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Reelle Funktionen 6aSchuljahr 2015/16

Andreas [email protected]

Institute for Mathematics and Scientific ComputingKarl-Franzens-Universitat Graz

Graz, November 23, 2015

Reelle Funktionen 6a Andreas Kucher

Wiederholung: Funktionen

I Seien D,Y nichtleere Mengen.Eine Funktion f : D → Y

ordnet jedem Element x ∈ D (genau) ein Element y = f (x) ∈ Yzu.

I D nennen wir Defintionsbereich.

I Y nennen wir Wertevorrat (Wertebereich, Bildbereich).


Ein Beispiel

I D = { Sasha, Pooja, Visnja, Ljuba }I Y = { Markus, Daniel, Leonid, Stefan, Roderich }

Die Funktion Damenwahl : D → Y weist jeder Dame aus demDefinitionsbereich einen Herren aus dem Wertebereich zu. Z.B.:

x ∈ D Damenwahl(x) ∈ YLjuba LeonidSasha MarkusVisnja DanielPooja Stefan

I Jede Dame bekommt genau! einen Mann

I Keine der Damen kann leer ausgehen. (Definitionsbereich!)I Es kann nicht sein, dass eine Dame mehr als einen Mann

bekommt.

I Roderich bekommt keine Dame. (Kann passieren im Wertebereich!)


Wiederholung: Funktionen


Wiederholung: Reelle Funktionen

I Eine reelle Funktion ist eine Funktion mit

I Der Definitionsbereich D ist Teilmenge der rellen Zahlen (alsoD ⊂ R)

I Der Wertebereich Y ist eine Teilmenge der rellen Zahlen (alsoY ⊂ R).

I Mit D ⊂ R,Y ⊂ R nennen wir

f : D → Y

reelle Funktion.

I Beispiele:

I (Affin) lineare Funktion: y = f (x) = 2x + 3.I Quadratische Funktion: y = f (x) = −3x2 + 4x − 5.I ...


Wiederholung: Reelle Funktionen


Beispiel: Gebrochen–rationale Funktion

Abbildung : f : R\{2, 3} → R mit y = f (x) = (x−1)3

x2−5x+6 .


Motivation: Monotonie von reellen Funktionen

Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge.

I Wir konnen uns ansehen, wie sich f eingeschrankt auf Mverhalt.

I Schreibweise: f|M .

Beispiel: y = f (x) = −x2 + 3x + 4

(a) f auf R(b) M = [2, 3] und f|[2,3].


Monotonie von reellen Funktionen

Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge. f heißt

I monoton steigend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1≤x2 ⇒ f (x1)≤f (x2).

I streng monoton steigend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1<x2 ⇒ f (x1)<f (x2).

Vorsicht: Aus streng monoton steigend folgt monoton steigendReelle Funktionen 6a Andreas Kucher

Etwas Mathematik

PropositionDie Funktion

f :=

{R → Rx 7→ 3x + 4

ist streng monoton steigend.Beweis f ist per Definition streng monoton steigend, wenn

(∀x1, x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2) .

Wegen der Definition von f mit f (x) = 3x + 4 ist dies aquivalent zu

(∀x1, x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ 3x1 + 4 < 3x2 + 4 .

Seien x1, x2 ∈ R beliebig. Dann gilt:

x1 < x2 ⇐⇒ 3x1 < 3x2 ⇐⇒ 3x1 + 4 < 3x2 + 4 .

Also ist f streng monoton steigend.


Monotonie von reellen Funktionen

Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge. f heißt

I monoton fallend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1≤x2 ⇒ f (x1)≥f (x2).

I streng monoton fallend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1<x2 ⇒ f (x1)>f (x2).

Vorsicht: Aus streng monoton fallend folgt monoton fallendReelle Funktionen 6a Andreas Kucher

Monotonie – Arbeiten mit Intervallen


Monotonie – Arbeiten mit Intervallen

3.02b)

I [a, b]: Weder (streng) monoton steigend noch fallend.

I [b, c]: Monoton fallend.

I [c , d ]: Streng monoton fallend (somit auch monoton fallend).


Extremstellen

Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D. Eine Stelle p ∈ M heißt

I Maximumsstelle von f in M, wenn f (x)≤f (p) fur alle x ∈ M.

I Miminmumstelle von f in M, wenn f (x)≥f (p) fur alle x ∈ M.

Eine Stelle p ∈ M heißt Extremstelle von f in M

wenn sie Maximum– oder Minimumstelle von f in M ist.


Lokale Extremstellen

Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D. Eine Stelle p ∈ M heißt

I lokale Maximumsstelle von f in M, wenn es eine Umgebung U(p)gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist.

I lokale Minimumsstelle von f in M, wenn es eine Umgebung U(p)gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist.

Eine Stelle p ∈ M heißt

lokale Extremstelle von f in M wenn sie lokale Maximum– oder

Minimumstelle von f in M ist.


Lokale Extremstellen


Potenzfunktionen

DefinitionEine relle Funktion f : D → R mit f (x) = c · x r mit c , r ∈ R nennt manPotenzfunktion.

I D hangt von r ab. Zum Beispiel

I f : R→ R mit f (x) = 3 · x2.I g : R+ → R mit f (x) = 3

2 · x12 = 3

2 ·√

x .


Potenzfunktionen


Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z+, a = 1


Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z−, a = 1


Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z+, a = 1


Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Q\Z, a = 1


Potenzfunktionen erkennen


Wiederholung: Quadratische Funktionen

Eine Funktionf : R→ R

heißt quadratische Funktion, wenn es a, b, c ∈ R mit a 6= 0 gibt, sodass

f (x) = a · x2 + b · x + c .

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. DieKoeffizienten a, b, c bestimmen die Form und Lage der Parabel. Beispiele:

f (x) = x2 + 0x + 0

(a) g(x) = 6x2 + 20x + 4 (b) h(x) = 6− 0.22 − 5x − 10



Nullstellen:f (x) = 0⇐⇒ ax2 + bx + c = 0 .

Fur die Bestimmung der Nullstellen ist also eine quadratischeGleichung zu losen.Seien x1, x2 die Nullstellen von f (x). Dann gilt wegen derSymmetrieeigenschaft der ParabelDer Scheitel S hat die Koordinaten

S =

(x1 + x2

2, f

(x1 + x2

2

)).

Mochte man auf die Berechnung der Nullstellen verzichten, sokann man sich diese Formel merken:

S =

(−b

2a, f

(−b

2a

)).



Wir kennen den Graphen einer quadratischen Funktion und mochten a, b, cbestimmen, sodass f (x) = ax2 + bx + c .Vorgehensweise:

1. Wir bestimmen c indem wir f (0) betrachten:

f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c .

2. Wir bestimmen zwei verschiedene Punkte auf der Parabel:

P1(x1, y1) und P2(x2, y2) .

Es gilt, weil P1,P2 auf der Parabeln liegen:

y1 = f (x1) = ax21 + bx1 + c,

y2 = f (x2) = ax22 + bx2 + c

.

Weil wir c schon kennen, erhalten wir ein lineares Gleichungssystem inzwei Unbekanten a, b:

y1 − c︸︷︷︸bek.

= a x21︸︷︷︸

bek.

+b x1︸︷︷︸bek.

,

y2 − c︸︷︷︸bek.

= a x22︸︷︷︸

bek

+b x2︸︷︷︸bek.

.


Polynomfunktionen

Eine Funktionp : R→ R

heißt Polynomfunktion vom Grad n (kurz deg p = n), wenn esn ∈ N\{0} und a0, a1, · · · , an ∈ R mit an 6= 0 gibt, sodass

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0

Beispiele

I p1(x) = 5x3 + 0x2 + 3x + 5 (deg p1 = 3).

I p2(x) = x100 (deg p2 = 100).

I p3(x) = 3x + 4 (deg p3 = 1).

I p4(x) = −10 (deg p4 = 0).

I p5(x) = (x − 2)2 (warum?)

Vorsicht: f (x) = x4 + x3 + x−4 ist KEINE Polynomfunktion!


Beispiele zu Polynomfunktionen

Polynomfunktion vom Grad 3: Meistens S–Kurve.Polynomfunktion vom Grad 4: Meistens Doppel–S–Kurve.


Beispiele zu Polynomfunktionen


Ubung zu Polynomfunktionen

1) Skizziere den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades, diean der Stelle 2 eine Nullstelle, an der Stelle −2 ein lokalesMinimum und an der Stelle 1 ein lokales Maximum hat!

2) Skizziere den Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades, diean den Stellen −4 und 5 eine Nullstelle, an der Stelle 3 einglobales Minimum, an der Stelle 0 ein lokales Maximum und ander Stelle −1 ein lokales Minimum hat hat!


Polynomfunktionen – Zusatzinfo

Polynomfunktionen gehoren zu den wichtigsten Funktionenuberhaupt:

I Jede Funktion, deren Graphen man ohne den Bleistiftabzusetzen durchzeichnen kann, konnen beliebig genau durchPolynomfunktionen angenahert werden.(Satz von Weierstraß)

I Sie werden zur Interpolation verwendet.(Z.B. Lagrange–Interpolation, ...)

I Sie sind allgegenwartig bei 3D–Spielen.(Z.B. Bezier–Splines, ...)


Veranderung von Funktionsgraphen


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