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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Fısica

Pauta Control No22do Semestre 2014

Mecanica de Fluidos

Problema 1 (50 ptos.)

La figura 1 muestra un estanque abierto con agua hasta una altura H. Se perfora un agujero muypequeno en una pared a una profundidad bajo la superficie del agua.

a) Encuentre la velocidad del lıquido en el agujero en funcion de los datos entregados.

b) Calcule el tiempo que se demora en salir toda el agua por el agujero.

c) ¿A que distancia R del pie de la pared tocara el piso el primer chorro que sale?

d) ¿A que distancia sobre la base del tanque deberıa hacerse un segundo agujero de manera que elprimer chorro que salga por el tenga el mismo alcance que el que calculo en c)?

Figura 1: Problema 1

SOLUCION:

a) Para poder encontrar la velocidad del lıquido en el agujero en funcion de los datos entregados,se debe plantear la ecuacion de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, tal como aparecen en la figura1.a., tomando como punto de referencua la base del estanque.

P1 + ρgH +1

2ρv21 = P2 + ρg(H − h) +

1

2ρv22

Fısica General III FIS-130 / 2014-2 1/ 12


Donde ρ es la densidad delagua. Pero tanto en el punto1 y 2, como el agua se encuen-tra en contacto con la Atmosfe-ra, ambos puntos presentan lamisma presion, que es la pre-sion atmosferica. Por otro la-do si como el agujero presen-ta una seccion mucho mas pe-quena que el area trnasversaldel estanque, se puede aproxi-mar v1 ≈ 0. Por lo que, reorde-nando la ecuacion de Bernoullianterior se obtiene la velocidadde salida en al punto 2 (v2) conlos datos entregados:

Figura 1.a.: Ecuacion de Bernoulli entre los puntos 1 y 2

ρgH = ρg(H − h) +1

2ρv22

ρgh =1

2ρv22

=⇒ v2 =√

2gh

b) Consideremos las areas Ae y Ao como las areas de las secciones transverales del estanque y delorificio respectivamente. Por otro lado el caudal de salida del estanque esta definido como:

Qs = Aov2

Por lo que si no entra caudal al sistema la variacion del volumen de este en funcion del tiempoqueda definida como:

dV

dt= −Qs (1)

En donde el volumen V total que sale por el orificio se define como:

V = Aeh =⇒ dV

dt= Ae

dh

dt(2)

Por lo que reemplazando igualando las ecuaciones 1 y 2 se obtiene:



Aedh

dt= −Qs

Ae · dh = −Ao · v2 · dt

−Ae

Ao· dh =

√2gh · dt

− Ae

Ao√

2g· dh√h

= dt

Integrando ambos en ambos lados, se obtendra el tiempo t que demora toda el agua en salir porel agujero (Cabe mencionar que el unico volumen de agua que puede sair del estanque es alquielque se encuentra sobre dicho agujero:

− Ae

Ao√

2g·∫ h

H

dh√h

=

∫ t

0dt

=⇒ t =Ae

Ao√

2g·[2(√H −√h)]

c) El movimiento que presenta el chorro de agua al salir por el orificio del estanque es del tipo pa-rabolico (lanzamiento de proyectil), en donde la componente horizontal de la velocidad no cambiacon el tiempo. La distancia R quedara determinada por el tiempo en que el agua permanece enel aire, denominado tiempo de vuelo tv.

El movimiento que vertical que experimenta el chorro de agua es de caida libre, por lo quetv queda determinado por este movimiento. Ocupando la funcion de posicion con respecto altiempo en el eje vertical (y) se tiene que al momento de llegar el chorro de agua al suelo:

y(tv) = 0 = yo −1

2gt2v

Donde yo = H − ho con ho la altura inicial del agua en el estanque medida desde el orificio.Entonces:

1

2gt2v = H − ho

=⇒ tv =

√2(H − ho)

g

Luego la distancia R inicial queda definifa como:

R = v′2tv



Donde v′s corresponde a la velocidad inicial del chorro, cuando el agua del estanque presnta unaaltura H. Por lo tanto:

R = 2 ·√ho(H − ho)

d) Este problema puede ser abordado desde dos puntos de vista

1. Ambos orificios funcionan en conjunto desde el instante inicial

Figura 1.d.1: Ambos orificios funcionando simultaneamente

Por el Teorema de Torricelli se obtiene que la velocidad de salida del flujo en el orificio 2sera de:

v2s =√

2g(H − h2)

Luego ocupando la funcion de posicion con respecto al tiempo en el eje vertical (y), el tiempode vuelo del chorro de agua inferior (t2v) es:

t2v =

√2h2g

Por lo tanto, al igual que el caso anterior, la distancia R alcanzada por el chorro de aguainferior es:

R = V2st2v = 2 ·√h2(H − h2)

Entonces igualando el valor de R obtenido en este caso con el caso c) se tiene:

2 ·√ho(H − ho) = 2 ·

√h2(H − h2)

ho(H − ho) = h2(H − h2)

=⇒ h2 = ho



2. El segundo orificio se hace una vez que se haya vaciado el agua contenida sobre el orificiosuperior

Figura 1.d.2: Solo el orificio inferior funcionando

En este caso utilizando el teorema de Toricelli, se tiene que la velocidad de salida del aguapor el orificio 2 es:

v2s =√

2g(H − ho − h2)

Luego el tiempo de vuelo t2v es exactamente el mismo que el calculado en la consideracion1:

t2v =

√2h2g

Entonces la distancia R alcanzada es:

R = V2st2v = 2 ·√h2(H − ho − h2)

Finalmente igualando el valor R obtenido en este caso con el caso c) se tiene:

2 ·√h2(H − ho − h2) = 2 ·

√ho(H − ho)

h2(H − ho − h2) = ho(H − ho)

0 = h22 − h2(H − ho) + ho(H − ho)

=⇒ h2 =(H − ho)±

√(H − ho)2 − 4ho(H − ho)

2

Reordenando la ultima exprecion obtenida se llega a:

h2 =(H − ho)

2±√

(H − ho)4

·√H − 5ho

Por lo tanto, h2 toma el valor de esta solucion deducida, si:



ho ≤H

5h2 ≤ H − hoh2 ≥ 0

PUNTAJE:

a) 2 ptos. : Ecuacion de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.3 ptos. : Exprecion de la velocidad de salida del chorro de agua v2.

b) 2 ptos. : Definicion de caudal de salida Qs

3 ptos. : Expresion de la variacion volumetria del agua dentro del estanquedV

dt5 ptos. : Expresion de dt2 ptos. : Definicion de los lımites de las integrales6 ptos. : Tiempo de vaciado hasta el nivel del agujero t.

c) 4 ptos. : Tiempo de Vuelo tv6 ptos. : Distancia R

d) Punto de vista 1

4 ptos. : Velocidad de salida del chorro de agua por el segundo agujero.4 ptos. : Tiempo de vuelo del segundo chorro de agua.8 ptos. : Altura al cual debe ubicarse el segundo orificio h2.

Punto de vista 2

3 ptos. : Velocidad de salida del chorro de agua por el segundo agujero.3 ptos. : Tiempo de vuelo del segundo chorro de agua.8 ptos. : Altura al cual debe ubicarse el segundo orificio h2.2 ptos. : Condiciones de validez de la solucion.



Problema 2 (50 ptos.)

Una cuerda anclada al fondo de un recipiente lleno de agua sostiene una esfera hueca bajo la superficie.La cuerda presenta un valor de traccion lımite, es decir, para una carga igual o superior X[N ], lacuerda se rompe (En condiciones iniciales la cuerda soporta perfectamente la tension generada enella). El volumen de la esfera es VE , su masa mE y su densidad ρE . Suponga que se adiciona sal(msal, ρsal, Vsal) al recipiente generando variaciones en la densidad del agua (homogenea a lo largo delrecipiente)

a) Hallar la expresion para la masa mınima de sal que se debe disolver en el agua para que lacuerda se corte.

Una vez que se corte la cuerda la esfera subira:

b) Encuentre el volumen de la esfera que quedara sumergido en agua cuando la esfera este comple-tamente en equilibrio.

c) Encuentre la frecuencia a pequenas oscilaciones cuando la esfera es ligeramente perturbada de suposicion de equilibrio (considere que el radio de la esfera es R).

Figura 2: Problema 2

SOLUCION:

a) Cuando se adiciona sal al sistema, la densidad promedio del fluido aumentara.

Considerando que el volumen de la sal Vs se mantiene constante, se define la densidad resul-tante ρo, despues que se agrega sal como:

ρo =Mtotal

Vtotal=Ms +Ma

Vs + Va



Donde Va es en volumen del agua contenido en el estanque.

Expresando la masa, en funcion de su densidad y volumen (M = ρV ), se tiene que la expre-sion de ρo queda de la siguiente forma:

ρo =ρs · Vs + ρa · Va

Vs + Va(3)

En esta expresion Vs tambien es desconocida por lo cual se debe encontrar otra ecuacion queencuentre esta incognita.

El problema solicita el valor de la masa mınima de sal para que la cuerda se rompa, ya queal modificar la densidad ρo (que aumenta), tambien aumentara el valor de la fuerza de empuje(E), por lo tanto la tension de la cuerda tiende a su valor maximo lımite X[N ]. Basado en estose tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Figura 2.a.: DLC de Esferasumergida atada la la cuerda

Donde:

E : Fuerza empujeMg : PesoT : Tension de la cuerda

Luego como el sistema esta en equilibrio se tiene:∑Fy = E − T −Mg = 0 (4)

Y se sabe que la fuerza empuje corresponde al peso del volumendesplazado del fluido del sistema:

E = ρo · g · VE

Y que el peso de la esfera esta dado por:

Mg = VE · ρE · g

Reemplazando la expresion del peso y el empuje en la ecuacion (4) se tiene:

ρo · g · VE − VE · ρE · g = T

En la rotura se cumple que T = X[N ], por lo que se tiene:

g · VE · (ρo − ρE) = X

Obteniendose ası:



ρo =X + (ρE · g · VE)

g · VE(5)

Igualando la ecuacion (3) con la ecuacion (5) se obtiene el volumen de la sal Vs:

ρs · Vs + ρa · VaVs + Va

=X + (ρE · g · VE)

g · VE

ρs · Vs + ρa · Va =

[X + (ρE · g · VE)

g · VE

](Vs + Va)

ρs · Vs −[X + (ρE · g · VE)

g · VE

]Vs =

[X + (ρE · g · VE)

g · VE

]Va − ρa · Va

Para facilitar el calculo, se realiza un cambio de variable:

λ =

[X + (ρE · g · VE)

g · VE

]Reemplazando λ en la ecuacion anterior:

ρsVs − λVs = λVa − ρaVa

=⇒ Vs = Vaλ− ρaρs − λ

De esta forma basta con usar la expresion M = ρV para obtener el valor de la masa.

Ms = Vsρs ⇐⇒Ms = Va

[λ− ρaρs − λ

]ρs

Entonces reemplazando λ se tiene:

Ms = Va

[X + (ρE · g · VE)

g · VE

]− ρa

ρs −[X + (ρE · g · VE)

g · VE

] ρs

Donde Va = H ·A− VE :

Ms = (H ·A− VE) · ρs

[X + (ρE · g · VE)

g · VE

]− ρa

ρs −[X + (ρE · g · VE)

g · VE

]

Reordenando los terminos se llega a:



Ms = (H ·A− VE) · ρs ·{X + (ρE · g · VE)− ρa · g · VEρs · g · VE − [X + (ρE · g · VE)]

}b) La densidad requerida por el estanque se encuentra dada por la ecuacion (5):

ρo = λ

En el equilibrio, las unicas fuerzas actuando sobre la esfera son el peso y la fuerza de empuje, porlo que se tiene:

Mg = E

Donde ahora E = ρo · g · Vsum con Vsum como el volumen de la esfera que queda sumergida.

Mg = ρo · g · Vsum

ρE · VE · g = λ · g · Vsum

=⇒ Vsum =ρEλ· VE

Reemplazando la expresion λ en la ultima ecuacion:

Vsum =ρE[

X + (ρE · g · VE)

g · VE

] · VE

=⇒ Vsum =ρE · g · V 2

E

X + (ρE · g · VE)

c) En este caso, la esfera presentara un movimiento oscilatorio, producto de una pequena perturba-cion que desvıa la esfera de su posicion de equilibrio provocando que la fuerza de empuje aumenteo disminuya segun en la posicion que se encuentre esta.

Definamos el siguiente sistema de referencia, que aparece en la figura 2.c., donde el sistema deejes X e Y tiene su origen en el centro de la esfera. En este caso el sistema inercial correspondea la esfera y el agua se mueve con respecto a esta.



Figura 2.c.: Sistema de referencia de la esfera en Movimiento

La ecuacion de movimiento queda definida como:

mx = E −mg

Para conocer el valor de la fuerza de empuje E debemos conocer el volumen sumergido de laesfera. Para ello se realiza el siguiente analisis:

La ecuacion de la circunferencia se define como x2 + y2 = R2 donde R es el radio. Luego sepuede despejar la variable y y obtener y2 = R2 − x2. Por otro lado consideremos cilındos devolumen dV , que presentan un radio igual a y y un espesor dx, tal como se observa en la figura2.c., por lo que la porcion de volumen que queda sumergida puede ser calculada como la sumade todos estos pequenos cilindros desde x = −R hasta x = x:

Vs =

∞∑i=1

= dvi =⇒∫ x

−Rπy2dx



∫ x

−Rπy2dx =

∫ x

−Rπ(R2 − x2)dx

= π

(R2x− x3

3+

2R3

3

)

=πR3

3

(3x

R− x3

R3+ 2

)Por lo tanto la ecuacion diferencial del movimento queda expresada como:

ρEVE x = ρ · g · πR3

3

(3x

R− x3

R3+ 2

)− ρEVEg

x− ρ · g · π ·R3

3ρEVE

(3x

R− x3

R3+ 2

)= −g (6)

La ecuacion (6) corresponde a la ecuacion diferencial del movimiento normalizada, de la cual sepuede obtener la frecuencia del movimiento, conociendo previamente las codiciones iniciales delproblema y expresando la ecuacion en funcion de la velocidad.

PUNTAJE:

a) 3 ptos. : Expresion de ρo con respecto a las masas Ms,Ma y los volumenes Vs, Va.2 ptos. : Diagrama de Cuerpo Libre.2 ptos. : Expresion del Empuje y de la masa de la esfera en funcion de sus dencidades y volumenes.5 ptos. : Expresion de ρo en funcion de los parametros conocidos.6 ptos. : Volumen de sal Vs necesario para la mezcla.9 ptos. : Masa de sal Ms necesaria para la mezcla.

b) 5 ptos. : Ecuacion de equilibrio8 ptos. : Volumen sumergido.

c) 5 ptos. : Volumen sumergido Vs en funcion de x.5 ptos. : Ecuacion Diferencial del Movimiento.


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