morfismos, vol 6, no 1, 2002

VOLUMEN 6

NÚMERO 1

ENERO A JUNIO DE 2002

ISSN: 1870-6525

MORFISMOSComunicaciones EstudiantilesDepartamento de Matematicas

Cinvestav

Editores Responsables

• Isidoro Gitler • Jesus Gonzalez

Consejo Editorial

• Jorge Alvarez Mena • Iliana Carrillo Ibarra• Samuel Gitler • Onesimo Hernandez-Lerma

• Francisco Hernandez Zamora • Raul Quiroga Barranco• Enrique Ramırez de Arellano • Francisco Ramırez Reyes• Carlos Valencia Oleta • Heraclio Villarreal Rodrıguez

Editores Asociados

• Ricardo Berlanga • Emilio Lluis Puebla• Isaıas Lopez • Guillermo Pastor

• Vıctor Perez Abreu • Carlos Prieto• Carlos Renterıa • Luis Verde

Secretarias Tecnicas

• Roxana Martınez • Laura Valencia

Morfismos puede ser consultada electronicamente en “Revista Morfismos”de la direccion http://www.math.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirseal telefono 57 47 38 71.Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamentode Matematicas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, Mexico, D.F. 07000 opor correo electronico: [email protected].

VOLUMEN 6

NÚMERO 1

ENERO A JUNIO DE 2002

ISSN: 1870-6525

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El Consejo Editorial de MORFISMOS, Comunicaciones Estudiantiles del Departamentode Matematicas del CINVESTAV, convoca a estudiantes de licenciatura y posgrado a someterartıculos para ser publicados dentro de esta revista bajo los siguientes lineamientos

• Todos los artıculos seran enviados a especialistas para su arbitraje. No obstante, losartıculos seran considerados solo como versiones preliminares y por tanto pueden serpublicados en otras revistas especializadas.

• Se debe anexar junto con el nombre del autor, su nivel academico y la instituciondonde estudia o labora.

• El artıculo debe empezar con un resumen en el cual se indique de manera breve yconcisa el resultado principal que se comunicara.

• Es recomendable que los artıculos presentados esten escritos en Latex y sean enviadosa traves de un medio electronico. Los autores interesados pueden obtener el for-mato LATEX utilizado por MORFISMOS en “Revista Morfismos” de la direccion webhttp://www.math.cinvestav.mx, o directamente en el Departamento de Matematicasdel CINVESTAV. La utilizacion de dicho formato ayudara en la pronta publicaciondel artıculo.

• Si el artıculo contiene ilustraciones o figuras, estas deberan ser presentadas de formaque se ajusten a la calidad de reproduccion de MORFISMOS.

• Los autores recibiran un total de 15 sobretiros por cada artıculo publicado.

• Los artıculos deben ser dirigidos a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matemati-cas del Cinvestav, Apartado Postal 14 - 740, Mexico, D.F. 07000, o a la direccion decorreo electronico [email protected]

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MORFISMOS, the student journal of the Mathematics Department of Cinvestav, invitesundergraduate and graduate students to submit manuscripts to be published under thefollowing guidelines

• All manuscripts will be refereed by specialists. However, accepted papers will beconsidered to be “preliminary versions” in that authors may republish their papers inother journals, in the same or similar form.

• In addition to his/her affiliation, the author must state his/her academic status (stu-dent, professor,...).

• Each manuscript should begin with an abstract summarizing the main results.

• Morfismos encourages electronically submitted manuscripts prepared in Latex. Au-thors may retrieve the LATEX macros used for MORFISMOS through the web sitehttp://www.math.cinvestav.mx, at “Revista Morfismos”, or by direct request to theMathematics Department of Cinvestav. The use of these macros will help in theproduction process and also to minimize publishing costs.

• All illustrations must be of professional quality.

• 15 offprints of each article will be provided free of charge.

• Manuscripts submitted for publication should be sent to Mrs. Laura Valencia, De-partamento de Matematicas del Cinvestav, Apartado Postal 14 - 740, Mexico, D.F.07000, or to the e-mail address: [email protected]

Lineamientos Editoriales

“Morfismos” es la revista semestral de los estudiantes del Departamento deMatematicas del CINVESTAV, que tiene entre sus principales objetivos el que losestudiantes adquieran experiencia en la escritura de resultados matematicos.

La publicacion de trabajos no estara restringida a estudiantes del CINVESTAV;deseamos fomentar tambien la participacion de estudiantes en Mexico y en el extran-jero, ası como la contribucion por invitacion de investigadores.

Los reportes de investigacion matematica o resumenes de tesis de licenciatura,maestrıa o doctorado pueden ser publicados en MORFISMOS. Los artıculos queapareceran seran originales, ya sea en los resultados o en los metodos. Para juzgaresto, el Consejo Editorial designara revisores de reconocido prestigio y con experienciaen la comunicacion clara de ideas y conceptos matematicos.

Aunque MORFISMOS es una revista con arbitraje, los trabajos seconsideraran como versiones preliminares que luego podran aparecer pu-blicados en otras revistas especializadas.

Si tienes alguna sugerencia sobre la revista hazlo saber a los editores y con gustoestudiaremos la posibilidad de implementarla. Esperamos que esta publicacion pro-picie, como una primera experiencia, el desarrollo de un estilo correcto de escribirmatematicas.

Morfismos

Editorial Guidelines

“Morfismos” is the journal of the students of the Mathematics Department ofCINVESTAV. One of its main objectives is for students to acquire experience inwriting mathematics. MORFISMOS appears twice a year.

Publication of papers is not restricted to students of CINVESTAV; we want toencourage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics researchreports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses will be considered forpublication, as well as invited contributed papers by researchers. Papers submittedshould be original, either in the results or in the methods. The Editors will assignas referees well–established mathematicians.

Even though MORFISMOS is a refereed journal, the papers will beconsidered as preliminary versions which could later appear in othermathematical journals.

If you have any suggestions about the journal, let the Editors know and we willgladly study the possibility of implementing them. We expect this journal to foster, asa preliminary experience, the development of a correct style of writing mathematics.

Morfismos

Contenido

Shallow potential wells for the Schrodinger equation and water waves

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces with discounted payoff

Fernando Luque-Vasquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Delta-matroides rueda ternarios

M. Guadalupe Rodrıguez Sanchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Graficas con una cubierta maximal independiente y cotas para algunos inva-riantes

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Morfismos, Vol. 6, No. 1, 2002, pp. 1-13

regnidorhcSehtrofsllewlaitnetopwollahSequation and water waves ∗

Peter Zhevandrov 1 Anatoli Merzon

Abstract

We propose a simple method for constructing asymptotics of eigen-laitnetopwollahsahtiwnoitauqeregnidorhcSehtrofsnoitcnuf

well and its generalization to the problem of water waves trappedby an underwater ridge.

2000 Mathematics Subject Classification: 81Q05, 76B15.Keywords and phrases: Potential well, trapped wave.

1 Introduction

noitauqeregnidorhcSehttahtnwonk-llewsitI

(−∆ + U)Ψ = EΨ(1.1)

in the case when U describes a shallow potential well (i.e., U = εV (x),V (x) ∈ C∞

0 (Rn), ε → 0) has exactly one eigenvalue E0 = −β2, β ∈ R,below the essential spectrum [0,∞) in the case when Rn V (x)dx ≤ 0and the dimension n of the configuration space is 1 or 2. This was estab-lished for n = 1 and in the radially symmetric case for n = 2 already inthe famous textbook of Landau&Lifshitz [5] and later was demonstratedin the general case in dimension 2 by Simon [7]. The methods used bythose authors are quite different and consist, in brief, in the following.Landau&Lifshitz construct the asymptotics of the eigenfunction in the

∗Invited article.1Institute of Mathematics, UNAM (campus Morelia); on leave from Institute of

.OCIXEM,.hciM,aileroM,nacaohciMfoytisrevinU,scitamehtaMdnascisyhP

1

2 Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

domains where V ≡ 0 and V ≡ 0 separately and then glue them to-gether; thus, the asymptotics of the eigenfunction is nonuniform andthe method per se is applicable only in the radially symmetric case forn = 2. The asymptotics of the eigenvalues is obtained from the gluingconditions. On the other hand, Simon reduces the problem to an equa-tion for the eigenvalues (secular equation) which he solves by meansof a Taylor expansion using the implicit function theorem; thus in hisapproach the asymptotics of the eigenfunction does not appear at all.Moreover, Simon’s method is by no means trivial because it uses, forexample, the theory of nuclear operators. Close results on the limitingbehavior of the resolvent can be found in [1].

Our goal here is to construct a uniform asymptotics of the eigen-function in this situation assuming that

C1 ≥ ∥Ψ∥ ≥ C2 > 0 as ε → +0,(1.2)

where C1,2 do not depend on ε and the norm is that of L2(R). It turnsout that this construction is completely elementary when one passes tothe momentum representation. Moreover, our method is equally efficientfor the Schrodinger equation and the problem of water waves trappedby a submarine ridge, which, as it is known in the folklore, is analogousto the Schrodinger equation with a potential well. The correspondingproblem after the passage to dimensionless variables reads as follows:

∆Φ− Φ = 0, −h(x) < y < 0,∂φ/∂n = 0, y = −h(x),

Φy = ω2Φ, y = 0;(1.3)

here Φ ∈ H1(−h < y < 0, x ∈ R) is the velocity potential, h(x) is thedepth, x and y are the horizontal and vertical coordinates, respectively,and ω is the frequency and at the same time the spectral parameter. Weassume that h(x) = h0 + εV (x), V (x) ∈ C∞

0 (R). From the results of [2]it follows that for sufficiently small ε there exists exactly one eigenvalueω2 below the essential spectrum [tanhh0,∞) when

!R V (x) ≤ 0. The

asymptotics of this eigenvalue was obtained in [4] for the strict inequalityin the last formula and in a closely related but different asymptoticregime (long-wave approximation).

We prove the following theorems. Denote

V (p) = (2π)−n/2"

Rne−ipxV (x)dx.

Shallow potential wells 3

Theorem 1.1 (Schrodinger equation, the case of dimension 1)1) Let !

RV (x)dx < 0.(1.4)

Then

Ψn(x) = µ3/2n

!

Reipx

a0(p) + εa1(p) + . . .+ εnan(p)

p2 + µ2n

dp,(1.5)

n = 0, 1, 2, . . ., is the asymptotics of the eigenfunction Ψ satisfying con-dition (1.2) and belonging to the eigenvalue

E = −µ2n +O(εn+5/2),(1.6)

i.e.∥Ψ−Ψn∥ = O(εn+1/2) as ε → +0.(1.7)

Moreover,

µn = ε(β0 + εβ1 + . . .+ εnβn), β0 = −"

π

2V (0), a0(p) =

V (p)

V (0),

and the remaining values β1, . . . ,βn and functions a1, . . . , an are deter-mined from system (3.10-3.13)

2) Let#R V (x)dx = 0. Then

Ψn(x) = µn

!

Reipx

a0(p) + εa1(p) + . . .+ εnan(p)

p2 + µ2n

dp,(1.8)

n = 1, 2, . . ., is the asymptotics of the eigenfunction Ψ satisfying condi-tion (1.2) and belonging to the eigenvalue E = −µ2

n + O(εn+4) in thesense that

∥Ψ−Ψn∥ = O(εn).(1.9)

Moreover,

µn = ε2(β1 + εβ2 + . . .+ εnβn),

β1 =1

2

!

R

|V (t)|2

t2dt,

β2 = − 1

2√2π

!

R+i

!

R+i

V (t− s)V (s)V (−t)

t2s2dtds,

a0(p) = V (p),

a1(p) = −β2V (p)− i

"π

2V (p)V ′(0)−

"2

π

!

R+i

V (p− t)V (t)

t2dt,

and the remaining values of β3, . . . ,βn and the functions a2, . . . , an aredetermined from system (3.10-3.13).


Theorem 1.2 (Schrodinger equation, the case of dimension 2)1) Let

!R2 V (x)dx < 0. Then

Ψ0(x) = µ1

"

R2eipx

a0(p)

p2 + µ21dp,

where

µ1 = exp1

ε(α0 + εα1),

α0 = V (0), α1 = − 1

2π

"−

R2

V (p)V (−p)

p2dp,

a0(p) = V (p),

(1.10)

is the asymptotics of the eigenfunction belonging to the eigenvalue E =−µ2

1 +O(µ21ε

2)) in the sense

∥Ψ−Ψ1∥ = O(ε).(1.11)

Here"−f(p)

p2dp =

"

|p|<1

f(p)− f(0)

p2dp+

"

|p|>1

f(p)

p2dp.

2) Let!R2 V (x)dx = 0. Then

Ψ1(x) =µ3

ε

"

R2eipx

a0(p) + εa1(p)

p2 + µ23

dp,(1.12)

where

µ3 = exp1

ε(εα1 + ε2α2 + ε3α3),

α1, a0 are determined from (1.10),

α2 =α1

(2π)2

"

R4

V (−p)V (p− t)V (−p)a0(t)

p2t2dpdt,

α3 =α2

(2π)2

"

R4

V (−p)V (p− t)V (−p)a0(t)

p2t2dpdt

+α1

(2π)2

"

R2

V (p)

p2

#"−

R2

V (p− s)a1(s)

s2ds

$

dp,

a1(p) = −α1

2π

"

R2

V (p− t)a0(t)

t2dt− α2a0(p),

is the asymptotics of the eigenfunction belonging to the eigenvalue E =−µ2

3 +O(µ23ε) in the sense ∥Ψ−Ψ1∥ = O(ε).


Remark. It is possible to construct corrections of any order to theasymptotic eigenfunction Ψ1.

Theorem 1.3 1) Let!R V (x)dx < 0. Then

Ψn(x) = µ3/2n

"

Reipx

a0(p) + εa1(p) + . . .+ εnan(p)

coshh0[L(p) + µ2n]

dp,

L(p) =#1 + p2 tanh(

#1 + p2h0)− tanhh0,

(1.13)

is the asymptotics of the trapped wave Ψ satisfying condition (1.2) andcorresponding to the frequency

ω2 = tanhh0 − µ2n +O(εn+5/2)(1.14)

in the sense (1.7). Moreover,

µn = ε(β0 + εβ1 + . . .+ εnβn),

β0 =1√

2l cosh2 h0

"

RV (x)dx, a0(p) =

V (p)

V (0),

where l = tanhh0 − h0(tanhh0)2 + h0,

(1.15)

and the remaining values β1, . . . ,βn and functions a1, . . . , an are deter-mined from the corresponding system.

2) Let!R V (x)dx = 0. Then

Ψn(x) = µn

"

Reipx

a0(p) + εa1(p) + . . .+ εnan(p)

coshh0[L(p) + µ2n]

dp(1.16)

is the asymptotics of the trapped wave Ψ satisfying condition (1.2) andcorresponding to the frequency

ω2 = tanhh0 − µ2n +O(εn+4)(1.17)

in the sense (1.9). Moreover,

µn = ε2(β1 + εβ2 + . . .+ εnβn),

β1 =1√

2l cosh2 h0

"

R|V (p)|2f(p)dp, a0(p) =

√πV (p)

β1√l cosh2 h0

,

where f(p) is a positive function, f(p) =τ2 − τ tanhh0 tanh(τh0)

τ tanh τh0 − tanhh0, τ =

#1 + p2, l is defined from (1.15) and the remaining values β2, . . . ,βn

and functions a1, . . . , an are determined from the corresponding system.


2 Heuristic considerations

Before we go further, we would like to give some heuristic considerationswhich explain the specific form of the asymptotics of the eigenfunctionsin Theorems 1.1-1.3.

We will present these arguments only in the simplest case of theSchrodinger equation in dimension 1; their generalizations for othercases are straightforward. Thus we would like to construct an approxi-mate solution of

−Ψ′′ + εV (x)Ψ = EΨ.(2.1)

We already know (although we will also obtain this fact) that in the case!V (x)dx < 0 the energy E = O(ε2), E = −µ2, say. After performing

the Fourier transform in (2.1) we obtain

Ψ(p)(p2 + µ2) = −ε"

V (p− p′)Ψ(p′)dp′,(2.2)

where the tilde denotes the Fourier transform. Obviously, for x ∈supp V (x) we have Ψ ∼ e−µ|x| with appropriate constants and theFourier transform of this function is a δ-type sequence. Hence the inte-gral in the RHS of (2.2) is approximately equal to

−εCV (p)

with some normalization constant C. Therefore, by (2.2), Ψ(p) is ap-proximately equal to

ConstA(p)

p2 + µ2,(2.3)

where A(p) = V (p) is a function from S(R). The singular dependenceof the eigenfunction on ε is reflected in the denominator in (2.3). Wenote that the structure of (2.3) is identical to formulas of Theorems 1.1-1.3. Further, expanding A and µ in regular series in ε, calculating theasymptotics of the integral in (2.2) and equating to zero the coefficientsof like powers of ε, one obtains the complete asymptotic series for Ψ.The theorem on closeness of formal asymptotics to the exact solution[6] provides the final step of the proof.

In conclusion, a few words about the water wave problem. As shownin [9], problem (1.3) reduces to the following integral equation for thefunction φ(x) = Φ|y=0:

φ(p)(L(p) + µ2) = ε"

γM(ϵ, p, p′)φ(p′)dp′,(2.4)


where µ2 = tanhh0 − ω2, L(p) is defined in (1.13), γ is an appropriatecontour in the complex plane, and the function M(ε, p, p′) is analyticin p, p′ along γ and linear in ε. Since L(p) ∼ Const p2 for small p, wesee that (2.4) is similar to (2.2) and our arguments are still valid if wechange the denominator in (2.3) to L(p) + µ2.

3 Sketch of the proof

In this section we will give a (rather detailed) sketch of the proof of thefirst item of Theorem 1.1; the idea of the proof of the other statementsis similar.

Passing to the Fourier transform in (1.1) we obtain

(p2 − E)Ψ(p) = − ε√2π

!

RV (p− p′)Ψ(p′)dp′.(3.1)

According to the scheme outlined in the previous section, we look forthe approximate solution of this equation in the form

Ψn(p) = εBnAn(p)

p2 + ε2B2n,(3.2)

An(p) = a0(p) + εa1(p) + . . .+ εnan(p).

We assume that a0(p) ≡ 0 and

Bn = β0 + εβ1 + . . .+ εnβn.(3.3)

The approximate energy level is

En = −ε2B2n.(3.4)

We will look for the solution satisfying the normalization conditions

a0(0) = 1, ak(0) = 0, k = 2, . . . , n.(3.5)

Our goal is to construct such values of β0,β1 . . . ,βn and functionsa0(p), . . . , an(p) that Ψn(p) satisfy equation (3.1) up to O(εn+2), where∥O(εn+2)∥ ≤ Const εn+2.

Substituting (3.2) and (3.4) in (3.1) we obtain an equivalent equation

εBnAn(p) = −ε2Bn√2π

!

R

V (p− p′)An(p′)dp′

p′2 + ε2B2n

.(3.6)


We will need an auxiliary lemma on the asymptotics expansions ofintegrals of the form

!

R

φ(p, t)

t2 + µ2dt(3.7)

as µ → 0, where φ(p, t) is an entire function in t and belongs to S(Rt)uniformly in p ∈ R. There are several methods of calculating suchasymptotics (see [3]); for our case the method based on the calculusof residues turns out to be more convenient. Introduce the contour inthe complex plane C:

γ1 := (−∞,−1] ∪ x+ iy : x2 + y2 = 1, |x| ≤ 1, y > 0 ∪ [1,+∞).

Lemma 3.1 Let φ(t) be an entire function and φ(t) ∈ S(R), t ∈ R.Then as µ → 0

!

R

φ(t)dt

t2 + µ2=

n"

k=0

αkµk!

γ1

φ(t)dt

tk+2(3.8)

+µ2([n2 ]+1)!

γ1

φ(t)dt

t2([n2 ]+1)(t2 − µ2)

+π

µ

n"

k=0

(iµ)kφk(0)

k!

+(iµ)n+1

n!

! 1

0(1− t)nφ(n+1)(tiµ)dt,

where αk = (1 + (−1)k)/2.

We do not give the proof of this lemma.Let us continue the proof of Theorem 1.1. Expanding the left hand

side of (3.6) in ε, using (3.2) and (3.3), we obtain

εBnAn(p) =n+1"

k=1

εk(k"

l=0

βlak−l(p)) + εn+2Rn+2(ε, β, a),(3.9)

where β = (β0,β1, . . . ,βn), a = (a0, a1, . . . , an) and Rn+2(·, ·, ·) is apolynomial in its arguments. Substituting in Lemma 3.1 µ = εBn,φ(t) = εBnV (p − t)An(t) and calculating the coefficients of ε0, ε1, ε2

and also observing how β0, . . . ,βn−1, an−2, an−1, an enter the coefficient


of εn, we obtain the expansion of the integral in the right hand side ofequation (3.6):

εBn

!

R

V (p− t)An(t)dt

t2 + ε2B2n

= πa0(0)V (p)

−επβ0[ia0(0)V ′(p)− ia′0(0)V (p)− 1

π

!

γ1

V (p− t)

t2a0(t)dt]

−a1(0)V (p)

−ε2πβ0[ia1(0)V ′(p)− ia′1(0)V (p))− 1

π

!

γ1

V (p− t)

t2a1(t)dt]

+β20 [1

2a0(0)V

′′(p)− a′0(0)V′(p) +

1

2a′′0(0)V (p)]

+β1[ia0(0)V′(p)− ia′0(0)V (p)− 1

π

!

γ1

V (p− t)

t2a0(t)dt]

−a2(0)V (p)+ . . .

−εnπβ0[ian−1(0)V′(p)− ia′n−1(0)V (p)− 1

π

!

γ1

V (p− t)

t2an−1(t)dt]

+β20 [1

2an−2(0)V

′′(p)− a′n−2(0)V′(p) +

1

2a′′n−2(0)V (p)]

+β1[ian−2(0)V′(p)− ia′n−2(0)V (p)− 1

π

!

γ1

V (p− t)

t2an−2(t)dt]

+ . . .

+βn−1[ia0(0)V′(p)− ia′0(0)V (p)− 1

π

!

γ1

V (p− t)

t2a0(t)dt]

−an(0)V (p)

+εn+1Sn+1(p, ε, β, a),

where

Sn+1(p, ε, β, a) =!

γ1

V (p− t)An(t)Pn+1(t, ε, β)

tm(n)(t2 − ε2B2n)

dt

+! 1

0Qn+1(t, ε, β)

∂n+1

∂τn+1

"V (p− τ)An(τ)

#$$$$$τ=itεBn

dt,

Pn+1(·, ·, ·), Qn+1(·, ·, ·) are polynomials in their arguments, m(n) ∈ Nand m(n) → ∞ as n → ∞.

Multiplying the obtained expression by −ε/√2π and equating in

(3.6) the coefficients of εk, k = 1, . . . , n + 1, to zero, we obtain the


system for βk, ak, k = 0, 1, . . . , n:

β0a0(p) = −!

π

2a0(0)V (p),(3.10)

β0a1(p) + β1a0(p)(3.11)

=

!π

2β0[ia0(0)V ′(p)− ia′0(0)V (p)− 1

π

"

γ1

V (p− t)

t2a0(t)dt]

−a1(0)V (p),

β0a2(p) + β1a1(p) + β2a0(p)(3.12)

=

!π

2β0[ia1(0)V ′(p)− ia′1(0)V (p))− 1

π

"

γ1

V (p− t)

t2a1(t)dt]

+β20 [1

2a0(0)V

′′(p)− a′0(0)V′(p) +

1

2a′′0(0)V (p)]

+β1[ia0(0)V′(p)− ia′0(0)V (p)− 1

π

"

γ1

V (p− t)

t2a0(t)dt]

−a2(0)V (p),

· · ·

β0an(p) + β1an−1(p) + . . .+ βn−1a1(p) + βna0(p)(3.13)

=

!π

2β0[ian−1(0)V

′(p)− ia′n−1(0)V (p))

− 1

π

"

γ1

V (p− t)

t2an−1(t)dt]

+β20 [1

2an−2(0)V

′′(p)− a′n−2(0)V′(p) +

1

2a′′n−2(0)V (p)]

+β1[ian−2(0)V′(p)− ia′n−2(0)V (p)

− 1

π

"

γ1

V (p− t)

t2an−2(t)dt] + . . .

+βn−1[ia0(0)V′(p)− ia′0(0)V (p)− 1

π

"

γ1

V (p− t)

t2a0(t)dt]

−an(0)V (p).


Lemma 3.2 System (3.10)-(3.13) is uniquely solvable under conditions(3.5) and its solutions a0, . . . , an belong to S(R).

Proof: Setting p = 0 in (3.10) and taking into account that by (1.4)V (0) = 0 we obtain

β0 = −!

π

2V (0).(3.14)

By the condition a0(0) = 1 we obtain from (3.11)

a0(p) =V (p)

V (0).(3.15)

Set p = 0 in (3.11). By (3.15) and the condition a1(0) = 0 we obtain

β1 =1

2

"

γ1

V (t)V (−t)

t2dt.(3.16)

Now let us find a1(p) from (3.11). Substituting (3.14), (3.15) and (3.16)in (3.11), and taking into account the fact that a0(0) = 1, we obtain

a1(p) =i

V (0)

!π

2[V ′(p)V (0)− V ′(0)V (p)](3.17)

− 1√2πV (0)

"

γ1

V (t)V (p− t)

t2dt

+V (p)√2πV (0)2

"

γ1

V (t)V (−t)

t2dt.

We see that indeed a1(0) = 0. Proceeding analogously, we obtain βnand an assuming that β0,β1, . . . ,βn−1, a0, a1, . . . , an−1 are known andthat ak(0) = 0, k = 2, . . . , n− 1. We look for an(p) such that an(0) = 0.Setting p = 0 in (3.13) and taking into account the fact that a0(0) = 1,we obtain

βn =

!π

2β0[−ia′n−1(0)V (0)− 1

π

"

γ1

V (−t)an−1(t)

t2dt] + . . .

+βn−1[iV′(0)− ia′0(0)V (0)− 1

π

"

γ1

V (p− t)a0(t)

t2dt];

that is, βn is uniquely determined. Substituting the last formula andβ0, . . . ,βn−1, a0, . . . , an−1 in (3.13) we see that an(p) is uniquely deter-mined since β0 = 0. It is not hard to see that indeed an(0) = 0.


Thus we are left with the proof of the fact that all the ak ∈ S(R).This is obvious for k = 0. For the function a1 this follows from (3.17),the Peetre inequality [8]

(1 + |θ|2)s ≤ 2|s|(1 + |θ − θ′|2)|s|(1 + |θ′|2)s

for all θ, s ∈ R, and the condition V (p−t) ∈ S(R+). The correspondingassertions for ak, k > 1, are proved by induction. Lemma 3.2 is proved.

Let us complete the proof of Theorem 1.1. From Lemma 3.5 and(3.10-3.13) it follows that Bn and An expressed in terms of valuesβ0, . . . ,βn and functions a0 . . . , an by means of (3.2), (3.3) solve equa-tion (3.6) up to O(εn+2). This means that the function Ψn(p) from(3.2) solves equation (3.1) up to O(εn+2). Using Lemma 1.3 from [6] weobtain after normalization (1.2) the estimate (1.6). Also from Lemma1.4 of the same book we obtain the estimate (1.7) for the eigenfunctionΨ. The first item of Theorem 1.1 is proved.

AcknowledgementThe authors express their deep gratitude for partial financial support

to CONACYT and Coordinacion de Investigacion Cientıfica (UMSNH).

P. ZhevandrovInstitute of Mathematics,UNAM (campus Morelia),Morelia, Mich., [email protected]

A. MerzonInstitute of Physics and Mathematics,University of Michoacan,Morelia, Mich., [email protected]

References

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Zero-sum semi-Markov games in Borel spaceswith discounted payoff ∗

Fernando Luque-Vasquez 1

Abstract

We study two-person zero-sum semi-Markov games in Borel spaceswith possibly unbounded payoff, under the discounted criterion.We consider the n-stage case as well as the infinite horizon case.Conditions are given for the existence of the value of the game,the existence of optimal strategies for both players, and for a char-acterization of the optimal stationary policies.

2000 Mathematics Subject Classification: 91A15, 91A25, 90C40.Keywords and phrases: Zero-sum semi-Markov games, Borel spaces,discounted payoff, Shapley equation.

1 Introduction

This paper deals with two-person zero-sum semi-Markov games withBorel spaces and possibly unbounded payoff function, under the dis-counted criterion. We consider the n-stage case as well as the infinitehorizon case. Under suitable assumptions on the transition law, thepayoff function and the distribution of the transition times, we showthe existence of the value of the game, the existence of optimal strate-gies for both players, and we also obtain a characterization for a pair ofstationary stategies to be optimal in the infinite horizon case.

Markovian stochastic games with discounted payoff have been stud-ied by several authors (for example, [1, 7, 8, 10, 11, 12]) but, to the bestof our knowledge, the only paper that studies semi-Markov stochastic

∗Invited article.1Partially supported by the Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONA-

CYT) Grant 28309E.

15

16 Fernando Luque-Vasquez

games with discounted payoff is [5], which considers a countable statespace and a bounded payoff function. Our main results generalize tothe semi-Markov context some theorems in [8, 10, 11] on which ourapproach is based. We also extend results in [5, 6].

The remainder of the paper is organized as follows. In Section 2the semi-Markov game model is described. Next, in Section 3, thediscounted criterion is introduced. In Section 4 we introduce the as-sumptions and present our main results, Theorems 4.3 and 4.4, whichare proved in Sections 5 and 6, respectively.

Terminology and notation. Given a Borel space X, i.e. a Borelsubset of a complete and separable metric space, we denote by B(X) itsBorel σ-algebra. P(X) denotes the family of probability measures onX endowed with the weak topology. If X and Y are Borel spaces, wedenote by P(X |Y ) the family of transition probabilities (or stochastickernels) from Y to X. For a transition probability f ∈ P(X |Y ), wewrite its values as f(y)(B) or f(B |y ) for all B ∈ B(X) and y ∈ Y. IfX = Y, then f is called a Markov transition probability on X.

2 The semi-Markov game

A semi-Markov game model is defined by a collection

(X,A,B,KA,KB, Q, F, , r),

whereX is the state space, and A and B are the action spaces for players1 and 2, respectively. These spaces are assumed to be Borel spaces,whereasKA ∈ B(X×A) andKB ∈ B(X×B) are the constraint sets. Foreach x ∈ X, the x-section A(x) := a ∈ A : (x, a) ∈ KA represents theset of admissible actions for player 1 in state x. Similarly, the x-sectionB(x) := b ∈ B : (x, b) ∈ KB denotes the set of admissible actionsfor player 2 in state x. Let K := (x, a, b) : x ∈ X, a ∈ A(x), b ∈B(x), which is a Borel subset of X × A × B (see [9]). Moreover,Q(· | x, a, b) is a stochastic kernel onX givenK called the transition law,and F (· | x, a, b) is a probability distribution function on R+ := [0,∞)given K called the transition time distribution. Finally, r is a real-valued measurable function on K that denotes the payoff function, andit represents the reward for player 1 and the cost function for player 2.

The game is played as follows: if x is the state of the game at somedecision (or transition) epoch, and the players independently choose

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces 17

actions a ∈ A(x) and b ∈ B(x), then the following happens: player1 receives an immediate reward r(x, a, b), player 2 incurres in a costr(x, a, b), and the system moves to a new state according to the prob-ability measure Q(· | x, a, b). The time until the transition occurs is arandom variable having the distribution function F (· | x, a, b).

Let H0 := X and Hn := (K×R+)×Hn−1 for n = 1, 2, ... . For eachn, an element

hn = (x0, a0, b0, δ1, ..., xn−1, an−1, bn−1, δn, xn)

of Hn represents the “history” of the game up to the nth decision epoch.A strategy π for player 1 is a sequence π = πn : n = 0, 1, ... ofstochastic kernels πn ∈ P(A | Hn) such that

πn(A(xn) | hn) = 1 ∀hn ∈ Hn.

We denote by Π the family of all strategies for player 1. A strategyπ = πn is called a Markov strategy if πn ∈ P(A | X) for each n =0, 1, ... , that is, each πn depends only on the current state xn of thesystem. The set of all Markov strategies of player 1 is denoted by ΠM .Let Φ1 denote the class of all transition probabilities f ∈ P(A | X)such that f(x) ∈ P(A(x)). A Markov strategy π = πn is said to bea stationary strategy if there exists f ∈ Φ1 such that πn = f for eachn = 0, 1, ... . In this case, the strategy is identified with f, and the setof all stationary strategies for player 1 with Φ1. The sets Γ, ΓM and Φ2

of all strategies, all Markov strategies and all stationary strategies forplayer 2 are defined similarly.

Let (Ω,F) be the canonical measurable space that consists of thesample space Ω := (X × A × B × R+)∞ and its product σ-algebraF . Then for each pair of strategies (π, γ) ∈ Π × Γ and each initialstate x there exist a unique probability measure P πγ

x and a stochasticprocess (xn, an, bn, δn+1), n = 0, 1, ..., where xn, an and bn representthe state and the actions for players 1 and 2, respectively, at the nthdecision epoch, whereas δn represents the time between the (n − 1)thand the nth decision epoch. Eπγ

x denotes the expectation operator withrespect to P πγ

x .

3 Optimality criteria

We assume that rewards and costs are continuously discounted andplayer 1 tries to maximize the expected discounted payoff, while player


2 tries to minimize it.

Definition 3.1. For n ≥ 1, α > 0, x ∈ X and (π, γ) ∈ Π × Γ, theexpected n-stage α-discounted payoff is defined as

(1) Vn(x,π, γ) := Eπγx

n−1!

k=0

e−αTkr(xk, ak, bk),

where T0 = 0 and Tn = Tn−1 + δn. The infinite-horizon total expectedα-discounted payoff is

(2) V (x,π, γ) := Eπγx

∞!

k=0

e−αTkr(xk, ak, bk).

To define our optimality criteria, we need to introduce the followingconcepts. The functions on X given by

(3) L(x) := supπ∈Π

infγ∈Γ

V (x,π, γ) and U(x) := infγ∈Γ

supπ∈Π

V (x,π, γ)

are called the lower value and the upper value, respectively, of the (ex-pected) α-discounted payoff game. It is clear that L(·) ≤ U(·) in general,but if it holds that L(x) = U(x) for all x ∈ X, then the common value iscalled the value of the semi-Markov game and will be denoted by V ∗(x).

In Section 3 we give assumptions that guarantee that the functionsin (1), (2) and (3) are well defined.

Definition 3.2. (a) A strategy π∗ ∈ Π is said to be α-optimal for player1 if

U(x) ≤ V (x,π∗, γ) ∀γ ∈ Γ, x ∈ X.

(b) A strategy γ∗ ∈ Γ is said to be α-optimal for player 2 if

V (x,π, γ∗) ≤ L(x) ∀π ∈ Π, x ∈ X.

(c) A pair (π∗, γ∗) ∈ Π × Γ is said to be an α-optimal strategy pairif, for all x ∈ X,

U(x) = infγ∈Γ

V (x,π∗, γ) and L(x) = supπ∈Π

V (x,π, γ∗).

We note that the existence of an α-optimal strategy either for player1 or player 2, implies that the game has a value.


For the n-stage semi-Markov game, the lower value Ln, the uppervalue Un, the value V ∗

n and optimal strategies are defined similarily.

Remark 3.3. Let

(4) βα(x, a, b) :=

! ∞

0e−αtF (dt | x, a, b).

Then using properties of the conditional expectation we can write

(5) V (x,π, γ) = Eπγx [r(x0, a0, b0) +

∞"

n=1

n−1#

k=0

βα(xk, ak, bk)r(xn, an, bn)],

and for n ≥ 1

Vn(x,π, γ) = Eπγx [r(x0, a0, b0) +

n−1"

k=1

k−1#

i=0

βα(xi, ai, bi)r(xk, ak, bk)].

4 Assumptions and main results

The problem we are concerned with is to show the existence of α-optimalstrategies which, as is well known (see for instance [7]), requires imposingsuitable assumptions on the semi-Markov game model. The first one isa regularity condition that ensures that an infinite number of transitionsdo not occur in a finite interval. The second one is a combination ofstandard continuity and compactness requirements, whereas the thirdone is a growth condition on the payoff function r.

Assumption 1 (A1). There exist θ > 0 and ε > 0 such that

F (θ | x, a, b) ≤ 1− ε ∀(x, a, b) ∈ K.

An important consequence of this assumption is the following.

Lemma 4.1. If A1 holds, then

(6) ρα := sup(x,a,b)∈K

βα(x, a, b) < 1.


Proof: Let (x, a, b) ∈ K be fixed. Then integrating by parts in (4) wehave

βα(x, a, b) = α

! ∞

0e−αtF (t |x, a, b)dt

= α[

! θ

0e−αtF (t |x, a, b)dt+

! ∞

θe−αtF (t |x, a, b)dt]

≤ (1− ε)(1− e−αθ) + e−αθ = 1− ε+ εe−αθ < 1.

As (x, a, b) ∈ K was arbitrary, we get (6). !

Assumption 2 (A2). (a) For each x ∈ X, the sets A(x) and B(x) arecompact.

(b) For each (x, a, b) ∈ K, r(x, ·, b) is upper semicontinuous on A(x),and r(x, a, ·) is lower semicontinuous on B(x).

(c) For each (x, a, b) ∈ K and each bounded and measurable functionv on X, the functions

a $−→!

v(y)Q(dy | x, a, b) and b $−→!

v(y)Q(dy | x, a, b)

are continuous on A(x) and B(x), respectively.(d) For each t ≥ 0, F (t | x, a, b) is continuous on K.

Assumption 3 (A3). There exist a measurable function w : X →[1,∞) and positive constants m and η, with ηρα < 1, such that for all(x, a, b) ∈ K

(a) |r(x, a, b)| ≤ mw(x);(b)

"w(y)Q(dy | x, a, b) ≤ ηw(x).

In addition, part (c) in A2 holds when v is replaced with w.

Remark 4.2. By Lemma 1.11 in [8], it follows that if Assumption 2(a)holds then the multifunctions A : X → 2P(A) and B : X → 2P(B) definedas A(x) := P(A(x)) and B(x) := P(B(x)) are measurable compact-valued multifunctions.

We now introduce the following notation: for any given functionh : K →R, x ∈ X, and probability measures µ ∈ A(x) and λ ∈ B(x) wewrite

h(x, µ,λ) :=

!

B(x)

!

A(x)h(x, a, b)µ(da)λ(db),


whenever the integrals are well defined. In particular,

r(x, µ,λ) :=

!

B(x)

!

A(x)r(x, a, b)µ(da)λ(db),

βα(x, µ,λ) :=

!

B(x)

!

A(x)βα(x, a, b)µ(da)λ(db),

and

Q(D | x, µ,λ) :=!

B(x)

!

A(x)Q(D | x, a, b)µ(da)λ(db), D ∈ B(X).

Bw(X) denotes the linear space of measurable functions u on X withfinite w-norm, which is defined as

∥u∥w := supx∈X

|u(x)|w(x)

.

For u ∈ Bw(X) and (x, a, b) ∈ K, we write

H(u, x, a, b) := r(x, a, b) + βα(x, a, b)

!

Xu(y)Q(dy | x, a, b).

For each function u ∈ Bw(X) let

(7) Tαu(x) := supµ∈A(x)

infλ∈B(x)

H(u, x, µ,λ),

which defines a function Tαu in Bw(X) (see Lemma 5.1 below). Wecall Tα the Shapley operator, and a function v ∈ Bw(X) is said to be asolution to the Shapley equation if Tαv(x) = v(x) for all x ∈ X. In theproof of Lemma 5.1, we show that if Assumptions 1, 2 and 3 hold, thenfor µ ∈ A(x), H(u, x, µ, ·) is l.s.c. on B(x), and for λ ∈ B(x), H(u, x, ·,λ)is u.s.c. on A(x). Thus, by Theorem A.2.3 in [2] the supremum and theinfimum are indeed attained in (7). Hence, we can write

Tαu(x) := maxµ∈A(x)

minλ∈B(x)

H(u, x, µ,λ).

We are now ready to state our main results.

Theorem 4.3. Suppose that A1-A3 hold. Then the n-stage semi-Markov game (n ≥ 1) has a value V ∗

n ∈ Bw(X) and both players haveα-optimal Markov strategies. Moreover, for each n ≥ 2,

V ∗n (x) = TαV

∗n−1(x).


Theorem 4.4. If A1-A3 hold, then(a) The semi-Markov game has a value V ∗, which is the unique

function in Bw(X) that satisfies the Shapley equation,

V ∗(x) = TαV∗(x),

and, furthermore, there exists an α-optimal strategy pair.(b) A pair of stationary strategies (f, g) ∈ Φ1 × Φ2 is α-optimal if

and only if V (·, f, g) is a solution to the Shapley equation.

5 Proof of Theorem 4.3

First we shall prove a preliminary result.Lemma 5.1. If A1-A3 hold, then for each u ∈ Bw(X), the functionTαu is in Bw(X), and

(8) Tαu(x) = minλ∈B(x)

maxµ∈A(x)

H(u, x, µ,λ).

Moreover, there exist stationary strategies f ∈ Φ1 and g ∈ Φ2 such that

(9)

Tαu(x) = H(u, x, f(x), g(x))

= maxµ∈A(x)H(u, x, µ, g(x))

= minλ∈B(x)H(u, x, f(x),λ).

Proof: By Lemma 4.1 and A3, we have that for u ∈ Bw(X) and(x, a, b) ∈ K,

|H(u, x, a, b)| ≤ mw(x) + ρα ∥u∥w ηw(x),

which, as Tαu is measurable, implies that Tαu ∈ Bw(X). On the otherhand, by A2, it follows that the function x %−→ H(u, x, a, b) is in Bw(X)and H(u, x, ·, b) is u.s.c. on A(x). Then, for fixed λ ∈ B(x), by Fatou’sLemma, the function

a %−→!

B(x)H(u, x, a, b)λ(db)

is u.s.c. and bounded on A(x). Thus, since convergence on A(x) is theweak convergence of probability measures, by Theorem 2.8.1 in [2], the


function H(u, x, ·,λ) is u.s.c. on A(x). Similarily, H(u, x, µ, ·) is l.s.c. onB(x). Moreover, H(u, x, µ,λ) is concave in µ and convex in λ. Thus, byFan’s minimax Theorem [3] we obtain (8). The existence of stationarystrategies f ∈ Φ1 and g ∈ Φ2 that satisfy (9) follows from (8) and well-known measurable selection theorems (see for instance Lemma 4.3 in[8]). !

Proof of Theorem 4.3. The proof proceeds by induction. For n = 1,the theorem follows directly from Definition 3.1 and Lemma 5.1 withu(·) = 0. Suppose the result holds for n − 1 (n ≥ 2). Let π(n−1) =(f1, f2, ..., fn−1) with fi ∈ Φ1 and γ(n−1) = (g1, g2, ..., gn−1) with gi ∈ Φ2

be a pair of α-optimal Markov strategies of players 1 and 2, respectively,in the (n− 1)-stage semi-Markov game. Then

(10) V ∗n−1(·) = Vn−1(·,π(n−1), γ(n−1)),

andV ∗n−1(·) = TαV

∗n−2(·).

For an arbitrary g ∈ Φ2 put γg = (g, g1, ..., gn−1). By definition of Un,we have

Un(x) ≤ supπ∈Π

Vn(x,π, γg),

from which we obtain

Un(x) ≤ supµ∈A(x)

!

B(x)

!

A(x)[r(x, a, b)

+ βα(x, a, b)

!supπ∈Π

Vn−1(y,π, γ(n−1))Q(dy |x, a, b)]µ(da)g(x)(db).

Therefore, by the induction hypothesis,

Un(x) ≤ supµ∈A(x)

H(V ∗n−1, x, µ, g(x)).

Hence, since g ∈ Φ2 was arbitrary,

Un(x) ≤ infλ∈B(x)

supµ∈A(x)

H(V ∗n−1, x, µ,λ),

and, by Lemma 5.1,

(11) Un(x) ≤ TαV∗n−1(x).


Similarily we obtain

(12) Ln(x) ≥ TαV∗n−1(x).

Combining (11) and (12) we get Ln(x) = Un(x) = TαV ∗n−1(x), i.e. the

n-stage semi-Markov game has a value V ∗n and V ∗

n = TαV ∗n−1. Further,

by Lemma 5.1 V ∗n ∈ Bw(X), and there exist f0 ∈ Φ1 and g0 ∈ Φ2 such

that for every f ∈ Φ1 and g ∈ Φ2,

H(V ∗n−1, x, f(x), g0(x)) ≤ V ∗

n (x)(13)

= H(V ∗n−1, x, f0(x), g0(x))

≤ H(V ∗n−1, x, f0(x), g(x)).

Let π(n) = (f0, f1, ..., fn−1) and γ(n) = (g0, g1, ..., gn−1). Then, from (10)and (13) it follows that π(n) and γ(n) are α-optimal strategies for players1 and 2, respectively. !

6 Proof of Theorem 4.4

To prove Theorem 4.4, we need some preliminary lemmas for whichwe require the following notation. For a pair of stationary strategies(f, g) ∈ Φ1 × Φ2, we define the operator Tfg on Bw(X) as:

Tfgu(x) := H(u, x, f(x), g(x)).

It is clear (see the proof of Lemma 5.1) that Tfgu belongs to Bw(X)for each u ∈ Bw(X).

Lemma 6.1. If A1-A3 hold, then both Tα and Tfg are contractionoperators with modulus ηρα < 1.

Proof: First we note that both operators are monotone. That is, ifu, v ∈ Bw(X) and u(·) ≤ v(·), then for all x ∈ X

Tfgu(x) ≤ Tfgv(x).

Similarly, Tαu(x) ≤ Tαv(x) for all x ∈ X. Also, it is easy to see that fork ≥ 0,

Tfg(u+ kw)(x) ≤ Tfgu(x) + ραηkw(x) ∀x ∈ X,

and

(14) Tα(u+ kw)(x) ≤ Tαu(x) + ραηkw(x) ∀x ∈ X.


Now, for u, v ∈ Bw(X), by (14), the monotonocity of Tα and the factthat u ≤ v + w ∥u− v∥w , it follows that

Tαu(x) ≤ Tαv(x) + ραη ∥u− v∥w w(x) ∀x ∈ X,

so that

(15) Tαu(x)− Tαv(x) ≤ ραη ∥u− v∥w w(x) ∀x ∈ X.

If we now interchange u and v we obtain

(16) Tαu(x)− Tαv(x) ≥ −ραη ∥u− v∥w w(x) ∀x ∈ X,

and combining (15) and (16) we get

|Tαu(x)− Tαv(x)| ≤ ραη ∥u− v∥w w(x) ∀x ∈ X,

i.e.∥Tαu− Tαv∥w ≤ ραη ∥u− v∥w .

Hence, Tα is a contraction operator with modulus ραη. Using the samearguments we can prove that Tfg is a contraction operator with thesame modulus ραη. !

Remark 6.2. Since Tα and Tfg are contraction operators, by Banach’sFixed Point Theorem there exist functions v∗ and vfg in Bw(X) suchthat Tαv∗(x) = v∗(x) and Tfgvfg(x) = vfg(x) for all x ∈ X.

Lemma 6.3. For a pair of stationary strategies (f, g) ∈ Φ1 × Φ2, thefunction V (·, f, g) is the unique fixed point of Tfg in Bw(X).

Proof: We have to show that V (x, f, g) = TfgV (x, f, g) ∀x ∈ X. Now,

V (x, f, g) = Efgx r(x0, a0, b0) +

∞!

n=1

n−1"

k=0

βα(xk, ak, bk)r(xn, an, bn)

= r(x, f(x), g(x)) + Efgx

∞!

n=1

n−1"

k=0

βα(xk, ak, bk)r(xn, an, bn)

= r(x, f(x), g(x)) + Efgx βα(x0, a0, b0)Efg

x [r(x1, a1, b1)

+∞!

n=2

n−1"

k=1

βα(xk, ak, bk)r(xn, an, bn) |h1 ]

= r(x, f(x), g(x)) + Efgx βα(x0, a0, b0)V (x1, f, g)

= TfgV (x, f, g).


Thus, V (·, f, g) is the fixed point of Tfg. !

Lemma 6.4. Suppose that A1-A3 hold, and let π and γ be arbitrarystrategies for players 1 and 2, respectively. Then for each x ∈ X andn = 0, 1, ...

(a) Eπγx w(xn) ≤ ηnw(x),

(b) |Eπγx r(xn, an, bn)| ≤ mηnw(x),

(c) limn→∞Eπγx (

!n−1k=0 βα(xk, ak, bk)u(xn)) = 0 for each u ∈ Bw(X).

Proof: For n = 0, (a) and (b) are trivially satisfied. Now, if n ≥ 1 then,by A3(b),

Eπγx [w(xn) | hn−1, an−1, bn−1] =

"w(y)Q(dy | xn−1, an−1, bn−1)

≤ ηw(xn−1).

Hence Eπγx w(xn) ≤ ηEπγ

x w(xn−1), which by iteration yields (a). Part(b) follows immediately from (a) and A3(a). To prove (c), we observethat Lemma 4.1 and (a) yield#####E

πγx [

n−1$

k=0

βα(xk, ak, bk)u(xn)]

##### ≤ ρnαEπγx |u(xn)| ≤ ρnα ∥u∥w Eπγ

x w(xn)

≤ (ραη)n ∥u∥w w(x).

This yields (c), since ραη < 1. !

Proof of Theorem 4.4. (a) Let Vα be the unique fixed point in Bw(X)of Tα. Then

Vα(x) = TαVα(x) = maxµ∈A(x)

minλ∈B(x)

H(Vα, x, µ,λ).

By Lemma 5.1 there exists a pair of stationary strategies (f∗, g∗) ∈Φ1 × Φ2 such that

Vα(x) = H(Vα, x, f∗(x), g∗(x))(17)

= minλ∈B(x)

H(Vα, x, f∗(x),λ)

= maxµ∈A(x)

H(Vα, x, µ, g∗(x)).

We will prove that Vα is the value of the semi-Markov game and that(f∗, g∗) is an α-optimal strategy pair. The first equality in (17) implies


that Vα is the fixed point in Bw(X) of Tf∗g∗ . Thus, by Lemma 6.3,Vα(·) = V (·, f∗, g∗), so that it is enough to show that for arbitraryπ ∈ Π and γ ∈ Γ,

(18) V (x, f∗, γ) ≥ V (x, f∗, g∗) ≥ V (x,π, g∗) ∀x ∈ X.

We will prove the second inequality in (18). A similar proof can begiven for the first inequality. By (5) we have

V (x,π, g∗) = Eπg∗x r(x0, a0, b0) +

∞!

n=1

n−1"

k=0

βα(xk, ak, bk)r(xn, an, bn).

From properties of the conditional expectation we have for n ≥ 1, hn ∈Hn, an ∈ A(xn), and bn ∈ B(xn),

Eπg∗x

#nk=0 βα(xk, ak, bk)V (xn+1, f∗, g∗) | hn, an, bn

=#n

k=0 βα(xk, ak, bk)Eπg∗x V (xn+1, f∗, g∗) | hn, an, bn

=#n

k=0 βα(xk, ak, bk)$V (y, f∗, g∗)Q(dy | xn,πn(hn), g∗(xn))

=#n−1

k=0 βα(xk, ak, bk)βα(xn, an, bn)$V (y, f∗, g∗)Q(dy | xn,πn(hn),

g∗(xn)) + r(xn,πn(hn), g∗(xn))− r(xn,πn(hn), g∗(xn))

≤#n−1

k=0 βα(xk, ak, bk)[V (xn, f∗, g∗)− r(xn,πn(hn), g∗(xn))].

Equivalently, for n ≥ 1

#n−1k=0 βα(xk, ak, bk)V (xn, f∗, g∗)

−Eπg∗x

#nk=0 βα(xk, ak, bk)V (xn+1, f∗, g∗) | hn, an, bn]

≥#n−1

k=0 βα(xk, ak, bk)r(xn,πn(hn), g∗(xn)).

We also have

V (x0, f∗, g∗)− Eπg∗

x [βα(x0, a0, b0)V (x1, f∗, g∗)] ≥ r(x0,π0(x0), g

∗(x0)).


Now, taking expectations and summing over n = 0, 1, ..., N we obtain

V (x, f∗, g∗)− Eπg∗x

N!

k=0

βα(xk, ak, bk)V (xN+1, f∗, g∗)

≥ Eπg∗x [r(x0, a0, b0) +

N"

n=1

n−1!

k=0

βα(xk, ak, bk)r(xn, an, bn)].

Finally, letting N → ∞, by (5) and Lemma 6.4 (c) we obtain the re-quired result.

(b) (=⇒) Suppose that (f, g) ∈ Φ1 × Φ2 is a pair of α-optimalstationary strategies. Then for all x ∈ X, π ∈ Π and γ ∈ Γ,

(19) V (x, f, γ) ≥ V (x, f, g) ≥ V (x,π, g).

Fix x ∈ X and for an arbitrary λ ∈ B(x) define γ = (γn) as follows:γ0 = λ and γn = g for n = 1, 2, .... Then, by the first inequality in (19),

V (x, f, g) ≤ V (x, f, γ) =

#

B(x)

#

A(x)[r(x, a, b)

+ βα(x, a, b)

#V (y, f, g)Q(dy |x, a, b)]f(x)(da)λ(db).

It follows thatV (x, f, g) ≤ H(V (·, f, g), x, f,λ),

from which we getV (x, f, g) ≤ TαV (x, f, g).

Similarily, we can prove

V (x, f, g) ≥ TαV (x, f, g),

and combining the last two inequalities we get the desired result.(⇐=) The proof of this part is contained in the proof of part (a). !

AcknowledgementThe author wishes to thank Professor Onesimo Hernandez-Lerma

for his valuable comments and suggestions.

Fernando Luque-VasquezDepartmento de Matematicas,Universidad de Sonora,Rosales y Blvd. Luis Encinas,Hermosillo, Sonora, [email protected]


References

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Delta-matroides rueda ternarios ∗

M. Guadalupe Rodrıguez Sanchez 1

Resumen

-atledednoicatneserperedaıroetalneotreibaamelborpnUmatroides es el de hallar una lista de obstrucciones para GF (3)-representabilidad por medio de matrices antisimetricas. Se daun primer paso en la resolucion de este problema para una claseparticular de delta-matroides llamados delta − matroides rueda.Estos delta-matroides son binarios y tienen asociadas ruedas comosus graficas fundamentales. Se exhibe la lista de obstruccionesque caracteriza a esta clase con respecto a su representabilidadsobre el campo GF (3). Por otro lado, tambien se exhiben dosdelta-matroides cuyas graficas fundamentales son ruedas parcialesy que son menores de una clase bien definida de delta-matroides.Estos son DW3,6 , que es obstruccion para la ternaridad de losdelta-matroides inducidos por ruedas parciales alternadas del tipoWk,2k, con k impar, y DW4R que es obstruccion para ternaridadde los delta-matroides DW

4,3k1+3k2+4cuyas graficas fundamentales

son ruedas parciales, caracterizadas informalmente, por tener tresrayos consecutivos y un rayo no consecutivo a los anteriores.

2000 Mathematics Subject Clasification: 05B35.Keywords and phrases: delta-matroides, obstrucciones, ternaridad.

1 Introduccion

En este artıculo se caracterizan aquellos delta-matroides binarios quetienen como graficas fundamentales a ruedas, ası como a dos clases de

∗El contenido de este trabajo representa parte de la tesis de grado presentada porla autora dentro del programa de doctorado del Departamento de Matematicas delCINVESTAV.

1Universidad Autonoma Metropolitana, UAM-A.

31

32 M. Guadalupe Rodrıguez Sanchez

delta-matroides binarios cuyas graficas fundamentales son ruedas par-ciales, la primera clase es inducida por ruedas del tipoWk,2k y la segundapor ruedas del tipo W4,3k1+3k2+4. Estos resultados se pueden ver dentrode un contexto mas general, determinado por el problema de carac-terizar los delta-matroides binarios D=(V,F) representables mediantematrices antisimetricas tales que admiten un signado de su matriz derepresentacion, de tal manera que la matriz signada sea una matriz derepresentacion para el delta-matroide D, sobre el campo GF (3). Esdecir, la clase de delta-matroides binarios que a su vez son ternarios.

Se tiene que las graficas fundamentales de los delta-matroides ruedaminimales no ternarios estan fuertemente conectados con la lista deobstrucciones de graficas circulares dadas por Bouchet [11]. De hechoambas listas difieren solo en el delta-matroide cuya grafica fundamentales W6, que es la rueda usual con seis rayos.

Las graficas circulares estan relacionadas con estructuras matroidales.Se sabe que las graficas fundamentales de un matroide son siempre bi-partitas y que dado un delta-matroide par, este es ∆-equivalente a unmatroide si y solo su grafica fundamental es bipartita, ver [8]. Ahorabien, una grafica bipartita es una grafica circular si y solo si es la graficafundamental de un matroide plano; es decir, un matroide grafico con-struıdo a partir de una grafica plana. En este contexto, es importantenotar que los delta-matroides que no provienen de un matroide tienengraficas simples como sus graficas fundamentales.

Considerese G = (V,E) una grafica simple. Sea Gs la grafica Gcon una orientacion de sus aristas, y sea A la matriz de adyacencia deGs. A=Auv : u, v ∈ V es una matriz antisimetrica cuyas entradaspertenecen al conjunto 0, 1,−1 tal que Auv=+1 si y solo si uv es unaarista orientada de u a v, V es el conjunto de los vertices de G. Laorientacion de Gs se dice que es unimodular si A satisface:

det (A[W ]) ∈ −1, 0, 1, W ⊆ V. (*)

Bouchet [4] establece que toda grafica circular admite una orientacionunimodular. Ahora bien, se dice que un delta-matroide binario esregular si existe un signado de su matriz binaria de representacion quecumpla la propiedad (*).

Se tiene que W6 no puede orientarse de forma unimodular. W5, quees una obstruccion para las graficas circulares, esta contenida en W6,como grafica circular, es decirW5=((W6∆0)\0)∆x para cualquierx ∈ 1, ..., 6. Es importante notar que DW5 como delta-matroide, no

Delta-matroides rueda ternarios 33

es un menor de DW6 , de hecho DW6 es minimal no ternario, en surepresentacion con matrices antisimetricas.

El conocido teorema de Tutte para matroides regulares, ha sidogeneralizado para delta-matroides tanto en su representacion simetricacomo antisimetrica [17]. Para el caso antisimetrico se puede enunciarde la siguiente forma: sea D un delta-matroide par, D es regular si ysolo si D es representable sobre los campos GF (2) y GF (3). De estamanera un delta-matroide binario es regular si y solo si es ternario.Luego las graficas circulares minimales para las cuales no existe unaorientacion unimodular, son delta-matroides binarios que no puedenser representados sobre GF (3), por medio de matrices antisimetricas.Por lo dicho anteriormente, se tiene que la caracterizacion de los delta-matroides ternarios da como corolario la caracterizacion de los delta-matroides regulares, problema fundamental dentro de esta teorıa, queaun sigue abierto. Esta es una de las motivaciones centrales de estetrabajo. Aunque las obstrucciones aquı presentadas se pueden hallar enparte a partir de la unimodularidad de las graficas circulares y en partemediante el estudio emprendido por Geelen sobre los delta-matroidesregulares, cabe resaltar que aquı se obtienen en forma unificada, pormetodos tecnicamente distintos, que pueden ser generalizados para laresolucion del problema general. De hecho ya se tienen avances impor-tantes en esta direccion.

2 Conceptos Fundamentales de Delta-matroides

Un delta − matroide es una pareja D = (V,F), con V un conjuntofinito y F es una familia de subconjuntos de V , que cumple un axiomade cambio de base:

(A∆) Para F1, F2 ∈ F y x ∈ F1∆F2, existe y ∈ F1∆F2, tal queF1∆x, y ∈ F .

A los elementos de F se les llama bases de D, ∆ es el operadordiferencia simetrica entre conjuntos.

Una aplicacion ∆ es una operacion que convierte a D en D′ = D∆X= (V,F∆X) donde F∆X = F∆X : F ∈ F y X ⊆ V . Se dice que D′

es un delta-matroide ∆-equivalente a D.(V,F) es un matroide si y solo si (V,F) es un delta-matroide tal que

sus bases son equicardinales. Si M es un matroide entonces M∆V es elmatroide dual de M .

Se dice que un delta-matroide D es representable o tiene una rep-


resentacion lineal sobre un campo F si existe una (V × V )-matriz Asimetrica o antisimetrica, con entradas en F, que cumple que:

A[F ] es no singular ⇐⇒ F ∈ F ,

donde A[F ]=Ai,j : i, j ∈ F, F ⊆ V . A las matrices A[F ] se les llamasubmatrices principales. Por convencion se considera A[F ] no singular,si F = ∅.

Si A es una (V × V )-matriz simetrica o antisimetrica, se denota porD(A) al delta-matroide que se obtiene tomando como sus bases a losF ⊆ V tales que A[F ] son las submatrices principales no singulares deA. Un delta-matroide D = (V,F) tal que ∅ ∈ F se dice que es normal.Ası todo delta-matroide representable es normal.

Considerense x ∈ V y los conjuntos dados a continuacion:

F \ x = F : F ⊆ V \ x, F ∈ F,F x = F : F ⊆ V \ x, F ∪ x ∈ F.

Se definen dos menores elementales de un delta-matroide, el primerocomoD\x = (V \x,F\x), D\x es un menor elemental deD obtenido porborrado del elemento x; el segundo se define como Dx = (V \x,F x),Dx es un menor elemental de D obtenido por contraccion del elementox. En general, unmenor se obtiene tomando varios menores elementalessucesivamente, sin importar el orden en que esto se realice. A. Bouchet[9] probo que todo menor normal de un delta-matroide representablesobre F con una matriz antisimetrica es tambien F-representable pormedio de una matriz antisimetrica.

Una propiedad importante, relativa a la toma de menores y surelacion con la operacion ∆, se encuentra en [9]. Se enuncia a contin-uacion, pues sera de gran ayuda en el desarrollo de este trabajo. Paratodo delta-matroide D = (V,F), x ∈ V y F ⊆ V , se cumple:

(P) (D∆F ) \ x = (D x)∆(F − x) si x ∈ F .

Sea D=(V,F) un delta-matroide y sea F una base de D. Se definela grafica simple GD(F )=(V,ED), con ED=xy : F∆x, y ∈ F. AGD(F ) se la llama la grafica fundamental del delta-matroide D re-specto a F . En este trabajo solamente se usaran graficas fundamentalesrespecto al ∅ y se hara referencia a ellas simplemente como las graficasfundamentales del delta-matroide en cuestion.


Un delta-matroide para el cual todas sus bases tienen la misma pari-dad, esto es la misma cardinalidad modulo 2, se dice que es par. En otrocaso, se dice que el delta-matroide es impar. Un matroide es un casoparticular de un delta-matroide par, esto debido a la equicardinalidadde sus bases.

3 Signados y Orientaciones

Dada una (V × V )-matriz antisimetrica A, con entradas 0, 1, cabeaclarar que en el caso binario, una matriz antisimetrica es una matrizsimetrica con su diagonal principal nula. Se define A′ como una matrizsignada que proviene de A, si a cada entrada 1 de A le corresponde enA′, +1 o −1. Se dice que A tiene un signado compatible si para todasubmatriz principal de A, sea esta A[X] con X ⊆ V , se cumple quedet2A[X] = 0 ⇒ det3A′[X] = 0 para toda X ⊆ V , donde detr denota aldeterminante de A[X] calculado sobre el campo GF (r), r = 2, 3.

Sea D = (V,F) un delta-matroide binario normal que puede serrepresentado mediante una matriz antisimetrica AD=[aij ] con i, j ∈V . Se considera la grafica simple GAD , tal que AD es su matriz deadyacencia. GAD es la grafica fundamental de D, relativa a AD. AsıGAD es una grafica cuyos vertices son los elementos de V y hay unaarista de i a j, si ai,j = 0; i, j ∈ V .

Dado que existe una correspondencia biyectiva entre las graficas sim-ples y sus matrices de adyacencia, es equivalente estudiar una matrizantisimetrica A y su grafica fundamental GA, ası se puede ver el signadode A como una orientacion de GA. Sea A=[aij ] con i, j ∈ V , si aij = +1,se pone una flecha del vertice i al vertice j, si aij = −1, se pone unaflecha del vertice j al vertice i.

En las matrices de representacion se consideran los renglones y colum-nas etiquetados por los elementos de V . Considerese x ∈ V , se dice quese realiza una operacion conmutador sobre x en A′ si se cambian lossignos en el renglon y la columna de A′ que tienen como etiqueta a x.El efecto de esta operacion sobre GA es invertir las orientaciones de lasaristas incidentes a x. En GA, a la operacion descrita se la llama unaoperacion valida sobre x.

Lema 3.1 La operacion conmutador sobre x ∈ V no altera los deter-minantes de las submatrices A′[X], X ⊆ V .


Este lema se obtiene directamente aplicando las propiedades de losdeterminantes.

Para el estudio de representabilidad de delta-matroides son impor-tantes dos hechos: la obtencion y analisis de los delta-matroides ∆-equivalentes y la obtencion de sus menores. Para un delta-matroide bi-nario D, con una matriz de representacion antisimetrica A, se puedenestudiar directamente sobre la grafica GA las operaciones mencionadas.Considerese GA=(VG, EG) una grafica simple. Para U1, U2 ⊆ VG se de-fine [U1, U2]=u1u2 ∈ EG : u1 ∈ U1, u2 ∈ U2, complementar [U1, U2]consiste en borrar todas las aristas de [U1, U2] y poner una arista, paratodo par no ordenado u1u2, u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2 la cual no era unaarista en GA. Sean uw ∈ EG, B=N(u) \ N(w), C=N(u) ∩ N(w) yD=N(w) \ N(u), donde N(v) denota el conjunto de los vertices adya-centes a v en una grafica, v ∈ u,w. Una complementacion local a lolargo de uw es la operacion que consiste en complementar los conjuntosde aristas [B,C], [C,D] y [D,B]. Un pivoteo de GA en uw es la op-eracion que consiste en efectuar una complementacion local de GA a lolargo de uw y despues intercambiar las etiquetas u y w.

Considerense D1=(V,F1) un delta-matroide, A1 una matriz de rep-resentacion de D1 sobre GF (2) y GA1 su grafica fundamental. Sea xyuna arista de GA1 , si se realiza un pivoteo en esta grafica a lo largo dexy, se obtiene GA2 , que es la grafica fundamental de un delta-matroideD2=(V,F2) que es ∆-equivalente a D1. Este pivoteo sobre la matriz A1

se ve como un pivoteo respecto a la submatriz no singular A1[x, y].Para D = (V,F) un delta-matroide, A una matriz binaria de repre-sentacion de D y x ∈ V , se puede dar una interpretacion de la toma demenores elementales del delta-matroide D utilizando la grafica funda-mental relativa a A. Para obtener la grafica fundamental de D \ x, seborra el vertice x y todas las aristas de GA incidentes a x. La graficafundamental de D x se obtiene, de la siguiente manera, se considerauna arista xy de GA, entonces por (P) se tiene:

(D∆x, y) \ x = (D x)∆y ,

luego basta con realizar un pivoteo sobre la arista xy y borrar, despues,el vertice x.

A continuacion se dan dos lemas importantes para abordar el estudiodel problema planteado. El primero se refiere al valor de los determi-nantes asociados a los circuitos inducidos de una grafica. El segundorelaciona el estudio de representabilidad de los delta-matroides pares,con representaciones mediante matrices antisimetricas.


Lema 3.2 Sean A una matriz antisimetrica con entradas en GF (2) yGA su grafica de adyacencia. Para todo circuito inducido C de GA secumple que det2(C)=0.

Demostracion: La matriz de adyacencia asociada a un circuito in-ducido de una grafica presenta dos 1’s en cada renglon y en cada columna.El lema se tiene, del hecho de que cualquier renglon es combinacion lin-eal de los otros, ası el determinante que le corresponde sobre GF (2) escero.

Lema 3.3 Si A es una (V × V )-matriz antisimetrica, entonces D(A)es un delta-matroide par.

Demostracion: Este lema es consecuencia del hecho de que para unamatriz antisimetrica se tiene que todos los determinantes de las subma-trices principales de orden impar son cero.

4 Delta-matroides rueda

Un k − ciclo, denotado por Ck, es una grafica simple, conexa, regularde grado 2, con k vertices. La rueda Wk se construye agregando unvertice central 0, adyacente a cada uno de los vertices de Ck. A Ck sele llama el aro de la rueda y a las aristas que unen el vertice 0 con cadavertice del aro se les llama rayos. Una rueda parcial Wh,k, 2 ≤ h ≤ k,es una rueda Wk, con k − h rayos borrados. Los vertices de Ck, senumeran consecutivamente de 1 a k, de tal manera que a todo verticei, recorriendo el aro hacia la derecha, le sigue i+ 1, para i = 1, ...k − 1.Una rueda parcial alternante es una rueda de la forma Wk,2k tal quehay un rayo del vertice central a cada uno de los vertices impares (opares) del aro.

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Ruedas W5,W6 y W7

Figura 1.


Un delta-matroide rueda DWk es un delta-matroide binario, tal quesu grafica fundamental es Wk, k ∈ Z+, k ≥ 3 . Si AWk es la matriz deadyacencia de Wk, entonces DWk=D(AWk). Es decir, DWk=(V,FWk),donde V = 0, 1, 2, ..., k y FWk= X ⊆ V ;AWk [X] es no-singular.De esta forma AWk es una representacion lineal de DWk sobre GF (2).De la misma manera toda rueda parcial Wh,k origina un delta-matroideDWh,k .

En esta seccion, se demuestra que hay tres delta-matroides ruedaminimales que no son ternarios; es decir que no sonGF (3)-representablesmediante matrices antisimetricas, y que no hay ningun otro delta-ma-troide rueda que sea minimal con esta propiedad.

El problema deGF (3)-representabilidad del delta-matroideDWk conAWk su matriz de representacion binaria asociada, puede verse comoantes, DWk es GF (3)-representable si existe un signado de AWk tal quela matriz signada As

Wkes antisimetrica y para todo F , base de DWk

sobre GF (2), F es tambien una base sobre GF (3). O equivalentementeen terminos de la grafica fundamental Wk, correspondiente al delta-matroide DWk , DWk es GF (3)-representable, si existe una orientacioncompatible de Wk, a partir de la matriz AWk .

Lema 4.1 Sea una grafica que consiste solo de un camino cerrado pcon un numero impar de aristas. Dada una orientacion arbitraria desus aristas, p puede transformarse en un camino cerrado con todas susaristas orientadas en un solo sentido, mediante un numero finito deoperaciones validas sobre los vertices de p.

Demostracion: Sea m el numero de aristas de p. Considerese unaorientacion arbitraria de p, elıjase cualquier arista a, considerese la ori-entacion de a, esta conduce a una particion de las aristas de p. Se diceque las aristas que estan orientadas con la direccion de a, estan en laclase I, las restantes pertenecen a la clase II. Como el numero de aris-tas de p es impar, la cardinalidad de una clase es par y la de la otraclase es impar. Pıntense de azul las aristas de la clase con cardinalidadpar y de rojo, las restantes, Llamese un segmento a cada subconjuntomaximal de aristas de p tal que sus aristas adyacentes tienen un mismocolor. El resultado de hacer esto es que se obtiene un numero par desegmentos de aristas, alternados en colores. Sea n=2k, con k ∈ Z+, elnumero de segmentos de p. El lema sera demostrado por induccion sobrek. Sea k=1, entonces el camino tiene dos segmentos, uno cardinalidadpar y otro impar. Se aplica, sobre el camino par la siguiente estrate-gia: se consideran los vertices extremos del segmento de cardinalidad


par. Empezando por cualquiera de estos, se numera el primero con 1, elsiguiente sobre el camino con 2 y asi sucesivamente hasta terminar en elotro vertice extremo. Se efectua sobre los vertices pares una operacionconmutador. De esta manera las aristas azules se convierten en rojas,quedando todo el camino rojo. Es decir, con una unica orientacion.

Supongase que el lema se cumple para k, se demostrara que tambienes valido para k + 1. Sea n = 2(k + 1), hay k + 1 segmentos de cadacolor. Se tienen dos casos:

CASO 1. Si k+1 es impar debe haber, al menos, un segmento azulde cardinalidad par, pues si todos los segmentos azules fueran de car-dinalidad impar, como hay un numero impar de segmentos, habrıa unnumero impar de aristas azules, lo cual serıa una contradiccion.

Se aplica sobre un segmento par la estrategia descrita en el paso 1de induccion, con lo cual se obtienen k segmentos de cada color. Luegose tiene el lema.

CASO 2. Si k + 1 es par, debe haber al menos, un segmento rojode cardinalidad par. Si no fuera ası, todos los segmentos rojos serıanimpares y como hay un numero par de ellos, el numero de aristas rojasserıa par, lo cual contradice la coloracion inicial.

Se procede como en el caso 1 sobre un segmento rojo de cardinalidadpar, obteniendo 2k segmentos, los cuales se sabe se pueden orientar enun solo sentido, por argumentos de induccion.

Teorema 4.2 DW5 , DW6 y DW7 son delta-matroides rueda minimalesno representables sobre GF (3), mediante matrices antisimetricas.

Demostracion: Supongase que DW5 , DW6 y DW7 son delta-matroidesque son GF (3)-representables con matrices antisimetricas, entonces ex-isten sus correspondientes matrices de representacion, sean estas A5, A6

y A7. De manera natural, cada una de ellas induce una orientacion delas graficas W5, W6 y W7. Sea Ab

k la matriz de representacion de DWk

sobre GF (2), esta se obtiene de Ak sustituyendo las entradas -1 por 1,k = 5, 6, 7. Luego, debe cumplirse que:

det2Abk[X] = 0 ⇔ det3Ak[X] = 0, (∗∗)

para todo X ⊆ V .Considerese Wk y sean ci los cuadrados, tales que sus vertices son

0, i y los dos vertices consecutivos en el aro, tomados a la derecha de i.Todo cuadrado ci tiene cuatro orientaciones posibles, llamense las tres


primeras Or1 Or2 y Or3, en el orden que se presentan a continuacion:

[↑−→←− ↓], [↑−→−→ ↑], [↑←−−→ ↓].

Para dichas orientaciones se cumple que:

det2Abk[ci] = det3Ak[ci] = 0.

Para la cuarta se tiene que:

det3Ak[↑−→−→ ↓] = 0,

La ultima orientacion sera llamada orientacion µ. Es importante hacerdos observaciones: la primera es que la diagonal que aparece en los ci nocontribuye al valor del determinante, la segunda es que toda orientacionde Wk induce una orientacion de cada uno de los cuadrados c1, ..., ck, yrecıprocamente, al orientar los cuadrados c1, ..., ck−1 se construye unaorientacion de Wk, para k = 5, 6, 7.

En [9] se demuestra que no existe una orientacion compatible paraW5, luego DW5 no es GF (3)-representable con matrices antisimetricas.A7 debe tener un signado compatible, ya que por hipotesis, DW7 esternario. Considerese la orientacion correspondiente para W7. Por ellema 4.1, se puede efectuar un numero finito de operaciones conmutadorsobre las aristas del aro, de manera que el aro de W7 quede orientado enun solo sentido. Si se hace lo anterior, para W7 existen dos orientacionesposibles, estas son: Or1 Or1 Or2 Or2 Or1 Or1 o Or2 Or2 Or1 Or1Or2 Or2. En los dos casos mencionados, los cuadrados c1, c2, ..., ck−1presentan una orientacion compatible, pero el cuadrado ck queda con laorientacion µ. Esto contradice la representabilidad de W7.

Para el analisis de W6, se pueden orientar compatiblemente todoslos cuadrados c1, c2, ..., ck, sin que ocurra la orientacion µ, con una ori-entacion de este tipo, el aro nunca queda orientado en una sola direccion.Considerese cualquier orientacion deW6 que evite la orientacion µ de suscuadrados, esta orientacion nos induce un signado antisimetrico de lamatriz A6. Esta matriz cumple (**) para los X ⊆ V tales que | X |= 2y | X |= 4. Solo resta considerar F = 1, 2, 3, 4, 5, 6 que correspondeal aro de W6. Considerense las orientaciones de C6, el circuito con seisaristas, hay dos clases disjuntas de orientaciones, llamense estas OrA yOrB. Se dira que dos orientaciones pertenecen a una misma clase si sepuede pasar de una a otra mediante un numero finito de operacionesconmutador, aplicadas a los vertices de C6. Sea OrA la orientacion que


tiene un numero par de aristas orientadas en cada direccion y OrB laorientacion que tiene un numero impar de aristas en cada direccion. Setiene que det3F = 0 con OrA y det3F = 0 con OrB, pero det2F = 0.Luego si DW6 es GF (3)-representable, el aro debe tener la orientacionOrA.

Esto no es posible si todos los cuadrados tienen una orientaciondistinta de la orientacion µ. Por lo tanto, no existe una orientacionpara W6 que se traduzca en una representacion de DW6 sobre GF (3).Esto contradice la suposicion inicial.

Falta mostrar que DW5 , DW6 y DW7 son minimales, no representa-bles sobre GF (3), con matrices antisimetricas. Debido a la simetrıa deDWk , solo se deben analizar cuatro menores elementales distintos, paracada DWk :

DWk \ 0, DWk 0, DWk \ x y DWk x con x ∈ 1, ..., k.

•

• •

• •

1

4 3

5 2

M1

•

• •

• •0 1

2 4

3

M2

•

• •

• •

1 4

2

5 3

M3

Menores de W5Figura 2.

Para DW5 se tiene que sus cuatro menores elementales son ∆-equiva-lentes, es decir, partiendo de uno de sus menores elementales se puedenobtener los restantes realizando complementaciones locales sobre lasaristas de su grafica fundamental. Sean M1=DW5 \ 0, M2=DW5 5y M3=DW5 0 ∼= DW5 \ 5, tal como aparecen en la figura 2. Setiene que M2=M1∆3, 4 y M3=M2∆0, 1. Se da una matriz de rep-resentacion de DW5 \ 5 sobre GF (3):

0 1 2 3 40 0 1 1 -1 -11 -1 0 1 0 02 -1 -1 0 1 03 1 0 -1 0 14 1 0 0 -1 0 .

Para DW6 , DW6 \ 6 es isomorfo a DW6 6, luego basta exhibirlas orientaciones de las graficas fundamentales correspondientes a DW6 \


6, DW6 \ 0 y (DW6 0)∆6. Estas aparecen en la figura 3, en elorden mencionado.

•5

•4

•0 •3

•1 •2

❯

•5

•4

•6 •3

•1 •2

❯

•1

•5 6 4

• •

•2 3•

❯

❯

Menores de DW6

Figura 3.

Para DW7 , se exhiben las graficas fundamentales que correspon-den a una GF (3)-representacion para cada uno de sus menores ele-mentales. En la figura 4, aparecen en el siguiente orden: DW7 \ 7,(DW7 7)∆6 y (DW7 0)∆7.

❯

❨

0

•1 • 6

•2

•0

• 5

•3

•4

•6 • 5

•1

•0

• 4

•2 •3

❯

❨❨

•6

•1

•2•7

•5•3 •4

Menores de DW7

Figura 4.

La grafica fundamental correspondiente al menor DW7 \ 0 es uncircuito con 7 aristas orientadas en un solo sentido.

Proposicion 4.3 DW3 y DW4 son GF (3)-representables, mediante ma-trices antisimetricas.

Demostracion: Para demostrar esta proposicion, basta exhibir las ma-trices de representacion de DW3 y DW4 . Estas son, en el orden corre-spondiente:


0 1 2 30 0 1 1 -11 -1 0 1 -12 -1 -1 0 13 1 1 -1 0

0 1 2 3 40 0 1 1 -1 -11 -1 0 1 0 -12 -1 -1 0 1 03 1 0 -1 0 14 1 1 0 -1 0

Sea n ∈ Z+, n ≥ 3. Para tener una caracterizacion completa delos delta-matroides rueda, falta investigar que ocurre con los DWn , paran ≥ 8. A continuacion se dan algunas reducciones sobre Wn que corre-sponden a una simplificacion de los delta-matroides DWn , por medio detoma de menores.

Las formulas de reduccion estan referidas a la etiquetas originalesde Wn. Las reducciones que se proponen involucran complementacioneslocales sobre algunas aristas de la grafica Wn, en sentido estricto de-berıa hacerse un pivoteo, pero esta operacion implicarıa un cambio deetiquetas de algunos vertices, lo cual complicarıa bastante la notacion.Este proceso preserva la estructura de los delta-matroides involucrados,que es lo que en ultimo caso, importa al realizar las reducciones. Porultimo, con el objeto de tener claridad al describir las reducciones sobrela rueda Wn , se denotara una arista uv como el conjunto formado porsus vertices, es decir u, v.

REDUCCION 1.Sea n = 3k. La reduccion consiste en realizar una complementacion

local sobre cada arista de Wn, de la forma (2 + 3i, 3 + 3i) con i =0, ..., k − 1; seguida del borrado de los vertices que forman las aristasanteriores, es decir:

(DWn∆2, 3∆...∆2+ 3(k− 1), 3+ 3(k− 1)) \ 2 \ 3 \ ... \ 2+3(k − 1) \ 3 + 3(k − 1).

REDUCCION R.Se define un 6 − segmento sobre una rueda Wn como una sucesion

de seis aristas consecutivas sobre el aro de Wn. Ası mismo se define un


cuasi 6 − segmento, como cualquier sucesion de menos de seis aristasconsecutivas sobre el aro de Wn.

PROCESO DE LA REDUCCION R:Sea Wn una rueda con sus vertices etiquetados como de costumbre.

Para n ≥ 9.1. Considerese la siguiente descomposicion de n: n = 6s + r, s

es el numero de 6-segmentos en Wn y r es el numero de aristas delcuasi 6-segmento restante, se toman consecutivamente los s 6-segmentosiniciando con el 6-segmento con vertices etiquetados del 1 al 7.

2. Paso general de la reduccion:Este paso se efectua sobre cada 6-segmento. Considerese el k-esimo

6-segmento, k ∈ 0, ..., s − 1. La numeracion en los 6-segmentos es lainicial.

La reduccion sobre el 6-segmento k, se hace como sigue:

i . ∆2 + 6k, 3 + 6k ∆3 + 6k, 4 + 6k ∆5 + 6k, 6 + 6k,

ii . \2 + 6k \ 3 + 6k \ 5 + 6k \ 6 + 6k.

Cada vez que se efectua este paso, se eliminan cuatro vertices delk-esimo 6-segmento de Wn. El paso 2 se realiza para cada k, con k ∈0, ..., s− 1.

3. No se hace ninguna operacion sobre el cuasi 6-segmento. Esteforma parte de la rueda reducida.

Proposicion 4.4 Sean k, n ∈ Z.Si k ≥ 3 entonces todo delta-matroide DW3k contiene como menor a

DWk .Si n ≥ 8 entonces todo delta-matroide DWn contiene como menor a

DWn−4s, donde n = 6s+ r.

Demostracion: La primera afirmacion se obtiene aplicando la reduccion1 y la segunda efectuando la reduccion R.

Ejemplo 4.5 Aplicacion de la reduccion 1 a W15 para obtener W5.

Se muestra DW5 como menor de DW15 :

DW5 = (DW15∆2, 3∆5, 6∆8, 9∆11, 12∆14, 15)\2\3\5 \ 6 \ 8 \ 9 \ 11 \ 12 \ 14 \ 15.


En la figura 5 puede verse la rueda W15 despues de haberse realizadolas cinco operaciones ∆ ( de complementacion local) sobre las aristasde la forma (2 + 3i, 3 + 3i) con i ∈ 0, 1, 2, 3, 4. Si se borran las lıneasdelgadas con sus respectivos vertices se obtiene W5.

•

•

•

• •

5

4

3

2115

14

13

12

11

109 8

7

6

W5 como menor de W15.Figura 5.

Ejemplo 4.6 W5 como menor de W9.

Aplicando dos veces la reduccion R se obtiene W5 a partir de W21.Por la proposicion 4.4 se sabe que W21 puede reducirse a W9, puesW21 tiene tres 6-segmentos mas un cuasi 6-segmento de tres aristas.Mediante la reduccion R , cada 6-segmento queda con solo dos aristas,ası 3 (2 aristas) + 3 aristas = 9 aristas deW9. Si se aplica la reduccion Ra W9 se obtiene W5. En la primera figura correspondiente a la figura 6,se muestran las complementaciones locales sobre el primer 6-segmentode una ruedaWn, los rayos en los que los vertices no han sido remarcadosse borran a continuacion. En la segunda figura, aparece W5, formadapor los vertices remarcados y numeros mas grandes, como reduccion deW9. En terminos de menores de DW9 se muestra el delta-matroide DW5 :

DW5 = (DW9∆2, 3∆3, 4∆5, 6) \ 2 \ 3 \ 5 \ 6).Las operaciones se efectuan en el orden que aparecen.

•

•

•

•

•• 4

3

21

9

8

7 6

5...

•

•

•

•

1

2

3

4 5

6

7

Operaciones sobre un 6-segmento y W5 como menor de W9.Figura 6.


Proposicion 4.7 Sea n ∈ Z, n ≥ 8. Todo delta-matroide rueda DWn

se puede reducir a DW4, DW5, DW6 o DW7, dependiendo de la clase den, modulo 4. Sean n = 4k + j, j ∈ 0, 1, 2, 3. Para k ≥ 2, DWn sereduce a:

W4 si n ≡ 0 mod 4, W5 si n ≡ 1 mod 4,W6 si n ≡ 2 mod 4, y W7 si n ≡ 3 mod 4.

Demostracion: Para n ≥ 8, efectuando una o mas veces la reduccionR, se obtiene la proposicion.

Proposicion 4.8 Los delta-matroides rueda DW4k , para k ∈ Z+ sonGF (3)-representables mediante matrices antisimetricas.

Demostracion: Se cumple la proposicion, pues toda rueda W4k conk ∈ Z+ tiene una orientacion compatible. Partiendo de la orientacionOr1 Or1 Or2 Or2, esta se repite k veces para W4k:

Or1 Or1 Or2 Or2 . . . Or1 Or1 Or2 Or2 (k veces).

Teorema 4.9 DW5 , DW6 y DW7 son los unicos delta-matroides ruedaminimales no representables sobre GF (3) con matrices antisimetricas.

Demostracion: Este teorema es un corolario de la proposicion 4.8.

5 Dos familias de delta-matroides no ternarioscuyas graficas fundamentales son ruedas par-ciales

Las cuatro proposiciones que siguen se refieren a delta-matroides cuyasgraficas fundamentales son ruedas parciales. En el caso de ruedas par-ciales alternadas que inducen delta-matroides se tiene una caracteri-zacion para ternaridad de dichos delta-matroides. Se halla otra familiade delta-matroides no ternarios que contienen a un delta-matroide noternario minimal, cuya grafica fundamental es una rueda parcial concuatro rayos, tres consecutivos y otro no consecutivo a los anteriores,tal que los vertices del aro que no contienen un rayo incidente, estandivididos en dos grupos de cardinalidad impar.

Sea W3,6, la rueda parcial alternante con C6 como aro y el verticecentral unido con cada uno de los vertices del aro que tienen una etiquetaimpar. DW3,6 es su delta-matroide correspondiente. Se tiene el siguienteteorema.


• •

• • •

• •

1 0 4

2 3

W3,6

Figura 7

6 5

Teorema 5.1 DW3,6 es un delta-matroide minimal no representable so-bre GF (3), mediante matrices antisimetricas.

Demostracion: DW3,6 es isomorfo al matroide Fano, denotado comoF7, pues existe X una base de F7 tal que DW3,6=F7∆X. Dado queF7 es una obstruccion para matroides ternarios , no es posible dar unarepresentacion de F7 sobre GF (3), luego esta propiedad es heredadacuando se considera F7 como delta-matroide.

Los menores elementales de F7 son menores elementales de DW3,6 ;es decir, vistos como delta-matroides, son ternarios.

Respecto al teorema 5.1 y con el etiquetado correspondiente a lafigura 7, es interesante observar que no es posible orientar los cuadrados0,1,2,3, 0,3,4,5 y 0,5,6,1 de DW3,6 evitando la orientacion µ ymanteniendo el aro orientado en una sola direccion. Si se orientan loscuadrados anteriores sin usar la orientacion µ, se tiene que:

det2(aro) = 0 y det3(aro) = 0.

Luego no existe una orientacion compatible paraDW3,6 . Cuando se tieneesta configuracion de tres cuadrados, dentro de un exagono se dira quese tiene una configuracion de 3 cuadrados sin orientacion compatible.

El caso de los delta-matroides que tienen como graficas fundamen-tales a ruedas parciales alternadas Wk,2k es interesante, pues estos sedividen en dos grandes clases, dependiendo de la paridad de k. Para kpar, DWk,2k es ternario. La orientacion de Wk,2k, con k par, se puedeobtener partiendo de la orientacion de la rueda W2k, como se explicaen la demostracion de la proposicion 4.8 y despues borrando todas lasaristas 0v donde v es un vertice del aro de W2k con etiqueta par. Los


delta-matroides DWk,2k tales que k es impar no son ternarios, pues to-dos contienen como menor a DW3,6 , como se demuestra en la siguienteproposicion.

Proposicion 5.2 Sea k ≥ 5. Todo delta-matroide DWk,2k cuya graficafundamental es una rueda parcial alternada, no es ternario, si k esimpar.

Demostracion: DWk,2k no es ternario, pues contiene como menor aDW3,6 . La afirmacion anterior se cumple, pues toda rueda parcial al-ternada Wk,2k, numerando sus rayos consecutivamente con las etiquetasimpares de 1 a k , sobre el aro y con 0 como etiqueta del centro, sereduce a W(k−2),2(k−2) efectuando las siguientes operaciones:

(∆2k, 2k − 1∆2k − 2, 1 \ 2k \ 2k − 1) \ 2k − 2 \ 1,sobre Wk,2k.

Toda grafica que tiene como subgrafica la configuracion de 3 cuadra-dos sin orientacion compatible no podra, tener una orientacion compat-ible. Luego, partiendo como base de la configuracion DW3,6 y agregandorayos a dicha configuracion, se obtienen otras graficas que inducen delta-matroides que no son representables sobre GF (3) mediante matrices an-tisimetricas. De esta manera y dada la simetrıa de la grafica DW3,6 solofalta analizar dos casos: aumentar un rayo y aumentar dos rayos. Ahorabien, resulta que los delta-matroides inducidos por estas dos graficasque resultan de los dos casos anteriores, son ∆-equivalentes. Por lotanto, con este procedimiento se puede hallar una nueva obstruccionpara ternaridad de delta-matroides pares. Se estudia este nuevo delta-matroide en la siguiente proposicion.

Proposicion 5.3 El delta-matroide DW4R=(VW4R ,FW4R) con VW4R =0, 1, ..., 6 y que tiene como grafica fundamental a:

•

•

•• •

• •

2

3

4

5

6

10

,

es una obstruccion para GF (3)-representabilidad.


Demostracion: La grafica fundamental de DW4R no se puede orientarcompatiblemente pues contiene la configuracion de 3 cuadrados no ori-entables compatiblemente. Resta ver que sus menores elementales sonternarios. Notese en primer lugar que DW4R \ ()2 ∼= DW4R \ ()6 yDW4R \ ()3 ∼= DW4R \ ()5. Esto se tiene por la simetrıa de la graficaW4R.

En primer lugar, se analizan las graficas fundamentales correspon-dientes a los menores elementales obtenidos por borrado. En el caso deDW4R \ 0, la grafica anterior es un exagono, la orientacion compatiblese da en el teorema 4.2. La grafica correspondiente a DW4R \ 4 constade dos cuadrados que comparten una arista, la orientacion compatiblees: ↑−→←−↓←−−→↑ . El menor DW4R \ 2 tiene como grafica fundamentalla grafica descrita en el caso anterior mas una diagonal en uno de loscuadrados, esta grafica se orienta como en el caso anterior, a la diago-nal se le da cualquier orientacion, pues esta induce solamente circuitosnuevos con un numero impar de aristas. Es importante observar que lasaristas colgantes, en una grafica, no forman parte de ningun circuito,luego se les puede dar cualquier orientacion, si el resto de la grafica tieneuna orientacion compatible entonces la grafica completa tendra una ori-entacion compatible. La grafica fundamental asociada a DW4R \ 1 esun cuadrado con una diagonal y dos aristas colgantes, adyacentes a losvertices de grado 2, esta grafica tiene una orientacion compatible, comose muestra en la demostracion del teorema 4.2. Por ultimo, el menorDW4R \ 3 que tiene por grafica fundamental un cuadrado unido por unaarista a un triangulo, mas una arista colgante adyacente a un vertice degrado 2 correspondiente al cuadrado, esta grafica tiene una orientacioncompatible, dado que el triangulo no induce polıgonos con numero dearistas de cardinalidad par.

En el caso de los menores elementales obtenidos por contraccion, esimportante senalar que DW4R 3 ∼= DW4R \ 2, DW4R 2 ∼= DW4R \ 3.Resta verificar las contracciones con los elementos 0, 1 y 4. Para estoselementos se tiene que:

DW4R 4 ∼= DW6 \ 6, pues (DW4R 4)∆1, 2=DW6 \ 6,

DW4R 1 ∼= DW6 0, pues (DW4R 1)∆3, 6=DW6 0.

A continuacion se muestra la matriz de representacion de DW4R 1:


0 2 3 4 5 60 0 1 0 0 0 -12 -1 0 0 1 1 03 0 0 0 -1 0 14 0 -1 1 0 -1 15 0 -1 0 1 0 06 1 0 -1 -1 0 0 .

Considerese la siguiente familia de graficas que son ruedas parcialescon 4 rayos. Sean k1 y k2 numeros enteros positivos, considereseW4,3k1+3k2+4 con el vertice central etiquetado con 0 y los vertices del arocon el etiquetado acostumbrado. Se toman 3 rayos que tienen uno desus extremos en los vertices del aro, que tienen etiquetas consecutivas,sin perdida de generalidad, se pueden considerar los rayos: 01, 02 y 03.Se borran los 3k1 rayos siguientes, se conserva el rayo 0 3k1 + 4 y seborran los siguientes 3k2 rayos.

Si se consideran los delta-matroides DW4,3k1+3k2+4

, inducidos por los

elementos de la familia de ruedas parciales introducidos anteriormente,se tiene que todo delta-matroide que es un elemento de esta familia con-tiene como menor a DW4R . Para ver que DW4R es un menor de D, paratodo D ∈ DW

4,3k1+3k2+4, se efectuan operaciones de toma de menores

usando tecnicas similares a la Reduccion 1, explicada anteriormente. Sedeja al lector la verificacion de este hecho.

Proposicion 5.4 DW4R es un menor de todo delta-matroide que es unelemento de la familia de delta-matroides DW

4,3k1+3k2+4.

Corolario 5.5 DW5, DW6, DW7, DW3,6 y DW4R son obstrucciones paraGF (3)-representabilidad de delta-matroides con matrices antisimetricas.

DW5 , DW6 , DW7 y DW3,6 y DW4R son obstrucciones ternarias enel contexto de delta-matroides inducidos por ruedas y ruedas parciales.Pero dado que no son GF (3)-representables con matrices antisimetricasy que todos sus menores son ternarios, entonces los delta-matroidesanteriores son obstrucciones ternarias en un contexto general.


6 Conclusiones

En este trabajo se analizaron los delta-matroides binarios que tienencomo graficas fundamentales a ruedas y ruedas parciales. Si se per-mite que las graficas fundamentales correspondientes a ciertos delta-matroides presenten, ademas de rayos, cuerdas; es decir, aristas queunen dos vertices no adyacentes del aro de una rueda o de una ruedaparcial, se pueden obtener nuevos menores prohibidos para GF (3)-representabilidad de delta-matroides. Un ejemplo, entre otros que sehan obtenido en [20] es el delta-matroide cuya grafica fundamentalaparece en la siguiente figura y que se denotara por D3C :

• •

• • •

• •

6 5 2

3 8

7 1

Nueva obstruccion para ternaridad: D3C .Figura 8

El conjunto C=DW5 , DW6 , DW7 , DW3,6 , DW4R que se presenta aquı,contiene propiamente a la lista de obstrucciones para graficas circulares.En [17] Geelen propone una lista de obstrucciones para regularidad dedelta-matroides. Dicha lista es G=C mas las dos graficas que aparecena continuacion:

• •

• • •

• •

• •

• • •

• •

.

Esta lista de Geelen G no es completa, ya que en [20] se exhibenvarios delta-matroides nuevos D = (V,F) con | V |=7 que son obstruc-ciones para ternaridad, uno de ellos es precisamente D3C , mostrado enla figura 8.

La aplicacion de las tecnicas empleadas en este trabajo, ası como deotros analisis y tecnicas han permitido extender C y G. Es decir, la listade obstrucciones para GF (3)-representabilidad de delta-matroides con


matrices antisimetricas y por lo tanto para regularidad. Estos nuevosresultados seran reportados en un trabajo posterior [20].

Para finalizar este trabajo y como un breve apendice se explica laforma de obtener D3C , en el siguiente apartado.

CONSTRUCCION DE D3C .Considerese la grafica fundamental de DW9 , etiquetada de la manera

usual, correspondiendo 0 al vertice central y las etiquetas del 1 al 9alrededor del aro, de tal forma que a vertices adyacentes correspondennumeros consecutivos, siendo el 9 adyacente a 8 y a 1.

[(DW9 0) \ 9] \ 4 ∼= D3C .

De hecho, [(DW90)\9]\4 ∆5, 8=D3C , si la grafica fundamental deD3C se considera etiquetada como aparece en la figura 8. Graficamente,para obtener dicha grafica a partir de W9, se procede de la manerasiguiente: se aplica el operador ∆ sobre la arista 09, a la grafica que seobtiene se la borra el vertice con etiqueta 0, esta operacion correspondea DW9 0. A la grafica obtenida en el paso anterior se le borran losvertices con etiquetas 9 y 4, esta grafica es la grafica fundamental deldelta-matroide [(DW9 0) \ 9] \ 4.

Finalmente, a la ultima grafica se le aplica el operador ∆ sobre laarista 58 y de esta manera se obtiene la grafica de la figura 8, la cual esla grafica fundamental del delta-matroide D3C .

AgradecimientosEl material que presento en este trabajo es parte de mi tesis doctoral.

Agradezco al Dr. Isidoro Gitler, quien fue mi asesor, por sus valiosas ob-servaciones durante nuestras discusiones de trabajo. Tambien agradezcoa mi colega, el Dr. Isaıas Lopez, por su colaboracion en el diseno de lasfiguras que aparecen en este artıculo.

M. Guadalupe Rodrıguez SanchezDepartamento de Ciencias Basicas,UAM - Azcapotzalco,Av. San Pablo No. 180,0220 Mexico, D.F., [email protected]

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[28] Tutte, W. T., Graph Theory, Cambridge University Press, Cam-bridge, 1984.

[29] Truemper, K., Alpha-balanced graphs and matrices and GF (3)-representability of matroids, J. Combin. Theory Ser. B, 32 (1982),112-139.

[30] Truemper, K., Matroid Descomposition, Academic Press, NewYork, 1992.


[31] Welsh, D. J. A., Matroid Theory. Academic Press, New York,1976.

[32] Whittle, G., A characterisation of the matroids representable overGF (3) and the rationals, Journal of Combinatorial Theory (B),65 (1995) 222- 261.


Graficas con una cubierta maximalindependiente

y cotas para algunos invariantes∗

Carlos E. Valencia-Oleta 1 Rafael H. Villarreal 2

Resumen

Sea G una grafica con n vertices la cual tiene una cubierta maximalindependiente, β0 edaicnednepedniedoremunle G y α0 = n−β0.En este artıculo se demuestra que si β0 > α0, entonces G tiene almenos n − 2α0 vertices aislados. Como consecuencia se obtieneque si G no tiene vertices aislados, entonces β0

n2 . Tambien

se prueba que si q ysaenıledoremunlese e(G oremunlese)de conjuntos maximales independientes con β0 vertices, entoncesq ≤ α2

0 y e(G) ≤ 2α0 , respectivamente. Las graficas que tienenuna cubierta maximal independiente incluyen a las graficas nomezcladas y a las graficas crıticas por lıneas.

2000 Mathematics Subject Clasification: 13F55, 05C69, 05C40, 05C65.Keywords and phrases: Grafica, cubiertas, invariantes.

1 Introduccion

Sea G una grafica con vertices V = x1, . . . , xn y R = K[x1, . . . , xn] unanillo de polinomios sobre un campo K. El ideal de lıneas (resp. anillode lıneas) de la grafica G es el ideal monomial:

I(G) = (xixj |xi es adjacente a xj) ⊂ R

∗Este trabajo forma parte de la tesis doctoral del primer autor.1Estudiante en el Programa de Doctorado del Departamento de Matematicas del

CINVESTAV. Becario de CONACyT del proyecto 27931E, Mexico.2Apoyado por proyecto CONACyT 27931E.

57

58 Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

(resp. R/I(G)), estos anillos han sido estudiados en [6, 7, 9, 10, 11].Nosotros estamos interesados en estimar invariantes del anillo de lıneasque pueden interpretarse como invariantes de la grafica G. Nuestrosresultados principales son cotas para la dimension de R/I(G), para lamultiplicidad de R/I(G), y para el numero mınimo de generadores deI(G); estos tres invariantes del anillo de lıneas corresponden a tres in-variantes de la grafica G que son el numero de independencia β0(G),el numero de conjuntos maximales independientes con β0(G) elemen-tos (que es precisamente el numero de caras de dimension maxima delcomplejo simplicial complementario de G), y el numero de lıneas deG, respectivamente. Las cotas que logramos son principalmente parala familia de graficas que tienen una cubierta maximal independiente,esta familia contiene a las graficas no mezcladas y a las graficas crıticaspor lıneas. Nosotros probaremos que algunos de nuestros resultados noadmiten una generalizacion directa para hipergraficas.

Las referencias que usaremos para hipergraficas y graficas son [1, 5],y para anillos de Stanley-Reisner e ideales de lıneas usaremos [8, 10]. Enparticular aquı adoptaremos la terminologıa y notacion usada en estasreferencias.

2 Preliminares

Para facilitar la lectura empezaremos con algunas nociones basicas degraficas e hipergraficas las cuales jugaran un papel importante en esteartıculo.

Sea G una grafica (resp. hipergrafica) formada por el conjunto V (G)de vertices y el conjunto E(G) de lıneas (resp. hiperlıneas).

Definicion 2.1.1 Un conjunto A de vertices de G, se dice que es in-dependiente si A no contiene ninguna lınea de G (resp. hiperlınea).Ademas, un conjunto independiente sera maximal si no esta contenidopropiamente en ningun conjunto independiente. El numero de indepen-dencia de G, denotado por β0(G), se define como

β0(G) = max|M | | M es un conjunto independiente.

Definicion 2.1.2 Un conjunto A de vertices de G, se dice que es unacubierta de vertices si toda lınea de G (resp. hiperlınea) contiene almenos a un vertice de A. Ademas, una cubierta de vertices sera minimal

Cotas para algunos invariantes 59

si no contiene propiamente a ninguna cubierta de vertices. El numerode cubierta de vertices de G, denotado por α0(G), se define como

α0(G) = min|M | | M es una cubierta de vertices.

Los conceptos anteriores estan relacionados pues A es una cubiertade vertices minimal de una hipergrafica G si y solo si V (G) \ A es unconjunto maximal independiente. De donde se deduce que

n = α0(G) + β0(G),

donde n es el numero de vertices de G.

Definicion 2.1.3 Una grafica G es no mezclada si todos sus conjuntosmaximales independientes tienen la misma cardinalidad.

Definicion 2.1.4 Una grafica G es crıtica por lıneas si

α0(G) > α0(G \ e)

para toda lınea e de G.

Definicion 2.1.5 Un vertice de la grafica G (resp. hipergrafica), sellamara aislado si no pertenece a ninguna lınea (resp. hiperlınea) oequivalentemente si pertenece a todo conjunto maximal independientede G.

Definicion 2.1.6 El complejo simplicial complementario ∆(G) de unagrafica G (resp. hipergrafica) esta dado por

∆(G) = A ⊆ V (G) | A es un conjunto independiente de G.

Notar que∆(G) es el complejo de Stanley-Reisner del ideal de lıneas :

I(G) = (xi1xi2 · · ·xir | xi1 , xi2 , . . . , xir es una hiperlınea) ⊆ R,

donde V (G) = x1, . . . , xn y R = K[x1, x2, . . . , xn] es un anillo depolinomios sobre un campo K, para simplificar la notacion estamosidentificando los vertices de G con las variables de R. Es usual denotara R/I(G), el anillo de Stanley-Reisner de ∆(G), por K[∆(G)].

Una de las nociones centrales de este trabajo es la siguiente:


Definicion 2.1.7 Una familia de conjuntos independientes C ⊆ ∆(G)se dice que es una cubierta maximal independiente para la grafica G(resp. hipergrafica) si |M | = β0(G) para todo M en C y V (G) =!

M∈C M . Esto es equivalente a que todo vertice de G pertenezca aun conjunto maximal independiente.

Definicion 2.1.8 Sea G una grafica y H y L subconjuntos de V (G),entonces H se dice L− aislado si cualesquiera dos vertices uno en H yotro en L no pertenecen a una misma lınea.

A continuacion damos una serie de ejemplos que ilustran el conceptoanterior.

1. Todo vertice v ∈ V (G) satisface que v es v− aislado.

2. Un vertice v ∈ V (G) es aislado si y solo si v es V (G)− aislado.

3. Sea v un vertice de G y L un conjunto independiente que lo con-tiene, entonces v es L− aislado.

4. H es un conjunto independiente si y solo si H es H − aislado,mas aun el conjunto independiente H sera maximal si y solo sino existe un subconjunto H de V (G) tal que H ! H y H seaH − aislado.

3 Graficas con cubiertas maximales indepen-dientes

En esta seccion desarrollaremos los resultados principales del artıculo.

Teorema 3.1.9 Sea G una grafica con n vertices. Si G tiene una cu-bierta maximal independiente con β0(G) > α0(G), entonces G tiene almenos n− 2α0(G) vertices aislados.

Demostracion: La demostracion consiste en construir un conjunto Hde vertices aislados en V (G) con |H| ≥ n − 2α0(G). Si α0(G) = 0,entonces G = Kn es un conjunto de n vertices aislados y claramente seobtiene el resultado. Por lo tanto podemos suponer α0(G) > 0. Luegocomo G tiene una cubierta maximal independiente, entonces existen My M ′ conjuntos maximales independientes distintos con β0(G) vertices.


Tomemos H = M ∩M ′ y N = M ∪M ′. Dado que H ⊂ M (respectiva-mente M ′) y M es M − aislado (resp. M ′ es M ′ − aislado), obtenemosque H es N − aislado. Afirmamos que |H| ≥ n− 2α0(G). Recordemosque n = α0(G) + β0(G). Si N = V (G), entonces |H| = 2β0(G) − n =n−2α0(G). Mas aun, los elementos de H son vertices aislados en V (G)ya que H es independiente, M − aislado y M ′ − aislado. Supongamosque N ! V (G), entonces |N | = n − s con 0 < s < α0(G) de donde|H| = n − 2α0(G) + s > n − 2α0(G). Ademas existe un vertice v′ enV (G) \N y, por hipotesis, un conjunto maximal independiente M ′′ quecontiene a v′ con β0(G) vertices.

Consideremos los conjuntos H ′ = H∩M ′′ y N ′ = N ∪M ′′, los cualessatisfacen lo siguiente:

1. H ′ ⊆ H y N ! N ′.

Ya que H ′ = H ∩M ′′ ⊆ H ⊆ N ! N ∪ v′ ⊆ N ′.

2. |N ′| = n− s′ con 0 ≤ s′ < s < α0(G) y |H ′| ≥ n− 2α0(G) + s′.

Sea s′ tal que |N ′| = n − s′, entonces del punto anterior se des-prende que 0 ≤ s′ < s < α0(G). Ahora tenemos que comoN ′ = N ∪ (M ′′\N) con N ∩ (M ′′\N) = ∅, entonces

n− s′ = |N ′| = |N |+ |M ′′\N | = (n− s) + |M ′′\N |

y por lo tanto|M ′′\N | = s− s′.(1)

Ademas tenemos la desigualdad

|M ′′ ∩ (N\H)| ≤ α0(G)− s,(2)

ya que M ′′∩(N\H) es un subconjunto de vertices de la subgraficainducida ⟨N\H⟩ deG que contiene el conjunto de verticesN\H, lacual satisface que β0(⟨N\H⟩) ≤ α0(G)−s, ya que de lo contrario setendrıa que existe un conjunto independiente T ⊂ N \H con |T | =α0(G)− s+ 1, y entonces T ∪H seria un conjunto independientecon al menos β0(G) + 1 vertices ya que T y H son conjuntosindependientes y H es T − aislado, lo cual es imposible.

Por ultimo tenemos la descomposicion

M ′′ = (M ′′ ∩H) ∪ (M ′′ ∩ (N\H)) ∪ (M ′′\N),


conM ′′∩H, M ′′∩(N\H) yM ′′\N mutuamente disjuntos. Usando(1) y (2) tenemos

β0(G) = |M ′′| = |M ′′ ∩H|+ |M ′′ ∩ (N\H)|+ |M ′′\N |≤ |H ′|+ (α0(G)− s) + (s− s′)

y por lo tanto |H ′| ≥ n− 2α0(G) + s′ ≥ n− 2α0(G).

3. H ′ es N ′ − aislado.

Ya que si h ∈ H ′, entonces h ∈ H y h ∈ M ′′. Luego h es N −aislado y h es M ′′ − aislado y por lo tanto h es N ′ = N ∪M ′′ −aislado para todo h ∈ H ′.

Nuevamente si N ′ = V (G), entonces H ′ es un conjunto de verticesaislados en V (G) y terminamos la demostracion; si no es ası, tenemospor hipotesis, que existeM ′′′ conjunto maximal independiente con β0(G)vertices el cual satisface que M ′′′ ⊂ N ′ y repetimos el proceso anteriorhasta que obtengamos N ′ = V (G) (esto siempre es posible ya que V (G)es finito y N ⊂ N ′). Al finalizar obtenemos un conjunto H el cual con-tiene al menos n−2α0(G) vertices aislados con lo cual queda demostradoel teorema.

Ejemplo 3.1.10 La siguiente grafica es una grafica mezclada (ya quez2, z4, z6 y z1, z4, z6, z7 son dos conjuntos maximales independientescon diferente cardinalidad) con una cubierta maximal independienteC = z1, z4, z6, z7, z2, z3, z5, z6. En la Seccion 4 veremos que todagrafica no mezclada o crıtica por lıneas tiene una cubierta maximalindependiente; sin embargo, el recıproco no es valido como lo muestraeste ejemplo. Notar que β0(G) = 4 = 7 − 3 > ⌊72⌋ y todo verticepertenece a un conjunto maximal independiente con 4 vertices.

!! !! !!

!!!

!!!

!!

!!!

z4z3z2 z5

z6

z1

z7

G

Punto aislado


Ejemplo 3.1.11 La hipergrafica H con vertices V (H) = z1, z2, z3 ehiperlıneas E(H) = z1, z2, z3 tiene una cubierta maximal indepen-diente y satisface que β0(H) = 2 > 1 = α0(H). Notar que H no tienevertices aislados, lo cual muestra que el Teorema 3.1.9 no se satisfacepara hipergraficas. Las caretas del complejo simplicial complementariode H son z1, z2, z1, z3 y z2, z3.

! ! ! !

! !

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣

z1 z2

z3

z2z1

z3

H ∆(H)

hipergrafica complejo simplicial

El siguiente corolario fue obtenido por Erdos and Gallai [3] bajo lashipotesis de que la grafica G es crıtica por lıneas y sin vertices aislados;veanse tambien los comentarios en [1, p. 59].

Corolario 3.1.12 Sea G una grafica con n vertices y sin vertices aisla-dos. Si K es un campo y G tiene una cubierta maximal independiente,entonces

dimK[∆(G)] ≤!n2

".

Demostracion: Notar que β0(G) = dimK[∆(G)], ver [8]. Procede-remos por contradiccion. Suponiendo que β0(G) > ⌊n2 ⌋, obtenemosque α0(G) ≤ ⌊n2 ⌋; entonces aplicando el Teorema 3.1.9 tenemos que Gtendrıa n − 2α0(G) = n − α0(G) − α0(G) > ⌊n2 ⌋ − ⌊n2 ⌋ = 0 verticesaislados, lo cual es una contradiccion a la hipotesis de que G no tienevertices aislados y por lo tanto tenemos que β0(G) ≤ ⌊n2 ⌋.

Proposicion 3.1.13 Sea G una grafica con n vertices y q lıneas. Si Gtiene una cubierta maximal independiente, entonces q ≤ α0(G)2.

Demostracion: Para contar el numero de lıneas de G fijaremos unacubierta de vertices minimal M con α0(G) vertices. Claramente contarlas lıneas de G es equivalente a contar las lıneas incidentes al conjunto


M . Ademas, cada vertice v0 de M no puede tener mas de α0(G) verticesadyacentes ya que de lo contrario v0 no pertenecerıa a ningun conjuntomaximal independiente con β0(G) vertices, lo cual es una contradicciona la supuesto y por lo tanto el numero de lıneas q de G es menor o igualque α0(G)2.

Nota 3.1.14 La cota de la Proposicion 3.1.13 puede ser comparada conla cota

q ≤ (α0(G) + α0(G)2)/2

dada en [9, remark 4.12(c)] (resp. [4]) para el numero de lıneas en unagrafica Cohen-Macaulay (resp. crıtica por lıneas). Vease tambien [1,p. 62].

Ejemplo 3.1.15 La siguiente figura muestra la grafica bipartita com-pleta Kg,g la cual es no mezclada, tiene α0(G)2 = g2 lıneas y una cu-bierta maximal independiente dada por z1, . . . , zg y zg+1, . . . , z2g.Por tanto este ejemplo muestra que la cota de la Proposicion 3.1.13 esoptima.

!!! !

!!! !♣ ♣ ♣

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

z1 z2 z3 zg

zg+1 zg+2 zg+3 z2g

Kg,g

Definicion 3.1.16 Sea A un conjunto de vertices de una grafica G. Alconjunto de vertices que son adyacentes al menos a un vertice de A, sele llamara la vecindad de A y se denotara por N(A).

SeaG una hipergrafica yK un campo. Lamultiplicidad e(G) de G sedefine como la multiplicidad del anillo K[∆(G)]. Por [8] la multiplicidade(G) is igual al numero de conjuntos independientes de G con β0(G)vertices.


Proposicion 3.1.17 Si G es una grafica con n vertices y con una cu-bierta maximal independiente C, entonces

!n

β0(G)

"≤ e(G).

Demostracion: Sean A1, . . . , Ar los conjuntos de la cubierta C. Por laigualdad V (G) = A1 ∪ · · · ∪ Ar, obtenemos n = |V (G)| ≤ rβ0(G), locual prueba esta cota inferior.

Teorema 3.1.18 Si G es una grafica, entonces e(G) ≤ 2α0(G).

Demostracion: Primeramente, sin perder generalidad, podemos supo-ner que la grafica G no tiene vertices aislados, ya que si esta los tu-viera, entonces el numero de conjuntos maximales independientes de lagrafica G y la grafica G′ = G\vertices aislados seria el mismo. ComoV (G)\C es un conjunto maximal independiente si y solo si C es una cu-bierta mınima de vertices, entonces el contar los conjuntos maximalesindependientes con β0(G) vertices es equivalente a contar a las cubiertasde vertices minimales con α0(G) vertices. Por otro lado sea

C = C|C es una cubierta de vertices de G con α0(G) vertices

y C una cubierta de vertices con α0(G) vertices. Para 0 ≤ i ≤ α0(G),consideremos el conjunto

Ci = C ′|C ′ ∈ C y |C ∩ C ′| = i.

Afirmamos que se tiene la siguiente desigualdad

|Ci| ≤#α0(G)

i

$(∀ i ≥ 0).(3)

Vamos a demostrar que solo puede existir una cubierta de vertices conα0(G) vertices que intersecte a C en un conjunto dado. En efecto seanC ′ y C ′′ dos cubiertas en Ci tal que C ∩ C ′ = C ∩ C ′′. Usando queC ∩ C ′ = C ∩ C ′′ obtenemos:

N(C \ C ′) = N(C \ C ′′).(4)

Como C ′ y C ′′ son cubiertas de vertices de G tenemos:

N(C \ C ′) ∪ (C ∩ C ′) ⊂ C ′ y N(C \ C ′′) ∪ (C ∩ C ′′) ⊂ C ′′.


Observar que N(C \C ′)∪ (C ∩C ′) y N(C \C ′′)∪ (C ∩C ′′) son cubiertasde vertices de G, pues C es una cubierta de vertices de G. Usando laminimalidad de C ′ y C ′′ obtenemos las igualdades:

N(C \ C ′) ∪ (C ∩ C ′) = C ′ y N(C \ C ′′) ∪ (C ∩ C ′′) = C ′′,

las cuales junto con la Eq. (4) nos permiten concluir que C ′ = C ′′.Por lo tanto, puesto que solo hay

!α0(G)i

"conjuntos con i vertices en C

concluimos que la desigualdad (3) se cumple. Luego

e0(G) = |C| =α0(G)#

i=0

|Ci| ≤α0(G)#

i=0

$α0(G)

i

%= 2α0(G)

y por lo tanto e0(G) ≤ 2α0(G).

Ejemplo 3.1.19 Para demostrar que la cota de la Proposicion 3.1.17es optima construiremos una familia de graficas que la realicen. Seann ≥ m enteros positivos con n = sm+r donde s = ⌊ n

m⌋. Tomemos comobase a la grafica multipartita completa Km,...,m,r, escojamos un verticezi de cada uno de las s graficas discretas Km y quitemosle a Km,...,m,r laslıneas que unen los vertices que escogimos consigo mismos y las lıneasque unen la grafica Kr. La grafica resultante se denotara por Kn\m,la cual satisface

β0(Kn\m) = m y e(Kn\m) =

&n

β0(Kn\m)

'= s+ 1.

La siguiente figura muestra el caso cuando n = 7 y m = 3.

!!!

!!!!

##

##

##

##

##

''''''''''''''

z1 z2 z3

z4 z5 z6

z7


Ejemplo 3.1.20 Para demostrar que la cota del Teorema 3.1.18 esoptima considere la grafica G que es union disjunta de k graficas deltipo K2 como se muestra en la siguiente figura. Notar que G satisfaceα0(G) = β0(G) = k y e(G) = 2α0(G).

!!! !

!!! !♣ ♣ ♣

z1 z2 z3 zk

zk+1 zk+2 zk+3 z2k

4 Graficas no mezcladas y crıticas por lıneas

4.1 Graficas no mezcladas

Lema 4.1.1 Toda grafica G no mezclada tiene una cubierta maximalindependiente.

Demostracion: Se sigue inmediatamente del hecho de que si v ∈ V (G),entonces v pertenece a un conjunto maximal independiente M y comoG es no mezclada, entonces M tiene β0(G) vertices y por lo tanto Gtiene una cubierta maximal independiente.

Corolario 4.1.2 Sea G una grafica no mezclada con n vertices. Siβ0(G) > α0(G), entonces G tiene al menos n−2α0(G) vertices aislados.

Demostracion: Se sigue del Lema 4.1.1 y del Teorema 3.1.9.

Corolario 4.1.3 Sea G una grafica sin vertices aislados. Si G es nomezclada y tiene n vertices, entonces β0(G) ≤ ⌊n2 ⌋.

Demostracion: Se sigue del Lema 4.1.1 y del Corolario 3.1.12.

Corolario 4.1.4 Sea G una grafica Cohen-Macaulay sin vertices aisla-dos con n vertices, entonces β0(G) ≤ ⌊n2 ⌋.


Demostracion: Usando [2, Corolario 5.1.5] tenemos que toda graficaCohen-Macaulay es no mezclada, por lo tanto aplicando el Corolario4.1.3 obtenemos el resultado.

Ejemplo 4.1.5 Sean n un entero positivo y 1 ≤ k ≤ ⌊n2 ⌋. Entonces lagrafica Gn,k:

♣♣ ♣"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

" "

" "" "

♣♣ ♣

z1 z2 z3 zk−2 zk−1

zk zk+1 zk+2 z2k−3z2k−2

zn

zn−1

zn−2 z2k+1

z2k

z2k−1

Kn−2k+2

Gn,k

es una grafica Cohen-Macaulay sin vertices aislados con β0(G) = k. Estafamilia de graficas demuestra que las cotas de los resultados anterioresson optimas.

4.2 Graficas crıticas por lıneas.

Lema 4.2.1 Sea G una grafica crıtica por lıneas con numero de inde-pendencia β0(G), entonces todo vertice de G pertenece a un conjuntomaximal independiente con β0(G) vertices.

Demostracion: Sea v un vertice de G, luego tenemos dos casos: quev sea aislado y que no lo sea. Si v no es aislado entonces al menosexiste una lınea u, v = x ∈ E(G). Como G es crıtica por lıneas,entonces β0(G\x) = β0(G)+1 de donde tenemos que existe M maximalindependiente de G \ x con β0(G) + 1 vertices y ademas u, v ∈ M ; de loanterior se desprende que M\u es un conjunto maximal independientede G con β0(G) vertices que contiene a v como se querıa. Si v esaislado, entonces pertenece a todo conjunto maximal independiente ypor lo tanto tambien se obtiene el resultado.

Corolario 4.2.2 ([3]) Si G es una grafica crıtica por lıneas con nvertices y β0(G) > α0(G), entonces G tiene al menos n−2α0(G) verticesaislados.


Demostracion: Se sigue del Lema 4.2.1 y del Teorema 3.1.9.

Corolario 4.2.3 ([3]) Sea G una grafica sin vertices aislados. Si G escrıtica por lıneas con n vertices, entonces β0(G) ≤ ⌊n2 ⌋.

Demostracion: Se sigue del Lema 4.2.1 y del Corolario 3.1.12.

Lema 4.2.4 ([1]) Toda grafica G contiene una subgrafica G′, tal queG′ es crıtica por lıneas con β0(G) = β0(G′) y V (G) = V (G′).

Demostracion: Construiremos a la grafica G′, usando el siguiente al-goritmo:

1. Tomemos a G′ = G.

2. Tomemos una lınea x, y ∈ E(G′) de G′.

3. Si β0(G′\x, y) = β0(G′), entonces hacemos G′ = G′\x, y.

4. Si β0(G′\x, y) > β0(G′), entonces repetimos el paso 2 hasta queno exista ninguna lınea x, y en G′ con β0(G′\x, y) = β0(G′).

El algoritmo es finito ya que la grafica solo contiene un numerofinito de lıneas. La grafica G′ obtenida por este algoritmo es una graficacrıtica por lıneas por la forma en que se construyo y claramente β0(G′) =β0(G).

5 Comentarios finales

Esencialmente se ha demostrado que si estamos interesados en graficasconexas con una cubierta maximal independiente, entonces basta con-centrarnos en las graficas que satisfacen β0(G) ≤ ⌊n2 ⌋. Lo anteriortambien es valido para graficas Cohen-Macaulay ya que toda graficaCohen-Macaulay es no mezclada y toda grafica no mezclada tiene unacubierta maximal independiente.

Nota 5.1.5 Toda grafica G con β0(G) ≤ 2 contiene una subgrafica G′

no mezclada con β0(G) = β0(G′) y V (G) = V (G′), mas aun podemosescoger a G′ que sea Cohen-Macaulay. La existencia de dicha subgraficase puede demostrar usando esencialmente el Lema 4.2.4 ya que todagrafica crıtica por lıneas G′ con β0(G′) ≤ 2 es no mezclada.


Lema 5.1.6 Toda grafica bipartita crıtica por lıneas es no mezclada.

Demostracion: Se sigue inmediatamente de [5, Corolary 10.7(b)].

Las observaciones anteriores y el analisis de varios ejemplos nos lle-van a conjeturar lo siguiente:

Conjetura 5.1.7 Toda grafica G con a lo mas ocho vertices tiene unasubgrafica G′ no mezclada con β0(G) = β0(G′) y V (G) = V (G′).

Conjetura 5.1.8 Toda grafica G con a lo mas ocho vertices tiene unasubgrafica G′ Cohen-Macaulay con β0(G) = β0(G′) y V (G) = V (G′).

Notar que estas dos conjeturas no son validas en general ya que elpolıgono con 9 lados es una grafica crıtica por lıneas, mezclada y por lotanto ninguna de las conjeturas anteriores es valida en general.

Carlos E. Valencia-OletaDepartamento de Matematicas,CINVESTAV-IPN,A. Postal 14–740,07000 Mexico, D.F., [email protected]

Rafael H. VillarrealDepartamento de Matematicas,CINVESTAV-IPN,A. Postal 14–740,07000 Mexico, D.F., [email protected]

Referencias

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[2] Bruns, W.; Herzog, J., Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, Revised Edition, 1997.

[3] Erdos, P.; Gallai, T., On the minimal number of vertices repre-senting the edges of a graph, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int.Kozl. 6 (1961), 181–203.

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[5] Harary, F., Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, MA, 1972.

[6] Simis, A.; Vasconcelos, W.V.; Villarreal, R., On the ideal theoryof graphs , J. Algebra, 167 (1994), 389–416.


[7] Sousa, T., Grafos Cohen-Macaulay, M.S. Thesis, Instituto Supe-rior Tecnico, Lisbon, 2001.

[8] Stanley, R., Combinatorics and Commutative Algebra, BirkhauserBoston, 2nd ed., 1996.

[9] Villarreal, R., Cohen-Macaulay graphs , Manuscripta Math. 66(1990), 277–293.

[10] Villarreal, R., Monomial Algebras, Monographs and Textbooks inPure and Applied Mathematics 238, Marcel Dekker, Inc., NewYork, 2001.

[11] Watkins, A., Hilbert Functions of Face Rings Arising FromGraphs, M.S. Thesis, Rutgers University, 1992.

MORFISMOS, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matema-ticas del CINVESTAV, se termino de imprimir en el mes de junio de 2002 enel taller de reproduccion del mismo departamento localizado en Av. IPN 2508,Col. San Pedro Zacatenco, Mexico, D.F. 07300. El tiraje en papel opalinaimportada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm consta de 500 ejemplares en pastatintoreto color verde.

Apoyo tecnico: Omar Hernandez Orozco.

Contenido

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Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces with discounted payoff

Fernando Luque-Vasquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Delta-matroides rueda ternarios

M. Guadalupe Rodrıguez Sanchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

-avnisonuglaarapsatocyetneidnepednilamixamatreibucanunocsacfiarGriantes

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

morfismos, vol 6, no 1, 2002

Documents