pr oposicional 3

7/30/2019 Pr Oposicional 3

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Universidad de OviedoEscuela Universitaria de Ingeniera

Tcnica de Informtica de Oviedo

Lgica Proposicional paraInformtica

Jose E. Labra G.

Ana I. Fernndez M.

rea de Lenguajes y Sistemas InformticosDepartamento de Informtica

Noviembre - 1998


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Resolucin Proposicional Introduccin

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Introduccin

Los presentes apuntes contienen una introduccin a la lgica proposicional y sus aplicacionesorientada principalmente a carreras tcnicas.

Los apuntes se utilizan en la primera parte de la asignatura Lgica de la Escuela Universitaria deIngeniera Tcnica Informtica de Oviedo impartida por los autores.

Para cualquier consulta o sugenrencia, puede ponerse en contacto con los autores en:[email protected] [email protected]

J. E. Labra GAna I. Fernndez M.

Octubre, 1998


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Resolucin Proposicional Introduccin

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Contenido

Introduccin...............................................................................................................11. Lenguaje de la Lgica Proposicional......................................................................3

1.1. Alfabeto de la Lgica Proposicional......................................................3

1.2. Sintaxis de la Lgica Proposicional.......................................................31.3. Semntica de la Lgica Proposicional...................................................42. Equivalencia lgica ................................................................................................63. Consecuencia Lgica.............................................................................................74. Tcnicas Semnticas de Estudio de Validez Proposicional......................................8

4.1. Tablas de Verdad ................................................................................84.2. rboles Semnticos .............................................................................84.3. Demostraciones por Contradiccin.......................................................94.4. Resolucin Proposicional....................................................................10

4.4.1. Formas Normales .............................................................10

4.4.2. Algoritmo de Resolucin Proposicional..............................114.4.3. Estrategias de resolucin...................................................164.4.3.1. Estrategias de Borrado.....................................16

4.4.3.1.1. Eliminacin de clusulas con literales puros.........164.4.3.1.2. Eliminacin de tautologas ..................................164.4.3.1.3. Eliminacin de Subsunciones..............................17

4.4.3.2. Resolucin unitaria ...........................................174.4.3.3. Resolucin de Entrada .....................................174.4.3.4. Resolucin Lineal.............................................184.4.3.5. Resolucin Ordenada.......................................19

5. Teora de la Prueba: Deduccin Natural...............................................................226. Aplicacin al diseo de Circuitos: lgebra de Boole.............................................266.1. Introduccin.......................................................................................266.2. Definicin de lgebra de Boole y Teoremas ........................................266.3. Puertas Lgicas..................................................................................306.4. Funciones Booleanas..........................................................................31

6.4.1. Formas Cannicas ............................................................31Transformacin en forma cannica .................................33

6.4.2. Simplificacin de funciones lgicas.....................................35Mtodo de Karnaugh.....................................................36

Funciones incompletas ...................................................387. Ejercicios............................................................................................................408. Soluciones...........................................................................................................45Bibliografa...............................................................................................................48Indice.......................................................................................................................49


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Resolucin Proposicional Lenguaje de la Lgica Proposicional

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1. Lenguaje de la Lgica Proposicional

La lgica Proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciados oproposiciones) que son los elementos bsicos de transmisin de conocimiento humano.

De manera informal, una proposicin se define como una frase que puede ser consideradaVerdadera o Falsa y que no se puede descomponer en otras frases Verdaderas o Falsas.

Para relacionar las distintas proposiciones se utilizan las siguientes conectivas:

Nombre de la conectiva Representacin Ejemplos de frases en las que aparece

Negacin p nopes falsop

no es ciertop

Conjuncin p q p y qp pero q

p sin embargo qp no obstante qp a pesar de q

Disyuncin p q o p o q o ambosal menosp o q

como mnimo p o q

Condicional

(Implicacin)

p q sip entonces qp slo si q

q sipq cuandop

q es necesario parapparap es necesario qp es suficiente para qpara q es suficientep

no p a menos que q

Bicondicional(Equivalencia)

p q p es necesario y suficiente para qp si y slo si q

1.1. Alfabeto de la Lgica Proposicional

El lenguaje de la lgica proposicional trabajar con los siguientes conjuntos de smbolos:

Constantes: V FVariables o letras proposicionales: p, q, r, ...Smbolos de Conectivas: Signos de puntuacin: ( )

1.2. Sintaxis de la Lgica Proposicional

Las reglas de formacin de frases en el lenguaje de la lgica proposicional (LPROP) son:

1.- Las constantes V (Verdadero) y F (Falso) pertenecen a LPROP2. Las letras de proposicinp,q,r,.. pertenecen a LPROP


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3. Si A y B pertenecen a LPROP entonces ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) , ( ) A B A B A B A B A Bpertenecen a LPROP

4. Slo pertenecen a LPROP las frmulas que cumplan los requisitos 1, 2 y 3.

Con el fin de evitar el exceso de parntesis se establece la siguiente jerarqua de prioridades:

Con dicha tabla, la frmula p q p r se reconocera como: ((p) q) (p r)

1.3. Semntica de la Lgica Proposicional

La teora semntica de la lgica proposicional trata de atribuir significados (Verdadero o Falso) a lasdistintas frmulas del lenguaje. Dichos significados dependen del contexto particular en el que se utilice lafrmula. Cada contexto se denomina Interpretacin.

Definicin 1: Una interpretacin de una frmula Fen lgica proposicional es una asignacin de valores

{ }V F, a cada una de las letras proposicionales de F. El valor de una proposicin p bajo una

interpretacinIse denota como V pI ( ) .

Definicin 2: Dada una frmulaFy una interpretacinI, el valor de Fbajo I(denotado porV FI ( ) ) es:

SiFest formada por una proposicinp, entonces V F V pI I( ) ( )=

SiFes de la forma G entonces V Fsi V G

si V GII

I

( )( )

( )=

==

V F

F V

SiFes de la forma G H entonces V Fsi V G V H

I

I I( )( ) ( )

== =

V V

F en caso contrario


I

I I( )( ) ( )

== =

F F

V en caso contrario


I

I I( )( ) ( )

== =

F V F

V

y

en caso contrario


I

I I( )( ) ( )

==

V

F en caso contrario

Ejemplo 1: Sea la frmula ( )F p q q p= y la interpretacin I que asigna ( )V pI = F y

( )V qI = V

Definicin 3: Una interpretacinIes un modelopara una frmulaFsi V FI ( ) = V

Es posible establecer una clasificacin de las frmulas proposicionales en funcin de los valores quetomen bajo las diferentes interpretaciones, de esta forma una frmulaFse clasifica en:

Vlida Tautologa: Todas las interpretaciones son un modelo (Para toda interpretacinI, V FI ( ) = V)

Satisfacible: Alguna interpretacin es un modelo (Existe una interpretacinI tal queV FI ( ) = V)


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Insatisfacible: Ninguna interpretacin es un modelo (No existe una interpretacinItal queV FI ( ) = V)

Una frmula puede ser: satisfacible o insatisfacible. Un tipo especial de frmula satisfacible, esaquella que toma siempre valor V (es vlida). Por tanto, las frmulas vlidas son un subconjunto de lassatisfacibles.

Teorema 1: Una frmulaFes vlida si y slo si su negacin F es insatisfacible.Dem: F es vlida

{ Def. vlida}I VI(F)= V { Def. Interpretacin }

I VI(F) = F { Def. Insat. }

F es Insatisfacible

NOTA: A lo largo de estos apuntes se utilizar un formato lineal para las demostraciones promovido por E.W. Dijkstra [Dijkstra, 90]. En este formato, las lneas impares contienen los principales pasos de lademostracin y las lneas pares, comentarios para pasar de un paso a otro.

En algunas ocasiones, el comentario recurre a la regla de Leibniz que dice lo siguiente:

Si se cumple F(X) y X = Y entonces tambin se cumple F(Y)


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Resolucin Proposicional Equivalencia lgica

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2. Equivalencia lgica

Definicin 4: Se dice que dos frmulas A y B son equivalentes lgicamente (se denota por A B A B ) si para toda interpretacinI, se cumple que V A V BI I( ) ( )=

Teorema 2: A B si y slo si la frmula AB es vlida

Dem: AB { Def. }

I VI(A) = VI(B) { Def. Interpretacin }

I VI(AB) = V { Def. Vlida }

AB es vlidaEl teorema anterior reduce la demostracin de equivalencia entre frmulas a la demostracin de validez deuna frmula.

A continuacin se presenta una tabla con una serie de equivalencias de uso comn y de fcildemostracin

Supresin de Implicacin: A B A B Contraposicin: A B B ASupresin de Doble Implicacin: ( ) ( )A B A B B A

Absorcin ( )A B A A ( )A B A A

A F F A V VElemento neutro A A V A A F

E. Complementario ContradiccinA A F

Medio Excluido

A A VIdempotencia A A A A A A Commutativa A B B A A B B A Asociativa ( ) ( )A B C A B C ( ) ( )A B C A B C

Distributiva ( ) ( ) ( )A B C A B A C ( ) ( ) ( )A B C A B A C

De Morgan ( ) A B A B ( ) A B A B

Doble Negacin(Involucin)

A A

Teorema 3: Si A es vlida y A B entonces B es vlida

Dem: A es vlida { Def. Vlida }

I VI(A) = V {Si AB entonces I VI(A) = VI(B), Leibniz }

I VI(B) = V { Def. Vlida }

B es vlida

Con el teorema anterior, si se sabe que X es vlida, para demostrar que Z es vlida se podr utilizar elformato: X

{...}Y

{...}Z


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Resolucin Proposicional Consecuencia Lgica

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3. Consecuencia Lgica

Definicin 5: Sea C un conjunto de frmulas { }P P Pn1 2, ,L y sea Q una frmula. Se dice que Q esconsecuencia lgica del conjunto C de premisas (se denotar C Q ) si toda interpretacin que es unmodelo de Ces tambin un modelo de Q .

Es decir, si para toda interpretacinI se cumple que si V P V P V P I I I n

( ) ( ) ( )1 2= = = =L V entoncesV QI ( ) = V (Intuitivamente, se podra considerar cada interpretacin como un "posible mundo". De esaforma, decir que Q es consecuencia lgica de unas premisas es equivalente a pensar que Q toma valor Ven cualquier mundo en el que las premisas tomen valor V).

Una estructura de la forma { }P P P Qn1 2, ,L se denomina razonamiento. Donde { }P P Pn1 2, ,L esel conjunto de premisas y Q, la conclusin.

Se dice que un razonamiento es correcto si la conclusin es consecuencia lgica de las premisas.

Teorema 4: { }P P P Qn1 2, ,L es correcto si y slo si P P P Qn1 2 L es vlidaDem: {P1, P2, ...Pn} Q es correcto { Def. Razonamiento }

I Si VI (P1) = VI (P2) = ... = V I (Pn) = V entonces V I (Q) = V { Def. Interpretacin de conjuncin }

I Si VI (P1 P2 ... Pn) = V entonces V I (Q) = V { Def. Interpretacin de Implicacin }

I VI (P1 P2 ... Pn Q) = V { Def. Vlida }

P1 P2 ... Pn Q es vlida


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Resolucin Proposicional Tcnicas Semnticas de Estudio de ValidezProposicional

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4. Tcnicas Semnticas de Estudio de Validez Proposicional

4.1. Tablas de Verdad

Definicin 6: Una tabla de verdad es una representacin en forma de rbol del valor de una frmula entodas las posibles interpretaciones.

Por ejemplo, para calcular el valor de verdad de la frmula F = p q pq , la tabla de verdadconsiste en representar las 4 posibles interpretaciones y evaluar la frmula en dichas interpretaciones

p q pq pqF F VF V VV F VV V V

El nmero de posibles interpretaciones de una frmula F es 2n donde n es el nmero de variables

proposicionales de F. Por tanto, este mtodo tiene una complejidad exponencial que complica suutilizacin para frmulas complejas

4.2. rboles Semnticos

Definicin 7: Un rbol semntico es una tcnica similar a las tablas de verdad que puede simplificar laevaluacin de algunas frmulas.

Inicialmente, se forma el conjuntoLPde letras proposicionales de la frmula. Se construye un nodo inicialdel rbol que se tomar como nodo actual y se aplica el siguiente procedimiento:

1.- Se intenta evaluar la frmula en el nodo actual.

2.- Si es posible asignar aFun valor { }V F, se etiqueta el nodo con dicho valor y se finaliza el tratamientodel nodo actual.

3.-En caso.contrario: - Se Selecciona la primera letra proposicionalp del conjuntoLP

- Se Borra p deLP.

- Se Construyen dos ramas, una correspondiente a p interpretado con valor V(identificada comop) y la otra correspondiente a p con valor F (identificadacomo p ).

- Repetir el procedimiento por cada uno de los dos nuevos nodos.

Definicin 8: Los nodos del rbol semntico en los que el conjunto de significados atribuidos hasta ellos

hacen Falsa la frmula, se denominan nodos de falloy los que la hacen verdadera, nodos de xito

Ejemplo 2: Dada la frmula (pq) (pq). Seleccionando los literales por orden alfabtico, se obtieneel rbol semntico:

p p

qqV

F V

Como puede observarse, no ha sido necesario evaluar las interpretaciones p=V, q=V y p=V, q=F.


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4.3. Demostraciones por Contradiccin

Para demostrar que una frmula F es vlida por contradiccin se realiza lo siguiente:

1.- Se supone que existe una interpretacin I tal que VI(F) = F y se intentan calcular los diversos valores dela frmula.

2.- Si se llega a una contradiccin:Entonces: I VI(F) = F I VI(F) = V F es vlidaEn Caso Contrario: I VI(F) = F F no es vlida

Este tipo de demostraciones se suelen representar etiquetando la frmula con valor F y evaluandoposibles valores hasta que se llegue la contradiccin.

Ejemplo 3. A continuacin se demuestra que la frmula pq(pq) es vlida

{ {

444 3444 21

43421

321

43421

43421

F

F

V

V

VV

F

F

V

F

V

qpqp )(

A la hora de evaluar una conectiva pueden aparecer varias alternativas. Conviene recordar que:

Para poder asegurar que F es vlida debe llegarse a contradiccin portodas las alternativas

Si no se llega a contradiccin por alguna alternativa se puede decir que F no es vlida

Ejemplo 4. A continuacin se demuestra que la transitividad de la equivalencia lgica. Es decir que:

{A B, B C) (A C)

Para ello, basta con demostrar que la frmula (A B)(BC)(AC) es vlida. En dichademostracin aparecen dos alternativas y, como se llega a contradiccin por ambas, puede concluirse quela frmula es vlida.

44444 344444 21321321

44 344 21321321

F

F

CACBBA

V

VV

V

V

VV

V

VV

44444 344444 21321321

44 344 21321321

F

F

FFFFFF

V

V

VV

CACBBA

Contradiccin

Contradiccin Contradiccin


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4.4. Resolucin Proposicional

El mtodo de resolucin es un algoritmo fcilmente mecanizable propuesto por J.A. Robinson en1965. La entrada del algoritmo no es una frmula, sino un conjunto de clusulas y el algoritmo chequea sison insatisfacibles. Antes de presentar el algoritmo de resolucin, se define qu es una clusula y cmotransformar una frmula en un conjunto de clusulas mediante las formas normales.

4.4.1. Formas Normales

Definicin 9: Una frmulaFes una conjuncin si es de la forma F F Fn1 2 L n0

Definicin 10: Una frmulaFes una disyuncin si es de la forma F F Fn1 2 L n0

Definicin 11: Un literal es una proposicin ( )p o una proposicin negada ( )p .

Definicin 12: Una frmulaFest en Forma Normal Conjuntiva (FNC) si es una conjuncin de la forma

F F Fn1 2 L donde cada Fi es una disyuncin de literales. Se representa como

= =i

m

j

n

ij

i

l1 1

Ejemplo 5: La siguiente frmula est en Forma Normal Conjuntiva: (pq) (prs) p

Definicin 13: Una frmula Fest en Forma Normal Disyuntiva (FND) si es una disyuncin de la forma

F1F2 ...Fn donde cada Fi es una conjuncin de literales. Se representa como

= =i

m

j

n

ij

i

l1 1

Ejemplo 6: La siguiente frmula est en Forma Normal Disyuntiva: (p q r) p (r s)

Ejemplo 7: Obsrvese que la frmula p est a la vez en FNC y FND

Teorema 5: Toda frmula de la lgica de proposiciones puede ser transformada en una frmulalgicamente equivalente a ella en Forma Normal Conjuntiva (Disyuntiva).

Dem:

La demostracin consiste en indicar los pasos del algoritmo de transformacin a forma normalconjuntiva. Puesto que estos pasos mantienen la equivalencia y dado que la equivalencia cumple la

propiedad transitiva (ejemplo 4), la frmula resultante es equivalente a la frmula original. Para demostrarformalmente que el algoritmo termina, se requiere el estudio de sistemas de re-escritura de trminos que

puede consultarse en [Abramsky, 92]. Los pasos de transformacin son:

1. Eliminar conectiva . AB(AB) (BA)2. Eliminar conectiva . A B A B 3. Introducir negaciones hasta que afecten a literales mediante las leyes de Morgan.

( ) A B A B ( ) A B A B

4. Eliminar negaciones mltiples. A A5. Aplicar propiedades distributivas para eliminar las posibles conjunciones (disyunciones) dentro

de disyunciones (conjunciones) obteniendo Forma Normal Conjuntiva (Disyuntiva).( ) ( ) ( )A B C A B A C ( ) ( ) ( )A B C A B A C

Puesto que las frmulas resultantes de aplicar cada uno de los pasos anteriores mantienen laequivalencia, la frmula obtenida ser equivalente a la frmula original.

En muchas ocasiones se aaden otros tres pasos que simplifican la frmula resultante:6. Eliminar conjunciones/disyunciones con un literal y su opuesto.

(p p X) Y Y(p p X) Y Y

7. Eliminar literales repetidosp p pp p p

8. Eliminar subsunciones. Una subsuncin se produce cuando una conjuncin (o disyuncin) Cest incluida en otra D. En dicho caso se elimina la clusula D


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(A B) A A(A B) A A

Ejemplo 8: Para transformar la frmula (pq)pr a Forma Normal Conjuntiva, se pueden emplear lossiguientes pasos:

(pq)p r { Eliminacin }

( (p q) p r) ( (p r) (p q))

{ Eliminacin }

( ( (p q) p r) ( (p r) ( p q))

{ Eliminacin doble negacin }

(p q p r ) ( (p r) ( p q))

{ Eliminacin disyuncin con literal y su opuesto }

( (p r) ( p q)) { De Morgan }

(p r) (p q)

{ Eliminacin doble negacin }

(p r) (p q)

{ Distributiva }

((p r) p) ((p r) q)

{ Distributiva }

(p p) (p r) (pq) ( q r)

{ Eliminacin disyuncin con literal y su opuesto }

(p r) (pq) ( q r)

Definicin 14: Una clusula es una disyuncin de literales.

Definicin 15: Una frmula est en Forma Clausal si se expresa como un conjunto de clusulas.

La transformacin de una frmula en Forma Normal Conjuntiva a Forma Clausal es inmediata sustituyendolas conectivas por comas y englobando las disyunciones entre llaves.Ejemplo 9: La frmula ( ) ( ) ( ) p q p q r p en Forma Normal Conjuntiva equivale a

{ } p q p q r p, , en Forma Clausal

Definicin 16: Una clusula sin literales se denomina clusula vaca, se representa por y su valor essiempre Falso.

Definicin 17: Una clusula que tiene a lo sumo un literal positivo, se denomina clusula Horn. Unaclusula Horn ser de la forma: A B B B

n 1 2 L .

Si n=0, se denomina hecho, si no existe literal positivo (no existe A) entonces se denomina objetivo y,finalmente, si n>0 y existe literal positivo, se denomina regla.

4.4.2. Algoritmo de Resolucin Proposicional

El algoritmo se basa en una regla de inferencia sencilla y, a la vez de gran potencia: la regla de resolucin.Puesto que se utiliza una sola regla, el algoritmo es fcil de analizar e implementar.


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La idea del principio de resolucin es simple: Si se sabe que se cumple: "P Q" y tambin se sabe que secumple "no P R" entonces se puede deducir que se cumplir "Q R".

Ejemplo 10: Si se tiene: "Gana o Pierde o Empata" y "Si Gana entonces da una Fiesta o Va de Viaje". Sepuede deducir que: "O Pierde o Empata o da una Fiesta o va de Viaje".

Formalizando, la primera frase sera: G P E y la segunda: G F V G F V La regla de resolucin inferir: P E F V

Definicin 18: Dadas dos clusulas C1 y C2 tales que exista un literal lde forma que l C 1 y l C2 , sedenomina resolvente de C1 y C2 respecto a la la clusula:

{ }( ) { }( )R C C C l C ll( ),1 2 1 2= .

Se dice que C1 y C2 son clusulas resolubles.

Teorema 6 (Consistencia de la regla de resolucin): El resolvente de dos clusulas es consecuencialgica de ellas. Es decir { } ( )C C R C C 1 2 1 2, ,

Dem: Se demuestra por contradiccin:

Sea C l l l l m1 11 12 1= L y C l l l l n2 21 22 2= L .

El resolvente de C1 y C2 respecto a lser R C C l l l l l ll m n( , )1 2 11 12 1 21 22 2= L L

Por el teorema 2, probar que { } ( )C C R C C 1 2 1 2, , es equivalente a probar que ( )C C R C C 1 2 1 2 , esvlida. Supngase que existe una interpretacin que la hace Falsa, la asignacin de valores ser:

{

l l l l l l l l l l m n m nV F F

V

V

FF F

F

V

V

F F F F

F

F

11 1 21 2 11 1 21 2L1 244 344

L

1 244 3441 244 344

1 2444444 3444444

L L

1 24444 34444

1 2444444444444 3444444444444

Puesto que se llega a una contradiccin, la frmula no puede ser Falsa y ser siempre verdadera, es decir,la frmula es Vlida. n

Teorema 7: Dadas dos clusulas C1 y C2 pertenecientes a un conjunto C y resolubles respecto un literal l,

entonces: ( )21 , CCRCC l .

Dem: Recordando que un conjunto de clusulas equivale a forma normal conjuntiva, ( )21 ,CCRC les lo mismo que ( )21 ,CCRC l . La demostracin es:

C

{ Absorcin A A B }

( )21 ,CCRC l

Teorema 8: Si el resolvente de dos clusulas C1 y C2 pertenecientes a un conjunto Ces la clusula vaca,entonces Ces insatisfacible.Dem: ( ) =21 ,CCRl

{ Teorema 7, Leibniz }C C

{ Def. F }C C F

{ El. Neutro, C F F }C

F

{ Def. Interpretacin }I VI(C) = VI(F)

Contradiccin


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{ Def. Interpretacin: VI(F) = F }I VI(C) = F

{ Def. Insatisfacible }C es insatisfacible

A partir de los teoremas anteriores, se define el algoritmo de resolucin que chequear si un conjunto de

clusulas es insatisfacible.Algoritmo de resolucin proposicional

Entrada: Un conjunto de clusulas C

Salida: Detecta si Ces insatisfacible

1.- Buscar dos clusulas C C C1 2, tales que exista un literal lque cumple que l C 1 y l C2

2.- Si se encuentran:

3.- CalcularR C Cl( , )1 2 y aadirlo al conjunto C

4.- Si R C Cl( , )1 2 = r entonces SALIRindicando que Ces insatisfacible.

5.- Si no, Volver a 1

3.- Si no se encuentran: SALIRindicando que Cnoes insatisfacible.

Ejemplo 11: Sea Cel siguiente conjunto de clusulas { }p p q r p q r, , , , se puede demostrar

que Ces insatisfacible por resolucin. Para ello:

- Se resuelve la tercera clusula ( r) con la cuarta ( p q r), obteniendo p q .

- Se resuelve ahora la clusula anterior con la segunda clusula ( p q ) obteniendo: p

- Se resuelve ahora la clusula anterior con la primera y se llaga a la clusula vacao

Puesto que se llega a la clusula vaca, Ces insatisfacible.

Teorema 9: Un razonamiento de la forma P P P Qn1 2, , ,L es correcto si y slo si el conjunto de

clusulas { }P P P Qc c nc c1 2, , ,L es insatisfacible. Cada Pi c es el resultado de transformar la premisa Pi aforma clausal y Q c es el resultado de transformar la negacin de la conclusin a forma clausal.

Dem: QPPP n ,,, 21 L

{ Teorema 4}

QPPP n L21 es vlida

{ Teorema 1}

( QPPP n L21 ) es insatisfacible

{ Pasando a Forma Normal Conjuntiva cada premisa y operando }

{ }P P P Qc c nc c1 2, , ,L es insatisfacible

Ejemplo 12: Para estudiar si el razonamiento { }p q r s p s p q , es correcto por

resolucin, es necesario transformar cada premisa a forma clausal y aadir el resultado de transformar lanegacin de la conclusin a forma clausal. El conjunto obtenido sera

{ } p q r p q s p s p q, , , , . Aplicando el algoritmo de resolucin:

- Se resuelve la segunda clusula ( p q s ) con la tercera ( p s), obteniendo p q

- Se resuelve ahora la clusula anterior con la cuarta clusula (p) obteniendo: q


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- Se resuelve ahora la clusula anterior con la quinta y se llega a la clusula vaca o

Puesto que se llega a la clusula vaca, el conjunto de clusulas es insatisfacible y el razonamiento escorrecto.

Demostracin de la completud del algoritmo de resolucinSe presentan las ideas generales de la demostracin de la completud del algoritmo de resolucin

proposicional sin entrar en una demostracin formal que se sale del mbito de estos apuntes.

Ejemplo 13: Sea el conjunto de clusulas { }C p p q r p q r = , , , , para construir el rbolsemntico para C se recuerda que un conjunto de clusulas equivale a una frmula en Forma Normal

Conjuntiva, en este caso, ( ) ( ) ( )p p q r p q r . En la siguiente figura se muestra el rbol

semntico correspondiente marcando la clusula falsificada en los nodos de fallo. El rbol semntico ser:

( )p

( ) p q

( ) p q r( )r

p

q

r

F F

F

F

p

q

r

Lema 1: Si un conjunto de clusulas es insatisfacible, entonces el rbol semntico es finito y est limitadopor nodos de fallo, se denomina, en ese caso, rbol de fallo.

Lema 2: Cada nodo de fallo n falsifica al menos a una de las clusulas del conjunto que ser la clusulaasociada a n.

Lema 3: La clusula Casociada a un nodo de fallo n contiene un subconjunto de los complementos de losliterales que aparecen en la rama que va desde la raz del rbol semntico hasta n.

Dem: Puesto que la clusula Ces falsificada en el nodo n, todos sus literales deben tener asignado unvalor en la interpretacin parcial correspondiente a n. Adems, el valor de esos literales debe serF (puestoque Ces una disyuncin). El valor asignado debe ser el complementario. n

Definicin 19: Se denomina nodo de inferencia a un nodo del rbol semntico cuyos dos hijos son nodosde fallo.

Lema 4: En un rbol de fallo, salvo que slo tenga un nodo, debe existir al menos un nodo de inferencia.Dem: Puesto que el rbol de fallo es finito y las ramas se desarrollan de dos en dos, necesariamentetendremos un ltimo nodo desarrollado con dos hijos. n

Lema 5: Si el rbol semntico de un conjunto de clusulas es de fallo y contiene un slo nodo, entoncesdicho conjunto contiene la clusula vaca.

Lema 6: Un nodo de inferencia i indica un paso de resolucin de las clusulas asociadas a sus dos hijos.El resolvente de dichas clusulas es falsificado por el nodo i y, ocasionalmente, por alguno de susantecesores.

Dem: En un nodo de inferencia i cualquiera, se tendr un esquema como el que sigue:


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15

F (Ck)

i

( )p

p = V( )

=p

p F

F (C )j

j k

- Puesto que el nodo i no falsific Cj

y lo nico que cambia en el nodoj respecto a i es el valor de p, la

clusula Cj

debe contener el literal p (complementado para que sea Falso).

- Por la misma razn anterior, la clusula Ck

debe contener el literal p (sin complementar para que sea

Falso)

Por tanto Cj

y Ck

son resolubles respecto ap. El esquema ser:

C p resto C

C p resto C R C C resto C resto Cj j

k k

p j k j k

= =

=

_

_ ( , ) _ _

En el nodoj, Cj

toma valor Falso, por tanto resto C j

_ tomar tambin valor Falso, como resto C j

_ no

contiene el literal p tambin tomarn valor Falso en el nodo i. De la misma forma, resto C k

_ tomar valorFalso en el nodo i . Por tanto, R C C resto C resto C

p j k j k( , ) _ _ = tomar valor Falso en el nodo i, es decir,

el nodo i, es un nodo de fallo para el resolvente de Cj

y Ck

En ocasiones, puede ocurrir que el resolvente sea falsificado tambin por alguno de los padres del nodo de

inferencia, como ejemplo, considrese el conjunto de clusulas { }p p q r p r, , , , el rbolsemntico, junto con los resolventes sera:

( )p

p

q

r

( ) p q

( ) p r

( )p

q

r

( )rF F

F

F

El resolvente de los nodos 6 y 7 es (p ) que falsifica al nodo 4 pero tambin falsifica a su antecesor, elnodo 2. n

Teorema 10 (Completud del Algoritmo de Resolucin Proposicional): Si un conjunto de clusulas esinsatisfacible entonces, aplicando el algoritmo de resolucin, se alcanza la clusula vaca.

Dem: C es un conjunto de clusulas insatisfacibles

{Lema 1}

El rbol semnttico de C ser un rbol de fallo

{Lema 4}

un nodo de inferencia i

{Lema 6, un nodo de inferencia indica un paso de resolucin }

Se puede formar el resolvente con las clusulas asociadas a los dos hijos iEl resolvente puede aadirse al conjunto C y construir de nuevo el rbol semntico


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16

{ Hiptesis, C es insatisfacible, Consistencia Resolucin }

El nuevo rbol seguir siendo insatisfacible, pero contendr menos nodos

Repitiendo el proceso se llegar a un rbol semntico con un solo nodo que corresponder a la

clusula vaca {Lema 5} y, por tanto, queda demostrado que se alcanza la clusula vaca porresolucin.

4.4.3. Estrategias de resolucin

El mtodo de resolucin es un algoritmo no determinista ya que pueden encontrarse mltiplesformas de alcanzar la clusula vaca en un conjunto insatisfacible. Muchas veces, siguiendo undeterminado camino se alcanzar la clusula vaca con muchos menos pasos de resolucin que por otrocamino.

Durante el desarrollo del algoritmo es necesario responder las siguientes preguntas: Qu dosclusulas se seleccionan? y sobre qu literales se realiza la resolucin?.

Las distintas estrategias de resolucin tratan de responder a ambas preguntas de forma que semantenga la completud (si el conjunto es insatisfacible, alcanzar la clusula vaca) y que se obtenga uncomportamiento eficiente.

Una de las desventajas de la utilizacin de la reglas de resolucin sin ninguna restriccin consisteen que se pueden seleccionar clusulas cuyo resolvente no sea til en el camino de bsqueda de laclusula vaca. Se observa que muchas veces los resolventes son redundantes o no aportan ningunautilidad para la bsqueda. A continuacin se mencionan una serie de estrategias que servirn para eliminarel trabajo intil.

4.4.3.1. Estrategias de Borrado

Una estrategia de borrado ser una tcnica en la cual se eliminan una serie de clusulas antes deque sean utilizadas. Si dichas clusulas no van a aportar nada para la bsqueda de la clusula vaca, sueliminacin permitir un ahorro computacional.

4.4.3.1.1. Eliminacin de clusulas con literales puros

Definicin 20: Un literal es puro si y slo si no existe un literal complementario a l en el conjunto declusulas.

Una clusula que contenga un literal puro es intil en la bsqueda de la clusula vaca, puesto que elliteral puro no podr ser eliminado nunca mediante resolucin. Por tanto, una estrategia de borrado

consiste en la eliminacin de clusulas con literales puros.Ejemplo 14: El conjunto { }C p q r p s q s p q r = , , , , , es insatisfacible, sin embargo, para

demostrarlo, se puede ignorar la segunda y la tercera clusula, puesto que ambas contienen el literal puros.

4.4.3.1.2. Eliminacin de tautologas

Definicin 20: Una tautologa es una clusula que contiene el mismo literal en su forma directa e inversa.

Ejemplo 15: La clusula p q r p es una tautologa.

La presencia o ausencia de tautologas en un conjunto de clusulas no afecta la condicin de

satisfacibilidad del conjunto. Un conjunto de clusulas permanecer satisfacible independientemente deque se le aadan tautologas. De la misma forma, un conjunto de clusulas insatisfacible seguir siendoinsatisfacible aunque se eliminen todas sus tautologas. Es posible, por tanto, eliminar las tautologas de


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17

un conjunto de clusulas para que no intervengan en el proceso de bsqueda sin alterar la satisfacibilidaddel conjunto.

4.4.3.1.3. Eliminacin de Subsunciones

Definicin 21: Una clusula Csubsume a una clusulaD si y slo si todo literal de Cpertenece tambin aD, es decir, C D .

Ejemplo 16: La clusula p q subsume a la clusula p q r .

Debido a la ley de absorcin, un conjunto de clusulas en el que se eliminan todas las clusulassubsumidas es equivalente al conjunto original. Las clusulas subsumidas pueden ser, por tanto,eliminadas.

Es necesario observar que, durante el desarrollo del proceso de resolucin, se pueden generar resolventesde clusulas que sean tautologas o clusulas subsumidas. Las estrategias de borrado debern chequearel conjunto de clusulas original as como los distintos resolventes generados en cada resolucin.

4.4.3.2. Resolucin unitaria

Definicin 22: Un resolvente unitario es un resolvente en el cual al menos uno de sus padres es unaclusula unitaria (con un slo literal).

Una estrategia de resolucin unitaria es una aplicacin del algoritmo de resolucin en la cual todos losresolventes son unitarios.

Ejemplo 17: Sea { }C p q p r q r r = , , , . A continuacin se aplicar la estrategia de resolucin

unitaria, para ello, se seleccionan siempre dos clusulas resolubles tales que una de ellas tenga un literal.1.- p q2.- p r3.- q r4.- r5.- p Rr( , )2 46.- q R

r( , )3 4

7.- q Rp( , )1 5

8.-p Rq( , )1 6

9.- r Rq( , )3 7

10.-r

Rq ( , )6 7

Obsrvese que los resolventes generados son un subconjunto de los que se podran generar mediante laresolucin sin restricciones. Por ejemplo, las clusulas 1 y 2 podran haberse seleccionado para obtenerq r . Sin embargo ni esa clusula ni sus descendientes podrn ser generados porque ninguna de lasclusulas que la generan es unitaria.

Los procedimientos de resolucin basados en resolucin unitaria son sencillos de implementar y,normalmente, bastante eficientes. Obsrvese que si una clusula es resuelta con una clusula unitaria, suresolvente tiene menos literales que la clusula original. De esa forma los procedimientos siguen una

bsqueda directa hacia la clusula vaca ganando en eficiencia.

Desafortunadamente, los procedimientos de inferencia basados en resolucin unitaria no son, en general,completos. Por ejemplo, el conjunto { }C p q p q p q p q= , , , es insatisfacible, sin embargo,

la resolucin unitaria no encontrar la clusula vaca porque ninguna de las clusulas es unitaria.

Por otro lado, restringiendo el formato de clusulas a clusulas Horn (clusulas con un literal positivocomo mximo) se puede demostrar que si un conjunto de clusulas Horn es insatisfacible, entonces sellegar a la clusula vaca aplicando la estrategia de resolucin unitaria.

4.4.3.3. Resolucin de Entrada

Definicin 23: Un resolvente de entrada es un resolvente en el cual al menos uno de sus padres es unaclusula del conjunto original de entrada.

Una estrategia de resolucin de entrada es una aplicacin del algoritmo de resolucin en la cual todos losresolventes son de entrada.


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Ejemplo 18: Sea { }C p q p r q r r = , , , . A continuacin se aplicar la estrategia de resolucin de

entrada, para ello, se seleccionan siempre dos clusulas resolubles tales que una de ellas pertenezca alconjunto inicial de clusulas:

1.- p q2.- p r

3.- q r4.- r5.- q r R

p( , )1 2

6.- p r Rq( , )1 3

7.- p Rr( , )2 4

8.- r Rp( , )2 6

9.-r Rr( , )4 8

Se puede demostrar que la resolucin unitaria y la resolucin de entrada tienen el mismo poder deinferencia en el sentido de que si con una estrategia se puede alcanzar la clusula vaca, con la otratambin.

Una consecuencia de lo anterior es que la resolucin de entrada es completa para clusulas Horn, peroincompleta en general. Como contraejemplo, se puede tomar el del apartado anterior.

4.4.3.4. Resolucin Lineal

La resolucin lineal (tambin conocida como resolucin con filtrado de antepasados) es una ligerageneralizacin de la resolucin de entrada. Se escoge una clusula inicial o clusula cabeza C0 y se forma

una cedena de resolventes R R R Rn0 1 3, , , ,L donde:

( ) ( )

R C

R R R C C C C Ri i i i i j

0 0

1

=

= = + , tal que j i

La resolucin lineal toma su nombre del aspecto lineal que presentan las inferencias realizadas. Unaresolucin lineal comienza con una clusula del conjunto inicial y produce una cadena lineal deresoluciones como la que se muestra en la figura para el conjunto de clusulas

{ }C p q p q p q p q= , , , . Obsrvese que cada resolvente, despus del primero, se obtienedel resolvente anterior y de alguna otra clusula del conjunto.

p q

q

q

r

p

q

p q p q p q

Resolucin Lineal

La resolucion lineal evita muchas resoluciones intiles centrndose en cada paso en los antepasados deuna clusula y en los elementos del conjunto inicial.

Los resultados obtenidos aplicando resolucin para una determinada clusula cabeza se pueden mostraren forma de rbol de resolucin. La raz del rbol es la clusula cabeza y se forman los nodosdescendientes segn las clusulas con las que se pueda resolver. El rbol de resolucin para el ejemploanterior sera:


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5: q 6: p 8:ppTautologa

2p

7: qqTautologa

1:p q

3p 4p 4p

3q

3q

4q

9: p 10: p

2p 4p

11: q 12: q

2p 4q

13: q 14: q

1q 2q

15: p16:

p

5q

r

rbol de resolucin

En la figura se representan las resoluciones indicando el nmero de clusula y el literal por el que seresuelve. A cada resolvente se le asigna un nuevo nmero. Obsrvese que pueden existir caminos infinitos(el camino ms a la izquierda), caminos que llevan a tautologas y caminos de xito que alcanzan la clusulavaca.

Se puede demostrar que la resolucin lineal es completa. Para cualquier conjunto de clusulasinsatisfacibles, aplicando resolucin lineal, se alcanza la clusula vaca.

Debido al siguiente teorema, no siempre es necesario probar con todas las clusulas del conjunto inicialcomo clusulas cabeza.

Teorema 11: Si un conjunto de clusulas S es satisfacible y S C es insatisfacible, entonces seencuentra la clusula vaca mediante resolucin lineal tomando como clusula cabeza una clusula delconjunto C.

El teorema anterior tiene aplicacin al estudio de los razonamientos, en los cuales las premisas son, por logeneral, satisfacibles. Si al aadir las clusulas resultantes de negar la conclusin el conjunto resultante esinsatisfacible (y el razonamiento es correcto) entonces, segn el teorema anterior basta con probar comoclusula cabeza con las que resultaron de negar la conclusin.

4.4.3.5. Resolucin Ordenada

La resolucin ordenada oselectiva es una estrategia de resolucin muy restrictiva en la cual cadaclusula se toma como un conjunto de literales ordenados. La resolucin slo se realiza con el primer literalde cada clusula. Los literales del resolvente mantienen el orden de las clusulas padre con los literales del

padre positivo (la clusula que contena el literal por el que se resuelve afirmado) seguidos de los literalesdel padre negativo (la clusula que contena el literal por el que se resuelve negado).

Ejemplo 19: Sea { }C p q p r q r r = , , , . A continuacin se aplicar la estrategia de resolucin

ordenada (se han ordenado los literales de cada clusula por orden alfabtico):

1.- p q

2.- p r

3.- q r4.- r

5.- q r Rp

( , )1 2

6.- r Rq( , )3 5

7.-r Rr( , )4 6


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La clusula 5 es el nico resolvente ordenado entre las clusulas 1 y 4. Las clusulas 1 y 3 no resuelvenpuesto que sus literales complementarios no son los primeros. Por la misma razn tampoco resuelven lasclusulas 2 y 4 ni las clusulas 3 y 4. Una vez generada la clusula 5, resuelve con la clusula 3 para

producir la clusula 6, la cual resuelve con la clusula 4 para producir la clusula vaca.

La resolucin ordenada es la ms eficiente (en el ejemplo, se obtuvo la clusula vaca en el tercer paso de

resolucin). Desafortunadamente, la resolucin ordenada no es completa. Sin embargo, se ha demostradoque la resolucin ordenada s es completa para clusulas Horn.

Tras este breve repaso de las principales estrategias de resolucin, cabe resear que los principalessistemas de demostracin automtica basados en el principio de resolucin (por ejemplo, los sistemasProlog) utilizan una combinacin de las dos ltimas estrategias restringidas a conjuntos de clusulasHorn1.

1Los sistemas Prolog utilizan la resolucin lineal ordenada para clusulas Horn en lgica depredicados. Conocida como resolucin SLD (Selective L inear Resolution forDefinite Clauses) .


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Resolucin Proposicional Teora de la Prueba: Deduccin Natural

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5. Teora de la Prueba: Deduccin Natural

En las secciones anteriores se han utilizado tcnicas que estudian la correccin de losrazonamientos en base al significado de las frmulas que contienen. Este conjunto de tcnicas seengloban en lo que se denomina teora semntica. Por el contrario, existe otro conjunto de tcnicas,conocido como teora de la prueba, que prescinde de los posibles valores de las frmulas y se centranicamente en la manipulacin sintctica de frmulas. Existen diversos estilos como el sistema de Hilbert,la deduccin natural, etc. Todos ellos utilizan un conjunto de axiomas y una serie de reglas de inferenciaque permiten obtener teoremas a partir de dichos axiomas o de otros teoremas previamente derivados.

En esta seccin se presenta el estilo de deduccin natural, desarrollado por Gentzen en 1935 y cuyoprincipal objetivo es ofrecer un sistema que se acerque a las tcnicas de demostracin habituales. Ladeduccin natural no contiene axiomas y ofrece una serie de reglas de inferencia por cada tipo deconectiva. Las reglas de inferencia se presentan en la siguiente tabla.

Reglas de Introduccin Reglas de Eliminacin

A B

A B

-IA B

A

-EA B

B

A

A B

-IB

A B

Prueba por casos

A B A C B C -E

C

Deduccin

A

B

-IA B

Modus Ponens

A A B

B

-E

A B B A - I

A B

A B

A B

-EA B

B A

Dem. por Contradiccin

A

B B - I

A

Dem. por Contradiccin

A

B B - E

A

A AV -I

V

VV - E

A A

A AF -I

F

FF -E

A

Tabla 1: Reglas de Inferencia para Deduccin Natural

Las reglas de la forma - I se refieren a la inclusin del smbolo y las reglas de la forma - E serefieren a la eliminacin de dicho smbolo.

Ejemplo 20: Demostrar que p q q p


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23

1 p q Premisa

2 q -E 1

3 p -E 1

4 q p -I 2,3

Para el estudio de razonamientos de la forma {P1, P2, ...Pn} Q se parte de las premisas y se intentallegar a la conclusin.

Ejemplo 21: Demostrar que p q p (q r)

1 p q Premisa

2 p -E 1

3 q -E 1

4 q r -I 3

5 p (q r) -I 2,4

La utilizacin de cuadros permite visualizar la idea de pruebas subordinadas. En una pruebasubordinada, se realiza un supuesto y, una vez llegado a un resultado, se descarta el supuesto (se cierra elcuadro) obteniendo un resultado libre de supuestos. Un ejemplo es la regla de deduccin:

A

B - I

A B

Esta regla enuncia que, si se supone A y se llega a demostrar B, entonces, se puede deducir lafrmula A B.

Ejemplo 22: Demostrar que p (q r) p q r1 p (q r) Premisa

2 p q Supuesto

3 p -E 2

4 q r E 1,3

5 q -E 2

6 r E 4,5

7 p q r I 2-6

Ejemplo 23: Demostrar que p q r p (q r)

1 p q r Premisa

2 p Supuesto

3 q Supuesto

4 p q -I 2,3

5 r E 1,4

6 q r I 3-5

7 p (q r) I 2-6


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Ejemplo 24: Demostrar que p p q

1 p Premisa

2 p Supuesto

3 pp -I 1,2

4 F F-I 35 q F-E 4

6 p q I 2,5

Ejemplo 25: Demostrar p p

1 p Supuesto

2 p Supuesto

3 p p -I 1,2

4 p I 2-35 p p I 2-4

6 p Supuesto

7 p Supuesto

8 p p -I 6,7

9 p -E 7-8

10 p p -I 6-9

11 p p -I 5,10

Ejemplo 26: Demostrar que pq pq

1 pq Premisa

3 p Supuesto

4 pq AAB (Demostrado en Ej. 24)

5 p (p q) I 3-4

6 q Supuesto

7 p Supuesto

8 q 6

9 p q -I 7-8

10 q (p q) -I 6-10

11 pq -E 1,5,10


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Ejemplo 27: Demostrar que p q pq

1 p q Premisa

2 (p q) Supuesto

3 p Supuesto4 pq -I 3

5 (pq) (pq) -I 4,2

6 p -E 3-5

7 q -E 1,6

8 p q -I 7

10 (pq) (pq) -I 8,2

11 pq -E 2-10


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Resolucin Proposicional Aplicacin al diseo de Circuitos: lgebra deBoole

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6. Aplicacin al diseo de Circuitos: lgebra de Boole

6.1. Introduccin

George Boole (1815-1864) present el primer tratamiento sistemtico de la lgica y para ello,desarroll un sistema algebraico, conocido ahora como lgebra de Boole. Adems de sus aplicaciones alcampo de la lgica, el lgebra de Boole ha tenido dos aplicaciones importantes: el tratamiento de conjuntosmediante las operaciones de unin e interseccin que ha servido de base a la teora de la probabilidad y eldiseo de circuitos digitales combinacionales.

6.2. Definicin de lgebra de Boole y Teoremas

Definicin 24: Un lgebra de Boole es una estructura de la forma {A, +, , -, 0,1} siendo A un conjunto enel que se definen las siguientes operaciones:

+y son leyes de composicin binaria sobre A: a + bA y a bA a,b A

- es una ley de composicin unaria sobre A: Aa a A

verificndose los postulados:1. Conmutativa: a + b = b + a a,b A {conmutativa +}

a b = b a a,b A {conmutativa }2. Distributiva: a + (b c) = (a + b) (a + c) a,b,c A {distributiva +}

a (b + c) = (a b) + (a c) a,b,c A {distributiva }3. Elemento neutro: a + 0=a a A {neutro +}

a 1=a a A {neutro }4. Elemento inverso: a a+ = 1 a A {inverso +}

a a* = 0 a A {inverso }

En el caso ms sencillo, el conjunto A tiene como nicos elementos a los neutros de lasoperaciones,A={ 0 , 1 }. Esto quiere decir que las variables slo pueden tomar los valores 0 o 1. En estecaso, el lgebra de Boole se dice que esbivaluada.

Ejemplo 28: La lgica proposicional LPROP, tiene estructura de lgebra de Boole.

Basta con demostrar que la tupla ({F,V}, , , , F, V) cumple la definicin de lgebra de Boole

Los elementos de LPROP, las frmulas de la lgica proposicional, slo pueden tomar los valores Fo V, o lo que es lo mismo, 0 o 1.

La disyuncin y la conjuncin son operaciones binarias (intervienen dos operandos) e internas.

El complementario es una operacin unaria interna.Como ya se ha demostrado, se cumplen los postulados del lgebra de Boole:

Commutativa: a b = b a y a b = b a a,bA

Distributiva: a (b c) = (a b) (a c)

a (b c) = (a b) (a c) a,bA

Elemento neutro: a F = a

a V =a aA

Elemento inverso: a a = V (medio excluido) y a a = F (contradiccin) aA


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Ejemplo 29: Dado un conjunto C, la estructura {2C, , , -, C, }, donde 2C es el conjunto de todos lossubconjuntos de C, , y - son las operaciones de unin, interseccin y complementario entre conjuntosy es el conjunto vaco, tiene estructura de lgebra de Boole

Ejemplo 30: La estructura {A, , , ', 0, I} donde A contiene los elementos: {0, 1, S, S' } y las operacionesse definen mediante las siguientes tablas, tambin tiene estructura de lgebra de Boole

0 S S' I 0 S S' I X X'

0 0 0 0 0 0 0 S S' I 0 I

S 0 S 0 S S S S I I S S'

S' 0 0 S' S' S' S' I S' I S' S

I 0 S S' I I I I I I I 0

Ejemplo 31: Dado un nmero natural n, la estructura {Dn, mcm, mcd, (n/), n, 1 } donde Dn es el conjunto dedivisores de n, mcm y mcd son el mnimo comn mltiplo y (n/) x = n / x tiene estructura de lgebra deBoole.

A partir de la definicin de lgebra de Boole, se deducen los teoremas siguientes:

Teorema 12 (Principio de dualidad): Cada identidad deducida de los postulados del lgebra de Boolepermanece vlida si se intercambian las operaciones + y , y los valores 0 y 1.

De manera informal, este teorema puede demostrarse indicando que, puesto que los postulados son todossimtricos y cumplen la propiedad de dualidad, todo lo que se deduzca de ellos, cumplir tambin dicha

propiedad.

Teorema 13 (Dominacin Elemento Cero) a + 1 = 1 a A

a 0 = 0 [Dual]Demostracin:

1= { inverso + }

a + a

= {neutro , a/ a }a + a 1

= { distributiva + }(a + a ) (a + 1)= { inverso + }

1 (a + 1)= { neutro }

a + 1

A partir del teorema anterior se pueden construir las tablas de verdad de las operaciones boolenas + y

Teorema 14 (Idempotencia) a + a = a a A

aa = a [Dual]Demostracin

a

= { neutro + }a + 0


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= { inverso }

a + a a

= { distributiva + }(a + a) (a + a )

= { inverso + }(a + a) 1

= { neutro }a + a

Teorema 15 (Absorcin) a + a b = a a,b A

a (a + b) = a [Dual]Demostracin

a

= { neutro }1 a

= { dominacin + }(1 + b) a

= { distributiva }

1 a + b a= { neutro }a + a b

Teorema 16 (Asociativa). a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a,b,c A

a (b c) = (a b) c = a b c [Dual]Demostracin: Se demostrarn dos teoremas auxiliares TA1 y TA2:

TA1: a ((a + b) + c) = a (a + (b + c))a ((a + b) + c)

= { distributiva }a (a + b) + a c

= { absorcin }a + a c

= { absorcin + }a

= { absorcin , b / b+c }a (a + (b + c))

TA2: a ((a + b) + c) = a (a + (b + c))a ((a + b) + c)

= { distributiva }a (a + b) + a c

= { distributiva }( a a + a b) + a c

= { inverso }(0 + a b) + a c

= { neutro+ }a b + a c

= { distributiva }a ( b + c)

= { neutro + }0 + a ( b + c)

= { inverso }a a + a ( b + c)

= { distributiva }a (a + (b + c))

A partir de dichos teoremas auxiliares, la demostracin se obitiene fcilmente:


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(a + b) + c= {neutro }

((a + b) + c) 1= { inverso + }

((a + b) + c) (a + a )= { distributiva , conmutativa }

a ((a + b) + c) + a ((a + b) + c)= { TA1 }

a (a + (b + c)) + a ((a + b) + c)= { TA2 }

a (a + (b + c)) + a (a + (b + c))= { distributiva }

(a + a ) (a + (b + c))= { inverso + }

1 (a + (b + c))= { neutro }

a + (b + c)

Teorema 17. (Unicidad del complementario) El elementoa

asociado a un elemento a en un lgebra deBoole es nico, es decir, existe un nico elemento, x, que cumple la propiedad de elemento inverso, esdecir, que cumpla que : a + x = 1 y a x = 0Demostracin:

Supngase que existen dos elementosx ey que cumplen la propiedad:a + x = 1 (H1)

a x = 0 (H2)

a + y = 1 (H3)

a y = 0 (H4)

x

= { neutro }1 x

= {H3 }(a + y) x

= { distributiva }ax +y x

= { H2 }0 + y x

= { H4 }ay +y x

= { distributiva , conmutativa }(a +x) y

= { H1 }1 y

= { neutro }yConcluyendo quex e y son el mismo elemento

Teorema 18 (Involucin). aa = a A

Demostracin: A partir del teorema anterior, cualquier x que cumpla que a +x = 1 y que a x = 0 es

igual a a . Suponiendo que dichox es a, se demuestra:

a + a= { conmutativa + }

a + a

= { inverso + }1

a a= { conmutativa }

a a

= { inverso }0


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30

Por tanto, a = a

Teorema 19. (De Morgan) .. .... =+++ cbacba

.. .... +++= cbacba [Dual]

DemostracinSe realizar en dos partes: En la primera parte se demostrar para dos variables, y la segunda parte,

se generaliza el resultado para n variables.

1.- Demostracin para dos variables: baba =+Por la unicidad del complementario, el nicox que cumple que (a + b) +x = 0 y (a + b) x = 1 es ba + .Si se demuestra que

a + b + ba = 0y que

(a + b) ba = 1entonces quedar demostrado

baba =+Las demostraciones de ambas igualdades son sencillas:a + b + ba

= { Distributiva + }

(a + b + a ) (a + b + b )= { Conmutativa +, inverso + }

(1 + b) (1 + a)= { dominacin + }

1 1= { neutro }

1

(a + b) ba = { distributiva }

a ba + b ba = { conmutativa , inverso }

0 b + 0 a= { dominacin }

0 + 0= { neutro + }

0La demostracin para n variables se realizara de la siguiente forma:

...+++ cba

= { Seap = b + c+ ... }pa +

= { De Morgan (2 variables) }a p

= { Deshaciendo }

a ...++ cb= { repitiendo el proceso anterior hasta sacar todas las variables }

.. . cba

6.3. Puertas Lgicas

Un circuito digital es un circuito electrnico cuyas entradas y salidas slo pueden tomar dosniveles distintos de tensin. Desde el punto de vista del diseo, estos niveles de tensin se representan


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31

como 1 (verdadero) 0 (falso). Un circuito combinacionalse caracteriza por ser un sistema sin memoria:el valor de las salidas en cada instante depende slo del valor de las entradas en ese momento.

Un circuito de estas caractersticas puede representarse analticamente, mediante una funcinbooleana, o grficamente, mediante un diagrama de puertas lgicas. En estos diagramas se representanlas entradas, las salidas, las operaciones o puertas lgicas y sus conexiones.

Las diferentes conectivas pueden representarse mediante las siguientes puertas lgicas.

Puerta AND

ba ab

Puerta OR

ba +a

b

Puerta NO (Inversor)

a a

Puerta NAND

a

b ba

Puerta NOR

a

b ba +

Puerta XOR (O-Exclusiva)

a

b b

Mediante la utilizacin de puertas NAND NOR pueden implementarse el resto de operaciones. A modode ejemplo, se muestra cmo se implementa mediante puertas NAND las operaciones babaa + ,,

a= { idempotencia } aa

a

aaa =

a + b= { involucin }

ba+= { De Morgan + }

ba

a

bb

ba

a b= { { involucin }

ba

a

bba

6.4. Funciones Booleanas

Definicin 25. Una variable booleana es una variable que toma nicamente dos valores 0 1.

Definicin 26. Una funcin Booleana es una expresin algebraica que relaciona variables Booleanas pormedio de las operaciones +, , y .

Ejemplo. 32: )()(),,( cbacbacbaf +++=

6.4.1. Formas Cannicas

Definicin 27. Un trmino cannico de una funcin booleana f es una expresin formada por el producto(o la suma) de todas las variables de f en su forma directa o inversa. Cuando el trmino cannico es un

producto, se conoce como MINTERM o producto cannico. Cuando es una suma, se conoce comoMAXTERMo suma cannica.


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32

Ejemplo.33 : cab es un producto cannico de f(a,b,c), mientras que dcba +++ es una suma cannicade la funcinf(a,b,c,d)

Una funcin de n variables tiene a lo sumo 2n sumas cannicas y 2n productos cannicos distintos.

Para representar los trminos cannicos de una funcin se utiliza el siguiente convenio: se asigna un 1 a

las variables en forma directa y un 0 a las variables en forma inversa. Cada trmino se representa utilizandoel valor decimal de la combinacin binaria resultante.

Ejemplo. 34 102 60110 dbca

102 91001 +++ dcba

Definicin 28. Una funcin est en forma cannica si es una suma de productos cannicos o un productode sumas cannicas.

Cuando la funcin es una suma de productos cannicos, se utiliza el smbolo , mientras que para unproducto de sumas cannicas se utiliza el smbolo .

Ejemplo. 35 : A continuacin se presentan dos funciones en forma cannica:

=++=3

)0,6,2(),,( cbacabcbacbaf

=++++++=3

)7,5,0())()((),,( cbacbacbacbag

Teorema 20. Toda funcin Booleana puede expresarse como:

( ) ( ),...),,1((,...),,0(,...),,(

,...),,0(...),,,1(...),,,(

cbfacbfacbaf

cbfacbfacbaf

++=

+=

Demostracin:Puesto que una funcin booleana trabaja nicamente con variables Booleanas y estas variables slo

pueden tomar los valores 0 1, es suficiente demostrar la igualdad para a = 0 y luego para a = 1

1.- Sea a = 0a f(1,b,c...) + a f(0,b,c...)

= { a = 0, a = 1 }0 f(1,b,c...) + 1f(0,b,c...)

= { neutro , dominacin }

0 + f(0,b,c...)

= { neutro + }

f(0,b,c...)= { a = 0 }

f(a,b,c...)

2.- Sea a = 1a f(1,b,c...) + a f(0,b,c...)

= { a = 1, a = 0 }1 f(1,b,c...) + 0f(0,b,c...)

= { neutro , dominacin }

f(1,b,c...)+ 0

= { neutro + }

f(1,b,c...)

= { a = 1 }f(a,b,c...)

La otra igualdad se demuestra por dualidad


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33

Multiplicando (o sumando) las expresiones anteriores pora ( a ) se obtienen las siguientes igualdades:

a f(a,b,c...) = a f(1, b, c...)

a f(a,b,c...) = a f(0, b, c...)

a + f(a,b,c...) = a + f(0, b,c...)

a + f(a,b,c...) = a + f(0, b,c...)

Las anteriores igualdades tienen una aplicacin importante para la simplificacin de funciones

Ejemplo 36: Laf(a,b,c,d)= abc + a (a b + a c + a b c ) puede simplificarse, utilizando la segundaigualdad, resultando en:

abc + a (a b + a c + a b c )

= {af(a,b,c...) = af(0,b,c....) }

abc + a ( 0 b + 0 c + 0 b c )

= { neutro , 0 =1 }

abc + a ( 0 + 1 c + 0)

= { neutro +, neutro }

abc + a c

Transformacin en forma cannica

Teorema 21. Toda funcin lgica puede transformarse en una funcin equivalente en forma cannica.

Demostracin.f(a,b,c...)= { Teorema 20, sacando a}

a f(1,b,c...) + a f(0,b,c...)= { Teorema 20, sacando b }

a (b f(1,1,c...) + b f(1,0,c...) ) + a (b f(0,1,c...) + b f(0,0,c...))= { Distributiva }

a b f(1,1,c...) +a b f(1,0,c...) + a b f(0,1,c...) + a b f(0,0,c...)= ...{ repitiendo el proceso con el resto de variables }

a b c f(1,1,1...) + a b c f(1,1,0...) +a b c f(1,0,1...) + a b c f(1,0,0...) +a b c f(0,1,1...) + a b c f(0,1,0...) +a b c f(0,0,1...) + a b c f(0,0,0...)

Las expresionesf(...) toman valores 0 1 dependiendo de la funcin particular. Cuando toman valor 1,el trmino cannico correspondiente permanece, mientras que si toman valor cero, el trmino desaparece.Con lo cual, cualquier funcin puede expresarse en forma cannica.

La expresin de producto de sumas, dual de la anterior, sera:

f(a,b,c...) =

( a + b + c + f(0,0,0...)) ( a + b + c + f(1,1,0...))

( a + b + c + f(1,0,1...)) (a + b + c + f(1,0,0...)) ( a + b + c + f(0,1,1...)) (a + b + c + f(0,1,0...))

( a + b + c + f(0,0,1...)) (a + b +c + f(0,0,0...))


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34

Obsrvese que en producto de sumas, los trminos cannicos permanecen cuando la funcin toma valorcero y desaparecen cuando toma valor 1. Adems, los trminos no corresponden de forma directa, sinoque cuando la variable est en forma directa, le corresponde un 0 y cuando est en forma inversa, un 1.

El teorema anterior ofrece un mtodo para obtener la expresin cannica de una funcin a partir de la tablade verdad

Suma de productos: Toman trminos en los que la funcin vale 1 numerando de arriba abajo

Producto de Sumas: Tomar trminos en los que la funcin vale 0 numerando de abajo a arriba

Ejemplo 37. A partir de la siguiente tabla de verdad, expresar en forma de suma de productos y productode sumas:

a b c f(a,b,c)0123

4567

0000

1111

0011

0011

0101

0101

0010

0111

7654

3310

f(a,b,c)=3(2,3,5,6,7)= abccabcbacba +++

f(a,b,c)=3(3,4,6,7)= ))()()(( cbacbacbacba ++++++++

En ocasiones, desea obtenerse la expresin cannica de una funcin definida mediante una expresinalgebraica. Para ello, se transforma en suma de productos (o producto de sumas) y se multiplica (o suma)cada trmino no cannico por la suma (o producto) de las variables que faltan y sus inversas.

Ejemplo 38: Se desea obtener la expresin cannica def(a,b,c)=a (b + c) + c

a (b + c) + c

= { distributiva }

a b + a c + c

= { neutro , inverso + }

a b (c + c ) + a c (b + b ) + c (a + a ) (b + b )

= { distributiva , conmutativa }

a b c + a b c + abc + a b c + ab c + a b c + a b c + a b c

= { idempotencia +, conmutativa + }

a b c + a b c + a b c + a b c + a b c

= { convenio }

3(1,3,4,5,7)

En producto de sumas, el procedimiento sera:

a (b + c) + c

= { distributiva + }

(a + c) ( b + c + c)


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35

= { idempotencia }

(a + c) ( b + c)

= { neutro +, inverso }

(a + c + b b ) ( b + c + a a )

= { distributiva +, conmutativa + }

(a + b + c) ( a + b + c) (a + b + c)( a + b + c)

= { idempotencia , conmutativa }

( a + b + c) ( a + b + c) (a + b + c)

= { convenio }

3(1,5,7)

6.4.2. Simplificacin de funciones lgicas

En el diseo de circuitos, se utilizan los siguientes pasos:

- Especificacin del circuito

- Expresin analtica (normalmente, en forma de Tabla de verdad)

- Simplificacin.

- Implementacin del diseo.

En estos apuntes se tratan los tres primeros pasos, dejando las tcnicas de implementacin a otroslibros especializados. En cuanto a la simplificacin, existen diversos mtodos dependiendo del tipo de

puertas lgicas disponibles. Uno de los mtodos de simplificacin ms comunes consiste en la aplicacinreiterada del siguiente teorema de simplificacin

Teorema 22 (Simplificacin) a b c ... + a b c ... = b c ...

(a + b + c + ...) ( a + b + c + ...) = b + c + ... [Dual]

Demostracin.a b c ... + a b c ...

= { distributiva }(a + a ) b c ...

= { inverso + }1 b c ...

= { neutro }b c ...

Definicin 29: Dos trminos son adyacentes si slo difieren en el valor de una variable. Su representacinbinaria slo diferir en un bit.

A partir del teorema de simplificacin, dos trminos adyacentes pueden agruparse eliminando la variablerespecto a la que difieren y quedando nicamente la parte comn.

Los principales mtodos de simplificacin reiteran este proceso de agrupamiento hasta obtener unaexpresin que ya no contenga ms trminos adyacentes.

Ejemplo 39. dbfdcbadcbacdbacdbaf

db

dcbcdb

=+++=

44444 344444 21

44 344 2144 344 21

Utilizando las representaciones binarias de los trminos cannicos, los agrupaciones anteriores seran:


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36

Grupos 11 - 10113 - 00119 - 10011 - 0001

3-11 - X011

1-9 - X001 1-3-9-11 - X0X1 =db

Uno de los mtodos ms utilizados para funciones de menos de 6 variables es el mtodo de Karnaugh que

permite visualizar los trminos adyacentes en una cuadrcula. Sin embargo, para funciones de un mayornmero de variables, el mtodo algebraico ms general es el mtodo de Quine-McCluskey.

Mtodo de Karnaugh

Es un mtodo grfico que visualiza los trminos adyacentes en cuadrculas intentando que dostrminos adyacentes estn prximos entre s. Los pasos del mtodo son:

1. Construir una tabla de 2n casillas, siendo n el nmero de variables de la funcin. Cada casillacorresponder a un trmino cannico, producto o suma. Cada casilla se etiqueta con el trminoasociado intentando que los trminos adyacentes estn prximos entre s. Cuando esto no es

posible (funciones de ms de tres variables) se disponen los trminos en los lmites de la tablay se supone que los trminos de un lmite son adyacentes a los del lmite opuesto. Acontinuacin aparecen las tablas para funciones entre 2 y 5 variables con el nmero decimalasociado a los trminos cannicos.

2 variables,f(a,b)

0 1

0 0 1

1 2 3

ab

3 Variables,f(a,b,c)

00 01 11 10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6

bca

4 Variables,f(a,b,c,d)

00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

cdab

5 Variables,f(a,b,c,d,e)

00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

a = 0

00 01 11 10

00 16 17 19 18

01 20 21 23 22

11 28 29 31 30

10 24 25 27 26a = 1

debc

bcde

Son cuadros adyacentes:

- Los que tienen un lado comn.


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37

- Los de la fila superior con los respectivos de la fila inferior.

- Los de la columna de la izquierda con los respectivos de la columna derecha.

- Los que estn en la misma posicin en ambas tablas (5 variables)

Ejemplo 40 Los trminos adyacentes al 10 son 8,11, 14, 2, 26.

Los trminos adyacentes al 13 son: 12, 5, 15, 9, 29.

2. En el caso de la expresin cannica en forma de suma de productos, las casillas asociadas atrminos que aparecen en ella se completan con 1 y el resto se dejan en blanco. O lo que es lomismo, aquellas casillas etiquetadas con una entrada de la tabla de verdad para la cual lafuncin toma el valor 1 se cubren con unos y el resto se deja vaco. Si la expresin est dada enforma de productos de sumas las casillas se completan con 0 en vez de 1. Esta tabla es lo quese conoce como mapa de Karnaugh de la funcin.

3. Proceso de simplificacin. Se realizan agrupamientos reiterados de trminos adyacentes hastaque todos los trminos hayan sido agrupados. Los grupos deben contener el mayor nmero

posible de trminos (el nmero de trminos en cada grupo ser siempre potencia de 2).

4.Construir la expresin reducida. Por cada agrupamiento se obtiene una expresin formada porlas variables comunes a los trminos adyacentes.

Nota 1: Paraconstruir grupos mayores pueden utilizarse casillas que ya han sido previamente agrupadas.Ejemplo:

00 01 11 10

00 0 1 1 1 3 2

01 4 1 5 1 7 611 12 13 1 15 14

10 8 9 1 11 1 10

cdab

Nota 2: Algunas funciones pueden agruparse de varias formas. En dichos casos, existe ms de unasolucin. Ejemplo:

00 01 11 1000 0 1 1 1 3 2

01 4 5 1 7 6

11 12 1 13 1 15 14

10 8 1 9 11 1 10

cdab

00 01 11 1000 0 1 1 1 3 2

01 4 5 1 7 6

11 12 1 13 1 15 14

10 8 1 9 11 1 10

cdab

Ejemplo 41. Simplificar la funcinf(a,b,c,d)= 4(2,3,5,7,10,11,15)

El cuadro de Karnaugh correspondiente es:


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38

00 01 11 10

00 0 1 1 3 1 2

01 4 1 5 1 7 6

11 12 13 1 15 14

10 8 9 1 11 1 10

cdab

Grupos 3 - 00117 - 011115 - 111111 - 1011

3-7 - 0X11

15-11 - 1X113-7-15-11 - XX11 = cd

2 - 00103 - 001111 - 101110 - 1010

2-3 - 001X

10-11 - 101X

2-3-10-11 - X01X =cb

5 - 01017 - 0111

5-7 - 01X1 =

El resultado es: cdcbbdadcbaf ++=),,,(

Para simplificar en forma de producto de sumas, es necesario transformar la forma cannica aproducto de sumas. Para ello, puede construirse la tabla de verdad y tomar los elementos de valor ceronumerando de abajo a arriba. El resultado sera:f(a,b,c,d)= 4(1,2,3,6,7,9,11,14,15)

00 01 11 10

00 0 0 1 0 3 0 2

01 4 5 0 7 0 6

11 12 13 0 15 0 14

10 8 0 9 0 11 10

cdab

Grupos 1 - 00013 - 00119 - 100111- 1011

1-3 - 00X1

9-11 - 10X1 1-3-9-11 - X0X1 = db +

2 - 00103 - 00116 - 01107 - 0111

2-3 - 001X

6-7 - 011X

2-3-6-7 - 0X1X =

6 - 01107 - 011114 - 111015 - 1111

6-7 - 011X

14-15 - 111X

6-7-14-15 - X11X =b+c

Resultado: )()()(),,,( dbcbcadcbaf +++=

Funciones incompletas

Existen funciones que no estn totalmente definidas, llamadas funciones incompletas. Las razones son:

1. Combinaciones de entrada imposibles, pudiendo ser su valor de salida 1 0 indistintamente.

2. Con salidas inhibidas: el valor de salida es indiferente.

En la forma cannica de la funcin se representan de forma separada los trminos indefinidos del resto.Los trminos indefinidos se agrupan mediante el smbolo .

Ejemplo 42. Seaf(a,b,c,d) = 4(1,3,10,11)+(0,2,4,13)

En la minimizacin de funciones incompletas los valores indefinidos se representan mediante X yactan como comodines. No es necesario agruparlos, pero, si al agruparlos se obtiene un grupo mayor, se

pueden agrupar.


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39

00 01 11 10

00 X 0 1 1 1 3 X 2

01 X4 5 7 6

11 12 X13 15 14

10 8 9 1 11 1 10

cdab Grupos 0 - 0000

1 - 00012 - 00103 - 0011

0-1 - 000X

2-3 - 001X0-1-2-3 - 00XX =ba

2 - 00103 - 001111 - 101110 - 1010

2-3 - 001X

10-11 - 101X2-3-10-11 - X01X =cb

Resultado: bacbdcbaf +=),,,(


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Resolucin Proposicional Ejercicios

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7. Ejercicios

Los siguientes ejercicios se han recopilado de diversas fuentes. Una de las fuentes fundamentales,ha sido el "Boletn de Ejercicios" ofrecido en la asignatura "Lgica Informtica" de la Escuela Universitariade Ingeniera Tcnica Informtica de Gijn.

[1] Formalizar las siguientes expresiones:

a) q si p

b) p pero q

c) como mnimo p

d) p no obstante q

e) q necesario para p

f) q suficiente para p

g) p a pesar de q

h) no p a menos que q

i) p slo si q

j) p sin embargo q

k) p suficiente para q

l) p siempre que q

m) a veces p, siempre q

n) p a no ser que q

[2] Formalizar los razonamientos:

" Si el resultado obtenido es superior al previsto en 5 unidades, ser debido a no haber realizadoel proceso a la temperatura adecuada o a la existencia de errores en los clculos finales."

" El anlisis realizado, innecesario si nos dejamos llevar por la precipitacin, se torna necesario sinos paramos a reflexionar sobre el mensaje que se pretende transmitir."

" El cncer no lograr curarse a no ser que se logre determinar su causa y se consiga encontrarfrmacos adecuados o bien para prevenirlo o para curarlo."

[3] Simplificar mediante Karnaugh las siguientes funciones lgicas:a) x xy y+ +

b) ( )xy xyz y x z y z+ + + +

c) wx xy yz zw w xyz w x yz + + + + +

d) wxy z wxyz wxyz wxyz w xyz w xyz w x y z wxyz wxy z wxyz + + + + + + + + +

e) vw x y xz v xz wy x z vy( ) ( ( ))+ + + + +

[4] Demostrar las siguientes propiedades de la funcin lgica O-exclusiva:

a) Asociativa

b) Conmutativa

c) Existencia de elemento neutro e tal que x e x =

d) Existencia de Inverso (A todo elemento x se le puede hacer corresponder un elemento $x tal quex x e =$

e) Distributiva del Producto respecto a la O-exclusiva: x y z xy xz( ) =

f) que mediante la O-exclusiva y la funcin AND se pueden realizar las otras dos operacionesfundamentales del lgebra de Boole: negacin y suma (OR).

Nota: Calcular el valor de 1 x y de ( )( )( )1 1 1 x y

g) que x y x y =


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41

[5] Una funcin de tres variablesf(a,b,c) debe tomar el valor cero cuando la variable b est a uno y lavariable a no est en estado uno. En los dems casos posibles debe estar en estado uno.

a) Realizar la tabla de verdad de la funcin.

b) Obtener las formas cannicas en forma de suma de productos y producto de sumas.

c) Minimizar dichas expresiones.

[6] Obtener la expresin algebraica mnima de una funcin lgica de cuatro variables que toma elvalor uno cuando el nmero de variables que estn en estado uno es superior al de las que se encuentranen estado cero. Nunca pueden estar ms de tres variables en estado uno. Realizar la expresin obtenidacon puertas NOR y NAND.

[7] Formalizar utilizando las conectivas { } , , el siguiente enunciado:

" Si p entonces q y, en caso contrario, si p1 entonces q1 y, en caso contrario r1."

[8] Formalizar el siguiente enunciado donde hemos notado "si p entonces q y en caso contrario r" dela siguiente forma:

p q r ;

- Normalizar dicho enunciado.

- Estudiar la validez de la siguiente frmula en la que se emplea la notacin anterior:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )p p r r s r w s p q t q t r w ; ;

[9] Determinar la validez de las siguientes frmulas:

a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) p q p q p q r p r

b) ( )( )p q p p

c) ( ) ( )( ) p q p q r

[10] Obtener la FND de:

a) ( )( )p p q p q

b) ( ) ( ) p q r s

[11] Obtener la FNC de:

a) ( ) p q p q

b) ( )( )p q r s

[12] Probar, usando el algoritmo de resolucin, la validez de los siguientes razonamientos:

a) { }p q q r p r , ,

b) ( )( ){ }p q r s p s q , ,[13] Comprubese si los siguientes razonamientos son correctos o no:


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42

a.-" Si Antonio gan la carrera, entonces Baltasar o Carlos fueron los segundos. Si Baltasar fuesegundo, entonces no gan Antonio. Si Demetrio fue segundo, no lo fue Carlos. Antonio gan la

carrera. Por tanto, Demetrio no fue segundo".

b.-" No llora, re. Si no llora, re slo si tiene un juguete. Nunca tiene un juguete cuando se est riendosi no come un caramelo. Luego come un caramelo."

c.-" Juan quiere a Mara si y slo si Mara quiere a Juan y promete casarse con l. Mara no quiere aJuan si Juan no quiere a Mara. Mara promete casarse con Juan si y slo si Juan promete casarse con

Mara. Por tanto, Juan quiere a Mara y Mara no quiere a Juan".

d.-" Si ha nevado ser difcil conducir. Si no es fcil conducir llegar tarde si no salgo temprano. Hanevado. Luego saldr temprano. "

e.-" Si no llueve salgo al campo. Si salgo al campo respiro. Por tanto, respiro si y slo si no llueve."

f.-" Si un monte se quema algo tuyo se quema. Algo tuyo se quema si y slo si eres descuidado. Si eresdescuidado no mereces que te feliciten. Por tanto si no mereces que te feliciten entonces es que un monte

se quema."

g.-" El Ministro de Economa y Hacienda ha hecho las siguientes declaraciones:

A la prensa: " Si los impuestos suben, la inflaccin bajar si y slo si no se devala la peseta."

A la radio: " Si la inflaccin baja o si la peseta no se devala, los impuestos no subirn."A la tele: " O bien baja la inflaccin y se devala la peseta, o bien los impuestos deben subir."

Como consecuencia, publica un informe en el que asegura: "Los impuestos deben subir, pero la

inflacin bajar y la peseta no se devaluar."

Fue consecuente con sus declaraciones a los medios de comunicacin?."

h.-" Es suficiente whisky para que chocolate. Chocolate si y solo si jamn. No ginebra a menos quechocolate. Whisky. Es posible afirmar: (1) que bebi ginebra? (2) que no tom chocolate?"

i.-" Si no especifico las condiciones iniciales mi programa no comenzar. habr programado un cicloinfinito solo si mi programa no termina. Basta que el programa no comience o no finalice para que falle.De ah que sea necesario no solamente especificar las condiciones iniciales sino tambin no programar

un ciclo infinito para que el programa no falle."

j.-"Si 25 divisiones son suficientes, el general ganar la batalla; por otra parte, o se suministran 3 alasde apoyo areo tctico, o el general no ganar la batalla. Adems, no es cierto que sean suficientes 25

divisiones y que se vayan a suministrar 3 alas de apoyo areo tctico. Coclusin: no son suficientes 25

divisiones."

[14].-Le digo a un amigo:

Cuando salgo sin paraguas, llueve.


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Cuando est despejado, no llueve.

Segn el hombre del tiempo, maana estar despejado o har niebla.

De todos modos saldr sin paraguas.

Entonces mi amigo responde: Entonces maana, adems de llover, habr niebla. Cmo lo supo?

[15] Don Juan Tenorio, hizo las siguientes declaraciones, con respecto a las doncellas Ins, Juana yMara, que le costaron la vida. Quin o quines son las asesinas?.

" Amo a la ltima de las tres"

" Si amo a Ins pero no a Mara, entonces tambin amo a Juana"

" O amo a Mara y a Juana o no amo a ninguna"

" Si amo a Mara, entonces amo a Ins"

(se supone que la asesina era aqulla a la que Don Juan no amaba)

[16].-En un juicio el fiscal argumenta:

" Si el acusado es culpable, entonces tena un testigo".

A ello, el abogado defensor respondi inmediatamente:

" Eso es falso".

El acusado decidi cambiar de abogado defensor. Es lgico?.

[17].-Analizar la coherencia lgica - no teolgica - del siguiente razonamiento:

- Si Dios existe es todo amor y omnipotencia.

- Si Dios es incapaz de erradicar el sufrimiento del mundo entonces no es omnipotente.

- Dios no es amor o est dispuesto a erradicar el sufrimiento del mundo.

- Dios es capaz de erradicar el sufrimiento del mundo y est dispuesto a ello solo si no existe

sufrimiento en el mundo.

- Existe sufrimiento en el mundo.

Por tanto:

- Dios no existe.

[18] Si la Bella Durmiente despierta, los habitantes del castillo tambin lo harn. Si el prncipe la besa,despertar. El prncipe la besar si est de buen ver. O la besa o no se despierta nadie. Como esto es un

cuento, la princesa, a pesar de llevar 100 aos dormida sigue de muy buen ver. Si la princesa sedespierta se casarn, vivirn felices y comern perdices si no estamos en veda. Estamos en veda.

Se casan? Son felices? Comen perdices?.

[19] Los dos carteles siguientes estn colgados respectivamente a la puerta de las habitaciones 1 y

2. Uno dice la verdad y otro miente. Sabiendo que en la misma habitacin no puede haber una dama y untigre y que puede haber dos damas y dos tigres, se pide decidir lgicamente qu puerta se debe abrir paraliberar a la dama si es que existe. Ambas habitaciones estn ocupadas.

CARTEL 1

EN ESTA HABITACION HAY UNA DAMA Y EN LA OTRA UN TIGRE.

CARTEL 2

EN UNA DE ESTAS HABITACIONES HAY UNA DAMA Y EN UNA DE ESTAS HABITACIONES HAY


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UN TIGRE.

- Suponiendo que los dos carteles siguientes dicen ambos la verdad o mienten ambos. Deducir en quhabitacin hay una dama, sabiendo, como antes, que puede no haberla.

CARTEL 1

AL MENOS EN UNA DE ESTAS HABITACIONES HAY UNA DAMACARTEL 2

HAY UN TIGRE EN LA OTRA HABITACION

[20] Discurso sobre los estudios de Informtica en clase de Lgica:

Seoras, seores, buenas tardes:

Es hora de que recapacitemos sobre los estudios de informtica en vsperas del asentamiento

de la titulacin en nuestra Universidad. Se sabe que si los ordenadores hablasen los informticos no

existiran. Por otra parte, en la ltima reunin del Consejo de Universidades, ste afirm que: "...la

Universidad titular informticos mientras los ordenadores no hablen ..."; afirmacin que nos parece

muy correcta, si bien lo cierto es que los ordenadores no hablan pero los informticos existen.

A la vista de todo ello nos preguntamos: Es, por tanto, coherente que la Universidad expidattulos de informtica en la actualidad?.


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Lgica proposicional Soluciones

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8. Soluciones

[1] a) p q h) p q

b) p q i) p q

c) p j) p qd) p q k) p q

e) p q l) q p

f) q p m) ( )p p q q

g) p q n) q p

[2] p = Resultado obtenido menor al previsto en 5 unidades.

q = Haber realizado el proceso a la temperatura adecuada.

r = Existencia de errores en los clculos finales.

( ) q r p

p = Anlisis realizado es necesario.

q = Nos dejamos llevar por la precipitacin.

r = Nos paramos a reflexionar sobre el mensaje que se pretende transmitir.

( ) ( )q p r p

p = El cncer lograr curarse.

q = Se logra determinar su causa.

r = Se consigue encontrar frmacos adecuados para prevenirlo.

s = Se consigue encontrar frmacos adecuados para curarlo.

( )( ) ( )( ) q r s p p q r s

[3] a) x y+

b) x y z+ +

c) xw xz wy+ +

d) Habra tres posibles soluciones

xy w z xyz wyz

xy w z xyz wxz

xy w z w xz wyz

+ + ++ + ++ + +

e) v xyz vwxz vwx vwy+ + +

[4] Para realizar las demostraciones se parte de que x y xy xy = + , y se desarrollan las expresionesresultantes hasta llegar a la demostracin deseada. A continuacin se presentan los primeros pasos de la

demostracin de asociatividad:


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Lgica proposicional Soluciones

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x y z xy xy z xy xy z xy z xyz x yz xyz = + = + + + = = + + +L

Si desarrollsemos ( )x y z obtendramos la misma expresin, con lo cual habramos demostrado la

propiedad asociativa.

Las dems demostraciones se realizaran de forma similar.

[5] La funcin, minimizada sera a b+

[6] La expresin mnima sera: bcd acd abd abc+ + + .

[7] ( ) ( ) ( )( )( )p q p p q p r 1 1 1 1

[8] ( ) ( )p q p r

- Forma normal conjuntiva: ( ) ( ) p q p r

- El razonamiento NO es vlido, pues podemos encontrar varias interpretaciones que lo hagan Falso, porejemplo, r=F, w = F, q = F, p = V, s =V, t= V.

[9] a) NO es vlida, ejemplop = V, q = V, r =F

b) SI es vlida.c) NO es vlida, ejemplop = V, q = V, r =F

[10] a) Al operar quedara: p p q p V

b) ( ) ( ) p q r p q s

[11] a) p q

b) ( ) ( ) p q s r s

[12] En ambos casos se llega a la clusula vaca Razonamiento correcto.

[13] a) SI es vlido, Antonio gan la carrera.

b) ES vlido, come un caramelo.

c) El razonamiento NO es vlido, ya que puede darse el caso de que ninguno de los dos quiera alotro, y las premisas seran ciertas, pero la conclusin Falsa.

d) El razonamiento NO es vlido porque puede darse el caso de NO salir temprano y llegar tardehabiendo nevado y siendo difcil conducir. Cumplindose todas las premisas.

e) NO es vlido, puedo salir al campo, lloviendo y respirar. Luego no se deduce que respire si ysolo si no llueve.

7/30/2

pr oposicional 3

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