nombre complex final 2011

8/17/2019 Nombre Complex Final 2011

1/11

موف لعي :ستاذ

لعنعم

لركع د

و

مت رلدرس

رين

k.comamwww.Maths

3122نف

http://www.mathsmak.com/


2/11

w w w . M a t h

s M a k . c o m

argz = θ

cos

a

z

sin b

z

ر ف ع .

عد مي س ن عد مر ل zل ش ل ا ىلع ب ث ي ت حي ي ق ي ق ح نا د د ع و ن2

1i =− z a ib= +ab

{ }= / ;a ib a b+ ∈ ∈ ـ رك م ل ا د ا د ع أل ا وع م ج م ى مز إل ر ن

aلجز لحقيق

:

( )ea z=ℜ

b لجز لتخيل

:

( )b Im z=

مى س ي zزم ن و ، ( )Re z .

zم ن و ، ( )Im z .

م ب ل ا د د ع ل ل

مى س ي م ب ل ا د د ع ل ل

iب م ل ا د د ع ل ا نو ي zف و اذ ا إ م و د ع م ذا ا إ ط( )Re z

ي أ

0=

ني

و

0=( )Im z

ي أ

( ); ,O i j

م ل ع م و ت س م ل ا نم ش م ا انس ج ت م دما عت م.

رك م ن سي لع ل ا ل ي ث م ت ل إ .

كب ر م ع ل ي و ط.

I

J

0 1

1

x

y

arg(z)

I

J

M(z=a+ib)M

قط• مر ب وحي Mل ن دد ة ع ر و ص يه

ن ل أ و ق ن ، z طق ن ل ا عا Mالحق شل ا و OM

.

z a ib= +

ر ب م ل ا

د د ع ل ا

ل ي و ط

مي س ن

ل

مز ر ن

ذي ل ا

وجب م ل ا

قي ي ق ح ل ا

د د ع ل ا

zث حي

z a ib= +

2 2 z a b= +

ع وم ري غ بك ر ع ة ع

وم حي: zعر د ع م ريغ بك ر م دد دد و(:ع ق ع ي ق ح نن.(

مركب ل ا

د د ع ل ا

ة د م ع

مي س ن

zرم ن

و

( )arg zهجو م ل ا ي و ا ز ل ل نا ي د ر ل ا سي ق لك ( ),OI OM

.

z a ib= +ab

( ):

,

f P z a ib M a b

→

= + →

( )arg 2 / z k k θ π = + ∈

2 2

cosa

a b

θ =

+

2 2

b

a b

θ =

+

sin

ي أ

1 1 3 z i= + 1 3 2 z = + =

يوطلargz = θ

cos

sin

ني

2

2

1

3

( )arg z = 3

π

θ

عد مرك

, z z i

z z e (cos sin ) z z i z = a+b i

شل

2,3

z

32

i

z e

2(cos sin )3 3

z i

z = 1+i 3

*( ) z bi b

*( ) z bi b

*( ) z a a

*( ) z a a

لعد لمرك

z b z b z a z a يوطل

arg 22

z k

arg 2

2 z k

arg 2 z k arg 0 2 z k

1 w w w.Ma t hsM ak. c om


3/11

w w w

. M a t h s M

a k . c o m

w w w . M a t h s M a k . c o m

M’ M

ا

ر

اا

M’ M

ذ ة

k د را

M’ M

ا

ر

اا

M’ M

ا

ا

ا

O(0,0)

M’ M

إ ا ل ا

M’’ M’

إ

ر

ا

ا

M

M

MM

M M

M

M

M

M

M

M M

w w w

. M a t h s M a k

. c o m

w w w

. M a t h s M a

k . c o m


4/11

w w w . M

a t h s M a k .

c o m

w w w. M a

t h s M

a k. c o m

i

2 e 2 cos sin3 3

iπ π ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 3 z i= + 2 ,

3

π ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3

π

=

2 3 z i= −

2 cos sin6 6

iπ π ⎛ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞

2 ;6π −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2 2 z i= + 2 2 cos sin

4 4i

π π ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠= 2 2 ;

4

π ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

4 3 z i= − −

5 5 2 cos sin

6 6i

π π ⎛ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞

5 2 ,

6

π −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

*( ) z a ai a

*( ) z a ai a

*( ) z a ai a

*( ) z a ai a

لمرك د عل

2 z a 2 z a 2 z a 2 z a لطوية

arg 24

z k

5arg 2

4 z k

3

arg 24

z k

arg 24

z k

2010 2010 z i

69 69 z i

84 84 z i

32 32 z i

لعد لمرك

2010 2 z 69 2 z 84 2 z 32 2 z ية و طل

arg 24

z k

5arg 2

4 z k

3

arg 24

z k

arg 24

z k

2

ه ا ن د أ

ترح ق م ل ا

االت ح ل ا

من

حال

نفي ل عي

مر ب ل ا

د د ع ل ل

ة د م ع و

ل ي و طل ا

z.

4 cos sin4 4

z iπ π

= −

3ب. cos sin3 3

z iπ π

= − +

5 sin cos6 6

z iπ π

= +

.sin cos6 6

z iπ π

= −.

zته ل ي و ط

وم د ع م

غير

كب ر م

دد ع

r θ هل ة د م ع .

ال

اد د ع أل ا

من

كل ل

ة د م عو

ل ي و طل ا

لي جد ات ل ا

رك م

:

4

z ؛

7

z

− ؛

2iz؛ ( )5

iz؛

5

iz

n

iz

r

مع

n ∗

∈ℕ.

1

z

3 z

1

n z

z−

1

2 2

2 2 z i= +

2

2 2

2 2 z i= − +

3

2 2

2 2 z i= − −

1

3 1

2 2 z i= +

2

3 1

2 2 z i= − + 3

1 3

2 2 z i= −

4

1 3

2 2

z i= − −.

(I

(II

(III

1

2

z z a ib

2,a b

z a ib a i b a i b

a ib

1 3i 1 i 3 -

z


5/11

w w w . M a t h s M a k

. c o m

لعد لمر

z = 1+i 3

z z

2Re z z z

2 Im z z i z 2 2

Re Im z z z z

z z ' z ' z

' ' z z z z ' ' z z z z n

n z z

n

1 1

z z

0 z

' '

z z

z z

' 0 z ( )arg arg z z ≡ −

1 i 3 -

2(2 ) z i= +4 6

3 2

i z

i

−=

+

1

3

i z

i

+=

+

6 2 z i= − + z =

لطوي

عمد

( )arg arg arg zz z z ′ ′≡ +

zz z z ′ ′=

[ ] [ ] [ ], , ,r r rr θ θ θ θ ′ ′ ′ ′⋅ = +

1 1

z z =

1arg arg z

z

≡ −

[ ]

1 1,

,r r

θ

θ

= −

arg arg arg z

z z z

′≡ −

′

z z

z z =

′ ′

[ ]

[ ]

,,

,

r r

r r

θ θ θ

θ

′= −

′ ′ ′

arg argn

z n z ≡

nn z z =

[ ], ,n n

r r nθ θ =

z z

z ' z

argz = - argz

6 2 z i= − +5 11 3

7 4 3

i z

i+=

−

3

4

6

i

e

π 3

2

5

i

e

π

2

1 3 z

i

=+

[ ], ,r r θ θ = −

w w w .M a t h s M a k . c o m

cos sin cos( ) sin( )


i i

i i


sin cos cos( ) sin( )2 2

i i

i i

12 3 3 z i= − 3 4 5 6 2 z i= − +5 15 z i= − −1

3

i z

i

+=

+

2

1 3

z

i

=

+

3

46i

e

π

3

25i

e

π

1

2

ie

π

2

32 3i

e

π −

cos sin

cos sin

i

i

θ θ

θ θ

+

−

i

z z


6/11

w w w . M a t h

s M a k . c o m

w w w . M a t h s

M a k . c

o m

z 2 0a z b z c abc0a 2 4b ac

02

b z

a

0

'2

b z

a

''

2

b z

a

'2

b z a

''

2b z

a

0i − i − <

:حث x iy نبحث عه

2 2 2 2

2 2

( 8) 6

8

2 6

x y

x y

xy

ي

2 2

2 2

10...(1)

8...(2)

3.....(3)

x y

x y

y x

2 3 3 3 z i= − ( ) 21 2 3 6i

z i eπ

= +( ) 43 1 2i

z eπ

= −4 3 cos sin7 7

z iπ π

= −

z

( )3 2 1 1 2 z i i z i− + = + − − ( ) 23 4i z iz − = 1

21

z i

z

+=

−

2 4 6 0 z z z i+ − − = (1 ) (2 ) 3 4 0i z i z i+ − − + + =

غس : z تزي سبي جر.عد سك :بحث كم عد سك

2 z

سغ .و جرزه تسبه ى ظسنم عد سك

.ة لبحث عن لجذرين لز ك

ع ثحن x iy ثحب:

2 2

2 2 ( )

2 ( )

x y z

x y e z

xy m z

8 6 z i نهنرزي نتسبجم ل

وج(1)(2)طسف نسفانجمع22 2 x

اي

2 1 x ذ

1 x

1 x

انحث

yانمدنة

(3):ك

اذا

1 x

3 y

1 x

3 y

ي 8 6 z i 1 3i1 3i نه انتسبانجر:انىتجة

2 2( 1 3 ) (1 3 ) 8 6i i i

:تط قتمرن

جذعز ننل

1ينعمن 3 4 z i و2 9 z

:حلت

ع حساب

ت ك ه

2 2( 2 ) (2 ) 3 4i i i

و

2 2( 3 ) (3 ) 9i i


7/11

w w w . M a t h

s M a k .

c o m A BC 3 A z i 3 2 3 B z i 3 2 3C z i

B AC A

z z

z z

ABC

B A B AC A C A

z z z z AB z z z z AC

arg arg arg B A B A C AC A

z z z z z z z z

arg , , , B AC A

z z OI AB OI AC AC AB

z z

3 3 3

13 3 3

B A

C A

z z i AB

z z AC i

AB AC 3 3 3arg ,

3 3 3

i AC AB

i

,3

AC AB

ABC

( ); ;O u v

z x iy= + 2 z i≠ x y

L 2

2

z i L

z i

− +=

+

L

E M z L F M z L

E F

2 2 5 0 z z − + =( )2 2 1 3 5 2 3 0 z z − + + + = ( ); ;O u v

A BC D

1 2 i+1 3 i+ +1 2i−1 3 i+ − ABC

ABC D

A BC D

( ); ;O u v

2 1 z z −3 1 z z −2 13 1

z z A rg

z z

−

− A BC

22 6 5 0 z z − + =( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 0 z z − + + + =

( )2 2 cos 1 0 z z θ − + =θ ( )2 2 sin 1 0 z z θ − + =θ

A BC

1

1 z =2

2 z i=3

1 z i= − −

2 3 0 z + =

z


8/11

w w w . M

a t h s M a k . c

o m

شك ح

ً

ن د ذعل

1مرين

انًشكثح اعا شثرَ1

1 3 z i 2 1 z i 0 z

10

2

z z

z .

ه(1ٕ

ط اة 1

z ن جًع :َس انؤال نى

2 z

عًج ن(2 هح ٕ

ط :اة 0

z .

اكرة(30

z شثدنا منا هع .

4)رُراsin12

cos12

.

مرينحل

ه(1ٕ

ط

1 z

عًج نه انًشك 1

z :

2

2

1 1 3 2 z

1

1 32

2 2 z i

إ

1cos

2 3

3sin

2 3

نرنت

1

1

2

23

z

Arg z

ه

ٕ

ط

1 z

شك

ً

نا هن جًع 2

z :2 22

1 1 2 z

2

1 1 2 22 2

2 22 2 z i i

إ

2cos

2 4

2sin

2 4

2

2

2

24

z

Arg z

ه(2ٕ

ط1 z

شك

ً

نا هن جًع 0

z :

1

0

2

z z

z

إ

11

0

2 2

22

2

z z z

z z

4مرين

شكثح

ً

نا اعا حعٕ

ً

دي ف شثرَ

نح

ً

نا 3 22 2 4 0......... z iz z i I .

1)أ ّت2iحنًهن . Iم

2)هم

3 22 2 4 z iz z i نحى

ً

نا

ل

ٕ

ه

ر

ُ

ر

I

4مري

1) 3 2

2 2 2 2 2 4 8 8 4 4 0i i i i i i i i i

2iحنًنا نهًنح2iإ I ذق . Iم

2)2iحنًهن ذفئ : Iإ I م

3 2 3 2

2 2 2 2 2 2 44 2i i z iz i i z i i

ذف 3 23 2

2 2 2 22 2 2 0i i z iz z i i

ذفئ 3 23 22 2 2 2 2 0 z i i z i z i .

أ : 3ذزكش 3 2 2a b a b a b ab

إ : I فذ

22

2 2 2 2 2 2 2 2 0 z i z i iz i z i z i z i فذ

22 4 4 2 2 2 4 2 0i z iz i z i z i z i ذفئ 22 2 0 z i z ئفذ2 z i أ

22 z

أ2 z i ذفئ2

22 z i فذ2 z i

أ

2 z i أ2 z i

انًن I ْذثم هٕل 2iح 2i2i.

5مرين

دل

ً

نا نإ ًرُ ع 0; .حنًنا َرثش

1 1 22

23 4 12

z Arg Arg z Arg z

z

ٌ

0

0

2

212

z

Arg z

كراتح(30

z شثدن من ىهع

0

1 3 11 3 3 1 3 1

1 1 1 2 2

i ii

z ii i i

3 21 2sin 1 2sin 1 0.... z z z II

ٓنٕ

ٓ

دي رنا z .

1)أ ت1حنًهن . IIم

2)هم

3 2

1 2sin 1 2sin 1 z z z

ى

انًنح ل ٕ

ه رُرسا II .

اَذح عه انم اس(3 انًشكثح اعا ةركا.

1 1 z

2 sin cos z i

3 sin cos z i


9/11

w w w . M

a t h s M a

k . c o m

4)رُراsin12

cos

12

انًه ن :انم 0

z 0 2 cos sin12 12

z i

:انم انثش ن 0

z 0

3 1 3 1

2 2 z i

رُرَ

3 12 cos

12 2

3 12 sin

12 2

أ

3 1 6 2cos

12 42 2

3 1 6 2sin

12 42 2

ين

2شكثح

ً

نا

اا

ح

ٕ

ً

ي

رثش

َ

حن

ً

نا

22 32 0

4 z z .

)حنًنا زْ ل ه انم انثش)م ٕ

هنا ذ)

2)ًَ1 z انم 2 z انم ان اننة

2 22

A rg z

.

1 zاكرة + 2 z ا منا ه.

2ي حل

) z x iy x yٌ ا.

ُن 22 2 2

2 z x iy x y ixy

5يحل

) 3 21 1 2sin 1 1 2sin 1 1 0

انًنح1 . : IIم ن1إ II ق

أم كم يشكة : IIم ن1(2 ي إ z ُن:

2 2

3 2

1 2sin 1 2sin 1 1 z z z az bz c

az b a z c b z c

أ رُرَ

1

1 2 sin

1 2 sin

1

a

b a

c b

c

أ

1

2sin

1

a

b

c

3 2 21 2sin 1 2sin 1 1 2sin 1 z z z z z z .

21ذ II انًنح 2sin 1 0 z z z

ذ1 z أ2 2sin 1 0 z z

انًنح 2م 2 sin 1 0 z z :ًْي

2 22 2

2 sin 4 4 sin 1 4 cos 2 cosi

ه انًنح ذثم زْ:2 sin 2 cos

' sin cos2

i z i

2 sin 2 cos

'' sin cos2

i

z i

انًنح هٕل IIذثم :1 sinح cosi

sin cosi .

2

2 2 2 2 2 z x y x y

22 3

2 04 z z

2 2 2 2 3

2 2 04

x y ixy x y

22 3

2 04

z z

2 2 2 2 32 2 2 0

4 x y x y ixy

22 32 0

4

z z 2 2 3

3 2 0

4

x y ixy

أم ي0 x :2

30

4 y إ

3

2 y أ

3

2 y أ

0

3

2

x

y

0

3

2

x

y

كرتح(31

z 2

z 3

z ا منا ه

1 1 io

z e

2 sin cos cos sin z i i i

222

iii i

z i e e e e

2

3 2sin cos

i

z i z e

6ين

انًشكَرثش ان 2 2

cos sin7 7

z i

.

ضع

َ

2 4

S z z z

3 5 6

T z z z .1)

ص مك مأ ي أ ّتk 7k k z z .

2)أ ّتT S .

3) أ ّت Im 0S .


10/11

w w w . M

a t h s M a k . c

o m

أم ي0 y :212 3 0 x إ1

2 x أ

1

2 x

أ1

2

0

x

y

1

2

0

x

y

نح

ً

نا ذثم 22 3

2 04

z z

ْ

ل ٕ

ه أستح

3

2i , 3

2i , 1

2 et 1

2 .

2) 3

22 2

Arg i

ٌ

3

2i شص هذ

ء انره نة

3

22 2

Arg i

ٌ

3

2i شص هذ

ة

ٕ

ي

هرنا

ء

أًت 1

2

1

2

ئ

1

1

2 z

4)اة

S T S T .

انًنح 2م 0 x S T x ST .رُراS T .

6ين

)

7

2 2 2 2cos sin cos 2 sin 2

7 7 7 7

2 7 2 7cos sin

7 7

k

k k

k k k k z i i

k k z i z

2)3 5 6 3 5 6T z z z z z z

7k k z zتًأ ئ7k k z z إ

3 5 6 4 2T z z z z z z S .

3 ) 2 4

Im sin sin sin7 7 7

S

2sin 07

ٌ

2sin 0;7 2

4sin sin

7 7

انح

ّ

نا ٌ sinه جاري0;2

2

3

2 z i.

كرتح

1 2 z z ا منا ه:

1 2

1 3

2 2 z z i

22

1 2

1 31

2 2 z z

1 22

23

Arg z z

إ

2

31 2

i

z z e

.

انًشكة3ين نا شثرَ3

2 2

i Z

i

.

)ركا Z ا منا ه.

انًنح(2 2م 3

2 2

i z

i

يحل

3

) 2

23 3 1 2i

إ

63 1

3 2 2 cos sin 22 2 6 2

i

i i i e

2 2

2 2 2 2 2i إ

42 22 2 2 2 cos sin 22 2 4 4

i

i i i e

6

6 4 12

4

2

2

i

i i i

i

e Z e e

e

.

إ: Im 0S .

4)2 4 3 5 6S T z z z z z z

6

2 3 4 5 6 1

1

z S T z z z z z z z

z

أ

ً

ت 7 1 z أ6 1 z z ئ6 1 z z

إ

1 11

11 1

z

z z S T z z

z z

.

2 4 3 5 6ST z z z z z z 4 6 7 5 7 8 7 9 10ST z z z z z z z z z

أ

ً

ت

7

1 z

ئ

8 7

9 7 2 2

10 7 3 3

z z z z

z z z z

z z z z

إ

4 6 5 2 31 1 1ST z z z z z z

أ

2 3 4 5 63ST z z z z z z

3 3 1 2ST S

انًن--5 2م 0 x S T x ST

ًًنا: 2 2 2

4 2 4S T ST S T ST ST

22 22S T ST S T

ًْ نا:1 x S 2 x T .


11/11

w w w

. M a t h s M a k

. c o m

1

24

r

k

أم ي0k :24

ُي

241i

z e

أم ي1k :23

24 24

23

241i

z e

نح

ً

نا

ذثم

2 3

2 2

i

z i

ه

24i

e

23

24i

e

.

1 7''

2

i x

.

إ ُن 1 7 1 7

; ;2 2

i iS T

ي ر

ُ

ر

َ

أ ننا لاؤنا

1 7

2

1 7

2

iS

i

T

ت رين غ موة

تين

1

َ

ثرةكش

ً

نا نهًرّش ٔنا :تانًشّف zكش

4 3 26 24 18 63 P z z z z z .

. أةأ 3 P i 3 P i.

ـ

حب

اأ

ٕ

ذ

ّ

أ

ْ

شت

abcأم

ي

ت

z كم يشكة 2 23 P z z az bz c .

2. مًٓنا z انًنح اخ 0 P z .

3.رًناَ رئ يري ىهي نإ بٕ

ُ

ي ; ;O u v.

انُطيأ ـ اق ه انرشذة A BC Dم ٕ

هنا اخ

3 A

z i3 B

z i 3 2 3C

z i D C

z z

أب ـ َاناش A BC Dانُأثد نإ ًرُذ.

4.ح

ُ

نا

رن

E ظشج

َ

Dثأ

ً

نا

نإ

ثح

ُ

نت

O.

أ ّت3i

C B

E B

z z e

z z

هًنا ٍ ثح ّ . BECى

هر1 z ين ٕ

ئو ًج r يشكة غش

ن.

انًشكثح انرنح اا ي ًٔج نم هح ٕ

نا :

z z 1

z 3 z

1

n z nيع .

ين

انًشكثح-51 اا م طتأ ه ةركأ2

i,

3i,4i,8i13i.

2)ث مك مأ ي َأ تn 4 1ni i رُرأ

ت رين غ موة

انًشكة 3ين نا شثرَ4 4

1 3

i Z

i

.

)كشًنا نا ةركأ Z شثنا منا ه

انًشك(2 نا ةركأ Z هًنا .ه انم

3)اا

ّ

ً

نا

انم

ه

أكرة

:1

Z Z .

لكم 4 ين ٕ

ٓ

ً

نا انًخ اخ ي

z حنرنا: أ22 6 5 0 z z . ب2 5 9 0 z z .

2ـ ـ 1 0 z z . 2 2 3 0 z z .

ْ2ـ ـ 1 z z . 2 3 0 z .

a )(

28 3 64 0 z z .

)(b 2 2 1 2 2 2 2 0 z z .

© 2 2 cos 1 0 z z .

(d) 2 2 sin 1 0 z z .

انًشك6ين نا شثرَ2 3 2 3

2 2 z i

.

)ةأ2 z ةكشًنا هن جًٔ هح ٕ

نا ٍ . 2 zى

انًشكة(2 هن جًٔ هح ٕ

نا ٍ z .

3)أ رُرا5 2 3

cos12 2

5 2 3sin

12 2

.

21

2011 i

َi z r eضع(2 .

2انًنح 3

2 2

i z

i

ذ

2 2 12i

ir e e

أ

2 2 12i

ir e e

ر

ُ

ر

َ

21

2 212

r

k

k Zإ

ب

S T

2انًنح 0 x S T x ST ذ2

2 0 x x

انًنح َم 2

2 0 x x : ًْي7 أ

2

7i ًْ نا1 7

'

2

i x

nombre complex final 2011

Documents