nash cornell
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8/12/2019 Nash Cornell
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N o n - C o o p e r a t i v e G a m e s
J o h n F . N a s h , J r .
A n n a l s o f M a t h e m a t i c s , V o l . 5 4 , N o . 2 , S e p t
1 9 5 1
P r e s e n t e d b y A n d r e w H u t c h i n g s
1
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8/12/2019 Nash Cornell
2/16
B i b l i o g r a p h y
N a s a r , S y l v i a , A B e a u t i f u l M i n d T h e b a s i s f o r
t h e p o s s i b l e m o v i e
M o r g e n s t e r n a n d V o n N e u m a n n , T h e o r y o f G a m e s
a n d E c o n o m i c B e h a i v o r
P o u n d s t o n e , W i l l i a m , T h e P r i s o n e r ' s D i l e m m a
V o n N e u m a n n b i o g r a p h y
S e l t e n , J o h n , G e n e r a l i z a t i o n s o f t h e N a s h E q u i -
l i b r i u m
2
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8/12/2019 Nash Cornell
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B r i e f H i s t o r y o f G a m e T h e o r y
0 - 5 0 0 C E T a l m u d i c L a w
1 7 0 0 ' s W a l d e g r a v e p r o p o s e s r s t m i n i m a x m i x e d
s o l u t i o n t o a 2 p e r s o n g a m e
1 8 0 0 ' s F i r s t r e s u l t s o n C h e s s , D a r w i n ' s t h o u g h t s
o n b i o l o g y
1 9 2 8 V o n N e u m a n n p r o v e s m i n i m a x t h e o r e m
1 9 4 4 T h e o r y o f G a m e s a n d E c o n o m i c B e h a i v o r
1 9 4 8 R A N D f o u n d e d
1 9 5 0 N a s h ' s P h D D i s s e r t a t i o n .
3
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8/12/2019 Nash Cornell
4/16
B i o g r a p h y
B o r n 1 9 2 8 , B l u e e l d , W V
U n d e r g r a d u a t e a t C a r n e g i e T e c h n o w C M U
P h D i n 1 9 5 0 u n d e r T u c k e r
R A N D C o n s u l t a n t 1 9 5 0 - 1 9 5 1
M I T 1 9 5 1 - 5 9
1 9 5 9 - 1 9 8 4 ? D e p a r t u r e f r o m S c i e n t i c a l l y R a -
t i o n a l T h i n k i n g "
1 9 9 4 H a n s a n y i , N a s h , S e l t e n r e c i p i e n t s o f N o -
b e l P r i z e i n E c o n o m i c s
2 0 0 0 J o h n N a s h - E x t r a o r d i n a r y P e r s o n ?
4
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D e n i t i o n s
A n i t e n - p e r s o n g a m e i s a s e t o f n p l a y -
e r s , e a c h w i t h a n a s s o c i a t e d n i t e s e t o f p u r e
s t r a t e g i e s . E a c h p l a y e r a l s o h a s a n a s s o c i a t e d
p a y o f u n c t i o n p
i
w h i c h m a p s f r o m t h e s e t o f
a l l n - t u p l e s o f p u r e s t r a t e g i e s t o t h e r e a l s .
A m i x e d s t r a t e g y o f p l a y e r i i s a c o n v e x c o m -
b i n a t i o n o f p u r e s t r a t e g i e s .
s
i
=
P
c
i
i
W h e r e t h e
i
' s a r e i ' s p u r e s t r a t e g i e s .
M i x e d s t r a t e g i e s h a v e a s i m p l e g e o m e t r i c i n -
t e r p r e t a t i o n a s p o i n t s o n a s i m p l e x .
5
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i , j , k w i l l d e n o t e p l a y e r s .
, , w i l l i n d i c a t e p u r e s t r a t e g i e s o f a p l a y e r
s
i
, t
i
, r
i
w i l l i n d i c a t e m i x e d s t r a t e g i e s o f i
i
w i l l i n d i c a t e i ' s
t h
p u r e s t r a t e g y
6
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T h e p a y o f u n c t i o n f o r p u r e s t r a t e g i e s h a s
a u n i q u e e x t e n s i o n t o t h e n - t u p l e s o f m i x e d
s t r a t e g i e s w h i c h i s l i n e a r i n t h e m i x e d s t r a t e g y
o f e a c h p l a y e r .
U s e S o r T t o d e n o t e a n n - t u p l e o f m i x e d
s t r a t e g i e s . T h e s e c a n b e t h o u g h t o f a s a p o i n t
i n s t r a t e g y s p a c e " , t h e p r o d u c t o f t h e s i m -
p l i c e s f o r t h e p l a y e r s .
I f S = s
1
; s
2
; : : : ; s
n
t h e n S ; t
i
i n d i c a t e s t h e
u s e o f t
i
i n s t e a d o f s
i
7
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E q u i l i b r i u m P o i n t s
A n - t u p l e S i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t i f a n d o n l y
i f f o r e v e r y i
p
i
S = m a x
a l l r
0
i
s
p
i
S ; r
i
F r o m l i n e a r i t y o f p
i
w e h a v e
m a x
p
i
S ;
i
= m a x
a l l r
0
i
s
p
i
S ; r
i
D e n e p
i
S = p
i
S ;
i
.
T h e n w e h a v e t h a t S i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t i f
p
i
S = m a x
p
i
S
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W e s a y S u s e s
i
i f c
i
i s p o s i t i v e .
F o r t h e p r e v i o u s c h a r a c t e r i z a t i o n o f e q u i l i b r i u m
t o h o l d , w e m u s t h a v e p
i
S = m a x
p
i
S .
9
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10/16
T h e o r e m 1 E v e r y n i t e g a m e h a s a n e q u i l i b -
r i u m p o i n t .
P r o o f : I f S i s a n n - t u p l e o f m i x e d s t r a t e g i e s .
D e n e p
i
a s a b o v e . A l s o d e n e a s e t o f c o n -
t i n u o u s f u n c t i o n s o s S
i
S = m a x 0 ; p
i
S , p
i
S
D e n e a f u n c t i o n T b y t h e f o l l o w i n g t r a n s f o r -
m a t i o n :
s
0
i
=
s
i
+
P
i
S
i
1 +
P
i
S
T h i s c l e a r l y m a p s o n t o t h e s t r a t e g y s p a c e " ,
n o w w e o n l y n e e d s h o w t h a t e q u i l i b r i u m p o i n t s
a r e e x a c t l y t h e p o i n t s x e d u n d e r t h i s m a p p i n g .
1 0
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W e m u s t u s e s o m e
i
, a n d o n e o f t h e o n e s w e
u s e m u s t h a v e p
i
S p
i
S , s o
i
S = 0 .
N o w i f a n n - t u p l e i s x e d b y T , p o s i t i v e a m o u n t
o f
i
c a n ' t b e d e c r e a s e d . B u t i t ' s u s a g e i s n ' t
i n c r e a s e d i n t h e n u m e r a t o r , s o d e n o m i n a t o r
m u s t b e 0 .
T h i s s a y s a l l t h e
i
S = 0 . S o n o p u r e s t r a t -
e g y
i
c a n i m p r o v e t h e p a y o , w h i c h m e a n s
t h a t i t i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t .
T h e n , b y B r o u w e r F i x e d P o i n t t h e o r e m , w e
m u s t h a v e s o m e e q u i l i b r i u m p o i n t .
1 1
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8/12/2019 Nash Cornell
12/16
A s y m m e t r y o r a u t o m o r p h i s m o f a g a m e w i l l
i s a p e r m u t a t i o n o f t h e p u r e s t r a t e g i e s t h a t
e n s u r e s t h a t s t r a t e g i e s b e l o n g i n g t o o n e p l a y e r
a r e s t i l l o w n e d b y o n e p l a y e r , a n d p r e s e r v e s t h e
p a y o v a l u e o f t h e b l o c k " o f e a c h p l a y e r ' s
s t r a t e g i e s .
A v e r y s i m i l a r m e t h o d i s u s e d t o p r o v e t h e e x i s -
t e n c e o f a s y m m e t r i c e q u i l i b r i u m p o i n t , t h a t i s ,
o n e t h a t i s p r e s e r v e d u n d e r a l l a u t m o r p h i s m s
o f t h e g a m e .
1 2
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S o l u t i o n s t o G a m e s
A g a m e i s s o l v a b l e i f a n y p l a y e r s s t r a t e g y r
i
a t s o m e e q u l i b r i u m p o i n t , c a n b e s u b s t i t u t e d
i n t o a n y o t h e r e q u i l i b r i u m p o i n t a n d s t i l l b e a t
e q u i l i b r i u m . T h e s e t o f e q u i l i b r i u m p o i n t s i s
t h e s o l u t i o n o f t h e g a m e .
A g a m e i s s t r o n g l y s o l v a b l e i f i t i s s o l v a b l e
a n d i f a n y s t r a t e g y s u b s t i t u t i o n a t e q u i l i b r i u m
w h i c h p r e s e r v e s t h e p a y o a l s o p r e s e r v e s t h e
e q u i l i b r i u m p r o p e r t y .
W h e n t h e y e x i s t , t h e s e s o l u t i o n s a r e u n i q u e .
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A p r o p e r t y t h a t g a m e s a l w a y s h a v e i s t h a t o f
s u b - s o l u t i o n s , w h i c h a r e s u b s e t s o f t h e s e t o f
e q u i l i b r i u m p o i n t s t h a t a r e m a x i m a l r e l a t i v e t o
t h e e q u i l i b r i u m p r o p e r t y .
T h e f a c t o r s e t s o f a s u b - s o l u t i o n S , t h e t h e
i
t h
f a c t o r s e t i s t h e s e t o f a l l s
i
' s s u c h t h a t S
c o n t a i n s T ; s
1
f o r s o m e T .
T h e o r e m 2 G e o m e t r i c a l l y , S i s t h e p r o d u c t o f
i t s f a c t o r s e t s .
T h e o r e m 3 T h e f a c t o r s e t s o f a s u b - s o l u t i o n
a r e c l o s e d a n d c o n v e x a s s u b s e t s o f t h e m i x e d
s t r a t e g y s p a c e s .
1 4
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T h e o r e m 4 S e t s S
1
; S
2
; : : : ; S
n
o f e q u i l i b r i u m
s t r a t e g i e s i n a s o l v a b l e g a m e s a r e p o l y h e d r a l
c o n v e x s u b s e t s o f t h e r e s p e c t i v e m i x e d s t r a t e -
g i e s
T h i s i s a g e n e r a l i z a t i o n o f a k n o w n r e s u l t f o r
t w o - p l a y e r g a m e s .
1 5
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16/16
D i s c u s s i o n
1 . W h a t a b o u t a c t u a l l y n d i n g N a s h e q u i l i b -
r i u m p o i n t s ?
2 . W h a t i f t h e o p p o n e n t p l a y s i m p e r f e c t l y " ?
3 . H o w d o y o u c h o o s e o n e e q u i l i b r i u m w h e n
t h e r e a r e p o t e n t i a l l y m a n y ?
4 . W h a t i f t h e N a s h E q u i l i b r i u m i s u n s a t i s -
f a c t o r y " ?
5 . W h a t r e n e m e n t s , g e n e r a l i z a t i o n s c a n b e
m a d e b a s e d o n t h e i d e a s o f e q u i l i b r i u m " , s o -
l u t i o n " a s p r e s e n t e d h e r e ?
6 . P i c k a f a v o r i t e a p p l i c a t i o n e c o n o m i c s , b i -
o l o g y , i n t e r n a t i o n a l r e l a t i o n s , p h i l o s o p h y , e t c .
a n d t a l k a b o u t t h a t .
1 6