Predavanje # 6: Adaptivna regulacija i estimacija parametara

Literatura:

[1] K. J. Aström, B. Wittenmark: "Computer Controlled Systems", Prentice-Hall, London, 1984.

[2] R. Isermann: “Digital Control Systems”, Springer-Verlag, Berlin, 1989.

Ukratko će se predstaviti sljedeći tipovi adaptivnih regulatora:

Gain-scheduling regulator,

Samopodesivi (auto-tuning) regulator,

Samopodešavajući (self-tuning) regulator,

Adaptivni regulator zasnovan na primjeni referentnog modela

[3] M. S. Grewal, A. P. Andrews: “Kalman Filtering – Theory and Practice”, John Wiley & Sons,

New York, USA, 2001.

Opisat će se ideja identifikacije modela procesa, te će se posebno osvrnuti na

postupke zasnovane na minimiziranju srednjeg kvadratnog odstupanja predikcije

modela (tzv. “Least-Squares” postupak estimacije parametara).

Pritom će se razmotriti identifikacija procesa zasnovana na prethodno

snimljenim podacima (“off-line”), i u realnom vremenu (“on-line”).

Uvod u sustave adaptivne regulacije

Primjena regulatora s fiksnim parametrima ima smisla samo ako se parametri objekta

upravljanja (procesa) ne mijenjaju značajno.

Ukoliko su vjerojatne značajne promjene parametara objekta upravljanja (odnosno

njegove dinamike), potrebno je primijeniti odgovarajuću strukturu regulatora koja će moći

očuvati povoljnu kvalitetu odziva regulacijakog kruga.

Pritom se najčešće koriste dva pristupa:

Regulator podešen za robusno vladanje regulacijskog kruga za širok raspon promjene

parametara (često se naziva i robusni regulator).

Adaptivni regulator, odnosno regulator koji se prilagođuje (adaptira) promjenama

parametara procesa. Ovi regulatori se mogu podijeliti u nekoliko podskupina:

Regulator s prepodešavanjem pojačanja ovisno o radnoj točki (Gain Scheduling

Controller, GSC)

Samopodesivi regulator (Auto-Tuning Controller, ATC)

Samopodešavajući regulator (Self-Tuning Controller, STC)

Adaptivni regulator zasnovan na referentnom modelu (Model Reference Adaptive

Controller, MRAC)

Gain Scheduling Controller

Ovaj tip adaptivnog regulatora prepodešava pojačanja (odnosno parametre) regulatora

ovisno o radnoj točki u kojoj se proces nalazi korištenjem pregledne tablice.

)(zGR

Regulator

s

e Ts1

Z.O.H.

+

-

yR e

T

y)(sGp

Proces

Proračun

pojačanja

(parametara)

TPara

metri r

egula

tora

u*

y*

u

R Vanjski poremećajz

Principni blokovski dijagram sustava s “Gain-

Scheduling” regulatorom.

y

u

u1

u2

up

y1

y2

yr

...

...i

Pregledna (Look-up) tablica za

podešavanje parametara regulatora.

Jedan primjer ovakvog regulatora je autopilot borbenog zrakopolova F-4E Phantom, koji

se prepodešava ovisno o nadmorskoj visini, brzini, napadnom kutu ...

Auto-Tuning Controller

Principni blokovski dijagrami sustava s “Auto-Tuning” regulatorom: estimacija parametara zasnovana

na step ispitnom signalu (a) i na izazivanju granično stabilnih oscilacija (b).

U ovoj strukturi regulator se podešava periodički (npr. na početku ili na kraju jednog

radnog ciklusa ili na zahtjev operatera (kada zamijeti loše vladanje regulacijskog kruga).

Estimacija parametara može se provesti otvorenom krugu (temeljem odziva procesa na

step pobudu) ili dovođenjem zatvorenog regulacijskog kruga u režim granično stabilnih

oscilacija.

Podešenje regulatora može se zasnivati na analitičkim izrazima (metoda step odziva za

ETC) ili praktičnim preporukama (npr. prema Takahashiu).

Ispitni signal

Regulator

(npr. PID)

+

-

yR e

y

Proces

Proračun

parametara

nadomjesnog

modela

u

Proračun

parametara

regulatora

Kp, Tu, TG

a

Regulator

(npr. PID )

+

-

yR e

y

Proces

Estimiranje

kritične

frekvencije

i pojačanja

u

Proračun

parametara

regulatora

wcr, Kcr

Relejni član

b

Self-Tuning Controller (STC)

Ovaj adaptivni regulator zasniva s ena on-line proračunu (estimaciji) parametara

dinamičkog modela procesa (npr. estimacija parametera ARX modela RLS postupkom).

Pritom je petlja adaptacije obično za red veličine sporija od regulacijske petlje (dinamika

estimacije parametara ne utječe na stabilnost). Nadalje, estimirani parametri procesa se

vrlo često osrednjavaju (filtriraju NP filtrom), kako bi se izbjeglo da dođe do naglih

promjena u iznosima parametara regulatora (tj. da se ostvari “bump-less” adaptacija).

)(zGR

Regulator

s

e Ts1

Z.O.H.

+

-

yR e

T

y)(sGp

Proces

Identifikacija

modela procesa

T

u*

y*

u

Ispitni signal

Proračun

parametara

regulatora

+Regulacijska

petlja (brza)

Adaptacijska

petlja (spora)

R

Principni blokovski dijagram sustava sa “Self-

Tuning” regulatorom.

u

y

t

t

HOLD ESTIM. HOLD ESTIM. HOLD

Isključivanje estimacije/adaptacije s obzirom na

varijancu pobudnog (ulaznog) signala procesa.

Kod on-line estimacije i adaptacije regulatora treba voditi računa o perzistenciji pobude,

tj. estimacija i adaptacija da trebaju biti omogućene samo ako pobudni (ulazni) signal

procesa ima dovoljno izraženu dinamiku (pobuđuje sve bitne modove procesa).

Model Reference Adaptive Controller (MRAC)

)(zGR

Regulator

s

e Ts1

Z.O.H.

+

-

yR e

T

y)(sGp

Proces

Postupak

podešavanja

regulatora

T

u*

y*

u

Referentni

model

+

Regulacijska

petlja

Adaptacijska

petlja

yM

eM

-

R

Principni blokovski dijagram sustava s MRAC

regulatorom.

Adaptacija regulatora se provodi na temelju odstupanja vladanje objekta upravljanja s

regulatorom od željene dinamike opisane referentnim modelom.

Postupak adaptacije regulatora nastoji svesti pogrešku u odnosu na modelsku dinamiku na

minimalan iznos, te je potrebno definirati vezu između pogreške slijeđenja modelske

dinamike eM i parametara regulatora R.

Adaptacijska petlja ima brzu dinamiku, te je potrebno pažljivo definirati kriterij

adaptacije kako regulacijski krug s adaptacijskom petljom ne bi postao nestabilan.

M.I.T. metoda:

)(grad MMR ee

dt

dR

Metode zasnovane na teoriji stabilnosti

Lyapunova:

0)(

0)(

dt

edV

eV

M

M

Neke od metoda podešavanja adaptivnog

regulatora tipa MRAC:

Identifikacija modela procesa

1. Planiranje pokusa:

- “off-line” ili “on-line” identifikacija

- odabir ispitnog signala (step, pravokutni signal, PRBS, BLWN)

- odabir amplitude i spektra pobudnog signala

2. Izbor strukture modela procesa:

- linearni modeli (vremenski kontinuirani/diskretni, prijenosna funkcija/

prostor stanja ...)

- nelinarni modeli (model u prostoru stanja, neuronske mreže, neizrazita logika)

3. Estimacija parametara (npr. primjenom LS/RLS postupka estimacije,

gradijentni postupci, teorija Lyapunova, genetski algoritmi ...) i izbor

kriterija optimalnosti (npr. minimum srednjeg kvadratnog odstupanja)

4. Validacija modela na odvojenom setu podataka:

- povoljna vrijednost kriterija kvalitete

- identificirani model predstavlja tzv. minimalnu realizaciju

- pogreška predikcije modela nije značajno samokorelirana (slična bijelom šumu)

Iter

ati

vn

ost

!!

Definicija: Određivanje strukture i parametara matematičkog modela koji

zadovoljavajuće točno opisuje statičko i dinamičko vladanje objekta upravljanja.

Identifikacija procesa uključuje sljedeće korake:

1. Planiranje pokusa i izbor ispitnog signala

Planiranje pokusa ovisi o specifičnostima objekta upravljanja (procesa), npr. u industriji

često nije moguće mjeriti sve procesne veličine niti koristiti specijalizirane senzore.

Stoga se identifikacija vrlo često temelji na standardnim procesnim mjerenjima i

odgovarajućim ispitnim (ulaznim) signalima.

Svim postupcima identifikacije je zajedničko da je na ulaz procesa potrebno dovesti ispitni

signal takve naravi da može pobuditi sve (odnosno sve važnije) aspekte dinamike procesa

(modove procesa). U tu svrhu najčešće se koriste sljedeći tipovi pobudnih signala:

a) Step pobuda (puls) i pravokutni signal - često se koriste u identifikaciji modela

procesa za primjenu u samopodesivim (Auto-tuning) regulatorima.

b) Pseudoslučajni binarni signal (Pseudo-Random Binary Signal, PRBS) i bijeli šum

ograničenog spektra (Band-Limited White Noise, BLWN) – primjena u

samopodešavajućim (Self-tuning) regulatorima

c) Harmonički (sinusni) signal i tzv. “chirp” signal (sinusni signal promjenjive

frekvencije) – koristi se najčešće za estimaciju frekvencijskih karakteristika procesa

PROCES

1u

2u

mu

1y

2y

ny

...

...

Ulazne varijable

(ispitni signali)

Izlazne varijable

(standardna mjerenja)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

0

1

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

t [s]

f [Hz]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

0

1

0 5 10 15 20 25 300

0.01

0.02

0.03

t [s]

f [Hz]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

f [Hz]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

Ispitni signali i pripadajući amplitudni spektri.

Pravokutni puls Pravokutni niz i sinusni signal Chirp signal BLWN signal

Pravokutni puls dobro pobuđuje niskofrekvencijske modove objekta (procesa), dok mu

visokfrekvencijski sadržaj opada razmjerno s frekvencijom. Pogodan za određivanje prijelazne

karakteristike odziva.

Sinusni signal pogodan je za određivanje frekvencijskih karakteristika “točku po točku” jer

snažno pobuđuje samo jednu frekvenciju (sinus). U tu svrhu može poslužiti i pravokutni niz, s

time da on u sebi sadrži i tzv. više harmonike, pa je moguće odrediti nekoliko točaka istodobno.

“Chirp” signal je iznimno pogodan za određivanje frekvencijskih karakteristika u “jednom

koraku” jer ima vrlo bogat frekvencijski sadržaj, a frekvencija raste linearno u vremenu.

BLWN signal (i PRBS) također ima bogat frekvencijski sadržaj, no češće se koristi za

identifikaciju tzv. modela vremenskih nizova (ARX, ARMAX i sl.).

t [s]

f [Hz]

)(zGR

Regulator

s

e Ts1

Z.O.H.

+

-

yR e

T

y)(sGp

Proces

+

+

Ispitni signal

u

Identifikacija u zatvorenom regulacijskom krugu.

U praksi često nije moguće raditi identifikaciju u otvorenom krugu, jer otvaranje

regulacijske petlje podrazumijeva prekidanje rada regulatora, a time i normalnog rada

postrojenja (osim ako se ne radi o redovitom prekidu rada zbog remonta).

U takvim slučajevima ispitni signal se nadodaje upravljačkom signalu (izlazu regulatora),

te se identifikacija provodi na tako dobivenim izlaznim signalima.

Varijable stanja (mjerljive)

UlazParametri

2. Izbor strukture modela procesa

Pod strukturom modela procesa podrazumijeva se red dinamičkog modela i vrsta modela

(linearni/nelinearni model, prostor stanja/prijenosna funkcija). Struktura modela procesa

odabire se najčešće na temelju nekih prethodnih (a-priori) saznanja o procesu.

Na primjer, elastični dvomaseni sustav ima jedan ulaz (moment motora) i jedan izlaz

(brzinu vrtnje motora), a može se opisati linearnim dinamičkim modelom 3. reda u

prostoru stanja ili u obliku prijenosne funkcije:

mm

J

J

c

J

d

J

d

J

c

J

d

J

d

0

0

1

011

1

2

1

222

111

2

1

w

w

w

w

sJ1

1

s

1c

d

sJ2

1

+-

+ +

+

+-

-1m 1w 2w

m2m

w

2w

m

Ulaz

Mjerenje

Parametri

12

12

)(

1

)(

)(1

022

0

1022

2202

21

1

1

ss

ss

sJJsm

sG

m

m

ww

Mjerenja Ulazi u proces

Vektor parametara

Monički polinom reda n (n-1 parametar)

Polinom reda m n (m parametara)

Vremenski-diskretni operator

jediničnog kašnjenja

Procesna mjerenja (nominalni parametri)Predikcija (estimirani izlaz) za dane

estimirane parametre modela procesa

Općenito gledano, za kvalitetnu identifikaciju poželjno je znati kojeg bi reda mogao biti

proces (odnosno kojeg je reda njegova dominantna dinamika), te se može identificirati tzv.

“black-box” model procesa koji SISO sustav glasi:

),),1(),(),2(),1(()( θ kukukykyfky

Pritom se vrlo često koriste linearni modeli procesa (npr. model prijenosne funkcije):

)()(

)()(

1

1

kuqA

qBky

U svrhu ocjenjivanja kvalitete modela (mjere koliko dobro model opisuje statičko i

dinamičko vladanje procesa), potrebno je definirati odgovarajući kriterij optimalnosti

(kriterijsku funkciju).

U praksi se vrlo često koristi kriterij srednjeg kvadratnog odstupanja (Mean Squared

Error, MSE), odnosno srednjeg iznosa sume kvadrata predikcijske pogreške:

N

k

kykyJ1

2)]ˆ,(ˆ),([2

1)( θθθ

Predikcijska pogreška

Normiranje

Ova kriterij se vrlo često proširuje dodatnim težinskim članom koji uzima u obzir

složenost strukture modela (red modela), te se takav kriterij naziva AIC kriterij (Akaike

Information Criterion):

)log()]ˆ,(ˆ),([2

1)(

1

2 nmkykyJN

k

θθθ

)(

)(

Aordn

Bordm

Naglasak se sada daje na čim jednostavniji model koji dobro opisuje vladanje procesa.

Jednostavnost modela povoljna je sa stanovišta:

Dijagnostike – ukoliko se model koristi za praćenje vladanja procesa, njegov izlaz

će biti manje osjetljiv na šum

Regulacije – jer će jednostavniji model procesa rezultirati i regulatorom nižeg reda.

Tako se mogu izbjeći problemi sa relativnom stabilnošću regulacijskog kruga

povezani s numeričkom točnošću estimacije parametara modela visokog reda.

Postupci estimacije parametara mogu se kategorizirati kao:

a) Postupci koji se rabe na prethodno snimljenim podacima (“off-line”), te

postupci koji se provode u realnom vremenu (“on-line”),

b) Estimacija u vremenski-kontinuiranom ili diskretnom području, te estimacija u

frekvencijskom području (estimacija frekvencijskih karakteristika).

Kvaliteta estimacije ovisi o tome kako je postavljen problem identifikacije. Loše

postavljen problem identifikacije (loš izbor ispitnog signala, strukture/reda modela, ili

kriterijske funkcije), rezultirat će identificiranim modelom koji neće dobro opisivati

statičko i dinamičko vladanje procesa.

Tada je potrebno revidirati rezultate, odrediti vjerojatni uzrok pogreške, i ponoviti

postupak identifikacije.

3. Validacija modela

Validacija kazuje koliko dobro identificirani model predviđa vladanje objekta upravljanja

u smislu statičke točnosti i praćenja dominantne dinamike procesa

Nadalje, potrebno je da model procesa udovoljava sljedećim uvjetima:

a) Postupak estimacije parametara modela rezultira minimumom kriterija optimalnosti,

b) Model predstavlja minimalnu realizaciju (tj. dobiven je model najnižeg reda koji

dobro prati dinamiku procesa),

c) Pogreška predikcije e(k) = y(k) – y(k) nije korelirana, odnosno ima svojstva bliska

bijelom šumu, a što se u praksi određuje računanjem autokorelacijske funkcije:

^

N

k

ee kekeN

R1

)()(1

)(Normiranje

|)(|max

)()(

ee

eeee

R

RR Uvjet

nekoreliranosti

0,0

0,1)(

eeR

Broj parametara

Broj mjerenja

4. Estimacija parametara primjenom kriterija srednjeg kvadratnog odstupanja

Pretpostavlja se da se izlazna (mjerena) varijabla y može aproksimirati u funkciji ulazne

varijable x na sljedeći način:

n

i

iinn tttty1

2211 )()()()(

gdje su 1, 2, ..., n poznate funkcije, dok su 1, 2, ..., n nepoznati parametri.

Uz pretpostavku jednake točnosti svih mjerenja, princip minimuma kvadratnog

odstupanja nalaže da parametri 1, 2, ..., n moraju biti takvi da se postiže minimum

kriterija optimalnosti:

N

i

ii yyJ1

2]ˆ[2

1)(θ

gdje yi predstavlja i-to mjerenje izlazne varijable, dok

predstavlja estimat i-tog mjerenja na osnovi ulaza x i parametara modela 1, 2, ..., n

.

)()()(ˆ 2211 ttty nni

Uvode se sljedeće supstitucije (vektorsko-matrični zapis):

n 21φ

Tn 21θ

TNyyy 21y

)(

)(

)(

2

1

Nt

t

t

φ

φ

φ

Φ

Pseudoinverzija matrice F

Euklidska norma razlike

procjene izlaza i mjerenja

Odatle se problem optimizacije može napisati u sljedećem obliku:

2ˆ

2

1]ˆ[]ˆ[

2

1)( yyyyyyθ TJ

Uz daljnju supstituciju , optimizacijski problem poprima konačni matrični oblik:Φθy ˆ

][][2

1)( ΦθyΦθyθ TJ

Raspisivanjem kriterijske funkcije dobije se sljedeći izraz:

ΦθΦθyΦθΦθyyyθTTTTTTJ )(2

Odnosno kriterij srednjeg kvadratnog odstupanja ima minimum (J = 0) za slučaj kada je

FTF = FTy, odnosno za izbor parametara:

yΦΦΦθTT 1)(

0

Tθ

Pozitivni elementi:

funkcija ima minimum

Nakon deriviranja i izjednačavanja s nulom dobije se:

0 ΦθΦyΦTT Φθy Odakle slijedi da je

Detekcija loše estimacije parametara:

On-line usporedba odziva modela procesa i objekta upravljanja.

Praćenje vrijednosti determinante matrice FTF, gdje mali iznosi (bliski nuli)

sugeriraju matricu blisku singularnoj.

Može se u nekim slučajevima izbjeći loša

kondicioniranost matrice

Regularizacijski faktor

Problem loše kondicioniranosti matrice FTF za slučaj slabe popunjenosti (veliki setovi

mjerenja) moguće je do neke mjere kompenzirati uvođenjem tzv. egzaktne regularizacije u

kriterij optimalnosti (I = jedinična matrica):

θIθΦθyΦθyθTTJ ][][

2

1)(

yΦIΦΦθTT 1)(

Ovakav izbor kriterija optimalnosti rezultira sljedećim rješenjem problema optimizacije,

odnosno izrazom za optimalne parametre:

0

Tθ

Da bi izbjegla singularnost pseudoinverzije matrice F, matrica FTF mora biti dobro

kondicionirana, što se pri identifikaciji procesa postiže perzistentnom pobudom koja

pobuđuje sve bitne modove procesa (povoljna amplituda i širok frekvencijski spektar).

Ukoliko matrica FTF nije dobro kondicionirana može doći do razmjerno velike pogreške

estimacije parametara (parametri i mogu poprimiti nerealno visoke vrijednosti).

Stohastičke perturbacije (bijeli šum)

5. Off-line estimacija parametara linearnog dinamičkog sustava

Neka je model procesa takozvani ARX model (Auto Regresssive with eXogenous inputs):

A(q-1)y(k) = B(q-1)u(k) + e(k)

Nadalje, neka je red polinoma A jednak n i neka je red polinoma B jednak m = n – 1.

Temeljem ARX modela vektor parametara polinoma A i B i izlaz procesa mogu se zapisati

kako slijedi:

Tnn bbbaaa 2121θ

nn

nn

qbqbqbqB

qaqaqaqA

2

21

11

22

11

1

)(

1)(

gdje je vektor (k-1) definiran na sljedeći način:

)()2()1()()2()1()( nkukukunkykykyk φ

Uz matricu F i vektor izlaza y definirane kako slijedi:

)1(

)(

N

n

φ

φ

Φ

dobije se izraz za estimaciju

parametara modela u

prije opisanom obliku

yΦΦΦθTT 1)(

)()()( kekky θφ

)1(

)(

Ny

ny

y

Razmjerno jednostavan model, prikladan za izvod algoritma estimacije parametara

“Obojeni” šum

“Obojeni” šum

- AR (Auto-Regressive) model: A(q)y(k) = e(k)

)()(

)()(

)(

)()( ke

qC

qDku

qA

qBky

U praksi se, osim ARX modela, često susreću sljedeći modeli:

Bijeli šum

- ARMAX (Auto-Regressive Moving Average with eXogenous input) model:

A(q)y(k) = B(q)u(k) + C(q)e(k)

Ukoliko nas zanima dinamika s obzirom na stohastički poremećaj.

- Box-Jenkins model je poopćeni model koji odvojeno modelira determinističku i

stohastočku dinamiku objekta upravljanja:

Formalno točniji model u odnosu na ARX koji daje dodatni stupanj

slobode u modeliranju stohastičkog poremećaja kao obojenog šuma

Moguće je umjesto parametara vremenski-diskretnog modela estimirati parametre

vremenski-kontinuiranog modela procesa, kao na primjer:

ububububayayay nnnn

nnnn

1)2(

2)1(

11)1(

1)(

Složeniji model rezultira složenijim algoritmom estimacije parametara

Međutim, tada je potrebno estimirati vremenske derivacije izlaznog i ulaznog signala

kako bi se mogao primjeniti LS postupak estimacije parametara = [a1 ... an b1 ... bn]T.

Vremenske derivacije moguće je estimirati primjenom filtra varijabli stanja, čija

realizacija polazi od kanonskog forme modela filtra u prostoru stanja.

s

1+

s

1 fyy fyfy

*0a

-

*1a

s

1fy

*2a+

+

++

y

y

y

y

y

y

aaaaay

y

y

y

y

n

n

nnn

n

1

0

0

0

0

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

10000

0

001000

00100

00010

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

)1(

)2(

*1

*2

*2

*1

*0

)(

)1(

Parametri filtra varijabli stanja, npr.

prema optimumu dvostrukog odnosaFiltar varijabli stanja za rekonstrukciju prvih

triju vremenskih derivacija signala y.

Osnovna prednost filtra varijabli stanja leži u činjenici da su sve vremenske

derivacije filtrirane s istom dinamikom (imaju ista ekvivalentna kašnjenja).

6. Rekurzivni postupak estimacije parametara linearnog dinamičkog sustava

Prethodno objašnjeni postupak estimacije parametara primjeno “Least Squares” (LS)

kriterija može se efikasno primijeniti samo za slučaj “off-line” estimacije.

Naime, postupak u sebi sadrži inverziju matrice (FTF)1, što je numerički izuzetno

zahtjevno.

Stoga se za on-line primjene koristi rekurzivni postupak estimacije (Recursive Least

Squares, RLS) koji se ovdje daje bez izvoda:

Proračun parametara na temelju mjerenja)]()1()1()[()()1( kkkykkk θφKθθ

1])1()()1()[1()()( kkkkkk TTφPφφPK

)()]1()([1

)1( kkkk PφKIP

Proračun optimalnih pojačanja

Estimacija matrice kovarijanci parametara

K(k) je vektor (matrica) pojačanja za korekciju vektora parametara na osnovi mjerenja.

Matrica P(k) daje procjenu kovarijanci odstupanja estimiranih parametara od

njihovih “stvarnih” vrijednosti. Što je estimat odstupanja veći, to će i članovi

(dijagonalni) matrice kovarijanci P biti većih iznosa.

Faktor zaboravljanja

Integrator

Korekcija obzirom na mjerenja

Izbor početnih vrijednosti:

Početni iznosi parametara (0) se postave na pretpostavljene vrijednosti ili na nulu.

Početni iznosi matrice kovarijanci P(0) = mI (m = 102 – 104) radi brze konvergencije.

1 je slučaj kada nema zaboravljanja prošlih vrijednosti parametara , odnosno

RLS algoritam se ponaša kao integrator z/(z – 1) (spora dinamika estimacije),

0 je slučaj brzog zaboravljanja prošlih vrijednosti parametara , a RLS

algoritam se ponaša kao brzi P1 član z/(z – ) (praćenje brzih promjena parametara ).

Izbor faktora zaboravljanja:

Praćenje (monitoring) estimacije:

Zasniva se na praćenju iznosa članova matrice kovarijanci P.

Ukoliko iznosi članova matrice P rastu u vremenu (engl. P matrix blow-up), što

sugerira progresivno povećanje iznosa odstupanja parametara od realnih

vrijednosti, tada je potrebno zaustaviti estimaciju parametara.

Ova mjera može se primijeniti uz monitoring perzistentnosti pobude.

Rekurzivni postupak estimacije parametara primjenom Kalmanovog filtra

Neovisni stohastički Gaussovski procesi s

očekivanjima jednakim nuli.

Estimacija se svodi na estimaciju varijabli stanja linearnog vremenski-

diskretnog stohastičkog sustava zadanog u prostoru stanja na sljedeći način:

)1()1()( kkk νxx Jednadžba stanja:

)()()()( kkkk exHy Izlazna jednadžba: Šum mjerenja

Perturbacije u

varijablama stanja

Varijable stanja x(k) stohastičkog sustava opisane su očekivanjem E(x(k)) i

matricom kovarijanci odstupanja od očekivane vrijednosti P(k):

)1()1()( kkk QPP

Kalmanov filtar je karakteriziran minimumom kvadratnog odstupanja procjene

u odnosu na očekivane vrijednosti varijabli stanja (uz poznate matrice Q i R):

R(k) (dostupna iz

mjerenja)

Q(k-1)

)].1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ

,)()()()(

)()()(

,)1()1()1()1()1()(

kkkkkk

kkkk

kkk

kkkkkk

T

T

xHyKxx

RHPH

HPK

QPHKPP

Kalmanov filtar:

poopćenje RLS

algoritma

Veći stupanj slobode u

podešavanju dinamike

estimacije

Podešavanje Kalmanovog filtra odabirom matrica Q je kompromis između:

oslanjanja na mjerenja i bolje točnosti slijeđenja varijabli stanja (veći iznosi Q i K),

povoljnog odnosa signal/šum u procijenjenim stanjima (manji iznosi Q i K).

Poboljšanje slijeđenja Kalmanovog filtra: adaptacijski mehanizam zasnovan na

proračunu kumulativne sume predikcijske pogreške.

)(kK

q-1

+

+

(k) (k)g

(k-1)g

q-1RESET

u(k-1)

y(k)

Q0

Qadapt

Q Proračun

pojačanja K

Kalmanov filtar

(estimator) )|(ˆ kkx

(k)

gt

Algoritam detekcije nagle

promjene varijabli stanja

Kumulativna suma

Blokovski dijagram adaptacije Kalmanovog filtra.Dinamika

P matrice