mmm universite de lai sherbrooke
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mmm UNIVERSITE DE
lai SHERBROOKE
Faculte de genie
Departement de genie civil
ETUDE DE L'INFLUENCE DES IMPEDANCES DE FONDATION
SUR LE COMPORTEMENT DYNAMIQUE DES LIGNES DE
TRANSPORT D'ENERGIE ELECTRIQUE
Memoire de maitrise en sciences appliquees
Specialite : genie civil
A.JENDOUBI
Sherbrooke (Quebec), Canada septembre 2007
W.. / X %uf
1*1 Library and Archives Canada
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•*•
Canada
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Resume
Le grand risque associe a certaines structures lors des seismes a cree le besoin
d'analyses dynamiques rigoureuses avec prise en compte de l'interaction sol-structure.
L'evaluation de la reponse dynamique des fondations consiste a calculer les valeurs des
amortissements et des rigidites dynamiques ou encore les fonctions d'impedance de ces
fondations. On commence par distinguer les differents types de pylones et de fondations.
Ce rapport est constitue de trois parties. La premiere contient un expose de la
problematique et une etude de l'etat des connaissances sur l'interaction sol-structure par-
ticulierement le calcul des fonctions d'impedance tout en expliquant les differentes notions
traitees dans ce travail. La deuxieme partie presente le code de calcul utilise et quelques
elements theoriques de modelisation. Elle contient une validation et quelques exemples
d'application pour evaluer les fonctions de deplacement des fondations filantes. Le de-
veloppement de ces applications permet d'etudier l'effet de la variation de la vitesse de
cisaillement avec la profondeur sur les valeurs des parties reelles et imaginaires des fonc
tions de deplacement. Finalement, le dernier chapitre est consacre a l'etude de l'influence
des impedances sur le comportement dynamique d'un pylone a treillis et par consequent
sur le comportement des lignes de transmission.
Abstract
The great risk associated with some structures subjected to earthquakes has created
the need of rigorous dynamic analysis that takes into account soil-structure interaction.
A key step of this analysis consists of estimating the dynamic response of the foundations
by calculating their impedance functions (i.e. dynamic stiffness K and dashpots C). Of
course, one must starts by distinguishing the various types of pylons and foundations.
This report consists of three different parts. Firstly, all aspects of the considered pro
blem are exposed. Also, an original bibliographical study about the state of knowledge
on the soil-structure interaction is presented; particularly calculation of the impedance
functions while explaining the various concepts treated in this work. Secondly, the used
code and some theoretical concepts of modeling are indicated. This part contains essen
tially numerical validation and some applications in order to evaluate the displacement
functions of strip footings. Three typical cases are considered. For each case, the adopted
mechanical characteristics correspond to a type of soil. The development of these applica
tions allows studying the effect of the variation of the shear velocity versus the depth on
the values of the real and imaginary parts of the displacement functions. Finally, impe
dances are applied to a tower under a transient wind loading to study their effect on the
dynamic response of the structure and consequently on the behaviour of the transmission
lines.
Dedicace
A mon pere pour ses sacrifices, pour toutes les bonnes choses qu HI m 'a apprises.
A ma mere pour son affection et son amour.
A mon epoux pour sa patience, son soutien et ses encouragements.
A mon cher fils Yassin.
A ma soeur et mon frere tres Men aimes.
Abir
Remerciements
A Tissue de ce travail, je tiens a exprimer ma vive reconnaissance a tous ceux qui out
participe de pres ou de loin a l'elaboration de ce memoire.
Je tiens a remercier mon directeur de recherches M. Frederic Legeron. Je lui temoigne
toute ma gratitude pour sa confiance, ses directives, sa disponibilite et les innombrables
discussions pour la reussite de cette recherche.
Des remerciements sinceres pour mon co-directeur M. Mourad Karray de ses conseils,
de sa gentillesse et des discussions fructueuses que nous avons eues et qui ont oriente ce
travail.
Mes remerciements sont particulierement adresses a mon epoux M. Omri Mohamed
pour m'avoir prodiguee de ses encouragements et ses conseils aussi precieux et constructifs.
Mes recherches ont ete conduites dans le cadre de la Chaire Industrielle CRSNG/HQTE
(Hydro-Quebec Trans-Energie). Je tiens a remercier le CRSNG et HQTE pour leur sup
port financier.
Table des matieres
1 INTRODUCTION 1
1.1 Expose de la problematique 1
1.1.1 Les differents types de pylones 2
1.1.2 Les differents types de fondations des pylones 4
1.2 Objectif et oraganisation du rapport 6
1.2.1 Objectif de l'etude 6
1.2.2 Organisation du rapport 6
2 INTERACTION DYNAMIQUE SOL-STRUCTURE :
TRAVAUX ANTERIEURS 7
2.1 Definition de l'interaction sol structure 7
2.2 Prise en compte de l'interaction dynamique
sol-structure 7
2.3 Etat des connaissances sur les fonctions d'impedance et de deplacement . . 8
2.3.1 Definition des fonctions d'impedance 9
2.3.2 Definition des fonctions de deplacement 12
2.3.3 Methodes devaluation des fonctions d'impedance ou de deplacement 13
2.3.4 Fondations circulates 15
2.3.5 Fondations rectangulaires 21
2.3.6 Fondations de forme quelconque 23
2.3.7 Fondations filantes 30
2.3.8 Fondations profondes 34
l
3 CALCUL DES IMPEDANCES DES FONDATIONS FILANTES 38
3.1 Parametres dynamiques du sol 39
3.1.1 Module de cisaillement 39
3.1.2 L'amortissement 41
3.2 Presentation du logiciel de calcul 41
3.2.1 Methode des differences finies 42
3.2.2 Chargement dynamique applique a la fondation 43
3.2.3 Elements aux frontieres 44
3.2.4 Transmission de l'onde 46
3.3 Validation des calculs 47
3.3.1 Modele de calcul 47
3.3.2 Verification de la transmission 48
3.3.3 Resultats de calcul 48
3.4 Fonctions d'impedance d'une fondation filante
enfouie 49
3.5 Fonctions d'impedance des fondations filantes sur un bicouche 54
3.6 Comparaison des fonctions de deplacement obtenus avec Vs constante ou
variable 57
3.6.1 Caracteristiques geometriques du modele de calcul 57
3.6.2 Calcul avec Vs constante 57
3.6.3 Calcul avec Vs variable 62
3.6.4 Comparaison des resultats obtenus pour des vitesses de cisaillement
constantes ou variables 67
3.6.5 Influence du type du sol choisi sur les fonctions de deplacement . . 72
4 INFLUENCE DE L'INTERACTION SOL-STRUCTURE SUR LE COM-
PORTEMENT DYNAMIQUE D'UN PYLONE 75
4.1 Modele de calcul du pylone 75
4.1.1 Caracteristiques geometriques 75
4.1.2 Caracteristiques mecaniques 76
n
4.1.3 Charges appliquees au pylone 77
4.2 Resultats de calcul 78
4.3 Conclusion 80
Bibliographie 82
A Travaux anterieurs 86
A.l Contribution de Kausel : figures A.l, A.2, A.3 et A.4 86
A.2 Contribution de Dominiguez : figures A.5 et A.6 86
A.3 Contribution de Gazetas : figures A.7 et A.8 86
A.3.1 Fondation de forme quelconque : abaques des tableaux 2.7 et 2.8 . . 86
A.3.2 Fondation filante a la surface du sol : Figures A.7 et A.8 86
B Comparaison des calculs avec Vs variable ou constante : vibration ver-
ticale 96
in
Table des figures
1.1 Pylone a treillis(Mae West) 2
1.2 Pylone a chainettes et Pylone en V haubane 3
1.3 Pylone tubulaire et Pylone a treillis 3
1.4 Portique 3
1.5 Fondation monobloc, fondation a redan et fondation a cheminee 4
1.6 Tirant d'ancrage et fondation a grille 4
1.7 Fondation a pieds separes 5
1.8 Pieux ou micropieux 5
1.9 Virole et pieux avec chemisage metallique 5
2.1 Modelisation des fonctions d'impedance d'une fondation soumise a une
vibration verticale 10
2.2 Les degres de liberte d'une fondation superficielle rigide 10
2.3 Modes de vibration d'une fondation : vertical, horizontal, balancement et
torsion 17
2.4 Schema de la fondation utilise par Luco 19
2.5 Fondation superficielle de forme quelcuonque 23
2.6 Fondation a la surface d'un milieu homogene semi infini 24
2.7 Fondation partiellement ou entierement enfouie dans un milieu homogene
semi infini 24
2.8 Fondation a la surface d'un sol reposant sur un substratum rocheux . . . . 24
2.9 Fondation enfouie dans un sol reposant sur un substratum rocheux . . . . 24
2.10 Determination des coefficients de rigidite-A^ 26
iv
2.11 Determination des coefficients d'amortissement-c2 27
2.12 Schema d'une fondation superficielle filante 30
2.13 Fonctions de deplacement : partie reelle 32
2.14 Fonctions de deplacement : partie imaginaire 33
2.15 Schema d'une fondation profonde 34
3.1 Evolution de la contrainte de cisaillement en fonction de la deformation . . 40
3.2 Modele de calcul (H/B=15), cas d'un chargement vertical) 47
3.3 Fonctions de deplacement : vibration verticale 50
3.4 Fonctions de deplacement : vibration horizontale 51
3.5 Fonctions de deplacement : Chargement vertical 52
3.6 Fonctions de deplacement : Chargement horizontal 53
3.7 Fondation sur bicouche : Vibration verticale 55
3.8 Fondation sur bicouche : Vibration horizontale 56
3.9 modele de calcul avec Vs variable 58
3.10 Variation du deplacement Uy 58
3.11 Cartographie du deplacement Uy 59
3.12 Vs constante : vibration verticale 60
3.13 Vs constante : vibration horizontale 61
3.14 Variation de la vitesse et du module de cisaillement 63
3.15 Vs variable : vibration verticale 65
3.16 Vs variable : vibration horizontale 66
3.17 Sol argileux : Vibration horizontale 69
3.18 Sol sableux : Vibration horizontale 70
3.19 Sol granulaire grossier : Vibration horizontale 71
3.20 Influence du type de sol sur les fonctions de deplacement Fv 73
3.21 Influence du type de sol sur les fonctions de deplacement Fvx G 74
4.1 Modele de calcul du pylone 76
4.2 Charge du vent turbulent 78
v
A.l Vibration verticale [15] 87
A.2 Vibration horizontale [15] 88
A.3 Vibration de balancement [15] 89
A.4 Vibration de torsion [15] 90
A.5 Vibration verticale - Rigidite [15] 91
A.6 Vibration verticale - amortissement [15] 92
A.7 Vibration horizontale - coefficient de rigidite 93
A.8 Vibration horizontale - coefficient d'amortissement 93
A.9 Vibration verticale - fonctions de deplacement [15] 94
A. 10 Vibration horizontale - fonctions de deplacement [15] 95
B.l Sol argileux : Vibration verticale 97
B.2 Sol sableux : Vibration verticale 98
B.3 Sol granulaire grossier : Vibration verticale 99
VI
Liste des tableaux
2.1 Tableau des fonctions de deplacement de Reissner 16
2.2 Tableau des raideurs de Sung 17
2.3 Tableau des raideurs de Hseih 18
2.4 Raideurs statiques d'une fondation sur monocouche d'apres Kausel . . . . 20
2.5 Raideurs statiques d'une fondation circulaire enfouie selon Gazetas 21
2.6 Raideurs statiques d'une fondation carree enfouie (D/B < 2) 22
2.7 Rigidites statiques et dynamiques d'une fondation a la surface du sol [28] . 25
2.8 Coefficients d'amortissement d'une fondation a la surface du sol [25] . . . . 26
2.9 Rigidites dynamiques d'une fondation partiellement ou entierement enfouie
[26] 28
2.10 Coefficients d'amortissement d'une fondation partiellement ou entierement
enfouie [25] 29
2.11 Raideurs statiques des fondations filantes sur monocouche 31
2.12 Fonctions d'impedance des pieux [13] 35
2.13 Tableau des coefficients de rigidite et d'amortissement d'un pieu avec 1/R
> 25 pour un profile de sol homogene et 1/R > 30 pour un profil de sol
parabolique [13] 36
3.1 Evaluation de Vs de certains sols granulaires [37] 40
3.2 Evaluation de Vs de certains sols coherents [37] 41
4.1 Comparaison des reactions d'appui 79
vn
Chapitre 1
INTRODUCTION
1.1 Expose de la problematique
Sous charges dynamiques, l'etat de la pratique en ingenierie tel qu'il est reflete par
les normes, consiste a evaluer les efforts transmis a la fondation (efforts inertiels en pro
venance de la structure) en negligeant toute interaction avec le sol : la superstructure est
supposee connectee rigidement au niveau de sa fondation. Les efforts ainsi calcules sont
ensuite utilises pour verifier la capacite portante de la fondation sous charge statique en
imposant des coefficients de securite (globaux ou partiels) fixes de fagon a prevenir tout
deplacement irreversible (tassement, glissement) de la fondation. Outre le fait que cette
approche neglige la souplesse du sol de fondation qui modifie, en les augmentant ou en
les diminuant, les efforts appliques [40], elle interdit de tirer parti de l'effet benefique
d'une plastification partielle du sol en imposant a la fondation de rester dans un domaine
de comportement elastique. Cette approche qui peut etre concevable pour des ouvrages
de faible importance peut se reveler inappropriee pour les ouvrages massifs et de grande
importance soumis a des charges dynamiques.
Le grand risque associe a certaines structures lors des seismes a cree le besoin d'ana-
lyses dynamiques rigoureuses avec prise en compte de l'interaction sol-structure. Dans cer
tains cas, l'interaction sol-structure joue un role important dans l'analyse et la conception
des fondations et de ces structures. Les ingenieurs ont reconnu ce role et de nombreuses
f
etudes se sont focalisees sur certains aspects du domaine.
Les fondations des pylones des lignes de transport d'energie electrique sont requises
pour resister non seulement aux charges statiques, mais aussi aux charges dynamiques
sollicitant ces structures tel que le vent. Plusieurs approches ont ete developpees pour
caracteriser les reponses des fondations vis a vis de ces charges.
L'evaluation de la reponse dynamique des fondations consiste a calculer les valeurs des
amortissements et des rigidites dynamiques ou encore les fonctions d'impedance de ces
fondations. On commence par distinguer les differents types de pylones et de fondations.
1.1.1 Les differents types de pylones
Pour acheminer l'electricite, les lignes de transport d'energie electrique sont consti
tutes de conducteurs, de pylones qui les supportent et de fondations. Les pylones sont
generalement constitues par un assemblage de membrures metalliques entretoisees qui
forment un treillis (Fig 1.1), mais on retrouve aussi de nombreux autres types de pylones
(Fig 1.2 a 1.4) [6].
FlG. 1.1 - Pylone a treillis(Mae West)
2
77777*
FIG. 1.2 - Pylone a chainettes et Pylone en V haubane
•f™
1 —-
'*/*/?*
-a
— A
"7/y ss, ' 7 T 7 7 7 7 7 T 7 7 T 7 7 :
FIG. 1.3 - Pylone tubulaire et Pylone a treillis
' / / / , / , ^ / w / ^ ; / / / / / ; ^ / / ' /
FIG. 1.4 - Portique
1.1.2 Les differents types de fondations des pylones
Les fondations servent de bases aux pylones ou aux poteaux. Elles sont destinees
a assurer la stabilite de la superstructure en l'ancrant dans le sol. Les fondations des
pylones sont uniques (monopodes) ou a raison d'un par pied (tetrapodes). Les figures 1.5
a 1.9 presentent les principaux types de fondations existant dans les lignes de transport
[32] et [44].
m 7V7V7T ^ T ~7$l AN / \ s/\
FIG. 1.5 - Fondation monobloc, fondation a redan et fondation a cheminee
FlG. 1.6 - Tirant d'ancrage et fondation a grille
4
FlG. 1.7 - Fondation a pieds separes
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Iff / / /
/:-VVV
FIG. 1.8 - Pieux ou micropieux
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I I I I i i I! 11 n
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FlG. 1.9 - Virole et pieux avec chemisage metallique
5
1.2 Objectif et oraganisation du rapport
1.2.1 Objectif de l 'etude
L'objectif principal de cette maitrise est d'evaluer les fonctions d'impedance des
fondations filantes afin de les utiliser lors d'une analyse du comportement dynamique
d'un pylone qui tient compte de l'interaction sol-structure.
Les objectifs specifiques consistent a :
- Valider les calculs des impedances des fondations en confrontant les resultats
obtenus a certains resultats existants dans la litterature.
- S'aligner a la realite dans 1'idealisation des profils des sols en considerant des
modules de cisaillement variables avec la profondeur.
- Implanter les impedances calculees a l'aide du logiciel "FLAC" aux pieds d'un
pylone a treillis modelise en utilisant le logiciel "ADINA".
1.2.2 Organisation du rappor t
Ce rapport est constitue de trois parties. La premiere contient un expose de la
problematique et une etude de l'etat des connaissances sur l'interaction sol-structure
particulierement le calcul des fonctions d'impedance tout en expliquant les differentes
notions traitees dans ce travail. La deuxieme partie presente le code de calcul FLAC et
quelques elements theoriques de modelisation. Elle contient une validation et quelques
exemples d'application pour evaluer les fonctions de deplacement des fondations filantes.
Finalement, le dernier chapitre est consacre a l'etude de l'influence des impedances sur le
comportement dynamique d'un pylone a treillis et par consequent sur le comportement
des lignes de transmission.
6
Chapitre 2
INTERACTION DYNAMIQUE
SOL-STRUCTURE :
TRAVAUX ANTERIEURS
2.1 Definition de l'interaction sol structure
Une superstructure soumise a des chargements statiques ou dynamiques transmet
les efforts encaisses a son support. De meme, le mouvement de la structure est affecte
par celui du support c'est a dire la fondation et par la suite le sol. L'interaction sol-
structure couvre deux phenomenes qui se produisent simultanement [45] : a)l'action et la
reaction entre le sol et la structure causant la deformation du sol et des mouvements de
la structure. II s'agit de l'interaction inertielle. b)compatibilite des deplacements entre la
fondation, le sol et la structure.
2.2 Prise en compte de l'interaction dynamique
sol-structure
Pour evaluer la reponse dynamique d'une fondation en tenant compte de l'interac
tion dynamique sol-structure, les etapes de calcul sont les suivantes :
7
- Estimer la valeur et les caracteristiques de la charge dynamique appliquee;
- Determiner les caracteristiques geotechniques et le profil du sol. A savoir, le mo
dule de cisaillement G et le taux d'amortissement relatifs aux differentes couches
du sol;
- Predimensionner la fondation;
- Evaluer la reponse dynamique de la fondation predimensionnee. Cette etape de
conception commence souvent par simplifier le profil du sol servant de base a la
fondation, ensuite, il faut choisir la methode de calcul de l'interaction dynamique
entre le sol et la structure. A ce propos, plusieurs formulations et programmes de
calcul ont ete developpes;
- II reste a verifier si l'amplitude estimee dans les etapes precedentes est conforme
au critere de performance etablie. S'il ne Test pas, il faut repeter la procedure
jusqu'a satisfaction.
2.3 Etat des connaissances sur les fonctions d'impe-
dance et de deplacement
En 1903, Lamb [38] a etudie les vibrations d'un massif elastique lineaire semi infini
soumis a un chargement harmonique concentre. En 1936, Reissner [5] a analyse la reponse
d'un disque place a la surface d'un massif elastique isotrope et semi infini. Cette analyse
a revele l'existence d'une dissipation de l'energie par radiation comme si le milieu de pro
pagation presentait un certain amortissement. En se basant sur ces resultats, Sung et al.
[48] ont etendu les travaux de Reissner aux mouvements des six degres de liberte de la
fondation.
L'idee d'assimiler le comportement du systeme sol fondation, en translation verticale, a
un oscillateur simple de raideur et d'amortissement constants a ete introduite par Lysmer
[33]. Cette approche est connue sous le nom de "l'analogie de Lysmer". Le debut des
annees 70 a connu un perfectionnement des methodes de prise en compte de l'interaction
sol-structure en presentant les resultats sous la forme de deux termes, l'un reel et l'autre
8
imaginaire dependants de la frequence. II s'agit des fonctions d'impedance ou des fonc-
tions de emplacement.
Une etude bibliographique approfondie a permis de denombrer plusieurs references rela
tives a l'estimation des fonctions d'impedance ou de deplacement qui ont fait l'objet de
plusieurs recherches analytiques, experimentales et numeriques. On commence par definir
les fonctions d'impedance et de deplacement, on presentera par la suite les differentes
methodes devaluation de ces fonctions.
2.3.1 Definition des fonctions d ' impedance
Une fondation soumise a une charge complexe P = P0eluJt est similaire a un oscilla-
teur a un degre de liberte dont le deplacement complexe est u(t) = UQe^t+tp\ Ainsi, on
a :
u(t) = ~ (2.1)
K est l'impedance dynamique qui modelise l'interaction de la structure avec le sol
sur lequel elle repose. Par definition, l'impedance est le quotient de la force appliquee
a la fondation par le deplacement resultant [1] et est une fonction de la pulsation de
vibration : K = f(iw). L'impedance peut etre representee par un ensemble de ressorts et
d'amortisseurs tel qu'indique sur la figure 2.1.
Une fondation rigide possede six degres de liberte (Figure 2.2), done la matrice d'im
pedance est de dimension (6x6). Si la fondation est de forme quelconque, les differents
degres de liberte sont couples et la matrice d'impedance est pleine. Si la fondation possede
des symetries, certains termes de couplage qui sont hors diagonale disparaissent.
9
v//////y////x/sA
5 ^ ^ ^ 5 < ? 5 ^ ^ ^ ^ ^ 5 < ^ ^ < 5 ^ ^
FlG. 2.1 - Modelisation des fonctions d'impedance d'une fondation soumise a une tion verticale
V \ .«"
'mn%fo
FIG. 2.2 - Les degres de liberte d'une fondation superficielle rigide
L'impedance dynamique K s'ecrit sous la forme [1] :
K = K(ui) + itoC(co)
On peut aussi l'ecrire sous la forme [1] :
K = Ks[k(co) + iaoc(u>)]
Avec :
LO : pulsation
Ks : rigidite statique
10
K{u) = Ksk(uj) : rigidite dynamique
C(<J) = s y ' : amortissement
Vs : vitesse de propagation de l'onde de cisaillement
a0 = *f- avec Vs = , / f
G : module de cisaillement transversal
k(u>) : coefficient de rigidite
C(LO) : coefficient d'amortissement
Les coefficients ao, k et c sont sans dimensions et dependent de la pulsation u.
On constate done que l'impedance est le produit d'un terme correspondant a la
rigidite statique(rigidite a frequence nul le )^ et d'un terme correspondant a la partie
dynamique. Ce dernier terme comporte une partie imaginaire qui provient du dephasage
du deplacement par rapport a la force appliquee. Ce dephasage est lie a la dissipation
d'energie du systeme.
La figure 2.1 presente un exemple de modelisation des fonctions d'impedance d'une fonda-
tion. Le coefficient C reflete a la fois les amortissements radiatif et materiel qui dependent
principalement du taux d'amortissement.
L'amortissement radiatif est du a la dissipation de l'energie par les ondes s'eloignant de
la fondation et 1'amortissement propre ou materiel depend des caracteristiques du sol en
question. Souvent, pour un milieu homogene et des sollicitations de faibles a moyennes
amplitudes, 1'amortissement materiel est neglige par rapport a l'amortissement radiatif
Interpretation physique des fonctions d'impedance
Une interpretation physique des fonctions d'impedance permet de definir la reaction
complexe par [1] :
R = [Ks[k(co) + iaoc(u)]]u = Ku (2.4)
11
Etant donne qu'il s'agit d'une sollicitation harmonique :
u = icon (2-5)
On obtient alors l'equation suivante :
R = Ks[k^)\u+[KaB^U))]u (2.6)
2.3.2 Definition des fonctions de deplacement
La fonction adimensionnelle de deplacement ou de souplesse est l'inverse de la fonc-
tion d'impedance. Elle est definie par [15] :
F~W) ( }
C'est une fonction de la frequence qui peut s'ecrire aussi sous la forme generale :
F = f1(cj) + if2(u) (2.8)
Les fonctions de deplacement sont complexes et sont decomposees en deux parties :
reelle et imaginaire. La partie reelle rend compte de la raideur et de l'inertie du sol
tandis que la partie imaginaire rend compte de la dissipation de l'energie du systeme (par
radiation et par amortissement materiel).
La partie reelle represente la partie reversible de la deformation, tandis que la partie
imaginaire correspond a l'energie dissipee par la propagation de l'onde dans le sol et par
le caractere hysteristique du sol. Les fonctions de deplacement sont liees aux fonctions
d'impedance par les relations suivantes [15] :
h = WT¥ (2-9)
/vi n ^ M'O
h = WTe (2'10)
12
fa = 7fT7f (2-12)
Oil d'apres l'equation (2.2), k\ = K{ui) et k^ = wC(w).
.3 Methodes d'evaluation des fonctions d ' impedance ou de de-
placement
Les techniques d'evaluation des fonctions d'impedance valables actuellement [18] et
englobent :
- les methodes analytiques basees sur les transformations par integration :
Plusieurs solutions analytiques ont ete rapportees dans la litterature. Les solu
tions obtenues different selon les conditions aux limites qui ont ete adoptees pour
la resolution des equations differentielles. Dans une premiere approche (Reissner
[5], Sung [48], Deleuze [24]), la repartition des contraintes est supposee connue a
la surface du demi espace. Les equations elastodynamiques permettent d'en de-
duire la repartition des deplacements qui ne sont cependant pas compatibles avec
Phypothese d'une fondation rigide. Ce sont alors les valeurs moyennes des depla
cements qui sont prises en compte. La deuxieme approche utilisee par Veletsos
et al. [49] et Luco [34], considere que les conditions aux limites utilisees pour la
resolution des equations elastodynamiques sont mixtes. Elle suppose done connue
la repartition des deplacements sur la zone de contact et preserve ainsi l'hypo-
these d'une fondation rigide pour les mouvements principaux de la fondation. Les
methodes analytiques ne sont pas valables pour les fondations partiellement ou
entierement enterrees;
- les methodes semi analytiques : fondees sur la formulation des elements de fion-
tiere. Ces methodes necessitent la discretisation de l'interface sol-structures;
- la methode des elements finis dynamiques : la prise en compte de non linearite,
13
geometrique ou materielle, au niveau de la fondation interdit de proceder a reva
luation des efforts en decouplant les phenomenes devaluation des efforts de la
verification de la capacite portante. Le probleme global doit etre traite en une
seule etape et le modele doit inclure le sol, la fondation, l'interface avec le sol et
la superstructure. Si les methodes par elements finis permettent theoriquement
d'apprehender ces phenomenes, elles restent totalement inadaptees au dimension-
nement des ouvrages du fait de leur lourdeur de mise en oeuvre et des difficultes
pour modeliser correctement la propagation des ondes dans un milieu infini. Ces
methodes restent limitees a des verifications d'une structure deja dimensionnee et
font appel a des competences et des moyens dont peu d'ingenieurs disposent. On
ajoutera de plus que les modeles de comportement requierent un nombre impor
tant de parametres bien souvent inconnus au stade preliminaire de conception ou
difficiles a mesurer. Velestos et Wei [23] ont introduit des solutions numeriques.
On note aussi les contributions de Lysmer [39], Luco [35] et Gazetas [28];
- la methode hybride : consiste a coupler les methodes analytiques et les methodes
des elements finis.
- la methode des elements finis avec elements de frontieres : il s'agit de coupler
les elements finis dans la structure et les elements de frontiere dans le sol. D'une
part, la modelisation de la structure du pylone ainsi que les chargements qui lui
sont appliques, sont realises avec le code d'elements finis, et d'autre part, il faut
proceder a 1'analyse des contraintes dynamiques obtenues a partir des caracte-
ristiques des elements de la structure modelisee a l'aide d'un code d'elements de
frontiere. II est done necessaire de constituer une interface entre les deux codes
pour enchainer les deux operations precedentes.
Methodes simplifiees de calcul des fonctions d'impedance [2]
Afin de contourner les difficultes de prise en compte de la variation de la frequence,
une simplification a etc proposee pour l'estimation des fonctions d'impedance indepen-
dantes de la frequence. Les resultats de cette approche correspondent un peu aux resultats
de calcul des impedances en fonction des frequences dans le cas d'une fondation circulaire
14
reposant sur un milieu semi infini isotrope elastique et lineaire.
Le choix d'une methode ou d'une autre depend de la nature et de l'importance du projet
et de la validite des codes de calcul. Cependant, plusieurs parametres doivent etre pris en
compte quelque soit la methode devaluation choisie :
- La geometrie de la fondation;
- La profondeur de la fondation (a la surface, partiellement ou entierement enterree
et profonde);
- La nature et le profll du sol.
2.3.4 Fondations circulaires
1. Contribution de Reissner [5] :
En 1936, Reissner a etudie la vibration d'une fondation circulaire reposant sur un
demi espace elastique homogene et isotrope. La fondation est soumise a un char-
gement vertical harmonique. Les fonctions d'impedance au centre de la fondation
sont definies par :
K^GroReKh + ih)-1] (2.13)
Cz = GrQIm[{h + if2)~1}/a0 (2.14)
Re : partie reelle,
Im : partie imaginaire,
TQ : le rayon de la fondation,
G : le module de cisaillement du sol,
a0 : la frequence adimensionnelle.
15
V
0
1/4
1/2
Fonctions f\ et ji
h = -0.319(1 - 0.291ag + 0.023a£ + ...) /2 = -0.282Ji(1.145ao + 0.0516a0(l - 0.056ag + ...)
h = -0.239(1 - 0.25a^ + 0.0175a£ + ...) f2 = -0.18357i(1.09ao + 0.048a0(l - 0.063a§ + ...)
/ i = -0.159(1 - 0.25a2 + 0.0153^ + ...) f2 = -0.109Ji(1.047o0 + 0.068a0(l - 0.065ag + ...)
TAB. 2.1 - Tableau des fonctions de deplacement de Reissner
A et J2 • les fonctions de deplacement de Reissner. Elles sont presentees dans le
tableau 2.1 sous forme de developpements limites en a0. On note que J\ est la
fonction de Bessel d'ordre 1 definie par :
^W = E(- ir^Tl)!(I)2r+1 (2-15)
2. Contribution de Sung [48] :
En 1953, Sung a repris les resultats etablis par Reissner. II a resolu le probleme de
determination des fonctions d'impedance dans les trois cas suivants :
- La distribution du deplacement est uniforme;
- La distribution des contraintes est uniforme;
- La distribution des contraintes est parabolique sur l'interface sol-fondation
Les resultats obtenus par Sung [48] sont presentes dans le tableau 2.2 sous la forme :
Kz = Gr0[kv(aQ) + ia0cv(a0)] (2.16)
16
Hypothese
Fondation rigide
Repartition uniforme des contraintes
Repartition parabolique des contraintes
V
0 1/4 1/2
0 1/4 1/2
0 1/4 1/2
Kv
4.00 - 1.19ag 5.33 - 1.35a§ 8.00 - 2.60ag
3.14-0.51a§ 4.19 - 0.58a2
0
6.28 - 1.14og
2.36-0.19ag 3.14-0.21ag 4.71 - 0.44a^
cv
3.43-0.15ag 4.23 - 0.16a§ 6.69 - 0.60ag
2.12 - 0.02a§ 2.61 - 0.02a2
0
4.13-0.15ag
1.19 + 0.003a§ 1.47 + 0.0004a§ 2.32 + 0.030ag
TAB. 2.2 - Tableau des raideurs de Sung
3. Contribution de Hseih [47] :
Hseih a continue l'etude de Sung en l'etendant aux cas de translation horizontale,
de balancement et de torsion. Les resultats de Hseih sont presentes dans le tableau
2.3. L'indice i correspond aux trois mouvements de translation horizontale, de roulis
et de torsion.
1 1
firjmh
Cv
/A
<~u~ -h
/mmfrwmtfi 'J//J)/J/J/S
FIG. 2.3 - Modes de vibration d'une fondation : vertical, horizontal, balancement et torsion
17
Mode
translation hori-zontale
balancement
tprsion
V
0 1/4 1/2
0 a 1/2
0
fcj
4.51 - 0.15ag 4.80 - 0.20a2
0
5.30 - O.lOa^
2.50 - QA0a20
5.10-0.30ag
Ci
2.60 - 0.07a20
2.50 - 0.30ag 3.00 - 0.25a2
0
0.40a0
0.30a0
a0
0 < a0 < 2.0
0 < a0 < 2.0
0 < a0 < 1.5
TAB. 2.3 - Tableau des raideurs de Hseih
4. Contribution de Deleuze [24] :
En 1967, Deleuze est le premier a considerer le couplage des modes de vibration.
II presente ses resultats sous forme de fonctions de deplacement tracees sur des
courbes [15].
5. Contribution de Veletsos et Wei [22] :
Selon Veletsos et Wei, les fonctions d'impedance s'ecrivent sous la forme :
8Gr n . , Kh = 77Z^\kh + moCh) (2.17)
8Grs
3(1 - v) (2.18)
8Gr2n hr = 2 _ ^ hr + m°Chr (2.19)
Leurs resultats figurent dans l'ouvrage de Sieffert et Cevaer sous forme d'abaques
[15].
18
6. Contribution de Luco [34] et [35] :
2B 7 * y
\ \ 2
V
FIG. 2.4 - Schema de la fondation utilise par Luco
Les etudes de Luco fournissent les fonctions d'impedance d'une fondation circulaire
sur un sol elastique stratifie. Le sol est une couche reposant sur un demi espace
elastique. Luco donne les fonctions d'impedance relatives aux vibrations horizon-
tale, verticale et de balancement sous la forme etablie par Veletsos et Wei. Ces
fonctions sont definies pour certains cas en fonctions des parametres adimension-
nels Vsi/Vs2, P1/P2, v\,i>2, H/TQ. Les indices 1 et 2 correspondent respectivement
a la couche du sol et au milieu semi infini comme indique sur la figure 2.4.
7. Contribution de Kausel [4] :
En 1974, Kausel a discretise le sol par des elements finis. II s'agit d'une monocouche
d'epaisseur finie, Hs, reposant sur un substratum rigide. Les fonctions d'impedance
pour un mode de vibration j sont definies par l'expression 2.20 :
Kj = KSj[Kj{aS + iaoCjKOKl + 2«) (2.20)
les raideurs statiques K$j relatives a chaque mode de vibration sont definies au
tableau 2.4. Le facteur d'amortissement utilise dans les calculs est egal a 0.05.
19
Mode
vertical
horizontal
balancement
torsion
Raideurs statiques KSj
f^(l + 1.28£)
2 ^ ( 1 + 2H~a)
3(1-1/)^ ^ mj
16Gr3
3
Domaine de validite
HA>2
r
r
1 < Ms. < 4 r
£* > 1.25 r —
TAB. 2.4 - Raideurs statiques d'une fondation sur monocouche d'apres Kausel
Kausel a ensuite etudie l'influence du facteur d'amortissement sur les coefficients
dynamique Kj et Cj pour une monocouche d'epaisseur Hs = 2r. II presente ses resul-
tats sous forme d'un tableau de rigidites statiques et d'abaques de Kj(aa, £ ,Hs/r)
et Cj(a0, £, Hs/r) pour chaque mode de vibration de la fondation. Ces abaques sont
presentes en annexes A.l a A.4. En 1969, Kausel a etudie l'influence de la profon-
deur d'encastrement de la fondation circulaire sur les fonctions d'impedance.
8. Contribution de Gazetas [15] :
Gazetas presente pour chaque mode de vibration, la raideur statique d'une fondation
circulaire reposant sur un milieu fmi sous forme de formule empirique. Ces raideurs
dependent de la hauteur Hs du sol et sont fonctions de la hauteur d'enfouissement
D comme cela est indique dans le tableau 2.5 :
20
Mode
Vertical
Horizontal
Balancement
Horizontal Balancement
Torsion
Raideurs statiques
g [ l + i .28£][l + £][1 + (0.85 - 0 . 2 8 ^ ) , ^ ]
B[ l + ^][ l + f][l + ^ l
sfS)[l + ak][l + f][l + ^ ]
0AQKshD
16f3[l + 2.67D]
TAB. 2.5 - Raideurs statiques d'une fondation circulaire enfouie selon Gazetas
2.3.5 Fondations rectangulaires
Foundations rectangulaires a la surface du sol
La fondation est supposee rigide et sans masse de longueur 2L et de largeur 2B. Les
resultats existants dans la litterature traitent des fondations superficielles ou enterrees
reposant sur un milieu semi infini, elastique, homogene et isotrope. Deux approches sont
possibles :
- considerer une fondation circulaire equivalente
- effectuer un calcul direct
L'impedance des fondations rectangulaires est exprimee pour chaque mode de vi
bration sous la forme suivante :
K, = KSj[Kj + iaoCj] (2.21)
j designe le mode de vibration.
Ces fonctions d'impedance ont ete developpees par Dominiguez et Rosset [20] par la
methode des elements aux frontieres pour les parametres v = 1/3, £ = 0 et L/B variable.
L'utilisation de l'expression precedente necessite la connaissance des raideurs statiques.
Les resultats de Dominiguez sont presentes sous forme d'abaques dont une partie figure
en annexes A.5 et A.6.
21
Fondations rectangulaires enfouies
Mode
Vertical
Horizontal
Balancement
Torsion
Raideurs statiques
19GB r-i , 2D] 4( l -v) L1 "1" 5Bl
47GB r-i , 9D ] 5(2-v) L "*" lOfiJ
35GB3 fi | 5Dl 8(l-i/) l 1 ~r 2SJ
26GB3 H | 51Di 3 I 1 i" 20SJ
TAB. 2.6 - Raideurs statiques d'une fondation carree enfouie (D/B < 2)
Le cas des fondations rectangulaires enfouies a ete etudie par Dominiguez et Rosset
[20] par la methode des elements frontieres. La fondation repose sur un sol semi infini
elastique homogene et isotrope. L'adherence entre le sol et la fondation est parfaite. On
donne dans le tableau 2.6 [20], les raideurs statiques fournies par Dominiguez et Rosset
[20] pour une fondation de forme carree. Elles sont fonction du rapport d'enfouissement
D/B (D est la profondeur).
Pour le mode de couplage translation horizontale-balancement, l'impedance est de-
finie par :
Khr = BKSh[Khr + ia0Chr] (2.22)
Les abaques des coefficients de rigidite et d'amortissement dynamiques des fonda
tions carrees ou rectangulaires sont fournies dans le manuel des fonctions d'impedance
[15]. On note que pour tous les modes de vibration, les coefficients de raideur Kj de-
croient avec la frequence. Cette decroissance augmente avec le rapport d'enfouissement.
Les termes d'amortissement Cj, en mode de translation, varient legerement avec la fre
quence pour chaque rapport d'enfouissement. lis augmentent quand D/B augmente.
22
2.3.6 Fondations de forme quelconque
# y
! » „ . _ - — — _ — , . _ ...,««|
f i
FlG. 2.5 - Fondation superficielle de forme quelcuonque
Gazetas [27] fournit un ensemble recapitulatif de tableaux fonctions de certains pa-
rametres adimensionnels et d'abaques valables pour une fondation de forme quelconque
a la surface ou enfouie reposant sur un milieu semi infini (figure 2.6 et 2.7) homogene ou
sur un massif de sol qui s'appuie sur un substratum rocheux (figure 2.8 et 2.9). II four
nit aussi des formules algebriques et des courbes adimensionnelles correspondants a une
fondation superficielle non enfouie reposant sur un demi espace heterogene. Ces resultats
se basent sur des modeles physiques simples calibres par les resultats de la formulation
des elements aux frontieres. lis utilisent tous les travaux anterieurs relatifs au calcul des
fonctions d'impedance.
Les tableaux 2.7 a 2.10 illustrent les rigidites statiques et dynamiques, ainsi que les amor-
tissement correspondants aux cas des fondations superficielles a la surface ou enfouies
dans le sol etudie par Gazetas. Les courbes de variation des coefficients de rigidite et
d'amortissement relatifs a une vibration horizontale sont presentes en annexe.
23
1 Y//SS/////WA
H o r n O f j . n e o u s H a l :
• • • • . Q , V , p \ •
FlG. 2.6 - Fondation a la surface d'un milieu homogene semi infini
$2* ^
V///////////M .-,
' H omoge . n e o u s Ha I f sp f l « « .. G , V , p ; / • . . : .
FIG. 2.7 - Fondation partiellement ou entierement enfouie dans un milieu homogene semi infini
H o m o g e n e o u s S t i
' ; - • - • . c ,, v , p _.,•_•.
wj^&7.w^^yAWJJi^^g77^?g w,,w^v7'^^/^«'y|yw^A^/wy--
FIG. 2.8 - Fondation a la surface d'un sol reposant sur un substratum rocheux
"•"~T- •'.
: " *;
;:J> '••'•i'S
' : r a RJ?'T-•' ' ' ' ' : ' " . ' • ." n „ W * • " • ' • • • ; : •• • •
••'. •vtf&M/M/aA -. •= r '•.•
' K i n o g m i t v s ' S i t p t u rn ;
;';•;•.:!;•-, G , v , p/. : i/.V;- '.-."•.- •_ T .-
FlG. 2.9 - Fondation enfouie dans un sol reposant sur un substratum rocheux
24
Fondation a la surface du sol
Type de vibration
Vertical, z
Horizontal.y
Horizontal.x
Rotation , rx
Rotation, ry
torsion
Rigidite dynamique k = k x k{w)
Rigidite statique
Forme quelconque
Kz = i^ (0 .73 + 1.54x0'75)
avec x = •£&
Ky = f±(2 + 2.5X0-85)
K* = Ky-^-vGL{l-l)
^ = I^4°c75(§)°-25(2.4 +
0.5f)
IS _ G 7-0.75 \olh \0.151
fct = GJ6°-75[4 + l l ( l - f ) 1 0 ]
avec Jfe = Ibx + Iby
Forme circulaire
js 4.54GB JXz ~~ l-u
JS _ 9 G B
Kx = Ky
1. _ 3 .6GB 3
" T I J _ j ,
£• — h
h = 0.83GB3
Coefficient de rigidite dynamique k
0 < o0 < 2
Kz = kz(~,v,a0)
Ky = ^y(s'ao)
Kx~l
krx ~ 1 — 0.20ao
?y < 0.45 : kry ~ 1 — 0.30a0
1/ ~ 0.5 : &„, ~ 1 — 0.25a0(|)0-3
/ct ~ 1 - 0.14a0
TAB. 2.7 - Rigidites statiques et dynamiques d'une fondation a la surface du sol [28]
Aw est le perimetre de la base de la fondation et Ab sa surface. Ibx et Iby sont les moments
d'inertie autour de x et y.
25
F I G . 2.10 - Determination des coefficients de rigidite-A^
Type de vibration
Vertical, z
Horizontal.y
Horizontal.x
Rotation , rx
Rotation, ry
torsion
Coefficient d'amortissement radiatif
Cz = {pVLaAb).cz avec cz = cz(L/B; u, aQ)
Cy = (pVsAb).cy avec cy = cy(L/B; a0)
cx ~ pVsAb
crx — (pVLaIbx)Crx avec crx = crx(L/B; a0)
cry ~ (pVLaIby)Cry avec cry = cry(L/B; o0)
Ct = (pVsJb)ct avec ct(L/B; a0)
TAB. 2.8 - Coefficients d'amortissement d'une fondation a la surface du sol [25]
26
F I G . 2.11 - Determination des coefficients d'amortissement-cz
V, La SAVa
7T(1 - V) (2.23)
Vs est la vitesse de cisaillement du sol.
27
Fondation partiellement ou entierrement enfouie
Mode de vibration
Vibration verti-cale z
Vibration hori-zontale y ou x
Rotation, rx
Rotation, ry
Couplage translation-rotation (x,ry)(y,rx) Torsion
Rigidite dynamique "'emb "'emb-Kemb\W)
rigidite statique keTOf,
[1 + 0.2(^)2/3]
K-y,emb ~ ™z,sur\*- T U.lb-W -g X [1 +
0.52( |^)0-4]
^rx,emb "rx,sur X ( 1 + l .ZD-g[ l +
d(d\~0.2 /Bl\ B\B> Y Li'
fcry,emb ™ry,sur\*- ~T~ ^•^^,\~[J) [L5 + ( i )1 .9 x (|)1.9 x(-^)-°-6])
^xry^emb — ^^J^Jx,emb
K"yrx,emb — ^^^y^emb
kt,emb = kt,sur X [1 + 1 .4(1 + f ) X
Coefficient de rigidite dynamique kemb(w) pour 0 < a0 < 2
Tot. enterree : Kembz,sur = [1 ~ 0 . 0 9 ( f ) 3 / 4 a § ]
Dans un tranchee
Part, enterree : estimee par interpolation entre les deux
Tot. enterree, L = 1 — 2 kz emb — 1 - 0.09(f )3/4a2
Tot. enterree, L > 3 kzemb ~ 1 — 0.35(§)V2al-5
ky,emb et kXiemb sont fonction de | | > ^ et j | pour chaque valeur de a0
^rx,emb ^rx,sur
^ry,emb K>ryysur
^xry,emb — ^yrx,emb — •*•
^t,emb — ^t,sur
TAB. 2.9 - Rigidites dynamiques d'une fondation partiellement ou entierement enfouie [26]
28
Mode de vibration
Vibration verti-cale z Vibration hori-zontale y ou x
Rotation, rx
Rotation, ry
Couplage translation-rotation (x,ry) {y,rx) Torsion
Coefficient d'amortissement radiatif Cemb{w)
Fondation de forme quelconque ^z.erofe = ^z,sur T~ P's-'Mo
P VLa,Awce
Aus = / A-Aui SHU/j)
AWce = / j\Awj COS ifi)
^rx,emb = = ^rx,sur
pVs(Jws + E J ^ c e i A f ] ) X £
cl = 0.25 + 0.65v^(|)~ao /2 x
^yrx^emb r~-' ^^^y^emb
pVLaJwceC2 + pVsY!Awi&li]c2
Fondation rectangulaire 2Lx2B Cz,emb = ApVLsBLcz + 4p1/s(5 + L)d Cz,emb = ±pVLsBLcy + 4pVsBd + 4pVLsLd
^-'rx,emb == ^P^La-D LjC-rx '
\pVLaSLcy + lPVsBd(B2 + d2)cx + ApVsB^Lc!
a
Ct,emb = lpVsBL(B2 + L2)ct + lpVLad(B3 + L*)c2PVsdBL{B + L)c2
TAB. 2.10 - Coefficients d'amortissement d'une fondation partiellement ou entierement enfouie [25]
29
2.3.7 Fondations filantes
FIG. 2.12 - Schema d'une fondation superficielle filante
Une fondation filante est une fondation dont le rapport longueur par largeur est superieur
a 10 [15]. Ce rapport est estime de fagon que le probleme des effets de bords soit pris
en compte. Les fonctions d'impedance d'une fondation filantes sont calculees par unite
de longueur. Elles sont definies sous la forme generale de l'equation (2.2) ou (2.3). On
note que pour les fondations filantes, trois modes de vibrations sont possibles. Le mode
de torsion n'a pas de sens dans ce cas.
Fondations filantes a la surface du sol
1. Fondation reposant sur un milieu semi infini :
Gazetas [15] a traite le cas des fondations filantes sur un milieu semi infini elas-
tique, homogene et isotrope (voir annexes A.9 et A. 10). Les fonctions d'impedance
ont ete developpees par une methode analytique d'equations integrates resolues nu-
meriquement. Les raideurs statiques des mouvements de translation d'une fondation
de longueur infinie reposant sur un milieu semi infini sont nulles. Quant au mode
de balancement, la raideur statique est donnee par l'equation 2.24.
K ^ l + [ ln(3 — Av) 2
7T (2.24)
2(1 - u)
Gazetas [15] a etudie la variation des fonctions d'impedance avec les coefficients
de Poisson. De point de vue frequence, les parties reelles des fonctions d'impe-
30
dance croissent et atteignent un pic quand ao augmente. Les parties imaginaires
augmentent lineairement avec ao-
2. Fondation sur monocouche reposant sur un substratum rocheux :
Gazetas a aussi etudie le cas des fondations filantes reposant sur un monocouche
d'epaisseur Hs. II propose avec Roesset [15] les expressions consignees dans le tableau
2.11 pour les raideurs statiques. Le comportement dynamique des fondations filantes
est decrit par des abaques dans le manuel des fonctions d'impedance. Ces fonctions
sont presentees sous forme de fonctions de deplacement adimensionnelles F.
Le tableau 2.11 des rigidites statiques n'est pas necessaire pour l'utilisation de
courbes de fonctions de deplacement.
mode
vertical
horizontal
balancement
raideur statique
OT + 3.5£]
l^[l + 2fi
2 ( 1 - J / ) L 1 ^ 5ffsJ
domaine de validite
1 < ^ < 10
1 < ^ < 8
1 < ^ < 3
TAB. 2.11 - Raideurs statiques des fondations filantes sur monocouche
31
Par rapport aux fondations filantes reposant sur un milieu semi infini, les fonctions
de deplacement presentent des pics qui se traduisent par des creux dans les fonc
tions d'impedance. lis correspondent a des frequences de resonance de la couche.
Le demi espace homogene et la monocouche reposant sur un substratum rigide sont
deux idealisations de profils de sol. Gazetas et al. [15] ont etudie le comportement
des fondations filantes en utilisant un modele de sol plus general : une couche de sol
de module de cisaillement Gl sur un demi espace de module de cisaillement G-2- II
etait necessaire d'introduire le parametre G1/G2 dans les etudes parametriques des
fonctions de deplacement.
En utilisant la methode des elements frontieres, Huh [15] a etudie le cas d'une fonda-
tion filante sur un monocouche reposant sur un substratum rigide. Les fonctions de
deplacement obtenues par Huh dans le cas d'une vibration verticale sont presentes
sur les figures 2.13 et 2.14.
-0.5 H—• 1 1 \ 1 0.0 0.4 0J3 1.2 1.6
FIG. 2.13 - Fonctions de deplacement : partie reelle
32
IG'l
-osi i— f 1 i 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6
-to* wB/Vs
FIG. 2.14 - Fonctions de deplacement : partie imaginaire
Fondations filantes enfouies
Ce cas a ete etudie par Huh. Le sol de fondation repose sur un substratum rocheux. Les
resultats sont presentes sous forme de fonctions de deplacement. On signale que Huh [15]
a calcule ces fonctions non pas au centre geometrique de la surface de contact inferieur
du sol fondation mais au centre de gravite de la cavite.
33
2.3.8 Fondations profondes
Jnhomesentows
u o r • " ' • " I
homogeneous '.-,
• ' . - V ;•:•.'•: : v - ' U
FIG. 2.15 - Schema d'une fondation profonde
Pour une fondation profonde, la determination de la rigidite dynamique et des amor-
tissements est plus compliquee vue la prise en compte de l'interaction entre les pieux
(l'effet de groupe [41]).
Pour un seul pieux, les fonctions d'impedance peuvent etre determinees grace aux ap-
proches de Gaztas et Dobry [29] (tableau 2.12), El Naggar et Yasser [12], Nogami et
Novak [42] (tableau 2.13) ou aux calculs par elements finis faits par Wolf [9] et [36], No
vak [13] et El Naggar [8] et [7]. Les fonctions d'impedance sont calculees d'abord pour un
seul pieux, puis, l'effet de groupe est comptabilise moyennant les facteurs d'interaction.
Pour des charges statiques, l'effet de groupe peut etre determine grace aux tableaux eta-
blies par Poulos. Tandis que, pour des charges dynamiques, les approches de Dobry et
Gazetas [10] et gazetas et makris [16] sont applicables.
34
Type de vibration
Vertical
Horizontal
Rotation
Couplage horz-rot
Torsion
Rigidite dynamique
Kv = ^(fvl)
•K-u = ~ftT\J ul)
K^ = ir(/v>i)
Kc = ^{fcl)
KV = - R - ( / » 7 l )
Coefficient d'amortissement
EVA( t \ Cv — Va \Jv2)
t-"u — R2Va \Ju2)
c i > = -vriM
cc= mrs(fc2)
ct = %f(U)
TAB. 2.12 - Fonctions d'impedance des pieux [13]
Kc = Kxg = Kgx ; E : module d'Young du pieux; A : section transversale du pieux;
I : moment d'inertie du pieux et R : rayon du pieux.
Les coefficients adimensionnels utilises dans le tableau 2.12 sont presenter dans le tableau
2.13 ou le taux d'amortissement du sol est egale a 0.05 et celui du pieux est de 0.01 [13].
fui e^ fu2 s o n t les coefficients d'amortissement et de rigidite des pieux dont les tetes ne
transmettent pas les efforts de flexion.
35
V -Qpieux 1 ^ so l Coefficients de rigidite
fi>i fcl ful fp Jul
Coefficients d 'amort issement
fl>2 fc2 ful fp Ju2
(a)Profil du sol homogene
0.25
0.40
0.25
0.40
10000
2500
1000
500
250
10000
2500
1000
500
250
10000
2500
1000
500
250
10000
2500
1000
500
250
0.2135
0.2998
0.3741
0.4411
0.5186
0.2207
0.3097
0.3860
0.4547
0.5336
0.1800
0.2452
0.3000
0.3489
0.4049
0.1857
0.2529
0.3094
0.3596
0.4170
-0.0217
-0.0429
-0.0668
-0.0929
-0.1281
-0.0232
-0.0459
-0.0714
-0.0991
-0.1365
0.0042
0.0119
0.0236
0.0395
0.0659
0.0047
0.0132
0.0261
0.0436
0.0726
(b)Profil du sol
-0.0144
-0.0267
-0.0400
-0.0543
-0.0734
-0.0153
-0.0284
-0.0426
-0.0577
-0.0780
0.0019
0.0047
0.0086
0.0136
0.0215
0.0020
0.0051
0.0094
0.0149
0.0236
0.0021
0.0061
0.0123
0.0210
0.0358
0.0024
0.0068
0.0136
0.0231
0.0394
0.1577
0.2152
0.2598
0.2953
0.3299
0.1634
0.2224
0.2677
0.3034
0.3377
Parabolique
0.0008
0.0020
0.0037
0.0059
0.0094
0.0009
0.0022
0.0041
0.0065
0.0103
0.1450
0.2025
0.2499
0.2910
0.3361
0.1508
0.2101
0.2589
0.3009
0.3468
-0.0333
-0.0646
-0.0985
-0.1337
-0.1786
-0.0358
-0.0692
-0.1052
-0.1425
-0.1896
-0.0252
-0.0484
-0.0737
-0.1008
-0.1370
-0.0271
-0.0519
-0.0790
-0.1079
-0.1461
0.0107
0.0297
0.0579
0.0953
0.1556
0.0119
0.0329
0.0641
0.1054
0.1717
0.0060
0.0159
0.0303
0.0491
0.0793
0.0067
0.0177
0.0336
0.0544
0.0880
0.0054
0.0154
0.0306
0.0514
0.0864
0.0060
0.0171
0.0339
0.0570
0.0957
0.0028
0.0076
0.0147
0.0241
0.0398
0.0031
0.0084
0.0163
0.0269
0.0443
TAB. 2.13 - Tableau des coefficients de rigidite et d'amortissement d'un pieu avec 1/R > 25 pour un profile de sol homogene et 1/R > 30 pour un profil de sol parabolique [13]
36
Lorsque les pieux sont tres espaces, l'effet de groupe devient tres negligeable. Les
fonctions d'impedance sont obtenues par sommation des fonctions des pieux singuliers.
Les fonctions d'impedance sont de la forme suivante :
Kt = ki(a0) + iu}Ci(a0) (2.25)
Cette forme a ete developpee par Nogami, Novak et Aboul Ellas [42]pour des pieux dans
un sol stratifie. Elle est applicable sous reserve de verifier les hypotheses suivantes :
- La section transversale du pieu est constante en fonction de la profondeur;
- Le sol est homogene ou le module de cisailement transversal G possede un profil
parabolique en fonction de la profondeur;
- Les pieux sont encastres en tete;
- Les pieux peuvent etre flottants ;
- Les deux types d'amortissement cites precedemment sont consideres.
On distingue cinq facteurs d'interaction dans le cas de groupe de pieux charges transver-
salement (trois relatifs aux deplacement et deux a la rotation) qui sont fonctions du type
de conditions en tete et du type de chargement. Les facteurs d'interaction dans le cas de
pieux charges transversalement dependent de l'espacement entre les pieux, de la longueur
des pieux, de la rigidite relative sol-pieux et de l'angle que fait la direction du chargement
avec la direction de la ligne joignant les pieux [46].
37
Chapitre 3
CALCUL DES IMPEDANCES DES
FONDATIONS FILANTES
L'objectif de ce chapitre est d'evaluer les fonctions de deplacement des fondations
filantes a 1'aide de simulations numeriques (FLAC)[31]. Apres l'ultime etape de validation
des calculs par rapport aux travaux existant dans la litterature, vient revaluation des
fonctions de deplacement d'une fondation enfouie dans un sol monocouche de module
de cisaillement constant. Les memes calculs pour une fondation a la surface d'un sol
bicouche constitueront l'etape suivante. Une attention particuliere est accordee a l'etude
de l'influence de la vitesse des ondes de cisaillement sur les valeurs des fonctions de
deplacement. A cet effet, trois types de sols sont consideres avec des vitesses de cisaillement
Vs constantes en premier puis variables avec la profondeur. La comparaison des resultats
obtenus dans les deux situations montre l'interet de faire varier la vitesse et par consequent
le module de cisaillement. Finalement, on s'interesse a l'influence du type de sol choisi
sur les fonctions de deplacement pour differentes frequences de chargement.
Notons que les fondations filantes presentent un cas particulier de structures a invariance
monodirectionnelle, les valeurs des fonctions de deplacement sont ainsi calculees par metre
lineaire.
38
3.1 Parametres dynamiques du sol
devaluation des fonctions d'impedance ou de deplacement est essentiellement basee
sur la determination des caracteristiques dynamiques du sol. Deux parametres essentiels
peuvent etre retenus pour decrire le comportement dynamique d'un sol : le module de
cisaillement "G" et l'amortissement. De ce fait, G doit etre mesure correctement. Ce
parametre permet de determiner la frequence naturelle d'un depot de sol qui s'avere tres
utile dans une analyse d'interaction sol-structure.
3.1.1 Module de cisaillement
Pour determiner le module G, on doit obtenir la fonction qui relie la contrainte de
cisaillement a la deformation de distorsion. La courbe de la figure 3.1 illustre un exemple
de comportement lors d'une sollicitation cyclique (c'est un hysteresis qui se developpe en
fonction du nombre de cycles). Le module de cisaillement maximum Go ou Gmax definit le
comportement elastique du sol (distorsion < 10""3). Dans le domaine elasto-plastique, les
deformations sont representees par un module G equivalent qui est souvent exprime sous
la forme reduite G/Gmax. II existe dans la litterature un nombre important de relations de
G/Gmax en fonction de v pour les differents types de sols. Dans cette etude, on s'interesse
au comportement elastique du sol, Gmax. G peut etre determine a partir de la vitesse de
cisaillement, Vs et de la densite p, par la relation 3.1.
G = pVs2 (3.1)
La vitesse des ondes de cisaillement est un parametre qui permet de caracteriser le
sol d'un point de vue mecanique ou geotechnique. L'avantage de ce parametre est qu'il
peut etre mesure in situ a l'aide d'une methode non intrusive (sans forage ni sondage).
39
' Mocfule tangent au point M " ffl
Module secant au point M
Modules equivalents fooction de I'amplitude cles cycles
Deformation
vtoduie equivalent au point P
FlG. 3.1 - Evolution de la contrainte de cisaillement en fonction de la deformation
Le module de cisaillement a faible deformation est lie aux proprietes geotechniques
du sol. II depend de l'indice de vide e, du degre de surconsolidation et des conditions de
chargement. II peut etre determine de fagon indirecte a l'aide des relations presentees au
tableau 3.1 pour les sols granulaires et au tableau 3.2 pour les sols coherents.
type de sol
sable a grains arrondis
sable a grains angu-leux
till
Va (m/s)
W ^ F 1 ^ W^*'1'4
( l l l - S l e V 1 / 4
indice de vide e
0.35 < e < 0.85
0.60 < e < 1.30
0.30 < e < 0.80
TAB. 3.1 - Evaluation de Va de certains sols granulaires [37]
Dans le tableau 3.2, k est un coefficient qui varie entre 0 et 0.5.
40
type de sol
argile
argile et silt
Va (m/s)
(76.24 -31.28e)OCRk/2aU4
(73.03 - 33.86e)OCRk/2aT
indice de vide e
? < e < 1.30
0.40 < e < 1.40
TAB. 3.2 - Evaluation de Vs de certains sols coherents [37]
3.1.2 L'amortissement
L'amortissement des ondes dans le sol est du en general a ses caracteristiques de
viscosite, au frottement et au developpement de la plasticite. Cependant, les sols modeli-
ses numeriquement n'incluent pas la viscosite directement. Celle-ci peut etre par exemple
remplacee par un terme d'amortissement de Rayleigh qui consiste a construire une matrice
d'amortissement [C] proportionnelle aux matrices de masse [M] et de rigidite [K] [43]. Le
principal avantage de cette formulation est qu'elle conduit a une matrice d'amortissement
diagonale dans la base des modes propres reels du systeme. Des coefficients d'amortis
sement differents peuvent etre dermis pour chaque couche de sol et chaque element de
structure.
3.2 Presentation du logiciel de calcul
"FLAC" est un programme de difference finie explicite qui utilise une analyse La-
grangienne [31]. Ce programme simule le comportement des structures, du sol ou d'autres
materiaux qui peuvent se plastifier quand leurs limites d'elasticite sont atteintes. Ces ma
teriaux sont representes par des elements, ou des zones, qui forment une grille ajustee par
l'utilisateur d'apres la forme de l'objet a modeliser. Chaque element se comporte selon
une loi lineaire ou non lineaire reliant la contrainte a la deformation en reponse aux forces
ou aux pressions appliquees sur la frontiere. La grille peut se deformer et se deplacer
avec le materiau constitutif du modele. Puisqu'aucune matrice n'est formee, des calculs
importants peuvent etre effectues sans conditions excessives de memoire.
41
3.2.1 Methode des differences finies
La methode des differences finies, comme la methode des elements finis, est utilisee
pour resoudre numeriquement des equations aux derivees partielles. Mais, contrairement
a la methode des elements finis qui utilise des approximations d'integrales, la methode
des differences finies utilise des approximations de derivees. Toutefois, la methode des
elements finis utilise une formulation variationnelle (integrate) de V equation a resoudre
alors que la methode des differences finies utilise une formulation ponctuelle (equations
d'equilibre). La methode des elements finis presente l'avantage de permettre une prise
en compte simple et systematique des conditions aux limites quelle que soit la forme du
domaine d'etude. Cependant, la methode des differences finies est plus facile a mettre en
oeuvre pour des problemes simples.
La resolution numerique d'une equation differentielle consiste a approximer, le plus
precisement possible, la solution en un certain nombre de points. La resolution nume
rique d'une equation differentielle lineaire, avec conditions aux limites, se resume en trois
grandes etapes :
- La discretisation du probleme, c'est a dire le choix des points sur lesquels sera
approximee l'equation differentielle ainsi que le type d'approximation numerique
des derivees en ces memes points. On obtient ainsi un systeme lineaire liant les
valeurs nodales entre elles.
- La prise en compte des conditions aux limites du probleme.
- La resolution du systeme lineaire liant les valeurs nodales entre elles.
En differences finies, le pas de temps critique dans une etude dynamique ou l'amor-
tissement est proportionnel a la rigidite est donnee par [31] :
At,j = — ( V l + A 2 -A) (3.2)
^max
ujmax : frequence propre maximale du systeme;
A : fraction de l'amortissement critique a cette frequence. ^max et A sont estimees automatiquement dans FLAC par les expressions suivantes :
42
Vp : la vitesse primaire de l'onde, A : surface de la sous maille triangulaire et Axmax :
la longueur maximale d'une maille (mesuree sur la diagonale).
Pour faire une analyse dynamique d'un probleme donne dans FLAC, il y a trois
aspects importants a considerer :
- le chargement dynamique et les conditions aux limites
- l'amortissement
- la transmission des ondes dans le modele
Dans la suite, chacun de ces aspects est traite separement pour expliquer leurs prises en
compte dans ce memoire.
3.2.2 Chargement dynamique applique a la fondation
Dans les differents calculs traites dans ce rapport, le chargement dynamique qu'on
a applique a la fondation est un chargement sinusoidal d'amplitude unitaire. On envisage
dans chaque cas deux situations selon que la vibration est verticale ou horizontale. Pour
determiner les fonctions de deplacement, on fait varier la frequence adimensionnelle CIQ
(eq. 3.6). Pour chaque frequence, le temps de vibration est egale a 10 fois la periode (T
= I/O-
coB 2TT/ a°= -v. = ~w m
B est la demi-largeur de la fondation et Vs est la vitesse des ondes de cisaillement
qui se propagent dans le sol.
43
3.2.3 Elements aux frontieres
Les discontinuites dues a l'interface sol fondation, aux passages entres les differentes
couches ou aux frontieres libres du sol induisent des reflexions entieres ou partielles des
ondes se propageant dans celui-ci. En effet, la modelisation d'un espace infini tel que le sol
par un milieu fmi peut provoquer des erreurs numeriques qui peuvent fausser la solution
du probleme traite. Afin de surmonter cette difficulte et minimiser le taux d'erreur, deux
approches peuvent etre utilisees :
- etendre suffisamment le maillage pour que les ondes reflechies aux limites n'at-
teignent pas la fondation durant revaluation de la reponse. Cette recommandation
a ete proposee par Rosset et Ettouney [14];
- Imposer des frontieres absorbantes aux limites du modele en elements finis de
fagon qu'on puisse tenir compte du sol situe au-dela du modele. Ces frontieres
doivent absorber l'energie provenant des ondes sans se renechir au sein du milieu
etudie.
La premiere solution exige qu'on s'eloigne de la structure (6 a 10 fois les dimensions
de celle-ci) ce qui implique une augmentation importante des dimensions du maillage
d'ou une augmentation du temps et par consequent du cout des calculs. Pour la deuxieme
solution, on distingue trois types de frontieres. A savoir, les frontieres visqueuses ou absor
bantes, les frontieres de superposition ou elementaire et les frontieres consistantes. Mengi
et Tanrikulu [21] ont etudie les performances de chaque type de frontiere.
Frontieres visqueuses ou absorbantes
II s'agit d'appliquer une force d'amortissement visqueux le long des frontieres comrne
un dissipateur d'energie. En 1969, Lysmer et Kuhlemeyer [17] ont propose deux types
d'amortisseurs : perpendiculaires aux frontieres et servant a absorber les ondes primaires P
et paralleles aux frontieres et servant a absorber les ondes de cisaillement S. Ces frontieres
presentent l'avantage d'etre facile a mettre en oeuvre. Elles constituent des absorbeurs
parfaits des ondes plane a incidence normale. Quand l'incidence est inclinee, l'absorption
est imparfaite. Dans le but de surmonter ce probleme, Rosset et et Ettouney [14] recom-
44
mandent de placer les frontieres absorbantes au moins a 5 fois la plus grande dimension
de la structure. Les frontieres absorbantes presentent l'avantage d'etre independantes de
la frequence done elles peuvent etre utilisees lors des analyses transitoires dans le domaine
temporel.
La frontiere absorbante annule les contraintes provenant des ondes de fagon que :
(Tint + ^ext = 0 (3.7)
Tint + Text ~ 0 (3-8)
ou aint et Tint sont les contraintes normales et tangentielles incidentes et aext et
Text sont les contraintes appliquees a la frontere. D'apres Lysmer et Kuhlemeyer [17], les
contraintes exterieures, exercees par les amortisseurs, s'ecrivent :
a = -pVpvn (3.9)
r = -pVsvt (3.10)
p : masse volumique du sol
Vp : vitesse de propagation des ondes primaires definie par :
vn et vt : composantes normale et tangentielles des vitesses aux frontieres.
Frontieres de superposition ou elementaires
Ces frontieres ont ete proposees par Smith [50]et ont ete raffinees par Kunar et Ro
driguez [19]. Elles sont constitutes par une surface le long de laquelle soit le deplacement,
soit la contrainte est nulle.
45
Frontieres consistantes
L'absorption plus efficace d'energie exige l'utilisation des elements lies a la frequence.
Ce type d'elements aux frontieres est valable quelque soit Tangle d'incidence des ondes.
Cependant, il ne peut etre employe que dans des analyses dans le domaine frequentiel.
Caracteristiques des elements aux frontieres dans FLAC
Les methodes numeriques fondees sur la discretisation d'une region finie de l'espace
exigent que des conditions appropriees soient imposees aux frontieres numeriques artifi-
cielles. Dans des analyses statiques, des frontieres fixes ou elastiques peuvent etre placees
a une certaine distance de la region d'interet. Cependant, dans des problemes dynamiques,
de telles frontieres causent la reflexion des ondes et ne permettent pas le rayonnement
necessaire d'energie. L'utilisation d'un plus grand modele peut reduire au minimum le pro-
bleme, puisque l'attenuation due aux caracteristiques mecaniques du materiau absorbera
la majeure partie de l'energie des ondes reflechies. Cependant, cette solution entraine
des calculs lourds resultant d'un modele de grandes dimensions. L'alternative propose
d'employer des frontieres absorbantes. La frontiere visqueuse developpee par Lysmer et
Kuhlemeyer [17] est employee dans FLAC. Comme deja cite, cette frontiere est basee sur
l'utilisation des amortisseurs independants dans les directions normale et de cisaillement
aux frontieres du modele.
3.2.4 Transmission de l'onde
Une distorsion numerique de l'onde peut se produire dans une analyse dynamique
en fonction des conditions de modelisation. La frequence de l'onde initiale et la vitesse de
propagation infiuencent la transmission de l'onde. Kuhlemeyer et Lysmer montrent que la
taille d'un element doit etre plus petite qu'approximativement un dixieme a un huitieme
de la longueur d'onde relative a la frequence la plus elevee de l'onde d'entree.
Al<± (3.12)
46
3.3 Validation des calculs
3.3.1 Modele de calcul
On effectue ici le calcul des fonctions d'impedance des fondations superficielles filantes,
supposees rigides et non pesantes, reposant sur un sol elastique homogene et isotrope, de
densite p=2000 Kg/m3, de module de cisaillement G=1.92xl08 N/m2 qui correspond a
une vitesse de cisaillement de 310 m/s, de coefficient de Poisson v = 0.4, de taux d'amor-
tissement £ = 0.05, de largeur 40m et de hauteur 30m. La figure 3.2 montre la grille,
la fondation et les frontieres du modele. Le maillage est compose d'une grille de 80 x
60 mailles de dimensions 0.5 x 0.5 chacune. La fondation de largeur 4m est modelisee
par des elements structuraux de type poutre. Des frontieres visqueuses sont situees aux
limites de la grille.
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FIG. 3.2 - Modele de calcul (H/B=15), cas d'un chargement vertical)
47
La base est rendue rigide en liant les noeuds des elements poutres modelisant la
fondation ensemble. Par exemple, dans le cas d'une vibration verticale, on fixe les degres
de liberte de translation horizontale et de rotation et on lie les degres de liberte de
translation verticale de la fondation ensemble. Par consequent, la fondation possede dans
chaque cas de calcul un seul degre de liberte. Pour avoir une fondation non pesante, la
densite adoptee pour les elements structuraux est tres faible. Pour que le pas de temps
soit celui du sol, le module d'Young de la fondation est faible. Ce choix n'influence pas
les valeurs des fonctions de deplacement.
Deux cas de calculs sont considered : le cas d'une vibration verticale et celui d'une vibration
horizontale. On evalue dans chaque cas la partie reelle et la partie imaginaire des fonctions
de deplacement.
3.3.2 Verification de la transmission
Le chargement dynamique applique a la fondation est sinusoidal. L'onde se propage
avec une frequence variable de 1.23 Hz a 39.47 Hz. En se basant sur les caracteristiques
elastiques du modele, les vitesses des ondes primaires et de cisaillement sont defmies par :
Vp = 759 m/s et Vs = 310 m/s la plus grande maille du modele est de largeur : 0.5m. La
frequence maximale qu'on peut introduire est f = Vs/\ = Vs/10xA/ = 62 Hz. D'ou les
dimensions des mailles sont suffisamment petites pour permettre aux ondes de se propager
correctement [31].
3.3.3 Resultats de calcul
Les calculs sont executes sur une gamme de frequences adimensionnelles a0 qui va-
rient entre 0.5 et 1.6. Les fonctions de deplacement obtenues (i*i„, F2V, F\h et i^h) sont
tracees sur les figures 3.3 et 3.4 et sont comparees aux solutions qui ont ete obtenus par
Huh et al. a partir de la methode des elements frontieres dans le cas particulier ou la hau
teur du massif de sol divisee par la demie largeur de la fondation est egale a 15 (H/B ~
15). Les solutions de reference sont issues des riches 4.13 et 4.14 du manuel des fonctions
d'impedance [15]. Les resultats sont presentes en fonction de la frequence adimension-
48
nelle a0. Les indices v et h correspondent respectivement a un chargement vertical et a
un chargement horizontal. Les indices 1 et 2 designent respectivement les parties reelles
et imaginaires des fonctions de deplacement.
Les resultats obtenus avec FLAC sont en accord avec ceux de Huh et al. (figures 3.3 et
3.4) surtout pour des valeurs plus elevees de a0 (la digitalization des courbes est aussi
une source d'ecart). On rappelle que dans les calculs de Huh et al , le sol est un mono-
couche reposant sur un substratum rocheux qui empeche la propagation des sollicitations
a l'mfini. Par consequent, les composantes des fonctions de deplacement presentent des
pics dus a la reflexion des ondes. Ces fluctuations sont plus prononcees pour des basses
frequences vu que la longueur d'onde est plus importante. Dans notre modelisation le sol
est assimile a un milieu semi-infini grace a la presence des elements aux frontieres aux
limites du modele. Les differences sont peut etre dues aussi au facteur d'amortissement
qui est constant dans les calculs de Huh et al. alors qu'il est fonction de la frequence dans
notre cas.
3.4 Fonctions d'impedance d'une fondation filante
enfouie
Dans cette section, on considere le meme modele que dans la section precedente sauf
que la fondation est enfouie dans le sol a 0.5m de profondeur. On impose a la fondation
successivement des chargements sinuso'idales en temps a la pulsation u> : horizontal et
vertical. Les resultats, compares avec ceux obtenus pour une fondation a la surface, sont
presentes sur les figures 3.5 et 3.6. Sur ces graphiques, on remarque que :
- La rigidite statique et les impedances augmentent avec l'enfouissement de la fon
dation.
- La decroissance de K et C avec la frequence augmente avec renfouissement de la
fondation.
49
1,0
0.5
0.0
A FLAG
— - -HUHY.etd
_ l I I I I I I -
n |
0,0 0.2 0,4 0.8 0,3 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
aO
1TJ n
£ OM
OJO
O FLAG
HUHY.etal
.0
i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1,2 1.4 1.6 1.8 2 0
aO
FIG. 3.3 - Fonctions de emplacement : vibration verticale
50
1J0 -|
t °£-
nn
\
\ / \ A v v^ 0,0 0.2 0.4 0.6 0.3 1.0
aO
1.2
A FLAG
— - -HUH Y.etal
~ ^
1.4 1,6 1.8 2,0
1.0 -,
2 °'5"
n n
\Z*o*v^-~ 0,0 0.2 0,4 0,6 0,8 1.0
aO
1,2
O FLAG
— - -HUH Y.etal
1.4 1,6 1j8 20
FIG. 3.4 - Fonctions de emplacement : vibration horizontale
51
0.6
-&— a la surface
-B— enfoiie
0.4
<Si 0.2
0,0
-0—a la surface
——enfoiue
— i 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.0 0,2 0,4 0,6 O.S 1.0 1.2 1,4 1.6 1.8 2.0
F I G . 3.5 - Fonctions de emplacement : Chargement vertical
52
0,6 i
0.4
0,2
-Ar-a la surface
-a— enfouie
0,0 i 1 1 1 1 1 1 1 1 r
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
a0
0.4
« 0.2
-£— a la surface
- B — enfouie
0 , 0 H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \
0,0 0,2 0.4 0,6 0.8 1.0 1.2 1.4 1jB 1.S 2.0
a0
FIG. 3.6 - Fonctions de deplacement : Chargement horizontal
53
3.5 Fonctions d'impedance des fondations filantes sur
un bicouche
Le but ici est d'etudier l'influence du fait de considerer que la fondation repose sur
un sol forme de deux couches de natures differentes sur la variation des fonctions de de-
placement et par consequent d'impedance. Les couches sont de hauteur 7.5m chacune. La
couche superieure est telle que Vs= 200 m/s, v — 0.33, p = 1800 Kg/m3 et £ = 0.05. Ces
caracteristiques correspondent a un sol granulaire. La couche en bas correspond a un sol
coherent. Ses caracteristiques sont telles que Vs= lOOm/s, v = 0.45, p = 1600 Kg/m3 et
£ = 0.05.
Afin de comparer les resultats obtenus pour le sol bicouche avec ceux d'un seule
couche, sur les figures 3.7 et 3.8, on presente les parties reelles et imaginaires des fonctions
de deplacement d'un bicouche, d'un sol granulaire monocouche de hauteur 15m et d'un
sol coherent monocouche aussi de hauteur 15m.
Dans le cas d'une vibration horizontale (figure 3.8), les valeurs des parties reelles et
imaginaires des fonctions de deplacement sont presque egales aux valeurs de la couche
superieure. On peut done conclure que la modelisation de la couche superieure uniquement
aurait pu etre suffisante pour la determination des valeurs des fonctions de deplacement.
Dans le cas ou la vibration est verticale (figure 3.7), on constate clairement l'influence
de la couche inferieure sur les valeurs des parties reelles et imaginaires. Son effet est plus
important a basses frequences. Entre 3 et 9Hz, l'impact de la couche du sol coherent sur
la partie reelle des fonctions de deplacement est inverse. A partir de 5Hz, les valeurs de la
partie imaginaire sont presque egales a celles de la couche superieure. Pour des frequences
situees entre 0.5 et 5Hz, l'energie dissipee (Fzv) dans le bicouche est inferieure a celle
dissipee si le sol etait purement granulaire, elle est superieure a celle dissipee dans un sol
purement coherent.
54
3.0E08 -I
2.5E08 -
2.0E03 -
> 1.5E08-UL
1.0E08 -
5.0E09 -
\ V
"V N»
0 2 4
—m— bicouche
- - + - V s = 1CDmfe
* Vs=200mfe
~——'*—^-^^^ , _ ^
6 8 10 12
f(Hz)
~ _+ 1
14
5.0E-O3
4.5E-08
4.0E-08
3.5E08 -
3,0&0e -
<N 2.5E-08
2.0E08
1.5E-08
1.0E08 -
5.0E-09
0.0E+00
- bicouche
-Vs =200^5
~Vs=100mfe
K 6 8 10 12 14
f(Hz)
FlG. 3.7 - Fondation sur bicouche : Vibration verticale
55
3.0E-08 -|
2.5E-08 -
2.0E-C6 •
£ 1.5E-03 -LL
1.0E-08 -
5.0E-00 -
\
l a ^ - * - * _
' 0 2
\
' 4
\ " ' " ' ' • • • • • ,
-*—1-
' e s
ft Hz)
—*— bicouche
—•—Vs=200nVs
.~*_Vs = 100rrfs
'"'*--.-..
^ f c = - — - = ^ = 5 ^
' 10 12
,M
' 14
sz L l _
S.OE-OS -|
7.0E-0S -
6.0E-03 -
5.0E-O3 -
4.0E-03 -
3.0E-08 •
2.0&O3 -
1.0&08 -
O.OB-00 -
\ :-f
I
i
1 1 r
• * - — -
1—
—m— bicouche
—*— Vs=200mfe
~*_Vs=100mfc
— -£&•—j. . , , , , . , , . , . < w m i
i
6 8
f[Hz)
10 12 14
FIG. 3.8 - Fondation sur bicouche : Vibration horizontale
56
3.6 Comparaison des fonctions de deplacement obtenus
avec Vs constante ou variable
L'objectif de cette section est de determiner les parties reelles et imaginaires des
fonctions de deplacement d'une fondation superficielle reposant sur un sol homogene de
de largeur 20m et de hauteur 15m. Les calculs sont menes dans deux situations differentes
selon que la vitesse de cisaillement du sol est independante ou variable avec la profondeur.
On note que les caracteristiques mecaniques decrits ulterieurement correspondent a des
sols typiques.
3.6.1 Caracteristiques geometriques du modele de calcul
On utilise Les memes caracteristiques geometriques dans les cas ou la vitesse de
cisaillement est constante ou variable. La figure 3.9 montre la grille, la fondation et les
frontieres du modele. Le maillage est compose d'une grille de 40 x 30 mailles avec une
fondation de largeur 2m modelisee par des elements structuraux de type poutre. Des
frontieres visqueuses sont situees aux limites de la grille . On rappelle que les valeurs
des contraintes exercees par ces frontieres sont calculees automatiquement par FLAC. On
applique a la fondation des chargements sinusoi'daux d'amplitude unitaire et de pulsation
variable. Deux cas sont envisages selon que la vibration est verticale ou horizontale.
3.6.2 Calcul avec Vs constante
Dans cette partie, on considere que le module de cisaillement est constant sur toute
la profondeur. On envisage trois cas de calcul. Chaque cas correspond a un type de sol.
Le premier est un sol argileux dont Vs — 100 m/s, v = 0.45 et p = 1600 Kg/m3. Le
deuxieme est un sol sableux, ses caracteristiques sont telles que Vs = 200 m/s, v = 0.33
et p = 1800 Kg/m3. Le troisieme est un sol granulaire de Vs — 300 m/s, u= 0.33 et p =
2000 Kg/m3.
La figure 3.10 est un exemple de variation du deplacement vertical Uy au cours du temps
de chargement. La cartographie 3.11 montre les iso-contours du deplacement Uy.
57
JOB TITLE:
FLAC (Version 4.00)
LEGEND
3-May-07 11:13 step 421
-1.111E+00«x« 2.111E+01 -1.861E+01 «y< 3.611E+00
Busm plut r ,
_ > HI
!:;:.;:n:U :.;..: j . h : . L L i ^
< ; - • • • : • ; • ; • j . i . . | . . . , . . . . . . . . . . . . : . . . . , . . . ; . : < •
V ;
=f; 4 fil:J::i:l:i:L;LLL!: L i i:.:.L: •:::.:: | ; M '' ; 0 . • : . ; . . ; .
f^~^;^^^^i
D 3 J ] D J S U 11I
f l f f - l
|--; :i.4..--+T.:-i-:- :i :;.|
; • • : ; • • : : : : • : : d ; : : : : ' • : ' j ?
,.«i, , ^
. D U D
, -D. t fD
.-a an
.-13H
.-1HE
FlG. 3.9 - modele de calcul avec Vs variable
JOB TITLE:
FLAC (Version 4.00)
LEGEND
19-Apr-C7 11:19 step 3158
5 000 I '•'
4000 i I | !,
i i i 1 ' !
'J 000 j Ii
2 000 ,
1.000 ' I ' I l l
• 1 .ODD
1 ,
•j.dot; '
• t . M Q •, • ,
10 20 30 «J Su 60 70 uu
l 1 0 . .02 ,
FIG. 3.10 - Variation du deplacement Uy
58
JOB TITLE:
FLAC(Veisitm4.00)
LEGEND
19-Apr-07 11:23 step 1275
-1.111E+00«X« 2.111E*01 -1.861E+01 <y< 3.611E+00
m
- < • >1i.i
03B B&n i n n i.4tn l a s
. Dxnn
_-n.*cn
.-can
.-1.211
.-uau
FIG. 3.11 - Cartographie du deplacement Uy
Les fonctions de deplacement, dans le cas ou la vitesse de cisaillement est constante,
sont presentees sur les figures 3.12 et 3.13. Chaque figure renferme trois courbes qui
correspondent a trois types de sols differents. La figure 3.12 correspond a une vibration
verticale alors la figure 3.13 correspond a une vibration horizontale.
Lorsque le module de cisaillement est constant sur toute la profondeur, les courbes des
parties reelles et imaginaires des fonctions de deplacement sont en generate identiques.
La courbe correspondant a un sol argileux montre des valeurs legerement inferieures qui
peut etre du au coefficient de poisson est egal a 0.45 alors qu'il est egal a 0.33 pour les
deux autres types de sol (figures 3.12 et 3.13). Ces resultats confirment en generale ceux
de Gazetas G. [27] qui presente une seule courbe pour la meme valeur du coefficient de
Poisson. C'est a dire pour une valeur bien determines de la frequence adimensionnelle a0,
les valeurs des fonctions de deplacement sont egales.
59
Resultats de calcul dans le cas d'une vibration verticale
Fonctions de emplacement tys constante): F1vx G
1.0 -I
0.5 •
" ^ " ^ s ^ ^ *— 0,0 0.5 1,0 1.5 2.0 2.5 3j0
3 0 = w B / V s
-»*- • Vs = 100mfe
—*— V5=200nls
_ _ *
3.5
Fonctions de deplacement tys constante): F2yx G
1,5 -I
1,0 -
0.5 -L^_ * - • = = . . . . i ,
0,0 05 1,0 1.5 2,0 2,5 3,0
a0= w B / V s
-*. vs=100mte
—#--Vs=200m<s
—« Vs=300rrfs
t
3,5
F I G . 3.12 - V, constante : vibration verticale
60
Resultats de calcul dans le cas d'une vibration horizontale
Fonctions de defacement: F1h x G
1.0
D.D
-Hfe~~\&= loom's
-+-Vfe=200nys
~iu~\£=3D0mfe
0J] 05 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3S
a0=wB/Vs
Fonctions de deplacement: F2h x G
30
« i
20
IS
if l
o A
00
Vs=100m&
• Vs=200mfe
• Vs=3D0mfe
0.0 Dj5 10 1.5 2 0 2,5 3,0 3,5
a0 = vfB/Vs
F I G . 3.13 - V, cons tan te : v ib ra t ion hor izonta le
61
3.6.3 Calcul avec Vs variable
Dans une couche sol, la vitesse des ondes de cisaillement augmente avec la profondeur
(eq. 3.13). Cette augmentation est directement reliee a l'augmentation de la contrainte
effective (a )1/4. Pour simplifier, la vitesse des ondes de cisaillement dans une couche de
sol est generalement normalisee par une contrainte de 100 KPa pour eliminer 1'erFet de la
profondeur [11].
v' = VA{m^ (3-13)
Pour des raisons de simplification, on considere que le sol est non sature avec a =
a (a — pZ, Z est la profondeur du sol).
On envisage trois cas de calcul. Chaque cas correspond a un type de sol. Le premier
est un sol argileux dont Vs\ = lOOm/s, v = 0.45 et p = 1600%/m3. Le deuxieme est un
sol sableux, ses caracteristiques sont telles que Vs\ = 200m/s, v = 0.33 et p = 1800kg/rri3.
Le troisieme est un sol granulaire grossier de Vs\ = 300m/s, v — 0.33 et p = 2000kg/m3.
Chaque sol est divise en cinq couches de hauteur 3m chacune. Vs est constante pour
chacune de ces couches. Sa valeur correspond a la valeur moyenne au milieu de la couche.
La figure 3.14 montre les differentes valeurs de la vitesse de cisaillement en fonction de
la profondeur "z". Etant donne que le module de cisaillement "G" est lie a la vitesse
de cisaillement par la formule 3.1, la variation des valeurs de "G" est illustree par la
deuxieme figure du graphique 3.14.
62
Variation de la vitesse de cisaillemeni Vs
100 300 300 400
-10
-15
i
I %
VrlCmfe)
-20 J 3 » - Vs 1=200 mfe Vs 1=200 mfe -Vs1=300rT/s
0.0B-00
- 5 •
-10 •
-15 -
-20 -
<
t
Z(m)
Var ia t ion d u m o d u l e de c isa i l lem
5,0EtO5 1.0B-06 1.5E+06
•
•
H •
i>
i i
|
< •
* >
- 4 — Vs1=200mte — Vs1=200n/s *••
ent G
2,OB-OB
1
\
Vs1=300mfe
2 . 5 & 0 6
1
G(N/m2)
._t
I 4 i
FlG. 3.14 - Variation de la vitesse et du module de cisaillement
63
Les fonctions de emplacement, dans le cas ou la vitesse de cisaillement est constante,
sont presentees sur les figures 3.15 et 3.16. Chaque figure renferme trois courbes qui
correspondent a trois types de sols differents. La figure 3.15 correspond a une vibration
verticale alors la figure 3.16 correspond a une vibration horizontale.
D'apres la figure 3.15, on remarque que pour des faibles frequences (a0 < 0.5), les courbes
de la partie reelle des fonctions de deplacement sont ecartees Tune de l'autre. Les valeurs
de la partie imaginaire (figure 3.16)du sol argileux sont legerement differentes des valeurs
des deux sols granulaires. Quand la frequence adimensionnelle ao est presque egale a 0.6,
les valeurs de la partie imaginaire des fonctions de deplacement augmentent pour consti-
tuer un pic relatif a la premiere frequence propre des ondes de cisaillement (figures 3.15
et 3.16). Les trois courbes des parties imaginaires sont identiques a partir de a0 = 2.5.
Les graphiques correspondant a un sol argileux montrent des valeurs legerement infe-
rieures. Ceci est peut etre du au coefficient de poisson qui est egal a 0.45 alors qu'il est
egal a 0.33 pour les deux autres types de sol.
64
Resultats de calcul dans le cas d'une vibration verticale
Fonctions de emplacement ft/s variable) :F1vx G
1,0
0.5
"*-»
— Vs 1 = 100 rrfs
— Vs 1=200 m<s
— Vs 1=300 FTVS
0 , 0 -j , , —r-Jr- ~ - i r - ••r-
0.0 0,5 1.0 1.5 2,0 25 3.0 3.5
aO = wB / Vs 1
Fonctions de deplacernent (Vs variable): F2VM G
1.0
0,5
0.0
—*—Vs1=100mfe
—#—Vs1=200nv's
—M~~~ Vs 1 =300rri/s
0,0 0.5 1 JO 1,5 2,0 2 5 3,0 3,5
aO = wB / Vs 1
FlG. 3.15 - Vs variable : vibration verticale
65
Resultats de calcul dans le cas d'une vibration horizontale
Fonctions de emplacement: F1h K G
10
0;5
00
•Vs1 = 100mfe
•Vs1=2D0mfe
Vs1=3D0mfe
xr =*==* 0,0 Dj5 10 1,5 2,0 2,5 3,0 3;5
a0= wB/Vs1
Fonctions de deplacement: F2h x G
1j5
10
D;5 J
00
,_lfc_Vs1 = 100mfe
—*-Vs 1=2D0mfe
-Vs1=300m&
0,0 0.5 10 1j5 20 2j5 30 3j5
a0=wB/Vs1
F I G . 3.16 - V, variable : vibration horizontale
66
3.6.4 Comparaison des resultats obtenus pour des vitesses de ci-
saillement constantes ou variables
La comparaison des resultats obtenus avec une vitesse de cisaillement constante et
ceux obtenus avec une vitesse variable permet d'aboutir aux conclusions suivantes :
- Dans tous les cas, a basses frequences, les parties reelles F\v et F\h des fonctions
de deplacement sont plus importantes avec un module de cisaillement variable. Ce qui
se traduit par une deformation plus grande. Par consequent, le sol est moins rigide.
- L'observation des courbes des parties imaginaires des fonctions de deplacement
(figures 3.12, 3.15 3.13 et 3.16) montre que la dissipation des ondes dans le sol diminue
pour s'annuler lorsque la frequence de vibration tend vers 0. Ceci traduit le comporte-
ment elastique du sol (nullement dissipatif) lorsque le chargement est quasi-statique.
- Les valeurs des parties imaginaires F2v et F2h pour un sol de module de cisaille
ment constant sont inferieures aux valeurs de ces parametres dans le cas d'un sol avec
G variable. On deduit alors que dans le premier cas, l'energie dissipee est sous estimee
et l'amortissement est plus important. En termes d'impedances, a basses frequences,
l'amortissement par radiation est nul. On a alors des faibles valeurs de l'amortissement
dans ce domaine qui renetent l'energie perdue par amortissement interne (par hystere
sis).
- L'influence du coefficient de Poisson est plus clair si on considere des modules de
cisaillement variables avec la profondeur. La courbe relative a un sol argileux s'ecarte
encore plus des deux autres courbes (figures 3.15 et 3.16).
- L'utilisation d'une vitesse de cisaillement variable avec la profondeur a induit une
augmentation considerable des valeurs de la partie reelle des fonctions de deplacement
surtout pour des faibles frequences. Dans la suite, on comparera les trois types de sol
67
deux a deux. C'est-a-dire avec G variable et G constant afin de quantifier la difference
due a la variation ou non des vitesses de cisaillement. On considere seulement le cas
d'une vibration horizontale, le cas d'une vibration verticale est presente en annexe du
rapport.
Dans le cas d'un sol sableux (figure 3.17), l'ecart maximal dans le calcul de Fih est
de 54.16%, l'ecart minimal est egale a 3.29%. Pour F^h, le maximum est de 58.82%,
le minimum est 7.05%. l'ecart maximal dans le calcul de la partie reelle des fonctions
de deplacement d'un sol argileux (figure 3.18) est egale a 50.22%, l'erreur minimale est
de 8.59%. Pour la partie imaginaire, l'ecart maximal est de 53.59%, le minimum est de
16.23%. Finalement pour le sol granulaire grossier (figure 3.19), l'ecart maximal dans le
calcul de F\h est de 55.83%, l'ecart minimal est egale a 16.23%. Pour F^h, le maximum
est de 61.73%, le minimum est 0.03%.
Le developpement de ces calculs nous a permis d'apprehender l'effet de la variation
de la vitesse de cisaillement avec la profondeur. Les courbes de comparaison des sols
deux a deux mettent en evidence l'importance de considerer une vitesse variable dans
l'estimation des fonctions de deplacement et par la suite des fonctions d'impedance des
fondations filantes.
68
G X SI
u_
1.0
0.5 A
0.0
-*— Vs1=100m's
Vs = 100rrfe
fe~**~*-*fv„
1 1 1 1 1 1 1
0,0 0 5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
a 0 = w B / V s 1
15
CD 1 J M x sz
"• 05 H
Vs1 = 100m£
Vs=100m/s
O p 1 1 1 1 1 r
0.0 0.5 1.0 15 2.0 2.5 3.0 3.5
30 = w B / V s 1
F I G . 3.17 - Sol argileux : Vibration horizontale
69
1.0
0.5
-*— Vs 1=200m/s
•^-Vs=200nys
- s
0 ,0 1 i 1 1 1 1 r
0.0 0j5 1.0 15 2.0 2.5 3.0 3.5
3 0 = w B / V s 1
CD x
2.0
1.5
1.0 ^
0.5
0.0
-*—Vs 1=200^5
-^ -Vs=200m£
0.0 0j5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
3 0 = w B / V s 1
FlG. 3.18 - Sol sableux : Vibration horizontale
70
1.0 -,
tD
sz 0.5 H
0.0
—•— Vs 1 =300 mi's
—^— Vs=300rns
***«N(H t . j i
HI.
1 1 1 1 1 1 *
0,0 0,5 1,0 1,5 2.0 2.5 3.0 3.5
a0= wE /Vs1
2.5 I
2 . 0 -
* 1 * -
™ 1 0 -
0.5 -
0.0 -
0
_ _ _ \f-A~onn_-v-. •— VST—ouunrs
—HP—- vs—jUUnVS
1 .*-•
*—- ~m ; ,„ ii g.
i i I I i r ~i
0 0,5 1.0 1.5 2.0 2.5 3j0 3.5
^ 0 = w B / V s 1
FIG. 3.19 - Sol granulaire grassier : Vibration horizontale
71
3.6.5 Influence du type du sol choisi sur les fonctions de depla-
cement
Afin d'etudier l'influence du choix du type de sol sur les valeurs des fonctions de
deplacement, on a trace la variation des parties reelles et imaginaires sur les figures 3.20
et 3.2f en fonctions de la vitesse de cisaillement du sol. Chaque courbe correspond a
une frequence de calcul qui varie entre 0.4 et 45Hz. Les vitesses Vs\ varient entre 100
m/s(sol argileux) et 300 m/s (sol granulaire grossier). On considere uniquement le cas
d'une vibration verticale de la fondation.
On constate que lors du passage d'un sol argileux de Ki=100m/s a un sol granulaire
fin de vitesse Vrsi=200m/s, l'innuence est plus claire que lorsque la vitesse augmente de
200m/s a 300m/s qui correspond a un sol granulaire grossier.
72
Fonctions de deplacement: F1v
I.5E-08
*— f=0.4Hz
—- f=45Hz
O.OB-00 T
150 200 300
Fonctions de deplacemant: F2v
-•—f=0.4Hz
— f = 4 5 H z
1.0E08
5.0E09 -J
0.0B-00
^-""^mm.
100 150 200
¥®1(in/sJ
250 300
FlG. 3.20 - Influence du type de sol sur les fonctions de deplacement Fv
73
Fonctionsde emplacement: F1vx G
o , o - « -, — • — - — » * » ««<•••«••«• - ' — f — r 100 150 200 250 300
VslfiiV's)
Fonctions de d ep la ce ment: F2v x G
—•— f=0.4Hz
— f=0,4Hz
0.0 H 1 1 1 .
100 150 200 250 300
Vs1(m/s)
FIG. 3.21 - Influence du type de sol sur les fonctions de deplacement Fvx G
74
Chapitre 4
INFLUENCE DE LTNTERACTION
SOL-STRUCTURE SUR LE
COMPORTEMENT DYNAMIQUE
D'UN PYLONE
Dans ce chapitre, on s'interesse a l'influence des impedances des fondations evaluees
precedemment sur le comportement dynamique d'un pylone a treillis reposant sur quatre
pieds. II s'agit de mettre en oeuvre un modele pratique permettant la prise en compte de
l'interaction dynamique sol structure.
4.1 Modele de calcul du pylone
4.1.1 Caract6ristiques g^ometriques
Le pylone de hauteur 10m est modelise en utilisant le logiciel ADINA. II est constitue
par 144 elements de type poutre et 130 elements de type treillis (figure 4.1). Les conduc-
teurs sont de diametre D=35mm et de portee L=150m. La distance entre deux appuis a
la base de pylone est egale a 4m. La fondation tetrapodes (figure 1.7) sous le pylone est
modelisee par des impedances (ressorts et amortisseurs). Les valeurs des impedances sont
75
deduites des courbes des fonctions de deplacement determinees en utilisant FLAC.
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FlG. 4.1 - Modele de calcul du pylone
4.1.2 Caracteristiques mecaniques
L'acier est de densite p = 7850Kg/m3, et de module d'Young E = 2 x 10nPa.
Sous chaque pied du pylone, on a introduit trois impedances dans les trois directions des
translations. Les valeurs des impedances correspondent a deux cas de calcul selon qu'on
considere un sol argileux ou sableux. Dans les deux cas, la vitesse de cisaillement est
variable avec la profondeur.
En exploitant les resultats des figures 3.15 et 3.16, les equations 2.11 et 2.12 per-
mettent de determiner les valeurs des impedances.
76
Pour un sol (argileux) dont Ki=100m/s
- Kv = 2.9 x WN.m-1 et Cv = 0.12 x WN.s.m-1
- Khy = 1.8x WN.m-1 et Chy = 0.60 x lO^ . s .m- 1
- Kft l = 1.8 x l O ^ . m " 1 et Chx = 0.60 x lO^.s-m" 1
Pour un sol (sableux) dont V^i=200m/s
- Kv = 9 x l O ^ . m " 1 et Cv = 0.36 x lO^ . s .m- 1
- Khy = 5.8 x l O ^ . m - 1 et Chy = 0.29 x lQ7N.s.m~l
- Khx = 5.8 x l O ^ . m - 1 et Chx = 0.29 x lO^ . s .m- 1
4.1.3 Charges appliquees au pylone
Le pyldne est soumis outre a son poids propre, a la charge du vent qui se divise en
deux parties : une moyenne P\ et une turbulente P^. Le vent sollicite la structure pendant
lOmn.
A une hauteur de Z = 10 m,
La vitesse moyenne du vent U = 25 m/s;
Z0 = 0.05;
La vitesse de frottement est egale a 1.887 m/s;
L'intensite turbulente /„ = 0.18;
Pi = 0.5p a D L u{Zf = 1025.39 N;
-P2 =p Cd D L u(Z) u(t)= 82.03x u(t) N avec u(t) est une fonction temporelle presentee
sur le graphique 4.2.
77
FIG. 4.2 - Charge du vent turbulent
4.2 Result at s de calcul
Ann d'evaluer la difference entre le fait de considerer un pylone avec une fondation
rigide et un pylone calcule avec des impedances, on precede a une comparaison des reac
tions d'appui.
Dans le cas ou les appuis sont rigides, les reactions sont extraites directement des sorties
ADINA. Cependant, avec des appuis elastiques, les reactions d'appui sont deduites des
valeurs des deplacements multiplies par les normes des impedances. Les resultats sont
recapitules dans le tableau 4.1.
78
Appuis
rigides
Impedances
(Ki=200m/s)
Comparaison / appui rigide
Impedances
(Ki=100m/s)
Comparaison / appui rigide
appui 1
appui2
appui 1
appui2
appuil
appui2
appuil
appui2
appuil
appui2
Rz(N)
14220
20731
12619
18346
11.26%
11.51%
12537
18811
11.84%
9.26%
Ry(N)
2940
4311
2713
3943
7.72%
8.10%
2340
3508
20.41%
18.64%
RAN)
3033
4245
2704
3962
10.84%
7.09%
2332
3536
23.11%
16.69%
TAB. 4.1 - Comparaison des reactions d'appui
- La difference vis a vis de l'utilisation des appuis rigides est d'autant plus impor-
tante que le sol est deformable. En effet l'mfluence des impedances est plus prononcee
pour un sol argileux (Vsi = 100 m/s) que pour un sol granulaire (Ki = 200 m/s et 300
m/s ) .
- On constate d'apres les valeurs obtenues que l'utilisation des impedances au lieu
des appuis fixes aux pieds du pylone influencent les reactions de manieres significatives.
Neanmoins, une etude plus approfondie est necessaire pour conclure au sujet de l'impact
de la prise en compte de l'interaction dynamique sol-structure sur le comportement des
pylones et par consequent les lignes de transport de l'energie electrique. En effet, dans
notre cas de calcul, le pylone considere n'est pas elance. Pour ramener les frequences
propres du systeme a celle de la force excitatrice, on a introduit une masse en tete du
pylone augmentant ainsi son poids.
79
4.3 Conclusion
L'etude bibliographique de Finteraction dynamique sol-structure en general et des
impedances en particulier a permis de faire un bilan de l'etat des connaissances sur les
notions utilisees dans ce rapport et de distinguer les differents types de pylones ainsi que
leurs fondations.
L'objectif de ce travail est l'estimation des fonctions de deplacement des fondations
filantes. Une simulation numerique de ces fonctions nous a permis d'aboutir a ce but tout
en evaluant, dans une etape preliminaire, l'infiuence des impedances sur le comportement
dynamique des supports electriques. Les principales conclusions sont :
- Les resultats obtenus grace a des simulations numeriques du sol et de la fonda-
tion sont en accord avec des travaux anterieurs qui utilisent d'autres methodes de calcul.
- La mise en place des elements aux frontieres aux limites du modele dans FLAC a
permis d'eviter les problemes de reflexion des ondes dans le sol. Ces elements presentent
l'avantage de faciliter la modelisation d'un milieu semi infini tel que le sol en cas de
chargements dynamiques.
- Plusieurs cas de calculs ont ete consideres. On a pu calculer les fonctions de de-
placement des fondations a la surface du sol ou enfouies dans celui-ci. On a pu aussi
determiner les impedances d'une fondation sur un sol monocouche ou bicouche.
- Le calcul des fonctions de deplacement est etabli dans le domaine temporel tout
en faisant varier la frequence de l'excitation. Les resultats sont presentes sous forme
adimensionnelle simple a manipuler.
- La prise en compte de la variation du module de cisaillement G avec la profondeur
reflete mieux la realite d'un sol homogene. En plus, les resultats obtenus avec cette ap-
proche sont differents des calculs avec une vitesse de cisaillement constante. Les valeurs
80
des parties reelles et imaginaires des fonctions de deplacement sont plus importantes.
Les valeurs des impedances avec G variable sont inferieures a celles avec G constante.
Ceci veut dire que le sol est moins rigide, les deformations sont plus grandes, l'amor-
tissement est plus faible et que l'energie dissipee est plus importante.
- Le pylone utilise pour etudier l'effet de l'interaction sol structure est un cas par-
ticulier qui pourrait etre generalise en considerant une structure plus elancee et plus
rigide.
- Dans cette etude, on s'est limite au cas des fondations filantes et on a utilise des
impedances calculees par metre lineaire et multipliees par la largeur de la fondation. II
demeure plus interessant de considerer le cas des fondations isolees en passant a une
modelisation 3D notamment quand une structure a plusieurs fondations ponctuelles.
- Pour faire suite a ce travail, les differents types de fondations des pylones peuvent
etre etudies. On pourrait aussi considerer le cas de comportements non lineaires dus a
l'arrachement des fondations.
- Les impedances influencent le comportement de la superstructure d'autant plus
que celle ci est plus rigide et massive et que le sol est plus deformable. II apparait done
que Peffet de l'interaction sol structure ne doit pas etre neglige dans la determination
du comportement dynamique des pylones.
81
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85
Annexe A
Travaux anterieurs
A.l Contribution de Kausel : figures A. l , A.2, A.3 et
A.4
A.2 Contribution de Dominiguez : figures A.5 et A.6
A.3 Contribution de Gazetas : figures A.7 et A.8
A.3.1 Fondation de forme quelconque : abaques des tableaux 2.7
et 2.8
A.3.2 Fondation filante a la surface du sol : Figures A.7 et A.8
86
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Sources
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F I G . A.3 - Vibration de balancement [15]
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FIG. A.4 - Vibration de torsion [15]
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F I G . A.6 - Vibration verticale - amortissement [15]
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FIG. A.8 - Vibration horizontale - coefficient d'amortissement
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FlG. A.9 - Vibration verticale - fonctions de deplacement [15]
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FIG. A.10 - Vibration horizontale - fonctions de displacement [15]
95
Annexe B
Comparaison des calculs avec Vs
variable ou constante : vibration
verticale
96
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CD
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0.0
*™ Vs1=100rrys
Vs=100nVs
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0,0 05 1.0 1,5 2.0 2.5 3.0 3.5
a0= w B / V s 1
CD x
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0,5 A
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~*~Vs1 = 100m's
Vs=100mfe
0.0 0,5 1,0 15 2,0 2,5 3,0 3.5
a 0 = w B / V s 1
FlG. B.l - Sol argileux : Vibration verticale
97
1.0
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0.0
-+-Vs1=200rrVs
-*-Vs=200m/s
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a 0 = w B / V s 1
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0.0 0 5 1,0 1.5 2.0 2.5 3,0 3,5
a 0 = w E / V s 1
FlG. B.2 - Sol sableux : Vibration verticale
98
1.0 n
> 0,5
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0,0 0,5 1.0 1.5 2.0 2,5 3j0 3,5
aO= w B / V s 1
FIG. B.3 - Sol granulaire grossier : Vibration verticale
99