МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ МИНИ …

Новосибирск, Санкт-Петербург

2017

Innovative teaching and learning strategies

in open modelling and simulation environment

for student-centered engineering education

Новые стратегии обучения инженеров

с использованием сред визуального моделирования

и открытых учебных платформ»

Ю.В. Шорников, Ю.Б. Сениченков, Д.Н. Достовалов, Е.А. Попов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ МИНИ-ПРОЕКТА

2

Работа выполнена в рамках проекта InMotion: «Новые стратегии обучения инженеров с

использованием сред визуального моделирования и открытых учебных платформ», №573751-EPP-

1-2016-1-DE-EPPKA2-CBHE-JP.

Проект InMotion софинансируется Европейской Комиссии. В работе отражены только мнения

авторов, и Европейская Комиссия не несёт ответственность за любое использование информации,

содержащейся в ней.

Содержание

Введение ................................................................................................................... 3

1. Общие указания по выполнению проекта ........................................................ 4

2. Модели с заданной особой точкой .................................................................... 6

2.1. Теоретические положения............................................................................ 6

2.2. Задачи ........................................................................................................... 10

2.3. Пример решения задачи ............................................................................. 11

3. Система второго порядка ................................................................................. 14

3.1. Теоретические положения.......................................................................... 14

3.2. Задачи ........................................................................................................... 17


4. Моделирование событийно-непрерывных систем ........................................ 22

4.1. Теоретические положения.......................................................................... 22

4.2. Задачи ........................................................................................................... 29


5. Варианты заданий ............................................................................................. 47

3

Введение

Целью мини-проекта является изучение современных технологий

математического и компьютерного моделирования динамических систем. В

ходе проекта обучающийся подготавливает математические модели, на их

основе строит компьютерные модели в выбранной инструментальной среде и

проводит ряд вычислительных экспериментов. Эти эксперименты связаны не

только с исследованием поведения моделируемой системы, но и направлены

на выявление особенностей, возможностей и ограничений используемой

среды моделирования.

Особенностью задания на мини-проект является наличие как

математических постановок задач, так и примеров реальных динамических

систем. Математические задачи направлены на изучение возможных

особенностей поведения динамических объектов и проверку теоретических

положений на практике. Моделирование реальных систем предполагает

выявление режимов функционирования системы, самостоятельное

построение математических моделей, обоснованный выбор значений

параметров модели, планирование эксперимента и оценку полученных

результатов.

4

1. Общие указания по выполнению проекта

Проект состоит из трех частей. В первой части проводится

исследование динамической системы, поведение которой описывается

дифференциальным уравнением второго порядка. Необходимо построить

модель с заданным поведением (особой точкой), получить временные

диаграммы и фазовые траектории. Во второй части также исследуется

система второго порядка – маятник. На маятник действует некоторая сила,

изменяющаяся нелинейно. В третьей части выполняется моделирование

реально существующей системы. Требуется построить математическую

модель, приняв допустимые упрощения, и перейти к компьютерной модели.

Вероятнее всего, полученная модель будет гибридной, включающей

непрерывные режимы и дискретные события. Далее проводится серия

вычислительных экспериментов. Результаты расчетов необходимо

сопоставить с теоретическими положениями и представлениями о

функционировании исследуемой системы.

Математические модели строятся на основе известных описаний

физических (механических, электрических, гидравлических и др.) систем,

подходов к анализу и синтезу систем автоматического управления.

Необходимо сформулировать принятые особенности, допущения,

ограничения и упрощения модели.

При переходе к компьютерной модели следует изучить возможности и

особенности редактора моделей среды моделирования, а именно: способ

представления модели (текстовый, графический, комбинированный),

имеющиеся средства редактирования моделей, наличие и полнота библиотек

компонентов (как стандартных, так и специализированных), средств

проверки корректности (диагностика, нейтрализация ошибок) моделей.

Важным этапом является проведение вычислительных экспериментов.

Эти эксперименты направлены на выявление особенностей поведения

моделируемой системы, оценивание качества математической модели и

5

особенностей реализации этой модели в вычислительной среде. Необходимо

обратить внимание на то, как изменение параметров модели и начальных

условий влияет на количественные и качественные характеристики

поведения системы. С другой стороны, требуется оценить влияние выбора

алгоритмов моделирования (численных методов, способов детекции событий

гибридных систем и др.) и их параметров (точность, шаг расчета, интервал

моделирования) на корректность получаемых результатов.

Следует обратить внимание и на наглядность представления

результатов экспериментов, возможности инструментальной среды по

обработке, визуализации, сохранению полученных данных.

Обозначенные в данном разделе вопросы являются рекомендуемыми

для изучения в ходе выполнения проекта. На основе их готовится отчет и

презентация результатов проекта. Новые задачи и результаты также

рекомендуется включить в отчет и представить на защите проекта.

6

2. Модели с заданной особой точкой

2.1. Теоретические положения

Состояние динамической системы n -го порядка в любой момент

времени описывается значениями n независимых переменных (переменных

состояния). Если построить n -мерное пространство, по осям которого

отложены координаты системы, то значения этих координат зададут

некоторую точку, которую называют изображающей точкой, а само

пространство – фазовым (пространство состояния).

Если с течением времени происходит изменение координат, то

изображающая точка будет перемещаться, описывая кривую, которая

называется фазовой траекторией. Движение изображающей точки по фазовой

траектории представляет собой геометрическую интерпретацию процесса в

системе.

Ввиду того, что оперировать с многомерным пространством довольно

сложно, метод фазовых траекторий чаще всего применяется для

исследования линейных систем второго порядка ( 2n ). В этом случае

фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость. Через каждую

точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за

исключением особых точек. Cовокупность различных фазовых траекторий

образует фазовый портрет.

Для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами

d

dt

sAs b (2.1)

характер решения

1

0

t tt e s e E A As A b , det 0A

определяется только собственными числами матрицы A .

Действительно, решение ts системы (2.1) отличается от решения

ty системы

7

d

dt

yAy

только на постоянную 1A b :

d

dt -1 -1s

As Eb As AA b A s A b ,

1

0 0, 0d

dt

-1yy s A b Ay y y x A b ,

и все разнообразие поведений определяется собственными числами матрицы

A .

Известно, что преобразованием подобия S , сохраняющим собственные

числа исходной системы, исходную матрицу A можно привести к матрицам

"простой" формы 1 S AS Λ . Предположим для простоты, что обе матрицы

A , n nS вещественны и их порядок n равен двум.

Возможными вещественными формами матрицы Λ будут:

1

2

0

0R

Λ , 0

0

0

0d

Λ , 0

0

1

0G

Λ , C

Λ .

Существование матрицы преобразования подобия позволяет еще

больше упростить задачу исследования поведения решений линейных систем

и рассматривать только уравнения

d,

dt -1z

z z = A s .

Выпишем все независимые решения для каждой из четырех систем для

различных простых форм:

два различных вещественных корня; решения – 1te , 2te ;

один вещественный корень; в этом случае одно и то же решение

является решением двух одинаковых уравнений, т. к. матрица

преобразования подобия в этом случае равна единичной матрице;

решение – 0te

;

кратные вещественные корни; решения – 0te

, 0tte

;

8

два комплексно-сопряженных корня i ; решения – sinte t ,

coste t .

Это и есть все многообразие решений, возможных для линейных

уравнений на плоскости. Почти очевидно, что и при переходе к большей

размерности качественно нового поведения ожидать не приходится. Если

матрица системы не вырождена, то у динамической системы, представленной

системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами, всего одна особая точка

*: 0 -1s As b s* A b ,

которая может быть либо устойчивой, либо неустойчивой.

Для системы второго порядка матрица A в общем случае имеет вид

11 12

21 22

a a

a a

A .

В таблице 2.1 приведены особые точки системы d

dt

sAs . Известно, что

тип особой точки и характер ее устойчивости можно определить, не

вычисляя собственные значения 1 и 2 матрицы A , зная ее след

11 22tr a a A и определитель 11 22 12 21det a a a a A .

Таблица 2.1. Особые точки

Тип особой

точки Признаки

Вид фазовых

траекторий

Устойчивый узел Собственные значения 1 и 2

вещественные и отрицательные

( 1 0 , 2 0 ).

При этом выполняются условия

2

0 det tr 2 A A и tr 0A .

Частные случаи: звездный или

вырожденный узел, когда

2

det tr 2A A и tr 0A .

Устойчивый звездный узел

возникает, когда матрица A

имеет вид:

Параболы

9

0

0

a

a

A , 0a . Тогда

1 2 a .

Устойчивый вырожденный узел

возникает, когда элементы 12a и

21a матрицы A одновременно не

нулевые и 1 2 0 .

Неустойчивый

узел Собственные значения

1 и 2

вещественные и положительные

(1 0 ,

2 0 ).


2

0 det tr 2 A A и tr 0A .

Частные случаи: звездный или

вырожденный узел, когда

2


Неустойчивый звездный узел

возникает, когда матрица A

имеет вид:

0

0

a

a

A , 0a . Тогда

1 2 a .

Неустойчивый вырожденный

узел возникает, когда элементы

12a и 21a матрицы A

одновременно не нулевые и

1 2 0 .

Параболы

Устойчивый

фокус Собственные значения 1 и 2

комплексные с отрицательной

вещественной частью

( 1 j , 2 j , 0 ).

В этом случае выполняются

условия 2

det tr 2A A и

tr 0A .

Логарифмические

спирали

Неустойчивый

фокус Собственные значения 1 и 2

комплексные с положительной

вещественной частью

( 1 j , 2 j , 0 ).

Логарифмические

спирали

10


2


Седло Собственные значения

1 и 2

вещественные разных знаков

(1 0 ,

2 0 ).

В этом случае определитель

матрицы A отрицательный

(det 0A ).

Гиперболы

Центр Собственные значения 1 и 2

имеют только комплексную

часть ( 1 j , 2 j ).

В этом случае выполняются

условия det 0A и tr 0A .

Эллипсы или

окружности

2.2. Задачи

Численно решить следующие уравнения, построить графики решения и

фазовый портрет системы. Собственные числа матрицы выбрать такими,

чтобы особая точка была заданного вида.

2; ,d

dt

sAs b s b ,

10

0

A S S , 1

1

0

A S S , 1

A S S .

Варианты заданий представлены в таблице 2.2.

11

Таблица 2.2. Варианты заданий первой части

№ Тип особой точки Преобразование подобия

1 Узел устойчивый Матрица А

2 Узел неустойчивый Матрица Б

3 Звёздный узел устойчивый Матрица отражения

4 Звёздный узел неустойчивый Матрица вращения

5 Вырожденный узел устойчивый Матрица А

6 Вырожденный узел неустойчивый Матрица Б

7 Седло Матрица отражения

8 Центр Матрица вращения

9 Устойчивый фокус Матрица А

10 Неустойчивый фокус Матрица Б

11 Узел устойчивый Матрица отражения

12 Узел неустойчивый Матрица вращения

Матрица А: T S E uv ; 1 T S E uv ; , 0u v .

Матрица Б: T S E uv ; 1 1

1

T

d

S E uv ; , du v .

Матрица отражения: T H E uu ; 2T

u u

; 1 H H .

Матрица плоских вращений Гивенса:

cos sin

sin cos

G ; 1 G G .

2.3. Пример решения задачи

Пусть необходимо построить и решить систему уравнений с особой

точкой «устойчивый фокус». Подберем коэффициенты матрицы A так,

чтобы выполнялись условия 2

det tr 2A A и tr 0A . Получим:

1 12 1

1 2

A S S S S .

12

Определитель 2 1

det 51 2

, а след матрицы

2 1tr 4

1 2

.

Собственные числа 1,2 2 j имеют отрицательную вещественную часть.

Таким образом, получили систему с особой точкой «устойчивый фокус».

Выберем вектор b : 2 3T

b .

Получили систему дифференциальных уравнений:

11 2

21 2

2 2,

2 3.

dss s

dt

dss s

dt

Задаваясь различными начальными условиями и решая систему ОДУ,

получаем переходные процессы (рис. 2.1) и фазовый портрет (рис. 2.2).

Рисунок 2.1. – Переходные процессы

s1

s2 s2

13

Рисунок 2.2. – Фазовый портрет

s1

s2

14

3. Система второго порядка


Рассмотрим колебания маятника, подверженного воздействию

периодической кусочно-постоянной силы (релейного маятника):

2

20

d x dxa f x

dt dt ,

1

2

, 0 ,

, 0.

b xf x

b x

Функция f x является разрывной и нелинейной, поэтому для

моделирования таких систем необходимо применять специальные

аналитические и численные методы. Нелинейные элементы можно

представить в виде нелинейных статических или динамических

характеристик. Во втором случае процессы описываются нелинейными

дифференциальными уравнениями.

Основной динамической характеристикой нелинейных элементов и

систем является нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение. В

общем случае поведение многоканальных систем описывают следующие

уравнения состояния и выхода:

' , , , , ,

, , , .

n m

m

t

t n m

x f x u x u

y g x y

где x – n -мерный вектор состояния; u – m -мерный вектор управления; y –

m -мерный вектор выходных переменных; , ,tf x u и ,tg x – нелинейные

вектор-функции. Зависимость этих функций от t отражает действие

возмущений. Причем под возмущением понимают как влияние окружающей

среды, так и изменение параметров объекта.

В частном случае управляющее воздействие может входить в

уравнение состояния в виде суммы с нелинейными коэффициентами

15

' , , ,

, ,

t t

t

x f x B x

y g x

где ,tB x – матрица нелинейных коэффициентов размера n m . Такие

системы называются нелинейными нестационарыми системами с

аддитивным управлением.

Если параметры системы с течением временем не меняются и

возмущающие воздействия пренебрежимо малы, то она называется

нелинейной стационарной системой. Ее модель имеет вид

' ,

.

x f x B x

y g x

В случае, когда отсутствует управляющее воздействие, система

называется нелинейной нестационарной автономной и описывается

уравнениями

' , ,

, .

t

t

x f x

y g x

Если функции f и g не зависят от времени, то система становится

нелинейной стационарной автономной.

При составлении математической модели процессов в системе

управления предварительно получают описание отдельных элементов в виде

соответствующих уравнений, причем по возможности их стараются

линеаризовать. Элементы, уравнения которых допускают линеаризацию,

образуют линейную часть системы, а устройства, поведение которых

описывают нелинейные уравнения, составляют ее нелинейную часть. В

результате получают систему с комбинированным описанием (рис. 3.1).

Здесь НЭ – нелинейная часть системы, которая представляет собой

совокупность всех нелинейных звеньев, а ЛЭ – линейная часть.

16

Рисунок 3.1. – Структурная схема комбинированной системы

Часто в комбинированной системе в качестве НЭ рассматривается

статическая нелинейность, где зависимость между входной и выходной

величинами описывается соотношением u f Δ .

Примеры типовых статических нелинейных звеньев приведены на рис.

3.2.

а б в г

Рисунок 3.2. – Статические характеристики нелинейных звеньев:

а – идеальное реле; б – усилитель с ограничением; в – реле с зоной

нечувствительности; г – реле с гистерезисом

Отметим некоторые характерные особенности процессов в нелинейных

системах.

В нелинейных системах вид и качество переходного процесса

существенно зависят от величины входного воздействия и

начальных условий. Переходный процесс из устойчивого может

стать неустойчивым.

Изменение начальных условий также может приводить к

существенному различию в переходных процессах, например, к

возникновению колебаний.

Важная особенность нелинейных систем состоит в том, что к ним

неприменим принцип суперпозиции. Реакцию нелинейной системы

автоматического управления на несколько произвольных внешних

воздействий нельзя рассматривать как сумму составляющих на

НЭ ЛЭ

y v

-

Δ u

17

каждое воздействие отдельно, поскольку эта реакция зависит от

величины входного воздействия и начальных условий.

Характерной особенностью нелинейных систем является

возможность возникновения в них автоколебаний, т. е. таких

собственных периодических процессов, параметры которых (частота

и фаза) не зависят от начальных условий.

В нелинейной системе может быть несколько состояний равновесия,

к которым в зависимости от величины начальных условий и

входных воздействий стремятся переходные процессы.

Перечисленные особенности необходимо учитывать при построении и

исследовании математических и компьютерных моделей.

3.2. Задачи

Маятник 1

Численно решить следующее уравнение

2

1 2 3 42sin

d xk F k x k k t

dt

с константами 1k , 2k , 3k , 4k и функцией F . Константы, определяющие вид

функции ( K – максимальное по модулю значение функции, 0a , 0b ,

0d – константы, определяющие нули функции), выбрать самостоятельно.

Входное воздействие F y определяется вариантом задания (табл. 3.1).

Таблица 3.1. Варианты заданий второй части для задачи «Маятник 1»

№ Статическая характеристика F x y x

График Математическое описание

1.a

y K sign x

18



1.b

, 0,

, 0.

dxK sign x a

dty

dxK sign x a

dt

1.c

2

Ky sign x a sign x a

1.d

, 0,2

, 0,2

,

,

1.

K dx

dty

K dx

dt

sign x a sign x ba

sign x a sign x ba

b

1.e

Записать самостоятельно

1.f


19



1.g


1.h


1.i

2K

y arctg x

1.j

Ky arctg x a

Karctg x a

Маятник 2

Численно решить следующее уравнение

2

02sin , 0

d xF x t x x

dt .

Входное воздействие F y определяется вариантом задания (табл. 3.2). Что

будет происходить с траекториями, если синусоидальное воздействие:

20

a) отсутствует;

b) периодически «выключается»;

c) присутствует всегда.

Таблица 3.2. Варианты заданий второй части для задачи «Маятник 2»


2.a y K sign x , 0K

2.b , , 0,

, ,

, .

p x x L p

y p L x L

p L x L

2.c 0, , 0,

, ,

, .

x L p

y p x L

p x L

2.d , 0, 0, c 0,

, 0.

p x c x py

p x c x

2.e 1 1 1 1

2 2 2 2

, 0, 0, c 0,

, , 0, c 0.

p x c x L py

p x c x L p

2.f

1 1

2 2

0, ,

, , 0,

, , c 0.

x L

y p x c x L p L c

p x c x L p L


Решим уравнение

2

02sin , 0

d xF x t x x

dt ,

где

, 0,

, 0.

dxK sign x a

dtF x

dxK sign x a

dt

21

Пусть 1.2 , 0.8K , 0.4a . Синусоидальное воздействие

присутствует всегда.

Обозначим: 1y t x t , 2y t x t , и построим систему

дифференциальных уравнений первого порядка:

12

21

1 2

1

1 2

,

1sin ,

, 0,

, 0.

dyy

dt

dyt F y

dt

K sign y a yF y

K sign y a y

Искомое решение x t будет совпадать с решением 1y t при заданных

начальных условиях 1 0 0y x и 2 0 0y x . При нулевых начальных

условиях получим зависимость x t , представленную на рис. 3.3.

Рисунок 3.3. – Решение x t

x

t

22

4. Моделирование событийно-непрерывных систем


Зачастую процесс функционирования системы состоит из нескольких

качественно различных, последовательно сменяющих друг друга во времени

поведений. Инженеры обычно называют их «режимами функционирования».

В моменты смены режима могут происходить мгновенные скачкообразные

изменения значений фазовых переменных. Каждое конкретное поведение

можно отождествить со значением некоторой дискретной переменной, а

мгновенные переключения режимов – с дискретными событиями. Набор

дискретных состояний вместе с условиями переходов из одного состояния в

другое описывает дискретное поведение системы. Поскольку в каждом из

дискретных состояний объект ведет себя как некоторая непрерывная система,

то его поведение в целом является дискретно-непрерывным или гибридным.

В общем случае глобальное поведение С гибридной системы зависит от

совокупности непрерывных поведений { , 1,..., }jc j m . Качественные

изменения поведений происходят мгновенно в некоторые моменты времени

*

jt t для всей совокупности поведений. Непрерывное поведение системы на

временном интервале ,0 ,[ , ]j j kt t характеризуется вектором состояния

( ) n

j t x , где – множество вещественных чисел, и задается некоторым

отображением jf . Дискретное поведение гибридной системы определяется

причинно-следственной цепочкой событий:

0 0 0 1 1 1( , ) ( , ) ... ( , ) ...j j jE t x E t x E t x . При возникновении

событий происходит мгновенное изменение локальных состояний или

режимов гибридных систем.

Пусть отображения jf ограничены классом систем обыкновенных

дифференциальных уравнений (ОДУ) в форме Коши с некоторыми

ограничениями, т.е.

23

( ),d

t tdt

j

j j

xf x , : ( , ) 0jpr t j jg x , ,0jt j j,0x x , (4.1)

где njx – вектор состояния; t – независимая переменная;

: n n jf – нелинейная вектор-функция, удовлетворяющая условию

Липшица; : n m jg – нелинейная событийная вектор-функция;

nj,0x – вектор начальных условий. Область существования поведения jc

в расширенном фазовом пространстве 1( , ) nt jx задается логическим

предикатом jpr B , ,B true false , который принимает значение true

внутри области существования jc и значение false – вне ее. Таким образом,

момент времени *

jt t наступления очередного события jE определяется

моментом изменения jpr от значения true на значение false . Несмотря на

то, что в любой физической системе время t априори является величиной

непрерывной, можно говорить о дискретных моментах времени *

jt как

подмножестве значений непрерывного времени.

Непрерывно дифференцируемая функция ( , )tj jg x называется

событийной функцией. Событийная функция ( , )tj jg x ведет себя таким

образом, что соответствующий предикат : ( , ) 0jpr t j jg x является истинным

на всем полуинтервале режимного решения *,0 ,0 ,, [ , ]j j j j kt t t t

. Границей

режима называется некоторая граница области nG , на которой для

событийной функции имеет место ( , ) 0t j jg x , при этом *

jt t . Отметим, что

точность поиска точки *jt переключения режимов в гибридных системах

существенно зависит от вида событийной функции ( , )tj jg x , линеаризация

которой не только увеличивает размерность задачи, но и приводит к

понижению точности определения точки переключения режимов.

24

Событием будем называть такое состояние системы в пространстве и

времени 1( , ) nt jx , когда ( , )tj jg x достигает границы режима ( , ) 0t j jg x .

Переключение режимов гибридных систем приводит к разрывам решении

задачи Коши. Данные разрывы обусловлены скачкообразным изменением

начальных условий, параметров правой части, изменением правой части без

изменения и с изменением состава фазовых переменных и др.

В дальнейшем при записи уравнений режимного поведения будем

опускать индекс j , если это не приводит к появлению неоднозначности.

Изменение начальных условий

Скачкообразное изменение значения некоторых компонентов

| 1,ix i J n вектора x при * *( 0) ( 0)t t x x можно рассматривать как

результат действия некоторой последовательности операторов присваивания

*:i ix x , выполняемых мгновенно в момент переключения *t . В этот момент

происходит припасовывание начальных условий.

Иллюстрацией к этому типу событий является модель падающего тела

с мгновенным упругим отскоком о поверхности. Система имеет одно

состояние «Полет». В этом случае событийная функция может иметь вид

g( )y y . При касании тела поверхности отскока расстояние до поверхности

отскока 0y и вертикальная составляющая скорости 0y v . Предикат

ограничений pr принимает значение false , а вертикальной составляющей

скорости разрешается мгновенно сменить знак на противоположный, т.е.

y y v v . Система возвращается в состояние «Полет», но интегрирование

исходной системы выполняется с новыми начальными условиями. Таким

образом, поведение гибридной системы может быть вполне

удовлетворительно описано последовательностью из припасованных

решений дифференциальных уравнений на отдельных участках решения.

25

Изменение параметров правой части

Представим (4.1) с изменяемыми параметрами nω в следующем

виде:

( , , )d

f tdt

x

x ω , 0 0t x x , 0, kt t t ,

и рассмотрим изменение значений параметров ω двумя способами:

получение новой задачи введением новых фазовых переменных; введение

бинарных компонент в правую часть исходной задачи (4.1).

Расширение вектора фазовых переменных

Введем набор параметров nω в состав фазовых переменных.

Тогда, если положить constω , новую модель гибридной системы можно

представить в виде

( , , )d

f tdt

x

x ω , 0d

dt

ω, 0 0t x x , 0 0t ω ω , 0, kt t t

с расширенным вектором состояний ( , )n n

x ω . Затем решение ищется

припасовыванием решений классической задачи Коши на участках *

0 ,j

jt t с

неизменными параметрами и мгновенно меняющимися начальными

условиями в моменты времени *

jt .

Для иллюстрации использования приема расширения вектора фазовых

переменных рассмотрим пример гибридной системы, в которой событием

является изменение параметров правой части. Пусть в электрической цепи

(рис. 4.1) в зависимости от положения ключа меняется значение

сопротивления R .

Рисунок 4.1. – Элементарная электрическая цепь с ключом

26

Поведение этой цепи описывается уравнением

0

1t

diL iR id E

dt c ,

и если R меняется периодически, ( ) ( )R t R t T , например по формуле

1

2

, 0,1 , 2,3 , ;

, 1,2 , 3,4 , ,

R t tR

R t t

то получим систему с мгновенным изменением параметров в моменты

времени * 1, 2, ...t . Преобразуем ее к виду

diL iR u E

dt ,

0

1t

u idc

, 1du

idt c

,

и дополним новыми дифференциальными уравнениями

1

( )di

iR u Edt L

, 1du

idt c

, 0dR

dt .

Последняя система будет эквивалента предыдущей, если рассматривать

ее как набор систем, у которых периодически меняются начальные условия

последнего уравнения в точках * 1, 2, ...t . В эти моменты времени

мгновенного изменения начальных условий фазовые переменные i и u

«склеиваются», образуя непрерывные функции, а R меняется скачком, т.е.

ведет себя как кусочно-непрерывная функция. Таким образом, изменение

параметров правой части сведено к изменению начальных условий.

Введение бинарных компонент

Рассмотрим ту же задачу периодического скачкообразного изменения

параметров правой части системы дифференциальных уравнений несколько

иначе. Зададим управляющую функцию u t :

( )t

u t t TT

,

где [ ] – целая часть числа. Тогда обобщенная система дифференциальных

уравнений рассмотренной задачи будет иметь вид

27

1di

iR u Edt L

, 1du

idt c

, 1 21 ( )R R u t R u t ,

причем параметры правой части будут меняться автоматически. Функция

u t в этом случае ведет себя как бинарная компонента, принимающая

значение 0 или 1, и она же управляет параметрами правой части системы

ОДУ.

Изменение вида правой части без изменения состава фазовых

переменных

В этом случае происходит изменение отображения f . Примером такой

гибридной системы является падение мячика на вертикально стоящую

пружину, после которого в уравнении движения мячика появляется сила

реакции пружины. Пусть мячик падает с высоты H на свободный конец

невесомой пружины с жесткостью K и длиной sH (

sH H ), закрепленной

вертикально на плоскости. Движение мячика при sy H задается системой

уравнений свободного падения, а при sy H – системой уравнений

,y

dy

dt v ( ) .

y

s

dK H y q

dt

v

Результаты численного моделирования представлены на рис. 4.2.

9,86

6,57

3,29

0

–3,29

–6,57

–9,86

1,47 2,93 4,4 5,87 7,33 8,8 10,3

v(y)

y

Рисунок 4.2. – Мячик, падающий на пружину. Фазовая диаграмма

Изменение правой части режима ГС с изменением состава фазовых

переменных

Рассмотрим случай, когда наступление событий в гибридной системе

приводит к качественным изменениям локального поведения. Для примера

28

рассматривается система, представляющая собой материальную точку,

прикрепленную к нерастяжимому и невесомому стержню длиной L , другой

конец которого шарнирно закреплен в начале системы координат (рис. 4.3).

g

x

y

Рисунок 4.3. – Отрывающийся маятник

Состояние маятника в режиме колебаний определяется уравнениями

, sin( ) ,g L

sin( ), cos( ),x L y L

cos( ), sin( ),x y v v

0 0(0) , (0) .

Пусть в некоторый момент *t крепление шарика к стержню

разрушается, и далее шарик продолжает свое независимое от стержня

движение. Движение шарика после отрыва задается новой системой

уравнений с новым составом фазовых переменных:

x

dx

dt v ,

y

dy

dt v ,

ydg

dt

v.

Начальные значения для новой системы уравнений, описывающей

свободный полет, вычисляются в момент *t по формулам

*( ) sin( )x t L , *( ) cos( )y t L ,

*( ) cos( )x t v , *( ) sin( )y t v .

На рис. 4.4 показана траектория движения маятника для значений

параметров 0 2 , 0 0 .

29

y(x)

x

0

–0,158

–0,317

–0,475

–0,634

–0,792

–0,95

–0,803 –0,402 0,402 0,803 1,2 1,61

Рисунок 4.4. – Фазовая диаграмма отрывающегося маятника

4.2. Задачи

Задача 1. Аттракцион

Проектируя новый цирк, архитекторы попросили описать все

аттракционы, которые входят в программу выступлений. Один из

аттракционов оказался таким (рис. 4.5). Акробат поднимается по

вертикальной лестнице до вершины «катальной горки» длины L — узкой

доски, составляющей угол с ареной, и начинает по ней спуск на лыжах.

Спуск по доске переходит в движение по части окружности радиуса r .

Скольжение по части окружности переходит в свободный полёт над

поверхностью бассейна, после чего акробат падает в воду и погружается на

дно. Нас интересует длина бассейна, обеспечивающая безопасность

аттракциона, и нагрузка на поверхность скольжения, если масса акробата m .

Рисунок 4.5. – Устройство аттракциона

30

Задача 2. Машина с неуравновешенным ротором

Переменная сила Q передаётся на фундамент машиной с

неуравновешенным ротором (рис. 4.6). Сила Q меняется следующим

образом: каждые 50 секунд один вид гармонических колебаний

1 1 1sinQ H t сменяет другой 2 2 2cosQ H t , где 1 2смH ,

2 3смH –

амплитуда возмущающей силы; 1

1 0.3с , 1

2 0.5с – частота

возмущающей силы.

Рисунок 4.6. – Машина с неуравновешенным ротором

Пусть q – положение центра тяжести машины. В начальный момент

времени 0 0 0q t q t . Величина q может превзойти критическую

величину 100kL , и машина выйдет из строя. Предположим, что мы можем

управлять частотами возмущающей силы 1 и 2 . Проверить

экспериментально, можно ли во избежание аварии, при превышении q по

абсолютному значению величины 50L уменьшать частоты на 10%?

Процесс изменения частоты требует 10 секунд модельного времени.

Можно ли таким способом управлять двумя машинами с разными

значениями коэффициентов жесткости подвески 1 0.4k , 2 0.5k ? Машины

следует «запускать» поочерёдно – сначала первую, а затем через 10 секунд

модельного времени – вторую.

31

Задача 3. Два маятника

Дана система из двух маятников – маятника 1 и обращённого маятника

2 (рис. 4.7). Точка подвеса первого маятника гармонически колеблется по

вертикали около своего среднего положения по закону 1 1cosy A t , а

точка подвеса второго маятника – 2 2cosy A t , 2A м – амплитуда

колебаний, 1

1 3с и 1

2 3с – частоты колебаний. При этом каждые 10

секунд значение A изменяется на величину 0.5 поочерёдно. Длина каждого

из маятников равна 40l м .

Рисунок 4.7. – Два маятника

Пусть 1 – угол отклонения первого маятника от строго вертикального

положения, а 2 – угол отклонения второго маятника от строго

вертикального положения.

У обоих маятников в начальный момент времени отклонение от

положения равновесия составляет 0.1 . Значения 1 , 2 изменяются в

пределах от 0 до 360 .

1. Создайте модель системы и проверьте, что второй маятник приходит в

устойчивое положение при заданных значениях параметров.

2. Предположим теперь, что движение точек подвеса осуществляется

устройством, которое не может работать постоянно и вынуждено

останавливаться через каждый 10 секунд модельного времени на 1

секунду (т. е. в этот момент точки подвеса не двигаются). Будет ли

сохраняться устойчивое положение второго маятника в этом случае, и

как изменится поведение первого?

32

Во всех экспериментах сначала начинает колебаться первый маятник, а

через 3 секунды модельного времени – второй.

Задача 4. Система управления

В комнате имеется обогреватель. Обогреватель выключен, что

приводит к постепенному уравниванию температуры в комнате и

температуры окружающей среды 0C (например, 15 C ). Теперь обогреватель

включается, выдаётся управляющий сигнал maxu U (например, 5 кВт).

Температура в комнате начинает расти примерно экспоненциально до

величины maxC (например, 25 C ). Когда обогреватель выключается,

температура уменьшается до начальной 0C в связи с некоторыми потерями

энергии (через стены, окна и т.п.).

1. Используйте двухпозиционный (ВКЛ-ВЫКЛ) регулятор для

управления обогревателем.

2. Учтите изменение температуры окружающей среды с течением

времени.

3. Что будет, если постоянные нагрева и остывания будут различными,

что и бывает на практике?

4. Что будет, если датчик температуры расположить на значительном

расстоянии от обогревателя?

Задача 5. Автоматическая коробка переключения передач

Автоматическая коробка переключения передач (АКПП) – это система

с переключениями, которая характеризуется разрывной эволюцией

непрерывного состояния. АКПП используются для автоматического

изменения передаточного числа. Рассмотрим АКПП с четырьмя шестернями.

Она состоит (рис. 4.8) из коробки передач и регулятора, включающего

непрерывную и дискретно-событийную части.

33

Рисунок 4.8. – Система управления АКПП

Коробка передач и её регулятор взаимодействуют в зависимости от

скорости автомобиля v t . На вход коробки подаются непрерывные сигналы

– вращающий момент u t T t и угловая скорость двигателя t

Возмущения d t моделируют влияние дороги, например, различные

коэффициенты трения на разных участках.

АКПП может находиться в четырёх дискретных состояниях q t ,

1,2,3,4q t , которые оказывают воздействие на непрерывное поведение

системы путём изменения передаточного отношения rp q . Таким образом,

каждый режим характеризуется своими параметрами rp q и

коэффициентом усиления регулятора rk q , где 1 2 3 4r r r rp p p p .

Режим автоматически выбирается в соответствии с дискретным входным

сигналом, выбранным регулятором.

Непрерывная часть регулятора представлена ПИ-регулятором,

состояние интегратора которого IT t . Для того, чтобы поездка была

комфортной, на производную ускорения v t накладываются ограничения,

которые приводят к необходимости смены параметров регулятора rk q в

зависимости от передачи q t и скачкообразного изменения состояния

интегратора, когда происходит смена передачи.

34

Смена передачи должна осуществляться, если t достигает верхнего

или нижнего пределов high и

low соответственно. Каждый раз, когда новое

значение целевой скорости refv t задаётся водителем, состояние интегратора

IT t сбрасывается в ноль (управляемое скачкообразное изменение

состояния).

Поездка будет комфортной, если ускорение будет ограниченным, что

приводит к ограничениям на коэффициент усиления rk q , и если на

производную ускорения также будут наложены ограничения. Если rk q

принимает значение из множества 1 , 2 , 3 , 4r r r r rk q k k k k ,

скачкообразных изменений v t и v t не происходит при смене режима,

если

1 1r r r rp q k q p q k q ,

1 , 1r I до r I послеp q T t p q T t смена режима q q ,

1 , 1r I до r I послеp q T t p q T t смена режима q q .

Это называется безударной передачей управления.

Задача 6. DC-DC преобразователь

DC-DC преобразователь — это система с переключениями, в которой

управляемое переключение необходимо для осуществления функции

устройства, стабилизации выходного напряжения. Система стабилизируется

в предельном цикле, а не в состоянии равновесия.

Силовые преобразователи широко распространены в промышленности,

применяются, например, в приводных двигателях переменного тока с

регулируемой скоростью вращения, компьютерных блоках питания, сотовых

телефонах и камерах. Основной функциональный принцип устройства

заключается в переключении электрической схемы между разными

конфигурациями, обеспечивающем преобразование постоянного или

35

медленно изменяющегося переменного напряжения в переменное

напряжение, не зависящее от нагрузки.

Рассмотрим повышающий преобразователь, выходное напряжение

которого выше входного напряжения. Схема преобразователя приведена на

рисунке 4.9. Схема состоит из нагрузки R , конденсатора C , катушки

индуктивности L , диода D и ключа S . На вход подаётся фиксированное

напряжение E , а на выходе генерируется переменное напряжение v t . CR и

LR представляют собой резисторы, подключённые последовательно после

конденсатора и индуктивности соответственно.

Рисунок 4.9. – Схема преобразователя

В состоянии включено ключ закрыт, что приводит к увеличению тока,

протекающего через индуктивность, Li t . В состоянии выключено ключ

разомкнут. Ток может протекать единственным путём — через антизвонный

диод, конденсатор, нагрузку. Это приводит к переносу энергии, накопленной

в индуктивности в течение состояния включено, в конденсатор. Процесс

повторяется циклично, повышающий преобразователь функционирует с

периодом переключения ST и дежурным циклом 1d t , соответствующим

отношению длительности нахождения в состоянии включено к периоду.

Дежурный цикл задаётся извне 1 1 0,1u t d t .

36

Задача 7. Две популяции

Даны две биологические популяции, оспаривающие одну и ту же пищу.

Пусть это будут популяции медведей (численностью 1N ) и волков

(численностью 2N ). Пусть при количестве пищи, достаточном для полного

удовлетворения рассматриваемых видов, существуют постоянные

положительные коэффициенты прироста популяций: 1

1 0.7мес для

медведей и 1

2 0.9мес для волков. Заданы «коэффициенты

прожорливости»: 1

1 0.7кг , 1

2 0.9кг , соответствующие потребности в

пище для каждой из двух популяций.

Пусть 1 2,F N N – количество пищи, поедаемой обеими популяциями в

единицу времени. Учтите, что медведи впадают в зимнюю спячку (3 месяца).

Как только численность той или иной популяции становится меньше 1

(умирает последняя особь), засекается отрезок времени 1 3T мес. (если это

медведи) или 2 5T мес. (если это волки), по истечении которого вместо

прежней популяции поселяется новая популяция с новой начальной

численностью (> 1).

1. Построить модель системы.

2. Построить модель системы, состоящей из двух систем типа «две

популяции», несвязанных друг с другом. Вторая система «две

популяции» идентична первой, за исключением того, что в ней вместо

медведей и волков в качестве конкурирующих видов рассматриваются

лоси и олени, имеющие иные значения коэффициентов 1 , 2 , 1 , 2 .

Задача 8. Машины с рессорами

Дан неровный участок со сложным профилем, который периодически

повторяется. По нему движутся две идентичные «машины», каждая из

которых представляет собой подрессоренный груз (рис. 4.10) массой

0.7кгm , прикреплённый к безотрывно движущемуся с постоянной

37

горизонтальной скоростью колесу. Скорость первой машины 1 0.9м сV ,

второй – 2 1м сV .

Рисунок 4.10. – Подрессоренные грузы

Профиль участка для одного периода описывается уравнениями

1 1

2 2 1

1 , 0 1,

cos , 1 ,1 2,

sin , cos 2 , 2 4.

xy h e x

y A x A h e x

y A x A A x

где h – высота горизонтального участка, 1h м,; – параметр,

характеризующий кривизну профиля, 1 ; 1A и 2A – амплитуды колебаний.

Первая машина в начальный момент времени расположена в начале

пути, а вторая расположена в начале косинусоидального участка.

За движениями машин следит система управления. Если расстояние

между машинами становится меньше, чем 0.2L , то догоняющая машина

снижает свою скорость на 50%. Если расстояние оказывается меньшим, чем

0.1kL , то считается, что произошла авария. Если расстояние между

машинами больше 1bL , то скорость обеих машин увеличивается на 30% от

текущего значения.

38

Задача 9. Пластина и газ

Жёсткая плоская пластинка длиной 5l м находится в потоке газа

(жидкости), скорость 1м сV которого горизонтальна и направлена так, как

показано на рисунке 4.11.

Рисунок 4.11. – Пластинка в потоке газа

1. Построить модель системы. Подобрать параметры системы такими,

чтобы пластина с течением времени возвращалась в своё положение

равновесия после начального отклонения.

2. Предположим, что в начальный момент пластина находится в

состоянии равновесия. Каждые 5 секунд скорость подаваемого газа то

увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению. Также

каждые 10 секунд плотность газа то увеличивается на 50%, то

возвращается к прежнему значению. В некоторый случайный момент

времени пластина мгновенно отклоняется на угол 0.01 . Будут ли при

таких условиях наблюдаться аварийные ситуации, если аварийным

считается отклонение пластины более чем на 45 .

3. Подобрать такие параметры, что система будет работать без аварийных

ситуаций.

Задача 10. Два груза на пружинах

Дана система из двух тел с массами 1 2 1m m кг, соединённых двумя

пружинами, жёсткости которых равны 2

1 2 1кг/сc c . Система изображена

на рисунке 4.12.

39

Рисунок 4.12. – Система из двух тел

На левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила

Q , которая через каждый 20 секунд модельного времени меняет свой вид:

1

2

sin ,

cos ,

H tQ

H t

где 1 1H м, 2 1.5H м – амплитуды колебаний, 12 с – частота

колебаний.

Пусть 1x ,

2x – горизонтальное отклонение грузов от положения

равновесия (в начальный момент времени отсутствующее).


2. В произвольный моменты времени частота колебаний изменяется на

25%. Частота возвращается к своему начальному значению в течение

10 секунд. Моделирование останавливается, если расстояние между

грузами становится меньше 10% от своего первоначального значения

3L или 5L .

Задача 11. Стержень и маятник

Дан вертикальный невесомый упругий стержень длиной 5l м с

постоянной жёсткостью сечения 3 21кг м сEI . С концом стержня связан

сосредоточенный груз массой 1m кг. Верхней опорой стержня служит

неподвижный шарнир, а нижней — подвижная втулка (рис. 4.13).

40

Рисунок 4.13. – Груз на стержне

Расстояние между опорами s l не постоянно и меняется с периодом

30 секунд по одному из гармонических законов

1

2

cos ,

sin ,

H ts

H t

где 1 1.5H м,

2 2H м – амплитуды колебаний, 11с – частота

колебаний.

Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 20

секунд то уменьшается на 40%, то возвращается к прежнему значению. В

начальный момент времени происходит отклонение груза на расстояние

0 0.1x м. Если x превышает пороговое значение max 3x , то стержень

разрушается.

Построить модель системы, определить, будет ли она разрушена.

Задача 12. Груз, балка, пружина

Дана система из груза массой 1m кг, связанного с невесомой жёсткой

упруго закреплённой балкой (рис. 4.14). Один конец балки закреплён на

шарнире, расположенном на неподвижной опоре. Пусть 2l – длина балки, 0c

– коэффициент жёсткости пружины, – угол отклонения системы от

положения равновесия.

41

Рисунок 4.14. – Груз на балке

В начальный момент времени происходит однократный вертикальный

удар по грузу с величиной мгновенного ударного импульса 2Н сS . Через

25 секунд после начала колебаний масса груза мгновенно уменьшается на

50%. Если угол становится больше предельного значения max

0

s

c m l

,

то происходит разрушение системы.

Построить модель системы и определить, будет ли она разрушена.

Задача 13. Пробка в воде

В воде плавает кусок пробки в форме параллелепипеда (рис. 4.15) с

площадью основания 21мS и высотой 0.5H м. Пробку погружают в

воду на небольшую глубину 0 5x см и отпускают. В результате пробка

начинает совершать колебания. Сопротивление воды не учитывается.

Рисунок 4.15. – Тело в воде

Пусть существует вторая ванна с пробкой, но в ней в начальный

момент пробке, плавающей на поверхности, сообщили скорость, равную

42

0 1v м/с. При изучении поведения пробки во второй ванне учтите

сопротивление воды.

1. Построить модель системы и экспериментально выяснить, какая из

пробок скачет выше.

2. Построить также модель системы, в которой каждые 20 секунд в

первой системе вода мгновенно «превращается» в ртуть, а ртуть с той

же периодичностью — в воду, а во второй системе каждые 25 секунд

происходят аналогичные «превращения» воды в спирт.

Задача 14. Частица и кольцо

Материальная точечная масса 1m кг находится в поле тяготения

тонкого кольца массы 2010M кг и радиуса 1R км (рис. 4.16) В начальный

момент времени материальная точечная масса помещается в точку 1Q ,

расположенную на оси кольца на расстоянии 0x R от плоскости кольца, и

начинает совершать колебательные движения.

Рисунок 4.16. – Точечная масса в поле тяготения

Если 0.1x R , то гравитационная сила равна

3

G M mx

R

.

Если 0.1x R , то гравитационная сила равна

3/2

2 2

G M mx

R x

.

43

Пусть 0 1x м. Каждые 15 секунд радиус кольца поочерёдно мгновенно

расширяется и сжимается в 10 раз. Если точка отклоняется от кольца на

расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система

разрушается.


2. Построить модель системы, состоящей из двух систем «материальная

точка — кольцо», несвязанных друг с другом. Вторая система

«материальная точка — кольцо» идентична первой, за исключением

того, что в ней радиус кольца изменяется в 5 раз каждые 20 секунд.

Задача 15. Поршень и газ

В длинной вертикальной цилиндрической трубке (рис. 4.17), закрытой

с нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса 10m кг

которого велика по сравнению с массой идеального газа, заключённого

внутри трубки. В положении равновесия расстояние между поршнем и дном

трубки равно 0 1000l м.

Рисунок 4.17. – Трубка с поршнем

Площадь поперечного сечения трубки равна 21мS , на поршень

действует атмосферное давление 0 1p атм. В начальный момент времени

поршень отклоняют от положения равновесия на расстояние 0x l . Пусть

44

1x . Атмосферное давление каждые 10 секунд мгновенно изменяется с

нормального значения на меньшее на 80% (и обратно).


2. Построить модель системы, состоящей из двух систем типа «трубка с

поршнем», несвязанных друг с другом. Вторая система «трубка с

поршнем» идентична первой, за исключением того, что в ней поршень

имеет другую массу m m и другую площадь поперечного сечения

S S .


В качестве объекта моделирования рассматривается система,

состоящая из упругой поверхности, размещенного на ней тела массой m и

пружины с коэффициентом жесткости k . Между телом и поверхностью

существует сухое трение (рис. 4.18).

Рисунок 4.18. – Система взаимодействующих тел

При описании явлений сухого трения наиболее широко применяется

закон Амонтона-Кулона, в котором используется понятие коэффициента

трения trk как отношение силы трения cF к силе прижатия тела к

поверхности трения (сила нормально давления) P . Тогда c trF k P .

Однако еще в XIX веке выяснилось, что коэффициент трения не

является универсальной характеристикой. В 1902 году немецкий ученый

Рихард Штрибек опубликовал данные, свидетельствующие о том, что в

случае сухого трения сила трения постепенно падает от значения силы

статического трения до кулоновской силы по некоторой кривой. Это явление

было названо штрибек-эффектом. Таким образом, зависимость силы сухого

45

трения от скорости приняла вид (рис. 4.19), где sF – сила статического

трения, cF – кулоновская сила.

Рисунок 4.19.– Зависимость силы сухого трения от скорости

В рассматриваемой системе один конец пружины прикреплен к телу, а

второй перемещается с постоянной скоростью pV . При растяжении пружины

возникает упругая сила k x ( x – растяжение пружины), стремящаяся

вывести тело из положения покоя. Но движение тела происходит только

после того, как сила упругости превысит силу статического трения

( sk x F ), после чего тело начинает «скользить» со скоростью V по

поверхности. Теперь на него действует сила сопротивления скольжению,

которая меньше силы статического трения. Возникает положительная

разность сил, разгоняющая тело. Пружина начинает сжиматься, а

создаваемая ею упругая сила – уменьшаться. Скорость движения тела

уменьшается, и в итоге оно останавливается и «прилипает» к поверхности.

Таким образом, в системе периодически сменяются фазы «скольжения» и

«прилипания». Следовательно, природа движения тела колебательная, где

периодически меняются стадии покоя и движения. Такое движение

называется фрикционными автоколебаниями, т.к. они порождены трением и

являются внутренним свойством системы. Внешнее воздействие –

поступательное движение троса – не является колебательным. Оно

компенсирует потери энергии в контакте скольжения и обеспечивает

незатухающие колебания.

Таким образом, выделены фазы (состояния) покоя и движения в

процессе функционирования системы. Фаза движения в свою очередь

46

делится на движение в зоне штрибек-эффекта при малых скоростях и

движение в зоне действия закона Амонтона-Кулона.

В режиме покоя тело неподвижно, а пружина растягивается со

скоростью pV . Тогда выражение для удлинения пружины x имеет вид:

p

dxV

dt .

Система остается в покое, пока сила упругости пружины не превысит

силу статического трения sk x F , после чего тело начинает движение в

направлении силы упругости пружины. Уравнения в режиме движения

принимают вид:

( ); ;p

dx dV k x F VV V

dt dt m

где F – сила трения, является функцией скорости. Зависимость F(V)

представлена на рис. 4.19.

Движение продолжается до тех пор, пока скорость движения не станет

равна нулю 0V .

При проведении компьютерных экспериментов использовался

следующий набор параметров: 1m , 2k , 2pV , 0.6trk , 5.88sF , 0 1V .

Полученные временные диаграммы представлены на рис. 4.20, где x –

растяжение пружины, V – скорость движения тела, F – сила трения.

Рисунок 4.20. – Результаты компьютерных экспериментов

47

5. Варианты заданий

Конкретный набор задач мини-проекта выбирается из таблицы 5.1.

Таблица 5.1 – Варианты заданий

Номер

варианта

Номер задачи

Часть 1 Часть 2 Часть 3

1 1 1.a 1

2 2 1.b 2

3 3 1.c 3

4 4 1.d 4

5 5 1.e 5

6 6 1.f 6

7 7 1.g 7

8 8 1.h 8

9 9 1.i 9

10 10 1.j 10

11 11 2.a 11

12 12 2.b 12

13 1 2.c 13

14 2 2.d 14

15 3 2.e 15

16 4 2.f 1

17 5 1.a 2

18 6 1.b 3

19 7 1.c 4

20 8 1.d 5

21 9 1.e 6

22 10 1.f 7

23 11 1.g 8

24 12 1.h 9

25 1 1.i 10

26 2 1.j 11

27 3 2.a 12

28 4 2.b 13

29 5 2.c 14

30 6 2.d 15

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ МИНИ …

Documents