quadratic equations expressions

8/2/2019 Quadratic Equations Expressions

1/29

Q u a d r a t i c E q u a t i o n s a n d E x p r e s s i o n

A u g u s t 2 9 , 2 0 0 9

A b s t r a c t

C o m p l e t e i n a l l r e s p e c t s ! w i l l a d d m o r e p r o b l e m s , t h e o r y i s c o m p l e t e

T h i s l e c t u r e s t a r t s w i t h q u a d r a t i c e q u a t i o n s a n d f u r t h e r a d d s q u a d r a t i c

e x p r e s s i o n s t o i n c r e a s e d e p t h o f u n d e r s t a n d i n g o f q u a d r a t i c e q u a t i o n s

C o n t e n t s t r u c t u r e :

D e n i t i o n o f q u a d r a t i c e q u a t i o n - t h i s i s c r u c i a l a s J E E e x p l o i t s d e f -

i n i t i o n s - c h e c k t h e e x a m p l e f o l l o w i n g t h e d e n i t i o n * I f g i v e n q u a d r a t i c

e q u a t i o n - 2 w a y s t o g e t t h e r o o t s , t h o u g h b o t h a r e d i e r e n t f o r m s o f t h e

s a m e i d e a , b u t u s u a g e d e p e n d s o n w h a t r e q u i r e m e n t i s a t h a n d * D i e r e n t

s y m m e t r i c e x p r e s s i o n s t h a t c a n b e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e a b o v e m e t h o d s o f

n d i n g t h e r o o t s * N o w w e w o r k t h e r e v e r s e - i f w e k n o w t h e r o o t s t h e n

c a n w e c o n s t r u c t t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n ? * A q u a d r a t i c c a n

b e c o n s t r u c t e d i n t w o f o r m s * N a t u r e o f r o o t s * R o o t s c o m m o n b e t w e e n

t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s - t h a t c a n b e b o t h r o o t s a r e c o m m o n o r e x a c t l y o n e

i s c o m m o n * N e x t w e m o v e t o q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s a s a t o o l t o u n d e r -

s t a n d q u a d r a t i c e q u a t i o n s * w e d e n e i t r s t t h e n u n d e r s t a n d t h e g r a p h o f

q u a d r a t i c e x p r e s s i o n * w h a t i s t h e d i e r e n c e b e t w e e n q u a d r a t i c e x p r e s s i o n

a n d e q u a t i o n * W e s e e t h e g r a p h o f q u a d r a t i c f u n c t i o n * t r a n s f o r m a t i o n s o f

f u n c t i o n - t h i s h e l p s i n t h i n k i n g q u a d r a t i c ( o r f o r t h a t m a t t e r a n y f u n c t i o n )

p r o b l e m s g r a p h i c a l l y w h i c h i s a h u g e a d v a n t a g e * s i g n i c a n c e o f c o n s t a n t s

a n d - d i s c r i m i n a n t i n d e t e r m i n i n g n a t u r e o f r o o t s * s i g n o f q u a d r a t i c

f u n c t i o n * m a x i m a - m i n i m a o f q u a d r a t i c c u r v e s * l o c a t i o n o f r o o t s w i t h r e -

s p e c t t o g i v e n c o n s t a n t * r e l a t i o n o f c o e c i e n t s o f a p o l y n o m i a l g e n e r a t i n g

i t s r o o t s

1


2/29

2 C O N T E N T S

C o n t e n t s

I C o n c e p t s 4

1 Q u a d r a t i c e q u a t i o n s 4

1 . 1 F i n d r o o t s f r o m e q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 1 . 1 R o o t s o f q u a d r a t i c e q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 1 . 2 A n o t h e r f o r m f o r n d i n g t h e r o o t s . . . . . . . . . . 4

1 . 2 C o n s t r u c t e q u a t i o n s f r o m r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 3 N a t u r e o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s 9

2 . 1 G r a p h o f a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n o f g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 . 2 . 1 A d d i t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . . 1 0

2 . 2 . 2 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . 1 0

2 . 2 . 3 A d d i t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . . 1 0

2 . 2 . 4 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . 1 1

2 . 2 . 5 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o x - v a r i a b l e . . . . . . . 1 1

2 . 2 . 6 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o y - v a r i a b l e . . . . . . . 1 2

2 . 2 . 7 M u l t i p l y i n g w i t h n e g a t i v e u n i t y . . . . . . . . . . 1 2

2 . 2 . 8 T a k i n g m o d u l u s o f a f u n c t i o n . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 3 H o w q u a d r a t i c e x p r e s s i o n e x p l a i n s q u a d r a t i c e q u a t i o n ? . . . 1 3

2 . 4 G e n e r a t i o n o f n e w q u a d r a t i c c u r v e s f r o m t h e g i v e n . . . . . 1 4

2 . 5 G r a p h s o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 5 . 1 C o n s t a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 5 . 2 C o n s t a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 5 . 3 C o m b i n i n g b e h a v i o u r s o f b o t h & c o n s t a n t s . . 1 5

2 . 6 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 7 M a x i m a a n d M i n i m a o f Q u a d r a t i c c u r v e s . . . . . . . . . . 1 7

3 I n v e s t i g a t i n g N a t u r e o f r o o t s w i t h Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s 1 8

3 . 1 I n e q u a l i t i e s f r o m l o c a t i o n o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

3 . 1 . 1 k l i e s b e t w e e n t h e r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

3 . 1 . 2 k l i e s t o t h e l e f t o r r i g h t o f b o t h t h e r o o t s . . . . . . 1 9

3 . 2 S i g n i c a n c e o f c o e c i e n t s , & i n . . . . . 2 0

3 . 3 G e o m e t r i c s i g n i c a n c e o f & . . . . . . . . . . . . . . 2 1

3 . 4 A r e t h e r o o t s r e a l o r c o m p l e x , p o s i t i v e o r n e g a t i v e - A n -

o t h e r w a y ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

4 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l 2 1

I I P r o b l e m s a n d a p p r o a c h e s f o r t h e m 2 5

4 . 1 G i v e n e q u a t i o n w e n d t h e r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

4 . 2 G i v e n r o o t s n d t h e e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

4 . 3 N a t u r e o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 5 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 6 G r a p h o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 7 T r a n s f o r m a t i o n o f Q u a d r a t i c g r a p h s . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 8 S i g n i c a n c e o f a n d f o r g r a p h i c a l u n d e r s t a n d i n g o f Q u a d r a t i c

e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6


3/29

C O N T E N T S 3

4 . 9 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 1 0 M a x i m a , M i n i m a o f Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . 2 7

4 . 1 1 L o c a t i o n o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

4 . 1 2 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

4 . 1 3 M i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9


4/29

4 1 Q U A D R A T I C E Q U A T I O N S

P a r t I

C o n c e p t s

1 Q u a d r a t i c e q u a t i o n s

D e n i t i o n . A n y e q u a t i o n o f t h e f o r m w h e r e &

D e n i t i o n . P o l y n o m i a l o f d e g r e e

: i s d e n e d a s

w h e r e a n d T h e o r e m . F u n d a m e n t a l l a w o f A l g e b r a

A n y n d e g r e e p o l y n o m i a l w i l l h a v e n r o o t s .

P r o b l e m 1 . F i n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n

s u c h t h a t e q u a t i o n

h a s e x a c t l y o n e r o o t .

S o l u t i o n : F o r t h i s t o h a p p e n s h o u l d b e e q u a l t o z e r o , ( a s i f a n d

w i l l r e s u l t s i n a b s u r d r e s u l t ) a n d c c a n t a k e a n y r e a l v a l u e .

P r o b l e m 2 . F i n d n u m b e r o f r o o t s o f t h e e q u a t i o n

S o l u t i o n : T h e r e i s a n i c e o b s e r v a t i o n h e r e .

s e e m s t o b e o n e o f t h e

s o l u t i o n s b u t i s n o t s i n c e t h e n t h e p r o b l e m s c e a s e s t o b e t h e s o l u t i o n .

1 . 1 F i n d r o o t s f r o m e q u a t i o n

1 . 1 . 1 R o o t s o f q u a d r a t i c e q u a t i o n

h a s r o o t s g i v e n b y t h e e q u a t i o n s

R o o t s a r e a l s o c a l l e d t h e z e r o s

1 . 1 . 2 A n o t h e r f o r m f o r n d i n g t h e r o o t s

S u p p o s e w e a r e g i v e n t h e e q u a t i o n a n d w e a r e a s k e d t o n d

t h e v a l u e o f t h e e x p r e s s i o n

. N o w c a n w e u s e h e r e t h e a b o v e f o r m u l a ?

W e c a n b u t t h a t i s n o t g o i n g t o b e a g o o d w a y o f d o i n g t h i s ! S o w e m o v e t o t h e

n e x t t o p i c .

I f

&

a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n

t h e n w e h a v e ,

W e p r o v e t h i s n o w !


5/29

1 . 2 C o n s t r u c t e q u a t i o n s f r o m r o o t s 5

P r o b l e m 3 . I f o n e r o o t o f t h e e q u a t i o n i s t h e s q u a r e o f t h e o t h e r , p r o v e t h a t

S u m m a r y t i l l h e r e w e h a v e s e e n i f g i v e n e q u a t i o n s t h e n h o w t o

d e t e r m i n e t h e r o o t o f t h e e q u a t i o n . N e x t w e s e e i f g i v e n t h e r o o t s

h o w c a n w e n d t h e e q u a t i o n .

1 . 2 C o n s t r u c t e q u a t i o n s f r o m r o o t s

G i v e n q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s r o o t s & t h e n t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n i n t e r m s o f t h e r o o t s i s

H o w w e d e r i v e t h i s ?

C o n s i d e r t h e e q u a t i o n

H e n c e w e c a n c o n c l u d e

S u m m a r y


o r o f e q u a t i o n

o r

S o a l l s y m m e t r i c f u n c t i o n s o f t h e r o o t s & c a n b e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s

1 .

2 .

3 .

4 .

P r o b l e m 4 . I f r b e t h e r a t i o o f t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n

t h e n

s h o w t h a t

P r o b l e m 5 . I f a q u a d r a t i c e q u a t i o n

h a s r o o t s

&

t h e n

w h a t i s t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e

&


6/29


T h e n e w e q u a t i o n i s

T h i s c o u l d h a v e b e e n d o n e i s a s l i g h t t r i c k y w a y .

W e h a v e a e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e s o m e A n d n o w w e s e e t h a t t h e y a r e a s k i n g u s t o n d t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e s o m e

.

f o r m . H e n c e

. S i n c e

i s t h e r o o t o f t h e e q u a t i o n

w e g e t

w h i c h c a n b e w r i t t e n i n t h e

u s u a l w a y o f w r i t t i n g a n e x p r e s s i o n .

S i m i l a r l y t r y t o n d t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e

I f t h e r e a r e t h r e e r o o t s o f a n e q u a t i o n 1 , 2 & 3 t h e n n d t h e e q u a t i o n .

1 . 3 N a t u r e o f r o o t s

1

T h e d e c i d i n g f a c t o r f o r t h e n a t u r e o f r o o t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n

i s t h e D i s c r i m i n a n t ( D )

S o O b s e r v e t h e d i s c r i m i n a n t i n

1 . I f i t h a s t w o r e a l d i s t i n c t r o o t s ( a ) M o r e o v e r i f a n d D i s a p e r f e c t s q u a r e t h e n t h e r e a r e t w o

d i s t i n c t r a t i o n a l r o o t s

2 . I f i t h a s t w o e q u a l r e a l r o o t s ( a ) M o r e o v e r i f

t h e n t h e r e a r e t w o e q u a l r a t i o n a l r o o t s

3 . I f

i t h a s t w o c o m p l e x c o n j u a g a t e

2

r o o t s

1

N a t u r e o f r o o t s

t w o r e a l e q u a l r o o t s

T w o d i s t i n c t r e a l r o o t s

i s p e r f e c t s q u a r e

R a t i o n a l r o o t s

C o n j u g a t e r o o t s o f f o r m w h e r e N o r e a l r o o t s i . e . t w o c o m p l e x c o n j u g a t e r o o t s

2

C o m p l e x r o o t s :

I f a q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s t h e n t h e r o o t s c a n n o t b e e v a l u a t e d i n r e a l d o m a i n b u t i n c o m p l e x d o m a i n y o u c a n n d t h e r o o t s . A n d w e a l w a y s g e t t h e c o m p l e x r o o t s i n c o n j u g a t e

p a i r s . i . e . i n t h e f o r m a n d ( a c o n j u g a t e i s d e n e d a s t h e c o m p l e x n u m b e r o b t a i n e d b y r e p l a c i n g b y ) .

C a n i t h a p p e n t h a t a q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s o n e r e a l r o o t a n d o t h e r c o m p l e x ?

W e l l y e s i t c a n h a p p e n . f o r e . g . h a s t w o r o o t s ( a s p e r f u n d a m e n t a l l a w o f a l g e b r a ) a n d t h e y a r e a n d . T h e n w h y d o w e s p e a k o f q u a d r a t i c w i l l h a v e c o m p l e x r o o t s i n c o n j u g a t e p a i r ? A g a i n y o u f o r g o t t h e d e n i t i o n w e t o o k f o r q u a d r a t i c

e q u a t i o n h e n c e t h e c o n j u g a t e p a i r s e l s e s e e t h e e q u a t i o n w e h a v e d e r i v e d w i t h a n d a s t h e r o o t s , t h i s q u a d r a t i c d o e s n ' t h a v e r e a l c o e c i e n t s .


7/29

1 . 3 N a t u r e o f r o o t s 7

N o t e : A q u a d r a t i c e q u a t i o n i f h a s m o r e t h a n 2 r o o t s t h e n i t b e c o m e s a n i d e n t i t y .

G e n e r a l i s i n g i f a n p o l y n o m i a l e q u a t i o n h a s 1 m o r e t h a n t h e d e g r e e t h e n t h e

e q u a t i o n i s a n i d e n t i t y .

P r o b l e m 6 . P r o v e t h a t i f t h e r o o t s o f a r e i m a g i n a r y , t h e n

m u s t l i e i n b e t w e e n

a n d

P r o b l e m 7 . P r o v e t h a t w i l l h a v e e q u a l r o o t s i f a n d o n l y i f

T h i s p r o b l e m h a s t w o p a r t s i n t h e p r o o f

3

I f g i v e n

t h e n p r o v e t h a t g i v e n q u a d r a t i c h a s e q u a l r o o t s

M e t h o d I

L e t

P u t

s i n c e g i v e n T h a t m e a n s

i s t h e r o o t s o f

S i m i l a r l y ,

i s a l s o t h e r o o t o f

S o w e h a v e p r o v e d a r e r o o t s o f b u t w e a l s o a r e g i v e n h e n c e w e c o n c l u d e t h a t t h e r o o t s a r e e q u a l

M e t h o d I I

( s i n c e )

a n d w e c a n c o c l u d e b o t h r o o t s a r e

h e n c e p r o v e d o n e s i d e

I f g i v e n q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s e q u a l r o o t s t h e n p r o v e

N o w h e r e w e s h o u l d a s s u m e t h e e q u a t i o n

h a s b o t h r o o t s e q u a l a n d h a v e t o p r o v e

B u t t o b e f o r e s t a r t i n g t h e p r o o f s e e h o w w e a r e g o i n g t o g e t

i s

b y t r i n g t o p r o v e t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e

N o w w e s t a r t o u r p r o o f ,

h a s e q u a l r o o t s

h a s e q u a l r o o t s i . e . S o w e h a v e t o g e t t h e e q u a t i o n i n a b o v e f o r m t o g e t w h a t w e w a n t

D o u r e m e m b e r w h e r e y o u h a v e s e e n t h i s e q u a t i o n ! y e s i n f a c t o r i z a t i o n

o f

t h a t i m p l i e s ( s i n c e s u m o f p o s i t i v e n u m b e r s e q u a l s z e r o m e a n s e a c h i s z e r o )

3

i f a n d o n l y i f o r i i n m a t h e m a t i c s m e a n s : d o u b l e i m p l i c a t i o n y o u h a v e t o p r o v e e i t h e r

w a y . A n e x a m p l e o f d o u b l e i m p l i c a t i o n i s A n a n g l e i n a t r i a n g l e i s r i g h t a n g l e i ( i f a n d o n l y

i f ) s u m o f s q u a r e s o f t h e s i d e s i s e q u a l t o s q u a r e o f t h e g r e a t e s t s i d e S o i t c o n t a i n s a d o u b l e

i m p l i c a t i o n O N E S I D E g i v e n a n g l e r i g h t a n l g e i n a t r i a n g l e p r o v e O T H E R S I D E g i v e n i n a t r i a n g l e t h e n a n g l e o p p o s i t e t o i s r i g h t a n g l e


8/29


1 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s

1 . I f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s & h a v e b o t h r o o t s s a m e t h e n

( a ) S p e c i a l c a s e : W h a t i f t h e t w o e q u a t i o n s a r e g i v e n a s &

?T h e r e l a t i o n s h i p i n t h e c o e c i e n t s a r e

2 . I f t h e a b o v e t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s h a v e j u s t o n e r o o t i n c o m m o n t h e n

t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e c o e c i e n t s i s g i v e n b y c r o s s m u l t i p l i c a t i o n r u l e

4

3 . T h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s

a n d

w i t h & a s t h e i r d i s c r i m i n a n t s h a v e

( a )

B o t h e q u a t i o n s h a v e r e a l r o o t s B o t h e q u a t i o n s h a v e n o r e a l r o o t s

( b )

a t l e a s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s ( c ) a t l e a s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s

( d )

E i t h e r e x a c t l y o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s o r B o t h h a v e i d e n t i c a l r e a l r o o t s

P r o b l e m 8 . F i n d t h e v a l u e o f

s u c h t h a t e q u a t i o n s

a n d

m a y h a v e o n e c o m m o n r o o t . A l s o n d t h e c o m m o n r o o t . T h e r e a r e t w o w a y s t o s o l v e t h i s p r o b l e m . B u t r s t a p p r o a c h i s m u c h b e t t e r .

t h i s i m p l i e s t h e r o o t s o f t h i s e q u a t i o n a r e

&

N o w o n e o f t h e s e s h o u l d b e t h e r o o t i n c o m m o n w i t h t h e o t h e r g i v e n e q u a -

t i o n .

C a s e I : c o m m o n r o o t i s

C a s e I I : c o m m o n r o o t i s

4

C r o s s M u l t i p l i c a t i o n R u l e :

S o l u t i o n t o l i n e a r e q u a t i o n s

i s g i v e n b y t h e r a t i o

I f t h e s e e q u a t i o n s a r e l i n e a r w i t h n o v a r i a b l e t h e n w e c a n p u t i n t h e a b o v e m e t h o d a n d s t i l l g e t t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n .


9/29

9

O t h e r m e t h o d w o u l d b e t o u s e t h e a b o v e s a i d t h e o r y b u t f a c t o r i s a t i o n

i s i n v o l v e d h e n c e w e l e a v e t h a t a s a n e x e r c i s e .

P r o b l e m 9 . L e t

b e r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

. C o n s i d e r

t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s :

a n d

. T h e n n o n e o f

t h e s e h a s r e a l r o o t s

1 . b o t h h a v e r e a l r o o t s

2 . a t m o s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s

3 . a t l e a s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s

2 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s

D e n i t i o n . Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n i s d e n e d a s a n d a n d

2 . 1 G r a p h o f a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n

A q u a d r a t i c e x p r e s s i o n d e n e d a s a b o v e i s

I t s g r a p h

5

i s g i v e n a s f o l l o w s

T a b l e 1 : T h i s i s g r a p h o f q u a d r a t i c c u r v e w h e n o r

2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n o f g r a p h s

W e k n o w t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n c a n w e d r a w t h e g r a p h o f

?

w e c a n d o t h a t p r o v i d e d w e k n o w t r a n s f o r m a t i o n s w o r k l i k e !

5

A l w a y s r e m e m b e r t h a t a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n r e p r e s e n t s a p a r a b o l a

I f w e h a v e t h e n i s t h e y - a x i s i n t e r c e p t


10/29

1 0 2 Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S

W e s e e t h a t a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e i n x v a r i a b l e , r e -

v e r s e o f w h a t w e e x p e c t h a p p e n s

A n d a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e i n y v a r i a b l e , w h a t w e

e x p e c t h a p p e n s ( y o u w i l l u n d e r s t a n d a s w e p r o c e e d b y w h a t I m e a n

h e r e )

I f w e k n o w t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n

, w e a l s o t a k e

2 . 2 . 1 A d d i t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e

H o w t o g e t t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n R e s u l t : W e e x p e c t t h e c u r v e t o m o v e t o w a r d s p o s i t i v e x - a x i s s i n c e w e h a v e

a d d e d a p o s i t i v e q u a n t i t y i n x , B u t r e v e r s e w i l l h a p p e n , t h e c u r v e w i l l m o v e

t o w a r d s l e f t .

F o r e x a m p l e ,

g r a p h w e k n o w n o w t o g e n e r a t e t h e g r a p h o f

2 . 2 . 2 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e

H o w t o g e t t h e g r a p h o f f u n c t i o n R e s u l t : W e e x p e c t a s e a r l i e r t h a t w e a r e a d d i n g p o s i t i v e

t o

a n d e x p e c t i n g

t h e c u r v e t o m o v e t o w a r d s l e f t b u t t h e r e v e r s e w i l l h a p p e n t h e c u r v e w i l l m o v e

t o w a r d s r i g h t .

F o r e x a m p l e ,

g r a p h w e k n o w w e g o t g e t t h e g r a p h o f

, t h a t

s h i f t s t o t h e r i g h t ( b u t w e e x p e c t t o t h e l e f t b e c a u s e o f

)

2 . 2 . 3 A d d i t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e

H o w t o g e t t h e g r a p h o f f u n c t i o n , h e r e w e m a k e c h a n g e i n a n de x p e c t t h e c u r v e t o m o v e a l o n g p o s i t i v e y d i r e c t i o n a n d t h a t i s w h a t h a p p e n s .

f o r e x a m p l e , o u r c u r v e i f i s t r a n f o r m e d t o w e e x p e c t t h e


11/29

2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n o f g r a p h s 1 1

m o v e m e n t a l o n g p o s i t i v e x a x i s a n d t h a t i s t h e m o v e m e n t

2 . 2 . 4 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e

S i m i l a r y t h e f u n c t i o n c a n b e c r e a t e d b y m o v i n g t h e g r a p h )b y m o v i n g i t a l o n g n e g a t i v e

L e t s o t h e g r a p h o f

2 . 2 . 5 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o x - v a r i a b l e

S o h e r e w e w a n t t o c o n s t r u c t t h e g r a p h o f

w h e r e

t h e n w e e x p e c t

t h e g r a p h t o e l o n g a t e a l o n g a n d w h e n t h e g r a p h t o c o n t r a c t b u t t h e r e v e r s e w i l l h a p p e n a s w e a r e w o r k i n g w i t h c h a n g e i n

L e t u s s e e a n e x a m p l e . a n d w e w a n t t o s e e h o w i s t h e g r a p h o f


12/29


2 . 2 . 6 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o y - v a r i a b l e

I f w e n e e d g r a p h o f f r o m b y d o i n g w h a t w e e x p e c t . T h e n e w c u r v e w i l l e l o n g a t e o r c o n t r a c t ( d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r

o r

) a s w e e x p e c t a l o n g y - a x i s .

F o r e x a m p l e , a n d

2 . 2 . 7 M u l t i p l y i n g w i t h n e g a t i v e u n i t y

W e k n o w t h e g r a p h o f f u n c t i o n h o w w e c a n e s t i m a t e t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n

. O n m u l t i p l y i n g a f u n c t i o n w i t h

w e s e e t h e r e s u l t a n t

g r a p h i s r e e c t i o n o f a b o u t

2 . 2 . 8 T a k i n g m o d u l u s o f a f u n c t i o n

I f w e k n o w t h e g r a p h o f a f u n c t i o n t h e n o n t a k i n g t h e m o d u l u s t h e f u n c t i o n ' s

p a r t b e l o w x - a x i s i s r e e c t e d a b o v e x - a x i s , b u t t h e p a r t a b o v e x - a x i s r e m a i n s

a b o v e .


13/29

2 . 3 H o w q u a d r a t i c e x p r e s s i o n e x p l a i n s q u a d r a t i c e q u a t i o n ? 1 3

N o w w e s e e t h e f o l l o w i n g e x a m p l e t o s e e t h e p o w e r o f t r a n s f o r m a t i o n s

P r o b l e m 1 0 . I f a n d t h e n n u m b e r o f r o o t s o f t h e e q u a t i o n

S o l u t i o n : ( w h o s e g r a p h i s a s u n d e r ) h a s 2 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h x - a x i s

( g r a p h i s i n b l u e ) h a s 3 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h x - a x i s

( g r a p h i n r e d ) h a s 4 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h x - a x i s

w e c a n g u e s s t h a t t h a t f u n c t i o n g r a p h w i l l h a v e 9 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n s w i t h x - a x i s . t h e r e f o r e t h e r e a r e 9 r o o t s t o t h e e q u a t i o n

N o w d o y o u r e a l i s e t h e p o w e r o f t r a n s f o r m a t i o n s i n J E E m a t h e m a t i c s .

2 . 3 H o w q u a d r a t i c e x p r e s s i o n e x p l a i n s q u a d r a t i c e q u a -

t i o n ?

A q u a d r a t i c e q u a t i o n c a n b e u n d e r s t o o d b e t t e r u s i n g a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n .

A q u a d r a t i c e q u a t i o n c a n b e s e p a r a t e d a s a s y s t e m o f t w o e q u a t i o n s . L i k e

t h i s ,

6

6

I f w e h a v e a s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d a l g e b r a i c a l l y w e c a n s o l v e t h e s e t w o e q u a t i o n s i n t w o u n k n o w n s

a n d n d t h e i r v a l u e s . B u t i f w e t r y t o s o l v e t h e s e t w o

e q u a t i o n s g e o m e t r i c a l l y . T h e n t h e s o l u t i o n w o u l d b e i n t e r s e c t i o n s o f t h e s e t w o c u r v e s i n p l a n e . R i g h t !


14/29


S o t h e s o l u t i o n t o t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s i s s a m e a s t h e s o l u t i o n t o t h e

q u a d r a t i c e q u a t i o n . N o w o b s e r v e w h a t t h i s m e a n s , i n t e r s e c t i o n o f t h e c u r v e s

a n d ( x - a x i s ) a r e t h e r o o t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n . H e n c e t h e l o c a t i o n o f t h e r o o t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n a r e t h e i n t e r -

s e c t i o n o f t h e s e t w o c u r v e s ( a s s h o w n a b o v e ) .

7

2 . 4 G e n e r a t i o n o f n e w q u a d r a t i c c u r v e s f r o m t h e g i v e n

N o t s u r e i f t h i s g o e s h e r e o r s o m e o t h e r p l a c e i n t h e o w o f t o p i c s .

G i v e n t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s

B o t h t h e r o o t s a r e c o m m o n i s a n e w q u a d r a t i c e q u a t i o n t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e s a m e r o o t s s h a r e d b y t h e g i v e n q u a d r a t i c

c u r v e s

a n d

I n t h e g r a p h b e s i d e R e d

a n d b l u e r e p r e s e n t t h e c u r v e s

a n d ) a n d g r e e n i s

t h e f a m i l y o f c u r v e s p a s s i n g

t h r o u g h t h e c o m m o n r o o t s .

E x a c t l y o n e r o o t i s c o m m o n t h e n a l s o h a s t h e s a m e r o o t c o m m o n o r i n o t h e r w o r d s p a s s e s t h r o u g h t h e s a m e c o m m o n r o o t ( i s

a f a m i l y o f q u a d r a t i c c u r v e s ) w h e r e

2 . 5 G r a p h s o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s

L e t s u n d e r s t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e c o n s t a n t s

&

2 . 5 . 1 C o n s t a n t

C o n s i d e r

i s c o n c a v e u p w a r d s i f

i s c o n c a v e d o w n w a r d s i f F o r e x a m p l e , r e m e m b e r y o u s o l v e d s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s i n s c h o o l s , s a y &

. A n d t h a t w a s p o s s i b l e a l g e b r a i c a l l y a n d g e o m e t r i c a l l y . G e o m e t r i c a l l y t h i s w o u l d b e i n t e r s e c t i o n o f t h e s e t w o l i n e s t o g e t t h e s a m e s o l u t i o n a s a l g e b r a i c a l l y .

S o t h e i m p o r t a n t p o i n t w e m a k e h e r e i s a l g e b r a i c s o l u t i o n o f a s y s t e m o f e q u a t i o n i s s a m e

a s g e t t i n g t h e i n t e r s e c t i o n s o f t h e c u r v e s g e o m e t r i c a l l y ( c o - o r d i n a t e )

7

Q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s r o o t s i n r e a l s p a c e t h a t c a n b e v i s u a l i s e d a n d i n t e r s e c t i o n o f

Q u a d r a t i c c u r v e ( e x p r e s s i o n ) a n d x - a x i s . I f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n i s h a v i n g r o o t s

&

t h e n

t h e p o i n t s w h e r e t h e q u a d r a t i c c u r v e c u t s t h e a r e & T h i s g i v e s h u g e a d v a n t a g e o f s o l v i n g p r o b l e m s v i s u a l l y .


15/29

2 . 5 G r a p h s o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s 1 5

T a b l e 2 : I f o n e r o o t i s c o m m o n t h e n

r e p r e s e n t s a f a m i l y o f q u a d r a t i c c u r v e s p a s s i n g t h r o u g h t h e s a m e c o m m o n r o o t .

2 . 5 . 2 C o n s t a n t

W e s a w t h a t f r o m N a t u r e o f r o o t s a b o v e ,

w e g e t r e a l r o o t s

t h e e q u a t i o n

h a s r e a l d i s t i n c t

r o o t s

c u r v e s

i n t e r s e c t s t h e x - a x i s

i n t w o d i s t i n c t

p o i n t s

t h e e q u a t i o n h a s t w o i d e n t i c a l r e a l r o o t s c u r v e s

i n t e r s e c t s t h e x - a x i s ,

i n e x a c t l y o n e p o i n t

w e g e t i m a g i n a r y r o o t s

t h e e q u a t i o n

h a s n o r e a l

r o o t s

c u r v e s d o e s n o t i n t e r s e c t t h e x - a x i s ,

2 . 5 . 3 C o m b i n i n g b e h a v i o u r s o f b o t h & c o n s t a n t s

r e p r e s e n t s a p a r a b o l a w h i c h i s e i t h e r c o n c a v e u p w a r d s o r

d o w n w a r d s . S o t h e a x i s i s p a r e l l e l t o y a x i s .

C o n c a v e u p w a r d s & t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s C o n c a v e d o w n w a r d s & t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s

C o n c a v e u p w a r d s & t w o i d e n t i c a l r o o t s C o n c a v e d o w n w a r d s & t w o i d e n t i c a l r o o t s

C o n c a v e u p w a r d s & t w o i m a g i n a r y r o o t s C o n c a v e d o w n w a r d s & t w o i m a g i n a r y r o o t s

T h i s c o n c l u s i o n s a r e g o i n g t o h e l p i n s o l v i n g l o t o f p r o b l e m s .

P r o b l e m 1 1 . I f t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n a r e & t h e n p r o v e t h a t

&


( I I T )

P r o b l e m . M e t h o d I

R o o t s o f a r e & i . e . N o w w e n e e d t o p r o v e t h a t

a r e r o o t s o f

t h i s c a n

b e p r o v e d i n t w o w a y s

1 . e i t h e r b y s h o w i n g t h a t t h e e q u a t i o n

h a s r o o t s

o r

2 . b y s h o w i n g t h a t t h e e q u a t i o n h a v i n g r o o t s i s W e s h o w h o w t o d o b o t h w a y s .

C o n s i d e r t h e e q u a t i o n ,


16/29


O t h e r w a y i s , w e h a v e t h e r o o t s a s & a n d w e n e e d t o s h o w t h a t t h e y a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n

L e t s c o n s t r u c t t h e q u a d r a t i c w h o s e r o o t s a r e &

M e t h o d I I

a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n A l s o

a r e r o o t s o f

H e n c e

a r e r o o t s o f

M e t h o d I I I ( G r a p h i c a l m e t h o d )

G i v e n


m e a n s

a r e

r o o t s o f C o n s i d e r t h e c u r v e t h a t h a s r o o t s & t h i s c u r v e e q u a t i o n i s

a n d i f w e t r a n s l a t e t h i s e q u a t i o n w i t h

b e l o w w e g e t t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s

a r e a n d v i c e v e r s a .

2 . 6 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s

A q u a d r a t i c c u r v e s s i g n i . e . c a n b e i n v e s t i g a t e d a n d c o n c l u d e d u s i n g

&

1 . I f

2 . I f

3 . I f

Y o u c a n b e t t e r u n d e r s t a n d t h e a b o v e t h r e e c o n d i t i o n s f r o m t h e b e l o w g r a p h


17/29

2 . 7 M a x i m a a n d M i n i m a o f Q u a d r a t i c c u r v e s 1 7

P r o b l e m 1 2 . I f

w h e r e

i s r e a l t h e v a l u e o f

l i e s i n w h i c h

i n t e r v a l ?

S o l u t i o n :

H e r e w e g e t a q u a d r a t i c i n x a n d g i v e n t h i s t a k e s o n l y r e a l v a l u e s , t h a t m e a n s t h e r o o t s t o t h i s e q u a t i o n s a r e r e a l

H e n c e

P r o b l e m 1 3 . F o r r e a l , t h e e x p r e s s i o n

w i l l a s s u m e a l l r e a l

v a l u e s i f w h a t c o n d i t i o n i s m e t b e t w e e n &

S o l u t i o n : L e t

S i n c e x i s r e a l , t h e d i s c r i m i n a n t

S i n c e y t a k e s a l l r e a l v a l u e s a b o v e i n e q u a l i t y h o l d s i ( s i n c e t h e q u a d r a t i c h a s t o b e p o s i t i v e a n d

h e r e )

o r d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r o r a

2 . 7 M a x i m a a n d M i n i m a o f Q u a d r a t i c c u r v e s

a t t a i n s m a x i m a w h e n

a t

a n d m a x i m a

a t t a i n s m i n i m a w h e n a t

a n d m a x i m a


18/29

1 8 3 I N V E S T I G A T I N G N A T U R E O F R O O T S W I T H Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S

N o t e h e r e t h a t t h e m a x i m a o r m i n i m a w h a t e v e r e x i s t s

8

P r o b l e m 1 4 . G i v e n t w o q u a d r a t i c a n d h a v i n g r o o t s a n d s u c h t h a t t h e n p r o v e t h a t m i n i n u m

v a l u e o f t h e e x p r e s s i o n s

a n d

a r e s a m e

3 I n v e s t i g a t i n g N a t u r e o f r o o t s w i t h Q u a d r a t i c

e x p r e s s i o n s

3 . 1 I n e q u a l i t i e s f r o m l o c a t i o n o f r o o t s

N a t u r e o f r o o t s i s i n u e n c e d b y s p e c i c c o n d i t i o n s o n t h e c o e c i e n t s .

S i m i l a r l y l o c a t i o n o f r o o t s w i t h r e s p e c t o n e o r m o r e c o n s t a n t s t o o r e q u i r e s s p e -

c i c c o n d i t i o n s o n t h e c o e c i e n t s .

3 . 1 . 1 k l i e s b e t w e e n t h e r o o t s

S o w e h a v e a s i t u a t i o n w h e r e

l i e s s u c h t h a t i t s r o o t s

l i e s o n t h e o t h e r s i d e o f c o n s t a n t

F i r s t n e c e s s a r y c o n d i t i o n r e q u i r e d i s e x i s t e n c e o f t h e r o o t s b e t w e e n w h i c h

l i e s , t h i s i s s a t i s e d u s i n g

. T h e c u r v e s h o u l d r s t i n t e r s e c t

8

I f t h e n t h e s i g n o f t h e q u a d r a t i c e x p r e s s i o n i s s a m e a s t h e s i g n o f . T h i s c a n b e u n d e r s t o o d a s

S o t e r m i n s i d e t h e c u r l y b r a c e i s a l w a y s p o s i t i v e i f a n d h e n c e s i g n o f t h e q u a d r a t i c i s s a m e a s s i g n o f

A b o v e a n a l y s i s t a l k s a b o u t m a x i m a a n d m i n i m a o f a n y q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . B u t w e

c a n a n a l y s e t h e a b o v e m a x / m i n f o r e q u a t i o n s w h i c h h a v e r e a l r o o t s , i . e . t h e c o r r e s p o n d i n g

e x p r e s s i o n i n t e r s e c t s t h e

.

L e t b e t h e r o o t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n . S o t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i c e x p r e s s i o n i s .

t h e m i n i s a t t a i n e d a t

a n d v a l u e o f m i n i s

. N o w a v e r y n i c e p o i n t

h e r e i s t h a t i f t w o e q u a t i o n s

w i t h r o o t s a n d w i t h r o o t s h a v i n g d i e r e n c e o f t h e i r t w o r o o t s c o n s t a n t i . e . w i l l h a v e t h e s a m e m i n v a l u e


19/29

3 . 1 I n e q u a l i t i e s f r o m l o c a t i o n o f r o o t s 1 9

C a s e 1 . I f

i s c o n c a v e u p w a r d s . S o

C a s e 2 . I f

i s c o n c a v e d o w n w a r d s . S o

H e r e w e c a n c o n c l u d e b o t h t h e c a s e s i n o n e g o a s . T h i s i s r e q u i r e d c o n d i t i o n

S o

3 . 1 . 2 k l i e s t o t h e l e f t o r r i g h t o f b o t h t h e r o o t s

I n t h i s s i t u a t i o n ,

F i r s t c o n d i t i o n t h a t i s r e q u i r e d i s

t o m a k e s u r e t h e e q u a t i o n h a s r e a l

r o o t s

C a s e 1 . I f

i s c o n c a v e u p w a r d s a n d s o

C a s e 2 . I f

i s c o n c a v e d o w n w a r d s , s o

S o w e c a n c o m b i n e b o t h s t a t e s a s b u t t h i s c a n a l s o c o n c l u d e t h a t

s o t o d i e r e n t i a t e

9

b o t h t h e c a s e w e s e p a r a t e t h e m a s f o l l o w s

S o s u m m a r i s i n g b o t h t h e c a s e s w e h a v e ,

I f

I f

P r o b l e m 1 5 . L e t b e r e a l . I f h a s t w o r e a l r o o t s w h e r e

a n d

, t h e n s h o w t h a t

M e t h o d I

,L e t t h e n w e g e t t h e r e d c u r v e b e l o w

g i v e n

S o w h e n

w e g e t ,

&

w h i c h c a n b e c o m b i n e d

9

N o t e :

w h i c h i s m i d p o i n t o f r o o t s


20/29

2 0 3 I N V E S T I G A T I N G N A T U R E O F R O O T S W I T H Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S

a s

N o w i f w e t a k e

, w e g e t t h e s a m e

M e t h o d I I

L e t h a v e r o o t s &

&

W e n e e d t o p r o v e

C o n s i d e r

I f ( s i n c e

a n d

)

I f

( s i n c e g i v e n

&

I f

( s i n c e

a n d )

H e n c e

.

3 . 2 S i g n i c a n c e o f c o e c i e n t s

,

&

i n

F o r a q u a d r a t i c e q u a t i o n h a v i n g w e c a n c o n c l u d e t h e f o l l o w i n g

R o o t s a r e


21/29

3 . 3 G e o m e t r i c s i g n i c a n c e o f

&

2 1

1 . S a m e m a g n i t u d e o p p o s i t e s i g n

R o o t s a r e

2 . R e c i p r o c a l s o f e a c h o t h e r

3 . B o t h p o s i t i v e

4 . B o t h n e g a t i v e

5 . B o t h a r e o f o p p o s i t e s i g n

3 . 3 G e o m e t r i c s i g n i c a n c e o f

&

1 . i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e : T h i s s i g n i e s i f t h e g r a p h o f t h e q u a d r a t i c i s c o n c a v e u p w a r d s o r d o w n w a r d , t h i s i s s o m e t h i n g w h i c h w e h a v e s e e n

a b o v e .

( a ) : t h e n t h e q u a d r a t i c c u r v e w i l l g o o n c o n t r a c t i n g a l o n g o r e x p a n d i n g a l o n g

( b )

: t h e n t h e q u a d r a t i c c u r v e w i l l g o o n e x p a n d i n g a l o n g

o r c o n t r a c t i n g a l o n g

2 . v a l u e c h a n g e s : t h e n i t c o n t r i b u t e s t o c h a n g i n g t h e p o s i t i o n o f t h e v e r t e x

3 .

v a l u e c h a n g e s :

( a )

h e n c e i t g i v e s u s t h e p o i n t w h e r e

i n t e r s e c t s t h e .

( b ) I f t h e n o n e o f t h e r o o t s i s Z e r o

T h e s e a l l a b o v e c o n d i t i o n s m i g h t s e e m t o b e v e r y o b v i o u s b u t w i l l s u r e l y h e l p

i n s o l u t i o n t o p r o b l e m s

3 . 4 A r e t h e r o o t s r e a l o r c o m p l e x , p o s i t i v e o r n e g a t i v e -

A n o t h e r w a y !

4 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l

I f

a r e r o o t s o f t h e p o l y n o m i a l e q u a t i o n

t h e n t h e r o o t s a r e r e l a t e d t o t h e c o e c i e n t s a s b e l o w


22/29

2 2 4 P O L Y N O M I A L S I N G E N E R A L

c o e o f

c o e o f

c o e o f

c o e o f

.

.

.

c o e o f

c o e o f

P r o b l e m 1 6 . I f b e t h e r o o t s o f t h e n n d t h e v a l u e o f

S o l u t i o n :

B y t h e g i v e n i n f o r m a t i o n , w e h a v e

N o w w e n e e d t o e v a l u a t e

P r o b l e m 1 7 . I f

b e t h e r o o t s o f

t h e n n d t h e e q u a t i o n

w h o s e r o o t s a r e

S o l u t i o n : G i v e n t o u s ,


23/29

2 3

N o w w e k n o w t h e r o o t s o f t h e r e q u i r e d e q u a t i o n w h i c h w o u l d l o o k l i k e

N o w l e t s n d t h e r e q u i r e d c o e c i e n t s

U s i n g t h e f o r m u l a

1 0

N o w

1 0


24/29

2 4 4 P O L Y N O M I A L S I N G E N E R A L

S o t h e r e q u i r e d e q u a t i o n i s

M e t h o d I I

a n d r o o t s o f t h i s e q u a t i o n a r e

. W e n e e d t o n d t h e

e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e l i k e

a n d s i m i l a r l y f o r o t h e r s .

S o l e t

b e t h e r o o t o f t h e r e q u i r e d e q u a t i o n . S o

S u b s t i u t i n g i n t h e e q u a t i o n w e g e t

U s i n g t h e u s u a l n o t a t i o n t o w r i t e a p o l y n o m i a l r e p l a c e

b y

w e g e t t h e

r e q u i r e d p o l y n o m i a l .


25/29

2 5

P a r t I I

P r o b l e m s a n d a p p r o a c h e s f o r t h e m

4 . 1 G i v e n e q u a t i o n w e n d t h e r o o t s

1 . I f

b e t h e r o o t s o f

t h e n s h o w t h a t

. H e n c e o r o t h e r w i s e p r o v e t h a t

2 . T h e r o o t s o f

a r e r e c i p r o c a l t o e a c h o t h e r i f

( a )

( b )

( c )

( d )

3 . I f

h a s r o o t s e q u a l i n m a g n i t u d e b u t o p p o s i t e i n s i g n t h e n

t h e v a l u e o f

i s

( a )

( b )

( c )

( d )

4 . I f t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n i s l e s s t h a t

t h e n t h e s e t o f p o s s i b l e v a l u e s o f i s ?

4 . 2 G i v e n r o o t s n d t h e e q u a t i o n s

1 . I f o n e r o o t o f t h e e q u a t i o n i s t h e s q u a r e o f t h e o t h e r , p r o v e t h a t

2 . I f r o o t s o f t h e e q u a t i o n a r e o f t h e f o r m

a n d

p r o v e t h a t

3 . I f b e t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n i n , a n d b e t h e t w o v a l u e s o f f o r w h i c h a n d a r e c o n n e c t e d b y t h e r e l a t i o n

t h e n n d t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e

a n d


26/29

2 6

4 . 3 N a t u r e o f r o o t s

1 . I f r o o t s o f t h e e q u a t i o n

a r e e q u a l i n m a g n i t u d e a n d

o p p o s i t e i n s i g n t h e n p r o v e t h a t

a n d h e n c e s h o w t h a t t h e

p r o d u c t o f t h e r o o t s i s

2 . P r o v e t h a t i f t h e r o o t s o f

a r e i m a g i n a r y t h e n

m u s t

l i e b e t w e e n

a n d

4 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s

4 . 5 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s

4 . 6 G r a p h o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s

1 . D r a w t h e g r a p h o f f o l l o w i n g c u r v e s a n d m e n t i o n t h e r e g i o n s w h e r e t h e y

a r e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e

( a ) ( b )

( c )

4 . 7 T r a n s f o r m a t i o n o f Q u a d r a t i c g r a p h s

1 . I f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n

h a s r e a l r o o t s

t h e n

( a ) r o o t s o f

h a s

i . r e a l r o o t s

i i . i m a g i n a r y r o o t s

i i i . b o t h r o o t s b e t w e e n

&

i v . b o t h r o o t s o n o t h e r s i d e o f &

( b ) r o o t s o f

h a s

i . r e a l r o o t s

i i . i m a g i n a r y r o o t s

i i i . b o t h r o o t s b e t w e e n

&

i v . b o t h r o o t s o n o t h e r s i d e o f &

4 . 8 S i g n i c a n c e o f

a n d

f o r g r a p h i c a l u n d e r s t a n d i n g o f

Q u a d r a t i c e q u a t i o n s

4 . 9 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s

1 . F o r w h a t v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r i n t h e i n e q u a l i t y

t h e i n e q u a l i t y i s s a t i s e d f o r a l l r e a l v a l u e s o f x ?


27/29

4 . 1 0 M a x i m a , M i n i m a o f Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s 2 7

4 . 1 0 M a x i m a , M i n i m a o f Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s

4 . 1 1 L o c a t i o n o f r o o t s

1 . F i n d a l l v a l u e s o f f o r w h i c h t h e e q u a t i o n , h a s r o o t s

a n d

s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n

S o l u t i o n :

H e r e l e t S i n c e w e h a v e

i . e . i . e .

o r

i . e .

2 . T h e e q u a t i o n h a s a t l e a s t o n e r o o t . D e t e r m i n e t h e r a n g e f o r m

S o l u t i o n :

M e t h o d I :

W e n e e d t o n d w h a t a r e t h e p o s s i b l e v a l u e s o f s u c h t h a t t h e g i v e n e q u a t i o n h a s a t l e a s t o n e p o s i t i v e r o o t . S o t h e t y p i c a l c u r v e o f t h e q u a d r a t i c

e x p r e s s i o n l o o k s l i k e t h i s

S o t h e g r e e n g r a p h r e p r e s e n t t h e p o s i b i l i t y o f g e t t i n g b o t h p o s i t i v e r o o t s

o r e x a c t l y o n e i s p o s i t i v e a n d o t h e r n e g a t i v e .

C a s e I : B o t h r o o t s a r e p o s i t i v e

S o f o r b o t h r o o t s t o b e p o s i t i v e w e r e q u i r e

C a s e I I : O n e r o o t i s p o s i t i v e a n d o t h e r i s n e g a t i v e

F o r t h i s w e r e q u i r e d t o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n

S o c o m b i n i n g b o t h t h e c o n d i t i o n s w e g e t

M e t h o d I I :


28/29

2 8

I f r o o t s e x i s t i . e .

I f b o t h t h e r o o t s a r e p o s i t i v e t h e n

I f o n e r o o t i s p o s i t i v e a n d o t h e r n e g a t i v e t h e n

S o u s i n g t h e a b o v e i n f o r m a t i o n w e h a v e : b o t h p o s i t i v e r o o t s i f

w i t h t h e c o n d i t i o n w e g e t

O n e r o o t i s p o s i t i v e a n d o t h e r n e g a t i v e i f a n d w e a l s o c h e c k f o r

w e g e t t h e r o o t s a r e o p p o s i t e i n s i g n .

M e t h o d I I I

I f w e n e e d a t l e a s t o n e p o s i t i v e r o o t t h e n t h e c o m p l e m e n t p r o b l e m i s ( n o

r o o t s ) o r ( b o t h n e g a t i v e )

i . e . o r { & i . e .

o r {

i . e .

i . e .

S o t h e p r o b l e m t o g e t a t l e a s t o n e p o s i t i v e r o o t i s c o m p l e m e n t o f t h e g i v e n

p r o b l e m

3 . I f

a r e t h e r o o t s o f

. F i n d a l l v a l u e s o f

s u c h

t h a t b o t h a n d l i e b e t w e e n a n d S o l u t i o n :

S i n c e

a n d w e h a v e c o e c i e n t o f

i s p o s i t i v e

W e h a v e , a n d

i . e . a n d

4 . 1 2 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l

1 . I f

i s a s f a c t o r o f t h e e x p r e s s i o n

, t h e n

( a ) ( b )

( c )

( d ) N o n e o f t h e s e


29/29

4 . 1 3 M i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s 2 9

4 . 1 3 M i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s

1 . S o l v e t h e e q u a t i o n 2 . I f a n d t h e n n d t h e v a l u e o f

3 . P r o v e t h a t

i s a n i d e n t i t y

4 . I f

t h e n n d a l l r e a l v a l u e s o f

f o r

w h i c h t a k e s r e a l v a l u e s

5 . S o l v e

6 . I f

t h e n t h e v a l u e o f

l i e s i n t h e i n t e r v a l .

S o l u t i o n : H i n t : w e n e e d t o g e n e r a t e r a n g e f o r

a n d f o r t h a t w e n e e d

t o m a k e u s e o f e x p a n s i o n

a n d

R e f e r e n c e s

[ 1 ] H a l l & K n i g h t - H i g h e r A l g e b r a

[ 2 ] B e r n a r d & C h i l d - H i g h e r A l g e b r a

[ 3 ] V i d y a l a n k a r n o t e s

quadratic equations expressions

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