ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕremshagu.ru/nashi_proekts/summer mathematical...

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Средняя олимпиадная группа

ДЕНЬ ПЕРВЫЙ. 1 июля

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА.

1. a и b — натуральные числа такие, что 34a=43b. Докажите, что a+b -

составное число.

2. ABCD — квадрат. O — точка внутри него такая, что OAD= ODA .

Доказать, что ABC — равнобедренный.

3. В стране 239 городов, любые два из которых соединены дорогой. Соловей-

Разбойник со своими соловьятами перекрыли 237 дорог. Доказать, что все

равно можно проехать из любого города в любой другой.

4. Из 25 треугольников правильным образом сложили многоугольник.

Доказать, что найдется треугольник, граничащий ровно с двумя другими (то

что треугольники граничат правильным образом означает что любые два

треугольника либо не имеют общей границы, либо имеют общую сторону).

5. В дачном кооперативе 25 участков, расположенных в виде квадрата 5x5.

Каждому из дачников, владеющими этими участками нравится участок

соседа (соседи — это те, кто имеет общий забор). Могут ли они поменяться

так, чтобы все 25 дачников получили нравящиеся им участки?

6. Пусть и . Доказать, что

7. В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров: каждая команды

сыграла с 8 различными командами. Докажите, что найдутся три команды, не

сыгравшие между собой ни одного матча.

8. Пусть . Доказать, что .


ДЕНЬ ВТОРОЙ. 2 июля

9. Докажите, что граф с 𝑛 вершинами и 𝑛 − 1 ребром является деревом.

10. Найдите все неизоморфные деревья с 6 и 7 вершинами.

11. В стране 30 городов, каждый соединен с каждым дорогой. Какое

наибольшее число дорог можно закрыть так, чтобы из каждого можно было

проехать в каждый.

12. Докажите, что если в 𝑛- вершинном графе (𝑛>2) сумма степеней любых

двух вершин хотя бы 𝑛, то граф связен и не имеет висячих вершин.

13. Удаленностью вершины дерева назовем сумму расстояний от нее до всех

остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого две вершины с

удаленностью, отличающейся на 1 - нечетное число вершин.

14. В компании из 5 человек, среди трех человек найдутся двое, которые

знают друг друга и двое незнакомых друг с другом. Докажите, что компанию

можно рассадить за круглым столом так, чтобы по обе стороны от каждого

сидели его знакомые.

15. В стране 𝑛 городов. Любые два из которых соединены железной дорогой

или авиалинией. Докажите, что один транспорт можно отменить так, чтобы

из любого города в любой другой можно доехать оставшимся транспортом.

16. Между любыми двумя из 𝑛 городов имеется прямое сообщение

самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее

n/2 городов с одним из видов транспорта так, что пользуясь им одним, из

любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

17. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно выбрать так,

чтобы сумма любых трех из них была простым числом.

18. Есть 30 карточек, на каждой из которых написано вещественное число

(эти числа необязательно различны). Карточки разбили на пары и оказалось,

что сумма чисел в каждой паре равна 1. Потом карточки разбили на пары

другим образом, и оказалось, что во всех парах, кроме одной, произведение

чисел равно 1. Докажите, что и в оставшейся паре произведение чисел равно

1.


ДЕНЬ ВТОРОЙ. 2 июля

19. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что входящая и

исходящая степень любой вершины совпадают. Докажите, что граф сильно

связный.

20. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что входящая и

исходящая степень любой вершины совпадают. Докажите, что в графе

найдется эйлеров цикл.

21. Докажите, что в любом турнире есть простой путь по всем вершинам.

22. Докажите, что в любом сильном турнире есть простой цикл по всем

вершинам.

23. Докажите, что в любом сильном турнире есть простой цикл любой длины,

не превосходящей число ребер.

24. Докажите, что во всяком сильном турнире есть простой цикл любой

длины, проходящий через фиксированную вершину.

25. В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города

соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого нестоличного

выходит 20 дорог и входит 21. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни

из одного города.

26. На сторонах произвольного многоугольника расставили стрелки.

Докажите, что число вершин, в которые входят 2 стрелки равно количеству

вершин, из которых выходят 2 стрелки.

27. Докажите, что если в турнире хотя бы 2 вершины имеют одинаковую

степень входа, то найдутся 3 вершины, образующие ориентированный цикл.

28. Океан и 10 озер связаны реками. Из каждого озера вытекают 5 рек, а

впадает 3. Какое наименьшее число рек впадает в океан?


ДЕНЬ ТРЕТИЙ. 3 июля

29. В каждой строке и в каждом столбце шахматной доски стоят по две ладьи.

Докажите, что можно выбрать 8 ладей, не бьющих друг друга.

30. (Доказать с помощью леммы Холла) 20 школьников решали 20 задач. Каждый

решил ровно две задачи, и каждую задачу решили ровно два школьника. Докажите,

что можно организовать разбор задач так что каждый школьник расскажет одну из

решенных им задач и все задачи будут рассказаны.

31. Есть n юношей и n девушек. Некоторые из них знакомы между собой. Докажите,

что их можно разбить на n пар знакомых девушек и юношей, если каждый юноша

знает ровно k девушек, каждая девушка знает ровно k юношей.

32. В каждой строчке и в каждом столбике таблицы 8*8 стоит ровно 3 фишки.

Докажите, что их можно покрасить в 3 цвета так что в каждом столбике и в каждой

строчке стоят разноцветные фишки.

33. Прямоугольник 5х6 называется латинским прямоугольником если он заполнен

натуральными числами от 1 до 6 так, что в каждом столбике и каждой строчке стоят

разные числа. Докажите, что латинский прямоугольник можно дополнить до

латинского квадрата.

34. Пусть Е – конечное множество, F={E1, E2,…, En} – набор его подмножеств.

Выборкой называется множество S ={s1, s2,…, sn} состоящее из n различных

элементов, такое что s1 принадлежит E1, s2 – E2, …sn – En.. Докажите что выборка

существует тогда и только тогда, когда объединение любых 0<k<n+1 элементов F

содержит не менее k элементов E.

35. Найти число транзитивных троек в n-вершинном турнире, если полустепени

исхода вершин равны s1, ..., sn.

36. Найти максимальное число треугольников в турнире со 100 вершинами.


ДЕНЬ ЧЕТВЕРТЫЙ. 4 июля

37. Докажите, что латинский прямоугольник можно дополнить до латинского

квадрата.

38. В некотором городе живут несколько мальчиков и несколько девочек, причем

каждый мальчик знает 5 девочек, а каждая девочка 4 мальчика. Докажите, что каждый

мальчик может пригласить девочку, которую он знает, на дискотеку так, что ни одну

девочку не пригласят два мальчика

39. В некотором городе для любого положительного k и для любых k девочек

существуют хотя бы 2k мальчиков, каждого из которых знает хотя бы одна из

указанных девочек. Докажите, что каждая девочка может выбрать двух мальчиков и

пойти с ними гулять на главную улицу города.

40. В некоторой деревне любые k девушек знают хотя бы k+1 юношу. Докажите, что

девушки смогут выбрать себе кавалеров на выпускной бал, причем сделать это хотя

бы двумя способами.

41. У двудольного графа степень каждой вершины равна n. Докажите, что его ребра

можно раскрасить в n цветов так, чтобы ребра, имеющие общий конец, были разного

цвета.

42. Для примера найти максимальное количество ВНЦ u и v (вершинно-

непересекающихся цепей)

43. Для примера найти минимальное количество ОМ для вершин u и v (отделяющее

множество)

44. Доказать, что если какое-нибудь ОМ для несмежных вершин u и v содержит k

вершин, то ВНЦ для несмежных вершин u и v не превосходит k

45. (Теорема Менгера, вершинная форма) Доказать, что максимальное число ВНЦ для

несмежных вершин u и v равно минимальному числу ОМ для вершин u и v.

46.Вывести лемму Холла из теоремы Менгера.

u v


ДЕНЬ ШЕСТОЙ. 6 июля

47. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии

шахматной доски?

48. Пусть . Найдите - число всех натуральных делителей n и

- сумму всех этих делителей.

49. Дано 2013-значное число N. Каждое двузначное число, образованное его

соседними цифрами, делится либо на 17, либо на 23. Последняя цифра числа N -

единица. Найдите первую цифру числа N.

50. На конференцию собрались 100 математиков. Среди них 85 человек знают

английский язык, 80 - французский и 75 - немецкий. Сколько участников конференции

заведомо знают все три языка?

51. Будем рассматривать подмножества множества (1, 2, ..., n). Пару таких

подмножеств A и B назовем (хорошей), если первое из них содержится во втором,

. Найдите число хороших пар.

52. Докажите, что

53. Найдите , .

54. Восемь школьников решали 8 задач. Оказалось, что каждую задачу решили 5

школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил

хотя бы один из них.

55. На олимпиаде было десять задач и 96 участников. Каждая задача решена

половиной участников. Участник получает диплом, если он решил хотя бы шесть

задач. Найдите наибольшее возможное количество дипломов.


ДЕНЬ СЕДЬМОЙ. 8 июля

56. На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной

прямой. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?

57. Найдите число решений уравнения в натуральных числах.

58. Найдите число решений уравнения в целых неотрицательных

числах.

59. Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, каждый раз перемещаясь в одну

из соседних вершин. Начинает она в точке A. Сколько способов у лягушки вернуться в

A за n прыжков?

60. В некотором царстве-государстве n городов. Каждые два города соединены

дорогой. На всех дорогах введено одностороннее движение. Докажите, что найдется

такой город, в который из любого другого города можно попасть, проезжая по пути не

более чем через один промежуточный город.

61. Полоска 1х10 разбита на квадратики. Сначала в какой-нибудь квадратик

вписывают число 1. Потом в один из соседних с ним вписывают число 2. В соседний с

одним из уже заполненных квадратов вписывают число 3. И так далее. Сколькими

способами это можно проделать?

62. Билеты в кино стоят 50 рублей. В очереди в кассу стоят n человек с купюрами по

100 рублей и человек с купюрами по 50 рублей. Сначала у кассира совсем нет денег.

Сколько существует различных порядков в очереди таких, что что кассир всегда

может дать сдачу?

63. Докажите, что число способов разбить ( -угольник на треугольники

непересекающимися диагоналями равно числу Каталана .

64. Бинарное дерево - дерево (граф), у которого степень одной вершины - корня - 2; из

этой вершины идут ребра влево-вниз и вправо-вниз. Степени остальных - либо 3 (одно

ребро приходит сверху, два других идут влево-вниз и вправо-вниз), либо 1 (лист,

ребро приходит сверху). Докажите, что число бинарных деревьев на n+1 концевой

вершине равно числу Каталана .


ДЕНЬ ВОСЬМОЙ. 9 июля

65. Возьмем на клетчатой бумаге квадрат 𝑛×𝑛. Рассмотрим "лесенку" размера 𝑛 –

клеточки на диагонали нашего квадрата и ниже этой диагонали. Рассмотрим

разбиение (или разрезание) "лесенки" на 𝑛 прямоугольников с целыми сторонами.

Докажите, что число таких разбиений – 𝐶n.

66. Камни лежат в трех кучках: в одной 49, в другой 51, в третьей 5. Разрешается

объединять две любые кучки, а если в кучке четное число камней, то делить ее на две

равных. Можно ли за несколько таких операций получить 105 кучек по одному

камню?

67. Найдите остаток от деления на 17 числа 22013

+ 1.

68. (Теорема Вильсона) Докажите, что для простого 𝑝: (𝑝−1)! ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑𝑝).

69. (Обобщение теоремы Вильсона) Докажите, что если для некоторого 𝑛: (𝑛−1)! ≡

−1(𝑚𝑜𝑑𝑛), то число n простое.

70. Докажите, что уравнение 𝑥2 + 𝑦2

= 2011 не имеет решений в целых числах.

71. Докажите, что уравнениеx2 + y

2 + z

2 = 2015 не имеет решений в целых числах.

72. Докажите, что уравнение 𝑥2 − 5𝑦 + 3 = 0 не имеет решений в целых числах.

73. Решите сравнение 1215𝑥 ≡ 560(𝑚𝑜𝑑2755).

74. Будет ли простым число 2571092

+ 1092?

75. Докажите, что число, записываемое 16 единицами делится на 17.

76. Пусть 𝑝>3 – простое число. Докажите, что если разрешимо сравнение x2 +x+1≡

0(𝑚𝑜𝑑𝑝), то 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑6).

77. Докажите, что (суммирование ведется по всем 𝑑 – делителям числа 𝑎).



78. Решите в натуральных числах уравнение .

79. Найдите все пары чисел простых чисел , такие что .

80. Решите в целых числах уравнение .

81. Найдите некоторые три натуральных решения уравнения

(кроме решения (3,5)).

82. Рассмотрим последовательности, заданные рекуррентными соотношениями

и начальными условиями . Выведите

рекуррентную формулу для , включающую только элементы последовательности x.

То же для .

83. Для последовательностей из предыдущей задачи докажите равенства

.

84. Пусть , -целые числа, d - натуральное и не является полным квадратом. Пусть

. Докажите, что x, y целые если и только если

85. Докажите, что для любых натуральных m, n .

86. Докажите, что первые 999 цифр после запятой в десятичной записи числа

(Подсказка: докажите, что если из этого числа вычесть число, очень похожее на него

по записи, то получится целое число, а потом оцените вычитаемое сверху).





89. При каких целых a уравнение имеет бесконечно много решений?

90. Докажите, что для любых вещественных чисел найдутся такие целые

не все равные 0 числа , что все по модулю не превосходят N и

|



91. При игре в преферанс используется колода в 32 листа. Каждый из трех игроков

получает по 10 карт, а еще 2 карты кладутся в прикуп. Сколько различных раскладов

возможно в этой игре?

92. Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает

место игроку, не участвовавшему в ней. Оказалось, что первый игрок сыграл 10

партий, а второй - 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

93. На окружности отметили 2013 точек. Сколько существует незамкнутых не

самопересекающихся 2012-звенных ломаных с вершинами в этих точках?

94. Каждое ребро полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.

Докажите, что найдутся три вершины, все ребра между которыми одного цвета.

95. В классе 20 учеников, причем каждый дружит не менее, чем с 14ю другими.

Можно ли утверждать, что найдутся четыре ученика, которые все дружат между

собой?

96. По правилам новомодного танца надо делать либо шаг вперед, либо два шага

вперед, либо два шага вперед и тут же шаг назад. Каким количеством способов можно

за несколько таких па сдвинуться на n шагов?

97. Даны неравные друг другу числа целые a и b, а также натуральное d, не

являющееся полным квадратом. Докажите, что ни при каких натуральных m и n не

может выполняться равенство .

98. На доске с ряд написаны 100 вещественных отличных от 0 чисел. Каждое число

кроме первого и последнего равно произведению соседних с ним чисел. Известно, что

первое число равно 7. найдите последнее.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕremshagu.ru/nashi_proekts/summer mathematical...

Documents