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188

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Capítulo 4:

RELACIÒN ENTRELOS PROMEDIOS

INTRODUCCIÓN

La Estadística es una ciencia matemática que se utiliza para describir, analizar einterpretar ciertas características de un conjunto de individuos llamado población.Cuando nos referimos a muestra y población hablamos de conceptos relativospero estrechamente ligados. Una población es un todo y una muestra es unafracción o segmento de ese todo.

Podemos dividir la estadística en dos ramas; la estadística descriptiva, que sededica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen dedatos originados a partir de los fenómenos en estudio; y la estadística inferencial,que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y prediccionesasociadas a los fenómenos en cuestión.

La estadística trata en primer lugar, de acumular la masa de datos numéricosprovenientes de la observación de multitud de fenómenos, procesándolos deforma razonable. Mediante la teoría de la probabilidad analiza y explora laestructura matemática subyacente al fenómeno del que estos datos provienen y,trata de sacar conclusiones y predicciones que ayuden al mejor aprovechamientodel fenómeno.

189


4.1 RELACION EMPIRICA ENTRE LOS PROMEDIOS:

El calculo ó valor aproximado de la moda puede obtenerse a partir del siguiente

relación conocida también con el nombre de Relación Empírica de Karl Pearson.

Nota: se aproxima al valor pero no es el verdadero.

Ejemplo:

1.- Calcular la relación empírica del siguiente cuadro de distribución de

frecuencias.

Solución:

_

Mo = 3 Md - 2X

_

X = 3480 = 69.6

50

Md = 65 + 25-6 10 = 69.5

20

Reemplazar: Mo = 3 ( 69.5) - 2 ( 69.6)

Mo = 208.5 - 139.2

Mo = 69.3

190


L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi ni Ni ni.Yi

45 - 55 50 4 4 200

55 - 65 60 12

16 720

65 - 75 Clase Modal

Mediana

70 2 36 1400

75 - 85 80 10 46 800

85 - 95 90 4 50 360

N = 50 ni.Yi = 3480

65 -75 20

191


Ejemplo:

1.- Calcular la relación empírica del siguiente cuadro de distribución defrecuencias.


45 - 5550 4 4 200

55 - 6560 12 16 720

65 -75Clase Modal

Mediana70 20 36 1400

75 - 85 80 10 46 800

85 - 95 90 4 50 360

N = 50 ni.Yi = 3480

192


Solución:

Ejercicios:

Determinar la relación empírica entre los promedios de los siguiente cuadradosde distribución de frecuencia:

X = 1.642

Md = 1.6362

_

X= niYi = 164.2 = 1.642

N 100

Mo = 1.6283 Mo = 3(1.6362) - 2(1.642)

Mo = 1.6246

_

X = 3480 = 69.6

50

Md = 65 + 25-6 10 = 69.5

20

Reemplazar: Mo = 3 (69.5) - 2 (69.6)

Mo = 208.5 - 139.2

Mo = 69.3

193


L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni niYi

1,495 - 1,545 1,52 5 7,6

1,545 - 1,595 1,57 12 18,84

1,595 - 1,645 1,62 40 64,8

1,645 - 1,695 1,67 26 43,42

1,695 - 1,745 1,72 11 18,92

1,745 - 1,795 1,77 6 10,62

N = 100 niYi=164,2

194


44..22 CCOOMMPPOORRTTAAMMIIEENNTTOO DDEE LLOOSS PPRROOMMEEDDIIOOSS ((MMdd,, XX,, MMoo))

En las distribuciones de frecuencias simétricas los valores de la media, la mediana

y la moda son idénticas si la distribución es unimodal, es decir si tiene un máximo

sencillo. En las distribuciones de frecuencia oblicuas o sesgadas, la media

aritmética se encuentra entre la X y la Mo, pudiendo establecerse relaciones de

mayor a menor, que nos indica el sesgo.

1.- Simétrica

X

Md

Mo

X = Md = Mo

195


2.- Sesgo Positivo ó Sesgado a la Derecha

+

Mo Md X

3.- Sesgo Negativo ó Sesgado a la Izquierda

--

X Md Mo

X >Md > Mo

X < Md < Mo

196


Ejercicios:1. - Determinar el comportamiento Md, X, Mo e indique si tiene sesgo

positivo ó negativo ubicando los valores en el histograma y polígono de frecuencia

de la siguiente distribución.


45 - 55 50 4 4 200

55 - 65 60 12 16 720

65 - 75 Clase Modal

Mediana

70 20 36 1400

75 - 85 80 10 46 800

85 - 95 90 4 50 360

N = 50 ni.Yi = 3480

197


Mo = 69.44

Md = 69.5

X = 69.6

Ejercicios:

1.- Determinar el comportamiento Md, X, Mo e indique si tiene sesgo positivo ó

negativo ubicando los valores en el histograma y polígono de frecuencia de la

siguiente distribución.

198


Solución:

Mo = 69.44

Md = 69.5

X =69.6


45 - 55 50 4 4 200

55 - 65 60 12 16 720

65 - 75 Clase ModalMediana

70 20 36 1400

75 - 85 80 10 46 800

85 - 95 90 4 50 360

N = 50 ni.Yi = 3480

199


Ejercicio:

Determinar el comportamiento de los promedios media, mediana ymoda del siguiente cuadro de frecuencias.

L1 - L2 Y i n i N i n i y i

0.0005 - 0.0025

0.0025 - 0.0045

0.0045 - 0.0065

0.0065 - 0.0085

0.0085 - 0.0105

0.0105 - 0.0125

0.0125 - 0.0145

0.0015

0.0035

0.0055

0.0075

0.0095

0.0115

0.0135

30

50

40

20

60

10

50

30

80

120

140

200

210

260

0.045

0.175

0.22

0.15

0.57

0.115

0.675

N=

260

n i y i=

1.95

200


X = n iY i X = 1,95 = 0,0075

N 260

Md = = L I + N/2 - N i i

NiMd

Datos:

N = 260 = 130

2 2

N i = 120

NiMd = 20

2 i Md = 0.0065 + 130 - 120 0.0020

20

Md = 0.0065 + 10 / 20

Md = 0.0065 + 0.001

201


Md = 0.0075

Mo = L I + d1 i

d1 + d2

Mo = 0.085 + 40 0.0020 = Mo = 0.0858888

90

X = 0.0075

Md = 0.0075 X = Md < Mo

Mo = 0.0858888 0.0075 = 0.0075 < 0.0858888

202


4.3 CUARTILES

Son medidas de posición que se caracterizan por dividir a una distribución en

Cuartiles, Deciles y Percentiles.

1. Cuartiles: (Q1, Q2,... Q3) son aquellos valores que dividen a un conjunto de

datos ordenados según su magnitud en cuatro partes iguales.

2. Deciles: (D1, D2,... D9 ) son aquellos valores que miden a un conjunto de

datos ordenados según su magnitud en diez partes iguales

3. Percentiles: (P1, P2,... P99 ) son aquellos valores que dividen a un conjunto

de datos ordenados según su magnitud en cien partes iguales.

203


44..33..11CCAALLCCUULLOO DDEE CCUUAANNTTIILLEESS

calculo de los cuantiles se basa en la formula de la mediana.

Con las siguientes variaciones:

1.- Para los cuartiles se cambia ó reemplaza N por: N 2N 3N2 4 4 4

Q1 Q2 Q3

N - ( Ni)1

Md = L1 + 2 i

niMd

204


2.- Para los deciles se cambia ó reemplaza N por: N 2N 9N2 10 10 10

N - ( Ni)1

Q1 = L1 + 4 i

niQ1

2N - ( Ni)1

Q2 = L1 + 4 i

niQ2

3N - ( Ni)1

Q3 = L1 + 4 i

niQ3

205


D1 D2 D9

3. Para los percentiles se cambia ó reemplaza N por:

N - ( Ni)1

D1 = L1 + 10 i

niD1

5N - ( Ni)1

D2 = L1 + 10 i

niD2

9N - ( Ni)1

D9 = L1 + 10 i

niD9

206


50N - ( Ni)1

P50 = L1 + 100 i

niP50

2 N2 N 3N... 99N

100 100 100 100

P1 P2 P3 P99

3. Para los percentiles se cambia ó reemplaza N por:

2 N2 N 3N... 99N

100 100 100 100

P1 P2 P3 P99

207


50N - ( Ni)1

P50 = L1 + 100 i

niP50

El espacio comprendido entre el 1 y 3 cuartil recibe el nombre deespacio intercuartilico y contiene generalmente el 50 % de lasobservaciones.

EJERCICIOS:

Del siguiente cuadro (a) de distribución de frecuencia determina:

1. Q1 ,Q2 ,D10 ,P10 ,P25,P75 ,P90

208


L1 - L2 YI nI NI

45 – 55

55 – 65

65 – 75

75 – 85

85 - 95

50

60

70

80

90

4

12

20

10

4

4

16

36

46

50

N = 50

1.- Q1 = L1 + N/4 - (Ni ) i

niQ2

Q1 = 55 + 12.5 - 4 10

12

Q1 = 62.0833

Q1 = 55 + (7.0833)

Q1 = 62.0833

209


2.- Datos:

2N/4 = N/2 = 25

Li = 65

(Ni)1 = 16

Ni Q2 = 20

i = 10

Q2 = L1 + 2N/4 - (Ni )i i

niQ2

Q2 = 65 + 25 - 16 10

20

Q2 = 65 + (4.5)

3.- Datos:

5N/10 = N/2 = 25

Li = 65

(Ni )1 = 16

Ni D5 = 20

i = 10

Q2 = 69.5

210


D5 = L1 + 5N/10 - (Ni )i i

NiD5

D5 = 65 + 25 - 16 10

20

D5 = 65 + (4.5)

D5 = 69.5

4.- Datos :

10N/100 = N/10 = 5

Li = 55

(Ni )1 = 4

Ni P10 = 12

i = 10

P10 = L1 + 10N/100 - (Ni )i i P10 = 55.83 P10 =

niP10

P10 = 55 + 5 - 4 10

12

P10 = 55 + 0.833

D5 = 69.5

P10 = 55.83

211


5.- Datos :

25N/100 = N/4 = 12.5

Li = 55

(Ni )1 = 4

Ni P10 = 12

i = 10

P25 = L1 + 25N/100 - (Ni )i i

niP25

P25 = 65 + 12.5 - 4 10

12

P10 = 55 + 7.0833

P10 = 62.083P10 = 62.083

212


6 .- Datos :

75N/100 = 37.5

Li = 75

(Ni )1 = 36

Ni P75 = 10

i = 10

P75 = L1 + 75N/100 - (Ni )i i

niP75

P75 = 75 + 37.5 + 36 10

10

P75 = 75 + 1.5 P75 = 76.5

7.- Datos :

90N/100 = 45

Li = 75

(Ni )1 = 36

Ni P10 = 10

i = 10

P75 = 76.5

213


P90 = L1 + 90N/100 - (Ni )i i

niP90

P90 = 75 + 45 - 36 10

10

P90 = 75 + 9

NOTA: Dado que el espacio intercuartílico presenta el 50% de las observacioneslo que interesa saber a partir de que valor va a medirse la desviación cuartil. Ladesviación cuartil se mide a partir del promedio que existe entre el promedio 1 y 3cuartil.

½ (Q1 + Q3) + D.G.

½ (62.0833 + 76.5) + 7.2085

½ (138.583) + 7.085

69.2915 - 7.2085 = 62.083

P90 = 84

214


Ejercicio:

Del siguiente cuadro calcular el primer y tercer cuartil.

L1 - L2 Yi1-Yi´ Yi ni niYi

60 - 62 61 5 305

63 - 65 64 7 448

66 - 68 67 x 67x

69 - 71 70 6 420

72 - 74 73 y 73y

N = 30 1989

215


1. X – 66.3 66.3 = 1173 + 67x + 73y30

816 = 67x + 73y

2. 5 + 7 + x + 6 + y = 3018 + x + y = 30

x + y = 12

x = 12 – y

2 en 1

816 = 67 (12 – y) + 73y

816 = 804 – 67y + 73y

12 = 6y

y = 2

x = 10

N = 30 = 7.5 alrededor

4 4

Q1 = 62.5 + (7.5 – 5) 3

7

Q1 = 63.57142857

Q3 = 68.5 + (22.5 – 22) 3

6

Q Li

N ni

NiQi1 4

1

1

( )

216


Q3 = 68.75

Ejercicio:

Determinar el primer cuartil del siguiente cuadro de distribución defrecuencia:

L1 - L2 Yi ni Ni niYi

2340- 2070 2 2 4140

2880- 2610 7 9 18270

3420- 3150 10 19 31500

3960- 3690 26 45 95940

4500- 4230 16 61 67680

4770- 4790 5 66 23850

N = 66 202

Q Li

N ni

NiQi3

3

41

3

( )

217


= 2880 + (16.5 – 9) 540

10

Q1= 3285

Q Li

N ni

NiQi1 4

1

218


Capítulo 5:

MEDIDAS DEDISPERCIÒN O

VARIABILIDADINTRODUCCIÓN Las medidas de dispersión, también llamadas medidas devariabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio deun número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas dela media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menorsea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos sonparecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, secalcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la mediaaritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptandos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando lasdesviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando lasdesviaciones al cuadrado Se conoce con el nombre de dispersión o variación algrado en que un conjunto de datos numéricos u observaciones tienden adiseminarse, extenderse o concentrarse alrededor de su valor central.

Las principales medidas de dispersión son:

1. El rango o amplitud total también llamado horquilla R.

2. La desviación cuartil D.Q.

3. La desviación media D.M.

4. La varianza S² ó T²

5. La desviación estandar o desviación típica S o T.

219


5.1 RANGO DE AMPLITUD TOTAL DE HORQUILLA

Se define el rango como la diferencia entre las medidas máximas y mínimas y se

caracteriza por ser la más inestable de las medidas de dispersión pero tienen la

ventaja de ser fácil de interpretar y calcular su valor.

Ejemplo:

a) Determinar el rango de los números: 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90, 92.

R = MAX. – MIN = 92 - 78

R = 14

b) Determinar el rango o amplitud total de los sgtes. números:

0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 9.2, 7.1, 5.6, 6.4, 2.3 y 5.6

R= MAX. – MIN = 9.2 – 0.8

R= 8.4

220


5.2.- DESVIACIÓN QUARTIL D.Q

Se define la desviación quartil como la semidiferencia entre el tercer y el primer

cuartil y esta asociada generalmente con la mediana y las distribuciones ligeramente

asimétricas.

D.Q. = Q3 - Q1

2

Ejemplo:

Determinar la desviación cuartil del cuadro de distribución de frecuencias anterior

sabiendo que : Q1 =62.083 y Q3 =76.5

D.Q.= 76.5 – 62.083 = 7.2085

2

Nota:

Dado que el espacio intercuartílico contiene el 50% de las observaciones, lo que

interesa es saber a partir de que valor se va a medir la desviación cuartil.

La desviación cuartil se mide a partir del promedio que existe entre el primero y el

tercer cuartil.

221


Ejercicio:

Del siguiente cuadro calcular la desviación cuartilica.

L1 - L2 Yi1-Yi´ Yi ni niYi

60 - 62 61 5 305

63 - 65 64 7 448

66 - 68 67 x 67x

69 - 71 70 6 420

72 - 74 73 y 73y

N = 30 1989

222


3. X – 66.3 66.3 = 1173 + 67x + 73y

30

816 = 67x + 73y

4. 5 + 7 + x + 6 + y = 30

18 + x + y = 30

x + y = 12

x = 12 – y

2 en 1

816 = 67 (12 – y) + 73y

816 = 804 – 67y + 73y

12 = 6y

y = 2 x = 10


4 4

Q1 = 62.5 + (7.5 – 5) 3

7

222


3. X – 66.3 66.3 = 1173 + 67x + 73y

30

816 = 67x + 73y

4. 5 + 7 + x + 6 + y = 30

18 + x + y = 30

x + y = 12

x = 12 – y

2 en 1

816 = 67 (12 – y) + 73y

816 = 804 – 67y + 73y

12 = 6y

y = 2 x = 10


4 4

Q1 = 62.5 + (7.5 – 5) 3

7

222


3. X – 66.3 66.3 = 1173 + 67x + 73y

30

816 = 67x + 73y

4. 5 + 7 + x + 6 + y = 30

18 + x + y = 30

x + y = 12

x = 12 – y

2 en 1

816 = 67 (12 – y) + 73y

816 = 804 – 67y + 73y

12 = 6y

y = 2 x = 10


4 4

Q1 = 62.5 + (7.5 – 5) 3

7

223


Q1 = 63.57142857

Q3 = 68.5 + (22.5 – 22) 3

6

Q3 = 68.75

D.Q = Q3 – Q1

2

D.Q = 68.75 + 63.57142857

2

DQ = 2.589285715

Nota:


interesa es saber a partir de qué valor se va a medir la desviación cuartil.


tercer cuartil.

223


Q1 = 63.57142857

Q3 = 68.5 + (22.5 – 22) 3

6

Q3 = 68.75

D.Q = Q3 – Q1

2

D.Q = 68.75 + 63.57142857

2

DQ = 2.589285715

Nota:




tercer cuartil.

223


Q1 = 63.57142857

Q3 = 68.5 + (22.5 – 22) 3

6

Q3 = 68.75

D.Q = Q3 – Q1

2

D.Q = 68.75 + 63.57142857

2

DQ = 2.589285715

Nota:




tercer cuartil.

224


1 (Q1 +Q3 ) + D.Q. = 62.083 + 76.5 + 7.20852 2

Q3 =76.5

7.2085 50%

Q1 =62.083

3.-DESVIACIÓN MEDIA (D.M.):

X

G

H

RMS

Q1 Md Q3

Mo

Q2

D5

P50

Esta medida surge por los defectos que tiene el R y la D.Q. de considerarúnicamente valores extremos dejando de lado las medidas de centralización.

225


55..33..11 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA DDEESSVVIIAACCIIÓÓNN MMEEDDIIAA

Dado que la desviación media se define como la media aritmética de los valores

absolutos de los datos de la serie con respecto de la media se utiliza las siguientes

fórmulas:

Datos Simples

Datos Agrupados

D.M. = /Yi - x /

N

D.M. = ni /Yi - x/

N

226


Ejercicio:

Determinar la Desviación media de los siguientes números:

4, 6, 8, 10, 12 y 14.

X = 4 + 6 + 8 + 10 +12 + 14 = 54 = 9

6 6

D.M. = / Yi - / = 54 – 9 = 7.5

N 6

227


Ejercicio:

Determinar la Desviación media de la siguiente. Distribución de frecuencias absolutas:

L1-L2 Yi ni NiYi |Yi - X| ni |Yi - X|

45-55 50 4 200 19.6 78.4

55-65 60 12 720 9.6 115.2

65-75 70 20 1400 0.4 8

75-85 80 10 800 10.4 104

85-95 90 4 360 20.4 81.6

N=50 niYi=3480 ni/Yi- /=387.2

228


X = niYi = 3480 = 69.6

N 50

D.M = ni/Yi- / = 387.2 = 7.744

N 50

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