PARTE 1

PROBLEMAS PROPUESTOS

FACTORIAL

2. 31 Calcular:

i. 9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 362880

ii. 10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800

iii. 11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 39916800

2. 32 Calcular.

i. 16!

14!

16 15 (14)!

14 ! = (16) (15) =240

ii. 14!

11! ,

14 13 12 (11)!

11 ! = 14 13 12 = 2184

iii. 8!

10! ,

8 )!

10 9 8 ! = 10 9 =90

iv. 10!

13! ,

(10)!

13 12 11 (10)! = 13 12 11 =1716

2.33 Simplificar.

i. 𝑛+1 !

𝑛 ! =

𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …1

𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …1 =

𝑛+1 𝑛 !

𝑛 ! = n + 1

ii. 𝑛 !

𝑛−2 ! =

𝑛 𝑛− 𝑛−2 !

𝑛−2 ! = n (n-1) = n2-n

iii. 𝑛−1 !

𝑛+2 ! =

𝑛−1 !

𝑛+2 𝑛+1 𝑛 𝑛−1 ! =

1

𝑛 𝑛+1 𝑛+2

iv. 𝑛−𝑟+1 !

𝑛−𝑟−1 ! =

𝑛−𝑟+1 𝑛−𝑟 𝑛−𝑟−1 !

𝑛−𝑟−1 ! = (n-r) (n-r+1)

PERMUTACIONES

2.34

i. ¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de letras diferentes

seguidas de 3 dígitos diferentes? R =26x25x10xx9x8= 468000

ii. Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. R = 26x25x9x8x7= 327600

2.35 De A a B hay 6 caminos y de B a C 4.

i. ¿De cuantas maneras se puede ir de A a C pasando por B? R = 6x4= 24

ii. ¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando

por B? r = 4x24=576

iii. ¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el

mismo camino más de una vez? R = 24x3x5=360

2.36 Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie

trineo) si uno de tres debe manejar.

1 persona. 5x4x3x2x1=120

1 persona. 5x4x3x2x1=120

1 persona. 5x4x3x2x1=120

R = 3x5x4x3x2x1=360.

2.37

i. Hallar el numero de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila.

5!=5x4x3x2x1=120 formas de sentarse.

ii. ¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de

otra?

2!x3! = 48 maneras

2.40 ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si

4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?

R = 8!

4!2!2! =

8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4!

4!𝑥2!𝑥2! =

8𝑥7𝑥6𝑥5

2!2! =

8𝑥7𝑥6𝑥5

4 = 420

2.42

i. Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila si los

hombres y las mujeres deben quedar alternados.

H = niños y M= niñas

4Hx4Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 576

4Mx4Hx3Mx3Hx2Mx2Hx1Mx1H = 576

576 + 576 = 1152

ii. Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sientan

siempre junto a una niña determinada.

7C1 =7

1H 7Hx3Mx3Hx2MX2HX1MX1H = 252

1M 7Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 252

252 + 252 = 504

iii. Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente pero los dos niños

mencionados no quedan en sillas adyacentes.

R = 1152-504 = 648

2.44 Una urna contiene diez bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas.

i. De tamaño tres con sustituciones

10X10X10=1000 Formas de tomar tres pelotas

ii. De tamaño tres sin sustituciones

10x9x8=720.

iii. De tamaño cuatro con sustitución

10X10X10X10=10000 Formas de tomar una pelota.

iv. De tamaño cinco sin sustitución

10x9x8x7x6=30240 formas de tomar cinco pelotas.

2.45 hallar el numero de maneras como se puede colocar en un estante 5 libros grandes, 4

medianos y 3 pequeño de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.

5!x4!x3!x3!=103,680 formas de colocar los libros.

2.55 Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.

i. ¿de cantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4?

12C4=495 formas de escoger un comité.

ii. ¿Cuántos comités contaran con una niña por lo menos?

12C4=495

9C4=126

12C4-9C4=495-126=369.

iii. ¿Cuántos tendrán una niña exactamente?

3x9C3=252.

2.56 Una señora tiene 11 amigos de confianza.

i. ¿de cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer?

11C5=462 maneras.

ii. ¿de cuantas maneras si dos son casados y no asiste uno sin el otro?

9C3+9C5=210 formas.

iii. ¿de cuantas maneras si dos de ellos no la van bien y no asisten juntos?

9C5+2x9C4=378 formas.

2.57 hay 10 puntos A,B… en un plano, en una misma línea no hay 3:

i. ¿Cuántas líneas forman los puntos?

10C2=45 formas.

ii. ¿Cuántas líneas no pasan por A o B?

8C2=28 formas.

iii. ¿Cuántos triángulos determinan los puntos?

10C3=120 formas.

iv. ¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A?

9C2=36 formas.

v. ¿Cuántos triángulos contiene el lado AB? R=8

2.58 Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen.

i. ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

13C10=286

ii. ¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias?

11C8=165 maneras.

iii. ¿Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria?

2x11C9=110 formas.

iv. ¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras?

5C3=10

8C7=8

5C3x8C7=80 formas.

v. ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las 5 primeras?

5C3x8C7+5C4x8C6+5C5X8C5=276 formas.

2.59 A una persona se le reparte una mano de “póker” (5 cartas) de una baraja corriente. ¿De

cuantas maneras puede recibir.

i. Una escalera flor?

4x10=40 formas.

ii. Un “póker”?

13x43=559 formas.

iii. Una escalera?

10x 45-40=10200 formas

iv. Un par de ases?

4C2x12C3x43=84480 formas.

v. Un par cualquiera (dos cartas iguales)?

13x4C2x12C3x43=1098240

2.60 El alfabeto inglés tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales.

i. ¿Cuántas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales diferentes, se pueden formar?

21C3x5C2x5!=1596000

ii. ¿Cuántas de estas contienen la letra b?

20C2x5C2x5!=228000 formas.

iii. ¿Cuántas contienen la b y contienen c?

19C1x5C2x5!=22800 formas.

iv. ¿Cuántas empiezan por b y contienen c?

19C1x5C2x4!=4560 formas.

v. ¿Cuántas empiezan por b y terminan por c?

19x5C2x3!=1140 formas.

vi. ¿Cuántas contienen las letras a y b?

4C1x20C2x5!=91200 formas.

PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS

2.61 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños?

9!

3!3!3! =1680

2.62 ¿De cuántas maneras pueden dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos?

1680/3!=280.

2.63 ¿De cuántas maneras se puede dividir 10 estudiantes en tres equipos?

10C4x5C2=2100.

2.64 ¿Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro

veces sucesivamente, todas sin sustitución?

12!

3!3!3!3! = 369600.

2.65 ¿De cuántas maneras se pueden repartir un club de 12 miembros en tres comités de5, 4 y 3

miembros respectivamente?

12!

5!4!3! =27720.

2.66 ¿De Cuántas maneras se pueden repartir n estudiantes en dos equipos que contengan un

estudiante por lo menos?

2n-1-1

2.67 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 14 hombres en 6 comités en los que dos sean de 3

hombres y los otros de 2?

14!

3!3!2!2!2!2! x

1

2!4! =3153150.

DIAGRAMAS DE ARBOL

2.68 Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de |a, b, c, d|.

2.70 Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto. El primer equipo que gane dos juegos

seguidos o un total de cuatro juegos gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede

suceder el juego.

4P2= 12+(juegos ganados seguidos)=14 formas.

2.71 U n hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha.

Se tiene después de 5 pasos si avanza 3 o se corre -2. Construir el diagrama de árbol para

descubrir todas las trayectorias posibles que puede seguir.

Existen 20 maneras de cómo puede suceder el juego, como se muestra en el diagrama.

PARTE 2

ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

3.25Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:

i. Suceda A o no B (A u BC)

ii. Ni A ni B sucedan (A u B)C

3.26 Sean A, B y C eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:

i. Sucede exactamente uno de los tres eventos A n (B u C) C

ii. Suceden por lo menos dos de los eventos (A u B) u C

iii. Ninguno de los eventos sucede (A u B u C)C

A B

A B

C

iv. Sucede A o B pero no C (A u B) u CC

3.27 Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de 10 y un dado.

i. Escribir el espacio muestral apropiado S={AA1,AA2,AA3,AA4,AA5,AA6,AS1,AS2,AS3,AS4,AS5,AS6,SA1,SA2,SA3,

SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6,}

ii. Expresar explícitamente los eventos siguientes: A= {que aparezcan dos caras y un numero primo}. B= {que aparezca un dos}, C= {que aparezca exactamente una cara o un numero primo}.

a) Primos: 1, 2, 3,5 A= {SS1, SS2, SS3, SS5}

b) B= {AA2, AS2, SA2, SS2}

c) C= {AS1, AS2, AS3, AS5, SA1, SA2, SA3, SA5}

iii. Exprese explícitamente el evento en que (a) A y B sucedan, (b) suceda solamente B, (c) suceda B o C.

a) A n B= {SS2}

b) B-(A U C)= {AA2}

c) B u C= {SS2, AA2, AS2, SA2, AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD

3.28 ¿Cuáles funsiones definen un espacio de probabilidad de S= {a1, a2, a3}?

i. P(a1)=1/4, P(a2)=

1/3, P(a3)=1/2 NO VALIDO

ii. P(a1)=2/3, P(a2)=-1/3, P(a3)=

2/3 NO VALIDO iii. P(a1)=

1/6, P(a2)=1/8, P(a3)=

1/2 SI VALIDO iv. P(a1)=0, P(a2)=

1/8, P(a3)=2/8 SI VALIDO

3.29 Sea P una función de probabilidad de S= {a1, a2, a3}. Hallar P (a1) si

i. P(a2)=1/3 y P(a3)=

1/4 P(a1)=5/12

ii. P(a1)=2 P(a2) y P(a3)=1/4 P(a1)=

1/2 iii. P({a2,a3})=2 P(a1) P(a1)=

1/8 iv. P(a3) =2 P(a2) y P(a2)=3 P(a1) P(a1)=

1/10

3.30 Se carga una moneda de manera que la posición de salir cara sea tres veces la de salir sello.

Hallar P (H) y P (T).

P (H)= 3/4

P (T)=1/4

3.31 Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma

probabilidad de ganar y el doble de la de C. hallar la probabilidad de que gane B o C.

P(A u B)= 3/5

3.34 En una carrera de natación la ventaja de que gane A es dos a tres y la ventaja de que B gane

es de uno a cuatro. Hallar la probabilidad p y la ventaja de que A o B ganen la carrera.

P(A u B)= 3/5 La ventaja es 3 a 2

ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE

3.37 De las 10 niñas de una clase. 3 tienen ojos azules, si se escogen dos niñas al azar ¿Cuál es la

probabilidad de que:

S=10C2=45

i. Las dos tengan ojos azules? 3C2= 3 parejas

P(Ñ=2)=3C2/10C2=1/15=6.66%

ii. Ninguna tenga ojos azules? 7C2=21

P(A=0)= 7C2 / 10C2 = 7/15 = 46.6%

iii. Una por lo menos tenga los ojos azules? P(A>=1)= 7/15+

1/15 = 8/15

3.40 Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de tres, hallar la

probabilidad de:

i. Seleccionar tres niños. 10C3=120

P(O=3)10C3/16C3=120/560=

6/28=3/14

ii. Seleccionar exactamente dos niños 10C2*6C1=270

(PO=2)=10C2*6C1/16C3=270/560=

27/56

iii. Seleccionar por lo menos un niño P(O>=1)=27/56+

3/14+15/56=

27/28

iv. Seleccionar exactamente 2 niñas 6C2*10C1=150

P(A=2)=6C2*10C1/16C3=150/560=

15/56

3.42 De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y

español. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante:

i. Estudie francés y español

F n E = {20} p (F n E) = 20/120 = 10/60 = 5/30 = 1/6

ii. No estudie francés ni español

(F u E)C = {30} P (F u E) C = 1-P 8 (F u E) = 1-3/4=1/4

3.43 3 niños y 3 niñas se sientan en una fila. Hallar la probabilidad de que

i. Las tres niñas se sienten juntas 1/5

ii. Los niños y las niñas se sienten alternados

1/10

PARTE 3

ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

3.36 sean a y b eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento

donde:

a) Ocurra a o no b.

(AUB)C

b) Ni a ni b sucedan.

(AUB)C

3.37 sean a, b y c eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento:

a) Ocurra a o c, pero no ocurra b.

(A u B) u CC

b) Ocurra exactamente uno de los tres eventos.

A ∩ (B u C) C

c) Ninguno de los eventos ocurra.

(A u B u C) C

d) Al menos dos de los eventos ocurran.

(A u B) u C

3.38. Se lanza una moneda de un centavo, una de diez y un dado. Describa el espacio muestral

S apropiado y encuentre n(s).

S {AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6,

AS1, AS2, AS3, AS4, AS5, AS6,

SA1, SA2, SA3, SA4, SA5, SA6,

SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}.

n(S)=24.

3.39 para el espacio S en el problema 3.38 exprese explícitamente los eventos siguientes.

A. {aparecen dos caras y un número par}.

B. A= {AA2, AA4, AA6}. ]

C. {que aparezca un numero dos}.

B = {AA2, AS2, SA2, SS2}.

D. {exactamente una cara y un número impar}.

C = {AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}.

3.40 para los eventos a, b, c en el problema 3.39exprese explícitamente el evento:

a) A y B.

(A ∩ B) = {SS2}.

b) Solamente B

B - (A ∩ C) = {AA2}.

c) B y C.

(B ∩ C)= AS2, SA2}.

d) A pero no B.

(A u BC) = {AA4, AA6}.

Espacios equiprobables finitos.

3.41 determine la probabilidad de cada evento:

a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un número impar.

A = 3

6 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠

b) Que al lanzar cuatro monedas equilibradas aparezcan 1 cara o mas.

4 * 4= 16 15

16 formas

c) Que al lanzar 2 dados equilibrados ambos números excedan de cuatro.

6*6=36 4

36 formas

d) Que aparezca exactamente un 6 al lanzar 2 dados equilibrados.

= 𝟏𝟎

𝟑𝟔 formas

e) Que aparezca una carta roja o una figura cuando una carta se selecciona aleatoriamente

de un naipe de 52 cartas. 𝟑𝟐

𝟓𝟐

3.44 hay tres tornillos y tres tuercas en una caja. Se escogen dos partes al azar. Encuentre la

probabilidad de que uno sea tornillo y la otra tuerca.

𝟑

𝟓 Formas, porque ambos tienen la misma probabilidad, ya que son la misma cantidad de 3, en la

caja y suman 6, pero se descuenta 1, debido a que es el que se puede sacar al azar.

3.45 una caja contiene dos medias blancas, dos medias azules, y dos medias rojas. Se sacan 2

medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color).

2+2+2= 6

6C2=15

𝟑

𝟏𝟓 =

𝟏

𝟓

3.46 de 120 estudiantes, 60 están estudiando francés, 50 están estudiando español y 20 están

estudiando francés y español. Se elige un estudiante al azar. Encuentre la probabilidad de que el

estudiante este estudiando:

a) Francés y español.

F ∩ E= {20}

P (F ∩ E)= 20

120 =

10

60 =

1

6

b) Francés o español.

F u E = {90}

c) Ni francés ni español.

(F u E) c = {30}=1

4

P (F u E)’=1 – P (F u E) = 1- =1

4

d) Solamente español.

F – (F ∩ E)= F- E= {40}=1

3

e) Exactamente uno de los dos idiomas.

3.47 de diez niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Dos de las niñas se escogen al azar.

Encuentre la probabilidad de que:

a) Ambas tengan ojos azules.

3C2 =3 pareas.

b) Ninguna tenga ojos azules.

7C2= 21 parejas.

P (A=0)=7𝐶2

10𝐶2 =

21

45 =

7

15= 0.466 = 46.6%.

c) Al menos una tenga ojos azules.

P (P ≥ 1)= 7

15 =

1

5=

8

15= = 0.533 = 53.3 %

d) Exactamente una tenga ojos azules.

3C2 * 7= 21 pareas.

P (A=1)= 3𝐶2 7𝐶2

10𝐶2=

21

47=

7

15= 0.466=46.6%

3.48 hay 10 estudiantes en una clase. Selecciona un comité de tres de la clase. Encuentre la

probabilidad de que:

a) A pertenezca al comité. 𝟑

𝟏𝟎

b) B pertenezca al comité. 𝟑

𝟏𝟎

c) A y b pertenezca al comité.

A+B= 2

d) A o B pertenezca al comité. 𝟖

𝟏𝟓

ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS

3.49 ¿Bajo cuál de las siguientes funciones se convierte S = {a1, a2, a3} en un espacio de

probabilidad?

(a) P (a1) =0.3 P (a2) = 0.4, P (a3) = 0.5

(b) P (a1) = 0.7 P (a2) = -0.2, P (a3) = 0.5

(c) P (a1) = 0.3 P (a2) = 0.2 P (a3) = 0.5

(d) P (a1) = 0.3, P (a2) = 0, P (a3) = 0.7

3.50 Se ha alterado el peso de una moneda de manera que la probabilidad de que salga cara es

tres veces mayor que la probabilidad de que salga sello. Encuentre P (H) y P (T).

𝟒

𝟒

P (H)=3

4

3.51 Suponga que A y B son eventos con P (A) = 0.7 P (B) = 0.5, y P (A n B) = 0.4. Encuentre la

probabilidad de que:

(a) no ocurra A.

P (A)’ = 1 – P (A) = 1-0.7= 0.3.

(b) ocurra A o B.

P (A u B)= P (A)+ P (B)- P (A∩B).

= 0.7+ 0.5 - 0.4.

= 0.8

(C) ocurra A pero no ocurra B.

P (A) – P (A∩B)= 0.7- 0.4 = 0.3.

(d) no ocurra A ni B.

P (A u B)’= 1- P (A u B) =1- 0.8 = 0.2

3.52 Considere la siguiente distribución de probabilidad:

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐

𝑷𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔

𝟎.𝟏 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟏 𝟎. 𝟐 𝟎. 𝟐 𝟎. 𝟏

Considere los siguientes eventos:

A = {número par, B = {2, 3, 4, 5} C = {1, 2}

Encuentre: (a) P (A), (b) P (B), (c) P (C), (d) P (Ø), (e) P (B n Cc)

3.54 Para los eventos A, B, C en el problema 3.52, halle:

(a) P (A n B), (b) P (A u C), (c) P (B n C), (d) P (Ac), (e) P (B n Cc).

3.54 Hay tres estudiantes A, B, C en una competencia de natación, A y B tienen la misma

probabilidad de ganar y cada uno tiene el doble de probabilidad de ganar que C. Encuentre la

probabilidad de que

(a) B gane

𝟐

𝟓

(b) C gane

𝟏

𝟓

(c) B o C gane

𝟑

𝟓

3.55 Sea P una función de probabilidad en S = {a1, a2, a3}. Encuentre P (a1) si

(a) P (a1) = 0.3, P (a3) = 0.5;

(b) P (a1) = 2 P (a2) y P (a3) = 0.7;

(c) P ({a2, a3}) = 2P (a1);

(d) P (a3) = 2P (a2) = 3P (a1)

MIGUEL ANGEL RUIZ RAMIREZ

2° A

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES