régulation industrielle exercice

8/13/2019 Rgulation industrielle exercice

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Examen en Rgulation 1

Examen en REGULATION 09 Fvrier 09 Pr. F. JARACHI

AMELIORATIONS A APPORTER A

Synthse de rgulateurs de type PID

1 : Photo du papier semilog.

2 : Mise en page intgrale du texte.

Corrig le 2 Octobre 2013


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Examen en REGULATION 09 Fvrier 09 Pr F. JARACHI


Dans ce qui suit nous faisons la synthse de quatre rgulateurs de type PID.

Le procd dessai est donn par la fonction de transfert )(pG de 4 ime ordre,

2)

3

11)(

7.0

11)(

07.0

11(

1)(

ppp

pG

La boucle ferme de rfrence est prsente sur la Figure 1, o sont indiqus le procd

)(pG , le capteur )(pC , le rgulateur )(pR ; ainsi que les notations de la consigne,

lerreur,la perturbation, la sortie et la sortie mesure.

Les notations ne devront pas tre modifies. Remarquez que, sur la Figure 1, 10)( pC .

Rgulateur

R(p)

Procd

G(p)+

- +

-

perturbation

d(t)

sortie y(t)u(t)t)

Capteur

C(p)

mesure ym

(t)

consigne ym

*(t)

Figure 1 : Systme en boucle ferme tudi

1. Donnez lquation de la fonction de transfert en boucle ouverte, vue par lergulateur )(pR quand 0)( td . Appelez la, )(pH . Cest cette fonction de

transfert qui sera tudie et permettra la synthse des rgulateurs.

2. Donnez lquation analytique de la phase du systme )(pH , en degrs, soit)(H .

3. Renseignezle Tableau 1, qui sera utile pour le trac de la phase relle.


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en rad/s

0.10 0.30 0.49 0.60 0.70 1.0 3.0

)(H

en

Tableau 1 : Valeurs numriques des phases de )(pH

4. Tracez, sur le papier semilog1 fourni, le module asymptotique de )(pH et laphase asymptotique. Tracez la phase relle )(H , en utilisant le Tableau 1.

Dans tout cet examen, il nest pas demand de tracer les modules rels.

Note : Mme si les chelles choisies ne permettront pas de tracer la phase aux

hautes pulsations, il ne faut pas les changer !

5. Relevez la bande passante du systme )(pH , soit BPH . Vous devriez vrifierque 135)(

BPHH.

6. Relevez, sur le diagramme de Bode, la valeur 1pK dun premier rgulateurProportionnel adquat 1)( pKpR , assurant une marge de phase thorique

denviron 45. Dessinez et vrifiez que, dun autre ct, la marge de gain est

positive.

7. Ecrivez les quations que devra vrifier 1pK . Il nest pas demand de rsoudreces quations.

8. On applique ce premier rgulateur en boucle ferme, avec une consigne)(1.)( * 0

* tyty mm et une perturbation 0)( td . Avec*0my une constante et )(1t

lchelon unitaire.

Donnez lexpression de lerreur permanente )( t , en fonction de * 0my et 1pK

. Remarquez quelle nest pas nulle.

9. Relevez, sur le diagramme de Bode, la valeur 2pK dun second rgulateurProportionnel adquat 2)( pKpR , assurant une marge de gain thorique G

denviron12 dB. Dessinez et vrifiez, dun autre ct, que la marge de phase estpositive.

10.Ecrivez les quations que devra vrifier 2pK . Il nest pas demand de rsoudreces quations.

11.On dsire calculer un troisime rgulateur, cette fois un PID thoriquedquation:

pT

pTpTKpR

i

di )1)(1()(


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Les cinq questions 11, 12, 13, 14 et 15 concernent ce rgulateur )(pR .

On veut trouver iT et dT sachant que les deux zros du rgulateur devront compenser

(simplifier) deux ples du systme )(pH . Choisir deux ples convenables et dire

pourquoi ils le sont. En consquence, donnez les valeurs numriques de iT et dT .

12.Utilisez le calibre de la phase dun PID thorique quelconque, donne sur lepapier semilog2 et tracez la phase du rgulateur )(

R sur le papier semilog1.

Puis tracez la phase )(HR de la fonction de transfert en boucle ouverte

)()()( pHpRpT .

Relevez sur le diagramme de Bode, la nouvelle bande passante du systme, que

lon peut raliser en adoptant di TetT trouves dans la question prcdente. Notez

cette bande passante HBPR

.

13.Dterminez alors graphiquement la valeur de K (en dB et en nombre pur)assurant une marge de phase thorique denviron 45. Puis vrifiez que la

marge de gain est positive.

14.Ecrivez les quations que devra vrifierK. Il nest pas demand de rsoudre cesquations.

15.Le rgulateur )(pR rejette-t-il une perturbation d(t) en chelon ? Pourquoi..

16.

On dsirecalculer un quatrime rgulateur, un autre PID thorique dquation:

pT

pTpTKpR

i

diG

)1)(1()(

avec les iT et dT trouves prcdemment, dans la question 11.

Dterminez graphiquement, en utilisant le papier semilog1, la valeur de K(en dB et

en nombre pur) assurant une marge de gain thorique G denviron 12 dB. Puisvrifiez que la marge de phase est positive.

17.Est-ce quele rgulateur )(pRG est robuste relativement aux variations H de )(pH? Justifiez.18.A partir du diagramme de Bode dterminez la fonction de transfert approximative

de la boucle ferme de la Figure 1, avec )()( pRpR . Appelez la, )( pB .

19.En dduirela bande passante approximative, -3 dB, en boucle ferme.


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Notes

1 : Dure : 3 heures.

2 : Tous les documents sont autoriss.

3 : Les tlphones portables et les ordinateurs portables sont interdits.

3 : Donnez des rsultats approximatifs, cest la mthode qui importe.4 : Il faut remettre le papier semilog1.

5 : En plus de votre copie, il faut renseigner et remettre la fiche des rponses

rsumes.


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Fiche des rponses rsumes

A RENDRE OBLIGATOIREMENT

1. Boucleouverte )(pH =

2. Phaseen degrs, )(H =

3. Tableaudes phases relles

en rad/s

0.10 0.30 0.49 0.60 0.70 1.0 3.0

)(H

en

4. Remettrele papier semilog1

5. Bandepassante BPH =

6. 1pK =

7. Equationsque devra vrifier 1pK :

8. Erreurpermanente )( t =

9. 2pK


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10.Equationsque devra vrifier 2pK :

11.Lesdeuxples choisis :

12.Complterle papier semilog1.Bande passante HBPR

=

13.Ken dB =

Ken nombre pur =

14.Equationsque devra vrifierK:

15. )(pR rejette une perturbation d(t) en chelon : oui non.

16. Ken dB :

Ken nombre pur :

17.

)(pRG est robuste relativement aux variations H de )(pH :

Oui non

18.Fonctionde transfert approximative )( pB =19.En dduirela bande passante approximative, -3 dB, en boucle ferme.


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Rponses

FICHE RENSEIGNEE

1. La boucleouverte vue par le rgulateur a pour expression,)().()( pCpGpH =

2)

3

11)(

7.0

11)(

07.0

11(

10

ppp

La perturbation d(t)nest pas considre, cependant, dans le fonctionnement normal

en boucle ferme, cette perturbation est bien sr, non nulle, et devra tre rejete par le

rgulateurR(p).

Il est clair que la fonction de transfert en boucle ouverte, vue par le rgulateur )(pR ,ne contient pas )(pR .

Cest la fonction de transfert )(pH qui permettra la synthse des rgulateurs.

La simulation de la rponse temporelle du systme en boucle ouverte, en

Matlab/Simulink, est donne sur la Figure A.

Figure A : Simulation de la boucle ouverte, perturbe (Exam090209BO)

Figure B : Boucle ouverte perturbe (Exam090209BO)
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209BO.mdl


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Le systme en boucle ouverte est lent, son temps de rponse est denviron 40

secondes. Il ne rejette pas la perturbation applique.

2. Phaseen degrs, )3

(2)7.0

()07.0

()(

ArctgArctgArctgH

Lvaluation de la fonctionArctgdevra donner des degrs. Et donc dans les calculs, il

faudra positionner le mode de la calculatrice convenablement ! Il est conseill de fairelessai sur un exemple connu, comme 45)1( Arctg degrs

3. Tableaudes phases relles : Lexpression prcdente de la phase nous permet derenseigner le tableau suivant :

en rad/s

0.10 0.30 0.49 0.60 0.70 1.0 3.0

)(H

en

-67 -111 -135 -147 -156 -178 -255

4. Remettrele papier semilog15. Bandepassante BPH 0.49 rad/s.6. En dcibels on relve 1pK -2 dB, soit 1pK 0.8.7. Les quationsque devra vrifier 1pK sont:

1)(.1 BPHp HK (ou encore dBdBBPHp HK 0)(.1 )

et 135)()(.1 BPHBPHp HArgHKArg .

8. Erreurpermanente :*

0

1

*

10 )0()0(1

1)(

)()(1

1.lim)( m

p

m

pp

YCGK

pYpCpGK

pt

soit9101

1)(

*0*

01

mm

p

YY

Kt

. Le rgulateur Proportionnel nassure pas

un suivi rigoureux de consigne. Il assure seulement la stabilit en boucle ferme.

9. En dcibelson relve 2pK = -1 dB, soit 2pK = 0.9.10. Soit srad/1 la pulsation (approximative) pour laquelle la phase deH(p)vaut -180. Cette valeur peut tre releve du tableau des phases.

Les quations que devra vrifier 2pK sont:

dBdBp HK 12)(.2

et 180)(.2 HKArg p .


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11. On fait la synthse du troisime rgulateur PID dquationpT

pTpTKpR

i

di )1)(1()(

, zros relsiT

z 1

1

etdT

z 1

2

. Il scrit aussi:

)1)(1

1()( pdT

piT

KpR . Ce qui montre que cest une mise en srie dun PI et

dun PD. Ainsi sTi 28.1407.0

1 et sTd 428.1

7.0

1 . Faire attention aux

dimensions des expressions!

Les deux ples choisis sont:7.0

1

07.0

121

petp , ils permettront davoir une large

bande passante.

12.Complterle papier semilog1.Bande passante HBPR

= 1.1 rad/s .

13.En dcibelson fait la lecture du segment AB, soit AB = 5dB, dBKdB 5 .En nombre pur, 7.1K

Il faut remarquer que la somme de )(pH et )(pR passent par le point D, pour avoir

une marge de phase de 45 .

14.Les quations que devra vrifier Ksont:1)()(

HBPRHBPR HR (ou encore dB

dBHBPRHBPR HR 0)()(

)

et

135)()( HBPRHBPR HRArg .

15.Oui, )(pR rejette une perturbation d(t) en chelon, car il met une actionintgrale en amont de la perturbation.

La Figure C, reprsente la simulation Matlab/Simulink, de la boucle ferme.

Figure C: Simulation de la boucle ferme (Exam090209PID)
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdl


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Pour la simulation, la consigne est de 10, et la perturbation est de 1 et elle est

applique linstant 40 secondes. La valeur de K est ajuste 1.57 au lieu de 1.7.

Cela donne un dpassement de 18 % environ.

Figure D: Suivi de consigne et rejet de perturbation (Exam090209PID)

Le systme en boucle ferme est rapide, son temps de rponse est denviron 5

secondes au lieu de 40 secondes. Il rejette la perturbation en chelon.

16. Le tracde la phase du rgulateur )(pR est identique au trac de la phase durgulateur )(pRG . Par contre les tracs des modules de )(pR et )(pRG neconcident pas.

Soit srad/3' la pulsation (approximative) pour laquelle la phase de

)()( pHpRG vaut -180. On doit avoir dBHRG 12)()( '' pour raliser une

marge de gain de 12 dB. Donc on doit imposer dBRG 13)( ' . Par consquent,

en dcibels on lit dBKdB 0 .

En nombre pur, 1K .

Il faut remarquer que la somme de )(pH et )(pRG passera par le point E.

17.Oui, )(pRG est robuste relativement aux variations H de )(pH , car il assureune marge de gain et une marge de phase suffisantes.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PID.mdl


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18.La fonctionde transfert approximative est)

3

11)(

2.1

11(

1.0)(

pp

pB

. Elle a t

dtermine par la technique des modules infrieurs parmi les tracs de

)(

1

pC

et

)()( pGpR .

Figure E: Suivi de consigne et rejet de perturbation (Exam090209PIDs)

La figure E, prsente la simulation Matlab/Simulink dune rponse sinusodale la

consigne harmonique ).sin(..)(1)( * 0* tytty mm o 10

*0my .

Figure F: Suivi de consigne harmonique (Exam090209PIDs)

Sur la Figure F, la frquence srad/1.0 est dans la bande passante du systme

asservi. La sortie mesure (dessine en rouge), et la consigne (en jaune), concident.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdl


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Figure G: Suivi de consigne harmonique (Exam090209PIDs)

Sur la Figure G, la frquence srad/5 est en dehors de la bande passante du

systme asservi. La sortie mesure (dessine en rouge), est pratiquement supprime.

Remarquez aussi, le transitoire qui dure 3 secondes.

19.Finalement la bande passante en boucle ferme, 3 dB, vaut 1.2 rad/sapproximativement.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Exam090209PIDs.mdl

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