probability and statistics רפיצנק ןי גוי הקיטסיטטסו...

Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper © All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.

L-36

PROBABILITY AND STATISTICS קנציפר ין'יוג מאת הסתברות וסטטיסטיקה

2005/06כל הזכויות שמורות © Eugene Kanzieper © All rights reserved 2005/06

5 הרצאה התפלגויות בדידות מיוחדות

• לגות גיאומטרית התפ• התפלגות בינומית ומשפט הפרוק• ניסוי והתפלגות ברנולי • התפלגות אחידה • • התפלגות היפרגיאוטרית שלילית• התפלגות היפרגיאומטרית• התפלגות בינומית שלילית•

• קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרי • נוסחת סטירלינג • פואסוןהתפלגות זרם אירועים פואסוני ו • •רוב פואסון להתפלגות בינומית קי• קירוב בינומי שלילי להתפלגות היפרגיאומטרית שלילית •

.ור תופעות שונות בטבעא חשובות המופיעות בתי בדידות נלמד התפלגויות זובהרצאה

התפלגות אחידה 5.1

פונקצית הסתברות 5.1.1

.D5 1הגדרה

אם הוא N— ל1בין [uniform distribution] התפלגות אחידהבעל נקרא X בדיד משתנה מקרי

בהסתברות N,...,2,1הערכים ממקבל כל אחדN1

,כלומר.

NkXPkxPX

1)()( ====

Nkעבור ~)1,(—אנחנו נסמן משתנה כזה כ. =2,1,..., NUX d.

E5.1 דוגמא

הוא משתנה מקרי בדיד מספר נקודות על הפאה = Xמשתנה מקרי , "מאוזנת יההטלת קובי"בניסוי

~)6,1(: 6— ל1בעל התפלגות אחידה בין dUX.

פונקצית התפלגות מצטברת 5.1.2

~)1,( של משתנה מקרי מצטברתפונקצית התפלגות . טענה NUX dנתונה על ידי הנוסחא

⎣ ⎦

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

<≤

<

=

Nt

NtNt

t

tFX

,1

1,

1,0

)(

⎣, כאן ⎦t חלק שלם של מספר" מסמן את הפונקציה ."

מדיאגרמת מקלות עבור פונקצית הסתברות נובע כי . הוכחה

( )Nk

NmXPkXPktF

k

m

k

mX ∑∑

==

====≤==11

1)()(.

Nk, כאן ,כמו כן. =2,1,...,


L-37

NkktkFX =+<≤ )1(.

.סוף הוכחה. תי הנוסחאות האחרונות מוכחות את הטענהש

תוחלת ושונות 5.1.3

~)1,(תוחלת של משתנה מקרי . טענה NUX dנתונה על ידי הנוסחא

21][ +

=NXE.

,תוחלתה תעל פי הגדר .הוכחה

[ ] ( ) ∑∑=

⋅=⋅=N

kxX N

kxPxXE1

1.

ניקח בחשבון כי 2

)1(1

+=∑

=

NNkN

k , אזי.

[ ] ( )2

12

1111

+=

+⋅== ∑

=

NNNN

kN

XEN

k

. סוף הוכחה.כנדרש

~)1,(שונות של משתנה מקרי . טענה NUX dנתונה על ידי הנוסחא

121]var[

2 −=

NX.

,השונות תעל פי הגדר .הוכחה

[ ] [ ] [ ]( )22var XEXEX −=. :חישוב

[ ] ( ) ∑∑=

⋅=⋅=N

kxX N

kxPxXE1

222 1.

— מכיוון ש( )( )

6121

1

2 ++=∑

=

NNNkN

k :ו מקבליםחנאנ,

[ ] ( )( ) ( )( )6

1216

121111

22 ++=

++⋅== ∑

=

NNNNNN

kN

XEN

k.

,אזי

. סוף הוכחה.כנדרש

.L5 1 שאלה

בניבוי מספר נקודות על הפאה = Xשל משתנה מקרי בדיד שונות וסטיית תקן , תוחלתי/חשב ."הטלת קובייה מאוזנת"

~)6,1(. פתרון dUX6— כך ש=Nו —

[ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) ( )12

14

16

121var22

22 −=

+−

++=−=

NNNNXEXEX


L-38

.71.13

3521]var[

;92.21235

1216]var[

;27

216][

2

≈==

≈=−

=

=+

=

X

X

XE

σ

L5.2 שאלה

. X של משתנה מקרי שונות וסטיית תקן, תוחלתי/חשב. נבחרת באופן מקריXסיפרה

מקבל Xכעת אחיד מפני ששתנה מקרי אות עבור מאי אפשר להשתמש ישירות בנוסח. פתרון

=+1החדש נגדיר את המשתנה . 9— ל0ערכים בין XY . אזי.10— ל1בין אחיד מתפלגהוא ,

291

21101][]1[][ =−

+=−=−= YEYEXE.

, באותה דרך

433

1299

12110]var[]1var[]var[

2

==−

==−= YYX.

סטיית התקן

87.23321

≈=σ.

[Bernoulli distribution]ברנולי התפלגות 5.2

ניסוי ופרמטר ברנולי 5.2.1

D5.2 הגדרה .[F - failure] וכישלון [S - success] הצלחה –ניסוי בו יתכנו רק שתי תוצאות אפשריות הוא ניסוי ברנולי

pSPנהוג לסמן את ההסתברות להצלחה דרך pFP דרך ואת ההסתברות לכישלון)(= כך )(1=−

)()(1—ש =+ FPSP .פרמטר הp פרמטר של ניסוי ברנולי נקרא.

E5.2 דוגמא

, עבור מטבע מאוזן. "פלי" ו"עץ" –הטלת מטבע עם שתי תוצאות אפשריות .א21

=p . עבור

10 יכול לקבל כל ערך p")עץ"(הסתברות להצלחה ,מטבע מזויף ≤≤ p .

, במקרה זה. נקודות6פאה עם — עם ההצלחה המוגדרת כ מאוזנתהטלת קובייה .ב61

=p .

, לידת בן או בת .ג21

=p.

משתנה והתפלגות ברנולי 5.2.2

D5.3 הגדרה


L-39

~)Ber( לימשתנה ברנו pX בעל פרמטרp במקרה של 1 הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערך :של כישלון במקרה ההפוך0את הערך ו" הצלחה"

.R5 1 הערה

.''הצלחות'' מונה את הברנולימשתנה . משתנה מציין, משתנה מצביע: של המשתנהשמות אחרים

D5.4 הגדרה

~)Ber( של משתנה ברנולי ברנוליהתפלגות pXנתונה על ידי פונקצית הסתברות

pXPpXP −==== 1)0(,)1( .

פונקצית התפלגות מצטברת עבור משתנה ברנולי 5.2.3

~)Ber(יהיה . טענה pX . התפלגות מצטברת היא פונקצית

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−

<=

1,1,10,1

,0,0

ttp

ttFX

. התפלגות מצטברתפונקצית יש להשתמש בהגדרה של . הוכחה


~)Ber(תוחלת של משתנה מקרי . טענה pXנתונה על ידי הנוסחא

pXE =][. .הוכחה

( ) ( ) pppxPxXEx

=⋅+−⋅=⋅=∑ 110][.

.סוף הוכחה

~)Ber( מקרי שונות של משתנה. טענה pXנתונה על ידי הנוסחא

)1(]var[ ppX −=. .הוכחה

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )ppppppxPxXEXEXxp

−=−⋅+−⋅=−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑ 1110]var[ 22222

2

2.

.סוף הוכחה

⎩⎨⎧

='''כשלון'

'''הצלחה'

,0,1

X


L-40

[Binomial distribution]התפלגות בינומית 5.3

משתנה בינומי 5.3.1

D5.4 הגדרה

~)Bin,( בינומימשתנה pnX יםבעל פרמטר n10— ו << pקבל את הוא משתנה בדיד אשר מ

nkהערכים בהסתברויות=1,0,,...

knkknX ppCkXPkxP −−==== )1()()(.

ראשון חלק – E5.3 דוגמאמרחב המדגם הוא , מבחינת מן הילדים. מקריתהנבחרשנתבונן במשפחה בת שלושה ילדים

,,,,,,, FFFFFMFMFFMMMFFMFMMMFMMM=Ω .שתנה מקרינגדיר מ X =

על פי גישה קלאסית להסתברות . 3, 2, 1, 0 הם Xהערכים האפשריים של . מספר בנות במשפחה :ערכים אלה מופיעים בהסתברויות

3 2 1 0 X

FFF FFMFMFMFF ,, FMMMFMMMF ,, MMM מאורע

81

83

83

81

)(xPX

— וn=3 בעלת פרמטרים כהתפלגות בינומיתשבטבלהניתן לזהות את ההתפלגות 21

=pכך ש —

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,3Bin~X . חישוב פשוט מראה כי

( )

.81

21

21)3(,

83

21

21)2(

,83

21

21)1(,

81

21

210

0333

1223

2113

3003

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

CXPCXP

CXPCXP

.משפט הפרוקהסבר לעובדה זו מגיע מ

פט הפרוק מש 5.3.2

ניסוח —T5.1 משפט

nXXX משתני ברנולי n של Xסכום ,...,, מתפלג בינומית עם p בלתי תלויים בעלי פרמטר 21

,כלומר. p- וnפרמטרים

( )pnXXXXXn

jjn ,Bin~...

121 ∑

=

=+++=.


L-41

שני חלק – E5.3 דוגמא

מספר בנות = Xמשתנה מקרי להבין הופעה של התפלגות בינומית עבור משפט הפרוק עוזר לנו שלושה משתני ברנולי נגדיר , כדי למנות את מספר הבנות במשפחה. ילדים3במשפחה אקראית בת

p=2/1 בלתי תלויים בעלי פרמטר

⎩⎨⎧

=בן

בת

,0,1

jX ,3,2,1=j .

321נתון על ידי הסכום במשפחה אקראית Xמספר בנות כי קל להבין XXXX —כיוון ש. =++

)Ber(~ pX j) 3,2,1=j( , על פי משפט הפרוק המשתנהX 3 מתפלג בינומית עם פרמטרים=n

⎟ ,כלומר. p=2/1—ו⎠⎞

⎜⎝⎛

21,3Bin~X.

הוכחה —T5.1 משפט

nXXX בלתי תלוים משתני ברנוליn בסדרה שלבונןנת ,...,, ~)p :)Ber בעלי פרמטר 21 pX j

njעבור ,...,1=:

⎩⎨⎧

=- בהסתברות

בהסתברות

p

pjX

1,0,1

kXXמהי ההסתברות למצוא n

jj ==∑

=1

nk הם Xכים האפשריים של ברור כי הער(? ,...,1,0=.(

⎟⎟על מנת לחשב את ההסתברות ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∑

=

kXPn

jj

1

שמור לערך של j—התא ה, תאיםn— נתבונן ב

kXXום כדי להגיע לסכ.1 או 0 אשר jXהמשתנה n

jj ==∑

=1 תאים ישנם n—יש להבטיח כי ב,

)(— אחדים וkבדיוק kn : אפסים−

43421k אחדים

43421kn- אפסיםם

knkהסתברות של מאורע זה היא , על פי עקרון הכפל pp −− סדרה הסתברות זו מתייחסת ל. )1(

)(— אחדים וk של מסוימת kn k—כיוון שישנם סדרות אחרות נוספות שמורכבות מ. אפסים−

)(—אחדים ו kn knkמסיבה זו יש להכפיל את ההסתברות . אפסים− pp −− במספר אופציות )1(

)(— אחדים וkלסדר kn : אפסים בשורה−

knn C

knkn

knkn

knkP =−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−)!(!

!,

),(.

, כתוצאה

knkkn

n

jj ppCkXP −

=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∑ )1(

1

nkעבור .סוף הוכחה. =1,0,...,

1 1 1 ... 0 0 0 0


L-42


~)Bin,(תוחלת של משתנה מקרי . טענה pnXנתונה על ידי הנוסחא

npXE =][. .הוכחה

~)Bin,(מותר לפרק את המשתנה , על פי משפט הפרוק pnX לסכום של nבלתי משתני ברנולי

nXXX תלויים ,...,, ~)p :)Ber בעלי פרמטר 21 pX j) כאןnj ,אזי). =1,...,

[ ] [ ] pnpXEXEXEn

j

n

jp

j

n

jj ∑ ∑∑

= ==

⋅===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1 11 321.

.סוף הוכחה

~)Bin,(שונות של משתנה מקרי . טענה pnXנתונה על ידי הנוסחא

)1(]var[ pnpX −=. .הוכחה

~)Bin,(מותר לפרק את המשתנה , על פי משפט הפרוק pnX לסכום של nבלתי משתני ברנולי

nXXX תלויים ,...,, ~)p :)Ber בעלי פרמטר 21 pX j) כאןnj ,אזי). =1,...,

[ ] [ ] )1()1(varvarvar1 1

)1(1

ppnppXXXn

j

n

jpp

j

n

jj −⋅=−==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑ ∑∑

= =−

= 321.

.סוף הוכחה

L5.3 שאלה

. נורה פגומהלייצור 2%קיימת הסתברות של , תהליך ייצור נורותב

? נורות פגומות4 נורות ימצאו בדיוק 50 ההסתברות שבמשלוח של ימה .א ? נורות פגומות4— ההסתברות שבמשלוח יהיו פחות מימה .ב

. p=02.0 ייצור נורה פגומה = ''הצלחה''בעל הסתברות ל בודדת הוא ניסוי ברנולינורה ייצור .פתרון

נגדיר את המשתנה המקרי) j ) 50,...,1=j—הנורה העבור

⎩⎨⎧

=תקינה

פגומה

,0,1

jX

∑ הוא נורות n=50מספר כולל של נורות פגומות במשלוח של , אזי=

=n

jjXX

1

אם נניח שאין תלות .

משתני ברנולי כלסדרה של משתנים בלתי 50מותר להתייחס לסדרה של , בין ייצור נורות שונות

), משפט הפירוקעל פי . תלויים )02.0,50Bin~50

1

=== ∑=

=

pnXXn

jj .ה מכך כתוצא,

)4()02.0()02.01(0145.0 .א 4504450 ≈−== −CXP.

)4()0()1()2()3(982.0 .ב ≈=+=+=+==< XPXPXPXPXP.

L5.4 שאלה

המכשיר . להימצא במצב תקין80% יחידות זהות בלתי תלויות ולכל אחת הסתברות 5מכשיר מכיל ? ההסתברות שהמכשיר יפעל ברגע מסויםימה. יחידות תקינות3כולו פועל רק כשיש בו לפחות


L-43

5על סדרה של מדובר . p=8.0 פרמטר מצבה של יחידה אחת היא ניסוי ברנולי בעל בדיקת.פתרון

הרי ) n=5מתוך ( הוא מספר היחידות התקינות Xאם , לכן. ניסויי ברנולי

)8.0,5Bin(~ == pnXת הדרושה היאההסתברו, כתוצאה. משפט הפירוק בהתאם ל

( ) ( ) ( ) 942.0543)3( ≈=+=+==≥ XPXPXPXP.

L5.5 שאלה

? נתוןיםמסו תאריך איש נולדו באותו 20 ההסתברות שלפחות שני סטודנטים מכיתה המונה ימה

בהסתברות , אם נתון תאריך מסוים .פתרון3651

=p אותו תאריךסטודנט שנבחר מקרית נולד ב .

לג והוא מספר מקרי המפ) שבכיתה20מתוך (תאריך נולדו באותו שX סטודנטים כולל שלמספר

⎟בינומית ⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

3651,20Bin~ pnX 200ההסתברות למצוא בדיוק כך ש ≤≤ k סטודנטים

כאלה היא

( )( )20

20

20 365364)(

kkCkXP

−

==

1,0,,...20עבור =k .היאשת ההסתברות המבוק, אזי

( ) ( ) 41013.1101)2( −⋅≈=−=−=≥ XPXPXP.

[Geometric distribution]התפלגות גיאומטרית 5.4

סדרת ניסוי ברנולי עד ההצלחה הראשונה 5.4.1

בוודאי שלא ידוע לנו . ) להיות סדרה אינסופיתהיכול (ו מבצעים סדרה של ניסוי ברנוליחננניח שאנ

שידרשו כדי להגיע להצלחה ברנוליאת מספר הניסוי X—נסמן ב. ונהלהצלחה הראשמתי נגיע

kX ת ההסתברות לקבלימה. בפעם ראשונה ).k=2,1...,, כאן(? =

: בכישלוןהניסויים הקודמים הסתיימו, k—האם ההצלחה הראשונה התרחשה בניסוי

)ההסתברות המתאימה היא , הכפלל פי עקרוןע ) ppkXP k ⋅−== .k=2,1..., עבור )(11−

D5.5 הגדרה

~)G( גיאומטרימשתנה pX 10 בעל פרמטר << pקבל את הערכים הוא משתנה בדיד אשר מ

...,2,1 =kבהסתברויות

1)1()()( −−==== kX ppkXPkxP.

k—התא ה

k—ההצלחה ה כשלון כשלון כשלון ... כשלון

1−k1 עם תאים−kכישלונות


L-44

פונקצית התפלגות מצטברת עבור משתנה גיאומטרי 5.4.2

~)G(יהיה . טענה pX . התפלגות מצטברת היא פונקצית

( ) ⎣ ⎦⎩⎨⎧

≥−−<

=1,)1(11,0

tpt

tF tX

התפלגות מצטברת כדי לחשב אותה עבור נקודות פונקצית יש להשתמש בהגדרה של . הוכחה

,...2,1== kt:

( ) ( )( ) ( )∑

=

− −−=−−−−

⋅=−=≤==k

j

kk

jX p

pppppkXPktF

1

1 1111111)()(.

~)G(— כיוון ש).השתמשנו בטור גיאומטרי סופי( pXמיד מגיעים , הוא משתנה מקרי בדיד .סוף הוכחה. לנוסחא הדרושה

R5.2 הערה :הטענה מביאה לנוסחא חשובה

kpkXPkXP )1()(1)( −=≤−=>

. חיובי שלםk=2,1...,עבור כל


~)G(תוחלת של משתנה מקרי . טענה pXנתונה על ידי הנוסחא

pXE 1][ =.

.הוכחה יש לחשב, על פי הגדרת התוחלת

[ ] ( ) ( )∑∑∞

=

−−⋅=⋅=1

11k

k

x

pkpxPxXE.

∑ לטור מסוג הגענו∞

=

−⋅=1

1)(k

kqkqS 1 עם|| <q .ור גיאומטריחישובו מתבצע בעזרת גזירה של ט:

211

1

)1(1

1)(

qqq

dqdq

dqdqkqS

k

k

k

k

−=

−==⋅= ∑∑

∞

=

∞

=

−.

pqהצבת −= מביאה 12

1)1(p

pS ] כך שהתוחלת−= ]p

ppSXE 1)1( .סוף הוכחה. =−=

~)G(שונות של משתנה מקרי . טענה pXנתונה על ידי הנוסחא

2

1]var[p

pX −=.

.הוכחה ,גדרההעל פי

[ ] [ ] [ ] 22

2

/1

2 1]var[p

XEXEXEXp

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=.

יש לחשב את התוחלת


L-45

[ ] ∑ ∑∞

=

−−==x k

kX pkpxPxXE

1

1222 )1()(.

נתבונן בטור

∑∞

=

−⋅=1

12)(k

kqkqT

||1עבור <q .קל לראות כי

∑∑ .א∞

=

∞

=

⋅=11 k

k

k

k qkqdqdq ב. ∑∑

∞

=

−∞

=

⋅=⋅1

12

1 k

k

k

k qkqkdqd

כישילוב הנוסחאות מראה

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

∞

=1

)(k

kqdqdq

dqdqT.

:ביצוע טור גיאומטרי מביא

32 )1(1

)1(1)(

qq

qq

dqd

qq

dqdq

dqdqT

−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=.

,כתוצאה

[ ] 21

122 2)1()1(p

pppTpkpXEk

k −=−=−= ∑

∞

=

−

כך שהשונות היא

[ ] 222 11]var[

pp

pXEX −

=−=.

.סוף הוכחה

L5.6 שאלה ? לידת הבת–'' הצלחה'' בממוצע יובילו ללידותכמה

הסתברות להצלחה .מספר לידות עד לידת הבת הראשונה = Xיהיה משתנה מקרי .פתרון21

=p

~)2/1G(— שכך =pX .הראשונה הוא" הצלחה"ממוצע מספר הלידות עד ה

[ ] 21==

pXE.

L5.7 שאלה .1%הסתברות של פריט פגום היא , יםבתהליך ייצור של פריט מסו

תקינים 6 ההסתברות שבבדיקת איכות של פריטים מוגמרים בזה אחר זה יימצאו ימה .א ?והשביעי פגום

לא תגלה אף פריט , פריטים בזה אחר זה5 ההסתברות שביקורת שגרתית בה נבדקים ימה .ב ?אחד פגום

פרמטרליהרי לפנינו סדרה של ניסוי ברנולי בע. ''הצלחה'' נתייחס לגילוי של פריט פגום כל .פתרון

01.0=p . אםX01.0(אזי , ו נתקליםחנ הוא מספרו של הפריט הפגום הראשון בו אנG(~ =pX .

)7()1(094.0 הסתברות המבוקשת היא .א 6 ≈−== ppXP. )5()01.01(95.0 הסתברות המבוקשת היא .ב 5 ≈−=>XP) .ה ניתן להגיע לאותה תשוב

!)דרך התפלגות בינומית


L-46

[Negative binomial distribution]התפלגות בינומית שלילית 5.5

m—סדרת ניסוי ברנולי עד ההצלחה ה 5.5.1

את מספר הניסויים עד שנגיע להצלחה X—נסמן ב. דרה של ניסוי ברנוליו מבצעים סחננניח שאנ

kX ת ההסתברות לקבלימה. m—ה kX ההסתברות שנצטרך לבצע י מה,במילים אחרות ?= = ? m- עד שנגיע להצלחה ה ברנוליניסוי

מהציור ניתן לראות

mkmת ההצלחות וכישלונות שבציור היא הסתברות של סדר כי pp −−⋅ אבל ישנן סדרות נוספות .)1(

מספר כולל של ". k—בניסוי ה m—הצלחה ה"עם אותו מספר הצלחות וכישלונות המתאימות להגדרה סדרות כאלו הוא

111 )!()!1(

)!1(,1

1),1( −

−− =−−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=−− m

kk Cmkm

kmkm

kmkmP.

היאk—בניסוי ה m—להגיע להצלחה הרות ההסתב, אזי

mkmmk ppCkXP −−− −== )1()( 1

1

,1...,עבור += mmk.

D5.6 הגדרה

~)NegBin,( בינומי שלילימשתנה pmX 10ים בעל פרמטר << p1— ו≥m) הוא ) לם חיוביש

,1,...קבל את הערכים משתנה בדיד אשר מ += mmkבהסתברויות

mkmmkX ppCkXPkxP −−− −==== )1()()( 1

1.


~)NegBin,(תוחלת של משתנה מקרי . טענה pmXנתונה על ידי הנוסחא

pmXE =][.

.6' הרצאה מסתינתן בהוכחה

~)NegBin,(ות של משתנה מקרי שונ. טענה pmXנתונה על ידי הנוסחא

2

)1(]var[p

pmX −=.


k—התא ה m—ההצלחה ה

כשלון הצלחה ראשונה כשלון יהיהצלחה שנ כשלון ... כשלון

1−k1 עם תאים−mהצלחות ו —)( mk כישלונות−


L-47

DND −

321

kn מיוחדים k רגילים −

43421

L5.8 שאלה ?מהי ההסתברות שהילד השלישי במשפחה יהיה בן שני

—כיוון ש. עד ילידת הבן השנילידותמספר ה = X נגדיר את המשתנה .פתרון

)2/1,2NegBin(~ == pmX , הדרושה היאההסתברות

41

211

21)3(

2212 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== CXP.

[Hypergeometric distribution]התפלגות היפרגיאומטרית 5.6

משתנה היפרגיאומטרי 5.6.1

D5.7 הגדרה

~)Hyp,,( היפרגיאומטרימשתנה nDNX 2 יםבעל פרמטר≥N ,ND Nn—ו 1≥> הוא 1≥≥

nkקבל את הערכים משתנה בדיד אשר מ בהסתברויות=1,0,,...

nN

knDN

kD

X CCCkXPkxP

−−==== )()(.

?מתי התפלגות היפרגיאומטרית מופיעה 5.6.2

NDבה ) כדורים( פרטים N≤2 של סףנתבונן באו פריטים ( פרטים בעלי תכונה מסוימת 1≥>

DNושאר ) מים כדורים אדו– לצורך הדוגמא, ''מיוחדים'' כדורים , למשל('' רגילים'' הפרטים הם −

Nn באופן מקרי מדגם של סףנוציא מהאו). שחורים מהי ההסתברות . ללא החזרה פרטים 1≥>

nk פריטים שהוצאו ישנם בדיוק nשבין ? פריטים מיוחדים0≥≥

מהי , " פריטיםn במדגם של מספר פרטים מיוחדים"מוגדר כ Xאם משתנה מקרי , במילים אחרות

)(ההסתברות kXP kXצוא למ= =?

תאים nנתייחס להוצאת כדורים ללא החזרה מהאוסף כלמילוי של , כדי לענות על השאלה . מיוחדים ורגילים–באמצעות פריטים משני סוגים

. מולאים על ידי פריטים מיוחדים בלבד תאים משמאל מk—נחשב את ההסתברות ש, שלב הראשוןב

: היא כפל בין ההסתברויות הבאות)LP (הסתברות זו, על פי עקרון הכפל

על פי גישה קלאסית . שהפריט הראשון שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד 1pהסתברות • ,להסתברות

NDp =1.


L-48

מכיוון שמדובר על הוצאת . שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחדשנישהפריט ה 2p הסתברות • , ללא החזרהפריטים

11

2 −−

=NDp.

פריטים D−1ביניהם , פריטיםN−1האוסף מכיל , לפני הוצאת הפריט השני, בהחלט( ).מיוחדים

• ... : שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחדk—שהפריט ה kpהסתברות •

)1()1(

−−−−

=kNkDpk.

תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים מיוחדים היאk— שSPההסתברות , כתוצאה

∏= +−−

+−−==

k

jjL kNNN

kDDDpP1 )1)...(1(

)1)...(1(.

קל לראות כי(

)!(!

1)...1)((1)...1)(()1)...(1()1)...(1(

kDD

kDkDkDkDkDDDkDDD

−=

−−−−−−⋅+−−

=+−−

—כך ש

)!(!)1)...(1(kN

NkNNN−

=+−−

—ו

kN

kD

k

jjL C

CN

kkNkkD

DN

kNkD

DpP =−

−=

−−

==∏= !

!)!(!)!(

!!

)!()!(

!1

.

)(—נחשב את ההסתברות ש, שלב השניב kn . תאים מימין ממולאים על ידי פריטים רגילים בלבד−

:היא כפל בין ההסתברויות הבאות) RP(הסתברות זו , על פי עקרון הכפל

)1(—שהפריט ה kp+1הסתברות • +k על פי גישה קלאסית . רגיל שהוצא מהאוסף הוא פריט

,להסתברות

kNDNpk −

−=+1.

)1(—לפני הוצאת הפריט ה, בהחלט( +k , האוסף מכילkN DNביניהם , פריטים− − ).פריטים רגילים

)2(—שהפריט ה kp+2הסתברות • +kמכיוון שמדובר . שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד

, ללא החזרהעל הוצאת פריטים

11

2 −−−−

=+ kNDNpk.

• ...


L-49

:רגיל שהוצא מהאוסף הוא פריט n—שהפריט ה npהסתברות •

11)(

)1()1(

+−+−−−

=−−−−−−−−

=nN

knDNknkNknDNpn.

)(— שRPההסתברות , כתוצאה kn היארגילים ממולאים על ידי פריטים ימין תאים מ−

∏+= +−−−−

+−−−−−−==

n

kjjR nNkNkN

knDNDNDNpP1 )1)...(1)((

)1)()...(1)((.

קל לראות כי(

))!(()!(

1))...1())(((1))...1())((()1)()...(1)((

)1)()...(1)((

knDNDN

knDNknDNknDNknDNknDNDNDN

knDNDNDN

−−−−

=

−−−−−−−−−−−−−−⋅+−−−−−−

=

+−−−−−−

—ו

)!()!(

1)...1)((1)...1)(()1)...(1)((

)1)...(1)((

nNkN

nNnNnNnNnNkNkN

nNkNkN

−−

=

−−−−−−⋅+−−−−

=

+−−−−

—כך ש

kn

kN

nN

knDN

nN

knDN

n

kjjR

CC

CC

nkkn

kkNN

CC

nkNknN

NnnN

knknDNDN

kNNnNnnN

knknDNknDN

kNnN

knDNDNpP

⋅=−

⋅−

⋅⋅=

−−

⋅−

⋅−−−−

−=

−−

⋅−−−−

−−=

−−

⋅−−−

−==

−−−

−

+=∏

!!)!(

!)!(!1

!)!()!(!

!!)!(

)!())!(()!(

)!(!!!!)!(

)!())!(()!()!(

)!()!(

))!(()!(

1

.

תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים k—מצאנו כי ההסתברות ש, כסיכום בינוני מיוחדים היא

kN

kD

k

jjL C

CpP ==∏=1

)(—וההסתברות ש kn אים מימין ממולאים על ידי פריטים רגילים היא ת−

kn

kN

nN

knDN

n

kjjR C

CC

CpP ⋅==−−

+=∏

1

.

)(— שגם תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים מיוחדים וk—ההסתברות ש, אזי kn − תאים מימין ממולאים על ידי פריטים רגילים היא


L-50

kn

nN

knDN

kD

kn

kN

nN

knDN

kN

kD

n

kj

n

jjj

k

jjRL CC

CCCC

CC

CCpppPP 1

1 11

⋅=⋅⋅===−−

−−

+= ==∏ ∏∏.

)( זו ההסתברות האם kXP nk פריטים שהוצאו ישנם בדיוק n שבין = ? פריטים מיוחדים0≥≥

כדי לקחת . פריטים שהוצאוnשל סדר מסוים מתייחסת לRLPPהתשובה היא לא כי הסתברות

פריטים k יש להכפיל את התוצאה במספר אופציות לסדר ,יםי את כל הסדרים האפשרבחשבון

)(—מיוחדים ו kn מספר זה ניתן על ידי הנוסחא. פריטים רגילים בשורה−

knn C

knknknkP =−

=−)!(!

!),(.

,סך הכל. השלב השלישיזהו

nN

knDN

kD

RLn CCCPPknkPkXP

−−=⋅−== ),()(.

~)Hyp,,(סחא שקיבלנו היא פונקצית הסתברות של משתנה היפרגיאומטרי נו nDNX בהתאם .D5.7הגדרה ל

R5.3 הערה

)(עבור ניתן לפרש את הנוסחא kXP nהמספר . הבאאופן ב=NC הוא מספר האופציות להוציא n

knהכפל ). גודל של מרחב המדגם, כלומר( פריטים שבאוסף N מתוך פריטיםDN

kDCC −

הוא מספר −

)( גם מיוחדים שבאוסף וD פריטים מיוחדים מתוך kהאופציות להוציא kn פריטים רגילים −

)( מתוך DN שימוש בגישה קלאסית להסתברות מביא את הנוסחא עבור . רגילים שבאוסף−

)( kXP = .

L5.9 שאלה : משתנים מקריים הבאיםאיך מפולגים. כדורים שחורים2— כדורים לבנים ו3כד מכיל

.ה החזרעם ו מקריתנבחרכדורים ש 3 שלמדגם מספר הכדורים השחורים ב = 1X .א

.ה החזרבלי ו מקריתנבחרש כדורים 3 שלמספר הכדורים השחורים במדגם = 2X .ב

עד אשר יתקבל הכדור השחור ה החזרעםנבחרים אחד אחד שמספר הכדורים = 3X .ג

.הראשון .פתרון

בסדרה של ) הצלחה היא הוצאת כדור שחור, כאו( הוא מספר ההצלחות 1Xמשתנה מקרי .א

⎟ ,כתוצאה. שלושה ניסוי ברנולי בלתי תלויים⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

52,3Bin~1 pnX.

), 5.6.2בהתאם לפיתוח בסעיף .ב )3,2,5Hyp~2 === nDNX. , כתוצאה. ההצלחה הראשונה הוא מספר ניסוי ברנולי עד3Xמשתנה מקרי .ג

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

52G~3 pX.


L-51


~)Hyp,,(תוחלת של משתנה מקרי . טענה nDNXנתונה על ידי הנוסחא

NDnXE =][.


~)Hyp,,(שונות של משתנה מקרי . טענה nDNXוסחא נתונה על ידי הנ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1111]var[

Nn

ND

NDnX.


התפלגות היפרגיאומטרית שלילית 5.7 [Negative Hypergeometric distribution]

משתנה היפרגיאומטרי שלילי 5.7.1

D5.8 הגדרה

~)NegHyp;,( שליליהיפרגיאומטרימשתנה DNmXm ים בעל פרמטרDm ≤≤1, 2≥N ,

ND mDNmmkקבל את הערכים הוא משתנה בדיד אשר מ1≥> ++= - ...,,1, בהסתברויות

DN

mDkNm

kmmX CCCkXPkxP

m

−−−

−==== 11)()(.

?מתי התפלגות היפרגיאומטרית שלילית מופיעה 5.7.2

NDבה ) כדורים( פרטים N≤2 של סףנתבונן באו פריטים ( פרטים בעלי תכונה מסוימת 1≥>

DNושאר ) מים כדורים אדו– לצורך הדוגמא, ''מיוחדים'' כדורים , למשל('' רגילים'' הפרטים הם − m—עד אשר יתקבל הפריט המיוחד ה ללא החזרהו אחד אחדפריטיםמוציאים וחננ א).שחורים

Dm, כאן( ?k— בהוצאה הm—פריט המיוחד המהי ההסתברות להגיע ל. )1≥≥

ונחשב את m—הפריט המיוחד ה מספר הוצאות הפריטים עד הוצאת = mXנגדיר משתנה מקרי

. נקצית ההסתברות שלופו

mDNmkהם mXהערכים האפשריים של .א +−= mk(הערך המינימלי . ,..., מתאים ) =

ירביהערך המ. הפריטים הראשונים שהוצאו הם פריטים מיוחדיםm כל בולמצב

)mDNk DN(תאים למצב בו אנחנו מוציאים כל הפריטים הרגילים מ) =−+ − . פריטים מיוחדיםmורק לאחר מכן מוציאים ) במספר

)(פונקצית ההסתברות .ב kXP m —בהוצאה ה m—היא הסתברות להגיע לפריט המיוחד ה =

k . אפשר להסתכל על המאורע kX m תאים באמצעות פרטי האוסף k כעל מילוי של =

תפוסים התאים הקודמים k−1כאשר , m—פריט המיוחד השמור ל יהיה k—כך שהתא ה

mkmk — פריטים מיוחדים וm−1 על ידי −=−−− י /ראה ( פריטים רגילים1)1( .)ציור


L-52

התאים k−1אנחנו ממלאים , הראשוןשלבב .שלבי—תאים כמו לניסוי דו kנתייחס למילוי של

)(— פריטים מיוחדים וm−1הראשונים באמצעות mk לביצוע השלב הסתברות . פריטים רגילים− :ניתנת על ידי התפלגות היפרגיואמטריתהראשון

1

1

1 −

−−

−

= kN

mkDN

mD

CCCP.

גישה קלאסית . באמצעות הפריט המיוחד k— ה–ממלאים את התא האחרון אנחנו , שלב השניב : השלב השניסתברותלהסתברות מביאה את ה

)1()1(

2 −−−−

=kNmDP

,עיקרון הכפלעל פי

)1()1()( 1

1

21 −−−−

=== −

−−

−

kNmD

CCCPPkXP kN

mkDN

mD

m.

:הנוסחא הבאהלפשט את התשובה עד ניתן

DN

mDkNm

km CCCkXP

−−−

−== 11)(.

mDNmk ,אןכ +−= ,..., .

נוסחא שקיבלנו היא פונקצית הסתברות של משתנה היפרגיאומטרי שלילי

),;NegHyp(~ DNmXmהגדרה בהתאם לD5.8.

R5.4 הערה

ניתן לראות כי פונקציות הסתברות עבור משתנה מקרי בינומי שלילי והיפרגיאומטרי שלילי מכילות

1אותו מקדם 1−−

mkC.


~)NegHyp;,(תוחלת של משתנה מקרי . טענה DNmXmנתונה על ידי הנוסחא

11][

++

=DNmXE m.


k—התא ה פריט מיוחד

m—ה

פריט רגיל

... פריט רגיל

פריט מיוחד שני

פריט רגיל

פריט מיוחד ראשון

פריט רגיל

1−k 1 תאים עם−mפריטים מיוחדים ו —)( mk פריטים רגילים−


L-53

~)NegHyp;,(שונות של משתנה מקרי . טענה DNmXmנתונה על ידי הנוסחא

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+−

++

=1

121

1]var[D

mD

DNDNmXm.


[Poisson distribution]התפלגות פואסון 5.8

פונקצית הסתברות 5.8.1

D5.9 הגדרה

~)P( פואסוןמשתנה λX 0 בעל פרמטר>λקבל את הערכים הוא משתנה בדיד אשר מ

...,1,0 =kבהסתברויות

λλ −==== ek

kXPkxPk

X !)()(.

R5.5 הערההאירועים . בפרק זמן נתון מסויםזרם אירועים פואסוני התפלגות פואסון מתאר מספר התרחשויות בדוגמאות קלאסיות של תופעות אקראיות המתאורות על . בזרם מתרחשים ללא תלות ובאחידות בזמן

:ידי זרם אירועים פואסוני הן

סויםפרק זמן ממוקד טלפוני בל פניותמספר .א פרק זמן נתוןמספר התפרקויות הגרעינים של חומר רדיואקטיבי ב .ב


~)P(תוחלת של משתנה מקרי . טענה λXנתונה על ידי הנוסחא

λ=][XE.

:הגדרת תוחלת מביאה. הוכחה

[ ] ( ) ( )∑∑∑∞

=

−−

∞

=

−

−=⋅=⋅=

1

1

0 !1! k

k

k

k

x ke

kkexPxXE λλλ λλ

=−1הסכום החלפת אינדקס באמצעות kjמגיעים ל —

[ ] λλλ

λ

λ == ∑∞

=

−

321e

j

j

jeXE

0 !.

.סוף הוכחה

R5.6 הערה

~)P( בהתפלגות פואסון λמהחישוב נובעת משמעות הפרמטר λX . הפרמטרλ ממוצע" הוא " . תוןנבפרק זמן התרחשויות

~)P(ות של משתנה מקרי שונ. טענה λXנתונה על ידי הנוסחא

λ=]var[X.


L-54

, על פי הגדרת שונות. הוכחה

[ ] [ ] [ ] 22

2

2]var[ λλ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= XEXEXEX.

יש לחשב את התוחלת

[ ] ( ) ∑∑∞

=

− ⋅=⋅=0

222

!k

k

x kkexPxXE λλ.

נתבונן בטור

∑∞

=

⋅=0

2

!)(

k

k

kkS λλ

קל לראות כי

∑∑ .א∞

=

∞

=

⋅=00 !! k

k

k

k

kk

kdd λλλ

λ ב. ∑∑∞

=

∞

=

⋅=⋅0

2

0 !! k

k

k

k

kk

kk

dd λλλ

λ

שילוב הנוסחאות מראה כי

( ) λλλ λλλλ

λλ

λλ

λλλ

λλ

λλ

λ

eedde

dd

dd

kdd

ddS

e

k

k

)1(!

)(0

+==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∞

= 321

.

,כתוצאה

[ ] )1()(2 +== − λλλλSeXE —כך ש

[ ] λλ =−= 22]var[ XEX.

.סוף הוכחה

L5.10 שאלה פניות 5 ונית עם ממוצע שלטלפון מתפלג פואסמספר פניות בדקה למודיעין של שירותי אם ידוע ש

מהי ההסתברות, אחתבדקה

? לא תתקבל אף פנייה10:01— ל10:00שבין השעה .א ? פניות3שבדקה הזאת יתקבלו לכל היותר .ב ? לא תכנס אף שיחה דקות2שבמשך .ג ? שיחות333 הראשונה יכנסו שעהבש .ד .פתרון

5P(~1(, על פי נתוני השאלה. אחתדקהמספר פניות ב = 1Xיהיה משתנה מקרי =λX.

00670 .א!0

5)0( 50

1 .≈== −eXP.

.ב

265.0

!35

!25

!15

)3()2()1()0()3(

53

52

51

5

11111

≈+++=

=+=+=+==≤

−−−− eeee

XPXPXPXPXP

, על פי נתוני השאלה. דקות שתימשך מספר פניות ב = 2Xיהיה משתנה מקרי .ג

)10P(~2 =λX.


L-55

0000450!0

10)0( 100

2 .≈== −eXP

, על פי נתוני השאלה. שעה אחתמשך מספר פניות ב = 3Xיהיה משתנה מקרי .ד

)300P(~3 =λX.

00380!333

300)4( 300333

3 .≈== −eXP

נוסחאות הסתברותיות מקורבות 5.10

[Stirling formula]נוסחת סטירלינג 5.10.1

:מתקיים, n<<1, חיובי גדול מאודnעבור . )לינגנוסחת סטיר (טענה

( ))(12)1( 121

−−++=+Γ nOenn nn

π.

.כל הקירובים בהמשך מתבססים על נוסחא זו

קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרית 5.10.2

~)Hyp,,( היפרגיאומטרי מקרי משתנהXיהיה . טענה nDNX מתואר על ידי פונקצית ה )מדויקת (הסתברויות

nN

knDN

kD

X CCCkXPkxP

−−==== )()(.

p—שכאלה ) N<<1— וD<<1( גדולים מאוד N— וDסופי ופרמטרים nעבור כל ND מקבל =

:מתקיימת נוסחא מקורבת, קבועערך

knkknX ppCkxP −−≈= )1()(.

NDnk, כאן <<<≤.

ניתן לוודא כי, באמצעות נוסחת סטירלינג. הוכחה

Dkעבור • ): מתקיים >> ) !!!!

kD

kDkDC

kkD ≈

−=

Nnעבור • ): מתקיים >> ) !!!!

nN

nNnNC

nnN ≈

−=

NDnkעבור • p— ו ≥>>>ND: קבוע מתקיים=

)!()(

knDNC

knknDN −

−≈

−−−

:שילוב של שלוש נוסחאות מקורבות אלו מביא

knkknn

N

knDN

kD

ND

NDC

CCC −−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈ 1.

,כתוצאה


L-56

knkknX ppCkxP −−≈= )1()(.

.סוף הוכחה

R5.7 הערההוצאה ללא החזרה של מספר סופי , גדולים מאודN— וDעבור : ות הקירוב ברורה לחלוטיןמשמע

אין , כתוצאה. של פריטים מהאוסף כמאת לא משפיעה על פרופורצית הפריטים המיוחדים באוסף :תנאי הטענה מתקייםב, במילים אחרות. הבדל משמעותי בין הוצאה ללא ועם החזרה

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =≈

NDpnnDN ,Bin),,Hyp(.

קירוב בינומי שלילי להתפלגות היפרגיאומטרית שלילית 5.10.3

~)NegHyp;,(, שלילי משתנה מקרי היפרגיאומטריmXיהיה . טענה DNmXm בעל פונקצית

הסתברות

DN

mDkNm

kmmX CCCkXPkxP

m

−−−

−==== 11)()(.

p—כאלה ש) N<<1— וD<<1( גדולים מאוד N— וDסופי ופרמטרים mעבור כל ND=

:מתקיימת נוסחא מקורבת, מקבל ערך קבוע

mkmmkX ppCkxP −−− −≈= )1()( 1

1.

NDkm, כאן <<<≤.

.באמצעות נוסחת סטירלינג :הוכחה

R5.8 הערההוצאה ללא החזרה של מספר סופי של , גדולים מאודN— וDעבור : משמעות הקירוב ברורה גם כן

אין הבדל , כתוצאה. פריטים מהאוסף כמאת לא משפיעה על פרופורצית הפריטים המיוחדים באוסף :בתנאי הטענה מתקיים, במילים אחרות. משמעותי בין הוצאה ללא ועם החזרה

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =≈

NDpmDNm ,NegBin),;NegHyp(.

קירוב פואסון להתפלגות בינומית 5.10.4

~)Bin,(, בינומי משתנה מקרי Xיהיה . טענה pnXבעל פונקצית הסתברות

knkknX ppCkXPkxP −−==== )1()()(.

np=λכאלה שהכפל ) p>>1(קטן מאוד pוהפרמטר ) n<<1(גדול מאוד nהפרמטר עבור :נוסחא מקורבתמתקיימת , מקבל ערך קבוע

λλ −≈= ek

kxPk

X !)(.

nk, כאן <<.


L-57

. הוכחה

nk עבור ניתן לוודא כי, באמצעות נוסחת סטירלינג • : מתקיים >>

( ) !!!!

kn

knknC

kkn ≈

−=.

כאלה שהכפל ) p>>1(קטן מאוד pופרמטר ) n<<1(גדול מאוד nעבור פרמטר , כמו כן •

np=λמתקיים, מקבל ערך קבוע:

( ) λ

λ

λ−− ≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=− e

n

np k

n

kn

1

11.

:שילוב של שתי נוסחאות מקורבות אלו מביא

!!)1(

kee

nknppC

k

k

kkknkk

nλλ λλ −−− =⋅⋅≈−.

,כתוצאה

λλ −≈= ek

kxPk

X !)(.

.סוף הוכחה

R5.9 הערה :בתנאי הטענה מתקיים, במילים אחרות

( )nppn =≈ λP),Bin(.

L5.11 שאלהשל קירוב פואסון להתפלגות –רבת ו המדויקת והמק–שתי נוסחאות כמותית של הוואהשי /בצע

.p=02.0— וk ,100=n=3עבור בינומית

.פתרון נוסחא מדויקת מביאה

( ) ( ) ( ) 182.098.002.03 9733100exact ≈=== CXPP.

202.0100פרמטר רבת ונוסחא מקב =⋅=⋅= pnλכך ש —

( ) 180.0!3

23 23

approx ≈≈== −eXPP.

על ידי הפרמטר) באחוזים(אפשר לכמת דיוק הקירוב

%1.1011.0182.0

180.0182.0

exact

approxexact =≈−

=−

=P

PPα.

probability and statistics רפיצנק ןי גוי הקיטסיטטסו...

Documents