on the relation between condensed matrix and its determinant
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EasyChair Preprintβ 6589
On the Relation Between Condensed Matrix andIts Determinant
Victor Leighton Inostroza
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September 13, 2021
1 | P Γ‘ g .
SOBRE LA RELACIΓN ENTRE MATRIZ CONDENSADA Y SU DETERMINANTE
Victor Leighton Inostroza(1) β [email protected] (1) Ingeniero Civil y Desarrollador de Software β Grupo GDES.ie, Santiago-Chile
Resumen.
En el presente trabajo se establecen relaciones para el cΓ‘lculo de determinantes, utilizando una
tΓ©cnica algebraica de la IngenierΓa SΓsmica denominado βCondensaciΓ³n EstΓ‘ticaβ, el cual es un
proceso de reducciΓ³n por bloques, del orden π de la matriz de rigidez πΎπ.
A travΓ©s de un enfoque inverso, se aplica (π β 1) veces el proceso de condensaciΓ³n hasta obtener
la mΓ‘xima condensaciΓ³n posible πΎπ (matriz de 1x1), llegando a una relaciΓ³n entre los determinantes
de las matrices πΎπ, de la submatriz πΎπβ1 y πΎπ.
Se establece finalmente una relaciΓ³n entre el determinante de πΎπ, el determinante de una de sus
condensadas intermedias simples πΎπβ y las sub-condensadas principales simples ππ
β.
Contexto General:
La relaciΓ³n bΓ‘sica utilizada es:
πΎππ = π΄π β π΅ππ·π
β1πΆπ
(*) Donde π representa el paso de condensaciΓ³n, con: 1 β€ π β€ π β 1
cuyo origen se debe al trabajo de Robert J. Guyan1 de 1965, por lo cual tambiΓ©n es denominada
βreducciΓ³n de Guyanβ, donde las matrices π΄π, π΅π, πΆπ π¦ π·π representan submatrices de la matriz
original πΎπ, de acuerdo al siguiente esquema:
πΎπ =
[ π1 π1
β± β±ππ ππ
π1 π1
β± β±ππ ππ‘]
= [π΄π π΅π
πΆπ π·π]
(*) Las matrices π΄π y π·π son cuadradas, no necesariamente del mismo orden.
(*) Las matrices π΅π y πΆπ no necesariamente son cuadradas ni del mismo orden.
1 Robert J. Guyan, Reduction of Stiffness and Mass Matrices, AIAA Journal Vol. 3 NΒ° 2, 1965.
2 | P Γ‘ g .
Enfoque General (utilizado en IngenierΓa SΓsmica):
El mΓ©todo consiste en identificar los GDL dinΓ‘micos y ordenarlos adecuadamente en las primeras
filas y columnas de la matriz de rigidez, tal que se correspondan con la submatriz cuadrada π΄π.
Una vez identificada π΄π, se identifica π·π como la matriz cuadrada que continΓΊa por la diagonal a la
matriz π΄π y que completa el orden de la matriz πΎπ original, procediendo de esta manera a
determinar π·πβ1 para realizar el cΓ‘lculo de la relaciΓ³n bΓ‘sica de condensaciΓ³n, cuyo resultado es la
matriz de rigidez condensada a los GDL dinΓ‘micos horizontales, πΎπ.
Enfoque inverso del presente trabajo:
Considerar a la matriz π·π como el elemento πππ, con tal de aplicar la relaciΓ³n de condensaciΓ³n sin
necesidad de calcular matrices inversas, sino solo dividiendo por dicho elemento en cada paso.
Desarrollo del Procedimiento Inverso:
Se aplica el enfoque inverso (π β 1) veces hasta obtener la mΓ‘xima condensaciΓ³n de la matriz
original. En el desarrollo se observa la apariciΓ³n de un patrΓ³n en cada condensada, del cual se
obtiene una primera relaciΓ³n entre la condensada mΓ‘xima completa πΎπβ1π y la condensada mΓ‘xima
simple πΎπβ1β .
Se realiza el desarrollo con una matriz de orden 4 (πΎ4) para ejemplificar.
πΎ4 =
[ π11 π1
β±π33 π3
π1 π3 π ]
En este caso las matrices π΅π y πΆπ son vectores (columna y fila respectivamente).
πΎππ = π΄π β π΅ππ·π
β1πΆπ
πΎ1π = π΄1 β (π΅1πΆ1)π·1
β1 (dado que π·π es de orden 1, es tratado como nΓΊmero, por ende puede
conmutar en la multiplicaciΓ³n matricial).
Trabajando sobre el parΓ©ntesis (π΅1πΆ1):
π΅1πΆ1 = [π1 β {π΅1} | π2 β {π΅1} | π3 β {π΅1}]
{π΅1} = [
π14
π24
π34
] {πΆ1} = [π41 π42 π43]
π΅1πΆ1 = [π41 β [
π14
π24
π34
] | π42 β [
π14
π24
π34
] | π43 β [
π14
π24
π34
]]
3 | P Γ‘ g .
Incorporando ahora el resto de elementos a la ecuaciΓ³n de condensaciΓ³n:
πΎ1π = π΄1 β (π΅1πΆ1)π·1
β1 Con: π·1 = π = π44
Donde:
π΄1 = [
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
]
Se tiene:
πΎ1π =
[ π11 β
π41π14
π44π12 β
π42π14
π44π13 β
π43π14
π44
π21 βπ41π24
π44π22 β
π42π24
π44π23 β
π43π24
π44
π31 βπ41π34
π44π32 β
π42π34
π44π33 β
π43π34
π44 ]
(*) Considerando π44 β 0. (*) Designando πΎ1
π como la condensada de paso 1, o la primera condensaciΓ³n.
πΎ1π =
[ π11π44 β π41π14
π44
π12π44 β π42π14
π44
π13π44 β π43π14
π44
π21π44 β π41π24
π44
π22π44 β π42π24
π44
π23π44 β π43π24
π44
π31π44 β π41π34
π44
π32π44 β π42π34
π44
π33π44 β π43π34
π44 ]
πΎ1π = (
1
π44) β [
π11π44 β π41π14 π12π44 β π42π14 π13π44 β π43π14
π21π44 β π41π24 π22π44 β π42π24 π23π44 β π43π24
π31π44 β π41π34 π32π44 β π42π34 π33π44 β π43π34
]
πΎ1π = (
1
π44) β πΎ1
β
(*) La matriz de la derecha (πΎ1β) se denominarΓ‘ Matriz Condensada Simple de paso 1, del mismo
orden que la Matriz Condensada Completa de paso 1 (πΎ1π).
4 | P Γ‘ g .
Se observa que cada elemento de πΎ1β se asemeja a un determinante de orden 2, siguiendo un patrΓ³n
geomΓ©trico en forma de cuadrados y rectΓ‘ngulos, con el elemento βanclaβ π44 como referencia,
segΓΊn los siguientes esquemas:
πΎ4 = [
π11 π12 π13 π14
π21 π22 π23 π24
π31 π32 π33 π34
π41 π42 π43 πππ
] πΎ1β = [
π11β π12
β π13β
π21β π22
β π32β
π31β π32
β π33β
]
π11β = |
π11 π14
π41 π44
| π12β = |
π12 π14
π42 π44
| π13β = |
π13 π14
π43 π44
|
π21β = |
π21 π24
π41 π44
| π22β = |
π22 π24
π42 π44
| π23β = |
π23 π24
π43 π44
|
π31β = |
π31 π34
π41 π44
| π32β = |
π32 π34
π42 π44
| π33β = |
π33 π34
π43 π44
|
Se introduce la siguiente notaciΓ³n para estos determinantes (2x2), de acuerdo a la figura que
representen:
Cuadrados: se denominarΓ‘n expansivos y se identificarΓ‘n por la letra π con Γndices.
Rectangulares: diferenciados entre verticales y laterales, segΓΊn su orientaciΓ³n, se
identificarΓ‘n por la letra π con Γndices.
π1 : primer determinante cuadrado (expansivo), primera condensaciΓ³n
π1 : primer determinante rectangular lateral, primera condensaciΓ³n
π1 : primer determinante rectangular vertical, primera condensaciΓ³n
π12 : determinante rectangular (2 vertical, 1 lateral), primera condensaciΓ³n
π21 : primer determinante cuadrado, segunda condensaciΓ³n
(π1)2 : primer determinante rectangular vertical, segunda condensaciΓ³n (π1)2 : primer determinante rectangular lateral, segunda condensaciΓ³n
Todos toman como referencia al elemento βanclaβ π44 y comienzan a contar desde el.
0
.
5 | P Γ‘ g .
Continuando el desarrollo previo:
πΎ1π = (
1
π44
) β [π11π44 β π41π14 π12π44 β π42π14 π13π44 β π43π14
π21π44 β π41π24 π22π44 β π42π24 π23π44 β π43π24
π31π44 β π41π34 π32π44 β π42π34 π33π44 β π43π34
]
πΎ1π = (
1
π44) β πΎ1
β
Incorporando la notaciΓ³n reducida para los determinantes expansivos y rectangulares, la relaciΓ³n
anterior queda:
πΎ1β = (
π3 π12 π2
π21 π2 π1
π2 π1 π1
) πΎ1π = (
1
π44) β πΎ1
β
con: π1 = π44 β π33 β π43 β π34 π1β = π1
Continuando el desarrollo de la condensada, ahora sobre πΎ1β, segunda iteraciΓ³n:
πΎ2β = (
π22 (π1)2
(π1)2 π21 ) πΎ2
π = (1
π44βπ1) β πΎ2β
π21 = π1 β π2 β π1 β π1 π2
β = π21
Tercera iteraciΓ³n, sobre πΎ2β:
πΎ3β = (π3
1) πΎ3π = (
1
π44βπ1βπ21) β πΎ3
β
π31 = π2
1 β π22 β (π1)2 β (π1)2 π3
β = π31
Considerando que π0β = π44, se observa el siguiente patrΓ³n:
πΎ3π = (
1
π0β β π1
β β π2β) β πΎ3
β
Generalizando se obtiene:
πΎππ =
πΎπβ
β ππβπβ1
π=0
Con: 1 β€ π β€ π β 1 , π π β; ππβ β 0
RelaciΓ³n Fundamental (1)
Donde las ππβ corresponden a los determinantes expansivos de la primera esquina (inferior derecha),
de cada matriz condensada, de los pasos sucesivos, y la πΎπβ1β es la condensada simple mΓ‘xima
obtenida para la matriz πΎπ original.
Se puede decir que las ππβ son las sub-condensadas simples principales, mientras que la πΎπβ1
β es la
condensada simple mΓ‘xima principal.
6 | P Γ‘ g .
Relaciones que involucran al Determinante
RelaciΓ³n Fundamental (2):
Comenzando con una matriz (2x2), π = 2:
πΎ2 = (π11 π12
π21 π22) con π22 β 0
πΎππ = π΄π β π΅π β π·π
β1 β πΆπ 1 β€ π β€ π β 1
πΎ1π = π΄1 β π΅1 β πΆ1 β π·1
β1
πΎ1π = π11 β
π12π21
π22
πΎ1π =
π22π11 β π12π21
π22
πΎ1π =
πππ‘ (πΎ2)
πππ‘ (πΎ1)
con πΎ1 = π π’ππππ‘(π β 1, πΎπ)
Ahora, considerando una matriz (3x3):
πΎ3 = (
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
) con π33 β 0
πΎππ = π΄π β π΅π β πΆπ β π·π
β1 1 β€ π β€ π β 1
πΎ1π = (
π11 π12
π21 π22) β (
π13
π23) β (π31 π32) β
1
π33
= (π11 π12
π21 π22) β (π31 β (
π13
π23) π32 β (
π13
π23)) β
1
π33
= (π11 π12
π21 π22) β (
π31π13 π32π13
π31π23 π32π23) β
1
π33
= (π11 π12
π21 π22) β
(
π31π13
π33
π32π13
π33
π31π23
π33
π32π23
π33 )
πΎ1π =
(
π33π11 β π31π13
π33
π33π12 β π32π13
π33
π33π21 β π31π23
π33
π33π22 β π32π23
π33 )
7 | P Γ‘ g .
Iterando la condensaciΓ³n sobre la condensada πΎ1π:
πΎ1π =
(
π33π11 β π31π13
π33
π33π12 β π32π13
π33
π33π21 β π31π23
π33
π33π22 β π32π23
π33 )
πΎππ = π΄π β π΅π β πΆπ β π·π
β1 1 β€ π β€ π β 1
πΎ2π =
π33π11 β π31π13
π33β (
π33π12 β π32π13
π33) (
π33π21 β π31π23
π33) β
π33
π33π22 β π32π23
=π33π11 β π31π13
π33β (
π33π12 β π32π13
π33) (
π33π21 β π31π23
π33π22 β π32π23)
=(π33π11 β π31π13)
π33β (
(π33π12 β π32π13) β (π33π21 β π31π23)
π33 β (π33π22 β π32π23))
=(π33π11 β π31π13) β (π33π22 β π32π23)
π33 β (π33π22 β π32π23)β (
(π33π12 β π32π13) β (π33π21 β π31π23)
π33 β (π33π22 β π32π23))
=(π33π11 β π31π13) β (π33π22 β π32π23) β (π33π12 β π32π13) β (π33π21 β π31π23)
π33 β (π33π22 β π32π23)
=(π33π11 β π31π13) β (π33π22 β π32π23) β (π33π12 β π32π13) β (π33π21 β π31π23)
π33(π33π22 β π32π23)
πΎ2π =
(π33π11π22 β π31π13π22 β π11π32π23) β (π33π12π21 β π32π13π21 β π12π31π23)
(π33 β π22 β π32 β π23)
(*) En esta ΓΊltima expresiΓ³n, se puede comprobar desarrollando el determinante (3x3) de la matriz
πΎ3 que el numerador es equivalente a este. Luego se tiene que:
πΎ2π =
det(πΎ3)
det(πΎ2)
donde: πΎ2 = π π’ππππ‘(π β 1, πΎπ) , con det(πΎ2) β 0
Luego, por inducciΓ³n se llega a:
πΎπβ1π =
πππ‘ (πΎπ)
πππ‘ (πΎπβ1)
Lo que es equivalente a:
πππ‘(πΎπ) = πΎπβ1π β πππ‘(πΎπβ1) RelaciΓ³n Fundamental (2)
8 | P Γ‘ g .
RelaciΓ³n Fundamental (3):
A partir de la RelaciΓ³n Fundamental (2) se tiene:
πππ‘(πΎπ) = πΎπβ1π β πππ‘(πΎπβ1)
πππ‘(πΎπβ1) = πΎπβ2
πβ πππ‘(πΎπβ2)
β¦
πππ‘(πΎ3) = πΎ2
πβ πππ‘(πΎ2)
πππ‘(πΎ2) = πΎ1
πβ πππ‘(πΎ1)
πππ‘(πΎ2) = πΎ1
πβ πΎ1
πΎ0
π= πΎ1
πππ‘(πΎ2) = πΎ1
πβ πΎ0
π
πππ‘(πΎ3) = πΎ2
πβ πΎ1
πβ πΎ0
π
β¦
πππ‘(πΎπ) = πΎπβ1π β πΎπβ2
πβ β¦β πΎ2
πβ πΎ1
πβ πΎ0
π con: πΎ0
π= πππ y πΎ1
π=
π1
πππ
det(πΎπ) = πΎπβ1π β βπΎπ
ππβ2
π=0
RelaciΓ³n Fundamental (3)
RelaciΓ³n Fundamental (4):
De la RelaciΓ³n Fundamental (3): det(πΎπ) = πΎπβ1π β β πΎπ
ππβ2π=0
πππ‘(πΎπ) = πΎπβ1π β πΎπβ2
πβ β¦β πΎ2
πβ πΎ1
πβ πΎ0
π
De la RelaciΓ³n Fundamental (1), ejemplificando para π = 5:
πΎππ =
πΎπβ
β ππβπβ1
π=0
con 1 β€ π β€ π β 1; ππβ β 0
πΎ1
π=
πΎ1
β
β ππβ0
π=0
=πΎ1
β
π0β =
π1
π55
πΎ2
π=
πΎ2
β
β ππβ1
π=0
=πΎ2
β
π0β β π1
β =π2
1
π55 β π1
9 | P Γ‘ g .
πΎ3
π=
πΎ3
β
β ππβ2
π=0
=πΎ3
β
π0β β π1
β β π2β =
π31
π55 β π1 β π21
πΎ4π =
πΎ4β
β ππβ3
π=0
=πΎ4
β
π0β β π1
β β π2β β π3
β =π4
1
π55 β π1 β π21 β π3
1
Uniendo todo en la expresiΓ³n del determinante, relaciΓ³n fundamental 3:
πππ‘(πΎπ) = πΎπβ1π β πΎπβ2
πβ β¦β πΎ2
πβ πΎ1
πβ πΎ0
π
πππ‘(πΎ5) = πΎ4π β πΎ3
πβ πΎ2
πβ πΎ1
πβ πΎ0
π
πππ‘(πΎ5) =π4
1
π55 β π1 β π21 β π3
1 βπ3
1
π55 β π1 β π21 β
π21
π55 β π1β
π1
π55β π55
πππ‘(πΎ5) =π4
1
π55 β π1 β π21 β
1
π55 β π1β
1
π55=
π41
(π55)3 β (π1)2 β π2
1 =πΎ4
β
(π0β)3 β (π1
β)2 β π2β
Generalizando para π:
πππ‘(πΎπ) =πΎπβ1
β
β (ππβ)πβ2βππβ3
π=0
Donde: π0β = πππ ; π1
β = π1 Con: π β₯ 3; ππβ β 0 RelaciΓ³n Fundamental (4)
RelaciΓ³n Fundamental (5): EmpΓrica, aΓΊn sin demostraciΓ³n.
πππ‘(πΎπ) =πππ‘(πΎπ
β)
β (ππβ)πβ2βππβ1
π=0
Con: 1 β€ π β€ π β 1; ππβ β 0 RelaciΓ³n Fundamental (5)
RelaciΓ³n Fundamental (6): EmpΓrica, aΓΊn sin demostraciΓ³n.
πππ‘(πΎπ) =ππβ1
β
β (ππβ)πβ2βππβ3
π=0
Con: 3 β€ π β€ π; ππβ β 0 πΎπ = π π’ππππ‘(π, πΎπ) RelaciΓ³n Fundamental (6)
10 | P Γ‘ g .
Ejemplos.
Sea πΎ5 =
[ 1 2 1 2 12 3 2 5 11 1 4 8 22 6 7 3 71 4 5 6 4]
πΎ1β = [
3 4 β1 27 8 3 142 β4 6 201 β4 β7 β30
] (π1β)22 = 8 = (4 β 3 β 4 β 1) (π1
β)33 = 6 = (4 β 4 β 5 β 2)
πΎ2β = [
β92 β112 44β224 β184 8β80 200 β40
] (π2β)33 = β40 = ((β30) β 6 β (β7) β 20)
πΎ3β = [
7200 β43209600 5760
] (π3β)12 = β4320 = ((β40) β (β112) β (200) β 44)
πΎ4β = [82944000]
det(πΎ5) = β36
det(πΎ1β) = β2304 β36 = β2304
43β Relac. Fundam. (5) [π = 5; π = 1]
det(πΎ2β) = β2073600 β36 = β2073600
(43 β (β30)2)β Relac. Fundam. (5) [π = 5; π = 2]
det(πΎ3β) = 82944000 β36 = 82944000
(43 β (β30)2 β (β40))β Relac. Fundam. (4) [π = 5]
π0β = π55 = 4 π1
β = (π1β)44 = β30 π2
β = (π2β)33 = β40
π3β = (π3
β)22 = 5760 π4β = (π4
β)11 = 82944000
οΏ½Μ οΏ½3 = [4 8 27 3 75 6 4
] det(οΏ½Μ οΏ½3) = β10 =π2
β
π0ββ = β40
4β Relac. Fundam. (6) [π = 3]
οΏ½Μ οΏ½4 = [
3 2 5 11 4 8 26 7 3 74 5 6 4
] det(οΏ½Μ οΏ½4) = β12 =π3
β
(π0β)
2βπ1
β=
5760
(4)2β(β30) Relac. Fundam. (6) [π = 4]
11 | P Γ‘ g .
RESUMEN DE EXPRESIONES EN PALABRAS
(1) La condensada del paso π (πΎππ) es igual a la condensada simple del paso π (πΎπ
β), dividida por la
multiplicatoria de las (π β 1) sub-condensadas simples principales, desde π = 0.
(2) El determinante de πΎπ es igual a su condensada mΓ‘xima (πΎπβ1π ), multiplicada por el
determinante de la submatriz de orden (π β 1).
(3) El determinante de πΎπ es igual a la multiplicaciΓ³n entre la condensada mΓ‘xima (πΎπβ1π ) y la
multiplicatoria de cada condensada mΓ‘xima de las (π β 2) submatrices de πΎπ (οΏ½Μ οΏ½ππ), desde π =
0.
(4) El determinante de πΎπ es igual a su condensada simple mΓ‘xima, dividida por la multiplicatoria
de las (π β 3) sub-condensadas simples principales (ππβ), elevadas cada una a la potencia
(π β 2 β π) segΓΊn su posiciΓ³n en la serie, desde π = 0.
(5) El determinante de πΎπ es igual al determinante de cualquiera de sus π-Γ©simas condensadas
simples (πΎπβ), dividido por la multiplicatoria de las (π β 1) sub-condensadas simples principales
(ππβ), elevadas cada una a la potencia (π β 2 β π) segΓΊn su posiciΓ³n en la serie, desde π = 0.
(6) El determinante de cualquier submatriz de πΎπ (οΏ½Μ οΏ½π) es igual a la (π β 1)-Γ©sima sub-condensada
simple principal (ππβ1β ), dividida por la multiplicatoria de las (π β 3) sub-condensadas simples
principales (ππβ), elevadas cada una a la potencia (π β 2 β π) segΓΊn su posiciΓ³n en la serie,
desde π = 0.
Personas y Trabajos Relacionados:
Este trabajo carece de referencias con excepciΓ³n de la indicada al comienzo, puesto que su
desarrollo se debiΓ³ a una interrogante personal derivada de una temΓ‘tica del Γ‘rea de la IngenierΓa
Estructural, sin mayor pretensiΓ³n ni formalidad. Posterior a la determinaciΓ³n de resultados se
procediΓ³ a recopilar informaciΓ³n para decidir sobre la relevancia de su publicaciΓ³n, los cuales se
resumen en el siguiente listado:
(1) RenΓ© Montante P., Ingeniero MecΓ‘nico y MatemΓ‘tico Mexicano, (1975).
(2) Erwin H. Bareiss, βSylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Eliminationβ,
(1968).
(3) Felice ChiΓ³, βMΓ©moire sur les fonctions connues sous le nom de rΓ©sultantes ou de
dΓ©terminantsβ, (1853).
(4) Charles Dodgson (Lewis Carrol), βCondensation of Determinants, being a new and brief Method
for computing their arithmetical valuesβ. Proceedings of the Royal Society of London. 15: 150β
155, (1866).
(5) Issai Schur, βUber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind [I]β. Journal
fiir die reine und angewandte Mathematik, 147, 205-232, (1917).
(6) James J. Sylvester, "On the relation between the minor determinants of linearly equivalent
quadratic functions". Philosophical Magazine. 1: 295β305, (1851).
(7) Carl Gustav Jacobi, "De Determinantibus functionalibusβ, Journal fΓΌr die reine und angewandte
Mathematik 22: 319-359, (1841).