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Introduction Plan
Probabilistic computation of the Smith normalform of a sparse integer matrix
Mark Giesbrecht
1996
Mark Giesbrecht
Probabilistic computation of the Smith normal form of a sparse integer matrix
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Introduction Plan
Introduction
Nouvel algorithme pour calculer la forme normale de Smith deA ∈Mm,n(Z) :
probabiliste de type Monte-Carlo (bon résultat avec probabilité> ε)concept de boîte noireexploite la structure creuse
Mark Giesbrecht
Probabilistic computation of the Smith normal form of a sparse integer matrix
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Introduction Plan
Introduction
Complexité temporelle : O∼(
m2 log (‖A‖) log(1ε
))produits
matrice-vecteur
Problème : convergence non démontrée
Mark Giesbrecht
Probabilistic computation of the Smith normal form of a sparse integer matrix
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Introduction Plan
Plan
1 PréliminairesForme normale de SmithBoîte noire
2 AlgorithmeAlgorithmeAmélioration
Mark Giesbrecht
Probabilistic computation of the Smith normal form of a sparse integer matrix
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Préliminaires
Première partie I
Préliminaires
Mark Giesbrecht
Probabilistic computation of the Smith normal form of a sparse integer matrix
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Préliminaires
Forme normale de Smith
Smith (1861)
A ∈Mm,n(Z)
S = PAQ =
s1 0 . . . . . . . . . 0 0 . . . 0
0. . . . . .
......
......
. . . sr. . .
......
......
. . . 0. . .
......
......
. . . . . . 0...
...0 . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0
P et Q unimodulairesr = rg(A)
S unique telle que si |si+1
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Préliminaires
Forme normale de Smith
Diviseurs déterminants
Définition : dk , le kème diviseur déterminant de A, est le pgcd detous les mineurs de A de taille k × k .
exemple
Propriété : On pose d0 = 1. Pour tout i , si =di
di−1.
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Préliminaires
Boîte noire
Présentation
On ne connaît pas directement la matrice A.
boitenoire
v Av
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Algorithme Conclusion
Deuxième partie II
Algorithme
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Entrées-sorties
Entrées :
boîte noire pour Atolérance ε > 0
Sorties :
r = rg(A)
d1, . . . , dr
Les sorties sont correctes avec probabilité 1− ε.
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Initialisation et test
Initialisation :r , d1, . . . , dm, count ← 0Boucle principale, à répéter tant que
count 6
(log(1ε
)+ 3 log(m) + log(log(‖A‖))
)Test final :
Si dr = d1
r∏i=2
di
di−1
Alors renvoyer r et (d1, . . . , dr )Sinon recommencer
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Boucle principale (1/4)
Choisir au hasard :
U =
1 α2 . . . αm
1. . .
.... . . α2
1
; L =
1
β2. . .
.... . . 1
... β2
......
βn . . . βn−m+1
D =
γ1. . .
γm
On pose : B = UALD
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Boucle principale (2/4)
Calculer le polynôme minimal de B :
g = x s +s−1∑k=0
bkxk
Le polynôme caractéristique de B est probablement gxm−s .
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Boucle principale (3/4)
On pose k = Min{i ∈ N, bi 6= 0} :
si k > 1 ou (k = 0 ∧ s < m) alors recommencersi k = 0 alors poser r̄ = msi k = 1 alors poser r̄ = s − 1
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Boucle principale (4/4)
Si r̄ = r :
incrémenter countpour i de 1 à r , poser di = pgcd(di , bm−i )
Si r̄ > r :
poser r = r̄ et count = 1pour i de 1 à r , poser di = bm−i
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Boucle principale (4/4)
Si r̄ = r :
incrémenter countpour i de 1 à r , poser di = pgcd(di , bm−i )
Si r̄ > r :
poser r = r̄ et count = 1pour i de 1 à r , poser di = bm−i
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Théorème
Théorème : On utilise les notations de l’algorithme. On note
f =n∑
i=0
aix i le polynôme caractéristique de B .
Alors, pour tout k ∈ J1, nK, dk |an−k .
idée de la preuve
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Algorithme Conclusion
Algorithme
Complexité et convergence
Si convergence : O∼(
m2 log (‖A‖) log(1ε
))produits
matrice-vecteur (modulo un entier premier) et
O∼((
m2n log (‖A‖) + m3 log2 (‖A‖))log(1ε
))opérations sur
des bits
Mais problème de convergence.
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Algorithme Conclusion
Amélioration
Idée
Coefficients de U, L,D non plus choisis dans Z mais dans unanneau plus grand R.
↪→ Les coefficients du polynôme caractéristique de B sontpolynomiaux.
Théorème : On reprend les notations précédentes.Alors, pour tout k ∈ J1, nK, an−k a pour contenu dk .
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Algorithme Conclusion
Amélioration
Contenu d’un polynôme
Définition : Le contenu d’un polynôme à coefficients dans Q est lepgcd de ses coefficients.
exemple
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Algorithme Conclusion
Amélioration
Principe
Nouvel algorithme Monte-Carlo FindContents :
Entrées : boîte noire évaluant un uplet de polynômes en unpoint de R, εSorties : contenus de ces polynômes avec probabilité > 1− ε
Utilisation du pgcd comme précédemment.
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Algorithme Conclusion
Amélioration
Nouvel algorithme
1 Poser r le rang de A2 Choisir au hasard des matrices U Toeplitz supérieure, L
Toeplitz inférieure et D diagonale, à coefficients dans R3 Poser B = UALD et définir une boîte noire qui évalue les r
coefficients de plus grand ordre du polynôme caractéristique deB en 3n − 2 points de R
4 Appliquer FindContents en utilisant cette boîte noire
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Algorithme Conclusion
Amélioration
Nouvel algorithme
1 Poser r le rang de A2 Choisir au hasard des matrices U Toeplitz supérieure, L
Toeplitz inférieure et D diagonale, à coefficients dans R3 Poser B = UALD et définir une boîte noire qui évalue les r
coefficients de plus grand ordre du polynôme caractéristique deB en 3n − 2 points de R
4 Appliquer FindContents en utilisant cette boîte noire
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Algorithme Conclusion
Amélioration
Pourquoi se placer dans R ?
Exemple : f (x) = 5x4 + 10x3 − 5x2 − 10x .
On peut se placer dans R = Z[z ]/Γ avec Γ = z3 + 2z2 + 2z + 3.
algorithme
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Algorithme Conclusion
Conclusion
un algorithme probabiliste pour calculer la forme normale deSmith : meilleure complexité que le meilleur algorithmedéterministe alors connuconcept de boîte noireproblème de convergence
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Algorithme Conclusion
Remarques
problèmes soulignés (rang de A . . .)article hésitantimplantation pas évidente
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Algorithme Conclusion
Des questions ?
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