regresiÓn lineal simple

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

MONTERO PÉREZ JAIRO ANDRÉS

PRESENTADO A

EVERTH ANAYA COHEN. DOCENTE

ESTADÍSTICA II INGENIERÍA INDUSTRIAL

FACULTAD DE INGENIERÍAS CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE

CECAR© KM 1 VÍA A COROZAL

2008-10-29

CECAR©

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE© FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL V REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

2

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN IV. OBJETIVOS ................................................................................................................ 4 V. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE .................................................................................... 5 1. GENERALIDADES ....................................................................................................... 5 2. FUNCIÓN DE REGRESIÓN POBLACIONAL ............................................................... 6 3. FUNCIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL..................................................................... 7 4. PASOS PARA REALIZAR LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE ..................................... 7 5. DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN ................................................................................... 8 6. ESTIMACIÓN DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO............................................ 10 7. INTERPRETACIÓN DE LOS COEFICIENTES ESTIMADOS ..................................... 17 8. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DEL ERROR ................................................... 18 9. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES ................................................................. 19 10. INFERENCIAS SOBRE LOS ESTIMADORES ....................................................... 21

11. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN ( ) ........................................................... 24 12. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ....................................................................... 25 BIBLIOGRAFÍA

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3

INTRODUCCIÓN

Cuando se posee información acerca de dos o más variables relacionadas, es natural buscar un modo de expresar la forma de la relación funcional entre ellas. Además, es deseable conocer la consistencia de la relación. Es decir, no se busca solamente una relación matemática que nos diga de qué manera están relacionadas las variables, sino que se desea saber también con qué precisión se puede predecir o pronosticar el valor de una variable, si se conocen o suponen valores para las otras variables. Las técnicas usadas para lograr estos dos objetivos se conocen como método de regresión y correlación. Los modelos de regresión fueron utilizados por Laplace y Gauss en sus trabajos de astronomía y física desarrollados durante el siglo XVIII, pero el nombre de modelos de regresión tiene su origen en los trabajos de Galton en biología de finales del siglo XIX. La expresión de Galton: “regression towards mediocrity” dio nombre a la regresión. Los métodos de regresión se usan para elegir la "mejor" relación funcional entre las variables, es decir, la función o ecuación que mejor se ajuste a los datos. El Análisis de Regresión es una técnica que se ocupa de analizar la dependencia entre una variable

dependiente o endógena ( ) y una o más variables explicativas o exógenas (digamos ). Su objetivo consiste en estimar y/o predecir el valor medio poblacional de la variable dependiente a partir de los valores conocidos y fijos de las variables explicativas, obtenidos mediante un proceso de muestras repetidas. Entonces, se infiere que las variables independientes no son variables aleatorias y por tanto no tienen propiedades de distribución. En tanto que, los métodos de correlación se utilizan para medir el grado de asociación o de relación entre las distintas variables. La relación que se ajusta a un conjunto de datos experimentales se caracteriza por una ecuación de predicción que se denomina ecuación de regresión. En el caso de una sola

y solo una , la situación se convierte en una regresión de sobre . Si denotamos una muestra aleatoria de tamaño con el conjunto , y se toman muestras adicionales mediante el uso de exactamente los mismos valores

de , debemos esperar que varíen los valores de . De aquí el valor en el par ordenado es un valor de alguna variable aleatoria . Por conveniencia se define

como la variable aleatoria que corresponde a un valor fijo , indicando su media y varianza con y , respectivamente. Es claro que si , el símbolo

representa la variable aleatoria con media y varianza .

Cabe resaltar, que el análisis estadístico es solamente un instrumento que ayuda en el razonamiento e interpretación de los datos y que finalmente el investigador o persona investigativa es quien toma las decisiones a partir de estos resultados.

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IV. OBJETIVOS

GENERAL. Analizar, describir e interpretar el tópico de regresión lineal simple, reconociéndolo como herramienta o método fundamental para modelar mediante funciones la relación de variables en problemas, situaciones-problema propias de ingeniería a través de la aplicación fidedigna de nuestro conocimiento.

ESPECÍFICOS. Identificar las variables fundamentales del modelo de regresión lineal simple. Reconocer la importancia de los diagramas de dispersión. Definir las funciones de regresión tanto poblacional como muestral. Estimar los coeficientes del modelo, utilizando el método adecuado. Interpretar correctamente los coeficientes estimados. Implementar el contraste de hipótesis ecuánime para el modelo. Analizar la capacidad explicativa del modelo.

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REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1. GENERALIDADES. Con frecuencia nos encontramos en ingeniería con modelos en el que el

comportamiento de una variable puede ser explicado a través de una variable , lo que se representa mediante:

Si consideramos que la relación que liga con , es lineal, entonces la relación anterior se representa como

Que corresponde a la ecuación de regresión de población, donde los coeficientes de

regresión son parámetros a estimar a partir de los datos muestrales. La relación anterior supone una relación exacta entre las variables. A este modelo se le denomina determinista, en el que siempre se puede determinar a con exactitud

cuando se conoce valor de , es decir, no hay margen de error en esa predicción. Sin embargo, estas leyes son válidas con exactitud sólo bajo condiciones ideales. Rara vez los experimentos reproducen con exactitud esas leyes. Es por lo anterior que, en general, se tendrá un error aleatorio introducido por el experimento, lo que hará que las leyes solo expresen una aproximación a la realidad. A este modelo se le denomina probabilista o probabilístico, el cual comprende tanto un componente determinista como un componente de error aleatorio. 1.1 Forma General de los modelos Probabilísticos.

Donde es la variable aleatoria que se tiene que predecir. Siempre se supondrá que el valor promedio del error aleatorio es igual a cero. Esto equivale a suponer que el valor promedio de , es igual al componente determinista del modelo.

Pero donde es una constante. Sin embargo, esto no significa que sea exactamente igual a , sino que será igual a más o menos un error aleatorio. En

especial si se supone que se distribuye normalmente con promedio y varianza , entonces se puede formular el modelo probabilista , en el que el componente aleatorio se distribuye normalmente con promedio y varianza .

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2. FUNCIÓN DE REGRESIÓN POBLACIONAL. (Modelo probabilístico de la recta) Una función de regresión poblacional es la unión de los promedios condicionales de la variable dependiente para los valores fijos de la variable independiente o explicativa

, así que:

Si es una función lineal de , se tiene:

Lo cual nos indica que el valor promedio de varía con . Como sabemos , son

coeficientes de regresión, donde es la ordenada en el origen de la recta y la pendiente.

Para un valor dado de , los valores de se concentran alrededor del promedio de , lo cual indica que se van a presentar algunas diferencias o desviaciones de un valor

individual de alrededor de su valor esperado, por lo tanto teniendo en cuenta la sección anterior:

Donde es el componente aleatorio de error. Este se puede considerar como una

variable sustitutiva de todas las variables omitidas que pueden afectar a , pero que por una u otra razón no pudieron incluirse en el modelo de regresión. Reemplazando el se tiene:

Que es la función de regresión poblacional. La expresión anterior refleja una relación lineal, y en ella sólo figura una única variable explicativa, recibiendo el nombre de relación lineal simple. En cada caso los símbolos representan parámetros de población que necesitarán estimarse mediante los datos de la muestra. La frase variable independiente se usa en el análisis de regresión para representar una

variable predictora de la respuesta .

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3. FUNCIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL. Generalmente es necesario trabajar con información muestral y no poblacional, por lo

tanto, se plantea una ecuación que nos permita estimar los valores de , así que el objetivo es estimar la función de regresión poblacional con base en la función de regresión muestral:

Donde:

Debido a que los valores observados no forman exactamente una línea recta, es

necesario elegir un método para estimar los coeficientes de regresión que haga mínima la diferencia entre los valores observados y los estimados o ajustados, este método es el de los mínimos cuadrados (generalmente usado).

4. PASOS PARA REALIZAR EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN. Resulta útil imaginarse que el análisis de regresión es un procedimiento de cinco pasos:

Paso 1: Suponer la forma que tiene el promedio (componente determinista del modelo).

Paso 2: Reunir datos de muestra (representarlos en diagrama de dispersión) y utilizarlos para estimar los parámetros desconocidos del modelo.

Paso 3: Especificar la distribución de probabilidad de , el componente aleatorio de error, y estimar cualesquiera parámetros desconocidos de esta distribución.

Paso 4: Comprobar estadísticamente la adecuación del modelo. Paso 5: Cuando se quede satisfecho con la adecuación, usar el modelo para

predicciones, estimaciones, etc.

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5. DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN. Una vez especificadas las variables es necesario determinar la relación entre ellas, de la cual se puede tener una idea general, graficando las variables. A partir de un

conjunto de observaciones de dos variables e sobre una muestra de individuos, se puede representar estos datos sobre unos ejes coordenados , en un sistema de coordenadas, en donde, en el eje de las abscisas se ubica la variable independiente y en el de las ordenadas la variable dependiente; esta gráfica se llama nube de puntos o diagrama de dispersión. Nos puede ayudar mucho en la búsqueda de un modelo que describa la relación entre las dos variables. Entonces, el diagrama de dispersión se obtiene representando cada observación como un punto en el plano cartesiano

Ejemplos de diagramas de dispersión

En los casos y tenemos que las observaciones se encuentran sobre una recta.

En el primer caso, con pendiente negativa, que nos indica que a medida que aumenta, la es cada vez menor y lo contrario en el segundo caso, en el que la pendiente es positiva. En estos dos casos los puntos se ajustan perfectamente sobre la recta, de manera que tenemos una relación funcional entre las dos variables, dada por la ecuación de la recta. En el caso los puntos se encuentran situados en una franja bastante estrecha que tiene una forma bien determinada. No será una relación funcional, ya que los puntos no se sitúan sobre una curva, pero sí que es posible asegurar la existencia de una fuerte relación entre las dos variables. De todos modos, se observa que no se trata de una relación lineal (la nube de puntos tiene forma de parábola). En el caso ) no se tiene ningún tipo de relación entre las variables. La nube de puntos no presenta una forma “tubular” bien determinada; los puntos se encuentran absolutamente dispersos.

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En los casos y se puede observar que sí existe algún tipo de relación entre las dos variables. En el caso se puede ver un tipo de dependencia lineal con pendiente

negativa, ya que a medida que el valor de aumenta, el valor de disminuye. Los puntos no están sobre una línea recta, pero se acercan bastante, de manera que podemos pensar en una fuerte relación lineal. En el caso se observa una relación lineal con pendiente positiva, pero no tan fuerte como la anterior.

Ejemplo de aplicación:

Supóngase que se realizó un estudio sobre la relación entre el contenido promedio de alquitrán en el flujo saliente de un proceso químico y la temperatura de entrada. A continuación, se muestran los datos registrados durante 10 días en una industria.

1 95 214

2 82 152

3 90 156

4 81 129

5 99 254

6 100 266

7 93 210

8 95 204

9 93 213

10 87 150

110

130

150

170

190

210

230

250

270

80 85 90 95 100Co

nte

nid

o m

ed

io d

e a

lqu

itrá

n

Temperatura de entrada

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10

6. ESTIMACIÓN DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO: MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS. Una vez que hemos hecho el diagrama de dispersión y después de observar una posible relación lineal entre las dos variables, nos proponemos encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos. Esta recta se denomina recta de

regresión. Ahora bien, por supuesto son parámetros desconocidos. La línea ajustada es una estimación de la línea que produce el modelo estadístico. Se debe tener en cuenta que la línea no se conoce, sino que más bien,

es una noción conceptual simple de cómo se generaron los datos en el proceso

científico. Como resultado, la realización de , en realidad nunca se observa. Sin

embargo, se observa su residuo . A menudo la suma de los cuadrados de los residuos se le llama suma de cuadrados de los errores aleatorios alrededor de la línea de regresión.

Con el uso de la línea de regresión estimada o ajustada , cada par de

observaciones satisface la relación: entonces:

, también recibe el nombre de residuo, describe el error en el ajuste del

modelo en el punto de los datos.

Teniendo en cuenta el ejemplo del ítem anterior. Como hipótesis se considera que el modelo tiene la forma:

y se desea emplear los datos de la muestra para calcular . Un método, el de los cuadrados mínimos o mínimos cuadrados selecciona el estimador que hace mínima la

suma de los errores elevados al cuadrado ( ). Entonces, se encontrarán de modo que se minimice . Es decir, se escoge el estimador tal que:

2 2

1 1

( )n n

i i

i i

SSE e y y

Se reduzca al mínimo. Se puede obtener la forma de este estimador derivando a

con respecto a , e igualando a cero, y luego despejar . Entonces,

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11

1

( )2 ( ) 0

n

i

i

d SSEy y

d y

Simplificando,

1

2 2 0n

i

i

y ny

Despejando ,y

1 1

1

2

2 22

n n

i ini i

i

i

y y

ny y y y yn n

Por tanto, el promedio muestral es el estimador que reduce al mínimo la suma de los errores elevados al cuadrado, y se llama estimador de para cuadrados mínimos.

1 214

2 152

3 156

4 129

5 254

6 266

7 210

8 204

9 213

10 150

Para los datos de la el promedio muestral es:

1948194.8

10y

y

2

1

( ) 19263.6n

i

i

SSE y y

De manera que, ya se sabe que ningún otro estimador de dará tan baja como

éste, porque es el estimador de mínimos cuadrados. Presúmase ahora que se decide modelar el contenido promedio de alquitrán en el flujo

saliente como función de la temperatura de entrada del día. En especial, se modelará

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12

el contenido promedio de alquitrán como función lineal de . Los datos aparecen registrados en la . La gráfica de esos datos se ilustra en la . Diagrama de dispersión. Se supone el modelo probabilístico de la línea recta.

y se quiere usar los datos de la muestra para estimar la ordenada en el origen y la

pendiente . Se utiliza el mismo principio para estimar en el modelo de línea recta que para estimar a en el modelo de promedio constante: el método de los mínimos cuadrados. Por lo tanto se escoge la estimación

De modo que

2 2

0 1

1 1

( ) ( )n n

i i i

i i

SSE y y y x

Se reduzca al mínimo. Se deriva con respecto a , se igualan los resultados a

cero y se despeja .

0 1 0 1

1 1 1 10 0

2

0 12

1 1

2 2

0 0

0 1 0 1

1 1 1 1

( ) ( )2 ( ) 0 2( )

( 2( ))( )

2 0

0 1 1

n n n n

i i i i

i i i i

n n

i i

i i

n n n n

i i i i

i i i i

SSE SSEy x y x

y n xSSE

n Hay un mínimo

y n x y n x

Ahora se deriva parcialmente con respecto a , también tiene mínimo, luego, se iguala a cero

2

0 1 0 1

1 1 1 11

2

0 1

1 1 1

( )2 ( ) 0 0

2

n n n n

i i i i i i i

i i i i

n n n

i i i i

i i i

SSEx y x x y x x

x y x x

De despejamos

1 1

1 1 1 1

0 0 0 1

n n n n

i i i i

i i i i

y x y x

y xn n n

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13

Reemplazamos 0 en y hallamos

2

1 1

1 1 1

21 1 1 1

1 1

1 1

2

1 21 1

1

1 1

1 1 1

1

( )n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i in ni i i i

i i i

i i

nn n

ii in nii i

i i i

i i

n n n

i i i i

i i i

x y y x x x

x y x x

x y xn n

xx y

x y xn n

x y n x y

n2

2

1 1

n n

i i

i i

x n x

n

1 1 1 1 1 1

1 12 2

2 2

1 1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 12

2

1 1

1

1

n n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i i

n n n n

i i i i

i i i i

n n

i ini i

i in n ni

i i i i

i i i

n n

i i

i i

x y n x y x y n x y

x n x x n x

x y

n x yn

n x y x y

n x x

12

12

1

n

ini

i

i

n

x

n xn

1 1

1

n n

i ini i

i i

i

x y

x yn

n

2

12

1

1 1

1 1 1

1 122 2

1 112

1

1

( )( ) ( )( )

( ) ( )

n

ini

i

i

n n

i in n ni i

i i i i i i

i i i

n nn

i iin i i

i

i

i

xy

xx

x

xn

x y

x y x x y y x x y yn

x x x xx

xn

SS

SS

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14

Entonces, la solución viene dada por:

1

1

2

1

( )( )

( )

n

i ixyi

n

xxi

i

x x y ySS

SSx x

; 0 1y x

En donde, /xySS n es la covarianza muestral de las observaciones y ( 1)xxSS n

es la varianza muestral de las observaciones .

2( )ix

1 95 214 20330 9025

2 82 152 12464 6724

3 90 156 14040 8100

4 81 129 10449 6561

5 99 254 25146 9801

6 100 266 26600 10000

7 93 210 19530 8649

8 95 204 19380 9025

9 93 213 19809 8649

10 87 150 13050 7569 915 1948 180798 84103 837225

Para los datos de la

1 1

1 1

( )( )

(915)(1948)180798 2556

10

n n

i in ni i

xy i i i i

i i

x y

SS x x y y x yn

2

12 2

1 1

( )

83722584103 380.5

10

n

in ni

xx i i

i i

x

SS x x xn

y

91591.5 ; 194.8

10x y

Entonces, las estimaciones de mínimos cuadrados son

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15

1

25566.7175

380.5

xy

xx

SS

SS

0 1 0194.8 (6.7175)(91.5) 419.85y x

Por tanto, la recta de regresión estimada está dada por

1 95 214 218.31 -4.31 18.58

2 82 152 130.98 21.02 441.84

3 90 156 184.72 -28.72 824.84

4 81 129 124.27 4.73 22.37

5 99 254 245.18 8.82 77.79

6 100 266 251.90 14.10 198.81

7 93 210 204.88 5.12 26.21

8 95 204 218.31 -14.31 204.78

9 93 213 204.88 8.12 65.93

10 87 150 164.57 -14.57 212.28

2093.43

Entonces la recta de regresión, obtenida por mínimos cuadrados es , la

cual es usada en los problemas.

y = 6,7175x - 419,85

110

130

150

170

190

210

230

250

270

80 85 90 95 100

Co

nte

nid

o m

ed

io d

e a

lqu

itrá

n

Temperatura de entrada

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16

Además de que estimados, minimizan la suma de cuadrados de los residuos;

son estimadores insesgados de . Es decir que:

Se puede observar que los errores son las distancias verticales entre los puntos

observados y la línea de predicción, ( ). Los valores predichos, el error ( ) y se muestran en la . La es . De esta manera se sabrá

que ninguna otra recta minimizará la tan pequeña como la hallada. En forma de sinopsis, se ha definido la recta que mejor se ajusta como la que satisface el método de los mínimos cuadrados. Esta recta es la denominada recta de los mínimos cuadrados, y la ecuación se llama ecuación de predicción de mínimos cuadrados.

7. INTERPRETACIÓN DE LOS COEFICIENTES ESTIMADOS.

Es la ordena en el origen, es decir el punto donde la recta corta o interseca el eje . Es el valor promedio de la variable dependiente cuando la independiente vale cero. También se interpreta como el efecto promedio sobre la variable dependiente de todas las variables omitidas en el modelo de regresión.

Cuando el valor del coeficiente de intersección sea negativo y su interpretación no sea lógica, se interpreta como cero, pero para efectos de proyección se deja el valor obtenido.

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17

Es la pendiente, es decir, la cantidad en que aumenta (o disminuye) el promedio de por cada aumento unitario de .

Si la relación entre las variables es directa y mide el incremento de la variable

dependiente por cada aumento de una unidad en la variable independiente. Si la relación entre las variables es inversa y mide el decremento de la variable dependiente por cada aumento de una unidad en la variable independiente o viceversa.

Si , nos indica que no existe relación lineal entre las dos variables 8. DISTRIBUCIÓN DEL COMPONENTE ALEATORIO DE ERROR. En los ítems anteriores se establecieron los dos primeros pasos del modelado de

regresión: se ha supuesto la forma de y empleado los datos de la muestra para estimar los parámetros desconocidos en el modelo. La estimación de cuadrados

mínimos de es

En el paso 3, se debe especificar la distribución de probabilidad del término de error aleatorio y estimar cualquier parámetro desconocido de esa distribución. El componente aleatorio de error está distribuido normalmente con promedio cero y

varianza constante . Los errores asociados con distintas observaciones son independientes.

Para estimar se usa del modelo de mínimos cuadrados. La estimación de

se calcula dividiendo la entre el nº de grados de libertad asociados con el componente de error. Se utilizan 2 grados de libertad para estimar la ordenada en el origen y la pendiente del modelo de línea recta, y se deja grados de libertad para estimar la varianza del error. Así

2

2

SSEs

n, en la cual

2

1

1

( )n

i yy xyi

i

SSE y y SS SS

y

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18

2

2

12

1 1

( )

n

in ni

yy i ii

i i

y

SS y y yn

En el ejemplo del contenido medio de alquitrán,

2 2093.43261.68

2 8

SSEs

n

y 2 261.68 16.18s s

9. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE MÍNIMOS CUADRADOS.

En lo que sigue, se demuestra que el estimador es insesgado para y se muestran

las varianzas para . Esto iniciará una serie de desarrollos que conducen a la prueba de hipótesis y a la estimación del intervalo de confianza sobre la pendiente y la intersección.

9.1 Demostración De Que Es Insesgado.

1

1

2

1

( )( )

( )

n

i ixy i

n

xxi

i

x x Y YSS

SSx x

Utilizando los siguientes criterios:

a.

b. c.

Se encuentra que,

1

1 1

2 2 1

1 1

1 0 1 0 1

1

1 11 1

1

( )( )1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( ) [( ) ( )]

1 1( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ (

n

i i ni

i in ni

i i

i i

n

i i i i i

ixx

n

i i i i i i

ixx xx

x x Y Y

E E E x x E Y Y

x x x x

E x x E x xSS

E x x x x E x x x xSS SS 1

)]n

i

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19

1 11 1( ) ( )xx

xx

SSE E

SS

Lo cual demuestra que 1 es un estimador insesgado de 1. Asimismo

9.2 Deducción De La Varianza de 1 y ecuación para la varianza de

1 1

1

2 21

1 22 12

11

2 2

21 1 1

( )( )1

( ) ( )( )

( ) ( )

1( ) ( ) ( )( ) ( ), ( )

n

i i ni

i inn

i

ii

ii

n n n

i i i j i j

i i jxx

x x Y Y

Var Var Var x x Y Y

x x x x

x x Var Y Y x x x x Cov Y Y Y YSS

Tenemos que

0 1 0 1

2 2 22 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2

( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )

( ), ( )

i i i i i i i

i

i j i j i j

i j

Var Y Y Var x x Var Y Y Var

Var Y Yn n n

y

Cov Y Y Y Y Cov Cov Cov Var

Cov Y Y Y Yn n n

2

n Se han empleado los siguientes hechos:

a. 2( )iVar

b. ( , ) 0,i jCov i j

c. 2 2

1

2 21

1( ) ( )

n

i ni

i

i

nVar Var Var

n nn n

d. 2

1 ( )( , ) ,

n

j

j i

i i

VarCov Cov

n n n

De esta forma,

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20

1

2 22 2 2

21 1 1

1( ) ( ) ( )( )

n n n

i i j

i i jxx

x x x x x xn nSS

1

22 22 2

21 1

1( ) , ( ) 0

n n

xx i i

i ixxxx

SS x x utilizando x xn SSSS

Por lo tanto la desviación estándar de 1 es

xxSS

La varianza de 0 es

2

21

2

1

( )

n

i

i

n

i

i

x

n x x

10. INFERENCIAS ACERCA DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN 10.1 Prueba De Hipótesis Sobre La Pendiente En el paso nº 4 se debe comprobar en forma estadística la adecuación del modelo.

Teniendo especificada la distribución de probabilidad de y estimado al varianza , se pueden hacer inferencias estadísticas acerca de la adecuación del modelo para representar el promedio y para poder predecir los valores de para valores dados

de . Es posible observar que, si en el modelo de regresión lineal la pendiente es cero,

entonces la variable no tiene ningún efecto sobre la variable . En este caso diremos que no es una variable explicativa del modelo. Esto significa que el promedio

No se modifica cuando cambia . En este modelo de línea recta, lo anterior significa

que la pendiente verdadera es igual a cero. Entonces, si , el modelo es simplemente . Por lo tanto, para probar la hipótesis nula de que no contribuye con información para predecir , contra la hipótesis alternativa que esas variables se relacionan en forma lineal con una pendiente diferente de cero, se contrasta

Comparándola con

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Si los datos respaldan la hipótesis alternativa, se llega a la conclusión de que si aporta información para predecir a empleando el modelo la línea recta. Se encuentra la medida estadística de prueba si se considera la distribución de

muestreo de , el estimador de mínimos cuadrados de la pendiente .

Si se supone que los componentes de error son variables aleatorias normales,

independientes, con media cero y varianza constante, la distribución de muestreo del

estimador de mínimos cuadrados de la pendiente será normal, con promedio y desviación estándar

xxSS

Como la desviación estándar de , que es se desconoce en general, normalmente la medida estadística de prueba adecuada será una distribución de Student que se forma así:

Donde , la desviación estándar estimada de la distribución de muestreo

de . En general, se prueba la hipótesis nula , de manera que la estadística se vuelve

Para el ejemplo del contenido de alquitrán en el flujo saliente en un proceso químico tenemos:

Se escoge , La prueba es de dos Colas; tanto a la derecha, como a la izquierda.

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La región de rechazo es:

Anteriormente se calculó , y

Como este valor de calculado está en la región de rechazo en la cola superior, se rechaza la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que la pendiente no es cero. La evidencia no respalda la afirmación, entonces se concluye que la temperatura de entrada si influye en el contenido medio de alquitrán en flujo de salida en un proceso químico.

10.2 Intervalo De Confianza 100(1- )% Para La Pendiente

Para ambas colas

Para cola a la derecha

Para cola a la izquierda

Puesto que,

Donde

Este intervalo está centrado en la estimación puntual del parámetro, es decir, en , y la cantidad en la que se alarga a cada lado de la estimación depende del nivel deseado de

confianza, (mediante el valor crítico ta/2, n - 2) y de la variabilidad del estimador

(mediante ).

Para el ejemplo, el intervalo de confianza de para la pendiente es

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Este intervalo de confianza confirma la conclusión de la prueba de hipótesis nula,

porque significa que la pendiente verdadera está entre . 11. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN La medida más importante de la bondad del ajuste es el coeficiente de determinación R2. Este coeficiente nos indica el grado de ajuste de la recta de regresión a los valores de la muestra, y se define como la proporción de varianza explicada por la recta de regresión, es decir:

2 1yy

yy yy yy

SS SSE SSE SCRR

SS SS SS

Donde es la suma de cuadrados para la regresión.

En el ejemplo

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Esto significa que la variabilidad muestral del contenido de alquitrán con respecto a su

promedio se reduce en cuando se modela el contenido de alquitrán como función lineal de la temperatura de entrada diaria. 12. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. Se suele decir que X e Y tienen una relación positiva si los valores grandes de X están aparejados con valores grandes de Y y valores pequeños de X, con valores pequeños de Y. De manera análoga, se dice que X e Y tienen una relación negativa si los valores grandes de X están aparejados con los valores pequeños de Y y los pequeños de X, con grandes de Y.

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BIBLIOGRAFÍA

[1] MCCLAVE, SCHEAFFER, Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería, Iberoamericana. [2] WALPOLE, RONALD, Probabilidad Y Estadística Para Ingenieros, Sexta Edición, 1999.

regresiÓn lineal simple

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se infiere que

regresin y correlacin

relacin que se ajusta

regresin poblacional

regresin muestral

en tanto que

los datos y que finalmente

regresin se usan para