Rapport du jury, Epreuve Oral Maths Ulm

Nicolas Curien

1. Deroulement de l’epreuve

Un des buts de l’oral MPI Ulm est d’evaluer, outre les connaissances et la maıtrise technique

des candidats, leur capacite a comprendre, a interpreter et a reagir dans des situations mathe-

matiques nouvelles. L’oral s’ecarte ainsi parfois du format traditionnel, et prend generalement

la forme d’un dialogue entre l’examinateur et le candidat. Le candidat est informe des le debut

de l’epreuve que l’exercice de mathematique n’est qu’un pretexte a la discussion et que c’est

uniquement celle-ci qui est jugee. Il n’est donc pas obligatoire de resoudre en entier l’exercice et

certaines questions sont posees sous forme ouverte afin de tester les reactions du candidat.

Lors de cette session 2016, les candidats etaient confrontes a un probleme mathematique,

d’enonce generalement court, et dont la solution necessite un cheminement generalement com-

plexe. Apres quelques minutes de reflexion, l’examinateur questionne le candidat sur les ap-

proches possibles, les cas particuliers traitables, les exemples instructifs etc. S’en suit un dialogue

ou l’examinateur, tantot questionne le candidat ou propose des pistes de reflexions. L’exercice

“principal” etait generalement interrompu quelques minutes avant la fin de l’oral pour poser

des questions de cours ou alors de petits exercices sur d’autres parties du programme.

2. Commentaires generaux

Niveau g

´

en

´

eral: Le niveau mathematique des candidats interroges lors de cette epreuve

reste tres eleve, la selection a l’ecrit a visiblement ete e�cace. Cela permet de poser des exercices

au contenu mathematique ambitieux lors de cet oral. Nous tenons a remercier tous les candidats

qui nous ont donne l’occasion d’avoir un echange d’un reel interet scientifique.

Sur le cours: Les reflexes de taupe et les exercices classiques font partie du bagage d’une

grande majorite des candidats. En revanche, le jury a ete decu par la meconnaissance (ou

connaissance superficielle) du cours de MPSI et MP. En e↵et bien que tous les candidats con-

naissent les enonces des theoremes au programme, leurs demonstrations sont floues, imprecises

ou oubliees. Meme si la manipulation des objets au programme est generalement bonne, leur

definition precise est quelques fois oubliee.

Le jury constate que la connaissance precise des objets et resultats au programme

est souvent negligee au profit de complements hors-programme classiques.

Voici quelques exemples :

• Modelisation de variables aleatoires. Le jury a ete consterne de voir que la construction

d’un espace probabilise supportant 2 variables aleatoires independantes de loi donnee sur

Z etait d’une di�culte insurmontable pour une grande majorite des candidats. Bien que

la manipulation des variables aleatoires s’avere bonne chez les candidats, leur definition

ou “typage” mathematique est souvent tres approximative.

• Les preuves des theoremes et definitions importantes de premiere annee (theoreme des

valeurs intermediaires, theoreme de Rolle, definition et premieres proprietes du deter-

1

minant, definition de la dimension d’un espace vectoriel) sont souvent oubliees. Quel

dommage !

• Si P est une mesure de probabilite etA1 ⇢ A2 ⇢ A3 . . . est une suite croissante d’evenements

alors P(S

i�0Ai

) = lim

i!1 P(Ai

). Beaucoup de candidats essayaient de prouver ceci en

utilisant le theoreme de la limite monotone sans utiliser la �-additivite des mesures de

probabilite.

• Definition de famille sommable.

• Certains candidats pensaient que le fait qu’une application lineaire est continue ssi elle est

Lipschitzienne necessite que les espaces soient de dimension finie.

• Soit P,Q 2 C[X]. Certains candidats ne savaient pas expliquer pourquoi afin de trouver

le PGCD de P,Q on peut soit appliquer l’algorithme d’Euclide, soit prendre les racines en

commun (avec multiplicite) de P et Q.

• La vision geometrique (boule unite) des normes sur des espaces de dimension finie (meme

R2) est tres mal assimilee.

• Les candidats sont souvent incapables de produire des contre-exemples aux theoremes au

programme une fois qu’une des hypotheses est relachee (par exemple le lemme des noyaux

est-il vrai si les polynomes sont seulement premier entre eux dans leur ensemble ?).

• La variable aleatoire X est d’esperance finie si et seulement si sa fonction generatrice GX

est derivable en 1 : aucun des candidats a qui nous avons demande de prouver ce resultat

au programme n’a ete capable de le faire de A a Z.

• Les candidats savent qu’en dimension infinie une famille orthonormale totale n’est pas

forcement une base de l’espace vectoriel mais n’arrive generalement pas a donner un contre

exemple convaincant.

• Le theoreme chinois est quelques fois mal enonce.

Comment d

´

ebuter un exercice : L’abord d’un exercice di�cile est peut-etre la partie

la plus epineuse de cet oral. Cependant les candidats devraient plus souvent avoir le reflexe

de prendre des cas particuliers, faire des dessins, renforcer les hypotheses, etablir des resultats

partiels. Il est arrive plusieurs fois qu’apres 5� 10 minutes de reflexion du candidat, le jury soit

oblige de proposer l’etude des cas triviaux n = 1 ou n = 2 ou de tenter de faire le lien avec des

theoremes au programme.

Quelques exemples d’exercices :

Nous avons choisi ici quelques exercices poses lors de cette session que nous n’avons pas

retrouves dans les livres classiques d’exercices de taupe. C’est la raison pour laquelle les exercices

de probabilites et de geometrie sont sur-representes. Les enonces quelques fois informels sont

precises lors de la discussion avec le candidat.

Exercice 1. Existe-il a1, a2, . . . , an

2 2 R tels que toute matrice A 2 Mn

(R) obtenue en placantces n2 coe�cients dans un tableau n ⇥ n soit inversible ? Peut-on le faire en choisissanta1, a2, . . . , a

n

2 2 [1, 2] ?

2

Exercice 2 (Iteration de l’operateur de Bernstein). Pour f 2 C�([0, 1],R) et n � 1 on note

Bn

(f)(x) =nX

k=0

✓n

k

◆xk(1� x)n�kf

✓k

n

◆, 0 x 1.

Montrer que pour tout n0 � 1 on a

Bn0 � . . . �Bn0| {z }

k fois

(f)kk1���!k!1

B1(f).

Exercice 3 (La transposition est-elle un changement de base?). Existe-il P,Q 2 Mn

(K) tellesque pour tout A 2 M

n

(K) on aittA = PAQ ?

Exercice 4 (Balls in bins). On lance n boules independamment et uniformement dans n boıtes.On note M

n

le nombre maximal de boules dans une boıte. Etudier la variable aleatoire Mn

quandn ! 1 (elle est concentree autour de log(n)/ log log(n)).

Exercice 5 (Un theoreme de Benjamini et Shamov (2015)). Soit f : Z ! Z une bijectionLipschitzienne de reciproque Lipschitzienne. Montrer qu’il existe C > 0 telle que l’on ait

sup

x2Z|f(x)� x| C ou alors sup

x2Z|f(x) + x| C.

Exercice 6 (Suite equirepartie sur R). Existe-t-il une suite reelle (xn

)

n�0 equirepartie au sensou pour tout a < b, c < d 2 R on a

#{0 i n : a xi

b}#{0 i n : c x

i

d} ���!n!1

b� a

d� c.

Exercice 7 (Loi du nombre de cycle d’une permutation uniforme). Soit �n

2 Sn

une permuta-tion choisie uniformement au hasard. Montrer l’identite en loi

#Cycles(�n

) =

nX

k=1

Bernoulli(1/k),

ou les variables de Bernoulli sont independantes. En deduire que #Cycles(�n

) est concentreautour de log(n) avec grande probabilite.

Exercice 8 (Une equation di↵erentielle retardee). On pose y l’unique solution sur [�1,1] quisoit continue et C1 sauf en 0, 1, 2, ... au probleme

⇢y(t) = 1 t 2 [�1, 0]y0(t) = y(t� 1) t � 0.

Donner un equivalent de y(t) quand t ! 1.

Exercice 9 (Tranformee de Laplace). Soit X une variable aleatoire discrete a valeurs dans R+.Pour � > 0 on pose

�X

(�) = E[exp(��X)].

Montrer que �X

est C1 sur R⇤+ et continue en 0. Montrer que �

X

caracterise la loi de X.

3

Exercice 10 (Lois 1-stable positives). Soit X une variable aleatoire discrete a valeurs dans R+

telle que X1 +X2 = 2X en loi ou X1 et X2 sont deux copies independantes de X. Montrer queX est (presque surement) constante.

Exercice 11 (Isometries pour kk1 et kk1). Sur Rn on considere la norme 1 notee kk1 et lanorme 1 notee kk1.

1. Caracteriser les isometries lineaires pour la norme kk1 (resp. pour kk1).

2. On suppose que A : Rn ! Rn est lineaire et que kAXk1 = kXk1 pour tout X 2 Rn.Montrer que n = 1 ou n = 2.

Exercice 12 (Un theoreme local limite). Soit X1, X2, ... des variables aleatoires independantesidentiquement distribuees a valeurs dans Z et de support fini (non trivial). On forme S

n

=

X1 + . . .+Xn

. Montrer qu’il existe 0 < C1 < C2 < 1 telles que pour tout n � 1

C1pn sup

k2ZP(S

n

= k) C2pn.

Exercice 13. Un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie sur C,R,Q admet-iltoujours un sous-espace vectoriel strict stable?

Exercice 14. Soit A 2 Mn

(R). Combien faut-il au minimum modifier de coe�cients de A pourque la matrice devienne inversible ?

Exercice 15. Enonce le theoreme de Heine et le demontrer. Reciproquement, quels sont lessous-ensembles H ⇢ R tels que toute fonction continue f : H ! R soit uniformement continue?

Exercice 16. Trouver tous les morphismes continus (C⇤,⇥) ! (C⇤,⇥).

Exercice 17. Construire une norme sur R2 telle que ses seules isometries lineaires soient ±Id.

4

3 Exemples d’exercices et commentaires

Exercice

On considere l’espace vectoriel norme C0([0, 1]) des fonctions continues sur [0, 1], muni dela norme k.k1 definie par

kfk1 =Z 1

0|f(t)| dt

pour tout f 2 C0([0, 1]).On fixe un entier d et on note Vd le sous-espace vectoriel forme des fonctions polynomiales dedegre au plus d.

1. On considere deux fonctions g et h appartenant a C0([0, 1]). On suppose que l’ensembledes zeros de g, note Z(g), est une reunion finie d’intervalles. On considere la fonction

G : R ! Rt 7! kg + thk1

.

Montrer que G est derivable en 0 si seulement siRZ(g) |h(x)| dx = 0.

Verifier qu’alors

G0(0) =

Z

[0,1]\Z(g)h(x).signe(g(x))dx.

2. On fixe une fonction f de C0([0, 1]). On considere l’application

F : Vd ! RP 7! kf � Pk1

(a) Montrer que cette fonction admet un minimum.

(b) Montrer que si P realise le minimum alors la fonction f � P s’annule au moinsd+ 1 fois.

(c) En deduire que ce minimum est unique.

Commentaire. Cet exercice a ete pose sous la forme precedente, puis en admettantla premiere question. La premiere question decoule de l’usage du taux d’accroissement etdu theoreme de convergence dominee de Lebesgue. Le probleme de la limite de la fonction" 7! |"|

" en 0 a cause de nombreux soucis ! La question (2.a) se traite aisement en remarquantqu’une suite minimisante de polynomes vers la borne inferieure de la fonction F admet unevaleur d’adherence comme suite bornee dans un espace de dimension finie. Cette question aete posee plusieurs fois au cours des semaines d’oral et a mis dans l’embarras beaucoup decandidats. En particulier le jury a pu constater que, pour certains d’entre eux, l’espace despolynomes est compact, ou que toute suite bornee admet une valeur d’adherence sans aucuneconsideration de dimension. La question (2.b) se traite par l’absurde, en utilisant la premierequestion avec g = f � P et en choisissant un polynome h tel que le produit h.signe(f � P )soit de signe de constant, ce qui donne la contradiction. La question de l’unicite (2.c) decoulede la convexite de la norme et de l’usage de f � P1+P2

2 , ou P1 et P2 realisent le minimum.

3

Exercice

Pour A 2 Mn(R) on note FA l’ensemble des fonctions f 2 C1(Rn) dont le gradient est borneet satisfait la relation rf(x) ? Ax pour tout x 2 R. Prouver l’equivalence entre les assertionssuivantes :

(i) aucune valeur propre de A n’appartient a l’axe imaginaire pure ;(ii) FA ne contient que des fonctions constantes.

Pour (ii) ) (i), on pourra utiliser puis montrer le fait suivant : si A 2 Mn(R) possede unevaleur propre sur l’axe imaginaire pur, alors il existe S 2 Sn(R) non nulle a valeurs proprespositives telle que SA+ tAS = 0.

Commentaire. Grace a la relation d’orthogonalite ,nous observons que la fonction f estconstante le long de toute courbe solution de y0 = Ay. L’implication (i) ) (ii) se prouve alorsen constatant qu’une telle courbe tend vers 0 (en plus ou moins l’infini) lorsque initialisee surcertains sous-espaces associes a la matrice A. Cela implique que sur chacun de ces sous-espacesf est constante de valeur f(0). En utilisant le caracteres lipschitzien de f (grace a la bornesur son gradient), on etend ce comportement a tout l’espace. Le sens inverse est obtenu ensuivant l’indication de l’enonce et en considerant l’application g(x) = hSx, xi dont le gradient2Sx est bien orthogonal en tout point a Ax, puisque la matrice SA est anti-symetrique. Il fautalors travailler un petit peu plus pour transformer g en une fonction de gradient borne touten conservant la propriete (i) (en la composant a gauche par une fonction appropriee). Enfin,l’indication se demontre en notant que si z est un vecteur propre complexe de la transposeede A, associe a la valeur propre �, la matrice S := z tz+ ztz est symetrique de valeurs proprespositives et verifie SA+tAS = (�+ �)z tz.

Exercice

Soient (⌦i,Ai, Pi), i = 1, 2, deux espaces de probabilite. Pour i = 1, 2, soit Xi : ⌦i ⇥ R ! Rtelle que pour tout t, Xi(t) : ! 7! Xi(t,!) est une variable aleatoire discrete reelle et, pourtout ! 2 ⌦i, t 7! Xi(·,!) est une fonction C2.

1. On suppose que X1(0) et X2(0) ont la meme loi et, pour i = 1, 2 :

8! 2 ⌦i, 8t, X 0i(t,!) = tXi(t,!).

Montrer que, pour tout t, X1(t) et X2(t) ont la meme loi.

On suppose a present que (X1(0), X01(0)) et (X2(0), X

02(0)) sont injectives, de meme loi

et de meme image.

2. Montrer que si X1 et X2 sont deux solutions de

8! 2 ⌦i, 8t, X 00i (t,!) + a(t)X 0

i(t,!) + b(t)Xi(t,!) = 0

avec a et b de classe C1, alors, pour tout t, X1(t) et X2(t) ont la meme loi.

3. On suppose que ⌦1 et ⌦2 sont finis et que X1 et X2 sont deux solutions de

8! 2 ⌦i, 8t, X 00i (t,!) + a(t)X 0

i(t,!) + b(t)E(Xi(t)) = 0.

Montrer que X1(t) a la meme loi que X2(t) pour tout t.

4

Commentaire. On peut repondre a la premiere question en resolvant explicitementl’equation.

La deuxieme question a d’abord ete posee sans l’hypothese d’injectivite. On peut yrepondre en posant pour tout t 2 R, u(t) : R2 ! R2 l’application qui a (x0, x1) 2 R2 associe(x(t), x0(t)) ou x est l’unique solution de x00 + ax0 + bx = 0 telle que (x(0), x0(0)) = (x0, x1).L’application u(t) est lineaire et injective par unicite des solutions. On a alors

P1((X1(t), X01(t)) = (x, y)) = P1((X1(0), X

01(0)) = u(t)�1(x, y)).

L’egalite des lois au temps t = 0 donne le resultat.Alternativement, sous l’hypothese d’injectivite, on peut poser ' = (X1(0), X

01(0))

�1 �(X2(0), X

02(0)). Cette application va de ⌦2 dans ⌦1 et satisfait par egalite des lois de (X1(0), X

01(0))

et (X2(0), X02(0)) : pour tout A1 2 A1,

P1(A1) = P2('�1(A1)).

Par ailleurs, par unicite des solutions de y00 + ay0 + by = 0, on a X1 �' = X2, ce qui entraınel’egalite des lois en tout temps.

Pour la troisieme question, comme ⌦i est fini,

E(Xi(t)) =X

!2⌦i

Xi(t,!)Pi({!})

est bien defini et derivable deux fois, et E(Xi(t)) satisfait pour i = 1, 2 l’equation y00+ay0+by =0 avec la meme donnee initiale pour i = 1, 2. En e↵et, l’egalite des lois entraıne l’egalitedes esperances. En posant �(t) = E(Xi(t)), on a que X1(t) et X2(t) satisfont tous deuxy00 + ay0 + b� = 0 et on peut resoudre le probleme comme a la question precedente.

La question 1 n’a dans l’ensemble pas pose de probleme excepte pour les candidats quin’ecrivaient pas la dependance de la solution en la donnee initiale, ou ceux qui ne connaissaientpas la definition d’une loi. La seconde question a permis au jury de se rendre compte quecertains candidats ignoraient que l’ensemble note (X = x) correspondaient a X�1({x}). Celaentraınait quelques confusions, par exemple, il a ete vu P1(A) avec A un sous-ensemble de R.La troisieme question a peu ete traitee.

Exercice

On se place dans l’espace euclidien Rn, n � 3.

1. Montrer que si x, y, v, w 2 Rn sont des vecteurs de norme 1, avec x?v et y?w, alors ilexiste g 2 SO(n) tel que g(x) = y et g(v) = w.

2. Soit b une forme bilineaire sur Rn telle que

8g 2 SO(n), 8v, w 2 Rn, b(g(v), g(w)) = b(v, w).

Que dire de b ?

3. Soit E l’espace des formes bilineaires symetriques sur Rn. Decrire les sous-espaces F deE tels que

8b 2 F, 8g 2 SO(n), b(g(.), g(.)) 2 F.

5