C I R C U N F E R E N C I A

arpolCoord

ayxcarCoord

==+

..

.. 222

E L I P S E

θ=θ=

=+

senbyaxpolCoordb

y

a

xcartCoord

cos..

1..2

2

2

2

A S T R O I D E

tsenaytaxparCoord

ayxcartCoord33

3/23/23/2

cos..

..

==

=+

C A R D I O I D E

)cos1(2..

)(4)2(.. 222222

θ+=+=−+

arpolCoord

yxaaxyxcartCoord

C I C L O I D E

)cos1()(.. taysenttaxparCoord −=−=

CONCOIDE DE NICOMEDES

θ+==−+−

sec..

0)()(.. 22222

barpolCoord

xayxbxcartCoord

CARACOL DE PASCAL

barpolCoord −θ= cos..

FOLIUM DE DESCARTES

axyyxcartCoord

sen

senrpolCoord

3..

cos

cos3..

33

33

=+θ+θ

θθ=

TRIFOLIUM

θ= 3cos.. arpolCoord

R O D O N A C E A

)(. θ=ρ bsenapolaresCoord

T R I C U S P I D E

32222 )33(4)912(.. axaaaxyxcartCoord +=+++

TRIDENTE DE NEWTON

dcxbxaxxycartCoord +++= 23..

LEMNISCATA DE BERNOULLI

)2cos(..

)()(..22

222222

θ=

−=+

arpolCoord

yxayxcartCoord

CUARTICA PERIFORME

)(.. 322 xaxybcartCoord −=

ESPIRAL DE ARQUIMEDES

θ=arpolaresCoord.

ESPIRAL LOGARITMICA

=θ

= θ

a

r

b

earpolaresCoord b

ln1

.

CLOTOIDE O ESPIRAL DE CORNU

2

0

2

0

2

..

22cos..

arspolCoord

dttsenydttxcartCoordtt

=

π=

π= ∫∫

Espiral de Arquímedes (Espiral uniforme )(287-212 AC) -225 AC

θ=ar

ESPIRALES EN LA NATURALEZA

ESPIRITROMPA DE MARIPOSAS

Espiral Logarítmica o Equiangular

)/1arctan(

)/ln(1

bu

arb

aer b

=

=θ

= θ

Curvas derivadas de una curva plana

• 1- Evoluta y Evoluta exterior• 2- Podaria• 3- Radial• 4- Cáustica• 5- Inversa• 6- Envoltura

Evoluta y Evoluta exterior de la Espiral Logarítmica

Podaria de la Espiral Logaritmica

Radial de la Espiral Logaritmica

Curvas derivadas de la Espiral Logarítmica

• La Espiral Logarítmica es la única curva para la cual su evoluta, su involuta, su podaria, su radial, …. etc, son también espirales logarítmicas. La curva se mantiene invariable frente a todas estas transformaciones.

Espiral Logarítmica o Equiangular

René Descartes (1596-1650) – 1638

Espiral Logarítmica o Equiangular

Jakob (Jacques) Bernoulli (1654 – 1705)– Spira Mirabilis – (Espiral Maravillosa)

Eadem Mutata Resurgo (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo)

ESPIRALES EN LA NATURALEZA

ESPIRALES EN LA NATURALEZA

Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

Espirales (y Fibonacci) en la naturaleza

Fósiles de Ammonites

Fósiles de Ammonites

N A U T I L U S

• Molusco marino cefalópodo “cabeza con pies”, único con caparazón externa y 4 branquias.

• 450 millones de años - Océanos Pacífico e Indico (Australia y Filipinas)

OTROS CEFALÓPODOS

N A U T I L U S• 16-30 cm diametro. –Hasta 20 años – 60-90 tentáculos

• 1 vuelta = 16-18 cámaras – Adulto hasta 30 cámaras

• Cámaras aumentan tamaño siempre en la misma proporción (autosemejanza)

N A U T I L U S – Generación del caparazón• Rotar círculos curvatura y desplazar centros –

Perpendiculares al plano de la curva

N A U T I L U SMadurez: 5 – 10 años

Hembras ponen huevos 1 vez al año y tardan 1 año en eclosionar

N A U T I L U S - Morfología

N A U T I L U S

N A U T I L U S - Sección transversal

Espiral Logaritmica del Nautilus

NAUTILUS – Sección transversal

NAUTILUS

NAUTILUS

NAUTILUS

N A U T I L U S• Acuario de Berlín- Foto de J. Baecker

Fotografia “Nautilus”• Fotógrafo Edward Weston (1886-1958) – 1927• Subastada en U$S 1.082.500 (2010) por la firma Sotheby’s

– NewYork (9º más cara de la historia)

CASA NAUTILUS

• Arq. Javier Senosiain (Bioarquitectura)– DF México 2006-

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS