramente quadratica) em q,
enquanto L1(q, q, t) e uma funcao homogenea
de primeiro grau em q. Nao existe uma razao
intrınseca para a mecanica requerer uma la-
grangeana conforme a eq. (8.57), mas de fato
ela tem esta forma para a maioria dos proble-
mas de interesse. A lagrangeana tem clara-
mente esta forma quando as forcas sao deri-
vadas de um potencial que nao envolve as ve-
locidades. Embora com potenciais dependen-
tes da velocidade, note que a lagrangeana para
Prof. Salviano A. Leao 293
uma partıcula carregada em um campo eletro-
magnetico, satisfaz a eq. (8.57). Agora deve-
mos lembrar do teorema de Euler, que diz que
se f e uma funcao homogenea de grau n nas
variaveis xi, entao
∑i
xi∂f
∂xi
= nf. (8.58)
Aplicando este teorema a funcao h, eq. (8.54),
para uma lagrangeana da forma de (8.57),
obtem-se que
h = 2L2+L1−L0−L1−L2 = L2−L0. (8.59)
Se a equacao de transformacao das coorde-
nadas cartesianas nas coordenadas generaliza-
das nao envolverem o tempo explicitamente,
ou seja, ri = ri(q1, . . . , qn), entao a energia
cinetica (8.57) sera T = T2. Se alem disso,
o potencial nao depender das velocidades ge-
neralizadas, entao L2 = T e L0 = −U , e entao
h = T + U = E, (8.60)
e a funcao energia e de fato a energia total
do sistema. Sobre estas circunstancias, se U
nao envolver o tempo explicitamente a lagran-
geana L tambem nao tera esta dependencia.
Portanto, pela eq. (8.55), h, que aqui e a ener-
gia total, sera conservada.
Note que as condicoes para a conservacao de
h sao em princıpio muito distintas daquelas que
identificam h com a energia total do sistema.
Pode-se ter um conjunto de coordenadas gene-
ralizadas para um problema em particular em
que h e conservada mas nao e a energia total
do sistema. Por outro lado, h pode ser a ener-
gia total na forma h = T + U , mas nao ser
conservada. Note tambem que se a lagrange-
ana e fixada unicamente para cada problema
pela prescricao
L = T − U (8.61)
independentemente da escolha das coordena-
das generalizadas, a funcao energia h ira de-
pender em magnitude e forma funcional do
conjunto especıfico de coordenadas generaliza-
das. Para um mesmo sistema, varias funcoes
energia h de diferentes conteudos fısicos podem
ser geradas dependendo de como sao escolhidas
as coordenadas generalizadas.
O caso mais comum que ocorre na mecanica
classica e aquele no qual os termos da energia
cinetica sao todos da formamiq2i /2 ou p2
i /2mi e
a energia potencial depende somente das coor-
denadas. Para estas condicoes, a funcao ener-
gia e ambas, conservada e igual a energia total
do sistema.
Finalmente, note que onde o sistema nao e
conservativo, mas existem forcas de atrito de-
rivadas de uma funcao de dissipacao F , pode-
se mostrar facilmente que F esta relacionada
com a taxa de decaimento de h. Quando in-
cluimos as forcas dissipativas, as equacoes de
movimento de Lagrange sao dadas por
∂L
∂qi=
d
dt
(∂L
∂qi
)+∂F∂qi
, (8.62)
e entao, a eq. (8.55) tera a seguinte forma
dh
dt+∂L
∂t=
∑i
∂F∂qi
qi. (8.63)
Mas pela definicao de F , ela e uma funcao ho-
mogenea em q de grau 2. Portanto, aplicando
o teorema de Euler novamente, obtem-se que
dh
dt= −2F − ∂L
∂t. (8.64)
Se L nao for uma funcao explicita do tempo, e
o sistema e tal que h e energia total do sistema,
entao a eq. (8.65) nos diz que 2F e a taxa na
qual a energia total do sistema e dissipada, ou
seja,dE
dt= −2F . (8.65)
Prof. Salviano A. Leao 294
Agora vamos fazer uma discussao mais geral.
As leis de conservacao da energia, momentum
linear e momentum angular sao consequencias
imediatas das propriedades gerais de simetria
do espaco e tempo. Estas leis tambem expli-
cam, como foi visto nas deducoes anteriores,
porque os seguintes pares de variaveis estao as-
sociadas umas com as outras:
(r,p), (θ,L), (t, E). (8.66)
Existem sete integrais (constantes) de mo-
vimento para um sistema fechado: a energia
total (1), momentum linear (3 componentes),
e momentum angular (3 componentes). Es-
tas e somente estas integrais de movimento sao
aditivas para as partıculas que compoem o sis-
tema, se existe ou nao uma interacao entre as
partıculas.
Deve ser notado que nas discussoes anteri-
ores da homogeneidade e isotropia do espaco,
comparou-se dois estados mecanicos de um sis-
tema, que diferem entre si por uma translacao
ou rotacao, de todo o sistema em um referen-
cial inercial. O mesmo resultado pode de fato,
ser deduzido consideradno o mesmo sistema
mecanico em dois diferentes referenciais iner-
ciais. Um deles tem a sua origem deslocada ou
um eixo girado um em relacao ao outro. A ho-
mogeneidade e a isotropia do espaco assegura
que os processos mecanicos sao os mesmos em
ambos os referenciais, e isto, conduz as leis de
conservacao do momentum linear e angular.
8.7 Invariancia de Escala
na Mecanica
A multiplicacao da funcao de Lagrange por um
fator constante qualquer, evidentemente nao
mudara as equacoes do movimento. Esta cir-
cunstancia (foi ressaltada no princıpio de Ha-
milton) da a possibilidade, em uma serie de
casos importantes, de fazer algumas conclusoes
essenciais sobre as propriedades do movimento,
sem integrar concretamente as equacoes do mo-
vimento.
A isto referem-se os casos, quando a ener-
gia potencial e uma funcao homogenea das co-
ordenadas, isto e, uma funcao que satisfaz a
condicao
U(αr1, αr2, . . . , αrN) = αkU(r1, r2, . . . , rN)
(8.67)
onde α e uma constante qualquer, e o numero
k e o grau de homogeneidade da funcao.
Realizamos a transformacao pela qual junta-
mente com a variacao de todas as coordenadas
em α vezes , varia simultaneamente em β ve-
zes) o tempo:
ri → αr′i; t→ βt′
Todas as velocidades vi = dri
dtvariam neste
caso em α/β vezes, e a energia cinetica em
α2/β2 vezes. A energia potencial multiplica-se
por αk. Se relacionarmos α e β pela condicao:
α2
β2= αk, isto e β = α1− k
2
entao, como resultado de tal transformacao, a
funcao de Lagrange, como um todo multiplica-
se por um fator constante αk, isto e,
as equacoes do movimento permanecem in-
variaveis.
A variacao de todas as coordenadas das
partıculas em um mesmo numero de vezes, cor-
responde a passagem de algumas trajetorias
a outras geometricamente semelhantes as pri-
meiras, e diferenciando-se delas somente pelas
suas dimensoes lineares. Deste modo, chega-
mos a conclusao seguinte: se a energia poten-
cial de um sistema e uma funcao homogenea
de k–grau das coordenadas (cartesianas), as
equacoes do movimento permitem somente as
Prof. Salviano A. Leao 295
trajetorias geometricamente semelhantes; os
tempos do movimento (entre os pontos cor-
respondentes das trajetorias), relacionam-se do
seguinte modo:
t′
t=
(`′
`
)1− k2
, (8.68)
onde `′/` e a relacao das dimensoes lineares
das duas trajetorias. Os valores de quaisquer
grandezas mecanicas nos pontos corresponden-
tes das trajetorias e nos instantes correspon-
dentes se determinam do mesmo modo que os
tempos pelas potencias da relacao `′/`. Assim,
para as velocidades, energia e momento tere-
mos:v′v
=(
`′`
) k2
E′E
=(
`′`
)k
L′L
=(
`′`
)1+ k2
(8.69)
Daremos alguns exemplos para ilustracao.
Como veremos mais adiante, no caso das pe-
quenas oscilacoes, a energia potencial e uma
funcao quadratica das coordenadas (k = 2).
A equacao (8.68) mostra que o perıodo destas
oscilacoes nao depende da sua amplitude.
Em um campo de forcas uniforme, a energia
potencial e uma funcao linear das coordenadas,
isto e, k = 1. De (8.68) teremos que:
t′
t=
√`′
`
Daqui deduzimos, por exemplo, que os qua-
drados dos tempos de queda dos corpos no
campo gravitacional relacionam-se como as al-
turas iniciais dos mesmos. No caso de atracao
newtoniana de duas massas, ou de interacao de
Coulomb entre duas cargas, a energia potencial
e inversamente proporcional a distancia entre
as partıculas, i.e., uma funcao homogenea de
grau k = −1. Nestes casos:
t′
t=
(`′
`
) 32
,
e podemos afirmar, por exemplo, que os qua-
drados dos tempos de rotacao dos corpos nas
orbitas sao proporcionais aos cubos de suas di-
mensoes (terceira lei de Kepler).
8.8 Teorema do Virial
Se o movimento do sistema, cuja energia po-
tencial e uma funcao homogenea das coordena-
das, ocorre em uma regiao limitada do espaco,
existe uma relacao muito simples entre os valo-
res medios em relacao ao tempo, das energias
potencial e cinetica; ela e conhecida como teo-
rema do virial.
Uma vez que a energia cinetica T e funcao
quadratica das velocidades, entao, pelo teo-
rema de Euler sobre as funcoes homogeneas:
∑i
∂T
∂vi
· vi = 2T
ou, introduzindo os momenta
pi =∂T
∂vi
2T =∑
i
pi ·vi =d
dt
(∑i
ri · pi
)−
∑i
vi · pi
(8.70)
Encontremos o valor medio desta igualdade
em relacao ao tempo. Valor medio de qualquer
funcao do tempo f(t) e dado por:
f = limτ→∞
1
τ
∫ τ
0
f(t)dt
Ve-se facilmente que, se f(t) e uma derivada
em relacao ao tempo f(t) = dFdt
, de uma funcao
limitada F (t), (isto e, que nao adquire valores
infinitos), entao, o valor medio da mesma se
anula. Realmente,
f = limτ→∞
1
τ
∫ τ
0
dF
dtdt = lim
τ→∞F (τ)− F (0)
τ= 0.
Prof. Salviano A. Leao 296
Suponhamos que o sistema realize o movi-
mento em uma regiao finita do espaco com ve-
locidades que nao tendem ao infinito. Entao, a
grandeza∑
i ri · pi e limitada e o valor medio
do primeiro termo do segundo membro a da
igualdade (8.70) anula-se. No segundo, subs-
tituımos pi, de acordo com as equacoes de
Newton por −∇iU e obteremos1:
2T =∑
i
ri∇iU (8.71)
Se a energia potencial e uma funcao ho-
mogenea de grau k de todos os raios vetores
ri, entao segundo o teorema de Euler, a igual-
dade (8.71) se reduz a relacao procurada
2T = kU . (8.72)
Como T + U = E = E, a relacao 8.72) pode
ser apresentada em formas equivalentes:
U =2
k + 2E, T =
k
k + 2E (8.73)
que exprimem U e T em funcao da energia total
do sistema.
Em particular, para pequenas oscilacoes
(k = 2), temos que:
T = U .
isto e, os valores medios das energias cinetica e
potencial coincidem. Para o caso de interacao
newtoniana temos (k = −1):
2T = −U .
Neste caso, E = −T devido a que para tal
interacao, o movimento ocorre em uma regiao
finita do espaco somente para uma energia to-
tal negativa.
1A expressao do segundo membro da igualdade(8.71), as vezes, denomina-se de virial do sistema.
8.9 Equacoes de Hamilton
A formulacao das leis da Mecanica mediante
a funcao de Lagrange (e das equacoes de La-
grange deduzidas da mesma), pressupoe a des-
cricao do estado mecanico de um sistema, se
forem dadas as coordenadas e as velocidades
generalizadas. Este metodo nao e o unico
possıvel. Uma serie de vantagens, em particu-
lar nas pesquisas de diferentes problemas gerais
da Mecanica, surgem da descricao com ajuda
das coordenadas e dos momenta generalizados
do sistema. Como resultado surge agora o pro-
blema de como determinar as equacoes do mo-
vimento, que correspondem a esta nova for-
mulacao da Mecanica.
A passagem de um conjunto de variaveis in-
dependentes a um outro pode ser feito me-
diante uma transformacao, conhecida na ma-
tematica sob o nome de transformacao de Le-
gendre. No caso dado, ela reduz-se ao seguinte.
A diferencial total da funcao de Lagrange
como funcao das coordenadas e velocidades e
igual a:
dL =∑
i
∂L
∂qidqi +
∑i
∂L
∂qidqi.
Esta expressao pode ser escrita na forma:
dL =∑
i
pidqi +∑
i
pidqi, (8.74)
porque as derivadas ∂L∂qi
sao, por definicao, os
momenta generalizados, e ∂L∂qi
= pi, as forcas
generalizadas das equacoes de Lagrange.
Escrevendo agora o segundo termo de (8.74)
na forma
∑i
pidqi = d
(∑i
piqi
)−
∑i
qidpi,
e colocando a diferencial total d (∑
i piqi), no
primeiro membro da igualdade e variando to-
Prof. Salviano A. Leao 297
dos os sinais, de (8.74) obtem-se:
d
(∑i
pidqi − L)
= −∑
i
pidqi +∑
i
qidqi.
A grandeza que esta sob o sinal de diferen-
cial representa a funcao energia h do sistema
e quando ela e expressa em funcao das coorde-
nadas e dos momentos, ela denomina-se funcao
de Hamilton do sistema
H (q, p, t) =∑
i
piqi − L. (8.75)
Da igualdade diferencial:
dH = −∑
i
pidqi +∑
i
qidqi, (8.76)
deduzem-se as equacoes:
qi =∂H
∂pi
, pi = −∂H∂qi
. (8.77)
Estas sao as equacoes do movimento procura-
das em relacao as variaveis p e q, denomina-
das de equacoes de Hamilton. Elas formam
um sistema de 2n equacoes diferenciais de pri-
meira ordem, para 2n funcoes incognitas p (t) e
q (t), que substituem as n equacoes de segunda
ordem do metodo de Lagrange. Em virtude
da simplicidade formal e da sua simetria, es-
tas equacoes denominam-se, tambem, equacoes
canonicas.
A derivada total com respeito ao tempo da
funcao de Hamilton e
dH
dt=∂H
∂t+
∑i
∂H
∂qiqi +
∑i
∂H
∂pi
pi.
Substituindo, aqui, qi e pi das equacoes (8.77)
os dois ultimos termos simplificam-se mutua-
mente de modo que:
dH
dt=∂H
∂t. (8.78)
Em caso particular, em que a funcao de Ha-
milton nao depende explicitamente do tempo,
dHdt
= 0, isto e, obtemos novamente a for-
mulacao da lei de conservacao da energia.
Juntamente com as variaveis dinamicas
(q, q) ou (q, p), as funcoes de Lagrange e de Ha-
milton contem diferentes parametros – grande-
zas, que caracterizam as propriedades do sis-
tema mecanico como tal, ou do campo externo,
que atua sobre o mesmo. Suponhamos que
λ e um destes parametros. Considerando-o
como uma grandeza variavel, temos em lugar
de (8.74):
dL =∑
i
pidqi +∑
i
pidqi +∂L
∂λdλ,
e a seguir, em lugar de (8.76) obteremos:
dH = −∑
i
pidqi +∑
i
qidpi − ∂L
∂λdλ.
Daqui determinamos a relacao
(∂H
∂λ
)
p,q
= −(∂L
∂λ
)
q,q
, (8.79)
que une as derivadas parciais, com respeito aos
parametros das funcoes de Lagrange e de Ha-
milton; os ındices das derivadas indicam que a
diferenciacao devera ser realizada em um caso
tendo p e q constantes e no outro tendo q e q
constantes.
Este resultado pode ser apresentado em ou-
tro aspecto. Suponhamos que a funcao de La-
grange tem a forma L = L0 +L′, onde L′ apre-
senta um pequeno acrescimo a funcao funda-
mental L0. Entao, o termo suplementar cor-
responde na funcao de Hamilton H = H0 +H ′
esta relacionado com L′ mediante:
(H ′)p,q = − (L′)q,q . (8.80)
Notemos que transformando(8.74) na (8.76)
nao escrevemos o termo com dt, que leva
em conta a possıvel dependencia explıcita da
funcao de Lagrange em relacao ao tempo; uma
Prof. Salviano A. Leao 298
vez, que o ultimo jogaria, no aspecto dado so-
mente o papel de um parametro, que nao tem
relacao com a transformacao realizada. Por
analogia com a formula (8.79), as derivadas
parciais com respeito ao tempo de L e de H
estao unidas pela relacao
(∂H
∂t
)
p,q
= −(∂L
∂t
)
q,q
. (8.81)
8.10 Problemas
1. Como se relacionam os tempos de movi-
mento de pontos por trajetorias identicas
com diferentes massas para uma mesma
energia potencial?
Resposta:
t′
t=
√m′
m
2. Como variam os tempos de movimento
por trajetorias identicas, devido a va-
riacao da energia potencial em um fator
constante?
Resposta:
t′
t=
√U
U ′
3. Determinar a expressao para as compo-
nentes cartesianas e para o valor absoluto
do momentum angular de uma partıcula
em coordenadas cilındricas r, ϕ, z.
Resposta:
Lx = m senϕ (rz − zr)−mrzϕ cosϕ,
Ly = m cosϕ (zr − rz)−mrzϕ senϕ,
Lz = mr2ϕ2,
L2 = m2r2ϕ2(r2 + z2
)+m2 (rz − zr)2 .
4. O mesmo problema em coordenadas
esfericas r, θ, ϕ.
Resposta:
Lx = −mr2(θ2 senϕ+ ϕ sen θ cos θ cosϕ
),
Ly = mr2(θ2 cosϕ− ϕ sen θ cos θ senϕ
)
Lz = mr2 sen2 θ · ϕ,L2 = m2r4
(θ2 + sen2 θ · ϕ2
).
5. Indicar as componentes do momentum P
e do momentum angular L que se conser-
vam durante um movimento nos seguintes
campos:
(a) Campo de um plano homogeneo infi-
nito.
Resposta: Px, Py, Lz (o plano infi-
nito e o plano x, y).
(b) Campo de um cilindro homogeneo in-
finito.
Resposta: Lz, Pz (o eixo do cilindro
e o eixo z).
(c) Campo de um prisma homogeneo in-
finito.
Resposta: Pz (as arestas do prisma
sao paralelas ao eixo z).
(d) Campo de dois pontos.
Resposta: Lz (os pontos se encon-
tram sobre o eixo z).
(e) Campo de um semi-plano homogeneo
infinito.
Resposta: Py (o semi-plano infinito
e parte do plano x, y, limitado pelo
eixo y).
(f) Campo de um cone homogeneo.
Resposta: Lz (o eixo do cone e o eixo
z).
(g) Campo de uma barra circular ho-
mogenea.
Resposta: Lz (o eixo da barra e o
eixo z).
Prof. Salviano A. Leao 299
(h) Campo de uma linha em forma da
espiral cilındrica homogenea infinita.
Solucao:
A funcao de Lagrange nao varia ao
girarmos, em redor do eixo da espiral
(eixo z) em um angulo δφ e, simulta-
neamente, ao deslocarmos ao longo
deste eixo a uma distancia h2πδφ (h e
o passo da espiral). Por isso,
δL =∂L
∂zδz +
∂L
∂ϕδϕ
=
(Pz
h
2π+ Lz
)δϕ
donde
Lz +h
2πPz = const.
Capıtulo 9
Dinamica Hamiltoniana
9.1 Introducao
A lagrangeana L de um sistema holonomico de
n graus de liberdade e
L (q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t)
cujas equacoes de Lagrange sao
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= 0, j = 1, 2, . . . , n
O momentum generalizado conjugado de qj
e definido como
pj = − ∂L∂qj
; L = L (q, q, t)
Agora usaremos um metodo, o qual, para
descrevermos um sistema mecanico, devemos
fornecer qj e pj em vez de qj e qi, como no
metodo de Lagrange. este metodo foi desen-
volvido por Sir William R. Hamilton. Ele usou
a funcao
H =n∑
j=1
pj qj − L; H = H (q, p, t) (9.1)
a qual como vimos anteriormente, sera uma
quantidade conservada se ∂L∂t
= 0. A equacao
(9.1) e chamada de transformacao de Lagen-
dre, e e o procedimento usado para passar-
mos de um conjunto de variaveis independentes
para outro.
Para ilustrarmos a transformacao de Len-
gendre em uma forma adequada para nos-
sos propositos, considere uma funcao f das
variaveis xi, yi e t: f = f (xj, yj, t), e f e uma
funcao contınua diferenciavel e de segunda or-
dem. Entao
df =∑
j
(ujdxj + vjdyj) + wdt
com,
uj =∂f
∂xj
; vj =∂f
∂yj
; w =∂f
∂t
onde (uj, xj) e (vj, yj) sao chamados de pa-
res de variaveis conjugadas. Pode-se construir
uma nova funcao a partir da funcao f , na qual
uma das variaveis independentes, por exem-
plo, xj e trocada por sua variavel conjugada
uj. Para obtermos nova funcao g basta sub-
trairmos a funcao f do produto deste par de
variaveis conjugadas, ou seja,
g =∑
j
ujxj − f (9.2)
A diferencial de g fornece,
dg =∑
j
(ujdxj + xjduj − ujdxj − vjdyj)−wdt
ou,
dg =∑
j
(xjduj − vjdyj)− wdt
300
Prof. Salviano A. Leao 301
que e exatamente a forma desejada, isto e, as
variaveis sao independentes de uj e yj. Consi-
dere q como uma funcao de uj e yj,
dg =∑
j
(∂g
∂uj
duj +∂g
∂yj
dyj
)+∂g
∂tdt
Comparando as duas expressoes para dg, ob-
temos
xj =∂g
∂uj
; vj = − ∂g
∂yj
; w = −∂g∂t(9.3)
isto e, as quantidades xj e vj agora sao funcoes
das variaveis uj e yj, fornecidas pelas relacoes
anteriores. A transformacao 9.2 de f em
g (uj, yj) e chamada de transformacao de Le-
gendre, g e chamada de transformada de Le-
gendre de f com respeito a variavel x.
A gora queremos usar a transformada de Le-
gendre para trocar as coordenadas q pelas p
como variaveis independentes. Portanto,
H =n∑
j=1
pj qj − L
que e a funcao de Hamilton. O momentum
generalizado conjugado a qj e
qj =∂H
∂pj
; pj =∂L
∂qj; (9.4)
As equacoes 9.3 correspondentes sao:
qj =∂H
∂pj
; pj = −∂H∂qj
;∂H
∂t= −∂L
∂t
pois, temos
f(xj, yj, t) ←→ L (q, q, t)
g(uj, yj, t) ←→ H (q, p, t)
uj ←→ pj
vj ←→ pj
xj ←→ qj
yj ←→ qj
t ←→ t
9.2 Equacoes Canonicas de
Hamilton
Como H = H (p, q, t) entao
dH =n∑
i=1
(∂H
∂qidqi +
∂H
∂pi
dpi
)+∂H
∂tdt (9.5)
mas como, L = L (q, q, t) e
H =n∑
i=1
piqi − L
entao
dH =n∑
i=1
(pidqi + qidpi − ∂L
∂qidqi − ∂L
∂qidqi
)−∂L∂tdt
Como,
pi =∂L
∂qi
pi =d
dt(pi) =
d
dt
(∂L
∂qi
)=∂L
∂qi
assim,
dH =n∑
i=1
(pidqi + qidpi − pidqi − pidqi)−∂L∂tdt
dH =n∑
i=1
(−pidqi + qidpi)− ∂L
∂tdt (9.6)
Comparando 9.5 com 9.6 obtemos,
qi =∂H
∂pi
; pi = −∂H∂qi
;∂H
∂t= −∂L
∂t(9.7)
As 2n equacoes diferenciais de primeira
ordem (9.7) sao conhecidas como equacoes
canonicas de Hamilton ou simplesmente como
as equacoes de Hamilton. Neste caso, o sistema
dinamico e representado pelo movimento de
Prof. Salviano A. Leao 302
um ponto no espaco de fase de 2n dimensoes.
De fato, as equacoes que descrevem o movi-
mento de um ponto no espaco de fase de 2n
dimensoes sao as equacoes canonicas de Ha-
milton.
Para aplicar este formalismo, o primeiro
passo e encontrar a lagrangeana do sistema que
se deseja descrever, em seguida o momentum
generalizado dado pela definicao pi = ∂L/∂qi,
com isto obtem-se a hamiltoniana dada pela
eq. (9.1).
As propriedades da hamiltoniana, e em par-
ticular seu significado fısico quando o tempo
nao e uma variavel explıcita e facilmente de-
monstrado. Usado as eqs. 9.5 e 9.6
dH
dt=
n∑i=1
(−piqi + qipi)− ∂L
∂t= −∂L
∂t=∂H
∂t
Portanto, se H nao depende explicitamente
do tempo,
dH
dt= 0
e a hamiltoniana e uma constante do movi-
mento,
H(qi, pi) = cte.
Da hamiltoniana do sistema, podemos tirar
as seguintes conclusoes:
1. Vimos que se as forcas que atuam em
um sistema forem conservativas e se os
vınculos forem holonomos indenpendentes
do tempo, a hamiltoniana H do sistema e
igual a energia total E do sistema e per-
manece constante, durante o movimento,
ou seja, H = E =cte. Isto nos conduz a
uma maneira simples de construir a ha-
miltoniana: simplesmene expressamos a
energia total em funcao das coordenadas
generalizadas e dos momenta.
2. Para um sistema conservativo, se os
vınculos forem holonomos e dependentes
do empo, a hamiltoniana H ainda e uma
constante de movimento, entretanto, ela
nao e mais a energia total do sistema: isto
e: H = cte, mas H 6= E.
3. Quando H depende explicitamente do
tempo, ela nao e mais conservada
(H 6= cte), mas ela ainda e a energia total
do sistema (H = E), fornecida por uma
energia potencial que nao depende das ve-
locidades e pelos vınculos holonomos inde-
pendentes do tempo. Em todos os outros
casos, H 6= E e H 6= cte.
Ate agora considerou-se que o sistema
dinamico e holonomo e conservativo. Supo-
nha que temos um sistema holonomo, mas que
parte das forcas que atuam no sistema nao se-
jam conservativas. Em tais casos as equacoes
de Lagrange sao
d
dt
(∂L
∂qi
)− ∂L
∂qi= Qi
ou equivalentemente,
pi =∂L
∂qi+Qi (9.8)
onde L contem as forcas conservativas e Qi re-
presenta as forcas que surgem, e que nao po-
dem ser representadas por uma funcao poten-
cial. Neste caso as equacoes de Hamilton sao
qi =∂H
∂pi
; pi = −∂H∂qi
+Qi;∂H
∂t= −∂L
∂t(9.9)
Prof. Salviano A. Leao 303
9.3 Equacoes de Hamilton
a Partir do Princıpio
Variacional
As equacoes de Hamilton tambem podem ser
deduzidas do princıpio variacional. O princıpio
variacional mais importante na dinamica e o
princıpio de Hamilton, com o qual deduz-se as
equacoes de Lagrange. Mas como foi formu-
lado, o princıpio de Hamilton refere-se a uma
trajetoria no espaco de configuracoes. Para ex-
tendermos o princıpio para o espaco de fase,
devemos modificar ele, de tal modo, que o in-
tegrando da acao S seja uma funcao das coor-
denadas generalizadas, dos momenta e de suas
derivadas. A acao S entao pode ser calculada
sobre a trajetoria do ponto que representa o
sistema no espaco de fase, e a trajetoria vari-
ada seria uma trajetoria vizinha no espaco de
fase. De fato, o princıpio de Hamilton, nos con-
duz a este ponto se a lagrangeana L na acao S
for expressa em termos da hamiltoniana H, o
que resulta em
δS = δ
∫ t2
t1
(n∑
i=1
piqi −H(q, p, t)
)dt = 0
onde qi (t) e variada submetida a condicao
δqi (t1) = δqi (t1) = 0, e os pi sao variados
sem restricoes sobre os instantes finais. De
fato, nao precisamos de restringir a variacao
dos pi. Este ponto ficara claro ao deduzirmos
as equacoes de movimento de Hamilton. Esta
modificacao do princıpio de Hamilton e vista
como um princıpio variacional no espaco de
fase
∫ t2
t1
n∑i=1
(piδqi + qiδpi − ∂H
∂qiδqi − ∂H
∂pi
δpi
)dt = 0
onde
δqi =d
dtδqi
Agora integrando o termo piδqidt por partes
∫ t2
t1
piδqidt = piqi|t2t1 −∫ t2
t1
qipidt
= −∫ t2
t1
qipidt
Portanto,
δS =
∫ t2
t1
n∑i=1
(qi − ∂H
∂pi
)δpi −
(pi +
∂H
∂qi
)δqi
dt = 0
(9.10)
Desde que, vemos o princıpio de Hamilton
modificado como um princıpio variacional no
espaco de fase, ambos os δqi e os δpi sao ar-
bitrarios, e os coeficientes dos mesmos devem
ser nulos, separadamente, o que resulta nas 2n
equacoes de Hamilton.
qi =∂H
∂pi
; pi = −∂H∂qi
(9.11)
Alternativamente, se preferirmos nao pos-
tular a validade do princıpio modificado de
Hamilton no espaco de fase, enao temos de
lembrar que o princıpio de Hamilton assume
trajetorias variadas no espaco de configuracos.
Especiaficando os δq o sistema dinamico deve
atingir uma configuracao definida sobre uma
trajetoria variada em um dado instante, e isto
automaticamente determina os δq que estao re-
lacionadas diretamente aos δq por δq = ddtδq.
Desde que os p estao relacionados aos q atraves
da relacao pi = ∂L∂qi
, esta tambem determina os
δq sao escolhidos , nao existe uma liberdade
para os δp. Note, entretanto, que os coefici-
entes de δpi na eq. (9.10) sao identicamente
nulos, por causa, de δq = ddtδq. Entao devido
a independencia dos δq, seus coeficientes na eq.
(9.10) sao identicamente nulos separadamente,
e obtemos n equacoes canonicas,
Prof. Salviano A. Leao 304
pi = −∂H∂qi
(9.12)
como consequencia.
No senso comun, as coordenadas generaliza-
das qi e os momenta generalizados conjugados
pi nao sao independentes. Entretanto, se a de-
pendencia temporal de cada coordenada gene-
ralizada for conhecida, qi = qi(t), o problema
estara completamente resolvido. As velocida-
des generalizadas podem ser calculadas a partir
de
qi(t) =dqi(t)
dt, (9.13)
e os momenta genralizados a partir de
pi =∂L(q, q, t)
∂qi. (9.14)
Aqui, o ponto essencial e que as coordenadas
generalizadas qi e as velocidades generalizadas
qi estao relacionadas simplesmente por uma de-
rivada temporal total, independentemente da
maneira que o sistema se comporta, enquanto
a coneccao entre as coordenadas generaliza-
das qi e os momenta generalizados pi sao as
propias equacoes de movimento. Determinada
as relacoes que conectam os qi e os pi, basica-
mente elimina-se a independencia destas quan-
tidades e neste caso pode-se dizer que o pro-
blema foi resolvido.
Exemplo: Considere uma partıcula de massa
m e atraıda para a origem por uma forca cen-
tral cujo modulo e F = −GMmr2 = − k
r2 . Deter-
mine as equacoes canonicas do movimento.
Solucao: Como o movimento e no plano,
entao usaremos coordenadas polares assim,
T =1
2m(r2 + r2θ2)
U = −GMm
r= −k
r
L = T − U =1
2m(r2 + r2θ2) +
k
r
Os momenta conjugados a r e θ sao respec-
tivamente:
pr =∂L
∂r= mr =⇒ r =
pr
m
pθ =∂L
∂θ= mr2θ =⇒ θ =
pθ
mr2
logo,
L =p2
r
2m+
p2θ
2mr2+k
r
Portanto, o hamiltoniano e
H =n∑i
piqi − L, com i = r, θ
H = prr + pθθ − L
H =p2
r
m+
p2θ
mr2− p2
r
2m− p2
θ
2mr2− k
r
H =p2
r
2m+
p2θ
2mr2− k
r
As equacoes de movimento de Hamilton sao
r =∂H
∂pr
=pr
me θ =
∂H
∂pθ
=pθ
mr2
pr = −∂H∂r
=p2
θ
mr3− k
r2
pθ = −∂H∂θ
= 0 =⇒ pθ = cte.
Aqui θ e uma coordenada cıclica ou ignoravel,
entao pθ =cte, e neste caso, pθ = l, onde l e o
momentum angular do sistema, que e perpen-
dicular ao plano da orbita, ou plano do movi-
mento.
Prof. Salviano A. Leao 305
Exemplo: Determine a hamiltoniana para
uma partıcula carregada com uma carga qe
movendo-se em um campo eletromagnetico.
Solucao: A lagrangeana L da partıcula e
dada por
L = T − qeφ+ qev ·Aenquanto o momentum generalizado e dado
por
p =∂L
∂v= mv + qeA
v =1
m(p− qeA) .
Portanto a lagrageana pode ser escrita em ter-
mos do momentum generalizado como
L =(p− qeA)2
2m− qeφ+
qem
(p− qeA) ·A
=1
2m(p− qeA) · [p− qeA + 2qeA]− qeφ
=1
2m(p− qeA) · (p + qeA)− qeφ.
Agora, a hamiltonia pode ser calculada,
usando
H = p · v − L=
1
mp · (p− qeA)− 1
2m(p− qeA) · (p + qeA)− qeφ
=1
2m(p− qeA) · [2p− p− qeA]− qeφ
=1
2m(p− qeA) · (p− qeA)− qeφ
=1
2m(p− qeA)2 − qeφ.
Portanto, a hamiltoniana H de uma
partıcula de carga qe movendo-se num campo
eletromagnetico e dada por
H =1
2m(p− qeA)2 − qeφ.
9.4 Integrais de Movi-
mento das Equacoes
de Hamilton
Mostramos que se a hamiltoniana nao de-
pender explicitamente do tempo (∂H/∂t = 0),
entao ela e uma constane de movimento, deno-
tada por h, assim:
H =n∑
i=1
piqi − L = h
e a quantidae h e chamada integral Jacobiana
do movimento. Alem disso, se a energia po-
tencial depende somente das coordenadas e os
vınculos sao holonomos Escleronomos, a ha-
miltoniana H tambem e a energia total do sis-
tema:
H = E = h.
9.5 Integrais de Movi-
mento Associados
com as Coordenadas
Cıclicas
As coordenadas cıclicas ou ignoraveis por de-
finicao sao aquelas que nao aparecem explici-
tamente na Lagrangeana. E obvio que se uma
coordenada e cıclica ela tambem nao ira apa-
recer na hamiltoniana H, pois
∂H
∂qi=
∂
∂qi
[n∑
j=1
pj qj − L]
= −∂L∂qi
= 0,
combinando este resultado com a equacao de
Hamilton temos
Prof. Salviano A. Leao 306
pi = −∂H∂qi
=∂L
∂qi= 0 (9.15)
pi = bi = cte. (9.16)
Portanto, se uma coordenada generalizada qi
e cıclica, o momentum conjudado a ela e con-
servado.
Quando algumas coordenadas,
q1, q2, . . . , qm (m < n), sao cıclicas, a la-
grangeana do sistema tem a seguinte forma
L(qm+1, qm+2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t) (9.17)
o que significa que ainda e necessario resolver
um problema de n graus de liberdade, embora
m dos graus de liberdade correspondam a m
coordenadas cıclicas. Por outro lado, a hamil-
toniana do sistema tem a seguinte forma
H(qm+1, qm+2, . . . , qn; b1, b2, . . . , bm, pm+1, pm+2, . . . , pn; t)
(9.18)
Portanto sobram (n−m) coordenadas e mo-
menta, e o problema e essencialmente reduzido
a (n−m) graus de liberdade. As equacoes
de Hamilton correspondentes a cda um dos
(n−m) graus de liberdade pdem ser obtidas
enqunto ignoramos completamente as m coor-
denadas cıclicas. As coordenadas cıclicas po-
dem ser encontradas integrando as equacoes de
movimento.
qj =∂H
∂pj
=∂H
∂bj; com j = 1, . . . ,m (9.19)
Routh elaborou um procedimento que com-
bina as vantagens da fomulacao hamiltoniana
juntamente com as coordenadas cıclicas com a
fomulacao lagrangeana.
9.6 Transformacoes
Canonicas
Como foi mostrado anteriormente, obviamente
existe alguma vantagem em usarmos as coorde-
nadas cıclicas. Entretanto, em geral, e possıvel
obtermos mais do que um numeo limitado de
tais coordenadas por meio de alguma trans-
formacao. Por outro lado, podemos empregar
uma classe mais geral de tansformacoes que en-
volvam ambas as coordenadas generalizadas e
os momenta. Se as equacoes de movimento fo-
rem mais simples no novo conjunto de variaveis
Qi e Pi do que no conjunto original qi e pi te-
remos obtido claramente um ganho com esta
transformacao. Nao temos condicoes de consi-
derar toas as possıveis transformacoes, mas so-
mente as chamadas transformacoes canonicas
que preservam a forma canonica as equacoes
de movimento de Hamilton; isto e, aquelas
equacoes em que as coordenadas generalizadas
qi e os momenta conjugados pi satisfazem as
equacoes de Hamilton
qi =∂H
∂pi
; e pi = −∂H∂qi
(9.20)
para um dada hamiltoniana H, entao a trans-
formacao
Qi = Qi(q, p, t); e Pi = Pi(q, p, t)
(9.21)
Sera canonica se, e somente se, houver uma
funcao K tal que, as evolucoes no tempo das
novas coordenadas Q e P ainda sao governadas
pelas equacoes de Hamilton, ou seja,
Qi =∂K
∂Pi
; e Pi = − ∂K∂Qi
(9.22)
Aqui K (Q,P, t) e a nova hamiltoniana, a
qual em princıpio sera diferente da antiga ha-
miltoniana H (q, p, t).
Prof. Salviano A. Leao 307
Nas antigas variaveis qi, pi pode-se deduzir
as equacoes de Hamilton a partir do princıpio
de Hamilton modificado,
δS = δ
∫ t2
t1
[n∑
i=1
piqi −H(q, p, t)
]dt = 0.
(9.23)
No novo conjunto de variaveis Qi e Pi o
princıpio modificado de Hamilton
δS = δ
∫ t2
t1
[n∑
i=1
PiQi −K(Q,P, t)
]dt = 0.
(9.24)
deve ser mantido. Comparndo as eqs. 9.23 e
9.24, vemos que seus integrandos estao relaci-
onados por:
n∑i=1
piqi−H(q, p, t) = α
[n∑
i=1
PiQi −K(Q,P, t)
]+dF
dt
(9.25)
ou na forma diferncial dada por
n∑i=1
pidqi −Hdt = α
n∑i=1
PidQi − αKdt+ dF
(9.26)
Aqui F e uma funcao qualquer das coorde-
nadas, momenta e do tempo, F = F (q, p, t),
com derivadas das segunda contınuas. Ja α e
uma constante independente das coordenadas,
momenta e do tempo. Por exemplo, se qi e
pi estivessem relacionados a Qi e Pi por uma
relacao da seguinte forma (uma mudanca de
escala):
Qi = λqi; e Pi = βpi
as equacoes de Hamilton (9.22) permanecem
validas se K = λBH, pois
qi =∂H
∂pi
=⇒ 1
λQi =
∂(βH)
∂Pi
Qi =∂(λβH)
∂Pi
=∂K
∂Pi
=⇒ K = λβH
Desta forma os integrandos dos corresponde-
tes princıpios de Hamilton modificados estao
relacionados por
n∑i=1
PiQi −K = λβ
[n∑
i=1
piqi −H]
(9.27)
que e da forma da equacao (9.25) com α = λβ
e com dFdt
= 0. Com uma transformacao de
escala habil e sempre possıvel fazermos α = 1
na eq. (9.25). Portanto, na discussao a seguir
faremos α = 1. Deve-se ressaltar que a eq.
(9.25) e uma condicao suficiente para termos a
eq. (9.24), mas nao uma condicao necessaria.
Retornando as eqs. (9.25) e (9.26) e fazemos
α = 1. Em muitos textos classicos dizem que
devido ambas as variacoes δqi e δQi serem nu-
las nos instantes t1 e t2 , a variacao δF tambem
deve ser nula em t1 e t2. Entao a derivada to-
tal de F na eq. (9.25) nao ira contribuir para
o princıpio de Hamilton modificado. Devemos
ter algum cuidado neste ponto. O fato de que
δqi (t1) = δqi (t2) = 0 sozinho nao deve ser su-
ficiente para que δqi tambem se anule nestes
instantes. Isto pode ser visto diretamente da
variacao de Qi
δQi =n∑
j=1
(∂Qi
∂qjδqj +
∂Qi
∂pj
δpj
)(9.28)
Portanto, δQi 6= 0 nos pontos finais em t1 e
t2 se δqi (t1) = δqi (t2) = 0 sozinho. Para que
as variacoes δQi sejam nulas nos pontos finais
em t1 e t2, as variacoes δqi (t1) = δqi (t2) = 0
e δpi (t1) = δpi (t2) = 0. Esta e a diferenca da
pratica empregada na secao ”Equacoes de Ha-
milton a partir do Princıpio Variacional”, onde
os qi foram variadas submetidas a δqi (t1) =
Prof. Salviano A. Leao 308
δqi (t2) = 0, mas nenhuma de tais restricoes
foram impostas as variacoes de pi.
De agora em dainte δqi (t1) = δqi (t2) =
0 e δpi (t1) = δpi (t2) = 0, as trans-
formacoes (9.21) implicam que as variacos das
novas variaveis irao igualmente anular-se com
δQi (t1) = δPi (t1) = 0 e δQi (t2) = δPi (t2) =
0. Portanto, a derivada total no tempo de F
em (9.25) nao ira contribuir para o princıpio de
Hamilton modificado, devido a integral da de-
rivada total no tempo ser justamente a funcao
calculada nos pontos finais, onde as variacos
de todas as variaveis canonicas se anulam.
Considerando o caso em que F =
F1 (q,Q, t) , a equacao (9.25) pode ser reescrita
como
n∑i=1
[piqi − PiQi
]+ (K −H) =
dF1
dt(9.29)
a qual apos a multiplicacao por dt toma a se-
guinte forma diferencial
dF1 =n∑
i=1
[pidqi − PidQi] + (K −H) dt,
mas como F = F1 (q,Q, t), segue que
dF1 =n∑
j=1
(∂F1
∂qjdqj +
∂F1
∂Qj
dQj
)+∂F1
∂tdt
(9.30)
Comparando as duas ultimas equacoes, se-
gue imediatamente que:
pi = ∂F1
∂qj
Pi = − ∂F1
∂Qj
K = H + ∂F1
∂t
(9.31)
Quando a funcao F1 e conhecida, as eqs.
(9.31) fornecem n relacoes entre p, q e Q, P as-
sim como entre a hamiltonianaH eK.A funcao
F1 atua como uma ponte entre estes dois con-
juntos de variaveis canonicas e sao chamadas
de funcoes geratrizes da transformacao. Como
um exemplo de uma destas funcoes geratrizes
considere o caso em que
F1 =n∑
j=1
qjQj (9.32)
Para este caso especial, as eqs. 9.31 fornecem
Qj = pj; Pj = −qj e K = H,
o que mostra claramente que as coordenadas
generalizadas e os seus momenta conjugado
nao sao distinguıveis, e a nomenclatura para
elas e arbitraria. Portanto, q e p devem ser
tratados igualmente, e nos chamamos elas sim-
plesmente de variaveis conjugadas canonica-
mente ou variaveis canonicas.
A funcao geratriz F deve ser uma funcao
de ambas das velhas e das novas variaveis
canonicas para que a transformacao possa ser
feita. Alem de F1, ainda temos tres possıveis
escolhas para as funcoes geratrizes, as quais sao
tem a seguinte forma
F = F1 (q,Q, t)
F = F2 (q, P, t)
F = F3 (p,Q, t)
F = F4 (p, P, t)
(9.33)
As circunstancias do problema dira qual das
formas1 e a melhor escolha. Estas tres funcoes
1gera estas tres funcoes a patir de F1 atraves de umatransformacao de Legendre.
Se as funcoes geratrizes nao dependerem explicita-mente de t entao
Assim teremos que:
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geratrizes podem ser geradas a partir de F1
atraves da aplicacao das transformada de Le-
gendre.
Se a funcao geratriz for do tipo F =
F2 (q, P, t), ela pode ser redefinida em termos
da funcao geratriz F1 (q,Q, t) de acordo com a
relacao
F2 (q, P, t) = F1 (q,Q, t) +n∑
i=1
PiQi (9.34)
Agora retornaremos as eqs. (9.31) e obser-
vamos que a diferenca K − H e a derivada
parcial da funcao geratriz F com respeito ao
tmpo. Isto tambem e verdade para as outras
tres funcoes geratrizes F2, F3 e F4. Portanto,
se a funcao geratriz nao contem o tempo ex-
picitamente, entao K = H, isto e, a nova ha-
miltoniana H e simplesmente H com os q e p
trocados pelos seus correspondentes Q e P a
partir da inversao da eq. (9.21).
Devemos notar tambem que o tempo t fica
inalterado pela transfomacao, e que ele pode
ser considerado como um parametro indepen-
dente. Desde que o tempo t nao esta envolvido
diretamente, pode-se considerar uma variacao
contemporanea com dt sendo zero. Entao a
eq. 9.26 com α = 1, torna-se
(9.35)
Criterio para uma Transformacao CanonicaSe δF for uma diferencial exata e se Qj (q, p, t) e
Pj (q, p, t) forem no mınimo duas vezes diferenciaveis atransformacao e canonica e
F =
δφ =
∑
I
()
a qual e um criterio para uma transformacao
canonica sem referencia a funcao hamiltoni-
ana. Portanto, e mais conveniente usar a eq.
9.35 para testarmos se uma transformacao e
canonica ou nao. As funcoes Qi e Pi a partir
da eq. 9.21 sao usadas para expressarmos cada
Pi, Qi em temos das variaveis antigas. Se a
forma diferencial do lado esquerdo da eq. 9.35
e exata, e se a funcao Qj (q, p, t) e Pj (q, p, t)
sao no mınimo duas vezes diferenciaveis, entao
a dada transformacao e canonica, e uma funcao
φ (q, p, t) = F existe de tal modo que
(9.36)
(expressada em termos das antigas variaveis),
ou equivalente,
(9.37)
Integrando-as para obtermos φ (q, p, t), a nova
hamiltoniana K e encontrada pela equacao dos
coeficientes de ”dt” na eq. 9.26. Isto nos con-
duz a
(9.38)
a qual e diferente na forma a partir da ex-
pressao K = H+ ∂F∂t
. Isto ocorre porque as di-
ferentes variaveis sao mantidas constantes nos
dois casos quando tomamos a derivada parcial
com relacao ao tempo.
Exemplo: As equacoes de transformacao en-
tre dois conjuntos de coordenadas sao:
1. Mostre que Q e P sao variaveis canonicas
se q e p o forem.
2. Obtenha a funcao geratriz F que gera esta
transformacao.
Prof. Salviano A. Leao 310
Solucao: e mais conveniente usarmos a eq.
9.35 para testar se a transformacao em questao
e canonica ou nao. Primeiro expressamos a eq.
9.35 em termos das variaveis antigas q e p:
(9.39)
Agora precisamos testar se esta expressao e
ou nao exata. A condicao necessaria e sufici-
ente para a expressao
ser uma diferencial exata e dada pelas relacos
de Cauchy
Aplicando esta condicao de Cauchy a eq.
9.39 temos:
fazendo
logo:
logo,
Portanto, podemos concluir que a trans-
formacao e canonica, pois
(b) Agora iremos obter a funcao geratriz.
Para isto, devemos notar que o lado direito da
eq. 9.39 e igual a δφ (q, p):
portanto, segue naturalmente que:
Para integrarmos as equacos acima usaremos
o seguinte resultado,
Gradstein 2.851
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para n 6= −1
A funcao geratriz F e obtida usando a
funcao:
F = φ
onde φ deve uma funcao qualquer de ambas
as variaveis as antigas qepe as novas Q e P .
Agora eliminando p de φ obtemos
Portanto, k = H + ∂F1
2t
Se a velha hamiltoniana H =(q2+p2)
2entao
e as equacoes canonicas do movimento sao
isto e, Q e constante e p cecresce linearmente
com o tempo.
O exemplo anterior ilustra o processo pelo
qual uma forma especıfica da funcao geratriz
pode ser obtida. Pode-se compreender melhor
a utilidade das transformacoes canonicas ob-
servando com atencao a solucao de um pro-
blema especıfico. De fato, o uso de um
metodo tao poderoso quanto as transformacoes
canonicas e desnecessario na solucao de pro-
blemas simples. Entretanto, um exemplo com
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uma fısica familiar e uma algebra simpls ajuda
a compreendermos melhor o procedimento em-
pregado na solucao:
Exemplo: Oscilador Harmonico Simples
Considere um oscilador harmonico simples
cuja a hamiltoniana e
e as equacoes de movimento de Hamilton sao:
Designando a razao km
por w2, H pode ser re-
escrita como
Esta forma da hamiltoniana como dois qua-
drados, sugere uma transformacao na qual H
e cıclica nas novas coordenadas. Se pudermos
encontrar uma transformacao da forma
p = (9.40)
entao a hamiltoniana em funcao de P e Q sera
entao Q e uma coordenada cıclica. O problema
e encontrar a funcao f (p) que faz a trans-
formacao canonica. Se usarmos uma funcao
geratriz de primeira ordem dada por:
as equacoes de Hamilton para as novas coorde-
nadas sao:
logo,
Resolvendo estas equacoes para q e p, obte-
mos
Disto segue que a hamiltoniana transfor-
mada k = H e
Desde que a hamiltoniana e cıclica em Q,
o momentum conjugado P e constante. Da
equacao anterior vimos que
A equacao de movimento para Q reduz-se a
forma simples
cuja a solucao imediata e
onde α e uma constante de integracao fixada
pelas condicoes iniciais. A partir das eqs. 9.40
para as antigas coordenadas temos
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E instrutivo fazermos um grafico da de-
pendencia temporal das novas e das velhas co-
ordenadas. Vemos que q e p oscilam enquanto
Q e P sao retas.
Figura 9.1: Ilustracao esquematica da de-
pendencia temporal das novas e das velhas co-
ordenadas.
Na figura para o espaco de fase de p versus q
e de P versus Q. Os eixos da elipse com p× xsao (respectivamente para q e p):
onde m e a massa do oscilador, $ e sua
frequencia natural, e E e a energia do osci-
lador. A area A da elipse no espaco de fase
e
Na mecanica quantica, escrevemos E = t$,
onde ~ = h2π
e h e a constante de Planck
A coordenada q e o momentum p podem ser
normalizadas como
o que torna o grafico de p′ × q′ um cırculo de
area π.
Aqui apos uma leitura atenta nos surge a
questao de onde obtivemos a funcao geratriz
F1. Esta e uma questao muito importante.
Infelizmente, nem sempre e facil encontrar-
mos uma funcao geratriz a qual conduz a uma
solucao conveniente, e nao ha um procedi-
mento padrao simples para faze-lo. Algumas
vezes a transformacao desejada pode ser en-
contrada por um metodo intuitivo ou resol-
vendo as equacoes de Hamilton 9.31, as quais
conectam a funcao geratriz com a nova e a an-
tiga hamiltoniana. Entretanto, existem duas
funcoes desconhecidas nas eqs. 9.31: a funcao
F1, necessaria para gerar as equacoes de trans-
formacao das coordenadas, e k, necessaria para
fornecer as equacoes de movimento. Portanto,
fornecido k, podemos trabalhar as eqs. 9.31
ate conseguirmos uma funcao geratriz F .
O desenvolvimento de um processo mais ra-
cional e fornecido pelo metodo de Hamilton-
Jacobi.
9.7 Parenteses de Poisson
As equacoes canonicas do movimento de Ha-
milton descrevem a evolucao temporal das co-
ordenadas q e dos momenta p no espaco de
fase.
A partir destas equacoes podemos deter-
minar as equacoes de movimento para uma
funcao F (q, p) qualquer dos p e q usando os
parenteses de Poisson que foram introduzi-
dos em 1809 por Simeon Denis Poisson (1781-
1840). Os parenteses de Poisson de qualquer
duas funcoes F (q, p, t) e G (q, p, t) com res-
peito as variaveis canonicas (g, p) sao definidos
como:
(9.41)
De fato os parenteses de Poisson nao for-
necem uma ajuda efetiva para obtermos uma
solucao completa de um sistema de equacoes
de movimento. Entretanto, os parenteses de
Poisson sao elementos significantes ao expres-
sarmos a teoria Hamiltoniana. Eles tambem
fornecem a transicao mais direta da mecanica
classica para a mecanica quantica (na repre-
sentacao de Heisenberg). As propriedades
algebricas dos parenteses de Poisson sao por-
tanto de consideravel interesse. A seguir dis-
Prof. Salviano A. Leao 314
cutiremos algumas propriedades.
9.8 Propriedades Funda-
mentais dos Parenteses
de Poisson
As seguintes identidades seguem imediata-
mente da def. 9.41,
[] (9.42)
onde F , G e X sao funcoes das variaveis
canonicas e do tempo. A ultima relacao e co-
nhecida como identidade de Jacobi: a soma
das permutacos cıclicas de um parenteses de
poisson duplo de tres funcoes e zero. Algumas
aplicacoes destas equacoes discutiremos poste-
riormente.
Para um par qualquer de funcoes para o qual
o parenteses de Poisson desaparece [F,G] = 0,
dizemos que elas comutam uma com a outra.
9.9 Parenteses de Poisson
Fundamentais
Da definicao ve-se facilmente que:
(9.43)
Eles sao chamados de parenteses de Poisson
fundamentais.
9.10 Exemplo
Exemplo: Considere uma partıcula de massam
movendo-se em um potencial central V que nao
depende da velocidade. Determine as integrais
de movimento.
Solucao: Usando coordenadas esfericas, a
energia cinetica e
T = (9.44)
e a sua funcao lagrangeana e L = T − V .
Como V nao depende da velocidade, entao
temos que
pj = (9.45)
a partir da qual obtemos que
(9.46)
Como o sistema e conservativo e nem a ener-
gia cinetica e nem o potencial dependem ex-
plicitamente do tempo, entao a hamiltoniana
H = T + V , que sera o mesmo resultado ob-
tido a partir de
H = (9.47)
Desde que o potencial V e central, ele depende
somente de R, entao
Das equacoes canonicas de movimento de
Hamilton temos
Temos entao que
Prof. Salviano A. Leao 315
O potencial e central, logo H nao pode de-
pender de θ, somente de r.
Pode-se mostrar tambem que:
o que mostra que
tambem e uma integral de movimeto.
Solucao: E obvio que:
Para obtermos o parenteses de Poisson para
[Q,P ], precisamos de obter
pois, cos p = peq, logo
Portanto,
Portanto as transformacoes sao canonicas.
9.11 Parenteses de Poisson
e as Integrais de Mo-
vimento
Como foi dito anteriormente, os parenteses de
Poisson nao ajudam efetivamente na solucao
completa de um sistema de equacoes de movi-
mento, mas sao de grande ajuda na busca das
integrais de movimento. Faremos uma analise
mais detalhada deste ponto. Para isto, con-
sidere G = H como sendo a hamiltoniana do
sistema. Entao as eqs. 9.41 tornam-se
onde as equacoes de Hamilton foram usadas
em um passo intermediario. Podemos reescre-
ver o resultado precedente em uma forma mais
conveniente,
(9.48)
Este resultado nos fornece uma forma facil
de encontrarmos as integrais de movimento.
Vemos de 9.48 que a condicao para que a
Prof. Salviano A. Leao 316
quantidade F seja uma integral de movimento(dFdt
= 0), torna-se
(9.49)
Se a integral de movimento F nao depende ex-
plicitamente do tempo, entao a eq. 9.49 reduz-
se a:
[] (9.50)
isto e, quando a integral de movimento F
nao contem o tempo t explicitamente, o seu
parenteses de Poisson com a sua hamiltoniana
e nulo.
Uma outra propriedade importante dos
parenteses de Poisson e que, se F e G sao duas
integrais de movimento, entao o parenteses de
Poisson de F e de G, [F,G], tambem e uma
integral de movimento, isto e,
[] (9.51)
durante o movimento. Este e conhecido como
o teorema de Poisson.
Para se provar o teorema Poisson, deve-se
notar que, desde que F e G sao integrais de
movimento, temos
as quais podem ser reescritas como
e
(9.52)
Da eq. (((())))) temos tambem
as quais com a ajuda da eq. 9.48, obtemos
e a ultima expressao e nula devido a identidade
de Jacobi. Portanto temos
Exemplo: Uma partıcula de massa m
movendo-se em um potencial central V que nao
depende da velocidade. Determine as integrais
de movimento.
Solucao: Usando as coordenadas esfericas, a
energia cinetica da partıcula e
e a sua funcao lagrangeana e L = T − V .
Como V nao depende da velocidade,
a partir da qual obtemos
a hamiltoniana H e
Desde que V e central, ele depende somente
de r, entao
isto e, pθ e uma integral de movimento.
Tambem podemos ver que:
Prof. Salviano A. Leao 317
o que mostra que a quantidade p2θ +
p2θ
sen2 θ
tambem e uma integral de movimento.
9.12 Equacao de Movi-
mento na Forma dos
Parenteses de Poisson
Se F e trocada por variaveis canonicas qj e pj,
respectivamente, quando qj e pj nao contem o
tempo explicitamente a eq. (??) fornece
qj = [qj, H] e pj = [pj, H].
Estas duas relacoes tambem podem ser obti-
das a partir da definicao dada pela eq. (??)
com G = H e F = q ou F = p. Pode-se
notar facilmente que as eqs. (??) sao iden-
ticas as equacoes de movimento de Hamilton.
Portanto, as equacoes canonicas do movimento
sao propriedades implicitas dos parenteses de
Poisson. Como um exemplo considere o caso
de uma partıcula carregada em um campo ele-
tromagnetico. Mostrou-se que a hamiltoniana
da partıcula e
H =(pi − eAi)
2
2m+ eφ
onde usamos o resultado pi = mvi + eAi, ou
que mvi = pi − eAi.
Pode-se verificar facilmente que
[xj, H] =1
m(pj − eAj) = xj
e
[pj, H] = − 1
m(pj − eAj) [pj, eAj] + e [pj, φ]
mas como,
[pj, Aj] =∑
i
(∂pj
∂qi
∂Aj
∂pi
− ∂Aj
∂qi
∂pj
∂pi
)
= −∂Aj
∂qi
[pj, φ] =∑
i
(∂pj
∂qi
∂φ
∂pi
− ∂φ
∂qi
∂pj
∂pi
)
= − ∂φ∂qi
Portanto,
[pj, H] = exj∂Aj
∂xk
− e ∂φ∂xk
= −pj