DIssERTATIO ACADEMICA

THEORIAM AQUATIORUM FUNCTIONALIUMDUARUM TARIABILIUM EJUsQUE IN

doctrina serierum usumEXHIBENs;

QUAMConsensu Ampliss. Facultatis Philosoph.

ad Imperialem Acad. Aboensem,

PRAEsIDE

Mag. NATH. G. assCHULTEN,Mathemntum Prosessore Pubi. Ord.,

Acad. Imperialis scientiarum PetropoLitanoesocio Corresp.,

PRO GRADU PHILOsOPHICO

P. P.

CAROLUs HENRICUsAHLQFIsT,sViburgensis.

In Audit. Jurid. die XXIII Maji MDCCCXXYII.horis a. m. solitis.

P. III.

ABO£E, Typis Frenckellianis.

17

h x b3be b7

b3

b 13 bl3 bxe b x7 bi9

1,115 691 1 3617 43867 1746»~ lo" 4Z 30 66 2730 6 510 798 330

blT

b33

bZi

bi7 b39

834313 236364091 s353103 23740461029 861384127600; ,v

”138 1730 6 87° M3 iz '

c

*) Quod s» valorem numeri cujuscumque Eernoulliani, abantecedentibus non pendentem, formula generali expres-sura velis, haberi observandum est expressionem sequen-tem Laplacio debitam:

,2P (

.

i/’- 1 , .v— 1 < . .zPi

+

+ 4. r.

*pJin 0

+ + lL[ 2F~ l)+

■ ip (x/—l) (zjp—2) .... (lp~(m— 2))* ■’’* 1.2.3,.. (m —i)

, t (2s—l)(2s—2) .■ .(i p— (m— 0)> }

' a ’

I.Z,J ,, , m )’ " ’ ‘j ’

ubi -J- scilicet adhibendum ante terminum generalem est,si m numerus est par, — autem si m impar, notandum.

18

3:o Porro, si brevitatis gratia ponamusEEPx = 2/7,

222/7, = 23/7,

2222/7, = 2>,• •

• • « « «

sequentem habebimus formulam non minus nota-tu dignamZpx qx -px s</.

— (pa +t — px ) (2 % qx + 2qx )

+ (p* +i — 2px + 1 -s- Px) {Z*qx + z2*qx -s Eqx )

(p*+ 5 3p* +z + 3/7,+1 — px ) (s 4</, -\- 3E3 qx

+ -J- Eqx )

que est, omnes in casu quolibet particulari omittendosesse terminos, ubi m> p. sic v. gr. si /7 =q, habebitur

h,

=(zr_

4',-)~3 • | I • 2 !

- i’ .(t + i . 4) j = tl

Perspectu autem saelis est, allatam nuper formulam magninon esse usus ad numerorum de quibus agitur determi.nationem, cum, crescente ipsa p, prolixior omnino multoejusdem sieret applicatio, ac si, per allatas supra formulas,antecedentium ope quivis determinaretur numerus.

19

4- {px +4 — ty* + 3 + syx + l~ tyx+t + Px)

(s 5ts* Hh 424

?* b b 42* qx I.q x)

— (?* + 5—5P*+4+ 10P* + 3 — 10P* + 2 +%* + ■» —Px)

(s 8#* ~b “b i°2 c[x b CL* "b 2»

b s?*)

+ scc. h )

quK pro quacumque valet forma ipsarum p x et

q x , cujusque lex manisesta est, coefficientibus nu-rnericis eadem scilicet progredientibus lege, aC inevolutione potestatum binomii.

l\.o Tandemque ad formulas attendamus duasparticulares usus, ut infra elucebit, in praesentimaterie haud contemnendi, sequentes scilicet

i z_JZ (7+7) {x +2) (* +3).. . (*+ ™) mx[x+ l)C* + 2)(* +3).. «l*+ m-i-t)

et„ x a x \a sin ( l—c Vcx ) — sin ( b i cx)]

Za* sin (6 + cx) =_la Co,b +T '1 ' d> }

ubi m numerus quicumque est Integer, ipsasquea,h et c ab x non pendere assumitur.

20

g. VI.

His quidem formulis omnes sere nituntur quaehucusque nobis constant ad determinandam sun-ctionem iv regulae paullo generaliores, modo no-tentur adhuc sequentia, quae applicationem earum-dem illustrantia addere necessum est.

Posito in formula a)m

V~ x

abibit ea in

-s* I

= — i*« +1. - **-« _

/72-j— 1 *•* 1.2. 3,4

+ •-■

(-

m- ,)(m-0 -- Cm-4)Xm —5 «(*--.)..( m-,6)

i. l.J.4. 5 .6 30 i.z.,8

I 5 m(«—!)..{«—8) 691 m (m-l) .. U—lol~P —

.

* X m y.— a;B-I!66 I.1..10 2730 i,2». 12

2.. j _ 1£IZ >”(”■—Q..(w—m)‘6 1.2..14 JIO

-

,.2.. 16

r , 1 746m m(m—‘l)..(m—18)798 '.l..>8 330

1

I.J..20

, 834521 23636409, sa-u)*^ 8 1,2.. 22 2730

*

,1,2.. 24

21

_ s 8; ruo? m (m—l) . . (m—14) x m—is U74946to29X m i~p 6 I.2. .26 870

m(m—l )..(«—26)_ 1>r .

” ( m~') • ■ (”—-8)

1.2..2s 14322'

1.2,. 30

~X”—*9 scc.j e )

quae quidem series necessario abrumpitur forma-que se ossert finita quoties m numerus est positi-vus integer. Quandoquidem commodum saepenu-mero est valores aliquos hujus formulae particula-res in promtu habere, sequentem hunc in sinemtabellam attulisse alienum non erit:

Zx° = X

Zx 1= i X

1— i x

Zx* = yX9 i X* -}- i X

Zx 3= | x4

— i Xj -j- -J x*

sx4 =-s X* \x4 -s> yx" y% x

Z»‘ =i*'—i X* +TI —T* X*

Zx* = s x7— § x* + i x' — | x 8 + n »

Zx7= -|- X B

— |:jc 7 -s- T\ a;* — ij *' ~H tV *

I*3= iX9 -1*'+!*’- T

7T *

5+ i x' —ys X

22

2»9= t

1» ~I*" + I “ A 1*4~ A**

2»l°

=tt »m

— i *l° +Ixs—■X7 +s5

- | +st s&c. 8cc.

PositagxP -p fixi -j- &c.

sunctione quacumque rationali integra, innotesce-re per formulam e) in genere patet

2 (gxP -j- fixi -j- 5cc.)^

cum habeatur scilicet per praecedentia

2 {gxp -s- fixi -j- &c.) = gZxP -s- liLxi -J- &c. *)

Usus vero formulae b) in eo praecipue cerni-tur, quod ejus ope in terminis finitis exhiberisemper possit

Zpxqx ,

*] Observari tamen convenit, haberi sunctionem quamdamrationalem integram formze particularis ssepeque satis ob-venientem , istam scilicet

x {x -J- i) {x -s- 2) . . . (ac -s- m),cujus tractatio nullis obnoxia sit ambagibus. Est scilicet,ut perspicitur facile,

a* W-0 (*+*) ■ • (*+-») =

23

quoties px talis est sun6lio, ut evanescant tandemcoefficientes

p*

jP*+i — Px

Px+2 %Px+ 1 4“ Px

Px + J + 1 “s" 5px -s 1 px y

8cc.

simulque qx talis, ut in genere determinari queat

Zn qx .

Probari vero facile potest, prima* satisfacturamesse conditioni sunctionem quamlibet rationalemintegram, i. e. formae

gXP -]- fixi -s- &c.,

pro px acceptam *); nullique etiam obnoxiam esse

*) Quod quidem eo fieri potest modo, ut posito

px— gxP -j- fixi -s- &c.,

observetur haberi

P* 4 I—P*~B 0+ l)P +h (»+ 1 ) 9 + &C. —gXP —fixi ~&c.

24

dissicultati determinationem generalem ipsiusZ^x,

Px+ 1 Px - g (pxP~\ 4- XP~* 4- &C.)j+ h (<JW?— 1 4~ ~~~ xl*1 4- 8cc.) /

4- scc. J- g'xF~l 4- g',xp~i -s- g'„xr~i 4- 8cc.\4-A'*?— 1 4- h'per-* + 4- &.c,\

+ &c. j= p'*;

px+1 ~spx+l -\-px -p’x + i— p'x

= ar+ 1 )P“ I +^'(*+l)^-1 + &C.N— g’xp—I — g/xp—i — 8cc. j

+ 4" +^Cc - )

— srxi—1— h/xr~i — &c. I

+ &c. )

= s' ({p~i)xr-i + XP-A+ &C.) -j- g/ ( (p 2) XP~}\+ ~T7I~ XF~4 4* &c0 + &c. j