plan de estudioplan de estudio

8/18/2019 Plan de EstudioPlan de Estudio

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° Parte:

MATEMÁTICA I

Objetivos

En este curso el estudiante recibe una introduccion al calculo diferencial en una variable. Elobjetivo de este curso es que el estudiante:

Aprenda a manipular correctamente los nmeros! las funciones basicas " sus #r$ficas.Adquiera una buena base de #eometr%a anal$tica del plano.Aprenda a resolver inecuaciones " trabajar con apro&imaciones.Comprenda las nociones de l%mite " continuidad. Calcule l$mites. 'econo(ca puntos de discon)

tinuidad de una funci$n.Comprenda el concepto de derivada! su si#nificado #eometrico " f$sico " este en capacidad de

aplicarlo a la resolucion de problemas.Aprenda las re#las de derivaci$on " sepa derivar funciones polin$omicas! racionales!

e&ponenciales! lo#ar%tmicas! tri#onom*tricas " sus combinaciones " composiciones.Trace #r$ficos precisos de funciones! sabiendo precisar sus caracter%sticas usando l$mites " de)

rivadas.

Contenido

Tema 1: +os nmeros. ,umeros naturales! enteros! racionales! reales. -ropiedades b$sicas. Identificaci$n del

conjunto de los n$meros reales con la recta. 'elacion de orden. Intervalos.Tema : Curvas! formulas! funciones " #r$ficas.-ares ordenados " plano Cartesiano.Curvas que representan #ra$ficas de funciones. Estudio descriptivo. Manipulaciones

#eometricas con las curvas. Curva inversa " composicion de curvas./$ormulas " uso de la calculadora. Manipulaciones con fo$rmulas. /$ormulasinversas. 'elacion entre f$rmulas " curvas.

Tema 0: /unciones bsicas.Estudio " #ra$ficos de al#unas funciones:

i2 Identidad! cuadrado! ra$( cuadrada! potencial! ra%( enesima.ii2 3alor absoluto! parte entera.

iii2 E&ponencial " lo#ar%tmica! lo#aritmo neperiano " lo#aritmo en base 14! cambio de base.

iv2 /unciones polin$omicas " funciones racionales.Tri#onometr%a: c%rculo tri#onometrico! funciones tri#onometricas! an#ulos notables!formulas tri#onometricas basicas! funciones tri#onometricas inversas! representaci$n#r$fica.

'epresentaci$on #ra$fica de funciones que se pueden e&presar como suma! productoo inversa num$erica de las funciones b$asicas! en particular polinomios " al#unasfunciones racionales sencillas. Escala lo#ar$tmica " semilo#rar$tmica.

Estudio de la noci$on de ecuaci$on " su interpretaci$on en el cuadro funcional "#r$afico. /unciones definidas mediante formulas. 5ominio " ran#o de una funcion.

Tema 6: 7eometr%a anal%tica plana.


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Estudio de las rectas! par$bolas e 8iperbolas como familia de curvas. Interpretaci9n #eometricade los coeficientes estudio detallado del binomio de se#undo #rado2. 5istancia entre dos puntos del plano. Circunferencia. Elipse. 5istancia de un punto a una recta. Tema : Inecuaciones "apro&imaciones.

'esoluci9n de inecuaciones metodo #r$fico2. Calculo de soluciones de ecuaciones por

apro&imacion. Errores. Cifras si#nificativas.Tema ;: Composici9n de funciones.

Composicion de funciones. 'epresentacion #r$fica de funciones que se pueden e&presar comocomposici9n de funciones b9sicas. En particular considerar: asen(bx < c2! e&p=&2! e&p= kx), \f &2>! etc.Tema ?: +%mites.

+%mites. 5iscusi9n intuitiva. Interpretacion #r$fica del concepto de l%mite. +%mites laterales.+%mites infinitos " l%mites en el infinito. C9lculo de l%mites de funciones definidas medianteformulas. +%mites indeterminados sencillos.Tema @: 5erivadas.

5efinici9n de derivada " su interpretacion #eometrica " f%sica. 'e#las de derivacion " su justificacion. uma! resta! producto! cociente. 'e#la de la cadena " derivada de la funcion inversa.

Calculo de derivadas de funciones dadas por formulas.5erivadas de las funciones polino%micas! racionales! tri#onom%etricas! e&ponenciales "

lo#ar%tmicas.Bso de la derivada para 8allar la tan#ente a una curva en un punto dado.

Tema : Continuidad. ,oci9n de continuidad. Interpretacion #eometrica. 5istintos tipos de discontinuidades. Tema

14: Aplicaciones.Bso de los l%mites " la derivada para precisar aspectos de una curva. C9lculo de ma&imos "

m%nimos de una funcion. Tra(ado de #r$fico de funciones.Aplicaciones a problemas de Matematica! Diolo#%a! /%sica " u%mica.

Diblio#raf%aF1G Alson! -edro Métodos de graficación. Editorial Erro.FG Deminovioh, B. Problemas e!ercicios de "n#lisis Matem#tico. $ditorial Paraninfo.

F0GEdHards! C. . " -enne" 5. E. %eometréa "nalética &élc'lo. Editorial -rentice allispanoamericana.

F6G +eit8old! +. Mateméticas revias al &alc'lo. Editorial arla.FG Miranda! 7uillermo Matem#tica * +sica,. /ac. Ciencias. BC3.

F;GHoJoHsJ"! E. K. &alc'lo con %eometréa "nalética. 7rupo Editorial Iberoamericana.Comentarios

12 +a ltima parte del curso! que corresponde con introduccion al c9lculo diferencial " aplica)ciones! tiene un car$cter introductorio. Este tema sera estudiado con ma"or profundidad en elcurso de Matematica II.

2 +os librosCalculus de M. pivacJ editorial reverte2Calculus Volumen 1 de T. Apostol (editorial reverte) son excelentes, pero se

encuentran por encima del nivel de este curso. Sin embargo, es deseable

incentivar a los estudiantes para que comiencen a iniciarse en este tipo de

literatura.


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Álgebra IContenidos Mínimos: Números naturales. Inducción. Combinatoria. Polinomios.Númeroscomplejos. Vectores en el plano y el espacio. Ángulo entre vectores, distancia, norma,desigualdad de Cauchy-Schwartz. Producto escalar, vectorial y mixto. Ecuación de larecta y del plano. Cónicas y cuádricas. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices.Determinantes. Regla de Cramer. Métodos de escalonamiento (pivote, triangulación,Gauss, factorización LU).

Tema 1:Nocián intuitiva de conjunto: union, interseccián, complemento. Concepto de relacion:funciones, relaciones de equivalencia. Inducciáon.Tema 2:Sistemas de ecuaciones lineales y matrices sobre los námeros reales.i) Algebra de matrices. Propiedades de la matriz producto: una fila (columna)de la matriz AB, es una combinacion lineal de las filas (columnas) de la matriz BA.Multipli- caciáon de matrices por bloques.ii) Operaciones elementales por filas (por columnas). Matrices equivalentes por filas

(por columnas). Matriz escalonada reducida. Matrices elementales. Aplicaciones:a) Condicionesnecesarias y suficientes para que un sistema de ecuaciones linealestenga solucioán, en el caso homogáeneo condiciones para que el sistema tenga solucioándistinta de la trivial. Obtencioán de las soluciones.b) Inversion de matrices.c) Formanormal de una matriz. Rango de una matriz. Matrices semejantes yequivalentes.Tema 3:Espacios vectoriales de dimension finita sobre el cuerpo de los námeros reales. Sub-espacios. Suma directa. Independencia lineal, bases y dimensiáon. Espacio fila y espaciocolumna de una matriz, rango fila y rango columna. Base del espacio soluciáon del

sistema AX = 0. Relacion de equivalencia inducida por un subespacio. Espacio cociente.Tema 4:Transformaciones lineales. Matrices y transformaciones lineales. Transformacion lineal ycambio de base. Matriz asociada. Cambio de coordenadas. Nucleo de una transformacion.Isomorfismo de espacios vectoriales. Teorema fundamental del isomorfismo. Aplicaciáona los sistemas de ecuaciones lineales. Caálculo de autovalores y autovectores en R y R .


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Análisis Matemático IContenidos Mínimos: Funciones en R. Sucesiones. Límite, continuidad y derivadaen R.Aproximaciones de números reales. Teoremas del Valor Medio. Desarrollo en serie depotencias(Taylor); convergencia. Máximos y mínimos. Integral definida e indefinida. Técnicas deintegración. Aplicaciones geométricas y físicas (áreas, volúmenes, longitud de curvas).

ContenidoTema 1: +os n%meros reales.

A&iomas. -ropiedades de orden. upremo. Completitud. ,umerabilidad.Tema : Topolo#%a de la recta.

Intervalos. Conjuntos abiertos " cerrados. -untos de acumulacion. Teorema de Dol(ano)Keierstrass. Conjuntos compactos. Teorema de eine)Dorel. Conjuntos cone&os.Tema 0: ucesiones.

Conver#encia. ucesiones monotonas. ubsucesiones. +%mites superior e inferior de unasucesi9n. El n%mero e. ucesiones de Cauc8".Tema 6: +%mites " continuidad de funciones.

/unciones continuas en abiertos " cerrados. Condiciones necesarias " suficientes paracontinuidad. Continuidad " compacidad. Continuidad uniforme " el teorema de eine f continua sobre compacto implica f uniformemente continua 2. 5iscontinuidades. /uncionesmon%otonas.Tema : 5erivada.

5erivada de una funcion real. Condici9n de +ipsc8it(. Teorema del valor medio./unciones inversas. 5erivadas de orden superior " el teorema de Ta"lor.Tema ;: Inte#ral de 'iemann.

5efinici9n! funciones inte#rables! inte#rales superior e inferior! condicion de inte#rabili)dad de 'iemann! ejemplos de funciones no inte#rables. Teorema fundamental del Calculo!inte#racion por partes.Tema ?: eries numericas.

eries infinitas! conver#encia absoluta " condicional! reordenamiento. Multiplicacion de

series.Tema @: ucesiones " series de funciones.Conver#encia uniforme! relacion con continuidad! diferenciacion e inte#racion. Con)

ver#encia de series de funciones. Condiciones suficientes. Teorema de Keierstrass.Tema : Inte#rales impropias.

Inte#rales impropias del primer tipo. 3alor principal de Cauc8"! pruebas de conver#encia!inte#rales " series. Inte#rales impropias del se#undo tipo.Tema 14: eries de potencia.

Intervalos de conver#encia! derivadas. Teorema de Ta"lor. +a funcion e&ponencial " lasfunciones tri#onom%etricas. eries de /ourier.


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Diblio#raf%aF1G Apostol!T. Mathematical "nalsis. Addison)Kesle" -ublis8in# Compan". 1??2.

[2]Dru(ual! '. " 5om%n#ue(! M. &alc'lo diferencial en 'na variable. -ublicaciones del+aboratorio de /ormas en 7rupos! /acultad de Ciencias! BC3. 8ttp:LLeuler.ciens.ucv.veL labf# Elaborada para Analisis I2 4462.

Elementos de la matemática:Obetivos

Estudiar conceptos de #eometr%a plana: punto! recta! plano! $n#ulos! tri$n#ulos! circunferencias "sus propiedades fundamentales desarrollando al#unas demostraciones sencillas.

Manejar el concepto intuitivo de conjunto " las operaciones que involucran conjuntos! 8aciendoenfasis en los conjuntos numericos.

Estudiar las propiedades basicas del conjunto de los nmeros naturales! de los nmeros enteros! delos nmeros racionales! de los reales " de los complejos.

Contenido

Tema 1: ,ociones elementales de #eometr%a.'epaso de los conceptos basicos: punto! recta " plano. e#mento! semi)recta! an#ulo.

Con#ruencia de tri9n#ulos. Mediatri(! bisectri(! mediana " altura. Teorema de -ita#oras.'ectas paralelas.

Tema : Circunferencias.Circunferencia como lu#ar #eometrico. Arco " cuerda. An#ulo inscrito. Tan#ente.

Teorema del 9n#ulo central.Tema 0: Conjuntos.

5efinici9n intuitiva de conjunto. 5ia#ramas de 3enn. Operaciones basicas: union!interseccion! complemento! partes de un conjunto! diferencia de conjuntos " productocartesiano.

Tema 6: ,meros naturales.+os n9meros naturales. 5educci9n del principio de inducci9n a partir del principio del m%nimo

entero. Aplicaciones del principio de induccion. Concepto intuitivo de sucesion. Introducci9nde los n%meros combinatorios por su definicion combinatoria. Dinomio de ,eHton. Al#unas

demostraciones por induccion relacionadas con el binomio de ,eHton. Tema : ,merosenteros.

+os n%meros enteros. Al#oritmo de la division de los n%meros enteros. 5ivisibilidad.

,%meros primos. 5escomposici9n en factores primos. 5emostracion de la e&istencia de unainfinidad de n%meros primos. Ma&imo com%n divisor " m%nimo com%n m%ltiplo. 5emostracionde su e&istencia " manera de calcularlos. 5emostracion de que el ma&imo com%n divisor entre a " b es de la forma a& < b" para n%meros enteros & e ". Con#ruencias modulo n.-ropiedades. Bsar con#ruencias modulo n para obtener ciertos criterios de divisibilidad "e&presion de un entero en una base dada.

Tema ;: ,umeros racionales.5efinicion de n%mero racional. -ropiedades " operaciones. uma! resta! producto!

cociente " potenciaci9n de n%meros racionales. 5emostrar que no e&iste nin#%n n%meroracional cu"o cuadrado sea i#ual a .Tema ?: ,meros reales.

http://euler.ciens.ucv.ve/http://euler.ciens.ucv.ve/http://euler.ciens.ucv.ve/


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;

Introducci9n intuitiva del conjunto de los nmeros reales. 'elaci9n de orden en '. 3alor absoluto. Operaciones con nmeros reales: suma! resta! producto! divisi9n! potenciaci9n.'elaciones entre estas operaciones. ubconjuntos acotados de '. ,oci9n de supremo e %nfimo.A&ioma del supremo. 'epresentacion decimal de los nmeros reales " notacion cient%fica.Apro&imaci9n de un nmero real por un nmero racional! con errores por e&ceso " por defecto.

Tema @: ,meros complejos.Introduccion motivada de los nmeros complejos. 5efinicion formal de nmeros complejos.

'epresentaci9n #eometrica de los nmeros complejos. /orma polar o tri#onometrica de losnmeros complejos. Operaciones de suma! producto " cociente de nmeros complejos.Conju#ado " modulo de un nmero complejo. -otenciacion de nmeros complejos. /ormula de5e Moivre. 'a9ces de un nmero complejo " ra9ces de la unidad. Aplicaciones.

Diblio#raf%a

F1G Clemens! '. %eometra.FG /lores de C8ela! 5elia $lementos de la Matematica. 7u9as de la /acultad de Ciencias de la

B.C.3.! de venta en la 5ireccion de la Escuela de Matem9tica! /ac. Ciencias! B.C.3.2F0G 'ada! aulo "ritmética. CE,AMEC.F6G 'icabarra! Edit8 %eometra . 7u9as de la /acultad de Ciencias de la B.C.3.FG 'ivero! /rancisco -eora de los némeros. B.+.A.F;G 'odr%#ue(! osE $l "rte de &ontar. B.+.A.F?G pivaJ! Mic8ael &alc'l's. Editorial 'everte .A.

,ota: +os dos primeros temas no deben e&ceder las dos primeras semanas del curso.

2° Parte:

Matemática II.

obetivos

Este es un curso de calculo diferencial e inte#ral en una variable! al que el estudiante lle#a con una base de un primer curso de introduccion al calculo diferencial. +os conceptos " resultados de calculo

diferencial introducidos en Matematica I son tratados con ma"or ri#or " profundidad.El objetivo de este curso es que el estudiante:5omine las t$ecnicas de derivaci$on de funciones.Bse las tecnicas del calculo diferencial para calcular l%mites! tra(ar #r$ficos de funciones " resolver

problemas de ma&imos " m%nimos.Comprenda el concepto de sucesion " l%mite de sucesi$n! sea capa( de calcular el l%mite de una

amplia variedad de sucesiones.Entienda el enunciado del teorema de Ta"lor! est$e en capacidad de apro&imar funciones " estimar

el error. Bse el metodo de la tan#ente de ,eHton para apro&imar ceros de funciones.Aprenda a calcular la antiderivada primitiva2 de una amplia variedad de funciones.


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?

'esuelva ecuaciones diferenciales de primer orden! que se resuelven por inte#raci$on " comprendaal#unas aplicaciones elementales.

Comprenda el concepto de inte#ral definida " el teorema fundamental del c$alculo. Aplique last$ecnicas de c$alculo inte#ral para resolver una amplia variedad de problemas que inclu"en c$alculo devol$menes! lon#itud de arco! centro de #ravedad! etc.

Est$e en capacidad de apro&imar inte#rales definidas usando la re#la de los trapecios " la deimpson.

Contenido

Tema 1: Clculo diferencial en una variable.'epaso de los conceptos basicos del calculo diferencial.Teoremas del valor medio: 'olle! +a#ran#e " Cauc8". Interpretaci$n #eom*trica " apli)

caciones. /unciones crecientes " decrecientes. Criterio de la primera derivada. Ma&imos "m%nimos. Conve&idad. Criterio de la se#unda derivada tanto para conve&idad como parama&imos " m%nimos2. Aplicacion al tra(ado de #r$ficos de funciones. 'e#la de +Nopital.As%ntotas 8ori(ontales! verticales " obl%cuas. 7r$ficos de funciones. Aplicaciones de ma&imos

" m%nimos.Tema : ucesiones numericas.

Concepto de sucesion " ejemplos. +%mite de una sucesion. -ropiedades del l%mite.Calculo de l%mites de sucesiones.Tema 0: Teorema de Ta"lor " apro&imaciones.

/$ormula de Ta"lor con resto. Acotaci$on del resto " aplicaciones: C$alculo apro&imadode funciones " desi#ualdades. C$alculo de ceros de funciones: M$etodo de los intervalosencajados. Metodo de la tan#ente de ,eHton.

Tema 6: +a inte#ral indefinida.Inte#ral indefinida " metodos de inte#raci9n: Cambio de variables! inte#racion por partes!

inte#rales tri#onometricas! formulas de reduccion para las inte#rales de sen x " cos &!inte#racion de funciones racionales. +a sustitucion ( P tan >2. Inte#raci9n de al#unas funciones

irracionales.Tema : Ecuaciones diferenciales.

Aplicacion de los metodos de inte#racion para resolver ecuaciones diferenciales ordinariassencillas. Ecuaciones con variables separables. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones convariables separables "Q P f (x,) donde f es 8omo#enea de #rado cero! P a/010t ! etc.2. Ecuacionlineal de primer orden! ecuacion de Dernoulli. Aplicaciones: le" de enfriamiento de ,eHton!crecimiento de bacterias! desinte#racion radioactiva! crecimiento lo#%stico.Tema ;: +a inte#ral definida.

Area bajo el #r$fico de una funcion. Area como l%mite de una sucesion. Inte#ral de 'iemann.-rimitivas " teorema fundamental del c9lculo. 'e#la de DarroH. Teoremas del valor medio parainte#rales. Cambio de variables e inte#racion por partes para inte#rales definidas.Tema ?: C%lculo apro&imado de inte#rales.

C9lculo apro&imado de inte#rales definidas " estimacion del error. Apro&imacion de areas por rect9n#ulos! re#la de los trapecios " re#la de impson.Tema @: Aplicaciones del calculo inte#ral.

Calculo de areas de re#iones planas. +on#itud de arco de una curva dada en la forma P f &2.3olumen de un solido cuando se conoce el area de su secci9n transversal ejemplo: pir9mide2.3olumen de un s9lido de revolucion. Centro de #ravedad. Area de una superficie de revoluci9n.Inte#rales impropias en intervalos del tipo (a, ro2 " (2ro, a2.

Diblio#raf%aF1G Alson! -edro &alc'lo Basico. Editorial Erro.FG Batschelet, $. ntrod'ction to Mathematics for 3ife 1cientist. 1ringer 4erlag.


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@

F0G Deminovich, B. Problemas e!ercicios de "nalisis Matematico. $ditorial Paraninfo.F6G EdHards! C. . " -enne" 5. E. $c'aciones diferenciales elementales con alicaciones.

Editorial -rentice all ispanoamericana.FG EdHards! C. . " -enne" 5. E. %eometréa "naltica lc'lo. Editorial -rentice all

ispanoamericana.

F;G Miranda! 7uillermo Matemética * +ésica. /ac. Ciencias. BC3.F;G HoJoHsJ"! E. K. &alc'lo con %eometréa "nalética. 7rupo Editorial Iberoamericana.

Comentarios12 El estudiante lle#a a este curso con una pequeRa base de calculo diferencial! dada en el curso

de Matematica I.2 +os libros

Calculus de M. pivacJ editorial reverte2Calculus 3olumen 1 de T. Apostol editorial reverte2 se encuentran por encima del nivel de este

curso. in embar#o! es deseable incentivar a los estudiantes para que comiencen a iniciarse en estetipo de literatura.

!or limitaciones de tiempo, el pro"esor deber# escoger una de las aplicaciones

mencionadas en el Tema de $cuaciones %i"erenciales & desarrollarla con cierto

detalle. $s recomendable 'acer alguna mencin de las aplicaciones restantes.

Álgebra LinealContenidos Mínimos: Espacios vectoriales: grupos y cuerpos. Independencialineal. Transformaciones lineales. Autovalores y autovectores. Espacios propios ydiagonalización. Espacios con producto interno. Bases ortogonales y ortonormales(Gram-Schmidt). Proyección ortogonal. Transformaciones ortogonales: rotaciones yreflexiones. Formas bilineales y cuadráticas; diagonalización. Ley de inercia. Clasificaciónafín y euclídea de funciones cuadráticas. Cónicas y cuádricas.

Matemática DiscretaContenidos Mínimos: Lógica proposicional. Conjuntos. Relaciones. Númerosenteros. Funciones parte entera. Técnicas de suma. Congruencia. Introducción a lasestructuras algebraicas: monoide, semigrupo, grupo, cuerpos finitos, álgebras. Álgebralibre. Morfismos. Álgebrasde Boole. Elementos de estimación asintótica, complejidad.Sucesiones recurrentes. Funciones generadoras.

Análisis Matemático IIContenidos Mínimos: Funciones de varias variables reales; derivación ycontinuidad. Curvas y superficies de nivel. Derivada parcial y direccional. Fórmula deTaylor para campos escalares. Máximos y mínimos. Extremos condicionados. Integralesmúltiples. Funciones vectoriales.Curvatura. Integrales de línea y de superficie. Gradiente, Divergencia, Rotor y Flujo.Coordenadasesféricas y cilíndricas. Teoremas de Stokes y de Green. Introducción a las ecuaciones


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diferenciales ordinarias de primer y segundo orden.

Contenido

Tema 1: Topolo#%a de '.' como espacio metrico. Metricas. Ejemplos! bolas! esferas! di$metro. Conjuntosabiertos! vecindades. Conjuntos cerrados. Metricas equivalentes. Conjuntos densos.eparabilidad. Dases. +%mites. ucesiones de Cauc8". Completitud. Compacidad.Tema : Campos vectoriales.

/unciones de ' en ' m. +%mites " continuidad. Continuidad uniforme.Tema 0: C$lculo diferencial en varias variables.

5erivadas en '! derivadas parciales " derivadas direccionales! #radiente. /uncionescompuestas " la re#la de la cadena. Teorema del valor medio. Aplicaciones #eometricas! planos tan#entes. 5erivadas de orden superior. /$rmula de Ta"lor. E&tremos! multipli)cadores de +a#ran#e. Teoremas de la funcion impl%cita " de la funcion inversa.Tema 6: Inte#rales m$ltiples.

Inte#ral de 'iemann! condiciones de inte#rabilidad. Teorema de /ubini. Cambio devariable. Inte#rales impropias.Tema : Inte#rales de l%nea.

Curvas! curvas rectificables! parametri(aci$n. Independencia del camino! potenciales.Teorema de 7reen.

Aplicacio$n: 'esoluci$on de ecuaciones diferenciales e&actas " reducibles a ellas.Tema ;: Analisis vectorial.

/unciones de valores vectoriales. Campos. 7radiente! rotor! diver#encia " +aplaciano.uperficies! representaciones parametricas e impl%citas. Inte#rales de superficie. Teorema detoJes " teorema de 7auss.

Diblio#raf%aF1G Apostol!T. Mathematical "nalsis. Addison)Kesle" -ublis8in# Compan". 1??2.FG Dru(ual! '. " 5om%n#ue(! M. &ólc'lo diferencial en varias variables. -ublicaciones

del +aboratorio de /ormas en 7rupos! /acultad de Ciencias! BC3. 8ttp:LLeuler.ciens.ucv.veL labf#Elaborada para An$lisis II2. 4462.

F0G Dru(ual! '. " 5om%n#ue(! M. &ólc'lo integral en varias variables. -ublicaciones del+aboratorio de /ormas en 7rupos! /acultad de Ciencias! BC3. 8ttp:LLeuler.ciens.ucv.veL labf# Elaborada para An$lisis II2. 4462.

F6G Marsden! . " Tromba! A. &alc'lo 4ectorial /ondo Educativo Interamericano. Addison)Kesle".

FG -rotter! M. . and Morre"! C. D. " +irst &o'rse in 5eal "nalsis. Bnder#raduate Te&ts inMat8ematics. prin#er)3erla#. SII! 1??2.

F;G -rotter! M. . and Morre"! C. D. "nólisis Matemdtico. /ondo Educativo Interamericano1;2.

F?G 5'din, 6. Princiles of Mathematical "nalsis.1tromberg, 7. "n ntrod'ction to &lassical 5eal "nalsis.

F@G 6hite, ". 5eal "nalsis, "n ntrod'ction.[9]Killiamson! CroHell! Trotter. &alc'lo de +'nciones 4ectoriales. Editorial -renticeLall

Internacional. 1?02

04

http://euler.ciens.ucv.ve/http://euler.ciens.ucv.ve/http://euler.ciens.ucv.ve/http://euler.ciens.ucv.ve/http://euler.ciens.ucv.ve/


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Álgebra IIContenidos Mínimos: Transformaciones afines, movimientos, semejanzas.Diagonalización de matrices. Polinomio minimal y característico. Triangulación dematrices y forma normal de Jordan. Endomorfismos; subespacios invariantes.Descomposición primaria. Formas canónicas. Forma de Schmidt. Espacios con productointerno. Formas hermitianas; operadores positivos, adjuntos, autoadjuntos, unitarios;aplicaciones. Teorema espectral para operadores normales. Aplicaciones varias:sucesiones recurrentes, ecuaciones en diferencias, etc.

Contenido

Tema 1:Espacio dual. Dase dual. Anulador. 5oble dual.

Tema :+a funcion determinante. -ermutaciones " unicidad de la funci$n determinante. -ropiedades de

los determinantes.5eterminante de una transformacion lineal. +a matri( adjunta. 5eterminantes " sistemas de

ecuaciones. 'e#la de Cramer.Tema 0:

3alores propios. -olinomio caracter$stico. -olinomio minimal. Matrices dia#onali(a) bles.Matrices trian#ulables. ubespacios invariantes.

Operadores lineales nilpotentes. /orma canonica de ordan de un operador nilpotente. Teoremade la descomposici$on prima. /orma can$onica de ordan para un operador lineal sobre un espaciovectorial de dimension finita. Aplicaciones.Tema 6:

/ormas bilineales. /ormas bilineales sim$etricas. /ormas cuadr$aticas. 5ia#onali(aci$on dematrices simetricas. Teorema de "lvester. /ormas 8erm%ticas. 5ia#onali(acion de matrices

8erm%ticas.Tema :

Espacios con producto interno. -roceso de orto#onali(acion de 7ram)c8midt. Mejor apro&imaci$on. -ro"eccio$n orto#onal. Adjunto de un operador. Operadores autoadjun) tos. Teoremaespectral. Operadores orto#onales " unitarios. Teorema del eje principal. Clasificaci$on de lascu$adricas.

Diblio#raf%aF1G %re'b, 6. 3inear "lgebra.

o*man,+. & +une, -. "lgebra 3ineal. !rentice all nc.

Complementos de AnálisisContenidos Mínimos: Funciones trigonométricas: identidades, propiedadesanalíticas y geométricas. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teoremas de continuidad yderivada en R. Sucesiones de Cauchy. El número e; función exponencial y logaritmo.


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Criterios de convergencia de series numéricas. Sucesiones y series de funciones. Lema deAbel. Series de potencias. Teoremasde aproximación. Integrales impropias.

3° Parte:

Matematicas 3:

ObetivosEste es un curso b9sico de calculo! que contiene ecuaciones diferenciales de primer " se#undo

orden! sistemas lineales de dos ecuaciones diferenciales! series numericas! una introduccion al al#ebralineal " una introduccion al c9lculo diferencial e inte#ral en dos " tres variables.

El estudiante deber$:Aprender a resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden! as% como una amplia

variedad de ecuaciones diferenciales que se reducen a estas.Aprender a resolver ecuaciones lineales de se#undo orden con coeficientes constantes en una

variedad amplia de casos.

Aprender a resolver sistemas de dos ecuaciones diferenciales lineales.er capa( de aplicar los conocimientos adquiridos sobre ecuaciones diferenciales para modelar

situaciones que se presentan en /%sica! Diolo#%a " u%mica! tales como problemas de enfriamiento!desinte#racion radioactiva! problemas de movimiento! crecimiento de especies! etc.

Comprender el concepto de serie! dominar los criterios basicos de conver#encia para series determinos positivos. Entender " aplicar el criterio de +eibnit( para series alternadas.

Adquirir las nociones b9sicas de #eometr%a plana! del espacio " al#ebra lineal! necesarias paracomprender el calculo diferencial e inte#ral en dos " tres variables.

Comprender e interpretar desde el punto de vista f%sico los conceptos de curva " tra"ectoria! ser capa( de parametri(ar una amplia variedad de curvas! comprender e interpretar el concepto de inte#ralde l%nea. er capa( de calcular una amplia variedad de inte#rales de l%nea.

Comprender el concepto de campo escalar " los conceptos de l%mite " continuidad de campos

escalares.Entender el concepto de diferenciabilidad de un campo escalar! reconocer campos escalares di)

ferenciables! saber calcular derivadas parciales usando las re#las usuales de derivaci9n de funciones!saber aplicar la re#la de la cadena para la composicion de un campo escalar con una curva.

Interpretar #eometricamente el #radiente! saber 8allar el plano tan#ente a una superficie! resolver problemas de m9&imos " m%nimos en dos " tres variables sin restricciones " con restricciones.

Comprender los conceptos de inte#ral doble " triple de un campo escalar! saber colocar los l%mitesde inte#racion en re#iones no triviales! saber cambiar de coordenadas cartesianas a polares! cil%ndricas" esfericas. aber calcular areas! vol%menes! centros de masas! etc usando inte#rales dobles " triples.

Contenido


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1

Tema 1: Ecuaciones diferenciales.Ecuaciones diferenciales de primer orden. 'evision de los metodos "a estudiados en

Matematica II. Ecuaciones con variables separables " reducibles a estas.Aplicaciones de la ecuaci9n diferencial de primer orden: Crecimiento de poblaciones

e&ponencial! lo#%stico! limitado2. Epidemias. 5esinte#racion radioactiva. Enfriamiento.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden con coeficientes constantes. olucion #e)neral de la ecuacion 8omo#enea. oluci9n #eneral de la ecuacion a < b < c P f &2 en loscasos en que f es un polinomio! f &2 P a x " f &2 P fc1sen x < k 8 cos x. Aplicaciones: Ca9dalibre! equilibrio de poblaciones! ca9da libre en un medio resistente.

istemas de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Aplicaci9n: competenciaentre especies.

Tema : eries numericas.eries: 5efinicion " ejemplos. Criterios de conver#encia para series de terminos positivos:

comparaci9n! l9mites! ra9(! ra(on! inte#ral. eries alternadas: criterio de +eibnit(./ormula de tirlin# " producto de Kallis.

Tema 0: ,ociones de #eometr%a plana! del espacio " l#ebra lineal.ubconjuntos de ' " ' 0. 3ectores. -roducto escalar " vectorial. Ecuaci9n parametrica de la

recta. 'epresentacion de subconjuntos definidos mediante ecuaciones " desi#ualdades sencillas.uperficies en ' 0: plano! esfera! elipsoide! cilindro! cono! paraboloide! 8iperboloide. Dolas abiertas " bolas cerradas en ' " ' 0. Idea de abierto! cerrado " frontera.

5istintos sistemas de coordenadas en ' " en ' 0: polares! cilindricas " esfericas. Transformaci9nde coordenadas. -arametri(acion de subconjuntos de ' " de ' 0 en estas coordenadas.

Concepto de transformaci9n lineal considerar los casos - : ' ' m! con n,m 9 02. Concepto de base. Matrices. Matri( asociada a una transformacion lineal. -roducto de matrices. Inversa de unamatri(. Autovectores " autovalores. 5eterminantes & " 0 & 0. 5ia#onali(aci9n de matrices.istemas de Ecuaciones +ineales.

Tema 6: Curvas en el plano " en el espacio./unciones de ' en ' " de ' en ' 0. Ejemplos " motivacion: movimiento circular uniforme!

parabolico! etc. 3ector tan#ente a una curva en terminos de las funciones coordenadas. 'ecta

tan#ente a una curva en terminos del vector tan#ente a dic8a curva. 'e) parametri(aci9n " lon#itudde arco. Tra"ectoria " forma de la tra"ectoria de una part9cula en movimiento. Interpretar lareparametri(acion de una curva como una forma de movimiento a lo lar#o de esa curva2. Inte#ralesde l9nea. Interpretaci9n como trabajo mecanico.

Tema : Campos escalares./unciones de ' en ' " de ' 0 en ' tales como f (x < "2! f &"2! f & < "2! f (x:), donde f es

identidad! seno! coseno! ln2. 5ominio " ran#o de funciones de ' en ' " de ' 0 en '. 7ra9fico "representacio9n #r9afica de funciones de ' en '. Curvas " superficies de nivel. +9mite a lo lar#o deuna curva de una funcion de ' en '. Introduccion al concepto de l9mite en un punto a traves delconcepto de l9mite a lo lar#o de una curva. ,oci9n de continuidad. +9mites iterados.5iferenciabilidad de un campo escalar en un punto. 5erivadas parciales " direccionales. Conceptode #radiente. Condicion suficiente de diferenciabilidad. 'e#la de la cadena para la composici9on de

un campo escalar con una aplicaci9n de ' en '

" de ' en ' 0

. 5iferenciacion de funciones definidasen froma impl%cita.

Tema ;: 7radiente de un campo escalar " aplicaciones! m&imos " m%nimos.Interpretaci9on #eom9etrica del #radiente: 5irecci9on de m9a&imo crecimiento para una

funci9n de ' en '. -lano tan#ente a una superficie dada en la forma: a2 +(x,,;) P 4 " b2 ( P f (x,). Ecuacion del plano tan#ente en cada uno de estos casos en terminos de las derivadas parcialesde + " f .

Ma&imos " m9nimos. 5esarrollo de Ta"lor " criterio del essiano en dos variables. M9etodo delos multiplicadores de +a#ran#e.

Tema ?: Inte#rales dobles " triples.

4


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Inte#rales dobles " triples de funciones sencillas! 8aciendo enfasis en la determinacion de losl%mites de inte#raci9n en re#iones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a polares!cil%ndricas " esfericas. Aplicaci9n a c9lculo de areas! vol%menes! centros de masa! etc. Calculo de L4


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Contenidos Mínimos: Espacios métricos. Sucesiones en espacios métricos.Espacios métricoscompletos y compactos. Homeomorfismos. Contracciones. Teorema del punto fijo.Completamientode un espacio métrico. Sucesiones de funciones. Espacios de funciones. Teorema de

Dini. Álgebra de funciones. Teorema de Ascoli. Diferenciación en R n . Jacobianos. Regladela cadena. Teorema del valor medio. Teorema de Taylor. Teorema de la función implícita.Teorema de la función abierta .

ContenidoTema 1:

Teor%a de conjuntos. Al#ebras de Doole. ,ociones de numerabilidad " orden. Cardinales.+ema de Vorn.Tema :

Espacios topolo#icos. Conjuntos abiertos. -untos de acumulacion. Conjuntos cerrados.

Interior! e&terior! frontera. /unciones continuas. Dases " subbases. Operadores de clausura einterior. 5ensidad " a&iomas de numerabilidad. Espacios separables. Topolo#%a producto "cociente. Ejemplos. Topolo#%a relativa.Tema 0:

Espacios metricos. 5istancia entre conjuntos! diametros! esferas abiertas. Metricasequivalentes. Conver#encia de sucesiones " continuidad de funciones en espacios metricos.Completitud. Completacion de espacios metricos.Tema 6:

A&iomas de separaci9n. Espacios de ausdorff. Espacios re#ulares " normales. Teoremasde Br"so8n " Tiet(e.Tema :

Espacios topolo#icos cone&os. Componentes cone&as. Cone&idad local.

Tema ;:Espacios compactos. -ropiedades. -ropiedades de las funciones continuas en compactos.

Teorema de Tijonov sin demostracion2. Compacidad en espacios metricos. +ema de+ebes#ue.Tema ?:

7rupos topolo#icos. ub#rupos cerrados. Compacidad " cone&idad de #rupos to) polo%#icos. Ejemplos.Tema @:

Espacios de funciones. Conver#encia uniforme. Espacio de funciones continuas en =a,b>.Teorema de apro&imacion de Keierstrass.

Observacio%n. i el tiempo lo permite se podra%n incluir los si#uientes resultados: teorema deAr(ela para las funciones continuas en F4 , 1G " teorema de cate#or%a de Daire.

Diblio#raf%aF1G &hevalle, 7. -oological gro's.

FG C8inn and teenrod. +irst concets of toolog. T8e Mat8ematical Association of America!1;;.

F0G C8oquet! 7. -oologa. Tora" ) Masson.F6G 5u#undji! . -oolog. All"n ) Dacon.FG Uelle"! . %eneral -oolog. 3an ,ostrand! 1.

F;G ?olmogorov, @. and +omin $lementos de la teora de f'nciones del analisis f'ncional. $ditorial M5, Mosc,


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1

Brace and 6orld.

F?G -atterson. -oologia. Editorial 5ossat! 1;1.[8]1immons. ntrod'ction to toolog and modern analsis. Mc %raE*7ill,


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1;

densidades mar#inales. C9lculo de valores esperados " distribuciones de funciones de variablesaleatorias. 5istribucion condicional de una variable aleatoria dados los valores de otra variablealeatoria: casos de variables aleatorias discretas " con densidad conjunta. 5ensidad condicional.3alores esperados condicionales.Tema :

Independencia de eventos " variables aleatorias. Ejemplos. 3alor esperado de productos devariables aleatorias independientes. 5istribuciones " valores esperados de funciones de variablesaleatorias independientes. Convolucion! caso discreto. Convolucion de densidades. Convoluci9n defunciones de distribucion. /uncion #eneratri(. Transformada de /ourier " +aplace de distribuciones.'elacion con la independencia. Aplicaciones: calculo de distribuciones de funciones de variablesaleatorias.Tema ;:

+e" de los #randes n%meros " teorema central del l%mite. i#nificado e importancia. Teorema deTc8eb"s8ev. +e" debil de los #randes n%meros de Tc8eb"s8ev. Aplicaciones. Enunciado del teoremacentral del l%mite. 5emostracion para el caso de variables aleatorias Dernoull" Teorema de 5eMoivre)+aplace2. 5emostraci9n de la le" fuerte de #randes n%meros para variables Dernoull"!utili(ando el teorema de 5e Moivre)+aplace.

Diblio#raf%aF1G &h'ng, ?. 3. $lementar robabilit theor Eith stochastic rocesses.FG Mendenhall, 1cheaffer, 6aderl Mathematical statistics Eith alications.

&larke, 3.$. -andom variables.

Ec!aciones Di#erenciales IContenidos Mínimos: Ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de primer

orden. Ecuaciones de variables separables. Ecuaciones exactas. Ecuaciones homogéneas.Teorema de existencia y unicidad. Ecuaciones lineales de segundo orden. Ecuaciónhomogénea con coeficientes constantes. El problema de la inhomogeneidad. Solucionesde ecuaciones lineales de segundo orden con series de potencias. Aplicaciones.

Tema 1: Ecuaciones diferenciales de primer orden.Introduccion. Ecuaciones con variables separables " reducibles a estas.Ecuaciones diferenciales e&actas " factor inte#rante. Ecuaci$n lineal de primer orden. Ecuacion

de Dernoulli. Aplicaciones.Tema : Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

Ecuaciones 8omo#$eneas con coeficientes constantes. -olinomio caracter$stico " bases desoluciones. +a ecuacion no 8omo#enea con coeficientes constantes.

Ecuaciones con coeficientes variables. Metodo de variacion de los par$metros. Aplicaciones.

Tema 0: Transformada de +aplace.5efinici$n " ejemplos. Transformada inversa. -ropiedades " aplicaciones a ecuaciones de orden

superior.+a funcion de eaviside " la delta de 5irac.

Tema 6: 'esoluci$n mediante series.M$etodo de los coeficientes indeterminados. Ecuaci$on de Euler. -untos sin#ulares re#ulares.

Ecuaciones de +e#endre! Dessel " ermite. El m$etodo de /robenius. -ropiedades de los polinomiosde +e#endre " las funciones de Dessel.Tema : Introducci$n a la teor%a #eneral de E.5.O.

Teorema de e&istencia " unicidad demostracion mediante el metodo de las poli#onales de


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1?

Euler2. Enunciado de los teoremas de dependencia continua de las soluciones de los datos inicialessin demostracion2. Ejemplos " aplicaciones.Tema ;: istemas lineales.

Matri( fundamental. 'epresentacion inte#ral de las soluciones. /ormula de Cauc8". istemaconju#ado. Matri( fundamental para sistemas con coeficientes constantes v$a transformada de

+aplace " e&ponencial de una matri(.Tema ?: Introduccion a la teor%a de estabilidad.

Concepto de estabilidad. Aplicaciones. Metodo de 'out8 urHit(..

Diblio#raf%a

F1G A#uilera! . " +i(ana! M. $st'dio c'alitativo de las $.D.H. /acultad de Ciencias! B.C.3.FG BroEn, M. " brief co'rse in ordinar differential eI'ations Eith alications. $ditorial "aa.

F0G +'entes, Ma &. $c'aciones diferenciales ordinarias.F6G 5oss, 1. 3. ntrod'cción a las ec'aciones diferenciales ordinarias. $ditorial "aa.FG Jill, D. %. " first co'rse in differential eI'ations Eith alications. $ditorial "aa.

4° Parte:

Álgebra IIIContenidos Mínimos: Operaciones binarias internas. Grupos: propiedades yejemplos. Subgrupos. Grupos cíclicos. Teoremas de Lagrange, Euler, Fermat.Homomorfismos de grupos; núcleo e imagen. Subgrupos normales. Grupo cociente.

Teoremas de isomorfismo. Grupo de permutaciones. Teorema de Cayley. Productosdirectos. Subgrupos de Sylow. Teorema de estructurapara grupos abelianos finitamente generados. Anillos. Subanillos. Ideales. Morfismos.Anillos cocientes. Dominios. Anillos de división. Dominios euclideanos, de factorizaciónúnica y principales. Característica de un anillo. Cuerpos. Cuerpo de fracciones de undominio de integridad. Factorización de polinomios sobre un cuerpo. Extensiones decuerpos; extensiones algebraicas y trascendentes. Números algebraicos.

Contenido

Tema 1:

El conjunto V de los n%meros enteros. 5ivisibilidad. ,%meros primos. M.C.5. Al#oritmo deEuclides. M.C.M. Teorema /undamental de la Aritmetica. 'elaci$n de equivalencia m$odulo n.Conjunto cociente.Tema :

7rupos. ub#rupos. Orden. 7rupos c%clicos. ub#rupo normal " #rupo cociente. Con#ruencia.omomorfismos. Automorfismos internos. 'epresentaci$n de #rupos finitos por permutaciones "matrices. El 7rupo simetrico.Tema 0:

Anillos. Clases especiales de anillos. Ideales " anillos cociente. omomorfismos. +oca)li(acion. Cuerpo de fracciones. 5ominios Eucl%deos! de ideales principales! de factori(acion u$nica.


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1@

Tema 6:Anillos de polinomios. El anillo de polinomios ? F&G! ? un cuerpo. Aritmetica de ? F&G. Ideales de

? F&G. -olinomios en varias variables.Tema :

Cuerpos. E&tensiones al#ebraicas " transcendentes. Cuerpo de factori(acion de un polinomio.

Tema ;:Cuerpos finitos. Estructura de los cuerpos finitos.

Tema ?:Construcciones con re#la " comp$s. +a duplicacion del cubo. Triseccion de un an#ulo

Diblio#raf%a

F1G +raleigh, @. " first &o'rse in "bstract.FG erstein! I.,. "lgebra Moderna.F0G @acobson, K. 3ect'res in "bstract "lgebra. 4.


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1

rotaciones de la esfera! 8omo#raf$as que dejan invariante la circunferencia unitaria. 5istancia8iperb$olica. Modelo de -oincar$e de la #eometr$a 8iperb$olica.Tema 6: eries de potencias.

'adio de conver#encia. /unciones definidas mediante series de potencias. Teorema de ladiferenciacion termino a termino. 5esarrollo en serie de Ta"lor. Teorema de identidad de series de

potencias. -roducto de series. Composicion de series. Inversa de una serie.Tema : +a funci%n e&ponencial.+a funci$n e&ponencial ima#inaria. ,ocion precisa de an#ulo. +as funciones lo#aritmo " ; a.

5istintas determinaciones. /unciones tri#onometricas. ,ociones elementales de superficies de'iemann.Tema ;: Inte#racion compleja.

5efinici$n de inte#ral compleja. Invariancia con respecto a la parametri(acion de la curva.Inte#ral con respecto a la lon#itud de arco. Inte#rales dependientes del camino de inte#racion.Teorema de Cauc8" para un recr$n#ulo. Teorema de Cauc8" para un c%rculo. Teorema de Morera. +afuncion %ndice. Continuidad. +a formula inte#ral de Cauc8". Inte#rales del tipo de Cauc8". 5erivadasde orden superior. Conver#encia uniforme de funciones anal%ticas. 5esarrollo en serie de Ta"lor.5esi#ualdad de Cauc8". Teorema de +iouville. -rincipio del m$a&imo. +ema de c8Har(.

Tema ?: 3ersion 8omol%#ica del teorema de Cauc8".Cadenas " ciclos. Inte#racion sobre cadenas. Cone&idad simple. /unciones anal%ticas definidas por inte#rales que dependen de un par$metro. 3ersi$n 8omolo#ica del teorema " de la formulainte#ral de Cauc8" prueba de 5i&on2. Teorema de Cauc8" para dominios simplemente cone&os.Tema @: 5esarrollo en serie de +aurent.

5eterminaciones del lo#aritmo. M$odulos de periodicidad. 5esarrollo en serie de +aurentfunciones anal%ticas en un anillo2. in#ularidades aisladas. Teorema de Keierstrass sobre elcomportamiento de funciones anal%ticas en un entorno de una sin#ularidad esencial.Tema : Teorema de los residuos. El principio del ar#umento. Teorema de la aplicaci9n abierta.Teorema de 'ouc8e. Evaluaci9n de inte#rales por el metodo de los residuos.

Diblio#raf%aF1G A8lfors! +. &omlex "nalsis. Mc7raH)ill. 1;;2.

FG C8urc8ill " DroHn. 4ariable comle!a alicaciones. Mc7raH)ill. 12.F0G ConHa"! . +'nctions of one comlex variable. prin#er 3erla#. 1?02.F6G 7a'ser. 4ariable comle!a.

FG ?rasnov. +'nciones de variable comle!a, c#lc'lo oeracional teora de la estabilidad. $ditorial 5evert e. (


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4

Contenido

Tema l: 7eneralidades " conceptos previos.+%mite superior e inferior de sucesiones de n%meros. /unciones " familias de conjuntos. /uncion

indicatri( o indicador de un conjunto. -ropiedades. Clases de subconjuntos de un conjunto dado:

semi)anillo! semi)%l#ebra! a)%l#ebra! a)%nillo! clase monotona. +a a) al#ebra de Dorel en ' " ' n!diversas familias de #eneradores. /unciones definidas en clases de subconjuntos. 5efinicion demedida. -ropiedades. Ejemplos sencillos: medida de contar en ,! medidas de probabilidad enconjuntos discretos! etc. Teorema de la clase monotona. El conjunto " la funcion de Cantor.

Tema : +a medida de +ebes#ue en '.Construccion de la medida de +ebes#ue a partir de la funcion lon#itud de un intervalo. Medida

e&terior de +ebes#ue. +as a)%l#ebras de Dorel " +ebes#ue. Bnicidad de la medida de +ebes#ueusando teorema de la clase monotona2. -ropiedades de la medida de +ebes#ue: re#ularidad!diversos tipos de apro&imaciones! invariancia por traslaciones. Medida de +ebes#ue del conjunto deCantor. Ejemplo de conjunto no medible. +as medidas de tieltjes en '! propiedades. Medidasasociadas a funciones continuas " discontinuas.

Tema : /unciones medibles.

/unciones medibles de ' en '. 5iversas caracteri(aciones. -ropiedades! ejemplos! /uncionessimples. /unciones en escalera. Apro&imaciones de funciones medibles por funciones simples " por funciones en escalera. /unciones continuas.

Tema 6: +a Inte#ral de +ebes#ue en '.'epaso de la inte#ral de 'iemann. Caracteri(acio%n de funciones inte#rables de 'ie) mann.

Inte#ral de +ebes#ue de funciones simples! medibles positivas " medibles. Teoremas de intercambiode l%mites con inte#rales: teorema de la conver#encia monotona. +ema de /atou. Teorema de laconver#encia dominada. Ejemplos " aplicaciones. Teoremas de apro&imacion de funcionesinte#rables por simples! en escalera " continuas. Intercambio de derivadas con inte#rales.Comparacion entre las inte#rales de 'iemann " +ebes#ue. Inte#rales impropias de 'iemann einte#ral de +ebes#ue. Inte#racion con respecto a medidas de tieltjes. Ejemplos.

Tema : 5iferenciaci9n e Inte#raci%n.5iferenciacion de funciones monotonas. /unciones de variaci9n acotada. 5iferen) ciacion de la

inte#ral indefinida. Continuidad absoluta. /ormulas de cambio de variable e inte#racion por partes.Tema 7: Medida e inte#racion de +ebes#ue en ' n.

' n como espacio producto! a)%l#ebra de Dorel en ' n. /unciones medibles f : ' n L '. ecciones deconjuntos " funciones medibles. Medida de +ebes#ue en ' n. Construcion a partir de la nocion devolumen. Teoremas de /ubini " Tonelli.

Tema ?: 5iversos Tipos de Conver#encia " Espacios 3 .Conver#encia puntual en casi todas partes! uniforme " casi uniforme. Conver#enia en medida.

+os espacios 3 P (5n ) " i (3 en , con medida de contar2. 5esi#ualdades de older " MinJosHs8i.Conver#encia en norma p. 'elacion entre los diversos tipos de conver#encia.

Tema @: Introducci%n a la inte#racion en espacios #enerales.

i el tiempo lo permite2 /unciones reales medibles en un espacio /, + 2. Inte#ral conrespecto a una medida n en (/,+ 2. Teoremas de conver#encia: conver#encia monotona. +emade /atou. Conver#encia dominada. Medidas si#nadas. Teoremas de descomposicion de a8n)ordan. Teorema de 'ad$on) ,iJod"m.

Observaciones: A%n cuando el curso se centre en la medida e inte#ral de +ebes#ue en ' " '! lainclusi$n de al#unas definiciones de tipo #eneral en el Tema 1! permitir$ incluir en el curso el estudio deotras medidas! tales como las de tieltjes en ' " la medida de contar en ,. ,o se estudiaran en estecurso teoremas #enerales de e&tension de medidas.

Diblio#raf%a


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1

F1G Bet;, &. ntrod'ccion a la teora de la medida e integración.FG 'o"den! . +. 5eal "nalsis.F0G 5'din, 6. 5eal and &omlex "nalsis.

6eir, ". /ebesgue ntegration and 0easure.

Cálc!lo &!m'ricoContenidos Mínimos: Errores. Propagación. Ceros de funciones no lineales.Métodos de bisección, Newton-Raphson, secante. Sistemas de ecuaciones lineales.Método de Gauss. Pivoteo. Mejoramiento iterativo de la solución. Interpolaciónpolinomial: Lagrange, Hermite. Diferencias divididas. Forma de Newton. Aproximaciónde funciones. Polinomios de Tchebycheff, de Legendre, de Gram. Transformada rápida deFourier. Integración numérica. Métodos de rectángulos, de trapecios de Simpson.Ecuaciones diferenciales. Métodos de Euler, de Runge-Kua de orden 2 y 4. Ecuaciones

de orden superior; sistemas.

(eometría Di#erencialContenidos Mínimos: Curvas en el plano y el espacio. Curvas suaves y regulares.Longitud de arco. Curvatura y torsión. Superficies en el espacio. Superficies regulares;ejemplos (plano, cono, cilindro, esfera S 2 , toro, superficies de revolución) ycoordenadas. Valor regular. La diferencial. Geometría de la primera forma cuadrática.Isometrías. Planos tangentes. Campos vectoriales: normal y tangente. Superficiesorientables. Aplicación normal de Gauss: propiedades y segunda forma cuadrática.

Curvatura: normal, principal, gaussiana y media. Puntos elípticos, parabólicos,hiperbólicos y planares. Líneas de curvatura.

Contenido

Tema 1:Curvas planas. +on#itud. Curvatura.

Tema :Curvas en el espacio. Triedro de /renet. /orma canonica local. Clasificacion por con#ruencia

mediante curvatura " torsion.Tema 0:

uperficies en 5G

. /unciones diferenciables en superficies. -lano tan#ente. -rimera formafundamental. Area. Orientacion. Isometr%as.Tema 6:

Curvas en una superficie. Curvaturas principales. Aplicaci$n de 7auss. e#unda formafundamental. Teorema de 7auss.Tema :

uperficies re#ladas. 5esarrollables.Tema ;:

7eometr$a 'iemanniana. 7eod$esicas.


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Diblio#raf%a

F1G Do &armo, M. Differential %eometr of &'rves and 1'rfaces.FG +edenko, ".1. Problemas de %eometra Diferencial.F0G ?lingenberg, 6. &'rso de %eometra Diferencial.

F6G HKeill, B. $lementos de %eometra Diferencial.FG 5icabarra, $dith. %eometra Diferencial.

Ec!aciones di#erenciales IIContenidos Mínimos: Ecuaciones diferenciales con puntos singulares (teorema deFuchs). Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales; ecuaciones inhomogéneas yvariación de parámetros. Diagramas de fase. Método de Euler. Aproximación de Taylor.Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n. Ecuaciones en derivadas parciales.Ecuaciones parabólicas, hiperbólicas y elípticas. Ecuación del calor. Ecuación de ondas.Cuerda y barra vibrantes. Laplaciano. Problemas de Dirichlet. Métodos implícitos (Crank-

Nicholson).

6° Parte:

Modeli)ación MatemáticaContenidos Mínimos: Tópicos de optimización. Programación lineal. Introduccióna la teoría de juegos. Elementos de series de tiempo. Procesos de Markov. Conjuntosdifusos. Métodos de Montecarlo y aplicaciones. Argumentos de estabilidad discretos ycontinuos.

$!nciones %eales IIContenidos Mínimos: Integral de Lebesgue: funciones simples, no negativas,medibles; propiedades. Teoremas de convergencia. Lema de Fatou. Espacios L p.Desigualdades de Schwartz, Hölder, Minkowski. Completitud y dualidad de los espaciosL p. Teorema de Fubini y Tonelli; aplicaciones. Diferenciación e integración.

Álgebra I*Contenidos Mínimos: Álgebras sobre un cuerpo. Morfismos. Ideales maximales yprimos. Producto de anillos. Teorema chino del resto. Módulos. Morfismos. Móduloslibres. Módulos simples. Suma, intersección, suma directa y producto directo de módulos.Cociente. Módulos artinianos, noetherianos, semisimples. Anillos semisimples. Torsión ydivisibilidad. Teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre dominiosprincipales.


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0

Análisis I*Contenidos Mínimos: Espacios normados. Espacios de Banach, prehilbertianos yde Hilbert. Introducción a la teoría de operadores: operadores acotados. Teorema deBaire. Teorema de la función abierta. Teorema del gráfico cerrado. Teorema de laacotación uniforme. Teorema de Hahn-Banach.

Análisis $!ncional

Contenido

Tema 1: Espacios normados " de Danac8. ,ociones #enerales sobre espacios normados " de Danac8. 5efinci$on de espacio normado.

-ropiedades de la norma. 5efinicion de espacio de Danac8. Ejemplos: P'! >> >> p2! l ! 3 , &(a,b), c, co , etc. Construccion de espacios normados: espacios modulosubespacios! espacios producto de espacios normados.

Tema : Espacios de funciones continuas.Teorema de 5ini sobre la conver#encia uniforme. Al#ebra. ubal#ebra. Teorema de tone)

Keierstrass! versiones real " compleja. Equicontinuidad. Teorema de Ar(ela)Ascoli. Aplicaciones.Tema 0: Aplicaciones lineales entre espacios normados.

Condiciones equivalentes de continuidad. El espacio 3(/,N 2 de las aplicaciones lineales "continuas de S en W. ,orma en 3(/,N 2. Condici$n para que 3(/,N 2 sea un espacio de Danac8.omeomorfismos entre espacios normados. Equivalencia de normas en espacios normados.Caracteri(acion de espacios normados de dimension finita. El teorema de /. 'ies( sobre lacompacidad de la bola cerrada.

Tema 6: El espacio dual topolo#ico de un espacio normado.El teorema de a8n)Danac8. Aplicaciones del teorema de a8n)Danac8. Ejemplos de duales de

al#unos espacios normados. Teorema de 'ie( para los espacios l ! 3 . 5ual de c " dual de co .Tema : Dases de c8auder.

Aplicaciones " ejemplos.Tema ;: Teoremas fundamentales.

El teorema de cate#or%a de Daire. Aplicaciones. El principio de acotacion uniforme " el teoremade Danac8)tein8aus. Teorema de la aplicacion abierta. Aplicaciones. Teorema del #r$afico cerrado.Aplicaciones.

Tema ?: Topolo#%as debiles.Conver#encia debil en espacios normados. +a conver#encia debil X. El teorema de Tijonov

sobre producto de espacios compactos. El teorema de DourbaJi)Alao#lu.

Tema @: Espacios de ilbert./ormas 8erm%ticas " formas cuadr$ticas sobre espacios vectoriales. /ormas positivas. El teorema

de Cauc8")c8Har(. -roducto interno. ,orma definida por un producto interno. Orto#onalidad en unespacio de ilbert. 5istancia m%nima. El teorema de repre) sentacion de 'ies(. Conjuntosorto#onales. El teorema de 7ram)c8midt. 'epresentacion mediante series de los elementos de unespacio de ilbert con respecto a conjuntos orto) normales. 5esi#ualdad de Dessel e identidad de-arseval.

Tema : Operadores acotados en espacios de ilbert.Operador adjunto de un operador acotado. -ropiedades. El espacio 3 / 2 de las funcionales lineales "

continuas del espacio de ilbert / . +a topolo#%a uniforme! la fuerte


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" la d*bil. Comparaci9n entre estas topolo#%as. Estudio de al#unos tipos de operadores: 8erm%ticos!normales! unitarios! etc...

Diblio#raf%a

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