p án chuyên đề: một số công thức lượng giác Đại số 10 filecos sin cos sin cos...

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Đáp án chuyên đề:

Một số công thức lượng giác - Đại số 10 Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được

2 2 2 2 22sin 1 cos sin

8 4 2 8 2

2 2 2 2 2 22 sin 1 cos 1 sin

16 8 2 16 2

1 tan tan11 1 33 4cot cot cot 2 312 12 3 4 3 1tan tan

3 4

Bài 6.27:a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04sin45 cos12 cos3 sin54 sin36 2sin45 cos15 cos9 2sin45 cos9

0 0 0 0 1 32sin 45 cos15 sin 30 sin60

2

b) C1:

0 0 0 00 0

0 0 0 0

2 sin 23 45 . 2 sin 22 45cos23 cos221 1 2

sin23 sin22 sin23 sin22B

C2: 0 0

0 0 0

0 0

cot22 cot23 11 cot45 cot 22 23 2

cot22 cot23B

c) 3 2 7 2 7

2cos cos cos cos cos 09 9 9 9 9

C

d)

32sin 2sin cos 2 sin sin sin 2sin cos

5 20 4 5 10 5 4 10 13

2cos 2 sin sin 2cos cos cos 2cos cos5 20 4 5 10 5 4 10

D

Bài 6.28: a) 2 6

cos cos cos cos sin sin12 3 4 3 4 3 4 4

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



Tương tự 6 2

sin , tan 2 3,cot 2 312 4 12 12

b) 4 4 2 2 2 2 2 6cos sin cos sin cos sin cos

24 24 24 24 24 24 12 4

c)

0 0 0 0

0 0

0 0

2 cos 36 cos72 cos 36 cos72cos 36 cos72

2 cos 36 cos72

2 0 2 0 0 0

0 0 0 0

2cos 36 2cos 72 cos72 cos144 1

22 cos 36 cos72 2 cos 36 cos72

d) 0 0 0 0 0 0 0 08sin20 sin10 sin50 sin70 8sin20 cos20 cos40 cos80

0 0 0 0 0 0 04 sin 40 cos 40 cos 80 2 sin 80 cos 80 sin160 sin20

0 0 0 1sin10 sin 50 sin 70

8

Bài 6.29: a) 2 20 0 0 0 0 0 0 01

cos73 cos 47 cos73 cos 47 2cos60 cos18 cos120 cos 362

A

0 01 cos 36 1 cos 36 3

2 4 2 4

b) 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

sin12 sin24 sin 48 sin96 1sin6 cos 48 cos24 cos12 . . .

162cos6 2 sin12 2 sin24 2cos 48B

c)

2 4 8sin sin sin4 2 17 7 7cos cos cos . .

7 7 7 2 4 82sin 2sin 2sin

7 7 7

C

d)

0 00 0

0 0

1 2 cos 80 cos601 4 sin70 sin102

sin10 sin10D

Bài 6.30: + Ta có 2 2 2 2sin sin cos cos m n




2 2 2 2 2 2

2 2

sin sin cos cos 2 sin sin 2cos cos

cos 12

m n

m n

+ 2 2 2 2 2 2cos cos sin sin cos2 cos2 2cosn m n m

2 2 2 22cos cos 2cos 2cos cos 1n m n m

Suy ra 2 2 2 2

2 2

2 22cos . cos

2

m n n mn m

m n

+ sin sin cos cos mn

sin cos sin cos sin cos sin cos

1sin2 sin2 sin sin cos sin

2

mn

mn mn

2 2

2 2

2sin sin

2

m n mnmn

m n

Bài 6.31: a) 1

32 b)

1

2 c)

1

2

Bài 6.32: a) 1

8 b)

3

8 c)

1

16 d)

1

32 e)

2

512

Bài 6.33:

0 0

0 0 0 0

0

2 cos 451 tan 1 tan 1 tan 45 2

cos

kk k k

k

Do đó 232A

Bài 6.34: Đặt sin sin2 sin 3 ...sin999B khi đó 9992 . sin2 sin 4 ...sin1998

(sin2 sin 4 ...sin998 ). sin 2 1002 ... sin 2 1998

AB

B

Suy ra 999

1

2A .

Bài 6.35: Vì 3

4x nên sin 0, cos 0x x .

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :




2 1 cos2 1 1sin sin

2 5 5

xx x

2 1 cos2 4 2cos cos

2 5 5

xx x

Bài 6.36: a) 21 140 21

; ; .221 221 220

b) (5 12 3)

26 c)

38 25 3

11

Bài 6.37: Từ giả thiết ta có3

2 cos cos sin sin cos cos tan2 tan

.

Khi đó ta có:2 2 2 2

2 2 2

2

911 tan 1 tan 1 tan 4 tan

92 tan 3 2 tan 3 2 tan 32 3

4 tan

A

2 2 2

2 2 2

1 tan 4 tan 9 10 tan 15 5

62 tan 3 6 2 tan 3 6 2 tan 3A

Bài 6.38: a) 2

2 2

2 tan 1 tansin2 cos2

1 tan 1 tanA m n m n

b) Áp dụng công thức cộng ta có

cos cos sin sin 1 tan tantan tan

cos cos sin sin 1 tan tan

m m n m

n n m n

c) tan tan

tan2 tan1 tan tan 1

m n

mn

Bài 6.39: Đặt tan2

t ta có 2

2 2

2 1sin ,cos

1 1

t t

t t từ giả thiết ta có

22

2 2

7 22 1 7

7 2 4 7 2 0 321 1 7 2

t t tt t

t t t

Do 04

nên 7 2

tan2 3

t .

Ta có 2 2015

tan tan 504 tan4 2 4 2 4




7 2tan tan 1 7 52 4 3

7 2 7 11 tan tan 12 4 3

Bài 6.40: a)

2 24

1 cos 41 2cos21 cos2 1 2cos2 cos 2 3 1 12sin cos2 cos 4

2 4 4 8 2 8

b) Theo câu a ta có:

3 1 3 5 7 1 3 5 74. cos cos cos cos cos cos cos cos

8 2 8 8 8 8 8 4 4 4 4VT

Mà 3 5 7 3 5 7

cos cos cos cos cos cos cos cos 08 8 8 8 4 4 4 4

nên 3

2VT VP

Bài 6.41: sin sin sin cos cos sinx x y y x y y x y y

sin cos cos sin 2 sin

cos 2 sin cos sin

sintan

cos 2

x y y x y y x y

y x y x y y

yx y

y

Bài 6.42: a) 2 24sin cos cos sin 2sin2 cos2 sin4VT VP

b) 2 sin cos sin cos

tan tan2cos cos

x y y xVP x y VT

x y

c) tan2 tan tan2 tan

tan 2 tan 21 tan2 .tan 1 tan2 .tan

x x x xVP x x x x VT

x x x x

Bài 6.44: a) ( )

21 cos 2cos 1cot

sin 2cos 1A

− + −= =

−

b) Vì 0 sin 0, cos 02 2

nên

2 21 1 1 1

cos cos sin sin2 2 2 2 2 2 2 2

B

= − = − = =




c) ( )

52cos sin2sin 4 sin 3 2sin 4 sin 2 sin 3 sin 2 52 2 cot

52sin 4 cos3 2sin 4 cos 2 cos3 cos 2 22sin sin

2 2

a aa a a a a a a

Ca aa a a a a a

− − − −= = = = −

+ −−

d)

2

22cos 2sin 2 sin2cos 4sin cos6

cos 2sin2cos 2cos

a aa a a

D a aa a

− − + = = = +

Bài 6.45: a) 2 tan tan( ) tan tan( ) tana a b a a b a

sintan

cos( )cos

ba

a b asin cos( ) sina a b b + =

b) sin 2

2 tan tan( ) 3 tan tan( ) tancos( )cos

a ba a b a a b a

a b a

( ) ( )3sin cos sin 2a a b a b + = +

Theo câu a) ta có sin sin .cos( )b a a b suy ra 3 sin sin(2 )b a b

c) tan( ).tan 3 sin sin 3cos cosa b b a b b a b b

( ) ( ) ( )

( )

cos cos sin sin 2cos cos

cos cos 2 cos

cos( 2 ) 2cos 0

a b b a b b a b b

a a b a

a b a

+ + + = − +

= − + +

+ + =

d) Từ giả thiết ta có ( ) ( )2 29sin cosa b a b+ = −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )2

1 cos 2 1 cos 29.

2 2

8 1 cos 2 cos 2 cos 2

16sin 2cos 2 cos 2

a b a b

a b a b a b

a b a b

− + + − =

− + = + + −

+ =

Hay ( )28sin cos2 cos2a b a b+ = . ĐPCM.

Bài 6.46: Ta có sin3 4sin .sin .sin3 3

, cos3 4cos .cos .cos3 3

Suy ra 2 4 1 3

sin sin sin sin9 9 9 4 3 8

= = ;

5 7 1 1 3cos cos cos cos3. cos

18 18 18 4 18 4 6 8

= = =

Bài 6.47: a) Ta có sin2

sin2 2 sin cos cos2 sin

xx x x x

x




b) Áp dụng câu a ta có

2 1

2

2 3

sin sin sinsin sin2 2 2cos cos ... cos . . ...

2 2 22sin 2sin 2sin 2sin 2 sin

2 2 2 2 2

n

nn

n n

x x xx x x x x

VT VPx x x x x

−

= = = =

Bài 6.48: a) cos sin cos cos sin sincos 12 2 2 2cot cot

2 sin sinsin sin sin sin sin

2 2 2

x x x xx xx x

VP x VPx x x x x

x x

b) Áp dụng câu a ta có

( ) ( )2 1 1cot cot cot cot 2 ... cot 2 cot 2 cot cot 22 2

n n nVT VP

− − − = − + − + + − = − =

Bài 6.49: a) 2 2 2 2cos cos2 cos cos2 cos 2cos 1 sin

2 tansin sin2 sin cos sin cos sin cos

x x x x x x xVP x VT

x x x x x x x x

b) Áp dụng câu a) ta có

2 2 1

1 1 1cot 2cot cot 2cot ... cot 2cot

2 2 22 2 2 2 2n n n

a a a a aVT a

1

.cot cot2 2n n

aa VP

Bài 6.50: 3

2

3 tan 3 tan3 tan tantan 3 tan .

1 3 tan 1 3 tan 1 3 tan

x xx xx x

x x x

3 tan 3 tan.tan . tan .tan .tan

3 31 3 tan 1 3 tan

x xx x x x

x x

5 1

10 2 5A

Bài 6.51: Ta có 0 0 00 0 0 0sin1 sin 1 sin 1 cos cos 1 sink k k k k k

000

00

sin1cot cot 1

sin sin 1k k

k k




Do đó 0 0 0

0 0 0 0 0 0

sin1 sin1 sin1...

sin1 sin2 sin2 sin3 sin( 1) sinn n

00 0 0 0 0cot1 cot2 cot2 cot3 ... cot 1 cotn n

Suy ra 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 1... cot1 cot

sin1 sin2 sin2 sin3 sin( 1) sinn

n n

Bài 6.52: 0 0 0 0 0 0 02sin2 .sin1 2 2sin4 .sin1 ... 89 2sin178 .sin1 90cos1

Vì 00 02sin2 sin1 cos 2 1 cos 2 1k k k nên

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

cos1 cos 3 2 cos 3 cos5 ... 89 cos177 cos179

cos1 cos 3 ... cos177 89cos179

cos1 cos 3 cos177 ... cos 89 cos91 89cos1

90cot1

VT

VP

Bài 6.53: tan 0

0cot 02

xx

x

Theo bất đẳng thức Côsi ta có tan cot 2 tan .cot 2x x x x+ = .

Bài 6.54: Ta có cos2 1 1 cos2 cos2 2 cos2B x x x x

Đặt 22 cos2 cos2 2t x x t , vì 1 cos2 1 1 3x t

Biểu thức trở thành 22B t t .

Xét hàm số 2 2y t t với 1 3t .

Bảng biến thiên

t 1 3

y 2

3 1

Từ bảng biến thiên suy ra max 2B khi 1t hay cos2 1x .




min 3 1A khi 3t hay cos2 1x .

Bài 6.55: Ta có:2 2 2 2

2 3sin cos 3cos sin 23 3sin .cos 3cos . sin 2 3

2 2

x x x xP x x x x

+ + += + + + =

Vậy: 3P

Bài 6.56: Ta có 2sin 2sin cos 2sin 1 cosP x x x x x

Suy ra 22 2 2 24 sin 1 cos sin 1 2cos cosP x x x x x

Ta có

2

21 1cos 0 cos cos

2 4x x x suy ra

2 2 2 2 21 3sin 1 2cos cos sin 3cos

2 2P x x x x x

Mặt khác theo bất đẳng thức

2

, ,2

x yxy x y R ta có

2

2 2

2 2 2 2

33 sin 3cos

5 1 3 1 2 27sin 3cos .3 sin 3cos .

4 3 2 3 2 16

x x

x x x x

Suy ra 3 3

4P .

Bài 6.57: Ta có 1 1 1

sin sin cos cos cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 2

A C A C A C A C A C

Vì cos sin2 2

A C B và cos 1

2

A C nên

1 1sin sin sin

2 2 2 2 2

A C B

Do đó 1

1 sin . sin2 2 2

B BP

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có




3

11 sin . sin 1 sin 1 sin 2 sin

2 2 2 2 22

1 sin 1 sin 2 sin1 1 8 2 32 2 23 27 92 2

B B B B B

B B B

Suy ra 1 2 3 3.

2 9 9P .

Dấu bằng xảy ra khi cos 1

2 1sin1 sin 2 sin 2 32 2

A C A C

BB B.

Vậy 3

max9

P .

Bài 6.58: c) VT = VP = tanA d) Khai triển cos2 2 2

A B C

e) Khai triển sin2 2 2

A B C.

Chú ý: Từ cos sin2 2 2

B C A cos .cos sin sin .sin

2 2 2 2 2

B C A B C

2sin .cos .cos sin sin .sin .sin2 2 2 2 2 2 2

A B C A A B C

Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C và BĐT Cô–si

d) Sử dụng 2 2 2a b c ab bc ca và tan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2

A B B C C A

e) Khai triển

2

tan tan tan2 2 2

A B C và sử dụng câu c)

Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

3 32 2 2 2 2 2(sin sin sin )(sin sin sin ) 3 sin sin sin .3 sin sin sinA B C A B C A B C A B C

hay 2 2 2(sin sin sin )(sin sin sin ) 9sin sin sinA B C A B C A B C




Mặt khác: 3 3

sin sin sin2

A B C nên

2 2 2 3 3(sin sin sin ) 9 sin sin sin

2A B C A B C

Mà theo ví dụ 1 thì 2 2 2sin sin sin 2(1 cos cos cos )A B C A B C

3 32(1 cos cos cos ) 9 sin sin sin

2A B C A B C

Do đó 1 cos cos cos 3 sin sin sinA B C A B C . ĐPCM

Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin2 sin2 sin2 4sin sin sinA B C A B C và 2 2 2cos2 cos2 cos2 3 2 sin sin sinA B C A B C

3 4(1 cos cos cos ) 1 4 cos cos cosA B C A B C

Do đó bất đẳng thức tương đương với

4 1 (cos2 cos2 cos2 ) 3(sin2 sin2 sin2 )A B C A B C

3 1 3 1 3 3( sin2 cos2 ) ( sin2 cos2 ) ( sin2 cos2 )

2 2 2 2 2 2A A B B C C

3cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )

3 3 3 2A B C (*)

Ta có 2 2 2 23 3 3

A B C A B C nên

2 , 2 , 23 3 3

A B C là ba góc của một tam giác do đó bất đẳng thức (*) đúng theo ví dụ 3

ĐPCM

Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với 2 2 2

2 2 21 (cos cos cos )1 3. (1 cos )(1 cos )(1 cos ) 0

2

A B CA B C (**)

áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

VT(**)

32 2 2 2 2 23 (cos cos cos ) 3 (cos cos cos )3.

2 3

A B C A B C

đặt 2 2 2cos cos cost A B C dễ thấy 3

34

t




VT(**)

33 3 1 1

3. (3 ) 3 02 3 2 3

t tt t vì từ điều kiện

33

4t

ta có 1 1 1 1 3

3 0, 3 3 02 3 2 3 4

t t ĐPCM

Cách 4: Đặt tan , tan , tan2 2 2

A B Cx y z

Bài toán trở thành : cho 1

, , 0

xy yz zx

x y z chứng minh:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 21 . . 3 . .

1 1 1 1 1 1

x y z x y z

x y z x y z (***)

Ta có : (4) 2 2 2 2 2 2(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) 8 3x y z x y z xyz

Khai triển rút gọn ta có:

(***) 2 2 2 2 2 2 1 4 3x y y z z x xyz

áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có

2 2 2 2 2 2 21 1( )

3 3x y y z z x xy yz zx

31

. .3 27

xy yz zxxyz xy yz zx

Nên 2 2 2 2 2 2 1 11 1 4 3. 4 3

3 27x y y z z x xyz

ĐPCM

Bài 6.71: Ta có sin sin 2 sin cos 2cos2 2 2

A B A B CA B

Tương tự 5

sin sin 5cos2 2

AB C ,

3sin sin 3cos

2 2

BC A

Cộng vế với vế ta được 2 sin 3 sin 4 sin 5cos 3cos cos2 2 2

A B CA B C

Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số 1 0a . Do đó để chứng minh ta chỉ

cần chứng minh: 0 . Ta có:

2' (cos cos ) 2(1 cos )B C A 2 2 24 cos .cos 4 sin2 2 2

B C B C A




2 2 2 24sin cos 1 4 sin .sin 02 2 2 2

A B C A B C.

Đẳng thức có sin 0

2 2coscos cos

B C B C

x Bx B C.

Bài 6.73: VT của bất đẳng thức là một tam thức có : sin( )

tan tancos .cos

B Ca B C

B C

2sin 2sin2cot 0

cos( ) cos( ) 1 cos 2

A A A

B C B C A (do ABC nhọn). Nên để chứng minh (1) ta

chỉ cần chứng minh ' 0 .

Ta có: ' 4 2 tan (tan tan ) 4 2 tan .cot 02 2 2

A A AB C

Đẳng thức xảy ra

cos( ) 1

2 1

tan tan tan

B C B C

x xB C B


p án chuyên đề: một số công thức lượng giác Đại số 10 filecos sin cos sin cos...

Documents