powerpoint presentation › attachment › cl159.pdf · 2015-01-21 · slide 10 ˆ ˆ ( )()4 ˆ 15...
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Slide 1
4장 2차원 운동
Slide 2
4.1 위치, 속도, 가속도 벡터
if rrr −≡Δ : 변위벡터
Slide 3
jdt
ydidt
xdjdt
dvi
dtdvjia
vva
va
jdtdyi
dtdxjiv
rrv
rjir
2
2
2
2yx ˆˆˆˆˆˆ
)(
ˆˆˆˆ
)(
ˆˆ
0
0
lim
lim
00
00
+=+=+=
=ΔΔ
≡
ΔΔ
≡
+=+=
=ΔΔ
≡
ΔΔ
≡
+=
>−Δ
>−Δ
yx
tt
yx
tt
aa
dtd
tt
t
vv
dtd
tt
tv
yx =>위치벡터
=>평균속도벡터
=>순간속도벡터
=>가속도벡터
=>순간가속도벡터
Slide 4
A점에서의 속도v의 방향
Slide 5
Slide 6
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
ji
ji
jijijiavrr
ji
ji
jijiavv
ˆˆ
ˆ21ˆ
21
ˆˆ21ˆˆˆˆ
21
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆ
22
22
ff
yyixxi
yxyixiiif
yfxf
yyixxi
yxyixiif
yx
tatvytatvx
taatvvyxtt
vv
tavtav
taavvt
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
+++++=++=
+=
+++=
+++=+=
4.2 등가속도 2차원 운동
성분별로 생각! (xy평면)
Slide 7
등가속도 a로 운동하는 입자의 속도의 벡터표현과 성분분석
( ) ( )( ) ( )
ji
ji
jijiavv
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆ
yfxf
yyixxi
yxyixiif
vv
tavtav
taavvt
+=
+++=
+++=+=
Slide 8
등가속도 a로 운동하는 입자의 위치의 벡터표현과 성분분석
ji
ji
avrr
ˆˆ
ˆ21ˆ
21
21
22
2
ff
yyiixxii
iif
yx
tatvytatvx
tt
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
++=
Slide 9
예제4.1 평면운동
시간 t=0일 때, 입자가 x성분은 20m/s이고 y성분은 -15m/s인 처음속도를 갖고 원점에서운동하기 시작한다. 이 입자는 xy평면에서 x 성분의 가속도 ax=4m/s2을 갖고 운동한다.
(a) 속도의 성분을 시간의 함수로 표현하고, 임의 시간에서 전체 속도 벡터를 구하라.
(b) t=5초일 때 입자의 속도와 속력을 구하라.
(c) 임의의 시간 t 에서 위치x와 y를 구하고 위치벡터를 구하라.
Slide 10
( ) ( ) [m/s]ˆ15ˆ4ˆˆm/s15m/s0m/s15
m/s4m/s20m/s4
0,0,0,m/s15,m/s202
ji20jiv -tvv
tvtavvtvtavv
a
tyxatvv
yx
yyyiy
xxxix
x
yixi
++=+=
−=+−=→+=+=→+=
=
===−== 초
( ) ( )[m/s]43)15(40
[m/s]ˆ15ˆ40ˆ15ˆ5420ˆ15ˆ4202222 =−+=→+=
−=−×+=→−+=
vv
jijijiv
yx vv
vt
( ) [m]ˆ15ˆ0.220ˆˆ
15021150
21
0.220421200
21
2
22
222
jijir tttyx
tttytatvyy
ttttxtatvxx
ff
fyyiif
fxxiif
−+→+=
−=+−=→++=
+=++=→++=
(A)
(B)
(C)
Slide 11
4.3 포물체 운동•중력가속도g는 일정하고 아래로 향함
•공기저항 무시
•x방향의 가속도는 없다!
가정
iixi vv θcos=
iiyi vv θsin=
Slide 12
2
ˆ
tt
tg
a21vrr
avvja
ii
i
++=
+=−=
tvttvx
tvva
xixif
xix
x
=++=
+==
20210
00
22
21
210 gttvgttvy
gtvv
ga
yiyif
yiy
y
−=−+=
−=
−=
• x성분:
• y성분:
포물선운동에서
원점에서 출발하면,
Slide 13
iixi vv θcos=iixf vv θcos=
tvtvx iixif θcos==
iiyi vv θsin=
22
21sin
21
sin
gttvgttvy
gtvv
iiyif
iiyf
−=−=
−=
θ
θ
gv
gvg
gvvy
ii
iiiiiif
2sin
sin21sinsin
22
2
θ
θθθ
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
• x성분 :등속운동
:수직이동거리
• y성분 :자유낙하운동
땅에 떨어질 때까지의 시간
gv
tgttv yiyi 2
210 2 =→−=
°=→=→
=
==
4512sin
2sin
cossin22
2
2
ii
ii
iiiyixif
gv
gv
gv
vx
θθ
θ
θθ
위해서는최대수평거리를
:수평이동거리
gvt ii θsin
=
최고점에 도달하는데걸리는 시간
대입
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Slide 15
예제) 공이 지면과 37도 를 이루며 초속도 20m/s로 날아갔다.
(a)최대높이, (b)땅에 떨어질 때 까지 걸린 시간, (c)떨어진 지점의 수평거리
[m/s]126.02037sin20sin[m/s]168.02037cos20cos
[m/s],20
=×=°×===×=°×==
=
iiyi
iixi
i
vvvv
v
θθ
gv
t
gtv
gtvv
yi
yi
yiyf
=→
−=→
−=
0
[m]35.78.9
1221
21
21
21
22
2
2
===→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=→
−=
gv
y
gv
gg
vvy
gttvy
yif
yiyiyif
yif
:이 시간 후면 y성분속도는 0, 즉 최대높이
y성분 속도 y성분 변위(높이)
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[s]44.28.91222
0
210
210
21
2
2
=×
===→
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=→−=→
−=
gv
tt
gtvtgttv
gttvy
yi
yiyi
yi
혹은
[m]2.3944.21644.237cos =×=×°=→=
xi
xi
vxtvx
수평으로 간 거리는 vx에 의한 거리임
포물선운동에서 수평운동은 등속운동
떨어질 때 간 거리는 떨어질 때까지 걸린 시간을 수평성분에 대입
땅에 떨어질 때 -> y=0을 의미
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처음속력 50m/s로 쏘아 올린 포물체의 여러 각도에 대한 궤적
다른 각도들이 동일한 수평이동거리(R) 값을 가짐.
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4.4 등속 원운동(Uniform Circular Motion): 일정한 속력 v 로 원주 위를 도는 물체 => 등속 원운동
* 일정한 속력에서도 가속도는 있다!
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rt
t
r
vvvvvvvvv
Δ+Δ=Δ=ΔΔ
=ΔΔ
성분수평인와성분수평의
성분수직인와성분수직의
: :
rtrt
rt
if
if
dtd
dtd
ttttt
aavv
vvvvva
+=+=
ΔΔ
+ΔΔ
=ΔΔ
=−
−≡
: 접선가속도
: 법선가속도
평균가속도
라 두면
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벡터의 동등성을 이용하여 평행이동
!두 삼각형은 닮은꼴 삼각형!
등속원운동 하는 물체의 경우
=> |vi | = |vf | = v, |ri|= |rf| = r
rv
dtdr
rv
dtdva
drrvdv
rrvv
rr
vv
rv
2====>
=⇒Δ
×=Δ⇒
Δ=
Δ⇒
Δ=
Δ rv
: 구심가속도
(법선가속도)
v
Slide 21
주기T : 한번 회전하는데 걸리는 시간
한번 회전하는 동안의 이동 거리
: 2πr = 속도ⅹ 한번 회전하는데 걸리는 시간 T
=> T= 2πr / v
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예제 4.5) 태양 주위 궤도로 지구가 운동할 때 구심 가속도를 구하라.
( )23
2
112
11
2
2
2
2
2
/1093.5360024365
10496.14
3600243651 10496.1
42
22,
sma
Tmr
Tr
rT
r
rva
Trv
vrT
rva
−×=××
××==>
××===>
×==>
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
===>
==>==
π
ππ
ππ
초시간일년공전주기
지구간의거리태양과
이고
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4.5 접선 및 지름 가속도
(Tangential and Radial Acceleration)
•접선 가속도(at): 입자의 속력변화에 의해 발생
•지름 가속도(ar): 입자의 속도벡터 방향의 변화에 의해 발생
=법선가속도=구심가속도=> 원의 중심을 향하고 크기는 v2/r
Slide 24
예제4.6) 어떤 차가 도로를 따라 0.300m/s2의 등가속도로 달리고 있다. 차가 도로에 있는 언덕을넘어가는데 그 꼭대기가 반지름 500m인 원 모양이다. 언덕 꼭대기에 차가 있을 때 속도 벡터는수평이고 크기는 6.0m/s이다. 이 순간 차의 전체 가속도 방향은 어디인가?
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법선가속도(구심가속도) => ar = v2/r = (62/500) m/s2
접선가속도=> at = 0.300 m/s2
( ) ( )( )( )( )( ) °−==⇒
==
=+=+=
− 5.13/300.0/0720.0tan
/300.0/0720.0tan
/309.0/300.0/0720.0
2
21
2
2
2222222
smsm
smsm
aa
smsmsmaaa
t
r
rt
φ
φ