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N u c l e a r I n s t r u m e n t s a n d Me t h o d s i n P h y s i c s R e s e a r c h A237 ( 1 9 8 5 ) 1 5 9 - 1 6 7 15 9N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m

FREE ELECTRON LASERS FOR THE XUV SPECTRAL REGI ONJ . B . MURPHY a n d C PELLEGRI NINa t i o n al Sy n c h r o t r o n L i g h t S o u r c e , B r o o k h a v e n Na t i o n al L a b o r a t o r y , Up t o n , NY 1 1 9 7 3 , USA

T h e g e n e r a t i o n o f h i g h i n t e n s i t y c o h e r e n t r a d i a t i o n m t h e s o f t X - r a y r e g i o n f r o m a f r e e e l e c t r o n l a s e r w i l l r e q u i r e t h e F EL t oo p e r a t e i n t h e h i g h g am o r c o l l e c t i v e i n s t a b i l i t y r e g i m e . I n t h i s m o d e o f o p e r a t i o n , w h i c h d o e s n o t r e q u i r e a c a v i t y r e s o n a t o r , t h er a d i a t i o n f i e l d g r o w s e x p o n e n t i a l l y a l o n g t h e u n d u l a t o r u n t i l n o n l i n e a r e f f e c t s b r i n g o n s a t u r a t i o n . We d i s c u s s t h e c o n d i t i o n s t h a t t h ee l e c t r o n b e a m a n d t h e u n d u l a t o r m u s t s a t i s f y f o r t h e c o l l e c t i v e i n s t a b i l i t y t o d e v e l o p . We p r e s e n t a n e x a m p l e o f a n e l e c t r o n s t o r a g er i n g w i t h a n u n d u l a t o r i n a b y p a s s s e c t i o n w h i c h s a t i s f i e s t h e s e c o n d i t i o n s . We p r e s e n t e s t i m a t e s o f t h e o u t p u t p o w e r t h a t o n e c a ne x p e c t f r o m s u c h s y s t e m s .

1 . I n t r o d u c t i o nT h e i n t e r e s t s p a r k e d b y t h e o p e r a t i o n o f t h e f i r s t f r e e

e l e c t r o n l a s e r ( F EL ) b y Made y a n d h i s c o l l a b o r a t o r s i n1 9 7 5 h a s l e d t o s ome e x c i t i n g r e s u l t s [ 1 - 6 ] . I n t h e l a s tt wo y e a r s r e m a r k a b l e p r o g r e s s h a s b e e n made t o w a r dt h e r e a l i z a t i o n o f t h e FEL a s a s o u r c e o f h i g h p o w e r ,t u n a b l e , c o h e r e n t r a d i a t i o n . FEL o s c i l l a t o r s a n d a m p l i -f i e r s h a v e b e e n o p e r a t e d a t w a v e l e n g t h s v a r y i n g f r o mt h e c e n t i m e t e r t o t h e n e a r u l t r a v i o l e t a n d a t p e a k p o w e rl e v e l s u p t o a h u n d r e d me g a wa t t s . T h i s w e a l t h o f e x p e r i -m e n t a l r e s u l t s i s d u e t o r e s e a r c h e r s a t n u me r o u s l a b o r a -t o r i e s : MSNW, T RW St a n f o r d , LAS L , L BL - L L NL ,MI T , NRL , Co l u mb i a - NRL , UC- S an t a B a r b a r a , Or s a ya n d F r a s c a t i .T h e t h e o r y o f F E L s h a s a t t h e same t i m e r e a c h e d ah i g h l e v e l o f c o mp l e t e n e s s a n d i s i n g o o d a g r e e m e n tw i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . As a r e s u l t o f t h e e x p e r i -m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l p r o g r e s s we n o w h a v e a g o o du n d e r s t a n d i n g o f t h e p h y s i c s a n d t e c h n o l o g y o f F E L s ,w h i c h c a n b e u s e d t o d e s i g n s y s t e m s o p e r a t i n g i n n e ww a v e l e n g t h r e g i o n s , l i k e t h e XUV s p e c t r a l r e g i o n .

T h e p o s s i b i l i t y o f b u i l d i n g a FEL o p e r a t i n g a t w a v e -l e n g t h s s h o r t e r t h a n 1 0 0 0 A i s a r e s u l t o f t h e p r o g r e s smade i n p r o d u c i n g h i g h d e n s i t y r e l a t i v i s t i c e l e c t r o nb e ams u s i n g e l e c t r o n s t o r a g e r i n g s . S t o r a g e r i n g s s p e -c i a l l y d e s i g n e d f o r FEL a p p l i c a t i o n s a n d c a p a b l e o fa c c o mmo d a t i n g u n d u l a t o r s m a g n e t s 5 t o 1 5 m o n g ,s h o u l d o f f e r t h e p o s s i b i l i t y o f p r o d u c i n g c o h e r e n t r a d i a -t i o n d o w n t o a f e w h u n d r e d An gs t r m w i t h a v e r a g ep o we r s o f t h e o r d e r o f w a t t s a n d p e a k p o w e r s u p t oh u n d r e d s o f me g a wa t t s . On e s u c h r i n g i s b e i n g b u i l t a tS t a n f o r d U n i v e r s i t y [ 7 ] , w h i l e s i m i l a r r i n g s a r e a l s ob e i n g s t u d i e d a t o t h e r l a b o r a t o r i e s [ 8 , 9 ] . I n t h i s p a p e rw e wa n t t o b n e f l y r e v i e w t h e d i f f e r e n t o p e r a t i o n mod e so f a n FEL i n t h e XUV r e g i o n ( s e c t s . 2 - 4 ) , we w i l l t h e nd i s c u s s i n mo r e d e t a i l , t h e s e l f a m p l i f i e d s p o n t a n e o u se mi s s i o n mode ( s e c t s . 5 - 9 ) .

0 1 6 8 - 9 0 0 2 / 8 5 / $ 0 3 . 3 0 C E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s B . V .( N o r t h - H o l l a n d P h y s i c s P u b l i s h i n g D i v i s i o n )

2 . P r i n c i p l e o f o p e r a t i o nI n a F E L a r e l a t i v i s t i c e l e c t r o n b e a m a n d a n e l e c -t r o m a g n e t i c w a v e t r a v e r s e a n u n d u l a t o r . T h e c o u p l i n go f t h e wa v e a n d t h e t r a n s v e r s e e l e c t r o n c u r r e n t , i n d u c e db y t h e u n d u l a t o r , c a n p r o d u c e a n e n e r g y t r a n s f e r b e -t w e e n t h e b e a m k i n e t i c e n e r g y a n d t h e r a d i a t i o n f i e l de n e r g y i f a s y n c h r o n i s m c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d . T h i sc o n d i t i o n r e l a t e s t h e r a d i a t i o n f i e l d w a v e l e n g t h X , t h eu n d u l a t o r p e r i o d X o , t h e u n d u l a t o r f i e l d B o , a n ds t r e n g t h p a r a m e t e r K=eX o B O / 2 7r mc 2 , a n d t h e b e a me n e r g y y me a s u r e d i n r e s t e n e r g y u n i t s [ 1 0 ] :

X= 2Y2 ( 1 + K 2 ( 1 )N o t i c e t h a t t h i s w a v e l e n g t h i s a l s o t h e w a v e l e n g t h a twh i c h t h e s p o n t a n e o u s r a d i a t i o n f r o m a n e l e c t r o nt r a v e r s i n g a n u n d u l a t o r i s e mi t t e d ( 1 1 1 .An i m p o r t a n t p r o p e r t y o f t h e FEL i s t h a t t h e e n e r g yt r a n s f e r b e t w e e n t h e b e a m a n d t h e r a d i a t i o n c a n b ee n h a n c e d b y a c o l l e c t i v e i n s t a b i l i t y p r o d u c i n g a n e x -p o n e n t i a l g r o w t h o f t h e r a d i a t i o n [ 1 2 ] . Wh e n t h i s i n s t a -b i l i t y b e c om e s i m p o r t a n t t h e F EL i s s a i d t o o p e r a t e mt h e h i g h g a i n r e g i m e . T h e e x i s t e n c e o f t h i s r e g i m e i sv e r y i m p o r t a n t f o r FEL o p e r a t i o n i n t h e XUV r e g i o nwh e r e we d o n o t h a v e o p t i c a l c o mp o n e n t s w i t h s u f f i -c i e n t l y h i g h r e f l e c t i v i t y a n d s m a l l a b s o r p t i o n [ 1 3 ]T h r e e mod e s o f o p e r a t i o n o f a n FEL c a n b e c o n s i d -e r e d . I n t h e f i r s t mode , s e l f a m p l i f i e d s p o n t a n e o u se mi s s i o n ( S A S E ) , t h e i n i t i a l s p o n t a n e o u s r a d i a t i o ne m i t t e d b y t h e e l e c t r o n s i s a m p l i f i e d ; t h i s s y s t e m d o e sn o t r e q u i r e a n y o p t i c a l c o mp o n e n t s b u t n e e d s a h i g hd e n s i t y e l e c t r o n b e a m a n d a r a t h e r l o n g u n d u l a t o r [ 8 , 1 2 ] .T h e s e c o n d mode i s t h e F E L o s c i l l a t o r ; a n o p t i c a lc a v i t y i s u s e d t o r e f l e c t b a c k a n d f o r t h t h e r a d i a t i o n f o rf u r t h e r a m p l i f i c a t i o n b y a n o t h e r e l e c t r o n b u n c h ; t h i ss y s t e m c a n g e t b y w i t h a s m a l l e r e l e c t r o n b e a m d e n s i t ya n d a s h o r t e r u n d u l a t o r b u t n e e d s m i r r o r s f o r t h e c a v -

I . THEORY

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1 6 0i t y ; a t w a v e l e n g t h s s ma l l e r t h a n 1 0 0 0 A t h e s e m i r r o r sh a v e y e t t o b e d e v e l o p e d a n d t h e i r r e f l e c t i v i t y i s e x -p e c t e d t o b e o n t h e o r d e r o f 5 0%I n t h e t h i r d mod e , o r t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o n [ 1 4 ] ,a n e x t e r n a l l a s e r b e a m a t t h e s p o n t a n e o u s r a d i a t i o nw a v e l e n g t h i s u s e d t o m o d u l a t e t h e b e a m e n e r g y a n dl o n g i t u d i n a l d e n s i t y d i s t r i b u t i o n l e a d i n g t o t h e e mi s s i o no f c o h e r e n t r a d i a t i o n a t t h e h i g h e r h a r m o n i c s o f t h ei n p u t l a s e r . Of t h e t h r e e mo d e s t h i s i s t h e o n e r e q u i r i n gt h e l e a s t s t r i n g e n t e l e c t r o n b e a m p a r a m e t e r s . I n a d -d i t i o n i t d o e s n o t n e e d o p t i c a l e l e me n t s b u t o n t h e o t h e rh a n d i t r e q u i r e s a n u n d u l a t o r w i t h r a t h e r s t r i c t m a g n e t i cf i e l d t o l e r a n c e s a n d p r o d u c e s t h e s ma l l e s t c o h e r e n t r a d i -a t i o n p o w e r .3 . FEL g r o w t h r a t e

I n a l l t h r e e mo d e sc h a r a c t e r i z e d b y o n el e n g t h , 4 7 r p , me a s u r e dN [ 1 2 ]

KXos2p z ~ 34 7 r p = 4 1 r( 8 7 r c

wh e r e S2 p i s t h e e l e c t r o n b e a m p l a s m a f r e q u e n c y , d e -f i n e d i n t e r m s o f t h e e l e c t r o n d e n s i t y n o , a n d e n e r g y y ,b yUP =( 4 7 r Y e ( ' z n 0 / y 3) 1 , 1 2r e b e i n g t h e c l a s s i c a l e l e c t r o n r a d i u s .F o r a n o s c i l l a t o r t o o p e r a t e a t s h o r t w a v e l e n g t h ,wh e r e t h e o p t i c a l c a v i t y l o s s e s c a n b e o n t h e o r d e r o f1 0 0% p e r r o u n d t r i p , o n e n e e d s a v a l u e o f 4apN o n t h eo r d e r o f 1 , i . e . a n umb e r o f u n d u l a t o r p e r i o d sN - 1 / ( 4 ? T p ) .I n t h e c a s e o f SASE [ 1 2 ] t h e v a l u e o f 4 7 p Nu m u s t b e o nt h e o r d e r o f 1 0 .

I n t h e c a s e o f SASE a n d o s c i l l a t o r mo d e s t h e e n e r g yt r a n s f e r f r o m t h e b e a m t o t h e r a d i a t i o n f i e l d i s o n t h eo r d e r o f p , w h i l e i n t h e TOK c a s e t h e t r a n s f e r f r o m t h ei n p u t l a s e r t o t h e h a r m o n i c s i s r a t h e r s ma l l .

T h e e x p r e s s i o n ( 2 ) f o r t h e FEL g r o w t h r a t e a p p l i e so n l y i f t wo o t h e r c o n d i t i o n s o n t h e e l e c t r o n b e a m a r es a t i s f i e d . On e i s a c o n d i t i o n o n t h e b e a m e n e r g y s p r e a d ,wh i c h m u s t b e l e s s t h a n p ; t h e s e c o n d i s a c o n d i t i o n o nt h e b e a m e mi t t a n c e , wh i c h m u s t b e s ma l l e r t h a n t h er a d i a t i o n w a v e l e n g t h . I f t h e s e c o n d i t i o n s a r e n o t s a t i s -f i e d t h e r a d i a t i o n g r o w t h r a t e d e c r e a s e s a n d t h e o u t p u tl a s e r p owe r i s r e d u c e d [ 8 ] .F o r w a v e l e n g t h s i n t h e m i l l i m e t e r r e g i o n a n d e l e c -t r o n e n e r g y o f a f e w MeV t h e v a l u e o f p c a n b e o n t h eo r d e r o f 1 . I n t h e VUV r e g i o n w i t h e l e c t r o n e n e r g i e s o fs e v e r a l h u n dr e d MeV, p i s o n t h e o r d e r o f 1 0 - 3 a n do n e c a n e x p e c t a n e n e r g y t r a n s f e r f r o m t h e b e a m t o t h er a d i a t i o n o n t h e o r d e r o f a f e w p a r t s i n a t h o u s a n d .

J . B Mu r p h y , C P e l l e g r i m / FEL f o r t h e XUV r e g i o n

t h e FEL c a n b e a p p r o x i m a t e l yp a r a m e t e r , t h e FEL e - f o l d i n gi n n umb e r o f u n d u l a t o r p e r i o d s

4 . T h e SASE modeI n t h e w a v e l e n g t h r e g i o n b e l o w 1 0 0 0 A , t h e b e s t

a c c e l e r a t o r s a v a i l a b l e t o p r o d u c e t h e h i g h d e n s i t y e l e c -t r o n s beams r e q u i r e d t o o p e r a t e i n t h e SASE mod e a r ee l e c t r o n s t o r a g e r i n g s . E x i s t i n g s t o r a g e r i n g s , s u c h a s t h eVUV r i n g o f t h e N a t i o n a l S y n c h r o t r o n L i g h t S o u r c e a tB r o o k h a v e n , c a n p r o v i d e a n a v e r a g e e mi t t a n c e o n t h eo r d e r o f 1 0 - s m r a d , a n e n e r g y s p r e a d o f a b o u t 1 0 - 3a n d a p e a k c u r r e n t o f 6 0 Aa t a n e n e r g y o f 7 5 0 MeV[ 1 5 1 . A r i n g l i k e t h i s , w i t h s t r a i g h t s e c t i o n s c a p a b l e o fa c c o mmo d a t i n g u n d u l a t o r s o f 5 t o 6 m, wo u l d a l l o w u st o p r o d u c e c o h e r e n t r a d i a t i o n mh e 1 0 0 0 A r e g i o n .We b e l i e v e t h a t i t i s n o w p o s s i b l e t o d e s i g n a s t o r a g er i n g w i t h a n e n e r g y o f 7 0 0 t o 1 0 0 0 MeV, t h e s amee n e r g y s p r e a d a n d a n e mi t t a n c e s ma l l e r b y a n o r d e r o fma g n i t u d e t h a n t h a t o f t h e VUV r i n g , a n d p e a k c u r -r e n t s t o t h e r a n g e o f 1 0 0 t o 2 0 0 A . S u c h a r i n g wo u l de n a b l e u s t o p r o d u c e r a d i a t i o n m h e w a v e l e n g t h r a n g eo f 1 0 0 t o 5 0 0 Au s i n g u n d u l a t o r s a b o u t 1 0 m l o n g [ 7 - 9 ] .Us i n g t h i s r i n g , t h e p e a k r a d i a t i o n p owe r t h a t o n ec a n o b t a i n i n t h e SASE mo d e i s o n t h e o r d e r o f 1 0 - 3t i m e s t h e b e a m p e a k p o w e r , o r 1 0 0 MWT h i s p u l s ewo u l d h a v e a d u r a t i o n o f a b o u t 1 0 0 p s a n d a r e p e t i t i o nr a t e o f 1 0 Hz , f o r a n a v e r a g e r a d i a t i o n p owe r o f 0 . 1 WW t h t h e s ame s y s t e m o p e r a t i n g i n t h e o s c i l l a t o rmo d e , o n e c a n o b t a i n a n a v e r a g e o u t p u t p owe r o f t h eo r d e r o f 1 W a p u l s e d u r a t i o n o f a b o u t 1 0 0 p s a n d ar e p e t i t i o n r a t e d e t e r m i n e d b y t h e r i n g r e v o l u t i o n t i m e t ob e o n t h e o r d e r o f a f e w MHz , a n d a p e a k p owe r o fa b o u t 1 0 kW F o r t h i s o s c i l l a t o r i t i s a l s o p o s s i b l e , b ym o d u l a t i n g t h e s y s t e m g a i n , t o r e d u c e t h e r e p e t i t i o nr a t e a n d i n c r e a s e t h e p e a k p owe r .F o r t h e TOK mo d e o n e c a n e x p e c t c o n v e r s i o n e f -f i c i e n c i e s o n t h e o r d e r o f 1 0 - 6 a r o u n d t h e t e n t hh a r m o n i c , s o t h a t s t a r t i n g w i t h a 1 0 0 MWe a k p owe rl a s e r a t 2 0 0 0 o n e s h o u l d b e a b l e t o p r o d u c e a b o u t 1 0 0Wt a r o u n d 2 0 0 A .

I n a l l o f t h e s e c a s e s t h e a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f t h er a d i a t i o n i s d e t e r m i n e d b y t h e e l e c t r o n b e a m r a d i u s , a ,a n d t h e r a d i a t i o n w a v e l e n g t h ; t h e c h a r a c t e r i s t i c a n g l e i so n t h e o r d e r o f X / a , i . e . o f a f e w t e n t h o f m i l l i r a d i a n s .T h e l i n e w i d t h i s o n t h e o r d e r o f t h e w a v e l e n g t h d i v i d e db y t h e e l e c t r o n b u n c h l e n g t h , i . e . 1 0 - 6 - 1 0 - 5 , f o r t h eo s c i l l a t o r a n d t h e TOK mod e . F o r t h e SASE mo d e i td e p e n d s o n t h e d e t a i l s o f t h e s y s t e m a n d i s i n t e r m e d i a t eb e t w e e n t h e o s c i l l a t o r l i m i t a n d t h e i n v e r s e o f t h en um b e r o f p e r i o d s i n t h e u n d u l a t o r , i . e . b e t w e e n 1 0 - 'a n d 1 0 - 5 .

5 . F EL e q u a t i o n sI n t h e r e ma i n d e r o f t h i s p a p e r we w i l l d i s c u s s t h eh i g h g a i n r e g i m e a n d t h e SASE mod e o f o p e r a t i o n o f a nFEL . F o l l o w i n g t h e wo r k o f o t h e r a u t h o r s [ 1 6 , 1 7 ] we

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w r i t e t h e FEL e q u a t i o n s u s i n g t h e p h a s e a n d e n e r g y a se l e c t r o n v a r i a b l e s a n d u s e t h e s l o w l y v a r y i n g a mp l i t u d ea n d p h a s e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e r a d i a t i o n f i e l d . T h e s ee q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n i n a v e r y g e n e r a l f o r m i n c l u d -i n g t h e e f f e c t s o f s p a c e - c h a r g e f i e l d s a n d h i g h e rh a r m o n i c s o f t h e r a d i a t i o n f i e l d [ 1 8 ] . To s i m p l i f y o u rd i s c u s s i o n we n e g l e c t t h e s e t e r m s a n d u s e t h e r e s u l t s o fr e f . [ 1 8 ] t o e v a l u a t e t h e i r e f f e c t s Ou r n o t a t i o n s a r e t h ef o l l o w i n g : z i s t h e e l e c t r o n b e a m a n d e l e c t r o ma g n e t i cwa v e d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n ; x a n d y a r e t h e t r a n s -v e r s e c o o r d i n a t e s ; Bo i s t h e u n d u l a t o r ma g n e t i c f i e l d( we u s e a h e l i c a l u n d u l a t o r f o r s i mp l i c i t y ) a n d a o , Nu ,a r e i t s p e r i o d a n d l e n g t h i n n umbe r o f p e r i o d s r e s p e c -t i v e l y ; X i s t h e w a v e l e n g t h o f t h e r a d i a t i o n f i e l d ; y i st h e e l e c t r o n e n e r g y mu n i t s o f mo c 2 ; ~ = 1 i s t h el o n g i t u d i n a l e l e c t r o n v e l o c i t y a n d 1 = K/ y t h e a mp l i -t u d e o f t h e t r a n s v e r s e v e l o c i t y ; t h e e l e c t r o n p h a s e r e l a -t i v e t o t h e e l e c t r o ma g n e t i c w a v e , ~ 5 , i s r e l a t e d t o z a n d tb y p = 2 7 r z / Xo + 2 a ( z - e t ) / X ; t h e r e s o n a n t e n e r g y YRi s r e l a t e d t o A o , X a n d K b y y 2 2 = X 0 ( 1 + K2 ) / 2 a ; t h eu n d u l a t o r f r e q u e n c y w o i s c o , = 2 7 r c / 8 z / a o ; t h e a mp l i -t u d e , Eo , a n d p h a s e , Bo , o f t h e r a d i a t i o n f i e l d a r ec o mb i n e d t o y i e l d a c o mp l e x a mp l i t u d e a = i E o e ' a .T o w r i t e t h e FEL e q u a t i o n s i t i s c o n v e n i e n t t o u s e as e t o f n o r ma l i z e d v a r i a b l e s a n d i n t r o d u c e some q u a n t i -t i e s t o c h a r a c t e r i z e t h e b e a m p r o p e r t i e s [ 1 2 , 1 8 ] . We w i l lu s e t h e r e l a t i v i s t i c b e a m p l a s ma f r e q u e n c y a l r e a d y i n -t r o d u c e d i n s e c t . 3 , wh i c h f o r a b e a m w i t h e n e r g yd i s p e r s i o n i s g i v e n b y

/ z- ~ 4 7 r r e n o c 2 j 1 , 1 2 ( 4 )P ( Y o ) 3wh e r e ( y o ) i s t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e i n i t i a l e l e c t r o ne n e r g y ; we i n t r o d u c e a l s o t h e q u a n t i t i e s

U s i n g t h e s e d e f i n i t i o n s we c a n c o n s t r u c t a s e t o fd i me n s i o n l e s s v a r i a b l e s

A - a e x p ( i ~ o t ) y z '[ 4 7 r mc z ( Yo ) n o P~

J . B . Mu r p h y , C P e l l e g r t m / FEL f o r t h e XUV r e g i o n

( 1 0 )

a n d w r i t e t h e FEL e q u a t i o n s a s [ 1 2 ]= 2 p 1 1 - PZ r 2 ) ,-- f AI

1 I, + c . c ).7

A=i SA+ I (I() ,w i t hS =~ / p , ( l l d )a n d D t h e d e t u n i n g p a r a m e t e r~ ( Y - Y ) / 2 Y i i *

b e w e t t e n a s

Y - ( Y o )( Y o ) =P( I A Z - I Ao 1 z ) >

i =1 , 2 , . . . , N, ( l l a )

T h e d o t i n d i c a t e s d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o T . Th ea n g u l a r b r a c k e t s i n d i c a t e a n a v e r a g e o v e r t h e p a r t i c l ei n i t i a l p h a s e s , i . e . ( ) _ ( 1 / N) E , w h e r e N i s t h e num-b e r o f p a r t i c l e s .Fr o m t h e s e e q u a t i o n s we c a n s h o w t h a t t h e q u a n t i t y :H= ( r ) + J A 1 z ( 1 2 )i s a n i n v a r i a n t . I n t e r m s o f l a b o r a t o r y v a r i a b l e s t h i s c a n

E2H=mc 2 n o ( y ) + 4~ = c o n s t a n t , ( 1 3 )w h i c h i s s e e n t o b e t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y r e l a t i o nf o r t h e e l e c t r o n b e a m- r a d i a t i o n f i e l d s y s t e m . I t i s a l s oc o n v e n i e n t , u s i n g e q . ( 9 ) , t o r e w r i t e e q . ( 1 2 ) a s

( 1 4 )

w h i c h r e l a t e s d i r e c t l y t h e c h a n g e i n t h e f i e l d a mp l i t u d eA t o t h e a v e r a g e c h a n g e i n e l e c t r o n e n e r g y . On e c a n s e ef r o m e q . ( 1 4 ) t h a t , a s s u m i n g I A o 1 IA 1 , t h e q u a n t i t yp I A 1 2 m e a s u r e s t h e e f f i c i e n c y o f e n e r g y t r a n s f e r f r o mt h e e l e c t r o n b e a m t o t h e r a d i a t i o n f i e l d .

I n i n t e g r a t i n g t h e FEL e q u a t i o n s t h e ma x i mu m t i mei s d e f i n e d b y t h e u n d u l a t o r l e n g t h t m. = Nw l o / c . I nt e r m s o f t h e s c a l e d t i me z t h i s b e c o m e s

z7 r n . i x = 4 w p (

YR N_ ( 1 5 )~ Y o ) )

6 . T h e FEL c o l l e c t i v e i n s t a b i l i t y a n d c o h e r e n t r a d i a t i o ng e n e r a t i o n

Th e s y s t e m o f e q s . ( l l a ) - ( l l c ) h a s b e e n d i s c u s s e d i nr e f . [ 1 2 ] wh e r e i t h a s b e e n s h o w n t h a t f o r S < 5 t , , = 1 . 9t h e s y s t e m i s u n s t a b l e a n d t h e f i e l d a mp l i t u d e A g r o w se x p o n e n t i a l l y . B o t h t h e r a d i a t i o n f i e l d a n d t h e b e a mb u n c h i n g g r o w e x p o n e n t i a l l y . We c a n c h a r a c t e r i z e t h eb u n c h i n g b y t h e p a r a m e t e r h = I ( e - ' v ) 1 . Th e n o n l i n e a r

I . THEORY

2 2P l 2 / 34P=~K( ( Y o ) 1

YR J WO( 5 )

a n d( Yl ' o =wo l l _ ( 6 )( Y o > 2

a n d a n o r ma l i z e d t i meT=2wop (

YR( - Y o )

) 2 t . ( 7 )

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1 6 2r e g i m e a n d s a t u r a t i o n t h a t f o l l o w t h e i n i t i a l e x p o n e n t i a lg r o w t h h a v e a l s o b e e n s t u d i e d i n t h e s e p a p e r s .I n t h i s p a p e r we w a n t t o d i s c u s s a c o l l e c t i v e l y u n s t a -b l e s y s t e m u s i n g t h e p a r a m e t e r s t h a t a p p l y t o a n e l e c -t r o n b e a m o b t a i n e d f r o m a s t o r a g e r i n g .We a s s u m e t h a t t h e i n i t i a l f i e l d a m p l i t u d e i s z e r o

a n d we i n t r o d u c e a n i n i t i a l n o i s e i n t h e e l e c t r o n p h a s ed i s t r i b u t i o n s o t h a t t h e i n i t i a l v a l u e o f b = I ( e " I ) i s1 / t / N x , N b e i n g t h e n u m b e r o f e l e c t r o n s i n o n er a d i a t i o n w a v e l e n g t h . I n f i g . 1 we s h o w t h e e v o l u t i o n o ft h e f i e l d a m p l i t u d e A I v e r s u s r , f o r d i f f e r e n t v a l u e s o ft h e i n i t i a l e l e c t r o n b e a m r ms e n e r g y s p r e a d , c F , , , , a n d f o rS = 0 . On e c a n s e e t h a t f o r a e 0 < < p t h e f i e l d a m p l i t u d eA I r e a c h e s a v a l u e o f t h e o r d e r o f u n i t y , s o t h a t , f r o me q . ( 1 4 ) , we h a v e a n e n e r g y t r a n s f e r e f f i c i e n c y o f t h eo r d e r o f p , i . e . , a t t h e p e a k o f A I we h a v e t r a n s f e r r e d af r a c t i o n p o f t h e b e a m e n e r g y t o t h e r a d i a t i o n f i e l d .F i g . 2 s h o ws t h e e v o l u t i o n o f t h e r ms b e a m e n e r g ys p r e a d f o r t h e s a m e v a l u e s o f a , 0 a s i n f i g . 1 . On e c a ns e e t h a t w h e n t h e f i e l d p e a k s t h e e n e r g y s p r e a d b e c o m e so n t h e o r d e r o f p p r o v i d e d a , 0 < p .

T h e t i m e n e e d e d t o r e a c h t h e p e a k c a n b e s e e n f r o mf i g s . 1 a n d 2 t o b e T = 1 0 . As s u mi n g 7 0 =i ' R we c a n s e ef r o m e q . ( 1 5 ) t h a t t o r e a c h t h e p e a k we n e e d a n u n d u l a -t o r w i t h a n u m b e r o f p e r i o d s N - 1 / p .L e t u s s u mma r i z e t h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n :

1 ) t h e e l e c t r o n b e a m , u n d u l a t o r m a g n e t , r a d i a t i o nf i e l d s y s t e m i s u n s t a b l e , i f S < 5 , , , , a n d b o t h t h e f i e l da m p l i t u d e , I A 1 , a n d t h e b e a m b u n c h i n g , b , w i l l g r o we x p o n e n t i a l l y u p t o a s a t u r a t i o n l e v e l wh e r e I A - 1 a n db - 1 ;

2 ) i f t h e s y s t e m i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e I A0 = 0 , b od e t e r m i n e d b y n o i s e , a , o < p , t h e e l e c t r o n b e a m w i l lt r a n s f e r a f r a c t i o n p o f i t s e n e r g y i n a n u m b e r o fu n d u l a t o r p e r i o d s o f t h e o r d e r o f 1 / p .

r

J . B M u r p h y , C P e l l e g r i n i / F E L f o r t h e XUV r e g i o n

F i g . 1 P l o t o f J A I v e r s u s r f o r b = 9 . 1 X l 0 - 3 , p = 3 X 1 0 - 3a n d s e v e r a l v a l u e s o f t h e i n i t i a l r ms e n e r g y s p r e a d , a , , = 0 . 1 p ,0 . 7 5 p a n d p , l a b e l e d a , b a n d c , r e s p e c t i v e l y .

aawt nrwzwm

0 0 1

( c )( b )

F i g 2 . P l o t o f o v e r s u s v f o r b = 9 . 1 X 1 0 - 3 , p = 3 X 1 0 - 3 a n ds e v e r a l v a l u e s o f t h e i n i t i a l r ms e n e r g y s p r e a d , a , = 0 . 1 p , 0 7 5p a n d p , l a b e l e d a , b a n d c , r e s p e c t i v e l y .3 ) a f t e r t r a v e r s i n g t h e u n d u l a t o r we h a v e A = l ,b = I a n d ( Y , - p .

7 . T h e e l e c t r o n b e a m - u n d u l a t o r s y s t e mAs we w i s h t o d i s c u s s t h e o p e r a t i o n o f a n FEL o v e ra l a r g e w a v e l e n g t h r a n g e ( 3 0 - 2 0 0 0 f 1 ) we w i l l c o n s i d e ro p e r a t i n g t h e s t o r a g e r i n g a t e n e r g i e s r a n g i n g f r o m3 0 0 - 5 0 0 MeV . I n a d d i t i o n we w i l l c o n s i d e r 3 u n d u l a t o rd e s i g n s , a 5 mm p e r i o d u n d u l a t o r f o r A i n t h e r a n g e o f

3 0 - 1 0 0 , a 1 c m p e r i o d u n d u l a t o r f o r X mh e r a n g e o f1 0 0 - 2 5 0 f 1 a n d o n e w i t h a 0 = 2 . 5 c m f o r A i n t h e r a n g eo f 5 0 0 - 2 0 0 0 f 1 .T o c a l c u l a t e t h e u n d u l a t o r p r o p e r t i e s we a s s u m e i t t ob e o f t h e h y b r i d ( p e r m a n e n t ma g n e t a n d i r o n ) t y p e a n dc a l c u l a t e t h e m a g n e t i c f i e l d f r o m [ 1 9 ]zB0 = 3 . 3 3 e x p ( - 5 . 4 7 g + 1 . 8 g T , ( 1 6 )X0 a

wh e r e X 0 a n d g a r e t h e p e r i o d a n d t h e g a p , r e s p e c -t i v e l y . A c o m p l e t e l i s t i n g o f t h e u n d u l a t o r d a t a c a n b ef o u n d i n t a b l e 1 . T h e o u t p u t r a d i a t i o n w a v e l e n g t h s f o rt h e 3 u n d u l a t o r s a r e s i g n i f i e d b y 0 ' s i n f i g s . 5 a - 5 c .T h e e l e c t r o n b e a m d e s c r i b e d i n t a b l e 2 c a n b e o b -t a i n e d i n a s t o r a g e r i n g , a s we d i s c u s s e d i n s e c t . 5 .Ho we v e r , i f we t r i e d t o i n s t a l l t h e u n d u l a t o r s d e s c r i b e dT a b l e lU n d u l a t o r ma g n e t sP e r i o d , A 0 ( c m ) 0 . 5 1 . 0 2 . 5G a p , g ( c m ) 0 . 1 0 . 2 0 5Pump s t r e n g t h , B 0 ( T ) 1 . 2 1 . 2 1 . 2U n d u l a t o r p a r a m e t e r , K 0 . 5 6 1 . 1 2 2 8 0

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J . B M u r p h y , C P e l l e g r i n i / FEL f o r t h e XUV r e g i o n

t o t a b l e 1 d i r e c t l y i n t h e r i n g s u c h t h a t t h e e l e c t r o nbeam wo ul d p a s s t h r o u gh t h e s ma l l a p e r t u r e o f t h eu n d ul a t o r o n e a c h r e v ol u t i o n, i t wo u l d b ec ome i mp os s i -b l e t o o p e r a t e t h e r i n g . The s ma l l a pe r a t u r e ( g a p) o f t h eu n d ul a t o r wo u l d r e s u l t i n v a n i s h i n g s ma l l beam l i f e -t i me s du e t o c o l l i s i o n s wi t h u nd ul a t o r wa l l s . The mi n i -muma l l o wa b l e g ap d ep en ds o n b o t h t h e r i n g an du n d ul a t o r p a r a me t e r s an d mu s t b e d e t e r mi n e d e x pe r i -me n t a l l y .

Fo r t h i s r e a s o n we p r o p o s e t o i n s t a l l t h e u nd ul a t o ri n a r i n g b y p a s s , a s shown i n f i g . 3 . The e l e c t r o n beamwo u l d n o r ma l l y c i r c ul a t e i n t h e r i n g , wher e t h e e f f e c t o fs y n c h r o t r o n r a d i a t i o n d amp i n g wo u l d p r o du c e t h e beamp r o p e r t i e s o f t a b l e 2 . Abou t o n c e p e r damp i n g t i me , o ft h e o r d e r o f 5 0 ms f o r t h e s t o r a ge r i n g i l l u s t r a t e d i nt a b l e 3 , t h e beam i s t a k e n i n t o t h e b y p a s s an d f o c us e di n t h e u nd ul a t o r b y a s pe c i a l q ua d r u p o l e t r i p l e t . I ng o i n g t h r o u gh t h e u n d ul a t o r t h e e l e c t r o n beam p r o d uc e st h e r a d i a t i o n, i t s e n e r g y i s d e c r e a s e d b y p ET an d i t se n e r g y s p r e a d i n c r e a s e s f r o m i t s i n i t i a l v a l u e t o a b o u t p .Th e b eam i s t h e n t a k e n b a ck i n t o t h e s t o r a ge r i n g an d

UNDULATOR BYPASS~ECT I ONRF SYSTEM

Fi g . 3 . Sk e t c h o f s t o r a g e r i n g a n d b y p a s s s e c t i o n .

l e f t t h e r e f o r a t i me l o n g e n o u g h f o r s y n c h r o t r o n r a d i a -t i o n damp i n g t o b r i n g i t s c h ar a c t e r i s t i c s b a c k t o t h e i rs t a r t i n g v a l u e . Amor e de t a i l e d d i s cu ss i o n o f t h e s t o r a g er i n g an d b y p a s s s y s t e m i s g i v e n i n t h e n e x t s ec t i o n .

As t h e e l e c t r o n beam c i r c ul a t e s i n t h e r i n g i t p e r -f o r ms b o t h v e r t i c a l an d h o r i z o n t a l o s c i l l a t i o n s , t h e s o -

1 6 3

I . THEORY

Av e r a g e c u r r e n t , I o ( A) 0 . 1 0 0 . 1 0 0 . 1 0E l e c t r o n n u mb e r , N 1 . 9 7 +1 1 1 . 9 7 E+ I 1 1 97E+ I 1Sy n c h r o n o u s p h a s e , a , 1 . 3 8E- 0 3 5 . 6 7E- 0 4 1 . 7 9E- 0 4Moment um c o mp a ct i o n , a 1 . 2 2E- 0 2 1 . 2 2 E - 0 2 1 . 2 2E - 0 2Ho r i z o nt a l e mi t t a n c e , e x ( mr a d ) 3 . 4 1 E - 0 9 2 . 1 8E- 0 9 1 . 2 3E- 0 9V e r t i c a l e mi t t a n c e , e , ( mr a d ) 3 . 3 8E- 1 1 2 . 1 6E- 1 1 1 . 2 2E- 1 1Z e r o c u r r e n t b u n c h l e n g t h , ap o ( m) 1 . 9 9 E- 0 3 1 . 4 2 E - 0 3 9 . 2 4E - 0 4Z e r o c u r r e n t e n e r g y s p r e a d , a , . 2 . 1 4E- 0 4 1 . 7 1E- 0 4 1 . 2 9E- 0 4Sy n ch r o t r o n t u n e , v , 1 . 9 7 E- 0 2 2 . 2 0E- 0 2 2 . 5 4 E- 0 2Sy n ch r o t r o n r a d i a t i o n l o s s , Uo ( MeV) 1 . 3 8E- 0 3 5 . 6 7E- 0 4 1 79E- 0 4RF a c c e p t a n c e , ERF 3 . 2 3E- 0 2 3 . 6 1E- 0 2 4. 1 7E- 0 2

Ta b l e 3St o r a g e r i n g p a r a me t e r sEn e r g y , E ( Me V ) 5 0 0 40 0 30 0Gamma, y 9 7 8 7 82 5 87Be n d i n g r a d i u s , R h ( m) 4 4 4Av e r a g e r a d i u s , R_( m) 1 5 1 5 1 5Numbe r o f a c hr o ma t i c b e nd s, M 6 6 6RF v o l t a g e , V ( MV ) 1 1 1Ha r mo n i c n u mb e r , h 1 0 0 1 0 0 1 0 0Numbe r o f b u n c h e s 1 7 1

40 0 . 0 0 30 0 . 0 03 . 0 0 3 . 0 01 . 0 0 1000 . 0 1 0 . 0 18 . 1 0 E- 0 5 6 . 0 7 E- 0 52. 7 0E- 0 5 2 . 0 2E- 0 54. 6 5 E- 0 6 3 . 4 9E- 0 64. 6 5 E- 0 6 3 . 4 9E- 0 6

Ta b l e 2El e ct r o n b e a m p a r a me t e r s m h e b y p a s s s e c t i o nEn e r g y E ( MeV) 5 0 0 . 0 0Be t a h o r i z o n t a l , x ( m) 3 . 0 0B e t a v e r t i c a l , y ( m) 1 . 0 0Co up l i n g, X 0 . 0 1r ms h o r i z o n t a l b e a m r a d i u s , a x ( m) 1 0 1E- 0 4r ms h o r i z o n t a l a n gu l a r s p r e a d , a , ( r a d ) 3 . 3 7 E - 0 5r ms v e r t i c a l a n gu l a r s p r e a d , a , ( r a d ) 5 . 8 1 E- 0 6r ms v e r t i c a l b e a m r a d i u s , a , ( m) 5 . 8 1 E- 0 6

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6/9

1 6 4 J B M u r p h y , C P e l l e g r i n ic a l l e d b e t a t r o n o s c i l l a t i o n s . T h e b e t a t r o n f u n c t i o n s , Na n d v , wh i c h c h a r a c t e r i z e t h e a m p l i t u d e a n d p e r i o d o ft h e b e t a t r o n o s c i l l a t i o n s , a r e a me a s u r e o f t h e f o c u s i n gp r o p e r t i e s o f t h e m a g n e t i c l a t t i c e . T o g e t h e r w i t h t h ee mi t t a n c e , E, w h i c h i s t h e a r e a i n t h e p o s i t i o n - a n g u l a rd e v i a t i o n p h a s e s p a c e i n wh i c h t h e b e a m i s c o n t a i n e d ,t h e b e t a f u n c t i o n s d e t e r m i n e t h e b e a m s i z e , i . e . , t h e r msb e a m h e i g h t , a H=E H P H . T h e c h o i c e o f t h e b e t af u n c t i o n s i n t h e b y p a s s i s d e t e r m i n e d b y t h e r e q u i r e -men t o f k e e p i n g p a s l a r g e a s p o s s i b l e , wh i c h r e q u i r e ss m a l l NH v, w i t h o u t v i o l a t i n g t h e e n e r g y s p r e a d c o n -d i t i o n a , < p . I n e f f e c t f o r a b e a m w i t h n o n z e r o t r a n s -v e r s e e mi t t a n c e s EH E v , i t i s n e c e s s a r y t o a d d t o t h er e a l e n e r g y s p r e a d a n e f f e c t i v e s p r e a d g i v e n b y [ 2 0 ]

1 2 7 r z Kza c . e e ( = 2 1 Xo l I +K2EVv' Y 1 E E l

+ 1+K ( V + Rv l ( 1 7 )I n w h a t f o l l o w s we w i l l make s u r e t h a t t h e c o n d i t i o na c . e f f < o r , i s a l w a y s s a t i s f i e d .I n t h e c a s e s t h a t we w i l l c o n s i d e r i n t h e n e x t s e c t i o nt h e u n d u l a t o r l e n g t h v a r i e s b e t we e n t wo a n d t h r e e me -t e r s a n d i s d e t e r m i n e d b y t h e c o n d i t i o n N, = 1 / p . T h i sl e n g t h i s a l s o c o n s i s t e n t w i t h o u r a s s u m p t i o n o n t h eb e t a - f u n c t i o n s .

8 . T h e e l e c t r o n s t o r a g e r i n g a n d b y p a s s s e c t i o nT h e s t o r a g e r i n g t h a t we c o n s i d e r i s s i m i l a r t o t h o s e

u s e d a s s y n c h r o t r o n r a d i a t i o n s o u r c e s , f o r i n s t a n c e t h eN a t i o n a l S y n c h r o t r o n L i g h t S o u r c e VUV r i n g [ 1 5 ] . I t sma i n c h a r a c t e r i s t i c s a r e g i v e n i n t a b l e 3 .S i n c e we w a n t t o ma x i mi z e t h e e l e c t r o n d e n s i t y t oo b t a i n a l a r g e v a l u e o f p i n t h e u n d u l a t o r , we h a v ec h o s e n a r i n g d e s i g n wh i c h m i n i m i z e s t h e b e a m e mi t -

t a n c e a n d t h e b u n c h l e n g t h . Wh e n t h e b e a m e n t e r s t h eb y p a s s s e c t i o n i t u n d e r g o e s a d d i t i o n a l f o c u s i n g t o i n -c r e a s e p , a s s h ow n i n t a b l e 2 .T h e r i n g h a s t wo 1 0 m l o n g s t r a i g h t s e c t i o n s , o n eu s e d f o r t h e r a d i o f r e q u e n c y s y s t e m a n d on e f o r t h eb y p a s s s w i t c h i n g m a g n e t s . T h e a r c s j o i n i n g t h e t wo l o n gs t r a i g h t s e a c h h a v e t h r e e e q u a l p e r i o d s . E a c h p e r i o d h a s2 d i p o l e ma g n e t s w i t h a f o c u s i n g q u a d r u p o l e b e t we e nt h em a n d t wo q u a d r u p o l e d o u b l e t s o n t h e e x t e r n a ls i d e s . T h e r i n g e n e r g y d i s p e r s i o n i s c o n t r o l l e d b y t h ec e n t r a l q u a d r u p o l e a n d i s n o n z e r o o n l y i n t h e d i p o l e sa n d i n t h e r e g i o n b e t w e e n t h e m .

T h e mome n t u m c o m p a c t i o n , a = ( d E/ E) / ( d l / 1 ) ,r e l a t e s t h e c h a n g e i n o r b i t l e n g t h t o t h e r e l a t i v e e n e r g yd e v i a t i o n f r o m t h e d e s i g n e n e r g y E o o f t h e r i n g . F or ar i n g w i t h t h i s m a g n e t i c s t r u c t u r e t h e mome n t u m c o m -p a c t i o n a , a n d t h e h o r i z o n t a l e mi t t a n c e , EH a r e a p -

/ F EL f o r t h e XUV r e g i o np r o x i m a t e l y g i v e n b y [ 2 1 ]

1 ( _ 7 ) Z R Ba 6 M R d "z

EH = 7 . 7 X 1 0 - 1 3Y~ ( m r a d ) . ( 1 9 )Mwh e r e R B , R, , a r e t h e b e n d i n g a n d a v e r a g e r i n g r a d i ia n d Mi s t h e n umb e r o f a c h r o ma t i c b e n d s . Ana c h r o m a t i c b e n d , t y p i c a l l y c o n s i s t s o f t wo d i p o l e m a g -n e t s w i t h a h o r i z o n t a l l y f o c u s i n g q u a d r u p o l e i n b e -t w e e n , a n d i s d e s i g n e d t o f o c u s a l l t h e e n t e r i n g e l e c -t r o n s , r e g a r d l e s s o f e n e r g y , t o t h e s ame p o i n t o n e x c i t -i n g t h e b e n d . T h e v e r t i c a l e mi t t a n c e i s d e t e r m i n e d b yt h e c o u p l i n g b e t w e e n h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l o s c i l l a t i o nd u e t o magn e t m i s a l i g n me n t , E v =XE .A t z e r o o r s m a l l c u r r e n t t h e r ms e n e r g y s p r e a d a n dt h e b u n c h l e n g t h a r e d e t e r m i n e d b y s y n c h r o t r o n r a d i a -t i o n a n d a r e g i v e n b y [ 2 2 ]a E o = 4 . 3 8 X 1 0 - 7 YZ Z . ( 2 0 )

BaR a a p o = v a ~ o

wh e r e P, =w /w i s t h e r i n g s y n c h r o t r o n o s c i l l a t i o nt u n e . A t l a r g e c u r r e n t s t h e mi c r o wa v e i n s t a b i l i t y [ 2 3 ] ,c a u s e d b y t h e b e a m i n t e r a c t i o n w i t h t h e b r o a d - b a n dh i g h f r e q u e n c y s t o r a g e r i n g i mp e d a n c e c a n i n c r e a s e t h ee n e r g y s p r e a d , a e , a n d t h e b u n c h l e n g t h , a p An i n c r e a s eo f a p r e d u c e s t h e v a l u e o f p w h i l e a t t h e s a m e t i me a Ei n c r e a s e s a n d t h e c o n d i t i o n a E < p c a n b e v i o l a t e d .

T o e v a l u a t e t h i s e f f e c t we u s e t h e a p p r o x i m a t e c o n d i -t i o n [ 2 3 ]e I P Z ( n ) < 27E a a z f o r n > _ a a

Pwh e r e I P i s t h e p e a kb u n c h c u r r e n t , I o . b yI p = ( 2 1 r ) ' / z R = I oOp

l a I o e Z a p =R a v 1 2 7 r E Y~ n ,v sa E= aRavaP ,

( 1 8 )

( 2 1 )

( 2 2 )c u r r e n t , r e l a t e d t o t h e a v e r a g e

( 2 3 )l o n g i t u d i n a l c o u p l i n gn d I Z ( n ) / n i s t h e e f f e c t i v e

i mp e d a n c e o f t h e r i n g .F r om e q s . ( 2 1 ) - ( 2 3 ) a n e x p r e s s i o n f o r t h e mi c r o wa v ei n s t a b i l i t y l i m i t e d b u n c h l e n g t h a n d e n e r g y s p r e a db e o b t a i n e d c a n

( 2 4 )

( 2 5 )T h e s t o r a g e r i n g c o u p l i n g i mp e d a n c e i s d e t e r m i n e d

b y t h e v a c u u m c h am b e r g e o m e t r y a n d b y t h e b e n d i n gr a d i u s i n t h e c u r v e d s e c t i o n [ 2 3 , 2 4 ] a n d i s a q u a n t i t yd i f f i c u l t t o c a l c u l a t e " a p r i o r i . . . " . Howev e r i n mod e r n

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T a b l e 4B u n c h l e n g t h a n d p e a k c u r r e n tE f f e c t i v e c o u p l i n g i mp e d a n c e ( S 2 ) 0 . 1 1 0 1 0B u n c h l e n g t h , a P [ l L - w a v e l i m i t ] ( c m ) 0 . 9 5 2 0 4 4P e a k c u r r e n t , I P ( A ) 3 9 7 1 8 4 8 6

s t o r a g e r i n g s v a l u e s o f t h e o r d e r o f 1 S 2 h a v e b e e no b t a i n e d . S i n c e t h i s q u a n t i t y i s v e r y i m p o r t a n t i n d e -t e r m i n i n g t h e p e r f o r ma n c e o f o u r s y s t e m we h a v e c h o -s e n t o u s e i n o u r c a l c u l a t i o n s t h r e e v a l u e s o f I Z ( n ) I n ,i . e . 0 . 1 , 1 a n d 1 0 S 2 . L e t u s n o t i c e t h a t a 1 0 S 2 c o u p l i n gi mp e d a n c e i s l a r g e , a n d i s a p e s s i m i s t i c a s s u mp t i o n ,w h i l e a 1 S 2 v a l u e i s r e a l i s t i c a n d h a s b e e n a l r e a d yo b t a i n e d . On t h e o t h e r h a n d , a 0 . 1 S Z v a l u e wo u l dr e q u i r e a b r e a k t h r o u g h i n s t o r a g e r i n g d e s i g n .

Th e mi c r o wa v e i n s t a b i l i t y l i m i t e d b u n c h l e n g t h s a n dp e a k c u r r e n t s , w h i c h d e p e n d o n t h e v a l u e o f t h e c o u -p l i n g i mp e d a n c e b u t n o t t h e e n e r g y , a r e g i v e n i n t a b l e 4Th e b u n c h l e n g t h s a r e t y p i c a l l y a f e w c e n t i me t e r s a n dt h e p e a k c u r r e n t s a r e i n t h e 1 0 0 - 4 0 0 A r a n g e .T o t e s t t h e b e a m f o r s t a b i l i t y a g a i n s t t r a n s v e r s ec o h e r e n t o s c i l l a t i o n s we h a v e u s e d t h e c o n d i t i o n s t h a t

6 . 0

5 0

4 00x

7 . 0 f( a )

20

1 0

i i3 0 0 4 0 0 5 0 0ENERGY ( MeV)

J B Mu r p h i , C

70

6 0

5 . 0

3 0

20

1 0

OL - - - - / /

P e l l e g r t m / FEL f o r t h e XUV r e g i o n

9 . R e s u l t s

i3 0 0 40 0ENERGY ( MeV)

t h e c o h e r e n t b e t a t r o n t u n e s h i f t b e s ma l l e r t h a n t h es y n c h r o t r o n t u n e [ 2 3 ]e l PS v = ZT ~ f f < ~ " , , ( 2 6 )

w i t h t h e t r a n s v e r s e c o u p l i n g i mp e d a n c e ZTe r f e v a l u a t e df r o m t h e l o n g i t u d i n a l i mp e d a n c e a s [ 2 3 ]

( R) 2Z ( n )ZT , e t f - 2

.h f i

Th e r i n g d e s c r i b e d i n t a b l e 3 w i l l b e f r e e f r o mt r a n s v e r s e i n s t a b i l i t y p r o b l e m s p r o v i d e d t h e e f f e c t i v ei mp e d a n c e c a n b e k e p t o n t h e o r d e r 1 S Z o r l e s s .A s a f i n a l m e a s u r e o f t h e r i n g ' s f e a s i b i l i t y we c o m -p u t e t h e T o u s c h e k l i f e t i m e [ 2 5 ] T , . Th e T o u s c h e k l i f e -t i m e i s t h e t i m e i n w h i c h l o s s e s d u e t o Co u l o mb c o l l i -s i o n s b e t w e e n e l e c t r o n s i n t h e s a m e b u n c h h a v e r e d u c e dt h e b e a m c u r r e n t t o h a l f o f i t s i n i t i a l v a l u e . F o r t h er a n g e o f r i n g p a r a m e t e r s g i v e n i n t a b l e 3 T , > 1 h .

I n f i g s . 4a - 4 c we p l o t t h e FEL p a r a m e t e r , p , a n d t h emi c r o wa v e i n s t a b i l i t y l i mi t e d e n e r g y s p r e a d , a E , v e r s u s

500

2 5

n 2 00K

1 0

5

ENERGY ( MeV)

o - -- -o-__-o0i 1i3 0 0 400 500

1 65

( 2 7 )

F i g . 4 . P l o t s o f t h e FEL p a r a m e t e r , p , a n d t h e m i c r o w a v e i n s t a b i l i t y l i m i t e d r ms e n e r g y s p r e a d , a e , v e r s u s e n e r g y f o r ( a ) Xo = 5 mm,( b ) X ( ) =1 c m a n d ( c ) a o = 2 . 5 c m T h e p v a l u e s a r e s i g n i f i e d b y a 0 a n d t h e a , v a l u e s a r e g i v e n b y a O E a c h f i g u r e d i s p l a y s t h e pa n d a , v a l u e s f o r 3 v a l u e s o f Z e f f = 0 . 1 , 1 . 0 a n d 1 0 S 2 . A o l i d l i n e c o r r e s p o n d s t o Z=0 . 1 S 2 , a d a s h e d l i n e t o Z= 9 2 a n d ( - ) t oZ=10 1 2 . T h e l i n e s a r e n o t f i t t e d t o t h e p o i n t s , t h e y a r e d r a w n s i m p l y t o i n d i c a t e t r e n d s

L THEORY

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1 6 6 J B M u r p h y , C P e l l e g r i n i / FEL f o r t h e XUV r e g i o n

5 04 03 0

1 0 . C o n c l u s i o n s

2 0 01 8 01 6 01 4 01 2 01 0 08 06 04 02 0

3w , aaYQ

250rs - -T-- - r --~L ( b

2 0 0 1

1 5 0

100

t h e b e a m e n e r g y f o r t h e 5 mm, 1 c m a n d 2 . 5 c mu n d u l a t o r s , r e s p e c t i v e l y . R e c a l l i n g t h a t t h e l i m i t o n t h ea l l o w a b l e e n e r g y s p r e a d i s a , < p i t c a n b e s e e n f r o mf i g . 4 a t h a t i f t h e r i n g i mp e d a n c e c a n b e k e p t a t o rb e l o w 0 . 1 6 2 o n e c a n e x p e c t t o o b t a i n h i g h i n t e n s i t yc o h e r e n t s o f t - X - r a y s i n t h e r a n g e o f 3 0- 8 5 Fr o mf i g s . 4 b a n d 4 c i t c a n b e s e e n t h a t t h e e n e r g y s p r e a d i nt h e r i n g w i l l n o t p o s e a n y p r o b l e ms f o r t h e g e n e r a t i o no f i n t e n s e r a d i a t i o n i n t h e r a n g e o f 8 5 - 2 0 00

F i g s . 5 a- 5 c a r e p l o t s o f t h e p e a k p o w e r v e r s u s e n -e r g y f o r t h e t h r e e u n d u l a t o r d e s i g n s . Th e p e a k p o w e r i sc a l c u l a t e d a s s u m i n g t h a t t h e r a d i a t i o n p u l s e l e n g t h i se q u a l t o t h e e l e c t r o n b u n c h l e n g t h .

U s i n g t h e s y s t e m d e s c r i b e d , a n e l e c t r o n s t o r a g e r i n gw i t h a n u n d u l a t o r m s p e c i a l b y p a s s s e c t i o n , we c a no b t a i n h i g h i n t e n s i t y c o h e r e n t r a d i a t i o n b y s e n d i n g t h eb e a m t h r o u g h t h e u n d u l a t o r a n d u s i n g t h e FEL c o l l e c -t i v e i n s t a b i l i t y t o p r o d u c e r a d i a t i o n . Comp a r e d t o o t h e rs y s t e m s , s u c h a s a n FEL o s c i l l a t o r o r a t r a n s v e r s eo p t i c a l k l y s t r o n , t h i s s y s t e m h a s t h e a d v a n t a g e t h a t i td o e s n o t r e q u i r e mi r r o r s t o f o r m a n o p t i c a l c a v i t y o r a ni n p u t h i g h p o w e r l a s e r t o b u n c h t h e e l e c t r o n b e a m . Ont h e o t h e r h a n d , b y i t s v e r y n a t u r e , t h i s s y s t e m c a n o n l yp r o d u c e h i g h i n t e n s i t y , s h o r t r a d i a t i o n p u l s e s w i t h ar e p e t i t i o n r a t e o f t h e o r d e r o f 1 0 Hz .

Th e s t o r a g e r i n g n e e d e d t o o p e r a t e t h e s y s t e m i sc h a r a c t e r i z e d b y a s ma l l t r a n s v e r s e e i r t i t t a n e e . Th e o t h e ri mp o r t a n t r i n g p a r a m e t e r i s t h e l o n g i t u d i n a l c o u p l i n g

R e f e r e n c e s

8 0 07 0 06 00 35 0 0 3 2 0 0 0oa - ~ 44 0 0 Y 1 5 0 0 \ \W \3 0 0 0 - \ \1 0 0 5 0 0

ENERGY( Me V) ENERGY( Me V) ENERGY( Me V)

2 5 0 03

2000 i rw301 5 0 0 ,a

500

F i g . 5 P l o t o f t h e o u t p u t w a v e l e n g t h A a n d t h e e s t i ma t e d p e a k p o w e r o u t p u t v e r s u s e n e r g y f o r ( a ) A ( ) = 5 mm, ( b ) a o =1 c m a n d ( c )Xo = 2 . 5 c m . T h e A v a l u e s a r e s i g n i f i e d b y a O a n d t h e p o w e r v a l u e s a r e g i v e n b y a O_ F o r t h e p o w e r c u r v e s . a s o l i d l i n e c o r r e s p o n d st o Z = 0 0 1 S 2 , a d a s h e d l i n e t o Z = 1 2 a n d ( - - - ) t o Z =10 S 2

i mp e d a n c e . F o r a v a l u e o f t h e o r d e r o f 1 S 2 o n e c a no b t a i n p e a k p o w e r s o n t h e o r d e r o f 5 0 0 MW o wn t ow a v e l e n g t h s o f a b o u t 5 0 0 f \ a n d 5 0 MW o 8 0 f 1 ; t h ep o w e r d e c r e a s e s s h a r p l y a t l o w e r w a v e l e n g t h . I f i t s h o u l db e c o m e p o s s i b l e t o r e d u c e I Z( n ) / n t o 0 . 1 1 2 o n e c o u l dg e t p e a k p owe r s o n t h e o r d e r o f 2 0 MW o wn t o 3 0 A .On e s h o u l d a l s o r e me mb e r t h a t t o t h i s p a p e r we h a v ec o n c e n t r a t e d o u r a t t e n t i o n o n t h e f i r s t h a r mo n i c p r o -d u c t i o n o n l y ; h o w e v e r , f r o m t h e r e s u l t s o f r e f . [ 1 8 ] , wek n o w t h a t t h e s y s t e m w i l l a l s o p r o d u c e h i g h e r h a r mo n -i c s a n d t h i s c a n s h i f t d o w n t h e l o w e r l i m i t f o r s o f t X - r a yp r o d u c t i o n .We w a n t t o e mp h a s i z e t h a t t h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r ea r e p r e l i mi n a r y , a n d t h a t o n e mi g h t i mp r o v e t h e s y s t e mp e r f o r m a n c e b y o p t i mi z i n g o t h e r r i n g p a r a me t e r s s u c ha s t h e mo me n t u m c o mp a c t i o n o r t h e r a d i o f r e q u e n c yv o l t a g e a n d f r e q u e n c y . To o b t a i n a mo r e c o mp l e t eu n d e r s t a n d i n g o f t h e s y s t e m o n e s h o u l d i n v e s t i g a t e d i f -f r a c t i o n e f f e c t s o n t h e r a d i a t i o n d u e t o t h e f i n i t e b e a mr a d i u s a n d c o n s i d e r a t h r e e d i me n s i o n a l c a l c u l a t i o nt a k i n g i n t o a c c o u n t t h e e l e c t r o n d e n s i t y v a r i a t i o n i nb o t h t h e t r a n s v e r s e a n d l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n .T h i s wo r k i s s u p p o r t e d b y t h e US De p a r t me n t o f En -e r g y .

2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 00 4 5 0 500 3 0 0 40 0 5 0 ~ 3 0 0 0 0 00~

[ 1 ] A p r e s e n t a t i o n o f ma n y o f t h e s e r e s u l t s a p p e a r m t h e s eP r o c e e d i n g s ( 1 9 8 4 FEL C o n f . , I t a l y ) N u c l . I n s t r a n dMe t h A23 7 ( 1 , 2 ) ( 1 9 8 5 ) .[ 2 1 L . R . E l i a s e t a 1 . , P h y s . R e v . L e t t . 3 6 ( 1 9 7 6 ) 7 1 7

8/14/2019 murphy 1984 0069

9/9

J B Mu r p h y , C

[ 3 ] Mi l l a r d o n e t a l . , P h y s . Rev . L e t t . 5 1 ( 1 98 3) 1 6 5 2 .[ 4 1 B . E . Newman e t a l , I n t Quan . F l e e . Conf . Pape r WHH1

Sa n Di e g o , C a l i f o r n i a ( 1 9 8 4 )[ 5 ] T . J . Or z e c h o ws k i e t a l . , i b i d . , p o s t - d e a d l i n e p a p e r .[ 6 1 J . A . Pa s o u r , R . F . L u c e y and C A . K ap e t a na k o s , P h y s .

Re v . L e t t . 5 3 ( 1 9 8 4 ) 1 7 2 8[ 7 ] JMJ . Mad e y , mF r e e E l e c t r o n Ge ne r a t i o n o f Ex t r e me

U l t r a v i o l e t Co h e r e n t Ra d i a t i o n , e d s . , J . M . J . Mad e y and CP e l l e g r i n i . Ame r i c a n I n s t i t u t e o f P h y s i c s , Conf P r o c . Vo l1 1 8 ( 1 9 8 4 ) , p . 1 2 .

[ 8 1 J . Mu r p h y and C P e l l e g r i n i , I n t . Quan t . El e c Conf . , p a p e rWQQ2, Sa n Di e g o , C a l i f o r n i a ( 1 9 8 4 ) : i n c o u r s e o f p u b l i c a -t i o n m J . Op t i c . So c Amer . B .

[ 9 ] K- J . Ki m e t a l . , OSA Ann u a l Me e t i n g , Sa n Di e g o , C a l i -f o r n i a ( 1 9 8 4 ) .

[ 1 0 1 J . M . J . Mad e y , J . A p p l . P h y s . 4 2 ( 1 9 7 1 ) ( 1 9 0 6 .[ 1 1 1 B . M K i n c a i d , J . A p p l P h y s . 4 8 ( 1 9 7 7 ) 2 6 8 4 .[ 1 2 1 R . B o n i f a c i o , C Pe l l e g nm and L . M . Nar d u cc i , Op t i c s

Comm ( 1 9 8 4 ) 3 7 3 .[ 1 3 1 D T At t wo o d e t a l . , i n r e f . [ 7 1 , p . 2 9 4[ 1 4 ] B . M Ki nc ai d e t a l . , i n r e f . [ 7 ] , p 1 1 0 .[ 1 5 ] L . Bl u mb e r g e t a l . , I EE E T r a ns N u c l . Sc i N S- 2 6 ( 1 9 7 9 )

3 8 4 2 .[ 1 6 ] WB . Co l s o n and S . K . Ri d e , mPh y s i c s o f Quant um

E l e c t r o n i c s , v o l 7 , e d s . , S . F . J a c o b s e t a l . ( Ad d i s o n - We s -l e y , Re a d i n g , MA, 1 9 8 0 ) p . 3 7 7

P e l l e g r i n i / FEL f o r t h e XUV e g i o n 1 6 7

[ 1 7 1 C P e l l e g r i n i , i n : F r e e E l e c t r o n L a s e r s , e d s . S. Ma r t e l l u c c iand A. N . Ch es t e r ( Pl e nu m, New Yo r k , 1 9 8 3 ) p 9 1 .

[ 1 8 ] J . B . Mu r p h y , C Pe l l e g nm and R . B o n i f a c i o , Br o o k h a v e nNa t i o na l L ab or a t o r y Re p or t , BN L - 3 4 1 5 6 ( 1 9 8 4 ) .

[ 1 9 ] KHal b ac h , Pr o c . B end o r F r e e E l e c t r o n L a s e r Con f . , J . d ePh y s i q u e 4 4 ( 1 9 8 2 ) 2 1 1 .

[ 2 0 1 A . L u cc i o and C Pe l l e g n m, i n : F r e e E l e c t r o n L a s e r s , e d s . ,S. Ma r t e l l u c c i and A. N Ch es t e r ( P l e nu m, New Y or k ,1 9 8 3 ) p . 2 8 .

[ 2 1 ] S . Kr i n s k y , r e f . [ 7 ] , p . 4 4 .[ 2 2 1 MS a n d s , i n : Ph y s i c s w i t h I n t e r s e c t i n g S t o r a g e R i n g s , e d

B . T o u s c h e k ( Ac a d e mi c P r e s s , New Yo r k , 1 9 7 1 ) p . 2 5 7 .[ 2 3 ] D Bo u s s a r d , CERN L a b I I / RF / I NT / 7 5 - 2 ( 1 9 7 5 ) , J . M .

Wang and C P el l e g n m, i n - P r o c . 1 1 t h I n t . Conf . o n Hi g hEn e r g y Ac c e l e r a t o r s . Gen e v a ( 1 9 8 0 ) e d . ,WS Newman , p .5 5 4 ; AChao , i n : Ph y s i c s o f Hi g h En e r g y P a r t i c l e A c c e l e r -a t o r s , e d . , MMo n t h , AI P Con f S e r i e s , no . 1 0 5 ( 1 9 8 3 ) p .3 5 3 ; C P e l l e g r i m , i n : P hy s i c s o f Hi g h En e r g y P a r t i c l eA c c e l e r a t o r s , e d s . , R . A C a r r i g a n , F . R . Hu s on and MMo n t h , AI P Con f . s e r i e s no 8 7 ( 1 9 8 2) p . 7 7 .

[ 2 4 1 A F al t e ns an d L . J . L a s l e t t , P a r t i c l e A c c e l 4 ( 1 9 7 3 ) 1 5 1 ;V B r a d y , A . F al t e n s and L . J . L a s l e t t , L a wr e n c e Be r k e l e yL ab or a t o r y , Re p o r t L BI D- 5 3 6 ( 1 9 8 1 ) .

[ 2 5 ] H B r u c k , C i r c u l a r P a r t i c l e A c c e l e r a t o r s ( P r e s s e s Un i -v e r s i t a i r e s d e F r a nc e , P a r i s , 1 9 6 6 ) .

I . THEORY