Rapport final

Christophe Ancey

Projet : 200021-105193/1

Titre : « Transient free-surface flows of concentrated suspensions – Applicationto geophysical flows »

L’objectif du projet était de simuler à l’échelle du laboratoire des « avalanchesde fluide », c’est-à-dire des écoulements fortement transitoires le long d’un planincliné, à surface libre, et avec un front. Il s’agit d’une idéalisation d’écoulementsnaturels complexes tels que les avalanches et les laves torrentielles. Le projet s’estarticulé autour des deux volets que nous détaillons ci-dessous : (1) analyse théoriqueet (2) expériences et simulations numériques.

Le projet soutenu par le FNS a débuté en avril 2005 et s’est achevé en mars2009 ; le FNS a principalement financé le travail de thèse de Sébastien Wieder-seiner (salaire et équipement). Le projet a également bénéficié d’un soutien fi-nancier partiel du fonds MICS (thèse de Steve Cochard, 2004–2007) et du fondsCCES/TRAMM (thèse de Nicolas Andreini, 2007–2011).

Le présent rapport est le rapport final du projet. Il porte plus particulièrementsur les résultats obtenus durant la dernière année, mais fait également le lien avecle travail réalisé au cours des trois années précédentes et contient les perspectivesde prolongement du projet.

1

1 Volet théorique

Nous nous sommes particulièrement intéressés au comportement du front d’unécoulement de fluide le long d’un plan incliné ; l’analyse a considéré plusieurs afinde mieux cerner l’influence du comportement rhéologique sur des écoulements tran-sitoires. Sur le plan théorique, la question est d’importance car elle permet d’ap-préhender les performances et les limites des modèles d’écoulement utilisés en géo-physique pour décrire le mouvement de fluides complexes comme la neige ou laboue.

La plupart des modèles mathématiques utilisés en géophysique sont fondés surl’approximation d’ « onde longue », c’est-à-dire la hauteur d’écoulement reste faiblepar rapport à la distance parcourue, ce qui permet d’arriver à des jeux d’équationsdu mouvement moyennées selon la hauteur d’écoulement. Les équations de Saint-Venant utilisées en hydraulique fournissent un exemple de cette approche. Si cetteapproximation semble raisonnable et efficace pour décrire le comportement ducorps d’un écoulement instationnaire, la question du front reste plus délicate. Nousavons abordé ce problème principalement en nous focalisant sur une géométrie ditede rupture de barrage, où un volume de fluide est lâché instantanément ; on chercheplus particulièrement à calculer la position du front xf (t) et le profil de hauteurh(x, t) (voir figure 1). L’analyse théorique s’est fondée sur les équations locales deCauchy (équations de Navier-Stokes pour un fluide newtonien et équations d’Eulerpour un fluide parfait). Comme outils de résolution, nous avons utilisé des méthodesapprochées (développements asymptotiques) et des techniques exactes (solutionauto-similaire, technique de l’hodographe, méthode des caractéristiques).

x

y

h(x,t)

gate

`

θ

b

x = 0hg

Figure 1 Géométrie de l’écoulement étudié.

Quatre types de rhéologie ont été étudiés :

1. fluide parfait (non visqueux, à très grand nombre de Reynolds) ;2. fluide newtonien à très petit nombre de Reynolds (très visqueux et sans effet

de tension de surface) ;3. fluide viscoplastique ;4. fluide granulaire.

1.1 Écoulements à très grand nombre de Reynolds

En 2005 et 2006, nous nous sommes intéressés à des ruptures de barrage pourdes fluides parfaits avec des débits variables et des fonds horizontaux. Nous avonsobtenu des solutions analytiques pour les équations moyennées de Saint-Venant

2

et les équations non-moyennées d’Euler. Nous avons ainsi montré que quoique leshypothèses à la base des équations de Saint-Venant cessent d’être valables au front(pression non hydrostatique, forte vorticité rendant le profil de vitesse fortementnon uniforme), l’erreur commise par rapport à la solution aux équations d’Eulerreste étonnamment faible. Les résultats ont été publiés dans Water Resources Re-search, Journal of Geophysical Research, et Physica D [4, 5]. Une extension decette recherche a été menée en 2007 pour examiner l’effet de la pente sur le lâcherd’un volume fini de fluide (voir figure 2). Des solutions analytiques exactes ontpu être déterminées ; le travail a été publié dans Water Resources Research [6].Ces solutions sont intéressantes, d’une part, pour mieux comprendre la dynamiqueinterne des écoulements à grande vitesse et, d’autre part, disposer de solutions deréférence pour tester les modèles numériques.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

h(x,

t)

0 10 20 30 40

x

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

h(x,

t)

t=1

t=2

t=4

t=8

Figure 2 Rupture de barrage d’un fluide non visqueux sur un plan incliné. À gauche,profils de hauteur h juste après la rupture. À droite, profils de hauteur h à long terme(toutes les variables sont adimensionnelles). Figure tirée de [6].

1.2 Écoulements à très petit nombre de Reynolds

Entre 2006 et 2008, nous avons étudié le comportement d’un fluide newtoniendans la limite des petits nombres de Reynolds. Nous avons étendu les résultatsobtenus antérieurement par Huppert et Lister pour calculer le profil de hauteur auniveau du front ; des techniques de développement asymptotique par raccordementont été utilisées pour aboutir à un résultat analytique, qui est en bon accord avecles simulations numériques (voir figure 3) et les expériences. Le travail a fait l’objetd’une publication dans Journal of Fluid Mechanics [3].

1.3 Écoulements viscoplastiques

De 2005 à 2008, nous avons également mené une analyse similaire dans le casde fluides viscoplastiques (de type Herschel-Bulkley) en écoulement sur des pentesquelconques (faibles à fortes). Nous avons étendu les résultats obtenus par Liu &Mei [12] ainsi que par Balmforth et ses collaborateurs [7] pour les pentes faibles. Laprincipale différence avec le domaine des faibles pentes réside dans la prédominancedes effets convectifs par rapport aux effets diffusifs dans l’étalement du fluide ;l’équation du mouvement à forte pente est donc une équation de convection nonlinéaire.

La figure 4 montre la position du front pour un gel polymérique viscoplas-tique (Carbopol) lâché sur un plan incliné à 24◦. Différentes valeurs du seuil de

3

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

h

Figure 3 Profils de hauteur calculés numériquement (courbe continue) et analytique-ment (courbe tiretée) pour le problème de rupture de barrage sur fond horizontal et pourun fluide très visqueux. Figure tirée de [3].

0.01 0.1 1 10 100 10000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xf

HaL

0.01 0.1 1 10 100 10000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

HbL

0.01 0.1 1 10 100 10000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t

xf

HcL

0.01 0.1 1 10 100 10000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t

HdL

Figure 4 Position du front d’un écoulement de Carbopol pour une pente de θ = 24◦.La courbe continue représente l’interpolation des données expérimentales tandis que lacourbe discontinue fournit la tendance théorique lorsqu’un modèle convectif est choisipour décrire le mouvement ; la courbe à tirets longs est une théorie précise à l’ordre 0,tandis que celle à tirets courts est à l’ordre 1. La ligne verticale tiretée est la limite théo-rique au-delà laquelle les conditions initiales n’affectent plus l’écoulement. Les différentsgraphes correspondent à des valeurs différentes du seuil de contrainte : (a) τc = 78 Pa ;(b) τc = 89 Pa ; (c) τc = 102 Pa ; (d) τc = 110 Pa. Matériau : Carbopol ultrez 10.

contrainte ont été testées. À forte pente ou très faible pente, il y a un bon accordentre théorie et données expérimentales comme le montre la figure 4 sur un casparticulier. Aux pentes moyennes (de l’ordre de 10◦), l’analyse théorique fournitdes résultats moins bons. En particulier, comme pour les autres pentes, la théo-rie prévoit un ralentissement progressif de la masse au cours de son écoulementalors qu’expérimentalement, on a observé une accélération sensible du front. Cetteaccélération semble être induite par la formation soudaine de bourrelets latéraux(fluide immobilisé), qui canalise l’écoulement. Cela montre le rôle essentiel joué par

4

la structuration de l’écoulement, structuration qui n’est que partiellement traitéedans le cadre de notre théorie (on travaille en dimension 2 alors que l’étalementet la chenalisation sont des processus tridimensionnels). L’analyse théorique et lacomparaison avec les données expérimentales ont été publiées dans dans Journalof Non-Newtonian Fluid Mechanics [2].

1.4 Écoulements granulaires

En 2007 et 2008, nous avons examiné le front d’écoulements granulaires. Unepremière analyse a porté sur l’interprétation des observations faites par Pouliquen[13, 14] et a montré que plusieurs lois de comportement pouvaient être calées sur desdonnées expérimentales, mais également que toutes les lois actuelles conduisaientà des incohérences dans la description du mouvement ; l’article a été systématique-ment rejeté, le sujet étant manifestement trop polémique.

Une seconde analyse a considéré la propagation d’un front granulaire lorsqu’unprocessus de tri granulométrique (ségrégation) conduit à une migration des grossesparticules vers la surface libre. Pour une expérience de type « rupture de barrage »,l’écoulement présente un front où nécessairement doivent coexister particules depetite et grande tailles. Nous avons alors cherché à comprendre comment le proces-sus de mélange se produisait et quelles en étaient les implications sur la dynamiquede l’écoulement. Le travail a été réalisé avec Nico Gray, professeur à l’universitéde Manchester, et un article a été accepté pour publication dans Journal of FluidMechanics. La figure 5 montre comment le mélange entre petites et grosses billess’effectue dans le front à travers des domaines « de détente » (variation progressivede la concentration) et des ondes de choc (variation brutale de la concentration).

5

(a)

(b) −10.0 −8.0 −6.0 −4.0 −2.0 0.00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(c)

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

largesmall

−10.0 −8.0 −6.0 −4.0 −2.0 0.00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figure 5 (a) Schéma montrant la propagation d’une avalanche granulaire mobilisantun matériau bimodal (petites et grosses particules). (b) Trajectoires des petites parti-cules (trait continu) et des grosses particules (trait discontinu). (c) La concentration enparticules est également reportée. Figure tirée de [? ].

6

2 Volet expérimental

2.1 Expérience de rupture de barrage

Dans le cadre du projet, une plate-forme expérimentale a été construite. Ellecomprend un plan inclinable (6 m × 1,8 m) et un système de visualisation tri-dimensionnelle ; les écoulements peuvent être confinés dans un canal ou bien s’éta-ler librement. Un système d’ouverture rapide permet de lâcher un grand volumede fluide le long du plan incliné. L’avalanche de fluide est suivie à l’aide d’une« caméra 3D » ; il s’agit en fait d’une caméra numérique rapide (48 Hz) couplée àun projecteur de motifs : la déformation des motifs projetés sur l’avalanche permetde déduire l’épaisseur de fluide (voir figure 6).

Camera

Projector

Inclined plan

Fluid

Reservoir

Dam

(open)

Figure 6 Principe général du système de mesure de la sur-face libre par projection de franges. Figure tirée de [8].

Des essais ont été réalisés tout d’abord avec des fluides homogènes : fluide new-tonien (glucose) et viscoplastique (Carbopol). La figure 7 montre l’écoulement d’unfluide viscoplastique (gel polymérique) sur une pente de 12◦ : on y voit à la foisl’image réelle (avec les franges projetées) et la surface libre reconstruite par traite-ment d’images. La figure 4 montre des mesures expérimentales obtenues par cettetechnique. Une thèse (Steve Cochard) a été soutenue en octobre 2007 [8] et plu-sieurs articles ont été publiés, notamment dans Experiments in Fluids et Journalof Non-Newtonian Fluid Mechanics [9, 10]. Une suite de ces expériences a été pla-nifiée via le projet CCES/TRAMM (thèse de Nicolas Andreini) ; comme le montrela figure 8, l’accent est mis sur la mesure de profils de vitesse et de concentrationau sein des écoulements (confinés dans un canal) et non plus seulement sur lesprofils de hauteur.

7

Figure 7 À gauche, la photographie montre l’image brute prise par la caméra lors d’unécoulement de gel de Carbopol dans le canal. La reconstruction de la surface libre à partirde cette image est montrée à droite. Figure tirée de [8].

Figure 8 Un nouveau canal vient d’être construit (hiver 2008-09). Des avalanches defluide sont déclenchées en lâchant un volume fini de fluide contenu initialement dans leréservoir en haut du canal. Des techniques de suivi de particules (marquées et excitéespar un laser pulsé) permettent d’obtenir le profil de vitesse et de concentration au seinde l’écoulement.

8

2.2 Expériences de rhéométrie

Nous sommes en train d’étudier le comportement rhéologique des suspensionstrès concentrées en particules solides. Ce comportement est généralement complexe,avec des problèmes de migration de particules (influant sur la viscosité locale) et deschangements de contact entre particules (contract lubrifié par le fluide interstitielou contact direct frictionnel). Le problème n’est en soi pas nouveau, mais il n’existepas de connaissance précise lorsque la concentration en particules solides est prochedu seuil maximal. Cette faible connaissance est en partie due à l’absence de mesuresprécises et cohérentes. Pour pallier cela, nous avons conçu un système original devisualisation au sein des suspensions en écoulement.

Des suspensions ont été préparées en ajoutant des particules en plexigas (PMMA)à un mélange de trois fluides (dibromohexane, Triton X100, huile UCON75H450) ;en faisant de la sorte, nous sommes capables de maîtriser l’indice de réfraction etla masse volumique déjaugée pour finalement disposer d’une suspension homogène(pas de sédimentation) et transparente, ce qui permet d’utiliser des techniques devisualisation et de traitement d’images pour les mesures. Le comportement rhéo-logique des suspensions a été caractérisé à l’aide d’un rhéomètre Bohlin CVOR(géométrie : cylindres coaxiaux de Couette). La figure 9 montre à la fois le dispo-sitif expérimental et une image typique obtenue avec une solution très concentréesen micro-billes de PMMA.

Figure 9 À gauche, image d’un écoulement éclairé par une tranche laser. À droite,principe de mesure au sein de la cellule en quartz.

La figure 10 montre un rhéogramme typique obtenu avec nos suspensions. Iln’y a pas d’accord entre les méthodes de détermination locale 1 de la courbe τ(γ̇)(avec τ la contrainte de cisaillement et γ̇ le taux de cisaillement) et les méthodesglobales 2. La méthode que nous avons proposée au début de ce projet [1] est cellequi fournit les résultats les moins mauvais, mais l’écart entre méthodes locale etglobale reste très fort en particulier pour les grands taux de cisaillement. Nous

1. Une méthode locale consiste à mesurer le profil de vitesse et en déduire le taux de cisaillementγ̇ (gradient de vitesse). Comme la variation de la contrainte de cisaillement τ à travers l’entreferest imposée par ailleurs, on peut ainsi déterminer la relation τ(γ̇).

2. Les méthodes globales sont les techniques employées en rhéométrie pour résoudre un pro-blème inverse où, partant de la mesure du couple de frottement et de la vitesse de rotation ondétermine τ et γ̇. Le problème inverse est constitué d’une équation de Fredholm, qui est délicateà résoudre numériquement.

9

continuons à travailler sur ce point. Sébastien Wiederseiner doit soutenir sa thèseau printemps 2009 sur ce sujet.

10−2

10−1

100

0

2

4

6

8

10

velocity profile

macsporran86

Yeow00

ancey05

dehoog06

other methods

Figure 10 Rhéogramme (Relation entre contrainte de cisaillement τ et taux de cisaille-ment γ̇ pour une suspension très concentrée en particules. Différentes méthodes ont étéemployées pour déterminer τ(γ̇) en fonction des données rhéométriques. En parallèle, lamesure par traitement d’images du profil de vitesse permet également de déterminer τ(γ̇)(courbe en gras).

2.3 Simulations numériques

En 2006, nous avons lancé une collaboration avec l’équipe du prof. MichaëlGriebel de l’Institut für Numerische Simulation 3 portant sur le développementd’un code numérique aux volumes finis par la méthode dite « level set » (solveurparallèle NaSt3DGP). Martin Rentschler (doctorant EPFL) cherche à reproduirenumériquement les expériences de « rupture de barrage ». Il doit soutenir sa thèsedurant l’été 2009. Une collaboration a été menée également avec Jiannong Fang(EPFL/GEOLEP), qui a développé un code de calcul basé sur la méthode diteSPH [11].

La figure 11 montre une coupe d’une avalanche de fluide viscoplastique (deHerschel-Bulkley) dans la même configuration géométrique que celle étudiée aulaboratoire (expériences de Steve Cochard). On reporte l’évolution de la positiondu front. Pour les écoulements newtoniens, l’accord entre données numériques etexpérimentales est très bon, mais pour les fluides viscoplastiques, des différencessensibles apparaissent, notamment durant la phase initiale d’affaissement 4 et laphase d’arrêt 5.

3. http://www.ins.uni-bonn.de/4. Lorsque la porte du réservoir se lève dans les expériences, une partie du fluide est également

levée, ce qui n’est pas pris en compte dans les simulations.5. L’arrêt est plus brutal dans le modèle numérique qu’il n’est en réalité.

10

(a)(b)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.5 1 1.5 2

Pos

ition

of t

he fr

ont [

m]

Time in [s]

Figure 11 (a) Comparaison entre simulation numérique (à gauche) et mesure expé-rimentale sur notre plate-forme de mesure. (b) Évolution de la position du front d’uneavalanche de Carbopol : simulation numérique (trait continu) et données expérimentales(courbe à tirets). Expériences et simulations réalisées avec du Carbopol.

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Références

[1] C. Ancey. Solving the Couette inverse problem by using a wavelet-vaguelettedecomposition. J. Rheol., 49:441–460, 2005.

[2] C. Ancey and S. Cochard. The dam-break problem for Herschel-Bulkley fluidsdown steep flumes. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 158:18–35, 2009.

[3] C. Ancey, S. Cochard, and N. Andreini. The dam-break problem for viscousfluids in the high-capillary-number limit. J. Fluid Mech., 624:1–22, 2009.

[4] C. Ancey, S. Cochard, S. Wiederseiner, and M. Rentschler. Front dyna-mics of supercritical non-Boussinesq gravity currents. Water Resour. Res.,42:W08424, 2006.

[5] C. Ancey, S. Cochard, S. Wiederseiner, and M. Rentschler. Existence and fea-tures of similarity solutions for supercritical non-Boussinesq gravity currents.Physica D, 226:32–54, 2007.

[6] C. Ancey, R.M. Iverson, M. Rentschler, and R. P. Denlinger. An exact solutionfor ideal dam-break floods on steep slopes. Water Resour. Res., 44:W01430,2008.

[7] N.J. Balmforth, R.V. Craster, and R. Sassi. Shallow viscoplastic flow on aninclined plane. J. Fluid Mech., 470:1–29, 2002.

[8] S. Cochard. Measurements of time-dependent free-surface viscoplastic flowsdown steep slopes. PhD thesis, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne,2007.

[9] S. Cochard and C. Ancey. Tracking the free surface of time-dependent flows:Image processing for the dam-break problem. Exper. Fluids, 44:59–71, 2008.

[10] S. Cochard and C. Ancey. Experimental investigation into the spreading ofviscoplastic fluids on inclined planes. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 158:73–84, 2009.

[11] J. Fang, A. Parriaux, M. Rentschler, and C. Ancey. Improved SPH methods forsimulating free surface flows of viscous fluids. Applied Numerical Mathematics,59:251–271, 2009.

[12] K.F. Liu and C.C. Mei. Slow spreading of a sheet of Bingham fluid on aninclined plane. J. Fluid Mech., 207:505–529, 1990.

[13] O. Pouliquen. On the shape of granular front down rough inclined planes.Phys. Fluids, 11:1956–1958, 1999.

[14] O. Pouliquen. Scaling laws in granular flows down rough inclined planes. Phys.Fluids, 11:542–548, 1999.

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Valorisation scientifique du projet FNS d’avril 2008à mars 2009

Articles publiés ou acceptés pour publication d’avril 2008 àmars 2009

1. J.M.N.T. Gray and C. Ancey, “Particle size-segregation, recirculation, anddeposition at coarse particle rich flow fronts,” in press in Journal of FluidMechanics.

2. C. Ancey, S. Cochard, & M. Andreini, “Dam-break problem for viscousfluids in the high-capillary-number limit,” Journal of Fluid Mechanics 624(2009) 1–22.½

3. S. Cochard & C. Ancey, “Experimental investigation of the spreadingof viscoplastic fluids on inclined planes,” Journal of Non-Newtonian FluidMechanics 158 (2009) 73–84.½

4. C. Ancey & S. Cochard, “The dam-break problem for Herschel-Bulkleyviscoplastic fluids down steep flumes,” Journal of Non-Newtonian Fluid Me-chanics 158 (2009) 18–35.½

5. J. Fang, A. Parriaux, M. Rentschler, and C. Ancey, “Enhancing SPHfor incompressible viscous flows using a corrected particle approximation wi-thin an energy-based framework,” Applied Numerical Mathematics 59 (2009)251–271. ½.

Communications à des conférences d’avril 2008 à mars 2009

1. C. Ancey, “Fluid Avalanches in the Laboratory: outline of recent work,”Geoflows’09 meeting, University of Washington, March 2009.

2. S. Wiederseiner, C. AAncey, N. Andreini & M. Rentschler: “Rhéo-physique des suspensions granulaires très concentrées par vélocimétrie parimages de particules fluorescentes,” Actes du 11eCongrès Francophone deTechniques Laser, CFTL 2008, Futuroscope, 16–19 septembre 2008.

3. C. Ancey, “Fluid avalanches on the laboratory scale,” SIAM meeting, SanDiego, California, July 2008.

4. N. Andreini, S. Wiederseiner, M. Rentschler, & C. Ancey, “Ava-lanches of concentrated granular suspensions down an inclined plane”, XVthInternational Congress on Rheology and 80th Annual Meeting of The So-ciety of Rheology, Monterey, California 3–8 August 2008, AIP ConferenceProceedings 1027, 1045–1047.

5. S.Wiederseiner & C. Ancey, “Rheophysical investigation in concentratedparticle suspensions”, XVth International Congress on Rheology and 80thAnnual Meeting of The Society of Rheology, Monterey, California 3–8 August2008, AIP Conference Proceedings 1027, 929–931.

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