praktikum high performance computing · partikel betreten domain am gegenuberliegenden rand.¨...

TU Munchen

Praktikum High Performance Computing

Projektaufgabe Molekulardynamik

Wolfgang EckhardtThomas Auckenthaler

18. Januar 2011

Wolfgang Eckhardt Thomas Auckenthaler: Praktikum High Performance Computing

, 18. Januar 2011 1

http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/Wolfgang_Eckhardt

http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/Thomas_Auckenthaler



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Ubersicht

MD-Simulation: Prinzipieller Ablauf

Zeitintegration

Kraftbestimmung - Lennard-Jones Potential

Kurzreichweitige Krafte

MD – Implementierung


, 18. Januar 2011 2



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MD-Simulation: Prinzipieller Ablauf

• Gegeben: Molekule mit Positionen x und Geschwindigkeiten v (sog. Phasenraum)• Zwischen Molekulen wirken Krafte• Kraft auf ein Molekul i:

Fi =∑i 6=j

Fij

• Molekul wird gemaß diesen Kraften bewegt, d.h. eine neue Position und neueGeschwindigkeit werden bestimmt

F = m · x ⇒ x =Fm

.• Gewohnliche Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen: F = mx , gesucht x

zu einem Zeitpunkt t.• Wie bestimmt man die Krafte?• Wie bestimmt man Position x und Geschwindigkeit v?


, 18. Januar 2011 3



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Diskretisierung - Zeitintegration

F = m · x

• Diskretisierung der Ableitungen durch Differenzenquotienten (aus Taylor-Reihehergeleitet):

δxδt

=x(t + δt)− x(t − δt)

2 · δt(1)

=xn+1 − xn−1

2 · δt(2)

δ2xδt2

=xn+1 − 2 · xn + xn−1

δt2(3)

• Einsetzen in unsere DGL liefert

F ni = m · xn

i (4)

= m ·xn+1

i − 2 · xni + xn−1

iδt2

(5)

xn+1i = 2 · xn

i − xn−1i + δt2 · F n

i /mi (6)


, 18. Januar 2011 4



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Diskretisierung - Zeitintegration

• Stormer-Verlet-Verfahren:

xn+1i = 2 · xn

i − xn−1i + δt2 · F n

i /mi (7)

vni =

xn+1 − xn−1

2 · δt(8)

• Velocity-Stormer-Verlet-Verfahren:• (8) nach xn−1 auflosen und in (7) einsetzen liefert (9)• weitere Umformungen von (7) und (8) ergeben (10):

xn+1i = xn

i + δt · vni +

F ni · δt

2

2 ·mi(9)

vn+1i = vn+1

i +(F n + F n+1)δt

2 ·mi(10)


, 18. Januar 2011 5



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Kraftbestimmung - Lennard-Jones Potential

• Potential U beschreibt potentielle Energie eines Korpers• Kraft F = −∇U• Bsp.: Gewichtskraft / Lageenergie

• Hier: Lennard-Jones-12-6 Potential: ULJ(rij)= 4ε

((σrij

)12−(σrij

)6)

• m = 6: van der Waals Anziehung (van der Waals Potential)• n = 12: Pauli Repulsion (Softsphere Potential)• Modellierung von Gasen / Flussigkeiten: (z.B. Edelgase wie Argon)

• Kraft zwischen 2 Molekulen: Fij = −∂U(rij)∂rij

= 24εrij

(2(σrij

)12−(σrij

)6)

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5

U*

r*

dim. red. Lennard−Jones 12−6 Potential

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

0 1 2 3 4 5

F*

r*

dim. red. Lennard−Jones 12−6 Force


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LJ Atom-Parameter

e s

atom ε σ

[1.38066 · 10−23J]a [10−1nm]b

H 8.6 2.81He 10.2 2.28C 51.2 3.35N 37.3 3.31O 61.6 2.95F 52.8 2.83

Ne 47.0 2.72S 183.0 3.52Cl 173.5 3.35Ar 119.8 3.41Br 257.2 3.54

aBoltzmann-Konstante: kB := 1.38066 · 10−23 JK

b10−1nm = 1A (Angstom)

ε = Energyparameterσ = Langenparameter (vgl. van der Waals Radius)

→ Parameter Fitting mittels Experimenten


, 18. Januar 2011 7



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−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5

U*

r*

dim. red. Lennard−Jones 12−6 Potential

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

0 1 2 3 4 5

F*

r*

dim. red. Lennard−Jones 12−6 Force

1

2

3

4

5

Fij Kraftmatrix

- F12 F13 F14 F15−F12 - F23 F24 F25−F13 −F23 - F34 F35−F14 −F24 −F34 - F45−F15 −F25 −F35 −F45 -

• Schneller Abfall der Krafte mit zunehmender Entfernungvolle Matrix mit O(n2), uberwiegend sehr kleinen Eintragen


, 18. Januar 2011 8



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−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5

U*

r*

dim. red. finites Lennard−Jones 12−6 Potential (rc=2)

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

0 1 2 3 4 5

F*

r*

dim. red. finite Lennard−Jones 12−6 Force (rc=2)

1

2

3

4

5

Fij Kraftmatrix

- F12 F13 F14 0−F12 - 0 F24 F25−F13 0 - F34 0−F14 −F24 −F34 - F45

0 −F25 0 −F45 -

• Abschneideradius (cut-off radius) reduziert Berechnungsaufwand erheblichdunnbesetzte Kraftmatrix mit O(n) Eintragen


, 18. Januar 2011 9



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Klassicher Linked-Cell Algorithmus

• Molekule sind in kubische Zellen mit Seitenlange rceingeordnet

• Lediglich die Nachbarzellen mussen nachInteraktionspartnern durchsucht werden

• runtime: O(n)• Nur die Halfte der Nachbarzellen werden explizit

durchlaufen (sog. Forwartsnachbarn, 3.Newton’sches Gesetz)

• Datenstruktur wird in jedem Zeitschritt aktualisiert.


, 18. Januar 2011 10



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Linked-Cell Algorithmus – Datenstruktur I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 23

24 35

108 119

inner zoneinner zone

boundary zoneboundary zoneHaloHalo

³rc

molecule 1data

nextincell

molecule 2data

nextincell

molecule 3data

nextincell

molecule 4data

nextincell

molecule 5data

nextincell

molecule xdata

nextincell

molecule Ndata

nextincell

sequential Version

cellseq. 1 cellseq. 2 cellseq. x cellseq. i

• Zellen werden in Array gespeichert• Jede Zelle halt eine Liste mit den

Molekulen, die in ihr enthalten sind• Halo-Region:

• Molekule werden nach jederIteration geloscht

• fur periodischeRandbedingungen benotigt

• Boundary-Region: wird furreflektierende und periodischeRandbedingungen benotigt.

• Reflektierende Randbedingungen: bewegt sich ein Partikel in den Halo, so wirdeine Kraft orthogonal zum Rand aufaddiert

• Periodische Randbedingungen: die Domain wird periodisch fortgesetzt.• Partikel betreten Domain am gegenuberliegenden Rand.• Partikel des gegenuberliegenden Randes werden in Halo kopiert.


, 18. Januar 2011 11



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Linked-Cell Algorithmus – Datenstruktur II

-50 -49 -48 -47 -46

-39 -38 -37 -36 -35 -34 -33

-28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8

-4 -3 -2 -1

rc

-25 -24 -23

-19 -18 -17 -16

-14 -13 -12 -11 -10

-8 -7 -6 -5 -4

-2 -1

rc

-20

• Offset-Maske, um die Nachbarzellen zu bestimmen• Cache-Effizienz wird durch die Bearbeitungsreihenfolge beeinflusst

(Zeitliche Lokalitat)

1

2

3

4

5


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Aufgabe: Parallelisiserung einer Molekulardynamik-Simulation

Szenario: Rayleigh-Taylor Instabilitat


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Sonstiges

Visualisierung: mit Paraview fur das kleine Szenario (nicht zu viele Zeitschritterausschreiben!)

Weiterfuhrendes Material zu MD:• Folien zu Algorithmen des Wissenschaftlichen Rechnens II• Griebel, Knapek, Zumbusch: Numerical Simulation in Molecular Dynamics,

Springer Verlag


, 18. Januar 2011 14



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