rapport du modal mapamarj/files/modal.pdf · 2017-10-18 · chapitre 2 l'aspect théorique 2.1...

RAPPORT DU MODAL MAP

Jonathan AMAR

Antoine GRUET

MinhQuang PHAM

Table des matières

1 Introduction 2

1.1 Résumé de l'article :" Joint spectral radius and path-complete graph Lyapunovfunctions" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 L'aspect théorique 4

2.1 Première vue sur le rayon spectral joint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 L'existence de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Le théorème du rayon spectral joint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Le rayon spectral joint comme l'in�mum sur toutes les normes possibles . 5

2.2 Le rayon spectral joint et le système linéaire switched . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Graphe de chemin complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Exemples de graphes de chemin complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Graphe de chemin complet et rayon spectral joint . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 L'approche avec précision arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Comparaison entre les JSR de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Approximation du JSR par simulation numérique 12

3.1 La simulation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Construction de mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Calcul de JSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2 Méthode d'élimination des mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

Chapitre 1

Introduction

Lors de ce modal, nous allons étudier un type de suites particulier, et notamment leurstabilité. Ces suites sont dé�nies par

xk+1 = Axk

où A prend ses valeurs dans un ensemble �ni de matrices carrées A = {A1, . . . , Am}. Etudier lastabilité de ces suites revient à étudier le rayon spectral joint (JSR) de l'ensemble de matrices,et plus particulièrement sa position par rapport à 1.

1.1 Résumé de l'article :" Joint spectral radius and path-

complete graph Lyapunov functions"

Le rayon spectral joint est un sujet intéressant dans les mathématiques modernes. Cettenotion est introduite dans plusieurs domaines.

Dans l'article, on introduit le rôle du graphe de chemin complet pour les fonctions deLyapunov dans l'approximation du rayon spectral joint. Cette approche se base sur l'analysedu "switched" système via les inégalités imposées entre des fonctions de Lyapunov associéesau graphe orienté étiqueté. Dans l'article, on dé�nit une classe de graphes appelée "graphe dechemin complet" et on montre que chaqu'un de ces graphes nous permet de justi�er la stabilitédu "switched" système. A la �n de l'article, on introduit deux résultats remarquables qui nouspermettent d'approcher le rayon spectral joint avec une précision arbitraire.

1.2 Objectifs

Pour mener à bien ce modal, nous nous sommes appuyés sur des éléments théoriques quenous détaillerons au cours de ce rapport, et nous articulerons l'essentiel de nos résultats autourd'une approche numérique. Nous avons dégagé plusieurs axes de travail. Tout d'abord, nousutiliserons une approche statistique, à savoir celle du switch proba. Puis, nous essayerons d'ap-procher la valeur exacte du JSR, grâce à sa dé�nition limite. En�n, nous utiliserons la théoriedes "graphes de chemin complet" pour encadrer d'une manière di�érente ce JSR. Pour faciliterl'étude, et avoir des programmes pertinents, nous nous intéresserons à un ensemble de deuxmatrices particulières, de taille 2 × 2, et nous comparerons les di�érentes approches utiliséespour ces deux matrices. Ces deux matrices sont A = (1, α; 1, 0) et B = (α, 1; 0,−1/2), où α estun paramètre réel.

Notre projet se concentre sur 2 points :i) Comprendre la méthode d'approche de l'article.

2

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 3

ii) Estimer le JSR de l'ensemble de deux matrices paramétrées par α

A =

[1 α1 0

], B =

[α 10 −1/2

]par di�érents méthodes en vue de trouver la valeur α minimisant le JSR de l'ensemble.

Chapitre 2

L'aspect théorique

2.1 Première vue sur le rayon spectral joint

On de�nit deux quantités

ρ̂t(A, ‖.‖) = sup{‖A‖1/t : A ∈ At}

ρt(A) = sup{ρ(A)1/t : A ∈ At}où ρ(A) est la valeur propre la plus grande de la matrice A.

Dé�nition 2.1.1. Etant donné un ensemble de matrices A = {A1, . . . , Am}, le rayon spectraljoint ( JSR) de A est dé�ni comme suit :

ρ̂(A) = limt→∞

ρ̂t(A, ‖.‖) (1.1)

On trouve que la quantité ρ̂(A) ne dépend pas de la norme utilisée en (1.1), alors que laquantité ρ̂t(A) dépend de la norme utilisée car toutes les normes dans un espace de Hilbert dedimension �nie sont équivalentes.

Dé�nition 2.1.2. Etant donné un ensemble de matrices A = {A1, . . . , Am}, le rayon spectralgénéralisé de A est dé�ni come suit

ρ(A) = lim supt→∞

ρt(A) (1.2)

2.1.1 L'existence de la limite

On admet le lemme de Fekete

Lemme 2.1.1. Soit une suite an : n ≥ 1 telle que

am+n ≤ am + an.

Alors la limitelimn→∞

ann

existe et est égale à inf{ann}

En prenant le lemme de Fekete, on peut prouver la convergence de la suite ρ̂t(A, ‖.‖)

Théorème 2.1.1. Soit un ensemble �ni de matrices A ∈ Rn×n, la suite ρ̂t(A, ‖.‖) convergequand t→∞. En plus,

limt→∞

ρ̂t(A, ‖.‖) = inf{ρ̂t(A, ‖.‖)}

4

CHAPITRE 2. L'ASPECT THÉORIQUE 5

Démonstration. Notons at = log(sup{‖A‖ : A ∈ An×n}). Donc, ρ̂t(A, ‖.‖) = exp(att) Vu que les

normes utilisées sont sous-multiplicatives, alors

am+n ≤ am + an.

Selon le lemme de Fekete, la limite

limn→∞

ann

existe et est égale à inf{ann} En conséquence, on a que

limt→∞

ρ̂t(A, ‖.‖) = inf{ρ̂t(A, ‖.‖)}

Proposition 2.1.1. Inégalité d'encadrement

ρt(A) ≤ ρ(A) ≤ ρ̂t(A)

2.1.2 Le théorème du rayon spectral joint

Ce théorème est prouvé en 1992 par Berger et Wang.

Théorème 2.1.2. Pour tout ensemble borné de matrices : A

ρ(A) = ρ̂(A)

Dorénavant, dans la suite du rapport, on note ρ(A) le rayon spectral joint de l'ensemble A

2.1.3 Le rayon spectral joint comme l'in�mum sur toutes les normes

possibles

Proposition 2.1.2. Soit un ensemble �ni de matrices A ∈ Rn×n tel que ρ̂(A) > 0, le rayonspectral joint peut se dé�nir comme

ρ̂(A) = inf‖.‖

supA∈A{‖A‖}

Notons A∗ = ∪t∈Z+At

Démonstration. Quelque soit ε > 0, considérons l'ensemble Aε = 1ρ̂+εA Alors tous les produits

de matrices dans A∗ε sont uniformément bornés. En conséquence, la quantité max{|Ax|2 :A ∈ A∗ε} (où |.|2est la norme euclidienne) est dé�ni quelque soit x. En prenant en compte despropriétés de la norme euclidienne, on peut dé�nir une autre norme : |x| = max{|Ax| : A ∈ A∗ε}

Maintenant, on dé�nit une norme sur l'espace des matrices :

‖A‖ = max|x|=1{|Ax|}

Vu que |Ax| = max{|BAx| : B ∈ A∗ε} et quemax{|BAx| : B ∈ A∗ε} ≤ max{|Ax| : A ∈ A∗ε},alors |Ax| ≤ |x|. Donc, ‖A‖ ≤ 1 quelque soit A ∈ A∗ε . En conséquence, maxA∈A∗

ε{‖A‖} ≤ 1,

ainsi, maxA∈A∗{‖A‖} ≤ ρ̂+ ε


2.2 Le rayon spectral joint et le système linéaire switched

Dé�nition 2.2.1. Un système linéaire switched associé á l'ensemble A = {A1, . . . , Am} estdé�ni comme suit

xk+1 = Aσ(k)xk (1.3)

où σ : Z→ {1, . . . ,m}

Un résultat reliant le rayon spectral joint et la stabilité de ce système est que ρ(A) < 1 siet seulement si le système (1.3) est absolument asymptotiquement stable. En e�et, ce résultatest un corollaire du théorème suivant.

Théorème 2.2.1. Pour tout ensemble de matrices A, tous les produits de la forme : ...A2A1

convergent vers zéro si et seulement si ρ(A) < 1

Pour un certain ensemble de matrices A = {A1, . . . , Am}, on peut étudier la stabilité absolueasymptotique du système (1.3) pour l'ensembleAγ = {γA1, . . . , γAm} pour un certain scalaireγ,puis on obtient une borne supérieure 1

γde ρ(A) car ρ(Aγ) = γρ(A) .

Si il existe une fonction continue, positive, homogène V satisfaisant :

V(γAix) ≤ V(x) ∀i = 1, . . . ,m, ∀x ∈ Rn,

pour un certain γ > 1, alors ρ(A) ≤ 1γ< 1. En conséquence, le système est absolument

asymptotiquement stable. Néanmoins, cette fonction n'est pas généralement constructible. Uneapproche courante est d'approximer cette fonction par une famille de fonctions. En parallèle,on peut en pratique calculer une borne du JSR en minimisant 1

γpour la famille de fonctions

de Lyapunov quadratiques(i.e., V(x) = xTPx).

2.3 Graphe de chemin complet

Soit G(N,E) un graphe orienté dont chaque noeud est associé à une fonction de Lyapunovet dont chaque arête est étiquetée par un mot de A∗ = ∪t∈Z+At .

Dé�nition 2.3.1. Etant donné un graphe orienté G(N,E), on dé�nit son graphe prolongéGe(N e, Ee) comme le résultat de la procédure suivante. Pour chaque arête (i,j) étiquetée par uncertain mot Aik . . . Ai1 ∈ A∗ avec k ≥ 2, on le coupe en k intervalles en le remplaçant par knouvelles arêtes (i, sij1 ) . . . (s

ijk−1) qui sont étiquetées respectivement par Ai1, . . . , Aik.

Dé�nition 2.3.2. Un graphe G(N,E) est dit de chemin complet si tout mot �ni est un chemindans son graphe prolongé.

Dé�nition 2.3.3. Soit A = {A1, . . . , Am} un ensemble de matrices. Etant donné un graphe dechemin complet G(N,E) et |N| fonctions Vi(x), alors {Vi(x)|i = 1, . . . , |N |} sont des fonctionsde Lyapunov "GLF" associées à G(N,E) si

Vj(L((i, j))x) ≤ Vi(x) ∀x ∈ Rn, ∀(i, j) ∈ E,

où l'arête (i,j) est étiquetée par L((i, j)) ∈ A∗


2.3.1 Exemples de graphes de chemin complet

Dé�nition 2.3.4. Etant donné un graphe G(N,E) dont les arêtes sont étiquetées par les motsdans A∗, on dé�nit son graphe renversé G'(N,E') par un graphe obtenu en inversant le sensdes arêtes de G et en réétiquetant les arêtes Aσk . . . Aσ1 en Aσ1 . . . Aσk .

Théorème 2.3.1. Si un graphe G(N,E) est de chemin complet, alors son graphe renversé l'estaussi.

Théorème 2.3.2. Un graphe ayant des propriétés suivantes est de chemin complet :Propriété (i) : pour tout noeud dans G, ses arêtes sortantes sont étiquetées par tous les mots

dans A.Propriété (ii) : pour tout noeud dans G, ses arêtes entrantes sont étiquetées par tous les

mots dans A.

2.4 Graphe de chemin complet et rayon spectral joint

Théorème 2.4.1. Soit A = {A1, . . . , Am}un ensemble de matrices. Pour un scalaire γ positif,on dé�nit Aγ = {γA1, . . . , γAm}. Soit G(N,E) un graphe de chemin complet dont les arêtessont étiquetées par l'ensemble A∗γ. Si il existe des fonctions Vi positives homogènes et continuestelles que {Vi(x)|i = 1, . . . , n} sont des fonctions de Lyapunov associées au graphe G(N,E),alors ρ(A) ≤ 1

γ.

Démonstration. Première étape : On démontre d'abord ce résultat dans le cas où les arêts duG(N,E) sont de longueur 1, c'est-à-dire que G(N,E) = Ge(N e, Ee). Le cas général peut sedéduire de ce cas. Supposons que le degré d'homogénéité des fonctions Vi est d (i.e, Vi(ax) =adVi(x) ). Par continuité et homogénéité, pour chaque fonction Vi, il existe αi et βi tels que

αi‖x‖d ≤ Vi(x) ≤ βi‖x‖d

pour tout x ∈ Rn ( ici, ‖x‖ est la norme euclidienne).Notons

ε = maxi,j∈{1,...|N |}

βjαi

.Maintenant, considérons un produit arbitraire Ai1 . . . Aik de longueur k. Soient (i,j) deux

noeuds dans G dont un chemin de i en j est étiqueté par le mot correspondant à ce produit. Enprenant en compte des inégalités de Lyapunov le long du chemin, on obtient à la �n que

Vj(γkAi1 . . . Aikx) ≤ Vi(x)

quelque soit x. En plus, par homogénéité, on a que(Vj(Ai1 . . . Aikx)

Vi(x)

)1/t

≤ 1

γk

En suite, on a que

‖Ai1 . . . Aik‖ ≤ maxx

‖Ai1 . . . Aik‖‖x‖

≤(βjαi

)1/d

maxx

(Vj(Ai1 . . . Aikx)

Vi(x)

)1/t

≤(βjαi

)1/d1

γk≤ ε1/d

1

γk

quand k tend vers l'in�ni, on obtient ρ̂(A) ≤ 1γ.


Deuxième étape : à présent, il y a au moins une arête de G étant de longueur plus grandeque 2 ; ainsi, Ge(N e, Ee) 6= G(N,E). D'abord, on commence avec des fontions de Lyapunov àchaque noeud de G, {Vi}. A partir de ces fonctions, on construit des fonctions supplémentairesV ei pour le graphe Ge(N e, Ee) telles que {Vi}∪{V e

j } sont les fonctions de Lyapunov associées augraphe Ge(N e, Ee). Si cette procédure est réalisée, on obtient le même résultat avec le grapheGe(N e, Ee) dont les arêtes sont de longueur 1.

Pour une arête de longueur k Ai1 . . . Aik du noeud i au noeud j, dans le graphe Ge(N e, Ee),k-1 noeuds sont ajoutés par rapport au graphe G(N,E). Notons ces k-1 noeuds ij1 . . . , ijk−1.Maintenant, à chacun de ces noeuds, on dé�nit k-1 nouvelles fonctions

Vijp(x) = Vj(Aik−p . . . Ai1x)

Alors, on aVijp+1(Aik−px) ≤ Vijp(x) ∀p ∈ {0 . . . k − 1}

(Vi(x) = Vij0(x) et Vj(x) = Vijk). Donc, les inégalités de Lyapunov sont assurées.En plus, pour que les nouvelles fonctions soient dé�nies positives, il faut que les matrices Aik

soient inversibles. Quand ce n'est pas le cas, on peut considérer le théorème avec des matricestrès proches des anciennes, en admettant que le JSR soit continu en fonction des matrices.

Corollaire 2.4.1.1. Soit A = {A1, . . . , Am} un ensemble de matrices. Si il existe k matricesPj de�nies positives telles que

∀(i, h) ∈ {1, . . . ,m} × {1, · · · , k}, ∃j ∈ {1, . . . , k}

t.q. γ2ATi PjAi � Ph

pour un certain γ > 1, alors le système est absolument asymtotiquement stable, i.e. ρ(A) < 1.

Ce corollaire est le résultat obtenu en appliquant le théorème ci-dessus au graphe dontchaque noeud a ses arêtes étiquetées par l'ensemble A.

Corollaire 2.4.1.2. Soit A = {A1, . . . , Am} un ensemble de matrices. Si il existe k matricesPj de�nies positives telles que

∀(i, j) ∈ {1, . . . ,m} × {1, . . . , k},∃h ∈ {1, . . . , k}

telque γ2ATi PjAi � Ph


Corollaire 2.4.1.3. Soit A = {A1, A2} un ensemble de matrices. Si il existe une matricede�nie positive P telle que

γ2AT1 PA1 � P,

γ4(A2A1)TP (A2A1) � P,

γ6(A22A1)

TP (A22A1) � P,

γ6(A32)TPA3

2 � P,



2.5 L'approche avec précision arbitraire

Notation 2.5.1. Soit A = {A1, . . . , Am} un ensemble de m matrices, un graphe de chemincomplet G(N,E) et une classe de fonctions V, on note ρ̂V,G(A) la borne supérieure du rayonspectral joint de A obtenue en minimisant 1

γsous les constraint d'inégalié dé�nis sur G pour

les GLFs Vi ∈ V , i ∈ N. En plus, on note ρ̂V(A) la borne supérieure obtenue en utilisant unefonction de Lyapunov V ∈ V.

Soit A un ensemble �ni de matrices, alors on peut approcher en théorie ρ(A) avec uneprécision arbitraire en augmentant le nombre de noeuds dans le graphe. Les résultats suivantssont obtenus en utilisant des fonctions de Lyapunov quadratiques assignées aux noeuds dugraphe de De Bruijn.

Dé�nition 2.5.1. Le graphe de De Bruijn d'ordre k avec symboles est un graphe orienté avecmk noeuds et mk+1 arêtes dont les noeuds sont indexés par tous les mots possibles de longueurk obtenus avec l'alphabet {1, . . . ,m}, et dont les arêtes ont l'étiquette de longueur 1 et sontobtenues de sorte qu'il existe une arête Aj partant du noeud i1i2 . . . ik−1ik au noeud i2i3 . . . ik−1j.

Soit A = {A1, . . . , Am} un ensemble de m matrices. On va utiliser le graphe de De Bruijind'ordre 1 avec m symboles et des fonctions de Lyapunov de la forme xTPix pour l'approximationdu JSR de A, on obtient les inégalités de Lyapunov suivantes :

Pi � 0∀i = 1, . . . ,m,

γ2ATi PjAi � Pi∀(i, j) = {1, . . . ,m}2 (4.1)

ou bien :Pi � 0∀i = 1, . . . ,m,

γ2ATi PiAi � Pj∀(i, j) = {1, . . . ,m}2 (4.2)

(car le graphe De Bruijin et graphe son renversé sont de chemin complet).Il nous faut minimiser 1

γsous contraints LMIs.

Théorème 2.5.1. Si |A| = n, alors

12√nρ̂V2(A) ≤ ρ(A)

où V2 est la famille de fonctions de Lyapunov quadratiques.

Théorème 2.5.2. Soit A un ensemble de m matrices dans Rn×n dont le JSR est ρ(A), alors

14√nρ̂V2,G1(A) ≤ ρ(A) ≤ ρ̂V2,G1(A)

Théorème 2.5.3. Soit A un ensemble de m matrices dans Rn×n. Pour un certain entier lpositif, il existe un graphe de De Bruijn d'ordre l-1 avec m symboles assigné ( noté G) auxfonctions de Lyapunov quadratiques. Puis, on obtient un "semide�nite" programme qui estanalogue à (4.1) ou (4.2). Le paramètre qui optimise le programme est ρ̂V2,G(A). Et on obtient2 inégalités

12l√nρ̂V2,G1(A) ≤ ρ(A) ≤ ρ̂V2,G1(A)

.


Selon le théorème précédent, on peut approcher le JSR ρ(A) avec une précision arbitraire.Néanmoins, le graphe de De Bruijin devient plus grand quand l croît, ce qui augmente lacomplexité du programme.

Théorème 2.5.4. Soit A un ensemble de m matrices dans Rn×n, et G∗({1}, E) (un noeud) ungraphe de chemin complet. Soit l = mine∈E |L(e)|. Alors, on a ces 2 inégalités :

12l√nρ̂V2,G∗(A) ≤ ρ(A) ≤ ρ̂V2,G∗(A)

.

Démonstration. Etant donné que ρ̂V2,G∗(A) et ρ(A) sont homogènes, alors on peut supposerque ρ̂V2,G∗(A) = 1.

On peut démontrer ce théorème par l'absurde. Supposons que ρ(A) < 12l√n , ainsi ρ(A) < 1.

Notons A∗ = {e ∈ E : L(e)}.A présent, nous allons montrer que ρ(A∗) ≤ ρ(A)l. Par l'absurde, nous supposons que

ρ(A∗) > ρ(A)l.Par la dé�nition en terme de limite de ρ(A∗), il existe un nombre i su�samment grand tel

qu'il existe un produit noté Aσ ∈ A∗i et que

ρ(Aσ)1i > ρ(A)l

.En plus, il existe un nombre j tel que Aσ ∈ Aj , donc j ≥ il.En utilisant l'égalité d'encadrement (2.1.1), on obtient que

ρ(Aσ)1j ≤ ρ(A)(∗)

. Donc, étant donné que ρ(A) < 1,

ρ(Aσ)1j > ρ(A)

ilj > ρ(A)

. Ce qui est contraire à (*).Finalement, ρ(A∗) < 1√

n. En conséquence, il existe ε positif tel que ρ((1 + ε)A∗) < 1√

n. Par

le théorème 2.5.1, on a queρ̂V2((1 + ε)A∗) < 1

, ce qui montre que ρ̂V2,G∗(A) < 1, ce qui est absurde.

2.6 Comparaison entre les JSR de deux ensembles

Dans cette section, on considère 2 ensembles A = {A,B} et A = {A,B,AB}. A priori,ρ(A) 6= ρ(A). En e�et, si on choisit

A =

[2 00 2

], B =

[4 00 4

]On obtient ρ(A) = 4, mais ρ(A) = 8 car

AB =

[8 00 8

]Mais on peut montrer quelques propriétés intéressantes.


Proposition 2.6.1. Si ρ(A) < 1, alors ρ(A) = ρ(A).

Démonstration. On va utiliser la proposition 2.1.2 qui nous permet de dé�nir le rayon spectraljoint de manière di�érente. On sait que

ρ(A) = inf‖.‖

maxA∈A‖A‖

. Alors si ρ(A) < 1, c'est-à-dire qu'on va chercher l'in�mum sur l'ensemble des normes quisatisfont

∀A ∈ A, ‖A‖ < 1− ε

où ρ(A) < 1− ε. Puis, on voit clairement que pour ces normes,

‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖ < max{‖A‖, ‖B‖}

. Donc, pour une certaine norme dans cet ensemble, on a

maxA∈A‖A‖ ≥ max

A∈A‖A‖

. Donc, ρ(A) ≥ ρ(A). Mais, en revanche, on a que

ρ̂n(A) ≤ ρ̂n(A)

car An ⊂ An. En passant à la limite, on obtient que

ρ(A) ≤ ρ(A)

D'où,ρ(A) = ρ(A)

.

Proposition 2.6.2. Si ρ(A) > 1,on peut toujours choisir une matrice B telle que ρ(A) > ρ(A).

Démonstration. On utilise la propriété de continuité du JSR en les coe�cients des matrices.Quand

B → A

alorsρ(A)→ ρ(A)

etρ(A)→ ρ(A,A2) = ρ(A2) = ρ(A)2 > ρ(A)

et donc il existe une matrice B très proche de A telle que

ρ(A) > ρ(A)

.

Chapitre 3

Approximation du JSR par simulation

numérique

3.1 La simulation probabiliste

A�n de modéliser la courbe du rayon spectral joint de nos deux matrices en fonction deα, nous avons eu recours à une simulation numérique fondée sur une approche probabiliste.L'objectif est d'approcher le JSR, à un rang n donnée, par une grandeur notée ρ′(α, n). Pour cefaire, nous prenons un vecteur aléatoire normé u(0), puis nous calculons une valeur possible deu(n) en choisissant aléatoirement par quelle matrice on va composer un terme de la suite pourobtenir le suivant. Nous relevons alors comme valeur la norme de u(n) à la puissance 1/n, etnous e�ectuons cette manoeuvre un nombre N de fois, en conservant en mémoire la plus grandede ces valeurs obtenues. Pour un grand nombre de simulations et une valeur de n élevée, noussavons que nous approchons de ρ′(α, n). Cette méthode est relativement intéressante, car sacomplexité est en O(N × n), donc bilinéaire. En faisant ensuite varier α, nous pouvons tracerune courbe qui, théoriquement, doit s'approcher de la courbe de ρ′(α, n). Cela nous permet parexemple d'estimer pour quel α la suite est absolument convergente, et pour quelle valeur de αon va atteindre le minimum de cette courbe.

Pour tracer ces courbes, nous avons d'abord utilisé le logiciel Scilab. Ce logiciel présentel'avantage d'une programmation simple, car le typage et l'allocation de cases mémoires et depointeurs ne posent aucun problème. Néanmoins, il s'agit d'un logiciel qui interprète toutesses données, c'est-à-dire qui traduit les données du programme dans le langage de l'ordinateura�n de pouvoir le compiler. Or, ceci a un coup très élevé, et diminue énormément la vitesse decalcul du programme. Nous avons ainsi pu obtenir avec ce programme des courbes, mais assezpeu concluantes car les paramètres étaint peu élevés. Le programme Scilab est disponible enannexe. Voici quelques-unes des courbes que nous avons observées :

12

CHAPITRE 3. APPROXIMATION DU JSR PAR SIMULATION NUMÉRIQUE 13

Figure 3.1 � N=30000,n=100,m=100

Figure 3.2 � N=60000,n=100,m=100


Figure 3.3 � N=15000,n=150,m=250

Nous allons ici analyser les trois graphes que nous avons tracés avec Scilab, selon la mé-thode probabiliste. Les �gures 3.1 et 3.2 représentent des trajectoires approximatives suiviespar le JSR pour des mots de longueur 100 et avec un pas de 1/100. La di�érence réside en lenombre de tests, plus importants dans la �gure 3.2 que dans la 3.1. Il en résulte une légèreamélioration de la régularité de cette courbe ainsi qu'une meilleure précision. Ces deux courbesnous fournissent plus une allure générale que des informations �ables, car le pas est grossieret la longueur des mots est assez faible. Pour améliorer notre approche, nous avons tracé lacourbe 3.3, bien meilleure pour plusieurs raisons, malgré un nombre plus faible de simulations :la longueur des mots traités est de 150, ce qui assure qu'on s'approche plus de la vraie trajec-toire, et le pas est plus �n, donc la courbe semble plus régulière. En ce qui concerne l'analysedes résultats à proprement parler, ces courbes nous indiquent, d'une �abilité toute relative,que ρ′(α, n) vaut 1 lorsque α est nul, qu'il est croissant entre approximativement -0.4 et 0, etqu'il est décroissant entre -1 et approximativement -0.4. Dans le cadre de notre étude, cela esttrès intéressant, car nous pouvons ainsi approcher la valeur de alpha pour laquelle le JSR passeen-dessous de 1 et celle pour laquelle le JSR est minimum. Avec comme seul support les courbesdonnées par Scilab, nous ne pouvons garantir ces valeurs, même a un seul chi�re signi�catif.Nous conjecturons que ces deux valeurs sont respectivement d'environ -0.9 et -0.4.

Scilab n'étant pas très concluant, nous avons alors choisi de traduire ce programme en C++,bien plus e�cace dans la compilation. Cela nous a permis de tracer une courbe bien plus précise,avec des paramètres bien plus élevés.

Ainsi, nous avons recours aux courbes que va nous fournir c++. Le code obtenu en c++est la traduction du code scilab, mais le fonctionnement de c++ autorise, comme nous l'avonsdéja énoncé, plus de calculs, donc nous avons pu augmenter sensiblement nos paramètres.

Le paramètre que nous avons souhaité augmenter principalement est la longueur des motsconsidérés. Nous avons choisi de la �xer, pour les simulations probabilistes, à 350. A la �gure


3.4, nous avons tracé le résultat du programme avec un pas de 1/100.

Figure 3.4 � N=500000, n=350, m=100

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 00.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

alpha

normemax

Nous savons que cette courbe, comme celles tracées par Scilab, est en-dessous de la courbeρ′(α, n), car pour l'atteindre nous aurions du e�ectuer beaucoup plus de simulations, de ma-nière à nous approcher de celle qui réalise ρ′(α, n), si elle existe, ou d'obtenir au moins unesuite maximisante. Et cet évènement est de probabilité extrêment faible, car pour l'approchernous aurions du être capable de simuler au moins tous les mots de longueur 350, ce qui étaitimpossible compte tenu de la limitation de la puissance de calcul. Et encore, ce critère n'estpas su�sant, car il ne tient pas compte de la valeur initiale de la suite.

Nous nous sommes plus particulièrement intéressés à la recherche de l'argument minimumde la courbe. Grossièrement, nous avons établi, à la vue des �gures 3.3 et 3.4, que celui-ci étaitcompris entre -0.5 et -0.3. Pour nous en assurer, nous avons établi la �gure 3.5, qui est unzoom de notre courbe entre -0.5 et -0.3, avec un pas de 1/1000. Or, nous pouvons remarquerque celle-ci est relativement plate, avec un léger �échissement aux alentours de -0.36. A�n decon�rmer qu'il s'agit d'une bonne approximation du minimum, nous avons regardé ce qu'il sepassait de l'autre côté de -0.3 avec la �gure 3.6, soit en traçant la courbe pour α variant entre-0.4 et -0.2. En étudiant cette dernière, il semble que la courbe reste bien croissante pour αsupérieur à -0.3. Ainsi, nous estimons l'argument minimum à -0.36.


Figure 3.5 � N=500000, n=350, m=1000

−0.5−0.48−0.46−0.44−0.42−0.4−0.38−0.36−0.34−0.32−0.30.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

alpha

normemax

Figure 3.6 � N=500000, n=350, m=1000

−0.4−0.38−0.36−0.34−0.32−0.3−0.28−0.26−0.24−0.22−0.20.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

alpha

normemax

En ce qui concerne la valeur de α pour laquelle le JSR dépasse 1, notée α1, nos élémentssont moins �ables. Cela est du au fait que notre courbe est en-dessous de la courbe de ρ′(α, n),elle-même étant une approximation de celle du JSR. Pour l'argument minimum, c'etait moinsgénant car on avait seulement besoin de l'allure de la courbe, qu'on peut supposer conservéemalgré le faible nombre de simulations.


3.2 Construction de mots

Dans cette partie nous allons essayer de calculer numériquement ρ(A),ou du moins de l'ap-proximer. La grande di�culté ici est de trouver un algorithme permettant d'optimiser la re-cherche sur l'ensemble des mots de longueur n, qui est de cardinal 2n. En e�et trop rapidementnous dépassons les capacités de calcul des ordinateurs usuels (4 Go de RAM), el il su�t derajouter 3 lettres aux mots pour dépasser les capacités des ordinateurs bien plus puissants (32Go de RAM).

Dans cette étude nous présenterons di�érents moyens de simulation numérique utilisés, ainsique les optimisations trouvées pour éliminer une partie des mots.

3.2.1 Calcul de JSR

Ici nous cherchons à calculer exactement la plus grande des valeurs propres sur les motsde longueur t. Nous avons par propriété que JSR = lim supt→∞ ρt(A) . Ici pour minimiser lestemps de calculs, nous rentrons dans les mots de longueur t en écrivant t = 2n + p de manièreunique ou p < 2n. On choisit d'itérer sur les i < n, c'est à dire que tout mot de longueur delongueur 2i s'écrit comme le produit de deux mots de longueur 2i−1. Du coup l'ensemble desmots de longueur 2n est tout simplement l'ensemble des produits des mots de longueur 2n−1.Nous passons donc de 22

i−1mots à 22

imots à chaque étape. Puis on itère sur les j < p, où nous

multiplions chaque mot de longueur 2n + j par une lettre de l'alphabet.Toutefois la capacité mémoire explose assez rapidement. Nous avons d'abord cherché à écrire

en Scilab, langage haut niveau et interpreté. Devant la faiblesse des calculs, nous avons choiside recoder en C++, langage beaucoup plus basique, où il a fallu dé�nir les objets qu'on utilise(on aurait aussi pu importer une librairie). Nous obtenons alors un gain de vitesse remarquable.Nous représentons alors deux courbes pour des longueurs de mots di�érentes dans la �gure 3.8.

Figure 3.7 �

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 00.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

alpha

rayonspectral

Vp exacte pour mots de longueur 20


Par contre, la capacité mémoire explose tout aussi rapidement, nous avons alors cherchéà utiliser d'autres objets pour stocker l'ensemble des mots, d'abord des tableaux avec une


allocation �xée, où il faut une seule grande capacité de mémoire. Ensuite des vecteurs et listes,où les matrices se pointent les unes sur les autres, il faut donc plus d'espace mémoire, maisl'allocation est divisée. Après des tests numériques, il n'y a pas de gain notables entre lesdi�érentes méthodes (2 lettres de plus).

Notons que nous utiliserons la méthode de dichotomie sur les mots de longueur 2n pour lesalgorithmes suivants.

3.2.2 Méthode d'élimination des mots

Devant la faiblesse de nos algorithmes face au nombre de mots, même sur des ordinateurspuissants, il nous a fallu chercher à optimiser l'étude en éliminant les mots susceptibles de nepas contribuer à la limsup dans la dé�nition du JSR. Nous proposons donc deux méthodes :

i) A chaque étape de la dichotomie, ne préserver que les mots qui ont une valeur propresupérieure (en module) à un facteur fois la plus grande des valeurs propres.

ii) A chaque étape, ne conserver qu'un certain nombre de mots. Nous gardons ceux avec lesvaleurs propres les plus grandes (en module).

Elimination avec facteur seuil

Rentrons un peu plus dans les détails : à chaque étape de la construction de l'ensemble demots de longueur 2i par dichotomie, nous �xons un seuil de mots (constant dans l'algorithme)pour ne pas éliminer des mots inutilement dès le début de l'algorithme, puis nous calculonsl'ensemble des mots produits de mots de longueur 2i − 1 comme détaillé dans la partie pré-cédente. Or avant de passer à l'étape suivante de l'itération, nous allons éliminer l'ensembledes mots A de longueur 2i tels que ρ(A) < facteur ×max(ρ(M)), (M dans l'ensemble calculépar dichotomie). Ici, le facteur est un paramètre du programme, notons que plus facteur estproche de 1, moins nous gardons de mots, donc plus l'algorithme avance rapidement dans ladichotomie, par contre il sera forcement moins précis.

Ainsi nous avons représenté cet algorithme sur deux courbes avec deux facteurs seuils di�é-rents dans la �gure 3.9.


Figure 3.8 �

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 00.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

alpha

rayonspectral

Elimination: facteur 0.8 longueur 256

Elimination: facteur 0.9 longueur 1024

Nous avons alors cherché à justi�er cette approche par quelques outils théoriques. Nouscherchons à répondre à la question " il existe Co tq qlq soit A lettre de l'alphabet et B quelconqueρ(BA) < Co× ρ(A)× ρ(B) " ou " il existe Co tq qlq soit A lettre de l'alphabet et quelconqueρ(BA) < Co× ‖A‖ × ρ(B) ".

Pour comprendre la di�culté de la question, il a fallu déjà remarquer que si B est quelconque(par exemple : nilpotente et triangulaire supérieur), alors vu que A peut contenir un terme non-diagonal non-nul, on risque de supprimer la nilpotence :[

0 q0 0

]×[1 α1 0

]=

[q 00 0

]Nous rajoutons alors l'hypothese que B doit être un mot de l'alphabet. Sans réussir à prou-

ver le résultat, nous avons cherché à calculer numériquement Co. On calcule alors le plus petitCo pour les di�érents alphabets en fonction de alpha possible pour tous les mots de longueur5, 10 et 20 ; et on remarque alors que le Co explose avec la longueur des mots, ce qui permetde mettre cette stratégie en défaut. On peut aussi rajouter que lorsque l'on trace le JSR estimépar cette méthode en fonction de alpha, on obtient des sauts dans la courbe : c'est ce que nousavons representé dans la �gure 3.9, pour des facteurs et des longueurs de mots di�érents. Onprécise donc que ces courbes ne permettent pas d'approximer correctement le JSR.

Elimination des mots les plus " petits "

Dans cette nouvelle approche, à chaque étape de la dichotomie, nous n'allons conserver queles mots qui ont les valeurs propres les plus grandes. A savoir, on se laisse un nombre de motsen paramètre (qui joue directement sur la rapidité de calcul), noté t. Lorsque l'on calcule lest2 nouveaux mots engendrés par dichotomie, on trie dans un premier temps les matrices enfonction de leurs valeurs propres (leur module), et on ne conserve que les t mots qui ont lesvaleurs propres les plus grandes. Initialement, nous pensions cette approche naïve, par contre


après des essais, elle se fond bien avec les courbes exactes. Ainsi nous pouvons contrôler lacomplexité en temps de calcul par t2 ∗ n si l'on calcule ρ sur les mots de longueur 2n, en negardant que t mots ; la complexité en mémoire est donnée par t2. Nous superposons donc lacourbe exacte pour les mots de longueur 34, avec des approximations pour des paramètresdi�érents donné en �gure 3.12.

Nous avons alors cherché à comprendre pourquoi les résultats par cette méthode étaientsatisfaisants. Tout d'abord, nous avons travaillé sur α = −.25 : les mots qui ont permis d'obtenirla valeur propre maximale sur l'ensemble des mots de longueur 2i sont :AABAABBAABAABBAAABAABAA. . .

Ce qui est alors remarquable c'est que les mots semblent être périodique, ce qui qualitati-vement peut se comprendre : si un sous mot à une valeur propre proche de 1, alors le produitde ce sous mot par lui même donnera aussi une valeur propre proche de 1. Néanmoins cela neconstitue pas une preuve, mais cela a été une bonne intuition.

Nous nous sommes alors penchés sur la " �nite conjecture " qui a�rmerait que le JSR estobtenu pour un mot in�ni périodique. Bien que la conjecture soit fausse, elle reste vraie sur unensemble de mesure plein, le seul défaut est que la période est incontrolable. Dans notre étude,la taille de l'ensemble des mots conservés sert d'indicateur de la période, en e�et si le mot in�niqui génère le JSR a sa période qui est inférieur au paramètre t, alors le mot sera généré par laméthode, malgré l'élimination des petites valeurs propres.

Figure 3.9 �

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 00.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

alpha

rayonspectral

Elimination: 16 mots de longueur 128

Elimination:200 mots de longueur 128


A�n de comparer les di�érentes méthodes, on les a toutes représentées sur un même graphe.On voit donc que la méthode d'élimination avec un facteur seuil est un peu limitée, alors queconserver un nombre de mots constant à chaque étape donne des résultats satisfaisants.


Figure 3.10 �

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 00.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

alpha

rayonspectral



Elimination: 16 mots de longueur 128


Elimination facteur 0.9 avec seuil 1000

3.3 Borne supérieure

Nous avons utilisé deux graphes dont les arêtes sont indexées respectivement par tous lesmots de longueur 3 et 4 pour approximer le JSR. Il s'agit de graphes comptant un uniquenoeud. Et les résultats sont illustrés dans la �gure 3.11

Figure 3.11 �

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 00.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

alpha

rayonspectral

L'ordre 4

L'ordre 3

Vp exact sur les mots de longueur 34

rapport du modal mapamarj/files/modal.pdf · 2017-10-18 · chapitre 2 l'aspect théorique 2.1...

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